PENGELOMPOKAN PRODUKTIVITAS PADI DI INDONESIA MENGGUNAKAN METRIK LOG-NORMALIZED PERIODOGRAM (LNP)

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

PENGELOMPOKAN PRODUKTIVITAS PADI DI INDONESIA MENGGUNAKAN METRIK LOG-NORMALIZED PERIODOGRAM (LNP)

oleh UMI MUSLIHAH M0108110

SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA commit to user 2013

i


digilib.uns.ac.id

commit to user

ii


digilib.uns.ac.id

ABSTRAK Umi Muslihah, 2013. PENGELOMPOKAN PRODUKTIVITAS PADI DI INDONESIA MENGGUNAKAN METRIK LOG-NORMALIZED PERIODOGRAM (LNP). Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret Surakarta. Padi merupakan makanan pokok sebagian besar masyarakat Indonesia. Oleh karena itu, produktivitas padi harus selalu ditingkatkan agar kebutuhan masyarakat bisa terpenuhi. Tidak semua provinsi di Indonesia mempunyai produktivitas padi yang sama, sehingga perlu dilakukan pengelompokan untuk mengetahui provinsi mana yang mempunyai produktivitas tinggi. Data produktivitas padi tersebut merupakan data runtun waktu, sehingga pengelompokannya tidak bisa menggunakan jarak Euclid, Mahalanobis dan Manhattan. Jarak yang bisa digunakan adalah jarak berdasar pada metrik lognormalized periodogram (LNP). Metrik LNP merupakan logaritma dari periodogram yang dinormalkan. Penelitian ini bertujuan untuk mengelompokkan produktivitas

padi di Indonesia menggunakan metrik LNP. Data yang digunakan pada penelitian ini adalah produktivitas padi 26 provinsi di Indonesia. Pengelompokannya menggunakan metode complete linkage dengan jarak berdasar metrik LNP. Hasil penelitian menunjukkan bahwa pengelompokan produktivitas padi di Indonesia menggunakan metrik LNP menghasilkan 3 kelompok, yaitu kelompok dengan produktivitas cepat, tetap dan produktivitas yang negatif pada periode tertentu.

Kata Kunci: produktivitas, complete linkage, Log-Normalized Periodogram (LNP).

commit to user

iii


digilib.uns.ac.id

ABSTRACT Umi Muslihah, 2013. The Clustering of Paddy Productivity In Indonesia Using Log-Normalized Periodogram (LNP) Metric. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. Paddy is staple food of most Indonesian people. Therefore, the productivity of paddy must be improved so that people’s needs can be fulfilled. Not all of the provinces in Indonesia have the same paddy productivity, so it needs to cluster the provinces to know which province has high productivity. The paddy productivity data is time series data, so that clustering can not use Euclid, Mahalanobis and Manhattan distances. The distance that can be used is the distance based on LogNormalized Periodogram (LNP) metric. Metric LNP is the logarithm of the normalized periodogram. This study aims to cluster the paddy productivity in Indonesia using the LNP metric. The data used in this study are the paddy productivity of 26 provinces in Indonesia. The method that used to cluster is complete linkage with the distance based on LNP metric. The results showed that the clustering of paddy productivity in Indonesia using LNP metric produce 3 groups, i.e fast productivity, steady productivity, and negative productivity in some periods. Keyword: productivity, complete linkage, Log-Normalized Periodogram (LNP) metric.

commit to user

iv


digilib.uns.ac.id

MOTO

Setelah kesulitan pasti ada kemudahan Yang bertanggung jawab atas diri kita adalah diri kita sendiri

commit to user

v


digilib.uns.ac.id

PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk Bapak dan ibuku tercinta yang telah membimbingku dari kecil hingga saat ini Kakakku yang telah memberi doa dan semangat

commit to user

vi


digilib.uns.ac.id

KATA PENGANTAR

Segala puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah memberikan banyak kenikmatan kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan

skripsi

ini

dengan

judul

“PENGELOMPOKAN

PRODUKTIVITAS PADI DI INDONESIA MENGGUNAKAN METRIK LOGNORMALIZED PERIODOGRAM (LNP) ”. Sholawat serta salam semoga tercurah limpahkan kepada suriteladan umat manusia yaitu Rasulullah Muhammad SAW, keluarganya,sahabatnya, dan umatnya yang senantiasa istiqomah dijalan-Nya. Pada kesempatan ini penulis juga mengucapkan terima kasih kepada 1. Dra. Etik Zukhronah, M.Si sebagai dosen Pembimbing I yang telah memberikan bimbingan, arahan serta ide kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. 2. Supriyadi Wibowo, M.Si sebagai dosen Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan dan arahan kepada penulis selama menyelesaikan skripsi ini. 3. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu yang telah membantu dalam penyelesaian skripsi ini. Semoga Allah SWT membalas semua kebaikan yang telah mereka berikan selama ini dan semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat.

Surakarta, Januari 2013

Penulis

commit to user

vii


digilib.uns.ac.id

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ...................................................................................... i PENGESAHAN .............................................................................................. ii ABSTRAK ..................................................................................................... iii ABSTRACT ..................................................................................................... iv MOTO ............................................................................................................ v PERSEMBAHAN ........................................................................................... vi KATA PENGANTAR .................................................................................... vii DAFTAR ISI .....................................................................................................viii DAFTAR TABEL .......................................................................................... x DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... xi DAFTAR SIMBOL ........................................................................................ xii BAB I. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang ................................................................................... 1 1.2. Rumusan Masalah .............................................................................. 2 1.3. Batasan Masalah................................................................................. 2 1.4. Tujuan Penelitian ............................................................................... 3 1.5. Manfaat Penelitian.............................................................................. 3 BAB II. LANDASAN TEORI 2.1. Tinjauan Pustaka ................................................................................ 4 2.1.1. Produktivitas ............................................................................. 4 2.1.2. Analisis Runtun Waktu ............................................................ 5 2.1.3. Fungsi Autokorelasi dan Fungsi Autokorelasi Parsial ............... 5 2.1.4. Stasioner .................................................................................. 6 2.1.5. Model Autoregressive Moving Average (𝐴𝑅𝑀𝐴) dan Integrated Autoregressive-Moving Average (𝐴𝑅𝐼𝑀𝐴) ..................................... 7

2.1.6. Identifikasi Model .................................................................... 9 2.1.7. Estimasi Parameter Model ....................................................... 10 2.1.8. Uji Diagnostik Model ............................................................... 11 commit to user 2.1.9. Analisis Kluster ........................................................................ 12

viii


digilib.uns.ac.id

2.1.10. Pengertian Analisis Spektrum ................................................. 14 2.1.11. Periodogram ........................................................................... 15 2.1.12. Penghalusan Spektrum (Spectrum Smoothing) ........................ 17 2.1.13. Jarak Berdasar pada Metrik Log-Normalized Periodogram ..... 18 2.2. Kerangka Pemikiran ........................................................................... 19 BAB III. METODE PENELITIAN ................................................................. 21 BAB IV. PEMBAHASAN 4.1. Kestasioneran Data ............................................................................. 23 4.1.1. Identifikasi Model untuk Masing-Masing Provinsi ................... 23 4.1.2. Estimasi Parameter Model untuk Masing-Masing Provinsi ....... 25 4.1.3. Uji Diagnostik Model untuk Masing-Masing Provinsi .............. 29 4.2. Hasil Pengelompokan Produktivitas Padi Di Indonesia ....................... 30 BAB V. PENUTUP 5.1. Kesimpulan ........................................................................................ 34 5.2. Saran .................................................................................................. 34 DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................... 35 LAMPIRAN ................................................................................................... 37

commit to user

ix


digilib.uns.ac.id

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Karakteristik 𝐴𝐶𝐹 dan 𝑃𝐴𝐶𝐹 dalam Proses Stasioner untuk Model 𝐴𝑅, 𝑀𝐴 dan 𝐴𝑅𝑀𝐴. .......................................................................... 9

Tabel 4.1 Model sementara produktivitas padi untuk masing-masing provinsi. 26 Tabel 4.2 Hasil Estimasi Model untuk Masing-masing Provinsi. ..................... 27

commit to user

x


digilib.uns.ac.id

DAFTAR GAMBAR

Gambar 4.1. Plot data asli Provinsi Nanggroe Aceh Darussalam. .................... 24 Gambar 4.2. Plot data Provinsi Nanggroe Aceh Darussalam setelah pembedaan ...................................................................... 25 Gambar 4.3. Dendogram runtun waktu produktivitas padi di Indonesia menggunakan metrik LNP .......................................................... 32

commit to user

xi


digilib.uns.ac.id

DAFTAR SIMBOL 𝑟𝑘

: Nilai Autocorrelation Function (𝐴𝐶𝐹)

𝑍𝑡

: Observasi pada waktu 𝑡

𝑍𝑡+𝑘

: Observasi pada waktu 𝑡 + 𝑘

𝜙𝑘𝑘

: Nilai Partial Autocorrelation Function (𝑃𝐴𝐶𝐹)

𝛼

: Tingkat signifikansi

𝑝

: Orde model Autoregressive (𝐴𝑅)

𝑞

: Orde model moving average (𝑀𝐴)

𝑎𝑡

: Residu dari model

𝜙𝑝

: Koefisien parameter model 𝐴𝑅(𝑝)

𝜃𝑞

: Koefisien parameter model 𝑀𝐴(𝑞)

𝑑

: Jumlah pembedaan

𝑆∗ 𝜙, 𝜃

: Jumlah kuadrat residu

𝜙

: Estimasi parameter 𝜙

𝜃

: Estimasi parameter 𝜃

𝑄∗

: nilai Ljung-Box-Pierce

𝑥𝑡

: Observasi pada waktu 𝑡

𝑥𝑡+𝑘

: Observasi pada waktu 𝑡 + 𝑘

𝛾𝑘

: Fungsi autokovariansi

𝜔

: Frekuensi Fourier

𝑓 𝜔

: Spektrum

𝑃 𝜔𝑗

: Periodogram

𝑛

: Banyaknya observasi

𝑓 𝜔

: Spektrum sampel

𝑚𝑛

: Jumlah frekuensi yang digunakan dalam penghalusan

𝑊𝑛 𝑘

: Rangkaian fungsi pembobot spectral window

𝑊∗ 𝑘

: Fungsi pembobot lag window

𝑑𝐿𝑁𝑃 𝑥, 𝑦

: Jarak berdasar pada metrik Log-Normalized Periodogram (LNP)

𝑁𝑃 𝜔𝑗

: Periodogram yang dinormalkan

log 𝑁𝑃 𝜔𝑗

: Logaritma dari periodogram yang dinormalkan

commit to user

xii


digilib.uns.ac.id

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Indonesia merupakan negara dengan luas wilayah 1.910.931,32 km2 (BPS, 2011). Wilayah Indonesia terdiri dari 33 provinsi yang tersebar di 6 pulau ( pulau Sumatra, Jawa, Kalimantan, Nusa Tenggara, Kepulauan Maluku dan Papua). Mata pencaharian sebagian besar penduduk Indonesia sebagai petani. Sektor pertanian memiliki peran penting dalam perekonomian nasional, yaitu sebagai sumber pendapatan, membuka lapangan kerja, mengentaskan kemiskinan dan meningkatkan ketahanan pangan nasional. Komoditas padi merupakan salah satu hasil pertanian yang sangat penting dan strategis kedudukannya. Padi merupakan makanan pokok sebagian besar masyarakat Indonesia. Kebutuhan beras akan bertambah seiring dengan laju pertumbuhan penduduk. Besarnya tingkat konsumsi beras di Indonesia mengharuskan pemerintah untuk mengimpor beras dari negara lain. Hal ini disebabkan produksi padi dalam negeri belum bisa memenuhi kebutuhan masyarakat. Apabila Indonesia terus bergantung pada negara lain tanpa mencari cara untuk memenuhi kebutuhan beras dalam negeri maka suatu saat Indonesia akan dilanda kelaparan. Jika impor beras dihentikan dan produktivitas padi dalam negeri tidak ada peningkatan, maka kemungkinan Indonesia akan mengalami krisis pangan. Oleh karena itu perlu dilakukan penelitian untuk mengetahui laju produktivitas padi di Indonesia. Hal tersebut dapat dilakukan dengan cara mengelompokkan produktivitas padi dari beberapa provinsi untuk mengetahui kelompok laju produktivitas yang cepat, tetap dan produktivitas yang negatif. Untuk mengetahui laju produktivitas padi diperlukan data dari beberapa periode tertentu atau berupa data runtun waktu. Salah satu cara yang dapat digunakan untuk mengelompokkan produktivitas padi adalah dengan analisis kluster. Analisis kluster adalah suatu teknik pengelompokan obyek berdasarkan pada kemiripannya, sehingga diperlukan suatu metode untuk mengukur kemiripan atau commit to user perbedaan antar obyek. Ukuran yang dapat menerangkan kedekatan antar obyek

