PENERAPAN LEMMA GOURSAT PADA GRUP DIRECT PRODUCT RANK DUA SKRIPSI. oleh: HUSNUL KHOTIMAH NIM :

PENERAPAN LEMMA GOURSAT PADA GRUP DIRECT PRODUCT RANK DUA

SKRIPSI

oleh: HUSNUL KHOTIMAH NIM : 06510022

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2012

PENERAPAN LEMMA GOURSAT PADA GRUP DIRECT PRODUCT RANK DUA

SKRIPSI

diajukan kepada: Universitas Islam Negeri (UIN) Maulana Malik Ibrahim Malang Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si)

oleh: HUSNUL KHOTIMAH NIM : 06510022

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2012

PENERAPAN LEMMA GOURSAT PADA GRUP DIRECT PRODUCT RANK DUA

SKRIPSI

oleh: HUSNUL KHOTIMAH NIM : 06510022

Telah Disetujui untuk Diuji: Malang, 20 Agustus 2011

Dosen Pembimbing I,

Dosen Pembimbing II,

Evawati Alisah, M. Pd NIP. 19720604 199903 2 001

Abdul Aziz, M.Si NIP. 19760318 200604 1 002

Mengetahui, Ketua Jurusan Matematika

Abdussakir, M.Pd NIP. 19751006 200312 1 001

PENERAPAN LEMMA GOURSAT PADA GRUP DIRECT PRODUCT RANK DUA

SKRIPSI

Oleh: HUSNUL KHOTIMAH NIM : 06510022

Telah Dipertahankan di Depan Dewan Penguji Skripsi dan Dinyatakan Diterima sebagai Salah Satu Persyaratan untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si) Tanggal: 12 September 2011 Susunan Dewan Penguji:

Tanda Tangan

1.

Penguji Utama

: Wahyu Henky Irawan, M.Pd NIP. 19710420 200003 1 003

(

)

2.

Ketua

: Hairur Rahman, M.Si NIP. 19800429 200604 1 003

(

)

3.

Sekretaris

: Evawati Alisah, M. Pd NIP. 19720604 199903 2 001

(

)

4.

Anggota

: Abdul Aziz, M.Si NIP. 19760318 200604 1 002

(

)

Mengetahui dan Mengesahkan, Ketua Jurusan Matematika

Abdussakir, M.Pd NIP. 19751006 200312 1 001

SURAT PERNYATAAN

Saya yang bertanda tangan di bawah ini: Nama

: Husnul Khotimah

NIM

: 06510022

Jurusan

: Matematika

Fakultas

: Sains dan Teknologi

Menyatakan dengan sebenarnya bahwa skripsi yang saya tulis ini benarbenar merupakan hasil penelitian saya sendiri, bukan merupakan pengambil alihan data, tulisan atau pikiran orang lain, kecuali yang secara tertulis dikutip dalam naskah ini dan disebutkan dalam sumber kutipan dan daftar pustaka. Apabila di kemudian hari terbukti atau dapat dibuktikan skripsi ini hasil jiplakan, maka saya bersedia mempertanggungjawabkan, serta diproses sesuai peraturan yang berlaku.

Malang, 18 Agustus 2011 Yang Membuat Pernyataan,

Husnul Khotimah NIM. 06510022

MOTTO

∩∈∪ #—Žô£ç„ Ύô£ãèø9$# yìtΒ ¨βÎ*sù ∩∉∪ #ZŽô£ç„ Ύô£ãèø9$# yìtΒ ¨βÎ)

“Karena sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan, Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan.”

PERSEMBAHAN

Karya sederhana ini penulis persembahkan kepada:

Bapak dan Ibu, Satam dan Insijatin. Terima kasih atas kasih sayang yang tak pernah henti, doa yang selalu mendampingi penulis menuntut ilmu, serta pendidikan agar penulis menjadi manusia yang utuh dan tak salah langkah.

Kakak-kakak Abdurrohman, Fitroh Anis Sa’adah, Siti Mubarokah, dan Sodiq. Terima kasih atas dukungan dan motivasi agar penulis selalu bersemangat dan belajar bertanggungjawab serta melakukan yang terbaik.

Pak Sudjak (Alm), yang telah memberikan arahan terhadap cita-cita penulis.

KATA PENGANTAR

Assalaamu ‘alaikum Wr. Wb. Segala puji bagi Allah SWT karena atas rahmat, taufiq dan hidayah-Nya, penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si) dalam bidang Matematika di Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri (UIN) Maulana Malik Ibrahim Malang. Penulis menyadari bahwa banyak pihak yang telah berpartisipasi dan memberi dukungan dalam menyelesaikan penulisan skripsi ini. Untuk itu, iringan doa dan ucapan terima kasih yang sebesar-besarnya penulis sampaikan kepada : 1.

Prof. Dr. H. Imam Suprayogo, selaku Rektor Universitas Islam Negeri (UIN) Maulana Malik Ibrahim Malang.

2.

Prof. Drs. Sutiman Bambang Sumitro, SU.D.Sc, selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri (UIN) Maulana Malik Ibrahim Malang.

3.

Abdussakir, M.Pd, selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri (UIN) Maulana Malik Ibrahim Malang.

4.

Evawati Alisah, M.Pd, yang telah bersedia meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan dan pengarahan selama penulisan skripsi di bidang Matematika.

5.

Abdul Aziz, M.Si, yang telah bersedia meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan dan pengarahan selama penulisan skripsi di bidang Agama.

vii

6. Seluruh Dosen serta seluruh karyawan dan staf Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri (UIN) Maulana Malik Ibrahim Malang, khususnya Wahyu Hengky Irawan, M.Pd, yang telah memberikan ilmu pengetahuan kepada penulis selama di bangku perkuliahan. 7.

Kedua orang tua tercinta, yang selalu mendidik, mencintai, serta selalu memberi dukungan baik moril maupun spirituil sehingga penulisan skripsi ini dapat terselesaikan.

8.

Kakak-kakak penulis Abdurrohman, Fitroh Anis Sa’adah, Siti Mubarokah, dan Sodiq. Terima kasih atas dukungan dan motivasi agar selalu bersemangat dan belajar bertanggungjawab serta melakukan yang terbaik.

9.

Teman-teman penulis Ummul Choiroh dan Arfi Asta A. (IT ‘06), Irma Agrica, Farida Ulfa, dan Iqlillah (Math ‘06), serta Sulthon F dan Choirul Atho’. Terima kasih atas dukungan motivasi, semangat dan doa yang telah diberikan.

10. Seluruh teman-teman Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri (UIN) Maulana Malik Ibrahim Malang angkatan 2006, serta seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Dalam penyusunan skripsi ini tentunya masih terdapat banyak kekurangan, sehingga kritik dan saran penulis harapkan demi perbaikan skripsi ini. Akhirnya, semoga skripsi ini dapat bermanfaat dan menambah khasanah ilmu pengetahuan. Wassalaamu ‘alaikum Wr. Wb. Malang, 20 Agustus 2011 Penulis

viii

DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL ..................................................................................... i HALAMAN PERSETUJUAN ...................................................................... ii HALAMAN PENGESAHAN ....................................................................... iii SURAT PERNYATAAN .............................................................................. iv MOTTO .......................................................................................................... v HALAMAN PERSEMBAHAN .................................................................... vi KATA PENGANTAR ................................................................................... vii DAFTAR ISI .................................................................................................. ix DAFTAR TABEL .......................................................................................... xi DAFTAR GAMBAR ..................................................................................... xii DAFTAR SIMBOL ....................................................................................... xiii ABSTRAK ..................................................................................................... xiv

BAB I PENDAHULUAN .............................................................................. 1 1.1. Latar Belakang ................................................................................ 1 1.2. Rumusan Masalah ........................................................................... 8 1.3. Batasan Masalah .............................................................................. 8 1.4. Tujuan Penelitian ............................................................................ 8 1.5. Manfaat Penulisan ........................................................................... 8 1.6. Metode Penelitian ............................................................................ 9 1.7. Sistematika Penulisan ..................................................................... 12

BAB II KAJIAN TEORI .............................................................................. 13 2.1 Operasi Biner ................................................................................... 13 2.2 Grup ................................................................................................. 16 2.3 Subgrup ............................................................................................ 23 2.4 Subgrup Normal ............................................................................... 27 2.5 Grup Faktor ...................................................................................... 31 2.6 Grup Siklik ....................................................................................... 33

ix

2.7 Grup Bilangan Bulat Modulo n ........................................................ 36 2.8 Homomorfisme dan Isomorfisme Grup ........................................... 40 2.9 Direct Product .................................................................................. 49 2.10 Kajian Subgrup dalam Konsep Islam ............................................. 51

BAB III PEMBAHASAN ............................................................................. 59

BAB IV PENUTUP ........................................................................................ 93 4.1. Kesimpulan ..................................................................................... 93 4.2. Saran ................................................................................................ 93

DAFTAR PUSTAKA .................................................................................... 94

x

DAFTAR TABEL

Tabel 2.5.1 Grup Faktor dari ሺ‫ܩ‬, +ሻ = ℤ଺ = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap ሺ‫ܪ‬, +ሻ = {0, 2, 4} .............................................................................. 33 Tabel 3.1 Subgrup dari ‫ܩ‬ଵ = ℤଶ = {0ത, 1ത} dan ‫ܩ‬ଶ = ℤଶ = {0ത, 1ത} ..................... 77 Tabel 3.2 Subgrup dari ‫ܩ‬ଵ = ℤଶ = {0ത, 1ത} dan ‫ܩ‬ଶ = ℤଷ = {0ത, 1ത, 2ത} ................. 79 Tabel 3.3 Subgrup dari ‫ܩ‬ଵ = ℤଶ = {0ത, 1ത} dan ‫ܩ‬ଶ = ℤସ = {0ത, 1ത, 2ത, 3ത} ............. 81 Tabel 3.4 Subgrup dari ‫ܩ‬ଵ = ℤଶ = {0ത, 1ത} dan ‫ܩ‬ଶ = ℤ଺ = {0ത, 1ത, 2ത, 3ത, 4ത, 5ത}........ 84 Tabel 3.5 Subgrup dari ‫ܩ‬ଵ = ℤସ = {0ത, 1ത, 2ത, 3ത} dan ‫ܩ‬ଶ = ℤସ = {0ത, 1ത, 2ത, 3ത} ....... 87

xi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.8.1 Fungsi ..................................................................................... 40 Gambar 2.8.2 Fungsi Injektif ........................................................................ 41 Gambar 2.8.3 Fungsi Surjektif ...................................................................... 41 Gambar 2.8.4 Fungsi Bijektif ........................................................................ 42 Gambar 2.10.1 Himpunan Malaikat ................................................................ 53 Gambar 2.10.2 Himpunan Hewan ................................................................... 53 Gambar 2.10.3 Operasi Biner pada Manusia.................................................... 54 Gambar 2.10.4 Operasi Biner pada Hewan ...................................................... 54 Gambar 2.10.5 Grup Ulul Albab ...................................................................... 57 Gambar 2.10.6 Sistem Organ dalam Tubuh Manusia sebagai Sub-Tubuh Gabungan Beberapa Organ Tubuh yang Bekerja Sama .......... 58 Gambar 3.1

Diagram Lattice ℤଶ × ℤଶ .......................................................... 79

Gambar 3.2

Diagram Lattice ℤଶ × ℤଷ ......................................................... 80

Gambar 3.3

Diagram Lattice ℤଶ × ℤସ ......................................................... 83

Gambar 3.4

Diagram Lattice ℤଶ × ℤ଺ ......................................................... 87

Gambar 3.5

Diagram Lattice ℤସ × ℤସ ......................................................... 92

xii

DAFTAR SIMBOL

No 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Simbol ሺ‫ܩ‬,∗ሻ ሺ‫ܩ‬,∘ሻ × ܽ∈‫ܩ‬ ܽ∉‫ܩ‬ ‫∗ܫ‬ ܽ ିଵ ‫ܩ‬௡ ܰ௡ ‫ܩ‬௡ /ܰ௡

11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 27. 22. 23. 24. 25.

⊆ ≤ ⊴ ≃ ≅ <ܽ> ℤ௡ ߩ ߤ ߮ ݇݁‫ݎ‬ ⇒ ⇔ ∀ ∃ ݂: ‫ܪ → ܩ‬

Keterangan Grup ‫ ܩ‬dengan operasi biner ∗ Grup ‫ ܩ‬dengan operasi biner ∘ Direct Product ܽ elemen ‫ܩ‬ ܽ bukan elemen ‫ܩ‬ Identitas terhadap operasi ∗ Invers dari ܽ Grup ke n Subgrup Normal dari ‫ܩ‬௡ Himpunan Semua Koset / Grup Faktor dari ‫ܩ‬௡ terhadap ܰ௡ Sub Himpunan dari Subgrup dari Subgrup Normal dari Homomorfik Isomorfik Grup yang dibangkitkan oleh ܽ Grup bilangan bulat modulo n Rho Mu Phi Kernel Jika maka Jika dan hanya jika Untuk semua, untuk setiap, untuk sebarang Terdapat Fungsi ݂ dari ‫ ܩ‬ke ‫ܪ‬

xiii

ABSTRAK

Khotimah, Husnul. 2012. Penerapan Lemma Goursat pada Grup Direct Product Rank Dua. Skripsi, Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. Pembimbing : I. Evawati Alisah, M.Pd. II. Abdul Aziz, M.Si. Kata Kunci : Lemma Goursat, Grup Direct Product, Rank Dua Lemma Goursat berperan penting dalam pendeskripsikan subgrup dari direct product dalam bentuk subgrup normalnya secara individu. Lemma Goursat memungkinkan suatu cara menemukan semua subgrup darigrup direct product, bahkan untuk kasus generator sama yang tidak dapat dilakukan oleh direct product secara langsung. Permasalahan yang muncul adalah “Bagaimana penerapan Lemma Goursat pada grup direct product rank dua?” Karena itu, tujuan dari penulisan skripsi ini adalah untuk mengetahui penerapan Lemma Goursat pada grup direct product rank dua. Dengan menerapkan Lemma Goursat terhadap grup direct product rank dua atau ‫ܩ‬1 × ‫ܩ‬2 yang disusun dari grup (‫ܩ‬ଵ ,∗) dan (‫ܩ‬ଶ ,∘) di mana ܰ1 ⊴ ‫ܩ‬1 dan ܰ2 ⊴ ‫ܩ‬2 , maka diperoleh bayangan ‫ܩ ≤ ܪ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ adalah ‫ܩ‬1 /ܰ1 × ‫ܩ‬2 /ܰ2 , dan diperoleh hubungan ‫ܩ‬1 /ܰ1 dan ‫ܩ‬2 /ܰ2 sesuai dengan fungsi isomorfisme ߮: ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ → ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ . Sehingga ‫ ܪ‬subgrup dari ‫ܩ‬1 × ‫ܩ‬2 dapat direpresentasikan oleh ‫ܩ‬1 /ܰ1 × ‫ܩ‬2 /ܰ2 , di mana ‫ܩ‬1 /ܰ1 ≅ ‫ܩ‬2 /ܰ2 . Misal ‫ ߮ܪ‬suatu himpunan yang direpresentasikan oleh fungsi isomorfisme ߮, di mana ‫ܽ({ = ߮ܪ‬, ܾ) ∈ ‫ܩ‬1 × ‫ܩ‬2 |߮(ܽ ∗ ܰ1 ) = ܾ ∘ ܰ2 ; ܽ ∈ ‫ܩ‬1 ; ܾ ∈ ‫ܩ‬2 }, maka ‫ ܪ‬subgrup dari ‫ܩ‬1 × ‫ܩ‬2 dapat dicari dengan mencari himpunan ‫ ߮ܪ‬yang sesuai dengan banyaknya isomorfisme yang terjadi dari ‫ܩ‬1 /ܰ1 ke ‫ܩ‬2 /ܰ2 . Hal ini dapat ditunjukkan lebih jelas pada contoh grup direct product untuk kasus dengan generator grup penyusun yang berbeda-beda.

xiv

ABSTRACT

Khotimah, Husnul. 2012. Implementation of Goursat’s Lemma on Group of Direct Product Rank Two. Thesis, Mathematics Department of Science and Technology Faculty of Islamic State University Maulana Malik Ibrahim of Malang. Advisor : I. Evawati Alisah, M.Pd. II. Abdul Aziz, M.Si. Key Word : Goursat’s Lemma, Group of Direct Product, Rank Two Goursat’s Lemma has essential role to describes subgroup of direct product in terms of its normal subgroup of the individual groups. Goursat’s Lemma enables a way to find all subgroup of direct product of group, even in case at same generator that can’t be done by direct product directly. The problem that appear is “How to Implement Goursat’s Lemma on Group of Direct Product Rank Two?” In consequence, the purpose of this thesis is to be know implementation of Goursat's Lemma on group of direct product rank two. By implementing Goursat’s Lemma on group of direct product rank two or ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ that is arranged from group (‫ܩ‬ଵ ,∗) and (‫ܩ‬ଶ ,∘) where ܰଵ ⊴ ‫ܩ‬ଵ and ܰଶ ⊴ ‫ܩ‬ଶ , then the image ‫ܩ ≤ ܪ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ is‫ܩ‬ଵ /ܰଵ × ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ , and the relationship of ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ and ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ according to isomorphism ߮: ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ → ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ . So ‫ ܪ‬subgroup of ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ can be described by ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ × ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ , where ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ ≅ ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ . Let ‫ܪ‬ఝ is a set that described by isomorphism ߮, where ‫ܪ‬ఝ = {(ܽ, ܾ) ∈ ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ |߮(ܽ ∗ ܰଵ ) = ܾ ∘ ܰଶ ; ܽ ∈ ‫ܩ‬ଵ ; ܾ ∈ ‫ܩ‬ଶ }, then ‫ ܪ‬can be found by looking for ‫ܪ‬ఝ one that accord to isomorphism of ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ to ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ. It can be pointed out clear on examples of group of direct product with different case of generator.

xv

‫اﻟﻤﺴﺘﺨﻠﺺ اﻟﺒﺤﺚ‬ ‫ﺧﺎﲤﺔ ‪،‬ﺣﺴﻨﻮل‪ .٢٠١١ .‬ﺗﻄﺒﻴﻖ ‪ Lemma Goursat‬ﰲ اﳌﺮﺗﺒﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﳎﻤﻮﻋﺔ اﳌﻨﺘﺠﺎت ﻣﺒﺎﺷﺮة‪.‬‬ ‫اﻟﺒﺤﺚ اﻟﻌﻠﻤﻰ‪ ،‬ﻗﺴﻢ اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت ﺑﻜﻠﻴﺔ اﻟﻌﻠﻮم واﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺟﻴﺎ اﳉﺎﻣﻌﺔ اﳊﻜﻮﻣﻴﺔ اﻹﺳﻼﻣﻴﺔ‬ ‫ﻣﻮﻻﻧﺎ ﻣﺎﻟﻚ اﺑﺮاﻫﻴﻢ ﻣﺎﻻﻧﺞ‪.‬‬ ‫اﳌﺸﺮف‪ (١ ):‬إﻳﻔﺎواﰐ أﻟﻴﺴﺔ اﳌﺎﺟﺴﺘﲑ‬ ‫)‪ (٢‬ﻋﺒﺪ اﻟﻌﺰﻳﺰ اﳌﺎﺟﺴﺘﲑ‬ ‫اﻟﻜﻠﻤﺎت اﻟﺮﺋﻴﺴﻴﺔ ‪ ،Lemma Goursat :‬ا‪‬ﻤﻮﻋﺔ اﳌﻨﺘﺠﺎت ﻣﺒﺎﺷﺮة‪ ،‬اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ Lemma Goursat‬ﻳﻠﻌﺐ دوراﻫﺎ ﻣﺎ ﰲ وﺻﻒ ﳎﻤﻮﻋﺎت ﻓﺮﻋﻴﺔ ﻣﻦ اﳌﻨﺘﺠﺎت ﻣﺒﺎﺷﺮة ﰲ‬ ‫ﺷﻚ ‪‬ﻤﻮﻋﺎت ﻓﺮﻋﻴﺔ ﻃﺒﻴﻌﻴﺔ ﺑﺸﻚ ﻟﻔﺮدي ‪ Lemma Goursat‬ﻳﺘﻴﺢ وﺳﻴﻠﺔ ﻟﻠﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﻛﺎﻓﺔ‬ ‫ا‪‬ﻤﻮﻋﺎت اﻟﻔﺮﻋﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﺘﺞ ا‪‬ﻤﻮﻋﺔ ﻣﺒﺎﺷﺮة‪ ،‬ﺣﱴ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﳊﺎﻟﺔ اﳌﻮﻟﺪ ﻧﻔﺴﻪ اﻟﺬي ﻻ ﳝﻜﻦ‬ ‫ﻋﻤﻠﻪ ﻣﻦ ﻗﺒﻞ اﳌﻨﺘﺠﺎت ﻣﺒﺎﺷﺮة ﻣﺒﺎﺷﺮة‪.‬‬ ‫اﳌﺸﻜﻠﺔ اﻟﺬي ﻳﻄﺮح ﻧﻔﺴﻪ ﻫﻮ‪" :‬ﻛﻴﻒ ﺗﻄﺒﻴﻖ ‪ Lemma Goursat‬ﻟﻠﻤﺠﻤﻮﻋﺔ اﳌﻨﺘﺠﺎت‬ ‫ﻣﺒﺎﺷﺮة ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ؟" ﻟﺬﻟﻚ‪ ،‬ﻓﺈن اﻟﻐﺮض ﻣﻦ ﻛﺘﺎﺑﺔ ﻫﺬﻩ اﻟﺮﺳﺎﻟﺔ ﻫﻮ ﻟﻠﺘﺤﻘﻴﻖ ﰲ ﺗﻄﺒﻴﻖ‬ ‫‪ Lemma Goursat‬ﻟﻠﻤﺠﻤﻮﻋﺔ اﳌﻨﺘﺠﺎت ﻣﺒﺎﺷﺮة ﻣﻦ اﻟﺮﺗﺒﺔ اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ‪.‬‬ ‫و ﻣﻦ ﺧﻼل ﺗﻄﺒﻴﻖ اﳌﺮﺗﺒﺔ ‪ Lemma Goursat‬ﻟﻠﻤﺠﻤﻮﻋﺔ اﳌﻨﺘﺠﺎت ﻣﺒﺎﺷﺮة ﻻﺛﻨﲔ أو‬ ‫‪ 1 × 2‬اﻟﱵ ﰎ ﲡﻤﻴﻌﻬﺎ ﻣﻦ ا‪‬ﻤﻮﻋﺔ )∘‪ (,‬و )∗‪ (,‬وﺣﻴﺚ‪ 1 ⊴ 1‬و ‪ ، 2 ⊴ 2‬واﳊﺼﻮل‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪  ≤ 1 × 2‬اﻟﺼﻮرة ‪ ،1/ 1 × 2/ 2‬وﺣﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻋﻼﻗﺎت ‪ 1 / 1‬و ‪ 2/ 2‬و‬ ‫ﻇﺎﺋﻒ وﻓﻖ اﻻ ﻟﺘﻤﺎﺛﻞ ‪ .:  /  →  /  :‬ﲝﻴﺚ ﺗﻜﻮن ﳑﺜﻠﺔ ﻟﻠﻤﺠﻤﻮﻋﺎت ‪H‬‬ ‫ﻓﺮﻋﻴﺔ ‪ 1 × 2‬ﺑﻮاﺳﻄﺔ ‪ ،1/ 1 × 2/ 2‬ﺣﻴﺚ ‪ .1/ 1 ≅ 2/ 2‬ﻋﻠﻰ ﺳﺒﻴﻞ اﳌﺜﺎل‬ ‫ ﳎﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻟﻮﻇﺎئ ﰲ ﻣﺜﻠﻬﺎ  اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ‪ ،‬ﺣﻴﺚ‬ ‫‪ ، = (, ) ∈ 1 × 2|( ∗ 1) =  ∘ 2;  ∈ 1;  ∈ 2‬ﰒ ﳎﻤﻮﻋﺎت ﻓﺮﻋﻴﺔ  وﳝﻜﻦ‬ ‫اﻟﺒﺤﺚ ‪ 1 × 2‬ﻣﻦ ﺧﻼل إﳚﺎد ﳎﻤﻮﻋﺔ  اﳌﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻌﺪد ﻣﻦ اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ اﻟﱵ ﲢﺪث ﻣﻦ ‪1 / 1‬‬ ‫اﱃ ‪ .2/ 2‬ﳝﻜﻦ أن ﺗﻈﻬﺮ ﺑﺸﻚ ﻷﻛﺜﺮ وﺿﻮﺣﺎ ﰲ اﳌﺜﺎل ا‪‬ﻤﻮﻋﺔ اﳌﻨﺘﺠﺎت ﻣﺒﺎﺷﺮة ﳊﺎﻟﺔ‬ ‫اﳌﻮﻟﺪات ﻣﻊ ﳎﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ ا‪‬ﻤﻌﲔ ﳐﺘﻠﻔﺔ‪.‬‬ ‫‪xvi‬‬

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Matematika mempunyai peran yang sangat penting dalam kehidupan manusia. Sumardyono (2004) menyebutkan matematika dapat dipandang sebagai struktur yang terorganisir, alat, pola pikir deduktif, cara bernalar, bahasa artificial, serta seni yang kreatif. Sedangkan Mangroo (2003) menyebutkan bahwa melalui penalaran, ilmu matematika dikembangkan dari pencacahan, penghitungan, pengukuran, dan pengkajian sistematik terhadap bentuk dan gerak objek-objek dari fenomena sehari-hari. Pembelajaran matematika akan melatih kemampuan berpikir kreatif, kritis, logis, analitis, dan sistematis. Namun peran matematika tidak hanya sebatas pada hal tersebut. Pada masa sekarang, ilmu matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting dalam berbagai bidang, seperti ilmu eksak (kimia, fisika, dan teknik), ilmu hidup dan kesehatan (biologi, psikologi, apotik dan keperawatan), ilmu social (antropologi, komunikasi, ekonomi, bahasa, dan geografi), ilmu teknik (komputer, jaringan, pengembanagn perangkat lunak), serta bisnis dan perdagangan (Gouba, 2008). Keilmuan matematika yang lebih mendalam dikaji dalam matematika murni, atau matematika untuk perkembangan matematika itu sendiri. Secara umum, semakin kompleks suatu gejala, semakin kompleks pula alat yang melalui berbagai perumusan (model matematikanya) diharapkan mampu

1

2

untuk mendapatkan atau menjadi pendekatan penyelesaian eksak secara lebih akurat. Di sinilah matematika murni memegang peranannya. Salah satu cabang matematika murni yang dapat dicirikan sebagai generalisasi adalah aljabar. Mangroo (2003) menyebutkan bahwa aljabar memungkinkan pengujian pola, urutan dan hubungan dalam matematika yang memuat variable, kondisi, ekspresi linear dan kuadratik, serta penyederhanaan, subtitusi dan faktorisasi untuk membentuk suatu generalisasi yang dapat digunakan sebagai suatu strategi kuat dalam pemecahan masalah dalam matematika. Aljabar abstrak secara dasar mempelajari tentang struktur-struktur aljabar beserta sifat-sifatnya. Dalam aljabar abstrak, suatu struktur aljabar terdiri dari satu himpunan tertutup atau lebih dengan satu operasi atau lebih serta memenuhi beberapa aksioma. Aljabar abstrak menekankan pada metode aksiomatik, definisi, teorema, dan bukti (Clark, 1998). Grup merupakan bagian dari kajian dalam aljabar abstrak yang penting untuk dipelajari, karena banyak sekali obyek yang dipelajari dalam matematika berupa grup. Teori grup menduduki posisi sentral dalam matematika. Teori grup memungkinkan sifat-sifat dari sistem-sistem ini dan berbagai sistem lain untuk dipelajari dalam lingkup yang umum, dan hasilnya dapat diterapkan secara luas. Saat ini grup mempunyai peran penting dalam teori kode, simetri, berbagai bidang biologi, kimia serta fisika (Judson, 1997). Raisinghania dan Aggarwal (1980) menyebutkan bahwa suatu himpunan G dengan operasi biner “*” disebut grup jika memenuhi tiga aksioma, yaitu: asosiatif, mempunyai identitas, dan mempunyai invers.

