PENGARUH SUDUT ANTAR PLANET ( θ 12 ) TERHADAP BENTUK LINTASAN SISTEM DUA PLANET

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PENGARUH SUDUT ANTAR PLANET ( θ12 ) TERHADAP BENTUK LINTASAN SISTEM DUA PLANET

Skripsi Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Fisika

Oleh: THOMAS JOKO KRISMANTO NIM: 003214016

PROGRAM STUDI FISIKA JURUSAN FISIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2008

i


INTER PLANET ANGLE ( θ12 ) EFFECT ON THE TRAJECTORY FORM OF TWO PLANETS SYSTEM Scription Presented as Partial Fulfillment of the requirements to obtain the Sarjana Sains Degree In Physics

By: THOMAS JOKO KRISMANTO NIM: 003214016

PHYSICS STUDY PROGRAM PHYSICS DEPARTEMENT FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2008

ii




Kehidupan ini adalah belajar dari waktu ke waktu sampai kita tak dapat merasakan panas dinginnya dunia. Semua begitu mudah bagi kemauan dan tekat yang kuat. Ku persembahkan skripsi ini buat bapak dan ibu dan ketiga kakakku Isbandini,Heriyanto dan Sri Astuti

v



PENGARUH SUDUT ANTAR PLANET ( θ12 ) TERHADAP BENTUK LINTASAN SISTEM DUA PLANET

ABSTRAK Telah dilakukan studi terhadap pengaruh sudut ( θ12 ) untuk sistem dua planet yang mengorbit pusat yang sama secara numerik mengunakan paket program Maple 10. Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa besar sudut antar planet ( θ 12 ) menentukan bentuk lintasan planet.

vii


INTER PLANET ANGLE ( θ12 ) EFFECT TO THE TRAJECTORY FORM OF TWO PLANETS SYSTEM

ABSTRACT Inter planet angle ( θ12 ) effect to the trajectory form of two planets system which orbiting the same centre have been performed numerically using Maple 10 program packet. The obtained results show that the inter planet angle ( θ12 ) value determine the planet trajectory form.

viii


KATA PENGANTAR

Syukur kepada Tuhan Yesus yang selalu membimbing penulis dalam setiap detik kehidupan penulis selama penulisan skripsi ini. Suatu kehormatan yang besar bagi saya dapat memperoleh kesempatan memahami agungnya alam semesta karya tangan Tuhan yang sempurna selama mempelajari ilmu fisika. Banyak pihak yang telah membantu saya dalam menyelesaikan karya ilmiah ini yang membuat saya selalu berdiri dan maju terus. Oleh karena itu dengan rendah hati saya mengucapkan banyak terimakasih kepada: 1. Bapak Drs. Drs. Vet Asan Damanik, M.Si sebagai dosen pembimbing yang dengan sangat sabar dan sepenuh hati serta meluangkan waktu di saat libur untuk membimbing saya dalam menyelesaikan skripsi ini. Saya terkesan dengan jawaban “mudah” setiap saya menanyakan hasil pekerjaan saya dan suatu hal yang tidak saya pahami, itu membuat tak ada yang sulit bagi saya yang ada hanyalah “mau dan maju terus”. 2. Bapak, Ibu, Kakak dan seluruh keluarga besar yang telah memberi dukungan dan semangat penuh, dukungan keluarga tak ternilai bagi saya. 3. Dekan

Fakultas

Sains

dan

Teknologi

Ir.G.Heliarko,S.J

S.S.,BST.,M.Sc.,M.A. beserta staf. 4. Dosen program studi fisika Ibu Ir. Sri Agustini Sulandari, M.Si, Bapak

ix


Dr. Ign Edi Santoso, M,Si, Bapak Prof. Liek Wilardjo, Bapak Drs.BA. Tjipto Sujitno, M.T, APU, Bapak Drs. Albertus Setyoko, M.Si (almarhum), Bapak Prasetyadi, S.Si, dan Ibu Dwi Nugraheni Rositawati, S.Si. 5. Laboran program studi fisika Bapak Sugito, Mas Agus, Mas Sis yang banyak membantu saya dalam penggunaan laboratorium selama studi. 6. Pegawai Sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi. 7. Pegawai Perpustakaan unit kampus III Paingan. 8. Semua teman di Program Studi Fisika angkatan”00 yang sama-sama berjuang serta teman beda angkatan yang sama-sama berjuang dalam menyelesaikan skripsi yang tidak bisa saya sebutkan satu persatu. Terimakasih atas segala dukungan dan smangatnya. 9. Teman-teman MUDIKA yang selalu memberi semangat dan menghibur. 10. Kepada “virtus compusoft” yang telah meminjami saya satu unit komputer dan hp selama penulisan skripsi serta memberi dukungan baik materi maupun smangat yang tak pernah padam. MAJU dan SUKSES untuk “virtus compusoft” dan menjadi besar untuk menolong sesama. 11.Terima kasih kepada keluarga bapak ibu Wahyudi yang tak henti-henti menanyakan skripsi selama satu tahun ini, itu sangat memberi dukungan dan semangat bagi saya. 12. Buat temen-temen yang ada disekelilingku yang tak bisa saya sebutkan satu persatu, terimakasih atas doa dan dukungannya.God Bless.

x


Saya menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan saran yang membangun diterima dengan senang hati.

Yoyakarta,

Januari 2008

Penulis

Th. Joko Krismanto

xi


PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan sesungguhnya bahwa skripsi yang telah saya tulis ini tidak memuat karya orang lain kecuali yang telah disebutkan dalam Daftar Pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta,

Januari 2008

Penulis

Th. Joko Krismanto

xii


DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ……………………………………………………….

i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ………………………..…..

iii

HALAMAN PENGESAHAN …………………………………………..…..

iv

HALAMAN MOTTO PERSEMBAHAN ……………………………..........

v

HALAMAN LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ...

vi

ABSTRAK ………………………………………………………….……….

vii

ABSTRACT ………………………………………………………………… viii KATA PENGANTAR ………………………………………………............

ix

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ……………………...

xii

DAFTAR ISI ……………………………………………………….............. xiii DAFTAR GAMBAR ………………………………………………………... xv

BAB I. PENDAHULUAN ………………………………………………….

1

1.1. Latar Belakang ………………………………….………....….

1

1.2. Perumusan Masalah …………………………………………..

2

1.3. Batasan Masalah ……………………………………………...

2

1.4. Tujuan Penelitian ……………………………………………..

3

1.5. Manfaat Penelitian ………… .……………………………......

3

1.6. Sistematika Penulisan Laporan Penelitian ………..………......

3

BAB II. DASAR TEORI ……………………………………………….......

5

2.1. Hukum Kepler ………………………………………………... 5 2.2. Gerak Benda dengan Gaya Sentral ………………………......

8

2.3. Hukum Kekekalan Energi dan Persamaan Gerak Planet …….. 13 2.4. Sistem Gerak Dua Planet ......................................................... 18 2.5. Polinomial Legendre …………………………………………. 20 BAB III. METODE PENELITIAN …………………………………………

xiii

22


3.1. Jenis Penelitian ……………………………………………….. 22 3.2. Sarana Penelitihan ……………………………………………. 22 3.3. Langkah-Langkah Penelitihan ……………………………….. 22 BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ………….……………………….... 23 4.1. Sistem Dua Planet …………………………………………….. 23 4.2. Bentuk Lintasan Planet ……………………………………..... 34 4.3. Pembahasan …………………………………………………..

41

BAB V. PENUTUP ……………………………………………………........ 44 5.1 Kesimpulan …………………………………………………..... 44 5.2 Saran …………………………………………………………... 44 DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………………... 45 LAMPIRAN Lampiran A

………………………………………………………. 46

Lampiran B

. ……………………………………………………... 55

Lampiran C

………………………………………………………. 56

xiv


DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1

Bentuk lintasan (orbit) planet

5

Gambar 2.2

Luas yang disapu planet dalam waktu ∆t

6

Gambar 2.3

Interaksi sistem dua planet

19

Gambar 4.1

Dua planet berinteraksi

23

Gambar 4.2

Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut θ12 = 00

Gambar 4.3

Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa

M secara kualitatif untuk sudut θ12 = 300 Gambar 4.4

37


Gambar 4.9

37



36



36



35



35

38


xv

38


Gambar 4.10 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa M secara kualitatif untuk sudut θ12 = 2400

39

Gambar 4.11 Bentuk lintasan sistem dua planet yang mengorbit pusat massa

M secara kualitatif untuk sudut θ12 = 2700

39



40



40



xvi

41


BAB I PENDAHULUAN

1.1.

Latar Belakang Dalam pembahasan tentang astronomi khususnya hukum gerak planet sangat

jarang membahas pengaruh interaksi antar planet terhadap bentuk lintasan planet yang berinteraksi. Pembahasan mengenai gerak planet hanya terbatas pada hukum Kepler dan hukum Newton secara umum, yaitu bahwa pergerakan planet yang satu sangat berpengaruh terhadap planet yang lain dan bentuk lintasannya adalah berbentuk elips (Sears dkk, 1987). Hukum-hukum yang dapat menjelaskan posisi dan orbit planet dirumuskan antara tahun 1601 dan 1619 oleh astronom dan ahli matematika Jerman Johanes Kepler(1571-1630). Kepler sebagai asisten Tycho Brahe (1546-1601) memanfaatkan data pengamatan yang dikumpulkan oleh Tycho Brahe dan mengolahnya secara matematis sehingga menghasilkan perumusan matematis gerak planet. Hukum Kepler menyatakan bahwa semua planet mengorbit matahari dan gerak semu planet yang terlihat dari bumi dapat digunakan untuk menentukan secara tepat posisi dari planet. Hukum Kepler menyatakan bahwa kedudukan planet terhadap matahari selalu berubah secara periodik dengan bentuk lintasan elips (Suwitra, 2001). Perubahan kedudukan (posisi) planet terhadap matahari menunjukkan bahwa terjadi interaksi antar planet sehingga setiap planet mempunyai posisi terjauh dan terdekat dari matahari. Posisi terjauh dari matahari disebut aphelium, sedangkan posisi terdekat planet dari matahari disebut perihelium.

1

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2

Karena alasan itulah penulis tertarik untuk mengkaji lebih jauh tentang interaksi dua planet terhadap gerak planet khususnya pengaruh bentuk lintasan planet relatif terhadap matahari sebagai fungsi sudut antar planet. Dengan menggunakan persamaan energi dan sudut yang terbentuk antara dua planet yang mengorbit matahari akan ditentukan bentuk lintasan sistem dua planet.

1.2.

Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang tersebut bahwa pengaruh interaksi antar planet

yang mengorbit matahari jarang dibahas khususnya terkait dengan pengaruh sudut antar planet terhadap bentuk lintasan planet, maka yang menjadi permasalahan dalam penelitian ini adalah bagaimana pengaruh sudut antar planet terhadap bentuk lintasan (orbit) sistem dua planet yang mengorbit titik pusat (matahari).

1.3.

