PENGGUNAAN METODE DURBIN WATSON DALAM MENYELESAIKAN MODEL REGRESI YANG MENGANDUNG AUTOKORELASI SKRIPSI SITI RAHAYU

PENGGUNAAN METODE DURBIN WATSON DALAM MENYELESAIKAN MODEL REGRESI YANG MENGANDUNG AUTOKORELASI

SKRIPSI

SITI RAHAYU 020803045

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2009 Siti Rahayu : Penggunaan Metode Durbin Watson Dalam Menyelesaikan Model Regresi Yang Mengandung Autokorelasi, 2009. USU Repository © 2009

PERSETUJUAN

Judul

: PENGGUNAAN METODE DURBIN WATSON DALAM MENYELESAIKAN

MODEL

REGRESI

YANG

MENGANDUNG AUUTOKORELASI Kategori

: SKRIPSI

Nama

: SITI RAHAYU

Nomor Induk Mahasiswa

: 020803045

Program Studi

: SARJANA (S-1) MATEMATIKA

Departemen

: MATEMATIKA

Fakultas

: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Medan,

Maret 2009

Komisi Pembimbing : Pembimbing 2

Pembimbing 1

Drs. Djakaria Sebayang

Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si

NIP.131474685

NIP. 130810774

Diketahui oleh Departemen Matematika FMIPA USU Ketua

Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP. 131796149 Siti Rahayu : Penggunaan Metode Durbin Watson Dalam Menyelesaikan Model Regresi Yang Mengandung Autokorelasi, 2009. USU Repository © 2009

PERNYATAAN

PENGGUNAAN METODE DURBIN WATSON DALAM MENYELESAIKAN MODEL REGRESI YANG MENGANDUNG AUTOKORELASI

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan,

Maret 2009

SITI RAHAYU 020803045

Siti Rahayu : Penggunaan Metode Durbin Watson Dalam Menyelesaikan Model Regresi Yang Mengandung Autokorelasi, 2009. USU Repository © 2009

ABSTRAK

Korelasi serial atau autokorelasi adalah suatu keadaan dimana kesalahan pengganggu dalam periode tertentu, katakan ei berkorelasi dengan kesalahan pengganggu dari periode lainnya katakan e j . Jadi kesalahan pengganggu tidak bebas, satu sama lain saling berkorelasi, dimana E (ei , e j ) ≠ 0 Apabila kesalahan dari suatu model regresi linier diduga berkorelasi serial, maka model regresi tersebut bukanlah model regresi yang baik atau dengan kata lain validasi dari model regresi akan diragukan kecocokannya dengan sebaran data karena dicurigai datanya tidak independen. Pada skripsi ini akan dibahas mengenai autokorelasi, bagaimana menguji ada tidaknya autokoleralsi dalam suatu pengamatan, serta tindakan memperbaiki model regresi yang ternyata mengandung autokorelasi dengan mengunakan metode Durbin Watson.


DAFTAR ISI

Abstrak…………………………………………………………………….

i

Abstract…………………………………………………………………….

ii

Daftar isi……………………………………………………………………

iii

Daftar Table………………………………………………………………..

v

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang…………………………………………………

1

1.2 Perumusan Masalah……………………………………………

4

1.3 Tujuan Peneliltian………………………………………………

4

1.4 Pembatasan Masalah…………………………………………...

4

1.5 Kerangka Pemikiran……………………………………………

4

1.6 Tinjauan Pustaka………………………………………………

5

BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Analisa Regresi…………………………………………………

6

2.2 Metode Kuadrat Terkecil (Ordinary Least Square)……………

6

2.2.1 Prinsip Metode Kuadrat Terkecil………………………...

6

2.2.2 Pengaruh Taksiran Kuadrat Terkecil……………………..

9

2.3 Uji Hipotesa……………………………………………………

10

2.3.1 Uji Signifikan Dari Regresi………………………………

11

2.4 Penaksir Parameter……………………………………………..

12


2.5 Turunan Parsial…………………………………………………

15

2.6 Analisa Korelasi…………………………………………………

16

2.7 Autokorelasi……………………………………………………

16

2.7.1 Pengaruh Autokorelasi……………………………………

17

2.7.2 Alasan Terjadinya Autokorelasi………………………….

19

2.8 Uji Durbin Watson…………………………………………….

20

BAB III PEMBAHASAN 3.1 Mendeteksi Kehadiran Autokorelasi…………………………

23

3.1.1 Uji Durbin Watson………………………………………

23

3.2 Pendugaan Parameter ρ ………………………………………

24

3.3 Tindakan Perbaikan Dengan Pendugaan ρ Berdasarkan Metode Durbin Watson …………………………………………………

25

3.4 Konsekuensi Adanya Autokorelasi Dalam Analisis Regresi …..

26

3.5 Contoh Penerapan………………………………………………

27

BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN 4.1 Kesimpulan …………..…………………………………………

32

4.2 Saran…………………………………………………………….

32

DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………………

33


DAFTAR TABEL

Tabel 1

Kaidah Keputusan Durbin Watson……………………….

22

Tabel 2

Data Impor dan GNP dari Suatu Negara…………………

28

Tabel 3

Transformasi data dari Table 2……………………………

30


BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Suatu model statistika adalah suatu persamaan matematis yang melibatkan variabel bebas dan variabel tak bebas dari parameter. Persamaan ini digunakan untuk mengetahui hubungan antara peubah tersebut yang dapat digunakan untuk keperluan pendugaan atau peramalan. Untuk itu maka peramalan yang terlibat harus diduga terlebih dahulu. Dalam statistika, hubungan fungsional antara dua variabel atau lebih dinamakan regresi. Salah satu bentuk hubungan yang sering dibahas dalam statistika adalah hubungan linier. Model regresi linier merupakan model untuk menganalisis hubungan antar variabel. Hubungan tersebut dapat digambarkan dalam bentuk persamaan yang menghubungkan anatara variabel terikat Y dengan variabel bebas X 1, X 2 ,..., X k . Jika variabel Y dihubungkan dengan satu variabel bebas (X) disebut regresi linier sederhana. Sedangkan jika variabel Y dihubungkan dengan lebih dari satu variabel bebas (X), maka persamaan regresinya adalah regresi linier berganda. Persamaan regresi linier dengan k variabel bebas dapat dinyatakan dengan : Yi = β1 + β 2 xi1 + β3 xi 2 + ... + β k −1 xik + ei ………………………………. (1.1) Dengan: Yi xi

= variabel tak bebas / pengamatan ke-i pada variabel yang dijelaskan Y = variabel bebas / pengamatan ke-i pada variabel yang penjelas xk

β1 ,…, β k = parameter / koefisien regresi variabel penjelas xk


= variabel gangguan / error.

ei

Penjabaran dari persamaan (1.1) adalah sebagai berikut: Y1 = β1 + β 2 x11 +…+ β k x1k + e1

Y2 = β1 + β 2 x 21 +…+ β k x 2 k + e2

…………………………

(1.2)

 Yn = β1 + β 2 x n1 +…+ β k x nk + en Keseluruhan dari persamaan diatas dapat ditulis dengan menggunakan persamaan matriks yaitu : Y = Xβ + e

Ynx1

Y1  Y  =  2    Yn 

X nxk

1 X 11 1 X 21 =     1 X n1

β

 β1  β  =  2     β k 

………………………….