3

Dengan demikian grup mempunyai tiga penyusun, yaitu himpunan, operasi biner, dan aturan atau aksioma yang harus dipenuhi agar menjadi suatu grup. Perhatikan dua ayat Al-Qur’an surat Al-Faathir ayat 1 dan surat AnNuur ayat 45 sebagai berikut:

4‘oΨ÷V¨Β 7πysÏΖô_r& þ’Í<'ρé& ¸ξߙ①Ïπs3Í×‾≈n=yϑø9$# È≅Ïã%y` ÇÚö‘F{$#uρ ÏN≡uθ≈yϑ¡¡9$# ̍ÏÛ$sù ¬! ߉ôϑptø:$# ∩⊇∪ ֍ƒÏ‰s% &óx« Èe≅ä. 4’n?tã ©!$# ¨βÎ) 4 â!$t±o„ $tΒ È,ù=sƒø:$# ’Îû ߉ƒÌ“tƒ 4 yì≈t/â‘uρ y]≈n=èOuρ Artinya: “Segala puji bagi Allah Pencipta langit dan bumi, yang menjadikan Malaikat sebagai utusan-utusan (untuk mengurus berbagai macam urusan) yang mempunyai sayap, masing-masing (ada yang) dua, tiga dan empat. Allah menambahkan pada ciptaan-Nya apa yang dikehendaki-Nya. Sesungguhnya Allah Maha Kuasa atas segala sesuatu.”

Å´ôϑtƒ ¨Β Νåκ÷]ÏΒuρ ϵÏΖôÜt/ 4’n?tã Å´ôϑtƒ ¨Β Νåκ÷]Ïϑsù ( &!$¨Β ÏiΒ 7π−/!#yŠ ¨≅ä. t,n=y{ ª!$#uρ Èe≅à2 4’n?tã ©!$# ¨βÎ) 4 â!$t±o„ $tΒ ª!$# ß,è=øƒs† 4 8ìt/ö‘r& #’n?tã Å´ôϑtƒ ¨Β Νåκ÷]ÏΒuρ È÷,s#ô_Í‘ 4’n?tã ∩⊆∈∪ ֍ƒÏ‰s% &óx« Artinya: “Dan Allah telah menciptakan semua jenis hewan dari air, Maka sebagian dari hewan itu ada yang berjalan di atas perutnya dan sebagian berjalan dengan dua kaki sedang sebagian (yang lain) berjalan dengan empat kaki. Allah menciptakan apa yang dikehendaki-Nya, Sesungguhnya Allah Maha Kuasa atas segala sesuatu.”

Pada kedua ayat di atas, pertama, dalam QS Al-Faathir ayat 1 dijelaskan makhluk yang disebut malaikat. Malaikat ini terbagi menjadi tiga kelompok, yaitu kelompok malaikat dengan dua sayap, malaikat dengan tiga sayap, dan malaikat dengan empat sayap. Sedangkan dalam QS An-Nuur ayat 45 dijelaskan makhluk yang disebut hewan, yang kemudian terbagi menjadi

4

tiga kelompok, yaitu hewan yang berjalan di atas perutnya, hewan yang berjalan dengan dua kaki, dan hewan yang berjalan empat kaki. Abdussyakir (2007) menjelaskan dalam kedua ayat di atas, yaitu QS Al-Faathir ayat 1 dan QS An-Nuur ayat 45, terdapat konsep matematika yang terkandung di dalamnya, yaitu sekumpulan atau sekelompok objek-objek yang mempunyai ciri-ciri yang sangat jelas. Inilah yang dalam matematika dinamakan dengan himpunan. Kemudian perhatikan ayat Al-Qur’an surat An-Najm ayat 45 dan AdzDzaariyat ayat 49 sebagai berikut:

∩⊆∈∪ 4s\ΡW{$#uρ tx.©%!$# È÷y_÷ρ¨“9$# t,n=y{ …çµ‾Ρr&uρ Artinya: “Dan bahwasanya Dialah yang menciptakan berpasang-pasangan pria dan wanita.”

∩⊆∪ tβρ㍩.x‹s? ÷/ä3ª=yès9 È÷y`÷ρy— $oΨø)n=yz >óx« Èe≅à2 ÏΒuρ Artinya: “Dan segala sesuatu Kami ciptakan berpasang-pasangan supaya kamu mengingat kebesaran Allah.”

Surat An-Najm ayat 45 menjelaskan bahwa manusia diciptakan berpasang-pasangan, yaitu sepasang pria dan wanita. Kemudian surat AdzDzaariyat ayat 49 menjelaskan lebih jauh bahwa bukan hanya manusia yang diciptakan berpasangan, tetapi segala sesuatu di dunia ini juga diciptakan Allah secara berpasang-pasangan. Sehingga dalam QS An-Najm ayat 45 dan QS Adz-Dzaariyat ayat 49 tersebut terdapat konsep matematika yang terkandung di dalamnya, yaitu fungsi yang memetakan satu himpunan ke

5

himpunan yang lain, yang dalam hal ini interaksi antar makhluk sejenis, berupa berpasang-pasangan. Inilah yang dalam matematika dikenal sebagai operasi biner. Selanjutnya perhatikan ayat Al-Qur’an surat Ali Imron ayat 190-191 sebagai berikut:

É=≈t6ø9F{$# ’Í<'ρT[{ ;M≈tƒUψ Í‘$pκ¨]9$#uρ È≅øŠ©9$# É#≈n=ÏF÷z$#uρ ÇÚö‘F{$#uρ ÏN≡uθ≈yϑ¡¡9$# È,ù=yz ’Îû āχÎ) È,ù=yz ’Îû tβρ㍤6x-tGtƒuρ öΝÎγÎ/θãΖã_ 4’n?tãuρ #YŠθãèè%uρ $Vϑ≈uŠÏ% ©!$# tβρãä.õ‹tƒ tÏ%©!$# ∩⊇⊃∪ Í‘$¨Ζ9$# z>#x‹tã $oΨÉ)sù y7oΨ≈ysö6ß™ WξÏÜ≈t/ #x‹≈yδ |Mø)n=yz $tΒ $uΖ−/u‘ ÇÚö‘F{$#uρ ÏN≡uθ≈uΚ¡¡9$# ∩⊇⊇∪ Artinya: “Sesungguhnya dalam penciptaan langit dan bumi, dan silih bergantinya malam dan siang terdapat tanda-tanda bagi orang-orang yang berakal. (yaitu) Orang-orang yang mengingat Allah sambil berdiri atau duduk atau dalam keadan berbaring dan mereka memikirkan tentang penciptaan langit dan bumi (seraya berkata): "Ya Tuhan Kami, Tiadalah Engkau menciptakan ini dengan sia-sia, Maha suci Engka, Maka peliharalah Kami dari siksa neraka.”

Dari ayat Al-Qur’an surat Ali Imron ayat 190-191 di atas, dijelaskan mengenai sekelompok manusia yang disebut Ulul Albab (orang-orang yang berakal). Kelompok ini bisa disebut sebagai Ulul Albab jika orang-orang dalam kelompok tersebut memenuhi beberapa sifat, yaitu senantiasa mengingat Allah, baik dalam keadaan beriri, duduk, atau berbaring, dan memikirkan tentang penciptaan langit dan bumi dengn keyakinan bahwa semua itu tidaklah sia-sia. Dengan demikian dalam ayat Al-Qur’an surat Ali Imron ayat 190-191 di atas, terdapat konsep matematika yang terkandung di dalamnya, yaitu sifat

6

yang harus dipenuhi agar suatu kelompok dapat disebut suatu kelompok yang tertentu atau lebih khusus lagi. Inilah yang dalam matematika dikenal sebagai aturan atau aksioma yang harus dipenuhi agar suatu kelompok atau himpunan dapat dikatakan sebagai suatu grup. Kemudian perhatikan ayat Al-Qur’an surat Al-Infithar ayat 7 berikut:

∩∠∪ y7s9y‰yèsù y71§θ|¡sù y7s)n=yz “Ï%©!$# Artinya: “Yang telah menciptakan kamu lalu menyempurnakan kejadianmu dan menjadikan (susunan tubuh)mu seimbang.” Ayat di atas, yaitu QS Al-Infithar ayat 7 menjelaskan bahwa tubuh manusia terdiri dari penyusun-penyusun yang seimbang. Lebih jauh, Wibowo (2008) menyebutkan bahwa penyusun tubuh manusia ini berupa sistemsistem organ, dan jumlahnya ada 12 sistem. Sistem-sistem organ ini mempunyai sifat yang sama dengan tubuh secara umum, yaitu merupakan unsur penunjang aktifitas manusia. Sehingga dalam QS Al-Infithar ayat 7 terdapat konsep matematika yang terkandung di dalamnya, yaitu subkelompok yang juga memenuhi sifat-sifat kelompok induknya. Inilah yang dalam matematika dikenal dengan subgrup. Pembahasan mengenai subgrup dari direct product banyak dilakukan oleh ilmuan matematika, di antaranya Delsarte, Djubjuk, dan Yeh mengenai jumlah subgrup pada tahun 1948, yang selanjutnya dikemas dalam satu paket dan dihubungkan dengan fungsi simetrik oleh L. Butter pada tahun 1994 (Calugareanu, 2009). Macdonald (1998) menyebutkan aplikasi dari teori fungsi simetrik diawali oleh P. Hall pada tahun 1950an, dengan membuktikan bahwa jumlah

7

subgrup H bertipe ߤ dari suatu p-grup bertipe ߣ sehingga ‫ܩ‬/‫ ܪ‬bertipe ‫ݒ‬ adalah sebuah polinomial di ‫ ݌‬dengan koefisien bilangan bulat, yang dikenal ఒ sebagai polinomial Hall ݃ఓ௩ . Selain itu, Hall juga menemukan derajat dan ఒ ఒ koefisiennya, serta menunjukkan bahwa ݃ఓ௩ = ݃௩ఓ . Selanjutnya Calugareanu

(2009), memperkenalkan kembali sebagaimana Goursat pada tahun 1890, suatu metode untuk mengkonstruksi subgrup lattice dari direct sum dan semua isomorfisme yang terjadi. Lemma Goursat mendeskripsikan subgrup dari direct product dalam bentuk subgrup normalnya secara individu, sehingga dapat digunakan untuk mencari subgrup dari grup hasil direct product, khususnya untuk direct product grup siklik dengan generator sama, yang mana tidak dapat dicari dengan menggunakan teorema suzuki. Pada tahun 2009, Dan Anderson mengaplikasikan Lemma Goursat dan menggeneralisasikannya. Sedangkan Kristina Kublik (2009) membahas mengenai generalisasi dari Teorema Goursat untuk suatu grup terhadap ring komutatif dan modul. Berdasarkan latar belakang di atas mengenai banyaknya topik penelitian yang membahas subgrup dari direct product, maka penulis tertarik untuk melakukan penelitian mengenai penerapan Lemma Goursat terhadap grup direct product rank dua, serta mengkhususkan pada direct product dari grup siklik. Oleh karena itu, penulis menggunakan judul “Penerapan Lemma Goursat pada Grup Direct Product Rank Dua”.

8

1.1 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang di atas, permasalahan yang akan dibahas adalah bagaimana penerapan Lemma Goursat pada grup direct product rank dua?

1.2 Batasan Masalah Pada penelitian ini diberikan batasan sebagai berikut: 1. Grup yang didirect product adalah grup bilangan bulat modulo n (ℤ௡ ) yang merupakan grup siklik. 2. Unsur yang dikaji meliputi: homomorfisme dan isomorfisme, penentuan himpunan, dan pendefinisian fungsi.

1.3 Tujuan Penelitian Tujuan dari dilakukannya penelitian ini adalah untuk melakukan penerapan Lemma Goursat terhadap grup direct product dari grup siklik rank dua.

1.4 Manfaat Penelitian Di antara manfaat yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Bagi Peneliti Sebagai sarana untuk menuangkan ilmu yang telah didapat selama perkuliahan serta memperdalam dan menambah wawasan keilmuan

9

matematika bidang aljabar abstrak khususnya mengenai penerapan Lemma Goursat pada grup direct product rank dua. 2. Bagi Pembaca Sebagai bahan pustaka untuk mempelajari aljabar abstrak. 3. Bagi Lembaga Sebagai tambahan bahan rujukan di perpustakaan dalam bidang aljabar abstrak.

1.6 Metode Penelitian 1. Jenis dan Pendekatan Penelitian Jenis penelitian yang digunakan adalah penelitian deskriptif kualitatif. Penelitian deskriptif berusaha menggambarkan suatu gejala yang terjadi. Dengan demikian, penelitian ini bertujuan untuk menggambarkan sifat sesuatu yang tengah berlangsung pada saat studi. Metode kualitatif ini memberikan informasi

yang mutakhir sehingga bermanfaat bagi

perkembangan ilmu pengetahuan serta lebih banyak dapat diterapkan pada berbagai masalah. Adapun pendekatan yang digunakan adalah pendekatan kualitatif dengan memakai bentuk kajian literatur. Metode yang digunakan adalah metode kajian literatur atau penelitian kepustakaan, yakni dengan mengumpulkan informasi dari buku, jurnal, dokumen, catatan serta bahanbahan yang berkaitan dengan kajian yang terdapat dari berbagai sumber kepustakaan. Pendekatan ini bertujuan untuk mempertahankan keutuhan (wholeness) dari obyek, artinya data yang dikumpulkan dalam rangka studi

10

kasus dipelajari sebagai suatu keseluruhan yang terintegrasi, di mana tujuannya adalah untuk memperkembangkan pengetahuan yang mendalam mengenai obyek yang bersangkutan yang berarti harus disifatkan sebagai penelitian yang eksploratif dan deskriptif. 2. Sumber Kajian Sumber Kajian diperoleh dari berbagai perpustakaan, meliputi bukubuku dan jurnal-jurnal yang berkaitan. Literatur utama yang digunakan antara lain: Abstract Algebra (Dummit dan Foote, 2004), Modern Algebra (Raisinhania dan Aggarwal, 1980), Elementary Abstract Algebra (Edwin W. Clark, 1998), The Total Number of Subgroup of A Finite Group (Grigore Calugareanu, 2009), Generalizations and Applications of Goursat’s Lemma (D. Anderdon, 2009), Subgroups of Direct Products of Groups, Ideals and Subring of Direct Products of Rings, and Goursat’s Lemma. (D. Anderson dan V. Camillo, 2009), dan Generalizations of Goursat Theorem for Group (Kristina Kublik, 2009). Sedangkan Literatur pendukung digunakan antara lain: Element of Abstract Algebra (E. H. Connel, 1999), Intro Abstract Algebra (Paul Garret, 1997), Schaum’s Outline of Theory and Problems of Abstract Algebra (Llyod R. Jaisingh, 2004), Abstract Algebra: Theory and Application (Thomas W. Judson, 1997), Notes for Undergraduate (P. Hs. Kropholler, 2004), Pengantar Struktur Diskrit (Suryadi, 1996), Dasar-Dasar Teori Bilangan (Gatot Muhsetyo,1997), serta dari jurnal-jurnal, internet dan berbagai sumber yang berkaitan dengan penelitian.

11

3. Definisi Operasional Pada penelitian ini grup yang didirect product berupa grup bilangan bulat modulo n (ℤ௡ ) dengan bentuk berupa grup rank dua. Grup rank dua adalah grup dengan bentuk ℤ௣೘ × ℤ௤೙ , dengan ‫݌‬, ‫ ݍ‬bilangan prima dan ݉, ݊ bilangan bulat positif. 4. Langkah-Langkah Penelitian Langkah-langkah penelitian yang ditempuh adalah sebagai berikut: 1) Menguraikan Lemma Goursat. 2) Pembuktian Lemma Goursat. 3) Menentukan kondisi yang harus dipenuhi oleh suatu grup terhadap Lemma Goursat. 4) Menerapkan Lemma Goursat terhadap grup direct product ℤ௡ rank dua, meliputi homomorfisme dan isomorfisme yang mungkin terjadi. 5) Penulisan himpunan. 6) Pendefinisian fungsi. 7) Menunjukkan fungsi tersebut terdefinisi dengan baik dan memenuhi kondisi Lemma Goursat. 8) Memberikan contoh. 9) Menarik kesimpulan.

12

1.7 SISTEMATIKA PENULISAN Sistematika penulisan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: BAB I

: PENDAHULUAN Dalam bab ini diuraikan tentang latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian, dan sistematika penulisan.

BAB II

: KAJIAN TEORI Dalam bab ini akan diberikan teori-teori yang mendukung pembahasan masalah, meliputi grup, subgrup, subgrup normal, grup siklik, grup bilangan bulat modulo n, homomorfisme grup, kernel, koset, grup faktor, isomorfisme dan teori isomorfisme grup, serta direct product.

BAB III : PEMBAHASAN Dalam bab ini akan diulas mengenai penerapan Lemma Goursat terhadap grup direct product rank dua, dilanjutkan pemberian contoh untuk beberapa kasus yang berbeda-beda. BAB IV : PENUTUP Bab ini berisikan kesimpulan dari pembahasan masalah dan saran untuk penelitian lebih lanjut.

BAB II KAJIAN TEORI

2.1 Operasi Biner Definisi 2.1.1 (Operasi Biner) Misal ܵ suatu himpunan tak kosong dan ܽ, ܾ ∈ ܵ. Suatu operasi biner “∗” pada himpunan ܵ merupakan pemetaan yang didefinisikan sebagai ∗: ܵ × ܵ → ܵ sehingga ∗ ሺܽ, ܾሻ = ܽ ∗ ܾ dengan ሺܽ, ܾሻ ∈ ܵ × ܵ, dan ܽ ∗ ܾ ∈ ܵ untuk setiap ܽ, ܾ ∈ ܵ (Ayres dan Jaisingh, 2004:23). Dari definisi di atas, agar suatu operasi “∗” pada suatu himpunan tak kosong ܵ dapat dikatakan opersai biner, harus dipenuhi dua kondisi, yaitu: 1. Operasi “∗” tertutup di ܵ, yaitu untuk setiap ܽ, ܾ ∈ ܵ maka ܽ ∗ ܾ ∈ ܵ. 2. Operasi “∗” terdefinisi dengan baik pada ܵ, yaitu untuk setiap pasangan berurutan ሺܽ, ܾሻ ∈ ܵ × ܵ dapat dioperasikan dan dipetakan dengan tepat satu nilai ܽ ∗ ܾ. Contoh 2.1.1.1 Diketahui ℤ himpunan semua bilangan bulat. Didefinisikan operasi ∗ pada ℤ dengan syarat untuk setiap ܽ, ܾ ∈ ℤ , ܽ ∗ ܾ = ܽ + ܾ. Akan ditunjukkan operasi ∗ merupakan operasi biner pada ℤ. Pertama, akan ditunjukkan bahwa operasi ∗ merupakan operasi yang tertutup. Sesuai dengan sifat bilangan bulat, maka penjumlahan dua bilangan bulat akan menghasilkan bilangan bulat juga. Sehingga ܽ ∗ ܾ = ܽ + ܾ ∈ ℤ. Jadi, terbukti operasi ∗ merupakan operasi yang tertutup.

13

14

Kedua, akan ditunjukkan bahwa operasi ∗ merupakan operasi yang terdefinisi dengan baik. Didefinisikan operasi ∗ pada ℤ yaitu  ∗  =  +  untuk ∀,  ∈ ℤ. Misal , , ,  ∈ ℤ dengan  = dan  = , maka harus ditunjukkan  +  = + . Karena diketahui  = dan  = , maka berlaku ∗ = ∗ sehingga  +  = +  Jadi terbukti operasi ∗ merupakan operasi yang terdefinisi dengan baik. Dengan demikian terbukti bahwa operasi ∗ pada ℤ dengan  ∗  =  +  untuk ,  ∈ ℤ merupakan operasi biner pada ℤ. Contoh 2.1.1.2 Didefinisikan operasi ∗ pada ℤ dengan syarat untuk setiap ,  ∈ ℤ,  ∗  = √ ∙ . Akan ditunjukkan bahwa operasi ∗ bukan merupakan operasi biner pada ℤ. Perhatikan bahwa jika  = 1 dan  = 2 maka berakibat  ∗  = 1 ∗ 2 = √1 ∙ 2 = √2 ∉ ℤ. Jadi, operasi ∗ tidak memenuhi kondisi tertutup. Perhatikan juga bahwa jika  = 1 dan  = 1 maka berakibat  ∗  = √1 ∙ 1 = √1 = ±1. Jadi terdapat satu nilai ,  tetapi menghasilkan dua nilai yang berbeda yaitu 1 dan −1, di mana 1 ≠ −1. Jadi operasi ∗ tidak memenuhi kondisi terdefinisi dengan baik, artinya ∗ pada ℤ dengan  ∗  = √ ∙  untuk setiap ,  ∈ ℤ bukan merupakan operasi biner pada ℤ.

15

Lemma 2.1.2 (Clark, 1998:1) Suatu operasi biner “ * ” pada suatu himpunan  merupakan suatu aturan yang mengkombinasikan dua elemen di  untuk menghasilkan suatu elemen di . Aturan ini harus memenuhi kondisi berikut: a.  tertutup terhadap “ * ” , yaitu untuk ,  ∈  maka  ∗  ∈  b. Hukum substitusi berlaku, yaitu untuk semua , , ,  ∈   = dan  =  ⇒  ∗  = ∗  c. Untuk semua , , ∈   =  ⇒∗ =∗

d. Untuk semua , ,  ∈ 

=  ⇒∗ =∗ Bukti: a.)  ×  memuat himpunan semua pasangan terurut (, ) di mana ,  ∈ . Persamaan pasangan terurut ini didefinisikan dengan  = dan  =  ⇔ (, ) = ( , ) ∗:    →  sehingga ∗ (, ) =  ∗ . Sekarang, jika ,  ∈  maka (, ) ∈   . Sehingga aturan ∗ memetakan (, ) ke  ∗  ∈ . Jadi jelas  ∗  tertutup di . b.) Karena untuk semua , , ,  ∈ , jika  = dan  = , maka berakibat (, ) = ( , ) ⇒  ∗  = ∗ . Karena berlaku  = dan  =  ⇔ (, ) = ( , ), sehingga terbukti  = dan  =  ⇒  ∗  = ∗ .

16

c.) Misal  =  dan untuk semua ∈  , = . Maka diperoleh  =  dan = ⇔ (, ) = (, ) ⇒  ∗ =  ∗ . d.) Misal  =  dan untuk semua ,  ∈  , = . Maka diperoleh  =  dan =  ⇔ (, ) = (, ) ⇒  ∗ =  ∗ .

2.2 Grup Definisi 2.2.1 (Grup) (Raisinghania dan Aggarwal, 1980:31) Suatu himpunan  tak kosong dengan operasi biner “ * ” ditulis sebagai (,∗) disebut Grup jika memenuhi kondisi berikut: a. Operasi biner “ * ” bersifat assosiatif di , yaitu ( ∗ ) ∗ =  ∗ ( ∗ ), ∀, , ∈ . b. Terdapat elemen identitas () di  sehingga  ∗  =  ∗  = , ∀ ∈ . c. Setiap anggota  punya invers di , yaitu ∀ ∈ , ∃!" ∈  sehingga  ∗ !" = !" ∗  = . Contoh 2.2.1.1 (ℤ, +) merupakan grup, dengan ℤ adalah himpunan bilangan bulat dan + operasi penjumlahan. Bukti: i. Ambil ,  ∈ ℤ maka  +  ∈ ℤ. Jadi ℤ tertutup pada operasi penjumlahan. ii. Ambil , , ∈ ℤ maka ( + ) + =  + ( + ). Jadi operasi penjumlahan assosiatif di ℤ. iii. Terdapat 0 ∈ ℤ sehingga  + 0 = 0 +  = , ∀ ∈ ℤ. Jadi terdapat identitas operasi penjumlahan di ℤ yaitu 0.

