PERBANDINGAN METODE IMPUTASI GANDA : METODE REGRESI VERSUS METODE PREDICTIVE MEAN MATCHING UNTUK MENGATASI DATA HILANG PADA DATA SURVEI
Nur Malahayati G14103005
DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2008
ABSTRAK NUR MALAHAYATI. Perbandingan Metode Imputasi Ganda: Metode Regresi versus Metode Predictive Mean Matching untuk Mengatasi Data Hilang pada Data Survei. Dibimbing oleh BUDI SUSETYO dan INDAHWATI. Kegiatan survei dilakukan untuk mendapatkan informasi dari sebuah populasi dengan hanya mengamati sebagian unit dalam populasi itu (contoh), yang telah dipilih melalui teknik penarikan contoh tertentu. Dalam survei seringkali ditemukan adanya item nonrespon yang dapat terjadi baik karena unit contoh tidak menjawab pertanyaan maupun karena kesalahan dalam proses pemindahan data. Adanya item nonrespon, yang selanjutnya disebut data hilang, akan mengakibatkan pendugaan parameter menjadi tidak efisien karena ukuran data yang berkurang. Selain itu juga menyebabkan metode baku untuk data lengkap tidak dapat digunakan dalam proses analisis. Sehubungan dengan permasalahan yang timbul karena data hilang dalam data survei ini, terdapat beberapa metode yang dapat digunakan untuk memprediksi data hilang tersebut, salah satunya adalah metode imputasi. Metode imputasi yang ada antara lain imputasi ganda dengan metode regresi dan dengan metode Predictive Mean Matching (PMM). Pada penelitian ini dilakukan simulasi untuk membandingkan metode imputasi ganda regresi dan metode imputasi ganda PMM. Dari data survei contoh yang dibangkitkan, dilakukan penghilangan data dengan jumlah kehilangan yang berbeda-beda. Pembandingan yang dilakukan adalah dengan melihat rata-rata selisih nilai dugaan dari kedua metode dengan nilai aslinya. Pada pendugaan parameter populasi juga dilihat nilai Kuadrat Tengah Sisaan (KTS) data survei contoh terimputasi dari kedua metode tersebut. Hasil yang diperoleh adalah dari segi rata-rata selisih nilai dugaan dengan nilai asliya, metode regresi lebih baik daripada metode PMM, sedangkan dari segi pendugaan parameter populasi kedua metode memberikan nilai KTS yang tidak jauh berbeda.
PERBANDINGAN METODE IMPUTASI GANDA : METODE REGRESI VERSUS METODE PREDICTIVE MEAN MATCHING UNTUK MENGATASI DATA HILANG PADA DATA SURVEI
Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Oleh: Nur Malahayati G 14103005
DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2008
Judul
Nama NIM
: PERBANDINGAN METODE IMPUTASI GANDA: METODE REGRESI VERSUS METODE PREDICTIVE MEAN MATCHING UNTUK MENGATASI DATA HILANG PADA DATA SURVEI : Nur Malahayati : G14103005
Menyetujui, Pembimbing I
Pembimbing II
Dr. Ir. Budi Susetyo, MS NIP. 131 624 193
Ir. Indahwati, M.Si NIP. 131 909 223
Mengetahui, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Dr. Drh. Hasim, DEA NIP. 131 578 806
Tanggal lulus : .....................
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Banjarnegara, 4 Februari 1985 sebagai anak pertama dari pasangan Edi Kusdiyanto dan Sri Kustinah. Setelah menyelesaikan pendidikan dasar di SDN Krandegan 4 Banjarnegara pada tahun 1997, studi penulis dilanjutkan di SLTPN 1 Banjarnegara yang ditamatkan pada tahun 2000. Tahun 2003 penulis lulus dari SMUN 1 Banjarnegara dan pada tahun yang sama diterima di Departemen Statistika Institut Pertanian Bogor melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB. Semasa menjadi mahasiswa penulis aktif di Himpunan Keprofesian Departemen Statistika Gamma Sigma Beta, sebagai staff Departemen Olahraga dan Seni periode 2003/2004 dan 2004/2005, staff Departemen Keilmuan periode 2005/2006. Praktik lapang dilakukan penulis di PT. Tempo Inti Media, Tbk pada Februari-Mei 2007.
PRAKATA Alhamdulillahirabbil’alamin, puji syukur kepada Allah SWT atas karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini dapat terselesaikan dengan baik. Sebagai manusia yang tak pernah sempurna, karena kesempurnaan hanya milik-Nya, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada seluruh pihak yang telah membantu tersusunnya karya ilmiah ini. Terima kasih kepada: 1. Bapak Dr. Ir. Budi Susetyo, MS dan Ibu Ir. Indahwati, M.Si selaku pembimbing skripsi yang selalu sabar dalam membimbing dan mengarahkan penulis selama proses pembuatan karya ilmiah ini hingga selesai. 2. Ibu dan Bapak atas segala kasih sayang, kesabaran, nasihat dan doa yang tak pernah putus. 3. Bayu Alfiansyah yang senantiasa menjadi penyemangat hidup. 4. Buper (rara) thanks for being my best friend. 5. Yudi sebagai teman yang paling mengerti perjalanan penulis dalam penyusunan karya ilmiah ini (Ganbatte kudasai!) 6. Rekan-rekanku: Ema (yang penuh keceriaan, ga ada matinya), Aang (teman setia Offpeak), D’Re (perhatianmu membuatku terharu), Mas Icus’38 (wejangan-wejangannya oke juga) 7. Teman-teman STK’40 atas kebersamaannya yang indah. 8. Adik-adik STK’41 (seminarku jadi rame lho!). 9. Seluruh staff Departemen Statistika. 10. Jaikers yang mengisi hari-hari penulis, you all guys, are my nice sisters. Penulis menyadari bahwa karya ilmiah ini masih jauh dari sempurna. Untuk itu kritik dan saran sangat penulis hargai demi perbaikan karya ilmiah ini. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi kita semua. Bogor, Desember 2007
Nur Malahayati
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR ................................................................................................................... viii DAFTAR TABEL........................................................................................................................ viii DAFTAR LAMPIRAN................................................................................................................ ix PENDAHULUAN........................................................................................................................... 1 Latar Belakang............................................................................................................................. 1 Tujuan.......................................................................................................................................... 1 TINJAUAN PUSTAKA Metode Pendugaan Item Nonrespon............................................................................................ Imputasi Tunggal (Single Imputation) ........................................................................................ Imputasi Ganda (Multiple Imputation) ........................................................................................ Pola Data Hilang.......................................................................................................................... Mekanisme Data Hilang .............................................................................................................. Prosedur Imputasi Ganda............................................................................................................. Teori Pembuatan Nilai Imputan Ganda dengan Model Eksplisit................................................. Imputasi Ganda dengan Metode Regresi ..................................................................................... Imputasi Ganda dengan Metode Predictive Mean Matching.....................................................
1 2 2 2 2 3 3 3 4
BAHAN DAN METODE Bahan........................................................................................................................................... 4 Metode......................................................................................................................................... 4 HASIL DAN PEMBAHASAN Hasil Pendugaan untuk Data Hilang 2% pada Peubah X2 dan 2% pada Peubah X3 ..................... Hasil Pendugaan untuk Data Hilang 2% pada Peubah X2 dan 5% pada Peubah X3 ..................... Ringkasan Hasil Seluruh Simulasi............................................................................................... Analisis Data untuk Data yang Telah Dilengkapi Data Dugaan.................................................. Contoh Kasus untuk Penerapan Imputasi Ganda.........................................................................
