PEMBELAJARAN
O
D
MATEMATIKA
T O N
UNTUK PGSD:
Bagaimana Guru Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa
Y
P
O
C
D
O
UNDANG-UNDANG REPUBLIK INDONESIA NOMOR 19 TAHUN 2002 TENTANG HAK CIPTA
T O N
PASAL 72 KETENTUAN PIDANA SANKSI PELANGGARAN
1. Barangsiapa dengan sengaja dan tanpa hak mengumumkan atau memperbanyak suatu Ciptaan atau memberikan izin untuk itu, dipidana dengan pidana penjara paling singkat 1 (satu) bulan dan/atau denda paling sedikit Rp1.000.000,00 (satu juta rupiah), atau pidana penjara paling lama 7 (tujuh) tahun dan/atau denda paling banyak Rp5.000.000.000,00 (lima miliar rupiah).
C
Y
P
O
2. Barangsiapa dengan sengaja menyerahkan, menyiarkan, memamerkan, mengedarkan, atau menjual kepada umum suatu Ciptaan atau barang hasil pelanggaran Hak Cipta atau Hak Terkait sebagaimana dimaksud pada ayat (1), dipidana dengan pidana penjara paling lama 5 (lima) tahun dan/atau denda paling banyak Rp500.000.000,00 (lima ratus juta rupiah).
PEMBELAJARAN
O
D
MATEMATIKA
T O N
UNTUK PGSD:
Bagaimana Guru Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa
C
Yoppy Wahyu Purnomo
Y
P
O PENERBIT ERLANGGA Jl. H. Baping Raya No. 100 Ciracas, Jakarta 13740 Website:www.erlangga.co.id (Anggota IKAPI)
O
D T O N
PEMBELAJARAN MATEMATIKA UNTUk PGSD Hak cipta © 2015 pada Penulis Hak terbit pada Penerbit Erlangga
C
Penulis Yoppy Wahyu Purnomo
O
Editor Oktaviani Mutiara Dwiasri
Setting & Layout: Divisi Perti Desain Sampul: Yudi Nur Riyadi
Y
P
Buku ini diset dan dilayout oleh bagian produksi Penerbit Erlangga dengan Power Macintosh G5 (Warnock Pro 10,5 pt.)
Percetakan: PT Gelora Aksara Pratama 19 18 17 16 15
5 4 3 2 1
Dilarang keras mengutip, menjiplak, memfotokopi, atau memperbanyak dalam bentuk apa pun, baik sebagian atau keseluruhan isi buku ini, serta memperjualbelikannya tanpa izin tertulis dari Penerbit Erlangga. © HAK CIPTA DILINDUNGI OLEH UNDANG-UNDANG
Kata Pengantar
B
O
D
uku yang berjudul “Pembelajaran Matematika untuk PGSD: Bagaimana Guru Mengembangkan Penalaran Proporsional Siswa” ini bertujuan untuk menambah literatur buku matematika dasar berbahasa Indonesia. Sasaran buku ini adalah calon guru Sekolah Dasar (SD) dan Madrasah Ibtidaiyah (MI), khususnya mahasiswa PGSD dan PGMI. Buku ini diharapkan memenuhi harapan pihak-pihak yang memerlukan buku pegangan untuk mata kuliah yang berkaitan dengan bahasan aritmatika, seperti bilangan pecahan, desimal, rasional, dan irasional. Disajikan pula bahasan tentang rasio dan proporsi yang dikemas dengan struktur konsep yang saling terkait. Buku ini juga dapat digunakan sebagai referensi tambahan bagi mahasiswa program studi matematika dan guru untuk mengembangkan kegiatan instruksionalnya, khususnya bagaimana guru dan calon guru menanamkan pengetahuan konseptual dan prosedural untuk mengembangkan penalaran proporsional siswa. Buku ini terdiri dari lima bab dengan setiap bab saling terkait satu sama lain. Keterkaitan antarbab ini mengerucut pada pemahaman konsep dan prosedur dalam situasi yang terkait dengan penalaran proporsional. Penalaran proporsional adalah bentuk penalaran matematis yang meliputi kepekaan terhadap hubungan fungsi dan beberapa perbandingan, kemampuan menyimpan dan memproses beberapa potongan informasi secara mental dengan karakteristik utama mengenali kesamaan struktur dan konstanta fungsi dalam sistem matematika sederhana. Penalaran proporsional merupakan landasan berpijak (cornerstone) untuk sukses dalam level matematika yang lebih tinggi dan puncak (capstone) dari matematika sekolah dasar. Penalaran proporsional merupakan prinsip yang melingkupi seluruh aspek matematika dan pusat bagi semua subdisiplin matematika. Sebagai contoh, penalaran proporsional digunakan dalam geometri mengenai kesebangunan dan dilatasi; dalam aljabar mengenai gradien, masalah pekerjaan, skala, dan kecepatan; dalam probabilitas untuk menentukan kemungkinan peristiwa yang terjadi; dan subdisiplin seperti kalkulus, trigonometri, statistika, dan lain sebagainya. Buku ini terdiri dari lima bab beserta himpunan soal terpilih untuk menguji pemahaman Anda mengenai penalaran proporsional. Berikut ini penjabarannya.
T O N
Y
P
O
C
Bab 1 menyajikan teori-teori yang dapat mendukung pemahaman Anda mengenai penalaran proporsional. Pertanyaan-pertanyaan mengenai apa itu penalaran proporsional,
vi |
Kata Pengantar
apa peranan penalaran proporsional dalam matematika, dan mengapa penalaran proporsional harus ditanamkan secara baik pada siswa akan terjawab pada bab ini. Pengetahuan-pengetahuan matematis yang dapat Anda gunakan untuk mengajar juga disajikan dalam bab ini.
O
D
Bab 2 menyajikan topik pecahan. Pecahan merupakan pemahaman awal yang merupakan perjalanan awal menuju konsep formal, yakni penalaran proporsional. Di samping itu, pecahan merupakan konsep dasar untuk mempelajari rasio karena pecahan termasuk rasio. Pembelajaran di SD umumnya mengenalkan konsep pecahan sebagai bagian dari keseluruhan. Akan tetapi, makna lain dari konsep pecahan juga perlu diperkenalkan. Topik pecahan dalam bab ini dimulai dengan memahami maknanya, kemudian dilanjutkan dengan pecahan ekuivalen, komputasi, dan estimasi. Dalam membelajarkan topik pecahan, kita hendaknya tidak langsung menggunakan prosedur mekanistis, tetapi dimulai dengan pematangan konsep terlebih dahulu, yang berarti melibatkan aktivitas siswa di dalamnya.
T O N
Bab 3 menyajikan topik desimal atau sering disebut dengan pecahan desimal. Meskipun secara urutan topik desimal dan pecahan dalam buku ini disajikan terpisah, tetapi hendaknya (calon) guru tidak mengembangkannya secara terpisah. Bab ini juga sering menampilkan hubungan keduanya. Membangun hubungan erat antara pecahan dan desimal sangat berguna untuk pemahaman desimal itu sendiri maupun komputasinya. Prosedur mekanistis dalam komputasi desimal tidak begitu bermakna ketika siswa memiliki pemahaman kuat tentang hubungan pecahan dan desimal. Sebagai akibatnya, pembaca dan/atau dosen dapat mengembangkan sendiri pembelajaran pada bab ini.
P
O
C
Bab 4 membahas tentang tahap-tahap berpikir siswa dalam penalaran proporsional. Di samping itu, disajikan pemahaman yang lebih mendalam tentang penalaran proporsional yang tentunya diperkenalkan terlebih dahulu mengenai konsep rasio. Persen juga ditampilkan dalam bab ini karena persen merupakan makna rasio sebagai bagian dari keseluruhan (part-to-whole ratio).