1


digilib.uns.ac.id 2

yaitu ukuran kesamaan (similaritas). Ukuran kesamaan yang sering digunakan adalah ukuran jarak. Menurut Dillon, et al. (1984), jarak yang bisa digunakan antara lain jarak Euclid, jarak Mahalanobis dan jarak Manhattan (City Block). Menurut Caiado (2006), ketiga jarak tersebut tidak dapat digunakan untuk data runtun waktu. Jarak yang dapat digunakan untuk mengelompokkan data runtun waktu diantaranya jarak berdasar pada metrik autocorrelations (ACF), partial autocorrelations (PACF), inverse autocorrelations (IACF), dan log-normalized periodogram (LNP). Namun metrik LNP lebih baik daripada metrik yang lain dalam mengelompokkan data runtun waktu, hal ini dikarenakan metrik LNP dapat membedakan dengan sempurna antar kelompok data runtun waktu. Karena data produktivitas padi merupakan data runtun waktu maka dalam penelitian ini menggunakan jarak yang berdasar pada metrik LNP. Berdasarkan uraian di atas penulis tertarik untuk mengelompokkan produktivitas padi di Indonesia menggunakan metrik LNP. Dengan adanya pengelompokan produktivitas padi tersebut akan diketahui kelompok provinsi mana yang mempunyai laju produktivitas padi yang cepat, tetap dan produktivitas yang negatif, sehingga dapat membantu pemerintah dalam menentukan kebijakan untuk memberikan perhatian khusus pada kelompok provinsi yang mempunyai laju produktivitas padi yang negatif. 1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang masalah, maka rumusan masalahnya adalah bagaimana pengelompokan produktivitas padi di Indonesia menggunakan metrik LNP. 1.3 Batasan Masalah Penulis membatasi masalah dalam penelitian ini yaitu pengelompokan produktivitas padi pada 26 provinsi di Indonesia mulai tahun 1970 sampai 2010 dengan menggunakan metrik LNP.

commit to user


digilib.uns.ac.id 3

1.4 Tujuan Penelitian Berdasarkan perumusan masalah di atas, maka tujuan dari penelitian ini adalah menentukan pengelompokan produktivitas padi di Indonesia menggunakan metrik LNP. 1.5 Manfaat Penelitian Dengan penelitian ini diharapkan dapat memberikan pemahaman mengenai analisis kluster pada data runtun waktu. Selain itu dapat menentukan kelompok dan laju pertumbuhan produktivitas padi di Indonesia. Hal ini dapat membantu pemerintah agar dapat meningkatkan produktivitas padi dan memberikan perhatian khusus pada kelompok provinsi yang mempunyai laju produktivitas padi yang negatif. Sehingga pertumbuhan produktivitas padi di Indonesia untuk tahun selanjutnya meningkat dan dapat mencukupi kebutuhan beras yang semakin banyak.

commit to user


digilib.uns.ac.id

BAB II LANDASAN TEORI Landasan teori ini terdiri dari dua sub bagian yaitu tinjauan pustaka dan kerangka pemikiran. 2.1 Tinjauan Pustaka Pada bagian ini memuat beberapa hasil penelitian terdahulu dan teori yang menjadi dasar dari penelitian penulis. Caiado (2006) memperkenalkan beberapa jarak yang dapat digunakan untuk mengelompokkan data runtun waktu diantaranya jarak yang berdasar pada metrik Autocorrelations (ACF), Partial Autocorrelations (PACF), Inverse Autocorrelations (IACF) dan metrik LogNormalized Periodogram (LNP). Penelitian tersebut menunjukkan bahwa pengelompokkan menggunakan metrik LNP memberikan hasil yang lebih baik dari pada metrik yang lain. Hal ini dikarenakan metrik LNP dapat membedakan dengan sempurna antara runtun waktu stasioner dan nonstasioner. Penelitian ini memerlukan beberapa pengertian dasar antara lain pengertian mengenai produktivitas, analisis runtun waktu, fungsi autokorelasi dan fungsi autokorelasi parsial, stasioner, model Autoregressive Moving Average (𝐴𝑅𝑀𝐴) dan Integrated Autoregressive-Moving Average (𝐴𝑅𝐼𝑀𝐴), analisis kluster, analisis spektrum, periodogram, penghalusan spektrum, dan jarak berdasar pada metrik LNP. 2.1.1 Produktivitas Sejak

awal

perkembangannya

sampai

sekarang

banyak

definisi

produktivitas yang telah dikembangkan. Produktivitas merupakan istilah yang seringkali dianggap sama dengan kata produksi. Pada kenyataannya, antara produktivitas dan produksi mempunyai arti yang berbeda. Produksi merupakan pengubahan bahan-bahan dari sumber-sumber daya menjadi barang dan jasa. Menurut Pribadiyono (2006), produktivitas merupakan perubahan dalam suatu produk yang dihasilkan dari penggunaan sumber daya. Tinggi rendahnya suatu to user produktivitas berkaitan dengan commit efisiensi dari sumber daya (input) dalam

4


digilib.uns.ac.id 5

menghasilkan suatu produk atau jasa (output) (Bain, 1982). Oleh karena itu, istilah produktivitas menggambarkan perbandingan antara keluaran (output) dan masukan (input). Pada penelitian ini yang dimaksud input adalah luas panen dan outputnya adalah produksi padi. 2.1.2 Analisis Runtun Waktu Menurut Rosadi (2006), data runtun waktu adalah jenis data yang dikumpulkan menurut urutan waktu dalam suatu rentang waktu tertentu. Data dikumpulkan secara periodik misalnya dalam jam, hari, minggu, bulan, kuartal dan tahun. Data runtun waktu dibangun oleh komponen trend, siklis, dan musiman (untuk data bulanan). Berdasarkan konsep tersebut, analisis data runtun waktu dapat dilakukan dalam dua domain, yaitu waktu dan frekuensi. Waktu menentukan signifikansi autokorelasi, kestasioneran data, penaksiran parameter regresi runtun waktu, dan peramalan. Sedangkan dalam frekuensi dapat ditentukan frekuensi tersembunyi, yaitu frekuensi komponen siklis yang sulit diperoleh dalam waktu tersebut, dengan tujuan untuk mengetahui kondisi tertentu pada data. 2.1.3 Fungsi Autokorelasi dan Fungsi Autokorelasi Parsial Menurut Cryer (1986), fungsi autokorelasi (Autocorrelation Function (𝐴𝐶𝐹)) pada selisih waktu (lag 𝑘) menyatakan hubungan keeratan antara nilai observasi pada waktu 𝑡 dan nilai observasi pada waktu 𝑡 + 𝑘. Nilai 𝐴𝐶𝐹 untuk sampel antara 𝑍𝑡 dan 𝑍𝑡+𝑘 adalah 𝑟𝑘 =

𝑛 −𝑘 𝑡=1

𝑍𝑡 −𝑍 (𝑍 𝑡+𝑘 −𝑍 ) 𝑛 2 𝑡=1 𝑍𝑡 −𝑍

,

dengan 𝑍𝑡 adalah observasi pada waktu 𝑡 dan 𝑍𝑡+𝑘 adalah observasi pada waktu 𝑡 + 𝑘. Sedangkan fungsi autokorelasi parsial (Partial Autocorrelation Function (𝑃𝐴𝐶𝐹)) digunakan untuk mengukur keeratan antara 𝑍𝑡 dan 𝑍𝑡−𝑘 apabila pengaruh dari lag waktu 𝑡 = 1,2,3, … , 𝑘 − 1 dianggap terpisah. 𝑃𝐴𝐶𝐹 adalah suatu fungsi yang menunjukkan besarnya korelasi parsial (hubungan linear secara terpisah) antara pengamatan pada waktu sekarang (𝑡) dengan pengamatan pada waktu-waktu sebelumnya (𝑡 − 1, 𝑡 − 2, … , 𝑡 − 𝑘). Menurut Cryer (1986), nilai commit to user 𝑃𝐴𝐶𝐹 dinyatakan sebagai


digilib.uns.ac.id 6

𝜙𝑘𝑘 = 𝑐𝑜𝑟𝑟(𝑍𝑡 , 𝑍𝑡−𝑘 |𝑍𝑡−1, , 𝑍𝑡−2 , … , 𝑍𝑡−𝑘+1 ), 𝜙𝑘𝑘 adalah koefisien korelasi dalam distribusi dua variabel (bivariat) 𝑍𝑡 , 𝑍𝑡−𝑘 bersyarat 𝑍𝑡−1, , 𝑍𝑡−2 , … , 𝑍𝑡−𝑘 +1 . Menurut Mulyana (2004), plot dari 𝐴𝐶𝐹 dan 𝑃𝐴𝐶𝐹 dinamakan korelogram (correlogram) dan dapat digunakan untuk menentukan signifikansi autokorelasi dan kestasioneran data. Jika plot 𝐴𝐶𝐹 membangun sebuah histogram yang menurun (pola eksponensial), maka autokorelasi signifikan atau data berautokorelasi. Sedangkan jika plot 𝑃𝐴𝐶𝐹 membangun histogram langsung terpotong pada lag ke-2, maka data tidak stasioner. Ketika plot 𝐴𝐶𝐹 dan 𝑃𝐴𝐶𝐹 keduanya membentuk pola alternating (tanda dan nilai autokorelasi berubah secara acak dan sesuai dengan berjalannya nilai lag), hal ini mengindikasikan data tidak stasioner dalam variansi. 2.1.4 Stasioner Beberapa model runtun waktu membutuhkan asumsi stasioner. Menurut Mulyana (2004), stasioner merupakan kondisi yang diperlukan dalam analisis runtun waktu karena dapat memperkecil kekeliruan model. Runtun waktu stasioner adalah suatu runtun waktu yang mempunyai rata-rata dan variansi yang tidak berubah dengan pergeseran waktu. Sedangkan data yang tidak stasioner diklasifikasikan atas tiga bentuk yaitu 1. tidak stasioner dalam rata-rata hitung, hal ini terjadi jika trend tidak datar (tidak sejajar sumbu waktu), 2. tidak stasioner dalam variansi, hal ini terjadi jika trend datar atau hampir datar tetapi data tersebar membangun pola melebar atau menyempit yang meliput secara seimbang trendnya (pola terompet), 3. tidak stasioner dalam rata-rata hitung dan variansi, hal ini terjadi jika trend tidak datar dan data membangun pola terompet. Proses stasioneritas dilakukan bergantung pada kondisi ketidakstasioneran data, jika data tidak stasioner dalam 1. rata-rata hitung, maka proses stasioneritas adalah proses pembedaan (differencing), commit to user 2. variansi, maka proses stasioneritas adalah transformasi stabilisasi variansi,


digilib.uns.ac.id 7

3. rata-rata hitung dan variansi, maka transformasi stabilisasi variansi harus dilakukan terlebih dahulu, dan proses pembedaan dilakukan pada data hasil transformasi. Untuk melihat ketidakstasioneran data secara visual, tahap pertama dapat dilakukan pada plot data berdasarkan urutan waktu. Jika belum mendapatkan kejelasan, maka tahap berikutnya dilihat pada plot 𝐴𝐶𝐹 dan 𝑃𝐴𝐶𝐹. Pada plot 𝐴𝐶𝐹, jika data tidak stasioner maka plotnya akan membangun pola, 1. menurun, jika data tidak stasioner dalam rata-rata hitung (trend naik atau turun), 2. alternating, jika data tidak stasioner dalam variansi, 3. gelombang, jika data tidak stasioner dalam rata-rata hitung dan variansi. Selain itu, kestasioneran juga dapat diuji dengan unit root test. Menurut Tsay (1999), hipotesis kestasioneran sebagai berikut, 𝐻0 : 𝜙1 = 1 (data runtun waktu mempunyai unit root atau tidak stasioner) 𝐻1 : 𝜙1 < 1 (data runtun waktu tidak mempunyai unit root atau stasioner). Statistik uji menggunakan Augmented Dickey-Fuller atau rasio-𝑡, 𝑇 𝑍 𝑡=1 𝑡−1 𝑒𝑡

