PENENTUAN PROBABILITAS ABSORPSI DAN EKSPEKTASI DURASI PADA MASALAH KEBANGKRUTAN PENJUDI

PENENTUAN PROBABILITAS ABSORPSI DAN EKSPEKTASI DURASI PADA MASALAH KEBANGKRUTAN PENJUDI Aditya Candra Laksmana, Respatiwulan, dan Ririn Setiyowati Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret

Abstrak. Masalah kebangkrutan penjudi merupakan kejadian seorang penjudi mengalami kebangkrutan sampai kehilangan seluruh modal yang dimiliki. Pada permainan judi, perubahan modal yang terjadi merupakan suatu kejadian random yang diamati berdasarkan waktu. Probabilitas penjudi memperoleh atau kehilangan seluruh modal disebut probabilitas absorpsi, dan nilai harapan dari banyaknya permainan sampai penjudi menang total atau bangkrut disebut ekspektasi durasi. Probabilitas absorpsi dan ekspektasi durasi diperoleh dari penurunan persamaan difference yang menyatakan hubungan kenaikan dan penurunan modal penjudi. Tujuan penelitian ini adalah menentukan probabilitas absorpsi dan ekpektasi durasi pada masalah kebangkrutan penjudi dan diterapkan pada contoh kasus. Dari penerapan kasus, dengan probabilitas menang 0.49 dan probabilitas kalah 0.51 untuk modal awal 50, diperoleh bahwa penjudi mengalami kebangkrutan pada permainan ke-1904 dengan probabilitas absorpsi bangkrut sebesar 0.880825. Kata kunci: kebangkrutan penjudi, probabilitas absorpsi, ekspektasi durasi

1. PENDAHULUAN Menurut Kartini [4], perjudian adalah kegiatan mempertaruhkan sesuatu yang dianggap bernilai pada permainan atau kejadian yang belum pasti hasilnya. Kejadian seorang penjudi yang mengalami kehilangan semua modal sampai habis disebut sebagai kejadian kebangkrutan penjudi. Perjudian terus berlanjut sampai semua modal yang dimiliki penjudi habis atau mendapat seluruhnya dari yang dipertaruhkan, sehingga salah satu dari penjudi bangkrut (Feller [3]). Perubahan modal yang terjadi pada setiap permainan judi bisa saja bertambah atau berkurang sampai permainan berhenti. Perubahan modal dapat dipandang sebagai suatu kejadian random yang diamati berdasarkan waktu. Kejadian tersebut merupakan kejadian khusus dari proses stokastik. Masalah kebangkrutan penjudi merupakan rantai Markov waktu diskrit pada proses random walk. Hal tersebut dikarenakan kondisi permainan yang berikutnya dipengaruhi oleh permainan saat ini (Allen [1]). El-Shehawey [2] mengembangkan masalah kebangkrutan penjudi pada rantai Markov berhingga dengan probabilitas menang atau kalah bergantung pada jumlah modal yang dimiliki penjudi saat ini. Katriel [5] mengembangkan penentuan rumus probabilitas kebangkrutan penjudi dengan asumsi bahwa jumlah 1

Penentuan Probabilitas Absorpsi. . .