Y
Bab 5 membahas tentang aplikasi penalaran proporsional dan keterkaitannya dengan berbagai topik. Meskipun banyak topik yang terkait dengan penalaran proporsional, bab ini hanya membahas secara ringkas tentang keterkaitannya dengan aljabar, geometri dan pengukuran, probabilitas, dan analisis data. Himpunan Soal berisikan kumpulan soal. Soal-soal ini bertujuan untuk menguji pemahaman konsep, kemampuan menyelesaikan atau memecahkan masalah, mengembangkan penalaran, dan menganalisis pendapat atau cara berpikir siswa yang dapat muncul dalam pembelajaran. Dari tujuan tersebut, soal disusun dan dapat diklasifikasikan ke dalam soalsoal pemahaman konsep, penalaran dan pemecahan masalah (problem solving), pertanyaan yang berkaitan dengan pengajaran (teaching questions), dan analisis berpikir siswa. Penulis sangat mengapresiasi PROGRAM HIBAH PENULISAN BUKU AJAR PERGURUAN TINGGI TAHUN 2014, yang diselenggarakan oleh DITJEN DIKTI KEMENDIKBUD, yang telah memfasilitasi penulis dalam penyempurnaan penulisan buku
Kata Pengantar
| vii
O
D
ini melalui lokakarya pendampingan penulisan buku ajar pada tanggal 26-27 September 2014 lalu. Lebih lanjut, penulis mengucapkan terima kasih kepada (1) Drs. Turmudi, M.Ed., M.Sc., P.hD. [Universitas Pendidikan Indonesia (UPI)] yang telah mendampingi penulis untuk melakukan telaah, revisi, dan penyuntingan buku ini; (2) Prof. M. A. Rifai, M.Sc., Ph.D. [Lembaga Ilmu Pengetahuan Indonesia (LIPI)] yang telah memberikan pengarahan tentang rambu-rambu ragam bahasa buku ajar; (3) Prof. Ir. Wasmen Manalu, Ph.D. [Institut Pertanian Bogor (IPB)] yang telah memberikan pengarahan tentang teknik ilustrasi dalam penulisan buku ajar; (4) Prof. Ali Saukah, M.A., Ph.D. [Universitas Negeri Malang (UM)] yang telah memberikan pengarahan tentang tata saji buku ajar. Tidak lupa, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Endah Purnami, S.Pd., M.PMat.; Fitri Alyani, S.Pd., M.Si.; Kowiyah, M.Pd.; Dosen-dosen PGSD FKIP UHAMKA; dan Mahasiswa S3 Pendidikan Matematika UPI Angkatan 2013 yang telah meluangkan waktu untuk menelaah dan memberi masukan terhadap buku ini. Kepada semua pihak yang membantu dalam penerbitan buku ini, penulis mengucapkan terima kasih. Semoga usaha kecil ini dapat bermanfaat secara luas demi kemajuan pendidikan di Indonesia. Saran dan kritik yang membangun dari para pembaca kami harapkan dan dengan senang hati kami terima.
T O N
Y
P
O
C
Jakarta, April 2015 Yoppy Wahyu Purnomo
[email protected]
Daftar Isi Kata Pengantar Daftar Isi viii
v
Bab 2 Pecahan
9
Definisi dan Makna Pecahan 10 Bahasa dan Konsep Bagian untuk Pecahan 14 Kesamaan dan Pecahan Senilai 21 Ketaksamaan dan Pecahan Tak Senilai 28 Urutan dan Kerapatan Pecahan 30 Bilangan Campuran dan Pecahan Tak Sebenarnya Operasi pada Pecahan 34 Komputasi Mental dan Estimasi 52 Himpunan Soal 1 57
33
65
66
Y
Definisi, Notasi, dan Nilai Tempat Desimal Membaca dan Menulis Desimal 69 Urutan dan Kerapatan Desimal 70 Estimasi Desimal 73 Operasi pada Desimal 74 Notasi Baku (Scientific Notation) 87 Desimal sebagai Bilangan Rasional 88 Desimal sebagai Bilangan Irasional 94 Himpunan Soal 2 100
P
O
C
Bab 3 Desimal: Rasional dan Irasional A. B. C. D. E. F. G. H.
4
T O N
A. B. C. D. E. F. G. H.
1
Membangun Penalaran Proporsional 2 Pengetahuan Matematis untuk Mengajar
O
A. B.
D
Bab 1 Pendahuluan
Daftar Isi
Bab 4 Memahami Penalaran Proporsional A. B. C. D. E. F. G. H.
109
Mengenal Penalaran Proporsional 110 Rasio sebagai Fondasi Bernalar Proporsional 112 Proporsi: Keekuivalenan Rasio 115 Perbandingan Rasio 117 Komponen Penting dalam Penalaran Proporsional 118 Tipe Permasalahan Proporsional 123 Menyelesaikan Permasalahan Proporsional 124 Memahami dan Menggunakan Persen 130 Himpunan Soal 3 136
D
Bab 5 Penalaran Proporsional Lintas Topik
141
Pendahuluan: Penalaran Proporsional Lintas Topik 142 Penalaran Proporsional pada Aljabar 142 Penalaran Proporsional pada Geometri dan Pengukuran 145 Penalaran Proporsional pada Probabilitas 153 Penalaran Proporsional pada Analisis Data 161 Himpunan Soal 4 174
O
T O N
A. B. C. D. E.
186
Y
P
O
C
Daftar Pustaka 179 Jawaban Himpunan Soal Glosarium 199 Indeks 203
| ix
O D
T O N
Y P O C
Daftar Pustaka Ashline, G., & Frantz. M. 2009. Proportional Reasoning and Probability: A Professional Development Context for Mathematics Educators. Connect, 23 (2): 8-10.
D
Bakker, A., & Gravemeijer, K. P. E. 2006. An Historical Phenomenology of Mean and Median. Educational Studies in Mathematics, 62: 149–168.
O
Ball, D. L., Hill, H. C., & Bass, H. 2005. Knowing Mathematics for Teaching: Who Knows Mathematics Well Enough to Teach Third Grade, and How can We Decide? American Educator, Fall: 14-46.
T O N
Ball, D. L., Thames, M. H., & Phelps, G. 2008. Content Knowledge for Teaching: What Makes It Special? Journal of Teacher Education, 59 (5): 389-407. doi: 10.1177/0022487108324554 Batanero, C., Godino, J. D., Vallecillos, A., Green, D. R., Holmes, P. 1994. Errors and Difficulties in Understanding Elementary Statistical Concepts. International Journal of Mathematics Education in Science and Technology, 25 (4): 527-547.
C
Behr, M. J., Harel, G., Post, T., & Lesh, R. 1992. Rational Number, Ratio, and Proportion. Dalam D. A. Grouws (Ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (hlm. 296-333). New York: Macmillan.
O
Bennett, A. B. Jr., Burton, L. J., & Nelson, L. T. 2012. Mathematics for Elementary Teachers: A Conceptual Approach, Ninth Edition. New York: The McGraw-Hill Companies, Inc.
Y
P
Ben-Chaim, D., Fey, J. T., Fitzgerald, W. M., Benedetto, C., & Miller, J. 1998. Proportional Reasoning among 7th Grade Students with Different Curricular Experiences. Educational Studies in Mathematics, 36: 247-273. Ben-Chaim, D., Keret, Y., & Ilany, B-S. 2012. Ratio and Proportion: Research and Teaching in Mathematics Teachers’ Education (Pre- and In-Service Mathematics Teachers of Elementary and Middle School Classes). Rotterdam: Sense Publishers. Bremigan, E. G. 2003. Developing a Meaningful Understanding of the Mean. Mathematics Teaching in the Middle School, 9 (1): 22-26. Bright, G. W., Joyner, J. M., & Wallis, C. 2003. Assessing Proportional Reasoning. Mathematics Teaching in the Middle School, 9 (3): 166-172. Brousseau, G. 2002. Theory of Didactical Situations in Mathematics (Diterjemahkan oleh N. Balacheff, M. Cooper, R. Sutherland, & V. Warfield). New York: Kluwer Academic Publisher. Brown, S. A. 2008. Exploring Epistemological Obstacles to the Development of Mathematics Induction. Proceedings of the 11th Conference for Research on Undergraduate Mathematics
180 |
Daftar Pustaka
Education. San Diego, California. Diunduh dari: https://mathed.asu.edu/crume2008/ Proceedings/S_Brown_LONG.pdf. Browning, C., Thanheiser, E., Edson, A. J., Kimani, P. M. Olanoff, D., ... Whitacre, I. 2014. Prospective Elementary Mathematics Teacher Content Knowledge: An Introduction. The Mathematics Enthusiast, 11 (2): 203–216. Bryant, P., & Nunes, T. 2012. Children’s Understanding of Probability: A Literature Review (Full Report). London: Nuffield Foundation. Byrnes, J. P., & Wasik, B. A. 1991. Role of Conceptual Knowledge in Mathematical Procedural Learning, Developmental Psychology, 27 (5): 777-786. doi: 10.1037/0012-1649.27.5.777
O
D
Carpenter, T. P., Fennema, E., Peterson, P. L., & Carey, D. A. 1988. Teachers’ Pedagogical Content Knowledge of Students’ Problem Solving in Elementary Arithmetic. Journal for Research in Mathematics Education, 19 (5): 385-401. Chatzivasileiou, E., Michalis, J., & Tsaliki, C. 2010. Elementary School Students’ Understanding of Concept of Arithmetic Mean. Dalam C. Reading (Ed.), Proceedings of the 8th International
T O N
Conference on Teaching Statistics. Ljubljana, Slovenia. Clarke, D. M., Roche A., & Mitchell, A. 2008. Ten Practical Tips for Making Fractions Come Alive and Make Sense. Mathematics Teaching in the Middle School, 7 (13): 372–381. Reston, Virginia: The National Council of Teachers of Mathematics. Cornu, B. 2002. Limits. Dalam D. Tall (Ed.). Advanced Mathematical Thinking. New York: Kluwer Academic Publishers.