𝜙 −1

𝐴𝐷𝐹 ≡rasio-t= 𝑠𝑑 1(𝜙

1

= )

𝑇 𝑍2 𝑡=1 𝑡−1

𝜍𝑒

,

dengan 𝜙1 = 𝜍𝑒2

=

𝑇 𝑡=1

𝑇 𝑍 𝑡=1 𝑡−1 𝑍𝑡 𝑇 𝑍2 𝑡=1 𝑡−1

𝑍𝑡 −𝜙 1 𝑍𝑡−1 𝑇−1

2

,

𝑠𝑑(𝜙1 ) merupakan standar deviasi dari 𝜙1 , 𝑍0 = 0, 𝑍𝑡 adalah observasi pada waktu 𝑡 dan 𝑇 adalah ukuran sampel. Hipotesis nol ditolak jika 𝐴𝐷𝐹 > 𝑡𝛼,(𝑇−1) atau p-value < 𝛼 (tingkat signifikansi). 2.1.5 Model Autoregressive Moving Average (𝑨𝑹𝑴𝑨) dan Integrated Autoregressive-Moving Average (𝑨𝑹𝑰𝑴𝑨) Model runtun waktu stasioner meliputi proses Autoregressive untuk orde 𝑝 (𝐴𝑅(𝑝)), proses Moving Average untuk orde 𝑞 (𝑀𝐴(𝑞)) dan proses commit to user


digilib.uns.ac.id 8

Autoregressive Moving Average untuk orde 𝑝 dan 𝑞 (𝐴𝑅𝑀𝐴(𝑝, 𝑞)). Menurut Cryer (1986), bentuk umum model Autoregressive (𝐴𝑅(𝑝)) sebagai berikut 𝑍𝑡 = 𝜙1 𝑍𝑡−1 + 𝜙2 𝑍𝑡−2 + ⋯ + 𝜙𝑝 𝑍𝑡−𝑝 + 𝑎𝑡 , dengan 𝑎𝑡 diasumsikan sebagai residu model 𝐴𝑅 dan 𝜙𝑝 adalah koefisien parameter model 𝐴𝑅(𝑝). Model 𝐴𝑅(𝑝) dikatakan stasioner jika −1 < 𝜙𝑝 < 1. Bentuk umum model Moving Average (𝑀𝐴(𝑞)) adalah 𝑍𝑡 = 𝑎𝑡 − 𝜃1 𝑎𝑡−1 − 𝜃2 𝑎𝑡−2 − ⋯ − 𝜃𝑞 𝑎𝑡−𝑞 , dengan 𝑞 > 0, 𝑎𝑡 diasumsikan sebagai residu model 𝑀𝐴, 𝜃𝑞 adalah koefisien parameter model 𝑀𝐴(𝑞). Model 𝑀𝐴 dikatakan stasioner jika −1 < 𝜃𝑞 < 1. Model Autoregressive Moving Average (𝐴𝑅𝑀𝐴(𝑝, 𝑞)) adalah gabungan dari model Autoregressive (𝐴𝑅(𝑝)) dan Moving Average (𝑀𝐴(𝑞)). Bentuk umum model 𝐴𝑅𝑀𝐴 𝑝, 𝑞 adalah 𝑍𝑡 = 𝜙1 𝑍𝑡−1 + ⋯ + 𝜙𝑝 𝑍𝑡−𝑝 + 𝑎𝑡 + 𝜃1 𝑎𝑡−1 + ⋯ + 𝜃𝑞 𝑎𝑡−𝑞 . Model tidak stasioner memiliki rata-rata dan variansi yang tidak konstan sepanjang waktu. Hal itu disebabkan oleh variabel runtun waktu terdapat trend yang kuat. Suatu runtun waktu tidak stasioner yang telah dilakukan pembedaan, dimodelkan dengan Integrated Autoregressive (𝐴𝑅𝐼(𝑝, 𝑑)), Integrated Moving Average

(𝐼𝑀𝐴(𝑑, 𝑞))

dan

Integrated

Autoregressive-Moving

Average

(𝐴𝑅𝐼𝑀𝐴(𝑝, 𝑑, 𝑞)). Bentuk umum model 𝐴𝑅𝐼(𝑝, 𝑑) adalah 𝑍𝑡 = 1 + 𝜙1 𝑍𝑡−1 + 𝜙1 −𝜙2 𝑍𝑡−2 + ⋯ + 𝜙𝑝 −𝜙𝑝−1 𝑍𝑡−𝑝 + 𝜙𝑝 𝑍𝑡−𝑝−1 + 𝑎𝑡 . dengan 𝑑 = 1,2, …. Model 𝐼𝑀𝐴(1,1) dinyatakan dengan 𝑍𝑡 = 𝑍𝑡−1 + 𝑎𝑡 − 𝜃1 𝑎𝑡−1 , dan model 𝐼𝑀𝐴(2,2) dinyatakan dengan 𝑍𝑡 = 2𝑍𝑡−1 − 𝑍𝑡−2 + 𝑎𝑡 − 𝜃1 𝑎𝑡−1 − 𝜃2 𝑎𝑡−2 .

(2.1)

Sedangkan bentuk umum model 𝐴𝑅𝐼𝑀𝐴(𝑝, 1, 𝑞) dinyatakan dengan 𝑍𝑡 = 1 + 𝜙1 𝑍𝑡−1 + 𝜙2 − 𝜙1 𝑍𝑡−2 + 𝜙3 − 𝜙2 𝑍𝑡−3 + ⋯ + 𝜙𝑝 − 𝜙𝑝−1 𝑍𝑡−𝑝 −𝜙𝑝 𝑍𝑡−𝑝−1 + 𝑎𝑡 − 𝜃1 𝑎𝑡−1 − 𝜃2 𝑎𝑡−2 − ⋯ − 𝜃𝑞 𝑎𝑡−𝑞 ,

(2.2)

serta bentuk umum model 𝐴𝑅𝐼𝑀𝐴(𝑝, 2, 𝑞) sebagai berikut 𝑍𝑡 = 𝜙2 − 2 𝑍𝑡−1 + 𝜙2 − 2𝜙1 − 1 𝑍𝑡−2 + 𝜙1 − 2𝜙2 𝑍𝑡−3 + 𝜙2 𝑍𝑡−4 + ⋯

commit to user

+𝜙𝑝 𝑍𝑡−𝑝 − 2𝜙𝑝 𝑍𝑡−𝑝−1 + 𝜙𝑝 𝑍𝑡−𝑝−2 + 𝑎𝑡 − 𝜃1 𝑎𝑡−1 − 𝜃2 𝑎𝑡−2 − ⋯ − 𝜃𝑞 𝑎𝑡−𝑞 .


digilib.uns.ac.id 9

Model 𝐴𝑅𝐼𝑀𝐴(𝑝, 𝑑, 𝑞) dikatakan stasioner jika −1 < 𝜙𝑝 < 1 dan −1 < 𝜃𝑞 < 1. 2.1.6 Identifikasi Model Dalam

membangun

model stasioner

𝐴𝑅𝐼𝑀𝐴

diperlukan alat

untuk

mengidentifikasi model tersebut dengan menggunakan 𝐴𝐶𝐹 dan 𝑃𝐴𝐶𝐹. Langkahlangkah yang dilakukan untuk identifikasi model adalah 1. Membuat plot data runtun waktu dan melihat karakter data untuk menentukan perlu atau tidaknya dilakukan transformasi dan/atau proses pembedaan. 2. Menghitung nilai 𝐴𝐶𝐹 dan 𝑃𝐴𝐶𝐹 data asli (data sebelum dilakukan proses transformasi) untuk mendapatkan informasi mengenai orde dari proses pembedaan. Jika nilai 𝐴𝐶𝐹 membangun sebuah pola yang menurun secara perlahan dan 𝑃𝐴𝐶𝐹 membangun pola yang nilainya terpotong secara signifikan setelah lag-1 (perbedaan nilai antara 𝑃𝐴𝐶𝐹 lag-1 dengan lag-2 dan sesudahnya sangat besar), maka hal ini perlu dilakukan pembedaan. 3. Menghitung nilai 𝐴𝐶𝐹 dan 𝑃𝐴𝐶𝐹 data hasil transformasi dan/atau pembedaan (jika ada perlakuan transformasi dan/atau pembedaan), untuk memperkirakan orde 𝐴𝑅 dan 𝑀𝐴 yang akan diambil. Menurut Mulyana (2004), karakter plot 𝐴𝐶𝐹 dan 𝑃𝐴𝐶𝐹 dalam proses stasioner untuk model 𝐴𝑅, 𝑀𝐴 dan 𝐴𝑅𝑀𝐴 dapat dilihat pada Tabel 2.1. Tabel 2.1 Karakteristik 𝐴𝐶𝐹 dan 𝑃𝐴𝐶𝐹 dalam Proses Stasioner untuk Model 𝐴𝑅, 𝑀𝐴 dan 𝐴𝑅𝑀𝐴 Model 𝐴𝑅(𝑝)

𝑨𝑪𝑭

𝑷𝑨𝑪𝑭

Turun secara eksponensial menuju Terpotong setelah lag 𝑝 nol sejalan dengan bertambahnya 𝑘

𝑀𝐴(𝑞)

Terpotong setelah lag 𝑞

Turun secara eksponensial menuju nol sejalan dengan bertambahnya 𝑘

𝐴𝑅𝑀𝐴(𝑝, 𝑞) Menuju nol setelah lag 𝑞

commit to user

Menuju nol setelah lag 𝑝


digilib.uns.ac.id 10

2.1.7 Estimasi Parameter Model Setelah identifikasi terhadap model, selanjutnya dilakukan estimasi parameter. Menurut Cryer (1986), metode estimasi yang dapat digunakan untuk model 𝐴𝑅𝐼𝑀𝐴(𝑝, 𝑑, 𝑞) adalah metode kuadrat terkecil (least square). Metode kuadrat terkecil dilakukan dengan meminimumkan jumlah kuadrat residu. Jumlah kuadrat residu pada model 𝐴𝑅𝐼𝑀𝐴(𝑝, 𝑑, 𝑞) dinyatakan dalam suatu fungsi 𝑛 2 𝑡=1 𝑎𝑡 .

𝑆∗ 𝜙, 𝜃 =

(2.3)

Model 𝐴𝑅𝐼𝑀𝐴(𝑝, 1, 𝑞) pada persamaan (2.2) dapat dinyatakan sebagai 𝑎𝑡 = 𝑍𝑡 − 1 + 𝜙1 𝑍𝑡−1 − 𝜙2 − 𝜙1 𝑍𝑡−2 − 𝜙3 − 𝜙2 𝑍𝑡−3 − ⋯ − 𝜙𝑝 − 𝜙𝑝−1 𝑍𝑡−𝑝 + 𝜙𝑝 𝑍𝑡−𝑝−1 + 𝜃1 𝑎𝑡−1 + 𝜃2 𝑎𝑡−2 + ⋯ + 𝜃𝑞 𝑎𝑡−𝑞 . Jumlah kuadrat residu minimum ketika turunan parsial pertama pada persamaan (2.3) sama dengan nol. Sehingga dengan menganggap turunan parsial pertama terhadap 𝜙 dan 𝜃 sama dengan nol, diperoleh estimasi parameter 𝜙 dan 𝜃 . Model 𝐴𝑅𝐼𝑀𝐴(1,1,1) dinyatakan sebagai 𝑍𝑡 = 1 + 𝜙 𝑍𝑡−1 + 𝑎𝑡 − 𝜃1 𝑎𝑡−1 .

