PERBANDINGAN WAKTU KESTABILAN MODEL VIROTHERAPY DAN RADIOVIROTHERAPY UNTUK PENYAKIT TUMOR SKRIPSI

PERBANDINGAN WAKTU KESTABILAN MODEL VIROTHERAPY DAN RADIOVIROTHERAPY UNTUK PENYAKIT TUMOR

SKRIPSI Disusun untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains di Jurusan Matematika

Oleh:

Mila Kurnia Ruswandi 208700544

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2012


SKRIPSI

Disusun untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains di Jurusan Matematika

Oleh:

Mila Kurnia Ruswandi 208700544

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2012

HALAMAN PENGESAHAN


Oleh:

Mila Kurnia Ruswandi 208700544 Menyetujui: Pembimbing I,

Pembimbing II,

Diny Zulkarnaen, M.Si NIP.198212132011011008

Rini Cahyandari, M.Si NIP.198201152009122003

Lulus diuji tanggal 30 Agustus 2012. Penguji I,

Penguji II,

Dr. Elis Ratna Wulan, S.Si., M.T NIP. 197301122000032001

Arief Fatchul Huda, S.Si., M.Kom NIP. 197206091999031003

Mengetahui: Dekan Fakultas Sains dan Teknologi,

Ketua Jurusan Matematika,

Dr. H. M. Subandi, Drs., Ir., MP NIP. 195404241985031004

Dr. Elis Ratna Wulan, S.Si., M.T NIP. 197301122000032001

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN

Saya yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama

: Mila Kurnia Ruswandi

NIM

: 208700544

Fakultas/Jurusan

: Sains dan Teknologi / Matematika

Judul Penelitian

: Perbandingan Waktu Kestabilan Model Virotherapy dan Radiovirotherapy untuk Penyakit Tumor

Menyatakan dengan sebenar-benarnya bahwa hasil penelitian saya ini tidak terdapat unsur-unsur penjiplakan atau karya ilmiah yang pernah dilakukan atau dibuat oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis dikutip dalam naskah ini dan disebutkan dalam sumber kutipan dan daftar pustaka. Apabila ternyata hasil penelitian ini terbukti terdapat unsur-unsur jiplakan, maka saya bersedia untuk mempertanggung jawabkan, serta diproses sesuai peraturan yang berlaku.

Bandung, 30 Agustus 2012 Yang membuat pernyataan

Mila Kurnia Ruswandi Nim. 208700544

PERSEMBAHAN

Alhamdulillah segala puji syukur kehadirat Mu ya Rohim, Engkau anugerahkan segala kenikmatan kepada hambaMu ini.

Karya ini kupersembahkan untuk kedua orang tuaku tercinta dan terkasih. Yang telah memberikan segala dukungan berupa materi maupun moril, yang selalu mendoakan, yang selalu berjuang untuk membuatku menjadi orang yang berarti. Tak ada yang bisa menggantikan setiap pengorbanan yang telah mereka berikan untukku.

MOTTO

“Setiap Bertambah Ilmuku Bertambah Tahu Pula Aku Akan Kebodohanku”

Berangkat dengan penuh keyakinan Berjalan dengan penuh keikhlasan IstIqomah dalam menghadapI cobaan “ YAKIN, IKHLAS DAN ISTIQOMAH”

ABSTRAK

Perbandingan Waktu Kestabilan Model Virotherapy dan Radiovirotherapy untuk Penyakit Tumor Mila Kurnia Ruswandi (208700544) Tumor merupakan penyakit yang diakibatkan oleh pertumbuhan sel atau jaringan tubuh yang tidak normal. Penyakit tumor menjadi ancaman serius terhadap kesehatan manusia, banyak orang yang meninggal akibat penyakit tersebut. Adapun alternatif untuk mengatasi permasalahan penyakit tumor yaitu dengan melakukan teknik pengobatan virotherapy dan radiovirotherapy. Pertumbuhan tumor dengan metode pengobatan virotherapy dipengaruhi oleh laju kematian sel dan laju reproduksi virus, dan pertumbuhan tumor dengan metode pengobatan radiovirotherapy dipengaruhi oleh dosis radiasi dan dosis virus. Berdasarkan kedua teknik pengobatan di atas terdapat hubungan dengan suatu pemodelan matematika, dimana di dalamnya dapat ditentukan titik tetap, jenis kestabilan titik tetap, dan perbandingan waktu kestabilan dari model virotherapy dan radiovirotherapy untuk penyakit tumor. Hasil analisis perbandingan dari kedua teknik pengobatan tersebut dilihat dari waktu kestabilannya. Waktu kestabilan yang diperoleh untuk model virotherapy yaitu dimulai pada saat = 571 hari dan waktu kestabilan yang diperoleh untuk model radiovirotherapy yaitu dimulai pada saat = 599 hari. Sehingga dari kedua model tersebut waktu kestabilan yang diperoleh lebih cepat adalah pada model virotherapy. Kata Kunci: Virotherapy, Radiovirotherapy, Titik Tetap, Kestabilan, Penyakit Tumor.

ABSTRACT

Comparison of Time Stability Model virotherapy and Radiovirotherapy for Tumor Diseases Mila Kurnia Ruswandi (208700544) The tumor is a disease caused by the growth of cells or tissue that is not normal. Tumor disease is a serious threat to human health, many people died from the disease. As an alternative to overcome the problems of tumor diseases with virotherapy treatment techniques and radiovirotherapy. The growth of tumor virotherapy treatment method is influenced by the rate of cell death and viral reproductive rate, and tumor growth by radiovirotherapy treatment methods are influenced by the dose of radiation and the dose of virus . Based on the above two techniques of treatment there is a relationship with a mathematical model, where it can be determined a fixed point, the stability of a fixed point type, and the comparison of the time stability of model virotherapy and radiovirotherapy for tumor diseases. The results of a comparative analysis of the two treatment techniques are seen from time stability. Time stability for model virotherapy starts at t = 571 days and time stability for model radiovirotherapy starts at t = 599 days. So that from the models obtained stability time is faster on the model virotherapy. Keywords: Virotherapy, Radiovirotherapy, Equilibrium points, Stability, Tumor Diseases.

KATA PENGANTAR

Segala puji syukur bagi Allah SWT atas limpahan rahmat, taufiq dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi yang berjudul

“Perbandingan

Waktu

Kestabilan

Model

Virotherapy

dan

Radiovirotherapy untuk Penyakit Tumor”. Skripsi ini ditulis untuk melengkapi tugas akhir dari perkuliahan yang telah dijalankan oleh penulis selama masa studinya di Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri (UIN) Sunan Gunung Djati Bandung. Shalawat serta salam semoga senantiasa tercurah kepada Rosulullah Muhammad SAW beserta keluarga, sahabat dan pengikutnya hingga akhir zaman. Penulis menyadari bahwa banyak pihak yang telah berpartisipasi dan membantu dalam menyelesaikan penulisan ini. Oleh sebab itu, iringan do’a dan ucapan terima kasih yang sebesar - besarnya penulis sampaikan, terutama kepada:

1. Ruswandi (bapak), Siti Lasmanah (ibu), dan adik-adikku tercinta: Agus

Nihayatuzain, Anjailasmawanti dan Ziddan Hayatulasmawan, yang dengan sepenuh hati memberikan dukungan moril maupun spirituil serta ketulusan do’anya sehingga penulisan skripsi ini dapat terselesaikan. 2. Bapak Dr. H. M. Subandi, Drs., Ir., MP, selaku Dekan Fakultas Sains dan

Teknologi. 3. Ibu Dr. Elis Ratna Wulan, S.Si., MT selaku Ketua Jurusan Matematika

Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sunan Gunung Djati Bandung. 4. Ibu Siti Julaeha, M.Si selaku pembimbing akademik yang telah memberikan

bimbingan dan motivasi kepada penulis. 5. Bapak Diny Zulkarnaen, M.Si., selaku dosen pembimbing I dan Ibu Rini

Cahyandari, M.Si., selaku dosen pembingbing II yang telah bersedia meluangkan waktu, memberikan ilmu dan kesabaran dalam membimbing penulis. Semua ilmu yang bapak dan ibu berikan sangat bermanfaat bagi penulis.

i

6. Segenap dosen pengajar di Fakultas Sains dan Teknologi khususnya di Jurusan

Matematika, terimakasih atas ilmu yang telah diberikan kepada penulis. 7. Teman-teman Matematika, terutama angkatan 2008 yang telah membantu

menyelesaikan tulisan ini. 8. Pihak-pihak lain yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan tulisan

ini.

Tiada gading yang tak retak, begitu pun dengan esensi penulisan skripsi ini, penulis menyadari dalam penulisan ini masih banyak kekurangan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang sifatnya membangun guna untuk memperbaiki penulisan selanjutnya. Harapan semoga tulisan ini dapat memberikan manfaat bagi kita semua. Amien.

Bandung, 2012

Penulis

ii

DAFTAR ISI

Halaman HALAMAN JUDUL HALAMAN PENGESAHAN HALAMAN PERNYATAAN HALAMAN PERSEMBAHAN MOTTO ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR .......................................................................

i

DAFTAR ISI ......................................................................................

iii

DAFTAR GAMBAR ..........................................................................

v

DAFTAR LAMPIRAN ......................................................................

vii

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ...........................................................................

1

1.2 Rumusan Masalah ......................................................................

3

1.3 Batasan Masalah ........................................................................

3

1.4 Tujuan Penelitian .......................................................................

3

1.5 Metode Penelitian .......................................................................

4

1.6 Sistematika Penulisan ................................................................

4

BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial ....................................................

6

2.2 Sistem Persamaan Diferensial Autonomous .................................

6

2.3 Persamaan Diferensial ................................................................

6

2.4 Titik Tetap ..................................................................................

8

2.5 Pelinearan ...................................................................................

9

2.6 Nilai Eigen dan Vektor Eigen .....................................................

10

2.7 Sifat Stabilitas Titik Tetap...........................................................

11

2.8 Metode Euler ..............................................................................

11

iii

BAB III KESTABILAN TITIK TETAP MODEL VIROTHERAPY, RADIOVIROTHERAPY DAN CHEMOTHERAPY 3.1 Model Virotherapy ......................................................................

15

3.2 Model Radiovirotherapy .............................................................

17

3.4 Analisis Model Virotherapy ........................................................

21

3.4.1 Menentukan Titik Tetap Model Virotherapy ......................

21

3.4.2 Analisis Kestabilan Titik Tetap Model Virotherapy ...........

24

3.5 Analisis Model Radiovirotherapy ...............................................

29

3.5.1 Menentukan Titik Tetap Model Radiovirotherapy .............

29

3.5.2 Analisis Kestabilan Titik Tetap Model Radiovirotherapy ..

33

BAB IV SIMULASI DAN PERBANDINGAN WAKTU KESTABILAN MODEL VIROTHERAPY DAN RADIOVIROTHERAPY UNTUK PENYAKIT TUMOR 4.1 Dinamika Populasi Pertumbuhan Tumor dengan Virotherapy .....

39

4.1.1 Dinamika Populasi Untuk

>

......................................

39


<

.......................................

42


=

.......................................

47

4.1.4 Dinamika Populasi Keberhasilan Terapi ............................

50

4.2 Dinamika Populasi Pertumbuhan Tumor dengan Radiovirotherapy ............................................................

54

4.3 Perbandingan Waktu Kestabilan Model Virotherapy Dan Radiovirotherapy ........................................................................

64

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan ..............................................................................

66

5.2 Saran .........................................................................................

67

DAFTAR PUSTAKA RIWAYAT HIDUP LAMPIRAN

iv

DAFTAR GAMBAR

Halaman 2.1

Rumus Euler ...............................................................................

12

3.1

Skema Diagram Model Virotherapy ............................................

16

3.2

Skema Diagram Model Radiovirotherapy ....................................

19

4.1

Populasi Sel Tumor Yang Tidak Terinfeksi Ketika

>

...........

40

4.2

Populasi Sel Tumor Yang Terinfeksi Virus Ketika

> ............

41

4.3

Populasi Partikel Virus Ketika

..........................................

42

4.4


<

...........

43

4.5


< ............

44

4.6

Populasi Partikel Virus Ketika

..........................................

45

4.7

Dinamika Populasi , , terhadap waktu ketika

< ............

46

4.8


=

...........

47

4.9


= ............

48

..........................................

49

4.10 Populasi Partikel Virus Ketika

>

<

=

4.11 Populasi Sel Tumor Yang Tidak Terinfeksi Untuk Keberhasilan Terapi .........................................................

50

4.12 Populasi Sel Tumor Yang Terinfeksi Virus Untuk Keberhasilan Terapi .........................................................

51

4.13 Populasi Partikel Virus Untuk Keberhasilan Terapi .....................

51

4.14 Jumlah Populasi Sel Tumor Untuk Keberhasilan Terapi ..............

52

v

4.15 Dinamika Populasi , , ,

Terhadap Waktu

Untuk Keberhasilan Terapi .........................................................

53

4.16 Populasi Sel Tumor Yang Tidak Terinfeksi Dan Tidak Rusak Oleh Radiasi ...................................................

54

4.17 Populasi Sel Tumor Terinfeksi Juga Tidak Rusak Oleh Radiasi ...

55

4.18 Populasi Sel Yang Rusak Akibat Radiasi.....................................

56

4.19 Populasi Partikel Virus ................................................................

56

4.20 Dinamika Populasi , , , Terhadap Waktu ...........................

57

4.21 Populasi Sel Tumor Yang Tidak Terinfeksi Dan Tidak Rusak Oleh Radiasi Ketika

dan

Ditingkatkan .................................

59

4.22 Populasi Sel Tumor Terinfeksi Juga Tidak Rusak Oleh Radiasi Ketika

dan

Ditingkatkan ......................................................

60

4.23 Populasi Sel Yang Rusak Akibat Radiasi Ketika

dan

Ditingkatkan ......................................................

4.24 Populasi Partikel Virus Ketika

dan

Ditingkatkan ..................

61 62

4.25 Dinamika Populasi , , , Terhadap Waktu Ketika

dan

ditingkatkan .......................................................

63

vi

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran A-1. Pengecekan Titik Tetap Model Virotherapy dan Radiovirotherapy Lampiran B-1. Data Hasil Numerik Model Virotherapy Ketika

> .

Lampiran B-2. Data Hasil Numerik Model Virotherapy Ketika

< .

Lampiran B-3. Data Hasil Numerik Model Virotherapy Ketika

= .

Lampiran B-4. Data Hasil Numerik Model Virotherapy Untuk Keberhasilan Terapi. Lampiran B-5. Data Hasil Numerik Model Radiovirotherapy Lampiran B-6. Data Hasil Numerik Model Radiovirotherapy Ketika

= 1.5 dan

= 0.01. Lampiran B-7. Data Hasil Numerik Model Radiovirotherapy Ketika

= 1.5 dan

= 0.07. Lampiran B-8. Data Hasil Numerik Model Radiovirotherapy Ketika

= 1.5 dan

= 7. Lampiran C-1. Sintaks Plot Untuk Gambar 4.1 sampai Gambar 4.3 dengan software Matlab. Lampiran C-2. Sintaks Plot Untuk Gambar 4.4 sampai Gambar 4.7 dengan software Matlab. Lampiran C-3. Sintaks Plot Untuk Gambar 4.8 sampai Gambar 4.10 dengan software Matlab. Lampiran C-4. Sintaks Plot Untuk Gambar 4.11 sampai Gambar 4.15 dengan software Matlab.

vii

Lampiran C-5. Sintaks Plot Untuk Gambar 4.16 sampai Gambar 4.25 dengan software Matlab.

viii

BAB I PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang Masalah Perkembangan teknologi saat ini memberikan perubahan nyata terhadap

kehidupan, pesatnya kemajuan ilmu pengetahuan menjadi salah satu faktor utama dan memberikan pengaruh positif terhadap perubahan kemajuan zaman, ditandai dengan banyaknya lahir ilmu-ilmu modern yang dapat mengatasi berbagai macam permasalahan dengan memanfaatkan teknologi-teknologi modern, salah satu contohnya di dalam ilmu kedokteran atau ilmu kesehatan. Ilmu kedokteran dengan memanfaatkan teknologi di dalamnya memberikan pengaruh positif terhadap perkembangan dalam menyikapi permasalahan, dengan pemanfaatan teknologi tersebut dapat menjawab permasalahan yang sebelumnya belum terpecahkan. Penyakit tumor, sebelumnya merupakan penyakit yang sulit untuk ditangani, mungkin pada masanya menjadi penyakit nomor satu yang paling mematikan. Tumor merupakan masalah kesehatan yang sangat serius sebagai penyebab kematian utama di dunia sekaligus secara ilmiah memiliki tantangan yang besar dan kompleks. Tumor adalah penyakit yang disebabkan oleh pertumbuhan sel-sel jaringan tubuh yang tidak normal. Sel-sel tumor berkembang dengan cepat tidak terkendali dan akan terus membelah diri. Sel tumor akan membelah terus meskipun tubuh tidak memerlukannya, sehingga akan terjadi penumpukan sel baru yang disebut tumor ganas. [7]. Perkembangan teknologi, memberikan manfaat khususnya bagi masyarakat dunia, yakni dengan pemanfaatan teknologi dalam bidang kedokteran bisa menjawab permasalahan berbagai macam penyakit dengan dirancanganya berbagai macam peralatan modern yang dikhususkan untuk berbagai macam penyakit. Ada beberapa pilihan untuk pengobatan tumor yang dapat ditawarkan bila sudah terdiagnosis secara pasti dintaranya: bedah, virotherapy, radiovirotherapy,

1

targeted therapy, radiotherapy, chemotherapy, terapi hormon, immunoterhapy dan kombinasinya [14]. Dalam dunia kedokteran, para ahli mengkombinasikan efek positif dan negatif dari serangan virus menjadi suatu terapi pengobatan tumor yang disebut virotherapy. Terapi pengobatan tumor tersebut menggunakan virus jenis Measles Virus (MV) yang dapat diatur secara khusus untuk menginfeksi sel tumor, karena ekspresi virus MV sangat tinggi terhadap receptor CD46 yang digunakan oleh virus sebagai alat untuk masuk ke sel tumor target. MV sangat selektif dan mempunyai potensi aktivitas kerusakan sel atau oncolytic.[11] Kemudian,

radiovirotherapy

yang

merupakan

bentuk

eksperimen

pengobatan tumor menggunakan penggabungan antara virus dan penyinaran radiasi. Virus diatur ke ekspresi bentuk human sodium iodide symporter (NIS) yang menyediakan sel tumor terinfeksi ke konsentrasi isotop iodide. Virus MVNIS ini menahan aktivitas oncolytic alami dari virus induk, tetapi mempunyai keuntungan dapat melenyapkan hambatan tumor ke virus ketika dikombinasikan dengan radioidide.[11] Bajzer dkk (2007) memodelkan secara matematis pertumbuhan tumor virotherapy berdasarkan populasi partikel virus. Dan Dingli (Munasir, 2010) memodelkan secara matematis pertumbuhan tumor radiovirotherapy berdasarkan penyinaran radiasi dan partikel virus. Berdasarkan kajian pemodelan tersebut maka dalam penulisan ini akan membahas tentang analisis kestabilan dan perbandingan waktu kestabilan model virotherapy dan radiovirotherapy untuk pengobatan penyakit tumor. Pertama, menentukan titik tetap untuk setiap model tersebut. Selanjutnya matriks Jacobi dengan melakukan pelinearan terhadap setiap variabel. Kemudian menentukan nilai eigen dengan menyelesaikan persamaan karakteristik, nilai eigen digunakan untuk menganalisis kestabilan titik tetapnya. Berdasarkan uraian di atas maka penulis tertarik untuk melakukan kajian riset dengan judul. “PERBANDINGAN WAKTU KESTABILAN MODEL VIROTHERAPY DAN RADIOVIROTHERAPY UNTUK PENYAKIT TUMOR”.