Batasan Masalah Masalah yang diteliti dibatasi pada 1. Interaksi dua planet yang bergerak mengorbit suatu titik pusat yang sama. 2. Energi total sistem dua planet hanya memperhitungkan energi kinetik dan energi potensial gravitasi. 3. Sistem dua planet yang berinteraksi. 4. Bentuk lintasan gerak planet sebagai fungsi sudut antar planet.


1.4.

Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah untuk 1. Merumuskan persamaan gerak sistem dua planet yang mengorbit titik pusat massa yang sama. 2. Menyelesaikan persamaan gerak sistem dua planet sehingga diperoleh bentuk lintasan planet sebagai fungsi sudut yang dibentuk dua planet dengan menggunakan paket program Maple 10.

1.5.

Manfaat Penelitian Penelitian ini bermanfaat untuk: Pengembangan ilmu pengetahuan khususnya pengetahuan tentang gerak dua

planet yang mengorbit titik pusat yang sama.

1.6.

Sistematika Penulisan Laporan Penelitian Sistematika laporan penelitian ini adalah sebagai berikut:

BAB I. PENDAHULUAN Dalam Bab ini dijelaskan uraian mengenai latar belakang masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, sistematika

penulisan laporan

penelitian. BAB II. DASAR TEORI Dalam Bab II

dijabarkan dasar teori yang terkait dengan hukum gerak

planet, yaitu hukum Kepler, hukum Newton, gerak benda dengan gaya sentral,


hukum kekekalan energi dan persamaan gerak planet, sistem dua

planet dan

polinomial Legendre. BAB III. METODE PENELITIAN Pada Bab III menjelaskan tentang metode penelitian yang ditempuh dalam penelitian ini. BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN Dalam Bab IV dibahas tentang sistem dua planet yang berinteraksi, bentuk lintasan planet dan pembahasan. BAB V. PENUTUP Bab V menyajikan kesimpulan dan saran.


BAB II DASAR TEORI

2.1.

HUKUM KEPLER Keteraturan gerak planet dapat dijelaskan oleh mekanika benda langit yang

kemudian dikembangkan untuk menjelaskan gerak dan lintasan planet sehingga dapat diketahui bentuk orbit planet. Kepler membandingkan data yang dikumpulkan Tycho Brahe (1546-1601) dengan hasil pengamatannya dan kemudian mengolahnya secara matematis sehingga menghasilkan tiga buah hukum gerak planet yang kemudian dikenal sebagai hukum Kepler (Sears dkk, 1987). Hukum Kepler tersebut adalah: 1. Planet bergerak dalam bidang datar dengan orbitnya berbentuk elips dan matahari sebagai salah satu titik fokusnya (Gambar 2.1). Ini berarti kedudukan planet terhadap matahari selalu berubah. Titik terjauh

dari

matahari disebut aphelium dan titik terdekat dari matahari disebut perihelium. D

b C

A

B a

M

E

Gambar 2.1 Bentuk lintasan (orbit) planet

5


2. Vektor yang menghubungkan matahari dengan planet menyapu luas yang sama untuk waktu yang sama (Gambar 2.2). Dari Gambar 2.2, jika lintasan AB ditempuh dengan waktu yang sama dengan lintasan CD, maka luas A M B sama dengan C M D.

∆t

r r r + ∆r ∆t

∆A

∆A

θ M

r v r r

m

Gambar 2.2 Luas yang disapu planet dalam waktu ∆t . Jika jari-jari lintasan planet adalah r dan sudut yang dibentuk selama waktu

∆t adalah ∆θ , maka ∆A =

1 r ⋅ ∆s 2

=

1 r ⋅ r ⋅ ∆θ 2

=

1 2 r ∆θ . 2

(2.1)

Jika ∆t → 0 , maka ∆θ → 0 , sehingga persamaan (2.1) dapat ditulis menjadi lim

∆θ → 0

∆A 1 2 = r , ∆θ 2

atau dA =

1 2 r dθ . 2

(2.2)


3. Rasio kuadrat periode revolusi planet ( T ) terhadap kubik dari sumbu elips ( r ) adalah sama untuk seluruh planet : T2 =C. r3

(2.3)

Nilai tetapan C dapat dijabarkan dari hukum II Newton khususnya tentang gerak melingkar atau suatu benda bergerak dalam medan atau gaya sentral. Jika suatu benda bermassa m bergerak melingkar dengan jari-jari r , maka periode ( T ) adalah T=

2πr , v

(2.4)

dengan v adalah kecepatan, dan gaya sentripetal yang bekerja sama dengan gaya sentrifugal F =m

Jika F = G

v2 . r

(2.5)

Mm dimasukkan ke persamaan (2.5), maka diperoleh r2 GM = v2 , r

(2.6)

dengan G adalah tetapan gaya gravitasi universal. Dari persamaan (2.4) dan (2.6) akhirnya diperoleh T 2 4π 2 = , r 3 GM dengan G = 6,673.10 −11

Nm 2 . kg 2

Jadi nilai konstanta (tetapan) C pada persamaan (2.3) adalah

(2.7)


C= 2.2.

4π 2 . GM

(2.8)

Gerak Benda dengan Gaya Sentral Penggunaan hukum III Newton berbunyi (Goldstein, 1950): untuk sistem

aksi akan selalu ada reaksi yang melawan yang besarnya sama dengan aksi. Jumlah hukum III Newton diterapkan dalam medan gaya sentral antara dua buah benda m1 r dan m2 , maka aksi yang dilakukan benda pertama terhadap benda kedua ( F12 ) akan r menimbulkan reaksi pada benda kedua ( F21 ) yang besarnya sama dan berlawanan r arah dengan ( F12 ) . Jadi dapat dituliskan

r r Faksi = − Freaksi . Jika aksi tersebut berupa gaya, maka reaksi juga berbentuk gaya. Gaya tarik menarik antar dua buah benda bermassa m1 dan m2 berbanding lurus dengan massa m1 dan

m2 serta berbanding terbalik dengan kuadrat jarak ( r ) antar m1 dan m2 . Jika benda bermassa m mengalami gaya yang arahnya selalu ke suatu titik yang tetap, maka benda tersebut mangalami gaya sentral. Gaya yang arahnya selalu menunju suatu titik yang tetap disebut gaya sentral. Contoh gaya sentral adalah gaya yang dialami oleh suatu benda yang mengorbit benda lain seperti planet yang mengorbit matahari sebagai pusat orbit planet. Sesuai dengan hukum II Newton, r r gaya F yang dialami suatu benda bermassa m dengan percepatan a adalah

r r F = ma

(2.9)

Vektor posisi dan vektor sudut planet ditulis r r = rrˆ ,

(2.10)


r

θ = θθˆ .

(2.11)

Perubahan rˆ dan θˆ terhadap waktu di tulis sebagai berikut drˆ ˆ dθ , =θ dt dt

(2.12)

dθˆ dθ , = − rˆ dt dt

(2.13)

r r drˆ dr dr = rˆ + r . vr = dt dt dt

(2.14)

Kecepatan radial planet

Dari persamaan (2.12) dan (2.14) diperoleh r dr dr dθ ˆ = rˆ + r θ. dt dt dt

(2.15)

Jika persamaan (2.15) diturunkan terhadap waktu ( t ), maka diperoleh percepatan planet r 2 r d 2θ ⎤ ˆ d 2r ⎡ d 2r ⎛ dθ ⎞ ⎤ ⎡ dr dθ dr dθ ˆ + + + r r ar = 2 = ⎢ 2 − r⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎥θ . dt 2 ⎦ dt ⎝ dt ⎠ ⎥⎦ ⎣ dt dt dt dt ⎢⎣ dt

(2.16)

Persamaan gerak planet untuk r berubah dalam gaya sentral dapat ditulis sebagai

r f (r )rˆ = ma r .

(2.17)

Jika persamaan (2.16) dimasukkan ke dalam persamaan (2.17), maka diperoleh 2 ⎧⎪⎡ d 2 r d 2θ ⎤ ⎫⎪ ⎛ dθ ⎞ ⎤ ⎡ dr dθ dr dθ + + r 2 ⎥θˆ⎬ . f (r )rˆ = m⎨⎢ 2 − r ⎜ ⎟ ⎥ rˆ + ⎢ dt ⎦ ⎪⎭ ⎝ dt ⎠ ⎥⎦ ⎣ dt dt dt dt ⎪⎩⎢⎣ dt

(2.18)

Dari persamaan (2.18) terikat bahwa 2 ⎡d 2r ⎛ dθ ⎞ ⎤ f ( r ) = m. ⎢ 2 − r ⎜ ⎟ ⎥ , ⎝ dt ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ dt

(2.19)


dan

⎡ dr dθ dr dθ d 2θ ⎤ + +r 2 ⎥. 0 = m⋅⎢ dt ⎦ ⎣ dt dt dt dt

(2.20)

Jadi kalau sebuah benda bergerak dalam medan gaya sentral, sesuai dengan

r hukum II Newton, benda tersebut hanya mempunyai percepatan radial ( a r ) r sedangkan percepatan sudut ( aθ ) sama dengan nol.

r Benda yang bergerak melingkar mempunyai momentum sudut ( l ) yang diberikan oleh r r r l =r×p ,

(2.21)

r r dengan p = mvr adalah momentum linier. Jika persamaan (2.14) dimasukkan ke persamaan (2.21), maka diperoleh r r dθ ˆ ⎤ ⎡ dr θ l = r × m.⎢ rˆ + r dt ⎥⎦ ⎣ dt = mr

dθ dr rˆ × θˆ rˆ × rˆ + mr 2 dt dt

= mr 2

dθ ˆ k , dt

(2.22)

sebab rˆ × rˆ = 0 dan rˆ × θˆ = kˆ . r Jika nilai mutlak l pada persamaan (2.22) dimasukkan ke dalam persamaan (2.19), maka diperoleh

⎡d 2r l2 ⎤ f ( r ) = m. ⎢ 2 − 2 3 ⎥ . m r ⎦ ⎣ dt Kecepatan planet sebagai fungsi dari kecepatan sudut diberikan oleh

(2.23)


dr dr dθ , = dt dθ dt

(2.24)

memasukkan persamaan (2.22) ke persamaan (2.24) menghasilkan dr l dr . = dt mr 2 dθ

(2.25)

Dengan memisalkan 1 , r

u=

(2.26.a)

maka dr = −

1 du , u2

(2.26.b)

sehingga dr l 2 ⎛ 1 du ⎞ = u ⎜− ⎟ dt m ⎝ u 2 dθ ⎠ =−

l du . m dθ

(2.27)

Jika persamaan (2.27) diturunkan terhadap waktu ( t ), maka diperoleh

d 2 r d ⎛ dr ⎞ = ⎜ ⎟ dt 2 dt ⎝ dt ⎠ =

d ⎛ l du ⎞ dθ ⎜− ⎟ dt ⎝ m dθ ⎠ dθ

=

d ⎛ l du ⎞ dθ ⎜− ⎟ dθ ⎝ m dθ ⎠ dt

=−

l 2 d 2u . m 2 r 2 dθ 2

Jika persamaan (2.28) dimasukkan ke persamaan (2.23), maka diperoleh

(2.28)


f (r ) l 2 d 2u l2 . =− 2 2 − m m r dθ 2 m 2 r 3 Dengan mengganti r =

(2.29)