(1.3)

 X 1k   X 2 k       X nk 

dan β ' = [β1

β 2  βk ]

β ' = β transpose


ε kx1

 e1  e  =  2  dan e' = [ e1 e2  ek ]    ek 

e' = e transpose Dengan: Y = Vektor kolom berukuran n x 1 (n baris dan 1 kolom) X = Matriks berukuran n x k (n baris dan k kolom)

β = Vektor kolom berukuran n x 1 (n baris dan 1 kolom) e = Vektor kolom berukuran n x 1 dari errornya

β1 ,…, β k adalah parameter yang akan ditaksir, dimana dalam pembahasan ini dengan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil (Ordinary Least Square). Penduga dengan OLS akan menghasilkan taksiran yang diizinkan jika asumsi berikut terpenuhi: 1. Nilai rata-rata kesalahan pengganggu nol, yaitu E( ei ) = 0 untuki = 1,2,…,n 2. ei adalah sebuah variabel random riil dan memiliki distribusi normal. 3. Varian dari ( ei ) = E( ei ) = σ 2 adalah konstant untuk semua kesalahan pengganggu (asumsi Homoskedastisitas). 4. Tidak adanya autokorelasi antara kesalahan pengganggu, berarti E( ei e j ) = 0, i ≠ j (asumsi nir korelasi serial). 5. Variabel bebas X 1 , X 2 ,…, X k

konstan dalam sampling yang terulang dan bebas

terhadap kesalahan pengganggu ei .

Persamaan regresi (1.1) yang berdasarkan kelima asumsi diatas tersebut merupakan model regresi linier klasik (Supranto,1995). Siti Rahayu : Penggunaan Metode Durbin Watson Dalam Menyelesaikan Model Regresi Yang Mengandung Autokorelasi, 2009. USU Repository © 2009

Jika dalammodel regresi diketahui mengandung auokorelasi, berarti model regresi tersebut telah melanggar asumsi di atas. Untuk itu model regresi tersebut harus diperbaiki karena model regresi yang mengandung autokorelasi bukanlah model regresi yang baik. Dengan latar belakang inilah penulis mengambil judul “Penggunaan Metode Durbin Watson Dalam Menyelesaikan Model Regresi Yang mengandung Autokorelasi”.

1.2

Perumusan Masalah

Untuk mengetahui apakah suatu model regresi linier mengandung autokorelasi atau tidak, dapat diuji dengan menggunakan uji Durbin Watson. Jika terbukti model regresi tersebut mengandung autokorelasi, maka model tersebut tidak lagi efisien digunakan, karena tidak memenuhi asumsi bahwa tidak adanya autokorelasi dari nilai-nilai galat. Sehingga perlu dilakukan tindakan perbaikan, dengan membentuk suatu model regresi linier yang baru yang tidak lagi mengandung autokorelasi, dengan metode Durbin Watson.

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan penulis adalah untuk menyelesaikan model regresi linier yang mengandung autokorelasi dengan menggunakan suatu metode yaitu ‘Durbin Watson’, sehingga diperoleh model regresi baru yang bisa tepat atau model yang benar dan tidak mengandung autokorelasi lagi.

1.4 Pembatasan Masalah

Pembahasan ini dilakukan dengan menganggap bahwa asumsi-asumsi lain tetap terpenuhi dan dibatasi pada masalah autokorelasi dan untuk kesalahan yang mengikuti model autokorelasi


tingkat satu (First-Order Autoregresive), yaitu kesalahan e pada satu periode sebelumnya. Model regresi tersebut dinyatakan sebagai berikut : et = ρ = et −1 ρ et −1 + µt + µ t

…………………………………………

(1.4)

Dengan : ρ = koefisien autokorelasi

µ t = variabel random yang tidak berkorelasi 1.5 Kerangka Pemikiran

Dalam penulisan skripsi ini penulis mengambil langkah-langkah sebagai berikut : Langkah I

:

Menyelidiki atau menguji apakah pada data pengamatan terdapat korelasi serial (autokorelasi) atau tidak.

Langkah II

:

Akan dibahas penyebab terjadinya outokorelasi beserta penyelesaiannya. Dimana dalam bagian ini penulis memberikan penyelesaian dari data yang ternyata mengandung autokorelasi dengan menggunakan metode Durbin Watson.

Langkah III

:

Diberikan contoh permasalahan serta tindakan penyelesaiannya.

1.6 Tinjauan Pustaka

Dalam pemecahan permasalahan dan penjabaran teori penulis melakukan tinjauan pustaka antara lain : 1. Maddala.1991, ”Econometrics”, menjelaskan bahwa metode penduga kuadrat terkecil tidak dapat digunakan secara langsung, pengujian untuk mengetahui ada atau tidaknya


korelasi serial yang kekeliruannya mengikuti outoregresi orde pertama adalah Durbin Watson. 2. Supranto.J, 1995,”Ekonometrika Buku Dua”, Universitas Indonesia, Jakarta. Dari buku ini dikutip defenisi dari korelasi serial yaitu korelasi (hubungan) antara nilai-nilai pengamatan yang tersusun dalam rangkaian waktu (seperti pada data runtun waktu atau time series data) atau korelasi diantara nilai-nilai pengamatan yang terurut dalam ruang (data pengamatan merupakan cross-sectional). 3. Ronald J.W dan Thomas H.W,1981, ”Regresison A Second Course In Statistics”. Dari buku ini dikutip tentang parameter β dan interval kepercayaan β .


BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Analisa Regresi

Pada dasarnya analisa regresi diartikan sebagai suatu analisis yang berkaitan dengan studi ketergantungan dari suatu variabel tak bebas (dependent variable) dengan satu atau lebih variabel penjelas (independent variable) dengan maksud untuk menduga atau memperkirakan nilai rata-rata populasi atau nilai-nilai dari variabel tak bebas berdasarkan nilai-nilai tertentu dari variabel penjelas (variabel bebas). Hubungan antar peubah bebas atau variabel bebas dan variabel tak bebas yang dicocokkan pada data dan ditandai dengan persamaan prediksi yang disebut sebagai persamaan regresi, oleh karena itu regresi linier merupakan suatu persamaan regresi di mana semua variabel yang ada di dalam persamaan itu (baik variabel bebas maupun varibel tak bebas) bersifat linier, begitu juga dengan parameter koefisien regresi itu bersifat linier. Meskipun analisis regresi berurusan dengan ketergantungan satu variabel pada variabel lain, ini tidak berarti sebab akibat. Suatu hubungan statistik bagaimanapun kuat dan sugestif, tidak pernah dapat menetapkan hubungan sebab-akibat.

2.2 Metode Kuadrat Terkecil (Ordinary Least Square) 2.2.1 Prinsip Metode Kuadrat Terkecil

Perhatikan model regresi linier berikut : Yî =+ a bX i + ei Yˆ= a + bX i i Yî = merupakan perkiraan dari Y , karena Siti Rahayu : Penggunaan Metode Durbin Watson Dalam Menyelesaikan Model Regresi Yang Mengandung Autokorelasi, 2009. USU Repository © 2009

Yi = Yî + ei , maka ei = Yi - Yî ei = Yi − a − bX i yang menunjukkan bahwa ei (kesalahan pengganggu / residual) merupakan selisih antara Y yang sebenarnya (hasil pencatatan / observasi) dengan Y perkiraan, yang dihitung berdasarkan persamaan garis regresi ( Yî ). Yî disebut juga nilai regresi. Dengan ei adalah residu berdistribusi normal. Kalau tidak ada kesalahan pengganggu, maka Y akan sama dengan Yî . Kesalahan pengganggu ini yang menyebabkan suatu perkiraan/ramalan Y tidak tepat. Dengan metode kuadrat terkecil kita peroleh a dan b yang membuat ∑ ei 2 = minimum . Itulah sebabnya mengapa n

cara ini disebut least square error. Menurut teori kalkulus, untuk membuat

∑e i =1

2 i

= minimum ,

kita harus menurunkannya dua kali, mula-mula terhadap a , kemudian terhadap b , dan menyamakannya dengan nol, caranya sebagai berikut :