17

iv. Untuk setiap  ∈ ℤ terdapat (−) ∈ ℤ sehingga  + (−) = (−) +  = 0. Jadi setiap  ∈ ℤ memiliki invers di ℤ yaitu (−). Karena keempat kondisi dipenuhi, maka (ℤ, +) merupakan grup. Contoh 2.2.1.2 (, +) dengan  = {& ∈ | − 10 < & < 10} bukan suatu grup. Bukti: Ambil 5 ∈  maka 5 + 5 = 10 ∉ , sehingga “+” tidak tertutup di . Karena (, +) tidak memenuhi salah satu syarat grup, maka (, +) bukan suatu grup. Teorema 2.2.2 (Ketunggalan Identitas) Elemen identitas suatu grup adalah tunggal (Raisinghania dan Aggarwal, 1980:75). Bukti: Misal (,∗) grup dan misal  dan  + elemen identitas di . Karena  elemen identitas di , maka  ∗  + =  + ∗  =  + Karena  + elemen identitas di , maka  + ∗  =  ∗  + =  Dari kedua pernyataan di atas, maka diperoleh + =  ∗ + = + ∗  =  Sehingga  + =  Dengan demikian terbukti bahwa elemen identitas di  adalah tunggal. Teorema 2.2.3 (Ketunggalan Invers) Masing-masing elemen suatu grup mempunyai invers tunggal (Raisinghania dan Aggarwal, 1980:75).

18

Bukti: Misal (,∗) grup dan  identitas di . Misal  sebarang elemen di  dan ,

invers dari  di . Karena  invers dari , maka  ∗  =  ∗  =  ........................................ (2.2.3.1) Karena invers dari , maka ∗  =  ∗ =  ......................................... (2.2.3.2)  ∗ ( ∗ ) =  ∗ 

[dari (2.2.3.2)]

=

[∵  identitas di ]

Sehingga diperoleh  ∗ ( ∗ ) =  ........................................................... (2.2.3.3) Selanjutnya ( ∗ ) ∗ =  ∗

=

[∵dari (2.2.3.1)] [∵  identitas di ]

Sehingga diperoleh ( ∗ ) ∗ = ............................................................ (2.2.3.4) Dari hukum assosiatif grup diperoleh  ∗ ( ∗ ) = ( ∗ ) ∗

Dari (2.2.3.3) dan (2.2.3.4) didapatkan  = . Dengan demikian terbukti bahwa elemen  mempunyai invers tunggal. Teorema 2.2.4 Invers dari invers elemen suatu grup adalah elemen itu sendiri (Raisinghania dan Aggarwal, 1980:75-76). Bukti: Misal (,∗) grup,  elemen identitas di , dan  sebarang elemen di . Akan ditunjukkan bahwa (!" )!" = .  ∗ !" =  ( ∗  !" ) ∗ (!" )!" =  ∗ (!" )!"  ∗ (!" ∗ (!" )!" ) = (!" )!"

19

 ∗  = (!" )!"  = (!" )!"

Teorema 2.2.5 (Hukum Kanselasi kiri dan Kanselasi Kanan) Misal (,∗) grup dan a, b, c sebarang elemen di  Jika  ∗ =  ∗ , maka = .

[Hukum kanselasi kiri]

Jika ∗  =  ∗ , maka = .

[Hukum kanselasi kanan]

(Raisinghania dan Aggarwal, 1980:76). Bukti: Misal (,∗) grup dan , , sebarang elemen di  (i) Hukum kanselasi kiri ∗ =∗ !" ∗ ( ∗ ) = !" ∗ ( ∗ ) (!" ∗ ) ∗ = (!" ∗ ) ∗  ∗ =∗

= (ii) Hukum kanselasi kiri

∗ =∗ ( ∗ ) ∗ !" = ( ∗ ) ∗ !"

∗ ( ∗ !" ) =  ∗ ( ∗ !" )

∗ =∗

=

20

Teorema 2.2.6 (Hukum Kebalikan Invers Operasi Elemen) Invers dari operasi terhadap dua elemen suatu grup adalah operasi terbalik terhadap invers masing-masing elemen tersebut (Raisinghania dan Aggarwal, 1980:76-77). Bukti: Misal (,∗) grup dan ,  ∈  Akan ditunjukkan ( ∗ )!" =  !" ∗ !" Karena ingin ditunjukkan invers dari  ∗  adalah  !" ∗ !" , maka ini sama halnya dengan menunjukkan ( ∗ ) ∗ ( !" ∗ !" ) = ( !" ∗ !" ) ∗ ( ∗ ) =  dengan  identitas di . ( ∗ ) ∗ ( !" ∗ !" ) = [( ∗ ) ∗  !" ] ∗ !" = [ ∗ ( ∗  !" )] ∗ !" = ( ∗ ) ∗  !" =  ∗ !" = Sehingga ( ∗ ) ∗ ( !" ∗ !" ) = ……………………………………… (2.2.6.1) Sementara itu ( !" ∗ !" ) ∗ ( ∗ ) = (!" ∗  !" ) ∗ ( ∗ ) = [(!" ∗  !" ) ∗ ] ∗  = [!" ∗ ( ∗  !" )] ∗  = (!" ∗ ) ∗  = !" ∗  = Sehingga ( !" ∗ !" ) ∗ ( ∗ ) = ……………………………………… (2.2.6.2)

21

Dengan demikian, dari (2.2.6.3) dan (2.2.6.4), diperoleh ( ∗ )!" =  !" ∗ !" Teorema 2.2.7 Misal (,∗) grup. Jika ,  sebarang elemen di , maka persamaan  ∗ & =  mempunyai solusi unik & di  (Raisinghania dan Aggarwal, 1980:77-78). Bukti: Misal (,∗) grup dan ,  ∈ , akan ditunjukkan  ∗ & =  mempunyai solusi & = !" ∗  di . Diketahui  ∈ ,  ∈  maka !" ∈ ,  ∈  Jadi !" ∗  ∈ . Substitusi & dengan !" ∗ , maka  ∗ & =  ∗ (!" ∗ ) = ( ∗ !" ) ∗  =∗ = Dengan demikian & = !" ∗  memenuhi persamaan  ∗ & = . Ini menunjukkan

bahwa & =  !" ∗  adalah solusi dari  ∗ & =  di . Selanjutnya akan ditunjukkan solusi ini unik. Misal & = &" dan & = &2 adalah dua solusi dari persamaan  ∗ & =  di , maka  ∗ &" =  dan  ∗ &2 =  Tetapi kenyataannya  ∗ &" =  ,  ∗ &2 =   ∗ &" =  ∗ &2 (!" ∗ ) ∗ &" = (!" ∗ )&2

22

 ∗ &" =  ∗ &2 &" = &2 Dengan demikian jelas  ∗ & =  mempunyai solusi unik & = !" ∗  di . Definisi 2.2.8 (Grup Abelian) Suatu grup (,∗) disebut Grup Abelian atau Grup Komutatif jika pada operasi biner “ * ” berlaku sifat komutatif, yaitu  ∗  =  ∗  untuk setiap ,  ∈  (Raisinghania dan Aggarwal,1980:31). Contoh 2.2.8.1 (ℤ, +) merupakan grup abelian, dengan ℤ adalah himpunan bilangan bulat dan + operasi penjumlahan. Bukti: i. Ambil ,  ∈ ℤ maka  +  ∈ ℤ. Jadi ℤ tertutup pada operasi penjumlahan. ii. Ambil , , ∈ ℤ maka ( + ) + =  + ( + ). Jadi operasi penjumlahan assosiatif di ℤ. iii. Terdapat 0 ∈ ℤ sehingga  + 0 = 0 +  = , ∀ ∈ ℤ. Jadi terdapat identitas operasi penjumlahan di ℤ yaitu 0. iv. Untuk setiap  ∈ ℤ terdapat (−) ∈ ℤ sehingga  + (−) = (−) +  = 0. Jadi setiap  ∈ ℤ memiliki invers di ℤ yaitu (−). v. Untuk semua ,  ∈ ℤ maka  +  =  +  ∈ ℤ. Karena (ℤ, +) memenuhi semua kondisi grup dan komutatif terhadap operasi penjumlahan, maka (ℤ, +) merupakan grup abelian.

23

Contoh 2.2.8.2 (32×2 ,×) dengan 32×2 = 45



 6 | ∀, , ,  ∈ ℤ7 dan × operasi perkalian 

matriks, bukan grup abelian. Hal ini dapat dilihat pada contoh berikut: 5

1 2 2 1 8 65 6=5 3 4 3 2 18

5

2 1 1 2 5 8 65 6=5 6 3 2 3 4 9 14

Jelas bahwa 5

1 2 2 65 3 4 3

5 6 11

1 2 6≠5 2 3

1 1 2 65 6 2 3 4

Sehingga (32×2 ,×) bukan grup abelian. Definisi 2.2.9 (Order Grup) Jika (,∗) suatu grup, maka order dari  adalah banyaknya elemen di  dan dinotasikan dengan || (Fraleigh, 2003:50). Contoh 2.2.9: ℤ2 merupakan grup bilangan bulat modulo 2 dengan ℤ2 = {0<, 1<}. Maka order dari ℤ2 adalah 2.

2.3. Subgrup Definisi 2.3.1 (Subgrup) (Judson, 1997:46-48) Diketahui (,∗) merupakan grup. Himpunan = ⊆  disebut subgrup dari  jika dan hanya jika memenuhi kedua aksioma berikut: 1. = bukan merupakan himpunan kosong. 2. (=,∗) merupakan grup.

24

Contoh 2.3.1 (?,×) merupakan suatu grup, di mana ? adalah himpunan bilangan kompleks tanpa nol dan “ × ” operasi perkalian. Misal = = {1, −1, @, −@} sub himpunan dari ?. Karena: 1. = tak kosong. 2. “ × ” tertutup di =, yaitu: 1 × (−1) = −1 ∈ = 1×@ =@ ∈= 1 × (−@) = −@ ∈ = (−1) × @ = −@ ∈ = (−1) × (−@) = @ ∈ = @ × (−@) = 1 ∈ = 3. 1 merupakan unsur identitas di = terhadap operasi perkalian dan setiap elemen di = mempunyai invers, yaitu untuk setiap & ∈ = mengakibatkan & !" × & =  ∈ =: (1)!" = 1

karena 1 × 1 = 1

(−1)!" = −1

karena (−1) × (−1) = 1

(@)!" = −@

karena (−@) × @ = 1

(−@)!" = @

karena @ × (−@) = 1

Jadi (=,×) memenuhi kondisi grup, sehingga jelas bahwa (=,×) merupakan subgrup dari (?,×).

25

Definisi 2.3.2 (Subgrup Trivial dan Subgrup Sejati) Diketahui (,∗) merupakan grup dan = ⊆  merupakan subgrup dari . Subgrup = disebut subgrup trivial jika dan hanya jika = = {}, dengan  ∈  merupakan elemen identitas. Subgrup = disebut subgrup sejati jika dan hanya jika = ≠  (Fraleigh, 2003:51). Teorema 2.3.3 (Sifat-sifat Subgrup) (Fraleigh, 2003:52) Diketahui (,∗) merupakan grup dan = subgrup dari , maka kedua pernyataan berikut berlaku: 1. Elemen identitas  ∈  juga merupakan elemen identitas pada =. 2. Untuk setiap  ∈ = berlaku !" ∈ = dengan !" merupakan invers elemen . Bukti: Diketahui (,∗) merupakan grup dan = subgrup dari  dengan  elemen identitas di . 1. Andaikan terdapat A ∈ =, dengan A ∗  =  ∗ A =  untuk setiap  ∈ = . Karena = ⊆  , maka untuk setiap  ∈ = berlaku  ∈ . Karena  merupakan grup, maka berlaku  ∗  =  ∗  = . Dengan demikian diperoleh  ∗ A =  ∗  dan menggunakan teorema kanselasi kiri diperoleh A =  . Jadi, terbukti bahwa  ∈ =. 2. Karena = merupakan grup terhadap operasi biner “∗” dan A = , maka untuk setiap  ∈ = berlaku  ∗ !" = !" ∗  = A . Sehingga jelas bahwa untuk setiap  ∈ = terdapat  !" ∈ =.

26

Teorema 2.3.4 Diketahui (,∗) merupakan grup dan = ⊆ . Himpunan = merupakan subgrup dari  jika dan hanya jika = ≠ ∅ dan untuk setiap ,  ∈ = berlaku  ∗  !" ∈ = , dengan  !" merupakan invers elemen  (Dummit dan Foote, 2004:47). Bukti: Karena = subgrup dari , untuk ,  ∈ = maka menurut Teorema 2.3.3 terdapat  !" ∈ = dan dengan demikian  ∗  !" ∈ =. Akan ditunjukkan = merupakan subgrup dari . Karena = ⊆  maka sifat assosiatif operasi “∗” pada  juga berlaku pada =. Jika dipilih  = , akan diperoleh  ∗  !" =  ∗  !" =  ∈ =. Dengan demikian = memuat elemen identitas dan menunjukkan = ≠ ∅. Selanjutnya, jika dipilih  = , akan diperoleh  ∗  !" =  ∗  !" =  !" ∈ = untuk setiap  ∈ =. Dengan demikian = memuat invers dari setiap elemennya. Jadi, terbukti bahwa = merupakah subgrup dari . Teorema 2.3.5 Diketahui (,∗) merupakan grup dan =, C merupakan subgrup-subgrup dari , maka = ∩ C juga merupakan subgrup atas  (Raisinghania dan Aggarwal, 1980:178). Bukti: Karena  merupakan grup dan misal  identitas di . Karena =, C subgrup dari , maka pasti  ∈ = dan  ∈ C sehingga  ∈ = ∩ C ⊆ . Dengan demikian jelas bahwa = ∩ C ≠ ∅. Ambil sebarang ,  ∈ = ∩ C, akibatnya ,  ∈ = dan ,  ∈ C. Karena = merupakan subgrup maka menurut Teorema 2.3.4 berlaku  ∗  !" ∈ =. Karena C juga merupakan subgrup maka menurut Teorema 2.3.4 juga berlaku  ∗  !" ∈ C.

27

Akibatnya  ∗  !" ∈ = ∩ C, dan menurut Teorema 2.3.4 berakibat = ∩ C merupakan subgrup atas .

2.4 Subgrup Normal Definisi 2.4.1 (Koset) Misalkan (,∗) suatu grup, = subgrup dari  dan  adalah sebarang elemen dari . Himpunan = ∗  = {ℎ ∗ : ℎ ∈ =} disebut Koset Kanan dari =. Analog dengan itu,  ∗ = = { ∗ ℎ: ℎ ∈ =} disebut Koset Kiri dari = (Fraleigh, 2003:97). Contoh 2.4.1 Misal (ℤF ,+) suatu grup dan = = {. . . , −10, −5, 0, 5, 10, . . . } subgrup dari ℤF , yang berisi semua kelipatan 5. Akan ditentukan koset dari = pada ℤF . Terdapat lima koset yang berbeda dari = pada ℤF , sebagai berikut: G + = = = = {. . . , −10, −5, 0, 5, 10, . . . } 1 + = = {. . . , −9, −4, 1,6, 11, . . . } 2 + = = {. . . , −8, −3, 2, 7, 12, . . . } 3 + −= = {. . . , −7, −2, 3, 8, 13, . . . } 4 + = = {. . . , −6, −1, 4, 9, 14, . . . } Koset yang lain J + = akan sama dengan salah satu koset di atas. Definisi 2.4.2 (Subgrup Normal) Subgrup (K,∗) dari grup (,∗) disebut subgrup normal dari , jika untuk setiap L ∈  dan untuk setiap J ∈ K berlaku L ∗ K = K ∗ L (Fraleigh, 2003:132).

28

Contoh 2.4.2 Dalam setiap grup , subgrup trivial {M} dan  sendiri merupakan subgrup normal. Teorema 2.4.3 (Robinson, 2003:60) Misal (,∗) grup dan (=,∗) subgrup dari , maka pernyataan berikut ekuivalen: 1. L ∗ = = = ∗ L untuk semua L ∈ . 2. L ∗ ℎ ∗ L!" ⊆ = di mana ℎ ∈ = dan L ∈ . Bukti: (i) Misal ℎ ∈ = dan L ∈ , maka L ∗ ℎ ∈ L ∗ = = = ∗ L sehingga untuk ℎ" ∈ = berlaku L ∗ ℎ = ℎ" ∗ L L ∗ ℎ ∗ L!" = ℎ" ∗ L ∗ L!" L ∗ ℎ ∗ L!" = ℎ" ∗  L ∗ ℎ ∗ L!" = ℎ" ∈ = Dengan demikian terbukti L ∗ ℎ ∗ L!" ⊆ =. (ii) Misal ℎ ∈ = dan L ∈ , maka untuk ℎ" ∈ = berlaku L ∗ ℎ ∗ L!" = ℎ" ∈ = L ∗ ℎ ∗ L!" ∗ L = ℎ" ∗ L L ∗ ℎ ∗  = ℎ" ∗ L L ∗ ℎ = ℎ" ∗ L ∈ = ∗ L sehingga L ∗ = ⊆ = ∗ L. Selanjutnya misal ℎ2 ∈ = maka L!" ∗ ℎ2 ∗ L = L!" ∗ ℎ2 ∗ (L!" )!" = L!" ∗ ℎ2 ∗ L = L!" ∗ L ∗ ℎ2

29

=  ∗ ℎ2 = ℎ2 ∈ = yang menunjukkan bahwa ℎ ∗ L = L ∗ ℎ2 sehingga = ∗ L ⊆ L ∗ =. Dengan demikian karena L ∗ = ⊆ = ∗ L dan = ∗ L ⊆ L ∗ =, maka terbukti L ∗ = = = ∗ L. Teorema 2.4.4 Setiap subgrup dari grup abelian adalah normal. Bukti: Misal (,∗) grup abelian dan (=,∗) subgrup dari . Misal ℎ sebarang elemen dari = dan L sebarang elemen dari . Maka L ∗ ℎ ∗ L!" = ℎ ∗ L ∗ L!"

[∵ abelian]

= ℎ ∗ N = ℎ ∗ A

[∵ identitas subgrup sama dengan identitas grupnya]

=ℎ∈= Dengan demikian, karena L ∗ ℎ ∗ L!" ∈ = untuk ∀L ∈  dan ∀ℎ ∈ =, maka = merupakan subgrup normal di . Teorema 2.4.5 Misal (,∗) grup. Jika = subgrup dari  dan C subgrup normal dari , maka = ∩ C subgrup normal dari = (Raisinghania dan Aggarwal, 1980:216). Bukti: Karena = dan C subgrup dari , maka menurut Teorema 2.3.5 = ∩ C adalah subgrup dari . Karena = ∩ C subgrup dari  dan pasti = ∩ C ⊆ =, maka = ∩ C adalah subgrup dari =.

30

Selanjutnya harus ditunjukkan = ∩ C normal di =. Akan ditunjukkan untuk ∀ℎ ∈ = dan  ∈ = ∩ C berlaku ℎ ∗  ∗ ℎ!" ∈ = ∩ C.  ∈ = ∩ C berarti bahwa  ∈ = dan  ∈ C. C normal, maka untuk ∀ℎ ∈ = dan  ∈ C, (ℎ ∈ = ⇒ ℎ ∈ ), berlaku ℎ ∗  ∗ ℎ!" ∈ C ...................................................................................................... (2.4.5.1) Karena = subgrup, maka untuk ℎ ∈ = dan  ∈ = berlaku ℎ ∗  ∗ ℎ!" ∈ = .......................................................................................... (2.4.5.2) Sehingga dari 2.4.5.1 dan 2.4.5.2 diperoleh ℎ ∗  ∗ ℎ!" ∈ = ∩ C untuk ∀ℎ ∈ = dan  ∈ = ∩ C. Dengan demikian = ∩ C merupakan subgrup normal di =. Teorema 2.4.6 Jika = subgrup normal dari  dan C subgrup dari  sedemikian hingga = ⊆ C ⊆ , maka = pasti normal di C. Tetapi jika = normal di C , = belum tentu normal di  (Raisinghania dan Aggarwal, 1980:218). Bukti: Misal (,∗) grup. = subgrup normal dari  dan C subgrup dari  dengan = ⊆ C ⊆ . Akan dibuktikan = subgrup normal dari C. Akan ditunjukkan untuk ∀O ∈ C dan ℎ ∈ = berlaku O ∗ ℎ ∗ O !" ∈ C. Pertama, akan ditunjukkan = subgrup dari C. Karena = subgrup normal di , berarti = subgrup dari . Sedangkan C juga subgrup dari  dengan = ⊆ C. Maka pasti = subgrup dari C. Selanjutnya akan ditunjukkan = normal di C. Misal ambil O sebarang elemen di C dan ℎ sebarang elemen di =, maka O ∈ , ℎ ∈ =

[∵ C ⊆ ]

31

Karena = normal di , maka berlaku O ∗ ℎ ∗ O !" ∈ = Selanjutnya, karena = subgrup dari C, maka O ∗ ℎ ∗ O !" ∈ = berlaku untuk ∀O ∈ C dan ℎ ∈ =. Dengan demikian = merupakan subgrup normal di C.

2.5 Grup Faktor Definisi 2.5.1 (Grup Faktor) Bila K adalah Subgrup Normal dari grup (,∗), maka himpunan dari koset-koset /K = {L ∗ K|L ∈ } membentuk grup (/K,∗) yang didefinisikan oleh (L1 ∗ K) ∗ (L2 ∗ K) = (L1 ∗ L2) ∗ K yang disebut Grup Faktor  oleh K. Order dari Grup Faktor (/K,∗) adalah banyaknya koset-koset dari K dalam , sehingga: |/K| = |: K| =

|| |K|

(Robinson, 2003:62). Contoh 2.5.1 Misalkan  = {0, 1, 2, 3, 4, 5} = ℤQ Grup dan = = {0, 2, 4} adalah subgrup dari G. Maka akan ditunjukkan grup faktor /=. Pertama, akan ditunjukkan bahwa = merupakan subgrup normal, di mana koset kiri sama dengan koset kanan.  = ℤQ = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, generatornya adalah 0, 1, 2, 3, 4, dan 5 Koset kiri: 0 + = = 0 + {0, 2, 4} = {0, 2, 4} 1 + = = 1 + {0, 2, 4} = {1, 3, 5}

32

2 + = = 2 + {0, 2, 4} = {2, 4, 0} 3 + = = 3 + {0, 2, 4} = {3, 5, 1} 4 + = = 4 + {0, 2, 4} = {4, 0, 2} 5 + = = 5 + {0, 2, 4} = {5, 1, 3} Koset kanan: = + 0 = {0, 2, 4} + 0 = {0, 2, 4} = + 1 = {0, 2, 4} + 1 = {1, 3, 5} = + 2 = {0, 2, 4} + 2 = {2, 4, 0} = + 3 = {0, 2, 4} + 3 = {3, 5, 1} = + 4 = {0, 2, 4} + 4 = {4, 0, 2} = + 5 = {0, 2, 4} + 5 = {5, 1, 3} Sehingga: 0 + = = = + 0 = {0, 2, 4} 1 + = = = + 1 = {1, 3, 5} 2 + = = = + 2 = {2, 4, 0} 3 + = = = + 3 = {3, 5, 1} 4 + = = = + 4 = {4, 0, 2} 5 + = = = + 5 = {5, 1, 3} Karena diperoleh koset kiri = koset kanan, maka = merupakan subgrup normal. Banyaknya unsur yang membentuk grup faktor /= adalah  || 6 R R = |: =| = = =2 = |K| 3 Misal diambil koset kiri: 0 + = = {0, 2, 4}

33

1 + = = {1, 3, 5} 2 + = = {2, 4, 0} 3 + = = {3, 5, 1} 4 + = = {4, 0, 2} 5 + = = {5, 1, 3} Maka: 0 + = = 2 + = = 4 + = = {0, 2, 4} 1 + = = 3 + = = 5 + = = {1, 3, 5} Sehingga unsur dari grup faktornya ada 2, yaitu: 0 + = = {0, 2, 4} = = dan 1 + = = {1, 3, 5} dengan tabel sebagai berikut: Tabel 2.5.1 Grup Faktor dari (, +)ℤQ = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Terhadap (=, +) = {0, 2, 4} +

S

T+S

S

=

1+=

T+S

1+=

=

2.6. Grup Siklik Definisi 2.6.1 (Pembangun) Diketahui (,∗) merupakan grup,  ∈ , dan = = {F |J ∈ ℤ}. Elemen  disebut pembangun grup = dan dinotasikan <  > = =. Contoh 2.6.1 Pembangun dan subgrup dari (ℤ"V , +) adalah sebagai berikut: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} = < 1 > = < 3 > = < 7 > = < 9 > = ℤ"V {0,2,4,6,8} = < 2 > = < 4 > = < 6 > = < 8 > {0,5} = < 5 >

34

Dari perhitungan didapat pembangun dari ℤ"V yaitu 1,3,7, dan 9. Sedangkan subgrupnya yaitu < 2 >, < 4 >, < 5 >, < 6 > dan < 8 >. Definisi 2.6.2 (Grup Siklik) Diketahui (,∗) merupakan grup. Jika terdapat  ∈  sehingga <  > =  maka  disebut grup siklik (Dummit dan Foote, 2004:54). Contoh 2.6.2 Diketahui (ℤ, +) merupakan grup dengan ℤ himpunan bilangan bulat. Grup (ℤ, +) merupakan grup siklik karena < 1 > = ℤ dan < −1 > = ℤ. Teorema 2.6.3 Setiap grup siklik adalah abelian (Fraleigh, 2003:59). Bukti: Misal (,∗) grup siklik yang dibangkitkan oleh elemen . Misal &, W sebarang elemen , maka & = F dan W = X dengan J, Y ∈ ℤ. Sehingga & ∗ W = J ∗ Y

= FZX = XZF = Y ∗ J =W∗&

Demikian terbukti bahwa & ∗ W = W ∗ &, sehingga (,∗) abelian. Teorema 2.6.4 Jika  generator dari suatu grup siklik (,∗), maka !" juga generator dari (,∗) (Raisinghania dan Aggarwal, 1980:98-99).