1 , maka diperoleh bentuk persamaan diferensial orde dua u

pada persamaan (2.29) menjadi 1 m d 2u +u = − 2 2 f( ) . 2 u l u dθ

(2.30)

Sebuah benda bermassa m yang berada dalam medan gravitasi mempunyai energi potensial V =−

k , r

(2.31)

dengan k = GMm . Turunan energi potensial terhadap posisi r menghasilkan gaya atau secara matematis f (r ) = −

dV dr k , r2

(2.32)

1 f ( ) = − ku 2 , u

(2.33)

=−

atau

memasukkan persamaan (2.33) ke persamaan (2.30) menghasilkan mk d 2u +u = 2 . 2 l dθ

(2.34)

Persamaan diferensial orde dua pada persamaan (2.34) mempunyai penyelesaian berbentuk


u = A cos(θ − θ 0 ) +

dengan A tetapan. Karena u =

mk , l2

(2.35)

1 dan θ 0 = 0 0 , maka persamaan (2.35) dapat ditulis r

menjadi l2 mk . r= 2 l A 1+ . cos θ mk

(2.36)

Jika didefinisikan eksentrisitas l2A , e= mk

(2.37)

l2 , mk

(2.38)

dan r0 = maka

r=

2.3.

r0 . 1 + e ⋅ cos θ

(2.39)

Hukum Kekekalan Energi dan Persamaan Gerak Planet Persamaan gerak dan lintasan (orbit) planet dapat dijabarkan dari hukum

kekekalan energi untuk medan (gaya) sentral menyatakan bahwa jumlah energi kinetik ( T ) dan energi potensial ( V ) adalah konstan, secara matematis dituliskan

E = T +V .

(2.40)

Energi kinetik ( T ) suatu benda (planet) bermassa ( m ) yang mengorbit benda lain sejauh r sesuai dengan persamaan (2.15) adalah


T=

1 2 1 l2 mr& + , 2 2 mr 2

(2.41)

dengan l adalah momentum sudut. Memasukkan persamaan (2.41) ke persamaan (2.40) menghasilkan 1 2 1 l2 E = mr& + +V . 2 2 mr 2

(2.42)

Jadi kecepatan planet ke arah r adalah

2⎛ l2 ⎜⎜ E − V − m⎝ 2mr 2

r& =

⎞ ⎟⎟ . ⎠

(2.43)

Dari kecepatan diperoleh waktu (t ) tempuh planet sebagai fungsi dari posisi ( r ) dr

dt =

dt =

t=

(2.44.a)

2 E 2GM l2 + − 2 2 m r m r dr

(2.44.b)

2

1 2 Er l2 + 2GMr − 2 r m m

rmak

∫

rmin

r.dr 2

l2 2 Er + 2GMr − 2 m m

.

(2.44.c)

Dengan menggunakan persamaan Lampiran B (B.1) dan (B.2) penyelesaian untuk persamaan (2.44.c) dengan memisalkan a = integral persamaan (2.44.c) adalah

l2 2E , b = 2GM , dan c = − 2 . Hasil m m


⎧ ⎛ 2 Er 2 l2 ⎪⎜ + 2GMr − 2 m ⎪ ⎜⎝ m t=⎨ 2E ⎪ m ⎪ ⎩

⎞ ⎟⎟ ⎠

1

2

−

GMm ⎛2⎞ E ⎜ ⎟ ⎝m⎠ 3

1

2

2

⎡ 4 Er + 2GM log ⎢ m ⎢ ⎣

⎛ 4E r EGMr 2 El + 2⎜⎜ +4 − 3 2 m m ⎝ m 2

2

2

⎞ ⎟⎟ ⎠

1

2

⎤⎫ ⎥ ⎪⎬ ⎥⎪ ⎦⎭

r mak

.

(2.45)

rmin

Perubahan sudut gerak planet sebagai fungsi momentum sudut dapat diperoleh dari persamaan (2.22), yaitu dθ =

Dengan mengganti dt =

ldt . mr 2

(2.46)

dr , persamaan (2.46) menjadi r& l dr . dθ = mr 2 r&

(2.47)

Jika persamaan (2.43) dimasukkan ke persamaan (2.47) kemudian di integralkan maka diperoleh

dr

θ =∫ r

.

2mE 2mV 1 − 2 − 2 l2 l r

2

(2.48)

Dengan memasukkan persamaan (2.31), (2.26.a) dan (2.26.b) ke persamaan (2.48), menjadi

θ = −∫

Dengan memisalkan

y = −1 ,

du 2mE 2mku + 2 − u2 2 l l

f =

2mk , l2

g=

.

(2.49)

2mE , dan k = GMm , serta l2

menggunakan Lampiran B (B.3), bentuk penyelesaian persamaan (2.49) adalah


16

⎛ ul 2 ⎜ −1 ⎜ mk sin(γ − θ ) = ⎜ 2 ⎜ 1 + 2 El ⎜ mk 2 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ , ⎟ ⎟ ⎠

(2.50)

dengan γ adalah tetapan integral (konstanta). Jika digunakan rumus pada Lampiran B (B.4), maka persamaan (2.50) menjadi

⎛ ul 2 ⎜ −1 ⎜ cos θ = ⎜ mk 2 ⎜ 1 + 2 El ⎜ mk 2 ⎝ Dengan mengganti kembali u =

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ . ⎟ ⎟ ⎠

(2.51)

1 , persamaan (2.51) menjadi r

⎞ 1 mk ⎛⎜ 2 El 2 = 2 1+ 1+ . cos θ ⎟ , 2 ⎟ r l ⎜⎝ mk ⎠

(2.52)

atau

l2 m.k r= . 2 El 2 1+ 1+ . cos θ mk 2

(2.53)

Mengingat persamaan (2.39), eksentrisitas untuk persamaan (2.53) adalah e = 1+

2 El 2 . mk 2

(2.54)

Jika lintasan (orbit) planet berbentuk lingkaran, maka e = 0 , sehingga 1+ atau

2 El 2 =0, mk 2

(2.55)


17

E=−

k . 2r0

(2.56)

Dengan memasukkan persamaan (2.31) ke persamaan (2.56) diperoleh 1 E= V. 2

(2.57)

Jadi energi total ( E ) setengah dari nilai energi potensial ( V ) untuk planet yang mengorbit dengan lintasan berbentuk lingkaran. Dari nilai eksentrisitas persamaan (2.37) dan (2.54) diperoleh m 2 k 2 2 Em + 2 , l4 l sehingga nilai eksentrisitas seperti pada persamaan (2.54) A=

e = 1+

(2.58)

2 El 2 . mk 2

Untuk lintasan yang berbentuk elips nilai eksentrisitas adalah

0< e <1

(Goldstein, 1950). Sebagai contoh ditinjau lintasan partikel bermassa m yang bergerak melingkar dalam medan sentral dengan gaya sentripetal sama dengan gaya gravitasi (Alonso, 1994). Energi kinetik partikel tersebut adalah T=

1 2 mv . 2

(2.59)

Dengan memasukkan persamaan (2.6) ke persamaan (2.59) diperoleh T=

1 GMm . 2 r

(2.60)

Jika persamaan (2.31) dan persamaan (2.60) dimasukkan kedalam persamaan (2.40), maka energi total ( E ) sistem lintasan planet


18

E=−

1 GMm . 2 r

(2.61)

Jika energi total berharga negatif pada persamaan (2.61) menyatakan sistem dalam lintasan tertutup, artinya planet dengan pusat sistem terikat satu sama lain (Seno dan Sihono, 2007), maka persamaan (2.54) menjadi e = 1− 2.4

2 El 2 . mk 2

(2.62)

Sistem Gerak Dua Planet

Dua planet akan saling mempengaruhi. Planet yang satu mempengaruhi planet yang lain atau sebaliknya. Sesuai dengan hukum III Newton keadaan gaya itu adalah sama besar dan berlawanan arah. Untuk sistem dua planet dengan massa m1

r r dan m2 yang masing-masing planet terletak di r1 dan r2 , dengan matahari sebagai pusat dengan massa M . Gaya dari masing-masing massa terhadap pusat yaitu massa m1 dan m2 terhadap matahari dengan massa M ditulis r d 2 r1 r m1 2 = F1 , dt

(2.63)

r r d 2 r2 m2 2 = F2 , dt

(2.64)

r Untuk gaya interaksi F yang memenuhi hukum gravitasi Newton yaitu

berbanding lurus dengan massa planet dan berbanding terbalik dengan kuadrat jaraknya, untuk masing-masing planet yang berinteraksi dengan pusat massa M mempunyai gaya sebagai berikut:

r Gm1 M F1 = − rˆ1 , r12

(2.65)


19

r Gm2 M F2 = − rˆ2 , r22

(2.66)

Jadi momentum sudut gerak relatif massa m1 mengelilingi M (pusat gaya) bernilai tetap (besar dan arahnya) (Zahara, 1997). Jika dalam suatu sistem terdapat dua planet maka diantara kedua planet itu timbul keadaan saling mempengaruhi. Pengaruh mempengaruhi ini juga bergantung pada jarak masing-masing planet dalam sistem itu. Pengaruh ini berbentuk gaya yaitu gaya internal untuk membedakan gaya dari luar. Ditinjau dua planet m1 dan m2 yang mengelilingi pusat massa M yang sama,

r r kedudukan masing-masing adalah r1 dan r2 , kedudukan m1 relatif terhadap r m2 adalah r21 , maka kita dapatkan bentuk koordinat gambar sebagai berikut:

Gambar 2.3 Interaksi sistem dua planet

r r r dengan r2 = r1 + r21 , θ 2 = θ1 + θ12 , dan r rr r21 = r22 + r12 − 2r2 r1 . cosθ 12 ,

(2.67)


20

dari gambar.2.3 dengan hukum II Newton diperoleh r d 2 r1 r r m1 2 = F1 + F12 , dt

(2.68)

r r r d 2 r2 m2 2 = F2 + F21 , dt

(2.69)

r r dengan F12 dan F21 adalah gaya ekternal sistem, tanda negatif merupakan arah antara r r F21 dengan r21 berlawanan arah maka F12 = − F21 , (Halliday dan Resnick, 1984).

2.5

Polinomial Legendre

Polinomial Legendre didefinisikan sebagai Pj ( x) =

⎫ j ( j − 1) j − 2 j ( j − 1)( j − 2)( j − 3) j − 4 (2 j − 1)(2 j − 3) ⋅ ⋅ ⋅ 1 ⎧ j x + x − ⋅ ⋅ ⋅⎬ . ⎨x − j! 2(2 j − 1) 2 ⋅ 4(2 j − 1)(2 j − 3) ⎩ ⎭ (2.70)

Polinomial Legendre sebagai fungsi generator didefinisikan sebagai: 1 1 − 2 xh + h 2

∞

= ∑ h j Pj ( x) , h < 1.