∂ ∑ ei2 = 2 ∑(Yi − a − bX i )(−1) = 0 ∂a ∂ ∑ ei2 = 2 ∑(Yi − a − bX i )(− X i ) = 0 ∂b Setelah disederhanakan, kita peroleh persamaan normal sebagai berikut : ∑ Yi (1) na + b ∑ X i = ∑ X iYi (2) a ∑ X i + b ∑ X i2 =

Kalau dari (1) kita bagi n, maka a + b X = Y Maka, 1 1 ∑ Xi, Y = ∑ Yi a= Y − b X , X = n n

(2.1)

Untuk mendapatkan rumus b, masukkan a ke (2),


∑ Xi   ∑ Yi 2 −b ∑ X iYi  ∑ Xi + b ∑ Xi = n   n

( ∑ X i ) + b ∑ X 2 =∑ X Y ∑ X i ∑ Yi −b i i i n n 2

{

}

b ∑ X i2 − ( ∑ X i ) n = ∑ X iYi − ∑ X i ∑ Yi n

b=

2

n ∑ X iYi − ∑ X i ∑ Yi n ∑ X i2 − ( ∑ X i )

(2.2)

2

Atau = b

∑ X iYi ∑ X i2

kalau x= Xi − X i

(2.3)

y= Yi − Y i

xi dan yi (huruf kecil) dalam bentuk deviasi terhadap rata-rata X dan Y , a dan b disebut pemerkira kuadarat terkecil (least square estimator) . Pemerkira (disebut juga penduga atau penaksir) kuadarat terkecil a dan b dinyatakan dalam nilai-nilai observasi dari sampel sebanyak n pasang nilai ( xi , yi ) dan merupakan pemerkira tunggal (point estimator), maksudnya dari suatu sampel tertentu hanya dihitung satu nilai a dan satu nilai b sebagai perkiraan parameter A dan B. Pemerkira a dan b tersebut setelah dihitung berdasarkan suatu sampel tertentu akan diperoleh nilai a dan b yang memungkinkan untuk penggambaran kurva garis regresi Y= a + bX yang mempunyai sifatsifat sebagai berikut :

1.

Melalui titik koordinat ( X , Y ) , hal ini jelas ditunjukkan oleh persamaan (2.1), dimana

a= Y − b X 2. Rata-rata Y ( Y ) sama dengan Yˆ , yaitu rata-rata Y perkiraan sama dengan rata-rata Y observasi. ˆ Y i

=a+bX i =(Y-bX)+bX i =Y-bX+bX i =Y+b(X i -X), jumlahkan untuk seluruh nilai sampel

∑ Yî = nY + b ∑( X i − X ), oleh karena Siti Rahayu : Penggunaan Metode Durbin Watson Dalam Menyelesaikan Model Regresi Yang Mengandung Autokorelasi, 2009. ∑( X i −2009 X) = ∑ Xi − nX = 0, maka USU Repository ©

∑ Yî = nY (bagi dengan n), maka 1 ∑ Yˆ = Y n

i

jadi, Yˆ = Y

3.

Rata-rata kesalahan pengganggu nilainya nol

ei

= Yi − Yî = Yi − a − bX i

∑ ei =∑(Yi − a − bX i ) ∑ ei =∑(Yi − Y + b X − bX i ) =∑(Yi − Y − b ∑( X i − X )) =0, kemudian bagi dengan n, maka

1 n

∑ ei =e =0

Jadi, rata-rata kesalahan pengganggu, e = 0

Kemudian perhatikan uraian berikut : =+ a bX i + ei , jumlahkan untuk seluruh i

a) Yi

∑ Y= na + b ∑ X i + ∑ ei , (bagi dengan n) i b) Y = a + b X + ei (Yi − Y ) = (a − a ) + b( X i − X ) + (ei − e ), e = 0 Maka, yi bxi + ei = yî bxi , maka ei − yi − yî =

(2.4) (2.5)

Jadi, (2.5) menunjukkan persamaan garis regresi linier sederhana (simple linear regression) yang dinyatakan dalam bentuk deviasi.

2.2.3 Pengaruh Taksiran Kuadrat Terkecil

Jika kesalahan e dalam model regresi berkorelasi, maka diperoleh bentuk penaksir kuadrat ∧

terkecil β menjadi : ∧

β = β + ( X ' X ) −1 X ' ε

(2.6)

∧

ini berarti E ( β ) = E{β + ( X ' X ) −1 X ' ε }


= E ( β ) + E[( X ' X ) −1 X ' ε ] E ( β ) + ( X ' X ) −1 X ' E (ε ), dimana E (ε ) = 0 = =β

Ini sendiri menunjukkan bahwa masih tetap merupakan penaksir tak bias dari β meskipun kesalahan ε berkorelasi. Selanjutnya akan dicari Mean, Variansi, Covariansi dari kesalahan yang berkorelasi sebagai berikut : 1.

Mean  ∞  ∞ E (ε t ) = E  ∑ ρ r µt − r  = ∑ ρ r E ( µt − r )  r =0  r =0 Dari asumsi E ( µt ) = 0 untuk semua t, maka E ( µt −r ) = 0 , jadi E (ε t ) = 0

2.

………………. (2.7)

Variansi  ∞  E (ε ) = E  ∑ ρ r µt − r   r =0 

2

2 t

∞

= ∑ ( ρ r ) 2 E ( µt − r ) 2 r =0 ∞

= ∑ ( ρ r ) 2 var(µt − r ) r =0

= σ µ2 (1 + ρ 2 + ρ 4 +  asumsikan bahwa :

σ 2 = E (ε ' ε ) = E ( ρε t −1 + µt ) 2 = ρ 2 E (ε t2−1 ) + E ( µt2 ) + 2 ρE (ε t −1µt ) = ρ 2σ 2 + σ µ2

σ µ2 = 1− ρ2 maka variansinya adalah :

σ2 =

σ µ2 1− ρ2

untuk semua t

……………..

(2.8)


2.3

Uji Hipotesa

Untuk memeriksa suatu model regresi mengandung autokorelasi dari nilai-nilai galat, maka kita harus mengujinya terlebih dahulu. Setelah diperoleh penduga parameter– parameter model regresi linear (1.2) serta variansinya, maka perlu dilakukan uji hipotesa terhadap parameterparameter tersebut untuk mengetahui seberapa jauh keberhasilan model tersebut dalam menjelaskan variabel respon. 2.3.1 Uji Signifikan dari Regresi

Uji ini menentukan ada atau tidaknya hubungan linier antara variabel respon dengan sekumpulan variabel penjelas. H 0 = β1 = β 2 =  = β p = 0 H i = β j = 0, j = 1,2,..., p

Statistika penguji untuk H1 = β j = 0 adalah

F0 =

SS R / k MS R = SS E /(n − k − 1) MS E

………………….

(2.9)

Berdistribusi F dengan derajat kebebasan n-k-1, dimana k = p+1. Disini jumlah kuadrat total dipartisi menjadi jumlah kuadrat regresi dan jumlah kuadrat residual, yaitu : SS = SS R − SS E Y Dengan: SS E = e' e ∧

Maka : SS E = Y ' Y − 2 β ' X ' Y

 n   ∑ Yi  Dan karena SS = Y ' Y −  i =1  Y n

2

………………….

(2.10)

Maka SS E dapat pula ditulis sebagai berikut :


2 2  n    n   ∑ Yi   ∧ ∑ Yi   i =1    − β X 'Y −  i =1   Y 'Y =   n n    

………………..