35

Bukti: Misal grup siklik (,∗) dibangkitkan oleh  ∈ , maka dari definisi diketahui bahwa  = <  >. Selanjutnya F = !(!F) = (!" )!F . Karena J adalah bilangan bulat, maka −J juga bilangan bulat. Sehingga berlaku  = < !" >. Teorema 2.6.5 Subgrup dari suatu grup siklik merupakan grup siklik (Fraleigh, 2003:61). Bukti: Misalkan  merupakan grup siklik yang dibangun oleh  dan = subgrup dari . Akan ditunjukkan bahwa = merupakan grup siklik. Jika = = {}, jelas bahwa  = = sehingga = merupakan grup siklik. Jika = ≠ {}, maka terdapat elemen & ∈ = dengan & ≠ M. Karena = merupakan subgrup dari , maka & ∈  dan berakibat & = F ∈ = untuk suatu J ∈ [ ℤZ . Pilih bilangan Y ∈ [ ℤZ sebagai bilangan yang terkecil sehingga X ∈ =. Akan ditunjukkan bahwa < X > = =. Diambil sebarang W ∈ = dan karena = merupakan subgrup dari , maka W ∈  dan berakibat W =  \ ∈ = untuk suatu ] ∈ ℤZ . Diperhatikan bahwa Y ≤ ] dan dari algoritma pembagian pada ℤ diperoleh ] = Y_ + ` untuk suatu _, ` ∈ ℤ dan 0 ≤ ` < Y. Dengan demikian diperoleh:  \ = XaZb = Xa b dan b = (X )!a  \ Karena X ,  \ ∈ = dan = merupakan grup, akibatnya ((X )!a ∈ =

dan

(X )!a  \ ∈ =. Dengan demikian diperoleh b = (X )!a  \ ∈ =. Karena Y

36

merupakan bilangan yang terkecil sehingga X ∈ = dan karena 0 ≤ ` < Y, dengan kata lain ` = 0 sehingga b = V =  dan diperoleh:  \ = XaZb = (X )a Jadi, karena untuk sebarang W ∈ = berlaku W = (X )a , maka < X > = = dan dengan kata lain = merupakan grup siklik.

2.7 Grup Bilangan Bulat Modulo n Definisi 2.7.1 (Ekuivalen) (Raisinghania dan Aggarwal, 1980:11-13) Suatu relasi ∥ pada himpunan A disebut relasi ekuivalen bila memenuhi sifat-sifat berikut: a.  ∥  berlaku untuk ∀ ∈ d (Sifat Refleksif). b.  ∥  maka berlaku  ∥  untuk ∀,  ∈ d (Sifat Simetris). c.  ∥  dan  ∥ , maka berlaku  ∥ untuk ∀, , ∈ d (Sifat Transitif). Definisi 2.7.2 (Relasi Modulo n) Diketahui ℤ merupakan himpunan seluruh bilangan bulat dan J ∈ ℤ. Didefinisikan juga relasi ∼ pada ℤ sebagai berikut. Diketahui ,  ∈ ℤ, maka  ∼  jika dan hanya jika  −  = _J untuk suatu _ ∈ ℤ. Relasi ∼ tersebut dinamakan relasi modulo J (Dummit dan Foote, 2004:8). Contoh 2.7.2 Misalkan diketahui J = 4, maka untuk sebarang bilangan  ∈ ℤ jika dibagi dengan 4 menggunakan algoritma pembagian akan menghasilkan sisa pembagian berupa bilangan 0,1, 2 dan 3. Lebih lanjut, diperhatikan bahwa: 0< = { ∈ ℤ| ∼ 0} = {0, ±4, ±8, . . . } 1< = { ∈ ℤ| ∼ 1} = {. . . , −7, −3,1,5,9, . . . }

37

2< = { ∈ ℤ| ∼ 2} = {. . . , −6, −2,2,6,10, . . . } 3f = { ∈ ℤ| ∼ 3} = {. . . , −5, −3,3,7,11, . . . } Teorema 2.7.3 Relasi modulo J merupakan relasi ekuivalen (refleksif, simetris, dan transitif) (Ayres dan Jaisingh, 2004:63). Bukti: Akan ditunjukkan bahwa relasi modulo n merupakan relasi ekuivalen. Diambil sebarang ∈ ℤ, maka: a. Untuk sebarang  ∈ ℤ berlaku  −  = 0 = 0J, dengan demikian  ∼  dan dengan kata lain relasi modulo J merupakan relasi refleksif. b. Diambil sebarang ,  ∈ ℤ dengan  ∼ , yaitu  –  = _J untuk suatu _ ∈ ℤ . Perhatikan bahwa −( − ) = −(_J) ⇔  −  = (−_)J. Karena _ ∈ ℤ maka −_ ∈ ℤ , sehingga berlaku  ∼ . Dengan kata lain relasi modulo J merupakan relasi simetris. c. Diambil sebarang , , ∈ ℤ dengan  ∼  dan  ∼ . Karena  ∼ , maka berlaku  −  = _J untuk suatu _ ∈ ℤ dan karena juga  ∼ , maka berlaku – = `J untuk suatu ` ∈ ℤ. Diperhatikan bahwa:  − = ( − ) + ( − ) = _J + `J = (_ + `)J Karena _, ` ∈ ℤ, akibatnya _ + ` ∈ ℤ dan dengan demikian berlaku  ∼ . Dengan kata lain relasi modulo J merupakan relasi transitif. Jadi, terbukti bahwa relasi modulo J merupakan relasi ekuivalen.

38

Teorema 2.7.4 Diketahui J ∈ ℤ, maka himpunan  = {0<, 1<, . . . , <<<<<<<< J − 1} merupakan grup terhadap <<<<<<< operasi ∗ yang didefinisikan < ∗ < =  +  . Grup ini disebut grup bilangan bulat modulo J atau dinotasikan dengan ℤF (Judson, 1997:36-37). Bukti: Akan ditunjukkan bahwa operasi ∗ merupakan operasi biner. Pertama, akan ditunjukkan bahwa operasi ∗ merupakan operasi yang tertutup. Ambil sebarang ,  ∈  dan diperhatikan bahwa  +  ∈ ℤ. Dengan demikian menurut algoritma pembagian pada ℤ diperoleh  +  = _J + ` untuk suatu _, ` ∈ ℤ dan 0 ≤ ` < J. Diperhatikan bahwa  +  = _J + ` ⇔ ( + ) − ` = _J, dengan kata lain ( + ) ∼ ` sesuai definisi relasi modulo J. Karena ( + ) ∼ ` , maka  +  ∈  +  = `̅ . Jadi operasi ∗ merupakan operasi yang ` dan dengan demikian <<<<<<< tertutup. Kedua, akan ditunjukkan bahwa operasi ∗ merupakan operasi yang terdefinisi dengan baik. Untuk sebarang <, < ∈ , berlaku  +  ∈ ℤ. Dengan demikian sebarang elemen pada  dapat dioperasikan, dengan kata lain operasi ∗ merupakan operasi yang terdefinisi dengan baik. Jadi, operasi ∗ merupakan operasi biner. Selanjutnya akan ditujukkan bahwa (,∗) merupakan grup. Jelas bahwa  bukan merupakan himpunan kosong. Akan ditunjukkan bahwa G memenuhi sifat assosiatif. Untuk sebarang <, <, ̅ ∈ , diperhatikan bahwa: (< ∗ <) ∗ ̅ = <<<<<<<  +  ∗ ̅ <<<<<<<<<<<<<<< = ( + ) +

39

<<<<<<<<<<<<<<< = + ( + ) <<<<<<<<< = < ∗ ( + ) = < ∗ (< ∗ ̅) Jadi, terbukti bahwa sifat assosiatif berlaku. Jika dipilih elemen 0< ∈ , maka untuk setiap < ∈  akan berlaku: <<<<<<< 0< ∗ < = 0 + = < <<<<<<< = +0 = < ∗ 0< Jadi, 0< ∈  merupakan elemen identitas pada . J −  ∈ . Karena J ∼ 0, akibatnya J< = 0< Untuk sebarang < ∈  dipilih elemen <<<<<<< dan diperhatikan bahwa: < ∗ <<<<<<< J −  = <<<<<<<<<<<<< +J− = J< = 0<

J −  ∗ < = <<<<<<<<<<<<< <<<<<<< J−+ dan

= J< = 0<

Jadi, setiap elemen < ∈  memiliki elemen invers terhadap operasi ∗ yaitu J −  ∈ . Karena keempat aksioma berlaku maka  merupakan grup terhadap <<<<<<< operasi ∗. Teorema 2.7.5 Grup ℤF merupakan grup siklik. Bukti: Jika J = 0 maka ℤF = {0<} dan jika J ≠ 0, maka dapat dipilih 1< ∈ ℤF sehingga < 1< > = ℤF .

40

2.8 Homomorfisme dan Isomorfisme Grup Agar lebih mudah memahami definisi homomorfisme dan isomorfisme, terlebih dahulu akan diberikan definisi mengenai fungsi, fungsi injektif, surjektif, serta fungsi bijektif. Definisi 2.8.1 (Fungsi) Misal d dan i adalah himpunan. Suatu fungsi atau pemetaan dari d ke i, dituliskan sebagai j: d → i, merupakan suatu aturan yang memasangkan tiap elemen & di d dengan tepat satu elemen j(&) = W di i. Himpunan d disebut domain dan himpunan i disebut kodomain. Sedangkan bayangan dari fungsi j adalah Y(&) = {j(&)|& ∈ d}, yang merupakan sub himpunan dari i. Bayangan dari j disebut juga dengan daerah hasil (range) (Munir, 2005:128-129). d

&

i j

W

Gambar 2.8.1 Fungsi

Definisi 2.8.2 (Fungsi injektif / Satu-satu) Fungsi j: d → i disebut injektif jika semua elemen d mempunyai bayangan di i dan tidak ada dua elemen d yang memiliki bayangan sama. Yaitu ∀&" , &2 ∈ d dan j(&" ) = j(&2 ) maka berakibat &" = &2 atau ∀&" , &2 ∈ d dan &" ≠ &2 maka berakibat j(&" ) ≠ j(&2 ) (Munir, 2005:131).

41

d

i

a• b• c• d•

•1 •2 •3 •4 •5

Gambar 2.8.2 Fungsi Injektif

Contoh2.8.2 j: ℝ → ℝ di mana j(&) = 2& merupakan fungsi injektif. Bukti: Ambil &, W ∈ ℝ sedemikian hingga j(&) = j(W) 2& = 2W &=W Definisi 2.8.3 (Fungsi Surjektif / Onto) Fungsi j: d → i disebut surjektif jika setiap elemen himpunan i merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan d. Yaitu ∀W ∈ i, ∃& ∈ d ∋ W = j(&) (Munir, 2005:132). d

i

a• b• c• d•

•1 •2 •3

Gambar 2.8.3 Fungsi Surjektif

42

Contoh 2.8.3 j: ℝ → ℝ di mana j(&) = 4& merupakan fungsi surjektif. Definisi 2.8.4 (Fungsi Bijektif / Satu-Satu dan Onto) Fungsi j: d → i disebut bijektif jika merupakan fungsi injektif dan juga surjektif (Munir, 2005:133). d

i

a• b• c• d•

•1 •2 •3 •4

Gambar 2.8.4 Fungsi Bijektif

Contoh 2.8.4 1) j: ℝ → ℝ di mana j(&) = & m merupakan fungsi bijektif. 2) j: ℝ → ℝ

di mana j(&) = & 2 bukan fungsi injektif dan bukan fungsi

surjektif. Definisi 2.8.5 (Homomorfisme) Misal (,∗) dan (=,∘) grup. Suatu pemetaan o ∶  → = sedemikian hingga o(& ∗ W) = o(&) ∘ o(W), untuk semua &, W ∈  disebut homomorfisme (Dummit dan Foote, 2004:36). Teorema 2.8.6 (Sifat Homomorfisme) (Raisinghania dan Aggarwal, 1980:98-99) Misal (,∗) dan (=,∘) grup dan o ∶  → = suatu homomorfisme, maka

43

1. Bayangan homomorfik dari identitas di  adalah identitas di =. 2. Bayangan homomorfik dari invers sebarang elemen  di  adalah invers dari bayangan . 3. Jika  merupakan sebarang elemen berorder hingga di , maka order dari bayangan  juga berhingga dan merupakan pembagi dari order . Bukti: 1. Misal (,∗) dan (=,∘) grup dan o ∶  → = suatu homomorfisme, akan ditunjukkan untuk N elemen identitas di , maka o(N ) adalah elemen identitas di =. Misal N elemen identitas di  dan A elemen identitas di =, dan misal  sebarang elemen  sedemikian hingga o() ∈ =, maka didapatkan o() ∘ A = o() Selanjutnya o() ∘ A = o() o() ∘ A = o( ∗ N ) o() ∘ A = o() ∘ o(N ) A = o(N )

[kanselasi kiri]

Dengan demikian o(N ) adalah identitas di =. 2. Misal (,∗) dan (=,∘) grup dan o ∶  → = suatu homomorfisme dan misal !" invers elemen  di , akan ditunjukkan o(!" ) merupakan invers elemen o() di =. Misal  sebarang elemen  dan N elemen identitas di . Maka  ∗ !" = N = !" ∗  Selanjutnya

44

 ∗ !" = N o( ∗ !" ) = o(N ) o() ∘ o(!" ) = o(N ) Dan !" ∗  = N o(!" ∗ ) = o(N ) o(!" ) ∘ o() = o(N ) Sehingga o() ∘ o(!" ) = o(!" ) ∘ o() = o(N ) Sebagaimana diketahui sebelumnya N identitas di , dengan bayangan homomorfik dari N adalah o(N ), yang merupakan identitas di =. Dengan demikian, karena o(N ) = A = o() ∘ o(!" ). Maka o(!" ) = [o()]!". Jadi terbukti bahwa bayangan homomorfik dari invers  adalah invers dari o(). 3. Misal (,∗) dan (=,∘) grup dan o ∶  → = suatu homomorfisme. Misal  ∈  dengan X = N dan o() ∈ = dengan [o()]F = A . Akan ditunjukkan J membagi Y atau Y = J_ dengan Y, J, _ bilangan bulat. X = N o(X ) = o(N ) o( ∗  ∗ … ∗ ) = o(N ) sebanyak m

o() ∘ o() ∘ … ∘ o() = o(N ) sebanyak m

o() = o(N ) X

Karena N identitas di , di mana bayangan homomorfiknya adalah o(N ) elemen identitas di =. Sehingga berakibat order o() ≤ Y.

45

Jadi order o() berhingga bila order  juga berhingga. Misal order o() = J, maka J ≤ Y, di mana J bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi [o()]F = o(N ) Selanjutnya, menurut algoritma pembagian, terdapat bilangan bulat _ dan ` sedemikian hingga Y = J_ + ` di mana 0 ≤ ` < J. Selanjutnya, [o()]X = o(N ) [o()]FaZb = o(N ) [[o()]F ]a ∘ [o()]b = o(N ) [o(N )]a ∘ [o()]b = o(N )

[∴ (o())F = o(N )]

[o()]b = o(N )

[∴ o(N ) = A ]

Karena 0 ≤ ` < J dan order o() = J, maka hanya ada kemungkinan ` = 0 dan dengan demikian Y = J_. Jadi terbukti bahwa J membagi Y. Definisi 2.8.7 (Kernel) Misal(,∗) dan (=,∘) grup, jika o ∶  → = adalah suatu homomorfisme, maka kernel dari o adalah himpunan K yang didefinisikan dengan C = {O ∈ |o(O) = N } dan ditulis dengan ker o, dengan N elemen identitas di  (Dummit dan Foote, 2004:75). Teorema 2.8.8 (Kernel) Misal(,∗) dan (=,∘) grup, jika o ∶  → = adalah suatu homomorfisme, maka kernel dari o adalah suatu subgrup normal di  (Raisinghania dan Aggarwal, 1980:261).

46

Bukti: Misal(,∗) dan (=,∘) grup dan o ∶  → = adalah suatu homomorfisme. Misal N elemen identitas di  dan A elemen identitas di =. Misal C kernel dari o dengan C = {& ∈ ; o(&) = A }. Pertama, akan ditunjukkan C adalah subgrup dari . Karena bayangan identitas di  adalah identitas di =, maka o(N ) = A . Akibatnya N ∈ C dan dengan demikian C tidak kosong. Misal ,  ∈ C maka o() = A dan o() = A sehingga o( ∗  !" ) = o() ∘ o( !" ) = o() ∘ [o()]!"

[∵ o( !" ) = [o()]!" ]

= A ∘ [A ]!" = A ∘ A

[∵ [A ]!" = A ]

= A Dengan demikian  ∗  !" ∈ C. Sehingga C subgrup dari . Selanjutnya, akan ditunjukkan C normal di . Misal & sebarang elemen di  dan O sebarang elemen di C, maka o(O) = A . Oleh karena itu, o(& ∗ O ∗ & !" ) = o(&) ∘ o(O) ∘ o(& !" ) = o(&) ∘ A ∘ [o(&)]!" = o(&) ∘ [o(&)]!" = A ∈ C Maka & ∗ O ∗ & !" ∈ C. Dengan demikian, karena & ∗ O ∗ & !" ∈ C untuk ∀& ∈  dan ∀O ∈ C, maka C merupakan subgrup normal di .

47

Definisi 2.8.9 (Isomorfisme) (Dummit dan Foote, 2004:37) Pemetaan o ∶  → = disebut suatu isomorfisme dan  dan = dikatakan isomorfik atau mempunyai tipe isomorfisme yang sama, ditulis  ≅ =, jika 1. o adalah suatu homomorfisme. 2. o adalah fungsi bijektif. Contoh 2.8.9 1. Untuk sebarang grup , terdapat isomorfisme dari  ke dirinya sendiri, atau ditulis  ≅ . 2. Pemetaan eksponensial M&u ∶ ℝ → ℝZ didefinisikan sebagai M&u(&) = M v erupakan suatu isomorfisme dari (ℝ, +) ke (ℝZ ,×), karena M&u(& + W) = M&u(&)M&u(W) maka M vZw = M v M w . Teorema 2.8.10 (Teorema Isomorfisme Pertama) Setiap bayangan homomorfik dari suatu grup, isomorfik dengan grup faktornya. Sebaliknya, setiap grup faktor dari suatu grup adalah bayangan homomorfik dari grup tersebut (Raisinghania dan Aggarwal, 1980:264). Bukti: Misal(,∗) dan (=,∘) grup, jika o ∶  → = adalah suatu homomorfisme, sehingga = = o(). Misal N elemen identitas di  dan A elemen identitas di =. Misal C = OM` o, sehingga o(C) = A , maka menurut teorema 2.8.8, OM` o adalah subgrup normal dari  sedemikian hingga /C adalah grup faktor dari  oleh C. Akan ditunjukkan bahwa /C ≅ =. Misal x ∶ /C → = dengan x(C ∗ ) = o() untuk ∀ ∈ . Akan ditunjukkan x suatu isomorfisme. Pertama, akan ditunjukkan x terdefinisi dengan baik. Untuk itu, harus ditunjukkan bahwa bayangan setiap elemen C ∗  di o adalah sama. Dengan kata

48

lain, bayangan setiap elemen koset C ∗  dari /C di = adalah sama. Dengan demikian, untuk sebarang O ∗  ∈ C ∗  sedemikian hingga O ∈ C, maka o(O ∗ ) = o(O) ∘ o() = A ∘ o() = o(). Dengan demikian terbukti x terdefinisi dengan baik. Selanjutnya akan ditunjukkan x fungsi satu-satu. x(C ∗ ) = x(C ∗ ) o() = o() o() ∘ o() !" = o() ∘ o() !" [∵ kedua ruas dikali o() !" ] o() ∘ o() !" = A o( ∗  !" ) = A  ∗  !" ∈ C

[∵ definisi OM`o]

C ∗  = C ∗  [∵ C ∗  = C ∗  ⇔  ∗  !" ∈ C] Dengan demikian x merupakan fungsi satu-satu. Selanjutnya akan ditunjukkan x onto. Karena untuk  ∈ , setiap elemen = selalu berbentuk o(). Dan oleh karena itu, untuk setiap elemen C ∗  elemen /C sedemikian hingga x(C ∗ ) = o(), maka jelas bahwa x onto. Selanjutnya, misal C ∗  dan C ∗  elemen koset di /C, maka x[(C ∗ ) ∗ (C ∗ )] = x(C ∗  ∗ ) = o( ∗ ) = o() ∘ o() = x(C ∗ ) ∘ x(C ∗ ) Maka, jelas x suatu homomorfisme. Karena x homomorfisme, satu-satu dan onto, maka x merupakan isomorfisme. Sehingga terbukti /C ≅ =.

49

Sebaliknya, misal K subgrup normal dari  sedemikian hingga /K adalah grup faktor, akan ditunjukkan bahwa  ≃ /K. Dengan demikian, akan ditunjukkan pemetaan z ∶  → /K dengan z() = K ∗  untuk ∀ ∈  suatu homomorfisme. Misal ,  sebarang elemen , maka z( ∗ ) = K ∗  ∗  = (K ∗ ) ∗ (K ∗ ) = z() ∗ z() Jadi, z merupakan fungsi homomorfisme. Dan lagi, jika K ∗  sebarang elemen /K, maka untuk setiap  ∈  berlaku z() = K ∗ . Dengan demikian z onto. Dengan demikian, /K adalah bayangan homomorfik dari . Sehingga secara umum, setiap grup faktor dari suatu grup adalah bayangan homomorfik dari grup tersebut.

2.9 Direct Product Definisi 2.9.1 (Direct Product) Direct product dari dua grup abelian (d,∗) dan (i,∘) dengan operasi × merupakan himpunan semua pasangan terurut (, ), dengan  ∈ d dan  ∈ i yang diberikan oleh (" , " ) × (2 , 2 ) = (" ∗ 2 , " ∘ 2 ) (Cameron, 2004:2). Teorema 2.9.2 Jika  suatu grup abelian berhingga dengan order setidaknya dua, maka  isomorfik dengan direct product dari grup siklik dengan bentuk  ≅ ℤ{| }| × ℤ{~ }~ × … × ℤ{ }

50

di mana untuk setiap @, u€ prima dan J€ bilangan bulat positif. Jika grup  mempunyai order J, maka F

F

F

J = u" | u2 ~ … u  (Clark, 1998:53-54 dan Judson, 1997:193). Catatan: u€ saling relatif prima. Jadi u€ bisa diperoleh dari faktorisasi prima dari order grup . Contoh 2.9.2 Misal  = {0,1,2,3,4,5} himpunan bilangan bulat dengan operasi + Y‚ƒ„‚ 6 sedemikian hingga  = ℤQ merupakan grup abelian berorder 6 = 2 ∙ 3. Maka akan ditunjukkan  isomorfik dengan grup ℤ2 × ℤm sebagai berikut: Didefinisikan j: ℤQ → ℤ2 × ℤm dengan j() = ( Y‚ 2,  Y‚ 3) untuk ∀ ∈ ℤQ . Akan ditunjukkan j() = ( Y‚ 2,  Y‚ 3) terdefinisi dengan baik. Misal ,  ∈ ℤQ dan  = , harus ditunjukkan ( Y‚ 2,  Y‚ 3) = ( Y‚ 2,  Y‚ 3). Karena diketahui  =  maka berlaku j() = j() ( Y‚ 2,  Y‚ 3) = ( Y‚ 2,  Y‚ 3) Sehingga j terdefinisi dengan baik. Selanjutnya akan ditunjukkan j() = ( Y‚ 2,  Y‚ 3) untuk ∀ ∈ ℤQ merupakan homomorfisme. Misal ,  ∈ ℤQ . Akan ditunjukkan j( + ) = j() + j(). j( + ) = (( + ) Y‚ 2, ( + ) Y‚ 3)) = ( Y‚ 2 +  Y‚ 2,  Y‚ 3 +  Y‚ 3) = ( Y‚ 2,  Y‚ 3) + ( Y‚ 2,  Y‚ 3) = j() + j()

51

Jadi j homomorfisme. Selanjutnya j: ℤQ → ℤ2 × ℤm dengan j() = ( Y‚ 2,  Y‚ 3) untuk ∀ ∈ ℤQ diperoleh: j(0) = (0 Y‚ 2,0 Y‚ 3) = (0,0) j(1) = (1 Y‚ 2,1 Y‚ 3) = (1,1) j(2) = (2 Y‚ 2,2 Y‚ 3) = (0,2) j(3) = (3 Y‚ 2,3 Y‚ 3) = (1,0) j(4) = (4 Y‚ 2,4 Y‚ 3) = (0,1) j(5) = (5 Y‚ 2,5 Y‚ 3) = (1,2) sehingga j merupakan fungsi satu-satu onto dan elemen ℤQ ekuivalen dengan elemen ℤ2 × ℤm . Dengan demikian, ℤQ isomorfik dengan ℤ2 × ℤm .

2.10 Kajian Subgrup dalam Konsep Islam Suatu himpunan G dengan operasi biner “*” atau ditulis (,∗) disebut grup jika memenuhi empat aksioma, yaitu: tertutup, assosiatif, mempunyai identitas, dan mempunyai invers. Sehingga dengan demikian, grup mempunyai tiga penyusun, yaitu himpunan, operasi biner, dan aturan atau aksioma yang harus dipenuhi agar menjadi suatu grup. Perhatikan dua ayat Al-Qur’an surat Al-Faathir ayat 1 dan surat An-Nuur ayat 45 sebagai berikut:

4‘oΨ÷V¨Β 7πysÏΖô_r& þ’Í<'ρé& ¸ξߙ①Ïπs3Í×‾≈n=yϑø9$# È≅Ïã%y` ÇÚö‘F{$#uρ ÏN≡uθ≈yϑ¡¡9$# ̍ÏÛ$sù ¬! ߉ôϑptø:$# ∩⊇∪ ֍ƒÏ‰s% &óx« Èe≅ä. 4’n?tã ©!$# ¨βÎ) 4 â!$t±o„ $tΒ È,ù=sƒø:$# ’Îû ߉ƒÌ“tƒ 4 yì≈t/â‘uρ y]≈n=èOuρ

52

Artinya: “Segala puji bagi Allah Pencipta langit dan bumi, yang menjadikan Malaikat sebagai utusan-utusan (untuk mengurus berbagai macam urusan) yang mempunyai sayap, masing-masing (ada yang) dua, tiga dan empat. Allah menambahkan pada ciptaan-Nya apa yang dikehendaki-Nya. Sesungguhnya Allah Maha Kuasa atas segala sesuatu.”

4’n?tã Å´ôϑtƒ ¨Β Νåκ÷]ÏΒuρ ϵÏΖôÜt/ 4’n?tã Å´ôϑtƒ ¨Β Νåκ÷]Ïϑsù ( &!$¨Β ÏiΒ 7π−/!#yŠ ¨≅ä. t,n=y{ ª!$#uρ &óx« Èe≅à2 4’n?tã ©!$# ¨βÎ) 4 â!$t±o„ $tΒ ª!$# ß,è=øƒs† 4 8ìt/ö‘r& #’n?tã Å´ôϑtƒ ¨Β Νåκ÷]ÏΒuρ È÷,s#ô_Í‘ ∩⊆∈∪ ֍ƒÏ‰s% Artinya: “Dan Allah telah menciptakan semua jenis hewan dari air, Maka sebagian dari hewan itu ada yang berjalan di atas perutnya dan sebagian berjalan dengan dua kaki sedang sebagian (yang lain) berjalan dengan empat kaki. Allah menciptakan apa yang dikehendaki-Nya, Sesungguhnya Allah Maha Kuasa atas segala sesuatu.”

