Pertemuan 10 MENDIFERENSIALKAN FUNGSI TERSUSUN
Jika
Y = F (z) → Y = F[f(x)] z = f(x) (Fungsi Tersusun) dy dy dp dq dr = . . . dx dp dq dr dx
Aturan Rantai
Mendeferensialkan : Bentuk Y = [f(x)] g(x) Atau
Y=
Y = Y′ =
V
, dimana
= f(x) V = g(x)
V
V' ln
V
+
V
. '
Penderivatifan Dengan Logaritma Untuk fungsi-fungsi yang variabelnya (x atau y) sebagai eksponen biasanya dengan cara bentuk di log.-kan lebih dahulu agar eksponen turun, dan digunakan logaritma natural (ln). Contoh : 1. y = x x , y’ = ? Jawab :
ln y = ln x x = x . ln x
1 y
.y ' = x .
1 x
+ ln x → y' = y(1 + ln x )
atau
y' = x x . (1 + ln x )
2.
x = y sin x , y' = ? Jawab. x =
1 2
bila x =
π
y=
,
1 2 1 2
π π
ln x = ln y sin x = sin x. ln y 1 1 = cos x . ln y + sin x . . y' x y y = xy cos x. ln y + x sin x.y' 1 1 2 1 1 π − π . cos π . ln π y − xy cos x ln y 2 4 2 2 =1 y' = = 1 1 x sin x π. sin π 2 2 y' = 1
3. x y = y x , y ' = ? Jawab.
bila x = 1
y. ln x = x. ln y
→
y'. ln x +
y x
= ln y +
x y y'. ln x − = ln y − y x x = 1 maka : y'.(0 − 1) = 0 − 1 → y' = 1 y = 1
4.
y = (sin x ) x Jawab : x =
y' = ?
, 1 2
π
ln y = x. ln sin x
→ →
1 π 2 → y' = 0 y = 1
x=
bila x =
1 y
1 2
π
y =1
.y ' = x .
1 sin x
. cos x + ln sin x
x y
.y '
5.
y = x 2 ln x ,
Jawab.
y=?
x=e
bila x = e
→ y=e2
ln y = 2 ln 2 x →
1 y
.y' = 4 ln x.
1 x
y y' = 4. . ln x x x = e e2 .1 = 4 e → y' = 4. e y = e 2 y' = 4e
Mendiferensialkan suatu fungsi yang dinyatakan dalam persamaan parameter. Jika :
y = f(t) x = g(t) t = parameter
dy dy = dt dx dx d dy dt
d2 y d dy dt = = . 2 dx dx dt dx dx dx Fungsi Bentuk Parameter Satu persamaan fungsi y = f(x) dapat di sajikan dengan sepasang persamaan :
x = g ( t ) , dengan t sebagai parameter. y = h(t ) x = t + 1 Misal : → yang sebenarnya y = f(x), yaitu y = x2- 2x – 2 2 y = t − 3 (bila t di eliminir) Untuk memperoleh
dy dari pasangan (sistem) persamaan tersebut kita dapat berfikir y dx
sebagai fungsi komposisi komposisi : y = f(t), t = g(x),
berarti :
dy dy dy dt dy dt atau = . = dx dx dx dx dt dt Contoh :
1.
dx =2 x = 2t − 2 → 2t dt , maka y' = =t 2 y = t 2 + 5 → dy = 2 t dt
dx x = 2 sin t − 1 → dt = 2 cos t − 2 sin t 2. , maka y' = = − tg t dy 2 cos t y = 2 cos t + 2 → = −2 sin t dt 3.
x = sin t 1 , y' = ? untuk t = π 6 y = ln cos ec t Jawab :
dx dy = cos t , = dt dt
y' = −
ctg t cos t
=−
cos t . − = − cot g t sin 2 t cos ec t 1
1
,t =
sin t
x = ln(2t − 1) , y' = ? untuk t = 2 4. 1 y = t 2
1 π → y' = − 6
1 = −2 1 sin π 6
jawab :
dx dt
=
2
dy
2t − 1 dt
− y' =
,
=−
2 t3
2 t 3 = − 2 . 2t − 1 = − 2t − 1 2 2 t3 t3
2t − 1 jadi t = 2 → y' = −
3 8
x = t + 2 1 , y' = ? untuk t = π 5. y = t. cos t 4 jawab : dx dt y' =
= 1, dan
dy dx
= − t sin t + cos t
− t . sin t + cos t
1 1 1 , y' = − π . 2 8
1 1 1 =− π . 2+ 2 4 2 2
2
Mendiferensial fungsi implisit Contoh :
x 2 + y 2 = 25
Fungsi Implisit Hingga kini yang kita turunkan fungsi-fungsi dalam bentuk eksplisit y = f(x). Sekarang, bagaiman menderivatifkan fungsi implisit F(x,y) = 0. Bentuk F(x,y) = 0 dapat kita pikirkan F(x,y) sebagai fungsi komposisi, F(x,y) sebaga fungsi y dan ysebgai fungsi x.
dy di peroleh dari F(x,y) = 0 di turunkan ke x lewat y. dx F( x , y) = 0 →
dF dx
+
dF dy . =0 dy dx
Pelaksanaannya : Suku-suku yang tidak ada y → diturunkan langsung ke x, suku-suku yang ada y → diturunkan ke x lewat y.