2

1.2

Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang di atas beberapa masalah yang akan dibahas

dalam penulisan ini meliputi: 1.

Bagaimana penerapan model matematika untuk virotherapy dan radioviroherapy untuk penyakit tumor?

2.

Bagaimana kestabilan titik tetap pada model virotherapy dan radiovirotherapy untuk penyakit tumor?

3.

Bagaimana perbandingan waktu kestabilan model virotherapy dan radiovirotherapy untuk penyakit tumor dengan menentukan nilai parameter melalui simulasi?

1.3

Batasan Masalah Penulisan ini difokuskan pada pembahasan dengan beberapa batasan

masalah sebagai berikut: 1.

Model matematika yang dikaji hanya model dalam bentuk persamaan diferensial biasa.

2.

Tidak semua titik tetap dari model virotherapy dan radiovirotherapy di analisis kestabilannya. Pada model virotherapy di analisis dua titik tetap dan pada model radiovirotherapy di analisis satu titik tetap.

1.4

Tujuan Penelitian Tujuan dari penulisan ini adalah: 1.

Mengetahui penerapan model matematika untuk virotherapy dan radiovirotherapy untuk penyakit tumor.

2.

Mengetahui jenis kestabilan titik tetap pada model virotherapy dan radiovirotherapy untuk penyakit tumor.

3.

Mengetahui hasil perbandingan waktu kestabilan dari model virotherapy dan radiovirotherapy dengan menentukan nilai parameter yang dapat mengontrol kestabilannya melalui simulasi.

3

1.5

Metodologi Penelitian Tahap-tahap yang digunakan dalam penulisan ini agar mencapai tujuan

adalah: 1.

Studi literatur, meliputi pemahaman teoritis tentang model pengobatan virotherapy dan radiovirotherapy untuk penyakit

tumor dan

kestabilannya melalui jurnal, buku, artikel dan internet.

1.6

2.

Data yang digunakan merupakan data acak

3.

Simulasi data dan grafiknya menggunakan program Matlab.

Sistematika Penulisan Skripsi ini menggunakan sistematika penulisan sebagai berikut:

BAB I

PENDAHULUAN Dalam bab ini berisi tentang latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, metodologi penelitian dan sistematika penulisan.

BAB II

LANDASAN TEORI Dalam bab ini berisi tentang sistem persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial autonomous, persamaan diferensial, titik tetap, pelinearan, nilai eigen dan vektor eigen, sifat stabilitas titik tetap dan metode Euler.

BAB III

KESTABILAN TITIK TETAP MODEL VIROTHERAPY DAN RADIOVIROTHERAPY. Dalam bab ini berisi tentang pembahasan berupa model virotherapy, model radiovirotherapy, analisis model virotherapy, menentukan titik tetap model virotherapy, analisis kestabilan model virotherapy, analisis model radiovirotherapy, menentukan ttik tetap model

radiovirotherapy,

dan

analisis

kestabilan

model

radiovirotherapy,

4

BAB IV

SIMULASI DAN PERBANDINGAN WAKTU KESTABILAN MODEL VIROTHERAPY DAN RADIOVIROTHERAPY UNTUK PENYAKIT TUMOR. Dalam bab ini berisi tentang simulasi dinamika populasi model pertumbuhan virotherapy dan radiovirotherapy untuk penyakit tumor serta perbandingan waktu kestabilan model virotherapy dan radiovirotherapy berdasarkan kajian teori.

BAB V

PENUTUP Dalam bab ini berisi kesimpulan sebagai jawaban dari rumusan permasalahan serta saran untuk pihak yang terkait.

DAFTAR PUSTAKA

5

BAB II LANDASAN TEORI

2.1

Sistem Persamaan Diferensial Sistem persamaan diferensial adalah suatu persamaan diferensial berorde

dan telah dinyatakan sebagai suatu sistem dari

persamaan berorde satu.

Persamaan itu dapat ditulis dalam bentuk: = ( , ( ),

( ), … ,

(

)(

))

Sistem persamaan diferensial merupakan persamaan diferensial yang mempunyai lebih dari satu persamaan yang harus konsisten serta trivial. Sistem persamaan diferensial adalah gabungan dari buah fungsi tak diketahui, dimana

buah persamaan diferensial dengan

merupakan bilangan bulat positif lebih

besar sama dengan dua.[8]

2.2

Sistem Persamaan Diferensial Autonomous Misalkan suatu sistem persamaan diferensial biasa dinyatakan sebagai

berikut: ̇ = ( ), ∈ dengan

merupakan fungsi kontinu bernilai real dari

(2.1) dan mempunyai turunan

parsial kontinu. Sistem persamaan (2.1) disebut sistem persamaan diferensial biasa autonomous karena tidak memuat secara eksplisit di dalamnya.[15]

2.3

Persamaan Diferensial Secara umum, persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat

turunan dari satu atau beberapa fungsi yang tidak diketahui dengan turunannya. Persamaan diferensial muncul dalam banyak penerapan teknik (rekayasa) dan penerapan-pennerapan lainnya, seperti model matematis dari berbagai sistem fisis dan sistem-sistem lainnya. Menurut peubah bebas persamaan diferensial dapat

6

dibedakan menjadi dua macam yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial.[9] Persamaan diferensial biasa diartikan sebagai suatu persamaan yang melibatkan turunan pertama atau lebih dari fungsi sebarang

terhadap peubah ,

persamaan ini dapat pula melibatkan

yang diberikan dan

itu sendiri, fungsi

konstanta, Berdasarkan turunan tertinggi yang dimiliki, persamaan diferensial biasa dikategorikan menjadi persamaan diferensial biasa orde 1 yaitu yang turunan tertingginya adalah turunan pertama, persamaan diferensial biasa orde 2 yaitu turunan kedua merupakan turunan tertingginya, persamaan diferensial biasa orde 3 yaitu turunan ketiga merupakan turunan tertingginya dan seterusnya.[9] Sebagai contoh: =

1. 2.

2

(2.2)

+

2

−

=0

(2.3)

cos( ) − 3 = sin (2 )

+

3. 4.

+

−2

(2.4)

= 1−

(2.5)

Persamaan (2.2) dan (2.3) merupakan persamaan diferensial biasa orde 1. Persamaan (2.4) merupakan persamaan diferensial biasa orde 2 dan persamaan (2.5) merupakan persamaan diferensial biasa orde 3. Persamaan diferensial parsial diartikan sebagai suatu persamaan yang melibatkan turunan parsial dari fungsi sebarang dengan dua peubah bebas atau lebih.[9] Sebagai contoh: 1. 2.

+

=6

= 3 sin( + ) +

+ (1 +

)

Persamaan diferensial dilihat dari bentuk fungsi atau pangkatnya dapat dikelompokkan ke dalam dua kelas besar adalah yang dinamakan persamaan linear dan tak linear. Sebuah persamaan diferensial termasuk persamaan diferensial linier jika memenuhi dua hal berikut:[13]

7

1.

Variabel-variabel terikat dan turunannya paling tinggi berpangkat satu.

2.

Tidak mengandung bentuk perkalian antara sebuah variabel terikat dengan variabel terikat lainnya, atau turunan yang satu dengan turunan lainnya, atau variabel terikat dengan sebuah turunan.

Jadi istilah linier berkaitan dengan kenyataan bahwa tiap suku dalam persamaan diferensial itu, peubah-peubah ,

,…,

( )

berderajat satu atau nol.

Bentuk umum persamaan diferensial linier orde-n adalah:[13] ( )

+

( )

( )

+⋯+

= ( ).

Sebagai contoh: 1.

−4 =

2.

+2

+4

=

Selanjutnya persamaan diferensial yang bukan persamaan linear disebut persamaan diferensial tak linear. Dengan demikian persamaan diferensial , ,

( )

,…,

= 0 merupakan persamaan diferensial tak linear, jika salah

satu dari berikut dipenuhi oleh .[13] ,…,

( )

1.

tidak berbentuk polinom dalam ,

2.

berbentuk polinom berpangkat 2 atau lebih dalam ,

. ,…,

( )

.

Sebagai contoh : +

1.

′′ = 0 merupakan persamaan diferensial tak linear karena

( , , 2. cos

, ′′) = +

+

′′ polinom berpangkat dua dalam ,

= 0 merupakan persamaan tak linear karena

tidak berbentuk polinom dalam ,

2.4

, ′′.

,

.

Titik Tetap Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial biasa sebagai berikut: = ̇= ( )

(2.6)

Titik ̇ disebut titik tetap, titik tetap persamaan (2.6) didapat jika ( ̇ ) = 0. Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik kesetimbangan.[15]

8

Untuk lebih jelasnya dapat dilihat contoh di bawah ini. ( )=

Misal

+ 8 + 15. Maka untuk mencari titik tetapnya adalah dengan

cara ( ) = 0, maka diperoleh ( )=

+ 8 + 15 = 0

( + 3)( + 5) = 0 = −3 = −5 Jadi didapatkan titik tetapnya adalah

2.5

= −3 dan

= −5.

Pelinearan Analisis kestabilan sistem persamaan diferensial tak linear dapat dilakukan

melalui pelinearan. Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial biasa tak linear ̇ = ( ), ∈ ( ) ∈

dengan :

→ ⊂

(2.7)

adalah suatu fungsi bernilai vektor dalam t (waktu) dan

adalah suatu fungsi mulus yang terdefinisi pada sub himpunan .

Dengan menggunakan ekspansi Taylor di sekitar titik tetap ̇ maka sistem persamaan (2.7) dapat ditulis sebagai berikut: ̇≡ ̇=

+ ( )

(2.8)

Dengan J adalah matriks Jacobi ⎡ ⎢ ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⋮ ⎢ ⎣

=

Dan =

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⋮ ⎥ ⎥ ⎦

… ⋯ ⋮

⋱ …

( ) adalah suku berorde tinggi yang bersifat − ̇ .

→

( ) = 0, dengan

pada sistem persamaan (2.8) disebut pelinearan sistem persamaan

(2.6). [15] Untuk lebih jelasnya dapat dilihat contoh di bawah ini.[5] ( ,

,

) = (3

−

,

−

+

, 2

+3

)

9

Maka matriks Jacobinya adalah ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

2.6

⎤ ⎥ ⎥ ⎥= ⎥ 4 ⎥ ⎦

6 2

3 +3

2

−3 −3 +3

0 2

4 +6

Nilai Eigen dan Vektor Eigen Misalkan matriks

disebut vektor eigen dari

× , maka suatu vektor tak nol

berukuran

jika untuk suatu skalar

berlaku:

= Vektor

di

(2.9)

disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen . Untuk

mencari nilai eigen dari matriks

yang berukuran

× , maka persamaan (2.9)

dapat ditulis sebagai berikut: ( dengan

− ) =0

(2.10)

adalah matriks identitas. Persamaan (2.10) mempunyai solusi tak nol

jika dan hanya jika: ( − )=| − |=0 Persamaan (2.11) disebut persamaan karakteristik dari matriks .[1]

(2.11)

Untuk lebih jelasnya dapat dilihat contoh di bawah ini.[1] Sistem linier 2

−

=

5

−4

=

Maka dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut: 2 −1 = 5 −4 2 −1 Sehingga diidapat = dan = 5 −4 1 0 2 −1 Sehingga − = − = 0 1 5 −4 0 −2 1 Maka | − | = =0 −5 +4

0

−

2 −1 = 5 −4

−2 −5

1 . +4

= ( − 2)( + 4) − (1)(−5) = 0 =

+4 −2 −8+5= 0

=

+2 −3=0 10

( − 1)( + 3) = 0 Sehingga nilai eigen dari

2.7

adalah

= 1 dan

= −3.

Sifat Stabilitas Titik Tetap Secara umum sifat stabilitas titik tetap mempunyai dua perilaku sebagai

berikut:[15] 1.

Stabil, jika a. Setiap nilai eigen real adalah negatif b. Setiap komponen bagian real dari nilai eigen kompleks, lebih kecil atau sama dengan nol.

2.

Tak stabil, jika a. Ada nilai eigen real yang positif b. Ada komponen bagian real dari nilai eigen kompleks, lebih besar dari nol.

Sebagai contoh: 1.

+2 −3 =0 ( − 1)( + 3) = 0

2.

+1 =0 = −1 = ±√−1

Maka didapat nilai eigen nya untuk contoh 1 adalah

= 1 dan

= −3. Sehingga

kestabilannya bersifat tidak stabil karena ada nilai eigen yang bernilai positif yaitu = 1. Dan untuk contoh 2 adalah

= 0+

dan

= 0 − . Sehingga

kestabilannya bersifat stabil karena bagian real dari nilai eigen kompleks adalah nol.

2.8

Metode Euler Metode Euler adalah salah satu dari metode satu langkah yang paling tua

dan paling sederhana dalam menyelesaikan persamaan diferensial. Penyelesaian persamaan diferensial biasa dengan metode Euler sangat sederhana, akan tetapi hasil penyelesaiannya sering merupakan penyelesaian pendekatan dengan nilai

11

error yang cukup besar, biasanya untuk mengurangi nilai errornya diambil partisi h yang cukup kecil, akan tetapi hal ini akan menambah jumlah iterasinya. Penyelesaian dengan metode Euler tidak perlu mencari turunan-turunan fungsi terlebih dahulu. Adapun rumus Euler dapat diperoleh sebagai berikut:[13] = ( ,

)

+1

+1

Gambar 2.1 Rumus Euler

Persamaan garis singgung

di titik ( , ) adalah: =

(2.12)

Atau =

= ( , )

(2.13)

Dan dari persamaan (2.12) dan (2.13) maka: = ( , ) − Karena

=(

−

−

). ( , )

= ℎ maka

=

+ ℎ ( ,

)

(2.14)

Maka persamaan (2.14) disebut rumus Euler. Dengan:

i

= 0,1,2,...,n = hampiran sekarang = hampiran sebelumnya

ℎ

= ukuran langkah

Sebagai contoh:[6] ( , ) = −2 dari 0 ≤

+ 12

− 20 + 8,5

≤ 1 dimana ℎ = 0.5 dan kondisi awal

yang diberikan adalah

= −0,5

+4

− 10

= 0 adalah

= 1. Fungsi asli

+ 8,5 + 1.

12

Sousli: Substitusi persamaan (2.14) untuk mendapatkan persamaan metode Euler. (0,5) = (0) + (0,1) ∗ 0,5 Dimana untuk mencari (0,1) adalah sebagai berikut: (0,1) = −2(0) + 12(0) − 20(0) + 8,5 = 8,5 sehingga (0,5) = 1,0 + 8,5(0,5) = 5,25 Solusi sebenarnya pada

= 0,5 adalah:

(0,5) = −0,5(0,5) + 4(0,5) − 10(0,5) + 8,5(0,5) + 1 = 3,21875 Jadi kesalahannya adalah: = sebenarnya – taksiran = 3,21875 − 5,25 = −2,03125. Artinya nilai kesalahannya besar. Untuk langkah kedua: (1,0) = (0,5) + (0.5, 5.25) ∗ 0,5 = 5,25 + [−2(0,5) + 12(0,5) − 20(0,5) + 8,5] ∗ 0.5 = 5,875 Solusi sebenarnya

= 1,0 adalah:

(1,0) = −0,5(1,0) + 4(1,0) − 10(1,0) + 8,5(1,0) + 1 = 3,00000 = sebenarnya – taksiran = 3,00000 − 5,875 = −2,875. Artinya nilai kesalahannya besar

Dalam metode Euler selesaian yang diperoleh berupa urutan nilai =

dengan

= 0, 1,2 , … , + 1. Jika urutan titik-titik ( ,

untuk

) tersebut

dihubungkan dengan segmen garis maka akan terbentuk bangun yang dinamakan rantai poligon. Untuk masalah nilai awal yang berbentuk:[13] = ( , , ) = ( , , ) ( )=

,

( )=

Maka rumus Euler untuk sistem berbentuk sebagai berikut: =

+ ( ,

, )ℎ, = 0, 1, 2, … ,

=

+ ( ,

, )ℎ = 0, 1, 2, … ,

Dengan

=

+ℎ

13

BAB III KESTABILAN TITIK TETAP MODEL VIROTHERAPY DAN RADIOVIROTHERAPY

Model yang akan dianalisis merupakan sebuah model yang dibangun berdasarkan pertumbuhan populasi sel tumor. Pada umumnya model pertumbuhan tumor tanpa perlakuan terapi dijelaskan oleh fungsi Gompertz. Model Gompertz diberikan dalam bentuk persamaan sebagai berikut:[10] ={

−

ln( )}

(3.1)

dengan: ( )= volume tumor pada waktu t = laju pertumbuhan intrinsik tumor (berkaitan dengan tingkat mitosis) = faktor pertumbuhan (berkaitan dengan proses antiangiogenic)

Namun untuk beberapa tumor yang lebih umum model Bertalanffy-Richard atau generalized logistic digunakan juga untuk menjelaskan pertumbuhan pada tumor. Model Bertalanffy-Richard diberikan dalam bentuk persamaan sebagai berikut:[2] ̇=

1−

(3.2)

dengan: ( ) = ukuran populasi sel tumor = laju konstan pertumbuhan efektif populasi sel tumor = parameter yang menyatakan ukuran maksimal populasi sel tumor. = parameter yang menyatakan bentuk karakteristik pertumbuhan tumor.

