PEMANFAATAN SOLVER PADA OMPTIMISASI DISTRIBUSI ALIRAN TIGA TURBIN PEMBANGKIT LISTRIK

PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW

PEMANFAATAN SOLVER PADA OMPTIMISASI DISTRIBUSI ALIRAN TIGA TURBIN PEMBANGKIT LISTRIK Andreas Setiawan Program Studi Fisika dan Pendidikan Fisika, Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Email : [email protected]

ABSTRAK Perusahaan The Great Northern Paper Company di Milinocket, Maine, bergerak dalam bidang percetakan dan berbagai produk kertas. Guna memenuhi kebutuhan energi maka perusahaan mengoperasikan enam turbin pembangkit listrik hydro, dimana kurva tenaga masing-masing turbin memiliki kerakteristik yang berbeda. Dengan persamaan Bernoulli dilakukan modeling untuk setiap turbin dan didapatkan persamaan KW1 = (-4.08x10-5Q12 + 0.1277Q1 – 18.89) x (170- QT2x 6.10-6), KW2 = (-4.69x10-5Q22 + 0.1358Q2 – 24.51) x (170- QT2x 6.10-6), KW3 = (-3.84x10-5Q32 + 0.1380Q3 – 27.02) x (170- QT2x 6.10-6). Karena debit air bisa bernilai dibawah minimal debit maka ada kemungkinan tidak semua turbin beroperasi, oleh sebab itu dalam penyelesaian optimisasi digunakan optimisasi mixed integer yaitu ditambahkan parameter kendala on/off turbin yang bernilai 0 atau 1. Programing diselesaikan menggunakan Solver Excel yang hasilnya pada debit 250cfs sampai 750cfs optimal jika dioperasikan turbine #1, untuk 750cfs sampai 1225cfs optimal untuk turbin #3 dan diatas 2000cfs akan optimal jika semua turbin beroperasi dengan proporsi pembagian debit mengikuti fungsi tertentu. Kata kunci: Optimisasi, Pembangkit listrik hydro, Kurva tenaga, Concavity

PENDAHULUAN Perusahaan The Great Northern Paper Company di Milinocket, Maine, bergerak dalam bidang percetakan dan berbagai produk kertas. Guna memenuhi kebutuhan energi maka perusahan mengoperasikan enam turbin pembangkit listrik hydro yang berada di sungai Penoboscot. Kasus optimisasi yang diselesaikan berada pada percabangan sebelah barat dari sungai Penoboscot, yang mendapat suplai air dari dam danau Ripogenus.

Gambar 1. Kota Milinocket dengan latar belakang Gunung Katahdin. Guna menyalurkan air digunakan pipa dengan diameter 16 kaki dan panjang ¾ mile membentang sepanjang dam hingga stasiun pembangkit listrik, dengan perbedaan ketinggian/elevasi 170 kaki. Debit air yang mengalir melalui pipa bervariasi tergantung dari kondisi air dalam penampungan. 189

PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW

Pengaturan katup dan pintu air distribusi dilakukan secara manual menuju ke 3 turbin pembangkit listrik. Karakteristik 3 turbin ini sudah diketahui dan memiliki “power curves” yang berbeda-beda dalam menghasilkan tenaga listrik sebagai fungsi debit air yang melewatinya. Masalah yang dihadapi adalah mengatur distribusi air untuk setiap turbin pembangkit listrik agar menghasilkan energi yang maksimum untuk berbagai skenario debit air yang ada.

MODELING MASALAH Untuk melakukan pemecahan masalah maka langkah pertama adalah melakukan formulasi matematika dan membangun model matematis dari kasus diatas. Pembangkit listrik hydro ini memanfaatkan turbin dan generator untuk mengubah tenaga mekanis menjadi arus listrik. Perubahan ini didapat dengan memanfaatkan perubahan energi potensial akibat perbedaan ketinggian/elevasi suatu tempat. Persamaan dasar yang menghubungkan antara suatu aliran cairan dan energi yang dihasilkan diberikan oleh Daniel Bernoulli pada tahun 1738 yang disebut sebagai persamaan Bernoulli. Persamaan ini dihasilkan dengan menerapkan prinsip konservasi energi dan mekanika aliran. Dalam kasus ini persamaan Bernoulli berbentuk

Dari pengukuran debit aliran dan tenaga listrik masing-masing turbin pembangkit listrik didapatkan data seperti Tabel 1. Dalam kasus ini perbedaan elevasi Zh dan Zt adalah 170 kaki. Faktor yang utama dalam f adalah jumlah energi hilang selama mengalir dalam pipa. Para teknisi menggunakan estimasi hasil eksperimen f =QT2x 6.10-6 dimana QT adalah debit total yang mengalir dalam kubik kaki per detik (cfs). Efisiensi η masing-masing turbin berbeda, yang merupakan fungsi debit Q. Dari data Tabel 1 untuk Turbin 1 dapat digambarkan power curve-nya seperti gambar 2. Tabel 1. Data debit dan power generator. Debit(cfs)