6 6 6 7 8
KESIMPULAN Kesimpulan ................................................................................................................................. 9 Saran............................................................................................................................................ 9 DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................................................... 9 LAMPIRAN................................................................................................................................. 10
DAFTAR TABEL Halaman 1. Metode Imputasi dalam Proc MI ................................................................................................. 3 2. Data Asli yang Dihilangkan pada Simulasi Ulangan 1................................................................ 6 3. Data Hasil Imputasi dengan Metode Regresi pada Ulangan 1..................................................... 6 4. Data Hasil Imputasi dengan Metode PMM pada Ulangan 1 ....................................................... 6 5. Nilai Rata-rata Selisih dan Ragam Selisih Antara Data Asli dan Data Dugaan untuk Peubah X3 ......................................................................................................................... 6 6. Nilai Rata-rata Selisih dan Ragam Selisih Antara Data Asli dan Data Dugaan untuk Peubah X3........................................................................................................................... 6 7. Penduga-penduga Koefisien Regresi ........................................................................................... 8 8. Statistik untuk b0 .......................................................................................................................... 9
DAFTAR GAMBAR 1. Ilustrasi pola data hilang monoton............................................................................................... 2 2. Ilustrasi pola data hilang nonmonoton......................................................................................... 2 3. Rata-rata Selisih antara Data Asli dengan Data Dugaan Peubah X3 untuk Seluruh Kelompok Beda Jumlah Data Hilang ........................................................................... 7 4. Nilai KTS untuk Pendugaan Nilai Tengah Peubah X3 ................................................................. 7 5. Nilai Bias (xbar) untuk pendugaan Nilai Tengah Peubah X3 ....................................................... 7 6. Pembandingan Nilai Bias Metode Penghapusan Unit dengan Metode Imputasi Ganda pada Pendugaan Parameter X3. .......................................................................... 8 7. Pembandingan Nilai KTS Metode Penghapusan Unit dengan Metode Imputasi Ganda pada Pendugaan Parameter X3. .......................................................................... 8
DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1. Data Contoh .............................................................................................................................. 10 2. Kombinasi Jumlah (%) Data Hilang pada Peubah X2 dan X3 Data Asli yang Dihilangkan pada Simulasi 2% pada X2 dan 5% pada X3 .............................................................................. 11 3. Data Asli yang dihilangkan pada Simulasi kedua...................................................................... 11 4. Data Hasil Imputasi dengan Metode Regresi untuk Data Hilang 2% pada X2 dan 5% pada X3 Ulangan 1 .......................................................................................... 12 5. Data Hasil Imputasi dengan Metode PMM untuk Data Hilang 2% pada X2 dan 5% pada X3 Ulangan 1.................................................................................................... 13 6. Hasil Pendugaan Nilai Tengah Peubah X3 dari Simulasi Jumlah Data Hilang 2% pada X2 dan 2% pada X3 ......................................................................................... 13 7. Output Proc MI.......................................................................................................................... 14 8. Output Proc Reg ........................................................................................................................ 15 9. Output Proc MIAnalyze............................................................................................................. 16
PENDAHULUAN Latar Belakang Sensus sebuah populasi adalah usaha yang dilakukan untuk mendapatkan informasi dari setiap unit dalam populasi tersebut, sedangkan survei hanya dilakukan hanya terhadap beberapa unit populasi (contoh). Perancangan survei yang baik akan memilih contoh dengan benar agar kesimpulan terhadap populasi yang menjadi perhatian bersifat terandal dan cukup untuk menyimpulkan keadaan populasi. Dalam sensus maupun survei, seringkali ditemukan unit-unit yang tidak merespon sejumlah pertanyaan yang diajukan (nonrespon). Kish (1965) mendefinisikan nonrespon sebagai kegagalan untuk mendapatkan nilai pengamatan dari beberapa unit yang menjadi contoh. Nonrespon, yang dalam beberapa literatur sering disebut dengan data hilang umumnya dibagi menjadi dua tipe, yaitu unit nonrespon dan item nonrespon. Unit nonrespon terjadi karena unit contoh tidak memberikan respon sama sekali dalam suatu survei. Sedangkan item nonrespon dapat terjadi karena beberapa item dalam kuesioner tidak direspon oleh responden. Secara umum, nonrespon dapat disebabkan karena responden tidak mau menjawab, tidak mampu menjawab atau tidak tahu jawabannya. Nonrespon dapat juga terjadi karena terdapat kesalahan dalam penulisan jawaban atau dalam proses input data (Longford, 2005) . Adanya data hilang akibat nonrespon ini menimbulkan data hasil survei/sensus tidak lengkap. Data hilang tersebut tidak hanya menyebabkan pendugaan parameter menjadi tidak efisien karena ukuran data yang berkurang tetapi juga menyebabkan metode baku untuk data lengkap tidak dapat digunakan untuk menganalisis data. Pada praktiknya, metode analisis untuk data lengkap sering digunakan untuk data-data yang mempunyai data hilang dengan cara menghapus unit-unit pengamatan yang mempunyai data hilang. Terdapat beberapa alasan logis yang memperlihatkan kenyataan bahwa prosedur tersebut tidak baik. Pertama, penghapusan unit-unit pengamatan yang mempunyai data hilang akan mengurangi ukuran contoh yang sudah ditentukan dari awal penelitian. Hal ini otomatis akan mengurangi ketepatan pendugaan populasi. Kedua, jika unit-unit pengamatan yang dihilangkan dalam analisis sangat berbeda dengan unit-unit yang tersisa, maka hasil dugaan akan menjadi berbias (Levy and Lemeshow, 1999).
Sehubungan dengan permasalahan yang ditimbulkan oleh data hilang dalam survei/sensus tersebut terdapat beberapa metode untuk mengatasinya. Dalam penelitian ini dilakukan pembandingan terhadap beberapa metode. Tujuan Tujuan penelitian ini adalah: 1. Memperkenalkan metode pendugaan data hilang karena adanya nonrespon pada data survei untuk kasus item nonrespon, yaitu metode imputasi 2. Mengkaji dan membandingkan beberapa metode imputasi ganda, yaitu metode regresi dan metode Predictive Mean Matching
TINJAUAN PUSTAKA Metode Pendugaan Item Nonrespon Imputasi adalah metode yang digunakan untuk memprediksi data hilang pada kumpulan data survei karena tidak adanya respon terhadap beberapa pertanyaan. Kumpulan data dengan beberapa data hilang yang telah diprediksi akan lebih mudah untuk ditangani secara analitik (Little, 1987). Menurut Little & Su (1989), metode imputasi dapat diklasifikasikan berdasarkan kriterianya. Klasifikasinya adalah sebagai berikut: a. Imputasi Peubah Tunggal dan Peubah Ganda (Multivariate vs Univariate) Misalkan Yobs ,i adalah satu gugus peubah teramati pada unit i dan Ymis ,i adalah gugus peubah yang hilang pada unit yang sama. Ketika Ymis ,i terdiri lebih dari satu peubah, maka imputasi peubah tunggal akan memprediksi setiap peubah Ymis ,i secara terpisah. Sedangkan imputasi peubah ganda akan megimputasi peubah-peubah Ymis ,i secara simultan, dengan memperhatikan hubungan antar peubah tersebut. Imputasi peubah tunggal terlihat lebih sederhana, akan tetapi metode ini mengabaikan hubungan antar peubah. b. Imputasi Bersyarat dan Tak Bersyarat (Conditional vs Marginal) Imputasi marjinal untuk unit i didasarkan pada sebaran marjinal dari Ymis ,i , sedangkan imputasi bersyarat didasarkan pada sebaran bersyarat Ymis ,i dengan nilai Yobs ,i diketahui. Baik sebaran marjinal maupun sebaran bersyarat diduga dari data yang ada.
1
c.
