PEMBUKTIAN MATEMATIS DIBALIK PERISTIWA PELANGI Ahmad Zulfakar Rahmadi, Wikky Fawwaz Al Maki Departemen Matematika STKIP Surya
Abstrak Jurnal ini membahas bagaimana kita melihat matematika sebagai induk dari segala ilmu sains melalui kejadian-kejadian yang riil di sekitar. Pelangi, yang sejatinya hanya terlihat dan jarang ditanggapi secara khusus oleh sebagian orang, disini akan dibuktikan melalui suatu pendekatan konsep matematis dalam hal ini turunan. Dengan menghitung sudut datang dan sudut pantul dari refraksi cahaya dan refleksinya, kita dapat menentukan sudut terlihatnya pelangi dari turunan sudut yang ada, dan kemudian menghubungkannya dengan hukum snell tentang cahaya. Selain itu, melalui pendekatan geometri dapat dijelaskan alasan dari bentuk kurva pelangi itu sendiri. Penerapan kedua hubungan matematis tersebut diperoleh pemahaman bahwa matematika mempunyai banyak aplikasi kehidupan sesuai asumsinya sebagai induk sains. Kata Kunci:Sudut datang dan pantul,Refraksi, Refleksi, Hukum Snell, Kurva Pelangi.
1
PENDAHULUAN
ini konsep turunan aljabar, geometri, dan hukum refleksi dan refraksi Snellius.
Matematika merupakan salah satu ilmu yang mendasari berkembangnya ilmu pengetahuan. Namun,kondisi matematis yang abstrak terkadang membuat kita sulit bernalar tentang bagaimana aplikasi nyata dari matematika itu sendiri. Tidak hanya itu, relasi antara matematika dan ilmu lain pun terkadang kurang dikenali baik secara abstrak maupun fenomena alam yang nyata.
Dari berbagai teori yang ditelusuri hubungan dan buktinya, akhirnya akan digunakan untuk menjelaskan fakta-fakta yang ada dibalik pelangi. Mulai dari besar sudut pandang terhadap pelangi, proses terjadinya warna pada pelangi, hingga penjelasan bentuk kurva dari pelangi akan dibahas secara matematis.
Pelangi, sebagai salah satu fenomena alam yang indah dan sering terlihat serta dikenali khalayak ternyata menyimpan fakta-fakta unik dibalik peristiwa terjadinya. Pada pelangi, dapat ditemukan model matematika yang alamiah dan tetap dibuktikan dengan logika yang tepat. Dalam pembuktian model matematika pelangi, digunakan hubungan antara matematika dan fisika yang dalam hal
2
METODE
Metode yang digunakan dalam penelitian jurnal ini berupa studi literatur yang berhubungan dengan konsep turunan aljabar dan geometri serta hukum Snellius tentang refraksi cahaya diman setiap konsep memiliki hubungan khusus mengenai tinjauan matematis dari pelangi. 1
3
HASIL DAN PEMBAHASAN
Hal yang menarik dan harus dicatat bahwa pembiasan dan pemantulan merupakan manifestasi dari satu hukum yang disebut Fermat’s Principle, yang meny3.1 Proses Terjadinya Pelangi atakan cahaya mencapai yang sampai ke Pelangi adalah fenomena alam yang teben- mata telah diteruskan jauh dari sumbernya tuk karena cahaya matahari melalui tetesan [2]. air yang terpancar atau tersebar di udara. Pada saat sinar menyentuh permukaan air hujan, sinar tersebut akan dibiaskan karena cahaya mengalami perubahan indeks media dari udara ke air. Ketika sinar dihantarkan kembali ke permukaan belakang tetesan air, hampir seluruhnya dibiaskan dan keluar dari tetesan air. Hanya beberapa yang dipantulkan dan saat cahaya tersebut menuju keluar permukaan, setiap warna akan dibFigure 2: Refleksi cahaya iaskan kembali seperti saat meninggalkan tetesan air. Hal itu terjadi pembiasan Seperti saat kita melihat tangan kita di langsung dari sumber cahaya ke medium kaca atau permukaan air, bayangan yang diteruskan ke air terlalu banyak dan cepat terlihat diambil dari pembiasan ke mata. [1]. Pada dasarnya, kita dapat membuk-
3.3
Sudut Putar dari Pelangi
Sekarang kita dapat menghitung hubungan matematis untuk beberapa fakta umum dari cahaya,mari kembali pada model gambar tetesan air hujan.Untuk membuat hal ini menjadi simpel, kita asumsikan bahwa air hujan ”is perfectly spherical”,dan hal tersebut memiliki sense untuk dillihat secara dua dimensi.
