PERBANDINGAN EFEKTIVITAS METODE ESTIMASI JACKKNIFED RIDGE REGRESSION DAN GENERALIZED RIDGE REGRESSION UNTUK MENGATASI MASALAH MULTIKOLINIERITAS

PERBANDINGAN EFEKTIVITAS METODE ESTIMASI JACKKNIFED RIDGE REGRESSION DAN GENERALIZED RIDGE REGRESSION UNTUK MENGATASI MASALAH MULTIKOLINIERITAS

SKRIPSI

Oleh: SITI MASYKHUR LINTAYAN SARI NIM. 09610100

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2014

PERBANDINGAN EFEKTIVITAS METODE ESTIMASI JACKKNIFED RIDGE REGRESSION DAN GENERALIZED RIDGE REGRESSION UNTUK MENGATASI MASALAH MULTIKOLINIERITAS

SKRIPSI

Diajukan Kepada: Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan dalam Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si)

Oleh: SITI MASYKHUR LINTAYAN SARI NIM. 09610100

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2014

PERBANDINGAN EFEKTIVITAS METODE ESTIMASI JACKKNIFED RIDGE REGRESSION DAN GENERALIZED RIDGE REGRESSION UNTUK MENGATASI MASALAH MULTIKOLINIERITAS

SKRIPSI

Oleh: SITI MASYKHUR LINTAYAN SARI NIM. 09610100

Telah Diperiksa dan Disetujui untuk Diuji: Tanggal: 31 Desember 2013

Pembimbing I

Pembimbing II

Fachrur Rozi, M.Si NIP. 19800527 200801 1 012

Abdussakir, M.Pd NIP. 19751006 200312 1 001

Mengetahui, Ketua Jurusan Matematika

Abdussakir, M.Pd NIP. 19751006 200312 1 001

PERBANDINGAN EFEKTIVITAS METODE ESTIMASI JACKKNIFED RIDGE REGRESSION DAN GENERALIZED RIDGE REGRESSION UNTUK MENGATASI MASALAH MULTIKOLINIERITAS

SKRIPSI

Oleh: SITI MASYKHUR LINTAYAN SARI NIM. 09610100

Telah Dipertahankan di Depan Dewan Penguji Skripsi dan Dinyatakan Diterima sebagai Salah Satu Persyaratan untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si) Tanggal: 10 Januari 2014 Penguji Utama Ketua Penguji Sekretaris Penguji Anggota Penguji

: Abdul Aziz, M.Si NIP. 19760318 200604 1 002

______________

: Dr. H. Imam Sujarwo, M.Pd NIP. 19760318 200604 1 002

______________

: Fachrur Rozi, M.Si NIP. 19800527 200801 1 012

______________

: Abdussakir, M.Pd NIP. 19751006 200312 1 001

______________

Mengesahkan, Ketua Jurusan Matematika

Abdussakir, M.Pd NIP. 19751006 200312 1 001

PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN

Saya yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama

: Siti Masykhur Lintayan Sari

NIM

: 09610100

Jurusan

: Matematika

Fakultas

: Sains dan Teknologi

Judul

: Perbandingan Efektivitas Estimasi Jackknifed Ridge Regression dan Generalized Ridge Regression untuk Mengatasi Masalah Multikolinieritas

menyatakan dengan sebenarnya bahwa skripsi yang saya tulis ini benar-benar merupakan hasil karya saya sendiri, bukan merupakan pengambilalihan data, tulisan atau pikiran orang lain yang saya akui sebagai hasil tulisan atau pikiran saya sendiri, kecuali dengan mencantumkan sumber cuplikan pada daftar pustaka. Apabila dikemudian hari terbukti atau dapat dibuktikan skripsi ini hasil jiplakan, maka saya bersedia menerima sanksi atas perbuatan tersebut.

Malang, 22 Januari 2014 Yang membuat pernyataan,

Siti Masykhur Lintayan S. NIM. 09610100

MOTTO

       ...

"...dan berbuat baiklah, karena sesungguhnya Allah menyukai orang-orang yang berbuat baik" (Q.S Al-Baqarah:195)

“ Sebaik-baik manusia adalah yang bermanfaat bagi orang lain ” (Penulis)

HALAMAN PERSEMBAHAN

Karya tulis sederhana ini penulis persembahkan kepada orangorang yang dengan tulus memberikanku kasih sayang, do’a, motivasi dan segala hal yang penulis butuhkan dalam hidup ini, yakni:

Ibu dan Bapak Tercinta (Ibu Pathonah dan Bapak Yasiadi)

Adik-adik Tercinta (Su’udiyatur R., Lailatul M., dan Saifuddin Z.)

serta (Abah Fauzi, Ibu Nani, Ibu Icha, dan Mas Aconk)

Penulis ucapkan terima kasih

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Wr. Wb Alhamdulillahirobbil’alamiin, puji syukur kepada Allah SWT atas rahmat, taufiq, dan hidayah-Nya, penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains dalam bidang Matematika di Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri (UIN) Maulana Malik Ibrahim Malang dengan judul “Perbandingan Efektivitas Metode Estimasi Jackknifed Ridge Regression dan Generalized Ridge Regression untuk Mengatasi Masalah Multikolinieritas”. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak akan mendapatkan suatu hasil yang baik tanpa adanya bimbingan, bantuan, dorongan, saran serta do’a dari berbagai pihak. Maka dalam kesempatan ini ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada: 1. Prof. Dr. H. Mudjia Rahardjo, M.Si, selaku Rektor UIN Maulana Malik Ibrahim Malang. 2. Dr. drh. Hj. Bayyinatul Muchtaromah, M.Si, selaku Dekan Fakultas Sains dan UIN Maulana Malik Ibrahim Malang. 3. Abdussakir, M.Pd, selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang sekaligus sebagai pembimbing agama dalam menyelesaikan skripsi ini.

4. Fachrur Rozi, M.Si, selaku pembimbing penulis dalam menyelesaikan penulisan skripsi ini. Atas bimbingan, arahan, saran, motivasi, dan kesabarannya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. 5. Segenap dosen dan staf pengajar Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang, terima kasih atas ilmu yang telah diberikan kepada penulis semoga ilmu ini bermanfaat bagi kehidupan di dunia dan akhirat. 6. Ibu dan Bapak yang telah mencurahkan kasih sayang, motivasi, nasihat, dan materi serta senantiasa mengiringi langkah penulis dengan do’a yang tulus sehingga penulis selalu bersemangat dan berusaha untuk melanjutkan demi tercapainya cita-cita. Adikku Su’ud, Atul, dan Ipud terima kasih atas keceriaan yang selalu hadir di saat penatku. 7. Bapak Drs. H. Fauzi Hasyim, Ibu Dra. Hj. Nani Zulaiha dan Ibu Ratna Faradisa, S.Pd serta Mas Hujjatullah Fazlurrahman, SE, yang senantiasa membantu penulis dalam menyelesaikan kuliah dan memberikan dorongan semangat kepada penulis untuk berkiprah di dunia pendidikan baik dalam bidang akademik maupun non akademik. 8. Bapak Rusdi, S.Pd, yang menjadi panutan bagi penulis sebagai pelajar yang tekun. 9. Keluarga besar di rumah Gadang Cahaya Raya Blok F-13, yang selalu menemani keseharian penulis baik suka maupun duka. 10. Teman-teman angkatan 2009, khususnya Luluk Nur Azizah, Alfi Syahri Yuni, Hikmah Maghfiratun Nisa’, Nugraheni Fitroh S., Dwi Prasetyawati, Nia

Auliya, dan Durratun Nafisa, yang sama-sama berjuang demi masa depan yang dicita-citakan yang telah memberikan kebahagiaan dalam kehidupan penulis selama masa kuliah. 11. Semua pihak yang telah membantu menyelesaikan skripsi ini, baik secara langsung maupun tidak langsung yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan dan masih banyak kekurangan. Maka dari itu, penulis mengharap saran dan kritiknya sebagai sebuah masukan agar penulis lebih baik dalam penyusunan skripsi ini atau penulisan sebuah penelitian berikutnya. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi kita semua, dan semoga segala usaha yang telah penulis lakukan selama menyelesaikan skripsi ini selalu mendapat ridho dari Allah SWT.

Malang, Januari 2014

Penulis

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL HALAMAN PENGAJUAN HALAMAN PERSETUJUAN HALAMAN PENGESAHAN HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN HALAMAN MOTTO HALAMAN PERSEMBAHAN KATA PENGANTAR ................................................................................... viii DAFTAR ISI .................................................................................................. xi DAFTAR GAMBAR ..................................................................................... xiii DAFTAR TABEL ......................................................................................... xiv DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................. xv ABSTRAK ..................................................................................................... xvi ABSTRACT .................................................................................................... xvii ‫ الملخص‬............................................................................................................... xviii

BAB I

PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ............................................................................. 1 1.2 Rumusan Masalah ........................................................................ 4 1.3 Tujuan Penelitian ......................................................................... 5 1.4 Batasan Masalah ........................................................................... 5 1.5 Manfaat Penelitian ....................................................................... 5 1.6 Metode Penelitian ........................................................................ 6 1.6.1 Pendekatan Penelitian .......................................................... 6 1.6.2 Tahap Analisis ..................................................................... 7 1.7 Sistematika Penulisan .................................................................. 8

BAB II KAJIAN PUSTAKA 2.1 Regresi Linier Berganda ............................................................... 10 2.2 Multikolinieritas ............................................................................ 11 2.3 Pemusatan dan Penskalaan Regresi .............................................. 12 2.4 Matriks Korelasi ............................................................................ 17 2.5 Ordinary Least Square (OLS) ...................................................... 18 2.6 Bentuk Kanonik Model Regresi .................................................... 20 2.7 Regresi Ridge ................................................................................ 21 2.8 EstimasiGeneralized Ridge Regression (GRR) ............................ 22 2.8.1 Bentuk Bias GRR ................................................................. 23 2.9 Estimasi Jackknifed Ridge Regression (JRR) ............................... 24 2.9.1 Bentuk Bias JRR .................................................................. 29 2.10 Mean Square Error (MSE) .......................................................... 31 2.11 Simulasi Monte Carlo .................................................................. 32 2.11.1 Pendekatan dalam Simulasi ............................................... 32

2.11.2 Konsep Simulasi Monte Carlo............................................ 32 2.12 Kajian Agama ............................................................................... 34 BAB III PEMBAHASAN 3.1 Estimasi Parameter Persamaan Regresi ......................................... 37 3.1.1 Estimasi Parameter Generalized Ridge Regression (GRR) .. 37 3.1.2 Estimasi Parameter Jackknifed Ridge Regression (JRR)...... 38 3.2 Menentukan Formula Persamaan Mean Square Error (MSE) ...... 38 3.2.1 Menentukan Formula Persamaan MSE dari Hasil Estimasi GRR....................................................................................... 38 3.2.2 Menentukan Formula Persamaan MSE dari Hasil Estimasi JRR ........................................................................................ 43 3.3 Aplikasi Simulasi Monte Carlo ..................................................... 48 3.3.1 Proses Simulasi Monte Carlo ............................................... 48 3.3.2 Hasil Simulasi Monte Carlo ................................................. 51 3.3.3 Interpretasi Hasil Simulasi Monte Carlo .............................. 61 3.4 Kajian Agama tentang Hasil Penelitian ......................................... 62 BAB IV PENUTUP 4.1 Kesimpulan ................................................................................... 65 4.2 Saran ............................................................................................ 65 DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 67 LAMPIRAN ...................................................................................................... 69

DAFTAR GAMBAR Gambar 3.1 Grafik Hasil Mean Bias ˆ1 GR  dan ˆ1 JR dengan   0.8 ............. 52 Gambar 3.2 Grafik Hasil Mean Bias ˆ1 GR  dan ˆ1 JR dengan   0.85 ........... 53 Gambar 3.3 Grafik Hasil Mean Bias ˆ1 GR  dan ˆ1 JR dengan   0.9 ............. 54 Gambar 3.4 Grafik Hasil Mean Bias ˆ2 GR  dan ˆ2 JR  dengan   0.8 ............ 55 Gambar 3.5 Grafik Hasil Mean Bias ˆ2 GR  dan ˆ2 JR  dengan   0.85 ........... 56 Gambar 3.6 Grafik Hasil Mean Bias ˆ2 GR  dan ˆ2 JR  dengan   0.9 ............ 57 Gambar 3.7 Grafik Perbandingan MSE ˆGR dan ˆJR dengan   0.8 .............. 58 Gambar 3.8 Grafik Perbandingan MSE ˆGR dan ˆJR dengan   0.85 ............ 59 Gambar 3.9 Grafik Perbandingan MSE ˆGR dan ˆJR dengan   0.9 .............. 60

DAFTAR TABEL Tabel 3.1 Hasil Mean Bias ˆ .......................................................................... 51 Tabel 3.2 Hasil MSE ˆ .................................................................................... 51 Tabel 3.3 Hasil Mean Bias ˆ1 GR  dan ˆ1 JR dengan   0.8 ........................... 52 Tabel 3.4 Hasil Mean Bias ˆ1 GR  dan ˆ1 JR dengan   0.85 ......................... 53 Tabel 3.5 Hasil Mean Bias ˆ1 GR  dan ˆ1 JR dengan   0.9 ........................... 53 Tabel 3.6 Hasil Mean Bias ˆ2 GR  dan ˆ2 JR  dengan   0.8 .......................... 55 Tabel 3.7 Hasil Mean Bias ˆ2 GR  dan ˆ2 JR  dengan   0.85 ........................ 55 Tabel 3.8 Hasil Mean Bias ˆ2 GR  dan ˆ2 JR  dengan   0.9 .......................... 56 Tabel 3.9 Hasil Perbandingan MSE ˆGR dan ˆJR dengan   0.8 ................... 58 Tabel 3.10 Hasil Perbandingan MSE ˆGR dan ˆJR dengan   0.85 ................. 59 Tabel 3.11 Hasil Perbandingan MSE ˆGR dan ˆJR dengan   0.9 .................. 59

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1 Algoritma untuk Membangkitkan Data pada Matlab dengan Perulangan 1000 kali ...................................................................... 69 Lampiran 2 Output Data yang Dibangkitkan dari Matlab dengan Perulangan 1000 kali .......................................................................................... 71 Lampiran 3 Gambar Grafik Hasil Proses dari Matlab ....................................... 72

ABSTRAK Sari, Siti M.L.. 2014. Perbandingan Efektivitas Metode Estimasi Jackknifed Ridge Regression dan Generalized Ridge Regression untuk Mengatasi Masalah Multikolinieritas. Skripsi. Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. Pembimbing: (I) Fachrur Rozi, M.Si. (II) Abdussakir, M.Pd. Kata Kunci: Generalized Ridge Regression (GRR), Jackknifed Ridge Regression (JRR), Mean Square Error (MSE), Simulasi Monte Carlo Masalah yang sering terjadi pada model regresi linier berganda adalah masalah multikolinieritas. Metode estimasi GRR dan JRR ini adalah metode yang sama-sama digunakan untuk menyelesaikan masalah multikolinieritas tersebut, disisi lain dua metode ini dapat digunakan untuk mengatasi nilai efektivitas. Estimasi GRR merupakan pengembangan dari prosedur Ordinary Ridge Regression yang memungkinkan terdapat parameter bias k yang bias sedangkan estimasi JRR adalah metode yang digunakan untuk mengatasi masalah multikolinieritas dengan lebih menekankan pada pengurangan bias terhadap pengestimasi ridge sehingga termasuk estimasi yang hampir tak bias. Untuk melakukan perbandingan efektivitas antara estimasi GRR dan estimasi JRR digunakan uji coba dengan data simulasi Monte Carlo yang dibangkitkan oleh program matlab. Proses yang ada pada simulasi Monte Carlo ini adalah proses acak sehingga menghasilkan angka-angka acak. Angka-angka acak tersebut akan digunakan untuk membangun data dari model simulasi dengan teknik General dan teknik Jackknif, kemudian digunakan untuk menentukan nilai bias dan MSE dari estimasi GRR dan estimasi JRR. Dari hasil penelitian ini didapatkan suatu kesimpulan bahwa estimasi JRR lebih efektif dari pada estimasi GRR karena setelah dilakukan simulasi nilai bias dan nilai MSE pada estimasi JRR lebih kecil dibandingkan dengan estimasi GRR.