A. C. Laksmana, Respatiwulan, R. Setiyowati

modal lawan memiliki distribusi probabilitas. Pada masalah kebangkrutan penjudi, probabilitas seorang penjudi memperoleh atau kehilangan seluruh modal yang dipertaruhkan disebut sebagai probabilitas absorpsi. Nilai harapan dari banyaknya permainan sampai penjudi memperoleh atau kehilangan seluruh modal yang dipertaruhkan disebut sebagai ekspektasi durasi. Pada penelitian ini, dilakukan penentuan serta penerapan probabilitas absorpsi dan ekspektasi durasi pada masalah kebangkrutan penjudi. 2. RANTAI MARKOV WAKTU DISKRIT Menurut Allen [1], proses stokastik adalah kumpulan variabel random {Xn (s) : n ∈ T, s ∈ S}, dengan T adalah himpunan indeks dan S adalah ruang sampel dari variabel random. Rantai Markov waktu diskrit adalah proses stokastik dengan kejadian berikutnya hanya bergantung pada kejadian saat ini dengan ruang sampel berhingga {0, 1, 2, ..., N } dan waktu diskrit T = {0, 1, 2, ...}. Berikut dua definisi tentang rantai Markov waktu diskrit menurut Allen[1]. Definisi 2.1. Proses stokastik waktu diskrit {Xn } dikatakan rantai Markov waktu diskrit jika Prob {Xn = in |X0 = i0 , ..., Xn−1 = in−1 } = Prob {Xn = in |Xn−1 = in−1 } Definisi 2.2. Probabilitas transisi satu langkah, pji (n), didefinisikan dengan pji (n) = P rob{Xn+1 = j|Xn = i} probabilitas bahwa proses berada di state j pada waktu n+1 diberikan oleh proses di state i pada waktu n, dengan i, j = 1, 2, ... . Probabilitas transisi berpengaruh terhadap perpindahan state yang menyatakan perubahan modal dari modal semula. Perubahan modal sampai dengan permainan berhenti dapat dinyatakan sebagai rantai Markov yang diamati berdasarkan waktu, serta bergantung pada probabilitas transisi (Ross [6]). 3. PERSAMAAN DIFFERENCE PADA KEBANGKRUTAN PENJUDI Pada masalah kebangkrutan penjudi, persamaan difference digunakan untuk menentukan probabilitas absorpsi dan ekspektasi durasi. Probabilitas absorpsi dibagi menjadi 2 yaitu ak yang menyatakan probabilitas absorpsi ketika mengalami kebangkrutan dan bk yang menyatakan probabilitas absorpsi ketika menang total dengan nilai ak + bk =1. Mengacu pada Allen [1], diberikan persamaan 2

2017



difference dari probabilitas kebangkrutan ak , untuk k merupakan modal penjudi dengan kϵ[0, N ]. Jika penjudi menang, maka modal menjadi k+1 dan probabilitas kebangkrutan adalah ak+1 . Jika penjudi kalah, maka modal menjadi k-1 dan probabilitas kebangkrutan adalah ak−1 . Hubungan antara ak+1 , ak , dan ak−1 diberikan dalam bentuk persamaan difference berikut ak = pak+1 + qak−1 ,

1≤k ≤N −1

(3.1)

dengan p dan q masing-masing adalah probabilitas penjudi menang dan kalah. Kondisi batas untuk ak adalah a0 = 1 dan aN = 0. Seperti pada probabilitas absorpsi, persamaan difference untuk ekspektasi durasi yang dinotasikan dengan τk dapat diturunkan. Jika penjudi menang, maka modal menjadi k+1 dengan ekspektasi durasi adalah 1+τk+1 . Jika penjudi kalah, maka modal menjadi k-1 dengan ekspektasi durasi adalah 1+τk−1 . Persamaan difference untuk τk adalah τk = p(1 + τk+1 ) + q(1 + τk−1 ),

1 ≤ k ≤ N − 1,

(3.2)

dengan kondisi batas yang diberikan adalah τ0 =0=τN . Penyelesaian dari persamaan (3.1) dan (3.2) diperoleh dengan memberikan nilai ak = λk ̸= 0 dan τk = λk ̸= 0. Solusi untuk menyelesaikan persamaan difference dari probabilitas absorpsi dan ekspektasi durasi dibagi menjadi 2 kasus, yaitu ketika p ̸= q dan p = q = 1/2. 4. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1. Persamaan Difference. Penentuan probabilitas absorpsi dan ekspektasi durasi diperoleh dengan menurunkan persamaan difference (3.1) dan (3.2). Persamaan difference (3.1) untuk probabilitas absorpsi merupakan persamaan linear orde dua, homogen serta memiliki koefisien konstan. Untuk persamaan difference dari ekspektasi durasi telah diberikan pada persamaan (3.2). Mengingat bahwa p + q=1, persamaan (3.2) dapat diubah ke dalam bentuk pτk+1 − τk + qτk−1 = −1,

(4.1)

yang merupakan persamaan linear orde dua, nonhomogen, dan memiliki koefisien konstan. Penyelesaian persamaan difference nonhomogen (4.1), ditentukan 3

2017



berdasarkan persamaan difference homogen dari persamaan tersebut. Berikut diberikan persamaan difference homogen untuk ekspektasi durasi adalah pτk+1 − τk + qτk−1 = 0.