(2.4)

Persamaan (2.4) dapat ditulis ulang sebagai 𝑎𝑡 = 𝑍𝑡 − 1 + 𝜙1 𝑍𝑡−1 + 𝜃1 𝑎𝑡−1 dengan 𝑎𝑡 adalah residu model 𝐴𝑅𝐼𝑀𝐴(1,1,1). Sehingga jumlah kuadrat terkecil untuk model 𝐴𝑅𝐼𝑀𝐴(1,1,1) adalah 𝑆∗ 𝜙, 𝜃 =

𝑛 𝑡=2

𝑍𝑡 − 1 + 𝜙 𝑍𝑡−1 + 𝜃 𝑎𝑡−1 2 .

(2.5)

Langkah awal estimasi parameter 𝜙 adalah menentukan turunan parsial pertama dari fungsi 𝑆∗ 𝜙, 𝜃 pada persamaan (2.5) terhadap parameter 𝜙 atau

𝜕 𝑆∗

𝜕𝜙

, sehingga

didapatkan 𝜕𝑆∗ 𝜙,𝜃 𝜕𝜙

𝜕𝑆∗ 𝜙 ,𝜃 𝜕𝜙

=

𝜕 𝑛𝑡=2 𝑍𝑡 − 1+𝜙 𝑍𝑡−1 +𝜃 𝑎 𝑡−1 2 𝜕𝜙

=−

𝑛 𝑡=2 2

𝑍𝑡 − 1 + 𝜙 𝑍𝑡−1 + 𝜃 𝑎𝑡−1

=−

𝑛 𝑡=2 2

2 2 𝑍𝑡 𝑍𝑡−1 − 𝑍𝑡−1 − 𝜙 𝑍𝑡−1 + 𝜃 𝑎𝑡−1 𝑍𝑡−1

= −[

𝑛 𝑡=2 2𝑍𝑡 𝑍𝑡−1

–

𝑛 2 𝑡=2 2𝑍𝑡−1

–

𝑛 2 𝑡=2 2𝜙 𝑍𝑡−1

commit to user

𝑍𝑡−1

+

𝑛 𝑡=2 2𝜃 𝑎𝑡−1 𝑍𝑡−1

. (2.6)



Langkah selanjutnya dengan menganggap

𝜕 𝑆∗ 𝜙,𝜃

= 0, didapatkan estimasi

𝜕𝜙

parameter 𝜙, 𝜙=

𝑛 𝑡=2 𝑍𝑡 𝑍𝑡−1

– 𝑛𝑡=2 𝑍2𝑡−1 + 𝑛𝑡=2 𝜃 𝑎𝑡−1 𝑍𝑡−1 𝑛 𝑍2 𝑡=2 𝑡−1

𝜙=

𝑛 𝑡=2 𝑍𝑡

– 𝑛𝑡=2 𝑍𝑡−1 +𝜃

𝑛 𝑡=2 𝑎𝑡−1

𝑛 𝑍 𝑡=2 𝑡−1

.

Sedangkan langkah awal estimasi parameter 𝜃 adalah menentukan turunan parsial pertama dari fungsi 𝑆∗ 𝜙, 𝜃 𝜕 𝑆∗ 𝜙,𝜃

atau

𝜕𝜃

𝜕 𝑆∗ 𝜙 ,𝜃 𝜕𝜃

=

pada persamaan (2.5) terhadap parameter 𝜃

diperoleh 𝜕 𝑛𝑡=2 𝑍𝑡 − 1+𝜙 𝑍𝑡−1 +𝜃 𝑎 𝑡−1 2 𝜕𝜃

=

𝑛 𝑡=2 2

=

𝑛 𝑡=2 2𝑍𝑡 𝑎𝑡−1

𝑍𝑡 − 1 + 𝜙 𝑍𝑡−1 + 𝜃 𝑎𝑡−1 𝑎𝑡−1 −

𝑛 𝑡=2 2

𝑛 2 𝑡=2 2𝜃 𝑎𝑡−1

1 + 𝜙 𝑍𝑡−1 𝑎𝑡−1 +

Langkah selanjutnya dengan menganggap

𝜕 𝑆∗ 𝜙,𝜃 𝜕𝜃

.

(2.7)

= 0, didapatkan estimasi

parameter 𝜃 , 𝜃= =

− 𝑛𝑡=2 𝑍𝑡 𝑎 𝑡−1 + 𝑛𝑡=2 1+𝜙 𝑍𝑡−1 𝑎 𝑡−1 𝑛 𝑎2 𝑡=2 𝑡−1

− 𝑛𝑡=2 𝑍𝑡 + 𝑛𝑡=2 1+𝜙 𝑍𝑡−1 . 𝑛 𝑎 𝑡=2 𝑡−1

Setelah diperoleh model 𝐴𝑅𝐼𝑀𝐴 yang cocok, kemudian dilakukan uji diagnostik model. 2.1.8 Uji Diagnostik Model Uji diagnostik model dilakukan untuk mengecek apakah asumsi model terpenuhi. Dengan kata lain, uji diagnostik model bertujuan untuk mengetahui apakah model layak digunakan atau tidak. Untuk mendapatkan model yang sesuai seharusnya residu bersifat independen dan berdistribusi normal. Oleh karena itu dilakukan uji independensi dan uji kenormalan terhadap residu. Menurut Pankratz (1983), untuk mengetahui apakah residu bersifat independen maka perlu dilakukan uji hipotesis sebagai berikut, 1. hipotesis 𝐻0 : 𝜌1 𝑎 = 𝜌2 𝑎 = ⋯ = 𝜌𝑘 𝑎 = 0 commit to user 𝐻1 : tidak semua 𝜌𝑖 𝑎 = 0, 𝑖 = 1,2, … 𝐾,



2. tingkat signifikansi 𝛼 %, 3. statistik uji yang digunakan adalah Ljung-Box Pierce 𝑄∗ = 𝑛′ 𝑛′ + 2 dengan

𝐾 𝑖=1

𝑛′ − 1

−1 2 𝑟𝑖

𝑎

𝐾

: lag maksimum

𝑛′

: 𝑛 − 𝑑 + 𝐿𝐷

𝑛

: jumlah observasi dalam runtun berskala asli

𝑑

: jumlah pembedaan tak musiman

𝐷

: jumlah pembedaan musiman

𝐿

: panjang musiman

𝑟𝑖 (𝑎) : autokorelasi residu untuk lag 𝑖 𝑏

: banyaknya parameter yang diestimasi

𝑄∗ berdistribusi Chi-kuadrat dengan derajat bebas (𝐾 − 𝑏), 4. daerah kritis 2 𝐻0 ditolak jika 𝑄∗ > 𝑋𝐾−𝑏 ,

5. kesimpulan jika 𝐻0 ditolak maka residu tidak bersifat independen. Untuk memeriksa kenormalan residu dapat dilakukan dengan melihat plot antara residu dengan normal-scorenya. Jika plot yang dihasilkan mendekati garis lurus maka dapat dikatakan asumsi kenormalan sudah dipenuhi. Selain itu, dapat dilihat dari nilai 𝑝 (𝑝-value) pada uji Kolmogorov-Smirnov. Hipotesis nol pada uji Kolmogorov-Smirnov menyatakan data berdistribusi normal. Jika 𝑝-value lebih besar dari tingkat signifikansi 𝛼% maka tidak menolak hipotesis nol yang berarti bahwa asumsi kenormalan dipenuhi. 2.1.9 Analisis Kluster Menurut Budhi, et al. (2008), analisis kluster adalah upaya menemukan sekelompok obyek yang mewakili suatu karakter yang sama atau hampir sama (similar) antara satu obyek dengan obyek yang lainnya pada suatu kelompok dan memiliki perbedaan (nonsimilar) dengan obyek-obyek pada kelompok yang lainnya. Pengelompokan data dapat dilakukan dengan dua macam metode yaitu commitPada to user metode hirarki dan metode non hirarki. metode non hirarki, telah ditentukan



jumlah kelompok terlebih dahulu. Sedangkan metode hirarki digunakan bila jumlah kelompok ditentukan dengan melihat gambar dendogram. Pada penelitian ini digunakan metode pengelompokan hirarki. Metode hirarki merupakan metode pengelompokan yang terstruktur dan bertahap berdasarkan pada kemiripan sifat antar obyek. Kemiripan sifat tersebut dapat ditentukan dari kedekatan jarak. Proses pengelompokan pada metode hirarki dengan membentuk matriks jarak untuk masing-masing obyek. Setelah itu menggabungkan masingmasing obyek secara terstruktur berdasarkan kemiripan sifatnya. Metode penggabungan yang biasa digunakan adalah single linkage, complete linkage, dan average linkage. Menurut Rashidah, et al. (2011), metode complete linkage lebih baik daripada metode single linkage, sehingga penelitian ini menggunakan metode complete linkage. Single linkage pengelompokannya didasarkan pada jarak antara anggota-anggota yang paling dekat, complete linkage pengelompokannya didasarkan pada jarak terjauh antar anggota kluster, dan average linkage pengelompokannya didasarkan pada jarak rata-rata antara pasangan-pasangan anggota masing-masing pada himpunannya. Kelompok-kelompok tersebut diidentifikasi pada setiap nilai jarak yang kemudian akan ditunjukkan dalam pohon struktur yang dinamakan dendogram (Kakizawa, et al. 1998). Dendogram menggambarkan penggabungan atau pembagian yang dibuat pada tingkat-tingkat yang berurutan. Cabang-cabang dalam pohon menyajikan kluster. Banyaknya kluster yang terbentuk dapat ditentukan bergantung pada subyektivitas peneliti dengan melihat gambar dendogram. Kelompok yang terbentuk meliputi kelompok cepat, tetap (konstan) dan negatif.

Kelompok cepat yaitu kelompok yang

mempunyai plot data runtun waktu berfluktuasi secara tidak konstan di sepanjang waktu, konstan yaitu tidak ada perubahan fluktuasi atau cenderung tetap pada plot data di sepanjang waktu dan kelompok yang negatif yaitu mempunyai fluktuasi yang besar pada periode tertentu. Hal yang mendasar dalam analisis kluster adalah pemilihan metrik yang relevan. Menurut Caiado (2006), jarak Euclid bukan metrik yang baik untuk mengelompokkan runtun waktu karena merupakan invarian untuk perubahan commit to user urutan dari koordinatnya, sehingga tidak memperhitungkan informasi tentang



autokorelasi. Oleh karena itu, pada penelitian ini akan menggunakan jarak yang berdasar pada metrik Log-Normalized Periodogram (LNP). 2.1.10 Pengertian Analisis Spektrum Menurut Mulyana (2004), analisis spektrum adalah penaksiran dalam kawasan frekuensi untuk menelaah periodesitas tersembunyi, yaitu periodesitas yang sulit ditemukan dalam kawasan waktu. Analisis spektrum modern didasarkan pada fenomena bahwa data runtun waktu merupakan hasil proses stokastik, sehingga setiap data runtun waktu dapat disajikan dalam deret Fourier. Spektrum dari proses stasioner adalah transformasi Fourier dari proses fungsi autokovariansi. Transformasi Fourier adalah salah satu metode yang digunakan dalam analisis runtun waktu yang merupakan metode nonparametrik berdasarkan kawasan frekuensi. Transformasi Fourier tidak bisa merepresentasikan informasi waktu dan frekuensi secara bersamaan. Hal ini menyebabkan transformasi Fourier tidak dapat digunakan untuk menganalisis data-data yang tidak stasioner. Sehingga jika data tidak stasioner maka distasionerkan melalui proses pembedaan. Fungsi autokovariansi antara 𝑥𝑡 , 𝑡 = 1, … , 𝑛 dan 𝑥𝑡+𝑘 , 𝑘 = 1,2,3, … adalah 𝛾𝑘 = 𝑐𝑜𝑣 𝑥𝑡 , 𝑥𝑡+𝑘 = 𝐸 𝑥𝑡 − 𝜇 (𝑥𝑡+𝑘 − 𝜇). Misal 𝑥𝑡 , 𝑡 = 1, … , 𝑛 bersifat stasioner dengan fungsi autokovariansi 𝛾𝑘 = 𝑐𝑜𝑣(𝑥𝑡 , 𝑥𝑡+𝑘 ). Transformasi Fourier 𝛾𝑘 merupakan spektrum dari 𝑥𝑡 , 𝑓 𝜔 = dengan