(2.71)

j =0

Fungsi diatas disebut fungsi generator untuk polinomial Legendre dan berguna untuk mendapatkan sifat-sifat dari polinomial Legendre. Perhatikan bahwa Pj (x ) adalah polinomial dengan derajat

j (Boas, 1966). Beberapa polinomial

Legendre pertama ditulis sebagai berikut: 1 (5 x 3 − 3 x) , 2

P0 ( x) = 1 ,

P3 ( x) =

P1 ( x) = x ,

1 P4 ( x) = (35 x 4 − 30 x 2 + 3) , 8


21

P2 ( x) =

1 (3 x 2 − 1) , 2

1 P5 ( x) = (63 x 5 − 70 x 3 + 15 x) . 8

(2.72) Untuk kasus diatas Pj (1) = 1, Pj (−1) = (−1) j .


BAB III METODE PENELITIAN

3.1

Jenis Penelitian Penelitaan yang dilakukan dalam penulisan sekripsi ini adalah penelitian

studi pustaka dan perhitungan secara numerik dengan paket program Maple 10 .

3.2

Sarana Penelitian Sarana penelitian ini diambil dari buku yang ada di UPT Sanata Dharma dan

internet yang berhubungan dengan hukum-hukum gerak planet didasari pada hukum Kepler , hukum Newton dan paket program Maple 10.

3.3

Langkah-Langkah Penelitian Langkah-langkah yang ditempuh dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Mengelaborasi hukum Kepler dan hukum Newton yang terkait dengan gerak planet. 2. Merumuskan bentuk lintasan sistem dua planet sebagai fungsi sudut antar planet. 3. Menggunakan paket program Maple 10 untuk menghitung r2 (jarak planet m2 ke M ). 4. Hasil yang diperoleh ditampilkan dalam betuk Tabel dan Grafik. 5. Menarik kesimpulan.

22


BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1

Sistem Dua Planet Persamaan energi dua massa planet m1 dan m2 berinteraksi:

Gambar 4.1 Dua planet berinteraksi Dengan energi kinetik dan energi potensial masing-masing planet ditulis T1 =

1 1 l12 m1r&12 + , 2 2 m1r12 k1 , r1

(4.2)

1 1 l22 m2r&22 + , 2 2 m2r22

(4.3)

V1 = −

T2 =

(4.1)

V2 = −

k2 , r2

(4.4)

V21 = −

k 21 . r21

(4.5)

Energi total sistem dua planet berinteraksi ditulis E = T1 + V1 + T2 + V 2 + V 21 .

23

(4.6)


Dengan memasukkan persamaan (4.1),(4.2),(4.3),(4.4) dan (4.5) ke persamaan (4.6), maka persamaan energi total sistem dua planet berinteraksi menjadi E=

Gm1 M Gm2 M Gm2 m1 1 1 l12 1 1 l 22 2 & m1 r&12 + + m r + − − − . (4.7) 2 2 2 2 2 2 m1 r1 2 2 m2 r2 r1 r2 r21

Jika jarak relatif antara m1 dengan m2 dari persamaan (2.67) dimasukkan ke persamaan (4.7), maka diperoleh E=

Gm1 M Gm2 M 1 1 l12 1 1 l 22 2 & m1 r&12 + + m r + − − 2 2 2 2 2 2 m1 r1 2 2 m2 r2 r1 r2

−

Gm1 m2 r + r − 2r1 r2 . cos θ12 2 1

2 2

.

(4.8)

Dengan mengeluarkan r2 pada energi potensial relatif antara m1 dengan m2 maka diperoleh Gm1 M Gm2 M 1 1 l12 1 1 l 22 2 2 E = m1 r&1 + + m2 r&2 + − − 2 2 2 2 m1 r1 2 2 m2 r2 r1 r2

Gm1 m 2

− ⎛r r2 ⎜⎜ 1 ⎝ r2

Jika dimisalkan

2

.

(4.9)

⎞ 2r ⎟⎟ + 1 − 1 . cos θ 12 r2 ⎠

r1 = h , maka persamaan (4.9) menjadi r2

Gm1 M Gm2 M 1 1 l12 1 1 l 22 2 2 E = m1 r&1 + + m2 r&2 + − − 2 2 2 2 m1 r1 2 2 m2 r2 r1 r2

−

[

Gm1 m2 2 h + 1 − 2h. cos θ12 r2

]

−1

2

.

(4.10)


Diperoleh energi potensial relatif dari interaksi massa m1 dan m2 dalam bentuk polinomial Legendre Gm1 M Gm2 M 1 1 l12 1 1 l 22 2 2 E = m1 r&1 + + m2 r&2 + − − 2 2 2 2 m1 r1 2 2 m2 r2 r1 r2

−

⎤ Gm1 m2 ⎡ n j ⎢∑ h Pj (cos θ12 )⎥ . r2 ⎣ j =0 ⎦

(4.11)

Dari memisalkan rasio jarak antara massa m1 dan m2 terhadap pusat massa M diperoleh

r1 = hr2 ,

(4.12)

r&1 = hr&2 ,

(4.13)

sehingga

Jika persamaan (4.12) dan persamaan (4.13) dimasukkan ke persamaan (4.11), maka diperoleh bentuk kekekalan energi Gm1 M Gm2 M 1 1 l12 1 1 l 22 2 2 2 & & E = m1 h r2 + + m2 r2 + − − 2 2 2 2 2 m1 h r2 2 2 m2 r2 hr2 r2

−

⎤ Gm1 m2 ⎡ n j ⎢∑ h Pj (cos θ12 )⎥ . r2 ⎣ j =0 ⎦

(4.14)

Dari persamaan (4.14) diperoleh persamaan energi untuk massa m2 dan kita dapat mencari kecepatan dari planet untuk massa m2


r&22 =

⎧⎪ ⎡ 1 l12 1 l22 ⎤ 1 ⎡ GMm1 + + GMm2 ⎨E − ⎢ ⎥ + 1 ⎤ ⎪⎩ ⎡1 2 m1h 2 2 m2 ⎦ r22 ⎢⎣ h 2 ⎣ ⎢ 2 m1h + 2 m2 ⎥ ⎣ ⎦ 1

⎡ n ⎤ ⎤ 1 ⎫⎪ + Gm1m2 ⎢∑ h j Pj (cosθ12 )⎥ ⎥ ⎬ . ⎣ j =0 ⎦ ⎥⎦ r2 ⎪⎭

(4.15)

Diperoleh kecepatan planet dengan massa m2 dari persamaan energi yaitu interaksi antara dua planet dengan persamaan sebagai berikut: r&2 =

1 1 ⎤ ⎡1 2 ⎢ 2 m1h + 2 m2 ⎥ ⎦ ⎣

1

2

⎧⎪ ⎡ 1 l12 1 l22 ⎤ 1 ⎡ GMm1 + + GMm2 ⎨E − ⎢ ⎥ + 2 2 m2 ⎦ r22 ⎢⎣ h ⎪⎩ ⎣ 2 m1h

1

2 ⎡n j ⎤ ⎤ 1 ⎫⎪ + Gm1m2 ⎢∑ h Pj (cosθ12 )⎥ ⎥ ⎬ . ⎣ j =0 ⎦ ⎥⎦ r2 ⎪⎭

(4.16)

⎡ GMm1 ⎡ n ⎤⎤ Dengan memisalkan p = E , q = ⎢ + GMm2 + Gm1m2 ⎢∑ h j Pj (cos θ12 )⎥ ⎥ , ⎣ j =0 ⎦ ⎦⎥ ⎣⎢ h 1

⎡ 1 l12 1 ⎤ 2 1 l22 ⎤ ⎡1 2 s=⎢ z = m h + m2 ⎥ , maka bentuk sederhana persamaan + , dan 1 ⎥ 2 ⎢2 2 2 m h 2 m ⎣ ⎦ 1 2⎦ ⎣ (4.16) menjadi

dr 2 1⎧ 1 1 ⎫ = ⎨p + q −s 2⎬ dt z⎩ r2 r2 ⎭

1

2

.

(4.17)

Dari persamaan (4.17) bentuk integral dari waktu t (r ) menjadi t = z.∫

rmak

rmin

r2 dr2 pr + qr2 − s 2 2

.

(4.18)


27

Dengan menggunakan Lampiran B (B.1) dan (B.2), bentuk penyelesaian persamaan (4.18) adalah

[

]

mak ⎧⎪ pr 2 + qr − s q 1 ⎫⎪ 2 1 2 t = z⎨ . log 2 pr2 + q + 2 p . pr2 + qr2 − s ⎬ .(4.19) − p 2p p ⎪⎭ r ⎪⎩ min

r

Persamaan kecepatan sudut dari momentum untuk planet dengan massa m2 ditulis

dθ 2 =

Dengan mengganti dt =

l 2 dt . m 2 r22

(4.20)

dr2 , persamaan (4.20) menjadi r&2 dθ 2 =

l 2 dr2 . m 2 r22 r&2

(4.21)

Persamaan (4.16) dimasukkan ke persamaan (4.21) diperoleh ⎡ 1 ⎢ 1 ⎤ 2⎢ ⎡1 2 dθ 2 = ⎢ m1 h + m2 ⎥ .⎢ 2 2 ⎦ ⎣2 ⎢ r2 m2 ⎢ l2 ⎣

dr2 ⎧⎪ ⎡1 l 1 l 22 ⎤ 1 ⎡ GMm1 + + GMm2 ⎨E − ⎢ ⎥ + 2 2 m 2 ⎦ r22 ⎢⎣ h ⎪⎩ ⎣ 2 m1 h 2 1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥. 1 ⎥ 2 ⎡n j ⎤ ⎤ 1 ⎫⎪ ⎥ + Gm1 m2 ⎢∑ h Pj (cos θ12 )⎥ ⎥ ⎬ ⎥ ⎣ j =0 ⎦ ⎦⎥ r2 ⎭⎪ ⎦

(4.22)


28

Dengan memisalkan u2 =

1 , r2

(4.23.a)

maka 1 dr2 , r22

(4.23.b)

dr2 = −r22 du 2 .