Imputasi Stokastik vs Rata-rata (Stochastic vs Mean) Imputasi rata-rata memprediksi Ymis ,i
dengan rata-rata nilai data yang teramati dalam peubah yang sama, sedangkan imputasi stokastik memprediksi Ymis ,i dengan nilai dari sebaran bersyarat atau tak bersyarat dari Ymis ,i . Imputasi rata-rata umumnya tidak cocok untuk peubah kategorik. Jika data-data kuantitatif dilengkapi dengan metode ini, dugaan terhadap rataan data yang dihasilkan cukup memuaskan, tetapi juga akan menghasilkan dugaan yang melenceng terhadap keragaman dalam sebaran. Contohnya, jika data hilang terjadi pada peubah pendapatan diprediksi dengan menggunakan metode rata-rata, maka pendugaan terhadap persentase kemiskinan akan menjadi bias. Imputasi Tunggal (Single Imputation) Strategi imputasi yang mengisi nilai data hilang dengan sebuah nilai ini sering digunakan untuk mengatasi adanya item nonrespon pada praktek survei (Little, 1987). Jadi, selanjutnya pada tahap analisis data, nilai imputan/prediksi yang diperoleh dari imputasi tunggal dianggap seakan-akan seperti data yang sebenarnya. Metode imputasi ini mempunyai kelemahan yaitu, satu nilai yang digunakan untuk menggantikan data hilang ini tidak mencerminkan keragaman penarikan contoh nilai-nilai sebenarnya saat satu model untuk nonrespon terbentuk. Kelemahan yang lain, tidak dapat mencerminkan ketidakpastian saat terdapat lebih dari satu model untuk nonrespon. Kelemahan tersebut dapat diperbaiki dengan metode imputasi ganda (Rubin, 1987). Imputasi Ganda (Multiple Imputation) Berbeda dengan imputasi tunggal, imputasi ini mengganti nilai data hilang dengan beberapa nilai (dua atau lebih) yang diterima sebagai representasi ketakpastian nilai-nilai data hilang (Rubin, 1987). Terdapat sejumlah m nilai untuk setiap data hilang dan akhirnya akan membentuk m buah gugus data yang telah terlengkapi. Dari masing-masing gugus data tersebut diterapkan metode analisis baku untuk data lengkap, kemudian hasil dari analisis itu dirata-ratakan. Pola Data Hilang Menurut Little (1987) terdapat dua pola data hilang, yaitu pola data hilang monoton dan pola data hilang nonmonoton.
Sebuah set data dengan peubah Y1, Y2, dan Y3 dikatakan mempunyai data hilang yang berpola monoton jika kejadian hilangnya untuk unit tertentu sebuah peubah Yj mengakibatkan semua subsequent peubah Yk, k > j hilang untuk individu unit tersebut. Jika peubah Yj teramati untuk sebuah unit maka semua peubah sebelumnya , Yk, k < j, juga teramati pada unit tersebut. Ilustrasi untuk pola ini dapat dilihat pada gambar 1. Group 1 2 3
Y2
Y1 X X X
Y3 X X .
X . .
Gambar 1. Ilustrasi pola data hilang monoton.
Sedangkan pada pola nonmonoton tidak ada keteraturan letak data hilang. Ilustrasinya dapat dilihat pada gambar 2. Group 1 2 3 4
Y2
Y1 X X . .
Y3 X . X .
X X . X
Gambar 2. Ilustrasi pola data hilang nonmonoton.
Pola data hilang sangat penting diperhatikan dalam penggunaan metode imputasi peubah ganda. Karena hal ini berkaitan dengan proses imputasi yang dilakukan. Imputasi akan dimulai untuk peubah dengan data hilang paling sedikit, dilanjutkan untuk peubah dengan data hilang tersedikit kedua, demikian seterusnya. Mekanisme Data Hilang Pengetahuan tentang mekanisme yang menyebabkan data hilang adalah kunci dasar dalam pemilihan analisis yang sesuai dan bagaimana menginterpretasikan hasilnya (Little, 1987). Beberapa tipe mekanisme data hilang adalah sebagai berikut: a. MCAR (Missing Completely at Random) Keterisian data dari peubah tertentu tidak tergantung dari besarnya nilai peubah itu maupun peubah lainnya. Contohnya, misalkan Y1 peubah pendapatan dan Y2 peubah umur. Jika peluang teramatinya peubah pendapatan sama untuk setiap unit, tidak tergantung pada nilai pendapatan itu sendiri dan pada peubah umur maka mekanisme hilangnya data pada peubah pendapatan bertipe MCAR. b. MAR (Missing at Random) Keterisian data dari peubah tertentu hanya tergantung pada nilai peubah itu dan tidak
2
tergantung pada peubah lain. Dengan mengambil contoh seperti sebelumnya, maka mekanisme hilangnya data pada peubah pendapatan bertipe MAR jika nilai pendapatan tergantung pada peubah umur. tetapi tidak tergantung pada nilai pendapatan c. Nonignorable Keterisian data pada peubah tertentu tergantung pada nilai peubah itu dan peubah lain, sedangkan dua poin di atas, (a) dan (b) termasuk mekanisme data hilang ignorable. Prosedur Imputasi Ganda Terdapat beberapa metode imputasi ganda untuk menangani kasus data hilang. Beberapa metode ini, dalam penggunaannya perlu memperhatikan beberapa hal, yaitu pola data hilang (monoton atau nonmonoton), mekanisme data hilang (Missing at Random, Missing Completely at Random, dll), jenis peubah (kategorik atau numerik) dan sebaran data (kenormalan). Prosedur imputasi ganda dalam SAS 9.1 mengasumsikan mekanisme data hilang Missing at Random. Untuk sebaran data, metode regresi, Predictive Mean Matching dan MCMC mengasumsikan sebaran normal ganda. Jenis-jenis metode imputasi ganda dapat dilihat pada tabel 1. Sintaks untuk prosedur imputasi ganda di SAS 9.1 adalah sebagai berikut: PROC MI
; MONOTONE<metode <( > < /detail > ) > >; VAR ; Tabel 1. Metode Imputasi dalam Proc MI Pola Data Jenis Data Metode Hilang 1. Regresi 2. Predictive Mean Monoton Kontinu Matching 3. Propensity Score Kategorik Monoton Regresi Logistik (Ordinal) Kategorik Monoton Fungsi Diskriminan (Nominal) Markov Chain Monte Arbitrary Kontinu Carlo (MCMC)
Pada Proc MI juga terdapat statement untuk mengatasi pola data hilang yang tidak monoton dengan mengubah pola data hilang tersebut menjadi monoton. Statement yang digunakan adalah MCMC. Metode MCMC selain digunakan untuk memprediksi data dengan pola data hilang yang tidak monoton juga dapat mengubah pola data hilang yang tidak monoton menjadi monoton. Konsep cara
kerjanya adalah dengan cara memprediksi beberapa data (bukan semua data hilang) sehingga pola datanya menjadi monoton (SAS 9.1 Help & Documentation). PROC MI ; MCMC impute=monotone; VAR ; Teori Pembuatan Nilai Imputan Ganda dengan Model Eksplisit Terdapat tiga tahapan (task) yang diperlukan untuk membuat nilai-nilai imputan yang mensimulasi sebaran posterior Ymis ,i dengan model eksplisit Bayesian. Tiga tahapan tersebut adalah tahap pemodelan (Modelling Task), tahap pendugaan (Estimation Task), dan tahap imputasi (Imputation Task). Tahap pertama memilih model yang khusus untuk data. Tahap kedua membuat formula untuk sebaran posterior parameter dari model yang terpilih, dan tahap ketiga mengambil secara acak satu nilai parameter dari sebaran posterior yang didapatkan dari tahap kedua lalu mengambil secara acak nilai Ymis,i dari sebaran posterior bersyarat. Tahap yang ketiga jika diulang sebanyak m kali maka akan didapatkan m imputasi untuk setiap data hilang (Rubin, 1987). Imputasi Ganda dengan Metode Regresi Dari teori tentang pembuatan nilai-nilai imputan dengan model eksplisit Bayesian, jika diterapkan pada metode regresi maka tahapannya adalah sebagai berikut: 1. Tahap Pemodelan Tahap ini terletak pada pembentukan model, dalam hal ini model yang digunakan adalah model regresi linear normal, dengan Yi ~ N(Xiβ, σ2). 2. Tahap Pendugaan Pada tahap ini didapatkan nilai-nilai dugaan parameter dari model. 2 σˆ 2 = Y − X βˆ /( n − q ) 1
∑(
i
1
i
)
1
obs
⎡
⎤
⎣ obs
⎦
βˆ1 = V ⎢∑ X t i Yi ⎥ dimana
⎡ ⎤ V = ⎢∑ X t i X i ⎥ ⎣ obs ⎦
−1
3. Tahap Imputasi Dari nilai-nilai dugaan parameter yang diperoleh dari tahap kedua lalu dilanjutkan ke langkah-langkah berikut:
3
a.
Ambil satu nilai dari peubah acak
yang menyebar hitung
χ
2
n1 − q
, misalkan g dan
σ * 2 = σˆ 21 ( n1 − q ) / g . b. Ambil q buah peubah acak yang menyebar N(0, 1) untuk membuat qkomponen vektor Z dan hitung.