O
C
Cramer, K., Monson, D. S., Wyberg, T., Leavitt, S., & Whitney, S. R. 2009. Models for Initial Decimal Ideas. Teaching Children Mathematics, 16 (2): 106–117. Reston, Virginia: The National Council of Teachers of Mathematics.
Y
P
Cramer, K., Monson, D. S., Whitney, S. R., Leavitt, S., & Wyberg, T. 2010. Dividing Fractions and Problem Solving. Mathematics Teaching in the Middle School, 15 (60): 339-346. Reston, Virginia: The National Council of Teachers of Mathematics. Cramer, K., Post, T., & Currier, S. 1993. Learning and Teaching Ratio and Proportion: Research Implications. Dalam D. T. Owens (Ed.) Research Ideas for the Classroom: Middle Grades Mathematics (hlm.159-178). New York: Macmillan. Empson, S. B. 2001. Equal Sharing and the Roots of Fraction Equivalence. Teaching Children Mathematics 7: 421-425. Reston, Virginia: The National Council of Teahers of Mathematics. Earl, L. 2003 Assessment as Learning: Using Classroom Assessment to Maximise Student Learning. Thousand Oaks, California: Corwin Press. Eisenhart, M., Borko, H., Underhill, R., Brown, C., Jones, D., & Agard, P. 1993. Conceptual Knowledge Falls Through The Cracks: Complexities of Learning to Teach Mathematics for Understanding. Journal for Research in Mathematics Education, 24 (1): 8-40.
Daftar Pustaka
| 181
Gattuso. 2008. Mathematics in a Statistical Context. Dalam C. Batanero, G. Burrill, C. Reading & A. Rossman (Eds.), Joint ICMI/IASE Study: Teaching Statistics in School Mathematics. Challenges for Teaching and Teacher Education. Proceedings of the ICMI Study 18 and 2008 IASE Round Table Conference. Godino, J. D., Batanero, C., Roa, R. & Wilhelmi. M. R. 2008. Assessing and Developing Pedagogical and Statistical Knowledge of Primary School Teachers Through Project Works. Dalam C. Batanero, G. Burrill, C. Reading & A. Rossman (Eds.), Joint ICMI/IASE Study: Teaching Statistics in School Mathematics. Challenges for Teaching and Teacher Education. Proceedings of the ICMI Study 18 and 2008 IASE Round Table Conference.
D
Gregg, J., & Gregg, D. U. 2007. Measurement and Fair-Sharing Models for Dividing Fractions. Mathematics Teaching in the Middle School, 12 (9): 490–496. Reston, Virginia: The National Council of Teachers of Mathematics.
O
Hill, H. C., Rowan, B., & Ball, D. L. 2005. Effects of Teachers’ Mathematical Knowledge for Teaching on Student Achievement. American Education Research Journal, 42 (2): 371-406.
T O N
Hill, H. C., Ball, D. L., & Schilling, S. G. 2008. Unpacking Pedagogical Content Knowledge: Conceptualizing and Measuring Teachers. Journal for Research in Mathematics Education, 39 (4): 372-400. Hill, H. C., & Ball, D. L. 2009. The Curious—and Crucial—Case of Mathematical Knowledge For Teaching. Phi Delta Kappan, 91 (2): 68-71.
C
Isotani, S., McLaren, B.M., & Altman, M. 2010. Towards Intelligent Tutoring with Erroneous Examples: A Taxonomy of Decimal Misconceptions. Dalam V. Aleven, J. Kay, J. Mostow (Eds.), Proceedings of the 10th International Conference on Intelligent Tutoring Systems
O
(ITS-10), Lecture Notes in Computer Science, 6094 (hlm. 346-348). Berlin: Springer.
P
Isotani, S., Adams, D., Mayer, R.E., Durkin, K., Rittle-Johnson, B., & McLaren, B.M. 2011. Can Erroneous Examples Help Middle-School Students Learn Decimals? Paper
Y
dipresentasikan pada The Sixth European Conference on Technology Enhanced Learning: Towards Ubiquitous Learning (EC-TEL-2011). Jacobbe, T. 2007. Elementary School Teachers’ Understanding of Essential Topics in Statistics and the Influence of Assessment Instruments and a Reform Curriculum upon Their Understanding. Disertasi (Online). (https://www.stat.auckland.ac.nz/~iase/publications/dissertations/07. Jacobbe.Dissertation.pdf, diakses pada tanggal 19 Februari 2014). Johnson, G. J. 2010. Proportionality in Middle-School Mathematics Textbooks. Tesis dan Disertasi Pascasarjana. University of South Florida. Jones, J. C. 2012. Visualizing Elementary and Middle School Mathematics Methods. New York: John Wiley & Sons. Kenney, P. A., Lindquist, M. M, & Heffernan, C. L. 2002. Butterflies and Caterpillars: Multiplicative and Proportional Reasoning in the Early Grades. Dalam B. Litwiller & G.
182 |
Daftar Pustaka
Bright (Eds.), Making Sense of Fractions, Ratios, and Proportions: 2002 Yearbook (Bab 10). Reston, Virginia: The National Council of Teachers of Mathematics. Lamon, S. J. 1995. Ratio and Proportion: Elementary Didactical Phenomenology. In Judith T. Sowder and Bonnie P. Schappell (Eds.), Providing a Foundation for Teaching Mathematics in the Middle Grades (hlm. 167–198). Albany, N.Y.: State University of New York Press. Lamon, S. J. 1996. The Development of Unitizing: Its Role in Children’s Partitioning Strategies. Journal for Research in Mathematics Education, 27 (2): 170-193. Lamon, S. J. 2007. Rational Numbers and Proportional Reasoning. Dalam F. K. Lester, Jr. (Ed.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (hlm. 629–667). Charlotte, North Carolina: Information Age Publishing.
D
O
Lamon, S. J. 2012. Teaching Fractions and Ratios for Understanding: Essential Content Knowledge and Instructional Strategies for Teachers, Third Edition. New York: Routledge, Taylor & Francis.
T O N
Langrall, C. W., & Swafford, J. 2000. Three Balloons for Two Dollars. Mathematics Teaching in the Middle School, 6 (4): 254-261. Lappan, G., Fey, J. T., Fitzgerarld, W. M., Friel, S. N., & Phillips, E. D. 2005. Stretching and Shrinking: Understanding Similarity (Connected Mathematics 2). New Jersey: Prentice Hall. Lerner, K. L., & Lerner, B. W. (Eds.). 2004. The Gale Encyclopaedia of Science (Third Edition). Farmington Hills, MI: Gale. Lesh, R., Post, T., & Behr, M. 1988. Proportional Reasoning. Dalam J. Hiebert & M. Behr
O
C
(Eds.) Number Concepts and Operations in the Middle Grades (hlm. 93-118). Reston, Virginia: Lawrence Erlbaum & The National Council of Teachers of Mathematics.
P
Lim, K. H. 2009. Burning the Candle at Just One End: Using Nonproportional Examples Helps Students Determine When Proportional Strategies Apply. Mathematics Teaching in the Middle School, 14 (8): 492-500.