Figure 1: Pembiasan pelangi tikannya dengan perhitungan ketika:
Jika sinar datang menuju tetes air dengan sudut datang α, dipantulkan oleh sin(α) = k.sin(β) permukaan belakang dari tetes air,dan dimana α dan β adalah sudut datang dibiaskan kembali meninggalkan medium sinar dan bias, dan k adalah rasio dari tersebut. Jadi berapa sudut putar dari kecepatan perubahan medium sumber ke cahaya saat keluar dari medium tersebut? medium penerima. Diketahui α adalah sudut datang dan β adalah sudut bias, dimana berhubungan 3.2 Hukum Pemantulan dengan hukum Snell. Saat cahaya melalui Pemantulan sinar adalah peristiwa ter- bagian terjauh dari medium(dalam hal ini jadinya perubahan arah rambat cahaya ke tetesan air), selanjutnya akan dipindahkan jauh ke dasar dari garis segitiga sama kaki sisi yang berbeda. Dengan kata lain, yang merupakan sisi dari perpanjangan kesudutdatang = sudutpantul dua garis radian medium hujan. Setelah 2
Figure 3: Sudut balik pelangi
Figure 4: sudut bias pelangi Maka:
direfleksikan ke bagian dalam dari medium, sinar akan dibawa kembali melalui tetesan air dan saling melengkapi bagian yang lain, segitiga sama kaki.
(1) T (α) = (α − β) + (180 − 2β) + (α − β) (2) = 180◦ + 2α − 4β (3)
Seperti yang ditampilkan pada gambar, sudut bias untuk sinar yang meninggalkan medium dikenali sebagai β.Kembali pada hal awal yang telah kita catat, cahaya dibawa dari air ke udara dengan sudut datang β akan memiliki sudut bias α.
Jadi,sinar memasuki tetesan air hujan dengan sudut α akan dikembalikan arahnya oleh sudut 180 + 2α − 4β yang kemudian hasil ini dapat kita tentukan sudut pelangi θ = 180◦ − T (α).
3.4 Kita misalkan T (α) adalah sudut putar atau balik yang terbentuk jika kita teruskan perpanjangan sinar datang(seolaholah tidak dibiaskan),besarnya adalah jumlah total sudut yang terbentuk dari sinar yang kembali ke medium air hujan, berbentuk searah jarum jam dari garis lurus. Sudut datang α yang terbentuk antara garis medium,sinar bias, dan perpanjangan sinar memiliki besar yang sama dengan sudut bias β, sehingga sudut pada perpotongan sinar bias besarnya sama dengan 2β dan sudut yang melakukan pemantulan kembali terhadap sinar besarnya dapat dinyatakan sebagai 180◦ −2β (lihat pada Fig.4 ). Cahaya yang memasuki medium air dikembalikan oleh α-β (mengapa)? seperti saat cahaya meninggalkan medium. Pemantulan dikarenakan oleh sudut 180◦ − 2β. Dari argumen tersebut, maka T (α) dapat dinyatakan sebagai jumlah seluruh sudut yang terbentuk pada sinar datang dan sinar bias.