14

3.1

Model Virotherapy Menurut Bajzer dkk, pada model virotherapy mempertimbangkan tiga

interaksi populasi yaitu:[3] ( ) = sel tumor tidak terinfeksi pada waktu ( ) = sel tumor yang terinfeksi virus pada waktu ( ) = partikel virus bebas yang menginfeksi pada waktu pemodelan interaksi populasi sel tumor dan partikel virus dinyatakan dalam bentuk persamaan berikut:[3] −(

̇=

1−

̇=

−

̇ =

−(

+

)

+

(3.3) (3.4)

)

(3.5)

Dengan menggunakan metode Euler maka persamaan (3.3) sampai (3.5) menjadi ̇= lim∆

( )

( ) 1− ( →

∆ )

( )

∆

( )

= lim∆

−(

( )

( ) 1−

→

( ))

( ) ( )+ ( )

−(

( ) ( )+

( ))

Hilangkan limit pada kedua ruas sehingga diperoleh (

∆ ) ∆

( )

=

( ) 1−

( +∆ )− ( )= ( +∆ ) = ( )+

̇= lim

∆ →

( )

( ) 1−

( ) 1−

( ) ( )−

( )

( )

( ) ( )+

−( ( )

( )

( )

−(

( ) ( )+

( ) ( )∆ +

∆ −(

( ) ( )) ( ) ( )) ∆

( ) ( )∆

(3.6)

( )

( +∆ )− ( ) = lim ∆ → ∆

( ) ( )−

( )

Hilangkan limit kedua ruas sehingga diperoleh ( +∆ )− ( ) = ∆

( +∆ )− ( )=( ( +∆ ) = ( )+ ̇ = lim

∆ →

( )−(

( ) ( )−

( )

( ) ( )− ( ) ( )Δ −

( ) ( )+

( +∆ )− ( ) = lim ∆ → ∆

( ))Δ ( )Δ

(3.7)

( )) ( )−(

( ) ( )+

( ))

15


( )−(

( ) ( )+

( +∆ )− ( )=

( )−(

( +∆ )= ( )+

( )Δ − (

( ))

( ) ( )+

( ) Δ )

( ) ( )Δ +

( )Δ )

(3.8)

dengan: = laju pertumbuhan efektif sel yang tidak terinfeksi . = ukuran maksimal sel tumor. = laju infeksi. = laju sel yang bergabung. = laju kematian efektif sel yang terinfeksi. = laju virus yang mati. = laju produksi virus dari sel tumor yang terinfeksi.

K, r ,

y

δ

x

k

Gambar 3.1. Skema Diagram Model Virotherapy [2]

Gambar 3.1 di atas representasi model virotherapy pada persamaan (3.3) sampai persamaan (3.5). Garis panah berwarna merah menandakan populasi bertambah atau populasi berkurang, sedangkan garis putus-putus berwarna biru menunjukkan pengaruh. Populasi sel tumor yang tidak terinfeksi terus berkembang biak. Perkembangbiakan sel-sel ini terjadi karena pengaruh laju pertumbuhan efektif ( ), ukuran maksimal tumor ( ), dan parameter yang merupakan bentuk karakteristik pertumbuhan tumor ( ). Namun, perkembangbiakan tersebut diikuti 16

oleh laju infeksi

> 0 dan laju sel yang bergabung dengan sel yang terinfeksi

> 0 yang mengakibatkan sel tumor yang tidak terinfeksi akan berkurang, +

diberikan oleh penjumlahan

. Populasi sel tumor yang terinfeksi

bertambah karena dipengaruhi oleh laju infeksi. Setelah itu, beberapa sel tumor yang terinfeksi tersebut akan mengalami kematian karena pengaruh laju kematian efektif

> 0. Populasi partikel virus dapat berkembang biak karena pengaruh laju

produksi virus dari sel yang terinfeksi, dinyatakan dengan

( ) dimana

≥ 0.

Proses ini sama seperti populasi sel yang tidak terinfeksi, setelah berkembangbiak, populasi virus akan berkurang karena pengaruh laju infeksi dan laju virus yang ≥ 0.[2]

mati

Populasi awal untuk model virotherapy yaitu (0) =

(0) =

,

(0) = 0 dan

, semua parameter yang digunakan non negatif, ukuran tumor diukur

sebagai volume (dalam mm3) sedangkan dalam model ini menganggap jumlah populasi sel. Volume tumor dikonversi ke populasi sel dengan asumsi bahwa 1mm3 sama dengan 106 sel tumor. Model ini menyatakan jumlah populasi sel tumor dan virus dalam , ,

dalam satuan 106, dan model ini menganggap bahwa

semua unit waktu dinyatakan dalam hari. Untuk keberhasilan terapi model ini diperoleh ketika jumlah populasi tumor ( ) = ( ) + ( ) < 1 yang artinya sel tumor tidak terdeteksi.[3]

3.2

Model Radiovirotherapy Menurut Dingli, pada model Radiovirotherapy mempertimbangkan empat

interaksi populasi yaitu: [11] ( ) = sel tumor yang tidak terinfeksi dan tidak rusak oleh radiasi pada waktu ( ) = sel tumor yang terinfeksi juga tidak rusak oleh radiasi pada waktu ( ) = sel yang dirusak oleh radiasi pada waktu ( ) = populasi partikel virus pada waktu Pemodelan interaksi antara populasi sel tumor, virus dan terapi radiasi dinyatakan dalam bentuk persamaan sebagai berikut:[11] ̇=

1−

−(

+

)

(3.9)

17

̇=

−

−

(3.10)

̇ =

( + )−

(3.11)

̇ =

−

(3.12)

Dengan menggunakan metode Euler maka persamaan (3.9) sampai (3.12) menjadi ̇= lim∆

( )+ ( )+ ( )

( ) 1− ( →

∆ )

( )

∆

= lim∆

−(

( )+ ( )+ ( )

( ) 1−

→

( ) ( )+

( ))

−(

( ) ( )+

( ))

Hilangkan limit kedua ruas sehingga diperoleh ( +∆ )− ( ) = ∆ ( +∆ )− ( )= ( +∆ ) = ( )+

̇= lim

∆ →

( )+ ( )+ ( )

( ) 1− ( ) 1− ( ) 1−

( ) ( )−

( )

( )

( )

( )−

( +∆ )− ( ) = lim ∆ → ∆

( )

( )

( )

−(

( ) ( )+

−( ∆ −(

( ) ( )∆ +

( ) ( )+

( ))

( ) Δ ( )Δ )

(3.13)

( ) ( ) ( )−

( )−

( )


( ) ( )−

( )−

( +∆ )− ( )=

( ) ( )−

( +∆ ) = ( )+

( ) ( )Δ −

̇ =

( ( ) + ( )) −

lim

( +∆ )− ( ) = lim ∆ → ∆

∆ →

( )

( )

( )−

( ) Δ

( )Δ −

( )Δ

(3.14)

( )

( ( ) + ( )) −

( )

( )


( ( ) + ( )) −

( )

( +∆ )− ( ) =

( ( ) + ( )) −

( +∆ ) = ( )+

( )+ ( )

( )

( )

Δ −

( )

( )

Δ ( )

Δ

(3.15)

18

̇ = lim

∆ →

( )−

( )

( +∆ )− ( ) = lim ∆ → ∆

( )−

( )


( +∆ )− ( )=( ( +∆ )= ( )+

( )−

( )

( )−

( ))Δ

( )Δ −

( )Δ

(3.16)

dengan: = laju pertumbuhan efektif sel yang tidak terinfeksi. = ukuran maksimal sel tumor. = laju infeksi. = laju kematian efektif sel yang terinfeksi. = laju virus yang mati. = laju produksi virus dari sel tumor yang terinfeksi. = dosis radiasi yang diserap oleh sel. = tingkat kerusakan sel tumor. = laju kematian efektif sel yang telah rusak

K, r ,

y

k

u

x

Gambar 3.2. Skema Model Radiovirotherapy [11]

19

Gambar 3.2 di atas representasi model radiovirotherapy pada persamaan (3.9) sampai persamaan (3.12). Garis panah berwarna merah menandakan populasi bertambah atau populasi berkurang, sedangkan garis putus-putus berwarna biru menunjukkan pengaruh. Pada model ini laju infeksi virus ke sel tumor tak terinfeksi (

) hanya

merupakan pengaruh dari populasi partikel virus dan tidak ikut dalam persamaan populasi partikel virus. Begitu juga dengan laju produksi virus dari sel tumor yang terinfeksi

. Pada model radiovirotherapy ini,

menunjukkan populasi sel

tumor yang tidak terinfeksi dan tidak rusak oleh radiasi. Populasi partikel virus ditunjukkan oleh ,

menunjukkan populasi sel tumor yang terinfeksi juga tidak

rusak oleh radiasi, dan

merupakan populasi sel yang rusak akibat radiasi.[11]

Populasi sel tumor yang tidak terinfeksi dan tidak rusak oleh radiasi berkembangbiak karena pengaruh diikuti oleh laju infeksi akibat radiasi

terus

, , . Namun, perkembangbiakan tersebut

dan tingkat kerusakan sel tumor yang tidak terinfeksi

yang mengakibatkan populasi sel tumor yang tidak terinfeksi

akan berkurang. Untuk populasi sel tumor yang terinfeksi juga tidak rusak oleh radiasi

, populasinya terus bertambah karena dipengaruhi oleh laju infeksi.

Setelah itu, beberapa sel tumor yang terinfeksi tersebut akan mengalami kematian karena pengaruh laju kematian efektif terinfeksi akibat radiasi

dan tingkat kerusakan sel tumor yang

.[11]

Populasi partikel virus dapat berkembang biak karena pengaruh laju produksi virus dari sel yang terinfeksi, dinyatakan dengan

. Proses ini sama

seperti populasi sel yang tidak terinfeksi, setelah berkembangbiak, populasi virus akan berkurang karena pengaruh laju virus yang mati rusak akibat radiasi

. Dan populasi sel yang

akan terus bertambah karena pengaruh

+

. Setelah

itu akan mengalami kematian efektif sel yang rusak yang dinyatakan oleh .[11] Populasi awal untuk model radiovirotherapy yaitu (0) = 0, dan (0) =

(0) =

,

(0) = 0,

. Dan semua parameter yang digunakan non negatif,

ukuran tumor diukur sebagai volume (dalam mm3) sedangkan dalam model ini menganggap jumlah populasi sel. Volume tumor dikonversi ke populasi sel dengan asumsi bahwa 1mm3 sama dengan 106 sel tumor. Model ini menyatakan

20

jumlah populasi sel tumor dan virus dalam , , ,

dalam satuan 106, dan model

ini menganggap bahwa semua unit waktu dinyatakan dalam hari.[11]

3.3 Analisis Model Virotherapy 3.3.1 Menentukan Titik Tetap Model Virotherapy Titik tetap dari persamaan (3.3) sampai (3.5) akan diperoleh dengan menetapkan ̇ = 0, ̇ = 0, dan ̇ = 0, sehingga diperoleh persamaan-persamaan di bawah ini: −(

1− − −(

) = 0

+

= 0 +

(3.18)

) = 0

(3.19)

Dari persamaan (3.17) akan diperoleh nilai 1−

−(

+

)=0

1−

− (

+

) = 0

−(

+

) =0

1− =0∩

=(

1−

=0∩ 1−

=

=0∩

=1−

=0∩

=

=0∩

(

)

+

(

sebagai berikut:

)

)

=

=0∩

=

=0∩ =0∩

(3.17)

= =

−

21

Dari persamaaan (3.18) akan diperoleh nilai −

=0

−

=−

sebagai berikut:

= = Dari persamaan (3.19) akan diperoleh nilai sebagai berikut: −(

) = 0

+

− (

+

) = −

(

+

)=

(

+ )= = (

= 0 untuk mendapatkan nilai

Substitisi = = (

)

, karena nilai )

= 0 maka

=

= 0 dan

, karena nilai

Sehingga diperoleh titik tetap

( ,

Untuk memperoleh titik tetap

( )

dan =0

= 0 maka ,

( ,

)= ,

= (

( ) ( )

)

=0

(0,0,0)

) substitusi

= 0 dan

= 0 ke

persamaan berikut: =

− ( )

( )

=

− (0)

=

−0

=

−0 | |

= = =

−0 −0

(0) − 0

=1 −0 =

22


( ,

,

)=

Untuk memperoleh titik tetap

( ,

,

) maka dari persamaan (3.18) diperoleh

nilai

( , 0,0)

sebagai berikut: −

= 0 = =

(3.20)

Dari persamaan (3.19) diperoleh nilai

dengan mensubstitusikan persamaan

(3.20) sebagai berikut: −( −

−

−

=0

−

=0

=

−

=(

−

− =

=0

−

−

(

) = 0

+

(

=(

)

)

=

−

) (3.21)

)

Subsitusi persamaan (3.21) ke persamaan (3.20) sehingga diperoleh nilai =

=

= (

)

Dari persamaan

= (

(

)

=

(

)

(3.22)

)

(3.17) diperoleh nilai

dengan mensubtitusikan persamaan

(3.21) dan (3.22) sebagai berikut: −(

1− 1− (

(

− )

+

)=0

+

= =

)

1−

+

=0

1−

23

− (

−

= ( =

(

+

=

1−

+

)=

1−

)

1−

1−

)

sehingga diperoleh titik tetap

(

,

)=

,

(

)

,

(

)

1−

,

(

)

.

Jadi dengan menyelesaikan persamaan (3.17) sampai (3.19) diperoleh tiga titik tetap yaitu

(

Dimana untuk ,

(

)

(0,0,0),

(

, 0,0) dan

(

)

,

(

)

, 0,0) mewakili kegagalan terapi dan

1− (

, )

,

(

(

)

)

. 1−

mewakili keberhasilan terapi.[3]

3.3.2 Analisis Kestabilan Titik Tetap Model Virotherapy Untuk menganalisis kestabilan titik tetap model virotherapy hanya menganalisis dua titik tetap yaitu

dan

karena untuk menganalisis titik tetap

penyelesaiannya sangat kompleks. Misalkan persamaan (3.3) sampai persamaan (3.5) dituliskan sebagai berikut: −(

∶ ̇=

1−

∶ ̇=

−

∶ ̇=

−(

+

)

+

)

Dengan melakukan pelinearan terhadap persamaan

, ,

maka akan diperoleh

matriks Jacobi sebagai berikut:

= =

1− −

−( −

⎛ =⎜ ⎜ ⎜

⎞ ⎟ ⎟ ⎟

⎝

⎠

+

)

−

24

∶

=

= =−

+

=−

=−

+

= −

−

1−

=

−

−

=

=0 =−

=0

= 0 −

− )

+

=− +

− −

−(

− ∶

−

−

1−

=

−

−

= − =

=−

+

=−

−

= −

= −

−

=

1−

−(

+

=

−

−

−

)

= − =

−

=

=

−

=−

=

−

=

=

−(

=

−

+ −

) = −

25

=

−(

=

−

=

−(

=

−

+

)

−

=

+

)

−

=−

−

Sehingga diperoleh dalam matriks Jacobi sebagai berikut: 1−

=⎛

−1

+

+

−

−1

+

−

−

−

−

−

⎞

− −

⎝

−

− ⎠

(3.23)

Analisis Kestabilan di Titik Tetap Untuk memperoleh kestabilan sistem di titik tetap

substitusi

(0,0,0)

ke persamaan (3.23) sehingga diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut: ( , , )

= 0 0

0 −

0 0 −

Kemudian dicari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik ( det

det

( 0,0,0)

0 0 0 0

− 0 0

−

)=0 sehingga diperoleh:

0 −

0 0 −

0 −

0 0 −

0 − −

1 0 0

−

0 0 0 0

− 0 0

0 0 − −

0 0 1 0 0 1

=0

=0

=0

( − )(− − )(− − ) = 0 −

=0

− = − =

− −

=0

− −

=0

− =

− =

= −

= −

Sehingga diperoleh nilai eigennya sebagai berikut: =

=−

=−

26

Karena parameter yang digunakan non negatif, maka

1>0

dan

2

, 3<0. Sehingga

kestabilan titik tetapnya tidak stabil.

