PENDUGA KEPEKATAN KERNEL BAGI FUNGSI KEPEKATAN PELUANG GAMMA. Oleh: MERYALDI G

PENDUGA KEPEKATAN KERNEL BAGI FUNGSI KEPEKATAN PELUANG GAMMA

Oleh: MERYALDI G54101012

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2006

1

PENDUGA KEPEKATAN KERNEL BAGI FUNGSI KEPEKATAN PELUANG GAMMA

Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor

Oleh: MERYALDI G54101012

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2006

2

RINGKASAN MERYALDI. Penduga Kepekatan Kernel bagi Fungsi Kepekatan Peluang Gamma. Dibimbing oleh SISWADI dan I WAYAN MANGKU. Fungsi kepekatan peluang yang sebenarnya dari suatu peubah acak sulit atau bahkan tidak mungkin untuk diketahui. Oleh karena itu dibuat suatu penduga bagi fungsi kepekatan peluang sebagai pendekatan sebaran yang sebenarnya. Pendekatan parametrik sebagai salah satu penduga kepekatan peluang dirasa tidak cukup memadai mengingat banyak contoh nyata di mana sebaran parametrik tidak cocok. Oleh karena itu berkembang sejumlah teknik nonparametrik untuk menjawab permasalahan tersebut. Penduga kepekatan kernel sebagai salah satu penduga kepekatan nonparametrik merupakan generalisasi yang dilakukan Parzen (1962) dari penduga shifted histogram yang dikembangkan Rosenblatt (1956). Penduga kepekatan kernel bergantung pada lebar pita dan fungsi kernel yang digunakan, dan merupakan penduga konsisten. Studi ini membahas pendugaan kepekatan kernel bagi suatu data yang dibangkitkan dari fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) yang merupakan model sistem standby di mana komponen-komponennya memiliki waktu eksponensial untuk kepekatan kegagalan. Pendugaan dilakukan untuk ukuran contoh 25, 50, 75, dan 100 yang masing-masing diulang dua puluh lima kali. Fungsi kernel yang digunakan ialah kernel seragam, segitiga, Epanechnikov, dan Gauss. Kualitas dari pendugaan dilihat dari mean squared error (MSE) yang dihasilkan. Keempat nilai rata-rata MSE dari keempat fungsi kernel yang digunakan untuk setiap ukuran contoh tidak berbeda pada taraf nyata 5%. Semakin besar ukuran contoh yang digunakan, semakin kecil nilai rata-rata MSE yang dihasilkan dari keempat fungsi kernel tersebut. Grafik hasil dugaan memperlihatkan bahwa kernel segitiga, Epanechnikov, dan Gauss menghasilkan grafik yang halus. Sedangkan grafik dugaan dengan kernel seragam tidak halus. Dari keempat fungsi kernel yang digunakan, direkomendasikan untuk menggunakan fungsi kernel Epanechnikov atau segitiga dalam menduga data yang dibangkitkan dari sebaran Gamma(3,100). Sebagai pembanding penduga kepekatan kernel digunakan penduga kemungkinan maksimum yang merupakan penduga parametrik. Hasil dugaan bagi fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) dengan menggunakan kemungkinan maksimum cenderung lebih baik dibandingkan hasil dugaan dengan kepekatan kernel.

3

Judul Nama NRP

: Penduga Kepekatan Kernel bagi Fungsi Kepekatan Peluang Gamma : Meryaldi : G54101012

Menyetujui :

Pembimbing I,

Pembimbing II,

Dr. Ir. Siswadi, M.Sc. NIP. 130 938 651

Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. NIP. 131 633 020

Mengetahui : Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor

Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, MS NIP. 131 473 999

Tanggal Lulus : …………………..

4

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 9 Mei 1982 dari ayah Azhar Mahmud dan ibu Megawati. Penulis adalah anak pertama dari empat bersaudara. Penulis memulai pendidikan formal di SD Negeri 11 Kebayoran Lama Utara Jakarta Selatan dan lulus pada tahun 1995. Pendidikan Sekolah Menengah Pertama ditempuh di SLTP Negeri 31 Jakarta dan lulus pada tahun 1998. Kemudian melanjutkan pendidikan di SMU Negeri 47 Jakarta dan lulus pada tahun 2001. Pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB. Penulis memilih Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah aktif di Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) pada periode 2001-2002, dan juga di Dewan Perwakilan Mahasiswa Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (DPM FMIPA) pada periode 2002-2003.

5

PRAKATA Bismillahirrahmanirrahim Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan kekuatan bagi penulis untuk menyelesaikan skripsi ini sebagai syarat mendapat gelar Sarjana Sains di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Sholawat serta salam tidak lupa penulis panjatkan kepada Nabi Muhammad SAW, sahabat, keluarga serta para pengikutnya sampai akhir zaman. Penulis sangat menyadari bahwa skripsi ini, yang diberi judul “Penduga Kepekatan Kernel bagi Fungsi Kepekatan Peluang Gamma”, merupakan sebagian kecil dari teori mengenai penduga kepekatan kernel yang bahkan masih terus dikembangkan hingga saat ini. Oleh karena itu, skripsi ini akan menjadi langkah awal bagi penulis khususnya untuk mempelajari lebih jauh lagi tentang penduga kepekatan kernel. Dalam penyusunan skripsi ini, penulis banyak mendapatkan bantuan, dukungan, dan semangat dari berbagai pihak. Untuk itu dengan hati yang tulus, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada: 1. Bapak Dr. Ir. Siswadi, M.Sc. dan Bapak Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. selaku dosen pembimbing. 2. Ibu Ir. Retno Budiarti, MS yang telah bersedia menjadi dosen penguji. 3. Kedua orangtuaku tercinta Mama dan Bapak, serta adik-adikku Harmega, Rahmad, dan Firman. 4. Seluruh dosen dan staf pegawai Departemen Matematika IPB. 5. Kawan-kawan di Matematika Agkatan 38. 6. Senior di Matematika Agkatan 35, 36, dan 37 beserta Adik-adik di Matematika Agkatan 39, 40, dan 41. 7. Kawan-kawan di Wisma Galih dan Lux Style 8. Kawan-kawan alumni SMUN 47 Jakarta. 9. Semua pihak yang telah membantu yang tidak dapat disebutkan satu per satu. Sebagai manusia, penulis tentu tidak luput dari kesalahan dan kekurangan. Oleh karena itu, saran dan kritik yang membangun sangat penulis harapkan. Akhirnya, penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat. Amin.

Bogor, Agustus 2006 Meryaldi

6

DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR ................................................................................................................... vii DAFTAR TABEL ........................................................................................................................ viii DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................................................ viii PENDAHULUAN Latar Belakang ............................................................................................................... 1 Tujuan ............................................................................................................................ 2 LANDASAN TEORI Sebaran Gamma ............................................................................................................. 2 Penduga Tak Bias dan Penduga Konsisten .................................................................... 2 Small oh ......................................................................................................................... 3 Penduga Kepekatan Kernel ............................................................................................3 Penduga Kemungkinan Maksimum (MLE) ...................................................................5 BAHAN DAN METODE Alur Penelitian ............................................................................................................... 6 Sumber Data .................................................................................................................. 6 Metode Pendugaan .........................................................................................................7 Tahapan Pendugaan Kepekatan Kernel dengan Mathematica ...................................... 8 HASIL DAN PEMBAHASAN Pendugaan Fungsi Kepekatan Peluang dengan Fungsi Kepekatan Kernel ................... 9 Pendugaan Fungsi Kepekatan Peluang dengan Penduga Kemungkinan Maksimum dan Perbandingannya dengan Fungsi Kepekatan Kernel .............................................. 13 KESIMPULAN ............................................................................................................................ 15 DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................................. 15 LAMPIRAN ................................................................................................................................. 16

7

DAFTAR GAMBAR Gambar 1. Gambar 2. Gambar 3. Gambar 4.

Gambar 5. Gambar 6. Gambar 7. Gambar 8.



Gambar 17. Gambar 18. Gambar 19. Gambar 20. Gambar 21. Gambar 22. Gambar 23. Gambar 24. Gambar 25.

Halaman Sebuah sistem standby................................................................................................ 6 Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan kepekatan kernel dengan kernel Seragam yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 25.......................... 10 Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan kepekatan kernel dengan kernel Segitiga yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 25.......................... 10 Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan kepekatan kernel dengan kernel Epanechnikov yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 25................................................................................................................................. 10 Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan kepekatan kernel dengan kernel Gauss yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 25................................... 10 Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan kepekatan kernel dengan kernel Seragam yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 50.......................... 10 Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan kepekatan kernel dengan kernel Segitiga yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 50........................ 10 Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan kepekatan kernel dengan kernel Epanechnikov yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 50................................................................................................................................. 11 Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan kepekatan kernel dengan kernel Gauss yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 50................................... 11 Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan kepekatan kernel dengan kernel Seragam yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 75......................... 11 Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan kepekatan kernel dengan kernel Segitiga yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 75........................ 11 Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan kepekatan kernel dengan kernel Epanechnikov yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 75................................................................................................................................. 11 Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan kepekatan kernel dengan kernel Gauss yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 75................................... 11 Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan kepekatan kernel dengan kernel Seragam yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 100........................ 12 Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan kepekatan kernel dengan kernel Segitiga yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 100........................ 12 Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan kepekatan kernel dengan kernel Epanechnikov yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 100............................................................................................................................... 12 Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan kepekatan kernel dengan kernel Gauss yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 100................................. 12 Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaannya dengan MLE yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 25................................................................ 13 Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaannya dengan MLE yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 50................................................................ 13 Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaannya dengan MLE yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 75................................................................ 13 Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaannya dengan MLE yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 100.............................................................. 13 Boxplot data MSE dari ukuran contoh 25................................................................... 14 Boxplot data MSE dari ukuran contoh 50................................................................... 14 Boxplot data MSE dari ukuran contoh 75................................................................... 14 Boxplot data MSE dari ukuran contoh 100................................................................. 14

8

DAFTAR TABEL Halaman Tabel 1. Tabel 2.

Beberapa fungsi kernel ............................................................................................... 5 Nilai rata-rata MSE, simpangan baku MSE dari dugaan kepekatan kernel beserta rata-rata dugaan MLE parameter αˆ dan βˆ bagi fkp Gamma(3,100)....................... 9 Tabel 3. Nilai MSE minimum beserta lebar pita-nya untuk ukuran contoh 25........................ 39 Tabel 4. Nilai MSE minimum beserta lebar pita-nya untuk ukuran contoh 50....................... 40 Tabel 5. Nilai MSE minimum beserta lebar pita-nya untuk ukuran contoh 75....................... 41 Tabel 6. Nilai MSE minimum beserta lebar pita-nya untuk ukuran contoh 100..................... 42 Tabel 7. Nilai dugaan MLE parameter αˆ , βˆ , dan MSE dari ukuran contoh 25................................................................................................................................. 43 Tabel 8. Nilai dugaan MLE parameter αˆ , βˆ , dan MSE dari ukuran contoh 50................................................................................................................................. 43 Tabel 9. Nilai dugaan MLE parameter αˆ , βˆ , dan MSE dari ukuran contoh 75................................................................................................................................. 44 Tabel 10. Nilai dugaan MLE parameter αˆ , βˆ , dan MSE dari ukuran contoh 100............................................................................................................................... 44

DAFTAR LAMPIRAN Halaman Lampiran 1. Lampiran 2. Lampiran 3. Lampiran 4. Lampiran 5.