Pada kedua ayat di atas, pertama, dalam QS Al-Faathir ayat 1 dijelaskan makhluk yang disebut malaikat. Malaikat ini terbagi menjadi tiga kelompok, yaitu kelompok malaikat dengan dua sayap, malaikat dengan tiga sayap, dan malaikat dengan empat sayap. Sedangkan dalam QS An-Nuur ayat 45 dijelaskan makhluk yang disebut hewan, yang kemudian terbagi menjadi tiga kelompok, yaitu hewan yang berjalan di atas perutnya, hewan yang berjalan dengan dua kaki, dan hewan yang berjalan empat kaki. Kedua kelompok tersebut dapat digambarkan sebagai berikut:

53

Malaikat Malaikat dengan 2 sayap Malaikat dengan 4 sayap

Malaikat dengan 3 sayap

Gambar 2.10.1 Himpunan Malaikat

hewan hewan yang berjalan di atas perut

hewan yang berjalan dengan 2 kaki

hewan yang berjalan dengan 4 kaki

Gambar 2.10.2 Himpunan Hewan

Abdussyakir (2007) menjelaskan dalam kedua ayat di atas, yaitu QS AlFaathir ayat 1 dan QS An-Nuur ayat 45, terdapat konsep matematika yang terkandung di dalamnya, yaitu sekumpulan atau sekelompok objek-objek yang mempunyai ciri-ciri yang sangat jelas. Inilah yang dalam matematika dinamakan dengan himpunan. Kemudian perhatikan ayat Al-Qur’an surat An-Najm ayat 45 dan AdzDzaariyat ayat 49 sebagai berikut:

∩⊆∈∪ 4s\ΡW{$#uρ tx.©%!$# È÷y_÷ρ¨“9$# t,n=y{ …çµ‾Ρr&uρ

54

Artinya: “Dan bahwasanya Dialah yang menciptakan berpasang-pasangan pria dan wanita.”

∩⊆∪ tβρ㍩.x‹s? ÷/ä3ª=yès9 È÷y`÷ρy— $oΨø)n=yz >óx« Èe≅à2 ÏΒuρ Artinya: “Dan segala sesuatu Kami ciptakan berpasang-pasangan supaya kamu mengingat kebesaran Allah.”

Surat An-Najm ayat 45 menjelaskan bahwa manusia diciptakan berpasangpasangan, yaitu sepasang pria dan wanita. Kemudian surat Adz-Dzaariyat ayat 49 menjelaskan lebih jauh bahwa bukan hanya manusia yang diciptakan berpasangan, tetapi segala sesuatu di dunia ini juga diciptakan Allah secara berpasang-pasangan. Hubungan ini dapat digambarkan sebagai berikut:

berpasangpasangan

manusia pria •

• wanita

• pria berpasangan dengan wanita

Gambar 2.10.3 Operasi Biner pada Manusia

berpasangpasangan

hewan hewan • jantan

• hewan betina

• hewan jantan berpasangan dengan hewan betina

Gambar 2.10.4 Operasi Biner pada Hewan

55

Hubungan ini jika ditulis secara matematis menjadi: (pria,wanita) = pria berpasangan dengan wanita (jantan,betina) = jantan berpasangan dengan betina Dalam matematika, hubungan atau relasi ini secara lebih umum ditulis sebagai ∗ (, ) =  ∗ , di mana “ * “ merupakan fungsi yang memetakan (, ) anggota suatu himpunan d ke  ∗  anggota himpunan d  d. Sehingga dalam QS An-Najm ayat 45 dan QS Adz-Dzaariyat ayat 49 tersebut terdapat konsep matematika yang terkandung di dalamnya, yaitu fungsi yang memetakan satu himpunan ke himpunan yang lain, yang dalam hal ini interaksi antar makhluk sejenis, berupa berpasang-pasangan. Inilah yang dalam matematika dikenal sebagai operasi biner. Selanjutnya perhatikan ayat Al-Qur’an surat Ali Imron ayat 190-191 sebagai berikut:

É=≈t6ø9F{$# ’Í<'ρT[{ ;M≈tƒUψ Í‘$pκ¨]9$#uρ È≅øŠ©9$# É#≈n=ÏF÷z$#uρ ÇÚö‘F{$#uρ ÏN≡uθ≈yϑ¡¡9$# È,ù=yz ’Îû āχÎ) È,ù=yz ’Îû tβρ㍤6x-tGtƒuρ öΝÎγÎ/θãΖã_ 4’n?tãuρ #YŠθãèè%uρ $Vϑ≈uŠÏ% ©!$# tβρãä.õ‹tƒ tÏ%©!$# ∩⊇⊃∪ ∩⊇⊇∪ Í‘$¨Ζ9$# z>#x‹tã $oΨÉ)sù y7oΨ≈ysö6ß™ WξÏÜ≈t/ #x‹≈yδ |Mø)n=yz $tΒ $uΖ−/u‘ ÇÚö‘F{$#uρ ÏN≡uθ≈uΚ¡¡9$# Artinya: “Sesungguhnya dalam penciptaan langit dan bumi, dan silih bergantinya malam dan siang terdapat tanda-tanda bagi orang-orang yang berakal. (yaitu) Orang-orang yang mengingat Allah sambil berdiri atau duduk atau dalam keadan berbaring dan mereka memikirkan tentang penciptaan langit dan bumi (seraya berkata): "Ya Tuhan Kami, Tiadalah Engkau menciptakan ini dengan sia-sia, Maha suci Engka, Maka peliharalah Kami dari siksa neraka.” Dari ayat A-Qur’an surat Ali Imron ayat 190-191 di atas, dijelaskan mengenai sekelompok manusia yang disebut Ulul Albab (orang-orang yang

56

berakal). Kelompok ini bisa disebut sebagai Ulul Albab jika orang-orang dalam kelompok tersebut memenuhi beberapa sifat, yaitu senantiasa mengingat Allah, baik dalam keadaan berdiri, duduk, atau berbaring, dan memikirkan tentang penciptaan langit dan bumi dengn keyakinan bahwa semua itu tidaklah sia-sia. Dengan demikian dalam ayat Al-Qur’an surat Ali Imron ayat 190-191 di atas, terdapat konsep matematika yang terkandung di dalamnya, yaitu sifat yang harus dipenuhi agar suatu kelompok dapat disebut suatu kelompok yang tertentu atau kelompok uang lebih khusus lagi. Inilah yang dalam matematika dikenal sebagai aturan atau aksioma yang harus dipenuhi agar suatu kelompok atau himpunan dapat dikatakan sebagai suatu grup. Dari ketiga uraian di atas, yaitu mengenai himpunan, operasi biner, dan aturan atau aksioma suatu grup tertentu, jika ketiganya dipenuhi maka jadilah suatu grup tertentu tersebut. Sebagai contoh sebagaimana disebutkan sebelumnya yaitu grup ulul albab. Ulul albab awalnya merupakan himpunan manusia yang saling berinteraksi. Namun di samping berinteraksi sebagaimana manusia lainnya, mereka juga senantiasa mengingat Allah, baik dalam keadaan berdiri, duduk, atau berbaring, dan memikirkan tentang penciptaan langit dan bumi dengan keyakinan bahwa semua itu tidaklah sia-sia. Inilah yang membedakan mereka dengan manusia lain, sehingga mereka dapat disebut ulul albab, sebagaimana digambarkan sebagai berikut:

57

manusia berdiri mengingat Allah duduk

Ulul Albab

memikirkan fenomena

berbaring

Gambar 2.10.5 Grup Ulul Albab

Dengan demikian dapat dilihat perbedaan sifat yang jelas antara Ulul Albab dengan manusia biasa pada umumnya. Karena seseorang yang senantiasa mengingat Allah belum tentu merupakan seorang Ulul Albab, begitu juga seseorang yang memikirkan fenomena belum tentu dia termasuk Ulul Albab. Tetapi seseorang yang sudah disebut Ulul Albab pasti juga orang yang senantiasa mengingat Allah dan memikirkan fenomena. Kemudian perhatikan ayat Al-Qur’an surat Al-Infithar ayat 7 berikut:

∩∠∪ y7s9y‰yèsù y71§θ|¡sù y7s)n=yz “Ï%©!$# Artinya: “Yang telah menciptakan kamu lalu menyempurnakan kejadianmu dan menjadikan (susunan tubuh)mu seimbang.”

Ayat di atas, yaitu QS Al-Infithar ayat 7 menjelaskan bahwa tubuh manusia terdiri dari penyusun yang seimbang. Lebih jauh, Wibowo (2008) menyebutkan bahwa penyusun tubuh manusia ini terdiri dari berbagai organ. Di mana organ-organ yang berbeda akan bekerja sama membantuk sistem-sistem

58

organ. Sistem organ dalam tubuh manusia ini ada 12 macam dan dapat digambarkan sebagai berikut:

tubuh

1 12

2

11 3 10

13

4

9

5 8

7

6

Ket: 1 = sistem otot 2 = sistem kulit 3 = sistem hormon 4 = sistem ekskresi 5 = sistem reproduksi 6 = sistem pernapasan 7 = sistem peredaran darah 8 = sistem peredaran limfa 9 = sistem imun 10 = sistem pencernaan 11 = sistem rangka 12 = sistem saraf 13 = gen (elemen sama yang menyusun semua sistem)

Gambar 2.10.6 Sistem Organ dalam Tubuh Manusia sebagai Sub-Tubuh, Gabungan Beberapa Organ Tubuh yang Bekerja Sama

Tiap sistem organ sebagai sub-tubuh tersebut mempunyai sifat yang sama dengan tubuh secara umum, yaitu merupakan unsur penunjang aktifitas manusia. Dengan demikian, dalam QS Al-Infithar ayat 7 terdapat konsep matematika yang terkandung di dalamnya, yaitu sub-kelompok yang juga memenuhi sifat kelompok induknya. Inilah yang dalam matematika dikenal dengan subgrup.

BAB III PEMBAHASAN

Lemma Goursat mendeskripsikan subgrup dari direct product dalam bentuk subgrup normalnya secara individu. Sebelum dibahas mengenai Lemma Goursat, terlebih dahulu akan ditunjukkan direct product grup ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ merupakan suatu grup. Akan ditunjukkan bahwa untuk (‫ܩ‬ଵ ,∗) dan (‫ܩ‬ଶ ,∘) grup, maka (‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ , □) merupakan grup. Di mana untuk setiap ܽଵ , ܽଶ ∈ ‫ܩ‬ଵ maka ܽଵ ∗ ܽଶ ∈ ‫ܩ‬ଵ , dan untuk setiap ܾଵ , ܾଶ ∈ ‫ܩ‬ଶ maka ܾଵ ∘ ܾଶ ∈ ‫ܩ‬ଶ , dengan didefinisikan ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ = {(ܽ, ܾ)|ܽ ∈ ‫ܩ‬ଵ ; ܾ ∈ ‫ܩ‬ଶ }. Didefinisikan operasi □ pada ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ yaitu (ܽଵ , ܾଵ )□(ܽ ଶ , ܾଶ ) = (ܽଵ ∗ ܽଶ , ܾଵ ∘ ܾଶ ). Sebelumnya, akan ditunjukkan bahwa (ܽଵ , ܾଵ )□(ܽଶ , ܾଶ ) = (ܽଵ ∗ ܽଶ , ܾଵ ∘ ܾଶ ) terdefinisi dengan baik. Harus ditunjukkan bahwa ݂: (‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ ) □ (‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ ) → ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ merupakan suatu fungsi. Misal (ܽଵ , ܾଵ )□(ܽଶ , ܾଶ ), (ܽଵ ᇱ , ܾଵ ᇱ )□(ܽଶ ᇱ , ܾଶ ᇱ ) ∈ (‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ ) □ (‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ ) dengan (ܽଵ , ܾଵ )□(ܽଶ , ܾଶ ) = (ܽଵ ᇱ , ܾଵ ᇱ )□(ܽଶ ᇱ , ܾଶ ᇱ ),

maka harus

ditunjukkan ݂[(ܽଵ , ܾଵ )□(ܽଶ , ܾଶ )] = ݂[(ܽଵ ᇱ , ܾଵ ᇱ )□(ܽଶ ᇱ , ܾଶ ᇱ )] Dengan menggunakan definisi ݂ dan karena (ܽଵ , ܾଵ )□(ܽଶ , ܾଶ ) = (ܽଵ ᇱ , ܾଵ ᇱ )□(ܽଶ ᇱ , ܾଶ ᇱ ) (ܽଵ ∗ ܽଶ , ܾଵ ∘ ܾଶ ) = (ܽଵ ᇱ ∗ ܽଶ ᇱ , ܾଵ ᇱ ∘ ܾଶ ᇱ ) [(ܽଵ , ܾଵ )□(ܽଶ , ܾଶ )] = ݂[(ܽଵ ᇱ , ܾଵ ᇱ )□(ܽଶ ᇱ , ܾଶ ᇱ )] Dengan demikian □ merupakan suatu fungsi, sehingga □ terdefinisi dengan baik di ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ .

59

60

Untuk menunjukkan bahwa ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ merupakan suatu grup, pertama akan

ditunjukkan untuk ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ tertutup terhadap operasi □ di ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ .

Diketahui untuk setiap ܽଵ , ܽଶ ∈ ‫ܩ‬ଵ maka ܽଵ ∗ ܽଶ ∈ ‫ܩ‬ଵ , dan untuk setiap

ܾଵ , ܾଶ ∈ ‫ܩ‬ଶ

maka

ܾଵ ∘ ܾଶ ∈ ‫ܩ‬ଶ .

Misal

(ܽଵ , ܾଵ ) dan(ܽଶ , ܾଶ ) ∈ ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ ,

ditunjukkan (ܽଵ , ܾଵ )□(ܽଶ , ܾଶ ) ∈ ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ . Karena

akan

(ܽଵ , ܾଵ )□(ܽଶ , ܾଶ ) = [(ܽଵ ∗ ܽଶ ), (ܾଵ ∘ ܾଶ )]

= (ܽଵ ∗ ܽଶ , ܾଵ ∘ ܾଶ ) ∈ ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ

Dengan demikian □ tertutup di ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ .

Kedua, akan ditunjukkan□assosiatif di ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ . Misal (ܽଵ , ܾଵ ), (ܽଶ , ܾଶ ) dan

(ܽଷ , ܾଷ ) ∈ ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ . Akan ditunjukkan Karena

(ܽଵ , ܾଵ )□(ܽଶ , ܾଶ )]□(ܽଷ , ܾଷ ) = (ܽଵ , ܾଵ )□[(ܽଶ , ܾଶ )□(ܽଷ , ܾଷ )].

[(ܽଵ , ܾଵ )□(ܽଶ , ܾଶ )]□(ܽଷ , ܾଷ ) = [(ܽଵ ∗ ܽଶ ), (ܾଵ ∘ ܾଶ )]□(ܽଷ , ܾଷ )

= [(ܽଵ ∗ ܽଶ ∗ ܽଷ ), (ܾଵ ∘ ܾଶ ∘ ܾଷ )]

= (ܽଵ , ܾଵ )□[(ܽଶ ∗ ܽଷ ), (ܾଶ ∘ ܾଷ )]

= (ܽଵ , ܾଵ )□[(ܽଶ , ܾଶ )□(ܽଷ , ܾଷ )]

Dengan demikian, □ assosiatif di ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ .

Ketiga, akan ditunjukkan bahwa terdapatelemen identitas terhadap □ di

‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ . Misal (ܽ, ܾ) ∈ ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ dan misal ‫ ∗ܫ‬elemen identitas di ‫ܩ‬ଵ ,dan ‫ ∘ܫ‬elemen

identitas di ‫ܩ‬ଶ . Akan ditunjukkan terdapat elemen identitas ‫ ∗ܫ( = □ܫ‬, ‫ ) ∘ܫ‬di ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ

yang memenuhi (ܽ, ܾ)□‫ܽ(□ □ܫ = □ܫ‬, ܾ) = (ܽ, ܾ).

61

‫ ∗ܫ‬elemen identitas di ‫ܩ‬ଵ , berarti untuk ∀ܽ ∈ ‫ܩ‬ଵ berlaku

ܽ ∗ ‫ ܽ = ܽ ∗ ∗ܫ = ∗ܫ‬................................................................................................. (3.1)

‫ ∘ܫ‬elemen identitas di ‫ܩ‬ଶ , berarti untuk ∀ܾ ∈ ‫ܩ‬ଶ berlaku

ܾ ∘ ‫ ܾ = ܾ ∘ ∘ܫ = ∘ܫ‬.................................................................................................. (3.2)

Karena elemen ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ merupakan pasangan terurut dan karena ‫ܩ‬ଵ , ‫ܩ‬ଶ grup,

maka untuk ∀ܽ ∈ ‫ܩ‬ଵ , ܾ ∈ ‫ܩ‬ଶ , dengan melihat persamaan (3.1) dan (3.2), maka berlaku

(ܽ, ܾ) = (ܽ ∗ ‫ ∗ܫ‬, ܾ ∘ ‫) ∘ܫ‬

= (ܽ, ܾ)□(‫ ∗ܫ‬, ‫ ) ∘ܫ‬........................................................................................... (3.3)

dan berlaku

(ܽ, ܾ) = (‫ܽ ∗ ∗ܫ‬, ‫)ܾ ∘ ∘ܫ‬

= (‫ ∗ܫ‬, ‫ܽ(□) ∘ܫ‬, ܾ) ........................................................................................... (3.4)

Sehingga dari (3.3) dan (3.4) diperoleh

(ܽ, ܾ) = (ܽ, ܾ)□(‫ ∗ܫ‬, ‫ ∗ܫ( = ) ∘ܫ‬, ‫ܽ(□) ∘ܫ‬, ܾ)

Dengan demikian diperoleh (‫ ∗ܫ‬, ‫ □ܫ = ) ∘ܫ‬. Sehingga identitas di ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ .

terdapat ‫ ∗ܫ( = □ܫ‬, ‫ ) ∘ܫ‬sebagai

Keempat, akan ditunjukkan bahwa setiap elemen punya invers di ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ .

Misal (ܽ, ܾ) ∈ ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ . Misal ‫ ∗ܫ‬elemen identitas di ‫ܩ‬ଵ sehingga ܽିଵ invers dari ܽ

terhadap ∗ di ‫ܩ‬ଵ , dan ‫ ∘ܫ‬elemen identitas di ‫ܩ‬ଶ sehingga ܾିଵ invers dari ܾ terhadap ∘ di ‫ܩ‬ଶ . Akan ditunjukkan terdapat (ܽ, ܾ)ିଵ invers sebarang elemen (ܽ, ܾ) di ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ

sehingga dipenuhi (ܽ, ܾ)□(ܽ, ܾ)ିଵ = ‫□ܫ‬.

62

Telah diketahui sebelumnya bahwa ‫ ∗ܫ( = □ܫ‬, ‫) ∘ܫ‬. Maka

(ܽ, ܾ)□(ܽ, ܾ)ିଵ = ‫ □ܫ‬............................................................................................. (3.5)

Selanjutnya,

(ܽ, ܾ)□(ܽିଵ , ܾିଵ ) = (ܽ ∗ ܽିଵ , ܾ ∘ ܾିଵ ) = (‫ ∗ܫ‬, ‫) ∘ܫ‬

= ‫ □ܫ‬.......................................................................................... (3.6)

Sehingga dari (3.5) dan (3.6), dengan menggunakan hukum kanselasi kiri diperoleh (ܽ, ܾ)□(ܽ, ܾ)ିଵ = (ܽ, ܾ)□(ܽିଵ , ܾ ିଵ )

Jadi (ܽ, ܾ)ିଵ = (ܽିଵ , ܾ ିଵ ). Sementara itu,

(ܽ, ܾ)ିଵ □(ܽ, ܾ) = ‫ □ܫ‬............................................................................................ (3.7)

Selanjutnya,

(ܽିଵ , ܾିଵ )□ (ܽ, ܾ) = (ܽ ∗ ܽ ିଵ , ܾ ∘ ܾ ିଵ ) = (‫ ∗ܫ‬, ‫) ∘ܫ‬

= ‫ □ܫ‬........................................................................................... (3.8)

Sehingga dari (3.7) dan (3.8), dengan menggunakan hukum kanselasi kanan diperoleh (ܽ, ܾ)ିଵ □(ܽ, ܾ) = (ܽିଵ , ܾ ିଵ )□ (ܽ, ܾ)

Jadi (ܽ, ܾ)ିଵ = (ܽିଵ , ܾ ିଵ ).

Dengan demikian, terdapat invers dari setiap elemen (ܽ, ܾ) di ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ yaitu

(ܽିଵ , ܾିଵ ). Karena keempat aksioma terpenuhi, maka ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ merupakan suatu grup.

Selanjutnya akan diselidiki apakah ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ merupakan grup abelian. Karena

dalam penelitian ini dibatasi setiap grup penyusun grup direct product ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ

merupakan grup siklik, maka jelas bahwa setiap grup penyusunnya merupakan grup

63

abelian. Selanjutnya akan diselidiki apakah untuk (‫ܩ‬ଵ ,∗), (‫ܩ‬ଶ ,∘) grup abelian, maka

(‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ , □) juga merupakan grup abelian. Di mana untuk setiap ܽଵ , ܽଶ ∈ ‫ܩ‬ଵ maka

ܽଵ ∗ ܽଶ = ܽଶ ∗ ܽଵ ∈ ‫ܩ‬ଵ , dan untuk setiap ܾଵ , ܾଶ ∈ ‫ܩ‬ଶ maka ܾଵ ∘ ܾଶ = ܾଶ ∘ ܾଵ ∈ ‫ܩ‬ଶ . Misal

(ܽଵ , ܾଵ ), (ܽଶ , ܾଶ ) ∈ ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ

(ܽଵ , ܾଵ )□(ܽଶ , ܾଶ ) = (ܽଶ , ܾଶ )□ (ܽଵ , ܾଵ ). Karena

akan

ditunjukkan

bahwa

(ܽଵ , ܾଵ )□(ܽଶ , ܾଶ ) = (ܽଵ ∗ ܽଶ , ܾଵ ∘ ܾଶ )

= (ܽଶ ∗ ܽଵ , ܾଶ ∘ ܾଵ )

= (ܽଶ , ܾଶ )□ (ܽଵ , ܾଵ )

Dengan demikian terbukti bahwa ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ merupakan grup abelian. Lemma3.1 LemmaGoursat

Misal ‫ܩ‬ଵ , ‫ܩ‬ଶ grup, dan misal ‫ ܪ‬subgrup dari ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ sedemikian hingga

kedua fungsi ‫݌‬ଵ : ‫ܩ → ܪ‬ଵ dan ‫݌‬ଶ : ‫ܩ → ܪ‬ଶ surjektif. Misal ܰଵ kernel dari ‫݌‬ଶ

dan ܰଶ kernel dari ‫݌‬ଵ . Sehingga dapat diidentifikasi ܰଵ sebagai subgrup normal dari ‫ܩ‬ଵ dan ܰଶ sebagai subgrup normal dari ‫ܩ‬ଶ . Maka bayangan ‫ܪ‬

adalah ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ × ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ yang merupakan graf isomorfisme ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ ≅ ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ (D. Anderson, 2009:1).

Bukti : Bukti dari Lemma Goursat akan dibahas bersamaan dengan penerapannya

pada grup ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ sebagai berikut.

Misal (‫ܩ‬ଵ ,∗) dan (‫ܩ‬ଶ ,∘) grup, (‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ , □) grup hasil direct product dari ‫ܩ‬ଵ

dan ‫ܩ‬ଶ , ‫ܩ ≤ ܪ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ dengan ‫ܽ({ = ܪ‬, ܾ)|ܽ ∈ ‫ܩ‬ଵ ; ܾ ∈ ‫ܩ‬ଶ }.

64

Diberikan fungsi

ߩଵ : ‫ܩ → ܪ‬ଵ dengan ߩଵ (ܽ, ܾ) = ܽ onto, ݇݁‫ߩ ݎ‬ଵ = ܰଶ ⊴ ‫ܩ‬ଶ .

ߩଶ : ‫ܩ → ܪ‬ଶ dengan ߩଶ (ܽ, ܾ) = ܾ onto, ݇݁‫ߩ ݎ‬ଶ = ܰଵ ⊴ ‫ܩ‬ଵ .

݇݁‫ߩ ݎ‬ଵ = ܰଶ ⊴ ‫ܩ‬ଶ berarti untuk ∀ܾ ∈ ‫ܩ‬ଶ berlaku ܾ ∘ ܰଶ = ܰଶ ∘ ܾ

݇݁‫ߩ ݎ‬ଶ = ܰଵ ⊴ ‫ܩ‬ଵ berarti untuk ∀ܽ ∈ ‫ܩ‬ଵ berlaku ܽ ∗ ܰଵ = ܰଵ ∗ ܽ

Dengan demikian ߩଵ (‫ܩ = )ܪ‬ଵ

ߩଵ (ܰଶ ) = ‫∗ܫ‬

ߩଶ (‫ܩ = )ܪ‬ଶ ߩଶ (ܰଵ ) = ‫∘ܫ‬

....................................................................................................... (3.9) ....................................................................................................... (3.10) ....................................................................................................... (3.11) ....................................................................................................... (3.12)

Akan ditunjukkan bayangan ‫ ܪ‬adalah ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ × ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ .

Sebelumnya akan ditunjukkan ߩଵ dan ߩଶ merupakan homomorfisme. Pertama,

akan ditunjukkan ߩଵ dan ߩଶ merupakan fungsi yang terdefinisi dengan baik. Misal (ܽଵ , ܾଵ ), (ܽଶ , ܾଶ ) ∈ ‫ ܪ‬dengan (ܽଵ , ܾଵ ) = (ܽଶ , ܾଶ ). Harus ditunjukkan ߩଵ (ܽଵ , ܾଵ ) = ߩଵ (ܽଶ , ܾଶ ).