Pada proc MI, untuk setiap Yi* akan dibentuk satu set unit (sebanyak k unit) yang mempunyai nilai Yobs terdekat dengan Yi*. Default yang digunakan dalam prosedur tersebut adalah k=5, pada option. Kemudian dari k buah nilai akan diambil secara acak satu nilai untuk memprediksi data hilang.
β * = βˆ1 + σ * [V ]1 / 2 Z ,
BAHAN DAN METODE
[ ]1 / 2
dimana V merupakan matriks segitiga atas pada dekomposisi Cholesky. c. Kemudian Ymis akan didapat dengan menghitung
Yi* = X i β * + z iσ * ,
dimana normal deviasi zi diambil secara bebas dari N(0, 1). Sebuah nilai imputan yang baru untuk Ymis didapatkan dengan dimulai mengambil sebuah nilai baru dari parameter σ * . Dengan demikian, jika imputasi diulang sebanyak m kali maka ketiga langkah di atas juga diulang m kali. Untuk kasus peubah ganda, misal data hilang Yi = (Yi1, Yi2) dengan Yi1 mempunyai n1 data teramati dan Yi2 mempunyai n2 data teramati dan n2 ≤ n1. Maka peubah yang akan diimputasi terlebih dahulu adalah data hilang pada peubah Yi1 (abaikan Yi2) dengan menggunakan X (peubah dengan data lengkap) sebagai peubah penjelasnya. Kemudian untuk mengimputasi data hilang pada Yi2, model regresi diperoleh dari unit-unit yang teramati pada peubah X, Yi1, dan Yi2. Nilai dugaan untuk data hilang pada peubah Yi2 diperoleh dari nilai-nilai yang sudah ada dan nilai hasil imputan pada peubah Yi1. Demikian seterusnya untuk jumlah Yi yang lebih banyak (Rubin, 1987). 2
Imputasi Ganda dengan Metode Predictive Mean Matching (PMM) Imputasi ini konsep dasarnya seperti metode regresi. Serupa dengan langkahlangkah pada model regresi linear normal, hanya saja langkah (c) pada tahap imputasi digantikan dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Hitung nilai Ymis dengan
Yi* = X i β *
2.
i ∈ mis.
Untuk setiap Yi* i ∈ mis, cari responden Yi yang nilainya paling dekat dengan Yi* ,
dan imput nilai tersebut untuk Ymis. Metode ini adalah gabungan antara metode regresi dan Hot-Deck (Rubin, 1987).
Bahan Penelitian ini menggunakan data hasil simulasi. Data yang dibangkitkan dibuat sedemikian rupa seperti data survei. Skenario yang digunakan adalah survei ini dilakukan untuk menduga nilai tengah lingkar pinggang pada suatu populasi perempuan di suatu kota. Diasumsikan peubah ini adalah peubah yang berpeluang besar terjadi nonrespon karena beberapa sebab dalam survei ini. Adapun peubah-peubah yang dianggap mempengaruhi lingkar pinggang tersebut adalah berat badan dan tinggi badan. Jadi dalam pembangkitan data, ketiga peubah, berat badan (X1), tinggi badan (X2), dan lingkar pinggang (X3), tersebut dibuat agar mempunyai korelasi yang cukup tinggi. Masing-masing peubah dibangkitkan dari sebaran normal. Adapun data riil yang akan digunakan sebagai contoh kasus penggunaan metode imputasi ganda adalah data sekunder hasil survei yang dilakukan oleh Yayah Karliah Husaini (Musa, 2007). 1. 2.
3.
4.
Metode Data populasi sebesar 1000 unit dibangkitkan. Hitung nilai tengah peubah X3. Dari data populasi diambil contoh berukuran 100 (lampiran 1), kemudian terhadap data ini dilakukan penghilangan data dengan jumlah data yang berbedabeda. Perlakuan penghilangan data hanya diberikan kepada peubah X2 dan X3, sedangkan peubah X1 dibiarkan lengkap. Penghilangan data dilakukan sedemikian rupa sehingga pola data hilang yang terbentuk adalah monoton. Jumlah data yang dihilangkan pada peubah X2 adalah sebanyak 2%, 5%, 10%, dan 15%. Adapun jumlah data pada peubah X3 disesuaikan dengan jumlah data hilang pada peubah X2 berdasarkan beda jumlah data hilang yang telah ditetapkan yaitu 0, 3, 5, 10, 15, dan 20. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada lampiran 2.
4
5. 6.
7. 8.
9.
Proses penghilangan data dilakukan secara acak untuk memenuhi asumsi mekanisme kehilangan data yang acak (MAR). Ulangan yang digunakan sebanyak 10 kali pada setiap simulasi untuk memberikan peluang hilang yang sama kepada setiap data. Setiap gugus data diimputasi ganda dengan m=5 (pada proc MI nimpute=5). Setelah didapatkan nilai dugaan semua data hilang, dihitung selisih antara nilai dugaan dengan nilai aslinya. Dari selisih tersebut kemudian dihitung rata-rata dan ragam dari rata-rata tersebut. Dari gugus data yang telah terlengkapi dengan nilai dugaan data hilang kemudian dihitung dugaan nilai tengah peubah X3. Karena dilakukan ulangan 10 kali maka akan didapatkan 10 gugus data contoh yang kemudian akan didapatkan pendekatan bagi nilai KTS, dengan rumus: KTS ( x ) = Ragam( x ) + Bias 2 ( x ) dimana n 2 1 Ragam ( x ) = ∑ [x i − E ( x )] . n i =1 dan
Bias( x ) = E ( x ) − μ
10. Metode imputasi yang baik akan menghasilkan selisih antara nilai dugaan data hilang dengan nilai aslinya yang lebih kecil dan ragam dari rata-rata yang kecil pula. Gugus data contoh yang dibentuk dari metode imputasi tersebut juga mempunyai nilai KTS yang lebih kecil dalam pendugaan parameter populasi. 11. Menerapkan metode imputasi ganda ke dalam contoh kasus.
