PERINGKAT EFISIENSI DECISION MAKING UNIT (DMU) DENGAN STOCHASTIC DATA ENVELOPMENT ANALYSIS (SDEA)

Bulletin of Mathematics Vol. 03, No. 01 (2011), pp. 69–78.

PERINGKAT EFISIENSI DECISION MAKING UNIT (DMU) DENGAN STOCHASTIC DATA ENVELOPMENT ANALYSIS (SDEA)

Syahril Efendi Abstract. Stochastic Models Data Envelopment Analysis (DEA) developed by giving an intruder to obtain the possibility of random variation in the structure of input and output data. Stochastic efficiency size of Decision Making Unit (DMU) is defined through a combination of the probability ratio of input and output with other DMU, and it can be characterized by probabilistic problem-solving programming constraint. This paper proposed a method for stochastic ranking efficient.

1. PENGENALAN DEA diperkenalkan oleh Charnes, Cooper dan Rhodes [3]. Metode DEA dibuat sebagai alat bantu untuk evaluasi kinerja suatu aktifitas dalam sebuah unit entitas (organisasi). Pada dasarnya prinsip kerja model DEA adalah membandingkan data input dan output dari suatu organisasi data DMU dengan data input dan output lainnya pada DMU yang sejenis. Perbandingan ini dilakukan untuk mendapatkan suatu nilai efisiensi. DEA merupakan metodologi non-parametrik yang didasarkan pada linear programming dan digunakan untuk menganalisis fungsi produksi melalui suatu pemetaan frontier produksi, Anderson [1]. Aplikasi Model DEA telah Received 12-12-2009, Accepted 15-11-2010. 2000 Mathematics Subject Classification: 90C15 Key words and Phrases: Data Envelopment Analysis (DEA); Peringkat; Pemrograman Stokastik.

69

Syahril Efendi – Peringkat Efisiensi Dicision Making Unit (DMU)

70

dipakai sebagai pengukuran pada berbagai disiplin ilmu pengetahuan dan berbagai kegiatan operasional [3]. DEA dan model Stochastic Frontier Analysis (SFA) dikembangkan untuk tujuan memproduksi pencarian frontier. DEA mengupayakan sebuah pendekatan alternatif ke SFA untuk mengektraksi informasi dari pengamatan populasi dari proses keputusan. Pendekatan DEA adalah pendekatan non-parametrik untuk mengestimasi produksi frontier namun DEA tidak memenuhi spesipikasi bentuk fungsi produksi. DMU secara umum membandingkan antrara sebuah pasangan dengan kombinasi pasangan. Pada kenyataannya pendekatan parametrik untuk mengekstraksi informasi, dengan tujuan utama dari DEA adalah untuk menghitung frontier(potonganpotongan titik linear)ditentukan oleh sebuah himpunan efisiensi-pareto DMU. frontier digunakan untuk menghitung pengukuran relatif (dari antara analisa elemen DMU) dari teknik efisiensi DMU . Pengukuran nilai input dan output mempunyai kendala kesalahan error dan keadaan noise. Juga, sektor produksi yang dianalisis dapat terlihat berbeda. noise dalam data biasanya menuju kepada kesalahan dalam spesifikasi produksi frontier dan penilaian efisiensi. Dilema dari memilih pendekatan evaluasi efisiensi tergantung pada tukar tambah antara spesipikasi minimal DEA yang menyerupai dan penanganan kesalahan stokastik dalam mengukur efisiensi DMU yang menyerupai SFA. Untuk bersaing dengan dengan SFA dalam menangani kesalahan pendekatan stochastic data envelopment analysis (SDEA) dikembangkan dengan mempertimbangkan nilai input dan output sebagai variabel acak dalam pendekatan SDEA. Penyajian pendekatan SDEA menyebabkan masalah peluang kendala optimisasi yang mengkonsumsi jumlah ekstensif waktu komputasi untuk pencarian solusi optimal bahkan untuk model stokastik sederhana.kita lanjutkan meng-konstrain tradisi programming secara acak adalah berhubungan antara input dan output dengan megasumsikan gangguan distribusi probabilistik yang di ketahui. 2. PROGRAM LINIER DENGAN VARIABEL STOKASTIK Untuk mendeskripsikan struktur analitikal dari model program linier yang kita peroleh, kita bandingkan dengan sebuah model konvensional program linier dan kita pakai sebagai catatan Cooper kita memiliki program