(4.23.c)

du 2 = −

Jika persamaan (4.23.c) dimasukkan ke persamaan (4.22), maka diperoleh ⎡ ⎢ 1 ⎤ 2⎢ − du2 ⎡1 2 dθ2 = ⎢ m1h + m2 ⎥ .⎢ 2 2 2 2 ⎦ ⎧⎪ m2 E m2 ⎡ 1 l1 ⎣2 1 l22 ⎤ 1 m22 ⎡ GMm1 ⎢⎨ + GMm2 − 2 ⎢ + ⎥ + ⎢⎣ ⎪⎩ l22 l2 ⎣ 2 m1h2 2 m2 ⎦ r22 l22 ⎢⎣ h 1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥. 1 ⎥ 2 ⎡n j ⎤ ⎤ 1 ⎫⎪ ⎥ + Gm1 m2 ⎢∑ h Pj (cos θ12 )⎥ ⎥ ⎬ ⎥ ⎣ j =0 ⎦ ⎦⎥ r2 ⎭⎪ ⎦

(4.24)

Jika persamaan (4.23.a) dimasukkan ke dalam persamaan (4.24) kemudian diintegralkan, maka diperoleh


29

⎡ 1 ⎢ 1 ⎤ 2⎢ ⎡1 2 θ 2 = − ⎢ m1 h + m 2 ⎥ .⎢ ∫ 2 2 2 ⎦ ⎣2 ⎢ ⎧⎪ m 2 E − m 2 ⎢ ⎨⎪ l 22 l 22 ⎣ ⎩

du 2 ⎡1 l 1 l 22 ⎤ 2 m 22 G ⎡ Mm1 + Mm2 + ⎥u 2 + 2 ⎢ ⎢ 2 2 m2 ⎦ l2 ⎣ h ⎣ 2 m1 h 2 1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥. 1 2 ⎥ n ⎡ ⎤ ⎤ ⎫⎪ + m1 m2 ⎢∑ h j Pj (cosθ12 )⎥ ⎥u 2 ⎬ ⎥ ⎥ ⎣ j =0 ⎦ ⎦⎥ ⎪⎭ ⎦

(4.25)

Dengan memisalkan

A=−

⎡ n j ⎤⎤ m22 ⎡ 1 l12 1 l22 ⎤ m 22 G ⎡ Mm1 + , = + + Mm m m h P (cos θ ) B ⎢ ⎢ ⎥⎥ , ∑ 2 1 2 j 12 ⎢ ⎥ l22 ⎣ 2 m1h 2 2 m2 ⎦ l 22 ⎢⎣ h j = 0 ⎣ ⎦ ⎥⎦

dan C =

m22 E . Maka bentuk sederhana persamaan (4.25) menjadi l 22

1 ⎤ ⎡1 θ2 = −⎢ m1h2 + m2 ⎥ 2 ⎦ ⎣2

1 2

⎧ ⎫⎪ du2 ⎪ ⎨∫ ⎬. 2 Au Bu C + + ⎪⎭ ⎪⎩ 2 2

(4.26)

Jika digunakan Lampiran B (B.3), maka penyelesaian untuk persamaan (4.26) adalah

1 ⎤ ⎡1 θ2 = −⎢ m1h2 + m2 ⎥ 2 ⎦ ⎣2

1 2

⎧⎪ −1 ⎫ 2Ax + B + γ ⎬, sin−1 ⎨ ⎪⎩ − A B2 − 4AC ⎭

(4.27)


30

⎧ ⎡ ⎡ 1 m 22 l12 1 ⎤ ⎪ m2 ⎥.u 2 − 2.⎢ + ⎢ 1 2 m1l 22 h 2 2 ⎦ 1 ⎤ 2 ⎪⎪ −1 ⎡1 ⎣ 2 −1 ⎢ . sin θ 2 = − ⎢ m1 h + m 2 ⎥ ⎨ 1 ⎢ ⎧ G 2 m 4 ⎡ Mm 2 ⎦ ⎪ ⎡ 1 m 2l 2 2 ⎣2 1 ⎤ 1 ⎢ ⎨ 4 2 ⎢ 2 1 + Mm2 + m2 ⎥ ⎪⎢ 2 2 h l ⎢ 2 ⎦ ⎣ ⎩ 2 ⎣ ⎪⎩ ⎣ 2 m1l 2 h

⎤⎫ ⎥⎪ ⎥ ⎪⎪ +γ , 1 ⎥⎬ 2 2⎥ 2 ⎪ ⎫ ⎡n j ⎤⎤ ⎤ ⎡ 1 m22l12 1 m E⎪ + m1m2 ⎢∑ h Pj (cosθ12 )⎥ ⎥ + 4.⎢ + m2 ⎥ 22 ⎬ ⎥ ⎪ 2 2 2 ⎦ l2 ⎪⎭ ⎦⎥ ⎪ ⎣ 2 m1l2 h ⎣ j =0 ⎦ ⎦⎥ ⎭ ⎤⎤ ⎡n Gm 2 ⎡ Mm1 + 22 ⎢ + Mm2 + m1m2 ⎢∑ h j Pj (cosθ12 )⎥ ⎥ l2 ⎣⎢ h ⎦ ⎦⎥ ⎣ j =0

(4.28)

⎧ ⎡ ⎡ 1 m 22 l12 1 ⎤ ⎪ − 2.⎢ + m2 ⎥.u 2 ⎢ 1 2 2 2 ⎦ 1 ⎤ 2 ⎪⎪ 1 ⎡1 ⎣ 2 m1l 2 h . sin −1 ⎢ θ 2 = ⎢ m1 h 2 + m 2 ⎥ ⎨ 1 ⎢ ⎧ G 2 m 4 ⎡ Mm 2 ⎦ ⎪ ⎡ 1 m 2l 2 ⎣2 1 1 ⎤ 2 ⎢ ⎨ 4 2 ⎢ 2 1 + Mm2 + m2 ⎥ ⎪⎢ 2 2 h l 2 ⎦ ⎣⎢ ⎩ 2 ⎣ ⎪⎩ ⎣ 2 m1l 2 h

⎤⎫ ⎥⎪ ⎥ ⎪⎪ +γ , 1 ⎥⎬ 2 2⎥ ⎪ ⎫ ⎤ ⎤ 2m22 E ⎡ m22l12 ⎡n j ⎤⎪ + m1m2 ⎢∑ h Pj (cosθ12 )⎥ ⎥ + 2 .⎢ 2 2 + m2 ⎥ ⎬ ⎥ ⎪ l2 ⎣ m1l2 h ⎦ ⎪⎭ ⎦⎥ ⎪⎭ ⎦ ⎦⎥ ⎣ j =0 ⎡n ⎤⎤ Gm 2 ⎡ Mm1 + 22 ⎢ + Mm2 + m1m2 ⎢∑ h j Pj (cosθ12 )⎥ ⎥ l2 ⎢⎣ h ⎣ j =0 ⎦ ⎥⎦

1

1 ⎤ ⎡1 2 ⎢⎣ 2 m1 h + 2 m 2 ⎥⎦ θ2 = 1 ⎡ 1 m22 l12 1 ⎤ 2 + m2 ⎥ ⎢ 2 2 2 ⎦ ⎣ 2 m1l 2 h 2

(4.29)

⎡ ⎢ ⎡ 1 m 22 l12 Gm22 ⎡ Mm1 1 ⎤ + m2 ⎥.u 2 + 2 ⎢ + Mm2 ⎢ − 2.⎢ 2 m1l 22 h 2 2 ⎦ l2 ⎣ h ⎣ −1 ⎢ . sin ⎢⎧ 2 4 ⎡ 2 ⎡n j ⎤⎤ ⎢ ⎪ G m 2 ⎢ Mm1 ⎢ ⎨ l 4 ⎢ h + Mm2 + m1 m 2 ⎢∑ h Pj (cos θ 12 )⎥ ⎥ ⎣ j =0 ⎦ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎪⎩ 2 ⎣

⎤⎤ ⎤ ⎡ n + m1m2 ⎢∑ h j Pj (cosθ12 )⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎥⎦ ⎥ ⎣ j =0 +γ , 1 ⎥ 2⎥ 2 2 2 ⎫ ⎤⎪ 2m E ⎡ m l + 22 .⎢ 22 1 2 + m2 ⎥ ⎬ ⎥ l2 ⎣ m1l2 h ⎦ ⎪⎭ ⎦⎥

(4.30)


31

1 ⎡ ⎡ 1 m22 l12 Gm22 ⎡ Mm1 1 ⎤ 1 ⎤ 2 ⎡1 2 + m2 ⎥.u 2 − 2 ⎢ + Mm2 ⎢ 2.⎢ ⎢⎣ 2 m1 h + 2 m2 ⎥⎦ 2 m1l 22 h 2 2 ⎦ l2 ⎣ h −1 ⎢ ⎣ −θ2 = . sin 1 ⎢ 2 2 2 ⎧ G 2 m24 ⎡ Mm1 ⎡ 1 m2 l1 1 ⎤ ⎢ + Mm2 ⎨ 4 ⎢ + m2 ⎥ ⎢ 2 2 l2 ⎣ h ⎢⎣ ⎩ 2 2 m l h 1 2 ⎣ ⎦

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ −γ , 1 2 2⎥ 2 2 2 n ⎤ ⎤ 2m E ⎡ m l ⎡ ⎤ ⎫⎪ + m1m2 ⎢∑ h j Pj (cosθ12 )⎥ ⎥ + 22 .⎢ 22 1 2 + m2 ⎥ ⎬ ⎥ l2 ⎣ m1l2 h ⎦ ⎪⎭ ⎥⎦ ⎦ ⎥⎦ ⎣ j =0 ⎤⎤ ⎡n + m1m2 ⎢∑ h j Pj (cosθ12 )⎥ ⎥ ⎦ ⎥⎦ ⎣ j =0

(4.31)

1 ⎡ ⎡ 1 m22l12 Gm22 ⎡ Mm1 1 ⎤ 1 ⎤ 2 ⎡1 2 m u + − 2 . . + m h m ⎢ ⎢ 2⎥ 2 2 2 2 ⎢2 1 l22 ⎢⎣ h 2 ⎦ 2 ⎥⎦ −1 ⎢ ⎣ 2 m1l2 h . sin γ − θ2 = ⎣ 1 ⎢ ⎧ G 2 m24 ⎡ Mm1 ⎡ 1 m22l12 1 ⎤ 2 + Mm2 ⎢ ⎨ 4 ⎢ + m2 ⎥ ⎢ 2 2 l2 ⎣ h ⎢ ⎩ ⎣ m l h 2 2 1 2 ⎦ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥. 1 2 ⎥ 2 2 2 ⎤ ⎫⎪ 2m E ⎡ m l + 22 .⎢ 22 1 2 + m2 ⎥ ⎬ ⎥ l 2 ⎣ m1l 2 h ⎦ ⎪⎭ ⎥⎦

⎤⎤ ⎡n + Mm2 + m1 m2 ⎢∑ h j Pj (cosθ12 )⎥ ⎥ ⎦ ⎥⎦ ⎣ j =0 ⎤⎤ ⎡ + m1 m2 ⎢∑ h j Pj (cosθ12 )⎥ ⎥ ⎦ ⎥⎦ ⎣ j =0 n

2

(4.32)

dengan γ adalah tetapan integral (konstanta). Dengan memisalkan ⎡1

1

⎤

α = ⎢ m1 h 2 + m 2 ⎥ , 2 ⎦ ⎣2 ⎡ 1 m22 l12 1 ⎤ + m2 ⎥ , 2 2 2 ⎦ ⎣ 2 m1l 2 h

β =⎢

(4.33)

(4.34)


32

maka persamaan (4.32) menjadi

2β

sin(γ − θ 2 ) =

α . β

⎡ n j ⎤⎤ Gm22 ⎡ Mm1 + + Mm m m 2 1 2 ⎢∑ h Pj (cosθ12 ) ⎥ ⎥ 2 ⎢ l2 ⎣ h ⎣ j =0 ⎦ ⎥⎦

.u2 − 1

β 4l 2 E 1 + 22 2 . 2 G m2 ⎡ Mm ⎡n j ⎤⎤ 1 ⎢ + Mm2 + m1m2 ⎢∑ h Pj (cosθ12 )⎥ ⎥ ⎢ h ⎣ j =0 ⎦ ⎥⎦ ⎣

.