(4.2)

4.2. Nilai Persamaan Karakteristik. Persamaan (3.1) dan (4.2) berturutturut merupakan persamaan difference homogen dari probabilitas absorpsi dan ekspektasi durasi. Persamaan difference homogen tersebut diselesaikan dengan menentukan persamaan karakteristik yang diperoleh dari mensubstitusi nilai ak = λk ̸= 0 dan τk = λk ̸= 0. Berikut adalah persamaan karakteristik untuk menyelesaikan nilai ak dan τk pλk+1 − λk + qλk−1 = 0,

(4.3)

dengan nilai λ merupakan nilai persamaan karakteristik. Bentuk sederhana persamaan (4.3) yaitu dengan mengambil nilai k = 1, dan diperoleh persamaan karakteristik sederhana untuk probabilitas absorpsi serta ekspektasi durasi adalah pλ2 − λ + q = 0.

(4.4)

Penentuan nilai persamaan karakteristik dari persamaan difference homogen untuk probabilitas absorpsi dan ekspektasi durasi diperoleh dengan mencari nilai λ1 dan λ2 yang diterapkan pada kasus p ̸= q dan p = q = 1/2. Pada kasus p ̸= q, nilai persamaan karakteristik (4.4), dengan mengingat p + q = 1 diperoleh nilai untuk λ1 adalah λ1 =

(p + q) + (p − q) 2p 1 + (p − q) = = = 1, 2p 2p 2p

sedangkan nilai untuk λ2 adalah λ2 =

(p + q) − (p − q) q 1 − (p − q) = = . 2p 2p p

Pada kasus nilai p = q = 1/2, nilai persamaan karakteristik (4.4) yaitu nilai λ1,2 diperoleh λ1,2 =

1 ± (p − q) 1 ± (1/2 − 1/2) 1±0 = = = 1. 2p 2(1/2) 1 4

2017



4.3. Probabilitas Absorpsi. Persamaan difference untuk probabilitas absorpsi diberikan pada persamaan (3.1) dan diselesaikan pada dua kasus yaitu ketika p ̸= q dan p = q = 1/2. Ketika p ̸= q, diperoleh nilai persamaan karakteristik (4.4) adalah λ1 = 1 dan λ2 = pq . Solusi umum untuk persamaan difference ak adalah ak = c1 + c2 ( pq )k , dengan c1 dan c2 adalah suatu konstanta yang diperoleh dari menerapkan kondisi batas a0 = 1 = c1 + c2 dan aN = 0 = c1 + c2 ( pq )N . Diperoleh nilai c1 =

−( pq )N

1−( pq )N

1 , 1−( pq )N

dan c2 =

selanjutnya disubstitusi ke solusi

umum ak dan diperoleh solusi khusus untuk ak dan bk adalah ak =

( pq )N − ( pq )k

bk =

(4.5)

( pq )N − 1 ( pq )k − 1 ( pq )N − 1

,

(4.6)

dengan ak + bk = 1. Ketika p = q = 1/2, diperoleh nilai persamaan karakteristik (4.4) adalah λ1 = λ2 = 1. Solusi umum untuk persamaan difference ak adalah ak = c1 + c2 k, dengan c1 dan c2 adalah suatu konstanta yang diperoleh dari menerapkan kondisi batas a0 = 1 = c1 dan aN = 0 = c1 + c2 N . Diperoleh nilai c1 = 1 dan c2 =

−1 , N

selanjutnya disubstitusi ke solusi umum ak dan diperoleh solusi khusus untuk ak dan bk adalah ak =