∞ 𝑖𝜔𝑘 , 𝑘 =−∞ 𝛾𝑘 𝑒

(2.8)

𝛾𝑘 < ∞, – 𝜋 < 𝜔 < 𝜋 dan 𝑖 = −1. Persamaan (2.8) dapat ditulis

sebagai 𝑓 𝜔 =

∞ 𝑖𝜔𝑘 𝑘 =−∞ 𝛾𝑘 𝑒

=

∞ 𝑘 =−∞ 𝛾𝑘

=

∞ 𝑘 =−∞ 𝛾𝑘

= 𝛾0 + 2 dengan

cos 𝜔𝑘 + 𝑖 sin 𝜔𝑘 cos 𝜔𝑘

∞ 𝑘=1 𝛾𝑘

cos 𝜔𝑘 ,

𝛾𝑘 = 𝛾−𝑘 yang merupakan fungsi genap, sin 0 = 0, sin 𝜔(−𝑘) =

− sin 𝜔𝑘 dan cos 𝜔(−𝑘) = cos 𝜔𝑘. commit to user



2.1.11 Periodogram Menurut Mulyana (2004), periodogram adalah fungsi spektrum kuasa atas frekuensinya. Jika membangun fungsi spektrum kuasanya maka periodesitas data dapat ditentukan. Misalkan terdapat deret Fourier untuk suatu proses 𝑥𝑡 yang menunjukkan komponen periodik dengan periode yang telah diketahui (𝑝) diberikan oleh 𝑥𝑡 =

𝑝 𝑗 =0

𝑎𝑗 cos 𝜔𝑗 𝑡 + 𝑏𝑗 sin 𝜔𝑗 𝑡

+ 𝜀𝑡

(2.9)

dengan 𝑝 adalah bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama dengan 𝑛/2 (𝑝 = [𝑛/2]), frekuensi 𝜔𝑗 = 2𝜋𝑗/𝑛 adalah 𝑗 harmonik dari frekuensi dasar 2𝜋/𝑛 di dalam rentang – 𝜋, 𝜋 , dan 𝜀𝑡 adalah white noise dengan variansi 𝜍𝜀2 . Menurut Wei (1994), estimasi dari koefisien 𝑎𝑗 dan 𝑏𝑗 adalah dengan menggunakan sifat ortogonal dari fungsi trigonometri sebagai berikut 𝑛

𝑛 𝑡=1 cos

𝑛, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑘 = 𝑗 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 2 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝,

𝑛

𝜔𝑘 𝑡 cos 𝜔𝑗 𝑡 =

2

𝑛 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑘 = 𝑗 ≠ 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 2 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝, (2.10)

0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑘 ≠ 𝑗; 𝑛

𝑛 𝑡=1 sin

0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑘 = 𝑗 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 2 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝, 𝑛

(2.11)

𝜔𝑘 𝑡 cos 𝜔𝑗 𝑡 = 0 untuk semua 𝑘 dan 𝑗.

(2.12)

𝜔𝑘 𝑡 sin 𝜔𝑗 𝑡 =

𝑛

2

, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑘 = 𝑗 ≠ 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 2 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝,

0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑘 ≠ 𝑗; 𝑛 𝑡=1 sin

Untuk menentukan nilai 𝑎𝑗 adalah dengan mengalikan cos 𝜔𝑗 𝑡 pada kedua sisi persamaan (2.9), 𝑥𝑡 cos 𝜔𝑗 𝑡 = 𝑛 𝑡=1 𝑥𝑡

𝑝 𝑗 =0

cos 𝜔𝑗 𝑡 =


𝑛 𝑡=1

𝑝 𝑗 =0

cos 𝜔𝑗 𝑡

𝑎𝑗 cos 𝜔𝑗 𝑡 cos 𝜔𝑗 𝑡 + 𝑏𝑗 sin 𝜔𝑗 𝑡 cos 𝜔𝑗 𝑡 .

Berdasarkan persamaan (2.10), (2.11) dan (2.12), untuk 𝑗 = 0 atau 𝑛 genap diperoleh 𝑛 𝑡=1

𝑥𝑡 cos 𝜔𝑗 𝑡 = 𝑎𝑗 𝑛 + 0 1

𝑎𝑗 = 𝑛

𝑛 𝑡=1 𝑥𝑡

cos 𝜔𝑗 𝑡 .

Untuk 𝑗 ≠ 0 diperoleh commit to user

𝑛 2

dengan



𝑛 𝑡=1

𝑥𝑡 cos 𝜔𝑗 𝑡 = 2

𝑎𝑗 = 𝑛


𝑛 𝑎 +0 2 𝑗

cos 𝜔𝑗 𝑡 .

Sehingga dapat disimpulkan sebagai berikut 1 𝑛 2

𝑎𝑗 =

𝑛 1 𝑛


cos 𝜔𝑗 𝑡 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑗 = 0


cos 𝜔𝑗 𝑡 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑗 = 1, … ,


cos 𝜔𝑗 𝑡 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑗 =

𝑛 2

(𝑛 −1)

.

2

(jika 𝑛 genap)

Sedangkan untuk menentukan nilai 𝑏𝑗 adalah dengan mengalikan sin 𝜔𝑗 𝑡 pada kedua sisi persamaan (2.9), 𝑝 𝑗 =0

𝑥𝑡 sin 𝜔𝑗 𝑡 = 𝑛 𝑡=1 𝑥𝑡

sin 𝜔𝑗 𝑡 =


𝑝 𝑗 =0

𝑛 𝑡=1

sin 𝜔𝑗 𝑡

𝑎𝑗 cos 𝜔𝑗 𝑡 sin 𝜔𝑗 𝑡 + 𝑏𝑗 sin 𝜔𝑗 𝑡 sin 𝜔𝑗 𝑡 .

Berdasarkan persamaan (2.10), (2.11) dan (2.12), untuk 𝑗 = 0 atau

𝑛 2

dengan

𝑛 genap diperoleh 𝑛 𝑡=1 𝑥𝑡

sin 𝜔𝑗 𝑡 = 0.

Untuk 𝑗 ≠ 0 diperoleh 𝑛 𝑡=1 𝑥𝑡 2

𝑏𝑗 = 𝑛


𝑛

sin 𝜔𝑗 𝑡 = 0 + 2 𝑏𝑗

sin(𝜔𝑗 𝑡), untuk 𝑗 = 1, … ,

(𝑛 −1) 2

.

Periodogram didefinisikan sebagai

𝑃 𝜔𝑗

𝑛𝑎02 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑗 = 0 𝑛 2 2 = 2 𝑎𝑗 + 𝑏𝑗 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑗 = 1, … , (𝑛 − 1)/2 . 𝑛 2 𝑛𝑎𝑛/2 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑗 = (jika 𝑛 genap) 2

Spektrum 𝑓 𝜔 yang didefinisikan pada persamaan (2.8), dapat diestimasi dengan cara mengganti autokovariansi 𝛾𝑘 dengan 𝛾𝑘 . Oleh karena itu, spektrum sampel diberikan oleh 𝑓 𝜔 = 1

dengan 𝛾𝑘 = 𝑛

𝑛 −1 𝑘 =−(𝑛 −1) 𝛾𝑘 𝑛 −𝑘 𝑡=1

cos(𝜔𝑘) = 𝛾0 + 2

𝑛 −1 𝑘 =1 𝛾𝑘

cos(𝜔𝑘),

𝑥𝑡 − 𝑥 𝑥𝑡+𝑘 − 𝑥 , 𝑘 = 0,1, … , 𝑛 − 1.

commit to user

(2.13)



Salah satu estimator spektrum adalah ordinat periodogram 𝑃 𝜔𝑗 . Anggap bahwa 𝜔 adalah frekuensi Fourier dari bentuk 𝜔𝑗 =

2𝜋𝑗 𝑛

untuk 𝑗 = 1, … , [𝑛/2]. Sehingga

diperoleh ordinat periodogram sebagai berikut 𝑛 𝑃 𝜔𝑗 = 𝑎𝑗2 + 𝑏𝑗2 2 𝑛 = 𝑎𝑗 − 𝑖𝑏𝑗 𝑎𝑗 + 𝑏𝑗 2 𝑛 2 = 2 𝑛 2 = 𝑛 2 = 𝑛 2

=𝑛

𝑛

𝑡=1

𝑛

𝑥𝑡 cos(𝜔𝑗 𝑡) + 𝑖 sin(𝜔𝑗 𝑡) 𝑡=1

𝑛

𝑥𝑡 𝑒

−𝑖𝜔 𝑗 𝑡

𝑡=1

𝑥𝑡 𝑒 +𝑖𝜔 𝑗 𝑡 𝑡=1

𝑛

𝑛

𝑥𝑡 − 𝑥 𝑒 −𝑖𝜔 𝑗 𝑡 𝑡=1 𝑛 𝑡=1

𝑛

2 𝑥𝑡 cos(𝜔𝑗 𝑡) − 𝑖 sin(𝜔𝑗 𝑡) × 𝑛

𝑥𝑡 − 𝑥 𝑒 +𝑖𝜔 𝑗 𝑡 𝑡=1

𝑛 𝑠=1

𝑥𝑡 − 𝑥 𝑥𝑠 − 𝑥 𝑒 −𝑖𝜔 𝑗 (𝑡−𝑠) .

dengan 𝑘 = 𝑡 − 𝑠, diperoleh 𝑃 𝜔𝑗 = 2

𝑛 −1 𝑘 =−(𝑛−1) 𝛾𝑘

= 2 𝛾0 + 2

𝑒 −𝑖𝜔 𝑗 𝑘

𝑛 −1 𝑘 =1 𝛾𝑘

cos(𝜔𝑘) .

(2.14)

Dari persamaan (2.13) dan persamaan (2.14) diperoleh 𝑃 𝜔𝑗 = 2𝑓 𝜔𝑗 , 𝑗 = 1, … , 𝑛/2 , dan jika 𝑛 genap, maka 2 𝑃 𝜔𝑛 /2 = 𝑛𝑎𝑛/2 = 2𝑓 𝜔𝑛 /2 .

Periodogram 𝑃 𝜔𝑗

sebanding dengan spektrum sampel 𝑓 𝜔𝑗

dan ditetapkan

untuk estimasi nonparametrik dari spektrum.

2.1.12 Penghalusan Spektrum (Spectrum Smoothing) Spektrum sampel dari proses stasioner berfluktuasi selama interval frekuensi kecil. Salah satu cara menurunkan variansi dari spektrum untuk memperoleh estimasi penghalusan spektrum adalah dengan menghaluskan ordinat periodogram 𝑃(𝜔𝑗 ) dengan pembobotan moving average, yaitu commit to user



𝑓 𝜔𝑗 =

𝑚𝑛 𝑘 =−𝑚 𝑛

𝑊𝑛 𝑘 𝑃(𝜔𝑗 +𝑘 ),

dengan 𝑚𝑛 merupakan jumlah frekuensi yang digunakan dalam penghalusan, 𝑊𝑛 𝑘 adalah rangkaian fungsi pembobot yang memiliki sifat 𝑚𝑛 𝑘 =−𝑚 𝑛

𝑊𝑛 𝑘 = 1,

𝑊𝑛 𝑘 = 𝑊𝑛 −𝑘 , dengan 𝑊𝑛 𝑘 ≥ 0, dan lim𝑛→∞

𝑚𝑛 𝑘 =−𝑚 𝑛

𝑊𝑛2 𝑘 = 0.