Y
Lo, J., Watanabe, T., & Cai, J. 2004. Developing Ratio Concepts an Asian Perspective. Mathematics Teaching in the Middle School, 9 (7): 362-367. Martinie, S. 2006. Data Analysis and Statistics in the Middle School. Mathematics Teaching in the Middle School, 12 (1): 48–49. Martinie, S. L., & Bay-Williams. 2003. Investigating Students’ Conceptual Understanding of Decimal Fractions Using Multiple Representations. Mathematics Teaching in the Middle School, 8 (5): 244–247. Reston, Virginia: The National Council of Teachers of Mathematics. McIntosh, A., Bana, J., & Farrell, B. 1997. Assessing Number Sense: Collaborative Initiatives in Australia, United States, Sweden and Taiwan. MERGA 20 – Aotearoa: 324–330. McIntosh, M. B. 2013. Developing Proportional Reasoning in Middle School Students. Tesis Pascasarjana. Utah: The University of Utah. McLeod, S. A. 2009. Jean Piaget. Diunduh dari: http://www.simplypsychology.org/piaget.html
Daftar Pustaka
| 183
Musser, G. L., Burger, W. F., & Peterson, B. E. 2011. Mathematics for Elementary Teachers: A Contemporary Approach, Ninth Edition. New York: John Wiley & Sons, Inc. National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). 2000. Principles and Standards for School Mathematics. Reston, Virginia: The National Council of Teachers of Mathematics. National Research Council (NRC). 2001. Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics. J. Kilpatrick, J. Swafford, and B. Findell (Eds.). Mathematics Learning Study Committee, Center for Education, Division of Behavioral and Social Sciences and Education. Washington DC: National Academy Press. Nillas, L. 2003. Division of Fractions: Preservice Teachers’ Understanding and Use of Problem Solving Strategies. The Mathematics Educator, 7 (2): 96-113.
D
O
Parish, L. 2010. Facilitating the Development of Proportional Reasoning through Teaching Ratio. Dalam L. Sparrow, B. Kissane, & C. Hurst (Eds.), Shaping the future of mathematics education: Proceedings of the 33rd Annual Conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia (hlm. 469-476). Fremantle: MERGA.
T O N
Pramudiani, P., Zulkardi, Hartono, Y., & van Amerom, B. 2011. A Concrete Situation for Learning Decimals. IndoMS. J.M.E, 2 (2): 215-230. Pulgies, S., Haese, R., Haese, S., & Haines, C. 2005. Mathematics for Year 5, Second Edition. Adelaide Airport, South Australia: Haese & Harris Publications. Purnomo, Yoppy Wahyu. 2012. Konsep Geometri dan Pengukuran untuk Guru dan Calon Guru Sekolah Dasar. Jakarta: UHAMKA Press.
P
O
C
Purnomo, Yoppy Wahyu. 2013. Komputasi Mental untuk Mendukung Lancar Berhitung Operasi Penjumlahan dan Pengurangan pada Siswa Sekolah Dasar. Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema ”Penguatan Peran Matematika dan Pendidikan Matematika untuk Indonesia yang Lebih Baik“ pada tanggal 9 November 2013 di Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY.
Y
Purnomo, Yoppy Wahyu. 2014. Assessment Based Learning: Sebuah Tinjauan untuk Meningkatkan Motivasi Belajar dan Pemahaman Matematis. SIGMA Journal, VI (1): 22-33. Purnomo, Yoppy Wahyu. 2014. Serial Matematika untuk PGSD: Bilangan Cacah dan Bulat (Sebuah Tinjauan Konsep dan Instruksional dalam Pembelajaran). Bandung: Alfabeta. Purnomo, Y. W., Kowiyah, Alyani, F., & Assiti, S. S. 2014. Assessing Number Sense Performance of Indonesian Elementary School Students. International Education Studies, 7 (8): 74-84. Rathouz, M. 2011. Visualizing Decimal Multiplication with Area Models: Opportunities and Challenges. Issues in the Undergraduate Mathematics Preparation of School Teachers (IUMPST Journal), 2: 1-12. Rittle-Johnson, B., & Alibali, M. W. 1999. Conceptual and Procedural Knowledge of Math: Does One Lead to the Other. Journal of Educational Psychology, 91 (1): 175-189. doi: 10.1037/0022-0663.91.1.175
184 |
Daftar Pustaka
Rittle-Johnson, B., Siegler, R. S., & Alibali, M. W. 2001. Developing Conceptual Understanding and Procedural Skill in Mathematics: An Iterative Process. Journal of Educational Psychology, 93: 346-362. doi: 10.1037/0022-0663.93.2.346 Rittle-Johnson, B. & Schneider, M. (2014). Developing Conceptual and Procedural Knowledge of Mathematics. Dalam R. Kadosh & A. Dowker (Eds.), Oxford Handbook of Numerical Cognition. Oxford Press. Roddick, C., & Silvas-Centeno, C. 2007. Developing Understanding of Fractions Through Pattern Blocks and Fair Trade. Teaching Children Mathematics, 14(3), 140–145. Reston, Virginia: The National Council of Teachers of Mathematics.
O
D
Russell, S. J., & Mokros, J. R. 1990. What’s Typical? Children’s and Teachers’ Ideas About Average. Dalam David Vere-Jones (Ed.), Proceedings of the Third International Conference on Teaching Statistics, Vol. 1 (hlm. 307-313). Voorburg, The Netherlands: International Statistical Institute. (http://www.stat.auckland.ac.nz/~iase/publications/18/BOOK1/A9-3.pdf ).
T O N
Sbaragli, S., Arrigo G., D’Amore, B., Pinilla M. I. F., Frapolli, A., …, Villa, O. 2011. Epistemological and Didactic Obstacles: the Influence of Teachers’ Beliefs on the Conceptual Education of Students. Mediterranean Journal for Research in Mathematics Education, 10 (1): 61-102. Schneider, M., & Stern, E. 2010. The Development Relations Between Conceptual and Procedural Konwledge: A Multimethod Approach. Developmental Psychology, 46 (1): 178-192. doi: 10.1037/a0016701
C
Shulman, L. S. 1986. Those Who Understand Knowledge Growth in Teaching. Educational Researcher, 15: 4-14.
P
O
Siebert, D., & Gaskin, N. 2006. Creating, Naming, and Justifying Fractions. Teaching Children Mathematics, 12 (8): 394–400. Reston, Virginia: The National Council of Teachers of Mathematics.
Y
Singh, P. 2000. Understanding the Concepts of Proportion and Ratio Constructed by Two Grade Six Students. Educational Studies in Mathematics, 43: 271-292. Skemp, R. 1987. Psychology of Learning Mathematics (Expanded American Edition). New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates, Inc. Stohl, H. 2002. Using Proportional Reasoning Appropriately: Lessons Learned Through Probability, (Online). (http://www.probexplorer.com/Articles/StohlProbPR2002.pdf, diakses pada tanggal 19 Februari 2014). Suryana, Y., Pranata, O. H., & Apriani, I. F. 2009. Desain Didaktis Pengenalan Konsep Pecahan Sederhana pada Pembelajaran Matematika untuk Siswa Kelas III Sekolah Dasar. Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema “Kontribusi Pendidikan Matematika dan Matematika dalam Membangun Karakter Guru dan Siswa” pada tanggal 10 November 2012 di Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY.
Daftar Pustaka
| 185
Tabart, P., Skalicky, J., & Watson, J. 2005. Modelling Proportional Thinking with Threes and Twos. APMC, 10 (3): 27-32. Tarr, J. E. 2002. Providing Opportunities to Learn Probability Concepts. Teaching Children Mathematics, 8 (8): 482-487. Valverde, G., & Castro, E. 2012. Prospective Elementary School Teachers’ Proportional Reasoning. PNA, 7 (1): 1-19, (Online). (http://hdl.handle.net/10481/21533, diakses pada tanggal 20 Januari 2014). van de Walle, J.A., Karp, K. S., & Bay-Williams, J. M. 2010. Elementary and Middle School Mathematics: Teaching Developmentally, Seventh Edition. Boston: Pearson Education, Inc.
D
Watanabe, T. 2002. Representations in Teaching and Learning Fractions. Teaching Children Mathematics, 8: 457–463. Reston, Virginia: The National Council of Teachers of Mathematics.
O
Watanabe, T. 2006. The Teaching and Learning of Fractions: A Japanese Perspective. Teaching Children Mathematics: 368–374. Reston, Virginia: The National Council of Teachers of Mathematics.
T O N
Watson, J. M., & Shaughnessy, J. M. 2004. Proportional Reasoning: Lessons from Data and Chance. Mathematics Teaching in the Middle School, 10 (2), 104–109. Western and Northern Canadian Protocol for Collaboration in Education [WNCP]. 2006. Rethinking Classroom Assessment With Purpose In Mind : Assessment for Learning, Assessment as Learning, Assessment of Learning, (Online). (http://www.wncp.ca/english/subjectarea/ classassessment.aspx).
