OHYBOVÁ ČÁRA ZA PROSTÉHO OHYBU - rovinné průřezy zůstávají po deformaci rovinnými, avšak natáčejí se. - při prostém ohybu hlavní centrální osa setrvačnosti všech průřezů leží v rovině vnějších sil, která také obsahuje osu nosníku ( spojnice těžišť všech průřezů ) - druhá hlavní centrální osa setrvačnosti je v každém průřezu osou neutrální Přetvořené ose nosníku říkáme ohybová čára. Je to rovinná křivka. V teorii prostého ohybu nosníku také předpokládáme: - pružný materiál, jehož chování se řídí Hookovým zákonem - kolmo k ose nepůsobí žádná normálová napětí - nepřihlíží se ani k vlivu zkrácení osy - délka ohybové čáry je tedy stejná jako délka nepřetvořené osy. w x
Pohyb posuvné podpory při ohybu nosníku
- určujeme tedy ohybovou čáru jako w = w( x ). u u ′ = z ⋅ tgϕ =& z ⋅ ϕ w
u´ φ Prostý ohyb nosníku Relativní prodloužení
Po derivování podle x platí
dx
(
φ
u=z⋅
∆u dx du
dw
posunutí u je přibližně rovno u´ , tedy u = u ′ ⋅ cos ϕ = u ′ 1 − ϕ 2 + ϕ 4 − ...... =& u ′
z
εx =
tgϕ =
dw dx
=
du
dx d ⎛ dw ⎞ d 2w ⎟=z = ⎜⎜ z . ⎟ 2 dx dx ⎝ dx ⎠ dx
)
při prostém ohybu platí ε x = − Porovnání výrazů dostaneme − a z toho
d 2w 2
=−
My
My ⋅ z E ⋅ Iy My ⋅z E ⋅ Iy
= εx =
du dx
=z
d 2w dx 2
.
dx E ⋅ Iy Tato rovnice představuje diferenciální rovnici druhého řádu pro výpočet ohybové čáry a je označována jako Bernoulliova rovnice průhybové čáry. Tuto diferenciální rovnici můžeme dvakrát integrovat a dostaneme postupně My My dw d 2w ⇒ = −∫ dx + C1 ⇒ =− 2 dx E ⋅ Iy dx E ⋅ Iy
⎛ M ⎞ y ⎜ w = −∫ ⎜ ∫ dx ⎟⎟ ⋅ dx + C1 x + C2 ⎜ E⋅I ⎟ y ⎝ ⎠
Pro výpočet ohybové čáry je třeba rozdělit nosník na integrační intervaly. Máme-li n integračních intervalů, dostaneme při vyjádření průhybů celkem 2n integračních konstant, v každém intervalu dvě. Integrační konstanty určujeme pomocí okrajových podmínek, tj. podmínek na koncích nosníku a podmínek spojitosti ohybové čáry, které pro jednotlivé typy okrajů jsou tyto: a) v místě kloubové podpory nebo posuvné podpory je průhyb nulový, tj. w = 0 dw b) v místě vetknutí je průhyb a pootočení nulové, tj. w = 0; =0 dx c) na rozhraní mezi i-tým a i+1-ním intervalem je ohybová čára spojitá a spojité jsou ⎛ dw ⎞ ⎛ dw ⎞ i první derivace wi = wi +1 ; ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ dx ⎠i ⎝ dx ⎠i +1 d) v místě vnitřního kloubu mezi i-tým a i+1-ním intervalem je ohybová čára spojitá, wi = wi +1 tj.
Typy okrajů jsou vykresleny na obrázku.