Bukti Teorema 1 ..................................................................................................... 17 Bukti Teorema 2 ..................................................................................................... 18 Grafik Fungsi Kernel .............................................................................................. 19 Pembangkitan Data ................................................................................................. 25 Penghitungan MSE, Rata-rata MSE, dan Simpangan Baku MSE Hasil Dugaan Kepekatan Kernel.................................................................................................... 26 Lampiran 6. Pendugaan dengan Kemungkinan Maksimum ....................................................... 35 Lampiran 7. Nilai MSE Minimum dari setiap Contoh beserta Lebar Pita-nya............................39 Lampiran 8. Hasil Dugaan bagi Fkp Gamma(3,100) dengan Menggunakan Kemungkinan Maksimum............................................................................................................... 43

9

PENDAHULUAN Latar Belakang Dalam realitas kehidupan sehari-hari banyak permasalahan atau fenomena yang dimodelkan secara matematik, yang disebut model matematik, guna mendapatkan solusi dari permasalahan tersebut. Berdasarkan kepastian/ketakpastian dari elemen modelnya, model matematik dibedakan menjadi dua, yaitu model deterministik dan model probabilistik atau model stokastik. Perbedaan penting antara model deterministik dan model stokastik adalah pada model stokastik tidak ada nilai tunggal. Model stokastik dapat direpresentasikan antara lain dengan sebaran (distribusi), atau cukup dengan ukuran pemusatan (rataan, median) dan ukuran penyebaran (ragam, simpangan baku) dari suatu sebaran (Purnaba & Mangku 2003). Pada kenyataannya fungsi kepekatan peluang yang sebenarnya dari suatu peubah acak sulit atau bahkan tidak mungkin untuk diketahui. Oleh karena itu dibuat suatu penduga bagi fungsi kepekatan peluang sebagai pendekatan sebaran yang sebenarnya. Ada dua pendekatan yang dapat digunakan dalam merumuskan penduga kepekatan peluang, yaitu melalui pendekatan parametrik dan nonparametrik. Penduga parametrik mempunyai struktur fungsi yang tetap, sehingga yang diduga adalah parameterparameter dari fungsinya. Sedangkan penduga nonparametrik tidak mempunyai struktur yang tetap, sehingga yang diduga adalah fungsinya. Pendekatan parametrik di antaranya adalah fungsi sebaran normal, gamma, eksponensial, dan lain sebagainya. Akan tetapi banyak contoh nyata di mana sebaran normal dan juga sebaran-sebaran parametrik lainnya tidak cocok. Akibat masalah ketidakcocokan model parametrik untuk contoh-contoh real, maka diperlukan suatu pendekatan nonparametrik. Oleh karena itu berkembanglah sejumlah teknik nonparametrik untuk menjawab permasalahan tersebut. Beberapa metode pendugaan nonparametrik dijelaskan secara singkat oleh Silverman (1986), yaitu histogram, penduga naif, penduga kernel, metode tetangga terdekat, metode variabel kernel, penduga deret ortogonal, dan penduga kemungkinan penalti maksimum. Dalam studi ini digunakan metode kepekatan kernel untuk menduga fungsi kepekatan peluang yang disebut

penduga kepekatan kernel. Metode ini digunakan karena merupakan metode yang paling berkembang secara teori dan mempunyai literatur yang luas. Berkembangnya penduga kepekatan kernel dimotivasi oleh kelemahan histogram. Histogram merupakan salah satu penduga kepekatan peluang nonparametrik yang tertua. Ide dari histogram adalah untuk mewakili kerapatan data dengan menghitung jumlah observasi pada setiap sub-sub interval berurutan dengan titik awal interval x0 . Subsub interval tersebut didapat dengan membagi interval yang meliputi seluruh nilai data dengan lebar yang sama. Lebar dari sub-sub interval disebut lebar pita. Dalam mengkonstruksi suatu histogram perlu mempertimbangkan ukuran lebar pita dan titik awal interval. Misalkan dari data yang sama akan dikonstruksi dua histogram dengan ukuran lebar pita yang sama tetapi titik awal yang berbeda, maka akan dihasilkan dua bentuk histogram yang berbeda. Begitu pula bila titik awalnya sama tetapi lebar pitanya berbeda, bentuk histogramnya pun berbeda. Untuk lebar pita yang terlalu besar akan menghasilkan blok-blok yang sangat besar dan histogram sangat tak terstruktur, sedangkan lebar pita yang terlalu kecil menghasilkan perkiraan yang sangat berubahubah dengan banyak puncak yang tidak berpengaruh (Härdle & Simar 2003). Sehingga kelemahan dari histogram adalah tidak halus, tergantung pada ukuran lebar pita, dan tergantung pada titik awal interval. Untuk mengatasi kelemahan histogram, Rosenblatt (1956) mengembangkan penduga shifted histogram atau disebut juga penduga naif. Kemudian lebih rinci dijelaskan oleh Parzen (1962) dengan men-generalisasi penduga shifted histogram yang disebut penduga kepekatan kernel. Pada penduga kepekatan kernel terdapat fungsi kernel yang dapat memberikan bobot yang berbeda pada data sesuai dengan fungsi kernel yang dipilih. Bentuk penduga shifted histogram merupakan penduga kepekatan kernel dengan fungsi kernel seragam. Selain fungsi kernel seragam, ada beberapa fungsi kernel lainnya yaitu segitiga, Epanechnikov, kuartik, Gauss, dan lain sebagainya. Dengan menggunakan penduga kepekatan kernel, dua kelemahan dari histogram dapat teratasi. Pertama, dengan menggunakan fungsi kernel yang halus untuk

10

blok bangunan maka akan didapat fungsi penduga kepekatan yang halus. Kedua, untuk menghilangkan ketergantungan titik awal interval, penduga kepekatan kernel memusatkan fungsi kernel pada setiap titik data. Oleh karena itu kualitas dari penduga kepekatan kernel dipengaruhi oleh ukuran lebar pita dan fungsi kernel yang dipilih. Penduga kepekatan kernel merupakan penduga konsisten sehingga merupakan penduga yang baik digunakan untuk ukuran contoh yang sangat besar. Tetapi untuk memperoleh ukuran contoh yang sangat besar diperlukan biaya yang besar pula. Sehingga yang menjadi permasalahan adalah bagaimana jika ukuran contoh yang digunakan jumlahnya tak terlalu besar.

Dalam reliabilitas, data yang didapatkan mengarah pada suatu sebaran tertentu. Sebaran gamma adalah salah satu yang relatif banyak digunakan. Jika komponen-komponen dari suatu model sistem standby memiliki waktu eksponensial untuk kepekatan kegagalan-nya, maka kepekatan kegagalan model sistem standby tersebut memiliki sebaran Gamma. Tujuan Tujuan dari studi ini ialah untuk mempelajari pendugaan kepekatan kernel bagi fungsi kepekatan peluang gamma dengan berbagai ukuran contoh dan membandingkannya dengan pendugaan parametrik.

LANDASAN TEORI Sebaran Gamma

X1 , X 2 ,… , X n

Definisi 1 (Sebaran Gamma) Suatu peubah acak X dikatakan mempunyai sebaran gamma dengan parameter α dan β , yang dinotasikan dengan Gamma( α , β ), jika mempunyai fungsi kepekatan peluang sebagai berikut: α −1 − x / β 1 f ( x) = x e I ( x >0) Γ (α ) β α di mana α > 0 dan β > 0 . (Hogg et al. 2005) Penduga Tak Bias dan Penduga Konsisten Definisi 2 (Statistik) Misalkan n peubah acak

X1 , X 2 ,… , X n

merupakan suatu contoh acak dari sebaran X. Suatu fungsi peubah acak T = T ( X 1 , X 2 ,…, X n ) dari contoh acak

Jika lim E [T ] = θ , maka penduga n →∞

Definisi 5 (Konvergen dalam Peluang) Misalkan { X n } adalah suatu barisan peubah

acak dan misalkan X adalah suatu peubah acak yang terdefinisi pada ruang contoh. X n disebut konvergen dalam peluang ke X jika untuk setiap ε > 0

statistik. T disebut penduga titik bagi θ jika T digunakan untuk menduga θ . (Hogg et al. 2005) Definisi 4 (Penduga Tak Bias) Misalkan X adalah suatu peubah acak dengan fkp f ( x;θ ) , θ ∈ Ω . Dan misalkan

(

)

(

)

lim Pr X n − X ≥ε = 0 ,

n →∞

atau

lim Pr X n − X <ε = 1 ,

n →∞

Definisi 3 (Penduga) Misalkan T = T ( X 1 , X 2 ,…, X n ) adalah suatu

T disebut

sebagai penduga tak bias asimtotik.

disebut statistik. (Hogg et al. 2005)

adalah contoh acak dari

sebaran X dan T adalah suatu statistik. T dikatakan penduga tak-bias bagi θ jika E [T ] = θ , untuk semua θ ∈ Ω . (Hogg et al. 2005)

P

yang dinotasikan dengan X n ⎯⎯ → X , untuk n → ∞. (Hogg et al. 2005) Definisi 6 (Penduga Konsisten) Misalkan X adalah suatu peubah acak dengan fungsi sebaran kumulatif F ( x;θ ) ,

θ ∈ Ω . Dan misalkan X 1 , X 2 , … , X n adalah contoh acak dari sebaran X dan Tn adalah

11

suatu statistik. Tn disebut penduga konsisten bagi θ jika Tn ⎯⎯ → θ , untuk n → ∞ . P

(Hogg et al. 2005) Definisi 7 (Mean Squared Error) Mean Squared Error (MSE) dari suatu penduga θˆ didefinisikan sebagai berikut:

(

)

2 MSE (θˆ ) = E ⎡⎢ θˆ −θ ⎤⎥ . ⎣ ⎦ Misalkan θ = E ⎡⎣θˆ ⎤⎦ , maka 2⎤ ⎡ MSE (θˆ) = E ⎢ θˆ −θ − (θ −θ ) ⎥ ⎣ ⎦

((

)

)

(

= E ⎡⎢ θˆ −θ ⎣

) ⎤⎥⎦ +(θ −θ ) 2

()(

( ))

=Var θˆ + Bias θˆ

( )

Bias θˆ

2

2 .

didefinisikan

sebagai

E ⎡⎣θˆ ⎤⎦ − θ = θ − θ .

(Rose & Smith 2002)

Misalkan

{ xi }in=1

adalah contoh acak

yang bebas stokastik identik dari suatu sebaran dengan kepekatan peluang f . Dengan mengacu pada Parzen (1962) dan Scott et al. (1977), penduga kepekatan kernel mempunyai bentuk umum: ∞ ⎛ x− y ⎞ fˆn ( x ) = ∫ 1 K ⎜ ⎟ dFn −∞ hn ⎝ hn ⎠ (1) n ⎛ x− x j ⎞ 1 = ∑K nhn j =1 ⎜⎝ hn ⎟⎠ di mana ⎧ ∞ ⎪ ∫ K ( y ) dy <∞ ⎪⎪ −∞ (2) ⎨ Sup K ( y ) <∞ ⎪−∞< y <∞ ⎪ lim yK ( y ) = 0 ⎪⎩ y →∞ dan K ( y) ≥ 0 ∞

∫ K ( y ) dy =1

(3)

−∞

Small oh { o (.) }

K (.) merupakan fungsi kernel, dan hn adalah

Definisi 8 ( o (.) untuk fungsi real)

Suatu fungsi f disebut o ( h ) , h → 0 , jika f ( h) =0. h Hal ini berarti f ( h ) → 0 lebih cepat dari h →0. (Ross 2000) lim

h →0

Definisi 9 ( o (.) barisan bilangan real)

Misalkan an dan bn adalah barisan bilangan real. Dikatakan an adalah “small oh” bn , ditulis

an = o (bn ) , n → ∞ ,

jika

lim an / bn = 0 .

lebar pita. Kendala (2) dan (3) didasari oleh penduga kepekatan kernel pada persamaan (1) untuk memenuhi sebagai penduga tak bias asimtotik. Untuk menjadi penduga tak bias asimtotik di mana hn = hn ( n) dipilih sebagai fungsi dari n sehingga lim hn = 0 ,

maka haruslah lim E ⎡⎣ fˆn ( x ) ⎤⎦ = f ( x ) , n →∞ ⎡ ⎛ E ⎡⎣ fˆn ( x ) ⎤⎦ = E ⎢ 1 K ⎜ x − X ⎣ hn ⎝ hn

an = o(1)

menyatakan

an → 0 untuk n → ∞ .

Penduga Kepekatan Kernel

Penduga kepekatan kernel merupakan suatu penduga bagi fungsi kepekatan peluang suatu peubah acak kontinu. Penduga kepekatan kernel termasuk ke dalam kelas penduga kepekatan nonparametrik.

⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦

∞ ⎛ x− y ⎞ = ∫ 1 K⎜ ⎟ f ( y ) dy. h ⎝ hn ⎠ −∞ n

(Wand & Jones 1995) bahwa

(5)

sedangkan

n →∞

Catatan

(4)

n →∞

(6)

Agar persamaan (5) terpenuhi, maka ekspresi pada bagian terakhir persamaan (6) harus menuju f ( x ) . Kondisi di mana ini terjadi diberikan oleh teorema berikut:

Teorema 1: Misalkan K ( y ) adalah suatu fungsi Borel yang memenuhi kondisi (2). Dan misalkan pula g ( y ) memenuhi ∞

∫ g ( y ) dy < ∞ .

−∞

12

Jika ∞ ⎛ y g n ( x) = 1 ∫ K ⎜ hn −∞ ⎝ hn

dengan

{hn }

⎞ ⎟ g ( x − y ) dy ⎠ adalah barisan dari konstanta

positif yang memenuhi persamaan (4), maka untuk setiap titik x pada kekontinuan g (.) , ∞

lim g n ( x ) = g ( x ) ∫ K ( y ) dy .

n →∞

−∞

∞ (8) E ⎡⎣ fˆn ( x ) ⎤⎦ = ∫ K ( z ) f ( x − hn z ) dz. −∞ Dengan mengekspresikan f ( x − hn z ) dalam

bentuk daret Taylor dalam selang sekitar x , didapatkan 2 2 2 f ( x − hn z ) = f ( x ) − hn zf '( x ) + 1 hn z f ''( x ) + o ( hn ). 2

Sehingga persamaan (8) menjadi E ⎡⎣ fˆn ( x ) ⎤⎦ ∞

Bukti: Lihat Lampiran 1.

2 2 2 = ∫ K ( z ){ f ( x ) − hn zf '( x ) + 1 hn z f ''( x ) + o( hn )}dz 2 −∞

∞

Akibat: Penduga yang didefinisikan pada persamaan (1) merupakan penduga tak bias asimtotik pada semua titik x , di mana fungsi kepekatan peluangnya kontinu, jika konstanta h memenuhi persamaan (4) dan jika fungsi K ( y ) memenuhi (2) dan persamaan (3). Agar penduga kepekatan kernel pada persamaan (1) menjadi penduga konsisten, diperlukan kondisi tambahan yang diberikan pada teorema berikut:

Teorema 2: Penduga fˆn

pada persamaan (1) dengan

kendala (2) dan (3) merupakan penduga konsisten jika ditambahkan kendala lim nhn = ∞ . n →∞

Bukti: Lihat Lampiran 2. Untuk memperoleh lebar pita optimal secara asimtotik, seperti dalam Wand dan Jones (1995), digunakan konsep mean squared error (MSE). Pertama akan diturunkan bias dari fˆn ( x ) . Misalkan X adalah suatu peubah acak yang mempunyai fungsi kepekatan peluang f , maka ⎡ ⎛ ⎞⎤ E ⎡⎣ fˆn ( x ) ⎤⎦ = E ⎢ 1 K ⎜ x − X ⎟ ⎥ ⎣ hn ⎝ hn ⎠ ⎦ (7) ∞ ⎛ x− y ⎞ 1 = ∫ K⎜ ⎟ f ( y ) dy. −∞ hn ⎝ hn ⎠ Dengan melakukan transformasi, di mana x− y z= , sehingga y = x − hn z dan hn

∞

= f ( x ) ∫ K ( z ) dz − hn f '( x ) ∫ zK ( z )dz −∞

−∞

∞

+ 1 hn2 f ''( x ) ∫ z 2 K ( z ) dz + o( hn2 ) 2 −∞ ∞

2 2 = f ( x ) + 1 hn f ''( x ) ∫ z 2 K ( z ) dz + o( hn ) , (9) 2 −∞

∞

∞

−∞

−∞

di mana ∫ K ( z ) dz = 1 , ∫ zK ( z ) dz = 0 , dan ∞

∫ z K ( z ) dz < ∞ . 2

−∞

Dari persamaan (9) didapatkan ekspresi bias dari fˆn ( x ) sebagai berikut: E ⎡⎣ fˆn ( x ) ⎤⎦ − f ( x )

(10)

∞

2 2 = 1 hn f ''( x ) ∫ z 2 K ( z ) dz + o ( hn ). 2 −∞

Sedangkan

untuk

ragam

diturunkan sebagai berikut: ⎧ ⎛ Var fˆn ( x ) = 1 Var ⎨ 1 K ⎜ x − X n ⎩ hn ⎝ hn

{

fˆn ( x )

dari

}

⎞⎫ ⎟⎬ ⎠⎭

2⎫ 2 ⎧ ⎡ ⎪ ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎤ ⎛ ⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎞ ⎪ = 1 ⎨ E ⎢⎜ 1 K ⎜ x − X ⎟ ⎟ ⎥ − ⎜ E ⎢ 1 K ⎜ x − X ⎟ ⎥ ⎟ ⎬ n ⎪ ⎢⎝ hn ⎝ hn ⎠ ⎠ ⎥ ⎝ ⎣ hn ⎝ hn ⎠ ⎦ ⎠ ⎪ ⎦ ⎩ ⎣ ⎭

{

2

}

∞ ⎧ ⎛ x − y ⎞⎫ = 1 ∫ 12 ⎨ K ⎜ f ( y ) dy − 1 E ⎡ fˆn ( x ) ⎤ ⎦ n −∞ h ⎩ ⎝ hn ⎟⎠ ⎬⎭ n ⎣ n

{

∞

2

}

2 = 1 ∫ { K ( z )} K ( z ) f ( x −hn z)dz − 1 E ⎡ fˆn ( x)⎤ ⎦ nhn −∞ n ⎣

∞

{

}

2 = 1 ∫ { K ( z )} { f ( x) + o(1)} dz − 1 f ( x) + o(1) nhn −∞ n

∞

(

2

2

)

2 −1 = 1 f ( x ) ∫ { K ( z )} dz + o ( nhn ) (11) nhn −∞ Dari persamaan (10) dan (11) didapatkan pendekatan asimtotik bagi MSE dari fˆn ( x )

sebagai berikut:

dy J = = hn , maka persamaan (7) menjadi dz

13

{

∞

}

Penduga Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimator/MLE)

2 MSE fˆn ( x ) = 1 f ( x ) ∫ { K ( z )} dz nhn −∞ 2

(

⎞ 2⎛ ∞ −1 4 + 1 hn { f ''( x )} ⎜ ∫ z 2 K ( z ) dz ⎟ + o ( nhn ) + hn4 4 ⎝ −∞ ⎠

)

.....(12) Dengan mengintegralkan MSE tersebut terhadap x didapatkan mean integrated squared error (MISE) sebagai berikut: −1 MISE fˆ (.) = AMISE fˆ (.) + o ( nh ) + h4

{n } (

{n }

n

n

)

.....(13) di mana

{

}

∞

2 AMISE fˆn (.) = 1 ∫ { K ( z )} dz nhn −∞

(14)

2

∞ ⎞ ∞ 2 4⎛ + 1 hn ⎜ ∫ z 2 K ( z ) dz ⎟ ∫ { f ''( x )} dx 4 ⎝ −∞ ⎠ −∞

(AMISE: Asymptotic MISE) Dengan membuat turunan pertama persamaan (14) terhadap hn sama dengan nol, didapatkan lebar pita optimal secara asimtotik, dinotasikan hAMISE , sebagai berikut: 1/5

hAMISE

⎡ ⎤ ∞ 2 ⎢ ⎥ ∫ ⎡⎣ K ( z )⎤⎦ dz ⎢ ⎥ −∞ =⎢ ⎥ 2 ∞ ∞ ⎢ ⎛ z 2 K ( z )dz ⎞ [ f ''( x)]2dx ⎥ ∫ ∫ ⎜ ⎟ ⎢⎣ ⎝ −∞ ⎥⎦ ⎠ −∞

Perhatikan X1 , X 2 ,… , X n

suatu contoh acak dari suatu sebaran yang

mempunyai fungsi kepekatan peluang f ( x; θ ) , θ ∈ Ω . Fungsi kepekatan peluang bersama

dari

X1 , X 2 ,… , X n

f ( x1 ; θ ) f ( x2 ; θ ) … f ( xn ; θ ) .

u ( x1 , x2 ,…, xn ) , sehingga ketika θ digantikan

oleh u ( x1 , x2 ,…, xn ) , fungsi likelihood L dimaksimumkan.

(

n

Dengan

)

kata

lain,

paling kecil

L (θ ; x1 , x2 ,…, xn ) θ ∈ Ω . Maka statistik u ( X1 , X 2 ,…, X n ) disebut penduga kemungkinan maksimum (maximum θ , dan likelihood estimator) untuk dinotasikan dengan θˆ = u ( X 1 , X 2 ,…, X n ) . (Hogg et al. 2005)

sama besarnya dengan untuk

.....(15) Fungsi kernel, K (.) , pada penduga kepekatan kernel mempunyai pilihan yang bervariasi. Beberapa di antaranya, yang biasa digunakan, diberikan pada Tabel 1. Grafik dari masing-masing fungsi kernel dalam Tabel 1 dapat dilihat pada Lampiran 3.

Fungsi

kepekatan peluang bersama tersebut dapat dianggap sebagai suatu fungsi dalam θ dan disebut fungsi likelihood (fungsi kemungkinan) L , dinotasikan sebagai berikut: L (θ ; x1 , x2 ,…, xn ) = f ( x1 ; θ ) f ( x2 ; θ ) … f ( xn ; θ ), θ ∈Ω . .....(16) Misalkan dapat dicari suatu fungsi nontrivial dalam x1 , x2 , … , xn , sebut saja

L u ( x1 , x2 ,…, xn ); x1 , x2 ,…, xn −1/5

adalah

setiap

Tabel 1. Beberapa fungsi kernel Kernel K (u )

Seragam Segitiga Epanechnikov Kuartik (Biweight) Triweight

(

(1− u ) I ( u ≤1) 3 1− u 2 I u ≤1 ) ( ) 4(

(

) I ( u ≤1)

(

) I ( u ≤1)

15 1− u 2 16 35 1− u 2 32

Gauss Cosinus

)

1 I u ≤1 2

2

3

(

1 exp − 1 u 2 2 2π

)

(2 )

π cos π u I u ≤1 ( ) 4

14

BAHAN DAN METODE Alur Penelitian

Bangkitkan sejumlah contoh data dengan ukuran yang bervariasi.

Duga fungsi kepekatan peluang dengan menggunakan penduga kepekatan kernel dengan lebar pita yang ditentukan dan fungsi kernel bervariasi untuk masingmasing contoh.

Bandingkan masing-masing hasil dugaan tersebut.

Bandingkan hasil dugaan dengan menggunakan kepekatan kernel dan dugaan dengan penduga parametrik.

Sumber Data

Data yang digunakan dalam studi ini adalah data yang dibangkitkan dari sebaran Gamma(3,100). Nilai parameter tersebut merupakan suatu contoh dari sebuah sistem standby dalam Hines dan Montgomery (1990). Unit 1

KP

Unit 2

Unit 3 Gambar 1. Sebuah sistem standby

Pada sistem tersebut, ditunjukkan dalam Gambar 1, pada awalnya unit 1 on line, sementara unit 2 dan unit 3 standby. Jika unit 1 rusak, maka keputusan penyambungan (KP) pada unit 2, dan kalau unit 2 juga rusak, kemudian baru disambungkan pada unit 3. Keputusan penyambungan diasumsikan sempurna, sehingga sistem hidup X bisa

ditunjukkan sebagai penjumlahan subsistem, X = X 1 + X 2 + X 3 . Jika subsistem berjalan bebas satu sama lain, dan jika subsistem mempunyai daya hidup X j , j = 1, 2, 3 , dan mempunyai g ( x j ) = (1 / 100) e

kepekatan − x j /100

, x j ≥ 0 , maka X

akan mempunyai fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100). Dari sebaran tersebut dibangkitkan empat macam ukuran contoh, yaitu dengan ukuran 25, 50, 75, dan 100. Pendugaan dilakukan untuk masing-masing ukuran contoh tersebut. Karena data yang dibangkitkan untuk masingmasing ukuran contoh merupakan suatu contoh dari populasi, maka diambil lebih banyak contoh, sehingga memberikan gambaran yang lebih baik dari populasi tersebut. Untuk itu data dibangkitkan dua puluh lima kali untuk masing-masing ukuran contoh. Data dibangkitkan dengan menggunakan Mathematica 5.0 (lihat Lampiran 4).