(ܽଵ , ܾଵ ), (ܽଶ , ܾଶ ) ∈ ‫ ܪ‬berarti ܽଵ , ܽଶ ∈ ‫ܩ‬ଵ . Karena ‫ܩ‬ଵ grup, maka terdapat

ܽଶ ିଵ ∈ ‫ܩ‬ଵ sehingga berlaku ܽଵ ∗ ܽଶ ିଵ ∈ ‫ܩ‬ଵ . Karena (ܽଵ , ܾଵ ) = (ܽଶ , ܾଶ ), ini berarti bahwa untuk ‫ ∗ܫ‬elemen identitas di ‫ܩ‬ଵ berlaku ܽଵ ∗ ܽଶ ିଵ = ‫∗ܫ‬

ܽଵ ∗ ܽଶ ିଵ ∗ ܽଶ = ‫ܽ ∗ ∗ܫ‬ଶ

ܽଵ ∗ ‫ܽ ∗ ∗ܫ = ܫ‬ଶ

65

ܽଵ = ܽଶ

ߩଵ (ܽଵ , ܾଵ ) = ߩଵ (ܽଶ , ܾଶ )

Sehingga ߩଵ terdefinisi dengan baik. Sedangkan

untuk

menunjukkan

ߩଶ

terdefinisi

dengan

(ܽଵ , ܾଵ ), (ܽଶ , ܾଶ ) ∈ ‫ ܪ‬dengan (ܽଵ , ܾଵ ) = (ܽଶ , ܾଶ ), harus ditunjukkan ߩଶ (ܽଶ , ܾଶ ).

baik,

untuk

ߩଶ (ܽଵ , ܾଵ ) =

(ܽଵ , ܾଵ ), (ܽଶ , ܾଶ ) ∈ ‫ ܪ‬berarti ܾଵ , ܾଶ ∈ ‫ܩ‬ଶ . Karena ‫ܩ‬ଶ grup, maka terdapat

ܾଶ ିଵ ∈ ‫ܩ‬ଶ sehingga berlaku ܾଵ ∘ ܾଶ ିଵ ∈ ‫ܩ‬ଶ . Karena (ܽଵ , ܾଵ ) = (ܽଶ , ܾଶ ), ini berarti bahwa untuk ‫ ∘ܫ‬elemen identitas di ‫ܩ‬ଶ berlaku ܾଵ ∘ ܾଶ ିଵ = ‫∘ܫ‬

ܾଵ ∘ ܾଶ ିଵ ∘ ܾଶ = ‫ܾ ∘ ∘ܫ‬ଶ ܾଵ ∘ ‫ܾ ∘ ∘ܫ = ∘ܫ‬ଶ

ܾଵ = ܾଶ

ߩଶ (ܽଵ , ܾଵ ) = ߩଶ (ܽଶ , ܾଶ )

Dengan demikian ߩଶ juga terdefinisi dengan baik.

Selanjutnya akan ditunjukkan ߩଵ dan ߩଶ homomorfisme. Misal ܽଵ , ܽଶ ∈ ‫ܩ‬ଵ

dan ܾଵ , ܾଶ ∈ ‫ܩ‬ଶ . Karena ‫ܩ‬ଵ grup, maka ܽଵ ∗ ܽଶ ∈ ‫ܩ‬ଵ dan karena ‫ܩ‬ଶ grup, maka ܾଵ ∘ ܾଶ ∈ ‫ܩ‬ଶ . Dengan demikian berlaku

ߩଵ [(ܽଵ , ܾଵ )□(ܽଶ , ܾଶ )] = ߩଵ (ܽଵ ∗ ܽଶ , ܾଵ ∘ ܾଶ ) = ܽଵ ∗ ܽଶ

= ߩଵ (ܽଵ , ܾଵ ) ∗ ߩଵ (ܽଶ , ܾଶ ) , dan

66

ߩଶ [(ܽଵ , ܾଵ )□(ܽଶ , ܾଶ )] = ߩଶ (ܽଵ ∗ ܽଶ , ܾଵ ∘ ܾଶ ) = ܾଵ ∘ ܾଶ

= ߩଶ (ܽଵ , ܾଵ ) ∘ ߩଶ (ܽଶ , ܾଶ )

Jadi ߩଵ dan ߩଶ merupakan homomorfisme.

Karena ߩଵ homomorfisme dan ݇݁‫ߩ ݎ‬ଵ = ܰଶ , berdasarkan teorema kernel

(2.8.8) maka ܰଶ normal di ‫ ܪ‬yang berarti bahwa untuk setiap (ܽ, ܾ) ∈ ‫ ܪ‬berlaku (ܽ, ܾ)□ܰଶ = ܰଶ □(ܽ, ܾ)

yang juga berarti bahwa ܰଶ normal di ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ untuk setiap ܽ ∈ ‫ܩ‬ଵ dan ܾ ∈ ‫ܩ‬ଶ .

Dan juga karena ߩଶ homomorfisme dan ݇݁‫ߩ ݎ‬ଶ = ܰଵ , berdasarkan teorema kernel (2.8.8) maka ܰଵ normal di ‫ܪ‬, yang berarti untuk setiap (ܽ, ܾ) ∈ ‫ ܪ‬berlaku (ܽ, ܾ)□ܰଵ = ܰଵ □(ܽ, ܾ)

yang juga berarti bahwa ܰଵ normal di ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ untuk setiap ܽ ∈ ‫ܩ‬ଵ dan ܾ ∈ ‫ܩ‬ଶ .

Dengan demikian menurut Teorema Isomorfisme Pertama, karena ߩଵ : ‫ܩ → ܪ‬ଵ

homomorfisme dengan ‫ܩ ≤ ܪ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ , dan ܰଶ normal di ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ sehingga (‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ )/ܰଶ merupakan grup faktor, maka diperoleh

(‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ )/ܰଶ ≅ ‫ܩ‬ଵ .............................................................................................. (3.13)

Dan karena ߩଶ : ‫ܩ → ܪ‬ଶ homomorfisme dengan ‫ܩ ≤ ܪ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ , dan ܰଵ normal di

‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ sehingga (‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ )/ܰଵ merupakan grup faktor, maka diperoleh

(‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ )/ܰଵ ≅ ‫ܩ‬ଶ .............................................................................................. (3.14)

Sementara itu, untuk ∀ܽ ∈ ‫ܩ‬ଵ ; ∀ܾ ∈ ‫ܩ‬ଶ , ‫ ∗ܫ‬elemen identitas di ‫ܩ‬ଵ , dan ‫∘ܫ‬

elemen identitas di ‫ܩ‬ଶ . Untuk ܰଵ × ‫ܩ ≤ ∘ܫ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ berlaku

(ܰଵ , ‫ܽ(□) ∘ܫ‬, ܾ) = (ܰଵ ∗ ܽ, ‫ܰ ∗ ܽ( = )ܾ ∘ ∘ܫ‬ଵ , ܾ ∘ ‫ܽ( = ) ∘ܫ‬, ܾ)□(ܰଵ , ‫) ∘ܫ‬

67

sehingga ܰଵ × ‫ ∘ܫ‬normal di ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ .

Dan untuk ‫ܰ × ∗ܫ‬ଶ ≤ ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ berlaku

(‫ ∗ܫ‬, ܰଶ )□(ܽ, ܾ) = (‫ܽ ∗ ∗ܫ‬, ܰଶ ∘ ܾ) = (ܽ ∗ ‫ ∗ܫ‬, ܾ ∘ ܰଶ ) = (ܽ, ܾ)□(‫ ∗ܫ‬, ܰଶ )

sehingga ‫ܰ × ∗ܫ‬ଶ normal di ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ .

Akan diselidiki apakah ܰଵ × ‫ܰ ≅ ∘ܫ‬ଵ serta ‫ܰ × ∗ܫ‬ଶ ≅ ܰଶ dengan menyelidiki

apakah ߤଵ dan ߤଶ berikut merupakan isomorfisme di mana

ߤଵ : ܰଵ × ‫ܰ → ∘ܫ‬ଵ yang didefinisikan dengan ߤଵ (݊ଵ , ‫݊ = ) ∘ܫ‬ଵ ; ∀݊ଵ ∈ ܰଵ

ߤଶ : ‫ܰ × ∗ܫ‬ଶ → ܰଶ yang didefinisikan dengan ߤଶ (‫ ∗ܫ‬, ݊ଶ ) = ݊ଶ ; ∀݊ଶ ∈ ܰଶ

Pertama, diselidiki lebih dulu ߤଵ : ܰଵ × ‫ܰ → ∘ܫ‬ଵ dengan ߤଵ (݊ଵ , ‫݊ = ) ∘ܫ‬ଵ ; ∀݊ଵ ∈

ܰଵ . Misal (݊ଵଵ , ‫) ∘ܫ‬, (݊ଵଶ , ‫ܰ ∈ ) ∘ܫ‬ଵ × ‫ ∘ܫ‬dengan (݊ଵଵ , ‫݊( = ) ∘ܫ‬ଵଶ , ‫) ∘ܫ‬.

Karena (݊ଵଵ , ‫݊( = ) ∘ܫ‬ଵଶ , ‫ ) ∘ܫ‬berarti bahwa

݊ଵଵ ∗ ݊ଵଶ ିଵ = ‫∗ܫ‬ ݊ଵଵ = ݊ଵଶ

ߤଵ (݊ଵଵ , ‫ߤ = ) ∘ܫ‬ଵ (݊ଵଶ , ‫) ∘ܫ‬

sehingga ߤଵ terdefinisi dengan baik. Dan karena untuk ∀݊ଵ ∈ ܰଵ terdapat (݊ଵ , ‫∈ ) ∘ܫ‬

ܰଵ × ‫ ∘ܫ‬sedemikian hingga ߤଵ (݊ଵ , ‫݊ = ) ∘ܫ‬ଵ , maka ߤଵ onto. Kemudian misal ݊ଵଵ , ݊ଵଶ ∈

ܰଵ . Karena ܰଵ subgrup normal dari ‫ܩ‬ଵ maka ݊ଵଵ ∗ ݊ଵଶ ∈ ܰଵ , sehingga untuk

(݊ଵଵ , ‫) ∘ܫ‬, (݊ଵଶ , ‫ܰ ∈ ) ∘ܫ‬ଵ × ‫ ∘ܫ‬berlaku

ߤଵ [(݊ଵଵ , ‫݊(□) ∘ܫ‬ଵଶ , ‫ߤ = ]) ∘ܫ‬ଵ (݊ଵଵ ∗ ݊ଵଶ , ‫) ∘ܫ ∘ ∘ܫ‬ = ߤଵ (݊ଵଵ ∗ ݊ଵଶ , ‫) ∘ܫ‬

= ݊ଵଵ ∗ ݊ଵଶ

= ߤଵ (݊ଵଵ , ‫ߤ ∗ ) ∘ܫ‬ଵ (݊ଵଶ , ‫) ∘ܫ‬

68 Sehingga ߤଵ homomorfisme. Karena ߤଵ homomorfisme untuk

ߤଵ (݊ଵଵ , ‫) ∘ܫ‬, ߤଵ (݊ଵଶ , ‫ܰ ∈ ) ∘ܫ‬ଵ di mana ߤଵ (݊ଵଵ , ‫ߤ = ) ∘ܫ‬ଵ (݊ଵଶ , ‫ ) ∘ܫ‬maka ߤଵ (݊ଵଵ , ‫ߤ = ) ∘ܫ‬ଵ (݊ଵଶ , ‫) ∘ܫ‬

݊ଵଵ = ݊ଵଶ

݊ଵଵ ∗ ݊ଵଶ ିଵ = ‫ܫ‬ேభ ∈ ߤଵ (݇݁‫ߤ ݎ‬ଵ ); ‫ܫ‬ேభ elemen identitas di ܰଵ

ߤଵ ିଵ (݊ଵଵ ∗ ݊ଵଶ ିଵ ) = ‫ܫ‬ேభ ×ூ∘ ; ‫ܫ‬ேభ ×ூ∘ elemen identitas di ܰଵ × ‫∘ܫ‬ (݊ଵଵ ∗ ݊ଵଶ ିଵ , ‫ܫ = ) ∘ܫ‬ேభ ×ூ∘

(݊ଵଵ , ‫݊(□) ∘ܫ‬ଵଶ ିଵ , ‫ܫ = ) ∘ܫ‬ேభ ×ூ∘

(݊ଵଵ , ‫݊(□) ∘ܫ‬ଵଶ , ‫ି) ∘ܫ‬ଵ = ‫ܫ‬ேభ ×ூ∘

(݊ଵଵ , ‫݊(□) ∘ܫ‬ଵଶ , ‫ି) ∘ܫ‬ଵ □(݊ଵଶ , ‫ܫ = ) ∘ܫ‬ேభ ×ூ∘ □(݊ଵଶ , ‫) ∘ܫ‬ (݊ଵଵ , ‫ܫ □) ∘ܫ‬ேభ ×ூ∘ = ‫ܫ‬ேభ ×ூ∘ □(݊ଵଶ , ‫) ∘ܫ‬ (݊ଵଵ , ‫݊( = ) ∘ܫ‬ଵଶ , ‫) ∘ܫ‬

Dengan demikian ߤଵ fungsi satu-satu. Karena ߤଵ homomorfisme, onto dan satu-satu

maka ߤଵ : ܰଵ × ‫ܰ → ∘ܫ‬ଵ dengan ߤଵ (݊ଵ , ‫݊ = ) ∘ܫ‬ଵ ; ∀݊ଵ ∈ ܰଵ merupakan isomorfisme dan diperoleh

ܰଵ × ‫ܰ ≅ ∘ܫ‬ଵ ......................................................................................................... (3.15)

Selanjutnya diselidiki ߤଶ : ‫ܰ × ∗ܫ‬ଶ → ܰଶ yang dengan ߤଶ (‫ ∗ܫ‬, ݊ଶ ) = ݊ଶ ; ∀݊ଶ ∈

ܰଶ . Misal (‫ ∗ܫ‬, ݊ଶଵ ), (‫ ∗ܫ‬, ݊ଶଶ ) ∈ ‫ܰ × ∗ܫ‬ଶ dengan (‫ ∗ܫ‬, ݊ଶଵ ) = (‫ ∗ܫ‬, ݊ଶଶ ).

Karena (‫ ∗ܫ‬, ݊ଵଵ ) = (‫ ∗ܫ‬, ݊ଵଶ ) berarti bahwa

݊ଶଵ ∘ ݊ଶଶ ିଵ = ‫∘ܫ‬

݊ଶଵ = ݊ଶଶ

ߤଶ (‫ ∗ܫ‬, ݊ଶଵ ) = ߤଶ (‫ ∗ܫ‬, ݊ଶଶ )

69

sehingga ߤଶ terdefinisi dengan baik. Dan karena untuk ∀݊ଶ ∈ ܰଶ terdapat (‫ ∗ܫ‬, ݊ଶ ) ∈

‫ܰ × ∗ܫ‬ଶ sedemikian hingga ߤଶ (‫ ∗ܫ‬, ݊ଶ ) = ݊ଶ , maka ߤଶ onto. Kemudian misal

݊ଶଵ , ݊ଶଶ ∈ ܰଶ . Karena ܰଶ subgrup normal dari ‫ܩ‬ଶ maka ݊ଶଵ ∘ ݊ଶଶ ∈ ܰଶ , sehingga untuk (‫ ∗ܫ‬, ݊ଶଵ ), (‫ ∗ܫ‬, ݊ଶଶ ) ∈ ‫ܰ × ∗ܫ‬ଶ berlaku

ߤଶ [(‫ ∗ܫ‬, ݊ଶଵ )‫ ∗ܫ‬, ݊ଶଶ ] = ߤଶ (‫ ∗ܫ ∗ ∗ܫ‬, ݊ଶଵ ∘ ݊ଶଶ ) = ߤଶ (‫ ∗ܫ‬, ݊ଶଵ ∘ ݊ଶଶ )

= ݊ଶଵ ∘ ݊ଶଶ

= ߤଶ (‫ ∗ܫ‬, ݊ଶଵ ) ∗ ߤଶ (‫ ∗ܫ‬, ݊ଶଶ )

Sehingga ߤଶ homomorfisme. Dan untuk ߤଶ (‫ ∗ܫ‬, ݊ଶଵ ) ∗ ߤଶ (‫ ∗ܫ‬, ݊ଶଶ ) ∈ ܰଶ di mana

ߤଶ (‫ ∗ܫ‬, ݊ଶଵ ) = ߤଶ (‫ ∗ܫ‬, ݊ଶଶ ) maka berlaku ߤଶ (‫ ∗ܫ‬, ݊ଶଵ ) = ߤଶ (‫ ∗ܫ‬, ݊ଶଶ ) ݊ଶଵ = ݊ଶଶ

݊ଶଵ ∘ ݊ଶଶ ିଵ = ‫ܫ‬ேమ ∈ ߤଶ (݇݁‫ߤ ݎ‬ଶ ); ‫ܫ‬ேమ elemen identitas di ܰଶ

ߤଶ ିଵ (݊ଶଵ ∘ ݊ଶଶ ିଵ ) = ‫ܫ‬ூ∗×ேమ ; ‫ܫ‬ூ∗×ேమ elemen identitas di ‫ܰ × ∗ܫ‬ଶ

(‫ ∗ܫ‬, ݊ଶଵ ∘ ݊ଶଶ ିଵ ) = ‫ܫ‬ூ∗×ேమ

(‫ ∗ܫ‬, ݊ଶଵ )□(‫ ∗ܫ‬, ݊ଶଶ ିଵ ) = ‫ܫ‬ூ∗×ேమ (‫ ∗ܫ‬, ݊ଶଵ )□(‫ ∗ܫ‬, ݊ଶଶ )ିଵ = ‫ܫ‬ூ∗×ேమ

(‫ ∗ܫ‬, ݊ଶଵ )□(‫ ∗ܫ‬, ݊ଶଶ )ିଵ □(‫ ∗ܫ‬, ݊ଶଶ ) = ‫ܫ‬ூ∗×ேమ □(‫ ∗ܫ‬, ݊ଶଶ ) (‫ ∗ܫ‬, ݊ଶଵ )□‫ܫ‬ூ∗×ேమ = ‫ܫ‬ூ∗×ேమ □(‫ ∗ܫ‬, ݊ଶଶ )

(‫ ∗ܫ‬, ݊ଶଵ ) = (‫ ∗ܫ‬, ݊ଶଶ )

70

Dengan demikian ߤଶ fungsi satu-satu. Karena ߤଶ homomorfisme, onto dan satu-satu maka

ߤଶ : ‫ܰ × ∗ܫ‬ଶ → ܰଶ

yang

isomorfisme dan diperoleh

dengan

ߤଶ (‫ ∗ܫ‬, ݊ଶ ) = ݊ଶ ; ∀݊ଶ ∈ ܰଶ

merupakan

‫ܰ × ∗ܫ‬ଶ ≅ ܰଶ ....................................................................................................... (3.16)

Selanjutnya perhatikan kembali (3.13) dan (3.14). Misal (ܽ, ܾ) ∈ ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ

berarti ܽ ∈ ‫ܩ‬ଵ dan ܾ ∈ ‫ܩ‬ଶ . Karena ‫ܩ‬ଵ , ‫ܩ‬ଶ grup abelian maka untuk setiap ܽଵ , ܽଶ ∈ ‫ܩ‬ଵ

terdapat ܽଶ ିଵ ∈ ‫ܩ‬ଵ sehingga ܽଵ ∗ ܽଶ ିଵ = ܽଶ ିଵ ∗ ܽଵ ∈ ‫ܩ‬ଵ dan untuk setiap ܾଵ , ܾଶ ∈ ‫ܩ‬ଶ terdapat ܾଶ ିଵ ∈ ‫ܩ‬ଶ sehingga ܾଵ ∘ ܾଶ ିଵ = ܾଶ ିଵ ∘ ܾଵ ∈ ‫ܩ‬ଶ . Sehingga dengan

demikian berlaku

(‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ )/ܰଶ = (ܽ, ܾ)□ܰଶ

≅ (ܽ, ܾ)□(‫ ∗ܫ‬, ܰଶ ) ≅ (ܽ ∗ ‫ ∗ܫ‬, ܾ ∘ ܰଶ ) ≅ (ܽ, ܾ ∘ ܰଶ )

≅ ‫ܩ‬ଵ × (‫ܩ‬ଶ /ܰଶ ) .......................................................................... (3.17)

(‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ )/ܰଵ = (ܽ, ܾ)□ܰଵ

≅ (ܽ, ܾ)□(ܰଵ , ‫) ∘ܫ‬

≅ (ܽ ∗ ܰଵ , ܾ ∘ ‫) ∘ܫ‬

≅ (ܽ ∗ ܰଵ , ܾ)

≅ (‫ܩ‬ଵ /ܰଵ ) × ‫ܩ‬ଶ ............................................................................ (3.18)

Dari (3.13) dan (3.17) diperoleh

‫ܩ‬ଵ × (‫ܩ‬ଶ /ܰଶ ) ≅ ‫ܩ‬ଵ ............................................................................................. (3.19)

71

Dan dari (3.14) dan (3.18) diperoleh

(‫ܩ‬ଵ /ܰଵ ) × ‫ܩ‬ଶ ≅ ‫ܩ‬ଶ .............................................................................................. (3.20)

Perhatikan lagi (3.19) ‫ܩ‬ଵ × (‫ܩ‬ଶ /ܰଶ ) ≅ ‫ܩ‬ଵ

‫ܩ‬ଵ × (‫ܩ‬ଶ /ܰଶ ) × ‫ܩ ≅ ∘ܫ‬ଵ × ‫ ∵[ ∘ܫ‬mengalikan kedua ruas dengan ‫] ∘ܫ‬

‫ܩ‬ଵ × ((‫ܩ‬ଶ /ܰଶ ) ∘ ‫ܩ ≅ ) ∘ܫ‬ଵ × ‫∘ܫ‬ ‫ܩ‬ଵ × (‫ܩ‬ଶ /ܰଶ ) ≅ ‫ܩ‬ଵ × ‫∘ܫ‬ ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ ≅ ‫∘ܫ‬

[∵ hukum kanselasi kiri]

Dengan demikian diperoleh

‫ܩ‬ଶ /ܰଶ ≅ ‫ ∘ܫ‬.......................................................................................................... (3.21)

Perhatikan juga (3.20) (‫ܩ‬ଵ /ܰଵ ) × ‫ܩ‬ଶ ≅ ‫ܩ‬ଶ

‫ܩ( × ∗ܫ‬ଵ /ܰଵ ) × ‫ܩ‬ଶ ≅ ‫ܩ × ∗ܫ‬ଶ [∵ kedua ruas dikalikan dengan ‫] ∗ܫ‬ (‫ܩ( ∗ ∗ܫ‬ଵ /ܰଵ )) × ‫ܩ‬ଶ ≅ ‫ܩ × ∗ܫ‬ଶ

(‫ܩ‬ଵ /ܰଵ ) × ‫ܩ‬ଶ ≅ ‫ܩ × ∗ܫ‬ଶ

‫ܩ‬ଵ /ܰଵ ≅ ‫∗ܫ‬

[∵ hukum kanselasi kanan]

Dengan demikian diperoleh

‫ܩ‬ଵ /ܰଵ ≅ ‫ ∗ܫ‬........................................................................................................... (3.22)

Dari (3.10) dan (3.22) diperoleh


ߩଵ (ܰଶ ) = ‫∗ܫ‬ ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ ≅ ‫∗ܫ‬

ቑ ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ ≅ ߩଵ (ܰଶ ) ≤ ‫ܩ‬ଵ .................................................................. (3.23)

72

Dan dari (3.12) dan (3.21) diperoleh ߩଶ (ܰଵ ) = ‫∘ܫ‬


‫ܩ‬ଶ /ܰଶ ≅ ‫∘ܫ‬

ቑ ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ ≅ ߩଶ (ܰଵ ) ≤ ‫ܩ‬ଶ ................................................................. (3.24)

Sehingga dari (3.23) dan (3.24) diperoleh


‫ܩ‬ଵ /ܰଵ ≤ ‫ܩ‬ଵ

‫ܩ‬ଶ /ܰଶ ≤ ‫ܩ‬ଶ

ቑ (‫ܩ‬ଵ /ܰଵ ) × (‫ܩ‬ଶ /ܰଶ ) ≤ ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ ……...………………………… (3.25)

Dengan demikian ‫ ܪ‬subgrup dari ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ dapat direpresentasikan oleh

‫ܩ‬ଵ /ܰଵ × ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ .

Selanjutnya akan diselidiki hubungan antara ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ dan ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ . Didefinisikan

suatu fungsi ߮: ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ → ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ dengan ߮(ܽ ∗ ܰଵ ) = ܾ ∘ ܰଶ ; ∀ܽ ∈ ‫ܩ‬ଵ , ܾ ∈ ‫ܩ‬ଶ . Akan diselidiki apakah ߮ merupakan suatu isomorfisme.