(4.35) Jika digunakan rumus pada Lampiran B (B.4), maka persamaan (4.35) menjadi 2.β

cos θ 2 =

Jika u 2 =

α ⋅ β

Gm22 l 22

⎡ Mm1 ⎡n ⎤⎤ + Mm2 + m1 m2 ⎢∑ h j Pj (cos θ12 )⎥ ⎥ ⎢ ⎣ j =0 ⎦ ⎦⎥ ⎣⎢ h

⋅ u2 − 1

4l 22 E β 1+ 2 2 2 G m2 ⎡ Mm ⎡ n j ⎤⎤ 1 ⎢ + Mm2 + m1 m2 ⎢∑ h Pj (cos θ12 )⎥ ⎥ ⎢ h ⎣ j =0 ⎦ ⎦⎥ ⎣

.

(4.36)

1 , maka persamaan (4.36) menjadi r2

r2 = 1+

2l22 β Gm22 ⎡ Mm1 ⎤⎤ ⎡n + Mm2 + m1m2 ⎢∑ h j Pj (cosθ12 )⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎣ h ⎦ ⎦⎥ ⎣ j =0 . 2 β 4l2 Eβ ⋅ β α G 2 m22 + ⋅ cosθ 2 2 α ⎡ Mm n ⎤ ⎤ ⎡ 1 ⎢ + Mm2 + m1m2 ⎢∑ h j Pj (cosθ12 )⎥ ⎥ ⎢ h ⎦ ⎦⎥ ⎣ j =0 ⎣

(4.37)


33

Dengan memisalkan N =

Mm1 2β .l 22 β 4l22 Eβ β + Mm2 , dan ,K = , = ⋅ 2 2 , W= L 2 h α α G m2 Gm2

X = m1m2 , diperoleh K

r2 = 1+

⎤ ⎡n W + X ⎢∑ h j Pj (cosθ12 )⎥ ⎦ ⎣ j =0 , L N+ ⋅ cos θ 2 2 ⎡ n ⎤ ⎤ ⎡ ⎢W + X ⎢∑ h j Pj (cos θ12 )⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎦⎥ ⎣ j =0 ⎣ K 1+

r2 = 1+

Dengan memisalkan R =

N+

(4.38)

W

⎤ X ⎡ j ⎢∑ h Pj (cos θ 12 )⎥ W ⎣ j =0 ⎦ L 2 W n

2 ⎡ X ⎡ n ⎤⎤ j ⎢1+ ⎢∑ h Pj (cos θ12 )⎥ ⎥ ⎢ W ⎣ j =0 ⎦ ⎥⎦ ⎣

.

(4.39)

⋅ cos θ 2

L K X , Y = 2 , dan H = sehingga W W W

R

r2 = 1+

⎡ n ⎤ 1 + H ⎢∑ h j Pj (cos θ 12 )⎥ ⎣ j =0 ⎦ , Y ⋅ cos θ 2 N + 2 ⎡ n ⎤ ⎡ ⎤ ⎢1+ H ⎢∑ h j Pj (cos θ 12 )⎥ ⎥ ⎢ ⎣ j =0 ⎦ ⎦⎥ ⎣

(4.40)


34

dengan eksentrisitas e=

N+

Y

.

n

[1 + H [∑ h Pj (cos θ12 )]] j

(4.41)

2

j =0

Mengacu pada persamaan (2.62) untuk bentuk lintasan planet berbentuk elips pada orbit tertutup dimana energi total sistem ( E < 0 ). Maka eksentrisitas diperoleh

e=

N−

Y

.

n

[1 + H [∑ h Pj (cos θ12 )]] j

(4.42)

2

j =0

Jadi dengan mengganti nilai eksentrisitas sesuai dengan persamaan (4.42), maka persamaan (4.40) menjadi R r2 = 1+

4.2

⎡ n ⎤ 1 + H ⎢∑ h j Pj (cosθ12 )⎥ ⎣ j =0 ⎦ Y ⋅ cosθ 2 N− 2 ⎡ n ⎤ ⎡ ⎤ ⎢1+ H ⎢∑ h j Pj (cosθ12 )⎥ ⎥ ⎢ ⎣ j =0 ⎦ ⎦⎥ ⎣

.

(4.43)

Bentuk Lintasan Planet

Dari persamaan (4.43) dan rasio jarak mengacu pada persamaan (4.12), maka jika dihitung r2 dan r1 dengan memberi nilai pada konstanta untuk berbagai sudut

θ12 diperoleh hasil pada Lampiran A (Tabel A). Jika Table A digambar grafiknya maka diperoleh hasil:


35

Gambar 4.2


Gambar 4.3



36

Gambar 4.4


Gambar 4.5



37

Gambar 4.6


Gambar 4.7



38

Gambar 4.8


Gambar 4.9



39




40




41


4.3

Pembahasan

Berdasarkan rumus (4.43) dan (4.12) dengan menghitung secara numerik memakai paket program Maple 10 sesuai dengan sintaks program pada Lampiran C diperoleh nilai r2 pada Lampiran A ( Tabel A) dan Grafik pada gambar 4.2 sampai gambar 4.14 yang menunjukkan perubahan bentuk lintasan untuk dua planet yang berinteraksi untuk berbagai sudut θ12 dengan interval 300 . Pada gambar 4.2 dan gambar 4.14 sesuai Tabel A mempunyai bentuk grafik lintasan planet yang sama dengan nilai sudut θ12 = 00 dan sudut θ12 = 3600 , nilai jarak kedua planet yaitu r2 dan r1 mengalami kenaikan untuk sudut θ 2 dari 00 sampai 180 0 dan mengalami penurunan untuk sudut θ 2 dari 180 0 sampai 3600 .


42

Pada gambar 4.3 dan gambar 4.13 sesuai Tabel A mempunyai bentuk grafik lintasan planet yang sama dengan nilai sudut θ12 = 300 dan sudut θ12 = 3300 , nilai jarak kedua planet yaitu r2 dan r1 mengalami kenaikan untuk sudut θ 2 dari 00 sampai 180 0 dan mengalami penurunan untuk sudut θ 2 dari 180 0 sampai 3600 . Pada gambar 4.4 dan gambar 4.12 sesuai Tabel A mempunyai bentuk grafik lintasan planet yang sama dengan nilai sudut θ12 = 600 dan θ12 = 3000 , nilai jarak kedua planet yaitu r2 dan r1 mengalami kenaikan untuk sudut θ2 dari 00 sampai 180 0 dan mengalami penurunan untuk sudut θ 2 dari 180 0 sampai 3600 .

Pada gambar 4.5 dan gambar 4.11 sesuai Tabel A mempunyai bentuk grafik lintasan planet yang sama dengan nilai sudut θ12 = 900 dan sudut θ12 = 2700 , nilai jarak kedua planet yaitu r2 dan r1 mengalami kenaikan untuk sudut θ 2 dari 00 sampai 180 0 dan mengalami penurunan untuk sudut θ 2 dari 180 0 sampai 3600 . Pada gambar 4.6 dan gambar 4.10 sesuai Tabel A mempunyai bentuk grafik lintasan planet yang sama dengan nilai sudut θ12 = 1200 dan sudut θ12 = 2400 , nilai jarak kedua planet yaitu r2 dan r1 mengalami kenaikan untuk sudut θ 2 dari 00 sampai 180 0 dan mengalami penurunan untuk sudut θ 2 dari 180 0 sampai 3600 . Pada gambar 4.7 dan gambar 4.9 sesuai Tabel A mempunyai bentuk grafik lintasan planet yang sama dengan nilai sudut θ12 = 1500 dan sudut θ12 = 2100 , nilai jarak kedua planet yaitu r2 dan r1 mengalami kenaikan untuk sudut θ 2 dari 00 sampai 180 0 dan mengalami penurunan untuk sudut θ 2 dari 180 0 sampai 3600 .


43

Pada gambar 4.8 sesuai Tabel A dengan nilai sudut θ12 = 1800 , nilai jarak kedua planet yaitu r2 dan r1 mengalami kenaikan untuk sudut θ2 dari 00 sampai 180 0 dan mengalami penurunan untuk sudut θ 2 dari 180 0 sampai 3600 .

Pada gambar 4.2, gambar 4.3, gambar 4.4, gambar 4.5, gambar 4.6, gambar 4.7

dan

gambar

4.8,

sesuai

Tabel

A,

dengan

nilai

θ12 = 00 ,300 ,600 ,900 ,1200 ,1500 , 180 0 . Nilai jarak kedua planet yaitu

sudut

r2 dan

r1 mengalami kenaikan untuk sudut θ 2 dari 00 sampai 130 0 dan mengalami penurunan untuk sudut θ 2 dari 1350 sampai 2250 serta mengalami kenaikan kembali untuk sudut θ2 dari 230 0 sampai 3600 . Pada gambar 4.9, gambar 4.10, gambar 4.11, gambar 4.12, gambar 4.13 dan gambar

4.14,

sesuai

Tabel

A,

dengan

nilai

θ12 = 2100 ,2400 ,2700 ,3000 ,3300 ,3600 . Nilai jarak kedua planet yaitu

sudut

r2 dan

r1 mengalami penurunan untuk sudut θ 2 dari 00 sampai 130 0 dan mengalami penurunan untuk sudut θ 2 dari 1350 sampai 230 0 serta mengalami kenaikan kembali untuk sudut θ2 dari 2350 sampai 3600 . Pada Lampiran A (Tabel B) diperoleh eksentrisitas dengan lintasan tertutup. Perubahan sudut ( θ12 ) mempengaruhi nilai eksentrisitas yang akan menyebabkan perubahan pada nilai jarak planet r2 dan r1 dengan pusat massa M .


BAB V PENUTUP

5.1

Kesimpulan Kesimpulan yang didapat dari hasil dan pembahasan pada penelitian adalah

sebagai berikut: 1. Sudut ( θ12 )yang terbentuk antar dua planet m1 dan m2 menyebabkan nilai eksentrisitas lintasan planet

berubah yaitu maksimum saat sudut

( θ12 = 00 ) dan sudut ( θ12 = 3600 ) dan minimum saat sudut ( θ12 = 1800 ). 2. Jarak planet dengan pusat massa M terjauh pada sudut ( θ12 = 00 ) saat sudut ( θ 2 = 1800 ). 3. Interaksi antar planet mempengaruhi bentuk lintasan planet.

5.2

Saran Saran yang dapat diberikan untuk menyempurnakan dan mengembangkan

tulisan ini adalah perlu dilakukan penelitian lebih lanjut bagimana pengaruh sudut ( θ 2 ) terhadap jarak planet ( r ) dengan pusat massa M terkait dengan perubahan sudut ( θ12 ).