15

Metode Pendugaan

Untuk menduga fungsi kepekatan peluang digunakan penduga kepekatan kernel sebagai penduga nonparametrik, kemudian dibandingkan dengan penduga parametrik. Penduga kepekatan kernel dipengaruhi oleh lebar pita dan fungsi kernel. Untuk itu dilakukan simulasi dengan memainkan peranan lebar pita dan fungsi kernel. Untuk menentukan nilai lebar pita, hn , digunakan persamaaan berikut: 100 2 (17) MSE = 1 ∑ fˆ ( xi ) − f ( xi ) , 100 i =1 di mana fˆ ( xi ) adalah fungsi dugaan dan

{

}

f ( xi ) adalah fungsi yang sebenarnya. Dalam hal ini, fˆ ( x ) merupakan fungsi dugaan i

f ( xi ) merupakan fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100). Sehingga persamaan (17) menjadi

kepekatan kernel dan

100 ⎧ n ⎛ xi − y j ⎪ MSE = 1 ∑ ⎨ 1 ∑ K ⎜ 100 i =1 ⎪ nhn j =1 ⎝ hn ⎩

⎞ xi2 e − xi /100 ⎫⎪ ⎟− 6 ⎬ ⎠ 2×10 ⎪⎭

2

.....(18) di mana xi = 1 + 10(i − 1) , i = 1, 2, … ,100 , merupakan titik-titik di mana nilai fungsi yang sebenarnya dengan nilai fungsi yang diduga dihitung selisihnya, dan

{ y j } j =1 n

adalah

himpunan contoh acak bebas stokastik identik dari sebaran dengan kepekatan peluang Gamma(3,100). Persamaan tersebut mengekspresikan rata-rata galat kuadrat dari 100 titik xi . Jumlah 100 titik dipilih karena dilihat dari grafik fungsi sebaran Gamma(3,100), pada titik bernilai 1000 grafik fungsinya sudah mendekati nol, sehingga jika dibuat titik-titik dengan lebar interval 10 pada range 0 sampai 1000 akan ada 100 titik. Untuk suatu fungsi kernel yang telah ditentukan, substitusi y j dengan data yang telah dibangkitkan menghasilkan fungsi dalam hn . Karena ingin didapatkan penduga dengan galat sekecil mungkin, maka hn haruslah suatu nilai yang meminimumkan fungsi dalam hn tersebut. Untuk menentukan hn tersebut digunakan fungsi Minimize Mathematica (lihat Lampiran 5). Dari persamaan (18), dengan dua lima kali pengulangan diperoleh dua lima nilai lebar pita dan nilai MSE

dalam puluh puluh untuk

setiap ukuran contoh. Kemudian dari setiap ukuran contoh dihitung nilai rata-rata MSE (Average MSE/AMSE) dengan persamaan berikut: 25 100 2⎫ ⎧ AMSE = 1 ∑ ⎨ 1 ∑ fˆ ( xi ; yc ) − f ( xi ) ⎬ 25 c =1 ⎩100 i =1 ⎭ .....(19) Dalam hal ini, fˆ ( xi ; yc ) merupakan fungsi dugaan kepekatan kernel dengan menggunakan himpunan contoh acak ke- c dan f ( xi ) merupakan fungsi kepekatan

{

}

peluang Gamma(3,100). Sehingga persamaan (19) menjadi 25 ⎧ n ⎛ xi − ycj ⎪ 100 ⎪⎧ AMSE = 1 ∑ ⎨ 1 ∑ ⎨ 1 ∑ K ⎜ 25 c =1 100 i =1 ⎪ nhnc j =1 ⎝ hnc ⎪⎩ ⎩

2⎫

⎞ xi2 e− xi /100 ⎪⎫ ⎟− 6 ⎬ ⎠ 2×10 ⎭⎪

⎪ ⎬ ⎭⎪

.....(20) dimana hnc adalah nilai lebar pita yang meminimumkan MSE untuk himpunan contoh acak ke- c , dan

{ ycj } j =1 n

adalah himpunan

contoh acak ke- c yang bebas stokastik identik dari sebaran dengan kepekatan peluang Gamma(3,100) dengan c = 1, 2, … , 25 . Fungsi kernel yang digunakan ialah kernel seragam, segitiga, Epanechnikov, dan Gauss. Dilihat dari grafiknya, keempat fungsi kernel tersebut mempunyai bentuk yang sangat berbeda satu sama lain. Kernel seragam, segitiga dan Gauss masing-masing mempunyai bentuk persegi panjang, segitiga, dan lonceng. Kernel Epanechnikov mempunyai bentuk hampir seperti segitiga tetapi lebih halus. Sedangkan kernel lainnya, seperti kernel kuartik, triweight, dan cosinus mempunyai bentuk yang hampir sama dengan Epanechnikov hanya saja masing-masing puncaknya mempunyai ketinggian yang berbeda. Kernel kuartik mempunyai ketinggian puncak yang hampir sama dengan segitiga, sehingga kuartik hampir sama seperti segitiga. Kernel cosinus mempunyai bentuk yang hampir sama dengan Epanechnikov dengan puncak yang sedikit lebih tinggi. Kernel triweight mempunyai puncak sedikit lebih tinggi dibandingkan segitiga (lihat Lampiran 3). Untuk keempat fungsi kernel yang digunakan, dilakukan cara yang sama seperti di atas dalam mencari nilai lebar pita. Dengan menggunakan empat fungsi kernel akan didapatkan empat nilai rata-rata MSE dari setiap ukuran contoh. Untuk membandingkan keempat nilai rata-rata MSE tersebut digunakan uji beda nyata terkecil (BNT) dengan taraf nyata 5%.

16

Sebagai pembanding penduga kepekatan kernel, digunakan penduga parametrik. Karena datanya dibangkitkan dari sebaran gamma, maka dalam pendugaan parametriknya yang diduga adalah parameter α dan β . Untuk menduga parameter tersebut digunakan metode penduga kemungkinan maksimum (maximum likelihood estimator/MLE). Untuk suatu contoh acak berukuran n dari suatu peubah acak X yang menyebar gamma, fungsi log-likelihood-nya adalah: n n ⎧⎛ ⎞ − ∑ xi / β n α −1 ⎫⎪ ⎪ 1 = 1 i ln L (α , β ) = ln ⎨⎜ e ∏ xi ⎬ ⎟ Γ (α ) β α ⎠ i =1 ⎩⎪⎝ ⎭⎪ n

n

=− n ln Γ (α ) − nα ln β − 1 ∑ xi + (α −1) ∑ ln xi

β i =1

i =1

.....(21) Kemudian dicari nilai α dan β yang memaksimumkan fungsi log-likelihood tersebut, yaitu dengan cara membuat turunan pertama terhadap α dan β sama dengan nol. Tetapi turunan pertamanya hanya dapat diturunkan terhadap β , yaitu n ∂ ln L (α , β ) = − nα + 12 ∑ xi ∂β β β i =1

Dengan n αˆ ( β ) = 1 ∑ xi nβ i =1 nya, didapatkan

mensubstitusikan ke fungsi log-likelihood-

⎛ n ⎜ ∑ xi ln L (αˆ ( β ), β ) = − n ln Γ ⎜ i =1 ⎜⎜ nβ ⎝

⎞ n x ⎛ n ⎞ i ⎟ i∑ ⎜ ∑ xi ⎟ n =1 ln β +1) + ⎜ i =1 −1⎟ ∑ ln xi . ( ⎟− β ⎟⎟ ⎜⎜ nβ ⎟⎟ i =1 ⎠ ⎝ ⎠

.....(23) Untuk mencari β yang memaksimumkan persamaan tersebut, digunakan fungsi Maximize dalam Mathematica. Setelah β α dengan didapatkan, dicari nilai ˆ mensubstitusikan β ke fungsi α ( β ) (lihat Lampiran 6). Untuk membandingkan dengan dugaan hasil penduga kepekatan kernel, dihitung nilai MSE dan rata-rata MSE dengan menggunakan persamaan (17) dan (19) dimana fˆ ( xi ) merupakan fungsi kepekatan peluang gamma dengan nilai dugaan α dan β yang diperoleh dari metode kemungkinan maksimum dan f ( xi ) merupakan fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) (lihat Lampiran 6).

n ⇔− nα + 12 ∑ xi = 0

β

β

i =1

⇔ nα = 12 ∑ xi n

β

β

(22)

i =1

n

⇔α = 1 ∑ xi . nβ i =1 Oleh karena itu digunakan metode numerik untuk mencari solusinya.

Tahapan Pendugaan Kepekatan Kernel dengan Mathematica

Data

Definisi Penduga Kepekatan Kernel (Fungsi kernel dan lebar pita telah ditentukan)

1) Data Data yang merupakan input didefinisikan pada notebook Mathematica dalam bentuk list. 2) Definisi Penduga Kepekatan Kernel Setelah data disiapkan, tahapan selanjutnya adalah mendefinisikan fungsi penduga kepekatan kernel pada notebook Mathematica dengan fungsi kernel dan lebar pita yang telah ditentukan. Kemudian

Plot

substitusikan data pada fungsi penduga kepekatan kernel yang telah didefinisikan, sehingga dihasilkan dugaan fungsi kepekatan peluang untuk data tersebut. 3) Plot Dugaan fungsi kepekatan peluang yang telah didapat, diplot untuk melihat sebaran peluang yang terbentuk.

17

HASIL DAN PEMBAHASAN contoh acak beserta lebar pita-nya yang dilampirkan pada Lampiran 7. Sedangkan nilai rata-rata MSE dan simpangan baku MSE dirangkum pada Tabel 2.

Pendugaan Fungsi Kepekatan Peluang dengan Fungsi Kepekatan Kernel Dari perhitungan yang dilakukan, didapatkan nilai MSE terkecil dari setiap

Nilai rata-rata MSE, simpangan baku MSE dari dugaan kepekatan kernel beserta ratarata dugaan MLE parameter αˆ dan βˆ bagi fkp Gamma(3,100)

Tabel 2.