(2.11)

………………..

(2.12)

Atau : SS = SSY − SS R E  n  ∑ Yi  ∧ SS R = β X 'Y −  i =1  n

2

Aturan keputusan : Jika nilai F0 > Fαk , n − k −1 , H 0 ditolak pada tingkat signifikan α Jika nilai F0 < Fαk , n − k −1 , H 0 diterima pada tingkat signifikan α Nilai distribusi F diperoleh dari tabel 2 pada lampiran, berdasarkan tingkat signifikansi yang digunakan dan derajat kebebasan k dan n-k-1.

2.4. Penaksiran Parameter

Teori penaksiran digolongkan menjadi penaksiran titik dan penaksiran selang. Sedangkan cara melakukan penaksiran ada bermacam-macam diantaranya cara momen, simpangan kuadrat terkecil, kemungkinan maksimum ataupun sifat penaksiran tak bias linear yang terbaik. Misalkan sebuah nilai statistik ρˆ terdistribusi dengan ciri suatu parameter populasi ρ . Parameter ρ adalah parameter yang akan ditaksir dengan nilai taksiran ρˆ

yang dapat

mengambil bentuk apa saja seperti rata- rata, ragam, simpangan baku atau koefisien regresi dan lain–lain. Statistik yang digunakan untuk memperoleh nilai taksiran disebut penaksir atau fungsi keputusan. Penaksir sendiri juga merupakan peubah acak. Untuk menaksir sebuah parameter

ρ

perlu dilakukan penarikan contoh yang

representative. Tentu saja, sebelum melakukan penaksiran perlu diketahui terlebih dahulu Siti Rahayu : Penggunaan Metode Durbin Watson Dalam Menyelesaikan Model Regresi Yang Mengandung Autokorelasi, 2009. USU Repository © 2009

karakteristik populasi ρ seperti bentuk distribusinya, parameter–parameter lain kecuali ρ dan sebagainya, walaupun kadangkala informasi tentang populasi sangatlah minim. Suatu penaksiran akan menghasilkan bermacam–macam penaksir. Diantara penaksir– penaksir itu haruslah dipilih mana yang terbaik yang dapat dipakai sebagai

penghampir

parameter populasi. Oleh karena itu terlebih dahulu penulis mengetahui ciri–ciri penaksir yang baik dan penaksir yang tidak baik. Penaksir yang baik harus memenuhi beberapa syarat, tergantung kepada besar ukuran contohnya. Pada bab ini akan diuraikan beberapa defenisi berkaitan dengan kriteria penaksir yang baik. Kriteria penaksir yang baik meliputi ketakbiasan, efisiensi, dan konsistensi.

(1) Ketakbiasan Statistik ρˆ dikatakan penaksir tak bias dari parameter ρ jika E ( ρˆ ) = ρ = ρ Jika E ( ρˆ ) ≠ ρ ≠ ρ maka E ( ρˆ ) − ρ dinamakan bias. Kriteria ketakbiasan ini menyatakan bahwa

distribusi dari penaksir, yaitu ρˆ mempunyai rataan sama dengan ρ . Misalkan, dari populasi berdistribusi N (µ ,1) diambil sampel yaitu X 1 , X 2  X n .

X =

Maka

1 ( X 1 + X 2 +  + X n ) merupakan penaksir tak bias dari µ , karena : n

1  1 E (X ) = E  ( X 1 + X 2 +  X n ) = E ( X 1 + X 2 +  X n ) n  n 1 1 = {E ( X 1 ) + E ( X 2 ) +  E ( X n )} = ⋅ nµ = µ . n n Tetapi kriteria tak bias saja tak cukup selama variansi sebagai ukuran penyebaran suatu penaksir tak bias diketahui. Yang diinginkan penaksir tak bias dengan variansi terkecil yang merupakan kriteria efisiensi. (2) Efisiensi


Jika ρˆ 1 dan ρˆ 2 adalah penaksir tak bias untuk parameter ρ , maka ρˆ 1 dinamakan lebih efisien dari ρˆ 2 jika Va ( ρˆ1 ) < var ( ρˆ 2 ) r. Kriteria ini menyatakan bahwa penaksir yang mempunyai penyimpangan terkecil dari rataannya adalah yang paling efisien.

(3) Konsistensi Penaksir parameter ρ dikatakan konsiten bila nilai taksiran akan sama dengan parameter yang ditaksir dengan bertambahnya ukuran contoh sampai tak terhingga. Bila ukuran contoh semakin besar, penaksir ρ akan mendekati titik tertentu, bias semakin kecil demikian pula dengan nilai ragamnya. Jadi,penduga ρ adalah penaksir konsisten bagi parameter populasi. Adapun besar kesalahan kuadrat rata –rata penaksir ρ terdiri atas ragam dan bias kuadrat yang dihitung sebagai berikut:

MSE = ( ρˆ ) E ( ρˆ − ρ )

2

=E  ρˆ − E ( ρˆ ) + E ( ρˆ ) − ρ 

2

= E  ρˆ − E ( ρˆ )  + 2 E  ρˆ − E ( ρˆ )   E ( ρˆ ) − ρ  + E [ ρˆ − ρ ] 2

Misalnya membuktikan bahwa X adalah µ

MSE (X ) = ragam (X ) + (bias X )

2

=

σ2 n

+0

lim MSE (X ) = lim n →∞

n →∞

σ2 n

≅0

Jadi X adalah penaksir yang konsisten bagi µ

2.5 Turunan Parsial


Misalkan z = f ( x, y ) fungsi 2 variabel yang terdefenisi disekitar titik ( x, y ) . Turunan parsial dari f terhadap x adalah turunan z terhadap x dan y tetap konstan Turunan parsial z = f ( x, y ) terhadap x ditulis: ∂ ∂ z= f ( x, y ) = f (x, y ) didefenisikan sebagai berikut: ∂x ∂x ∂ f ( x + h, y ) − f ( x, y ) f (x, y ) = f x ( x, y ) = lim h →0 ∂x h

Turunan parsial z = f ( x, y ) terhadap y ditulis:

∂ ∂ z= f ( x, y ) = f (x, y ) didefenisikan sebagai berikut: ∂y ∂y ∂ f ( x, y + k ) − f ( x, y ) f ( x, y ) = f y (x, y ) = lim k →0 ∂y k 2.6 Analisa Korelasi

Analisa korelasi merupakan suatu analisis yang digunakan untuk mengukur keeratan hubungan antar variabel. Perhitungan derajat keeratan didasarkan pada persamaan regresi. Derajat keeratan di antara dua variabel disebut koreladi sederhana (simple correlation), derajat keeratan yang berkaitan dengan tiga atau lebih variabel disebut sebagai korelasi berganda (multiple correlation). Analisa regresi dari korelasi sederhana menunjukkan hubungan antara dua variabel, yakni 1 variabel bebas dan 1 variabel tak bebas. Sedangkan analisa regresi berganda dan analisa korelasi berganda menggunakan tiga atau lebih variabel, satu varibel tak bebas dan dua atau lebih variabel bebas. Perlu diingat bahwa tingginya tingkat korelasi tidak menunjukkan hubngan sebab akibat antar variabel, mungkin diperoleh korelasi yang tinggi antar dua variabel namun tidak mempunyai hubungan. Siti Rahayu : Penggunaan Metode Durbin Watson Dalam Menyelesaikan Model Regresi Yang Mengandung Autokorelasi, 2009. USU Repository © 2009

Untuk melihat korelasi antara variabel bebas dan tak bebas dapat dilihat melauli formula: r=

n ∑ X i Yi − (∑ X i )(∑ Y)

{n ∑ Y

i

2

− (∑ Y) 2 }{n ∑ X i2 − (∑ X i ) 2 }

(2.13)

dengan r adalah koefisien korelasi antar variabel.