O
C
Widjaja, W., Stacey, K., & Steinle, V. 2008a. Misconceptions about Density of Decimals: Insights from Indonesian Pre-Service Teachers. Journal of Science and Mathematics Education in Southeast Asia, 31 (2): 117-131.
P
Widjaja, W., Stacey, K., & Steinle, V. 2008b. Miskonsepsi tentang Bilangan Desimal dari Calon Guru. Widya Dharma, 18 (2): 141-154.
Y
Wu, Z. 2001. Multiplying Fractions. Teaching Chlidren Mathematics, 8 (3): 174-177.
Jawaban Himpunan Soal Himpunan Soal 1 1.
a.
2.
a.
c.
d.
T O N
b.
O
c.
D
b.
7 dan __ 12 12 2 dan __ 1 __ 3 3 10 dan __ 14 __ 12 12 4 dapat berarti 4 dibanding 5, yakni makna rasio. __ 5 4 dapat berarti jarak 4 satuan __ 1 -an, yakni makna pengukuran. __ 5 5 4 dapat diartikan sebagai 4 dari 5 bagian yang adil, yakni makna bagian-terhadap __ 5 keseluruhan. 5 __
4 dapat diartikan sebagai pembagian dari 4 oleh 5, yakni makna pembagian. __ 5
Tidak karena 3 bagian yang diketahui terbagi secara tidak adil.
4.
a.
a.
6.
c.
2
a.
10 7 dan __ __
b.
Y
b.
P
5.
4 1 1__ 2 5 __ 11 2 __ 3
O
b.
1 __
C
3.
10 15 8 71 __ dan __ 80 9
7.
Jawaban yang tepat adalah nilai pecahan akan semakin besar seiring penyebutnya yang semakin kecil. Analoginya, yakni manakah yang memiliki porsi lebih besar, 1 roti dibagi kepada 2 orang atau 3 orang? Tentunya semakin besar jumlah orang yang mendapat bagian roti, maka semakin kecil roti yang mereka dapat.
8.
Betul karena pecahan tak sebenarnya selalu lebih dari atau sama dengan 1, sedangkan pecahan sebenarnya selalu kurang dari 1.
Jawaban Himpunan Soal
| 187
9. Dikarenakan memiliki pembilang yang sama, maka kita dapat bandingkan nilai penyebutnya atau menyadari bahwa untuk mencapai 1, pecahan __37 membutuhkan 4 1 -an lagi. satuan __17 -an lagi, sedangkan __35 hanya membutuhkan 2 satuan __ 5 1 10. a. __ 6 1 b. __ 54
1 c. __ 24 1 d. __ 4
2 11. a. __ 9
5 d. __ 8
O
D
1 e. __ 18 1 f. __ 8
3 b. __ 4
2 e. __ 3
3 f. __ 16
T O N
Y
P
110 13. a. ___ 56 1 b. 1 __ 8
O
12. a. 2 6 atau __ 1 b. __ 48 8
C
5 c. __ 6
14. Perkalian diwakili oleh daerah yang diarsir dua kali (kombinasi). Perkalian dari dua gambar tersebut dapat ditulis sebagai berikut.
2 × a. __ 3 3 × b. __ 4
4 __ 5 7 __ 12
188 |
Jawaban Himpunan Soal
15. Ya. Daerah tersebut ditunjukkan melalui gambar yang diarsir di bawah ini.
O
D
Dikarenakan terdapat 24 potong persegi untuk dapat memenuhi semua daerah persegi 1 . panjang besar, maka hasil kalinya adalah __ 24 1 × __ 1 × __ 1 16. a. __ 3 3 2 1 × __ 1 × __ 1 b. __ 2 2 2 1 × __ 1 c. __ 3 2 3 1 × 4 __ 17. a. 31 __ 4 4
T O N
Dengan estimasi range
3 adalah di antara 31 × 4 dan 32 × 5 1 × 4 __ 31 __ 4 4 3 adalah di antara 124 dan 160. 1 × 4 __ Jadi, estimasi range dari 31 __ 4 4
Dengan bilangan kompatibel
1 × 31 __ 4
Pembulatan ke bilangan cacah terdekat
3 ≈ 31 × 5 = 155 1 × 4 __ 31 __ 4 4
Y
8 __58
P
O
3 ÷ b. 70 __ 5
)
C
(
3 ≈ 32 × 4 __ 3 = (32 × 4) + 32 × __ 3 = 128 + 24 = 152 4 __ 4 4 4
Dengan estimasi range
5 adalah di antara 70 ÷ 8 dan 71 ÷ 9 3 ÷ 8 __ 70 __ 8 5 5 adalah di antara 7,89 dan 8,75. 3 ÷ 8 __ Jadi, estimasi range dari 70 __ 8 5
Dengan bilangan kompatibel
69 353 5 = ___ 8 350 8 353 3 ÷ 8 __ 70 __ ÷ __ = ___ × __ ≈ ___ × __ = 8 8 8 70 5 5 5 69 5 Pembulatan ke bilangan cacah terdekat 3 ÷ 70 __ 5
5 ≈ 71 ÷ 9 = 7,89 8 __ 8
Jawaban Himpunan Soal
6 ÷ 18. a. __ 15 30 ÷ b. __ 32 1 19. ____ 2015
| 189
6 ÷ 3 3 = _____ 2 __ = __ 5 15 ÷ 5 3 ÷ 10 10 = 30 3 ______ = __ __ 16 32 ÷ 16 2
20. Cukup dan menyisakan __ 7 meter pagar. 10
21. Jawab sesuai pendapat yang menurut Anda paling tepat. 22. Pernyataan Bela bernilai benar ketika operasinya penjumlahan, tetapi salah untuk operasi perkalian.
O
D
1 + __ 1 + __ 1 + __ 1 + ___ 1 + ___ 1 1 + __ 1 + __ 1 + __ 1 + __ 1 + __ 23. __ 3 5 7 9 15 21 27 35 63 105 135 3 + __ 3 + __ 3 + __ 1 + __ 1 + ___ 1 + ___ 1 1 + __ 1 + __ 1 + __ = __ 7 + __ 21 15 21 27 15 21 27 35 63 105 135 11 + __ 4 + __ 1 + ___ 1 + ___ 1 4 + __ 1 + __ = __ 21 15 27 35 63 105 135 28 + ___ 20 + ___ 33 + ___ 3 + __ 1 + ___ 1 + ___ 1 = __ 63 135 135 105 63 105 135 34 + ___ 32 + ___ 21 = __ 63 105 135 96 + ___ 170 + ___ 21 = ___ 315 315 135 266 21 = ___ + ___ 315 135 798 147 = ___ + ___ 945 945
T O N
O
=1
C
26. C
Y
25. 1
P
24. Jawab sesuai pendapat yang menurut Anda paling tepat.
27. A 28. Jawab sesuai pendapat yang menurut Anda paling tepat. 29. Jawab sesuai pendapat yang menurut Anda paling tepat. 30. Jawab sesuai pendapat yang menurut Anda paling tepat. 31. Jumlah halaman yang dibaca Pascal dalam sehari adalah 5 halaman dan jumlah halaman buku tersebut adalah 240 halaman. 32. Jawab sesuai pendapat yang menurut Anda paling tepat.
190 |
Jawaban Himpunan Soal
33. Permasalahan perkalian yang tidak dapat dengan mudah dimodelkan dengan penjumlahan berulang adalah perkalian yang melibatkan pecahan sebagai pengalinya.
34. a.
b.
D
O
c.
T O N
35. Tidak selalu benar. Jika b adalah pecahan, maka hasilnya lebih besar dari 1.
O
C
36. Dikarenakan batang tebu telah dibagi 3, maka 3 orang pertama mendapatkan __13 . Kemudian untuk membagi batang tebu kepada orang keempat, maka setiap bagian dari __13 dibagi menjadi 4 bagian dan didistribusikan kepada empat orang yang ada 3 bagian. sehingga setiap orang mendapatkan __ 12
Y
P
1 __ 3
3 ___ 12
37. a.
b.
__ 5 ___ 21 ___ 11
0
0
6 24 12
__ 3
9
1 __ 2
5 __ 6
1
1
38. Istilah sama bermakna identik. Ekuivalen memungkinkan suatu pecahan memiliki numerik yang berbeda, tetapi bernilai sama. 2 pizza daging dan __ 1 pizza, dengan __ 1 pizza sayur. 39. Mendapatkan 1 __ 2 3 6
Jawaban Himpunan Soal
| 191
3 , yakni sama2 ekuivalen dengan __ 40. Jumlah yang relatif sama memiliki makna bahwa __ 8 12 sama bernilai __ 1 . 4 71 2 1 __ __ __ 41. 3 + 2 = 4 3 12 2 kue. 42. a. Laki-laki sebanyak 2 __ 3 2 kue. b. Perempuan sebanyak __ 3 c. Laki-laki sebanyak 1 kue.