71

linier dengan variabel stokastik sebagai berikut, n

min(max) F (x) = Σ cj xj j=1

n

prob{ Σ aij xj ≤ bi } ≥ pi

s.t.

i = 1, ..., m

(1)

j=1

xj ≥ 0

j = 1, ..., n

Pandang bahwa aij dan bij , j = 1, . . . , n, i = 1, . . . , m merupakan variabel stokastik. min(max) F (x) =

n P

cj xj

j=1

s.t.

prob{

n P

j=1

˜ a∼ ij xj ≤ bi } ≥ pi

xj ≥ 0

i = 1, ..., m

(2)

j = 1, ..., n

dua model dari persamaan diatas dapat di bentuk dengan simbol a˜ij , b˜i yang merepresentasikan variabel stokastik, ’prob’ menunjukkan probabilitas n P dan pi = 1 − ai yang menunjukkan probabilitas a∼ xj ≤ ˜bi . Sehingga αi j=1

ij

adalah melambangkan ukuran resiko yang menunjukkan perangkat datanya. Dengan kata lain, menunjukkan probabilitas syarat yang dipenuhi. Ukuran resiko (αi ) juga menggambarkan nilai yang di ukur dalam jankauan antara 0 dan 1. Misalkan a∼ ij , j = 1, . . . , n, i = 1, . . . , m memiliki distribusi standard ∼ dan var(a∼ ) menunjukkan varians dari a∼ ij ij dan E(aij ) menunjukkan rata˜ ˜ rata dari a∼ ij . dan bi , i = 1, . . . , m memiliki distribusi standar dan var(bi ) menunjukkan varian dari b˜i dan E(b˜i ) menunjukkan dari rata-rata dari b˜i . Misalkan n n+1 X X ˜bi = hi = a∼ x − a∼ j ij ij xj , i = 1, ..., m j=1

j=1

˜ dan xn+1 = 1, a∼ in + 1 = −bi , i = 1, . . . , m. notasiakan hi sebagai variabel stokastik dengan variabel distribusi standar. Maka diperoleh ! n n+1 n P P P E(hi ) = E a∼ xj − ˜bi = E(a∼ )xj = E(a∼ )xj − E(˜bi ) j=1

i = 1, ..., m

ij

j=1

ij

j=1

ij

72


dan var(hi ) = X T Di X dimana X = (x1 , . . . , xn , 1)T dan  ∼ ∼ ∼ ∼ ˜ var(a∼ cov(a∼ i1 ) i1 , ai2 ) · · · cov(ai1 , ain ) cov(ai1 , bi ) ∼ ∼ ˜  cov(a∼ , a∼ ) var(a∼ · · · cov(a∼ i2 i1 i2 ) i2 , ain ) cov(ai2 , bi )   . . . . .. .. .. .. Di =  ···   cov(a∼ , a∼ ) cov(a∼ , a∼ ) · · · ˜ var(a∼ cov(a∼ in i1 in i2 in ) in , bi ) ∼ ∼ ∼ cov(˜bi , ai1 ) cov(˜bi , ai2 ) · · · cov(˜bi , ain ) var(˜bi ) i = 1, ..., m

      

Oleh karena itu, prob {hi ≤ 0} ≥ pi , i = 1, . . . , m. Yang diikuti distribusi normal standar dengan rata-rata nol dan unit varian. ) ( −E(hi ) hi − E(hi ) ≤p ≥ pi , i = 1, . . . , m (3) prob p var(hi ) var(hi ) Karena h√i −E(hi ) mengikuti normal standar memiliki invers dari Persamaan. var(hi )

(3) dilakukan sebagai berikut −E(hi ) p var(hi )

Φ

! ≥ Φ(ci ) = pi ,

i = 1, ..., m

Dimana Φ menunjukkan distribusi kumulatif dari distribusi normal dan Φ−1 menunjukan fungsi inverse. oleh karena itu kita peroleh −E(hi ) p ≥ ci , var(hi ) E(hi ) + ci Atau

n P j=1

p

˜ E(a∼ ij )xj − E(bi ) − ci

i = 1, ..., m

var(hi ) ≤ 0

p

var(hi ) ≤ 0,

i = 1, ..., m

Maka kita peroleh model program linier dengan variabel tertentu. n P min(max) F (x) = cj xj j=1

s.t.