Analisis Kestabilan di Titik Tetap Untuk memperoleh kestabilan sistem di titik tetap

( , 0, 0)

substitusi

ke persamaan (3.23) maka diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut: − − − − 0 − ( , , ) = 0 − − Kemudian dicari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik (

( K ,0,0)

−

− 0 0

−

− 0 0

−

−

− 0 0 − − 0 0

)=0 sehingga diperoleh : − −

− − −

− −

− −

− − − − −

0 − 0 0 0

−

0 0 1

=0

0 0

=0

− =0 −

− −

− − − −

− )(− − )(−

[(−

)( − − )(0)] − [(−

− −

− )] + [(−

−

−

−

− )(− − )(−

− − 0 0

−

[(−

↔ [(−

1 0 0 1 0 0

− )( −

↔ (−

− )[(− − )(−

−

− ) − (

↔ (−

− )[

+

+

↔ (−

− )[

+

↔ (−

− )[

+( +

+ +

+

− ) −(−

+

−

+ ) +( − )

Dari persamaan di atas dimisalkan ( +

)(0)( ) −

)(0)(−

−

− )(

+

=0

)(0)] + [(−

− ) + 0 + 0] − [0 +(−

− )(− − )(−

+

)(

)( )] − [( −

↔ (−

−

− − − −

− )(

−

− )] = 0

)( ) + 0] = 0

)( ) = 0

)( )] = 0 −

]=0

+ +

]=0 ]=0

+ )=

dan ( − )

+

=

sehingga persamaan di atas dapat ditulis: ↔ (− −

− )[ −

+

+ ]=0

=0

− =

27

=− +

+

=0

Gunakan rumus pytaghoras untuk mendapatkan =

±√

,

=

±

,

=

±

dan

Sehingga diperoleh nilai eigen sebagai berikut: =− = =

( +

+ )

( +

+ )

( − )

+

( +

+ )

( +

+ )

( − )

+

Berdasarkan kondisi yang telah diperoleh maka sesuai dengan analisis kestabilan, titik tetap yang diperoleh dipengaruhi oleh laju kematian efektif sel yang terinfeksi ( ) dan laju produksi virus dari sel tumor yang terinfeksi ( ) sehingga harus diperiksa dari kondisi

> ,

<

dan

Untuk kasus yang pertama nilai parameter ,

,

= . >

akan menghasilkan

< 0, sehingga dari nilai-nilai eigen yang diperoleh kestabilan titik

tetapnya bersifat stabil. Kasus yang kedua nilai parameter menghasilkan

,

< 0 dan

<

akan

> 0 sehingga dari nilai-nilai eigen yang

diperoleh kestabilan titik tetapnya bersifat tidak stabil dan kasus yang ketiga nilai parameter

=

akan menghasilkan

,

,

< 0, sehingga dari nilai-nilai eigen

yang diperoleh kestabilan titik tetapnya bersifat stabil. Berdasarkan titik tetap yang diperoleh, laju kematian sel yang terinfeksi ( ) dan laju produksi virus dari sel yang terinfeksi ( ) mempengaruhi kestabilan titik tetapnya. Jadi untuk sedangkan untuk

dalam kondisi apapun kestabilannya bersifat tidak stabil dalam kondisi

sedangkan dalam kondisi

<

>

dan

=

kestabilannya bersifat stabil

kestabilannya bersifat tidak stabil.

28

3.5

Analisis Model Radiovirotherapy

3.5.1 Menentukan Titik Tetap Model Radiovirotherapy Titik tetap dari persamaan (3.9) sampai persamaan (3.12) akan diperoleh ̇ = 0,

dengan menetapkan

̇ = 0,

̇ = 0 dan

̇ = 0 sehingga diperoleh

persamaan-persamaan di bawah ini: −(

1− −

−

−

(3.24)

= 0

(3.25)

= 0

(3.26)

( + )−

) = 0

+

= 0

(3.27)

Dari persamaan (3.24) akan diperoleh nilai sebagai berikut: 1−

−(

+

1−

− (

+

) = 0

−(

+

) = 0

1−

) = 0

=0

(3.28) −(

1− − =

+

−

−

−

−

)=0 =0

=

= = =

=

−( + )

Dari persamaan (3.25) akan diperoleh nilai −

−

− ( +

(3.29) sebagai berikut:

= 0 ) = 0

29

− ( +

) = −

( +

) =

=(

)

(3.30)

Dari persamaan (3.26) akan diperoleh nilai ( + )−

sebagai berikut:

= 0

−

( + )

= −

( + )

=

(

=

)

Dari persamaan (3.27) akan diperoleh nilai −

= 0

−

= −


= =

(3.32)

Substitusi persamaan (3.32) ke persamaan (3.30). Maka diperoleh

sebagai

berikut: =(

)

=(

)

=

× (

)

= (

)=

+ +

(

+

−

=0

−

)=0

=(

)

Substitusi =

= 0 ke persamaan (3.32). Maka diperoleh

=

Substitusi

=0

=

( )

= 0 dan

sebagai berikut:

=0 = 0 ke persamaan (3.31). Maka diperoleh

sebagai

berikut: =

(

)

30

(

=

)

1 = = = = 0,

Substitiusi

= 0 dan

=

ke persamaan (3.29) maka diperoleh

sebagai berikut: =

−( + )

=

− (0 + )

=

−

+

= ( )

=

−

=

−


( ,

,

,

)=

⎛ ⎜

, 0,

⎞ , 0⎟

⎝ Untuk memperoleh titik tetap diperoleh −

( ,

,

,

) maka dari persamaan (3.25)

sebagai berikut: −

=

⎠

= 0

+

=

Dari persamaan (3.27) diperoleh −

=0

=


31

=

(3.34)

Dari persamaan (3.26) diperoleh ( + )−

sebagai berikut:

= 0

−

( + )

= −

( + )

= (

=

)

(

=

)

Dari persamaan (3.24) diperoleh −(

1− =

1−

+

sebagai berikut: ) = 0

−

= = Substitusi persamaan (3.34) ke persamaan (3.33) maka diperoleh nilai

sebagai

berikut:

=

= =

( +

)

Sehingga diperoleh titik tetap ( ,

,

,

)=

( +

),

(

,

)

,

Jadi dengan menyelesaikan persamaan (3.24) sampai (3.25) diperoleh dua titik tetap yaitu

⎛ ⎜ ⎝

, 0,

⎞ , 0⎟

dan

( +

),

,

(

)

,

.

⎠

32

3.5.2 Analisis Kestabilan Titik Tetap Model Radiovirotherapy Untuk analisis kestabilan titik tetap model radiovirotherapy hanya menganalisis titik tetap

karena untuk menganalisis titik tetap

penyelesaiannya sangat kompleks. Misalkan persamaan (3.6) sampai persamaan (3.9) dituliskan sebagai berikut: : ̇ =

1−

: ̇ =

−

−( −

)

+

( + )−

C: ̇ = : ̇ =

−

Dengan melakukan pelinearan terhadap persamaan , , ,

maka akan diperoleh

matriks Jacobi sebagai berikut:

= =

+

⎠

− =

=−

=− + å

= −

1− 1− −

)

+

=

=−

= −

=

⎝

−

∶

=

⎞ ⎟ ⎟ ⎟

−(

1− −

=

⎛ ⎜ =⎜ ⎜

− å

−

−

− −( −

=−

å

−

− â

− +

−

)

−

33

∶

=

=0

=− +

=−

=0 −

+

=−

−

= 0 −

= − =

−(

1−

=

−

−

∶

=

− =0

=− +

=−

=0 − å

= 0 −

= −

)

+

+

=−

−

å

=

1−

−(

=

−

−

+

)

−

=− =

−

−

=

=

−

−

= − −

=

−

−

= 0

=

−

−

=

=

( + )−

=

+

−

=

=

( + )−

=

+

−

=

=

( + )−

=

+

−

=−

=

34

=

( + )−

=

−

=0

=

−

=

=

−

=0

=

−

=−

=

+

−

=−

( )

Sehingga diperoleh dalam matriks Jacobi sebagai berikut: = ⎛ ⎜ ⎜

1−

−

−

−

−

− − −

⎝

−

⎞ ⎟ ⎟ − ( ) ⎠ −

0

0

0

(3.35)

Analisis Kestabilan Titik Tetap Untuk memperoleh kestabilan sistem di titik tetap

( ,

,

)=

,

⎛ ⎜

substitusi

⎞ ,0⎟ ke persamaan (3.35) dan

, 0,

⎝

⎠

= 1 (ada pertumbuhan tumor) sehingga diperoleh matriks Jacobi

memisalkan

sebagai berikut: 1− ⎛ ⎜ =⎜ ⎜ ⎝

+

+ 0

−

− − −

−

−

0 0

⎞ ⎟ ⎟ ⎟

0

0

− −

⎠

35

Kemudian dicari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik ⎛ ⎛ ⎜ ⎜

⎞ , 0⎟ −

, 0,

⎝ ⎝ 1−

⎛⎛ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜

2

⎞ ⎟ = 0 sehingga diperoleh:

⎠ −

+

+

−

−

0

⎠

−

−

− −

0 − 0

⎝⎝

0

1−

⎛⎛ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜

2

−

+

−

−

0

−

−

0

+

−

−

− −

0

1−

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

+

+

−

−

−

− −

0 0 1 0

0 0 0 1

⎠

⎞ ⎟ 0 0 ⎟ 0 0 ⎟ =0 0 ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟

0 0 0

⎠

−

−

0

−

−

0

−

0 1 0 0

⎞ ⎟ ⎟ ⎟− 0 0 ⎟ 0 ⎟ ⎟

0 −

2

1 0 0 0

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟=0 ⎟ ⎟ ⎟

⎠

−

0

⎝⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟− ⎟ ⎟ ⎟

⎠

−

−

0 − −

⎝

0

1−

2

+

+

−

−

−

0

−

⎠

− −

−

− −

−

−

0

−

− 0

=0

− − 0

−

−

⎡0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣0

− −

−

⎤ ⎥ ⎥ ⎥− ⎥ ⎥ ⎦

−

− − − −

0−

−

+0 −

2

1−

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1−

2

− −

+

+

−

−

0

−

(− −

(− −

(− −

+

−

−

−

2

− )(− − ) −

+

+( +

+( +

+

+

⎤ ⎥ ⎥=0 ⎥ ⎥ − − ⎦

− − −

−

−

−

+

+

−

− −

−

−

−0+0 = 0 − −

− )(− − ) −

− )(− − ) −

−

0

− − −

−

−

0

−

⎞ ⎟ ⎟ ⎟=0 ⎟ ⎟ ⎟

1−

+ ) −

+ ) −

−

−

2

−

+

−

+ −

+

−

+

2

2

+

+

−

−

2

−

− −

(− −

−

(− −

−

−

+

+

+

− )(− − ) −

+ −

−

− )(− − ) −

−

−

−

=0

=0

−

=0

+

+

+

=0

=0

=0

36

Misalkan ( + +

−

+ ) =

=

dan

maka persamaannya dapat ditulis

= 0. Gunakan rumus pytaghoras untuk mendapatkan

=

±√

,

=

±

,

=

±

dan

.

Sehingga diperoleh nilai eigen sebagai berikut: (

)

(

)

(

)

(

)

= = +

+

− − +

Misalkan

−

− −

persamaannya dapat ditulis mendapatkan =

±√

,

=

±√

,

=

±√

+ −

+

+

=0 =

dan

=

maka

= 0. Gunakan rumus pytaghoras untuk

dan

Sehingga diperoleh nilai eigen sebagai berikut:

=

=

Jadi dari titik tetap

⎛ ⎜

, 0,

⎝ (

)

(

⎞ , 0⎟ diperoleh nilai eigen berikut: ⎠

)

=

37

(

)

(

)

=

=

= Berdasarkan kondisi yang telah diperoleh maka sesuai dengan analisis kestabilan, titik tetap yang diperoleh dipengaruhi oleh dosis radiasi virus sehingga diperoleh nilai eigen

,

,

,

dan dosis

< 0,. Jadi kestabilan titik

tetapnya bersifat stabil.

38

BAB IV SIMULASI DAN PERBANDINGAN WAKTU KESTABILAN MODEL VIROTHERAPY DAN RADIOVIROTHERAPY UNTUK PENYAKIT TUMOR

Berikut akan dibahas perbandingan waktu kestabilan pada dinamika populasi pertumbuhan tumor dengan model virotherapy dan radiovirotherapy dengan mensubsitusikan nilai-nilai parameter terhadap model-model tersebut yang

sudah

diubah

dengan

menggunakan

metode

Euler

kemudian

mensimulasikannya yang diselesaikan menggunakan bantuan program Matlab.

4.1

Dinamika Populasi Pertumbuhan Tumor dengan Virotherapy Untuk mengamati pengaruh pertumbuhan populasi sel tumor dengan

virotherapy maka diperlukan kurva bidang solusi yang menunjukkan hubungan banyaknya populasi dengan variabel waktu. Solusi numerik menggunakan software Matlab dilakukan dengan mensubstitusikan nilai-nilai parameter ke persamaan (3.6) sampai (3.8) sehingga diperoleh hubungan antara populasi sel tumor yang tidak terinfeksi ( ), populasi sel terinfeksi virus ( ), dan populasi partikel virus ( ) berdasarkan analisis kestabialn titik tetapnya. Pengaruh yang signifikan pada model virotherapy ini adalah laju kematian sel yang terinfeksi ( ) dan laju produksi virus dari sel yang terinfeksi ( ).

4.1.1 Dinamika populasi untuk

>

Untuk menampilkan plot dinamika populasi untuk parameter yaitu 0.650,

= 0.206,

= 0.263, dan

= 127.950,

= 1000,

= 1.00,

>

= 0.01,

diambil nilai = 0.108,

=

= 0.15. Nilai awal yang diberikan pada kasus ini adalah

= 0, dan

= 15 dan ∆ = 0.01. Hasil simulasi dapat dilihat

pada Gambar 4.1 sampai Gambar 4.3 yang menunjukkan plot dinamika populasi untuk

> .

39

1100

P opulas i S el T um or T ak T erinfek s i

1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0

0

50

100 t

(a)

150

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⋮ 95 96 97 98 99

( ) 127,9500 83,2437 49,6948 35,9245 30,4495 28,7577 29,1511 30,9563 33,9200 37,9906 ⋮ 999,9993 999,9994 999,9995 999,9996 999,9997

100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 ⋮ 150

( ) 999,9997 999,9998 999,9998 999,9999 999,9999 999,9999 999,9999 999,9999 1000,0000 1000,0000 1000,0000 1000,0000 1000,0000 1000,0000 ⋮ 1000,0000

(b)

Gambar 4.1 Populasi Sel Tumor Yang Tidak Terinfeksi Ketika (a). Dalam Bentuk grafik (b).Dalam Bentuk Data

>

Gambar 4.1 menunjukkan saat laju kematian efektif sel yang terinfeksi yang dihasilkan lebih besar dari pada laju produksi virus dari sel tumor yang terinfeksi dan populasi awal sel tumor yang tidak terinfeksi ( ) yang diberikan 127,950 mm3. Maka populasi sel tumor yang tidak terinfeksi pada

= 6 hari

mengalami penurunan yaitu mencapai 29,1511 mm3 ini disebabkan karena pengaruh dari populasi partikel virus yang terus menyerang sel tumor yang tidak terinfeksi namun dengan seiring berjalannya waktu populasi partikel virus mengalami penurunan sehingga mengakibatkan populasi sel tumor yang tidak terinfeksi mengalami peningkatan secara terus menerus hingga mencapai titik stabil dan mencapai ukuran maksimal tumor dimulai pada saat = 108 hari yaitu 1000 mm3. Adapun data selengkapnya dapat dilihat di lampiran B-1.

40

7

Populasi Sel Tumor Terinfeksi Virus

6

5

4

3

2

1

0 0

50

100 t

150

0 1 2 3 4 5 ⋮ 20 21 22 23 24 25 26 27 28

( ) 0,0000 6,6738 5,3645 3,7397 2,5755 1,8154 ⋮ 0,0392 0,0280 0,0198 0,0139 0,0097 0,0068 0,0047 0,0032 0,0022

( ) 0,0015 0,0011 0,0007 0,0005 0,0003 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 0,00 00 0,0000 ⋮ 0,0000

2 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 ⋮ 150

(a) (b) Gambar 4.2 Populasi Sel Tumor Yang Terinfeksi Virus Ketika (a). Dalam Bentuk grafik (b).Dalam Bentuk Data

>

Gambar 4.2 menunjukkan saat laju kematian efektif sel yang terinfeksi yang dihasilkan lebih besar dari pada laju produksi virus dari sel tumor yang terinfeksi dan populasi awal sel tumor yang terinfeksi virus ( ) yang diberikan adalah 0 maka pada kasus ini populasi sel tumor yang terinfeksi virus mengalami penigkatan pada

= 1 hari mencapai 6,6738 mm3 ini disebabkan oleh populasi

sel tumor yang tidak terinfeksi mengalami penurunan pada awal terapi namun karena penurunan jumlah virus yang terus menerus sampai nol maka populasi sel tumor yang terinfeksi virus pun ikut menurun sampai titik stabil di nol dimulai pada saat

= 39 hari ini disebabkan karena populasi sel tumor yang tidak

terinfeksi mengalami peningkatan mencapai ukuran maksimal. Adapun data selengkapnya dapat dilihat di lampiran B-1.