2.7 Autokorelasi

Salah satu asumsi penting dari beberapa asumsi model linier klasik adalah bentuk gangguan dari pengamatan yang berbeda (ei , e j ) bersifat bebas. Dengan kata lain asumsi ini mengharuskan tidak terdapatnya korelasi diri atau korelasi serial (autokorelasi) di antara bentuk ei yang ada dalam fungsi regresi populasi. Pada dasarnya autokorelasi dapat didefinisikan sebagai korelasi di antara nilai-nilai pengamatan yang terurut dalam waktu (time series data) atau nilai-nilai pengamatan yang terurut dalam ruang (cross-sectional data). Autokorelasi berkaitan dengan hubungan antara nilai-nilai yang berurutan dari variabel yang sama. Dengan demikian terlihat adanya perbedaan pengertian antara autokorelasi dengan korelasi. Yang mana sama-sama mengukur derajat keeratan hubungan. Korelasi mengukur derajat keeratan hubungan di antara dua buah variable yang berbeda, sedangkan autokorelasi mengukur derajat keeratan hubungan di antara nilai-nilai yang berurutan pada variable yang sama atau pada variable itu sendiri.

2.7.1. Pengaruh Autokorelasi


Autokorelasi merupakan

kasus khusus dari korelasi. Dimana autokorelasi berkaitan antara

hubungan antara nilai-nilai yang berurutan dari variabel yang sama atau variabel itu sendiri. Timbulnya masalah kesalahan yang berkorelasi serial biasanya disebabkan oleh salah satu asumsi yang tidak terpenuhi. Meskipun adanya autokorelasi, koefisien penduga parameter masih bersifat tak bias, dalam pengertian bahwa nilai harapan sama dengan parameter yang sesungguhnya, hanya saja varians dari koefisien penduga itu akan menjadi lebih besar. Dengan demikian apabila bentuk gangguan mempunyai autokorelasi, maka varians dari penduga Metode Kuadrat Terkecil akan menjadi lebih besar dari pada penduga lainnya. Sehingga penaksiran dengan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil tidak akan menghasilkan parameter seperti yang diinginkan. Apabila bentuk gangguan menunjukkan atau memperlihatkan adanya korelasi serial atau autokorelasi, maka hal ini akan berpengaruh pada nilai galat baku (standart error) dari parameter dugaan atau galat baku dari koefisien penduga parameter model. Seperti telah dikemukakan dalam pembatasan masalah pada BAB I, bahwa error kesalahan ε diasumsikan memenuhi hubungan : et = ρ et-1 + µt

…………………………….

(2.14)

dimana ρ adalah koefisien autokorelasi dengan nilai (-1< ρ <1) Persamaan (2.1) dikenal sebagai regresi diri tingkat satu (First Order Autoregresif) ditulis sebagai AR(1), yang menunjukkan bahwa kesalahan pada periode t dituis (et) bergantung pada kesalahan pada periode sebelumnya t − 1 ditulis (et-1). Bentuk lengkap dari AR ( 1 ) adalah sebagai berikut : et = ρ et-1 + µt et-1 = ρ et-2 + µt

 et-r = ρ et-r-1 + µt-r Siti Rahayu : Penggunaan Metode Durbin Watson Dalam Menyelesaikan Model Regresi Yang Mengandung Autokorelasi, 2009. USU Repository © 2009

Selanjutnya substitusikan ε t −1 pada persamaan (2.14), sehingga diperoleh : et = ρ (et-2 + µt-1 ) + µt = ρ2 (et-2 +ρµt-r ) + µt

selanjutnya substitusikan ε t − 2 , sehingga diperoleh : et (et-3 + µt-2 ) + ρ µt-1 + µt

dan apabila langkah tersebut dilakukan terus menerus untuk periode (r besar), maka diperoleh : et = µt + ρ µt-1 + ρ2 µt-2 +…

maka : ∞

et = ∑ ρ r µt − r r =0

Yt = β 0 (1 − ρ ) + β1 X t − ρβ1 X t −1 + ρYt −1 + ε t Yt * = (Yt − ρˆ Yt-1 ) X= (X t − ρˆ X t-1 ) t* sehingga E ( µt ) = 0

2.7.2 Alasan Terjadinya Autokorelasi Terjadinya autokorelasi diantara nilai-nilai dari variabel gangguan e dapat diakibatkan karena beberapa hal berikut: 1. Adanya variabel-variabel penjelas yang dihilangkan dari model. Seperti diketahui bahwa kebanyakan variabel-variabel ekonomi cenderung mengandung autokorelasi, dimana Siti Rahayu : Penggunaan Metode Durbin Watson Dalam Menyelesaikan Model Regresi Yang Mengandung Autokorelasi, 2009. USU Repository © 2009

nilai-nilai dari periode sekarang akan tergantung pada periode sebelumnya. Jika variabel yang memiliki sifat autokorelasi ini dihilangkan atau dikeluarkan dari model atau dipisahkan dari sekumpulan variabel penjelas yang lain, maka jelas hal ini akan berpengaruh yang direfleksikan dalam variabel gangguan e , sehingga nilai-nilai dari gangguan akan mengandung autokorelasi. Kasus ini sering disebut sebagai “quasiautocorrelation”, krena merupakan pola autokorelasi dari variabel penjelas (X) yang dihilangkan yang muncul dalam model regresi itu, bukan menunjukkan pola perilaku dari nilai-nilai e yang sesungguhnya. 2. Adanya kesalahan spesifikasi bentuk matematik dari model. Jika kita merumuskan atau menetapkan bentuk matematik yang berbeda dari bentuk hubungan yang sesungguhnya, maka nilai-nilai gangguan ε akan menunjukkan autokorelasi. 3. Adanya fenomenal Cobweb, di mana nilai variabel yang sekarang bereaksi atau ditentukan oleh variabel sebelumnya.

4. Di dalam analisis regresi yang melibatkan data deret waktu, jika model regeresi mengikutsertakan tidak hanya nilai-nilai sekarang, tetapi juga nilai-nilai pada waktu yang lalu sebagai variabel penjelas, maka variabel itu disebut sebagai model distribusi “lags”. 5. Adanya manipulasi data. Di dalam análisis empirik, data mentah sering dimanipulasi. Sebelum membahas manipulasi data, maka perlu dikemukakan di sini bahwa kata “manipulasi” tidak berkaitan dengan hal-hal negatif seperti memalsukan data, mengarang data, dan sebagainya, tetapi “manipulasi data” yang dimaksudkan di sini adalah suatu teknik mengubah data yang berkonotasi positif, di mana teknik mengubah data atau memperkirakan data itu dapat dibenarkan tetapi sering menimbulkan masalah yang berkaitan dengan betuk gangguan.