D
d. Perempuan sebanyak 2 kue. 3 kue. e. Laki-laki sebanyak __ 5
O
Himpunan Soal 2
2. a. 60,07002 b. 6000,72 c. 0,067002
T O N
1. a. 0,7 b. 0,58
O
C
0 + ___ 2 = ____ 12 1 + ____ 3. a. 0,012 = __ 10 100 1000 1000 0 + ___ 0 + ____ 0 + _____ 2 21 1 b. 0,00021 = __ + ______ = ______ 10 100 1000 10.000 100.000 100.000 0 + ____ 201 2 + ___ 1 = 34 ____ c. 34,201 = 30 + 4 + __ 10 100 1000 1000
Y
P
4. a. 0,012 = nol koma nol satu dua b. 0,00021 = nol koma nol nol nol dua satu c. 34,201 = tiga puluh empat koma dua nol satu d. 233,23232 = dua ratus tiga puluh tiga koma dua tiga dua tiga dua 5. a. 600,000046 b. 646,000646 c. 646.000.000,646 6.
a. b. d. e. f.
0,2 2,6 0,000001 0,25 0,875
192 |
Jawaban Himpunan Soal
1 7. a. __ 9 1 b. __ 99 1 c. ___ 999 1 d. ____ 9999 8. a. 3,078; 3,08; 3,087; 3,80 b. 8,0019929; 8,010019; 8,01002 c. 0,5; 0,5005; 0,505; 0,55 a. b. c. d.
Per-ribuan 727,771 727,771 Puluhan
10.
a. b. c. d.
0,67 0,28 0,67 0,28
O
D
9.
0,57 0,12 0,09 0,24
= = = =
0,1 0,4 0,58 0,52
T O N
– + – +
11. Jawab sesuai pendapat yang menurut Anda paling tepat.
C
12. Jawab sesuai pendapat yang menurut Anda paling tepat. 13. Salah, yang benar adalah 0,135.
Y
P
O
0,135
14. Jawab sesuai pendapat yang menurut Anda paling tepat. 15. Jawab sesuai pendapat yang menurut Anda paling tepat. 16.
0,1089 × 9 = 0,9801 0,10989 × 9 = 0,98901 0,109989 × 9 = 0,989901 Dengan demikian, pola selanjutnya adalah 0,1099989 × 9 = 0,9899901
Jawaban Himpunan Soal
17.
1 × 2 + 2×3+ Dengan 3×4+
| 193
0,25 = (1,5)2 0,25 = (2,5)2 demikian, pola selanjutnya adalah 0,25 = (3,5)2
18. Poin (a) dan (b) karena penyebut dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian 2 dan/ atau 5 berpangkat.
D
1 bukan desimal berhingga. 19. a. __ 11 17 adalah desimal berhingga karena ___ b. ___ 17 = __ 17 , maka terdapat 4 angka di belakang 625 625 54 koma.
O
3 3 3 3 = ________ adalah desimal berhingga karena _____ = _______ c. _____ 12.800 12.800 50 × 256 2 × 5 × 162 3 3 = _______ = _____ , maka terdapat 9 angka di belakang koma. 2 × 5 × 28 5 × 2 9
20. a. b.
10
19 __ 19 __ 9 = __
10
41 3 __ ___ 0,341 = 99 =
10
90
338 338 ___ ___ 99 = ___
10
990 __
O
C
2 __19 __ 0,21 = =
T O N
17 d. ______ adalah desimal berhingga dan terdapat 23 angka di belakang koma. 219 × 523
√ 2 21. a. Belum tentu karena ___ merupakan sebuah pecahan, tetapi bukan sebuah bilangan
Y
P
2 rasional. b. Ya. c. Ya. d. Ya. e. Ya. f. Ya. g. Ya. h. Ya. i. Ya. 1 bukan bilangan bulat. j. Tidak, contohnya 1 __ 2 k. Ya. l. Ya. m. Ya. n. Ya.
194 |
Jawaban Himpunan Soal
a. 4 b. 0,032 c. 25 d. 0,4375 e. 2,29 Pendekatan dapat bervariasi, sesuai dengan preferensi dan penguasaan materi.
23.
a. b. c. d. e.
16 km/jam. 16 km/jam. 57,5 km/jam. 84 km/jam. 3,6 km/jam.
24.
a. b. c. d. e.
123,09 14,273 4,009 2 1,9
O
D
22.
T O N
25. Jawab sesuai pendapat yang menurut Anda paling tepat.
__
__
__
__
26. Berturut-turut adalah √ 5 ; √ 6 ; √ 7 ; √ 8 ; 3
C
27. 2,6 × 4,3
O
28. 0,142857; 0,285714; 0,428571; 0,571428; 0,714285; 0,857142
29. Jawab sesuai pendapat yang menurut Anda paling tepat.
Y
P
Setiap desimal memiliki perulangan dengan angka yang sama dan dimulai dari ukuran numerik yang kecil.
30. Tertutup, komutatif, asosiatif, invers, identitas, dan distributif. Contoh dapat bervariasi sesuai keinginan Anda. 31. Jawab sesuai pendapat yang menurut Anda paling tepat. 32. 1,82 meter. 33. 0,07 meter. 1 . 34. Kurang tepat karena 0,33 tidak dapat diwakili dengan __ 3 35. 1,5 × 108 kilometer.
Jawaban Himpunan Soal
| 195
36. a. Kurang lebih 8.616.438 jam atau 359.018 hari. b. Kurang lebih 1.000 tahun. c. Kurang lebih 100.000 km/jam. 37. Jawab sesuai pendapat yang menurut Anda paling tepat. 38. A 39. 0,05 40. 0,005
D
Himpunan Soal 3 5:2 3:2 1:2 10 : 1 Tidak dapat dinyatakan dalam notasi rasio.
2. Rp 2.400,00
10 = __ 20 7. a. Ada, __ 30 60 150 = ___ 10 b. Ada, ____ 64,5 4,3
Y
6. 8 sendok gula pasir.
P
5. 24 anak perempuan.
O
4. 40 + 90 = 130 km.
C
3. a. Ya, 3 : 1. b. Ya, 2 : 1. c. Tidak.
T O N
a. b. c. d. e.
O
1.
8. a. Windi salah menyimpulkan bahwa 3 : 4 > 5 : 6 karena tidak melihat sisa 2 dari 5 : 6. Jawaban yang tepat adalah 3 : 4 < 5 : 6 karena terdapat 2 keping sisa pengelompokan 5 : 6. Secara simbolis ditulis 5(3 : 4) – 3(5 : 6) = 0 : 2. b. Winda memiliki kesimpulan yang benar, tetapi belum memiliki argumen yang kuat untuk membenarkannya. Argumen yang mungkin mengapa 3 : 4 > 5 : 8 adalah dibutuhkan 1 keping lagi pada kelompok rasio 5 : 8 untuk sama dengan 3 : 4. Dengan kata lain, 5 : 8 lebih kecil dibandingkan 3 : 4.
196 |
Jawaban Himpunan Soal
c. Tidak ada strategi yang lebih baik, masing-masing memiliki keunggulan jika diterapkan pada konteks permasalahan yang sesuai. 9. Jawab sesuai pendapat yang menurut Anda paling tepat. 10. a. Kesimpulan yang tepat adalah 3 : 4 > 5 : 9. b. Tujuh keping yang tidak memiliki himpunan adalah sisa dari pengelompokan 3 : 4. Artinya, diperlukan 7 keping lagi dari 5 : 9. Hal ini dapat diverifikasi dengan 3(5 : 9) – 5(3 : 4) = 0 : 7. Dengan demikian, 5 : 9 lebih kecil dari 3 : 4. 11. Jawab sesuai pendapat yang menurut Anda paling tepat.
D
12. Jawab sesuai pendapat yang menurut Anda paling tepat.
O
1 km/jam. 13. a. 13 __ 3 b. 10 km/jam. c. 12 km/jam.
T O N
2 . Banyaknya menjadi 7,5. 1 , 2, 2 __ 1 , 1, 1 __ 14. a. Berturut-turut adalah __ 2 3 3 b. Hal itu dikarenakan setiap bungkus permen telah dibagi enam. 15. Lebih murah 16 buku dengan harga Rp 24.000,-.