41

P opulas i P artik el Virus

15

10

5

0

0

50

100

150

0 1 2 3 4 5 6 ⋮ 15 16 17 18 19 20

( ) 15,0000 5,1484 3,4578 2,8602 2,4195 2,0073 1,6219 ⋮ 0,0728 0,0451 0,0274 0,0164 0,0098 0,0058

21

2 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 ⋮ 150

( ) 0,0034 0,0020 0,0012 0,0007 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 ⋮ 0, 0000

(a)t (b) Gambar 4.3. Populasi Partikel Virus Ketika > (a). Dalam Bentuk grafik (b).Dalam Bentuk Data Gambar 4.3 menunjukkan saat laju kematian efektif sel yang terinfeksi yang dihasilkan lebih besar dari pada laju produksi virus dari sel tumor yang terinfeksi dan populasi partikel virus ( ) yang diberikan 15 maka pada kasus ini populasi partikel virus terus menyerang populasi sel tumor tidak terinfeksi sehingga populasi sel tumor tidak terinfeksi menurun namun karena populasi partikel virus ini terus menginfeksi sel tumor sehingga mengakibatkan populasi partikel virus terus menerus menurun dimulai pada saat = 30 hari mencapai titik stabil yaitu di nol. Adapun data selengkapnya dapat dilihat di lampiran B-1. Maka dari Gambar 4.1 sampai Gambar 4.3 ini mendekati pada titik tetap yang sesuai diharapkan pada teori sebelumnya yaitu

( ,

)=

,

( , 0,0) =

(1000, 0, 0) yaitu terkait dengan kegagalan terapi.


<

Untuk menampilkan plot dinamika populasi untuk parameter

yaitu

= 0.206,

0.263,

= 0.650, dan

adalah

= 127.950,

= 1000,

= 1.00,

<

= 0.01,

diambil nilai = 0.108,

=

= 0.15. Nilai awal yang diberikan pada kasus ini = 0, dan

= 15 dan ∆ = 0.01. Hasil simulasi dapat

dilihat pada Gambar 4.4 sampai Gambar 4.7 menunjukkan plot dinamika populasi untuk

< .

42

140

P opulas i S el Tum or T ak Terinfek s i

120 100 80 60 40 20 0 0

100

200

300 t

400

500

600

(a)

10 11 12 13 14 15 ⋮ 51 52 53 54 55 56

( ) 0,3281 0,2838 0,2590 0,2474 0,2454 0,2512 ⋮ 59,3986 63,7732 66,7381 67,7669 66,4619 62,6932

( )

0,1937 10,1937 10,1937 10,1937 10,1937 10,1937 10,1937 10,1938 10,1938 10,1938 10,1938 ⋮ 10,1938

560 561 562 563 564 565 570 571 572 573 574 ⋮ 600

(b)

Gambar 4.4 Populasi Sel Tumor Yang Tidak Terinfeksi Ketika (a). Dalam Bentuk grafik (b).Dalam Bentuk Data

<

Gambar 4.4 menunjukkan laju kematian efektif sel yang terinfeksi yang dihasilkan lebih kecil dari pada laju produksi virus dari sel tumor yang terinfeksi dan populasi awal sel tumor yang tidak terinfeksi ( ) yang diberikan 127.950 mm3 maka pada kasus ini populasi partikel virus menyerang populasi sel tumor tidak terinfeksi sehingga sel tumor yang tidak terinfeksi mula-mula mengalami penurunan terus mencapai nilai minimum pada

= 14 hari yaitu 0,2454 mm3,

namun meningkat kembali seiring berjalannya waktu mencapai 67,7669 mm3 pada = 54 hari, kemudian menurun lagi dan kemudian naik lagi. Meningkatnya populasi sel tak terinfeksi semakin bertambahnya waktu semakin kecil dan akhirnya populasi sel tumor tak terinfeksi mencapai titik stabil dimulai pada saat = 571 hari yaitu 10,1938 mm3. Adapun data selengkapnya dapat dilihat di lampiran B-2.

43

10

P opulas i S el Tum o r Terinfek s i V irus

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0

100

200

300 t

400

500

600

0 1 2 3 4 5 ⋮ 25 26 27 28 29 30

(a)

( ) 0,0000 8,8373 9,9656 9,2775 7,9723 6,5739 ⋮ 01243 0,1164 0,1111 0,1080 0,1068 0,1070

60 61 62 63 64 65 ⋮ 485 486 487

488 ⋮ 600

( ) 3,6859 3,8337 3,8678 3,7929 3,6277 3,3980 ⋮ 1,5215 1,5215 1,5216 1,5216 ⋮ 1,5216

(b)

Gambar 4.5. Populasi Sel Tumor Yang Terinfeksi Virus Ketika (a). Dalam Bentuk grafik (b).Dalam Bentuk Data

<

Gambar 4.5 menunjukkan laju kematian efektif sel yang terinfeksi yang dihasilkan lebih kecil dari pada laju produksi virus dari sel tumor yang terinfeksi dan populasi awal sel tumor yang terinfeksi virus ( ) yang diberikan adalah 0 maka pada kasus ini populasi partikel virus menyerang populasi sel tumor tidak terinfeksi sehingga sel tumor yang terinfeksi mengalami peningkatan mencapai nilai maksimum

pada

terus

= 2 hari yaitu 9,9656 mm3, kemudian

populasinya menurun mencapai nilai minimum pada

= 29 hari yaitu 0,1068

mm3 namun meningkat kembali seiring berjalannya waktu mencapai 3,8678 mm3 pada

= 62 hari kemudian menurun lagi dan kemudian naik lagi. Setiap terjadi

penurunan populasi sel tumor yang tak terinfeksi, maka populasi sel yang terinfeksi akan meningkat. Begitu juga sebaliknya, jika populasi sel yang tak terinfeksi mulai meningkat, maka akan terjadi penurunan pada populasi sel tumor yang terinfeksi. Meningkatnya populasi sel terinfeksi semakin bertambahnya waktu semakin kecil dan akhirnya populasi sel tumor terinfeksi mencapai titik stabil pada saat = 487 hari yaitu 1,5216 mm3. Adapun data selengkapnya dapat dilihat di lampiran B-2.

44

18 16

Populas i Partik el Virus

14 12 10 8 6 4 2 0 0

100

200

300 t

400

500

600

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

( ) 15,0000 6,9629 8,4495 11,4119 14,1440 16,0814 17,1456 17,4580 17,1939 16,5214 15,5810

41 42 43 44 45 ⋮ 543 544 545 ⋮ 600

( ) 0,5440 0,5244 0,5123 0,5074 0,5100 ⋮ 3,9 56 3,9256 3,9257 ⋮ 3,9257

(a) (b) Gambar 4.6. Populasi Partikel Virus Ketika < (a). Dalam Bentuk grafik (b).Dalam Bentuk Data Gambar 4.6 menunjukkan laju kematian efektif sel yang terinfeksi yang dihasilkan lebih kecil dari pada laju produksi virus dari sel tumor yang terinfeksi dan populasi awal partikel virus ( ) yang diberikan adalah 15 maka pada kasus ini populasi partikel virus menyerang populasi sel tumor tidak terinfeksi sehingga populasi partikel virus mula-mula mengalami penurunan pada

= 1 hari yaitu

6,9629, kemudian populasinya kembali meningkat mencapai nilai maksimum pada

= 7 hari yaitu 17,4580 ini disebabkan karena populasi sel tumor tak

terinfeksi mengalami penurunan, namun menurun kembali seiring berjalannya waktu mencapai 0,5074 pada saat

= 44 hari, kemudian meningkat lagi dan

kemudian turun lagi. Setiap terjadi penurunan populasi sel tumor yang tak terinfeksi, maka populasi partikel virus akan meningkat. Begitu juga sebaliknya, jika populasi sel yang tak terinfeksi mulai meningkat, maka akan terjadi penurunan pada populasi partikel virus. Meningkatnya populasi partikel virus semakin bertambahnya waktu semakin kecil dan akhirnya populasi partikel virus mencapai titik stabil dimulai pada saat

= 545 hari yaitu 3,9257. Adapun data

selengkapnya dapat dilihat di lampiran B-2.

45

140 Populasi Sel Tumor Tak Terinfeksi Populasi Sel Tumor Terinfeksi Virus Populasi Partikel Virus

120

100

80

60

40

20

0

0

100

200

300 t

400

500

600

Gambar 4.7. Dinamika Populasi , , Terhadap Waktu Ketika

<

Dari Gambar 4.4 sampai Gambar 4.7 menunjukkan saat laju kematian efektif sel yang terinfeksi yang dihasilkan lebih kecil dari pada laju produksi virus dari sel tumor yang terinfeksi dan populasi awal sel tumor yang tidak terinfeksi ( ) yang diberikan 127.950 mm3, populasi awal tumor terinfeksi virus ( ) yang diberikan 0 dan populasi partikel virus ( ) yang diberikan 15 maka pada kasus ini populasi partikel virus menyerang populasi sel tumor tidak terinfeksi sehingga sel tumor yang tidak terinfeksi mula-mula mengalami penurunan terus mencapai nilai minimum pada

= 14 hari yaitu 0,2454 mm3, namun meningkat kembali seiring

berjalannya waktu mencapai 67,7669 mm3 pada

= 54 hari, ini disebabkan oleh

sel terinfeksi maupun populasi virus mengalami penurunan. Namun pada jangka panjang populasi sel tumor tak terinfeksi, sel tumor terinfeksi, dan populasi partikel virus berisolasi lagi secara periodik. Setiap terjadi penurunan populasi sel tumor yang tak terinfeksi, maka populasi virus akan meningkat bersamaan dengan meningkatnya populasi sel yang terinfeksi. Begitu juga sebaliknya, jika populasi sel yang tak terinfeksi mulai meningkat, maka akan terjadi penurunan pada populasi virus dan populasi sel tumor yang terinfeksi. Meningkatnya populasi sel tak terinfeksi, sel terinfeksi, dan populasi virus semakin bertambahnya waktu semakin kecil sehingga untuk populasi sel tumor tak terinfeksi mulai stabil pada

46

= 571 hari yaitu 10,1938 mm3, untuk poluasi sel tumor terinfeksi mulai

saat

stabil pada saat

= 487 hari yaitu 1,5216 mm3 dan untuk populasi virus mulai

stabil pada saat

= 545 hari yaitu 3,9257. Maka sistem ini mendekati titik tetap

sesuai (

yang )

,

(

kita

harapkan 1−

)

pada ,


(

)

teori =

= 0.650, dan = 127.950,

yaitu

(10.1938, 1.5216, 3.9257).

=

Untuk menampilkan plot dinamika populasi untuk parameter yaitu = 0.206,

sebelumnya

= 1000,

= 1.00,

= 0.01,

=

diambil nilai

= 0.108,

= 0.650,

= 0.15.. Nilai awal yang diberikan pada kasus ini adalah = 0, dan

= 15 dan ∆ = 0.01. Hasil simulasi dapat dilihat

pada Gambar 4.8 sampai Gambar 4.10 menunjukkan plot dinamika populasi untuk = .

1100

P o p u la s i S e l T u m o r T a k T e rin f e k s i

1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0

0

200

400

600

800

1000 t

(a)

1200

1400

1600

1800

2000

( ) 0 127,9500 1 81,5142 2 43,8917 3 27,1180 4 19,4077 5 15,6131 6 13,6931 7 12,7826 8 12,4844 9 12,6051 10 13,0479

1725 1726 1727 1728 1729 1730 1731 1732 1733

( ) 999,9999 999,9999 999,9999 999,9999 999,9999 1000,0000 1000,0000 1000,0000 1000, 0000

⋮

⋮

2000 1000,0000 (b)

Gambar 4.8. Populasi Sel Tumor Yang Tidak Terinfeksi Virus Ketika (a). Dalam Bentuk grafik (b).Dalam Bentuk Data

=

Gambar 4.8 menunjukkan saat laju kematian efektif sel yang terinfeksi yang dihasilkan sama dengan laju produksi virus dari sel tumor yang terinfeksi dan populasi awal sel tumor yang tidak terinfeksi ( ) yang diberikan 127,950 mm3. Maka populasi sel tumor yang tidak terinfeksi mengalami penurunan pada = 8 hari yaitu 12,4844 mm3 ini disebabkan karena pengaruh dari populasi 47

partikel virus yang terus menyerang sel tumor yang tidak terinfeksi namun dengan seiring berjalannya waktu populasi partikel virus mengalami penurunan sehingga mengakibatkan populasi sel tumor yang tidak terinfeksi mengalami peningkatan secara terus menerus hingga mencapai titik stabil dan mencapai ukuran maksimal tumor dimulai pada saat

= 1730 hari yaitu 1000 mm3. Adapun data


8

Populasi Sel Tumor Terinfeksi Virus

7 6 5 4 3 2 1 0

0

200

400

600

800

1000 t

1200

1400

1600

1800

2000

(a)

0 1 2 3 4 5 ⋮ 1025 1026 1027 1028

( ) 0,0000 7,1073 6,3912 4,9469 3,7154 2,8071 ⋮ 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001

1029 1030 1031 1032 1033 1034 1035 1036 1037 ⋮ 2000

( ) 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0, 0000 ⋮ 0,0000

(b)

Gambar 4.9. Populasi Sel Tumor Yang Terinfeksi Virus Ketika (a). Dalam Bentuk grafik (b).Dalam Bentuk Data

=

Gambar 4.9 menunjukkan saat laju kematian efektif sel yang terinfeksi yang dihasilkan sama dengan laju produksi virus dari sel tumor yang terinfeksi dan populasi awal sel tumor yang terinfeksi virus ( ) yang diberikan adalah 0 maka pada kasus ini populasi sel tumor yang terinfeksi virus mengalami penigkatan pada

= 1 hari mencapai 7,1073 mm3 ini disebabkan oleh populasi

sel tumor yang tidak terinfeksi mengalami penurunan pada awal terapi namun karena penurunan jumlah virus yang terus menerus sampai nol maka populasi sel tumor yang terinfeksi virus pun ikut menurun sampai titik stabil di nol dimulai pada saat

= 1031 hari ini disebabkan karena populasi sel tumor yang tidak

terinfeksi mengalami peningkatan mencapai ukuran maksimal tumor. Adapun data selengkapnya dapat dilihat di lampiran B-3.

48

Populasi Partikel Virus

15

10

5

0

0

200

400

600

800

1000 t

1200

1400

1600

1800

2000

0 1 2 3 4 5 6 ⋮ 720 721 722

( ) 15,0000 6,5103 6,2909 6,7558 6,9547 6,8258 6,4636 ⋮ 0,0001 0,0001 0,0001

(a)

723 724 725 726 72 728 729 730 731 ⋮ 2000

( ) 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 ⋮ 0,0000

(b)

Gambar 4.10. Populasi Partikel Virus Ketika = (a). Dalam Bentuk grafik (b).Dalam Bentuk Data Gambar 4.10 menunjukkan saat laju kematian efektif sel yang terinfeksi yang dihasilkan sama dengan laju produksi virus dari sel tumor yang terinfeksi dan populasi partikel virus ( ) yang diberikan 15 maka pada kasus ini populasi partikel virus terus menyerang populasi sel tumor tidak terinfeksi sehingga populasi sel tumor tidak terinfeksi menurun namun karena populasi partikel virus ini terus menginfeksi sel tumor sehingga mengakibatkan populasi partikel virus terus menerus menurun sehingga mencapai titik stabil dimulai pada saat

= 727

yaitu di nol. Adapun data selengkapnya dapat dilihat di lampiran B-3.

Maka dari Gambar 4.8 sampai Gambar 4.10 ini mendekati pada titik tetap yans sesuai diharapkan pada teori sebelumnya yaitu

( ,

,

)=

( , 0,0) =

(1000,0,0) terkait dengan kegagalan terapi. Pada kasus laju kematian efektif sel yang terinfeksi dihasilkan sama dengan laju produksi virus dari sel tumor yang terinfeksi hampir sama dengan kasus laju kematian efektif sel yang terinfeksi yang dihasilkan lebih besar dari pada laju produksi virus dari sel tumor yang terinfeksi, namun pada kasus ini populasi sel tumor tak terinfeksi lebih lama mencapai ukuran maksimal tumor yaitu pada kasus

>

= 1730 hari sedangkan pada

sel tumor tak terinfeksi lebih cepat mencapai ukuran maksimal

tumor yaitu pada = 108 hari.

49

4.1.4 Dinamika Populasi Keberhasilan Terapi Untuk menampilkan plot dinamika populasi untuk keberhasilan terapi pada = 0.206, = 1000,

model virotherapy diambil nilai parameter yaitu 1.00,

= 0.01,

= 0.108,

= 0.263,

yang diberikan pada kasus ini adalah

= 0.650, dan = 127.950,

=

= 0.15. Nilai awal

= 0,

= 65 dan ∆ =

0.01. Hasil simulasi dapat dilihat pada Gambar 4.11 sampai Gambar 4.15 menunjukkan plot keberhasilan terapi.

140

Populasi Sel Tumor Tak Terinfeksi

120 100 80 60 40 20 0 0

10

20

30

40

50

60

t

0 1 2 3 4 ⋮ 10 11 12 13 14

( ) 127,9500 12,2915 0,7861 0,0806 0,0127 ⋮ 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

(a)

27 28 29 30 ⋮ 55 56 57 58 59 60

( ) 0,0000 0,0001 0,0001 0,0001 ⋮ 0,0117 0,0144 0,0177 0,0217 0,0267 0,0328

(b)

Gambar 4.11. Populasi Sel Tumor Yang Tidak Terinfeksi Untuk Keberhasilan Terapi (a). Dalam Bentuk grafik (b).Dalam Bentuk Data

Gambar 4.11 menunjukkan keberhasilan terapi dimana populasi awal tumor yang tidak terinfeksi ( ) yang diberikan adalah 127,950 mm3 maka pada kasus ini populasi sel tumor yang tidak terinfeksi menurun mencapai nilai minimun pada saat

= 11 hari yaitu nol, ini disebabkan oleh populasi partikel

virus yang terus menyerang populasi sel tumor yang tidak terinfeksi, namun karena kondisi yang digunakan adalah

<

maka dimulai pada saat

= 28

3

meningkat kembali yaitu 0,0001 mm , jika populasinya jangka panjang maka akan berisolasi secara periodik. Adapun data selengkapnya dapat dilihat di lampiran B-4.