ABSTRACT Sari, Siti M.L.. 2014. Comparative Effectiveness Estimation Method Jackknifed Ridge Regression and Generalized Ridge Regression for Troubleshooting Multicollinearity. Thesis. Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, State Islamic University of Maulana Malik Ibrahim Malang. The Advisor: (I) Fachrur Rozi , M.Si. (II) Abdussakir, M.Pd. Keywords: Generalized Ridge Regression (GRR), Jackknifed Ridge Regression (JRR), Mean Square Error (MSE), Monte Carlo Simulation The problem that often occurs in the multiple linear regression model is multicollinearity problem. GRR and JRR estimation method is the same method used to solve both the problem of multicollinearity. On the other hand these two methods can be used to address the value of effectiveness. Estimates of GRR is a development of the Ordinary Ridge Regression procedure that allows the bias parameter k are biased while JRR estimation is a method used to overcome the problem of multicollinearity with more emphasis on reducing bias toward the ridge estimator that includes estimates that almost not bias. To perform a comparison between the estimated effectiveness of GRR and JRR estimates used test with Monte Carlo simulation data generated by matlab program. Existing processes in Monte Carlo simulation is a random process that generates random numbers. Random numbers will be used to build simulation models with data from General Engineering and Jackknif Engineering, then used to determine the value of the bias and MSE of the estimated GRR and JRR estimates. From the results of this study found a conclusion that JRR more effectiv estimate of the GRR estimates because after the simulated bias and MSE in the estimation of JRR smaller than the estimated GRR.

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Dalam penelitian statistik, masalah umum yang sering terjadi dalam model regresi

berganda

adalah

masalah

multikolinieritas.

Salah

satu

akibat

multikolinieritas pada metode estimasi Ordinary Least Square (OLS) adalah menghasilkan variansi yang besar pada koefisien regresinya. Untuk memperbaiki ketelitian pada estimasi OLS dan untuk menghindari

masalah ini ada dua

prosedur estimasi yang sering disarankan dalam literatur-literatur yaitu estimasi Jackknifed Ridge Regression (JRR) yang disarankan oleh Singh dkk. (1986), dan estimasi Generalized Ridge Regression (GRR) yang disarankan oleh Hoerl dan Kennard (1970). Menurut Singh dkk. (1986) estimasi JRR adalah metode yang digunakan untuk mengatasi masalah multikolinieritas dengan lebih menekankan pada pengurangan bias sedangkan menurut Hoerl dan Kennard (1970) estimasi GRR merupakan pengembangan dari prosedur Ordinary Ridge Regression (ORR) yang memungkinkan terdapat parameter bias k dan merupakan metode alternatif yang dapat mengatasi masalah multikolinieritas dengan baik. Estimasi GRR ini lebih mengarah pada pengurangan varians sampel. Kemudian dalam penelitian ini akan dilakukan perbandingan efektivitas estimasi JRR dan estimasi GRR dengan membandingkan nilai bias dan nilai Mean Square Error (MSE). Menentukan efektivitas akan dilakukan dengan data simulasi menggunakan metode Monte 1

2 Carlo yang merupakan salah satu metode sederhana dan dapat dibangun secara cepat. Pembangkitan metode simulasi Monte Carlo didasarkan pada probabilitas yang diperoleh dari data. Teori tentang probabilitas pada ilmu statistika di dalamnya membahas tentang berbagai nilai kemungkinan yang terjadi dari suatu variabel pada model statistik tersebut. Banyak variabel dalam dunia nyata ini mempunyai berbagai kemungkinan yang dapat dilakukan berulang-ulang atau secara acak sehingga dapat membentuk suatu aturan. Aturan tersebut digunakan untuk mengevaluasi aktivitas atau kejadian yang telah selesai seperti yang telah dijelaskan dalam AlQur’an surat Al-Mulk ayat 3 yang berbunyi:

                     Artinya: “Yang telah menciptakan tujuh langit berlapis-lapis. Kamu sekali-kali tidak melihat pada ciptaan Tuhan Yang Maha Pemurah sesuatu yang tidak seimbang. Maka lihatlah berulang-ulang, adakah kamu lihat sesuatu yang tidak seimbang?” (Q.S. Al-Mulk:3). Menurut tafsir Ibnu Katsir (2006:542) “yang telah menciptakan tujuh langit berlapis-lapis” yakni tingkat demi tingkat. Apakah lapisan-lapisan langit itu bersambungan dengan pengertian, apakah sebagian lapisan langit berada di atas sebagian lainnya atau masing-masing terpisah, yang di antara lapisanlapisannya ada ruang hampa udara?. Mengenai hal ini terdapat dua pendapat, dan yang paling benar di antara keduanya adalah pendapat yang kedua, sebagaimana hal itu ditunjukkan oleh hadits Isra’ dan lain-lain.“kamu sekali-kali tidak melihat pada ciptaan Tuhan Yang Maha Pemurah sesuatu yang tidak seimbang”.

3 Maksudnya, bahkan semuanya saling bersesuaian dan seimbang. Tidak ada pertentangan, benturan, ketidakcocokan, kekurangan, aib, dan kerusakan. Oleh karena itu, dalam firman Allah“Maka lihatlah berulang-ulang, adakah kamu lihat sesuatu yang tidak seimbang?” yakni, lihatlah ke langit dan telitilah apakah terdapat cacat, kekurangan, kerusakan atau ketidakseimbangan padanya. Ayat Al-Qur’an di atas memerintahkan bahwa mempelajari suatu ilmu itu harus secara berulang-ulang dan terus menerus untuk menunjukkan keseimbangan yang terjadi di alam dunia nyata ini. Ayat di atas menganjurkan kepada manusia untuk terus menerus mempelajari suatu ilmu dengan berulang-ulang karena semakin sering manusia untuk berpikir semakin banyak pula ilmu yang diperoleh. Penjelasan ayat tersebut merupakan bentuk dari simulasi variabel dalam dunia nyata dengan variabel yang dikaji adalah keseimbangan alam di dunia ini. Dengan cara memikirkan alam yang diciptakan oleh Tuhan Yang Maha Esa ini secara terus menerus maka akan ditemukan suatu jawaban bahwa semua yang ada di alam ini diciptakan dengan seimbang. Menurut Muslich (2009:400) dalam beberapa situasi banyak kasus yang terlalu kompleks dipecahkan dengan model matematika atau teknik analisisnya belum tersedia. Untuk kasus-kasus seperti ini, keputusan sering diambil dengan memecahkannya menggunakan simulasi. Simulasi itu adalah menggunakan gambaran sebenarnya dari suatu sistem kehidupan dunia nyata tanpa harus mengalaminya pada keadaan yang sesungguhnya. Dengan mencontoh atau menduplikasi keadaan yang sebenarnya ini, memungkinkan pengambil keputusan

4 untuk melakukan suatu eksperimen terhadap sistem serta memprediksi tingkah laku dan hasilnya berdasarkan input berbagai parameter dan aturan. Simulasi Monte Carlo adalah proses menurunkan secara acak nilai variabel tidak pasti secara berulang-ulang untuk mensimulasikan. Monte Carlo merupakan teknik stokastik dan probabilistik yang dapat diaplikasikan dalam berbagai bidang dan aplikasinya berbeda dari bidang satu ke bidang yang lainnya. Berdasarkan uraian di atas, dalam penelitian ini penulis akan mengkaji tentang aplikasi data simulasi menggunakan metode Monte Carlo dengan mengambil judul skripsi “Perbandingan Efektivitas Metode Estimasi Jackknifed Ridge Regression dan Generalized Ridge Regression untuk Mengatasi Masalah Multikolinieritas”.

1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalah dalam penelitian ini adalah 1. Bagaimana perbandingan efektivitas estimasi JRR dan estimasi GRR dalam mengatasi masalah multikolinieritas berdasarkan data simulasi menggunakan metode Monte Carlo? 2. Bagaimana kaitan antara kajian agama dengan penentuan efektivitas antara estimasi JRR dengan estimasi GRR?

5 1.3 Tujuan Penelitian Berdasarkan rumusan masalah yang diuraikan di atas, maka tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah 1. Untuk mengetahui perbandingan efektivitas estimasi JRR dan estimasi GRR dalam mengatasi masalah multikolinieritas berdasarkan data simulasi menggunakan metode Monte Carlo 2. Untuk mengetahui kaitan antara kajian agama dengan penentuan efektivitas antara estimasi JRR dengan estimasi GRR

1.4 Batasan Masalah Dalam skripsi ini, pembahasan dimulai dengan menetapkan model JRR dan GRR, kemudian menentukan nilai bias dan nilai MSE antara estimasi GRR dengan estimasi JRR berdasarkan data hasil simulasi yang menggunakan metode Monte Carlo untuk melakukan perbandingan efektivitas model estimasi JRR dan estimasi GRR dalam mengatasi masalah multikolinieritas, dan yang digunakan untuk mengestimasi parameter bias k dari ridge yaitu Metode Hoerl dan Kennard

kˆHK 

ˆ 2 , untuk setiap j  1, 2,..., n . max ˆ 2j 

1.5 Manfaat Penelitian Hasil pada penelitian ini diharapkan mempunyai manfaat-manfaat sebagai berikut:

6 a.

Bagi penulis Mengetahui tentang efektivitas estimasi JRR dengan estimasi GRR dalam mengatasi masalah multikolinieritas berdasarkan data simulasi yang diolah menggunakan metode Monte Carlo, dan dapat menambah wawasan serta pegetahuan untuk sarana pengembangan ilmu pengetahuan khususnya dalam pengembangan ilmu matematika yang dapat diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari di berbagai disiplin ilmu.

b.

Bagi lembaga Untuk pengembangan ilmu dalam memberikan alternatif atau sarana bila dihadapkan pada permasalahan efektivitas estimasi JRR dengan estimasi GRR dalam mengatasi masalah multikolinieritas berdasarkan data simulasi menggunakan metode Monte Carlo sehingga dapat menjadi

kepustakaan

baru dalam perkuliahan. c.

Bagi pembaca Pembaca dapat menggunakan sebagai referensi atau tolak ukur jika ingin meneliti lebih lanjut mengenai permasalahan ini. Pembaca juga bisa menggunakan sebagai bahan pertimbangan dalam mengambil suatu keputusan sehingga dapat digunakan sebagai bahan analisis.

1.6 Metode Penelitian 1.6.1 Pendekatan Penelitian Pada penelitian ini pendekatan yang digunakan adalah pendekatan deskriptif kuantitatif, dan studi literatur. Deskriptif kuantitatif yaitu pendekatan

7 terhadap data yang telah tersedia tetapi dijelaskan sesuai kebutuhan untuk pengujian signifikansi serta menganalisis permasalahan dengan menggunakan teori yang mendukung penelitian. Pendekatan ini menggambarkan objek penelitian yang dihubungkan dan ditelaah dengan teori-teori yang ada, dimana data penelitian yang digunakan adalah data yang dibangkitkan dan pada penelitian ini analisis data menggunakan software matlab. 1.6.2 Tahap Analisis Adapun langkah-langkah yang akan dilakukan pada tahap analisis dalam penelitian adalah sebagai berikut: 1. Mengkaji literatur tentang hasil estimasi parameter ˆGRR dengan menganalisis parameter ˆJRR menggunakan teknik Jackknife. 2. Mengkaji literatur tentang formula bias dari hasil estimasi GRR dan estimasi JRR. 3. Menentukan formula MSE dari hasil estimasi GRR dan estimasi JRR. 4. Melakukan aplikasi data simulasi menggunakan metode Monte Carlo dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1

a. Membangkitkan nilai dari model x ji  (1   2 ) 2 z ji   z pi dimana untuk

i  20, 30, dan 40 untuk j  1, 2 dan p  2 dengan   0.8, 0.85, dan 0.9 serta z adalah distribusi standart normal yang selanjutnya akan dihasilkan nilai-nilai dari xi1 dan xi 2

8 b. Membangkitkan nilai  i  dari model yi   0  1 xi1   2 xi 2   i dimana nilai  0  0 , untuk 1  0, 6 , dan  2  0, 7 yang selanjutnya akan menghasilkan nilai-nilai y i dengan i  20, 30, dan 40 c. Menaksir nilai ˆ1 dan ˆ2 dengan teknik Jackknife Ridge dan General Ridge

pada

persamaan

model

yi   0  1 xi1   2 xi 2   i

dengan

mengabaikan nilai  i  nya yang selanjutnya disebut ˆGRR dan ˆJRR d. Menentukan nilai bias dari ˆGRR dan ˆJRR e. Mengulangi hasil dari langkah d sebanyak m (1000 kali) f. Menentukan nilai mean bias dan Mean Square Error (MSE) dari ˆGRR dan

ˆJRR g. Membandingkan nilai bias dan nilai MSE dari langkah f 5. Melakukan interpretasi dari hasil langkah-langkah aplikasi data simulasi dengan metode Monte Carlo di atas. 6. Mengambil kesimpulan dan memberikan saran-saran berdasarkan hasil yang telah dilakukan pada langkah-langkah sebelumnya.