HASIL DAN PEMBAHASAN Suatu penduga nilai akan dikatakan lebih baik dari penduga lainnya jika nilainya lebih mendekati nilai yang diduga. Pembandingan kedua metode imputasi ganda yang dilakukan adalah dengan membandingkan nilai penduga, dalam hal ini selisih nilai imputan dengan nilai sebenarnya. Proses Imputasi pada Proc MI Dengan mempertahankan urutan letak peubah X1, X2, dan X3 , maka cara kerja proc MI pada SAS 9.1 konsep proses imputasinya adalah dengan terlebih dahulu memprediksi data hilang pada peubah X2. Caranya adalah dengan membentuk model regresi dari unitunit dengan data teramati pada peubah X1 dan
X2 sebagai peubah respon X2, dengan sedangkan X1 sebagai peubah penjelas. Dari model regresi yang terbentuk maka akan terdapat parameter regresi dan kuadrat tengah galat (σ2) yang kemudian akan disimulasikan sehingga terbentuk model regresi baru yang berbeda dengan model regresi awal. Pada model regresi baru terdapat tambahan unsur yang dapat dianggap sebagai galat. Data hilang pada peubah X2 pada unit ke-i akan diprediksi melalui model regresi baru dengan memasukkan nilai peubah X1 pada unit yang sama. Karena banyaknya imputasi yang digunakan adalah 5 (m = 5) maka proses tersebut diulang sebanyak 5 kali. Perbedaan nilai hasil imputasi berasal dari pengambilan bilangan acak dari sebaran tertentu yang berbeda-beda dalam simulasi terhadap parameter regresi dan kuadrat tengah galat. Setelah data hilang pada peubah X2 diduga, proses imputasi dilanjutkan ke data hilang pada peubah X3. Pada proses ini model regresi awal dibentuk dari unit-unit dengan data teramati untuk peubah X1, X2, dan X3, dengan peubah X3 sebagai peubah respon. Selanjutnya serupa dengan proses imputasi pada peubah X2, pada akhirnya akan diperoleh model regresi baru setelah melalui simulasi terhadap parameterparameter regresi dan kuadrat tengah galat regresi. Data hilang pada peubah X3 pada unit ke-i akan diprediksi melalui model regresi baru dengan memasukkan nilai peubah X1 dan X2 pada unit yang sama. Nilai hasil imputasi pada peubah X2 juga digunakan untuk menduga data hilang pada peubah X3. Hampir sama dengan metode regresi, metode PMM melakukan proses imputasi dimana model regresi awal yang terbentuk dari unit-unit dengan data teramati pada peubah X1 dan X2 untuk imputasi data hilang pada peubah X2 dan unit-unit dengan data teramati pada peubah X1, X2, dan X3 untuk imputasi data hilang pada peubah X3. Dari model regresi awal, parameter-parameter regresi dan ragam dari galat disimulasikan. Selanjutnya diperoleh model regresi baru, hanya saja tidak ada penambahan unsur seperti model regresi baru pada metode regresi. Data hilang pada peubah dan unit tertentu akan diprediksi dengan nilai pada unit lain dari peubah yang sama dimana nilainya paling dekat dengan nilai respon yang dihasilkan dari model regresi baru. Hasil Pendugaan untuk Data Hilang 2% pada Peubah X2 dan 2% pada Peubah X3 Dari contoh berukuran 100 unit, simulasi yang pertama dilakukan adalah dengan menghilangkan data sebanyak 2% pada peubah
5
X2 dan 2% pada peubah X3 (selisih 0%). Simulasi ini dilakukan dengan ulangan 10 kali, sehingga terdapat 10 posisi kehilangan data yang berbeda. Adapun data yang dihilangkan pada simulasi ini dapat dilihat di tabel 2. Tabel 2. Data Asli yang Dihilangkan Data Asli Unit X2 X3
Tabel 5. Nilai Rata-rata Selisih dan Ragam Selisih Antara Data Asli dan Data Dugaan untuk Peubah X3 Rata-rata Selisih Ragam Selisih Ulangan REG PMM REG PMM 1
0.1134
0.1544
0.0057
0.0106
2
0.0635
0.1867
0.0034
0.0211
3
0.2568
0.7035
0.0460
0.5114
4
0.1686
0.7113
0.0071
0.5711
89
159.6610
73.2011
5
0.2005
0.1592
0.0121
0.0080
90
157.4080
71.5882
6
0.1683
0.2019
0.0119
0.0122
7
0.1350
0.2312
0.0102
0.0102
8
0.2476
0.1782
0.0180
0.0192
9
0.1825
0.2967
0.0250
0.0050
10
0.1565
0.3191
0.0078
0.0429
Rata-rata
0.1693
0.3142
0.0147
0.1212
Hasil pendugaan data hilang dengan menggunakan metode regresi dan PMM dapat dilihat pada tabel 3 dan 4. Tabel 3. Data Hasil Imputasi dengan Metode Regresi pada Ulangan 1 Data Dugaan Regresi Unit Imputasi X2 X3 89
1
159.9240
73.1073
90
1
157.2100
71.8198
89
2
159.7820
73.1000
90
2
157.2380
71.7408
89
3
159.7270
73.0918
90
3
157.2260
71.6288
89
4
159.4330
73.2599
90
4
157.3670
71.6781
89
5
160.0730
73.1870
90
5
157.4490
71.8304
Tabel 4. Data Hasil Imputasi dengan Metode PMM pada Ulangan 1 Data Dugaan PMM Unit Imputasi X2 X3 89
1
159.4970
73.2354
90
1
157.5050
71.6040
89
2
159.8590
73.0111
90
2
157.0830
71.6272
89
3
159.5880
73.3183
90
3
157.4790
71.3163
89
4
159.5880
73.0111
90
4
157.5050
71.3163
89
5
159.5880
73.0707
90
5
157.1110
71.3045
Dari hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa metode imputasi ganda regresi lebih baik dari metode PMM. Hal ini dapat ditunjukkan oleh nilai rata-rata beda antara nilai imputan dan nilai sebenarnya, 0.16928 untuk metode regresi dan 0.314217 untuk metode PMM. Dan dari rata-rata ragam selisih pun metode regresi lebih kecil dari metode PMM (Tabel 5).
Hasil Pendugaan untuk Data Hilang 2% pada Peubah X2 dan 5% pada Peubah X3 Simulasi yang dilakukan berikutnya adalah dengan menghilangkan data 2% pada peubah X2 dan 5% pada peubah X3 (selisih 3%). Hasil dari simulasi ini menunjukkan bahwa metode regresi lebih baik daripada metode PMM, ditinjau dari nilai rata-rata selisih antara data asli dan data dugaannya juga dari nilai rata-rata ragam selisihnya. Nilai rata-rata selisih metode regresi lebih kecil daripada metode PMM, demikian juga nilai ragam selisihnya. Hasil tersebut dapat dilihat pada tabel 6. Tabel 6. Nilai Rata-rata Selisih dan Ragam Selisih Antara Data Asli dan Data Dugaan untuk Peubah X3 Rata-rata Selisih Ragam Selisih Ulangan REG PMM REG PMM 1
0.1682
0.2161
0.0137
0.0378
2
0.1956
0.1557
0.0170
0.0316
3
0.1963
0.4949
0.0197
0.2151
4
0.2294
0.3940
0.0232
0.1972
5
0.1804
0.4163
0.0162
0.3303
6
0.1827
0.2514
0.0171
0.0392
7
0.1500
0.1290
0.0159
0.0093
8
0.2204
0.2199
0.0155
0.0350
9
0.1631
0.4485
0.0198
0.3460
10
0.1682
0.2161
0.0137
0.0378
rata-rata
0.1854
0.2942
0.0172
0.1279
Ringkasan Hasil Seluruh Simulasi Dari semua simulasi yang dilakukan, jumlah data hilang 2%, 5%, 10%, dan 15% serta selisih jumlah data hilang 0, 3, 5, 10, 15, dan 20 didapatkan hasil bahwa metode regresi selalu lebih baik daripada metode PMM ditinjau dari nilai rata-rata selisih antara data
6
0.4 0.3 0.2 0.1 0 1
3
5
7
9
11 13 15 17 19 21 23
Kelas Jumlah Data Hilang reg
pmm
Gambar 3. Rata-rata Selisih antara Data Asli dengan Data Dugaan Peubah X3 untuk Seluruh Kelompok Beda Jumlah Data Hilang
Nilai rata-rata selisih antara data asli dengan data dugaan metode PMM dari kondisi jumlah data hilang terkecil sampai terbesar cenderung mengalami kenaikan. Hal ini dapat disebabkan oleh data bangkitan yang nilainya berbeda untuk setiap unit. Sehingga semakin banyak jumlah data hilang akan membuat selisih dugaan dengan data asli semakin besar. Penjelasannya adalah berdasarkan teori imputasi ganda metode PMM, nilai imputan unit tertentu didapat dari nilai unit lain yang jaraknya paling dekat dengan nilai hasil regresi antara peubah respon dengan penjelas yang ditunjuk. Kandidat donor atau unit yang nilainya akan dipakai sebagai dugaan bagi data hilang semakin berkurang jumlahnya jika jumlah data hilang semakin banyak. Sedangkan nilai rata-rata selisih antara data asli dengan data dugaan pada metode regresi, seiring dengan peningkatan jumlah kehilangan data, relatif stabil. Berbeda dengan metode PMM, metode regresi mendapatkan nilai dugaan untuk data hilang langsung dari model regresi baru yang terbentuk melalui simulasi koefisien regresi awal. Nilai dugaan data hilangnya bukan diambil dari unit lain (donor). Analisis Data untuk Data yang Telah Dilengkapi Data Dugaan Suatu gugus data yang sebelumnya mempunyai beberapa data hilang tentunya akan dianalisis lebih lanjut. Dalam pendugaan parameter, hasil analisis berdasarkan metode imputasi ganda merupakan kombinasi dari hasil analisis setiap gugus data terlengkapi. Salah satu contoh penggunaan hasil nilai
0.0015 KTS (xbar)
0.5
dugaan dari imputasi ganda yang dilakukan dalam penelitian ini adalah pendugaan nilai tengah populasi, dalam hal ini nilai tengah peubah lingkar pinggang X3. Pembandingan kedua metode imputasi selanjutnya adalah dengan cara melihat nilai KTS pada saat melakukan pendugaan nilai tengah ukuran lingkar pinggang (X3) dari sebuah populasi. Simulasi yang dilakukan adalah dengan cara menghitung rata-rata peubah lingkar pinggang dari semua gugus data contoh hasil imputasi. Terdapat 24 gugus data dengan karakteristik yang berbeda-beda sesuai dengan jumlah data hilang pada peubah X3 dan jumlah data hilang pada peubah X2. Gugus- gugus data yang telah diberi perlakuan penghilangan data kemudian dilengkapi kembali nilai-nilainya yang hilang dengan kedua metode imputasi ganda. Dari satu gugus data tak lengkap yang telah diimputasi ganda akan didapatkan 5 gugus data terlengkapi (m=5), sehingga terdapat 5 nilai statistik peubah X2. Dari SAS (dengan Proc MI) akan secara otomatis dihasilkan satu nilai rata-rata dari kelima nilai statistik tersebut.