50

Populasi Sel Tum or Terinfeksi Virus

25

20

15

10

5

0

0

10

20

30 t

40

50

60

0 1 2 3 4 5 ⋮ 10 11 12 13 14

( ) 0,0000 24,7559 20,4885 15,8692 12,2110 9,3863 ⋮ 2,5162 1,9336 1,4860 1,1419 0,8776

(a)

15 16 17 ⋮ 49 50 51 52 53 54 ⋮ 60

( ) 0,6744 0,5182 0,3983 ⋮ 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 ⋮ 0,0000

(b)

Gambar 4.12. Populasi Sel Tumor Yang Terinfeksi Virus Untuk Keberhasilan Terapi (a). Dalam Bentuk grafik (b).Dalam Bentuk Data

Gambar 4.12 menunjukkan keberhasilan terapi dimana populasi awal untuk populasi sel tumor yang terinfeksi virus ( ) yang diberikan adalah 0, kemudian populasi sel tumor yang terinfeksi virus ini meningkat pada = 1 hari yaitu 24,7559 mm3, tetapi karena pengaruh penurunan populasi partikel virus maka populasi sel tumor yang terinfeksi juga ikut menurun mencapai nol pada = 53 hari. Namun karena kondisi yang digunakan adalah

<

maka pada

jangka panjang populasinya akan berisolasi secara periodik. Adapun data selengkapnya dapat dilihat di lampiran B-4.

70

Populas i Partikel Virus

60 50 40 30 20 10 0 0

10

20

30 t

40

50

60

0 1 2 3 4 5 ⋮ 30 31 32 33 34

( ) 65,0000 40,7872 47,3149 51,4993 52,7209 51,8419 ⋮ 2,4076 2,0788 1,7944 1,5483 1,3365

35 36 37 38 39 40 ⋮ 56 57 58 59 60

( ) 1,1519 0,9931 0,8561 0,7379 0,6359 0,5479 ⋮ 0,0501 0,0431 0,0371 0,0319 0,0275

(a) (b) Gambar 4.13. Populasi Partikel Virus Untuk Keberhasilan Terapi (a). Dalam Bentuk grafik (b).Dalam Bentuk Data

51

Gambar 4.13 menunjukkan keberhasilan terapi dimana populasi awal untuk populasi partikel virus ( ) yang diberikan adalah 65, maka pada kasus ini populasi partikel virus terus menyerang populasi sel tumor tak terinfeksi sehingga pada awal terapi populasi partikel virus ini menurun mencapai 40,7872 pada saat = 1 hari, kemudian meningkat kembali mencapai 52,7209 pada saat

= 4 hari

ini disebabkan karena populasi sel tumor tak terinfeksi mengalami penurunan namun seiring dengan berjalannya waktu populasi partikel virus ini akan mengalami penurunan kembali mencapai 0,0275 pada = 60 hari. Namun karena <

kondisi yang digunakan adalah

maka pada jangka panjang populasinya

akan berisolasi secara periodik. Adapun data selengkapnya dapat dilihat di lampiran B-4.

140

Jumlah Populasi Sel Tumor

120 100 80 60 40 20 0 0

10

20

30

40

50

t

(a)

60

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

( ) 127,9500 37,4260 21,3449 15,9929 12,2560 9,4144 7,2341 5,5591 4,2720 3,2830 2,5229

11 12 13 14 15 16 17 18 19 ⋮ 60

( ) 1,9388 1,4899 1,1450 0,8799 0,6762 0,5196 0,3993 0,3069 0,2358 ⋮ 0,0327

(b)

Gambar 4.14. Jumlah Populasi Sel Tumor Untuk Keberhasilan Terapi (a). Dalam Bentuk grafik (b).Dalam Bentuk Data Gambar 4.14 menunjukkan jumlah populasi sel tumor untuk keberhasilan terapi yaitu

( ) = ( ) + ( ). Maka Sesuai yamg telah dijelaskan pada bab

sebelumnya bahwa terapi ini dikatakan berhasil ketika jumlah populasi sel tumor yaitu ( ) = ( ) + ( ) < 1 artinya sel tumor tidak terdeteksi maka pada hari ke-14 terapi ini dikatakan berhasil karena

(14) = 0,8799 mm3 . Namun pada

jangka panjang populasinya berisolasi secara periodik karena kondisi yang digunakan yaitu

< . Adapun data selengkapnya dapat dilihat di lampiran B-4.

52

140 y = Populasi Sel Tumor Tak Terinfeksi x = Populasi Sel Tumor Terinfeksi Virus v = Populasi Partikel Virus u = Jumlah Populasi Sel Tumor

120 100 80 60 40 20 0 0

10

20

30

40

50

60

t

Gambar 4.15. Dinamika Populasi , , ,

Terhadap Waktu Untuk Keberhasilan Terapi

Dari Gambar 4.11 sampai Gambar 4.15 menunjukkan keberhasilan terapi dimana populasi awal tumor yang tidak terinfeksi ( ) yang diberikan adalah 127,950 mm3, populasi awal sel tumor yang terinfeksi virus ( ) yang diberikan adalah 0 dan populasi awal partikel virus ( ) yang diberikan adalah 65 maka pada kasus ini populasi partikel virus terus menyerang populasi sel tumor tak terinfeksi sehingga populasi sel tumor yang tidak terinfeksi menurun mencapai nilai minimum pada saat

= 11 hari yaitu 0 sedangkan untuk populasi sel tumor yang

terinfeksi virus mengalami peningkatan pada saat

= 1 hari yaitu mencapai

24,7559 mm3, dan untuk populasi partikel virus pada awal terapi menurun mencapai 40,7872 pada saat 52,7209 pada saat

= 1 hari, kemudian meningkat kembali mencapai

= 4 hari ini disebabkan karena populasi sel tumor tak

terinfeksi mengalami penurunan namun seiring dengan berjalannya waktu populasi partikel virus ini akan mengalami penurunan kembali mencapai 0,0275 pada saat

= 60 hari, sehingga populasi sel tumor yang terinfeksi juga ikut

menurun mencapai nol pada saat

= 53 hari. Sesuai yamg telah dijelaskan pada

bab sebelumnya bahwa terapi ini dikatakan berhasil ketika jumlah populasi sel tumor yaitu

( ) = ( ) + ( ) < 1 maka pada hari ke-14 terapi ini dikatakan

berhasil karena (14) = 0,8799 mm3. Namun pada jangka panjang populasinya berisolasi secara periodik karena kondisi yang digunakan yaitu

< .

53

4.2

Dinamika Populasi Pertumbuhan Tumor dengan Radiovirotherapy Untuk mengamati pengaruh pertumbuhan populasi sel tumor dengan

radiovirotherapy maka diperlukan kurva bidang solusi yang menunjukkan hubungan populasi dengan variabel waktu. Solusi numerik menggunakan software Matlab dilakukan dengan mensubstitusikan nilai-nilai parameter ke persamaan (3.13) sampai (3.16) sehingga diperoleh hubungan antara populasi sel tumor yang tidak terinfeksi dan tidak rusak oleh radiasi ( ), populasi sel tumor yang terinfeksi juga tidak rusak oleh radiasi ( ), populasi sel yang rusak akibat radiasi ( ) dan populasi partikel virus ( ), berdasarkan analisis kestabialn titik tetapnya. Untuk menampilkan plot dinamika populasi pertumbuhan tumor dengan radiovirotherapy diambil nilai parameter yaitu = 0.206, = 0.01,

= 0.650,

= 0.263,

= 0.07,

= 1000,

= 0.15, = 1.5 dan

awal yang diberikan pada kasus ini adalah

= 127.950,

= 0,

= 1.00,

= 1.3. Nilai = 0,

=5

dan ∆ = 0.01. Hasil simulasi dapat dilihat pada Gambar 4.16 sampai Gambar

Populasi Sel Tumor Tak Terinfeksi dan Tak Rusak Radiasi

4.20.

900 800 700 600 500 400 300 200 100

0

500

(a)t

1000

1500

0 1 2 3 4 ⋮ 25 26 27 28 29 30

( ) 127,9500 146,8439 170,9846 199,2201 231,2037 ⋮ 831,4323 832,8566 832,9151 831,8226 829,7661 826,9068

1164 1165 1166 1167 1168 1169 1170 1171 1172 1173 ⋮ 1500

( ) 142,8572 142,8572 142,8571 142,8571 142,8571 142,8571 142,8571 142,8571 142,8571 142,8571 ⋮ 142,8571

(b)

Gambar 4.16. Populasi Sel Tumor Yang Tidak Terinfeksi dan Tidak Rusak Oleh Radiasi (a). Dalam Bentuk grafik (b).Dalam Bentuk Data

Gambar 4.16 menunjukkan populasi sel tumor yang tidak terinfeksi dan tidak rusak oleh radiasi ( ) dimana populasi awal yang diberikan adalah 127,950 mm3 kemudian pada awal pengobatan mengalami kenaikan secara terus menerus hingga

= 27 hari yaitu mencapai 832,9151 mm3 ini disebabkan karena dosis

54

radiasi yang diberikan yaitu

= 0.07 yang dikombinasikan dengan dosis virus

nya yaitu 5 namun seiring dengan berjalannya waktu populasi sel tumor yang tidak terinfeksi juga tidak rusak oleh radiasi mengalami penurunan mencapai titik stabil di 142,8571 mm3 dimulai pada saat

= 1166 hari ini disebabkan karena

populasi partikel virus dan dosis radiasi terus menyerang sel tumor tersebut.

Populasi S el Tumor Terinfeksi dan Tidak Rusak Radiasi

Adapun data selengkapnya dapat dilihat di lampiran B-5.

1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

50

100

150 t

(a)

200

250

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

( ) 0,0000 1,6429 0,9761 0,5048 0,2637 0,1437 0,0824 0,0498 0,0317 0,0213 0,0150

60 61 62 63 64 65 66 67 68 ⋮ 250

( ) 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000 ⋮ 0,0000

(b)

Gambar 4.17. Populasi Sel Tumor Yang Terinfeksi Juga Tidak Rusak Oleh Radiasi (a). Dalam Bentuk grafik (b).Dalam Bentuk Data

Gambar 4.17 menunjukkan populasi sel tumor yang terinfeksi dan tidak rusak oleh radiasi ( ) dimana populasi awal yang diberikan adalah 0, kemudian pada awal pengobatan mengalami peningkatan pada saat = 1 hari yaitu 1,6429 mm3 kemudian populasinya menurun hingga mencapai stabil di nol dimulai pada saat

= 68 hari hal ini sejalan dengan populasi partikel virus. Ini disebabakan

karena populasi partikel virus yang menyerang populasi sel tumor yang tidak terinfeksi juga tidak rusak oleh radiasi sehingga populasi sel tumor tersebut menurun dan mencapai titik stabilnya. Adapun data selengkapnya dapat dilihat di lampiran B-5.

55

900

Populasi Sel Rusak Akibat Radiasi

800 700 600 500 400 300 200 100 0

0

500

1000

1500

0 1 2 3 4 5 ⋮ 1086 1087 1088 1089

( ) 0,0000 0,9171 1,1011 1,4222 2,0364 3,0269 ⋮ 806,1719 806,1719 806,1719 806,1719

1090 1091 1092 1093 1094 1095 1096 1097 1098 ⋮ 1500

( ) 806,1719 806,1720 806,1720 806,1720 806,1720 806,1720 806,1720 806,1720 806,1720 ⋮ 806,1720

t

(a)

(b)

Gambar 4.18. Populasi Sel Yang Rusak Akibat Radiasi (a). Dalam Bentuk grafik (b).Dalam Bentuk Data Gambar 4.18 menunjukkan populasi sel yang rusak akibat radiasi ( ) dimana populasi awal yang diberikan adalah 0, kemudian populasi sel yang rusak akibat radiasi ini mengalami penigkatan secara terus menerus hingga mencapai = 1091 hari, ini disebabkan

titik stabil yaitu di 806,1720 dimulai pada saat

karena dosis radiasi yang terus menyerang sel tumor yang tidak terinfeksi dan tidak rusak oleh radiasi sehingga sel tumor tersebut mencapai titik stabilnya. Adapun data selengkapnya dapat dilihat di lampiran B-5.

5 4.5

0 1 2 3 4 5 ⋮ 51 52 53 54

P o pulas i P artik e l V irus

4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

0

50

100

150

200

( ) 5,0000 1,5697 0,6081 0,2631 0,1222 0,0604 ⋮ 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001

55 56 57 58 59 60 61 62 63 ⋮ 250

( ) 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 ⋮ 0,0000

250

t

(a)

(b)

Gambar 4.19. Populasi Partikel Virus (a). Dalam Bentuk grafik (b).Dalam Bentuk Data

56

Gambar 4.19 menunjukkan populasi partikel virus ( ) dimana populasi awal yang diberikan adalah 5, karena populasi partikel virus ini terus menyerang populasi sel tumor yang tidak terinfeksi juga tidak rusak oleh radiasi sehingga mengakibatkan populasi partikel virus terus menerus menurun hingga stabil di nol dimulai pada saat

= 60 hari. Adapun data selengkapnya dapat dilihat di

lampiran B-5.

900 800 700

Populasi Populasi Populasi Populasi

600 500

Sel Tumor Tak Terinfeksi dan Tak Rusak Radiasi Sel Tumor Terinfeksi Tidak Rusak Radiasi Sel Rusak Akibat Radiasi Partikel Virus

400 300 200 100 0

0

500

1000

1500

t

Gambar 4.20. Dinamika Populasi , . , Terhadap waktu . Dari Gambar 4.16 sampai Gambar 4.20 menunjukkan simulasi model radiovirotherapy dimana populasi awal untuk sel tumor yang tidak terinfeksi dan tidak rusak oleh radiasi ( ) yang diberikan adalah 127,950 mm3, populasi awal sel yang terinfeksi tidak rusak oleh radiasi ( ) yang diberikan adalah 0, populasi awal sel yang rusak akibat radiasi ( ) yang diberikan adalah 0 dan populasi awal partikel virus ( ) yang diberikan adalah 5. Maka pada kasus ini populasi sel tumor yang tidak terinfeksi dan tidak rusak oleh radiasi pada awal pengobatan mengalami kenaikan secara terus menerus hingga

= 27 hari yaitu mencapai

832,9151 ini disebabkan karena dosis radiasi yang diberikan yaitu

= 0.07 yang

dikombinasikan dengan dosis virus nya yaitu 5 namun seiring dengan berjalannya waktu populasi sel tumor yang tidak terinfeksi juga tidak rusak oleh radiasi mengalami penurunan mencapai titik stabil di 142,8571 mm3 dimulai pada saat = 1166 hari ini disebabkan karena populasi partikel virus dan dosis radiasi terus menyerang sel tumor tersebut.

57

Begitu pula dengan populasi sel yang rusak akibat radiasi populasinya meningkat terus seiring berjalannya waktu dan stabil yaitu di 806,1720 dimulai = 1091 hari, ini disebabkan karena dosis radiasi yang terus

pada saat

menyerang sel tumor yang tidak terinfeksi dan tidak rusak oleh radiasi sehingga sel tumor tersebut mencapai titik stabilnya. Berbeda dengan populasi sel tumor yang terinfeksi dan tidak rusak oleh radiasi setelah mengalami peningkatan pada = 1 hari yaitu mencapai 1,6429 mm3 kemudian populasinya menurun

saat

hingga mencapai stabil di nol dimulai pada saat

= 68 hari, ini disebabakan

karena populasi partikel virus yang menyerang populasi sel tumor yang tidak terinfeksi juga tidak rusak oleh radiasi sehingga populasi sel tumor tersebut menurun dan mencapai titik stabilnya. Hal ini sejalan dengan populasi partikel virus yang awalnya diberikan virus 5 tetapi karena virus terus menginfeksi sel tumor maka populasinya turun terus menerus hingga stabil di nol dimulai pada saat

= 60 hari. Maka sistem ini mendekati titik tetap yang sesuai diharapkan

pada

teori

( ,

,

,

)=

⎛ ⎜

sebelumnya

, 0,

⎝

yaitu

⎞ ,0⎟ = ⎠

(142.8571, 0, 806.1720, 0).

Jika populasi partikel virus dan laju virus yang mati ditingkatkan yaitu = 7 dan

= 1.5 maka akan menghasilkan grafik yang ditunjukkan oleh

Gambar 4.21 sampai Gambar 4.25.