1.7 Sistematika Penulisan Untuk memudahkan pembaca dalam memahami tulisan ini, maka penulis membagi tulisan ini ke dalam empat bab sebagai berikut:

9 Bab I

Pendahuluan Dalam bab ini dijelaskan mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah, tujuan penelitian, batasan masalah, manfaat penelitian, metode penelitian, dan sistematika penulisan.

Bab II

Kajian Pustaka Dalam bab ini dijelaskan beberapa hal yang menjadi dasar dalam penelitian ini yaitu tentang regresi linier berganda, multikolinieritas, pemusatan dan penskalaan regresi, matriks korelasi, Ordinary Least Square (OLS), bentuk kanonik model regresi, regresi ridge, estimasi Generalized Ridge Regression (GRR), estimasi Jackknifed Ridge Regression (JRR), Mean Square Error (MSE), simulasi Monte Carlo, dan kajian agama.

Bab III Pembahasan Pada bab ini menguraikan keseluruhan langkah-langkah dan hasil dari penelitian yang dijabarkan pada metode penelitian yaitu mengenai perbandingan efektivitas hasil tentang simulasi Monte Carlo untuk mengatasi masalah multikolinieritas pada metode estimasi GRR dan estimasi JRR. Bab IV

Penutup Dalam bab ini dijelaskan mengenai kesimpulan yang diperoleh dari hasil penelitian dan beberapa saran yang berkaitan dengan hasil penelitian.

BAB II KAJIAN PUSTAKA

2.1 Regresi Linier Berganda Analisis regresi adalah metode yang digunakan untuk menentukan pola hubungan suatu variabel terikat dengan satu atau lebih variabel bebas. Hubungan yang didapat akan dinyatakan dalam bentuk persamaan matematik yang menyatakan hubungan fungsional antara variabel-variabel (Sudjana, 2002:310). Dalam memperkirakan nilai variabel Y, perlu diperhatikan variabelvariabel X yang mempengaruhi variabel Y. Dengan demikian harus diketahui hubungan antara satu variabel Y dengan beberapa variabel lain X 1 , X 2 ,..., X k . Untuk meramalkan variabel Y, apabila semua nilai variabel X diketahui, maka dapat dipergunakan model persamaan regresi linier berganda. Hubungan variabel Y dan X 1 , X 2 ,..., X k yang sebenarnya adalah sebagai berikut:

Yi  1 X 1i   2 X 2i  ...   k X ki   i , dimana i  1, 2,..., n dengan

X = variabel bebas Y

= variabel terikat



= koefisien regresi



= error

k

= banyaknya variabel bebas

10

(2.1)

11

apabila model persamaan (2.1) dijadikan ke dalam bentuk matriks menjadi

 Y1   x11 Y   x  2    12       Yn   x1k

xn1   1   1  xn 2    2   2           xnk    k   n 

x21 x22 x2 k

dengan k  n yang berarti observasi harus lebih banyak dari pada banyak variabel bebas, atau dapat ditulis sebagai

Y  X 

(2.2)

dimana Y adalah matriks ukuran n1 , X matriks ukuran n   k  1 ,  matriks ukuran  k  1 1 dan  matriks ukuran  n1 (Supranto, 2001:239-241).

2.2 Multikolinieritas Istilah multikolinieritas pertama kali ditemukan oleh Ragnar Frisch pada tahun 1934 yang berarti adanya hubungan linier di antara beberapa atau semua variabel bebas dalam model regresi (Setiawan dan Endah, 2010:82). Kolinearitas (collinearity) sendiri berarti hubungan linier tunggal (single linear

relationship),

sedangkan

kolinearitas

ganda

(multicollinearity)

menunujukkan adanya lebih dari satu hubungan linier yang sempurna (Firdaus, 2004:111). Apabila terjadi multikolinieritas sempurna di antara variabel bebas, maka det ( X T X )  0 sehingga matriks ( X T X ) merupakan matriks singular. Sedangkan jika terjadi multikolinieritas mendekati sempurna, maka det ( X T X ) mendekati nol sehingga matriks ( X T X ) hampir singular (Setiawan dan Endah, 2010:84-85).

12

Hal yang sering dijumpai dalam masalah-masalah multikolinieritas bukanlah multikolinieritas ganda sempurna melainkan multikolinieritas yang mendekati sempurna. Menurut Firdaus (2004:112) jika terjadi multikolinieritas sempurna maka koefisien regresi dari variabel X tidak dapat ditentukan (indeterminate) dan standard error-nya tak terhingga. Jika multikolinieritas kurang sempurna maka akan timbul akibat sebagai berikut: 1. Meskipun koefisien regresi dari variabel X dapat ditentukan, tetapi nilai standard error-nya akan cenderung membesar. 2. Karena nilai standard error dari koefisen regresi besar maka interval keyakinan untuk parameter dari populasi juga cenderung melebar. 3. Bila multikolinieritas ganda tinggi, akan diperoleh nilai R 2 yang tinggi tetapi sedikit sekali atau bahkan tidak ada koefisien regresi yang signifikan secara statistik.

2.3 Pemusatan dan Penskalaan Regresi Pemusatan dan penskalaan data merupakan bagian dari membakukan suatu variabel. Modifikasi sederhana dari membakukan variabel ini adalah transformasi korelasi (Kutner, 2005:98). Dalam hal ini yang akan dibakukan adalah model regresi linier pada persamaan (2.2) yaitu Y  X 

13

dari model (2.2) jika ditulis dalam bentuk matriks dengan ukuran matriks Y adalah (n×1), ukuran matrik X adalah (2×n) dan ukuran matriks  adalah (2×1) menjadi

 Y1  Y  Y   2     Yn 

 X 11 X X   12    X 1n

X 21  X 22    X 2n 

 1    2 

 

Bentuk matriks X T X dari matriks X di atas adalah

X X T X   11  X 21

 X 11 X 1n   X 12 X 2 n     X 1n

X 12 X 22

 n 2    X 1i  i 1  n    X 2i X 1i  i 1

X 21  X 22    X 2n 

 X 2i  i 1  n 2  X 2i    i 1  n

X

1i

(2.3)

Kemudian bentuk umum dari X T X adalah 2  n    X ji  i 1 XT X   n    X 2 ji X ji  i 1

 X 2 ji  i 1  n 2  X 2 ji    i 1  n

X

ji

(2.4)

Jika kolom-kolom pada matriks X dipusatkan maka terdapat 2 kolom yaitu kolom 1 dan kolom 2. Kolom 1 ( X 1 ) dan kolom 2 ( X 2 ) pada matriks X adalah sebagai berikut:

 X 11  X1   X 21  X 2      X 12  X 1  X 22  X 2    dan X 2  X1           X 1n  X 1   X 2n  X 2 

14

Misalnya U adalah matrik X yang sudah dipusatkan maka:

U   X1

X2 

 X 11  X 1  X  X1 U   12    X 1n  X 1

X 21  X 2   X 22  X 2  1 n , dengan X j   X ji , j  1, 2  n i 1  X 2n  X 2 

(2.5)

Bentuk U TU dari persamaan (2.5) adalah

 X  X1 U TU   11  X 21  X 2

 X 11  X 1  X 1n  X 1   X 12  X 1  X 2n  X 2     X 1n  X 1

X 12  X 1 X 22  X 2

n 2   X1i  X1    i 1  n     X 2i  X 2  X 1i  X 1   i 1

  X 1  X 2i  X 2    n 2   X 2i  X 2    i 1 

 X n

i 1

X 21  X 2   X 22  X 2    X 2n  X 2 

1i

(2.6)

Pembakuan adalah rata-rata dibagi dengan standar deviasi. Standar deviasi adalah akar dari variansi. Bentuk umum variansi dalam hal ini adalah S jj 

2 1 n X ji  X j    n  1 i 1

(2.7)

sehingga S11 

1 n   X1i  X1  X1i  X1  n  1 i 1

2 1 n  X 1i  X 1    n  1 i 1

S22 

dan 

1 n   X 2i  X 2  X 2i  X 2  n  1 i 1 2 1 n X 2i  X 2    n  1 i 1

15

Jadi bentuk standar deviasi adalah sebagai berikut: Standar deviasi =

S jj 

2 1 n X ji  X j    n  1 i 1

bentuk Z adalah matriks yang sudah dibakukan dengan mengikuti bentuk matriks X sebelumnya yaitu,

  X 11  X 1   S11     X 12  X 1  Z  S11      X 1n  X 1   S11 

X

 X2    S 22    X 22  X 2    S 22     X 2n  X 2    S 22  21

(2.8)

Kemudian matriks Z T dikalikan dengan matriks Z menjadi bentuk matriks Z T Z yaitu, 2  n  X  X   1i 1       S11  i 1  ZT Z    n  X X X X  2  1i 1     2i    i 1  S S 22 11   

 1  T Z Z   S12   S11 S22

  X 1i  X 1  X 2i  X 2         S S i 1 11 22   2  n  X  X   2i 2        S22  i 1   n

 S11 S22   1   S21

langkah untuk matriks U TU adalah sebagai berikut: dimana

(2.9)

16

S jj 

2 1 n X ji  X j    n  1 i 1

sehingga S11 

1 n   X1i  X1  X1i  X1  n  1 i 1

2 1 n  X 1i  X 1    n  1 i 1

S12 

S22 

dan 

1 n   X1i  X1  X 2i  X 2  n  1 i 1

S 21 

dan

2 1 n  X 1i  X 1     n  1 i 1 karena U T U    1 n  n  1   X 1i  X 1  X 2i  X 2  i 1 

1 n   X 2i  X 2  X 2i  X 2  n  1 i 1 2 1 n X 2i  X 2    n  1 i 1

1 n   X 2i  X 2  X1i  X1  n  1 i 1

1 n  X 2i  X 2  X 1i  X 1     n  1 i 1  2  1 n X 2i  X 2     n  1 i 1 

sehingga bentuk dari U TU adalah

S U TU   11  S12

S21  S22 

(2.10)

misal Y  adalah Y yang sudah dipusatkan maka  Y1  Y      S yy     Y2  Y   2 1 n 1 n Yi  Y  Y *   S yy  , dengan Y   Yi dan S yy    n i 1 n  1 i 1      Yn  Y      S yy 

(2.11)

17

2.4 Matriks Korelasi Misalkan model regresi yang akan digunakan adalah Y  1 X 1   2 X 2  

(2.12)

dengan memusatkan data seperti yang sudah diuraikan di atas, model regresi tersebut dapat diubah ke dalam bentuk

Y  Y  1  X1  X   2  X 2  X   

(2.13)

Pada matriks Y  yaitu Y yang sudah dipusatkan pada persamaan (2.11) diperoleh Y  S yy  Y  Y  sehingga model regresi persamaan (2.12) dapat diubah ke dalam bentuk sebagai berikut:

Y  Y  1  X1  X1   2  X 2  X 2    dengan Y  Y  Y  S yy

X

1

 X1   Z1 S11

X

2

 X 2   Z2 S22

Maka persamaan (2.12) menjadi

Y  S yy  1Z1 S11   2 Z 2 S22   Y 

1 S11 S yy

Z1 

 2 S22 S yy

Z2   (2.14)

 1.Z1   2 .Z 2    Z  dalam hal ini 1 

1 S11 S yy

dan  2 

 2 S22 S yy

,  1 dan  2 merupakan koefisien-

koefisien baru yang harus diduga dari data yang telah ditransformasikan.

18

Dari

hasil

estimasi

ˆLS

dengan

metode

OLS

menghasilkan

ˆLS  ( X T X )1 X T Y , sehingga bentuk di atas dapat dituliskan menjadi ˆ   Z T Z  Z T Y . Dengan mensubtitusikan persamaan (2.9) maka, 1

ˆ   Z T Z  Z T Y 1

1   r12

1

r21   r1 y    1   r2 y 

(2.15)

 X n

dimana r1 y 

S1 y S11.S yy



i 1

1i

 X 1 Yi  Y  S11 S yy

dan Z T Z  1  r122

2.5 Ordinary Least Square (OLS) Metode OLS adalah metode yang dapat digunakan untuk mengestimasi nilai rata-rata (central moments) dari variabel acak. Salah satu cara untuk mendefinisikan nilai tengah dari suatu himpunan data adalah dengan mencari nilai  r' , yang meminimumkan nilai fungsi n



S   Yi   i 1

r

' r



2

yang merupakan fungsi galat kesalahan rata-rata aproksimasi dengan data sebenarnya. Estimasi  ^ ' , merupakan variabel acak yang dikatakan sebagai Least Square Estimator (LSE). bentuk lain dari fungsi S adalah

19

n

S '   Yi r  r' i 1

yang menghasilkan estimator sebagai least absolute derivation (LAD) atau minimum absolute derivation (MAD) estimator. Meminimumkan sebuah fungsi dilakukan dengan menyamakan turunan pertamanya dengan nol, yaitu: n S   2 Yi  ˆ  i 1





2

0

sehingga diperoleh

ˆls 

1 n  Yi n i 1

(Aziz, 2010:12-13).