Turbine (Killowatt)

QT

Qi

1

2

2000

250

1715.346

1064.832

831.088

2000

300

2576.373

1964.672

1787.166

2000

350

3404.025

2826.149

2711.834

2000

400

4198.303

3649.262

3605.09

2000

450

4959.207

4434.01

4466.934

2000

500

5686.736

5180.394

5297.368

2000

550

6380.891

5888.414

6096.39

2000

600

7041.671

6558.07

6864.002

2000

650

7669.077

7189.361

7600.202

2000

700

8263.109

7782.288

8304.99

2000

750

8823.766

8336.852

8978.368

2000

800

9351.049

8853.05

9620.334

2000

850

9844.957

9330.885

10230.89

2000

900

10305.49

9770.356

10810.03

2000

950

10732.65

10171.46

11357.77

2000

1000

11126.44

10534.2

11874.09

2000

1050

11486.85

10858.58

12359

2000

1100

11813.88

11144.6

12812.5

2000

1150

13234.59

2000

1200

13625.26

190

3

PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW

14000 y = -0.0067x 2 + 20.892x - 3090.4

12000

P ow er(Kw )

10000 8000 Turbine 1 6000

Poly. (Turbine 1)

4000 2000 0 0

200

400

600

800

1000

1200

Debit Q(cfs)

Gambar 2. Power Curves – Turbine 1 Dari persamaan estimasi y = -0.0067x2 + 20.892x - 3090.4 karena sumbu y adalah power KW1 dan sumbu x adalah debit Q1 maka persamaan menjadi KW1= -0.0067Q12 + 20.892Q1 - 3090.4, atau konstanta polynomial p2=-0.0067, p1=20.892, p0= -3090.4 Persamaan estimasi tersebut sudah mengandung suku (Zh-Zt-f) dimana Zh-Zt=170 kaki dan nilai estimasi f=QT2x 6.10-6. Dari Tabel 1 didapatkan QT=2000cfs maka nilai (Zh-Zt-f)=(170-20002x 6.10-6)= 163.6. Sehingga untuk memunculkan suku (Zh-Zt-f) maka nilai konstanta polinomial harus dibagi dengan 163.6. Nilai konstanta polinomial yang baru : p2= -0.0067 / 163.6 = -4.08x10-5 p1= 20.892 / 163.6 = 0.1277 p0= -3090.4 / 163.6 = -18.89 Persamaan yang baru menjadi : KW1= (-4.08x10-5Q12 + 0.1277Q1 – 18.89) x (170- QT2x 6.10-6). Hal yang sama dapat dilakukan untuk turbin 2 dan 3. Secara lengkap persamaan masing-masing turbin adalah: 250 ≤ Q1 ≤ 1110 (2) KW1 = (-4.08x10-5Q12 + 0.1277Q1 – 18.89) x (170- QT2x 6.10-6), 250 ≤ Q1 ≤ 1110 (3) KW2 = (-4.69x10-5Q22 + 0.1358Q2 – 24.51) x (170- QT2x 6.10-6), 250 ≤ Q1 ≤ 1225 (4) KW3 = (-3.84x10-5Q32 + 0.1380Q3 – 27.02) x (170- QT2x 6.10-6), dimana : Qi = aliran air yang mengalir melalui turbin i (cfs) KWi = tenaga listrik yang dihasilkan turbin i (kilowatt) QT = total debit yang melalui pembangkit listrik (cfs). Koefisien polynomial dalam persamaan (2),(3) dan (4) sudah termasuk faktor skala yang mentransformasi energi mekanis menjadi tenaga listrik dalam kilowatt. Batasan Qi menampilkan kenyataan bahwa batas debit minimal yang masih mampu menggerakan turbin adalah 250cfs. Terlihat juga bahwa batas maksimal debit generator ke 3 lebih tinggi dari generator 1 dan 2. Jika semua generator beroperasi maka masalah yang dihadapi adalah proporsi distribusi debit agar mendapatkan tenaga listrik yang paling maksimum, atau secara matematis dapat dinyatakan: (5) Maximize KW1 + KW2 + KW3 subject to Q1 + Q2 + Q3 = QT 250 ≤ Q1 ≤ 1110, 250 ≤ Q2 ≤1110, 250 ≤ Q3 ≤ 1225. 191

PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW

Selain skenario tiga generator beroperasi semuanya akan diperhitungkan juga skenario lain jika debit mengalami penurunan drastis sehingga tidak mungkin mengoperasikan semua generator.