44


DAFTAR PUSTAKA

Alonso, M. & Finn, E.J., 1994, Dasar-Dasar Fisika Universitas, Jilid 1, Edisi 2, Jakarta: Erlangga. Burington, R.S., 1948, Handbook of Mathematical Table and Formula, New York: McGraw-Hill Book Company. Goldstein, H.,1950, Classical Mechanics, New York: Addison-Wesley Publishing Company. Halliday, D., & Resnick, R., 1984, Fisika, Jilid 1, Edisi 3, Jakarta: Erlangga. Sears, W.F., Zemansky, M.W., & Young, H.D., 1987, Fisika Universitas, Jilid 1, Edisi 6, Jakarta: Erlangga. Seno, D.K., & Sihono, M.Si., 2007, Gravitasi, (Online), (http://dwiseno.fisika.ui.edu /kuliah/gravitasi.ppt, diakses 30 November 2007). Suwitra, N., 2001, Astronomi Dasar, Jurusan Fisika Institut Keguruan dan Ilmu Pendidikan Negeri Singaraja. Zahara, M., 1997, Dinamika Sistem Zarah Dan Benda Tegar, Yogyakarta: Lab Fisika Atom dan Inti Fakultas MIPA UGM.

45


LAMPIRAN A

No. θ2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

r2 (θ12) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170

TABEL A r2 (0)

4.078497889 4.08552778 4.106709465 4.142321367 4.19283564 4.258930659 4.34150927 4.441723511 4.561006921 4.701115815 4.864181381 5.052775021 5.269989917 5.519542733 5.805900318 6.134437472 6.511633281 6.945314998 7.444959862 8.022066026 8.690602905 9.467546588 10.37349329 11.43331608 12.67677228 14.13885817 15.85950301 17.88183897 20.24771642 22.98835482 26.10729432 29.55310351 33.18285764 36.72745662 39.78648761

r2 (30)

r2 (60)

4.208437347 4.215617006 4.237248423 4.273611275 4.392634147 4.392634147 4.476879959 4.579070706 4.700639946 4.843341152 5.009297949 5.201066861 5.421715149 5.674917308 5.965074261 6.29746051 6.678405247 7.115514372 7.617940941 8.196710803 8.865107716 9.639114784 10.53789332 11.58424882 12.80497352 14.23084654 15.89588533 17.83513762 20.07986057 22.64840902 25.53085987 28.66618983 31.9143537 35.03364099 37.68476523

4.376425342 4.383788355 4.405970102 4.443250971 4.496105975 4.565216547 4.651487732 4.756071355 4.880396069 5.026205481 5.195605802 5.391124884 5.615784995 5.873192085 6.167644982 6.504268322 6.889173728 7.329653592 7.834411572 8.413831682 9.080283407 9.848450568 10.73565313 11.76209773 12.95093298 14.32788652 15.92010079 17.75354968 19.84811939 22.20917263 24.81449359 27.59659831 30.42350426 33.08675546 35.31168511

46


No. θ2 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73

r2 (θ12 ) 175 180 185 190 195 200 205 210 215 220 225 230 235 240 245 250 255 260 265 270 275 280 285 290 295 300 305 310 315 320 325 330 335 340 345 350 355 360

r2 (0) 41.89060808 42.64427177 41.89060808 39.78648761 36.72745662 33.18285764 29.55310351 26.10729432 22.98835482 20.24771642 17.88183897 15.85950301 14.13885817 12.67677228 11.43331608 10.37349329 9.467546588 8.690602905 8.022066026 7.444959862 6.945314998 6.511633281 6.134437472 5.805900318 5.519542733 5.269989917 5.052775021 4.864181381 4.701115815 4.561006921 4.441723511 4.34150927 4.258930659 4.19283564 4.142321367 4.106709465 4.08552778 4.078497889

r2 (30) 39.48677608 40.12801694 39.48677608 37.68476523 35.03364099 31.9143537 28.66618983 25.53085987 22.64840902 20.07986057 17.83513762 15.89588533 14.23084654 12.80497352 11.58424882 10.53789332 9.639114784 8.865107716 8.196710803 7.617940941 7.115514372 6.678405247 6.29746051 5.965074261 5.674917308 5.421715149 5.201066861 5.009297949 4.843341152 4.700639946 4.579070706 4.476879959 4.392634147 4.325179623 4.273611275 4.237248423 4.215617006 4.208437347

r2 (60)

36.8042062 37.33150826 36.8042062 35.31168511 33.08675546 30.42350426 27.59659831 24.81449359 22.20917263 19.84811939 17.75354968 15.92010079 14.32788652 12.95093298 11.76209773 10.73565313 9.848450568 9.080283407 8.413831682 7.834411572 7.329653592 6.889173728 6.504268322 6.167644982 5.873192085 5.615784995 5.391124884 5.195605802 5.026205481 4.880396069 4.756071355 4.651487732 4.565216547 4.496105975 4.443250971 4.405970102 4.383788355 4.376425342


No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

θ2

r2 (θ12 ) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170

r2 (90) 4.479057202 4.486526364 4.509026562 4.546838125 4.600435791 4.670500228 4.757934778 4.863888005 4.989782847 5.137353516 5.308691408 5.506301789 5.733173249 5.99286246 6.289596989 6.628399481 7.015236574 7.457195618 7.962691325 8.541701687 9.206027019 9.969555343 10.84849792 11.86152509 13.02967518 14.37581736 15.92330827 17.69328821 19.69983911 21.9420854 24.39254248 26.98215577 29.58523203 32.01198151 34.02054802

r2 (120) 4.536093318 4.543619503 4.566290709 4.604387077 4.658382914 4.728958055 4.817014354 4.923697868 5.050427481 5.198931082 5.371290507 5.569996831 5.798017987 6.0588809 6.35677079 6.696650409 7.084402183 7.526995522 8.032680495 8.611205798 9.2740532 10.03466948 10.90865715 11.91385208 13.07015993 14.39893647 15.92156619 17.65672074 19.61559383 21.79432394 24.16310011 26.65258208 29.14082162 31.44781024 33.348053

r2 (150) 4.564954707 4.572509203 4.595265301 4.633502994 4.6876963 4.758524524 4.846888624 4.95393319 5.081074818 5.230037915 5.402899101 5.60214185 5.830723109 6.092154142 6.390597994 6.73098629 7.119157892 7.562021514 8.067742902 8.645953873 9.307974587 10.06702905 10.93841407 11.93954882 13.08977699 14.409709 15.91976644 17.63742864 19.57251407 21.71977035 24.04835506 26.48891857 28.92145247 31.17073415 33.01908191


No. 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73

θ2

r2 (θ12 )

175 180 185 190 195 200 205 210 215 220 225 230 235 240 245 250 255 260 265 270 275 280 285 290 295 300 305 310 315 320 325 330 335 340 345 350 355 360

r2 (90)

35.35846121 35.82933802 35.35846121 34.02054802 32.01198151 29.58523203 26.98215577 24.39254248 21.9420854 19.69983911 17.69328821 15.92330827 14.37581736 13.02967518 11.86152509 10.84849792 9.969555343 9.206027019 8.541701687 7.962691325 7.457195618 7.015236574 6.628399481 6.289596989 5.99286246 5.733173249 5.506301789 5.308691408 5.137353516 4.989782847 4.863888005 4.757934778 4.670500228 4.600435791 4.546838125 4.509026562 4.486526364 4.479057202

r2 (120)

34.60921642 35.05221077 34.60921642 33.348053 31.44781024 29.14082162 26.65258208 24.16310011 21.79432394 19.61559383 17.65672074 15.92156619 14.39893647 13.07015993 11.91385208 10.90865715 10.03466948 9.2740532 8.611205798 8.032680495 7.526995522 7.084402183 6.696650409 6.35677079 6.0588809 5.798017987 5.569996831 5.371290507 5.198931082 5.050427481 4.923697868 4.817014354 4.728958055 4.658382914 4.604387077 4.566290709 4.543619503 4.536093318

r2 (150) 34.24363447 34.67335909 34.24363447 33.01908191 31.17073415 28.92145247 26.48891857 24.04835506 21.71977035 19.57251407 17.63742864 15.91976644 14.409709 13.08977699 11.93954882 10.93841407 10.06702905 9.307974587 8.645953873 8.067742902 7.562021514 7.119157892 6.73098629 6.390597994 6.092154142 5.830723109 5.60214185 5.402899101 5.230037915 5.081074818 4.95393319 4.846888624 4.758524524 4.6876963 4.633502994 4.595265301 4.572509203 4.564954707


No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

r2 (θ12 ) θ2 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170

r2 (180) 4.573778766 4.581341845 4.604123674 4.6424042 4.696657337 4.767562219 4.856019503 4.963173312 5.090439513 5.239541394 5.412553954 5.611958265 5.840707862 6.102309124 6.400918237 6.741457178 7.129751382 7.572690868 8.078415482 8.656521191 9.318278702 10.076844 10.94742076 11.9473015 13.09565964 14.41288043 15.91909574 17.63142779 19.55928582 21.69700762 24.01345384 26.4392886 28.85510126 31.0871105 32.91996369

r2 ( 210) 4.564954707 4.572509203 4.595265301 4.633502994 4.6876963 4.758524524 4.846888624 4.95393319 5.081074818 5.230037915 5.402899101 5.60214185 5.830723109 6.092154142 6.390597994 6.73098629 7.119157892 7.562021514 8.067742902 8.645953873 9.307974587 10.06702905 10.93841407 11.93954882 13.08977699 14.409709 15.91976644 17.63742864 19.57251407 21.71977035 24.04835506 26.48891857 28.92145247 31.17073415 33.01908191

r2 ( 240)

4.536093318 4.543619503 4.566290709 4.604387077 4.658382914 4.728958055 4.817014354 4.923697868 5.050427481 5.198931082 5.371290507 5.569996831 5.798017987 6.0588809 6.35677079 6.696650409 7.084402183 7.526995522 8.032680495 8.611205798 9.2740532 10.03466948 10.90865715 11.91385208 13.07015993 14.39893647 15.92156619 17.65672074 19.61559383 21.79432394 24.16310011 26.65258208 29.14082162 31.44781024 33.348053


No. 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73

θ2

r2 (θ12 )

175 180 185 190 195 200 205 210 215 220 225 230 235 240 245 250 255 260 265 270 275 280 285 290 295 300 305 310 315 320 325 330 335 340 345 350 355 360

r2 (180)

34.13360513 34.55937887 34.13360513 32.91996369 31.0871105 28.85510126 26.4392886 24.01345384 21.69700762 19.55928582 17.63142779 15.91909574 14.41288043 13.09565964 11.9473015 10.94742076 10.076844 9.318278702 8.656521191 8.078415482 7.572690868 7.129751382 6.741457178 6.400918237 6.102309124 5.840707862 5.611958265 5.412553954 5.239541394 5.090439513 4.963173312 4.856019503 4.767562219 4.696657337 4.6424042 4.604123674 4.581341845 4.573778766

r2 ( 210)