N −k N

(4.7)

k . N

(4.8)

bk =

4.4. Ekspektasi Durasi. Persamaan difference untuk ekspektasi durasi diberikan pada persamaan (4.1) dan diselesaikan untuk dua kasus. Untuk p ̸= q, solusi umum persamaan difference homogen adalah τk = c1 + c2 ( pq )k . Selanjutnya, diberikan nilai τk = ck dengan c merupakan suatu konstanta, untuk mencari solusi umum dari persamaan nonhomogen (4.1). Nilai konstanta c dicari 1 . q−p c2 ( pq )k

dengan substitusi τk = ck ke persamaan (4.1), dan diperoleh c =

Solusi

umum nonhomogen untuk persamaan difference adalah τk = c1 +

+

k . q−p

Selanjutnya, dengan menerapkan kondisi batas diperoleh τ0 = 0 = c1 + c2 dan N τN = 0 = c1 +c2 ( pq )N + q−p . Nilai dari konstanta c1 dan c2 adalah c1 =

−N (q−p)(1−( pq )N )

dan c2 = −c1 . Berikut diperoleh solusi khusus persamaan difference nonhomogen 5

2017



untuk τk , dengan substitusi nilai c1 dan c2 ke solusi umum nonhomogen diperoleh 1 − ( pq )k 1 τk = [k − N ( )]. q−p 1 − ( pq )N

(4.9)

Ketika nilai p = q = 1/2, solusi umum persamaan difference homogen adalah τk = c1 + c2 k. Untuk mencari solusi umum pada persamaan nonhomogen (4.1), diberikan nilai τk = ck 2 , dengan c merupakan suatu konstanta dan diperoleh c = −1. Selanjutnya, nilai c = −1 disubstitusi ke τk = ck 2 dan diperoleh solusi umum persamaan difference nonhomogen adalah τk = c1 +c2 k −k 2 . Solusi khusus dari persamaan difference τk (4.1) diselesaikan dengan menerapkan kondisi batas τ0 = c1 = 0 dan τN = c1 + c2 (N ) − (N )2 = 0, sehingga diperoleh nilai untuk c1 = 0 dan c2 = N . Selanjutnya, dari substitusi nilai c1 dan c2 ke solusi umum nonhomogen diperoleh solusi khusus persamaan difference nonhomogen adalah τk = k(N − k).

(4.10)

4.5. Penerapan Kasus. Pada penerapan ini diberikan parameter yang mengacu pada Allen [1] yaitu modal total N = 100, modal awal yang dimiliki penjudi k = 50, probabilitas menang p = 0.49 dan probabilitas kalah q = 0.51, untuk menentukan nilai probabilitas absorpsi serta ekspektasi durasi. Pada permainan judi ini diasumsikam bahwa pemain hanya 2 orang dengan probabilitas absorpsi dan ekspektasi durasi ditinjau dari salah satu pemain. Nilai probabilitas absorpsi terdiri atas probabilitas bangkrut ak dan probabilitas menang total bk sampai permainan berhenti. Diketahui probabilitas menang p = 0.49 dan probabilitas kalah q = 0.51, karena p ̸= q sehingga probabilitas absorpsi ditentukan dengan persamaan (4.5) dan (4.6). Nilai probabilitas absorpsi untuk probabilitas bangkrut ak adalah a50

( 0.51 )100 − ( 0.51 )50 0.49 0.49 = 0.51 100 ( 0.49 ) −1 = 0.880825.

Dari hasil yang diperoleh, diketahui bahwa probabilitas seorang penjudi mengalami kebangkrutan pada akhir permainan adalah 0.880825. Setelah diperoleh nilai probablitas absorpsi penjudi mengalami kebangkrutan, selanjutnya ditentukan nilai probabilitas absorpsi penjudi untuk menang total yang dinyatakan bk 6

2017



adalah b50

( 0.51 )100 − 1 0.49 = ( 0.51 )50 − 1 0.49 = 0.119175.