𝑊𝑛 𝑘 disebut spectral window. Jika 𝑚𝑛 naik, maka banyak ordinat spektral yang halus (smoothed). Akibatnya, estimator mempunyai variansi yang lebih kecil, tetapi kemungkinan bias besar. Oleh karena itu, harus menyeleksi fungsi pembobot yang mempertimbangkan variansi yang lebih kecil dan dapat menurunkan bias. Spektrum 𝑓(𝜔) adalah transformasi Fourier dari fungsi autokovariansi 𝛾𝑘 , sehingga

dapat

mengestimasi

spektrum

dengan

pembobotan

sampel

autokovariansi sebagai berikut 𝑓 𝜔 =

𝑛 −1 𝑘 =− 𝑛 −1

𝑊 ∗ 𝑘 𝛾𝑘 𝑒 −𝑖𝜔𝑘

= 𝑊 ∗ 0 𝛾0 + 2

𝑛 −1 ∗ 𝑘 =1 𝑊

𝑘 𝛾𝑘 𝑒 −𝑖𝜔𝑘 , 0 ≤ 𝜔 ≤ 𝜋.

Fungsi pembobot 𝑊 ∗ 𝑘 disebut lag window dan erat kaitannya dengan spectral window. Spectral window adalah transformasi Fourier dari lag window dan lag window adalah invers transformasi Fourier dari spectral window. Oleh karena itu, lag window dan spectral window merupakan pasangan transformasi Fourier, dengan yang satu ditentukan oleh yang lain. Kedua istilah lag window dan spectral window diperkenalkan oleh Blackman dan Tukey (1958). 2.1.13 Jarak Berdasar pada Metrik Log-Normalized Periodogram (LNP) Pada analisis data runtun waktu, data yang dianalisis harus merupakan data stasioner, jika tidak stasioner harus distasionerkan dahulu melalui transformasi atau pembedaan. Misalkan 𝑥𝑡 , 𝑡 = 1,2, … , 𝑛𝑥 dan 𝑦𝑡 , 𝑡 = 1,2, … , 𝑛𝑦 merupakan dua proses stasioner. Ordinat periodogram dari 𝑥𝑡 dan 𝑦𝑡 diberikan oleh 1 𝑛 to user 𝑃𝑥 𝜔𝑗 commit = 𝑛 𝑡=1 𝑥𝑡 𝑒 −𝑖𝑡 𝜔 𝑗

2

(2.15)



dan 1

𝑃𝑦 𝜔𝑗 = 𝑛 dengan 𝜔𝑗 =

2𝜋𝑗 𝑛

𝑛 −𝑖𝑡 𝜔 𝑗 2 , 𝑡=1 𝑦𝑡 𝑒

, 𝑗 = 1,2, … , [𝑛/2], dan frekuensi 𝜔 berada di dalam rentang 0

sampai 𝜋. Karena yang akan dibahas struktur korelasinya maka digunakan periodogram yang dinormalkan. Ketika variansi ordinat periodogram sebanding dengan nilai spektrum pada frekuensi yang bersesuaian, maka dapat digunakan log-normalized periodogram (LNP) dengan jarak sebagai berikut 𝑑𝐿𝑁𝑃 𝑥, 𝑦 =

[𝑛/2] 𝑗 =1

log 𝑁𝑃𝑥 𝜔𝑗 − log 𝑁𝑃𝑦 𝜔𝑗

2

(2.16)

dengan 𝑃𝑥 (𝜔 )

𝑗 𝑁𝑃𝑥 𝜔𝑗 = 𝑉𝑎𝑟 (𝑥)

(2.17)

𝑃𝑦 (𝜔 )

𝑗 𝑁𝑃𝑦 𝜔𝑗 = 𝑉𝑎𝑟 (𝑦) .

Sedangkan log 𝑁𝑃𝑥 𝜔𝑗

dan log 𝑁𝑃𝑦 𝜔𝑗

adalah logaritma periodogram yang

dinormalkan dari runtun waktu 𝑥 dan 𝑦, seperti yang direkomendasikan oleh Caiado, et al. (2006). 2.2 Kerangka Pemikiran Berdasarkan tinjauan pustaka, dapat disusun suatu kerangka pemikiran untuk mengelompokkan produktivitas padi berdasarkan provinsi di Indonesia. Laju pertumbuhan produktivitas padi dapat diketahui dengan menganalisis data produktivitas padi dari beberapa periode tertentu atau berupa data runtun waktu. Pengelompokan dilakukan menggunakan analisis kluster. Karena penelitian ini menggunakan

data

runtun waktu

maka

jarak

yang

digunakan untuk

pengelompokan adalah jarak yang berdasar pada metrik log-normalized periodogram (LNP). Metrik LNP berasal dari logaritma periodogram yang dinormalkan. Periodogram merupakan fungsi spektrum kuasa atas frekuensinya. Jika dilakukan penaksiran pada fungsi spektrum kuasa dan nilai-nilai penaksirnya dipetakan terhadap frekuensinya maka akan diperoleh sebuah garis spektrum. Dengan menentukan titik-titik puncak dari spektrumnya, akan diperoleh periodecommit to user



periode data runtun waktu, sehingga nilai-nilai periodogram dapat digunakan untuk menentukan jarak pada pengelompokan data runtun waktu.

commit to user


digilib.uns.ac.id

BAB III METODE PENELITIAN

Pada penelitian ini menggunakan data sekunder yaitu mengambil data dari Departemen Pertanian Indonesia (http://aplikasi.deptan.go.id). Data yang digunakan adalah data produktivitas padi mulai tahun 1970 sampai 2010. Adapun tahap-tahap penelitiannya adalah sebagai berikut, 1. mencari data sekunder yang akan digunakan Data hanya terdiri dari data produktivitas padi pada 26 provinsi. Hal ini disebabkan terdapat 7 provinsi yang memiliki data tidak lengkap. 2. menentukan model ARIMA Dalam menentukan model ARIMA dilakukan melalui beberapa tahap. Adapun tahap-tahapnya adalah a. Tahap Indentifikasi Model i.

Membuat plot data runtun waktu

ii.

Membuat plot fungsi autokorelasi

iii.

Memeriksa apakah data telah stasioner terhadap mean dan variansi dengan melihat plot data dan menggunakan uji Augmented Dickey Fuller (ADF). Jika data tidak stasioner terhadap variansinya maka dilakukan transformasi yang sesuai sehingga diperoleh data yang stasioner terhadap variansinya. Jika data tidak stasioner terhadap mean maka dilakukan pembedaan untuk mean yang tidak stasioner.

iv.

Membuat plot fungsi autokorelasi parsial,

v.

Melakukan

pendugaan

model

sementara

melalui

plot

fungsi

autokorelasi dan fungsi autokorelasi parsial. b. tahap estimasi parameter model Setelah diduga model sementara, selanjutnya dapat diestimasi nilai parameter model.

commit to user 21



c. tahap diagnostik model i.

Membuat plot fungsi autokorelasi sisa.

ii.

Melakukan uji independensi nilai sisa.

iii.

Melakukan uji kenormalan nilai sisa.

3. menentukan metrik LNP Setelah diperoleh model yang stasioner, selanjutnya dapat ditentukan metrik lognormalized periodogram (LNP). 4. menentukan jarak yang berdasar pada metrik LNP 5. melakukan analisis kluster dengan metode pengelompokan complete linkage atau pengelompokan berdasarkan jarak terjauh. 6. menginterpretasikan hasil analisis tersebut dan menarik kesimpulan.

commit to user


digilib.uns.ac.id

BAB IV PEMBAHASAN Pengelompokan produktivitas padi dilakukan menggunakan analisis kluster. Analisis kluster merupakan suatu teknik pengelompokan yang didasarkan pada kesamaan jarak. Jarak yang digunakan dalam penelitian ini adalah jarak yang berdasar pada metrik log-normalized periodogram (LNP). Periodogram merupakan fungsi spektrum kuasa atas frekuensinya dimana spektrum adalah transformasi Fourier dari proses fungsi autokovariansi. Transformasi Fourier hanya dapat digunakan untuk menganalisis data stasioner. Sehingga langkah pertama yang dilakukan dalam penelitian ini adalah melihat kestasioneran dari data. 4.1 Kestasioneran Data Pada umumnya data runtun waktu adalah tidak stasioner. Sedangkan aspek-aspek Autoregressive (𝐴𝑅) dan Moving Average (𝑀𝐴) hanya mengacu pada data stasioner sehingga data asli yang tidak stasioner harus distasionerkan terlebih dahulu terhadap mean dan variansinya. Untuk menstasionerkan data dapat dilakukan dengan transformasi atau pembedaan. Jika data tidak stasioner terhadap rata-rata maka dilakukan pembedaan. Sedangkan jika data tidak stasioner terhadap variansi maka dilakukan transformasi. Untuk memperoleh model pada kasus produktivitas padi di Indonesia dilakukan tahap-tahap sebagai berikut. 4.1.1 Identifikasi Model untuk Masing-Masing Provinsi Indentifikasi model untuk provinsi yang pertama yaitu Provinsi Nanggroe Aceh Darussalam. Plot data runtun waktu produktivitas padi di Provinsi Nanggroe Aceh Darussalam pada tahun 1970 sampai 2010 terdapat pada Gambar 4.1. Berdasarkan Gambar 4.1 tampak bahwa data tidak stasioner karena data cenderung naik, hal ini menunjukkan bahwa data mengandung trend. Selain itu, dengan menggunakan uji Augmented Dickey-Fuller (ADF) terdapat pada Tabel L2-1 di Lampiran 2 diperoleh nilai probabilitas sebesar 0,8619 yang nilainya lebih besar daripada nilai kritis 𝛼 = 0,05, sehingga dapat disimpulkan bahwa data tidak stasioner.

commit to user

23

24 digilib.uns.ac.id


Time Series Plot of Aceh 45

Aceh

40

35

30

25 4

8

12

16

20 24 Index

28

32

36

40

Gambar 4.1 Plot data asli Provinsi Nanggroe Aceh Darussalam Karena data tidak stasioner maka perlu menstasionerkan data dengan melakukan pembedaan. Setelah dilakukan pembedaan pertama (first difference) diperoleh hasil yang belum stasioner. Oleh karena itu dilakukan pembedaan kedua pada data. Uji Augmented Dickey-Fuller (ADF) setelah pembedaan kedua terdapat pada Tabel L3-1 di Lampiran 3 diperoleh nilai probabilitas sama dengan 0 yang nilainya lebih kecil daripada nilai kritis 𝛼 = 0,05. Dengan demikian data telah stasioner pada pembedaan kedua. Plot data setelah pembedaan kedua terdapat pada Gambar 4.2. Berdasarkan Gambar 4.2 terlihat bahwa data sudah tidak mengandung trend dan tersebar di sekitar nol maka dapat dikatakan bahwa data sudah stasioner. Untuk mengidentifikasi model 𝐴𝑅 dan 𝑀𝐴 yang sesuai untuk data yang sudah stasioner tersebut digunakan nilai fungsi autokorelasi (𝐴𝐶𝐹) dan fungsi autokorelasi parsial (𝑃𝐴𝐶𝐹). Berdasarkan Lampiran 5 terlihat bahwa plot untuk Provinsi Nanggroe Aceh Darussalam, nilai 𝐴𝐶𝐹 terputus setelah lag pertama dan nilai PACF juga terputus setelah lag pertama maka berdasarkan Tabel 2.1 model yang mungkin digunakan adalah model 𝐴𝑅𝐼(1,2), 𝐼𝑀𝐴(2,1), 𝐴𝑅𝐼𝑀𝐴(1,2,1). Analog untuk provinsi-provinsi lainnya dengan plot data asli ditunjukkan pada Lampiran 1. Berdasarkan Lampiran 1, plot data asli untuk masing-masing provinsi menunjukkan bahwa data tidak stasioner karena data cenderung naik. Hal commit to user ini menunjukkan bahwa data mengandung trend.