Dari model regresi linear berganda pada persamaan (2.12) dapat dinyatakan dalam bentuk matriks. Dengan variabel Y adalah matriks ukuran ( n1 ), variabel X adalah matriks ukuran ( n   k  1 ),  adalah matriks ukuran (  k  1 1 ) dan  adalah matriks ukuran (  k  1 1 ). Diasumsikan untuk X dan Y adalah matriks yang sudah dipusatkan dan diskalakan, sehingga X T X dan Y T Y adalah matrik korelasi. Untuk mengestimasi ˆLS adalah sebagai berikut: Y  X 

 Y  X S   T  (Y  X  )T (Y  X  )  Y T Y  Y T X   ( X  )T Y  ( X  ) T X 

20

S  Y TY  Y T X    T X TY   T X T X   Y T Y  (Y T X  )T   T X T Y   T X T X   Y TY   T X TY   T X TY   T X T X   Y T Y  2 T X T Y   T X T X 

(2.16)

untuk meminimumkan nilai error diperoleh dengan menggunakan turunan parsial S terhadap  dS  0  2  T X T Y   T X T X   (  T X T X )T d  2 X T Y  X T X   X T X   2 X T Y  2 X T X 

(2.17)

kemudian persamaan (2.17) di atas disamakan dengan nol maka diperoleh X T X   X TY ˆLS  ( X T X ) 1 X T Y

(2.18)

2.6 Bentuk Kanonik Model Regresi Proses bentuk kanonik dari persamaan regresi Y  X    adalah

Y  X     XDDT     XI     X 

(2.19)

dengan X   XD dan   DT  , kemudian bentuk kanonik α mengikuti persamaan (2.18) yaitu,

  ( X T X * ) 1 X *Y  (( XD)T ( XD)) 1 X *Y  ( DT X T XD ) 1 X Y

21

  ( DT CD)1 X Y

(2.20)

Bentuk kanonik dari persamaan regresi Y  X    adalah

Y  X   XDDT     XID    XD  

(2.21)

 X    dengan   DT  Y  X     ( XD) DT     XI     X 

(2.22)

kemudian bentuk kanonik ˆLS dengan melihat persamaan (2.18) adalah

ˆLS  ( X T X  )1 X T Y  (( XD)T XD)1 X T Y  ( DT X T XD) 1 X T Y   1 X T Y

(2.23)

2.7 Regresi Ridge Regresi ridge merupakan salah satu metode yang digunakan untuk mengatasi multikolinieritas melalui modifikasi terhadap metode kuadrat terkecil. Modifikasi tersebut dilaksanakan dengan cara menambah tetapan bias k yang relatif kecil pada diagonal utama matriks XTX, sehingga koefisien estimator ridge dipenuhi dengan besarnya tetapan bias k (Hoerl dan Kennard, 1970:235).

22

Regresi ridge adalah estimasi yang bias untuk koefisien regresi dalam suatu model. estimasi yang bias biasanya digunakan untuk menghadapi masalah multikolinieritas dengan meninggalkan metode kuadrat terkecil yang biasa. (Walpole dan Myers, 1995:511-512). Adapun

bentuk regresi ridge yang

paling sederhana adalah sebagai

berikut:

ˆRR  ( X T X   kI )1 X T Y

(2.24)

2.8 Estimasi Generalized Ridge Regression (GRR) Estimasi GRR merupakan pengembangan dari prosedur Ordinary Ridge Regression (ORR) yang memungkinkan terdapat parameter bias k dan merupakan metode alternatif yang dapat mengatasi masalah multikolinieritas dengan baik. Dari bentuk persamaan (2.24) di atas maka bentuk dari ˆGR adalah

ˆGR  (  K ) 1 X T Y  (  K ) 1 ( XD)T X ˆLS  (  K ) 1 DT X T XDˆLS  (  K ) 1 ˆLS  A1ˆLS  A ( A  K )ˆLS 1

 ( A1 A  A1 K )ˆLS  ( I  A1 K )ˆLS

dengan mengetahui bahwa   D maka ˆGR adalah

(2.25)

23

ˆGR  D GR  D( A1ˆLS )  D((  K ) 1  ( 1 X T Y )  D(( DT X T XD  K ) 1 DT X T Y )  D( DT X T XD  DT DKDT D ) 1 DT X T Y  D( DT ( X T X  DKDT ) D) 1 DT X T Y  DDT ( X T X  DKDT ) 1 DDT X T Y  I ( X T X  DKDT ) 1 IX T Y  ( X T X  K ) 1 X T Y 1 

A X Y

(2.26)

T

2.8.1 Bentuk Bias GRR Suatu estimasi dikatakan tak bias jika ekspektasi estimasi sama dengan nilai parameter yang diestimasi. Estimasi GRR dan JRR merupakan estimasi bias karena terdapat selisih antara nilai ekspektasi estimasi dengan yang diestimasi. Bentuk bias ˆGR ini didapatkan dari E ˆGR    dan untuk bias ˆGR didapatkan dari E  ˆGR    . Untuk mendapatkan bias ˆGR langkah yang harus dilakukan dahulu adalah mendapatkan bentuk bias ˆGR . Dari persamaan (2.25) didapatkan estimasi ˆGR sehingga bentuk ekspektasi dari ˆGR adalah

E ˆGR   E[( I  A1K )ˆLS ]  E  I ˆLS   E[( A1K )ˆLS ]  E ˆLS   ( A1K ) E ˆLS     ( A1 K ) sehingga bias dari ˆGR  adalah

24 Bias (ˆGR )  E ˆGR       A 1 K   

(2.27)

  A 1 K 

Selanjutnya untuk bentuk bias dari ˆGR didapatkan dari E  ˆGR   E  DˆGR   E[ D ( I  A1 K )ˆLS ]  E[ DI ˆLS ]  E[ DA1 K ]ˆLS  E[ DˆLS ]  E[ DA1 K ˆLS ]  D  ( DA1 K ) E ˆLS   D  ( DA1 K )

sehingga diperoleh

Bias( ˆGR )  E[ ˆGR ]    D  ( DA1 K )  D  ( DA1 K ) (2.28)

  DA1 KDT  2.9 Estimasi Jackknifed Ridge Regression (JRR)

Metode estimasi JRR merupakan salah satu metode estimasi parameter model regresi dengan mengoreksi kemungkinan bias menggunakan prosedur Jackknif. Prosedur ini diperkenalkan oleh Quenouille (1956) dalam Khurana, dkk. (2012) dengan cara mengambil sampel baru secara berulang dari data asal berukuran n dengan cara menghilangkan data ke-i, i  1, 2,..., n . Hinkley (1977) dalam Singh, dkk. (1986) mengusulkan suatu parameter Jackknif yang berasal dari ˆGR . Misalkan Y i merupakan vektor Y dengan menghapus komponen ke-i

dan matriks X i merupakan matrik X  dengan

25 menghapus pengamatan ke-i maka ˆGR (  i ) merupakan parameter GRR yang telah menghapus pengamatan ke-i. Berdasarkan pada persamaan (2.25) ˆGR (  i ) dapat didefinisikan sebagai berikut:

ˆGR ( i )   X Ti X i  K  X Ti Yi 1

(2.29)

dengan X  adalah matriks berordo n 2 yaitu,

 x11   x X    12     x1n

  x21   x22  .   x2n 

untuk menghilangkan pengamatan ke-i dari bentuk X T X  adalah xi xiT . Adapun bentuk matriks dari X i dengan menghapus pengamatan ke-i yaitu,  x11    x12    X  i   x1( i 1)  x  1( i 1)   x  1n

  x21   x22     x2( i 1)  x2( i 1)     x2 n 

sedangkan bentuk matriks transpose dari X i yaitu,

 x X Ti   11   x21

x12

x1( i 1)

x1( i 1)

 x22

x2( i 1)

x2( i 1)

x1n   x2 n 

Dengan xi adalah vektor kolom X T dan xiT adalah vektor baris dari X  sedangkan y i adalah koordinat Y maka untuk menentukan ˆGR (  i ) dapat dituliskan sebagai berikut:

26

 GR i   X T X   xi xiT  K 

1

X

T

Y  xi yi



(2.30)

Penjabaran dari persamaan (2.30) di atas yaitu,

ˆGR i   X T X   xi xiT  K 

X Y  x y    X Y  x y 

1



T

 i i

T    X T X   K  xi xiT i i  1 T      XD   XD   K  xi xiT X T Y  xi yi    1   DT X T XD  K  xi xiT X T Y  xi yi    1



 





 





 



1   DT CD  K  xi xiT X T Y  xi yi    1     K  xi xiT X T Y  xi yi   



 





 



1   A  xi xiT X T Y  xi yi     A1 xi xiT A1  T  X Y  xi yi   A1  T 1   1  xi A xi    A1 xi xiT A1 A1 xi xiT A1  T  A1 X T Y  A1 xi yi  X Y  xi yi 1  xiT A1 xi 1  xiT A1 xi











 ˆGR 



A1 xi yi 1  xiT A1 xi T i

1  i

1 x A x

 A







1  T i i

x x A1 X T Y T i

1  i

1 x A x

 A



1  T i i



x x A1 xi yi T i

1  i



1 x A x











1  T 1 T A1 xi xiT A1 xi yi  A1 xi yi  A1 xi yi xiT A1 xi  A xi xi A X Y  ˆGR     1  xiT A1 xi 1  xiT A1 xi 1  xiT A1 xi  



1  T 1 T  A1 xi yi  A1 xi xiT A1 xi yi  A xi xi A X Y A1 xi xiT A1 xi yi  ˆGR     1  xiT A1 xi 1  xiT A1 xi 1  xiT A1 xi  





1  T 1 T A1 xi yi A1 xi xiT A1 xi yi A xi xi A X Y A1 xi xiT A1 xi yi  ˆGR     1  xiT A1 xi 1  xiT A1 xi 1  xiT A1 xi 1  xiT A1 xi



A1 xi xiT A1 X T Y A1 xi yi  ˆGR   1  xiT A1 xi 1  xiT A1 xi





 A1 x y A1 xi xiT A1 X T Y i i   ˆGR    1  xiT A1 xi 1  xiT A1 xi 

   

27

ˆGR i





 A1 xi yi  xiT A1 X T Y  ˆGR    1  xiT A1 xi 

    

uraian di atas dapat disederhanakan menjadi

 

 A1 xi yi  xiT ˆGR ˆ ˆ  GR ( i )   GR    1  xiT A1 xi 



   

(2.31)

Kemudian pada langkah berikutnya, diperlukan pseudo values. Singh, dkk. (1986) mendefinisikan pseudo values sebagai:

Qi  ˆ  n(1  wi )(   i )

(2.32)

dengan wi  x Ti A1 xiT sehingga

Qi  ˆGR  n(1  wi )(ˆGR  ˆGR ( i ) )



   A1 xi yi  xiT ˆGR    ˆGR  n(1  wi ) ˆGR  ˆGR      1  wi     A1 xi yi  xiT ˆGR    ˆGR  n(1  wi )    1  wi  





 ˆGR  nA1 xi yi  xiT ˆGR



     



Hasil di atas kemudian digunakan pada estimasi JRR sebagai berikut:

ˆJR  Q  

1  Qi n





1 ˆGR  nA1 xi yi  xiT ˆGR  n

 

 ˆGR  A1 xi yi  xiT ˆGR dimana ui  yi  xiT ˆGR maka





28

ˆJR  ˆGR  A1xiui  ˆGR  A1xi yi  xi xiT ˆGR  ˆGR  A1 X T Y  X T X ˆGR  ˆGR  A1 X T (Y  X ˆGR )  ˆGR  A1 X T Y  A1 X T X ˆGR  ˆGR  ˆGR  A1 X T X ˆGR  ˆGR  ( I  A1 X T X  )ˆGR  ˆGR  ( I  A1 DT X T XD )ˆGR  ˆGR  ( I  A1 ( ))ˆGR

 



 ˆGR  I  A1 ( A  K ) ˆGR  ˆGR  ( I  ( A1 A  A1 K ))ˆGR

 



 ˆGR  I  I  A1 K ˆGR





 ˆGR  I  I  A1 K ˆGR  (ˆGR  A1 K )ˆGR  ( I  A1 K )ˆGR  ( I  A `1 K )( I  A `1 K )ˆLS  ( I 2  ( A `1 K ) 2 )ˆLS  I  ( A `1 K ) 2 ˆLS Berdasarkan   DT  dan   D maka bentuk  dari JRR yaitu,

ˆJR  DˆJR  D( I  A1 K ) GR  D( I  A1 K )( I  A1 K ) LS  D( I  A1 K )( A1 A  A1 K ) 1 X T Y  D( I  A1 K )( A1 ( A  K )) 1 X T Y  D( I  A1 K ) A1 1 X T Y  D( I  A1 K ) A1 IDT X T Y  ( D  DA1 K )( A1 DT ) X T Y  DA1 DT X T Y  DA1 KA1 DT X T Y  ( DA1 DT  DA1 KA1 DT ) X T Y

(2.33)

29 dengan A  ( DT ( X T X  DKDT ) D) maka

ˆJR   D( DT ( X T X  DKDT ) D) 1 DT  D( DT ( X T X  DKDT ) D) 1 DT DKDT D



( DT ( X T X  DKDT ) D) 1 DT X T Y





 DD 1 X T X  DKDT



1



( DT ) 1 DT  DD 1 X T X  DKDT





DT DKDT DD 1 X T X  DKDT





 DDT X T X  DKDT



1





1



1

( DT ) 1







1

( DT ) 1 DT X T Y

( DT ) 1 DT  DDT X T X  DKDT

DT DKDT DDT X T X  DKDT  I X T X  DKDT

1





1

( DT ) 1



( DT ) 1 DT X T Y



I  I X T X  DKDT



1



IDKDT I X T X  DKDT



1



I X TY

dengan A  X T X  K  dan K   DKD T diperoleh

ˆJR  ( A1  A1 K A1 ) X T Y  A1 X T Y  A1 K A1 X T Y  ( I  A1 K ) A1 X T Y  ( I  A1 K ) A1 X T ( X  )  ( I  A1 K ) A1 ( X T X )   ( I  A1 K ) A1 ( X T X  K   K  )   ( I  A1 K ) A1 ( A1  K )   ( I  A1 K )( A1 A1  A1 K ) 

(2.34)

 ( I  ( A K ) )  1 

2

2.9.1 Bentuk Bias JRR Estimasi JRR juga merupakan estimasi bias. Bentuk bias ˆJR didapatkan dari selisih nilai ekspektasi estimasi dengan nilai parameter yang diestimasi yaitu

E ˆJR    sedangkan untuk bias ˆJR didapatkan dari E  ˆJR    .