Diketahui bahwa probabilitas seorang penjudi mengalami menang total pada akhir permainan adalah 0.119175. Dari nilai probabilitas absorpsi yang telah diperoleh, dapat disimpulkan bahwa probabilitas penjudi mengalami kebangkrutan lebih besar daripada probabilitas penjudi mengalami menang total pada akhir permainan. Oleh karena itu, pada kasus ini diketahui bahwa penjudi mengalami kebangkrutan pada akhir permainan. Setelah diperoleh probabilitas absorpsi, selanjutnya ditentukan nilai harapan dari banyaknya permainan judi sampai berhenti (ekspektasi durasi). Nilai ekspektasi durasi ditentukan dengan menerapkan persamaan (4.9) dan diperoleh τ50 =

1 − ( 0.51 )50 1 0.49 [50 − 100( )] = 1904. 0.51 − 0.49 1 − ( 0.51 )100 0.49

Untuk mengamati perubahan banyaknya modal setiap permainan serta ekspektasi durasi permainan telah diberikan pada Gambar 1.

Gambar 1. Perubahan modal setiap permainan dan ekspektasi durasi

Berdasarkan Gambar 1, menunjukkan perubahan modal untuk setiap permainan, dengan setiap kali menang atau kalah mengakibatkan modal yang berfluktuasi naik atau turun. Ketika penjudi menang, modal yang dimiliki bertambah sebesar 1. Demikian pula ketika penjudi kalah, modal yang dimiliki berkurang sebesar 1. Ketika modal mencapai titik 0 menyatakan seorang penjudi mengalami suatu kebangkrutan. Hal ini dikarenakan modal yang dimiliki penjudi telah habis, sehingga permainan berhenti. Perubahan modal yang diperoleh, dipengaruhi oleh probabilitas menang dan kalah untuk setiap permainan. 7

2017



Pada penerapan kasus ini, penjudi mengalami kebangkrutan pada permainan ke1904 dengan modal awal yang dimiliki sebesar k = 50 dan probabilitas absorpsi bangkrut sebesar a50 = 0.880825. 5. KESIMPULAN Berdasarkan pembahasan yang dilakukan dapat diambil dua kesimpulan. (1) Probabilitas absorpsi kebangkrutan (ak ) dan menang total (bk ) untuk p ̸= q dinyatakan dengan ak =

( pq )N −( pq )k ( pq )N −1

dan bk =

p = q = 1/2 dinyatakan dengan ak =

N −k N

( pq )k −1

( pq )N −1

, sedangkan untuk

dan bk =

ekspektasi durasi untuk p ̸= q dinyatakan dengan τk =

k . N

Selanjutnya,

1−( pq )k 1 [k−N ( )], q−p 1−( pq )N

sedangkan untuk p = q = 1/2 dinyatakan dengan τk = k(N − k). (2) Dari penerapan kasus yang mengacu pada Allen [1], diketahui modal total N = 100, modal awal penjudi k = 50, probabilitas menang p = 0.49, dan probabilitas kalah q = 0.51. Probabilitas absorpsi untuk bangkrut adalah a50 = 0.880825 dan menang total adalah b50 = 0.119175, serta ekspektasi durasi τ50 = 1904. Pada kasus ini, permainan judi berhenti pada permainan ke-1904, dan pemain judi mengalami kebangkrutan dari modal awal yang dimiliki adalah 50 menjadi 0. DAFTAR PUSTAKA 1. Allen, L.J.S., An Introduction to Stochastic Processes with Applications to Biology, Prentice Hall, Upper Saddle River, N.J., 2003. 2. El-Shehawey, M.A., On the Gamblers Ruin Problem for a Finite Markov Chain, Statistics and Probability Letters 79 (2009), 1590–1595. 3. Feller, W., An Introduction to Probability Theory and Its Applications, third ed., vol. 1, Wiley, New York, 1968. 4. Kartini, K., Patologi Sosial, Rajagrafindo Press, Jakarta, 2003. 5. Katriel, G., Gambler’s Ruin- A General Formula, Probability Letters 83 (2013), no. 10, 2205–2210. 6. Ross, S., A First Course in Probability, eighth ed., Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, N.J., 2010.

8

2017

PENENTUAN PROBABILITAS ABSORPSI DAN EKSPEKTASI DURASI PADA MASALAH KEBANGKRUTAN PENJUDI

Recommend Documents