Contoh.
1. x 2 + 2xy = 3, y ' = ? Jawab. 2 x + 2 x + 2 x.y ' = 0 → y ' = −
x+y x
2. x2 +3xy –2y2-4 = 0 , y’ = ? Jawab. 2x +3y +3xy’ –4y . y’ = 0 2x + 3y 2x + 3y +( 3x – 4y) y’ = 0 → y ' = − 3x − 4 y
3. y = sin (xy) → y ' = cos( xy) . ( y + xy ' ) y’ = y cos (xy) + x cos (xy) . y ' (1 – x cos xy ) . y’ = y cos (xy) → y ' = 4. x3 = ln y , y’ = ? untuk x = 1 jawab : x = 1 → 1 = ln y y=e 3 x2 =
1 . y ' → y ' = 3 x2y y x = 1 ' → y = 3e y = e
5. sin y = cos 2x , x = y ' =?
Jawab : x =
1 2 1 π → sin y = cos π = − 3 3 2 1 6
y=1 π
y cos( xy ) 1 − x cos( xy )
− 2 sin 2 x y ' . cos y = - 2 sin 2x →= =− cos y
2 1 2 sin π 2 . 3 3 =− 2 = 2, 1 1 − cos1 π 3 6 2
y'= 2
Derivatif Tingkat Lebih Tinggi 1. Bentuk eksplisit y = f (x) dy dx
= y' = f ' ( x )
d2y dx 2 d3y dx 3
= =
d( y' ) dx d ( y' ' ) dx
= y' ' = f ' ' (x )
→
disebut derivatif tingkat satu / pertama
→
disebut derivatif tingkat dua / kedua
= y' ' ' = f ' ' ' (x ) →
y (n ) = f (n ) (x )
disebut derivatif tingkat tiga / ketiga →
disebut derivatif tingkat n / ke − n
Catatan. Yang sangat berguna : y' , y' ' , dan y' ' ' Contoh : 1. y = e 2x
→
y’ = 2. e 2x y' ' = 4. e 2x y' ' ' = 8. e 2x
2.
y = sin x →
y' = cos x y' ' = - sin x y' ' ' = - cos x
3
y=
sin x x
Jawab : y' ' = y' ' =
, y' ' = ? y' =
untuk x = π
x cos x − sin x x2
x 2 (cos x − x sin x − cos x ) − 2x (x cos x − sin x ) x4
− x 2 sin x − 2x cos x + 2 sin x
x=π
x3
→
y' ' =
2π
π3
=
2
π2
→
jadi y' ' =
2
π2
2. Bentuk implisit F (x,y) = 0 dF dx
+
dF dy =0 . dy dx
d 2 F dy dF d 2 y d 2 F d 2 F dy dy + . + . + + . . =0 2 2 2 dxdy dx dy dydx dx dx dx dx dy d2F
karena
d2F dxdy
=
d2F dydx
maka : 2
d2F
d 2 F dy d 2 F dy dF d 2 F + 2. . + . + + =0 dxdy dx dy 2 dx dy dx 2 dx 2 dari sini diperoleh:
d2F dx 2
dapat diteruskan sehingga diperoleh
d3y dx 3
Catatan : Kelihatannya untuk memperoleh y' ' dan y' ' ' dan seterusnya dari bentuk umum fungsi implisit lebih sulit daripada langsung dari fungsi yang diketahui.
Contoh : 1. x 2 + y 3 − 2x = 0
,
y' ' = ?
untuk x = 4
Jawab. 2 y + 3y 2 .y'−2 = 0
(i )
→
2 + 3y 2 .y' '+6 y.y'.y' = 0 2 + 3y 2 .y' '+6 y.( y' ) 2 = 0 y 3 = −8 → y = −2
x = 4 → 16 + y 3 − 8 = 0
8 + 12 y'−2 = 0
(i)
(ii) 2 + 12 y ' '− 3 = 0 →
2. x 2 − 2 xy + y 2 − 2 x + 4 y − 1 = 0 , y' ' = ?
y' ' =
→ y' = − 1 12
untuk y = 1
Jawab . y = 1 → x 2 − 2x + 1 − 2x + 4 − 1 = 0 x 2 − 4x + 4 = 0
→
x=2
2x – 2y 2x. y' + 2y. y' – 2 + 4 y' = 0 x = 2 → 4 − 2 − 4 y'+2 y'−2 + 4 y' = 0 → y' = 0 y =1 dari ( i ) diturunkan lagi : 2 – 2 y' – 2 y' –2x. y' ' + 2y. y' ' + 2 y' . y' + 4 y' ' = 0 2 – 4 y' – (2x - 2y –4) . y' ' + 2.( y' )2 = 0 x = 2 y = 1 → 2 + 2 y' ' = 0 → y' ' = −1 y' = 0 3. x 3 − 2 x 2 .y + y 2 − 4 y + 8 = 0 Jawab : y = 0 → x 3 + 8 = 0
,
y' ' ' = ?
