Pendekatan dan Kesalahan Pengantar Angka Signifikan (Penting) Akurasi dan Presisi Definisi Kesalahan Kesalahan Pembulatan Kesalahan Pemotongan Kesalahan Numerik Total (K k li (Kekeliruan, K Kesalahan l h F Formulasi, l i d dan Ketidakpastian Data)
Pengantar T. T
Numerik N ik Æ Solusi S l i analitis liti yg pasti ti T. Numerik Æ Melibatkan aproksimasi? T. Numerik Æ Ada kesalahan/tdk cocok Kesalahan Æ karena aproksimasi Pertanyaan: “S “Sampai ib berapa b besar kkesalahan l h ititu dapat ditolerir?
Pengantar
Setiap Manusia Kesalahan
Æ ↓ Kesalahan Æ ↑ ↑ Biaya Æ ↑ ↑ Korban, dll Kesempurnaan Æ tujuan yang terpuji Masalah? (sangat jarang terjadi) Contoh Kasus: Aproksimasi “best” Æ Hk. Newtons II
v
Kecepatan benda jatuh = 2g.h BAGAIMANA KALAU ADA Angin? Æ Perubahan tekanan Udara? Æ Dimensi Benda?
Deviasi (Penyimpangan)
Angka Signifikan (AS)
Komputasi thd suatu bilangan Æ Bilangan hrs meyakinkan ? Konsep angka signifikan Æ keandalan sebuah nilai numerik Banyak angka signifikan Æ banyaknya digit tertentu yg dpt dipakai dengan meyakinkan Selain angka signifikan signifikan, jg ada angka taksiran Angka 0 (nol) tdk sll pasti mjd angka signifikan, why? KetidakpastianÆ kepastian, jk pakai notasi ilmiah How? 0,000123 Æ mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS) 0,00123 Æ mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS) 12.300 Æ Tidak jelas berapa AS, karena msh di?kan nol itu berarti atau tidak tidak…!! 1,23 x 104 Æ mengandung 3 AS (memakai notasi ilmiah) Æ mengandung 4 AS (memakai notasi ilmiah) 1,230 x 104 Æ mengandung 5 AS (memakai notasi ilmiah) 1,2300 x 104
Angka Signifikan (AS) D Dua arti ti penting ti angka k signifikan i ifik “AS akan memberikan k it i untuk kriteria t k merinci i i seberapa keyakinan kita mengenai g hasil pendekatan dalam metode numerik”
“AS memberikan pengabaian dari angka signifikan sisa utk besaran-besaran yang spesifik yang tidak bisa dinyatakan secara eksak krn jumlah digit yang terbatas” Æ (kesalahan pembulatan/round-off-error)
Akurasi dan Presisi Presisi Jumlah angka signifikan yg menyatakan suatu besaran Penyebaran dlm bacaan berulang dari sebuah alatyg l mengukur k suatu perilaku fisik tertentu
Akurasi Dekatnya sebuah angka pendekatan atau pengukuran thd harga sebenarnya yagn hendak dinyatakan I k Inakurasi i (Tdk akurat) k ) Simpangan sistematis dari kebenaran
Kesalahan Æ “ “mewakili kili d dua h hall yaitu it tid tidak k akurat k td dan tid tidak k presisi i i dari ramalan yang dilakukan”
Definisi Kesalahan Kesalahan Numerik Æ Adanya aproksimasi Meliputi: Kesalahan pemotongan (truncation error) Æ saat aproksimasi digunakan utk menyatakan suatu prosedur matematika eksak. Kesalahan pembulatan (round-off error) Æ ketika angka2 aproksimasi k i i di dipakai k i utk tk menyatakan t k angka-angka k k pasti. ti
Sehingga, bisa dihubungkan: Harga Sebenarnya = pendekatan + Kesalahan
Bisa dikatakan: “Kesalahan numerik adalah setara terhadap yang g sebenarnya y dan aproksimasi” p ketidakcocokan antara y Et = Harga sebenarnya – aproksimasi; Dimana, Et = harga pasti dari kesalahan; huruf t dimaksudkan bahwa ia adalah kesalahan “sebenarnya” Æ Tapi, Definisi yang lemah !Why ??? lemah..!Why..???
Definisi Kesalahan Kelemahan definisi? Tidak memperhitungkan tingkat/orde besar dari nilai yang diperiksa, mis: kesalahan 1 cm akan sangat berarti pada pengukuran panjang paku dari pada pengukuran panjang jembatan Menutupi kelemahan di atas atas, How?? Menormalisasi kesalahan itu thd harga sebenarnya Æ Kesalahan Relatif Fraksional(KRF)
KRF = Kesalahan / Harga sebenarnya
KRF dapat pula dikalikan dengan 100% didefinisikan sebagai sbb:
εt = (Kesalahan /Harga Sebenarnya) x 100% ; Dimana: εt = kesalahan relatif persen sebenarnya.