58

Populas i S el Tumor Tidak Terinfek si dan Tidak Rusak Radiasi

( )

800

700

600

500

400

300

200

100

0

100

200

300

400

500 t

600

700

800

900

1000

16 17 18 19 20

693,6501 718,1972 736,3964 746,3244 745,7168

⋮

⋮

30 31 32 33 34 35

239,3524 224,7075 219,3141 221,2016 228,9339 241,4771

(a)

( ) 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 ⋮ 1000

376,7110 376,7110 376,7110 376,7111 376,7111 376,7111 376,7111 376,7111 376,7111 376,7110 ⋮ 376,7110

(b)

Gambar 4.21. Populasi Sel Tumor Yang Tidak Terinfeksi dan Tidak Rusak Oleh Radiasi Ketika dan Ditingkatkan (a). Dalam Bentuk grafik (b).Dalam Bentuk Data

Gambar 4.21 menunjukkan populasi sel tumor yang tidak terinfeksi dan tidak rusak oleh radiasi ( ) dimana populasi awal yang diberikan adalah 127,950 mm3 kemudian pada awal pengobatan mengalami kenaikan secara terus menerus hingga mencapai nilai maksimal 746,3244 mm3 pada saat

= 19 hari ini

disebabkan karena dosis radiasi yang diberikan yaitu

= 0.07 yang

dikombinasikan dengan dosis virus nya yaitu 5, namun menurun kembali seiring berjalannya waktu mencapai 219,3141 mm3 pada saat = 32 hari, ini disebabkan oleh dosis radiasi dan partikel virus yang terus menginfeksi sel tumor tersebut. Sehingga pada jangka panjang populasi sel tumor tak terinfeksi dan tak rusak oleh radiasi berisolasi lagi secara periodik namun semakin bertambahnya waktu semakin kecil sehingga untuk populasi sel tumor tak terinfeksi dan tak rusak oleh radiasi mulai stabil pada saat

= 599 hari yaitu 376,7110 mm3. Adapun data


59

P o pu la s i S e l T u m o r T id a k R u s a k O le h R a d ia s i

150

100

50

0

0

100

200

300

400

500 t

600

700

800

900

(a)

1000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

( ) 0 3,5100 3,2355 2,6062 2,1213 1,8002 1,6056 1,5084 1,4934 1,5571 1,7074 1,9642 2,3637

25 26 27 28 29 30 ⋮ 591 592 593 594 ⋮ 1000

( ) 138,3645 152,1753 153,5123 143,3270 125,8104 105,7128 ⋮ 60,0553 60,0553 60,0553 60,0554 ⋮ 60,0554

(b)

Gambar 4.22. Populasi Sel Tumor Yang Terinfeksi Juga Tidak Rusak Oleh Radiasi Ketika dan Ditingkatkan (a). Dalam Bentuk grafik (b).Dalam Bentuk Data

Gambar 4.22 menunjukkan populasi sel tumor yang terinfeksi juga tidak rusak oleh radiasi dimana populasi awal yang diberikan adalah 0, kemudian populasinya meningkat pada awal pengobatan yaitu pada saat = 1 hari mencapai 3,5100 mm3 ini disebabkan karena populasi partikel virus yang menginfeksi populasi sel tumor kemudian populasi sel tumor ini menurun kembali mencapai nilai minimum pada saat

= 8 hari yaitu 1,4934 mm3, namun seiring berjalannya

waktu populasi sel tumor terinfeksi dan tak rusak oleh radiasi meningkat kembali mencapai 153,5123 mm3 pada

= 25 hari sehingga pada jangka panjang

populasinya berisolasi periodik. Setiap terjadi penurunan populasi sel tumor yang tak terinfeksi dan tak rusak oleh radiasi, maka populasi sel yang terinfeksi dan tak rusak oleh radiasi akan meningkat. Begitu juga sebaliknya, jika populasi sel yang tak terinfeksi dan tak rusak oleh radiasi mulai meningkat, maka akan terjadi penurunan pada populasi sel tumor yang terinfeksi dan tak rusak oleh radiasi. Meningkatnya populasi sel terinfeksi dan tak rusak oleh radiasi semakin bertambahnya waktu semakin kecil dan akhirnya populasi tersebut mencapai titik stabil dimulai pada saat

= 594 hari yaitu 60,0554 mm3.

Adapun data


60

16

P o pula s i S e l R u s ak A k ib at R adia s i

14 12 10 8 6 4 2 0

0

100

200

300

400

500 t

600

700

800

900

1000

10 11 12 13 14 15 ⋮ 26 27 28 29 30 31

( ) 9,5898 11,7179 13,7604 15,3234 15,6659 13,5265 ⋮ 1,0582 1,0496 1,0450 1,0431 1,0433 1,0457

331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 ⋮ 1000

(a)

( ) 1,1119 1,1119 1,1119 1,1119 1,1119 1,1120 1,1120 1,1120 1,1120 1,1120 1,1120 ⋮ 1,1120

(b)

Gambar 4.23. Populasi Sel Yang Rusak Akibat Radiasi Ketika

dan

Ditingkatkan

(a). Dalam Bentuk grafik (b).Dalam Bentuk Data

Gambar 4.23 menunjukkan populasi sel yang rusak akibat radiasi dimana populasi awal yang diberikan adalah 0, kemudian populasinya menigkat mencapai nilai maksimum pada saat

= 14 hari yaitu 15,6659 mm3 ini disebabkan karena

dosis radiasi yang menginfeksi sel tumor yang tak terinfeksi dan tak rusak oleh radiasi, namun seiring berjalannya waktu populasi sel yang rusak akibat radiasi ini mulai menurun secara terus menerus hingga mencapai titik stabilnya dimulai pada saat

= 336 hari yaitu 1,1120 mm3, ini disebabkan karena populasi sel yang tak

terinfeksi dan tak rusak oleh radiasi mencapai titik stabilnya. Adapun data selengkapnya dapat dilihat di lampiran B-8.

61

30

P o p u la s i P a rtik e l V iru s

25

20

15

10

5

0

0

100

200

300

400

500 t

600

700

800

900

1000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

( ) 7,0000 1,9256 0,8923 0,5851 0,4424 0,3588 0,3076 0,2781 0,2654 0,2671 0,2833 0,3161 0,3699

25 26 27 28 29 30 ⋮ 469 470 471 472 ⋮ 1000

( ) 21,5944 24,9633 26,5563 26,0855 23,9174 20,7809 ⋮ 10,5298 10,5298 10,5297 10,5297 ⋮ 10,5297

(a) (b) Gambar 4.24. Populasi Partikel Virus Ketika dan Ditingkatkan (a). Dalam Bentuk grafik (b).Dalam Bentuk Data

Gambar 4.24 menunjukkan populasi parrtikel virus dimana populasi awal partikel virus ( ) yang diberikan adalah 7 maka pada kasus ini populasi partikel virus menyerang populasi sel tumor tidak terinfeksi dan tak rusak oleh radiasi sehingga populasi partikel virus mula-mula mengalami penurunan mencapai nilai minimum pada saat

= 8 hari yaitu 0,2654, kemudian populasinya kembali

meningkat mencapai nilai maksimum pada saat

= 27 hari yaitu 26,5563 ini

disebabkan karena populasi sel tumor tak terinfeksi dan tak rusak oleh radiasi mengalami penurunan, sehingga dalam jangka panjang populasinya berisolasi secara periodik. Setiap terjadi penurunan populasi sel tumor yang tak terinfeksi dan tak rusak oleh radiasi, maka populasi partikel virus akan meningkat. Begitu juga sebaliknya, jika populasi sel yang tak terinfeksi dan tak rusak oleh radiasi mulai meningkat, maka akan terjadi penurunan pada populasi partikel virus. Meningkatnya populasi partikel virus semakin bertambahnya waktu semakin kecil dan akhirnya populasi partikel virus mencapai titik stabil dimulai pada saat = 471 hari yaitu 10,5297. Adapun data selengkapnya dapat dilihat di lampiran B-8.

62

800 Populasi Populasi Populasi Populasi

700 600

Sel Tumor Tak Terinfeksi dan Tak Rusak Radiasi Sel Tumor Terinfeksi Tidak Rusak Radiasi Sel Rusak Akibat Radiasi Partikel Virus

500 400 300 200 100 0

0

100

200

300

400

500 t

600

700

800

900

Gambar 4.25. Dinamika Populasi , . , Terhadap Waktu Ketika

1000

dan

Ditingkatkan

Dari Gambar 4.21 sampai Gambar 4.25 menunjukkan saat populasi partikel virus ( ) dan laju virus yang mati ( ) ditingkatkan yaitu

= 7 dan

= 1.5 dan

populasi awal sel tumor yang tidak terinfeksi ( ) yang diberikan 127.950 mm3 , populasi awal tumor terinfeksi virus ( ) yang diberikan 0 dan populasi partikel maka pada kasus populasi sel tumor tidak terinfeksi dan tidak rusak oleh radiasi mengalami peningkatan pada awal terapi hingga mencapai nilai maksimal yaitu 746,3244 mm3pada saat = 19 hari, namun menurun kembali seiring berjalannya waktu mencapai 219,3141 mm3 pada saat

= 32 hari, ini disebabkan oleh sel

dosis radiasi dan partikel virus yang terus menginfeksi sel tumor tersebut. Sehingga dalam jangka panjang populasi sel tumor tak terinfeksi dan tak rusak oleh radiasi, sel tumor terinfeksi tidak rusak oleh radisi, populasi sel yang rusak akibat radiasi dan populasi partikel virus berisolasi lagi secara periodik. Setiap terjadi penurunan populasi sel tumor yang tak terinfeksi, maka populasi virus akan meningkat bersamaan dengan meningkatnya populasi sel yang terinfeksi tidak rusak radiasi dan populasi sel yang rusak akibat radiasi. Begitu juga sebaliknya, jika populasi sel yang tak terinfeksi dan tak rusak oleh radiasi mulai meningkat, maka akan terjadi penurunan pada populasi virus, populasi sel tumor yang terinfeksi tidak rusak oleh radiasi dan populasi sel yang rusak akibat radiasi.

63

Meningkatnya populasi sel tak terinfeksi dan tak rusak oleh radiasi, sel terinfeksi tidak rusak oleh radiasi, populasi sel yang rusak akibat radisi dan populasi virus semakin bertambahnya waktu semakin kecil sehingga untuk populasi sel tumor tak terinfeksi dan tak rusak oleh radiasi mulai stabil pada saat = 599 hari yaitu 376,7110 mm3, poluasi sel tumor terinfeksi dan tak rusak oleh radiasi mulai stabil pada saat

= 594 hari yaitu 60,0554 mm3, populasi sel yang rusak akibat radiasi

mulai stabil pada saat

= 336 hari yaitu 1,1120 mm3 dan untuk populasi virus

mulai stabil pada saat = 471 hari yaitu 10,5297. 4.3

Perbandingan

Waktu

Kestabilan

Model

Virotherapy

Dan

Radiovirotherapy Untuk perbandingan kedua model ini dilihat dari waktu kestabilannya dari model virotherapy dan radiovirotherapy. Model virotherapy ini di pengaruhi oleh laju kematian efektif sel yang terinfeksi dan laju produksi virus dari sel yang terinfeksi sehingga ketika laju kematian efektif sel yang terinfeksi yang dihasilkan lebih kecil dari pada laju produksi virus dari sel tumor yang terinfeksi maka populasi sel tumor tak = 571 hari yaitu 10,1938

terinfeksi mencapai titik stabilnya dimulai pada saat 3

mm , kemudian populasi sel tumor yang terinfeksi virus mencapai titik stabilnya dimulai pada saat

= 487 hari yaitu 1,5216 mm3 dan populasi partikel virus

mencapai titik stabilnya dimulai pada saat

= 545 hari yaitu 3,9257. Untuk data

hasil numerik selengkapnya dapat dilihat di lampiran B-2. Kemudian pada model radiovirotherapy ini dipengaruhi oleh dosis radiasi dan dosis virus sehingga dapat dilihat waktu kestabilannya dari prediksi terapi dengan menggunakan nilai parameter pada sub 4.2.2 dengan populasi awal sel tumor yaitu 127.950 mm3 dengan dosis radiasi

= 0.07 yang dikombinasikan

dengan virus 0.01, 0.07 dan 7. Ketika dosis radiasi

= 0.07 dikombinasikan

dengan virus 0.01 maka populasi sel tumor tak terinfeksi dan tak rusak oleh radiasi mencapai titik stabilnya dimulai pada saat

= 614 hari yaitu 376, 7110

mm3, kemudian populasi sel yang terinfeksi dan tak rusak oleh radiasi mencapai titik stabilnya dimulai pada saat

= 608 hari mencapai 60,0554 mm3, populasi

sel yang rusak akibat radiasi mencapai titik stabilnya dimulai pada saat

= 350 64

hari yaitu mencapai 1,1120 mm3 dan populasi partikel virus mencapai titik stabilnya dimulai pada saat = 485 hari yaitu 10,5297. Untuk data hasil numerik selengkapnya dapat dilihat di lampiran B-6. Ketika dosis radiasi

= 0.07 dikombinasikan dengan virus 0.07 maka

populasi sel tumor tak terinfeksi dan tak rusak oleh radiasi mencapai titik stabilnya dimulai pada saat = 609 hari yaitu 376, 7110 mm3, kemudian populasi sel yang terinfeksi dan tak rusak oleh radiasi mencapai titik stabilnya dimulai pada saat

= 604 hari mencapai 60,0554 mm3, populasi sel yang rusak akibat radiasi


= 346 hari yaitu mencapai 1,1120

mm3 dan populasi partikel virus mencapai titik stabilnya dimulai pada saat = 480 hari yaitu 10,5297. Untuk data hasil numerik selengkapnya dapat dilihat di lampiran B-7. Ketika dosis radiasi

= 0.07 dikombinasikan dengan virus 7 maka

populasi sel tumor tak terinfeksi dan tak rusak oleh radiasi mencapai titik stabilnya dimulai pada saat = 599 hari yaitu 376, 7110 mm3, kemudian populasi sel yang terinfeksi dan tak rusak oleh radiasi mencapai titik stabilnya dimulai pada saat

= 594 hari mencapai 60,0554 mm3, populasi sel yang rusak akibat radiasi


= 336 hari yaitu mencapai 1,1120

mm3 dan populasi partikel virus mencapai titik stabilnya dimulai pada saat = 471 hari yaitu 10,5297. Untuk data hasil numerik selengkapnya dapat dilihat di lampiran B-8. Jadi pada model radiovirotherapy ini jika dosis radiasi

= 0.07

dikombinasikan dengan dosis virus 7 maka mencapai waktu stabilnya lebih cepat pada populasi sel tumor nya yaitu dimulai pada saat = 599 hari yaitu 376, 7110 mm3. Jadi dari model virotherapy dan radiovirotherapy waktu kestabilan yang diperoleh lebih cepat pada populasi sel tumor yaitu pada model virotherapy yaitu dimulai pada saat = 571 hari yaitu 10,1938 mm3 ketika laju kematian efektif sel yang terinfeksi yang dihasilkan lebih kecil dari pada laju produksi virus dari sel tumor yang terinfeksi.

65

BAB V PENUTUP

5.1 Kesimpulan Berdasarkan hasil pembahasan di atas dapat disimpulkan dan diberikan saran sebagai berikut: 1.

Penerapan model matematika untuk virotherapy dan radiovirotherapy adalah sebagai berikut: a. Model virotherapy −(

̇=

1−

̇=

−

̇ =

−(

+

)

+

)

b. Model Radiovirotherapy

2.

̇=

1−

̇=

−

−( −

)

+

̇ =

( + )−

̇ =

−

Jenis kestabilan titik tetap dari model virotherapy dan radiovirotherapy adalah sebagai berikut: a. Terdapat tiga titik tetap dari model virotherapy yaitu (

, 0,0) dan

kestabilan untuk

(

)

,

(

1−

)

yaitu tidak stabil dan

,

(

)

yaitu stabil ketika

(0,0,0),

dan jenis >

dan

= . b. Terdapat , 0,

dua

titik

tetap ,0

untuk

dan

dan jenis kestabilan titik tetap

model

( +

1

),

radiovirotherapy

,

(

)

yaitu

,

adalah stabil.

66

3.

Perbandingan

waktu

kestabilan

dari

model

virotherapy

dan

radiovirotherapy adalah sebagai berikut:

( )

Model Vitotherapy

571

10,1938

Radiovirotherapy

599

376,7110

Dari kedua model tersebut waktu kestabilan yang diperoleh lebih cepat pada populasi sel tumor yaitu pada model virotherapy yaitu dimulai pada saat = 571 hari mencapai nilai stabil di 10,1938 mm3.

5.2

Saran Berdasarkan kajian penelitian dan analisis maka saran yang dapat diberikan

untuk penulisan skripsi selanjutnya yaitu dengan memperhatikan faktor lain seperti dalam hal penjadwalan pemberian dosis, usia, atau dengan menggunakan metode lain yang lebih akurat dan terbaru.

67

DAFTAR PUSTAKA

[1].

Anton. H, Dasar-Dasar Aljabar Linear, Edisi 7, Jilid 1, Terjemahan Ir.Hari Suminto Dan Dr. Lyndon Saputra, Penerbit Interaksara, Batam, 2000.

[2].

Bajzer Z, T.W. Carr, Dingli. D and

Josic.K, Optimization of Tumor

Virotherapy With Recombinant Measles Virus, Biomathematica Resource, USA, 2007. [3].

Bajzer. Z, T.W. Carr, Josic. K, S.J. Russel and Dingli.D, Modeling of Cancer Virotherapy With Recombinant Measles Viruses, Journal. Theoretical Biology,2008.

[4].

Bajzer. Z, Biesecker.M, Kimn.J.H, Lu. H, Dingli. D, Optimization of Virotherapyfor Cancer. Bulletin of Mathematical Biology, 2010.

[5].

Budhi, Wono Setya, Kalkulus Peubah Banyak dan Penggunaannya, Institut Teknologi Bandung, 2001.

[6].

Chapra. S.C, Canale, Raymond. P, Metode Numerik Untuk Teknik, Universitas Indonesia Press, 2007.

[7].

Deherba,

Pengertian

Tumor,

23

Agustus

2011,

(http://www.deherba.com/pengertian-tumor-yang-mudah-dimengerti.html, diakses tanggal 23-12-2011). [8].

Finizio. N dan Ladas. G, An Introduction To Differential Equation, University of Rhode Island, 1982.

[9].

Kreyszig. Erwin, Advanced Engineering Mathematics, John Willey& Sons, 1993.

[10].

Lo. C.F, Stochastic Nonlinear Gompertz Model of Tumor Growth, Journal of Proceedings of the World Congress on Engineering Vol II, London, 2009.

[11].

Munasir, Studi Awal Pemodelan Perlakuan Radiovirotherapy I Dan Virotherapy Yang Menggunakan Virus Campak Pada Tumor Paru-Paru Tikus, Tesis Program Pasca Sarjana Institut Pertanian Bogor, Tidak diterbitkan, 2010.

[12].

Nurlaila. Ika, Hadi. Miftachul, Kanker Pertumbuhan, Terapi dan Nanomedis,

(http://www.nano.lipi.go.id/utama.cgi?artikel&1187593839,

diakses tanggal 23-12-2011). [13].