30 Berdasarkan persamaan (2.33) didapatkan estimasi ˆJR sehingga bentuk ekspektasi dari ˆJR adalah E ˆJR   E  I  ( A `1 K ) 2 ˆLS   E  I ˆLS   E ( A `1 K ) 2 ˆLS   E ˆLS   ( A `1 K ) 2 E ˆLS     ( A `1 K ) 2 

dan bias dari ˆJR  adalah

Bias(ˆJR )  E ˆJR     (  ( A`1K )2  )    ( A K )   `1

(2.35)

2

Selanjutnya untuk bentuk bias dari ˆJR didapatkan dari persamaan (2.34) dan bentuk ekspektasi dari ˆJR adalah

E  ˆJR   E  DˆJR   E[ D( I  ( A1K ) 2 ˆLS ]  E[ DI ˆLS ]  E[ D( A1K ) 2 ˆLS ]  D  ( D( A1 K )2 ) E ˆLS   D  ( D( A1 K )2 ) sehingga didapatkan

Bias ( ˆJR )  E[ ˆJR ]    D  ( D( A1 K ) 2 )  D  ( D( A1 K ) 2 )   D( A1 K ) 2 DT 

(2.36)

31

2.10 Mean Square Error (MSE) Dalam statistik, MSE sebuah estimator adalah nilai yang diharapkan dari kuadrat error. Error yang ada menunjukkan seberapa besar perbedaan hasil estimasi dengan nilai yang akan diestimasi. Perbedaan itu terjadi karena adanya keacakan pada data atau karena estimator tidak mengandung informasi yang dapat menghasilkan estimasi yang lebih akurat. Apabila ada nilai error dari suatu pendekatan semakin meningkat itu berarti bahwa MSE akan cenderung meningkat selama pada tahap awal, karena prediktor yang penting telah dihilangkan. Sehingga menyebabkan uji statistik terlalu kecil. Untuk pendekatan yang menurun, nilai MSE cenderung lebih mendekati karena prediktor yang penting dipertahankan. MSE adalah metode yang digunakan untuk mengevaluasi suatu metode. Masing-masing kesalahan atau sisa dikuadratkan, kemudian dijumlahkan dan dibagi dengan jumlah sampel. Pendekatan ini mengatur kesalahan yang besar karena kesalahan-kesalahan yang dikuadratkan. Suatu teknik yang menghasilkan kesalahan kecil tapi kadang-kadang menghasilkan sesuatu yang sangat besar. Berikut ini rumus untuk menghitung nilai MSE: MSE 

dimana: MSE = mean squared error N

= jumlah sampel

yt

= nilai aktual indeks

1 N

N

(y t h

t

 yˆ t ) 2

32 yˆ t

= nilai prediksi indeks

2.11 Simulasi Monte Carlo 2.11.1 Pendekatan dalam Simulasi Simulasi adalah suatu alat yang fleksibel dari model atau metode kuantitatif. Umumnya simulasi ini cocok bila diterapkan untuk menganalisis interaksi masalah yang rumit dalam sistem, sedangkan penggunaan teknik analisis yang ada sangat terbatas. Simulasi juga berguna untuk mengetahui pengaruh atau akibat suatu keputusan dalam suatu jangka waktu tertentu. Simulasi juga banyak dimanfaatkan untuk melakukan analisis What-if dari seperangkat parameter dan keputusan. Untuk melakukan simulasi terdapat 6 tahap prosedur yang perlu dilakukan, yakni sebagai berikut: 1. Formulasi masalah. 2. Menentukan apakah simulasi layak dilakukan. 3. Menyusun modelnya. 4. Memvalidasi model. 5. Menerapkan model simulasi. 6. Menganalisis hasil simulasi. 2.11.2 Konsep Simulasi Monte Carlo Model simulasi banyak digunakan untuk menganalisis suatu sistem yang menggunakan proses acak. Jika outcome dari sistem ini dapat terjadi dengan beberapa kemungkinan yang tidak pasti, maka outcome ini dapat dikatakan terjadi

33

secara acak. Prosedur yang digunakan untuk membuat simulasi proses acak disebut simulasi Monte Carlo. Proses acak dalam simulasi Monte Carlo menggunakan angka-angka acak. Angka acak ini adalah suatu kumpulan angka yang kemungkinan timbulnya adalah sama (probabilitas timbulnya angka tersebut sama) dan pola angka yang timbul tidak dapat diidentifikasi. Angka acak yang digunakan dalam simulasi Monte Carlo ini dihasilkan oleh komputer dengan menggunakan program matlab dan lazimnya disebut pseudo random number. Pada hakikatnya simulasi Monte Carlo adalah suatu metode yang digunakan untuk menghasilkan outcome dari suatu distribusi probabilitas (Muslich, 2009:410-411). Metode Monte Carlo merupakan alat khusus yang sangat berguna untuk mensimulasi situasi yang mengandung resiko sehingga diperoleh jawabanjawaban prakiraan yang tidak dapat diperoleh dari penelitian-penelitian secara fisik atau dari penggunaan analisa matematika. Metode tersebut mencakup penetapan distribusi peluang dari variabel acak, mengambil contoh secara acak dari populasi teoritis dan merata-ratakannya. Karena pengambilan contoh dilakukan secara acak, maka perlu adanya pembangkitan bilangan untuk menghasilkan nilai-nilai yang mempunyai distribusi sesuai dengan

populasi

sebenarnya (Watson, 1981:160). Keuntungan utama model simulasi adalah bahwa model ini memberikan suatu fasilitas untuk menangani suatu ketidakpastian. Keuntungan lainnya adalah model simulasi dapat dilakukan berulang kali. Caranya yaitu dengan menggunakan parameter yang berbeda-beda untuk mengevaluasi berbagai akibat

34

atau pengaruh, atau dengan menggunakan berbagai urutan angka acak untuk mempelajari besaran nilai variasi statistiknya. Variabilitas yang diperoleh dari suatu simulasi sebenarnya merupakan kemungkinan hasil yang dapat terjadi dari sistem yang sedang disimulasikan (Muslich, 2009:414).

2.12 Kajian Agama Matematika merupakan salah satu ilmu yang mendasari dalam perkembangan teknologi modern yang sangat pesat dewasa ini, dan mempunyai peran penting dalam memajukan daya berpikirnya manusia untuk mengasah logika mereka. Selain itu, matematika juga dikenal dengan ilmu pasti atau ilmu hitung yang digunakan secara teliti dalam menyelesaikan suatu hal apapun. Sebagaimana yang dianjurkan dalam Al-Qur’an surat Maryam ayat 94:

     Artinya:”Sesungguhnya Allah telah menentukan jumlah mereka dan menghitung mereka dengan hitungan yang teliti”.

Perhitungan suatu data dikatakan teliti jika perhitungan tersebut menghasilkan suatu nilai yang tepat. Dalam matematika terdapat cabang ilmu yang mempelajari tentang analisis suatu data dengan perhitungan yang teliti yaitu ilmu statistika. Selain harus menghitung dengan teliti pada ilmu matematika dalam AlQur’an dianjurkan untuk melakukan perhitungan yang cepat. Sehingga harapan memperoleh hasil yang baik dengan cara perhitungan yang teliti dan juga cepat akan lebih besar. Dalam Al-Qur’an Allah berfirman

35

      … Artinya: “ … Sesungguhnya Allah Amat cepat hisab-Nya” (Q.S. Al-Maidah:4). Menurut tafsir Al-Qurthubi (2008:187) firman Allah ini merupakan perintah agar bertaqwa. Perintah ini bersifat global, dan hal terdekat yang dikandung oleh beberapa ayat itu adalah perintah-perintah tersebut. Adapun mengenai cepatnya hisab Allah itu disebabkan Allah mengetahui segala sesuatu dan dapat menghitung jumlah segala sesuatu, sehingga Allah tidak memerlukan upaya menghitung sebagaimana yang dilakukan para pakar hitungan. Oleh karena itu Allah berfirman

     … Artinya:“… Dan cukuplah kami sebagai pembuat perhitungan”(Q.S. AlAnbiaa’:47).

Dengan demikian, Allah dapat melakukan hisab kepada semua makhluk secara sekaligus. Ada kemungkinan firman Allah itu merupakan ancaman pada hari kiamat. Dalam hal ini, seolah-olah Allah berfirman “sesungguhnya hisab Allah terhadap kalian itu Maha cepat kedatangannya. Sebab hari kiamat itu sudah dekat.” Ada juga kemungkinan bahwa yang dimaksud dengan hisab adalah balasan. Dalam hal ini, seolah-olah Allah mengancam akan memberikan balasan yang cepat di alam dunia, jika mereka tidak bertaqwa kepada Allah. Menurut Abu Ja’far dalam tafsir Ath-Thabari (2007:345) maksud dari “sesungguhnya Allah amat cepat hisab-Nya” adalah, “Takutlah wahai sekalian manusia terhadap apa yang diperintahkan dan apa yang dilarang. Kemudian Allah

36

menakuti manusia bahwa jika mereka melakukan larangan-Nya, maka sesungguhnya Allah sangat cepat hisab-Nya. Allah adakan perhitungan di antara manusia atas nikmat-nikmat-Nya dan selamat orang yang bersyukur di antara manusia atas apa yang Allah karuniakan dengan berbuat taat kepada-Nya terhadap apa yang diperintahkan dan apa yang dilarang. Allah menjaga semua itu dalam diri manusia, tidak ada sedikit pun yang tersembunyi dari Allah, sehingga akan diberikan balasan untuk orang yang taat di antara semua manusia karena ketaatannya dan orang yang melakukan maksiat karena kemaksiatannya. Allah menjelaskan untuk para manusia balasan kedua kelompok tersebut ”.

BAB III PEMBAHASAN

Sebelum dibahas mengenai evaluasi efektivitas antara estimasi GRR dan estimasi JRR dengan simulasi Monte Carlo, pada bab ini akan dibahas mengenai langkah-langkah menentukan bentuk persamaan Mean Square Error (MSE) dari Generalized Ridge Regression (GRR) dan Jackknifed Ridge Regression (JRR) kemudian akan dilakukan perbandingan antara estimasi GRR dan estimasi JRR dilihat dari hasil bias dan MSE keduanya. Adapun langkah-langkah untuk menentukan formula MSE dari model estimasi GRR dan estimasi JRR adalah sebagai berikut.

3.1 Estimasi Parameter Persamaan Regresi 3.1.1 Estimasi Parameter Generalized Ridge Regression (GRR) Estimasi GRR merupakan pengembangan dari prosedur Ordinary Ridge Regression yang memungkinkan terdapat parameter bias k dan merupakan metode alternatif yang dapat mengatasi masalah multikolinieritas dengan baik. Dari penjelasan di bab II diperoleh beberapa persamaan estimasi GRR yang akan digunakan untuk menentukan formula MSE GRR yaitu sebagai berikut:

ˆGR  (  K ) 1 X T Y  ( I  A1 K )ˆLS

(3.1)

E ˆGR     ( A1K )

(3.2)

Bias (ˆGR )   A1 K 

(3.3)

37

38

ˆGR  A1 X T Y

(3.4)

E  ˆGR   D  ( DA1 K )

(3.5)

Bias(ˆGR )  DA1KDT 

(3.6)

3.1.2 Estimasi Parameter Jackknifed Ridge Regression (JRR) Estimasi JRR ini adalah metode yang digunakan untuk mengatasi masalah multikolinieritas dengan lebih menekankan pada pengurangan bias terhadap pengestimasi ridge sehingga termasuk estimasi yang hampir tak bias. Dari penjelasan di bab II diperoleh beberapa persamaan estimasi JRR yang akan digunakan untuk menentukan formula MSE JRR yaitu sebagai berikut:

ˆJR  I  ( A `1 K ) 2 ˆLS

(3.7)

E ˆJR     ( A`1K )2 

(3.8)

Bias (ˆJR )  ( A `1 K ) 2 

(3.9)

E  ˆJR   D  ( D( A1K )2 )

(3.10)

ˆJR  (I  ( A1K )2 )

(3.11)

Bias(ˆJR )  D( A1K )2 DT 

(3.12)

3.2 Menentukan Formula Persamaan Mean Square Error (MSE) 3.2.1 Menentukan Formula Persamaan MSE dari Hasil Estimasi GRR MSE sebuah estimator adalah suatu nilai yang diharapkan dari kuadrat error. Dimana nilai error ini yang menunjukkan perbedaan antara suatu hasil

39 estimasi dengan nilai yang akan diestimasi. Perbedaan itu terjadi karena adanya keacakan pada data atau karena estimator tidak mengandung informasi yang dapat menghasilkan estimasi yang lebih akurat. Untuk mendapatkan formula persamaan MSE dari ˆGR harus menguraikan persamaan Var ˆGR  terlebih dahulu yang menggunakan hasil dari E ˆGR  dan langkah-langkah untuk menjabarkan

Var ˆGR  tersebut adalah sebagai berikut: Var  ˆGR   E  GR  E GR  GR  E GR 

T

T T T T   E  GR GR   GR E GR  E GR GR  E GR E GR

 

       A K    E  

T   E  GR    A1 K   E  GR GR

T

1

T

GR



   A K       A K     E         A K       A K        A K       A K        A K       A K     E         A K        A K     E  I   A K     I   A K          A K        A K      1

1

T GR GR

1

T

T

1

1

T

T

1

1

T

1

LS

1

T

1

LS

 



1

1

1

T GR GR



T

1



 

 

  

 

T  E   LS  A1 K  LS  LS  A1 K  LS     A1 K    A1 K    T T T   E  LS A1K  LS     E  A1 K  LS  LS  E  LS  LS    







  A K   



E  A1 K  LS 

T

1

LS

 A K    A K    1

T

1





 



    T  A1K  T     

1

T







T

1



  

    A K  E   A K    A K    A K  

T T T   A1 K E  LS  LS   E  LS  LS  A1 K  E  LS  LS

A K

 A K   



  T  A1 K  T   T

1

T

1

T

1

T

1

T

 

T LS LS

T

40

    E       I   A K   E     A K     I   A K    I   A K   A K      I   A K    E       I   A K      I   A K      I   A K     I   A K    E        I   A K     I   A K   Var      I   A K     I   A K       I   A K        A K      I   A K        A K    I   A K      I   A K    I   A K  

Var   GR   I  A1K

1

T LS LS

1

1

T

1

1

T

1

T LS LS

T LS LS

1

1

T

T

T

1

T

1

T

1

T

T

1

T LS LS

T

1

LS

1

2

2

2

2

1

1

1

1

1

2

1

T

1

1

1

T

1

1

T

1

T

1

Dari hasil uraian persamaan Var ˆGR  di atas dan persamaan bias ˆGR yang sudah diketahui pada persamaan (3.3) maka formula persamaan MSE dari ˆGR adalah sebagai berikut:

MSE  ˆGR   Var  ˆGR    Bias  ˆGR    Bias  ˆGR  

T

  I  A I  A

 K    I 

    A K   A K    A K    A K   A K  

  2 I  A1 K  1 I  A1K 2 2

1

1

1

T

  



T

1

T

1

K  1 I  A1K



T

1

T

1

T



T

1

 A1K  T A1K



T

(3.13)

Kemudian akan dicari formula persamaan dari MSE ˆGR dimana langkah-langkah yang dilakukan adalah hampir sama dengan proses penentuan formula persamaan MSE dari ˆGR , untuk mendapatkan formula persamaan MSE ˆGR harus

41

  terlebih dahulu yang menggunakan persamaan-

didapatkan persamaan Var ˆGR

persamaan dari E  ˆGR  . Dimana formula E  ˆGR  dari persamaan (3.5) akan diestimasi terhadap  terlebih dahulu yaitu, E  ˆGR   D  ( DA1 K )





 DDT   DA1 K DDT 





 I   DA1 K I 





   DA1 K 

 

Kemudian untuk menguraikan formula dari Var ˆGR

langkah-langkah yang

harus dilakukan adalah sebagai berikut:

 

T Var ˆGR  E   GR  E  GR   GR  E  GR  T T T T   E  GR  GR   GR E  GR  E  GR  GR  E  GR E  GR



     ( DA K ) D   E        ( DA K ) D     ( DA K ) D    E         ( DA K ) D     ( DA K ) D       ( DA K ) D      ( DA K ) D       ( DA K ) D      ( DA K ) D    E  I   DA KD     I   DA KD        T   E   GR    ( DA1 K ) DT   E  GR  GR 1

T

T

1

1

T

T

T

T

GR

GR

1

T GR

1

T

1

T

1

T

1

T

T

1

T



   ( DA



1

LS

   ( DA K ) D   KD        DA

K ) DT 

 E   LS  DA1 

K ) DT 

T

T

LS

1

1

T

1

   ( DA

T

T

1

T

T

1

T

LS

   ( DA

LS

1

K ) DT 



T



KDT  LS



T

 

T

42

   

   E     DA KD 

Var ˆGR  I  DA1 KDT

LS

 



T   I   DA1 KDT   LS

   I   DA KD     I   DA KD    DA KD      I   DA KD    E        I   DA KD     I   DA KD     I   DA KD     I   DA KD    E         I   DA KD     I   DA KD   Var      I   DA KD     I   DA KD       I   DA KD        DA KD      I   DA KD         DA KD     I   DA KD      I   DA KD     I   DA KD    E 

LS

T  LS

1

1

T

T

T

1

1

T

1

T

T

1

T

1

1

1

T

T

T

T

T

T LS

LS

T

T

T LS

LS

1

T

T

1

T

1

T

T

T

T

T

LS

1

T

1

2

1

1

2

T

1

1

2

1

2

2

1

1

1

1

T

T

1

1

T

T

1

 

Dari hasil uraian persamaan Var ˆGR

T

T

T

T

T

T

di atas dan persamaan bias ˆGR yang

sudah diketahui pada persamaan (3.5) maka formula MSE dari ˆGR adalah sebagai berikut:

  

 

   Bias  ˆ  KD     I   DA KD      DA T

MSE ˆGR  Var ˆGR  Bias ˆGR

 

  2 I  DA1

  DA

1

KDT 



  1

KDT 



1

T

T

1

T

T

1

KDT 

T

  2 I  DA1 KDT

 DA

GR

 

1

I

T



 DA1 KDT



T

  DA KD  1

T



43

 

 

MSE ˆGR   2 I  DA1 KDT

 DA

1

KDT 

   I   DA 1

1

KDT



T

 DA1 KDT 



(3.14)

T

3.2.2 Menentukan Formula Persamaan MSE dari Hasil Estimasi JRR Untuk mengetahui formula persamaan MSE dari ˆJR dan MSE dari ˆJR langkah-langkah yang dilakukan adalah sama dengan langkah-langkah yang dilakukan pada penentuan formula persamaan MSE dari hasil estimasi GRR. Untuk mengetahui formula persamaan MSE dari ˆJR dibutuhkan uraian dari persamaan Var ˆJR  yang menggunakan hasil persamaan-persamaan E ˆJR  yang sudah diketahui pada persamaan (3.8). Adapun uraian persamaan Var ˆJR  adalah sebagai berikut: Var  ˆJR   E  JR  E JR  JR  E JR 

T

T T T T   E  JR JR   JR E JR  E JR JR  E JR E JR







T   E  JR    A1 K   E  JR JR 2

     A K    E  T

2

1



T

JR

   E         A K        A K        A K       A K        A K       A K     E         A K        A K       E  I   A K     I   A K          A K         A K    

   A1 K      A1 K   2

JR

1

T JR

2

1

JR

2

T

1

1

2

2

T

2

1

2

T

2

1

T

2

LS

1

2

1

2

1

LS

1

2

1

T JR

T

T

T

1

2

2



44



 Var  ˆJR   E   LS  A1 K 









 LS  LS   A1 K   LS

2



   A1 K  

T   E  A1 K  E  LS  LS 





 A K 

2





2

 LS

1

 A K    A K  1

2

      A K    T

2

1

T

2

 E  A1 K 

2

1

2







T  A1 K  E  LS  LS

 A K               A K      A K     

T   LS  LS  E  LS 

 LS

 

T

2

1

LS

T

2

1

T

T

2

1

T

T



T   A1 K  E  LS  LS

2



2



T  A1 K E  LS  LTS   E  LS  LS



2T



  T  A1 K



2



2T



 A1 K



2

 T   T  A1K    A1K  2T

2

   I   A K    E       I   A K    E     A K     I   A K      I   A K     A K      I   A K    E       I   A K      I   A K     I  A K     I   A K    E        I   A K     A K  Var      I   A K     I   A K       I   A K        A K      I   A K        A K    I   A K     I  A K   I  A K     I  A K   I  A K     I  A K   I  A K    T  A1 K  1

2T

2

LS

1

2

2

LS

2

T LS

T

1

1

2T

1

2

LS

T LS

2

1

T

2T

1

LS

1

2

2

2

1

2

2

1

1

2

1

1

2

1

1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2T

1

1

T

2T

1

1

2

2T

1

1

2T

2T

2 T

1

T LS

2T

2T

1

2T

1

1

2

LS

1

T

1

1

T LS

2T

2

T

45 Dari hasil uraian Var ˆJR  di atas dan persamaan bias ˆJR yang sudah diketahui pada persamaan (3.9) maka formula persamaan MSE dari ˆJR adalah sebagai berikut:

MSE  ˆJR   Var  ˆJR    Bias  ˆJR    Bias  ˆJR  

T





  2 I  A1 K







2

 A1 K 







1

2

1









  A K

I  A1 K

2 T







2

  A1 K 



T

  2 I  A1 K

 A K  

   2



 1 I  A1 K

2 T

1

2

 T

(3.15)

2 T

Kemudian akan dicari formula persamaan dari MSE ˆJR dimana langkah-langkah yang dilakukan adalah hampir sama dengan proses menuju persamaan MSE dari

ˆGR , untuk mendapatkan persamaan MSE ˆJR harus didapatkan persamaan

 

Var ˆJR

terlebih dahulu yang menggunakan persamaan-persamaan dari

E  ˆJR  dan E  ˆJR  dari persamaan (3.10) akan diestimasi terhadap  terlebih

dahulu yaitu,

E  ˆJR   D  ( D( A1K ) 2 )  DDT   ( D( A1 K ) 2 ) DT   I   ( D( A1 K ) 2 ) DT     ( D( A1 K ) 2 DT ) 

  langkah-langkah

Selanjutnya untuk mengetahui uraian persamaan dari Var ˆGR yang harus dilakukan adalah sebagai berikut:

46

 

T Var ˆJR  E   JR  E  JR   JR  E  JR  T T T T   E   JR  JR   JR E  JR  E  JR  JR  E  JR E  JR



T   E   JR  DDT   ( D ( A1K ) 2 ) DT   E   JR  JR



T



 DD   ( D( A K ) ) D   E      DD   ( D( A K ) ) D    DD   ( D( A K ) ) D    E       DD   ( D ( A K ) ) D    DD   ( D( A K ) ) D    DD   ( D( A K ) ) D   DD   ( D( A K ) ) D     DD   ( D( A K ) ) D   DD   ( D( A K ) ) D    E       I   ( D( A K ) ) D   I   ( D( A K ) ) D     I   ( D( A K ) ) D   I   ( D( A K ) ) D     I   ( D( A K ) ) D    I   ( D( A K ) ) D   1

T

2

T

T

1

T

2

T

1

2

JR

1

T

JR

2

T JR

T

T

1

T

2

T

T

T

1

2

T

T

1

2

T

T

1

2

T

T

1

2

T

JR

1

T JR

2

T

1

2

T

1

2

T

1

2

T





1



2





2

D

T





2

T

T

T

2

    T

DT  LS



T

       D  A K  D      LS

2

DT  LS



T

T

LS

LS





2

T

1

K ) 2 ) DT    ( D( A1 K ) 2 ) DT 

  E   LS  D A1 K 

   ( D( A





  1



I  D A1 K

K ) 2 ) DT    ( D( A1 K ) 2 ) DT 

  E   LS  D A1 K 

   ( D( A

  

DT  LS

T

1

T

1

  E  I  D A1 K 

   ( D( A

2

T



T



T 2   LS  D  A1K  DT  LS   

   E      D  A K  D E      E    D  A K  D E    D  A K  D E     I   D  A K  D    E        I   D  A K  D   LS

1

K ) 2 ) DT    ( D( A1 K ) 2 ) DT  T

LS

2

1

T

T

2

1

T LS

T

2

1

T LS

LS

T

LS

LS

2

1

T

LS



 T 1  E   LS  LS  D A K 





2

2

T

  

  1  I  D A K   T 2  D A1K DT   T

DT

 I   D  A K  D    1

1

T LS

T











2

2

DT

T

 

T



T

T



47

 

    D   E       I   D  A K  D      I  D A K D    I  D A K D                    I   D  A K  D    E         I   D  A K  D         I   D  A K  D   Var      I   D  A K  D         I   D  A K  D       I   D  A K  D            D  A K  D      I   D  A K  D            D  A K  D    I  D  A K  D          I   D  A K  D    I   D  A K  D    

Var ˆJR   I  D A1 K 

2

T

1

2

1

2

T

T

T LS

LS

2

1

T

T

2

1

T

T

2

1

T LS

LS

T

2

1

T

T

2

1

T

T

T

T

LS

2

1

2

2

1

T

2

1

1

2

2

1

2

1

2

T

T

1

1

2

1

2

 

T

2

T

T

2

1

1

Dari hasil uraian persamaan Var ˆJR

T

1

1

T

T

2

1

T

T

T

di atas dan persamaan bias ˆJR yang

sudah diketahui pada persamaan (3.12) maka formula MSE dari ˆJR adalah sebagai berikut:

 

  

   Bias  ˆ 

T

MSE ˆJR  Var ˆJR  Bias ˆJR

 



  2 I  D A1 K

  D( A

1



2

DT



JR





  1  I  D A1K 

K ) 2 DT   D( A1K ) 2 DT 

 



  2 I  D A1 K





2

DT









T

2

DT

  

DT

  

T



T

  1  I  D A1K 

D( A1 K ) 2 DT  D ( A1K ) 2 DT 







2

T

(3.16)

48 3.3 Aplikasi Simulasi Monte Carlo 3.3.1 Proses Simulasi Monte Carlo Pada langkah ini untuk melakukan simulasi program yang digunakan adalah program matlab. Kemudian pada proses simulasi ini akan ditunjukkan suatu metode Monte Carlo yang digunakan untuk mencoba melakukan perbandingan efektivitas antara mean bias dan MSE dari ˆGRR serta mean bias dan MSE dari ˆJRR . Masing-masing mean bias dan MSE akan dipengaruhi oleh nilai N yaitu banyaknya suatu data yang dibangkitkan menggunakan program matlab dan dipengaruhi juga oleh besarnya nilai  . Adapun langkah-langkah yang akan dilakukan pada simulasi ini dengan menggunakan program matlab adalah sebagai berikut: Langkah pertama adalah membangkitkan data x1i dan x2i pada model 1

x ji  (1   2 ) 2 z ji   z pi dimana untuk i  1, 2,..., N (N dilakukan berulang, 20,30,

dan 40) untuk j  1, 2 dan p  2 dengan   0.8, 0.85 dan 0.9 serta z adalah distribusi standar normal. Untuk data z dan x adalah suatu data dalam bentuk matriks dengan ukuran (N,2). Semua berlaku untuk   0.8, 0.85 dan 0.9 . Sehingga diperoleh bentuk:  z11 z z   12    z1 N

dan 0.9 .

z1   x11  x z22  dan x   12     z2 N   x1N

x21  x22  untuk N=20,30 dan 40 dengan   0.8, 0.85   x2 N 

49 Kemudian langkah kedua yang dilakukan adalah membangkitkan nilai  i  pada persamaan yi   0  1 x1i   2 x2i   i dengan nilai  0  0 , 1  0, 6 , dan

 2  0, 7 yang selanjutnya akan menghasilkan data y i . Untuk nilai  i  akan membangkitkan suatu data dalam bentuk vektor dengan ukuran (N,1). Selanjutnya data yang dibangkitkan oleh  i  akan berguna untuk membangkitkan data y i yang juga berupa bentuk vektor. Ukuran dari data bangkitan y i adalah sama dengan ukuran vektor yang dibangkitkan oleh  i  . Bentuk output dari matlab nanti adalah sebagai berikut:  1   y1    y  2     y   i    dan i  2  untuk N=20,30 dan 40.      N   yN 