Ukuran contoh 25

Kernel Rata-rata

50

Simpangan

MSE

Rata-rata

Baku MSE

75

Simpangan

MSE

Rata-rata

Baku MSE

MSE

-8

-8

-8

-8

-8

-8

-8

-8

-8

-8

-8

-8

-8

100

Simpangan

Rata- rata

Baku MSE -8

Simpangan

MSE

Baku MSE

-8

-8

-8

-8

-8

-8

-8

-8

-8

-8

-8

-8

-8

-8

-8

Seragam

9.43098 x 10 6.38888 x 10 6.28648 x 10 4.69654 x 10 5.5582 x 10

4.22732 x 10 4.77274 x 10 2.40563 x 10

Segitiga

8.83221 x 10 6.61025 x 10 5.99716 x 10 4.90539 x 10 5.24432 x 10 4.34969 x 10 4.50229 x 10 2.45922 x 10

Epanechnikov 8.74329 x 10 6.61758 x 10 5.95435 x 10 4.91102 x 10 5.22163 x 10 4.33662 x 10 4.50044 x 10 2.45516 x 10

Gauss

9.0795 x 10

MLE

-8

6.70575 x 10 6.10244 x 10 4.93163 x 10 5.30433 x 10 4.34988 x 10 4.5688 x 10

Rata-rata

Simpangan

Rata-rata

Simpangan

Baku MSE

-8

Rata-rata

Simpangan

Baku -8

-8

Rata-rata

Simpangan

Baku

-8

-8

-8

-8

2.47402 x 10

Baku -8

-8

-8

7.10132 x 10 8.65312 x 10 4.00662 x 10 3.68307 x 10 2.61553 x 10 3.06213 x 10 1.46131 x 10 1.41155 x 10

αˆ

3.26194

1.04501

3.17667

0.739087

3.2579

0.437496

3.02859

0.359171

βˆ

100.09

31.4909

97.2281

21.8578

95.3222

12.6927

100.705

12.2137

Pada Tabel 2 terlihat bahwa untuk ukuran contoh 25, 50, 75, maupun 100, dugaan dengan metode kepekatan kernel bagi fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) dengan menggunakan fungsi kernel epanechnikov mempunyai nilai rata-rata MSE terkecil. Sedangkan dugaan dengan menggunakan fungsi kernel seragam mempunyai nilai ratarata MSE terbesar. Tetapi dengan menggunakan uji beda nyata terkecil, untuk setiap ukuran contoh, keempat nilai rata-rata MSE yang didapatkan tidak berbeda nyata pada taraf 5%. Untuk ukuran contoh 25, dari dua puluh lima nilai MSE hasil dugaan bagi fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) menggunakan kepekatan kernel dengan fungsi kernel seragam, didapatkan MSE terkecil bernilai 2.48346 x 10-8 dan MSE terbesar bernilai 2.87179 x 10-7. Nilai MSE hasil dugaan bagi fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) menggunakan kepekatan

kernel dengan fungsi kernel segitiga, didapatkan MSE terkecil bernilai 1.4091 x 10-8 dan MSE terbesar bernilai 2.80453 x 10-7. Nilai MSE hasil dugaan bagi fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) menggunakan kepekatan kernel dengan fungsi kernel Epanechnikov, didapatkan MSE terkecil bernilai 1.40709 x 10-8 dan MSE terbesar bernilai 2.82958 x 10-7. Dan Nilai MSE hasil dugaan menggunakan kepekatan kernel dengan fungsi kernel Gauss bagi fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100), didapatkan MSE terkecil bernilai 1.40793 x 10-8 dan MSE terbesar bernilai 2.82206 x 10-7. Untuk memberikan gambaran, berikut ini diperlihatkan tumpang tindih grafik fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) dengan grafik dugaan menggunakan kepekatan kernel dengan fungsi kernel seragam, segitiga, Epanechnikov, dan Gauss yang mempunyai

18

nilai MSE terkecil dan MSE terbesar dari ukuran contoh 25: 0.003 0.0025 0.002 Terbaik Terburuk Gamma

0.0015 0.001 0.0005 200

400

600

800

1000

Gambar 2. Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan menggunakan kepekatan kernel dengan kernel seragam yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 25 0.003 0.0025 0.002 Terbaik Terburuk Gamma

0.0015 0.001

Hasil dugaan bagi fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) dari ukuran contoh 50 dengan menggunakan kepekatan kernel dengan fungsi kernel seragam, didapatkan MSE terkecil bernilai 1.52431 x 10-8 dan MSE terbesar bernilai 2.17277 x 10-7. Jika digunakan fungsi kernel segitiga, didapatkan MSE terkecil bernilai 1.0428 x 10-8 dan MSE terbesar bernilai 2.21829 x 10-7. Sedangkan jika digunakan fungsi kernel Epanechnikov, didapatkan MSE terkecil bernilai 1.11693 x 10-8 dan MSE terbesar bernilai 2.1987 x 10-7. Dan jika digunakan fungsi kernel Gauss, didapatkan MSE terkecil bernilai 1.0437 x 10-8 dan MSE terbesar bernilai 2.24462 x 10-7. Berikut ini diperlihatkan tumpang tindih grafik fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) dengan grafik dugaan menggunakan kepekatan kernel dengan fungsi kernel seragam, segitiga, Epanechnikov, dan Gauss yang mempunyai nilai MSE terkecil dan MSE terbesar dari ukuran contoh 50:

0.0005 200

400

600

800

1000

Gambar 3. Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan menggunakan kepekatan kernel dengan kernel segitiga yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 25 0.003 0.0025 0.002 Terbaik Terburuk Gamma

0.0015 0.001

0.003 0.0025 0.002 Terbaik Terburuk Gamma

0.0015 0.001 0.0005 200

400

600

800

1000

Gambar 6. Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan menggunakan kepekatan kernel dengan kernel seragam yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 50

0.0005 200

400

600

800

1000

Gambar 4. Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan menggunakan kepekatan kernel dengan kernel Epanechnikov yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 25 0.003 0.0025 0.002 Terbaik Terburuk Gamma

0.0015 0.001

0.003 0.0025 0.002 Terbaik

0.0015

Terburuk Gamma

0.001 0.0005 200

400

600

800

1000

Gambar 7. Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan menggunakan kepekatan kernel dengan kernel segitiga yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 50

0.0005 200

400

600

800

1000

Gambar 5. Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan menggunakan kepekatan kernel dengan kernel Gauss yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 25

19

0.003

0.003

0.0025

0.0025

0.002

0.002 Terbaik Terburuk Gamma

0.0015 0.001 0.0005

Terbaik Terburuk Gamma

0.0015 0.001 0.0005

200

400

600

800

1000

Gambar 8. Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan menggunakan kepekatan kernel dengan kernel Epanechnikov yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 50

200

0.003

0.003

0.0025

0.0025

0.002

400

600

800

1000

Gambar 10. Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan menggunakan kepekatan kernel dengan kernel seragam yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 75

0.002 Terbaik

0.0015

Terburuk Gamma

0.001 0.0005

Terbaik Terburuk Gamma

0.0015 0.001 0.0005

200

400

600

800

1000


Hasil dugaan bagi fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) dari ukuran contoh 75 dengan menggunakan kepekatan kernel dengan fungsi kernel seragam, didapatkan MSE terkecil bernilai 1.05731 x 10-8 dan MSE terbesar bernilai 2.22805 x 10-7. Jika digunakan fungsi kernel segitiga, didapatkan MSE terkecil bernilai 7.8127 x 10-9 dan MSE terbesar bernilai 2.23878 x 10-7. Sedangkan jika digunakan fungsi kernel Epanechnikov, didapatkan MSE terkecil bernilai 6.89136 x 10-9 dan MSE terbesar bernilai 2.23206 x 10-7. Dan jika digunakan fungsi kernel Gauss, didapatkan MSE terkecil bernilai 9.24232 x 10-9 dan MSE terbesar bernilai 2.24288 x 10-7. Berikut ini diperlihatkan tumpang tindih grafik fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) dengan grafik dugaan menggunakan kepekatan kernel dengan fungsi kernel seragam, segitiga, Epanechnikov, dan Gauss yang mempunyai nilai MSE terkecil dan MSE terbesar dari ukuran contoh 75:

200

400

600

800

1000

Gambar 11. Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan menggunakan kepekatan kernel dengan kernel segitiga yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 75 0.003 0.0025 0.002 Terbaik Terburuk Gamma

0.0015 0.001 0.0005 200

400

600

800

1000


0.0015 0.001 0.0005 200

400

600

800

1000


20

Hasil dugaan bagi fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) dari ukuran contoh 100 dengan menggunakan kepekatan kernel dengan fungsi kernel seragam, didapatkan MSE terkecil bernilai 1.07826 x 10-8 dan MSE terbesar bernilai 1.18116 x 10-7. Jika digunakan fungsi kernel segitiga, didapatkan MSE terkecil bernilai 6.59011 x 10-9 dan MSE terbesar bernilai 1.17359 x 10-7. Sedangkan jika digunakan fungsi kernel Epanechnikov, didapatkan MSE terkecil bernilai 6.96812 x 10-9 dan MSE terbesar bernilai 1.17534 x 10-7. Dan jika digunakan fungsi kernel Gauss, didapatkan MSE terkecil bernilai 6.21083 x 10-9 dan MSE terbesar bernilai 1.16966 x 10-7. Berikut ini diperlihatkan tumpang tindih grafik fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) dengan grafik dugaan menggunakan kepekatan kernel dengan fungsi kernel seragam, segitiga, Epanechnikov, dan Gauss yang mempunyai nilai MSE terkecil dan MSE terbesar dari ukuran contoh 100: 0.003 0.0025 0.002 Terbaik Terburuk Gamma

0.0015 0.001 0.0005 200

400

600

800

1000

Gambar 14. Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan menggunakan kepekatan kernel dengan kernel seragam yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 100 0.003 0.0025 0.002 Terbaik Terburuk Gamma

0.0015 0.001 0.0005 200

400

600

800

1000

Gambar 15. Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaan menggunakan kepekatan kernel dengan kernel segitiga yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 100


0.0015 0.001 0.0005 200

400

600

800

1000


0.0015 0.001 0.0005 200

400

600

800

1000


Hasil grafik dari keempat fungsi kernel yang digunakan untuk setiap ukuran contoh terlihat tidak jauh berbeda, khususnya grafik yang dihasilkan dari kernel segitiga, Epanechnikov, dan Gauss. Ini sesuai dengan hasil uji beda nyata terkecil di mana keempat nilai rata-rata MSE yang didapatkan tidak berbeda pada taraf nyata 5%. Dari gambar di atas terlihat bahwa grafik yang dihasilkan oleh dugaan dengan menggunakan fungsi kernel segitiga, Epanechnikov, dan Gauss merupakan grafik yang halus. Sedangkan kernel seragam, walaupun fungsinya sederhana, tetapi grafik hasil dugaannya tidak halus. Kernel segitiga dan Epanechnikov mempunyai fungsi yang lebih sederhana dibandingkan kernel gauss (lihat Tabel 1). Dilihat pada Tabel 2, semakin besar ukuran contoh, semakin kecil nilai rata-rata MSE yang dihasilkan dari keempat fungsi kernel tersebut. Begitu pula nilai simpangan baku MSE yang dihasilkan semakin kecil dengan bertambahnya ukuran contoh. Ini berarti semakin besar ukuran contoh yang digunakan, hasil dugaan kepekatan kernel, apapun fungsi kernelnya dari keempat fungsi kernel tersebut, akan mendekati fungsi kepekatan peluang yang sebenarnya.

21

Pendugaan Fungsi Kepekatan Peluang dengan Penduga Kemungkinan Maksimum dan Perbandingannya dengan Fungsi Kepekatan Kernel Hasil pendugaan bagi fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) dari ukuran contoh 25, 50, 75, dan 100 dengan penduga kemungkinan maksimum dilampirkan pada Lampiran 8. Sedangkan pada bagian bawah Tabel 2 diperlihatkan nilai rata-rata dan simpangan baku dari dugaan parameter dan MSE hasil pendugaan dengan kemungkinan maksimum. Pendugaan bagi fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) dengan ukuran contoh 25 dengan menggunakan kemungkinan maksimum menghasilkan dugaan dengan MSE terkecil bernilai 1.1171 x 10-10 dan MSE terbesar bernilai 3.70397 x 10-7 dari dua puluh lima nilai MSE yang diperoleh. Untuk ukuran contoh 50, dari dua puluh lima nilai MSE yang didapatkan, MSE terkecil bernilai 1.26658 x 10-9 dan MSE terbesar bernilai 1.18158 x 10-7. Untuk ukuran contoh 75, dari dua puluh lima nilai MSE yang didapatkan, MSE terkecil bernilai 7.1324 x 10-10 dan MSE terbesar bernilai 1.24838 x 10-7. Dan untuk ukuran contoh 100, dari dua puluh lima nilai MSE yang didapatkan, MSE terkecil bernilai 8.91801 x 10-10 dan MSE terbesar bernilai 4.77985 x 10-8. Berikut ini adalah grafik hasil dugaan MLE yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar untuk ukuran contoh 25, 50, 75, dan 100: 0.003 0.0025 0.002 Terbaik Terburuk Gamma

0.0015 0.001 0.0005 200

400

600

800

1000

Gambar 18. Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaannya dengan MLE yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 25 0.003 0.0025 0.002 Terbaik Terburuk Gamma

0.0015 0.001


0.0015 0.001 0.0005 200

400

600

800

1000

Gambar 20. Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaannya dengan MLE yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 75 0.003 0.0025 0.002 Terbaik Terburuk Gamma