εt,t
Definisi Kesalahan
Alternatif yg selalu dipakai dlm menormalisasi k kesalahan l h d dgn mengunakan k ttaksiran k i tterbaik b ik d darii harga yang sebenarnya terhadap kesalahan aproksimasi itu sendiri sendiri, yaitu sbb:
εa = (Kesalahan aproksimasi/Aproksimasi)x 100% Dimana: a = kesalahan tersebut dinormalisasikan g aproksimasi. p thd sebuah harga Masalah & Sekaligus tantangan dlm Met-Num Æ menentukan taksiran kesalahan tanpa “menentukan pengetahuan mengenai harga yang sebenarnya”
aproksimas Aproksimasiiskrg _ Skrg – aproksimas − Amproksima i sblmnya si _ sblmnya Pendeka Pendeka tan Sekarang tan sekarang
Definisi Kesalahan
Metode numerik tertentu memakai pendekatan interasi utk menghitung jawaban. jawaban Dlm hal ini, suatu aproksimasi skrg dibuat berdsrkan suatu aproksimasi sblmnya Æ dilakukan berulang kali atau scr interasi spy dapat menghitung aprosimasi yg lbh baik & semakin baik. Dgn demikian, kesalahan sering ditaksir sbg pbedaan antara aproksimasi skrg – aproksimasi sblmnya aproksimasi sblmnya dgn sekarang, sekarang Sehingga P d aproksimasi Pendeka k tan t Sekarang S k kesalahan relatif persen ditentukan:
εa = (aprok. skrg – aprok. sblmnya)/(pendekatan skrg) x 100% εa bisa sj positif atau jg negatif, namun seringkali hanya digunakan harga absolutnya dimana apakah lebih kecil dari suatu t toleransi t l i praspesifikasinya ifik i (εs)) │εa│ < εs
Definisi Kesalahan
Kalau hubungan g (│εa│ │ < εs ) dipegang, p g g, hasil kita anggap berada dlm tingkat praspesifikasi yang dapat diterima εs
(Scarborough, 1966)Æ Jk kriteria di atas bs diterima, maka dapat menjamin bhw hasilnya adalah betul hingga sekurang-kurangnya n angka signifikan.
εs = ( 0,5 x 102-n ) % Æ Buku Chapra,hal 79-81
Kesalahan Pembulatan Berasal dari kenyataan bhw komputer hy menyimpan sejumlah tertentu angka signifikan selama kalkulasi Misaln a Misalnya: Bila ia menyimpan 7 angka signifikan maka ¶ sebagai ¶ = 3,141592, dgn mengabaikan suku2 yg dikalikan dlm kesalahan pembulatan: Et = 0,00000065 … (lht rumus pd slide No.8) Kelemahan pembulatan di atas Æ ia mengabaikan suku-suku sisa dalam menyatakan desimal lengkap. Jika dibulatkan ¶ = 3,141593 karena angka ke-8 adalah 6, maka kesalahan pembulatan berkurang menjadi: Et = 0,00000035 … Untuk membulatkan bilangan sesuai dengan aturan pembulatan dari syarat di atas Æ Menambah biaya komputasi & akibatnya beberapa mesin memakai chopping (mengambil suku2 sisa dalam menyatakan d i l llengkap) desimal k ) sederhana. d h Pendekatan ini bs diterima dengan asumsi bhw jumlah angka signifikan pd kebanyakan komputer cukup besar, hingga kesalahan pembulatan berdasarkan permotongan biasanya diabaikan. Aturan At pembulatan b l t Æ Lihat Lih t b buku k Ch Chapra, h hall 85 85-87 87
Kesalahan Pemotongan
Adalah kesalahan yg dihasilkan dari penggunaan suatu aproksimasi pengganti prosedur matematika eksak suatu kesalahan pemotongan dimskan ke dlm solusi numerik karena kesamaan diferensial hanya melakukan aproksimasi harga turunan sebenarnya. Agar memperkuat pengertian thd perilaku kesalhan semacam ini, ini sekarang kita kembalipada suatu rumus matematika yg secara luas telah digunakan dalam metode numerik untuk menyatakan fungsi2 dalam suatu bentuk pendekatan yaitu Deret taylor
Tugas: g Tulis resume dari deret tailor! ((kumpulkan p saat UTS)
Kesalahan Numerik Total Kekeliruan Kesalahan
Formulasi Ketidakpastian p Data (sama dengan Deret Taylor, tuliskan resume dari ketiga kesalahan numerik Total di atas)