Pertama, akan ditunjukkan ߮: ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ → ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ dengan ߮(ܽ ∗ ܰଵ ) = ܾ ∘ ܰଶ

merupakan fungsi yang terdefinisi dengan baik. Sebelumnya misal terdapat suatu

fungsi ݂: ‫ܩ‬ଵ → ‫ܩ‬ଶ homomorfisme dengan ݂(ܽ) = ܾ; ∀ܽ ∈ ‫ܩ‬ଵ , ܾ ∈ ‫ܩ‬ଶ di mana untuk ∀ܽଵ , ܽଶ ‫ܩ‬ଵ ; ܾଵ , ܾଶ ∈ ‫ܩ‬ଶ berlaku ݂ (ܽଵ ∗ ܽଶ ) = ܾଵ ∘ ܾଶ = ݂ (ܽଵ ) ∘ ݂ (ܽଶ ). Misal ܽଵ ∗

ܰଵ , ܽଶ ∗ ܰଵ ∈ ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ di mana ܽଵ ∗ ܰଵ = ܽଶ ∗ ܰଵ dan misal ܾଵ , ܾଶ ∈ ‫ܩ‬ଶ . Akan

ditunjukkan ߮(ܽଵ ∗ ܰଵ ) = ߮(ܽଶ ∗ ܰଵ ). Karena ܽଵ ∗ ܰଵ = ܽଶ ∗ ܰଵ

ܽଵ ∗ ܽଶ ିଵ = ‫݂ ݎ݁݇ ∈ ∗ܫ‬ ݂(ܽଵ ∗ ܽଶ ିଵ ) = ‫∘ܫ‬

݂(ܽଵ ) ∘ ݂(ܽଶ ିଵ ) = ‫∘ܫ‬

݂(ܽଵ ) ∘ [݂(ܽଶ )]ିଵ = ‫∘ܫ‬

[∵ ݂ homomorfisme]

73

ܾଵ ∘ (ܾଶ )ିଵ = ‫∘ܫ‬

ܾଵ ∘ (ܾଶ )ିଵ ∘ ܾଶ = ‫ܾ ∘ ∘ܫ‬ଶ

ܾଵ ∘ [(ܾଶ )ିଵ ∘ ܾଶ ] = ‫ܾ ∘ ∘ܫ‬ଶ ܾଵ ∘ ‫ܾ ∘ ∘ܫ = ∘ܫ‬ଶ

ܾଵ = ܾଶ

ܾଵ ∘ ܰଶ = ܾଶ ∘ ܰଶ [∵ kedua ruas dioperasikan terhadap ܰଶ ] ߮(ܽଵ ∗ ܰଵ ) = ߮(ܽଶ ∗ ܰଵ )

Dengan demikian ߮ terdefinisi dengan baik. Dan karena untuk ∀ܾ ∘ ܰଶ ∈ ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ

terdapat ܽ ∗ ܰଵ ∈ ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ sedemikian hingga ߮(ܽ ∗ ܰଵ ) = ܾ ∘ ܰଶ , maka ߮ onto. berlaku

Selanjutnya misal ܽଵ ∗ ܰଵ , ܽଶ ∗ ܰଵ ∈ ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ dan ܾଵ ∘ ܰଶ , ܾଶ ∘ ܰଶ ∈ ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ

߮[(ܽଵ ∗ ܰଵ ) ∗ (ܽଶ ∗ ܰଵ )] = ߮[(ܽଵ ∗ ܽଶ ) ∗ ܰଵ ] = (ܾଵ ∘ ܾଶ ) ∘ ܰଶ

= (ܾଵ ∘ ܰଶ ) ∘ (ܾଶ ∘ ܰଶ )

= ߮(ܽଵ ∗ ܰଵ ) ∘ ߮(ܽଶ ∗ ܰଵ )

Dengan demikian ߮ merupakan homomorfisme.

Selanjutnya misal ܽଵ ∗ ܰଵ , ܽଶ ∗ ܰଵ ∈ ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ dan ߮(ܽଵ ∗ ܰଵ ), ߮(ܽଶ ∗ ܰଵ ) ∈

‫ܩ‬ଶ /ܰଶ di mana ߮(ܽଵ ∗ ܰଵ ) = ߮(ܽଶ ∗ ܰଵ ). Untuk menunjukkan ߮ merupakan fungsi satu-satu, maka harus ditunjukkan ܽଵ ∗ ܰଵ = ܽଶ ∗ ܰଵ . Sebelumnya misal terdapat

suatu fungsi ݂: ‫ܩ‬ଵ → ‫ܩ‬ଶ homomorfisme dengan ݂(ܽ) = ܾ; ∀ܽ ∈ ‫ܩ‬ଵ , ܾ ∈ ‫ܩ‬ଶ . Karena

berlaku

74

߮(ܽଵ ∗ ܰଵ ) = ߮(ܽଶ ∗ ܰଵ ) ܾଵ ∘ ܰଶ = ܾଶ ∘ ܰଶ

ܾଵ ∘ ܾଶ ିଵ = ‫)݂ ݎ݁݇(݂ ∈ ∘ܫ‬ ݂ ିଵ (ܾଵ ∘ ܾଶ ିଵ ) = ‫∗ܫ‬

݂ ିଵ (ܾଵ ) ∗ ݂ ିଵ (ܾଶ ିଵ ) = ‫∗ܫ‬

[݂(ܾଵ )]ିଵ ∗ [݂(ܾଶ ିଵ )]ିଵ = ‫∗ܫ‬

[∵ ݂ homomorfisme]

[݂(ܾଵ )]ିଵ ∗ [[݂(ܾଶ )]ିଵ ]ିଵ = ‫∗ܫ‬

[݂(ܾଵ )]ିଵ ∗ ݂(ܾଶ ) = ‫∗ܫ‬ ܽଵ ିଵ ∗ ܽଶ = ‫∗ܫ‬

ܽଵ ∗ ܽଵ ିଵ ∗ ܽଶ = ܽଵ ∗ ‫∗ܫ‬

(ܽଵ ∗ ܽଵ ିଵ ) ∗ ܽଶ = ܽଵ ∗ ‫∗ܫ‬

‫ܽ ∗ ∗ܫ‬ଶ = ܽଵ ∗ ‫∗ܫ‬ ܽଶ = ܽଵ

ܽଵ = ܽଶ

ܽଵ ∗ ܰଵ = ܽଶ ∗ ܰଵ

[∵ kedua ruas dioperasikan terhadap ܰଵ ]

Sehingga ߮ merupakan fungsi satu-satu. Karena ߮ onto, homomorfisme, dan satusatu,

maka

߮: ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ → ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ

dengan

߮(ܽ ∗ ܰଵ ) = ܾ ∘ ܰଶ ; ∀ܽ ∈ ‫ܩ‬ଵ , ܾ ∈ ‫ܩ‬ଶ

merupakan fungsi isomorfisme. Dengan kata lain ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ ≅ ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ .

Karena ‫ ܪ‬subgrup dari ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ dapat direpresentasikan oleh ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ × ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ ,

dan hubungan ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ dan ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ dapat dinyatakan dengan ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ ≅ ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ , dengan

demikian ‫ ܪ‬dapat dicari dengan mencari himpunan yang sesuai dengan banyaknya isomorfisme yang terjadi dari ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ ke ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ .

75

Berikutnya, didefinisikan suatu himpunan ‫ܪ‬ఝ yang merepresentasikan

isomorfisme yang terjadi dari ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ ke ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ , dengan

‫ܪ‬ఝ = {(ܽ, ܾ) ∈ ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ |߮(ܽ ∗ ܰଵ ) = ܾ ∘ ܰଶ ; ܽ ∈ ‫ܩ‬ଵ ; ܾ ∈ ‫ܩ‬ଶ }

Akan diselidiki ‫ܪ‬ఝ merupakan subgrup dari ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ .

Sebelumnya akan ditunjukkan bahwa ‫ܪ‬ఝ tidak kosong. Karena ‫ܪ‬ఝ merupakan

pasangan terurut (ܽ, ܾ) di mana ܽ ∈ ‫ܩ‬ଵ ; ܾ ∈ ‫ܩ‬ଶ . Karena ‫ܩ‬ଵ grup maka ‫ܩ ∈ ∗ܫ‬ଵ Jadi ‫ܩ‬ଵ ≠ ∅

‫ܩ‬ଶ grup maka ‫ܩ ∈ ∘ܫ‬ଶ

Jadi ‫ܩ‬ଶ ≠ ∅

Karena ‫ܩ‬ଵ ≠ ∅ dan ‫ܩ‬ଶ ≠ ∅, maka ‫ܪ‬ఝ = {(ܽ, ܾ) ∈ ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ } ≠ ∅. Dengan demikian

‫ܪ‬ఝ bukan himpunan kosong.

Untuk menunjukkan ‫ܪ‬ఝ subgrup dari ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ , maka harus ditunjukkan ‫ܪ‬ఝ

memenuhi kondisi perlu dan cukup bagi ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ . Misal (ܽଵ , ܾଵ ), (ܽଶ , ܾଶ ) ∈ ‫ܪ‬ఝ

berarti ܽଵ , ܽଶ ∈ ‫ܩ‬ଵ dan ܾଵ , ܾଶ ∈ ‫ܩ‬ଶ . Karena ‫ܩ‬ଵ grup, maka terdapat ܽଶ ିଵ ∈ ‫ܩ‬ଵ

sehingga ܽଵ ∗ ܽଶ ିଵ ∈ ‫ܩ‬ଵ . Dan karena ‫ܩ‬ଶ grup, maka terdapat ܾଶ ିଵ ∈ ‫ܩ‬ଶ sehingga ܾଵ ∘ ܾଶ ିଵ ∈ ‫ܩ‬ଶ , sehingga berlaku

߮[(ܽଵ ∗ ܽଶ ିଵ ) ∗ ܰଵ ] = ߮[(ܽଵ ∗ ܰଵ ) ∗ (ܽଶ ିଵ ∗ ܰଵ )] = ߮(ܽଵ ∗ ܰଵ ) ∘ ߮(ܽଶ ିଵ ∗ ܰଵ )

= ߮(ܽଵ ∗ ܰଵ ) ∘ ߮[(ܽଶ ∗ ܰଵ )ିଵ ] = ߮(ܽଵ ∗ ܰଵ ) ∘ [߮(ܽଶ ∗ ܰଵ )]ିଵ

= (ܾଵ ∘ ܰଶ ) ∘ (ܾଶ ∘ ܰଶ )ିଵ

76

= (ܾଵ ∘ ܰଶ ) ∘ ( ܾଶ ିଵ ∘ ܰଶ ) = (ܾଵ ∘ ܾଶ ିଵ ) ∘ ܰଶ

Dengan demikian terbukti bahwa ‫ܪ‬ఝ subgrup dari ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ .

Berdasarkan pembahasan Lemma Goursat di atas, ada dua kondisi yang

dideskripsikan Lemma Goursat terhadap grup ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ sebagai berikut:

Misal (‫ܩ‬ଵ ,∗) dan (‫ܩ‬ଶ ,∘) grup dan ܰଵ ⊴ ‫ܩ‬ଵ dan ܰଶ ⊴ ‫ܩ‬ଶ , maka 1.

Misal ‫ܩ ≤ ܪ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ

‫݌‬ଵ : ‫ܩ → ܪ‬ଵ dengan ‫݌‬ଵ (‫ܩ = )ܪ‬ଵ onto di mana ݇݁‫݌ ݎ‬ଵ = ܰଶ ; ܰଶ ⊴ ‫ܩ‬ଶ

‫݌‬ଶ : ‫ܩ → ܪ‬ଶ dengan ‫݌‬ଶ (‫ܩ = )ܪ‬ଶ onto di mana ݇݁‫݌ ݎ‬ଶ = ܰଵ ; ܰଵ ⊴ ‫ܩ‬ଵ 2.

Maka bayangan ‫ ܪ‬adalah ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ × ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ .

Hubungan ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ dan ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ dapat dinyatakan oleh fungsi isomorfisme

߮: ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ → ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ

dengan

߮(ܽ ∗ ܰଵ ) = ܾ ∘ ܰଶ

untuk

∀ܽ ∈ ‫ܩ‬ଵ ; ܾ ∈ ‫ܩ‬ଶ .

Sehingga ‫ ܪ‬dapat dinyatakan oleh himpunan yang merepresentasikan

isomorfisme dari ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ ke ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ , yaitu ‫ܪ‬ఝ = {(ܽ, ܾ) ∈ ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ |߮(ܽ ∗ ܰଵ ) =

ܾ ∘ ܰଶ ; ܽ ∈ ‫ܩ‬ଵ ; ܾ ∈ ‫ܩ‬ଶ } subgrup dari ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ . Di mana elemen ‫ܪ‬ఝ ekuivalen

dengan elemen ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ × ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ , sehingga semua subgrup dari ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ yaitu ‫ܪ‬

termuat dalam bentuk ‫ܪ‬ఝ .

Selanjutnya akan diberikan beberapa contoh penerapan Lemma Goursat untuk

grup direct product rank dua dengan penyusun berupa grup siklik untuk kasus generator yang berbeda-beda.

77

Contoh 3.1 :

Kasus ℤ૛ × ℤ૛

Misal ‫ܩ‬ଵ = ℤଶ = {0ത, 1ത} dan ‫ܩ‬ଶ = ℤଶ = {0ത, 1ത} merupakan grup bilangan bulat

modulo 2.

Tabel 3.1 Subgrup dari ‫ܩ‬ଵ = ℤଶ = {0ത, 1ത} dan ‫ܩ‬ଶ = ℤଶ = {0ത, 1ത}

‫ܩ‬ଵ

ℤଶ = {0ത, 1ത} ℤଶ = {0ത, 1ത} {0ത} ‫ܩ‬ଶ

ℤଶ = {0ത, 1ത} ℤଶ = {0ത, 1ത} {0ത}

ത} Subgrup dari ‫ܩ‬ଵ = ℤଶ = {0ത, 1 ܰଵ

ℤଶ = {0ത, 1ത}

‫ܩ‬ଵ /ܰଵ

ℤଶ /ℤଶ = {{0ത, 1ത}}

{0ത}

ℤଶ /{0ത} = {{0ത}, {1ത}}

ܰଶ

‫ܩ‬ଶ /ܰଶ

{0ത}

{0ത} {0ത}

1

ത }/{0ത} = {0ത} {0

2

ℤଶ /ℤଶ = {{0ത, 1ത}}

Order

Subgrup dari ‫ܩ‬ଶ = ℤଶ = {0ത, 1ത}

ℤଶ = {0ത, 1ത}

Order

ℤଶ /{0ത} = {{0ത}, {1ത}} ത }/{0ത} = {0ത} {0

1

1 2 1

Sumber: Kristina Kublik, 2009, diolah.

Dengan demikian, isomorfisme yang terjadi dari ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ ke ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ adalah sebagai

berikut:

Isomorfisme grup faktor ber-order satu yaitu: (i) ߮ଵ : ℤଶ /ℤଶ → ℤଶ /ℤଶ

ത , 1ത] → [0ത, 1 ത] di mana ߮ଵ : [0

ത ), (0ത, 1ത), (1ത, 0ത), (1 ത , 1ത)} = ℤଶ × ℤଶ Sehingga subgrup ‫ܪ‬ఝభ = {(0ത, 0

78

(ii) ߮ଶ : ℤଶ /ℤଶ → {0ത}/{0ത}

ത , 1ത] → [0ത] di mana ߮ଶ : [0

ത ), (1ത, 0ത)} = (< 1ത > ,0) Sehingga subgrup ‫ܪ‬ఝమ = {(0ത, 0

ത }/{0ത} → ℤଶ /ℤଶ (iii) ߮ଷ : {0

ത ] → [0 ത , 1ത] di mana ߮ଷ : [0

ത ), (0ത, 1ത)} = (0ത, < 1ത >) Sehingga subgrup ‫ܪ‬ఝయ = {(0ത, 0

ത }/{0ത} (iv) ߮ସ : {0ത}/{0ത} → {0 ത ] → [0 ത] di mana ߮ସ : [0

ത )} Sehingga subgrup ‫ܪ‬ఝర = {(0ത, 0

Sedangkan isomorfisme grup faktor ber-order dua yaitu: ത } → ℤଶ /{0ത} ߮ହ : ℤଶ /{0

ത ത di mana ߮ହ : ൤0൨ → ൤0൨ ത1 1ത

ത ), (1ത, 1ത)} Sehingga subgrup ‫ܪ‬ఝఱ = {(0ത, 0

Dengan demikian, terdapat satu buah subgrup yang diperoleh yaitu ‫ܪ‬ఝఱ =

ത , 1ത)}, yang tidak akan dapat diperoleh dengan menggunakan direct product {(0ത, 0ത), (1 langsung Diagram Lattice ℤଶ dan ℤଶ . Sehingga Diagram Lattice dari ℤଶ × ℤଶ adalah sebagai berikut:

79

‫ܪ‬ఝమ

‫ܪ‬ఝభ

‫ܪ‬ఝఱ

‫ܪ‬ఝర

‫ܪ‬ఝయ

Gambar 3.1 Diagram Lattice ℤଶ × ℤଶ

Contoh 3.2 :

Kasusℤ૛ × ℤ૜

Misal ‫ܩ‬ଵ = ℤଶ = {0ത, 1ത} merupakan grup bilangan bulat modulo 2 dan ‫ܩ‬ଶ =

ത } merupakan grup bilangan bulat modulo 3. ℤଷ = {0ത, 1ത, 2 Tabel 3.2 Subgrup dari ‫ܩ‬ଵ = ℤଶ = {0ത, 1ത} dan ‫ܩ‬ଶ = ℤଷ = {0ത, 1ത, 2ത}

‫ܩ‬ଵ

ℤଶ = {0ത, 1ത} ℤଶ = {0ത, 1ത} {0ത} ‫ܩ‬ଶ

ത , 2ത} ℤଷ = {0ത, 1 ത , 2ത} ℤଷ = {0ത, 1 {0ത}

ത} Subgrup dari ‫ܩ‬ଵ = ℤଶ = {0ത, 1 ܰଵ

ℤଶ = {0ത, 1ത}

‫ܩ‬ଵ /ܰଵ

ത }} ℤଶ /ℤଶ = {{0ത, 1

{0ത}

ത }, {1ത}} ℤଶ /{0ത} = {{0

ܰଶ

‫ܩ‬ଶ /ܰଶ

{0ത}

{0ത} {0ത}

1

{0ത}/{0ത} = {0ത}

2

ℤଷ /ℤଷ = {{0ത, 1ത, 2ത}}

Order

ത , 1ത, 2 ത} Subgrup dari ‫ܩ‬ଶ = ℤଷ = {0

ത , 2ത} ℤଷ = {0ത, 1

Order

ℤଷ /{0ത} = {{0ത}, {1ത}, {2ത}} {0ത}/{0ത} = {0ത}

1

1 3 1

Sumber: Kristina Kublik, 2009, diolah.

80

Jadi, isomorfisme yang terjadi dari ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ ke ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ adalah sebagai berikut:

Isomorfisme grup faktor ber-order satu yaitu: (i) ߮ଵ : ℤଶ /ℤଶ → ℤଷ /ℤଷ

ത , 1ത] → [0ത, 1 ത , 2ത] di mana ߮ଵ : [0

ത ), (1ത, 0ത), (0ത, 1ത), (1 ത , 1ത), (0ത, 2ത), (1ത, 2ത)} = ℤଶ × ℤଷ Sehingga subgrup ‫ܪ‬ఝభ = {(0ത, 0

(ii) ߮ଶ : ℤଶ /ℤଶ → {0ത}/{0ത}

ത , 1ത] → [0ത] di mana ߮ଶ : [0

ത ), (1ത, 0ത)} Sehingga subgrup ‫ܪ‬ఝమ = {(0ത, 0

ത }/{0ത} → ℤଷ /ℤଷ (iii) ߮ଷ : {0

ത ] → [0 ത , 1ത, 2 ത] di mana ߮ଷ : [0

ത ), (0ത, 1ത), (0ത, 2ത)} Sehingga subgrup ‫ܪ‬ఝయ = {(0ത, 0

ത }/{0ത} (iv) ߮ସ : {0ത}/{0ത} → {0 ത ] → [0 ത] di mana ߮ସ : [0

ത )} Sehingga subgrup ‫ܪ‬ఝర = {(0ത, 0

Dengan demikian Diagram Lattice dari ℤଶ × ℤଷ sebagai berikut: ‫ܪ‬ఝమ

‫ܪ‬ఝభ

‫ܪ‬ఝర

‫ܪ‬ఝయ

Gambar. 3.2 Diagram Lattice ℤଶ × ℤଷ

81

Dari gambar di atas, ternyata Diagram Lattice yang diperoleh sama dengan hasil

perolehan direct product Diagram Lattice ℤଶ dan ℤଷ . Jadi terlihat bahwa penggunaan

Lemma Goursat berlaku juga untuk direct product grup dengan generator berfaktor pembagi prima. Contoh 3.3 :

Kasus ℤ૛ × ℤ૝

Misal ‫ܩ‬ଵ = ℤଶ = {0ത, 1ത} merupakan grup bilangan bulat modulo 2, dan ‫ܩ‬ଶ =

ത , 3ത}merupakan grup bilangan bulat modulo 4. ℤସ = {0ത, 1ത, 2 Tabel 3.3 Subgrup dari ‫ܩ‬ଵ = ℤଶ = {0ത, 1ത} dan ‫ܩ‬ଶ = ℤସ = {0ത, 1ത, 2ത, 3ത}

‫ܩ‬ଵ

ℤଶ

ܰଵ

{0ത}

‫ܩ‬ଶ

ܰଶ

ℤସ

‫ܩ‬ଵ /ܰଵ

ℤଶ /ℤଶ = {{0ത, 1ത}}

ℤଶ

ℤଶ

{0ത}

ത} Subgrup dari ‫ܩ‬ଵ = ℤଶ = {0ത, 1

{0ത} ℤସ

< 2ത > = {0ത, 2ത}

< 2ത >

{0ത}

< 2ത > {0ത}

1

{0ത}/{0ത} = {0ത}

2

ℤସ /ℤସ = {{0ത, 1ത, 2ത, 3ത}}

Order

< 2ത >/< 2ത >= {0ത, 2ത}

4

Subgrup dari ‫ܩ‬ଶ = ℤସ = {0ത, 1ത, 2ത, 3ത}

ℤସ ℤସ

ത } = {{0ത}, {1ത}} ℤଶ /{0

Order

‫ܩ‬ଶ /ܰଶ

1

ത >= {{0ത, 2ത}, {1 ത , 3ത}} ℤସ /< 2

1

< 2ത >/{0ത} = {{0ത}, {2ത}}

1

{0ത}

ℤସ /{0ത} = {{0ത}, {1ത}, {2ത}, {3ത}}

2

{0ത}

ത }/{0ത} = {0ത} {0

2

< 2ത >

1

Sumber: Kristina Kublik, 2009, diolah.

82

Jadi, isomorfisme yang terjadi dari ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ ke ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ adalah sebagai berikut:

Isomorfisme grup faktor ber-order satu yaitu: (i) ߮ଵ : ℤଶ /ℤଶ → ℤସ /ℤସ

߮ଵ : [0ത, 1ത] → [0ത, 1ത, 2ത, 3ത]

ത ), (1ത, 0ത), (0ത, 1ത), (1 ത , 1ത), (0ത, 2ത), (1ത, 2ത), (0ത, 3ത), (1ത, 3 ത )} Sehingga subgrup ‫ܪ‬ఝభ = {(0ത, 0 = ℤଶ × ℤସ

(ii) ߮ଶ : ℤଶ /ℤଶ →< 2ത >/< 2ത > ത , 1ത] → [0ത, 2 ത] di mana ߮ଶ : [0

ത ), (1ത, 0ത), (0ത, 2ത), (1 ത , 2ത)} Sehingga subgrup ‫ܪ‬ఝమ = {(0ത, 0

(iii) ߮ଷ : ℤଶ /ℤଶ → {0ത}/{0ത}

ത , 1ത] → [0ത] di mana ߮ଷ : [0

ത ), (1ത, 0ത)} Sehingga subgrup ‫ܪ‬ఝయ = {(0ത, 0

(iv) ߮ସ : {0ത}/{0ത} → ℤସ /ℤସ

ത ] → [0 ത , 1ത, 2 ത , 3ത] di mana ߮ସ : [0

ത ), (0ത, 1ത), (0ത, 2ത), (0 ത , 3ത)} Sehingga subgrup ‫ܪ‬ఝర = {(0ത, 0

ത }/{0ത} →< 2 ത >/< 2ത > (v) ߮ହ : {0 ത ] → [0 ത , 2ത] di mana ߮ହ : [0

ത ), (0ത, 2ത)} Sehingga subgrup ‫ܪ‬ఝఱ = {(0ത, 0

ത }/{0ത} → {0 ത }/{0ത} (vi) ߮଺ : {0 ത ] → [0 ത] di mana ߮଺ : [0

ത )} Sehingga subgrup ‫ܪ‬ఝల = {(0ത, 0

83

Sedangkan isomorfisme grup faktor ber-order dua yaitu: (i) ߮଻ : ℤଶ /{0} → ℤସ /< 2ത > ത 0ത, 2ത ߮ ଻ : ൤0൨ → ൤ ൨ 1ത, 3ത 1ത

ത ), (0ത, 2ത), (1ത, 1ത), (1 ത , 3ത)} Sehingga subgrup ‫ܪ‬ఝళ = {(0ത, 0

ത } →< 2ത >/{0ത} (ii) ଼߮ : ℤଶ /{0 ത ത ߮ ଼ : ൤0൨ → ൤0൨ ത1 2ത

ത ), (1ത, 2ത)} Sehingga subgrup ‫ܪ‬ఝఴ = {(0ത, 0

Dengan demikian, terdapat diperoleh dua buah subgrup yang tidak dapat diperoleh

dengan menggunakan direct product Diagram Lattice ℤଶ dan ℤସ , yaitu ‫ܪ‬ఝళ =

ത , 2ത), (1ത, 1ത), (1ത, 3ത)} dan ‫ܪ‬ఝ = {(0ത, 0ത), (1ത, 2 ത )}, Sehingga Diagram Lattice {(0ത, 0ത), (0 ఴ

dari ℤଶ × ℤସ adalah sebagai berikut: ‫ܪ‬ఝమ

‫ܪ‬ఝయ

‫ܪ‬ఝభ

‫ܪ‬ఝఴ ‫ܪ‬ఝల

‫ܪ‬ఝళ

‫ܪ‬ఝర

‫ܪ‬ఝఱ

Gambar. 3.3 Diagram Lattice ℤଶ × ℤସ

84

Contoh 3.4 :

Kasus ℤ૛ × ℤ૟

Misal ‫ܩ‬ଵ = ℤଶ = {0ത, 1ത} merupakan grup bilangan bulat modulo 2 dan ‫ܩ‬ଶ =

ത , 3ത, 4 ത , 5ത} merupakan grup bilangan bulat modulo 6. ℤ଺ = {0ത, 1ത, 2 Tabel 3.4 Subgrup dari ‫ܩ‬ଵ = ℤଶ = {0ത, 1ത} dan ‫ܩ‬ଶ = ℤ଺ = {0ത, 1ത, 2ത, 3ത, 4ത, 5ത}

‫ܩ‬ଵ

ℤଶ

ܰଵ ℤଶ

ത} Subgrup dari ‫ܩ‬ଵ = ℤଶ = {0ത, 1 ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ

ത }} ℤଶ /ℤଶ = {{0ത, 1

ℤଶ

{0ത}

ℤଶ /{0ത} = {{0ത}, {1ത}}

‫ܩ‬ଶ

ܰଶ

‫ܩ‬ଶ /ܰଶ

{0ത} ℤ଺ ℤ଺ ℤ଺

ℤ଺

< 2ത > < 2ത >

< 3ത >

< 3ത > {0ത}

{0ത}

Order 1

{0ത}/{0ത} = {0ത}

2

ത , 2ത, 3 ത , 4ത, 5ത}} ℤ଺ /ℤ଺ = {{0ത, 1

Order

{0ത}

ത }, {5ത}} ℤ଺ /{0ത} = {{0ത}, {1ത}, {2ത}, {3ത}, {4

3

< 3ത > = {0ത, 3ത}

ത >/< 3ത >= {0ത, 3ത} <3

Subgrup dari ‫ܩ‬ଶ = ℤ଺ = {0ത, 1ത, 2ത, 3ത, 4ത, 5ത}

ℤ଺

ത , 2ത, 4ത} < 2ത > = {0 < 3ത > = {0ത, 3ത}

< 2ത >= {0ത, 2ത, 4ത} {0ത}

{0ത}

{0ത}

1

ത , 2ത, 4 ത , 5ത}} ത }, {1ത, 3 ℤ଺ /< 2ܾ >= {{0

1

ത >= {0 ത , 2ത, 4 ത} < 2ത >/< 2

6

ℤ଺ /< 3ܾ > = {{0ത, 3ത}, {1ത, 4ത}, {2ത, 5ത}}

2

ത >/{0ത} = {{0ത}, {2ത}, {4ത}} <2

1

{0ത}/{0ത} = {0ത}

2

ത }, {3ത}} < 3ത >/{0ത} = {{0

1

1

Sumber: Kristina Kublik, 2009, diolah.