Pada langkah yang ketiga ini dilakukan penaksiran pada  1 dan  2 pada persamaan

yi   0  1 xi1   2 xi 2   i

dengan mengabaikan nilai

 i 

nya

menggunakan teknik General Ridge dan Jackknif Ridge serta untuk menentukan nilai parameter k-nya menggunakan metode Hoerl dan Kennard yaitu

kˆHK 

ˆ 2 untuk setiap j=1 dan 2 yang kemudian akan disebut ˆGRR 2 max ˆ j 

sebagai estimasi GRR dan ˆJRR sebagai estimasi JRR. dengan nilai  yang

 1  0.6  ditentukan dalam simulasi adalah    .   2  0.7 

50 Pada langkah keempat ini adalah menentukan nilai bias dari ˆGRR dan

ˆJRR . Untuk menghitung nilai bias ˆGRR menggunakan pengurangan dari ˆGRR dengan nilai  yang diketahui yaitu 0,6 dan 0,7. Begitu juga untuk menghitung nilai bias ˆJRR melakukan pengurangan antara ˆJRR dengan nilai  yang  ˆ1G  1   ˆ1J  1  ˆ ˆ bias   bias   diketahui. Bentuk   dan   dengan GRR JRR ˆ  ˆ2 J   2    2G   2 

   0.6    1 .   2  0.7  Pada langkah kelima adalah melakukan perulangan pada proses menghitung nilai bias dari ˆGRR dan ˆJRR . Banyak perulangan yang akan dilakukan pada penelitian ini adalah sebanyak 1000 kali. Pada langkah keenam ini yaitu menentukan nilai rata-rata dari bias ˆGRR dan ˆJRR yang sudah dilakukan perulangan sebanyak 1000 kali pada langkah kelima sebelumnya. Dari langkah ini bisa didapatkan nilai rata-rata yang diulang sebanyak 1000 kali dengan data yang dibangkitkan masing-masing adalah berbeda dan nilai  yang diasumsikan masing-masing juga berbeda. Pada langkah ketujuh ini yaitu menghitung nilai MSE dari ˆGRR dan ˆJRR setelah

 

diulang

sebanyak



1 1000 ˆ MSE ˆi   ij  ˆi 1000 i 1



1000

kali

dengan

menggunakan

2

untuk N=20,30 dan 40 serta j=1 dan 2.

rumus

51 Pada langkah kedelapan yang dilakukan adalah membandingkan nilai mean bias dan nilai MSE dari ˆGRR dan ˆJRR . Dari langkah ini akan diketahui hasil yang lebih efektif, dimana nilai yang lebih kecil adalah nilai yang lebih efektif sehingga estimasi yang dimaksudkan tersebut akan lebih baik digunakan dari pada estimasi yang lainnya.

3.3.2 Hasil Simulasi Monte Carlo Hasil dari proses simulasi monte carlo diringkas dalam sebuah tabel yang disajikan sebagai berikut: Tabel 3.1 Hasil Mean Bias ˆ



0.8

0.85

0.9

Mean Bias

GR1 GR2 JR1 JR2 GR1 GR2 JR1 JR2 GR1 GR2 JR1 JR2

20 0.0523 0.0575 0.0185 0.0169 0.0686 0.0652 0.0261 0.0218 0.0846 0.0886 0.0339 0.0301

N 30 0.0377 0.0401 0.0118 0.0106 0.0466 0.0488 0.0163 0.0146 0.0622 0.0628 0.0229 0.0197

40 0.0321 0.0307 0.0097 0.0083 0.0389 0.0377 0.0125 0.0108 0.0489 0.0503 0.0167 0.0147

Tabel 3.2 Hasil MSE ˆ

 0.8 0.85

MSE GRR JRR GRR

20 0.009 0.0012 0.0129

N 30 0.0043 0.0005416 0.0065

40 0.0028 0.0003757 0.0041

52

0.9

JRR GRR JRR

0.0020 0.021 0.0033

0.0009157 0.011 0.0016

0.0005673 0.0069 0.0009548

Dari data pada tabel hasil proses mean bias ˆGRR dan ˆJRR di atas akan dideskripsikan ke dalam suatu grafik sehingga dapat ditunjukkan seperti di bawah ini. Tabel 3.3 Hasil Mean Bias ˆ1 GR  dan



0.8

Mean Bias GR1 JR1

N=20 0.0523 0.0185

ˆ1 JR dengan   0.8 N=30 0.0377 0.0118

Gambar 3.1 Grafik Hasil Mean Bias ˆ1 GR  dan

N=40 0.0321 0.0097

ˆ1 JR   0.8

Dari gambar (3.1) di atas dapat dilihat bahwa grafik mean bias ˆ1 GR  dan

ˆ1 JR dengan   0.8 menujukkan bahwa semakin banyak datanya maka nilai mean bias akan semakin kecil.

53 Tabel 3.4 Hasil Mean Bias

 0.85

Mean Bias GR1 JR1

ˆ1 GR 

dan

N=20 0.0686 0.0261

Gambar 3.2 Grafik Hasil Mean Bias

ˆ1 GR 

ˆ1 JR dengan   0.85 N=30 0.0466 0.0163

dan

ˆ1 JR

N=40 0.0389 0.0125

dengan

  0.85

Dari gambar (3.2) di atas dapat dilihat bahwa grafik mean bias ˆ1 GR  dan

ˆ1 JR dengan   0.85 menujukkan bahwa semakin banyak datanya maka nilai mean bias juga semakin kecil. Tabel 3.5 Hasil Mean Bias ˆ1 GR  dan



0.9

Mean Bias GR1 JR1

N=20 0.0846 0.0339

ˆ1 JR dengan   0.9 N=30 0.0622 0.0229

N=40 0.0489 0.0167

54

Gambar 3.3 Grafik Hasil Mean Bias ˆ1 GR  dan

ˆ1 JR

dengan

  0.9

Dari gambar (3.3) di atas dapat dilihat juga bahwa grafik mean bias ˆ1 GR  dan ˆ1 JR dengan   0.9 juga menujukkan bahwa semakin banyak datanya maka nilai mean bias semakin kecil. Dari tiga gambar grafik di atas dapat diambil kesimpulan bahwa nilai mean bias untuk ˆ1 GR  dan ˆ1 JR sama-sama dipengaruhi oleh banyaknya data (N) dan nilai  . Semakin banyak data yang dibangkitkan maka nilai mean bias dari ˆ1 GR  dan ˆ1 JR semakin kecil. Dengan pengaruh nilai  , semakin besar nilainya maka nilai mean bias ˆ1 GR  dan ˆ1 JR juga akan semakin besar. Dari grafik-grafik tersebut secara keseluruhan antara mean bias ˆ1 GR  dan ˆ1 JR dengan pengaruh banyak data dan nilai  , nilai mean bias ˆ1 JR lebih kecil dari

55 nilai mean bias ˆ1 GR  sehingga dapat disimpulkan bahwa estimasi ˆ1 JR lebih efektif dari pada estimasi ˆ1 GR  . Tabel 3.6 Hasil Mean Bias

 0.8

Mean Bias GR2 JR2

ˆ2GR 

dan

N=20 0.0575 0.0169

Gambar 3.4 Grafik Hasil Mean Bias

ˆ2GR 

ˆ2 JR  dengan   0.8 N=30 0.0401 0.0106

dan

N=40 0.0307 0.0083

ˆ2 JR  dengan   0.8

Dari gambar (3.4) di atas dapat dilihat bahwa grafik mean bias ˆ2 GR  dan

ˆ2 JR  dengan   0.8 menujukkan bahwa semakin banyak datanya maka nilai mean bias semakin kecil. Tabel 3.7 Hasil Mean Bias ˆ2 GR  dan



0.85

Mean Bias GR2 JR2

N=20 0.0652 0.0218

ˆ2 JR  dengan   0.85 N=30 0.0488 0.0146

N=40 0.0377 0.0108

56

Gambar 3.5 Grafik Hasil Mean Bias ˆ2 GR  dan

ˆ2 JR  dengan   0.85

Dari gambar (3.5) di atas dapat dilihat bahwa grafik mean bias ˆ2 GR  dan

ˆ2 JR  dengan   0.85 juga menujukkan bahwa semakin banyak datanya maka nilai mean bias semakin kecil. Tabel 3.8 Hasil Mean Bias ˆ2 GR  dan



0.9

Mean Bias GR2 JR2

N=20 0.0886 0.0301

ˆ2 JR  dengan   0.9 N=30 0.0628 0.0197

N=40 0.0503 0.0147

57

Gambar 3.6 Grafik Hasil Mean Bias ˆ2 GR  dan

ˆ2 JR  dengan   0.9

Dari gambar (3.6) di atas dapat dilihat bahwa grafik mean bias ˆ2 GR  dan

ˆ2 JR  dengan   0.9 juga menunjukkan bahwa semakin banyak datanya maka nilai mean bias semakin kecil. Dari tiga gambar grafik yaitu gambar (3.4), gambar (3.5), dan gambar (3.6) dapat diambil kesimpulan yang sama dengan hasil pada ˆ1 GR  dan ˆ1 JR yaitu apabila semakin banyak data yang dibangkitkan maka nilai mean bias dari

ˆ2GR  dan ˆ2 JR  semakin kecil. Begitu juga dengan pengaruh nilai  , semakin besar nilainya maka nilai mean bias ˆ2 GR  dan ˆ2 JR  juga akan semakin besar. Dari grafik-grafik tersebut secara keseluruhan antara mean bias ˆ2 GR  dan ˆ2 JR  dengan pengaruh banyak data dan nilai  , nilai mean bias ˆ2 JR  lebih kecil dari

58 nilai mean bias ˆ2 GR  sehingga dapat disimpulkan bahwa estimasi ˆ2 JR  lebih efektif dari pada estimasi ˆ2 GR  . Dari data pada tabel hasil MSE ˆGRR dan MSE ˆJRR di atas akan dideskripsikan ke dalam suatu grafik dan dapat ditunjukkan di bawah ini Tabel 3.9 Hasil Perbandingan MSE ˆGR dan



0.8

MSE GRR JRR

N=20 0.009 0.0012

ˆJR dengan   0.8

N=30 0.0043 0.0005416

Gambar 3.7 Grafik Perbandingan MSE ˆGR dan

N=40 0.0028 0.0003757

ˆJR dengan   0.8

Dari gambar (3.7) di atas dapat dilihat bahwa grafik MSE ˆGR dan ˆJR dengan   0.8 menujukkan bahwa semakin banyak datanya maka nilai MSE semakin kecil.

59 Tabel 3.10 Hasil Perbandingan MSE ˆGR dan



0.85

MSE GRR JRR

N=20 0.0129 0.002

ˆJR dengan   0.85

N=30 0.0065 0.0009157

Gambar 3.8 Grafik Perbandingan MSE ˆGR dan

N=40 0.0041 0.0005673

ˆJR dengan   0.85

Dari gambar (3.8) di atas dapat dilihat bahwa grafik MSE ˆGR dan ˆJR dengan   0.85 menujukkan bahwa semakin banyak datanya maka nilai MSE semakin kecil. Tabel 3.11 Hasil Perbandingan MSE ˆGR dan



0.9

MSE GRR JRR

N=20 0.021 0.0033

ˆJR dengan   0.9

N=30 0.011 0.0016

N=40 0.0069 0.0009548

60

Gambar 3.9 Grafik Perbandingan MSE ˆGR dan

ˆJR dengan   0.9

Dari gambar (3.9) di atas dapat dilihat bahwa grafik MSE ˆGR dan ˆJR dengan   0.9 menunjukkan bahwa semakin banyak datanya maka nilai MSE semakin kecil. Dari tiga gambar grafik yaitu gambar (3.7), gambar (3.8), dan gambar (3.9) dapat diambil kesimpulan bahwa semakin banyak data yang dibangkitkan maka nilai MSE ˆGR dan ˆJR semakin kecil. Apabila dengan pengaruh nilai  , semakin besar nilainya maka nilai MSE ˆGR dan ˆJR akan semakin besar. Dari grafik-grafik tersebut secara keseluruhan antara MSE ˆGR dan ˆJR dengan pengaruh banyak data dan nilai  , nilai MSE ˆJR lebih kecil dari nilai MSE ˆGR sehingga dapat disimpulkan bahwa estimasi ˆJR lebih efektif dari pada estimasi

ˆGR .

61 3.3.3 Interpretasi Hasil Simulasi Monte Carlo Dari gambar (3.1) sampai gambar (3.6) hasil dari proses mean bias di atas dapat dilihat jika banyaknya data yang dibangkitkan semakin banyak maka nilai mean bias yang dihasilkan oleh ˆGRR maupun ˆJRR adalah semakin kecil karena dari grafik posisi mean bias yang paling besar adalah pada saat banyaknya data yang kecil. Jika dilihat dari nilai  , semakin tinggi nilai  mean bias yang dihasilkan oleh ˆGRR maupun ˆJRR semakin besar. Dari gambar (3.7) sampai gambar (3.9) hasil dari proses MSE di atas dapat dilihat jika banyaknya data yang dibangkitkan semakin banyak maka nilai MSE yang dihasilkan oleh ˆGRR maupun ˆJRR adalah semakin kecil. Dan dilihat dari nilai  , semakin tinggi nilai  maka nilai ˆGRR maupun ˆJRR semakin besar. Untuk nilai mean bias ˆGRR dengan nilai mean bias ˆJRR berbeda dimana untuk nilai mean bias ˆGRR adalah semakin besar dari pada nilai mean bias ˆJRR yang dipengaruhi oleh banyaknya data yang dibangkitkan dan besarnya nilai  . Untuk nilai MSE ˆGRR dengan nilai MSE ˆJRR juga berbeda yaitu semakin besar, artinya nilai MSE yang dihasilkan oleh teknik GRR semakin besar dibandingkan dengan nilai MSE yang dihasilkan oleh teknik JRR di pengaruhi oleh banyaknya data yang dibangkitkan dan besarnya nilai  . Dari uraian-uraian di atas dapat disimpulkan bahwa estimasi yang lebih efektif digunakan dalam menyelesaikan suatu masalah multikolinieritas adalah

62 estimasi JRR karena nilai MSE yang dihasilkan lebih kecil dari pada nilai MSE yang dihasilkan oleh estimasi GRR.