2.8 Uji Durbin Watson Uji ini dikemukakan oleh statistikawan J. Durbin dan G.S. Watson, sehingga uji ini dikenal dengan nama Uji Durban-Watson. Uji ini hanya cocok untuk pola regresi diri order pertama yang mengambil bentuk :


= et ρ et −1 + µt Adapun beberapa asumsi yang melandasi Uji Durban Watson ini antara lain : 1. Uji Durbin Watson diterapkan untuk model regresi yang mencakup parameter β 0 , dengan kata lain dipergunakan untuk model regresi yang mengandung intersep. 2. Variabel – variabel penjelas X , adalah nonstokastik, atau bersifat tetap dalam penarikan contoh yang berulang (Repeated Sampling) 3. Bentuk gangguan et dibangkitkan melalui pola regresi diri order pertama dengan mengambil bentuk = : et ρ et −1 + µt 4. Model regresi tidak mencakup nilai – nilai lag dari variabel tak bebas sebagai suatu variabel penjelas. 5. Tidak ada parameter yang hilang dalam data, dengan demikian uji Durbin Watson dapat digunakan untuk model regresi yang dibangun berdasarkan data yang lengkap, terutama untuk data deret waktu. Uji Durbin Watson ini sendiri dirumuskan sebagai berikut : n

d=

∑ (e

t

t =2

− et −1 ) 2 ………………………..

n

∑e t =1

(3.15)

2 t

Kebaikan dari statistik Uji d Durbin Watson ini sendiri adalah bahwa perhitungannya didasarkan atas ei , perkiraan residual pengganggu ei yang secara rutin dihitung didalam analisis regresi.

∑e sama. Sehingga ∑ e = ∑ e

Karena

∑e

2 t

2 t −1

dan

2 t

 ∑ et et −1  d ~ 2 1 −   ∑ et2 

hanya berbeda satu pengamatan, maka keduanya dapat dianggap

2 t −1

, maka persamaan (3.1) dapat ditulis kembali sebagai berikut ;

………………………

(2.16)

Gkan koefisien korelasi dapat ditentukan dengan formula :


∧

ρ=

∑e e ∑e

t t −1 2 t

………………………

(2.17)

Sebagai penduga dari koefisien autokorelasi tingkat satu ( ρ ) , yang nilainya berada pada

− 1 < ρ < 1 , maka dengan menggunakan persamaan (2.17) bentuk persamaan (2.16) dapat dinyatakan sebagai berikut :

d ~ 2(1 − ρ )

………………………

(2.18)

Ini berarti bila ρ mendekati 0 yang menunjukkan tidak adanya autokorelasi, d akan mendekati 2. Demikian pula bila ρ mendekati 1, yang menunjukkan ada autokorelasi serial positif, d akan mendekati 0, dan bila ρ mendekati -1, ini menunjukkan ada korelasi serial negatif, d akan mendekati 4.

Dari uraian yang dikemukakan, maka dapat ditarik kesimpulan tentang beberapa sifat dari uji Durbin Watson antara lain: 1. H 0 : ρ = 0 (Tidak ada autokorelasi)

H1 : ρ ≠ 0 (Ada autokorelasi) 2. H 0 : ρ = 0 (Tidak ada autokorelasi H1 : ρ > 0 (Ada autokorelasi positif)

3. H 0 : ρ = 0 (Tidak ada autokorelasi) H1 : ρ < 0 (Ada autokorelasi negatif)


Dengan demikian statistik d Tidak ada autokorelasi yang dihitung berdasarkan persamaan (3.1) akan dibandingkan atau dilihat hasilnya dari tabel keputusan Durbin-Watson untuk memperoleh kesimpulan apakah perlu menolak atau menerima H 0 . Kaídah keputusan dari Uji Durbin-Watson dapat diikuti dalam tabel 1.

Masalah yang mendasar dari Uji Durbin-Watson ini adalah tidak diketahui secara tepat mengenai distribusi dari statistik d ini sendiri. Meski demikian Durbin-Watson telah berhasil menghitung batas atas dU dan batas bawah d L dari nilai – nilai kritis tersebut.

Tabel 1 Kaídah Keputusan Durbin-Watson Hipótesis nol ( H 0 )

Keputusan

Tidak ada Autokorelasi positif

Tolak H 0

0 < d < dL

Tidak ada Autokorelasi positif

Tidak ada

d L ≤ d < du

Tidak ada Autokorelasi Negatif

Tolak H 0

Tidak ada Autokorelasi Negatif

Tidak ada Autokorelasi Positif atau Negatif

Tidak ada

Tarima H 0

Jika

4 − dl < d < 4 4 − du ≤ d ≤ 4 − dl

dU < d < 4 − dU


BAB III

PEMBAHASAN

3.2

Mendeteksi Kehadiran Autokorelasi

Masalah autokorelasi mempunyai akibat yang cukup serius dalam suatu model regresi. Ada beberapa cara untuk mendeteksi ada tidaknya autokorelasi dalam pengamatan yang sedang diselidiki, untuk pengamatan ini dipakai uji Durbin Watson.

3.2.1 Uji Durban Watson Statistik d Durbn Watson didefenisikan sebagai berikut :


n

d=

∑ (e t =2

t

− et −1 ) 2

n

∑e t =1

2 t

Mekanisme tes Durbin Watson adalah sebagai berikut, dengan mengasumsikan bahwa asumsi yang mendasari tes telah terpenuhi : 1. Lakukan regresi OLS dan dapatkan residual ei . 2. Hitung d dari persamaan diatas. 3. Untuk ukuran sampel tertentu dan banyaknya variabel yang menjelaskan tertentu, dapatkan nilai kritis dL dan dU. 4. Jika hipotesa H0 adalah bahwa tidak ada autokorelasi positif, maka d < dL : menolak H0 d < dU : tidak menolak H0 dL ≤ d ≤ dU : pengujian tidak meyakinkan 5. Jika hipotesa H0 adalah bahwa tidak ada autokorelasi negatif, maka d > 4- dL : menolak H0 d > 4- dU : tidak menolak H0 4- dU ≤ d ≤ 4- dL : pengujian tidak meyakinkan 6. Jika hipotesa H0 adalah dua-ujung , bahwa tidak ada autokorelasi baik positif atau negatif, maka d < dL : menolak H0 d > 4 – dL : menolak H0 dU < d < 4 - dU : tidak menolak H0 atau jika, dL ≤ d ≤ dU dan 4 – dU ≤ d ≤ 4- dL , maka pengujian tidak meyakinkan.


Seperti langkah tadi menunjukkan kelemahan besar dari tes d adalah bahwa jika d tadi jatuh dalam daerah yang meragukan, jadi tidak dapat disimpulkan apakah autokorelasi ada atau tidak ada. Sehingga memungkinkan untuk menggunakan tes lain harus juga di perhatikan.

3.2 Pendugaan parameter ρ . Ada prosedur alternatif yang dapat digunakan untuk mengetahui apakah suatu model memiliki autokorelasi, dan dapat diduga besaran autokorelasi itu, yang mana besaran autokorelasi perlu diduga agar dapat melakukan tindakan perbaikan bila ditemukan adanya autokorelasi pada suatu model regresi.Untuk mengetahui apakah terdapat autokorelasi atau tidak maka diuji terhadap koefisien penduga parameter ρ , yaitu ρˆ .

H0 H0

Prosedur ρ dapat dilakukan sebagai berikut: : ρ = 0 ; yang menunjukkan bahwa koefisien autokorelasi sama dengan nol berarti tidak terdapat autokorelasi. : ρ ≠ 0 ; yang menunjukkan adanya autokorelasi, baik autokorelasi positif atau autokorelasi negative.

Untuk mengetahui nilai dugaan para meter ρ , yaitu ρˆ , maka dapat ditentukan dengan menggunakan formula berikut : n

∑e e

ρˆ =

t =2 n

t t −1

∑e t =2

(3.4)

2 t −1

Varians ρˆ dapat diduga menggunakan formula berikut :

var( ρˆ ) =

s2 n

∑e t =2

(3.5)

2 t −1

dengan : Siti Rahayu : Penggunaan Metode Durbin Watson Dalam Menyelesaikan Model Regresi Yang Mengandung Autokorelasi, 2009. USU Repository © 2009

n

n

∑e t =2

s2 =

2 t

−

(∑ et et − 2 ) 2 t =2

n

∑e t =2

2 t −1

(n − 1) − k

(3.6)

Dalam persamaan (3.6) yang dimaksud dengan (n-1) adalah banyaknya pengamatan yang digunakan untuk membangun model regresi, maka data akan kehilangan satu nilai pengamatan dimana pengamatan pertama tidak dapat dipergunakan karena nilai untuk et −1 pada pengamatan pertama tidak ada. Sedangkan k adalah banyaknya parameter yang diduga dalam model autokorelasi dan dilihat dari pola regresi diri= et ρ et −1 + µt , maka jelas banyaknya parameter yang diduga adalah 1, yaitu regresi diri orde pertama ρ .