0.0015 0.001 0.0005 200

400

600

800

1000

Gambar 21. Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaannya dengan MLE yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 100

Nilai rata-rata MSE dari dugaan kemungkinan maksimum semakin kecil dengan semakin besarnya ukuran contoh. Begitu pula dengan simpangan baku MSE yang dihasilkan. Semakin besar ukuran contoh, semakin kecil simpangan baku MSE yang dihasilkan. Ini berarti hasil dugaan kemungkinan maksimum akan mendekati fungsi kepekatan peluang yang sebenarnya dengan memperbesar ukuran contoh. Untuk keempat ukuran contoh, hasil dugaan dengan penduga kemungkinan maksimum bagi fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) mempunyai nilai rata-rata MSE lebih kecil dibandingkan dengan nilai rata-rata MSE hasil dugaan kepekatan kernel. Begitu pula simpangan baku MSE yang dihasilkan. Kecuali simpangan baku MSE untuk ukuran contoh 25, simpangan baku MSE hasil dugaan kemungkinan maksimum lebih kecil dibandingkan simpangan baku MSE hasil dugaan kepekatan kernel. Untuk memberikan gambaran, data MSE dari masing-masing hasil dugaan dengan menggunakan kepekatan kernel maupun kemungkinan maksimum disajikan dalam bentuk boxplot sebagai berikut:

0.0005 200

400

600

800

1000

Gambar 19. Grafik fkp Gamma(3,100) dan dugaannya dengan MLE yang mempunyai MSE terkecil dan terbesar dari ukuran contoh 50

22

,0000004

,00000014 21

,00000012 ,0000003

25

25

25

25

9

9

9

,00000010

4

,0000002

9

,00000008

25 3

,00000006 18

,0000001

,00000004 ,00000002

0,0000000 0,00000000 -,0000001 N=

-,00000000 25

25

Seragam

25

25

Epanechnikov Segitiga

25

MLE

Gauss

,0000003

13

13

13

,0000002

23 7 3 25

,0000001

0,0000000

-,0000001 N=

25

25

Seragam

25

25


25

MLE

Gauss

Gambar 23. Boxplot data MSE dari ukuran contoh 50 ,0000003

9

9

9

9

,0000002

9

,0000001

0,0000000

-,0000001 N=

25

Seragam

25

25

25


25

Seragam

25

25

25

25


Gambar 22. Boxplot data MSE dari ukuran contoh 25

13

N=

25

MLE

Gauss


Masing-masing gambar boxplot di atas terlihat bahwa data MSE hasil dugaan dengan kepekatan kernel untuk keempat fungsi kernel yang digunakan menghasilkan boxplot yang hampir sama. Sedangkan data MSE hasil dugaan dengan kemungkinan maksimum terlihat berbeda sendiri. Dari boxplot untuk data MSE hasil dugaan dengan kemungkinan maksimum dengan ukuran contoh 25, terlihat ada satu nilai ekstrim yang membuat nilai simpangan baku-nya lebih besar dibandingkan keempat nilai simpangan baku MSE hasil dugaan dengan kepekatan kernel. Nilai ekstrim ini merupakan kontradiksi dari model yang sebenarnya. Karena contoh acak yang digunakan dari peubah acak dengan sebaran yang telah diketahui yaitu Gamma(3,100), maka diharapkan dugaan bagi fungsi kepekatan peluang-nya menghasilkan nilai MSE sekecil mungkin. Tetapi ada satu himpunan contoh dengan ukuran contoh 25 yang menghasilkan dugaan dengan nilai MSE yang ekstrim. Dalam kenyataan yang sebenarnya, ini mungkin saja terjadi karena kesalahan dalam pengukuran, pencatatan data, alat yang dipergunakan ataupun kesalahankesalahan lainnya, atau memang terjadi dengan peluang kecil. Oleh karena itu, data ekstrim mungkin saja tidak digunakan dalam analisis lanjutan.

MLE

Gauss


23

KESIMPULAN Pendugaan fungsi kepekatan peluang bagi suatu data yang dibangkitkan dari sebaran Gamma(3,100) dengan menggunakan penduga kepekatan kernel dengan kernel seragam, segitiga, epanechnikov dan gauss, dihasilkan empat nilai rata-rata MSE yang tidak berbeda nyata pada taraf 5% untuk setiap ukuran contoh 25, 50, 75, dan 100. Untuk menduga fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) dengan menggunakan penduga kepekatan kernel, dari fungsi kernel seragam, segitiga, epanechnikov, dan gauss, direkomendasikan menggunakan fungsi kernel

epanechnikov atau segitiga yang menghasilkan grafik yang halus dan fungsi kernelnya sederhana. Hasil dugaan bagi fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) dengan penduga kemungkinan maksimum lebih baik dibandingkan hasil dugaan dengan penduga kepekatan kernel. Pada penduga kepekatan kernel maupun penduga kemungkinan maksimum, ukuran contoh mempengaruhi hasil dugaan. Semakin besar ukuran contoh, hasil dugaan semakin baik.

DAFTAR PUSTAKA Härdle W, Simar L. 2003. Applied Multivariate Statistical Analysis. Berlin: Springer. Hines WW, Montgomery DC. 1990. Probabilita dan Statistik dalam Ilmu Rekayasa dan Manajemen. Edisi ke-2. Terjemahan Rudiansyah. Jakarta: UI-Press. Hogg RV, McKean JW, Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. Edisi ke-6. New Jersey: Prentice Hall.

Scott DW, Tapia RA, Thompson JR. 1977. Kernel density estimation revisited. Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications 1:339-372. Silverman BW. 1986. Density Estimation for Statistics and Data Analysis. London: Chapman and Hall. Wand MP, Jones MC. 1995. Kernel Smoothing. London: Chapman and Hall.

Parzen E. 1962. On estimation of a probability density function and mode. Ann Math Statist 33:1065-1076. Purnaba IGP, Mangku IW. 2003. Suatu pengantar ke pemodelan stokastik. Di dalam: Buku II: Matematika dengan Mathematica. Pelatihan Pemodelan Matematika: Pengembangan dan Implementasinya dalam Komputer; Bogor, 4-16 Agu 2003. Bogor: Jurusan Matematika FMIPA IPB & Bagpro PKSDM Ditjen Dikti. Rose C, Smith MD. 2002. Mathematical Statistics with Mathematica. New York: Springer-Verlag Rosenblatt M. 1956. Remarks on some nonparametric estimates of a density function. Ann Math Statist 27:832-837. Ross SM. 2000. Introduction to Probability Model. Edisi ke-7. Florida: Academic Press Inc. Orlando.

24

LAMPIRAN

42

Lampiran 1. Bukti Teorema 1 Teorema 1: Misalkan K ( y ) adalah suatu fungsi Borel yang memenuhi kondisi (2). Dan misalkan pula g ( y ) memenuhi ∞

∫ g ( y ) dy < ∞

−∞

Didefinisikan ∞ ⎛ y g n ( x) = 1 ∫ K ⎜ hn −∞ ⎝ hn

⎞ ⎟ g ( x − y ) dy ⎠ dengan {h( n)} adalah barisan dari konstanta positif yang memenuhi persamaan (4). Maka untuk setiap titik x pada kekontinuan g (.) , ∞

lim g n ( x ) = g ( x ) ∫ K ( y ) dy .

n →∞

−∞

Bukti: (Parzen 1962) Perhatikan bahwa ∞ ∞ ⎛ y⎞ g n ( x ) − g ( x ) ∫ K ( y )dy = ∫ { g ( x − y ) − g ( x )} 1 K ⎜ ⎟ dy h n −∞ −∞ ⎝ hn ⎠ Untuk suatu δ > 0 , pecah daerah integral menjadi dua daerah, yaitu y ≤ δ dan y > δ . Maka ∞ ∞ ⎛ y⎞ g n ( x ) − g ( x ) ∫ K ( y )dy = ∫ { g ( x − y ) − g ( x )} 1 K ⎜ ⎟ dy h n ⎝ hn ⎠ −∞ −∞

≤ sup g ( x − y ) − g ( x ) ∫ z ≤ δ y ≤δ

⎛ y + g ( x ) ∫ y ≥δ 1 K ⎜ hn ⎝ hn

hn

K ( z ) dz + ∫ y ≥δ

g ( x − y) y ⎛ y K y hn ⎜⎝ hn

⎞ ⎟ dy ⎠

⎞ ⎟ dy ⎠

∞

∞

≤ sup g ( x − y ) − g ( x ) ∫ K ( z ) dz + 1 sup zK ( z ) ∫ g ( y ) dy δ y ≤δ

+ g ( x) ∫ z ≥ δ

−∞

hn

z ≥δ

hn

−∞

K ( z ) dz ∞

Untuk n → ∞ , karena hn → 0 , bagian kedua dan ketiga menuju ke nol karena ∫ g ( y ) dy < ∞ dan −∞

∞

lim yK ( y ) = 0 . Dan untuk δ → 0 , bagian pertama menuju ke nol karena ∫ K ( y ) dy < ∞ dan x

y →∞

−∞

adalah suatu titik pada kekontinuan g . ▄

43

Lampiran 2. Bukti Teorema 2 Teorema 2: Penduga fˆn pada persamaan (1) dengan kendala (2) dan (3) merupakan penduga konsisten jika

ditambahkan kendala lim nhn = ∞ . n →∞

Bukti: (Scott et al. 1977) Karena Var ( X ) = 1 Var ( X ) , maka n ⎡ ⎛ ⎞⎤ Var ⎡⎣ fˆn ( x ) ⎤⎦ = 1 Var ⎢ 1 K ⎜ x − X ⎟ ⎥ n h h ⎣ n ⎝ n ⎠⎦

Kemudian 2⎫ ⎧ 1 Var ⎡ 1 K ⎛ x − X ⎞ ⎤ ≤ 1 E ⎪ ⎡ 1 K ⎛ x − X ⎞ ⎤ ⎪ = 1 ⎡ 1 ∞ K 2 ⎛ x − y ⎞ f ( y ) dy ⎤ ⎢ h ⎜ h ⎟ ⎥ n ⎨ ⎢ h ⎜ h ⎟ ⎥ ⎬ nh ⎢ h ∫ ⎥ ⎜ h ⎟ n n ⎣ n −∞ ⎝ n ⎠ ⎣ n ⎝ n ⎠⎦ ⎦ ⎩⎪ ⎣ n ⎝ n ⎠ ⎦ ⎪⎭

→ 0 jika lim nhn =∞ n →∞

Sedangkan

(

)

(

2⎤ 2 ⎡ MSE ⎡⎣ fˆn ( x ) ⎤⎦ = E ⎢ fˆn ( x ) − f ( x ) ⎥ = Var ⎡⎣ fˆn ( x ) ⎤⎦ + Bias fˆn ( x ) ⎣ ⎦

)

Telah dibuktikan bahwa ragamnya menuju ke nol jika lim nhn = ∞ . Dan dari Akibat telah ditunjukkan n →∞

bahwa biasnya menuju ke nol. Sehingga didapat MSE ⎡⎣ fˆn ( x ) ⎤⎦ → 0 , yang berarti fˆn ( x ) adalah penduga konsisten bagi f ( x ) .▄

44

Lampiran 7. Nilai MSE Minimum beserta Lebar Pita-nya Table 3. Nilai MSE minimum beserta lebar pita-nya untuk ukuran contoh 25 Seragam Segitiga Epanechnikov Gauss Lebar Pita MSE Lebar Pita MSE Lebar Pita MSE Lebar Pita MSE -8 -8 -8 1 136.574 3.69425 x 10 168.553 2.70145 x 10 159.781 2.88273 x 10 68.281 2.79176 x 10-8 2 85.831 3 122.487 4 164.092 5 97.101 6 160.437