0.0010 0.0005 0.0000 1
4
7
10
13
16
19
22
Kelas Jumlah Data Hilang pmm
reg
Gambar 4. Nilai KTS untuk Pendugaan Nilai Tengah Peubah X3
Bias (xbar)
Rata-rata Selisih Data Asli vs Data Dugaan
asli dengan data dugaan dan ragam selisih antara data asli dengan data dugaan. Dari gambar 3 tampak bahwa nilai ratarata selisih antara data asli dengan data dugaan dari metode regresi cenderung lebih kecil dan lebih stabil dari kondisi jumlah data hilang satu ke kondisi lainnya jika dibandingkan dengan nilai rata-rata selisih dari metode PMM.
0.040 0.030 0.020 0.010 0.000 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 Kelas Jumlah Data Hilang pmm
reg
Gambar 5. Nilai Bias (xbar) untuk Pendugaan Nilai Tengah Peubah X3
Karena simulasi yang dilakukan dengan ulangan 10 kali maka akan didapatkan 10 nilai rata-rata untuk menduga nilai tengah X2. Dari nilai-nilai itulah nilai KTS dihitung (nilai tengah peubah lingkar pinggang yang sebenarnya adalah 71.854).
7
Hasil dari simulasi dapat dilihat pada gambar 4. tidak terdapat perbedaan yang berarti antara nilai KTS yang dihasilkan dari metode imputasi regresi dan PMM. Dilihat dari nilai biasnya juga tidak terdapat perbedaan yang berarti di antara kedua metode tersebut (gambar 5). Kedua metode menghasilkan penduga yang nilainya lebih besar dari nilai parameter yang sebenarnya (overestimate).
bias (xbar)
Pembandingan Metode Imputasi Ganda dengan Metode Baku untuk Data Lengkap Pada praktiknya, metode baku untuk data lengkap sering digunakan dalam menganalisis data yang mengandung data hilang. Metode tersebut dilakukan dengan cara menghapus unit-unit yang mempunyai data hilang. Untuk melihat akibat dari penggunaan metode penghapusan unit pada data yang mengandung data hilang dilakukan pendugaan parameter populasi dengan jumlah kehilangan data yang berbeda. Kemudian hasilnya dibandingkan dengan pendugaan parameter melalui metode imputasi ganda, baik PM maupun regresi. 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -0.05
2%
5%
10%
15%
20%
25%
jumlah data hilang hapus unit
PMM
reg
KTS (xbar)
Gambar 6. Pembandingan Nilai Bias Metode Penghapusan Unit dengan Metode Imputasi Ganda pada Pendugaan Parameter X3. 0.04 0.03 0.02 0.01 0
lebih besar dan sama dengan 5%. Pada jumlah kehilangan data 2% ketiga metode tersebut memberikan nilai bias yang tidak jauh berbeda. Terlebih dengan meningkatnya jumlah data hilang, semakin banyak data hilang pada data maka nilai dugaan terhadap parameter populasi akan semakin buruk jika metode penghapusan unit dengan data hilang digunakan. Dari contoh pembandingan tersebut maka dapat ditunjukkan bahwa penggunaan metode baku untuk data lengkap kurang tepat dalam proses analisis data yang mengandung data hilang. Contoh Kasus untuk Penerapan Imputasi Ganda Dari data sekunder yang didapatkan peneliti hanya mengambil beberapa peubah untuk digunakan sebagai contoh penerapan metode imputasi ganda. Peubah-peubah yang digunakan adalah Sistem Kekerabatan (X1), Jenis Kelamin Bayi (X2), Umur Bayi (X3), Bobot Ibu (X4), dan Bobot Bayi (X5), sedangkan peubah yang mempunyai data hilang adalah X4 dan X5 dengan total jumlah kehilangan data sebesar 9.73% dan pola kehilangan data yang terbentuk adalah pola data hilang monoton. Keterangan tersebut dapat dilihat di lampiran 6. Untuk menduga nilai data hilang yang ada pada peubah-peubah tersebut digunakan proc MI dengan menggunakan metode PMM. Adapun analisis lanjut yang digunakan setelah menduga data hilang adalah analsis regresi untuk menduga hubungan antara peubah respon X5 dengan peubah penjelas X1, X2, X3, dan X4. Oleh karena itu, setelah dilakukan pendugaan data hilang dengan metode imputasi ganda dilakukan analisis regresi dengan menggunakan proc reg terhadap tiap gugus data yang telah dilengkapi datanya. Hasil analisis masing-masing gugus data yang telah dilengkapi dapat dilihat pada lampiran 7. Tabel 7. Penduga-penduga Koefisien Regresi
2%
5%
10%
15%
20%
25%
junmlah data hilang hapus unit
PMM
reg
Gambar 7. Pembandingan Nilai KTS Metode Penghapusan Unit dengan Metode Imputasi Ganda pada Pendugaan Parameter X3.
Pembandingan masih dilihat dari nilai bias dan nilai KTS, dengan jumlah data hilang yang dicobakan adalah 2%, 5%, 10%, 15%, 20% dan 25% baik pada peubah X2 maupun X3. Gambar 6 dan 7 menunjukkan bahwa metode penghapusan menghasilkan nilai bias dan KTS yang jauh lebih tinggi daripada kedua metode imputasi ganda pada jumlah kehilangan data
Gugus
b0
b1
B2
b3
b4
1
3.047
-0.086
-0.299
0.328
0.048
2
3.298
-0.101
-0.408
0.350
0.043
3
2.540
-0.055
-0.377
0.345
0.057
4
2.836
-0.088
-0.298
0.339
0.051
5
2.889
-0.116
-0.176
0.306
0.052
Mean
2.922
-0.089
-0.312
0.333
0.050
Var
0.078
0.001
0.008
0.000
0.000
B
Pada tabel 7 dapat dilihat hasil akhir pendugaan koefisien regresi yang merupakan kombinasi tiap pendugaan dari gugus data yang telah dilengkapi (rata-rata penduga koefisien
8
regresi dari tiap gugus data). Sedangkan ragam dari tiap penduga koefisien menduga keragaman nilai penduga koefisien karena dilakukan imputasi sebanyak 5 kali. Sedangkan dari tabel 8 dapat diperoleh informasi bahwa rata-rata dari nilai S2b0 sebesar 0.658, nilai ini menduga keragaman dalam b0 karena penarikan contoh (sampling). Dari analisis regresi yang dihasilkan dari proc MIAnalyze dapat disimpulkan bahwa peubah Sistem Kekerabatan dan Jenis Kelamin Bayi tidak berpengaruh nyata terhadap peubah Bobot Bayi. Hasil tersebut dapat dilihat pada pengujian parsial terhadap tiap penduga koefisien regresi dalam output proc MIAnalyze (lampiran 8). Tabel 8. Statistik untuk b0 Gugus b0
SEb0
S2b0
1
3.047
0.803
0.644
2
3.298
0.816
0.665
3
2.540
0.834
0.695
4
2.836
0.828
0.685
0.776
0.602
5
2.889
Mean
2.922
Var
0.078
0.658
hilang tidak memberikan pengaruh yang besar terhadap perubahan nilai KTS. Pada simulasi sederhana yang dilakukan dalam penelitian ini, telah ditunjukkan bahwa metode penghapusan unit yang mengandung data hilang memberikan hasil yang kurang baik, terlebih dengan jumlah kehilangan data yang cenderung besar. Saran Maka para analis data hendaknya lebih berhati-hati dalam penanganan data yang mengandung data hilang, sehubungan dengan metode analisis baku untuk data lengkap atau metode penghapusan unit yang sering diterapkan pada kasus dengan data hilang. Sebagai saran untuk penelitian selanjutnya yaitu perlu dilakukan simulasi serupa tapi dengan data yang tidak semua unitnya mempunyai nilai yang berbeda (terdapat beberapa unit yang mempunyai nilai sama). Hal ini dimungkinkan akan memberikan hasil yang berbeda khususnya untuk metode PMM. Masih terdapat faktor-faktor yang dapat dan perlu dilihat untuk membandingkan metode imputasi ganda regresi dan PMM selain dari yang sudah diteliti dalam penelitian ini.