3.3 Tindakan Perbaikan dengan Pendugaan ρ Berdasarkan Metode Dua Tahap Durbin

Usaha perbaikan terhadap model yang regresi yang mengandung autokorelasi adalah dengan membangun persamaan beda umum, untuk dapat membangun persamaan regresi beda umum, perlu menduga koefisien autokorelasi ( ρˆ ), agar dipergunakan

dalam mentransformasikan

variabel asli X dan Y kedalam X t * dan Yt * . Untuk menjelaskan metode ini, maka bayangkan teerdapat suatu persamaan beda umum, yang dapat dinyatakan sebagai berikut: Yt = β 0 (1 − ρ ) + β1 X t − ρβ1 X t −1 + ρYt −1 + µt

(3.1)

Prosedur pendugaan ρ berdasarkan metode dua tahap Durbin dapat mengikuti langkah berikut :


1. Pada tahap pertama , meregresikan X t terhadap Yt , X t −1 dan Yt −1 , berdasarkan OLS di duga koefisien regresi dari Yt −1 untuk dipergunakan sebagai koefisien dugaan bagi parameter autokorelasi. Jadi koefisien regresi dari Yt −1 dianggap merupakan ρˆ , sebagai dugaan dari ρ . 2. Setelah memperoleh nilai dugaan ρˆ , maka transformasikan variable-variabel yang asli dalam variable-variabel transformasi berikut : (Yt − ρˆYt -1 )

(3.2)

( X t − ρˆ X t -1 ) X= t*

(3.3)

Yt = *

Kemudian berdasarkan variabel transformasi Yt * dan X t * , dibangun model regresi dengan menggunakan OLS.

3.4 Konsekuensi Dari Adanya Outokorelasi Dalam Analisis Regresi Apabila bentuk gangguan menunjukkan atau memperlihatkan adanya autokorelasi, maka hal ini akan berpengaruh kepada nilai galat baku (Standard Error) dari parameter dugaan atau galat baku dari koefisien penduga parameter model. Dengan adanya bentuk gangguan autokorelasi ini mengakibatkan ragam galat yang diduga memiliki nilai yang lebih rendah dari pada yang sesungguhnya. Konsekuensi dari menduga ragam galat yang rendah ini akan berakibat lebih lanjut dan bersifat serius dalam pendugaan ragam koefisien penduga parameter. Dengan adanya kasus autokorelasi dalam variabel gangguan mengakibatkan pengaruh dari variabel bebas itu menjadi nyata secara statistik. Jelas hal ini akan memberikan kesimpulan yang salah karena keadaan sesungguhnya tidak diberikan, sehingga dapat berakibat kesimpulan yang ditarik akan salah, karena tidak menggambarkan keadaan yang sebenarnya.


3.5

Contoh Penerapan

Untuk memperoleh gambaran yang lebih jelas tentang kegunaan teori yang telah diuraikan, maka didalam bab ini penulis sajikan sebuah contoh pemakaiannya.

Data yang digunakan dalam contoh ini dikutip dari Buku Ekonometrika Terapan Dua, yaitu tentang data impor (Yt ) dan GNP dari suatu negara (data hipotesis) selama 20 tahun. Data diukur dalam milyar rupiah harga constan tahun tertentu yang datanya disajikan dalam tabel 2 berikut :

Tabel 2 Data Impor dan GNP dari suatu Negara t

Xt

Yt

Yt

εt

ε t −1

1

21777

3748

3632

116

-

2

22418

4010

3812

198

116

3

22308

3711

3781

-70

198

4

23319

4004

4064

-60

-70

5

24180

4151

4305

-154

-60

6

24893

4569

4505

64

-154

7

25310

4582

4622

-40

64

∧


8

25799

4697

4758

-61

-40

9

25886

4753

4783

-30

-61

10

26868

5062

5058

4

-30

11

28134

5669

5412

257

4

12

29091

5628

5680

-52

257

13

29450

5736

5781

-45

-52

14

30705

5946

6132

-186

-45

15

32372

6501

6599

-98

-186

16

33152

6549

6817

-268

-98

17

33764

6705

6989

-284

-268

18

34411

7104

7170

-66

-284

19

35429

7609

7455

154

-66

20

36200

8100

7671

429

154

Dikutip dari “Buku Ekonometrika Terapan 2”,Vincent,Gaspar.

Data dalam tabel diatas akan diuji apakah terdapat autokorelasi atau tidak dengan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil (OLS). Langkah-langkah untuk menyelesaikan contoh penerapan di atas adalah sebagai berikut: 1. Menentukan persamaan regresi dari table 2. Dengan menggunakan OLS diperoleh persamaan regresi : Yˆ = −2, 465, 29 + 0, 28 X t

2. Hipotesis :

H 0 = tidak ada autokorelasi H1 = ada autokorelasi

3. Taraf signifikan yang digunakan adalah α = 0, 05


4. Dengan derajat kebebasan (n − 1) − k = (20 − 1) − 1= 18 5. Uji Durbin Watson Sekarang akan dipastikan apakah model regresi yang di atas yang dibangun berdasarkan Metode Kudrat Terkecil (OLS) terdapat autokorelasi atau tidak, maka di sini akan digunakan Uji Durban-Watson. 20

20

∑ ε t2 = 561324

;

t =2

20

∑ε ε t =2

t

t −1

∑ε t =2

2 t −1

20

= 207.906

;

∑ε t =1

2 t

= 390739

= 574780

Statistika Durbin Watson ditentukan dengan menggunakan formula (3.1), sebagai berikut ; n

d=

t =2

n

∑e t =1

=

20

20

t =2

t =2

20

∑ ete + ∑ et2−1 − 2∑ e et −1

∑ (et − et −1 )2 =

2 t

t =2

20

∑e t =1

2 t

561324 + 390739 − 2(207906) = 0.933 574780

Dari tabel Durban Watson dapat diíta bahwa untuk taraf nyata 5% dengan k = 1 dan n = 20, diperoleh :

d L = 1.201 dan dU = 1.411 6. Kriteria penolakan Durbin Watson. 7. Kriteria penolakan hipotesis yang digunakan adalah riteria penolakan Durbin Watson sesuai dengan tabel 1. 8. Kesimpulan Siti Rahayu : Penggunaan Metode Durbin Watson Dalam Menyelesaikan Model Regresi Yang Mengandung Autokorelasi, 2009. USU Repository © 2009

Dapat disimpulkan bahwa H0 di tolak, yang menyatakan bahwa tidak ada autokorelasi, karena d yang di hitung berada dalam nilai: 0 < d < d L = 0 < d < 1.201 Dengan demikian regresi tidak memenuhi asumsi tentang tidak adanya autokorelasi dari nilai gangguan, karena berdasarkan pengujian menunjukkan bahwa model regresi impor terhadap GNP mengandung autokorelasi untuk itu perlu dilakukan tindakan perbaikan terhadap model regresi yang mengandung autokorelasi. 9. Tindakan perbaikan Karena pada model masih terdapat autokorelasi maka perlu dilakukan tindakan perbaikan dengan menggunakan transformasi data srbagai berikut