Warna dari Pelangi
Sejauh ini, kita telah dijelaskan proses terjadinya pelangi, pembiasan cahayanya dan bagaimana proses masuknya cahaya ke tetesen air hujan hingga terjadi pembiasan serta aplikasi dari hukum Snell. Namun kita belum menjelaskan sedikit pun tentang apa yang membuat pelangi berwarna.Tabel berikut menampilkan panjang gelombang dari warna-warna pelangi dimana hal tersebut nantinya akan menjelaskan tentang bentuk dari pelangi itu sendiri(akan dibahas di subbab lain). Sinar matahari sebenarnya terdiri dari banyak warna. Meskipun,ketika semua warna terkombinasi bersama, yang kita lihat hanyalah cahaya putih. Saat matahari muncul, sinar matahari akan menerpa tetesan air hujan. Hal tersebut akan dibiaskan, denagan panjang gelombang refraksi berbeda untuk sudut yang berbeda pula, 3
No. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
dan warna-warna yang menarik akan tampak. Warna dari pelangi lapis pertama atau pelangi primer selalu diikuti warna yang berbeda dan berurutan: merah,jingga, kuning, hijau, biru, nila, dan ungu.
Warna Pelangi Merah Jingga Kuning Hijau Biru Nila Ungu
Panjang Spektrum 620 - 750nm 590 - 620nm 570 - 590nm 495 - 570nm 450 - 495nm ...... 380 - 450nm
selalu pada sudut yang terukur dari garis antara mata dan matahari. Sudutnya berkisar 42 ◦ terukur dari puncak dari gelombang cahaya merah dan 40 ◦ ke bawah dari cahaya ungu. Figure 5: Pembiasan warna pelangi Efek tersebut terjadi ketika cahaya putih dibiaskan,setiap komponen warna akan dibelokkan oleh bagian lain seperti saat melewati medium transparan ke medium lainnya. Dispersi ini disebabkan prisma medium memproduksi spektrum warna dari cahaya putih. Pada kasus tetesan air, cahaya ungu akan dibiaskan melalui sisi dan sudut yang lebih baik dari cahaya merah. Hal itu menyebabkan cahaya ungu di pelangi primer selalu terlihat dibawah cahaya merah(setelah merah).Sisa cahaya selain merah dan ungu adalah warna palsu,atau hanya berupa efek dari kedua warna tersebut. Dari penjelasan pada subbab sebelumnya, kita mendapatkan gambaran umum tipe warna pelangi bahwa cahaya biru dan ungu dibiaskan lebih daripada cahaya merah. Pembiasan tersebut tergantung pada indeks pembiasan dari air hujan, dan perhitungannya dapat mengalami keselahan dalam ketelitian karena perbedaaan panjang gelombang antara cahaya ”merah” dan ”ungu” yang tidak tentu pula [3].
Figure 6: Warna dasar pelangi
3.5
Pembentukan Pelangi Pertama dan Sudut Pandang Pelangi
Seperti yang kita ketahui bersama, pelangi pertama terbentuk dengan sudut kurang lebih 42 derajat. Bagaimana pembuktiannya? Sekarang kita akan membuktikan bagaimana menentukan sudut pengamat terhadap pelangi dengan beberapa teori. Dalam kasus ini, kita tidak hanya menggunakan hukum Snell, tetapi juga hukum cahaya, turunan aljabar,trigonometri , dan geometri. Pada turunan aljabar menggunakan persamaan dibawah ini untuk menentukan persamaan turunannya:
f (x + h) − f (x) f 0 (x) = lim (4) Catatan:Ketika hujan, terdapat banyak x→h h tetesan air hujan turun dari langit. Setiap Dalam hal ini kita gunakan beberapa tetesan hujan dapat membentuk ”hanya satu” warna yang mata kita bisa lihat.Letak istilah di antaranya: setiap warna tersebut direfleksikan terhadap α= sudut datang bagian belakang air hujan dan menuju mata β= sudut bias 4
sama karena diketahui α − α0 bernilai sangat kecil sehingga tidak berpengaruh terhadap perubahan nilai sudut. Jika kita dapat menemukan nilai α0 dimana T 0 =0, kemudian T (α) ≈ T (α0 ) untuk setiap nilai α mendekati nilai α0 .Hal tersebut berarti berlaku untuk setiap sinar yang masuk dengan sudut datang mendekati nilai dimana T 0 = 0 akan dikembalikan sesuai dengan hukum persamaan yang sama. Sekarang, mari tentukan nilai α0 . Misalkan,