n P j=1

E(a∼ ij )xj

xj ≥ 0

− E(˜bi ) − ci

p

var(hi ) ≤ 0, j = 1, ..., n

i = 1, ..., m

(4)


73

3. MODEL DEA STOKASTIK Untuk menggambarkan model DEA stokastik yang diusulkan, Kita bicarakan rangkuman paper yang dibuat oleh Cooper dan kawan-kawan [3]. ˜j = Studi ini mengasumsikan dimana terdapat n, DMU (j = 1, . . . , n) dan X ∼ ∼ T ∼ ∼ T ˜ (x1j , . . . , xmj ) and Yj = (y1j , . . . , ysj ) vektor input dan output yang acak dari masing-masing DMUj , j = 1, . . . , n dan Xj = (x1j , . . . , xmj ) dan Yj = (y1j , . . . , ysj ) yang menunjukkan vektor-vektor koresponden dari nilai yang diharapkan daripada input dan output untuk setiap DMUj , j = 1, . . . , n. Hal ini penting untuk diingat bahwa studi ini sangat menarik untuk perencanaan masa depan dimana kita bisa mengendalikan jumlah input sebagai variabel keputusan, sementara belum bisa untuk mengendalikan output, karena jumlahnya bergantung pada faktor -faktor eksternal seperti kondisi ekonomi, perubahan demografis, dan faktorsosial ekonomi yang mempengaruhi besarnya output. Sehingga, input dianggap sebagai variabel deterministik dan output dianggap sebagai variabel stokastik. Kita anggap semua komponen input dan output terdistribusi normal secara bersama dalam versi stokastik DEA. ϕ∗ = min ϕ n P ∼ λ ≥ ϕy ∼ } ≥ 1 − α s.t. p{ yij j io p{

j=1 n P

j=1 n P

∼ x∼ ij λj ≥ ϕxio } ≥ 1 − α

r = 1, ..., s r = 1, ..., m

(5)

λj = 1

j=1

λj ≥ 0

j = 1, ..., n

Dimana model diatas, p berarti ”probabilitas” dan α adalah jumlah yang ditetapkan antara 0 dan 1. Definisi 1 (Efisiensi Stokastik): DM Uo adalah stokastik yang efisien jika dan hanya jika kedua kondisi berikut dipenuhi. 1. φ = 1 2. Nilai slack adalah semua NOL untuk semua solusi optimal. Misal δr ≥ 0 dan ξi ≥ 0 digunakan sebagai slack eksternal untuk output yang ke r dan input yang ke i yang membatasi peluang yang dipenuhi p{

n X j=1

∼ ∼ yij λj − Φyio ≥ 0} = (1 − α) + δr ,

r = 1, ..., s


dan p{

n X

∼ x∼ ij λj − xio } = (1 − α) + ξi ,

74

i = 1, ..., m

j=1 − maka terdapat bilanga positif s+ r ≥ 0 dan si ≥ 0 sehingga

p{

n X

∼ ∼ yij λj − Φyio ≥ s+ r } = 1 − α,

r = 1, ..., s

j=1

dan p{

n X

− ∼ x∼ ij λj + si ≤ xio } = 1 − α,

i = 1, ..., m

j=1

oleh karena itu kita peroleh model BCC versi stokastik berikut ϕ∗ = min ϕ + ε( s.t. p{ p{

n P

j=1 n P

j=1 n P

s P

r=1

s+ r −

m P r=1

s− i )

∼ λ − ϕy ∼ ≥ s+ } = 1 − α yij j r io

− ∼ x∼ ij λj + si ≤ xio } = 1 − α

r = 1, ..., s i = 1, ...m

(6)