KESIMPULAN & SARAN
DAFTAR PUSTAKA
Kesimpulan Dalam hal pendugaan terhadap data hilang dalam data contoh metode imputasi ganda regresi lebih baik daripada metode PMM, karena nilai dugaan yang dihasilkan lebih dekat dengan nilai sebenarnya. Dengan jumlah kehilangan data yang semakin meningkat, selisih nilai dugaan dengan nilai aslinya juga akan meningkat pada metode PMM. Sedangkan pada metode regresi, peningkatan jumlah kehilangan data tersebut tidak mempengaruhi selisih nilai dugaan dengan nilai aslinya (cenderung stabil). Dengan kata lain, keragaman selisih nilai dugaan dengan nilai asli pada metode regresi lebih kecil daripada keragaman yang diperoleh pada metode PMM. Sedangkan dari segi pendugaan parameter populasi melalui data contoh yang telah dilengkapi dengan data imputan, kedua metode imputasi ganda tersebut tidak memiliki perbedaan yang nyata. Hal ini bisa dilihat dari nilai KTS untuk pendugaan parameter populasi yang dihasilkan. Meningkatnya jumlah data
Cochran, W. G. 1977. Sampling Technique. New York: Wiley. Kish, Leslie. 1965. Survey Sampling. New York: Wiley. Levy, P. S. and Lemeshow, S. 1999. Sampling of Populations: Methods & Applications 3rd ed. New York: Willey. Little, R. J. A. and Rubin, D. B. 1987. Statistical Analysis with Missing Data. New York: Wiley. Longford, N. T. 2005. Missing Data and SmallArea Estimation. New York: Springer. Rubin, D. B. 1987. Multiple Imputation for Nonresponse in Sample Surveys. New York: Willey Lepkowski, J. M. 1989. Treatment of Wave Nonresponse in Panel Surveys dalam Panel Surveys. New York: John Willey & Sons. Little, R. J. A. & Su, Hong Lin. 1989. Item Nonresponse in Panel Surveys dalam Panel Surveys. New York: John Willey & Sons. Musa, Sjarkani. 2007. Metodologi Penelitian dengan Statistika. Departemen Statistika IPB. Bogor: inpress.
9
Lampiran 1. Tabel Data Contoh Unit
BB
TB
LP
Unit
BB
TB
LP
1
49.4324
149.511
66.7163
51
61.7837
161.582
74.5994
2
56.899
156.787
71.045
52
53.5326
153.563
68.9106
3
60.8716
160.507
73.8709
53
55.5621
155.583
70.1455
4
57.0462
156.94
71.1986
54
63.8222
163.527
75.8575
5
61.9272
161.766
74.6957
55
57.8411
157.695
71.7531
6
60.6801
160.344
73.7195
56
70.6627
171.177
80.3865
7
66.6718
166.669
77.273
57
59.297
159.123
72.7088
8
45.826
145.309
64.4776
58
58.2188
157.928
71.9686
9
50.9437
151.015
67.4766
59
55.0428
155.177
69.8403
10
61.7919
161.646
74.6008
60
60.1597
159.77
73.2873
11
49.8609
149.954
66.9404
61
53.9314
153.995
69.152
12
57.1347
157.036
71.2669
62
44.7839
144.006
63.7782
13
59.4109
159.261
72.7755
63
65.3905
165.282
76.6412
14
60.2089
159.859
73.3183
64
59.7752
159.497
73.0111
15
54.5868
154.747
69.5767
65
58.3445
158.128
72.0501
16
56.7198
156.733
70.9461
66
57.133
157.035
71.2655
17
58.7177
158.628
72.3472
67
58.557
158.525
72.2457
18
69.7591
169.965
79.0619
68
68.223
167.947
78.1382
19
45.7562
145.185
64.4586
69
47.3786
147.447
65.5552
20
50.8761
150.763
67.3748
70
64.1827
163.982
75.9467
21
54.0898
154.264
69.3025
71
59.7585
159.462
72.9709
22
54.1971
154.337
69.3967
72
62.2208
161.971
74.8943
23
59.6469
159.39
72.8951
73
64.5753
164.549
76.1953
24
57.1945
157.083
71.3045
74
51.687
151.628
67.8628
25
56.5225
156.524
70.7828
75
57.5698
157.479
71.604
26
58.3562
158.149
72.1079
76
63.4873
163.28
75.6435
27
53.5118
153.548
68.9023
77
62.8994
162.668
75.4704
28
55.9135
155.858
70.3363
78
61.3592
161.048
74.1686
29
59.6908
159.427
72.9341
79
54.6803
154.8
69.6147
30
56.9406
156.844
71.0917
80
63.4925
163.299
75.6624
31
59.6787
159.405
72.9249
81
57.5752
157.505
71.6272
32
61.2508
160.982
74.1383
82
65.5858
165.5
76.6875
33
52.2551
152.265
68.1591
83
53.1723
153.29
68.7722
34
56.4417
156.359
70.7002
84
62.3156
162.049
74.9539
35
69.1813
169.032
78.974
85
64.2358
164.052
75.9784
36
47.4949
147.739
65.6055
86
53.8233
153.89
69.0765
37
59.6207
159.367
72.8934
87
64.5114
164.428
76.1693
38
61.7111
161.439
74.5172
88
59.1763
159.039
72.5925
39
60.1028
159.685
73.2354
89
60.022
159.661
73.2011
40
57.2394
157.111
71.3163
90
57.5408
157.408
71.5882
41
64.9534
164.735
76.5012
91
58.9646
158.831
72.4349
42
49.4265
149.481
66.7145
92
59.9014
159.588
73.0707
43
59.5014
159.276
72.7985
93
59.3503
159.167
72.724
44
61.4507
161.101
74.2566
94
57.0478
156.984
71.2074
45
55.2888
155.37
69.9708
95
57.0597
156.99
71.2202
46
54.4116
154.608
69.4961
96
49.9278
150.039
66.9526
47
48.8691
148.659
66.253
97
56.5483
156.583
70.8065
48
61.0478
160.741
73.9923
98
55.6151
155.624
70.1673
49
56.6587
156.659
70.8927
99
55.861
155.847
70.3211
50
46.8773
146.405
65.298
100
65.0771
164.868
76.5546
10
Lampiran 2. Kombinasi (kelas) Jumlah (%) Data Hilang pada Peubah X2 dan X3 Kelas
X2
X3
1.
2
2
2.
2
5
3.
2
7
4.
2
12
5.
2
17
6.
2
22
7.
5
5
8.
5
8
9.
5
10
10.
5
15
11.
5
25
12.
5
30
13.
10
10
14.
10
13
15.
10
15
16.
10
20
17.
10
25
18.
10
30
19.
15
15
20.
15
18
21.
15
20
22.
15
25
23.
15
30
24.