Figure 7: sudut bias pelangi
0=
4cos(α0 ) dT =2− dα kcos(β0 )
k=perbandingan indeks bias dari dua medium yang berbeda. Dari persamaan diatas, diperoleh Sekarang kita akan menghitung tingkat samaan berikut perubahan pada sudut balik T (α) terhadap α. Dengan kata lain ,kita akan k 2 cos2 (β0 ) = 4cos2 (α0 ) dT menyatakannya dalam bentuk dα . Setelah k 2 (1 − sin2 (β0 )) = 4(1 − sin2 (α0 )) selesai ,kita masukkan α ke persamaan tadi,sehingga dTdα(α) sama dengan nol. Perlu diingat bahwa seluruh persamaan ini untuk Substitusikan, menghitung konsentrasi cahaya di sudut 42 ◦ . sin(α0 ) = ksin(β0 ) 2 2 Turunkan kedua sisi persamaan: sin (α0 ) = k sin2 (β0 ) T (α) = 180◦ + 2α − 4β
per(11) (12)
(13) (14)
(5) Sehingga diperoleh:
dengan α
k 2 − sin2 α0 = 4(1 − sin2 α0 ) dβ dT (α) =2−4 dα dα
(10)
(15)
(6) Dari persamaan-persamaan diatas, kita peroleh rumus sudut datang dan bias
dβ Namun bagaimana dengan dα ? Kita dapat menurunkan kedua ruas dari hukum refraksi Snell: sin(α) = ksin(β) (7)
1 sin2 (α0 ) = (4 − k 2 ) 3 ! r 1 α0 = arcsin (4 − k 2 ) 3
(16) (17)
dari persamaan hukum Snell di atas, didaKemudian dari persamaan Snellius kita dapatkan dβ cos(α) = kcos(β) (8) patkan dα sinα0 = ksinβ0 (18) Perlu diingat,turunan fungsi diatas digu! nakan untuk menentukan persamaan lnear sinα0 β0 = arcsin (19) fungsi utama. k Yaitu, Pada pembentukan pelangi pertama, akan dicari sudut pelangi untuk warna merah. Diketahui indeks bias warna merah T(α) ditaksir memiliki nilai yang hampir (k) = 1, 33. Substitusikan nilai k ke T (α) ≈ T (α0 ) + T 0 (α0 )(α − α0 )
(9)
5
persamaan berikut: r α0 = sin−1
! 1 (4 − k 2 ) 3
bahwa cahaya melewati tetes air yang singular. Prinsip dasar telah menentukan pelangi alami yang dimana terjadi interaksi cahaya (20) dengan medium transparan,dan dinamakan refleksi dan refraksi.
Sehingga didapat α0 = 59.470343460◦ ! sinα 0 β0 = sin−1 (21) k
dan diperoleh β0 =40.292203370◦ Substitusikan nilai α0 dan β0 ke persamaan T (α) = 180◦ + 2α − 4β. Sehingga diperoleh T (α) ≈ 138◦ Jadi, besar sudut pada pembentukan pelangi pertama atau pelangi dengan warna merah adalah
Figure 8: Pelangi sekunder
Selain itu, ada satu fakta unik lagi ten180◦ − T (α) = 180◦ − 138◦ = 42◦ (22) tang kemunculan pelangi selain pelangi primer. Fakta unik tersebut adalah kemuCatatan:Perhitungan diatas mengalami ngkinannya terbentuk pelangi yang tidak pembulatan yang dianggap perlu, sehingga kasat mata. Kemunculan pelangi tersebut sudut pelangi pertama ≈ 42◦ dan nilai tersetak lepas dari peran radiasi dan gelombang but diukur dari warna merah sebagai punserta atom yang berhubungan. Pelangi cak pelangi. tersebut diproduksi dari peristiwa penghamburan inti atom di udara. [5]
3.6
Pelangi Kedua(Sekunder) 3.7
Pelangi sekunder trdiri dari cahaya yang keluar dari pemantulan internal di medium. Dengan setiap pantulan dari beberapa sinar hilang, dimana hal tersebut menjadi alasan utama pelangi kedua ini lebih berwarna dari pada pelangi pertama(merah). Theodoric dan Descrate menjelaskan bahwa dari direksi panjang dengan daerah hasil sudut yang berkorespondensi ke pelangi dengan hanya satu warna pada saat terlihat dilangit.Ketika pandangan mata berpindah ke tempat lain dan menciptakan sudut pandangan yang lain, spektrum warna lain mulai bermunculan,satu demi satu.Ia juga menjelaskan bahwa setiap warna yang terlihat oleh mata berasal dari tetesan air yang lain [4].