untuk y = 0
→x = −2
3x 2 − 2x 2 y'−4xy + 2 y.y'−4 y' = 0 x = −2 → − 12 − 8 y'−4 y' = 0 y=0
→
(i)
→
y' = 1
1 2
diturunkan lagi :
(i)
6x − 2 x 2 .y' '−4xy'−4 x.y'−4 y + 2 y.y' '+2 y'.y'−4 y' ' = 0 → 6x − 4 y − 8xy'−(2x 2 − 2 y + 4) y' '+2( y' ) 2 = 0 x = −2 1 y = 0 → − 12 + 16 − 12 y' '+2 = 0 → y' ' = 2 y' = 1 (ii)
(ii)
diturunkan lagi :
6 − 4 y'−8y'−8xy' '−(2 x 2 − 2 y + 4).y' ' '− y' '.(4 x − 2 y' ) + 4 y'.y' ' = 0 6 − 12 y'−(12 x − 6 y' ).y' '−(2x 2 − 2 y + 4).y' ' ' = 0 x = −2 y=0 y' = 1 → 6 − 12 + 15 − 12 y' ' ' = 0 1 12 y' ' ' = 9 y' ' = 2 3 y' ' ' = 4 x = f ( t ) 3. Bentuk parameter : y = g( t ) Sistem tersebut dapat kita pikirkan sebagai : y = g( t ) t = h ( x )
→
komposisi fungsi dy
dy
dy dt maka = . dx dt dx
→
dy
= dt → Ini merupakan fungsi t juga bila diturunkan dx dx ke x harus lewat t dt
Untuk membedakan turunan ke x dan turunan ke t, gunakan notasi :
2
•
dx d x •• = d, 2 = x , dt dt
d3x = dt 3
• d2y •• dx = y, 2 = y, dt dt
dt 3 y = dt 3
dan kerapian penulisan kita
•••
x dan seterusnya •••
y dan seterusnya
•
• ••
•• •
x y − x y dt dt 1 berarti y = • → y = , , sedangkan = • 2 dx dx dx x x dt y
'
''
• ••
Jikay = ''
•• •
x y− x y • 2
x 3
2
• • •• • •• •• • • •• • •• •• ••• • • • •• x x y + x y− x y− x y − 3 x x x y− x y dt y ''' = . 6 • dx x • • •• •• • •• • •• •• • x x y− x y − 3 x x y− x y y ''' = •5 x
Contoh : 1.
x = e t y = t 3 Jawab :
y' = ?
,
dalam t
•
•
x = et
y = 3t 2
••
y = 6t
x =e
•••
x =e
x = t 2 − 2 t y = t 3 − 5
••
t
•••
2.
y' ' = ?
y =6
t
y' = ?
,
•
y' ' = ? •
Jawab : x = 2t − 2
y = 3t
••
bila t = 3 2
••
x=2
y = 6t •
y' =
y
3t 2 , = • x 2t − 2 • ••
y = ''
•• •
x y− x y • 3
x
t = 3 → y ' = 27 4
(2t − 2 ).6t − 2.3t = (2t − 2 ) 3
2
2 = 6t − 12t3 (2t − 2 )
t = 3 → y '' = 54 − 36 = 18 = 9 → y '' = 9 64 64 32 32
3. x = sin t y = cos t
, y' ' = ?
Jawab :
t = 1π 3
bila
• x = cos t = 1 , 2 •• x = −sin t = − 1 3 2
y = −sin t = − 1 3 2 •• y = −cos t = − 1 2 •
1 − 1 − − 1 3 − 1 x y− x y 2 '' 2 2 2 = y = 3 • 3 1 x 2 − 1 − 3 '' y = 4 4 = −8 1 8 '' y = −8 •
4.
1 x = t y = ln ( t 2 + 2 )
Jawab :
••
••
•
,
• x = 1 = − 1 2 4 t
•• x = 2 = 1 3 4 t
y' ' = ?
untuk
t=2
•
2t = 2 t +2 3 •• y = 42 - 2t 2 = 1 (t + 2 ) 9
y=
2
1 −1 − 1 − 1 − 1 . 2 − x y x y = 4 9 4 3 = 36 6 = 8 8 y '' = • 3 9 − 1 − 1 x 64 4 y '' = 8 8 9 • ••
•• •
3
5.
x = 2t − 1 1 y = t ,
Jawab :
y' ' = ? untuk
•
x =2 ••
x =0
t=2
y '' = − 1 = − 1 2 4 t
y '' = 23 = − 1 t 4 • •• •• • 2. 1 + 0. 1 x y− x y '' 4 1 4 y = 3 • 3 16 − 1 x 3 y '' = 1 16