15
35
Lampiran 3. Data Asli yang Dihilangkan pada Simulasi kedua Unit
Data Asli X2
X3
89
150.763
67.3748
90
154.264
69.3025
91
69.3967
92
72.8951
93
71.3045
11
Lampiran 4. Data Hasil Imputasi dengan Metode Regresi untuk Data Hilang 2% pada X2 dan 5% pada X3 Ulangan 1 Data Dugaan Regresi
Unit
Imputasi
X2
X3
89
1
159.924
73.2021
90
1
157.21
71.5003
91
1
72.4482
92
1
73.3175
93
1
89
2
159.25
73.2377
90
2
157.727
71.5851
91
2
72.5248
92
2
73.0719
93
2
89
3
159.764
73.1301
90
3
157.288
71.6848
91
3
72.4849
92
3
73.3848
93
3
89
4
160.034
73.2287
90
4
157.623
71.8264
91
4
72.4809
92
4
73.2734
93
4
89
5
160.394
72.7657
90
5
157.386
71.6861
91
5
72.8995
92
5
72.8837
93
5
72.8114
72.9321
72.6306
72.7983
72.9567
12
Lampiran 5. Data Hasil Imputasi dengan Metode PMM untuk Data Hilang 2% pada X2 dan 5% pada X3 Ulangan 1 Unit
Imputasi
Data Dugaan PMM X2
X3
1
159.497
73.0111
1
157.505
71.3045
1
72.5925
1
72.9709
1
72.5925
2
159.588
73.3183
2
157.695
71.6272
2
72.7088
2
73.0111
2
72.8934
3
159.685
73.3183
3
157.505
71.6272
3
72.7088
3
73.0111
3
72.7985
4
159.588
72.9709
4
157.111
71.6272
4
72.3472
4
73.0111
4
72.7755
5
159.497
73.2873
5
157.111
71.7531
5
72.7755
5
72.9249
5
72.5925
Lampiran 6. Hasil Pendugaan Nilai Tengah Peubah X3 dari Simulasi Jumlah Data Hilang 2% pada X2 dan 2% pada X3 Ulangan
Nilai Rata-rata X3 PMM
REG
1
71.88041
71.88366
2
71.88158
71.88273
3
71.87488
71.88695
4
71.88295
71.88604
5
71.88292
71.88668
6
71.88182
71.88603
7
71.88277
71.88463
8
71.88450
71.88762
9
71.88299
71.88622
10
71.88208
71.88380
Var(xbar)
0.00001
0.00000
B (xbar)
0.02769
0.03144
MSE(xbar)
0.00077
0.00099
13
Lampiran 7. Output Proc MI The MI Procedure Model Information Data Set Method Number of Imputations Seed for random number generator
WORK.SURVEI2 Monotone 5 51343672
Monotone Model Specification Method Regression-PMM( K= 5)
Imputed Variables JkBy UmBy Bibu BBy
Missing Data Patterns
Group
Jk By
Ker
1 2 3
X X X
X X X
Um By X X X
Bibu X X .
BBy X . .
Freq
Percent
102 3 8
90.27 2.65 7.08
Missing Data Patterns ---------------------------------Group Means-------------------------------Group Ker JkBy UmBy Bibu BBy 1 2 3
1.980392 2.000000 1.875000
1.500000 1.666667 1.250000
5.823529 3.000000 6.125000
46.901961 43.666667 .
6.618627 . .
Multiple Imputation Variance Information -----------------Variance----------------Between Within Total
Variable Bibu BBy
0.052054 0.000830
0.475438 0.017866
0.537903 0.018863
DF 73.251 97.172
Multiple Imputation Variance Information Relative Increase in Variance
Variable Bibu BBy
0.131383 0.055772
Fraction Missing Information 0.122026 0.054144
Relative Efficiency 0.976176 0.989287
Multiple Imputation Parameter Estimates Variable Bibu BBy
Mean
Std Error
95% Confidence Limits
46.921239 6.562301
0.733418 0.137342
45.45962 6.28972
48.38286 6.83488
DF 73.251 97.172
14
Lampiran 8. Output Proc Reg REG Model Coefficients and Covariance matrices
Obs 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
_Imput_ 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5
_TYPE_ PARMS COV COV COV COV COV PARMS COV COV COV COV COV PARMS COV COV COV COV COV PARMS COV COV COV COV COV PARMS COV COV COV COV COV
_NAME_ Intrcept Ker JkBy UmBy Bibu Intercept Ker JkBy UmBy Bibu Intercept Ker JkBy UmBy Bibu Intercept Ker JkBy UmBy Bibu Intercept Ker JkBy UmBy Bibu
Intercept 3.04689 0.64405 -0.04002 -0.04835 -0.00903 -0.00926 3.29778 0.66523 -0.04164 -0.05005 -0.01021 -0.00939 2.54041 0.69501 -0.04352 -0.05064 -0.00993 -0.01003 2.83628 0.6852 -0.04529 -0.05308 -0.00869 -0.00969 2.88923 0.60195 -0.042 -0.03851 -0.00864 -0.0086
Ker -0.0856 -0.04002 0.01297 0.00107 0.00024 0.00024 -0.10138 -0.04164 0.01408 0.0011 0.00026 0.00023 -0.05504 -0.04352 0.01372 0.00112 0.00028 0.00028 -0.08776 -0.04529 0.01392 0.0012 0.00026 0.00031 -0.11569 -0.042 0.01307 0.00075 0.00027 0.00029
JkBy -0.29924 -0.04835 0.00107 0.03356 -0.00087 0.00003 -0.40802 -0.05005 0.0011 0.03666 -0.00098 -0.00002 -0.3765 -0.05064 0.00112 0.03534 -0.00092 0.00003 -0.29849 -0.05308 0.0012 0.03564 -0.00091 0.00006 -0.17637 -0.03851 0.00075 0.03355 -0.00097 -0.00015
UmBy 0.32821 -0.00903 0.00024 -0.00087 0.00086 0.0001 0.34966 -0.01021 0.00026 -0.00098 0.00095 0.00012 0.34464 -0.00993 0.00028 -0.00092 0.00091 0.00012 0.33851 -0.00869 0.00026 -0.00091 0.00089 0.00009 0.30641 -0.00864 0.00027 -0.00097 0.00085 0.0001
Bibu 0.04841 -0.00926 0.000245 0.000029 0.000104 0.000174 0.04321 -0.00939 0.000228 -2.1E-05 0.000121 0.000176 0.057157 -0.01003 0.000282 0.000025 0.000117 0.000188 0.050708 -0.0097 0.000307 0.000063 0.000092 0.000179 0.051529 -0.0086 0.000288 -0.00015 0.000099 0.00016
15
Lampiran 9. Output Proc MIAnalyze The MIANALYZE Procedure Model Information Data Set Number of Imputations
WORK.OUTREG 5
Multiple Imputation Variance Information -----------------Variance----------------Between Within Total
Parameter Intercept Ker JkBy UmBy Bibu
0.077709 0.000508 0.008030 0.000293 0.000025620
0.658287 0.013553 0.034951 0.000894 0.000176
0.751538 0.014163 0.044587 0.001245 0.000207
DF 68.428 96.934 42.182 30.241 60.249
Multiple Imputation Variance Information
Parameter
Relative Increase in Variance
Intercept Ker JkBy UmBy Bibu
Fraction Missing Information
0.141657 0.044974 0.275716 0.393424 0.174576
0.130746 0.043924 0.233815 0.309334 0.157879
Relative Efficiency 0.974517 0.991292 0.955326 0.941738 0.969391
Multiple Imputation Parameter Estimates Parameter Intercept Ker JkBy UmBy Bibu
Estimate 2.922117 -0.089095 -0.311724 0.333486 0.050203
Std Error
95% Confidence Limits
0.866913 0.119008 0.211157 0.035286 0.014382
1.19242 -0.32530 -0.73780 0.26145 0.02144
4.651819 0.147105 0.114353 0.405526 0.078969
DF 68.428 96.934 42.182 30.241 60.249
Multiple Imputation Parameter Estimates
16
Parameter
Minimum
Maximum
Theta0
Intercept Ker JkBy UmBy Bibu
2.540413 -0.115693 -0.408024 0.306414 0.043210
3.297777 -0.055044 -0.176367 0.349659 0.057157
0 0 0 0 0
t for H0: Parameter=Theta0 3.37 -0.75 -1.48 9.45 3.49
Pr > |t| 0.0012 0.4559 0.1473 <.0001 0.0009
17