Interpretasi Pelangi
Bentuk
Bila kita membahas pelangi, ada satu hal yang menarik tentang bentuk pelangi itu sendiri. Fakta unik tersebut terletak pada bentuknya yang selalu menyerupai kurva parabola, dan lingkaran. Apa yang menyebabkan bentuk tersebut?
Penjelasannya kita dapatkan dari persamaan sudut-sudut pada pelangi,dimana sudut pembiasaan(β) masing-masing gelombang warna bersifat tetap,sehingga dari tiap warna akan membentuk lintasanlintasan cahaya yang ketika disatukan bentuknya menyerupai sebuah parabola Seperti yang dijelaskan oleh Descrate, atau lingkaran. Pada tabel panjang gelomsetiap fitur utama dari pelangi akan di- bang warna pelangi sebelumnya,setiap mengerti melalui sebuah pertimbangan warna memiliki interval panjang yang 6
berbeda. Selain itu,bila dilihat dari Fig.9, grafik tersebut menunjukkan bagaimana setiap sudut dari pembiasan dan pemantulan sinar memiliki frekuensi berbeda terhadap warna dan panjangnya, sehingga membentuk kurva. Selain itu, kecenderungan
sebagai sudut deviasi. Selanjutnya kita dapat menentukan dua persamaan pelangi, pertama yang merupakan sudut datang sinar matahari (α). Model yang terakhir adalah persamaan β yang merupakan sudut bias dari pelangi. Kita harus memiliki sudut pelangi sebesar 42◦ serta posisi matahari terletak dalam satu axis dengan posisi matahari berada di belakang pengamat. Bentuk pelangi adalah lingkaran karena disebabkan oleh sudut pembiasan masingmasing gelombang warna tetap dan sifat konvergen (menyebar) saat mata manusia memandang sebuah objek.
Figure 9: Grafik pelangi
Daftar Pustaka mata manusia pada saat memandang objek tertentu bersifat konvergen (menyebar) sehingga efek yang ditimbulkan dari refraksi cahaya ke mata memberikan kesan lebih terhadap bentuk pelangi itu sendiri.
4
[1] Thao Dang: The Theory of Rainbow, Vol. 0, No. 0,pp. 01,2006. [2] Rachel W. Hall and Nigel Higson: The Cakculus of Rainbows, Vol. 0, No.0,pp. 02–03,1998.
SIMPULAN
[3] John A. Adam: The Mathematical Physics of Rainbows and Glories, vol. 0, No.356,pp.07, 2001.
Dari paparan di atas mengenai peristiwa pelangi,dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut. Pelangi adalah gejala optik dan meteorologi yang terjadi sacara alamiah dalam atmosfir bumi serta melibatkan cahaya matahari, pengamat dan tetesan air hujan. Kejadian pelangi juga dapat dihubungkan dengan konsep matematis yang ada,mulai dari turunan aljabar, Trigonometri, geometri dan kurva. Di dalam tetesan air hujan, cahaya matahari mengalami proses pembiasan, pemantulan, dan dispersi cahaya. Cahaya tersebut merupakan gelombang warna yang membentuk spektrum cahaya dan membentuk pelangi pertama. Kita dapat mengkontruksi model matematika proses terjadinya pelangi pertama. Model yang pertama ialah T (α) sebagai jumlah total sudut dan θ merupakan sudut pelangi. Model kedua ialah yang kita kenal
[4] Raymond L. Lee, Jr: Mie theory, Airy theory, and the natural rainbow, 1998. [5] H. Moyses Nusseinveg: The Theory of The Rainbow, Vol. 0, No.0, pp.007,1997.
7