Rahmawati. Rila. D, Solusi Sistem Persamaan Differensial Non Linear menggunakan Metode Euler Berbantuan Program Matlab,

Skripsi

Program Sarjana Universitas Islam Negeri Malang, Tidak diterbitkan, 2007.(http://lib.uin-malang.ac.id/thesis/.../03510050-rila-dwi-rahmawati.ps diakses tanggal 10-07-2012). [14].

Syahrudin, Elisna, Pengobatan Alternatif untuk Kanker, 30 Januari 2012, (http://yayasankankerindonesia.org/2012/pengobatan-alternatif-untukkanker/, diakses tanggal 30-07-2012).

[15].

Tu. PNV, Dinamical System An Introduction with Applications in Economics and Biology, New York, Springer-Verlag, 1994.

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Sumedang pada tanggal 16 Agustus 1989. Merupakan putri pertama dari empat bersaudara dari bapak Ruswandi dan ibu Siti Lasmanah. Alamat tempat tinggal di Komp. Permata Hijau D.44 RT 02 RW 18 Desa Jelegong Kecamatan Rancaekek Kabupaten Bandung. Jenjang pendidikan formal yang ditempuh oleh penulis yaitu: 1. Sekolah Dasar Negeri Jelegong II Tahun 2001. 2. Sekolah Menengah Pertama NU Sumedang Tahun 2004. 3. Madrasah Aliyah Keagamaan Al-Basyariyah Tahun 2008. 4. Perguruan Tinggi Negeri Universitas Islam Negeri Sunan Gunung Djati Bandung Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi angkatan 2008.

LAMPIRAN

Lampiran A-1 Pengecekan Titik Tetap Model Virotherapy dan Radiovirotherapy

1.

Pengecekan Titik Tetap Untuk Model Virotherapy. Titik tetap dikatakan benar jika titik tetap tersebut disubstitusikan ke (3.17)

sampai persamaan (3.19) benilai nol. Berikut akan di cek titik tetap ( , (

1.1

, )

)= ,(

(

(0,0,0), ( , )

)

1−

( ,

Substitusi

)=

,

,

, )=

(

( , 0,0) )

(0,0,0)

dan

( ,

,

)=

. ke

persamaan

(3.17)

sampai

persamaan (3.19) maka diperoleh: +

1−

−(

(0) 1 −

+

)=0

− ( (0)(0) + (0)(0) = 0

0=0

∎

−

= 0

(0)(0) − (0) = 0

∎

0=0 −(

)=0

+

(0) −

(0)(0) + (0) = 0

0=0 1.2

∎ ( ,

Substitusi

,

)=

( , 0,0)

ke

peramaan

(3.17)

persamaan (3.19) maka diperoleh: +

1− ( ) 1− −

−(

( ) + (0)

(1) −

−

)=0 ( )(0) + ( )(0) = 0

( )(0) + ( )(0) = 0

0=0 −

+

∎ = 0

( )(0) − (0) = 0 0=0

∎

sampai

−(

)=0

+

(0) − ( ( )(0) + (0)) = 0 0=0 1.3

∎ ( ,

Substitusi

)=

,

(

)

,(

(

)

)

1−

,

(

)

ke persamaan (3.17) sampai persamaan (3.19) maka diperoleh: −(

1− (

( )

)

(

+ ( )

1−

+

=

1− )=

+

(

1−

)

=

Karena

)

1−

1−

=

(

1−

=

=

)

=

+

−

(

)=0

+

(

1−

)

1−

=

1−

−

maka (

)

(

)

1− 1−

=0

0=0

∎

−

= 0 (

(

)

)

− (

(

−

1−

)

1−

)

1−

)

(

= 0

=0 −

(

)

1−

=0

0=0

∎

−( (

0

+ )

)=0 1−

−

( (

)

)

+

(

)

=

(

1−

)

=

Karena −

−

(

−

−

+

1−

)

+

=0

maka

=0

0=0

2.

∎

Pengecekan Titik Tetap Untuk Model Radiovirotherapy. Titik tetap dikatakan benar jika titik tetap tersebut disubstitusikan ke

persamaan (3.24) sampai persamaan (3.27) benilai nol. Berikut akan di cek titik ( )

( ,

tetap ( ,

2.1

,

,

,

)=

,

Substitusi

)=

, 0,

( + ( ,

,

,

−

),

(

,

)=

)

,0

,

, 0,

.

−

,0 ke

persamaan (3.24) sampai persamaan (3.27) maka diperoleh: −(

1− ⎡ ⎛ ⎢ ⎢1 − ⎜ ⎢ ⎣ ⎝

−

⎤ ⎞ ⎥ ⎟ ⎥− ⎥ ⎠ ⎦

⎛ ⎜ ⎝

⎝

⎝

⎞ ⎟ = ⎠

⎝ ⎛ ⎜

⎞ ⎟ −0− ⎠

⎛ ⎜

⎛ ⎜

) = 0

+

⎞ ⎟ = ⎠

⎞ ⎟ = ⎠

−

(0) +

=0

dan

= 0

=

=

= +

− −

=

−

−

= − −

=0

0=0

∎

−

−

= 0

(0) − (0) −

(0) = 0

0=0

∎

( + )− 0+ −

2.2

= 0

−

=0

=0

0=0

∎

− = 0 (0) − (0) = 0 0=0

∎

Substitusi

( ,

,

,

)=

( +

),

(

,

)

,

ke persamaan (3.24) sampai persamaan (3.27) maka diperoleh: + + ) = 0 1− −( + (

( +

( +

)

)

(

1−

)

)

( +

−

=

( +

)

) (

1−

( +

+ )

(

)

= 0

)

−

( +

)

(

⎡ ⎢ ⎛ ) ⎢1−⎜ ⎢ ⎢ ⎣ ⎝

+

=

(

)

+

+

2

( ⎡ ⎢ ⎛ ⎢1−⎜ ⎢ ⎢ ⎣ ⎝

=

(

)

+

+

2

2

2

⎤ ⎞⎥ ⎟ ⎥⎥− ⎥ ⎠⎦

(

)

+

)

+

⎤ ⎞⎥ ⎟ ⎥⎥− ⎥ ⎠⎦

2+ 2

+

2+ 2

+

substitusi

,

,

maka: (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

= (

)

−

=0

∎

0=0

−

−

( +

= 0 1−

)

2+ 2+ 2

−

2

−

( +

)

−

( +

)

−

( +

)

− ( +

0=0 ( + )−

2

−

−

( + )

=0

=0

2+ 2+ 2

−

Karena

)

2

2

( +

= ⎛ ⎜

⎞ ⎟

⎝

⎠

= =

( +

+

)

−

2+ 2

(

−

=0

= 2+ 2+ 2

2+ 2+ 2

2+ 2

2+ 2

1− 2

2

) − 1−

2

maka

∎

( +

+

= 0

= 0 substitusi

)

1− 2

= 0

,

=

+ (

)

)

dan

=

( +

) maka menjadi

2+ 2+ 2

1−

−

1− 2

2+ 2+ 2

1−

( +

2

1−

2+ 2+ 2

0=0

−

2

( +

−

= 0 =0

= 2+ 2+ 2

maka −

−

1−

2+ 2+ 2

−

)

−

∎

−

1−

)

2+ 2+ 2

( +

= 0

−

Karena

= 1−

( +

− 2

− 2

0=0 −

)

2+ 2+ 2

=0

∎

)

=0

Lampiran B-1 Data Hasil Numerik Model Virotherapy Ketika

>

Lampiran B-2 Data Hasil Numerik Model Virotherapy Ketika

⋮ ⋮

⋮

⋮

<

⋮ ⋮

⋮

⋮

Lampiran B-3 Data Hasil Numerik Model Virotherapy Untuk

=

Lampiran B -4 Data Hasil Numerik Model Virotherapy Untuk Keberhasilan Terapi

Lampiran B-5 Data Hasil Numerik Model Radiovirotherapy.

Lampiran B-6 Data Hasil Numerik Model Radiovirotherapy Ketika

= .

⋮

dan

= .

.

⋮

⋮

⋮


= .

dan

= .

⋮

⋮

⋮


= .

dan

= .

⋮

⋮

Lampiran C-1 Sintaks Plot untuk Gambar 4.1 sampai Gambar 4.3 dengan Software Matlab clc; clear; %inisialisasi parameter r = 0.206; K = 1000; epsilon = 1.00; k = 0.01; rho = 0.108; delta = 0.650; alpa = 0.263; omega = 0.15; %nilai awal y,x,v y(1)= 127.950; x(1)= 0; v(1)= 15; deltaT= 0.01; i= 2; t(1)= 0; l=1:(1/deltaT):((150/deltaT)+1); %iterasi menggunakan metode Euler while (t<=150) y(i)=y(i-1)+(r*y(i-1)*(1-((y(i-1)+x(i-1))/K)êpsilon)*deltaT)((k*y(i-1)*v(i-1)*deltaT)+(rho*y(i-1)*x(i-1)*deltaT)); x(i)=x(i-1)+(k*y(i-1)*v(i-1)*deltaT)-(delta*x(i-1)*deltaT); v(i)=v(i-1)+(alpa*x(i-1)*deltaT)-((k*y(i-1)*v(i-1)+omega*v(i1))*deltaT); t(i)=t(i-1)+deltaT; i=i+1; end %plot grafik plot(t,y,'g','lineWidth',2); hold on; plot(t,x,'b','lineWidth',2); hold on; plot(t,v,'r','lineWidth',2); legend('populasi sel tumor tak terinfeksi','populasi sel tumor terinfeksi virus','populasi partikel virus') xlabel('t') %numerisasi model disp (' '); disp ('*******************************************'); disp (' Dinamika populasi untuk delta > alpa '); disp ('*******************************************'); disp (' (t) y(t) x(t) v(t) '); disp ('*******************************************'); disp ([ (t(l))' (y(l))' (x(l))' (v(l))']); %mencari titik tetap y = K x = 0

v = 0

Lampiran C-2 Sintaks Plot untuk Gambar 4.4 sampai Gambar 4.7 dengan Software Matlab clc; clear; %inisialisasi parameter r = 0.206; K = 1000; epsilon = 1.00; k = 0.01; rho = 0.108; delta = 0.263; alpa = 0.650; omega =0.15; %nilai awal y,x,v y(1)= 127.950; x(1)= 0; v(1)= 15; deltaT= 0.01; i= 2; t(1)= 0; l= 1:(1/deltaT):((600/deltaT)+1); %iterasi menggunakan metode Euler while (t<=600) y(i)=y(i-1)+(r*y(i-1)*(1-((y(i-1)+x(i-1))/K)êpsilon)*deltaT)((k*y(i-1)*v(i-1)*deltaT)+(rho*y(i-1)*x(i-1)*deltaT)); x(i)=x(i-1)+(k*y(i-1)*v(i-1)*deltaT)-(delta*x(i-1)*deltaT); v(i)=v(i-1)+(alpa*x(i-1)*deltaT)-((k*y(i-1)*v(i-1)+omega*v(i1))*deltaT); t(i)=t(i-1)+deltaT; i=i+1; end %plot grafik plot(t,y,'g','lineWidth',2); hold on; plot(t,x,'b','lineWidth',2); hold on; plot(t,v,'r','lineWidth',2); legend('Populasi Sel Tumor Tak Terinfeksi','Populasi Sel Tumor Terinfeksi Virus','Populasi Partikel Virus'); xlabel('t'); grid on; %numerisasi model disp (' '); disp ('******************************************'); disp (' Dinamika populasi untuk delta < alpa '); disp ('******************************************'); disp (' (t) y(t) x(t) v(t) '); disp ('******************************************'); disp ([(t(l))' (y(l))' (x(l))' (v(l))' ]);

Lampiran C-3 Sintaks Plot untuk Gambar 4.8 sampai Gambar 4.10 dengan Software Matlab clc; clear; %inisialisasi parameter r = 0.206; K = 1000; epsilon = 1.00; k = 0.01; rho = 0.108; delta = 0.650; alpa = 0.650; omega = 0.15; %nilai awal y,x,v y(1) = 127.950; x(1) = 0; v(1) = 15; deltaT = 0.01; i=2; t(1)=0; l=1:(1/deltaT):((1300/deltaT)+1); %iterasi menggunakan metode Euler while (t<=1300) y(i)= y(i-1)+(r*y(i-1)*(1-((y(i-1)+x(i1))/K)êpsilon)*deltaT)-((k*y(i-1)*v(i-1)*deltaT)+(rho*y(i-1)*x(i1)*deltaT)); x(i)= x(i-1)+(k*y(i-1)*v(i-1)*deltaT)-(delta*x(i-1)*deltaT); v(i)= v(i-1)+(alpa*x(i-1)*deltaT)-((k*y(i-1)*v(i-1)+omega*v(i1))*deltaT); t(i)= t(i-1)+deltaT; i=i+1; end %plot grafik plot(t,y,'g','lineWidth',2); hold on; plot(t,x,'b','lineWidth',2); hold on; plot(t,v,'r','lineWidth',2); legend('populasi sel tumor tak terinfeksi','populasi sel tumor terinfeksi virus','populasi partikel virus') xlabel('t') %numerisasi model disp (' '); disp ('*******************************************'); disp (' Dinamika populasi untuk delta = alpa '); disp ('*******************************************'); disp (' (t) y(t) x(t) v(t) '); disp ('*******************************************'); disp ([ (t(l))' (y(l))' (x(l))' (v(l))']); %mencari titik tetap y = K x = 0

v = 0

Lampiran C-4 Sintaks Plot untuk Gambar 4.11 sampai Gambar 4.15 dengan Software Matlab clc; clear; %inisialisasi parameter r = 0.206; K = 1000; epsilon = 1.00; k = 0.01; rho = 0.108; delta = 0.263; alpa = 0.650; omega =0.15; %nilai awal y,x,v y(1)= 127.950; x(1)= 0; v(1)= 65; deltaT= 0.01; i= 2; t(1)= 0; l= 1:(1/deltaT):((60/deltaT)+1); %iterasi menggunakan metode Euler while (t<=60) y(i)=y(i-1)+(r*y(i-1)*(1-((y(i-1)+x(i-1))/K)êpsilon)*deltaT)((k*y(i-1)*v(i-1)*deltaT)+(rho*y(i-1)*x(i-1)*deltaT)); x(i)=x(i-1)+(k*y(i-1)*v(i-1)*deltaT)-(delta*x(i-1)*deltaT); v(i)=v(i-1)+(alpa*x(i-1)*deltaT)-((k*y(i-1)*v(i-1)+omega*v(i1))*deltaT); u(i)=y(i-1)+x(i-1); t(i)=t(i-1)+deltaT; i=i+1; end %plot grafik plot(t,y,'g','lineWidth',2); hold on; plot(t,x,'b','lineWidth',2); hold on; plot(t,v,'r','lineWidth',2);hold on; plot(t,u,'k','linewidth',2); legend('Populasi Sel Tumor Tak Terinfeksi','Populasi Sel Tumor Terinfeksi Virus','Populasi Partikel Virus','Jumlah Populasi Sel Tumor') xlabel('t') grid on; %numerisasi model disp (' '); disp ('***************************************************'); disp (' Dinamika populasi untuk keberhasilan terapi '); disp ('***************************************************'); disp ('(t) y(t) x(t) v(t) u(t) '); disp ([(t(l))' (y(l))' (x(l))' (v(l))' (u(l))']);

Lampiran C-5 Sintaks Plot untuk Gambar 4.16 sampai Gambar 4.25 dengan Software Matlab format short; clc; clear; %inisialisasi parameter r= 0.206; K= 1000; epsilon= 1.00; delta= 0.650; k= 0.01; D= 0.07; alpa= 0.263; beta= 0.15; gamma= 1.5; omega= 1.3; %nilai awal y,x,u,v y(1)= 127.950; x(1)= 0; u(1)= 0; v(1)= 5; delthaT= 0.01; i= 2; t(1)= 0; l=1:(1/delthaT):((1500/delthaT)+1); %iterasi menggunakan metode Euler while (t<=1500) y(i)=y(i-1)+(r*y(i-1)*(1-((y(i-1)+x(i-1)+u(i1))/K)êpsilon)*delthaT)-((k*y(i-1)*v(i-1)*delthaT)+(beta*D*y(i1)*delthaT)); x(i)=x(i-1)+(k*y(i-1)*v(i-1)*delthaT)-(delta*x(i-1)*delthaT)(beta*D*x(i-1)); u(i)=u(i-1)+((beta*D*(x(i-1)+y(i-1)))*delthaT)-(gamma*(u(i1)^v(i-1))*delthaT); v(i)=v(i-1)+(alpa*x(i-1)*delthaT)-(omega*v(i-1)*delthaT); t(i)= t(i-1)+delthaT; i= i+1; end %plot grafik plot(t,y,'g','lineWidth',2); hold on; plot(t,x,'b','lineWidth',2); hold on; plot(t,u,'m','lineWidth',2);hold on; plot(t,v,'r','linewidth',2); legend('Populasi Sel Tumor Tak Terinfeksi dan Tak Rusak Radiasi','Populasi Sel Tumor Terinfeksi Tidak Rusak Radiasi','Populasi Sel Rusak Akibat Radiasi','Populasi Partikel Virus') xlabel('t') grid on;

%numerisasi model disp (' '); disp ('****************************************************'); disp (' Dinamika Populasi untuk Radiovirotherapy '); disp ('****************************************************'); disp (' (t) y(t) x(t) u(t) v(t) '); disp ('****************************************************'); disp ([ (y(l))' (x(l))' (u(l))' (v(l))' ]); %mencari titik tetap y = gamma/(beta*D) x = 0 u = (((((r-(beta.*D))./r)./epsilon).*K.*beta.*D)-gamma)./(beta.*D) v = 0

PERBANDINGAN WAKTU KESTABILAN MODEL VIROTHERAPY DAN RADIOVIROTHERAPY UNTUK PENYAKIT TUMOR SKRIPSI

Recommend Documents