4.26814 x 10-8 2.48346 x 10-8 1.7403 x 10-7 8.23499 x 10-8 4.91706 x 10-8

127.098 194.386 264.073 153.156 222.812

2.62314 x 10-8 1.4091 x 10-8 1.84558 x 10-7 7.96556 x 10-8 5.57587 x 10-8

107.937 170.511 242.831 134.763 198.687

2.60859 x 10-8 1.40709 x 10-8 1.77931 x 10-7 7.66626 x 10-8 5.05583 x 10-8

55.5397 84.8121 110.27 66.7295 96.1563

2.61592 x 10-8 1.40793 x 10-8 1.9265 x 10-7 8.35433 x 10-8 5.77154 x 10-8

7 130.664 8 102.537 9 123.99 10 145.809

1.16161 x 10-7 3.12597 x 10-8 6.87 x 10-8 2.0494 x 10-7

175.005 139.231 172.289 249.202

1.18742 x 10-7 1.83962 x 10-8 7.16831 x 10-8 1.94641 x 10-7

156.312 124.157 155.443 225.531

1.15838 x 10-7 1.80185 x 10-8 6.77173 x 10-8 1.97732 x 10-7

74.9493 59.8406 73.7799 102.776

1.22532 x 10-7 2.00539 x 10-8 7.67874 x 10-8 2.00157 x 10-7

11 95.637 12 150.371 13 94.386 14 115.563 15 108.103

5.3279 x 10 7.0165 x 10-8 9.17943 x 10-8 5.26572 x 10-8 3.96491 x 10-8

146.063 186.213 137.521 182.134 159.101

4.16536 x 10 6.68946 x 10-8 8.34053 x 10-8 4.53962 x 10-8 2.75816 x 10-8

-8

127.712 173.985 117.521 160.589 138.489

4.10355 x 10 6.69636 x 10-8 8.25713 x 10-8 4.53318 x 10-8 2.68358 x 10-8

-8

61.7075 77.1921 60.3243 77.4026 70.1166

4.28621 x 10 6.95502 x 10-8 8.57913 x 10-8 4.64742 x 10-8 2.86136 x 10-8

16 125.798 17 139.134 18 91.5 19 95.573 20 150.447

8.91004 x 10 1.01878 x 10-7 5.22877 x 10-8 6.56087 x 10-8 8.05487 x 10-8

-8

168.741 223.661 141.434 149.082 213.87

8.39647 x 10 9.07086 x 10-8 3.76981 x 10-8 5.63459 x 10-8 7.29142 x 10-8

-8

148.588 201.319 120.121 132.739 193.692

8.47774 x 10 9.27064 x 10-8 3.85329 x 10-8 5.51147 x 10-8 6.98983 x 10-8

-8

72.0976 96.1772 60.5458 64.9548 91.4753

8.4111 x 10 8.8837 x 10-8 3.98255 x 10-8 5.86976 x 10-8 8.16941 x 10-8

21 22 23 24 25

1.83929 x 10-7 1.50601 x 10-7 6.62492 x 10-8 1.41747 x 10-7 2.87179 x 10-7

193.905 153.427 215.664 198.461 303.355

1.78734 x 10-7 1.53708 x 10-7 6.48264 x 10-8 1.32996 x 10-7 2.80453 x 10-7

173.214 143.433 199.589 168.959 274.159

1.76226 x 10-7 1.50062 x 10-7 6.41752 x 10-8 1.35191 x 10-7 2.82958 x 10-7

84.7935 67.2562 90.526 84.5446 120.501

1.82458 x 10-7 1.5516 x 10-7 6.59319 x 10-8 1.36068 x 10-7 2.82206 x 10-7

8.74329 x 10-8 Rata-rata MSE

9.0795 x 10-8

132.502 121.305 167.236 117.426 220.883 Rata-rata MSE

-8



-8

-8

Simpangan 6.38888 x 10-8 Simpangan 6.61025 x 10-8 Simpangan 6.61758 x 10-8 Simpangan 6.70575 x 10-8 Baku Baku Baku Baku

45

Tabel 4. Nilai MSE minimum beserta lebar pita-nya untuk ukuran contoh 50 Seragam Segitiga Epanechnikov Gauss Lebar Pita MSE Lebar Pita MSE Lebar Pita MSE Lebar Pita MSE 1 132.074 3.26613 x 10-8 186.088 2.65469 x 10-8 169.151 2.70114 x 10-8 79.6263 2.63698 x 10-8 2 68.144 3.04072 x 10-8 100.422 2.20184 x 10-8 88.7811 2.18207 x 10-8 43.4027 2.26723 x 10-8 135.068 121.042 112.759 98.977 133.759

9.26314 x 10-8 5.38669 x 10-8 9.95895 x 10-8 1.88744 x 10-8 1.12562 x 10-7

190.339 173.463 166.19 141.735 212.963

9.18747 x 10-8 6.13262 x 10-8 1.05075 x 10-7 1.0428 x 10-8 1.06734 x 10-7

171.73 153.463 155.808 125.167 191.048

9.23682 x 10-8 5.77158 x 10-8 1.04092 x 10-7 1.11693 x 10-8 1.08055 x 10-7

81.0352 74.7004 68.6447 59.6321 91.1387

9.22304 x 10-8 6.31986 x 10-8 1.08009 x 10-7 1.0437 x 10-8 1.0712 x 10-7

8 109.086 9 156.784 10 142.659 11 95.622 12 87.6

4.19199 x 10-8 6.72315 x 10-8 3.45334 x 10-8 1.12013 x 10-7 3.71824 x 10-8

156.794 212.04 190.097 139.145 131.841

3.30769 x 10-8 6.9413 x 10-8 3.225 x 10-8 1.11128 x 10-7 3.15822 x 10-8

141.466 195.536 173.922 128.967 116.154

3.39357 x 10-8 6.86226 x 10-8 3.14582 x 10-8 1.10854 x 10-7 2.97031 x 10-8

68.0406 89.6934 79.5713 58.2355 58.3328

3.40228 x 10-8 7.06633 x 10-8 3.43023 x 10-8 1.12686 x 10-7 3.4628 x 10-8

13 157.963 14 90.732 15 124.188 16 118.931

2.17277 x 10-7 5.01373 x 10-8 3.70911 x 10-8 3.04887 x 10-8

224.529 122.177 195.201 142.119

2.21829 x 10-7 4.46865 x 10-8 3.06746 x 10-8 2.18645 x 10-8

211.172 111.53 174.143 134.495

2.1987 x 10-7 4.44067 x 10-8 3.12736 x 10-8 2.21477 x 10-8

94.0438 52.5671 84.1388 61.5117

2.24462 x 10-7 4.58999 x 10-8 2.93711 x 10-8 2.29949 x 10-8

17 103.858 18 92.902 19 109.158 20 99.52 21 101.686

2.86257 x 10 2.65184 x 10-8 7.69657 x 10-8 1.27411 x 10-7 3.7614 x 10-8

-8

132.288 134.482 158.628 160.517 142.966

2.76343 x 10 2.44859 x 10-8 6.93199 x 10-8 1.22523 x 10-7 3.36924 x 10-8

-8

123.356 116.496 140.118 143.911 128.846

2.66325 x 10 2.28855 x 10-8 6.97747 x 10-8 1.24332 x 10-7 3.33826 x 10-8

-8

55.6907 58.0145 69.6595 65.1458 60.0337

2.90712 x 10 2.67519 x 10-8 6.79751 x 10-8 1.23616 x 10-7 3.4288 x 10-8

22 23 24 25

1.52431 x 10 159.048 -7 1.17817 x 10 248.041 -8 3.98325 x 10 144.243 3.31264 x 10-8 190.901 6.28648 x 10-8 Rata-rata

1.14024 x 10 68.89 -7 1.17792 x 10 102.543 -8 3.75957 x 10 60.9954 3.02859 x 10-8 84.1224 5.95435 x 10-8 Rata-rata

1.44817 x 10 1.17792 x 10-7 4.12123 x 10-8 3.13558 x 10-8 6.10244 x 10-8

3 4 5 6 7

106.813 175.836 107.704 130.217 Rata-rata

-8

-8

1.27718 x 10 140.034 -7 1.17401 x 10 219.83 -8 3.93858 x 10 130.719 3.15687 x 10-8 170.635 5.99716 x 10-8 Rata-rata

-8

-8

-8

MSE MSE MSE MSE -8 -8 -8 Simpangan 4.69654 x 10 Simpangan 4.90539 x 10 Simpangan 4.91102 x 10 Simpangan 4.93163 x 10-8 Baku Baku Baku Baku

46

Tabel 5. Nilai MSE minimum beserta lebar pita-nya untuk ukuran contoh 75 Seragam Lebar Pita MSE

Segitiga Lebar Pita MSE

Epanechnikov Lebar Pita MSE

Gauss Lebar Pita MSE

1 69.807 2 65.607 3 86.0332 4 116.31 5 89.377

3.7608 x 10-8 7.24296 x 10-8 1.85826 x 10-8 4.75427 x 10-8 8.77579 x 10-8

96.663 115.901 113.721 156.901 136.215

3.472 x 10-8 6.36973 x 10-8 1.21075 x 10-8 4.7664 x 10-8 8.34978 x 10-8

86.874 99.199 100.78 145.705 116.215

3.46163 x 10-8 6.31092 x 10-8 1.16941 x 10-8 4.62621 x 10-8 8.40347 x 10-8

40.3129 49.8462 48.3083 65.785 57.3908

3.55459 x 10-8 6.5162 x 10-8 1.28945 x 10-8 4.97345 x 10-8 8.27086 x 10-8

6 88.571 7 94.365 8 110.953 9 109.029

1.05731 x 10-8 5.90874 x 10-8 5.46106 x 10-8 2.22805 x 10-7

128.268 146.558 163.493 164.122

7.8127 x 10-9 5.84492 x 10-8 5.34555 x 10-8 2.23878 x 10-7

114.114 127.482 143.221 143.984

6.89136 x 10-9 5.73159 x 10-8 5.25716 x 10-8 2.23206 x 10-7

54.6733 63.7808 72.393 71.71

9.24232 x 10-9 5.97905 x 10-8 5.30404 x 10-8 2.24288 x 10-7

-8

153.423 136.801 92.9808 106.951 123.434

1.99259 x 10 8.43058 x 10-8 1.7625 x 10-8 9.93508 x 10-8 9.99343 x 10-9

-8

143.341 125.968 83.7838 95.673 110.943

2.15487 x 10 8.46096 x 10-8 1.75002 x 10-8 9.8247 x 10-8 1.07826 x 10-8

-8

63.2207 59.7174 39.1484 46.5231 53.5788

2.11559 x 10 8.48393 x 10-8 1.80212 x 10-8 1.0153 x 10-7 9.55936 x 10-9

10 11 12 13 14

-8

120.79 99.389 72.313 70.541 92.603

2.98281 x 10 8.92993 x 10-8 2.05223 x 10-8 9.63407 x 10-8 1.73159 x 10-8

15 108.145 16 84.827 17 87.249 18 97.344 19 114.697

6.4101 x 10 4.73908 x 10-8 5.08031 x 10-8 3.92738 x 10-8 5.10696 x 10-8

180.058 117.413 104.457 161.226 171.475

5.72788 x 10 4.51128 x 10-8 4.59914 x 10-8 3.62086 x 10-8 5.18765 x 10-8

-8

159.952 106.021 89.2559 141.524 155.934

5.86644 x 10 4.47666 x 10-8 4.5566 x 10-8 3.68386 x 10-8 5.15306 x 10-8

-8

74.3702 48.3452 44.1321 68.605 72.3233

5.72801 x 10 4.56605 x 10-8 4.62667 x 10-8 3.51889 x 10-8 5.20616 x 10-8

20 21 22 23 24

8.02307 x 10-8 3.35409 x 10-8 6.33172 x 10-8 3.37212 x 10-8 4.42606 x 10-8

127.926 147.311 179.105 143.144 155.153

7.96162 x 10-8 3.22824 x 10-8 5.89975 x 10-8 2.94174 x 10-8 4.37051 x 10-8

116.958 136.585 160.381 130.307 135.905

7.92478 x 10-8 3.19771 x 10-8 5.8894 x 10-8 2.91487 x 10-8 4.26554 x 10-8

54.9944 62.1134 78.6705 60.3221 66.2576

8.0858 x 10-8 3.29906 x 10-8 5.80079 x 10-8 3.02299 x 10-8 4.50231 x 10-8

25

93.77 112.205 115.201 106.287 104.095

-8

-8

85.595 1.75375 x 10-8 123.03 1.41095 x 10-8 111.789 1.37275 x 10-8 51.4866 1.50014 x 10-8 Rata-rata 5.5582 x 10-8 Rata-rata 5.24432 x 10-8 Rata-rata 5.22163 x 10-8 Rata-rata 5.30433 x 10-8 MSE MSE MSE MSE -8 -8 -8 Simpangan 4.22732 x 10 Simpangan 4.34969 x 10 Simpangan 4.33662 x 10 Simpangan 4.34988 x 10-8 Baku Baku Baku Baku