3.4 Kajian Agama tentang Hasil Penelitian Seperti telah dijelaskan pada latar belakang sebelumnya bahwa Allah menganjurkan kepada manusia untuk terus menerus mempelajari suatu ilmu dengan berulang-ulang karena semakin sering manusia untuk berpikir semakin banyak pula ilmu yang diperoleh. Dengan memperoleh ilmu semakin banyak maka dapat digunakan untuk melakukan suatu pilihan dengan mempertimbangkan resiko-resiko yang akan terjadi. Penyelesaian suatu masalah tidak hanya dapat dilakukan oleh satu cara, akan tetapi Allah telah menyediakan berbagai cara untuk manusia agar mendapatkan sesuatu yang menjadi tujuannya. Hal ini jika ditinjau secara Islam maka surat Az-Zumar ayat 18 telah menggambarkan sikap dalam menghadapi setiap permasalahan untuk melakukan suatu pilihan yaitu sebagai berikut:

                Artinya:”Yang mendengar perkataan lalu mengikuti apa yang paling baik diantaranya. Mereka itulah orang-orang yang telah diberi Allah petunjuk dan mereka itulah orang-orang yang mempunyai akal”(Q.S. Az-Zumar:18). Dalam tafsir Fi Zhilalil Qur’an (2008:74) menjelaskan pada kata-kata, “… mereka itulah orang-orang yang telah diberi petunjuk…’’, bahwa sesungguhnya Allah mengetahui kebaikan yang ada pada jiwa mereka. Maka, dia menunjukkan

63 mereka itu dapat menyimak dan merespon perkataan yang baik. Petunjuk itu adalah petunjuk Allah.“…dan mereka itulah orang-orang yang mempunyai akal.”Yang berarti bahwa akal yang sehat ialah yang menuntun pemiliknya kepada kesucian dan keselamatan. Barang siapa yang tidak mengikuti jalan kesucian dan keselamatan, maka seolah-olah akalnya telah direnggut dan tidak akan merasakan nikmat dari akal yang telah dianugerahkan Allah kepadanya. Menurut tafsir Al-Misbah (2002:207) ayat tersebut menganjurkan untuk selalu dalam kebaikan. Sesuatu yang baik adalah yang paling tepat mengenai hak dan paling bermanfaat bagi manusia. Seseorang yang menyukai kebaikan akan semakin tertarik setiap bertambah kebaikan itu. Jika ia menghadapi dua hal, yang satu baik dan yang lainnya buruk, maka ia akan cenderung kepada yang baik dan apabila ia menemukan yang satu baik dan yang satu lebih baik, maka ia akan mengarah kepada yang lebih baik. Dari sini setiap mereka menemukan haq dan batil, mereka bersungguh-sungguh mengikuti haq dan petunjuk itu. Demikian juga setiap mereka menemukan yang benar dan yang lebih benar, maka mereka akan mengambil yang lebih benar dan lebih banyak petunjuknya. Kebenaran dan petunjuklah yang selalu mereka dambakan, dan karena itu mereka bersungguhsungguh mendengarkan suatu perkataan. Sebagaimana di dalam sebuah hadits Qudsi oleh Nashiruddin (2008:341) dari Suraid bin Suwaid bahwa Rasulullah SAW bersabda,

‫حسَن‬ َ ‫خ ْلقِ اللّه َتعَالَى‬ َ ‫ّل‬ ُ ‫ُك‬ Artinya: “Semua ciptaan Allah itu adalah baik”.

64 Maksud dari hadits tersebut adalah bahwa akhlak yang berjumlah 117 semuanya adalah baik. Lalu barang siapa yang dikehendaki-Nya mendapat kebaikan niscaya ia akan diberi-Nya sedikit dari-Nya. Ayat di atas menganjurkan untuk berada dalam hal-hal kebaikan, dalam penelitian ini juga dianjurkan untuk memilih suatu estimasi yang lebih baik atau lebih efektif untuk menyelesaikan suatu masalah multikolinieritas. Setelah melakukan tahap-tahap pemilihan suatu estimasi yang lebih efektif dengan cara melakukan perbandingan antara dua estimasi yaitu estimasi ˆGRR dengan estimasi

ˆJRR . Untuk mengetahui yang lebih baik dan yang kurang baik digunakan dalam menyelesaikan masalah multikolinieritas penulis menggunakan tolak ukur nilai bias dan MSE dari estimasi ˆGRR dan estimasi ˆJRR . Akhirnya setelah mendapatkan hasil pada penelitian ini penulis dapat memberikan kesimpulan bahwa yang lebih baik atau lebih efektif adalah estimasi ˆJRR .

BAB IV PENUTUP

4.1 Kesimpulan Dari pembahasan ini dapat disimpulkan bahwa estimasi JRR lebih efektif digunakan

dari

pada

estimasi

GRR

dalam

menyelesaikan

masalah

multikolinieritas karena dalam pengujian dengan menggunakan data yang dibangkitkan dengan metode Monte Carlo nilai MSE dan nilai bias yang dihasilkan oleh estimasi JRR lebih kecil dari pada estimasi GRR. Ayat yang menganjurkan untuk berada dalam hal-hal kebaikan terdapat pada surat Az-Zumar ayat 18 yang menggambarkan sikap dalam menghadapi setiap permasalahan untuk melakukan suatu pilihan, dalam penelitian ini juga dianjurkan untuk memilih suatu estimasi yang lebih baik atau lebih efektif dalam menyelesaikan suatu masalah multikolinieritas. Akhirnya setelah mendapatkan hasil pada penelitian ini penulis dapat memberikan kesimpulan bahwa yang lebih efektif adalah estimasi ˆJRR .

4.2 Saran Dari penelitian ini terdapat beberapa saran yang dapat dilakukan untuk penelitian-penelitian selanjutnya, yaitu, 1.

Untuk penelitian selanjutnya, perlu ditambahkan vriabel-variabel lain yang lebih berpengaruh agar mendapatkan hasil yang lebih sempurna.

65

66 2.

Dapat menggunakan metode lain yang dapat digunakan untuk melakukan perbandingan antara estimasi GRR dengan estimasi JRR.

DAFTAR PUSTAKA

Al Qurthubi. 2008. Tafsir Al-Qurthubi. Jakarta: Pustaka Azzam. Anton, H.. 2000. Dasar-dasar Aljabar Linier. Batam: INTERAKSA. Ath-Thabari. 2007. Tafsir Ath-Thabari. Jakarta: Pustaka Azzam. Aziz, A.. 2010. Ekonometrika. Malang: UIN-MALIKI PRESS (Anggota IKAPI). Firdaus, M.. 2004. Ekonometri Suatu Pendekatan Aplikatif. Jakarta: Bumi Aksara. Gujarati, D.. 1995. Ekonometrika Dasar. Jakarta: Erlangga. Hoerl, A.E. dan Kennard, R.W.. 1970. Ridge Regression Biased Estimation for Non Ortogonal Problems, Technometrics 12, 55-67. Imrona, M.. 2009. Aljabar Linier Dasar. Jakarta: PENERBIT ERLANGGA. Katsir, I.. 2006. Tafsir Ibnu Katsir jilid 8. Jakarta: PUSTAKA ASY-SYAFI’I. Khurana, M., Chaubey, Y.P., dan Chandra, S.. 2012. Jackknifing The Ridge Regressions Estimator:A Revisit, Technical Report, 01-17. Kutner, M.H., Nachtsheim, C.J., Netter, J., dan Li, W.. 2005. Applied Linear Statistical Model. New York: McGraw Hill. Mansi, K., Chaubey, Y.P., dan Chandra, S.. 2012. Jackknifing The Ridge Regressions Estimator:A Revisit, Technical Report, 01-17. Muslich, M.. 2009. Metode Pengambilan Keputusan Kuantitatif. Jakarta: Bumi Aksara. Nashiruddin, M.. 2008. Shahih Ensiklopedi Hadist Qudsi. Camplong: Duta Ilmu. Quraish, S.M.. 2002. Tafsir Al-Mishbah. Jakarta: Lentera Hati. Quthb, S.. 2008. Tafsir Fi Zhilalil Qur’an. Jakarta: Anggota IKAPI. Ruminta, 2009. Matriks Persamaan Linier dan Pemrograman Linier. Bandung: REKAYASA SAINS. Santoso, S.. 2009. Busines Forecasting Metode Peramalan Bisnis Masa Kini dengan Minitab dan SPSS. Jakarta: PT Elex Media Komputindo. Setiawan dan Endah. 2010. Ekonometrika. Yogyakarta: Penerbit Andi. Singh, B., Chaubey Y.P., dan Dwivedi T.D.. 1986. An Almost Unbiased Ridge Estimator, SankhyaSer.B48 , 342-346. 67

68 Sudjana. 2002. Metode Statistika. Bandung. Tarsito. Supranto, J.. 2001. Statistik: Teori dan Aplikasi. Jakarta: Erlangga. Walpole, R.E., dan Myers, R.H.. 1995. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan. Bandung: ITB. Watson, H.J.. 1981. Computer Simulation in Business. New York: John Wiley dan Suns.

LAMPIRAN

Lampiran 1: Algoritma untuk Membangkitkan Data pada Matlab dengan Perulangan 1000 kali clc,clear biasBetaGR=0; biasBetaJR=0; SEbetaGR=0; SEbetaJR=0; for m=1:100 rho=0.8; n=20; x=zeros(n,2); z=randn(n,2); s=0.5; e=(s^2)*randn(n,1); Beta0=0; Beta1=0.6; Beta2=0.7; y=zeros(n,1); for i=1:n for j=1:2 x(i,j)=sqrt(1-rho^2)*z(i,j); end y(i)=Beta0+Beta1*x(i,1)+Beta2*x(i,2)+e(i); end C=x'*x; Determinanmatriks=det(C); nilaieigen=eig(C); [D E]=eig(C); lamda=D'*C*D; M=x*D; gamaOLS=inv(lamda)*M'*(y-e); BetaOLS=D*gamaOLS; tetapanridge1=(s^2/gamaOLS(1)^2); tetapanridge2=(s^2/gamaOLS(2)^2); K=[tetapanridge1,0;0, tetapanridge2]; gamaGR=inv(lamda+K)*M'*(y-e); BetaGR=D*gamaGR; I=[1,0;0,1]; L=M'*M+K; gamaJR=(I-(inv(L)*K)^2)*gamaOLS; BetaJR=D*gamaJR; biasBGR=abs(BetaGR-[0.6;0.7]); biasBetaGR=biasBetaGR+biasBGR

biasBJR=abs(BetaJR-[0.6;0.7]); biasBetaJR=biasBetaJR+biasBJR SEBGR=(BetaGR-[0.6;0.7])'*(BetaGR-[0.6;0.7]); SEbetaGR=SEbetaGR+SEBGR SEBJR=(BetaJR-[0.6;0.7])'*(BetaJR-[0.6;0.7]); SEbetaJR=SEbetaJR+SEBJR end meanbiasBetaGR=(biasBetaGR/m) meanbiasBetaJR=(biasBetaJR/m) MSEGR=SEbetaGR/m MSEJR=SEbetaJR/m

Lampiran 2: Output Data yang Dibangkitkan dari Matlab dengan Perulangan 1000 kali

Untuk m=1000 kali, N=20,30,40 dan

0.8

Estimasi

 =0.8,

0.85, 0.9

0.85

0.9

N=20

N=30

N=40

N=20

N=30

N=40

N=20

N=30

N=40

ˆ1 GRR

0.0523

0.0377

0.0321

0.0686

0.0466

0.0389

0.0846

0.0622

0.0489

ˆ

2 JRR

0.0185

0.0118

0.0097

0.0261

0.0163

0.0125

0.0339

0.0229

0.0167

ˆ

1 GRR

0.0575

0.0401

0.0307

0.0652

0.0488

0.0377

0.0886

0.0628

0.0503

ˆ

2 JRR

0.0169

0.0106

0.0083

0.0218

0.0146

0.0108

0.0301

0.0197

0.0147

GRR

0.009

0.0043

0.0028

0.0129

0.0065

0.0041

0.021

0.011

0.0069

JRR

0.0012

0.000542

0.000376

0.002

0.000916

0.000576

0.0033

0.0016

0.000955

MSE MSE

ˆ ˆ

Lampiran 3: Gambar Grafik Hasil Proses dari Matlab

a) Gambar 1 Grafik Mean Bias ˆ1 GR  dan ˆ1 JR   0.8 Mean Bias 1 0.08 0.07 0.06 Bias

0.05 0.04

JRR

0.03

GRR

0.02 0.01 0 20

30

40

Banyak Data (N)

b) Gambar 2 Grafik Hasil Mean Bias ˆ1 GR  dan ˆ1 JR dengan   0.85

Bias

Mean Bias 1 0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0

JRR GRR

20

30 Banyak Data (N)

40

c) Gambar 3 Grafik Hasil Mean Bias ˆ1 GR  dan ˆ1 JR dengan   0.9 Mean Bias 1 0.14 0.12

Bias

0.1 0.08 0.06

JRR

0.04

GRR

0.02 0 20

30

40

Banyak Data (N)

d) Gambar 4 Grafik Hasil Mean Bias ˆ2 GR  dan ˆ2 JR  dengan   0.8 Mean Bias 2 0.08 0.07 0.06 Bias

0.05 0.04

JRR

0.03

GRR

0.02 0.01 0 20

30 Banyak Data (N)

40

e) Gambar 5 Grafik Hasil Mean Bias ˆ2 GR  dan ˆ2 JR  dengan   0.85

Bias

Mean Bias 2 0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0

JRR GRR

20

30

40

Banyak Data (N)

f) Gambar 6 Grafik Hasil Mean Bias ˆ2 GR  dan ˆ2 JR  dengan   0.9 Mean Bias 2 0.14 0.12

Bias

0.1 0.08 0.06

JRR

0.04

GRR

0.02 0 20

30 Banyak Data (N)

40

g) Gambar 7 Grafik Perbandingan MSE ˆGR dan ˆJR dengan   0.8 Perbandingan MSE 0.012 0.01

MSE

0.008 0.006

JRR

0.004

GRR

0.002 0 20

30

40

Banyak Data (N)

h) Gambar 8 Grafik Perbandingan MSE ˆGR dan ˆJR dengan   0.85 Perbandingan MSE 0.016 0.014 0.012 MSE

0.01 0.008

JRR

0.006

GRR

0.004 0.002 0 20

30 Banyak Data (N)

40

i) Gambar 9 Grafik Perbandingan MSE ˆGR dan ˆJR dengan   0.9 Perbandingan MSE 0.03 0.025

MSE

0.02 0.015

JRR

0.01

GRR

0.005 0 20

30 Banyak Data (N)

40