Jadi, isomorfisme yang terjadi dari ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ ke ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ adalah sebagai berikut:

Isomorfisme grup faktor ber-order satu yaitu:

3

85

(i) ߮ଵ : ℤଶ /ℤଶ → ℤ଺ /ℤ଺

߮ଵ : [0ത, 1ത] → ൣ0ത, 1ത, 2ത, 3ത, 4ത, 5ത൧

ത ), (1ത, 0ത), (0ത, 1ത), (1 ത , 1ത), (0ത, 2ത), (1ത, 2ത), (0ത, 3ത), Sehingga subgrup ‫ܪ‬ఝభ = {(0ത, 0 ത )} = ℤଶ × ℤ଺ ത , 4ത), (1ത, 4ത), (0ത, 5ത), (1ത, 5 (1ത, 3ത), (0

(ii) ߮ଶ : ℤଶ /ℤଶ →< 2ത >/< 2ത >

ത , 1ത] → [0ത, 2 ത , 4ത] di mana ߮ଶ : [0

ത ), (1ത, 0ത), (0ത, 2ത), (1 ത , 2ത), (0ത, 4ത), (1ത, 4ത)} Sehingga subgrup ‫ܪ‬ఝమ = {(0ത, 0

(iii) ߮ଷ : ℤଶ /ℤଶ →< 3ത >/< 3ത > ത , 1ത] → [0ത, 3 ത] di mana ߮ଷ : [0

ത ), (1ത, 0ത), (0ത, 3ത), (1 ത , 3ത)} Sehingga subgrup ‫ܪ‬ఝయ = {(0ത, 0

(iv) ߮ସ : ℤଶ /ℤଶ → {0ത}/{0ത}

ത , 1ത] → [0ത] di mana ߮ସ : [0

ത ), (1ത, 0ത)} Sehingga subgrup ‫ܪ‬ఝర = {(0ത, 0

ത }/{0ത} → ℤ଺ /ℤ଺ (v) ߮ହ : {0

ത ] → ൣ0ത, 1ത, 2 ത , 3ത, 4 ത , 5ത൧ di mana ߮ହ : [0

ത ), (0ത, ܾ), (0ത, 2ത), (0 ത , 3ത), (0ത, 4ത), (0ത, 5ത)} Sehingga subgrup ‫ܪ‬ఝఱ = {(0ത, 0

ത }/{0ത} →< 2 ത >/< 2ത > (vi) ߮଺ : {0 ത ] → [0 ത , 2ത, 4 ത] di mana ߮଺ : [0

ത ), (0ത, 2ത), (0ത, 4ത)} Sehingga subgrup ‫ܪ‬ఝల = {(0ത, 0

ത }/{0ത} →< 3 ത >/< 3ത > (vii) ߮଻ : {0 ത ] → [0 ത , 3ത] di mana ߮଻ : [0

86

ത ), (0ത, 3ത)} Sehingga subgrup ‫ܪ‬ఝళ = {(0ത, 0

ത }/{0ത} → {0 ത }/{0ത} (viii) ଼߮ : {0 ത ] → [0 ത] di mana ଼߮ : [0

ത )} Sehingga subgrup ‫ܪ‬ఝఴ = {(0ത, 0

Sedangkan isomorfisme grup faktor ber-order dua yaitu:

ത } → ℤ଺ /< 2ത > (ix) ߮ଽ : ℤଶ /{0 ത ത 0ത, 2ത, 4 ൨ ߮ ଽ : ൤0൨ → ൤ ത ത1 ത1, 3ത, 5

ത ), (0ത, 2ത), (0ത, 4ത), (1 ത , ܾ), (1ത, 3ത), (1ത, 5ത)}. Sehingga subgrup ‫ܪ‬ఝవ = {(0ത, 0

(x) ߮ଵ଴ : ℤଶ /{0ത} →< 3ത >/{0ത} ത ത ߮ଵ଴ : ൤0൨ → ൤0൨ ത 3ത 1

ത ), (1ത, 3ത)} Sehingga subgrup ‫ܪ‬ఝభబ = {(0ത, 0

Dengan demikian, terdapat diperoleh dua buah subgrup yang tidak dapat diperoleh

dengan menggunakan direct product Diagram Lattice ℤଶ dan ℤ଺ , yaitu ‫ܪ‬ఝవ =

ത , 2ത), (0ത, 4ത), (1ത, 1ത), (1ത, 3 ത ), (1ത, 5ത)} {(0ത, 0ത), (0

dan

‫ܪ‬ఝభబ = {(0ത, 0ത), (1ത, 3ത)},

Diagram Lattice dari ℤଶ × ℤ଺ adalah sebagai berikut:

Sehingga

87 ‫ܪ‬ఝభ ‫ܪ‬ఝయ

‫ܪ‬ఝమ

‫ܪ‬ఝభబ

‫ܪ‬ఝర

‫ܪ‬ఝఱ

‫ܪ‬ఝవ ‫ܪ‬ఝళ

‫ܪ‬ఝల ‫ܪ‬ఝఴ

Gambar. 3.4 Diagram Lattice ℤଶ × ℤ଺

Contoh 3.5 :

Kasusℤ૝ × ℤ૝

ത , 1ത, 2 ത , 3ത} dan ‫ܩ‬ଶ = ℤସ = {0ത, 1ത, 2ത, 3ത} merupakan grup Misal ‫ܩ‬ଵ = ℤସ = {0

bilangan bulat modulo 4.

Tabel 3.5 Subgrup dari ‫ܩ‬ଵ = ℤସ = {0ത, 1ത, 2ത, 3ത} dan ‫ܩ‬ଶ = ℤସ = {0ത, 1ത, 2ത, 3ത}

‫ܩ‬ଵ

ℤସ

ത , 3ത} Subgrup dari ‫ܩ‬ଵ = ℤସ = {0ത, 1ത, 2 ܰଵ ℤସ

ℤସ

ത} < 2ത >= {0ത, 2

< 2ത >= {0ത, 2ത}

{0ത}

ℤସ

< 2ത >= {0ത, 2ത} {0ത}

‫ܩ‬ଵ /ܰଵ

ത , 1ത, 2ത, 3ത}} ℤସ /ℤସ = {{0

Order

< 2ത >/< 2ത > = {{0ത, 2ത}}

4

ℤସ /< 2ത > = {{0ത, 2ത}, {1ത, 3ത}}

1

< 2ത >/{0ത} = {{0ത}, {2ത}}

1

{0ത}

ℤସ /{0ത} = {{0ത}, {1ത}, {2ത}, {3ത}}

2

{0ത}

{0ത}/{0ത} = {0ത}

2

ത} < 2ത >= {0ത, 2

1

88

‫ܩ‬ଶ ℤସ

Subgrup dari ‫ܩ‬ଶ = ℤସ = {0ത, 1ത, 2ത, 3ത} ܰଶ ℤସ

ℤସ

ത} < 2ത >= {0ത, 2

< 2ത >= {0ത, 2ത}

{0ത}

ℤସ

< 2ത >= {0ത, 2ത} {0ത}

‫ܩ‬ଶ /ܰଶ

ത , 1ത, 2ത, 3ത}} ℤସ /ℤସ = {{0

Order

< 2ത >/< 2ത > = {{0ത, 2ത}}

4

ℤସ /< 2ത > = {{0ത, 2ത}, {1ത, 3ത}}

1

< 2ത >/{0ത} = {{0ത}, {2ത}}

1

{0ത}

ℤସ /{0ത} = {{0ത}, {1ത}, {2ത}, {3ത}}

2

{0ത}

{0ത}/{0ത} = {0ത}

2

ത} < 2ത >= {0ത, 2

1

Sumber: Kristina Kublik, 2009, diolah.

Jadi, isomorfisme yang terjadi dari ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ ke ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ adalah sebagai berikut:

Isomorfisme grup faktor ber-order satu yaitu: (i) ߮ଵ : ℤସ /ℤସ → ℤସ /ℤସ

߮ଵ : [0ത, 1ത, 2ത, 3ത] → [0ത, 1ത, 2ത, 3ത]

ത ), (1ത, 1ത), (2ത, 0ത), (0 ത , 2ത), (2ത, 1ത), (1ത, 2ത), (2ത, 2 ത ), Sehingga ‫ܪ‬ఝభ = {(0ത, 0ത), (1ത, 0ത), (0ത, 1 ത , 3ത), (3ത, 1ത), (1ത, 3ത), (3ത, 2 ത ), (2ത, 3 ത ), (3ത, 3ത)} = ℤସ × ℤସ (3ത, 0ത), (0

(ii) ߮ଶ : ℤସ /ℤସ →< 2ܾ >/< 2ܾ >

ത , 1ത, 2 ത , 3ത] → [0ത, 2 ത ], sehingga di mana ߮ଶ : [0

ത , 0ത), (0ത, 2ത), (1ത, 2ത), (2ത, 2ത), (3ത, 0 ത ), (3ത, 2ത)} ‫ܪ‬ఝమ = {(0ത, 0ത), (1ത, 0ത), (2

(iii) ߮ଷ : ℤସ /ℤସ → {0ത}/{0ത}

ത , 1ത, 2 ത , 3ത] → [0ത] di mana ߮ଷ : [0

ത ), (3ത, 0)} Sehingga ‫ܪ‬ఝయ = {(0ത, 0ത), (1ത, 0ത), (2ത, 0

(iv) ߮ସ : < 2ത >/< 2ത >→ ℤସ /ℤସ

ത , 2ത] → [0ത, 1 ത , 2ത, 3ത] di mana ߮ସ : [0

89

ത ), (2ത, 1ത), (0ത, 2ത), (2 ത , 2ത), (0ത, 3ത), (2ത, 3ത)} Sehingga ‫ܪ‬ఝర = {(0ത, 0ത), (0ത, 1ത), (2ത, 0

(v) ߮ହ : < 2ത >/< 2ത >→< 2ത >/< 2ത > ത , 2ത] → [0ത, 2 ത] di mana ߮ହ : [0

ത ), (2ത, 2ത)} Sehingga ‫ܪ‬ఝఱ = {(0ത, 0ത), (2ത, 0ത), (0ത, 2

ത} (vi) ߮଺ : < 2ത >/< 2ത >→ {0ത}/{0 ത , 2ത] → [0ത] di mana ߮଺ : [0

Sehingga ‫ܪ‬ఝఱ = {(0ത, 0ത), (2ത, 0ത)}

ത }/{0ത} → ℤସ /ℤସ (vii) ߮଻ : {0

ത ] → [0 ത , 1ത, 2 ത , 3ത] di mana ߮଻ : [0

ത ), (0ത, 1ത), (0ത, 2ത), (0 ത , 3ത)} Sehingga subgrup ‫ܪ‬ఝళ = {(0ത, 0

ത }/{0ത} →< 2 ത >/< 2ത > (viii) ଼߮ : {0 ത ] → [0 ത , 2ത] di mana ଼߮ : [0

ത ), (0ത, 2ത)} Sehingga subgrup ‫ܪ‬ఝఴ = {(0ത, 0

ത }/{0ത} (ix) ߮ଽ : {0ത}/{0ത} → {0 ത ] → [0 ത] di mana ߮ଽ : [0

ത )} Sehingga subgrup ‫ܪ‬ఝవ = {(0ത, 0

Sedangkan isomorfisme grup faktor ber-order dua yaitu: (i) ߮ଵ଴ : ℤସ /< 2ത >→ ℤସ /< 2ത > di mana ߮ଵ଴ : ൤

0ത, 2ത 0ത, 2ത ൨→൤ ൨ 1ത, 3ത 1ത, 3ത

ത ), (2ത, 2ത), (1ത, 1ത), (1 ത , 3ത), (3ത, 1ത), (3ത, 3ത)} Sehingga ‫ܪ‬ఝభబ = {(0ത, 0ത), (2ത, 0ത), (0ത, 2

90

ത >/{0ത} (ii) ߮ଵଵ : ℤସ /< 2ത >→< 2 di mana ߮ଵଵ : ൤

ത 0ത, 2ത ൨ → ൤0൨ ത1, 3ത 2ത

ത ), (3ത, 2ത)} Sehingga ‫ܪ‬ఝభభ = {(0ത, 0ത), (2ത, 0ത), (1ത, 2

(iii) ߮ଵଶ : < 2ത >/{0ത} → ℤସ /< 2ത > ത 0ത, 2ത di mana ߮ଵଶ : ൤0൨ → ൤ ൨ 1ത, 3ത 2ത

ത ), (2ത, 3ത)} Sehingga ‫ܪ‬ఝభమ = {(0ത, 0ത), (0ത, 2ത), (2ത, 1

ത} (iv) ߮ଵଷ : < 2ܽ >/{0ത} →< 2ܾ >/{0 ത ത di mana ߮ଵଷ : ൤0൨ → ൤0൨ ത2 2ത

Sehingga ‫ܪ‬ఝభయ = {(0ത, 0ത), (2ത, 2ത)}

Sedangkan isomorfisme grup faktor ber-order empat yaitu: ߮ଵସ : ℤସ /{0ത} → ℤସ /{0ത}

0ത 0ത ത ത di mana ߮ଵସ : ൦1ത ൪ → ൦1ത ൪ 2 2 3ത 3ത

Pada kasus ini, pemetaan ߮ଵସ

satu-satu onto yang mungkin dengan

mempertahankan adanya identitas (0ത, 0ത) ada 6 sebagai berikut, misal ‫ ܣ‬himpunan hasil pemetaan tersebut, maka:

ത , 2ത), (3ത, 3ത)} =< 1ത, ܾ > ‫߮ܣ‬ଵସିଵ = {(0ത, 0ത), (1ത, 1ത), (2

ത , 3ത), (3ത, 2ത)} tidak memenuhi aksioma grup karena ‫߮ܣ‬ଵସିଶ = {(0ത, 0ത), (1ത, 1ത), (2 ത , 1ത) + (2ത, 3ത) = (3 ത , 0ത) ∉ ‫߮ܣ‬ଵସିଶ (1

91

ത , 1ത), (3ത, 3ത)} tidak memenuhi aksioma grup karena ‫߮ܣ‬ଵସିଷ = {(0ത, 0ത), (1ത, 2ത), (2 ത , 2ത) + (3ത, 3ത) = (0 ത , 1ത) ∉ ‫߮ܣ‬ଵସିଷ (1

ത , 3ത), (3ത, 1ത)} tidak memenuhi aksioma grup karena ‫߮ܣ‬ଵସିସ = {(0ത, 0ത), (1ത, 2ത), (2

ത , 2ത) + (3ത, 1ത) = (0 ത , 3ത) ∉ ‫߮ܣ‬ଵସିସ (1

ത , 1ത), (3ത, 2ത)} tidak memenuhi aksioma grup karena ‫߮ܣ‬ଵସିହ = {(0ത, 0ത), (1ത, 3ത), (2

ത , 3ത) + (3ത, 2ത) = (0 ത , 1ത) ∉ ‫߮ܣ‬ଵସିହ (1

ത , 2ത), (3ത, 1ത)} =< 1ത, 3ത > ‫߮ܣ‬ଵସି଺ = {(0ത, 0ത), (1ത, 3ത), (2

Namun dari kemungkinan di atas, yang memenuhi aksioma grup hanya ada dua, yaitu ‫߮ܣ‬ଵସିଵ dan ‫߮ܣ‬ଵସି଺ . Sehingga diperoleh

ത , 1ത), (2ത, 2ത), (3ത, 3ത)} dan ‫ܪ‬ఝభరషభ = {(0ത, 0ത), (1

ത , 3ത), (2ത, 2ത), (3ത, 1ത)} ‫ܪ‬ఝభరషమ = {(0ത, 0ത), (1

Dengan demikian, terdapat diperoleh enam subgrup yang tidak dapat diperoleh dengan menggunakan direct product langsung Diagram Lattice ℤସ dan ℤସ , yaitu:

ത , 1ത), (3 ത , 3ത), (0ത, 2ത), (2ത, 0ത), (1ത, 3 ത ), (3ത, 1ത)} ‫ܪ‬ఝభబ = {(0ത, 0ത), (2ത, 2ത), (1 ത , 0ത), (3 ത , 2ത)} ‫ܪ‬ఝభభ = {(0ത, 0ത), (1ത, 2ത), (2 ത , 2ത), (2 ത , 3ത)} ‫ܪ‬ఝభమ = {(0ത, 0ത), (2ത, 1ത), (0 ‫ܪ‬ఝభయ = {(0ത, 0ത), (2ത, 2ത)}

ത , 2ത), (3ത, 3ത)} ‫ܪ‬ఝభరషభ = {(0ത, 0ത), (1ത, 1ത), (2 ത , 2ത), (3ത, 1ത)} ‫ܪ‬ఝభరషమ = {(0ത, 0ത), (1ത, 3ത), (2

92

Sehingga Diagram Lattice dari ℤସ × ℤସ adalah sebagai berikut:

‫ܪ‬ఝయ

(ℤସ , 0)

‫ܪ‬ఝభ

‫ܪ‬ఝమ

‫ܪ‬ఝభభ ‫ܪ‬ఝఱ

‫ܪ‬ఝర

‫ܪ‬ఝభబ

‫ܪ‬ఝఱ

‫ܪ‬ఝభరషమ

(< 2ܽ > ,0)

‫ܪ‬ఝభరషభ

‫ܪ‬ఝభయ

‫ܪ‬ఝవ

‫ܪ‬

(0,0)

‫ܪ‬ఝభమ

‫ܪ‬

‫ܪ‬ఝఴ

‫ܪ‬ఝళ

(0, < 2ܾ >)

Gambar. 3.5 Diagram Lattice ℤସ × ℤସ

Dari beberapa contoh kasus di atas, terlihat bahwa ‫ ܪ‬subgrup dari ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ

dapat dicari dengan mencari himpunan ‫ܪ‬ఝ yang sesuai dengan banyaknya

isomorfisme yang terjadi dari ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ ke ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ , dengan ‫ܪ‬ఝ = {(ܽ, ܾ) ∈ ‫ܩ‬ଵ ×

‫ܩ‬ଶ |߮(ܽ ∗ ܰଵ ) = ܾ ∘ ܰଶ ; ܽ ∈ ‫ܩ‬ଵ ; ܾ ∈ ‫ܩ‬ଶ }

isomorfisme.

di

mana

߮: ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ → ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ

suatu

BAB IV PENUTUP

4.1 Kesimpulan Dengan menerapkan Lemma Goursat terhadap grup direct product rank dua atau ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ yang disusun dari grup (‫ܩ‬ଵ ,∗) dan (‫ܩ‬ଶ ,∘) di mana ܰଵ ⊴ ‫ܩ‬ଵ dan ܰଶ ⊴ ‫ܩ‬ଶ , maka diperoleh bayangan ‫ܩ ≤ ܪ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ adalah ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ × ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ , dan diperoleh hubungan ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ dan ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ sesuai dengan fungsi isomorfisme ߮: ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ → ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ . Sehingga ‫ ܪ‬subgrup dari ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ dapat direpresentasikan oleh ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ × ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ , di mana ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ ≅ ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ . Misal ‫ܪ‬ఝ suatu himpunan yang mereprentasikan fungsi isomorfisme ߮, di mana ‫ܪ‬ఝ = {(ܽ, ܾ) ∈ ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ |߮(ܽ ∗ ܰଵ ) = ܾ ∘ ܰଶ ; ܽ ∈ ‫ܩ‬ଵ ; ܾ ∈ ‫ܩ‬ଶ }, maka ‫ ܪ‬subgrup dari ‫ܩ‬ଵ × ‫ܩ‬ଶ dapat dicari dengan mencari himpunan ‫ܪ‬ఝ yang sesuai dengan banyaknya isomorfisme yang terjadi dari ‫ܩ‬ଵ /ܰଵ ke ‫ܩ‬ଶ /ܰଶ .

4.2 Saran 1. Penelitian ini hanya terbatas pada grup direct product rank dua, untuk selanjutnya dapat dilakukan penerapan Lemma Goursat pada grup direct product dengan rank-n hingga dan rank-∞ tak hingga. 2. Dalam skripsi ini dibahas kajian aljabar mengenai penerapan Lemma Goursat untuk mencari subgrup direct product, untuk selanjutnya dapat dilakukan penelitian mengenai pembuatan programnya.

93

DAFTAR PUSTAKA

Abdussyakir,M.Pd. 2007. Ketika Kyai Mengajar Matematika. Malang: UIN-Malang Press. Abdussyakir,M.Pd. 2006. Ada Matematika Dalam Al-Qur’an. Malang: UIN-Malang Press. Anderson, D. Dan V. Camillo. 2009. Subgroups of Direct Products of Groups, Ideals and Subring of Direct Products of Rings, and Goursat’s Lemma. American Mathematical Society. Anderson, D. 2009. Generalizations and Applications of Goursat’s Lemma.University of Iowa. Ayres, FrankdanJaisingh, Lloyd R. 2004. Schaum’s Outline of Theory and Problems of Abstract Algebra Second Edition. New York : McGraw-Hill Companies, Inc. Berkovich, Ya. G. dan E. M. Zhmud. 1999. Characters of Finite Groups. American Mathematical Society. Calugareanu, Grigore. 2009. The Total Number of Subgroups of A Finite Abelian Group. JAMS. Clark, W. Edwin. 1998. Elementary Abstract Algebra. Florida : University of South Florida. Connel, E.H. 1999. Element of Abstract and Linear Algebra. Florida: University of Miami. Dummit, David S. danFoote, Richard M. 2004. Abstract Algebra : Third Edition. London :John Wiley & Sons, Inc. Fraleigh, JB. 2003. A First Course In Abstract Algebra: Seventh Edition. University of Rhode Island. Garrett, Paul. 1997. Intro Abstract Algebra.http://www.math.umn.edu/~garrett/ Judson, Thomas W. 1997. Abstract Algebra: Theory and Application. Stephen F. Austin State University. Kropholler, Peter Hendrikus. 2004. Notes for Undergraduate : 3H Groups, Rings and Fields. United Kingdom : University of Glasgow. Kublik, Kristina. 2009. Generalizations of Goursat Theorem for Groups.Department of Mathematics and Computer Science, Mount Allison University. Mangroo, Sharon. 2003. Secondary School CurriculumForm Three Mathematics.Republic of Trinidad and Tobago Ministry of Education. Muhsetyo, Gatot. 1997. Dasar-Dasar Teori Bilangan. Jakarta: PGSM. Munir, Rinaldi. 2005. Matematika Diskrit. Bandung : Informatika. Ngcibi, Sakhile Leonard. 2005. Studies of equivalent fuzzy subgroups of Finite Abelian p-Groups of Rank Two and Their Subgroup Lattices. Rhodes University. Raisinghania dan Aggarwal. 1980. Modern Algebra. Ram Nagar, New Delhi : S. Chand and Company LTD.

94

Robinson, Derek J. 2003. An Introduction to Abstract Algebra. New York : Walter de Gruyter. Sumardyono, S.Pd. 2004.KarakteristikMatematikadanImplikasinyaterhadapPembelajaranMatemati ka.Yogyakarta :DepartemenPendidikanNasionalDirektoratJenderalPendidikanDasar dan MenengahPusatPengembanganPenataranGuruMatematika. Suryadi. 1996. Pengantar Struktur Diskrit. Jakarta : Gunadarma. Yahya, Harun. 1999. Menyingkap Rahasia Alam Semesta. London: Ta-Ha Publishers Ltd. Yatim, Wildan. 1996. Biologi Modern : Histologi. Bandung : PT Tarsito. Wibowo, Daniel S. 2008. Anatomi Tubuh Manusia. Jakarta: PT Gramedia Widiasarana Indonesia.

95

KEMENTERIAN AGAMA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI Jl. Gajayana No. 50 Malang 65144 Telp. / Fax. (0341) 558933

BUKTI KONSULTASI Nama

: Husnul Khotimah

NIM

: 06510022

Jurusan

: Matematika

Pembimbing I

: Evawati Alisah, M.Pd

Pembimbing II

: Abdul Aziz, M.Si

Judul

: Penerapan Lemma Goursat Pada Grup Direct Product Rank Dua dan Tiga

No.

Tanggal

Keterangan

Paraf 1.

1.

11 Agustus 2010

Permasalahan

2.

25 Agustus 2010

Bab I dan Bab II

3.

30 Agustus 2010

Revisi Bab I dan Bab II

4.

20 Oktober 2010

Bab III

5.

24 November 2010

Keagamaan Bab I dan Bab II

6.

24 November 2010

Revisi Bab III

7.

6 Desember 2010

Revisi Keagamaan Bab I & II

8.

19 Januari 2011

Revisi Bab III

9.

8 Maret 2011

Revisi Bab III

10.

19 Mei 2011

Revisi Bab III

11.

15 Juli 2011

ACC Keseluruhan

12.

18 Agustus 2011

ACC Keagamaan Keseluruhan

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

Malang, 18 Agustus 2011 Mengetahui, Ketua Jurusan Matematika

Abdussakir, M.Pd NIP. 19751006 200312 1 001