λj = 1

j=1 + λj ≥ 0, s− i ≥ 0, sr ≥ 0,

i = 1, ..., m, r = 1, ..., s, j = 1, ...n

Dengan cara yang sama, adalah wajar untuk mengeneralisasi ”satu model” pendekatan untuk kemacetan direpresentasikan dalam kertas Cooper et. al [?] dengan tindak versi stokastik: ϕ∗ = min ϕ + ε( s.t. p{ p{

n P

j=1 n P

j=1 n P

s P

r=1 ∼λ yij j

−

s+ r −ε

∼ ϕyio

≥

m P r=1

s+ r }

s− i )

=1−α

− ∼ x∼ ij λj + si ≤ xio } = 1 − α

r = 1, ..., s i = 1, ...m

(7)

λj = 1

j=1 + λj ≥ 0, s− i ≥ 0, sr ≥ 0,

i = 1, ..., m, r = 1, ..., s, j = 1, ...n

Sangat muda untuk megetahui sesi (2), dengan distribusi normal dan aturan keputusan orde nol kita bisa peroleh sebuah persamaan deterministik untuk


75

(6) dan (7) sebagai berikut, ϕ∗ = min ϕ + ε( s.t. ϕyro −

n P

s P

r=1

s+ r +

yrj λj +

m P r=1

s+ r

s− i )

− Φ−1 (α)σro (ϕ, α) = 0

r = 1, ..., s

j=1 n P j=1 n P

−1 I xij λj + s− i − Φ (α)σr (α) = 0

i = 1, ...m

(8)

λj = 1

j=1 + λj ≥ 0, s− i ≥ 0, sr ≥ 0,

i = 1, ..., m, r = 1, ..., s, j = 1, ...n

Dengan cara yang sama, persamaan (7) dapat direpresentasikan oleh: ϕ∗ = min ϕ + ε( s.t. ϕyro −

n P

s P

r=1

s+ r −ε

yrj λj +

s+ r

m P r=1

s−c i )

− Φ−1 (α)σro (ϕ, α) = 0

r = 1, ..., s

j=1 n P j=1 n P

−1 I xij λj + s−c i − Φ (α)σi (α) = xio

i = 1, ...m

(9)

λj = 1

j=1 + λj ≥ 0, s− i ≥ 0, sr ≥ 0,

i = 1, ..., m, r = 1, ..., s, j = 1, ...n

Terdapat Φ fungsi distribusi normal standar dan Φ−1 , merupakan inversnya. Akhirnya XX X (σro (ϕ, α))2 = λi λj cov(˜ yri y˜rj )+2(λo −ϕ) λi cov(˜ yri y˜rj )+(λo −ϕ)var(˜ yro ) i6=o j6=o

i6=o

dan (σiI (α))2 =

XX i6=o j6=o

∼ λj λk cov(x∼ ij , xik )+2(λo −ϕ)

X

∼ ∼ λj cov(x∼ ij , xio )+(λo −ϕ)var(xio )

i6=o

Teorema 1: hambatan ini direprsentasikan dengan DM Uo ke tingkat yang ditentukan probabilitas dalam model stokastik (8) jika dan hanya jika untuk ∗ ∗ suatu solusi yang optimal (φ∗ , λ∗ , s+ , s−c ) dari (9), ada sedikitnya satu ∗ s−c > 0 (1 ≤ io ≤ m). 4. APLIKASI STOKASTIK MODEL DEA


76

Tabel 1: Nilai harapan dari input dan output untuk 8 DMU DMU I1 I2 I3 I4 I5 I6 O1 O2 A 1.5 2.7 70 2.3 1.8 3.3 85 82 B 0.5 0.2 70 1.5 1.1 0.5 96 93 C 2.5 2.6 75 2.2 2.4 3.2 78 87 D 1.8 1.5 75 1.8 1.6 2.3 87 88 E 0.9 0.4 80 0.5 1.4 2.6 89 94 F 0.6 0.2 80 1.3 0.9 2.8 93 93 G 1.4 0.6 85 1.4 1.3 2.1 92 91 H 1.7 1.7 90 0.3 1.7 1.8 97 92

I1 I2 I3 I4 I5 I6

Tabel 2: Koefisien korelasi dari input I1 I2 I3 I4 I5 I6 1.000 0.834 1.000 0.089 -0.214 1.000 0.366 0.526 -0.754 1.000 0.922 0.897 -0.155 0.390 1.000 0.477 0.563 -0.048 0.366 0.489 1.000