47

Tabel 6. Nilai MSE minimum beserta lebar pita-nya untuk ukuran contoh 100 Seragam Lebar Pita MSE

Segitiga Lebar Pita MSE

Epanechnikov Lebar Pita MSE

Gauss Lebar Pita MSE

1 101.252 2 86.118 3 85.0647 4 119.21 5 97.554

4.25337 x 10-8 8.35895 x 10-8 4.544 x 10-8 5.02533 x 10-8 5.30561 x 10-8

151.767 136.266 123.485 156.855 133.517

4.35892 x 10-8 7.69559 x 10-8 4.48953 x 10-8 5.20574 x 10-8 5.5473 x 10-8

139.058 117.43 109.624 142.303 121.914

4.14881 x 10-8 7.75085 x 10-8 4.45376 x 10-8 5.12383 x 10-8 5.41753 x 10-8

63.3439 57.9762 51.5807 66.9236 57.0954

4.71751 x 10-8 7.66357 x 10-8 4.61575 x 10-8 5.29381 x 10-8 5.76568 x 10-8

6 74.074 7 108.362 8 98.763 9 114.442

3.86687 x 10-8 2.40378 x 10-8 1.07826 x 10-8 1.18116 x 10-7

106.92 154.794 138.775 159.808

3.60418 x 10-8 2.18015 x 10-8 6.59011 x 10-9 1.17359 x 10-7

95.8588 139.812 122.284 138.714

3.5893 x 10-8 2.19979 x 10-8 6.96812 x 10-9 1.17534 x 10-7

46.2731 64.5094 59.61 68.3329

3.69653 x 10-8 2.21892 x 10-8 6.21083 x 10-9 1.16966 x 10-7

-8

114.916 113.101 112.1 97.8712 140.582

5.43521 x 10 4.91275 x 10-8 3.69366 x 10-8 6.8857 x 10-8 6.50509 x 10-8

-8

104.606 105.196 101.347 87.8881 127.218

5.42605 x 10 5.0302 x 10-8 3.5975 x 10-8 6.84636 x 10-8 6.51239 x 10-8

-8

49.4451 46.8283 46.9803 41.8634 58.357

5.48814 x 10 4.95338 x 10-8 3.80472 x 10-8 7.00203 x 10-8 6.58705 x 10-8

10 11 12 13 14

-8

79.887 91.904 81.191 75.186 96.506

5.57652 x 10 5.40382 x 10-8 3.73161 x 10-8 7.12122 x 10-8 6.66261 x 10-8

15 81.889 16 67.236 17 97.775 18 104.63 19 89.5076

7.2606 x 10 2.65565 x 10-8 4.26562 x 10-8 2.77364 x 10-8 3.86341 x 10-8

102.74 99.5348 135.485 148.399 125.876

7.25983 x 10 2.38056 x 10-8 3.97825 x 10-8 2.057 x 10-8 3.79303 x 10-8

-8

93.1727 88.5717 123.202 135.051 113.522

7.26874 x 10 2.34943 x 10-8 3.95319 x 10-8 2.17057 x 10-8 3.78081 x 10-8

-8

41.9117 41.3734 56.5278 64.7975 52.7246

7.36578 x 10 2.4356 x 10-8 4.10994 x 10-8 1.9275 x 10-8 3.89055 x 10-8

20 89.9591 21 96.841 22 91.214 23 77.623 24 63.7275

2.05663 x 10-8 4.16909 x 10-8 3.21105 x 10-8 8.05702 x 10-8 3.64314 x 10-8

110.933 128.79 108.074 149.691 104.572

1.3635 x 10-8 3.73973 x 10-8 2.64512 x 10-8 7.26293 x 10-8 3.26955 x 10-8

101.009 118.299 101.365 138.7 88.652

1.41377 x 10-8 3.80094 x 10-8 2.67796 x 10-8 7.33366 x 10-8 3.30793 x 10-8

46.9576 53.8391 44.0959 61.3583 43.7707

1.35736 x 10-8 3.80972 x 10-8 2.66199 x 10-8 7.34557 x 10-8 3.32087 x 10-8

25

-8

-8

86.686 2.21916 x 10-8 124.505 1.89914 x 10-8 109.89 1.90734 x 10-8 53.9486 1.87044 x 10-8 Rata-rata 4.77274 x 10-8 Rata-rata 4.50229 x 10-8 Rata-rata 4.50044 x 10-8 Rata-rata 4.5688 x 10-8 MSE MSE MSE MSE Simpangan 2.40563 x 10-8 Simpangan 2.45922 x 10-8 Simpangan 2.45516 x 10-8 Simpangan 2.47402 x 10-8 Baku Baku Baku Baku

48

Lampiran 8. Hasil Dugaan bagi Fkp Gamma(3,100) dengan Menggunakan Kemungkinan Maksimum Tabel 7.

Nilai dugaan MLE parameter αˆ , βˆ , dan MSE dari ukuran contoh 25 αˆ

βˆ

1 2

3.35289 4.05939

3 4 5 6

Tabel 8.


βˆ

87.649 67.628

MSE 6.18207 x 10-9 5.87963 x 10-8

1 2

3.38171 3.59165

MSE 85.6768 8.50176 x 10-9 83.8035 1.67106 x 10-8

5.39278 1.80546 2.50265 2.88819

52.2139 148.174 133.58 89.5229

1.71046 x 10-7 2.06027 x 10-7 3.18695 x 10-8 6.93432 x 10-8

3 4 5 6

2.52389 2.25259 2.45987 3.81538

100.863 121.612 118.635 78.6157

7 8 9 10 11

1.99442 3.47381 2.78892 2.04416 3.03902

170.31 8.27578 x 10 86.6595 1.11862 x 10-8 113.928 8.67575 x 10-9 148.618 7.33773 x 10-8 97.1479 6.88887 x 10-10

-8

7 8 9 10 11

2.3859 3.40767 2.57567 3.42685 2.39427

108.201 1.0935 x 10 81.4902 2.1134 x 10-8 114.401 1.4528 x 10-8 86.3395 8.44571 x 10-9 123.41 2.89965 x 10-8

12 13 14 15 16

3.16952 2.95497 3.80144 3.0998 3.67082

90.3596 6.37276 x 10 101.809 1.1171 x 10-10 87.4914 7.38317 x 10-8 88.7438 2.12399 x 10-8 78.9791 2.0354 x 10-8

-9

12 13 14 15 16

2.63307 3.15711 2.71643 4.31321 2.88455

126.302 107.134 112.236 63.6205 105.956

2.61718 x 10 4.4005 x 10-8 4.68448 x 10-9 7.77577 x 10-8 1.26658 x 10-9

17 18 19 20 21

2.45717 3.37613 4.09854 3.31296 6.16279

110.696 84.4119 73.0903 91.1769 56.1118

5.85665 x 10-8 1.15967 x 10-8 4.86457 x 10-8 5.52283 x 10-9 3.70397 x 10-7

17 18 19 20 21

3.04306 3.66551 2.37723 2.2425 3.81058

100.694 80.7912 118.332 139.216 80.1769

1.54416 x 10-9 1.92897 x 10-8 4.83483 x 10-8 3.94352 x 10-8 3.22525 x 10-8

1.82544 3.84556 2.21452 4.21712 3.26194

156.267 71.6319 131.1 84.9571 100.09

1.52892 x 10-7 4.37609 x 10-8 5.69679 x 10-8 1.85121 x 10-7 7.10132 x 10-8

22 23 24 25 Rata-rata

3.9356 4.88354 3.16451 4.37441 3.17667

74.7484 61.3007 96.2608 60.8885 97.2281

3.54117 x 10-8 1.18158 x 10-7 2.60844 x 10-9 9.98926 x 10-8 4.00662 x 10-8

Simpangan 1.04501 Baku

31.4909

8.65312 x 10-8

Simpangan 0.739087 21.8578 3.68307 x 10-8 Baku

22 23 24 25 Rata-rata

1.07767 x 10-7 8.05407 x 10-8 2.57889 x 10-8 2.90653 x 10-8 -7

-8

49

Tabel 9.


Tabel 10. Nilai dugaan MLE parameter αˆ , βˆ , dan MSE dari ukuran contoh 100

βˆ

αˆ

βˆ

1 2

MSE 2.39175 118.019 4.5026 x 10-8 2.73746 110.672 3.95569 x 10-9

3 4 5 6 7

3.48257 2.53979 2.46496 3.19317 3.57872

90.1252 108.096 117.083 102.604 82.4568

2.12222 x 10 4.48251 x 10-8 2.86696 x 10-8 2.6838 x 10-8 1.48755 x 10-8

1 2

MSE 2.80642 107.636 2.10199 x 10-9 2.7749 113.825 7.47686 x 10-9

3 4 5 6 7

3.21895 3.19275 4.17481 3.82679 3.59502

94.9195 95.5351 73.9599 76.8412 85.3392

4.25773 x 10 3.38225 x 10-9 6.25321 x 10-8 2.8419 x 10-8 2.03599 x 10-8

8 9 10 11 12

3.29759 4.0949 2.86 3.34107 2.89928

86.9334 83.6747 107.312 97.658 103.084

8.2263 x 10 1.24838 x 10-7 1.87789 x 10-9 3.13195 x 10-8 7.1324 x 10-10

8 9 10 11 12

3.6028 3.36648 3.25513 3.22784 3.07861

78.3996 92.8719 95.5314 93.9878 104.07

2.22359 x 10 1.45207 x 10-8 8.84669 x 10-9 3.56966 x 10-9 1.32942 x 10-8

13 14 15 16 17

3.25784 3.56842 3.64921 2.83345 3.1684

103.271 81.801 83.2957 109.671 95.2415

4.54116 x 10-8 1.48108 x 10-8 2.13314 x 10-8 3.6974 x 10-9 1.80406 x 10-9

13 14 15 16 17

2.82316 3.14916 2.72223 3.33114 2.77627

108.546 96.6815 112.816 92.7446 108.652

2.27342 x 10-9 2.2541 x 10-9 4.79412 x 10-9 9.89715 x 10-9 2.87036 x 10-9

18 19 20 21 22

3.68431 3.40023 3.40405 3.24395 2.63545

71.1391 94.4781 100.21 92.6022 99.3312

6.67817 x 10-8 2.6546 x 10-8 6.38775 x 10-8 3.16062 x 10-9 7.1579 x 10-8

18 19 20 21 22

3.50178 2.70884 3.35286 2.68015 2.76454

76.0056 112.284 85.2702 110.93 113.084

4.77985 x 10-8 4.91136 x 10-9 1.01872 x 10-8 7.35953 x 10-9 5.71398 x 10-9

2.68582 2.55073 3.28303 3.2579

117.832 113.264 94.1992 95.3222

9.76109 x 10-9 2.11841 x 10-8 8.43265 x 10-9 2.61553 x 10-8

23 24 25 Rata-rata

-9

-9

Simpangan 0.437496 12.6927 3.06213 x 10-8 Baku

23 24 25 Rata-rata

-8

-8

2.95214 109.748 1.51904 x 10-8 2.87246 104.99 8.91801 x 10-10 3.16085 91.9659 3.3058 x 10-9 3.02859 100.705 1.46131 x 10-8

Simpangan 0.359171 12.2137 1.41155 x 10-8 Baku

50

51

PENDUGA KEPEKATAN KERNEL BAGI FUNGSI KEPEKATAN PELUANG GAMMA. Oleh: MERYALDI G

Recommend Documents