Tabel 3 Transformasi data dari tabel 2 Tahun Ke-i

Y

X

Yt −1

X t −1

Yt *

Xt *


1

3748

-

-

-

-

-

2

4010

22418

3748

21777

2016

10833

3

3711

22308

4010

22418

1578

10382

4

4004

23319

3711

22308

2030

11451

5

4151

24180

4004

23319

2021

11774

6

4569

24893

4151

24180

2361

12029

7

4582

25310

4569

24893

2151

12067

8

4697

25799

4582

25310

2259

12334

9

4753

25886

4697

25799

2254

12161

10

5062

26868

4753

25886

2533

13097

11

5669

28134

5062

26868

2976

13840

12

5628

29091

5669

28134

2612

14124

13

5736

29450

5628

29091

2742

13974

14

5946

30705

5736

29450

2894

15038

15

6501

32372

5946

30705

3338

16037

16

6549

33152

6501

32372

3090

15930

17

6705

33764

6549

33152

3221

16127

18

7104

34411

6705

33764

3537

16449

19

7609

35429

7104

34411

3830

17122

20

8100

36200

7609

35429

4052

17352

Dari tabel 2 diatas ; terlihat bahwa proses pembedaan data telah mengakibatkan kehilangan satu buah pemgamatan yang pertama (t = 1), sehingga pendugaan terhadap persamaan regresi beda umum hanya menggunakan n – 1 = 19 buah data Y* dan X*. untuk kasus regresi yang mengandung autokorelasi maka akan diduga parameter autokorelasi berdasarkan formula : Siti Rahayu : Penggunaan Metode Durbin Watson Dalam Menyelesaikan Model Regresi Yang Mengandung Autokorelasi, 2009. USU Repository © 2009

n

ρˆ =

∑e e

t t −1

t =2 n

∑e t =2

2 t −1

Sehingga di peroleh nilai ρˆ = 0,532 Setelah diperoleh nilai ρˆ = 0,532 maka engan menggunakan metode kuadrat terkecil, diperoleh persamaan regresi sebagai berikut : ∧

Y t = −2.943,972 + 0,296 X t − 0,157 X t −1 + 0,532Yt −1 Gunakan ρ

................

(4.1)

yang diperoleh untuk mentransformasikan variabel asli ke dalam bentuk

transformasi berikut: Yt * = (Yt − 0,532Yt −1 ) X t* = ( X − 0,532 X t −1 )

β 0* = β 0 (1 − 0,532) = −1377,779 β1* = 0,296 Selanjutnya akan diuji autokorelasi dengan Uji Durbin-Watson, sebagai berikut : n

d=

∑ (e t =2

t

− et −1 ) 2

n

∑e t =1

=

2 t

393420 + 341953 − 2(14875) = 1.647 428389

Dari kriteria penolakan Durbin Watson, untuk k = 1 ; n = 19 dan taraf nyata α = 0.05 maka diperoleh d L = 1,180 dan dU = 1,401 10. Kesimpulan. Oleh karena d yang dihitung berada dalam selang penerimaan H 0 , yaitu terletak dalam selang dU < d < 4 − dU = 1,401 < d < 2,599 , maka sesuai kaidah keputusan Durbin Watson, yang menyatakan tidak ada autokorelasi, baik autokorelasi positif maupun Siti Rahayu : Penggunaan Metode Durbin Watson Dalam Menyelesaikan Model Regresi Yang Mengandung Autokorelasi, 2009. USU Repository © 2009

autokorelasi negatif dari nilai-nilai gangguan. Maka persamaan regresi (4.1) adalah model regresi yang tepat. Usaha perbaikan terhadap model regresi (3.8) yang mengandung autokorelasi adalah dengan membangun persamaan regresi beda umum. Untuk itu perlu menduga parameter koefisien autokorelasi agar dipergunakan dalam mentransformasikan variabel asli Y dan X kedalam variabel transformasi Y * dan X * Untuk kasus model regresi (3.8) yang mengandung autokorelasi, maka akan diduga ∧

parameter autokorelasi berdasarkan formula (3.3) dan diperoleh hasil ρ = 0.532. Setelah ∧

diperoleh ρ , maka dapat dirumuskan kembali model regresi (3.8) menjadi persamaan beda umum sebagai berikut : ( Yt - 0.532 Yt −1 ) = β 0 * + β1 * ( X t - 0.532 X t −1 ) + µ t Dengan : ∧

β 0 * = β 0 (1- ρ ) = 0.468 β 0 µ t = ε t - 0.532 ε t −1 Persamaan di atas dapat ditulis secara sederhana sebagai berikut : Yt * = β 0 * + β1 * X t * + µ t Dengan : Yt * = ( Yt - 0.532 Yt −1 ) X t * = ( X t - 0.532 X t −1 ) t = 2,3,4,...,20 BAB IV


KESIMPULAN DAN SARAN

4.1. KESIMPULAN Dari pembahasan yang telah dikaji didapat kesimpulan sebagai berikut : 1. Terjadinya

masalah

autokorelasi

mengakibatkan

penaksiran

parameter

yang

menggunakan metode kuadrat terkecil tetap menghasilkan penduga yang tak bias, tetapi varian penduganya tidak minimum lagi. Bahkan taksiran dari σ 2 menjadi taksiran yang bias. Dengan demikian penguji untuk parameter akan membuat kesimpulan yang salah. 2. Cara yang digunakan untuk mendeteksi atau menguji ada atau tidaknya autokorelasi adalah dengan menggunakan metode Uji Durbin-Watson. 3. Model regresi yang mengandung autokorelasi bukanlah model yang tepat untuk menggambarkan keadaan yang sebenarnya. 4. Model regresi yang mengandung autokorelasi di perbaiki dengan menggunakan Metode Dua Tahap Durbin, sehingga model yang terakhir dengan menggunakan Uji Dua Tahap Durbin adalah model yang tepat untuk menggambarkan keadaan yang sesungguhnya

4.2 SARAN 1. Karena penyelesaian sistem persamaan dalam hal terdapat autokorelasi cukup sulit diselesaikan, maka jika data deret waktu berganda dimana kekeliruannya berkorelasi serial tidak terlepas dari transformasi data untuk menghilangkan autokorelasi dalam model guna membentuk model regresi yang baru. 2. Dalam data deret waktu sebelum digunakan sebaiknya lebih dahulu diuji autokorelasi dari residual dengan menggunakan statistik uji Durbin watson atau uji lain dalam hal ini modelnya mengikuti AR(1) atau penguji lain yang sesuai.

DAFTAR PUSTAKA


Gaspers, Vincent. 1991. Ekonometrika Terapan Dua. Tarsito.Bandung.

Gurajati, Damodar N. 1997. Ekonometrika Dasar. Penerbit Erlangga. Jakarta.

Maddala, G.S. 1990. Econometrics. University Of Florida. Florida. USA.

Nachrowi, Nachrowi J. 2002. Penggunaan Tehnik Ekonometrika. PT. Raja Grafindo Persada. Jakarta.

Ronald, J.W. and Thomas, H.W. 1981.Regression A Second Course In Statistic. Jhon Wileyand Son.New York.

Supranto, J. 2005. Ekonometrika Buku Satu. Penerbit Ghalia Indonesia. Ciawi. Bogor.

Supranto, J. 1995. Ekonometrika Buku Dua. LPPE. Universitas Indonesia. Jakarta.


PENGGUNAAN METODE DURBIN WATSON DALAM MENYELESAIKAN MODEL REGRESI YANG MENGANDUNG AUTOKORELASI SKRIPSI SITI RAHAYU

Recommend Documents