O
17. Jawaban dapat Anda temukan pada Bab 5.
C
16. Bercak noda pada kedua kelompok relatif sama banyak. Anjing berbercak pada kelompok pertama adalah 2 ekor dan pada kelompok kedua adalah 3 ekor anjing.
Y
P
18. Telur asin pada wadah karton A lebih banyak dibandingkan dengan wadah karton B. Salah satu penjelasan yang mungkin adalah pada wadah karton A, jumlah telur asin adalah lebih dari setengah jumlah telur biasa, sedangkan pada wadah karton B tepat setengahnya. 19. 10 kotak. 1 20. a. 2 __ 3 1 b. 1 __ 4 5 c. 1 __ 6 1 __ d. 2
Jawaban Himpunan Soal
| 197
Himpunan Soal 4 1. a. 50 mm. b. 5a + 3b = 0. c. Gambar menyesuaikan persamaan 5a + 3b = 0. 2. a. 56 mm. b. 8p + 5q = 0. c. Gambar menyesuaikan persamaan 8p + 5q = 0. 3. Dengan membandingkan proporsi dua sisi yang saling tegak lurus dari setiap bangun.
O
D
4. Luas persegi panjang dan jajaran genjang dapat dicari dengan alas × tinggi (atau dapat ditulis dengan at). Dikarenakan tinggi jajaran genjang dua kali tinggi persegi panjang, maka luas jajaran genjang adalah 2at. Dengan kata lain, luas jajaran genjang adalah dua kali luas persegi panjang.
a. b. c. d. e.
144 m. 25 mil. 1,5 cm. 2 kaki. 8 inci.
C
6.
T O N
5. Keliling lingkaran pertama empat kali keliling lingkaran kedua. Luas lingkaran pertama empat kali luas lingkaran kedua.
O
7. 9 satuan sandal.
4
3
Y
9. a.
P
8. C
2 1 0 Senin
Selasa
Rabu
Kamis
Jumat
b. Modus = 2 dan 4; Median = 3; Mean = 3. Nilai berdekatan karena beberapa kemungkinan, misalnya karena data kecil dan tidak ada data pencil. c. Senin dan Selasa. 10. Jawab sesuai pendapat yang menurut Anda paling tepat.
198 |
Jawaban Himpunan Soal
11. __ 1 5 12. a. 1,7 meter. b. Wajar. 13. a. Kedua segitiga dikatakan sebangun karena dua pasang sudut yang bersesuaian kongruen: ∠CDR kongruen dengan ∠ADS dan ∠ASD kongruen dengan ∠CRD.
b. 11,2 meter.
1 kaki. 14. 33 __ 3
20%
O
D
15. 20%
Perempuan
80%
Laki-laki
T O N Y
P
O
C
Glosarium Array Susunan baris-kolom yang berpola.
D
Bilangan bulat Gabungan antara bilangan negatif dan bilangan cacah, terdiri dari …, -1, 0, 1, …
O
Bilangan cacah Bilangan yang digunakan untuk menghitung anggota suatu himpunan, terdiri dari 0, 1, 2, … dst.
T O N
Bilangan campuran Pecahan tak sebenarnya dengan bentuk bilangan cacah dan pecahan. Bilangan irasional Bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan. Bilangan kompatibel Sepasang atau lebih bilangan yang cocok dan mudah dilakukan perhitungan.
P
Decem Kata Latin dari desimal.
O
C
Bilangan rasional a dengan a dan b sembarang bilangan tak nol. Bilangan yang dapat dinyatakan sebagai __ b Bilangan riil Gabungan rasional dan irasional.
Desimal tak berulang Desimal tak hingga/tidak memiliki perulangan.
Y
Desimal berulang Desimal yang memiliki angka yang berulang di belakang koma.
Desimal berhingga Desimal dengan perulangannya adalah 0. Diagonal Segmen garis yang menghubungkan dua titik sudut yang tidak berdekatan (bersebelahan). Diameter Sembarang segmen garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran (atau bola) melalui titik pusat lingkaran. Dilatasi Transformasi yang menghasilkan bangun yang sebangun.
200 |
Glosarium
Ekuivalen Setara/senilai. Estimasi Perkiraan dari situasi yang sebenarnya. Feedback Respons terhadap permasalahan. FOIL Sebuah algoritma dalam perkalian aljabar. Fractio Kata Latin dari pecahan.
O
D
Frangere Membelah/memecah/bentuk lain dari fractio.
T O N
Fungsi Persamaan yang dicari dengan membuat hubungan satu tipe kuantitas terhadap yang lainnya. Fungsi linier Fungsi dalam grafik berupa garis lurus.
Geometri Cabang matematika yang menerangkan sifat-sifat garis, sudut, bidang, dan ruang.
C
Himpunan Kumpulan sebuah objek yang terdefinisi dengan jelas.
O
Holistik Berpikir secara menyeluruh, mengkaitkan berbagai hal yang berbeda-beda. Berpikir secara sistem, tidak terkotak-kotak atau tersegmentasi.
Y
Inkuiri Penemuan.
P
Hypotenuse Sisi pada segitiga yang terletak di hadapan sudut siku-sikunya/sisi miring segitiga siku-siku.
Instrumen Alat atau media untuk mengukur. Iterasi Proses penyalinan bagian secara berulang-ulang untuk mendapatkan bagian besar dari keseluruhan atau keseluruhan itu sendiri. Jari-jari Sebuah segmen garis yang menghubungkan pusat lingkaran (atau bola) ke sembarang titik pada lingkaran (atau bola). Kerapatan desimal Sebuah sifat yang menyatakan bahwa pada setiap dua desimal tak senilai, pasti memiliki desimal lain di antaranya.
Glosarium
| 201
Kerapatan pecahan Sebuah sifat yang menyatakan bahwa pada setiap dua pecahan tak senilai, pasti memiliki pecahan lain di antaranya. Komputasi Perhitungan/proses berhitung. Kongruen Sifat sebuah objek yang memiliki kesamaan ukuran dan bentuk. Konteks Permasalahan nyata/sehari-hari atau yang ada dalam pengalaman siswa.
D
Kuantitas Ukuran/nilai/besaran/jumlah.
O
Notasi baku Notasi untuk memudahkan penulisan bilangan yang besar nilainya.
T O N
Number sense Kepekaan terhadap bilangan, baik terminologi, sifat, prinsip, maupun operasinya. Partisi Mengelompokkan/membagi adil.
O
Pecahan sebenarnya Pecahan murni/sejati.
C
Pecahan a , di mana b ≠ 0. Bilangan yang dapat dinyatakan dengan pasangan bilangan cacah __ b Pecahan ekuivalen (lihat pecahan senilai).
Pecahan tak senilai Dua pecahan atau lebih yang memiliki nilai yang berbeda.
Y
P
Pecahan senilai Dua pecahan atau lebih yang memiliki nilai yang sama.
Pecahan tak sebenarnya Pecahan yang sejatinya bukan pecahan, tetapi dapat dinyatakan sebagai pecahan Pembilang Bagian yang diamati dari keseluruhan. Penyebut Banyaknya bagian yang sama besar secara keseluruhan. Penalaran proporsional Bentuk penalaran matematis yang meliputi kepekaan terhadap hubungan fungsi dan beberapa perbandingan, kemampuan menyimpan dan memproses secara mental beberapa potongan informasi dengan karakteristik utama mengenali kesamaan struktur dan konstanta fungsi dalam sistem matematika sederhana.
202 |
Glosarium
Pengukuran Pendekatan dari konsep operasi pembagian. Arti lain: suatu proses yang menunjukkan perbandingan antara atribut dari objek (atau situasi, atau peristiwa) yang diukur dan atribut yang sama dari satuan ukur tertentu. Perbandingan langsung Proses membandingkan dua atau lebih objek tanpa menggunakan perantara. Perbandingan tak langsung Proses membandingkan dua atau lebih objek dengan menggunakan perantara. Periode Jumlah digit perulangan dari desimal berulang.
D
Persen Bentuk lain dari pecahan dengan penyebut 100.
O
Phi (p) Konstanta perbandingan keliling lingkaran terhadap panjang diameter lingkaran, 22 atau 3,14. perbandingan ini secara umum menggunakan pendekatan __ 7
T O N
Probabilitas Kata lain dari peluang; kemungkinan terjadinya suatu kejadian.