34.24363447 34.67335909 34.24363447 33.01908191 31.17073415 28.92145247 26.48891857 24.04835506 21.71977035 19.57251407 17.63742864 15.91976644 14.409709 13.08977699 11.93954882 10.93841407 10.06702905 9.307974587 8.645953873 8.067742902 7.562021514 7.119157892 6.73098629 6.390597994 6.092154142 5.830723109 5.60214185 5.402899101 5.230037915 5.081074818 4.95393319 4.846888624 4.758524524 4.6876963 4.633502994 4.595265301 4.572509203 4.564954707

r2 ( 240)

34.60921642 35.05221077 34.60921642 33.348053 31.44781024 29.14082162 26.65258208 24.16310011 21.79432394 19.61559383 17.65672074 15.92156619 14.39893647 13.07015993 11.91385208 10.90865715 10.03466948 9.2740532 8.611205798 8.032680495 7.526995522 7.084402183 6.696650409 6.35677079 6.0588809 5.798017987 5.569996831 5.371290507 5.198931082 5.050427481 4.923697868 4.817014354 4.728958055 4.658382914 4.604387077 4.566290709 4.543619503 4.536093318


No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

θ2

r2 (θ12 )

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170

r2 ( 270)

4.479057202 4.486526364 4.509026562 4.546838125 4.600435791 4.670500228 4.757934778 4.863888005 4.989782847 5.137353516 5.308691408 5.506301789 5.733173249 5.99286246 6.289596989 6.628399481 7.015236574 7.457195618 7.962691325 8.541701687 9.206027019 9.969555343 10.84849792 11.86152509 13.02967518 14.37581736 15.92330827 17.69328821 19.69983911 21.9420854 24.39254248 26.98215577 29.58523203 32.01198151 34.02054802

r2 (300)

r2 (330)

4.376425342 4.383788355 4.405970102 4.443250971 4.496105975 4.565216547 4.651487732 4.756071355 4.880396069 5.026205481 5.195605802 5.391124884 5.615784995 5.873192085 6.167644982 6.504268322 6.889173728 7.329653592 7.834411572 8.413831682 9.080283407 9.848450568 10.73565313 11.76209773 12.95093298 14.32788652 15.92010079 17.75354968 19.84811939 22.20917263 24.81449359 27.59659831 30.42350426 33.08675546 35.31168511

4.208437347 4.215617006 4.237248423 4.273611275 4.325179623 4.392634147 4.476879959 4.579070706 4.700639946 4.843341152 5.009297949 5.201066861 5.421715149 5.674917308 5.965074261 6.29746051 6.678405247 7.115514372 7.617940941 8.196710803 8.865107716 9.639114784 10.53789332 11.58424882 12.80497352 14.23084654 15.89588533 17.83513762 20.07986057 22.64840902 25.53085987 28.66618983 31.9143537 35.03364099 37.68476523

r2 (360)

4.078497889 4.08552778 4.106709465 4.142321367 4.19283564 4.258930659 4.34150927 4.441723511 4.561006921 4.701115815 4.864181381 5.052775021 5.269989917 5.519542733 5.805900318 6.134437472 6.511633281 6.945314998 7.444959862 8.022066026 8.690602905 9.467546588 10.37349329 11.43331608 12.67677228 14.13885817 15.85950301 17.88183897 20.24771642 22.98835482 26.10729432 29.55310351 33.18285764 36.72745662 39.78648761


No. 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73

θ2

r2 (θ12 )

175 180 185 190 195 200 205 210 215 220 225 230 235 240 245 250 255 260 265 270 275 280 285 290 295 300 305 310 315 320 325 330 335 340 345 350 355 360

r2 ( 270)

r2 (300)

r2 (330)

35.35846121 35.82933802 35.35846121 34.02054802 32.01198151 29.58523203 26.98215577 24.39254248 21.9420854 19.69983911 17.69328821 15.92330827 14.37581736 13.02967518 11.86152509 10.84849792 9.969555343 9.206027019 8.541701687 7.962691325 7.457195618 7.015236574 6.628399481 6.289596989 5.99286246 5.733173249 5.506301789 5.308691408 5.137353516 4.989782847 4.863888005 4.757934778 4.670500228 4.600435791 4.546838125 4.509026562 4.486526364 4.479057202

36.8042062 37.33150826 36.8042062 35.31168511 33.08675546 30.42350426 27.59659831 24.81449359 22.20917263 19.84811939 17.75354968 15.92010079 14.32788652 12.95093298 11.76209773 10.73565313 9.848450568 9.080283407 8.413831682 7.834411572 7.329653592 6.889173728 6.504268322 6.167644982 5.873192085 5.615784995 5.391124884 5.195605802 5.026205481 4.880396069 4.756071355 4.651487732 4.565216547 4.496105975 4.443250971 4.405970102 4.383788355 4.376425342

39.48677608 40.12801694 39.48677608 37.68476523 35.03364099 31.9143537 28.66618983 25.53085987 22.64840902 20.07986057 17.83513762 15.89588533 14.23084654 12.80497352 11.58424882 10.53789332 9.639114784 8.865107716 8.196710803 7.617940941 7.115514372 6.678405247 6.29746051 5.965074261 5.674917308 5.421715149 5.201066861 5.009297949 4.843341152 4.700639946 4.579070706 4.476879959 4.392634147 4.325179623 4.273611275 4.237248423 4.215617006 4.208437347

r2 (360) 41.89060808 42.64427177 41.89060808 39.78648761 36.72745662 33.18285764 29.55310351 26.10729432 22.98835482 20.24771642 17.88183897 15.85950301 14.13885817 12.67677228 11.43331608 10.37349329 9.467546588 8.690602905 8.022066026 7.444959862 6.945314998 6.511633281 6.134437472 5.805900318 5.519542733 5.269989917 5.052775021 4.864181381 4.701115815 4.561006921 4.441723511 4.34150927 4.258930659 4.19283564 4.142321367 4.106709465 4.08552778 4.078497889


Tabel B No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

θ12 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

e 0.825417118 0.810159048 0.790139431 0.777760579 0.770836694 0.767321566 0.766245351 0.767321566 0.770836694 0.777760579 0.790139431 0.810159048 0.825417118


Lampiran B

Beberapa bentuk integral yang digunakan dalam perhitungan untuk skripsi ini (Burington, 1948). Lampiran B.1

∫

Lampiran B.2

∫

x.dx ax 2 + bx + c

dx ax + bx + c 2

=

=

ax 2 + bx + c b dx − . ∫ 2 a 2a ax + bx + c

1 a

log( 2ax + b + 2 a . ax 2 + bx + c ) ,

untuk a >0 . Lampiran B.3

∫

dx

δ 2 + µx + η

=

−1 −δ

sin −1

2δx + µ

µ 2 − 4δη

+ γ , untuk δ < 1 ,

dengan γ adalah tetapan integral (konstanta). Lampiran B.4

Rumus Trigonometri sin( 90 − θ ) = cos θ , sin(θ + 90) = cos θ .

55


LAMPIRAN C

“Sintaks sistem dua Planet Berinteraksi” >

G := 0.0000002 : M := 150 : m1 := 20 : m2 := 40 : l1 := 0.2 : l2 := 0.7 : h := 0.5 : E := 0.00008 : ⎛ ⎛ ⎞⎞⎞ ⎛ m22 $ l12 print⎜ evalf⎜ b = 0.5 $ ⎜ C m2 ⎟⎟⎟; ⎝ ⎝ ⎠⎠⎠ ⎝ m1$ l22 $ h2 2 print( evalf( a = 0.5 $ ( m1$ h C m2) ) ); print( evalf( X = m1 $ m2) ) ; M $ m1 print evalf W = C M $ m2 ; h

0 0

>

0

b := 33.06122449 : a := 22.500 : X := 800 : W := 12000.00000 : b print evalf N = ; a ⎛ ⎛ 2 $ b $ l22 ⎞ print⎜ evalf⎜ K = ⎟ ⎝ ⎝ G $ m22 ⎠ X print⎛ evalf⎛ H = ⎞ ⎞ ; ⎝ ⎝ W⎠ ⎠

0 0

>

1

11

11

⎞ ⎟; ⎠

N := 1.469387755 : K := 1.012500000 105 : H := 0.06666666667 :

0 0

print evalf

R=

K W

11;

⎛ ⎛ l22 $ E $ b ⎞ print⎜ evalf⎜ L = sqrt( N ) $ 4 $ 2 ⎟ ⎝ ⎝ G $ m22 ⎠

56

⎞ ⎟; ⎠


>

L := 9.818682728 107 : L print⎛ evalf⎛ Y = 2 ⎞ ⎞ ; ⎝ ⎝ W ⎠⎠ for i from 0 by 5 to 360 do 12 ⎛ ⎛ 0.5j$ LegendreP print⎜ evalf⎜ Q ( i) = ⎝ ⎝ j=0

>

⎞⎞ ( j, evalf( cos ( convert( i, units, degrees, radians) ) ) ) ⎟ ⎟ ; ⎠⎠ end do;

>

N := 1.469387755 : H := 0.06666666667 : R := 8.437500000 : Y := 0.6818529672 : Q ( 0 ) ...Q ( 360 ) : for i from 0 by 30 to 360 do for j from 0 by 5 to 360 do ⎛ ⎛ ⎜ ⎜ R print⎜ evalf⎜ r2 [ i, j] = ( 1 C H$ Q ( i) ) ⎜ ⎜ ⎝ ⎝ Y ⎞ sqrt ⎛ sqrt( N ) K 2⎠ ⎝ ( 1 C H$ Q ( i) )

0

1

⎛1 C ⎝

⎞ ⎟ $ evalf( cos ( convert( j, units, degrees, radians) ) ) ⎞ ⎟ ⎠⎟ ⎠ end do; end do;

⎞ ⎟ ⎟; ⎟ ⎠


>

r20, 0...r2360, 360 : for i from 0 by 30 to 360 do for j from 0 by 5 to 360 do print( evalf( B( i, j) = [ r2 [ i, j ] $ evalf( cos ( convert( j, units, degrees, radians) ) ) , r2 [ i, j] $ evalf( sin( convert( j, units, degrees, radians) ) ) ] ) ) ; end do; end do;

>

B( 0, 0 ) ...B( 360, 360 ) : h := 0.5 : for i from 0 by 30 to 360 do with( plots) : a := plot( { [ h$ seq ( B( i, j) , j = 0 ..360, 5 ) ] } , style= line, color = blue) : b := plot( { [ seq ( B( i, j) , j = 0 ..360, 5 ) ] }, style= line, color = red ) : display( [ a, b ] , view= [ K43 ..43, K43 ..43 ] ) ; end do;

>

N := 1.469387755 : H := 0.06666666667 : R := 8.437500000 : Y := 0.6818529672 : Q ( 0 )...Q ( 360 ) for i from 0 by 30 to 360 do R evalf e ( i) = ; 1 C H$ Q ( i) end do;

0

1

PENGARUH SUDUT ANTAR PLANET ( θ 12 ) TERHADAP BENTUK LINTASAN SISTEM DUA PLANET

Recommend Documents