Pertimbangkan delapan DMU (A, ..., H) dengan enam input (I1 , ..., I6 ) dan dua output (O1 , O2 ). Nilai harapan dari input dan output untuk DMU ini dan koefisien korelasi dari input dituliskan dalam tabel 1 dan 2, berturutturut Andaikan α = 10−6 . DMU-DMU B, E, F dan H merupakan efisiensi stokastik. Dengan evaluasi efisiensi stokastik DMU model (5) sampai dengan (9) Kita temukan luaran peringkat dari DMU-DMU B, E, F dan H sebagai ϕ∗B > ϕ∗E > ϕ∗F > ϕ∗H . 5. KESIMPULAN Model DEA adalah untuk mengukur efisiensi relatif dari satu set DMU menggunakan berbagai inputan untuk memproduksi berbagai output terbatas ke data. Ukuran efisiensi dengan input dan output stokastik telah dikembangkan dalam teks ini. Salah satu faktor inefisiensi, bisa menjadi penting bila dikaitkan dengan kebutuhan untuk menambah input untuk


77

melayani tujuan penting selain memaksimalkan output disebut hambatan. Telah dianggap bahwa kita memiliki contoh aplikasi yang mendasar dengan bantuan model dasar stokastik dengan input dan output. Ternyata, model ini memiliki kompleksitas penghitungan (pemrograman nonlinier) untuk mengembangkan model DEA dengan data stokastik, untuk melakukan penelitian baru, dengan mengembangkan model DEA dengan data stokastik, misalnya anda dapat menentukan kembali stokastik untuk skala.

Daftar Pustaka [1] Andersen, P., N.C. Petersen. 1993. A procedure for ranking efficient units in data envelopment analysis, Management Science, 39(10), 12611294. [2] Banker, R.D. 1993. Maximum likelihood, consistency, and DEA: Statistical foundations, Management Science, 39, 1264-1273. [3] Charnes, A., W.W. Cooper, E. Rhodes. 1978. Measuring the efficiency of decision making units, European Journal of Operational Research, 2, 429-444. [4] Jahanshahloo, G.R., F. Hosseinzadeh Lotfi, N.Shoja, G.Tohidi, S.Razavyan, Ranking using l1-norm in data envelopment analysis, Applied Mathematics and computation, 153 (2004), 215-224. [5] Land, K.C., C.A.K. Lovel,, and S. Thore. 1993. Chance constrained data envel-opment analysis, Managerial and Decision Economics, 14, 541-554. [6] Li, S.X. and Z.M Huang. 1996. Determination of the portfolio selection for a property liability insurance company, European Journal of Operational Research, 88, 275-268. [7] Mehrabian, S., M. R. Alirezaee, G. R. Jahanshahloo. 1999. A complete efficiency ranking of decision making units in data envelopment analysis, Computational Optimization and Applications, 14, 261-266. [8] Olsen, O.B., and N.C. Petersen. 1995. Chance constrained efficiency evaluation, Management Science, 41, 442-457. [9] Seiford, L.M. and J. Zhu. 1999. Infeasibility of super efficiency data envelopment analysis models, INFOR, 37(2), 174-187.


78

[10] Seiford, L.M., R.M Thrall. 1990. Resent development in DEA: The mathematical approach to frontier analysis, Journal of Econometrics, 46, 7-38. [11] Sengupta, J.K. 1982. Efficiency measurement in stochastic input-output system, International Journal of System Science, 13, 273-287. [12] Zhu, J. 2001. Super-efficiency and DEA sensitivity analysis, European Journal of Operational Research, 129, 443-455. [13] Allen, F., Broswell, M., Rao, P.V. 1972. Distribution free approximations for chance constraints. Operations Research 22, 610-621.

Syahril Efendi: Departemen Matematika, FMIPA, Universitas Sumatera Utara,

Jl. Bioteknologi No. 1 Kampus USU, Medan 20155, Indonesia.

E-mail: [email protected]

PERINGKAT EFISIENSI DECISION MAKING UNIT (DMU) DENGAN STOCHASTIC DATA ENVELOPMENT ANALYSIS (SDEA)

Recommend Documents