Rasio Membandingkan dua buah kuantitas, atau jumlah, atau banyaknya bilangan. Regrouping Pengelompokan kembali/menyusun kembali.
Terminating decimals (lihat desimal berhingga).
Y
Skala Menunjukkan perbandingan ukuran pada gambar.
P
Scientific notation (lihat notasi baku).
O
C
Satuan Suatu ukuran kuantitas dari bagian/objek yang sama dengan aslinya.
Terminologi Makna/arti suatu istilah. Ukuran relatif Ukuran yang dipandang tepat, tetapi memiliki interpretasi berbeda-beda. Unitizing Proses kognitif/mental yang digunakan untuk menetapkan unit/satuan untuk kuantitas yang diberikan.
Indeks A
O
D
Aditif 2, 110, 113, 118, 119, 138, 164. Algoritma 3,6, 26, 36, 37, 38, 44, 45, 47, 48, 50, 52, 53, 58, 59, 75, 77, 78, 81-83, 85, 86, 128, 129. Aljabar 2, 3, 10, 110, 139, 141144. Array 26.
F
Feedback 55. FPB 26, 27, 53. FOIL 54. Fractio 10. Frangere 10. Fungsi 32, 68, 110, 125, 144, 154, 167. Fungsi linier 144, 145, 174.
K
Kalkulus 3, 110. Keliling 148, 149, 151, 174. Kerapatan desimal 65, 70, 72. Kerapatan pecahan 9, 30-32. Kesebangunan 110, 149, 150. Komputasi 3, 4, 41, 56. Komputasi mental 9, 52, 53. Kongruen 11, 149, 198. Konteks 2, 12, 15, 47, 119, 124. Kosakata 15, 153. Kuantitas 2, 4, 12, 13, 15, 21, 110, 112-115, 120, 121, 123, 125, 126, 127, 137, 142, 165. Kurva 166.
L
Geometri 3, 17, 18, 87, 110, 139, 141, 142, 145. Gradien 110, 144. Grid 17, 74.
Lingkaran 15, 16, 34, 42, 139, 148, 149, 164, 165, 174, 176, 177. Luas 23, 58, 60, 95, 97, 98, 122, 130, 146-148, 174.
H
M
Himpunan 10, 13, 21, 24, 35, 38, 52, 88, 95, 114, 138, 159, 163, 170, 171. Himpunan bagian 114. Hubungan berbanding terbalik 126, 137. Hypotenuse 97.
I
Imajiner 95. Inkuiri 47. Iterasi 14, 19, 20, 62.
J
Jari-jari 148, 174.
Y
P
O
Decem 66. Desimal 2-5, 65-77, 79-81, 83107, 112, 130-132, 142, 154, 165. Desimal berhingga 90-92, 94, 103. Desimal berulang 90-94, 103. Desimal tak berulang 94, 97. Derajat 164, 176. Diameter 88, 149.
G
C
Bilangan bulat 10, 87-89, 104, 167. Bilangan cacah 5-7, 10, 13, 30, 31-34, 41, 45, 47, 49, 50, 53, 56, 60, 66, 68-70, 72, 74, 76, 79, 81, 85, 88, 89, 95, 102-104, 119, 127, 128, 165. Bilangan campuran 9, 20, 33, 36, 41, 44, 69, 104. Bilangan irasional 65, 94, 95, 97. Bilangan khayal 94-95. Bilangan kompatibel 56, 60. Bilangan rasional 10, 65, 88, 89, 94, 97, 104, 106, 110, 142, 193. Bilangan riil 94-96.
D
Ekuivalen 3, 5, 10, 62, 66, 72, 84, 106, 109, 115, 117, 119, 120, 123, 124, 144, 157. Estimasi 9, 52, 55, 56, 60, 65, 73, 76, 96, 97, 155, 169.
T O N
B
E
Multiplikatif 2, 3, 110-113, 115, 118, 119, 130, 138, 144, 157, 164.
N
Notasi baku 65, 87, 88, 106. Number sense 31, 52. Numerasi 69, 88, 101.
P
Partisi 12-15, 19, 20, 27, 43, 47, 49, 62, 84, 85. Pythagoras 97, 99, 100, 123. Pecahan 2-4, 6, 9-15, 17-21, 23, 26-35, 37-43, 45-49, 52-62,
204 |
Indeks
O
D
T O N
Penalaran proporsional formal 112. Penalaran kualitatif 111. Penalaran kuantitatif 111. Penalaran mekanistis 123. Pengurangan berulang 6, 7, 34, 47-49. Penjumlahan berulang 34, 41, 62, 79, 83. Penyebut 10, 11 23, 26-29, 33, 35, 37-43, 47, 48, 50, 52, 53, 58-62, 71, 72, 81, 88, 90, 124, 130, 135. Periode 91, 93, 167, 168. Proporsi 3, 10, 109, 115, 116, 120, 124, 126-128, 130, 132, 138, 142-144, 149, 151, 154, 162, 167. Proporsionalitas 142, 144, 146, 149, 162, 169, 173. Probabilitas 10, 110, 139, 142, 153, 154, 157-161. Probabilitas eksperimental 158, 159. Probabilitas teoretis 157, 159.
S
Scientific notation 87. Sistem numerasi 69. Skala 110, 125, 126, 149, 151, 162, 174. Spinner 153-158. Statistika 3, 110. Sudut 99, 122, 144, 164, 165, 176.
T
Teorema pythagoras 97, 99, 100. Terminologi 14, 88. Trigonometri 3, 110.
U
Uji kesamaan 28, 29. Uji ketaksamaan 29. Ukuran relatif 96, 104. Unitizing 2, 119, 121.
C
R
Rasio sepihak 124, 125. Rasio antarpihak 124, 125. Rate 115, 119, 138. Repetend 91.
O
Rasio 2, 3, 10, 11, 13, 109-110, 112-120, 123, 124, 126, 128, 130, 132, 135-138, 142-144, 146, 149, 150, 152, 154, 157, 164.
Y
P
66-72, 74, 76-78, 80-86, 88-90, 92-94, 101, 103, 104, 112, 121, 128, 130-132, 134, 138, 142, 154, 164, 167, 171. Pecahan sebenarnya 33, 41, 43, 58. Pecahan senilai 9, 18, 21-24, 2628, 34, 36, 112, 116, 120, 123125, 128, 133, 134, 142. Pecahan tak sebenarnya 9, 20, 33, 36, 44, 58. Pecahan tak senilai 9, 28, 29, 31. Pengukuran 10-12, 19, 47, 71, 84, 112, 139, 141, 142, 145148, 176. Perbandingan 3, 11, 24, 61, 109112, 114-117, 120, 123, 138, 145, 146, 148,149, 153, 162, 164, 167,174. Perbandingan langsung 146, 147. Perbandingan tak langsung 146, 147, 148. Persen 2, 3, 109, 112, 130,-134, 138, 142, 154, 164, 167, 177. Pembilang 10, 11, 23, 26-29, 33, 38, 41-43, 48, 53,58, 60-62, 124, 135. Pembulatan 56, 60, 73, 76. Penalaran nonproporsional 110. Penalaran proporsional 1-4, 8, 109, 110, 112, 118, 139, 141, 142, 145, 153, 161, 167.
Profil Penulis Yoppy Wahyu Purnomo, lahir di Wonogiri pada
O
D
T O N
tahun 1985. Menempuh jenjang SD, SMP, SMA di daerah asalnya tersebut. Pada tanggal 12 Februari 2009, Ia mendapatkan gelar Sarjana Pendidikan Matematika dari Universitas Muhammadiyah Surakarta. Pada tanggal 26 Januari 2011, Ia mendapatkan gelar Magister Pendidikan Matematika dari Universitas Sebelas Maret Surakarta. Saat ini, Ia tengah menempuh program Doktoral di bidang Pendidikan Matematika. Pengalaman mengajar diawali sebagai guru matematika di SMK Muhammadiyah Sukoharjo (2007), guru matematika di SMAN 3 Wonogiri (2008), guru matematika dan bahasa Inggris di SMPN 3 Satu Atap Jatipurno (2009-2011) dan saat ini merupakan dosen di Universitas Muhammadiyah Prof. DR. HAMKA dan beberapa universitas swasta di Jakarta. Fokus penelitian yang diminati antara lain number sense, penalaran proporsional, assessment based learning, mathematical content knowlege for teaching, beliefs system, dan psikologi kognitif.
Y
P
O
C
O D
T O N
Y P O C