Time Series Plot of Aceh_2 10.0 7.5

Aceh_2

5.0 2.5 0.0 -2.5 -5.0 4

8

12

16

20 24 Index

28

32

36

40

Gambar 4.2 Plot data Provinsi Nanggroe Aceh Darussalam setelah pembedaan kedua Selain itu, dengan menggunakan uji ADF terdapat pada Lampiran 2 diperoleh nilai probabilitas yang nilainya lebih besar daripada nilai kritis 𝛼 = 0,05, sehingga dapat disimpulkan bahwa data tidak stasioner. Setelah dilakukan pembedaan pada masing-masing provinsi, plot menunjukkan bahwa data sudah tidak mengandung trend seperti yang ditunjukkan pada Lampiran 4. Uji ADF terdapat pada Lampiran 3 juga diperoleh nilai probabilitas sebesar 0,0000 yang nilainya lebih kecil daripada nilai kritis 𝛼 = 0,05. Hal ini berarti bahwa data sudah stasioner. 4.1.2 Estimasi Parameter Model untuk Masing-Masing Provinsi Pada tahap identifikasi dipilih satu atau lebih model sementara yang memberikan representasi yang sesuai dengan data. Untuk mendapatkan model sementara, koefisien 𝐴𝑅 dan 𝑀𝐴 harus ditentukan terlebih dahulu. Berdasarkan plot 𝐴𝐶𝐹 dan 𝑃𝐴𝐶𝐹 yang terdapat pada Lampiran 5 diperoleh model sementara produktivitas padi di Indonesia pada masing-masing provinsi yang disajikan pada Tabel 4.1. Estimasi parameter model diperoleh dengan bantuan program. Estimasi parameter model untuk provinsi Nanggroe Aceh Darussalam terdapat pada Lampiran 6, diperoleh nilai estimasi IMA(2,1) yaitu 𝜃 = 1,0099. commit to user



Tabel 4.1 Model sementara produktivitas padi untuk masing-masing provinsi No. 1

Provinsi Nanggroe Aceh

Model Sementara ARI(1,2), IMA(2,1) dan ARIMA(1,2,1)

Darussalam 2

Sumatera Utara

ARI(1,2), IMA(2,1) dan ARIMA(1,2,1)

3

Sumatera Barat

ARI(1,2), IMA(2,1), dan ARIMA(1,2,1)

4

Riau

ARI(1,2), IMA(2,1), dan ARIMA(1,2,1)

5

Jambi

ARI(1,1), IMA(1,1), dan ARIMA(1,1,1)

6

Sumatera Selatan

ARI(1,2), ARI(2,2), IMA(2,1), ARIMA(1,2,1), dan ARIMA(2,2,1)

7

Bengkulu


8

Lampung

ARI(1,2), IMA(2,1), dan ARIMA(1,2,1)

9

DKI Jakarta

ARI(1,2), IMA(2,1), dan ARIMA(1,2,1

10

Jawa Barat


11

Jawa Tengah

ARI(1,2), IMA(2,1), ARIMA(1,2,1)

12

DI Yogyakarta

ARI(1,2), ARI(2,2), IMA(2,1), ARIMA(1,2,1) dan ARIMA(2,2,1)

13

Jawa Timur

ARI(1,2), IMA(2,1), dan ARIMA(1,2,1)

14

Bali

ARI(1,2), IMA(2,1), ARIMA(1,2,1).

15

Nusa Tenggara Barat

ARI(1,1), IMA(1,1), ARIMA(1,1,1)

16

Nusa Tenggara Timur

ARI(1,1), IMA(1,1), dan ARIMA(1,1,1).

17

Kalimantan Barat


18

Kalimantan Tengah

ARI(1,2), IMA(2,1), dan ARIMA(1,2,1)

19

Kalimantan Selatan

ARI(1,1), IMA(1,1), ARIMA(1,1,1)

20

Kalimantan Timur

ARI(1,1), IMA(1,1), ARIMA(1,1,1)

21

Sulawesi Utara

ARI(1,2), IMA(2,1), ARIMA(1,2,1)

22

Sulawesi Tengah

ARI(1,1), IMA(1,1), ARIMA(1,1,1) commit to user



23

Sulawesi Selatan

ARI(1,2), IMA(2,1), ARIMA(1,2,1)

24

Sulawesi Tenggara


25

Maluku


26

Papua

ARI(1,2), IMA(2,1), ARIMA(1,2,1)

Berdasarkan persamaan (2.1), estimasi parameter model provinsi Nanggroe Aceh Darussalam dapat ditulis dengan 𝑍𝑡 = 2𝑍𝑡−1 − 𝑍𝑡−2 + 0,017269 − 1,0099 𝑎𝑡−1 . Analog untuk provinsi yang lainnya dengan estimasi parameter model terdapat pada Lampiran 6. Berdasarkan Lampiran 6 diperoleh persamaan estimasi parameter untuk masing-masing provinsi yang ditunjukkan pada Tabel 4.2. Tabel 4.2 Hasil Estimasi Model untuk Masing-masing Provinsi No.

Provinsi

Nilai Estimasi

Estimasi Model

Parameter 1

Nanggroe Aceh Darussalam

2

Sumatera Utara

IMA(2,1) 𝜃 = 1,0099 ARIMA(1,2,1) 𝜙 = −0,5928

𝑍𝑡 = 2𝑍𝑡−1 − 𝑍𝑡−2 + 0,017269 − 1,0099 𝑎𝑡−1 𝑍𝑡 = 1,4072𝑍𝑡−1 + 0,1856𝑍𝑡−2 − 0,5928𝑍𝑡−3 − 0,3931𝑎𝑡−1

𝜃 = 0,3931 3

4

Sumatera Barat

Riau

ARIMA(1,2,1)

𝑍𝑡 = 1,506𝑍𝑡−1 − 0,012𝑍𝑡−2

𝜙 = −0,4940

− 0,4940𝑍𝑡−3

𝜃 = 0,7275

− 0,7275𝑎𝑡−1

IMA(2,1)

𝑍𝑡 = 2𝑍𝑡−1 − 𝑍𝑡−2 − 0,9471𝑎𝑡−1

𝜃 = 0.9471 5

Jambi

ARI(1,1) 𝜙 = −0,3870

commit to user

𝑍𝑡 = 0,613𝑍𝑡−1 + 0,3870𝑍𝑡−2 + 0,7499



6

7

8

Sumatera Selatan

Bengkulu

ARIMA(2,2,1) 𝜙1 = −0,4219

+ 0,4231𝑍𝑡−3

𝜙2 = −0,4225

− 0,4225𝑍𝑡−4

𝜃 = 0,7634

− 0,7634𝑎𝑡−1

ARI(2,2)

Lampung

𝑍𝑡 = 1,5781𝑍𝑡−1 − 0,5787𝑍𝑡−2

𝑍𝑡 = 1,1652𝑍𝑡−1 + 0,1113𝑍𝑡−2

𝜙1 = −0,8348

− 0,2818𝑍𝑡−3

𝜙2 = −0,5583

− 0,5583𝑍𝑡−4

IMA(2,1)

𝑍𝑡 = 2𝑍𝑡−1 − 𝑍𝑡−2 − 0,9895𝑎𝑡−1

𝜃 = 0,9895 9

DKI Jakarta

IMA(2,1)

𝑍𝑡 = 2𝑍𝑡−1 − 𝑍𝑡−2 − 0,9724𝑎𝑡−1

𝜃 = 0,9724 10

Jawa Barat

IMA(2,1)

𝑍𝑡 = 2𝑍𝑡−1 − 𝑍𝑡−2 − 0,9456𝑎𝑡−1

𝜃 = 0,9456 11

Jawa Tengah

IMA(2,1)

𝑍𝑡 = 2𝑍𝑡−1 − 𝑍𝑡−2 − 0,8595𝑎𝑡−1

𝜃 = 0,8595 12

DI Yogyakarta

IMA(2,1)

𝑍𝑡 = 2𝑍𝑡−1 − 𝑍𝑡−2 − 0,9960𝑎𝑡−1

𝜃 = 0,9960 13

Jawa Timur

IMA(2,1)

𝑍𝑡 = 2𝑍𝑡−1 − 𝑍𝑡−2 − 0,9083𝑎𝑡−1

𝜃 = 0,9083 14

Bali

ARI(1,2) 𝜙1 = −0,8348

15

Nusa

Tenggara IMA(1,1)

Barat 16

Nusa Tenggara Timur

17

Kalimantan Barat

𝑍𝑡 = 1,1652𝑍𝑡−1 + 0,6696𝑍𝑡−2 − 0,8348𝑍𝑡−3 𝑍𝑡 = 𝑍𝑡−1 + 0,6515 + 0,5574𝑎𝑡−1

𝜃 = −0,5574 ARI(1,1) 𝜙 = −0,5353 IMA(2,1)

𝑍𝑡 = 0,4647𝑍𝑡−1 + 0,5353𝑍𝑡−2 + 0,7882 𝑍𝑡 = 2𝑍𝑡−1 − 𝑍𝑡−2 − 0,9560𝑎𝑡−1

𝜃 = 0,9560 18

Kalimantan Tengah

IMA(1,1) 𝜃 = 0,9768 commit to user

𝑍𝑡 = 𝑍𝑡−1 + 0,36681 − 0,9768𝑎𝑡−1



19

Kalimantan Selatan

20

Kalimantan Timur

ARI(1,1)

𝑍𝑡 = 0,531𝑍𝑡−1 + 0,4690𝑍𝑡−2 + 0,8610

𝜙 = −0,4690 ARI(1,1)

𝑍𝑡 = 0,4790𝑍𝑡−1 + 0,5210𝑍𝑡−2 + 0,8973

𝜙 = −0,5210 21

Sulawesi Utara

IMA(2,1)

𝑍𝑡 = 2𝑍𝑡−1 − 𝑍𝑡−2 − 0,9954𝑎𝑡−1

𝜃 = 0,9954 22

Sulawesi Tengah

IMA(1,1)

𝑍𝑡 = 𝑍𝑡−1 + 0,7855 − 0,5675𝑎𝑡−1

𝜃 = 0,5675 23

Sulawesi Selatan

IMA(2,1)

𝑍𝑡 = 2𝑍𝑡−1 − 𝑍𝑡−2 − 0,9637𝑎𝑡−1

𝜃 = 0,9637 24

Sulawesi Tenggara

IMA(2,1)

𝑍𝑡 = 2𝑍𝑡−1 − 𝑍𝑡−2 − 0,9543𝑎𝑡−1

𝜃 = 0,9543 25

Maluku

IMA(2,1)

𝑍𝑡 = 2𝑍𝑡−1 − 𝑍𝑡−2 − 0,9548𝑎𝑡−1

𝜃 = 0,9548 26

Papua

IMA(2,1)