a)
b)
w= 0
c)
i w=0 dw =0 dx
w= 0 w= 0
d)
i+1
i
i+1
wi = wi +1 ⎛ dϕ ⎞ ⎛ dϕ ⎞ ⎟ ⎟ =⎜ ⎜ ⎝ dx ⎠i ⎝ dx ⎠i +1
wi = wi +1
U nosníků symetrických a symetricky zatížených je i ohybová čára souměrná. Můžeme tedy řešit u symetrických konstrukcí pouze polovinu nosníku a na ose symetrie psát okrajovou podmínku ve tvaru dw sym : =0 dx
Clebschovo řešení. redukuje počet integračních konstant až na dvě na rozhraní dvou intervalů je působiště osamělého břemene: 1
F 2
p x-p x Osamělé břemeno - ohybový moment nalevo a napravo od osamělého břemene F se liší pouze o člen ∆M = − F ( x − p ). - označíme-li tedy ohybový moment v intervalu 1 M 1 ( x ), bude ohybový moment v intervalu 2 roven M 2 ( x ) = M 1 ( x ) − F ⋅ ( x − p )
Při integraci diferenciální rovnice pak obdržíme ⎛ M (x) ⎞ w1 = − ∫ ⎜ ∫ 1 dx ⎟ dx + C1 x + C 2 ⎟ ⎜ EI y ⎠ ⎝
⎛ M (x) − F ⋅ (x − p) ⎞ dx ⎟ dx + C3 x + C 4 = w2 = − ∫ ⎜ ∫ 1 ⎟ ⎜ EI y ⎠ ⎝ ⎛ F ⋅ (x − p) ⎞ ⎛ M (x) ⎞ ⎟ ⎜ 1 dx ⎟ dx +C3 x + C 4 = dx dx + ∫ ⎜ ∫ = −∫ ∫ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ EI EI y y ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3 ⎛ M (x) ⎞ ( ) ⋅ − F x p ⎟ ⎜ + C3 x + C 4 = − ∫ ∫ 1 dx dx + ⎟ ⎜ EI y ⎠ ⎝ EI y
- na rozhraní obou intervalů platí výše F uvedené okrajové podmínky, tj. v místě 1 dw dw 2 x = p musí být w1 = w2 a 1 = 2 dx dx p x-p F ( x − p )3 - protože pro x = p je člen x 6 EI y Osamělé břemeno nulový a též jeho derivace je nulová, musí být C3 = C1 a C4 = C2 . Jsou tedy v obou intervalech stejná integrační znaménka. Stejným způsobem postupujeme, začíná-li na rozhraní dvou intervalů spojité zatížení.
Mohrův způsob určení průhybové čáry - postup se zakládá na analogických vztazích mezi průhybem a ohybovým momentem na jedné straně a ohybovým momentem a zatížením na straně druhé
- Schwedlerova věta
dT ( x )
= T ′( x ) = − q( x )
dx dM 0 ( x )
q(x) T(x)
A M(x)+dM(x)
M(x)
= M ′( x ) = T ( x )
T(x)+dT(x) dx
dx Rovnici derivujeme podle x a dosadíme za řádu
d 2M 0 (x)
dT
a dostaneme diferenciální rovnici 2.
dx
= M 0′′ ( x ) = − q( x )
dx Srovnáme-li tuto rovnici s Bernoulliovou rovnicí průhybové čáry My d 2w = w′′ = − 2 dx E ⋅ Iy
je mezi nimi zřejmá analogie. Položíme-li w′′( x ) = M ′f′ ( x ) a pak platí
w′( x ) = ϕ ( x ) =
T f (x) EI y
a
w( x ) =
M f (x)
− M y (x)
= qf
EI y
EI y
Je možno získat ohybovou čáru w( x ) a natočení ϕ ( x ) řešením průběhu posouvající síly a ohybového momentu na fiktivním nosníku (vnitřní síly s indexem f). Výše uvedené zápisy jsou matematickým vyjádřením Mohrových vět: 1. Úhel natočení v obecném místě nosníku je roven velikosti fiktivní posouvající síly na fiktivním nosníku od zatížení skutečnou momentovou plochou dělené konstantou EI y . 2. Průhyb v obecném místě nosníku je roven velikosti fiktivního ohybového momentu na fiktivním nosníku od zatížení skutečnou momentovou plochou dělené konstantou EI y .
Veličiny, které si v analogii vzájemně diferenciálních rovnic: M w ↔ M ↔ q EI
odpovídají,
ϕ=
vyplývají
dw dx
↔
ze
T=
srovnání
dM dx
Fiktivní nosník je takový nosník, jehož fiktivní statické okrajové podmínky odpovídají geometrickým podmínkám skutečného nosníku. Tento fiktivní nosník, kterým nahrazujeme původní nosník při řešení ohybové čáry jako výslednicové čáry, nazýváme duálním ( sdruženým ) nosníkem.
skutečný nosník
duální Duální nosník tedy vytváříme tak, že a) kloubovou podporu na konci nosníku ponecháme beze změny b) volný konec nahradíme vetknutím c) vetknutí nahradíme volným koncem d) mezilehlou podporu nahradíme vnitřním kloubem e) vnitřní kloub nahradíme mezilehlou podporou Podpory původního nosníku a jemu odpovídajícího duálního nosníku jsou uvedeny na obrázku.