𝑍𝑡 = 2𝑍𝑡−1 − 𝑍𝑡−2 − 0,9296𝑎𝑡−1

𝜃 = 0,9296

4.1.3 Uji Diagnostik Model untuk Masing-Masing Provinsi Setelah dilakukan estimasi parameter untuk model 𝐴𝑅𝐼𝑀𝐴, langkah selanjutnya adalah melakukan uji diagnostik dari kecukupan model tersebut. Pada tahap diagnostik model akan diuji apakah residu bersifat independen dan berdistribusi normal. Jika residu dari model tersebut telah bersifat independen dan berdistribusi normal maka model tersebut sesuai dengan data. Untuk menguji independensi residu dilakukan dengan memeriksa nilai autokorelasi residu. Plot fungsi autokorelasi residu untuk masing-masing provinsi terdapat pada Lampiran 7, dan terlihat bahwa nilai koefisien autokorelasi residu berada di sekitar nol. Hal tersebut berarti residu saling independen. Uji independensi residu dapat juga diketahui melalui uji Ljung-Box-Pierce. Uji Ljung-Box-Pierce pada masing-masing provinsi pada Lampiran 8 menunjukkan to user bahwa 𝑝-value dari setiap lagcommit melebihi tingkat signifikansi 5%. Hal ini



menunjukkan bahwa secara signifikan tidak menolak hipotesis nol yang berarti residu saling independen. Untuk menguji kenormalan residu dapat dilakukan dengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov. Berdasarkan Lampiran 9 diperoleh plot uji normalitas pada semua provinsi menunjukkan residu tidak menolak hipotesis nol. Hal tersebut berarti data berdistribusi normal pada tingkat signifikansi 5% sehingga uji normalitas dipenuhi. Uji kenormalan residu juga dapat dilakukan dengan melihat pola plot antara residu dengan normal scores. Berdasarkan Lampiran 9 menunjukkan plot untuk semua provinsi mendekati garis lurus yang berarti bahwa residu berdistribusi normal. Karena residu dari model untuk semua provinsi telah bersifat independen dan berdistribusi normal maka model tersebut sesuai dengan data. 4.2 Hasil Pengelompokan Produktivitas Padi Di Indonesia Setelah diperoleh model akhir untuk masing-masing provinsi, dicari nilai periodogram untuk masing-masing provinsi dengan menggunakan rumus pada persamaan (2.15) dengan hasil perhitungan terdapat pada Lampiran 10. Kemudian dicari nilai periodogram yang dinormalkan untuk masing-masing provinsi dengan menggunakan rumus pada persamaan (2.17). Setelah diperoleh periodogram yang dinormalkan, kemudian dicari metrik log-normalized periodogram (LNP) yaitu logaritma dari periodogram yang dinormalkan dengan hasil perhitungan terdapat pada Lampiran 11. Dengan menggunakan persamaan (2.16), diperoleh jarak antara ordinat LNP dengan hasil perhitungan terdapat pada Lampiran 12. Selanjutnya mengelompokkan runtun waktu produktivitas padi di Indonesia menggunakan metode complete linkage dengan jarak yang berdasarkan metrik LNP. Dalam metode complete linkage, kluster-kluster digabungkan berdasarkan jarak antara anggota-anggota yang paling jauh. Pada awalnya banyaknya kluster sama dengan banyaknya obyek. Selanjutnya menggabungkan obyek-obyek yang paling dekat atau paling mirip, berdasarkan hasil perhitungan jarak didapatkan kluster awal dengan jarak antar obyek nol, yaitu 𝐴1={25,26}, 𝐴2 ={23,24}, 𝐴3={21,22}, 𝐴4={19,20}, 𝐴5={17,18}, 𝐴6={15,16}, 𝐴7={13,14}, commit to user 𝐴8={11,12}, 𝐴9={1,2}, 𝐴10={3,4}, 𝐴11={5,6}, 𝐴12={7,8}, 𝐴13={9,10}.



Langkah kedua dihitung jarak antara kluster awal dengan obyek-obyek yang lain, diperoleh kluster yang paling mirip dengan jarak sebagai berikut 𝑑𝐴4,𝐴2 = 𝑚𝑎𝑘𝑠 𝑑

19,20 23 , 𝑑 19,20 24

𝑑𝐴10,𝐴11 = 𝑚𝑎𝑘𝑠 𝑑 𝑑𝐴8,𝐴7 = 𝑚𝑎𝑘𝑠 𝑑

3,4 5 , 𝑑 3,4 6

11,12 13 , 𝑑 11,12 14

= 7,3904 = 8,0835 = 8,2528 .

Sehingga penggabungan berikutnya menghasilkan kluster 𝐵1 = {𝐴4, 𝐴2} = {19,20,23,24},

𝐵2 = {𝐴10, 𝐴11} = {3,4,5,6},

dan

𝐵3 = {𝐴8, 𝐴7} =

{11,12,13,14}. Langkah ketiga dihitung jarak antara kluster 𝐵1, 𝐵2 dan 𝐵3 dengan obyek yang belum tergabung, diperoleh kluster yang paling mirip dengan jarak sebagai berikut 𝑑𝐵1,𝐴3 = 𝑑(𝐴4,𝐴2),𝐴3 = 𝑚𝑎𝑘𝑠 𝑑𝐴4,𝐴3 , 𝑑𝐴2,𝐴3 = 8,9615 𝑑𝐵2,𝐴12 = 𝑑(𝐴10,𝐴11),𝐴12 = 𝑚𝑎𝑘𝑠 𝑑𝐴10,𝐴12 , 𝑑𝐴11 ,𝐴12 = 9,4631 𝑑𝐵3,𝐴6 = 𝑑(𝐴8,𝐴7),𝐴6 = 𝑚𝑎𝑘𝑠 𝑑𝐴8,𝐴6 , 𝑑𝐴7,𝐴6 = 9,6470 . Penggabungan tersebut menghasilkan kluster 𝐶1={𝐵1, 𝐴3}={19,20,23,24,21,22}, 𝐶2={𝐵2, 𝐴12}={3,4,5,6,7,8} dan 𝐶3={𝐵3, 𝐴6}={11,12,13,14,15,16}. Langkah keempat menghitung jarak antara kluster 𝐶1, 𝐶2 dan 𝐶3 dengan obyek atau kluster yang belum tergabung, diperoleh kluster yang paling mirip dengan 𝑑𝐶1,𝐴1 = 𝑑(𝐵1,𝐴3),𝐴1 = 𝑚𝑎𝑘𝑠 𝑑𝐵1,𝐴1 , 𝑑𝐴3,𝐴1 = 9,6656 𝑑𝐶3,𝐴13 = 𝑑(𝐵3,𝐴6),𝐴13 = 𝑚𝑎𝑘𝑠 𝑑𝐵3,𝐴13 , 𝑑𝐴6,𝐴13 = 10,5446 . Penggabungan tersebut menghasilkan kluster 𝐷1 = {𝐶1, 𝐴1} = {19,20,23,24,21,22,25,26}, dan 𝐷2 = {𝐶3, 𝐴13} = {11,12,13,14,15,16,9,10}. Langkah kelima menghitung jarak antara kluster 𝐷1 dan 𝐷2 dengan obyek atau kluster yang lain sehingga diperoleh kluster yang paling mirip dengan 𝑑𝐷1,𝐴5 = 𝑑(𝐶1,𝐴1),𝐴5 = 𝑚𝑎𝑘𝑠 𝑑𝐶1,𝐴5 𝑑𝐴1𝐴5 = 12,1563 𝑑𝐷2,𝐶2 = 𝑑(𝐶3,𝐴13 ),𝐶2 = 𝑚𝑎𝑘𝑠 𝑑𝐶3,𝐶2 𝑑𝐴13,𝐶2 = 13,4820 . Penggabungan diatas menghasilkan kluster 𝐸1 = {𝐷1, 𝐴5} = {19, 20,23,24,21,22,25,26,17,18} dan 𝐸2 = {𝐷2, 𝐶2} = {11,12,13,14,15,16,9,10, 3,4,5,6,7,8}. commit to user



Langkah berikutnya menghitung jarak antar kluster yang terbentuk sebelumnya yaitu 𝐸1, 𝐸2 dan 𝐴9, diperoleh kluster yang paling mirip dengan 𝑑𝐸2,𝐸1 = 𝑑(𝐷2,𝐶2),𝐸1 = 𝑚𝑎𝑘𝑠 𝑑𝐷2,𝐸1 𝑑𝐶2,𝐸1 = 18,2074. Sehingga

penggabungannya

menghasilkan

kluster

𝐹1 = {𝐸2, 𝐸1}={19,

20,23,24,21,22,25,26,17,18,11,12,13,14,15,16,9,10,3,4,5,6,7,8}.

Pada

langkah

terakhir kluster 𝐹1 dan 𝐴9 digabungkan menjadi kluster tunggal dengan 𝑑𝐹1,𝐴9 = 𝑑(𝐸2,𝐸1),𝐴9 = 𝑚𝑎𝑘𝑠 𝑑𝐸2,𝐴9 𝑑𝐸1,𝐴9 = 28,6918. 30

Jarak

25

20

15

10

5

0

25 26 19 20 23 24 21 22 17 18

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16

1

2

Provinsi

Gambar 4.3 Dendogram runtun waktu produktivitas padi di Indonesia menggunakan metrik LNP. Kluster 𝐹1 dan kluster 𝐴9 memiliki jarak yang terlalu jauh dibandingkan dengan jarak antar kluster-kluster yang lain. Sehingga kluster 𝐹1 dan 𝐴9 tidak digabungkan menjadi satu kluster. Sedangkan kluster 𝐸2 dan 𝐸1 juga memiliki jarak yang terlalu jauh dibandingkan dengan jarak antar kluster yang lain. Oleh karena itu, kluster 𝐸2 dan 𝐸1 tidak digabungkan. Sehingga pengelompokan produktivitas padi di Indonesia didapatkan tiga kelompok yaitu 𝐸1 = {19, 20,23,24,21,22,25,26,17,18}, 𝐸2 = {11,12,13,14,15,16,9,10,3,4,5,6,7,8}, dan

𝐴9 = (1,2).

Berdasarkan

hasil

algoritma

commit to user

tersebut,

kemudian



pengelompokannya dibuat dalam bentuk dendogram yang terdapat pada Gambar 4.3. Kelompok pertama terdiri dari provinsi Maluku, Papua, Kalimantan Selatan, Kalimantan Timur, Sulawesi Selatan, Sulawesi Tenggara, Sulawesi Utara, Sulawesi Tengah, Kalimantan Barat, dan Kalimantan Tengah. Kelompok kedua terdiri dari provinsi Sumatera Barat, Riau, Jambi, Sumatera Selatan, Bengkulu, Lampung, DKI Jakarta, Jawa Barat, Jawa Tengah, DI Yogyakarta, Jawa Timur, Bali, Nusa Tenggara Barat, dan Nusa Tenggara Timur. Sedangkan kelompok ketiga terdiri dari provinsi Nanggroe Aceh Darussalam dan Sumatera Utara. Berdasarkan fluktuasi plot data runtun waktu yang sudah stasioner dari masing-masing provinsi yang terdapat pada Lampiran 4, kelompok pertama menunjukkan laju produktivitas padi yang cepat. Kelompok kedua menunjukkan adanya laju produktivitas padi yang negatif pada beberapa periode. Kelompok ketiga menunjukkan laju produktivitas padi tetap atau konstan.

commit to user


digilib.uns.ac.id

BAB V PENUTUP

5.1 Kesimpulan Berdasarkan hasil pembahasan, dapat diperoleh kesimpulan bahwa laju produktivitas padi di Indonesia dapat dikelompokkan menjadi 3 kelompok provinsi. Kelompok pertama menunjukkan laju produktivitas padi cepat yang terdiri dari provinsi Maluku, Papua, Kalimantan Selatan, Kalimantan Timur, Sulawesi Selatan, Sulawesi Tenggara, Sulawesi Utara, Sulawesi Tengah, Kalimantan Barat, dan Kalimantan Tengah. Kelompok kedua menunjukkan adanya laju produktivitas padi yang negatif pada beberapa periode terdiri dari provinsi Sumatera Barat, Riau, Jambi, Sumatera Selatan, Bengkulu, Lampung, DKI Jakarta, Jawa Barat, Jawa Tengah, DI Yogyakarta, Jawa Timur, Bali, Nusa Tenggara Barat, dan Nusa Tenggara Timur. Sedangkan kelompok ketiga menunjukkan laju produktivitas padi tetap atau konstan yang terdiri dari provinsi Nanggroe Aceh Darussalam dan Sumatera Utara.

5.2 Saran Pada penelitian ini, pengelompokan dilakukan dengan menggunakan metrik yang berdasar pada Log-Normalized Periodogram (LNP). Oleh karena itu dalam penelitian lebih lanjut dapat digunakan metrik yang berdasar pada koefisien autokorelasi (autocorrelation coefficients).

commit to user 34

PENGELOMPOKAN PRODUKTIVITAS PADI DI INDONESIA MENGGUNAKAN METRIK LOG-NORMALIZED PERIODOGRAM (LNP)

Recommend Documents