PENGUJIAN CONCAVITY Untuk mengetahui apakah fungsi(5) memiliki nilai optimum maka dilakukan pengujian concavity menggunakan matrik Hessian yang akan menghitung nilai eigen dari fungsi tersebut. Persamaan (2),(3) dan (4) dapat disederhanakan menjadi persamaan (5),(6) dan (7) dimana a,b,c adalah konstanta-positif pada fungsi tersebut. Suku (170- QT2x 6.10-6) dapat dihilangkan karena merupakan konstanta dengan nilai positif. (5) (6) (7) (8)

KW1=c1+b1Q1-a1Q12 KW2=c2+b2Q2-a2Q22 KW3=c3+b3Q3-a3Q32 f=KW1+KW2+KW3= c1+b1Q1-a1Q12+ c2+b2Q2-a2Q22+ c3+b3Q3-a3Q32

f  b1  2 a1Q1 Q1

2 f   2 a1 2 Q1

f b2 2a2Q2 Q2

2 f  2a 2 2 Q 2

f  b3  2a3Q3 Q3

2 f Q3

2

 2a3

2 f 0  Q1Q 2

2 f 0 Q3 Q1

2 f 0 Q1Q3

2 f  0 Q 2 Q1

2 f 0 Q2 Q3

2 f 0 Q3Q2

 2a1 H   0  0

0  2a 2 0

0  0   2a 3 

Hasil perhitungan matrik Hessian dari fungsi(5) didapatkan matrik H yang ternyata merupakan matrik diagonal maka nilai eigen H adalah e  2a , e 2  2a2 dan e 3  2a 3 . Karena nilai a1, a2 dan a3 adalah positif bukan nol maka keseluruhan nilai eigen adalah negative-definite. Dengan H memiliki keseluruhan nilai eigen negative-definite maka dapat disimpulkan fungsi f adalah strictly-concave yang dapat dilakukan optimisasi. 1

1

PROGRAMMING DENGAN SOLVER Untuk menyelesaikan kasus tersebut digunakan Solver yang merupakan tool dalam Excel. Tiga hal yang perlu ditentukan dalam penggunaan Solver: a. Menentukan target yang ingin dicapai b. Menentukan kendala yang harus dipenuhi c. Menentukan sel yang akan diubah agar target dipenuhi Dari table fungsi KW1,KW2,KW3 dan kendala yang telah disiapkan maka parameter-parameter Solver dapat dilengkapi sepeti pada gambar 3 dan 4. Setelah dilakukan solving maka detil dari hasil yang didapatkan dapat diperiksa pada lembaran Answer Report, Limits Reports dan Sensitivity Reports. Salah satu tampilan Answer report untuk debit total 2100cfs seperti pada gambar 5.

192

PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW

Gambar 3. Tabel fungsi dan kendala

Gambar 4. Pengisian parameter Solver

Gambar 5. Tampilan Answer Report

193

PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW

Untuk mencari kombinasi turbin yang optimum maka dipasang sebuah parameter kendala on/off berupa constrain biner 0 atau 1 yang berguna untuk mematikan atau menghidupkan turbin. Teknik ini perlu digunakan jika jumlah debit tidak cukup untuk mengoperasikan keseluruhan turbin. Hasil pengujian berbagai debit disusun pada table 2. Tabel 2. Distribusi debit turbin untuk berbagai debit total. DEBIT(cfs) Total

Turbin1

Turbin2

Turbin3

250 300 330 350 400 450 500 530 550 600 630 650 750 800 900 1000 1200 1225 1500 1600 1800 2000 2500 3000 3445 3500 4000

250 300 330 350 400 450 500 530 550 600 630 650 0 0 0 0 0 0 662 711 808 607 777 948 1110 1110 1110

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 614 763 911 1110 1110 1110

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 750 800 900 1000 1200 1225 838 889 992 779 960 1141 1225 1225 1225

POWER (kilowatt) 1781.4015 2674.8922 3194.0625 3533.1118 4355.9705 5143.3886 5895.2960 6329.3699 6611.6325 7292.3478 7683.6614 7937.4012 9280.2080 9936.4647 11147.2855 12222.4720 13966.3937 14146.3612 18208.3001 19343.2654 21383.6726 23224.7507 28411.6805 32089.1942 34043.3262 34043.3262 34043.3262

1400 1200

DEBIT(cfs)

1000 800 600 400 200 0 0

1000

2000

3000

4000

5000

DEBIT TOTAL(cfs) Turbin 1

Turbin 2

Turbin 3

POWER (x50 KW)

Gambar 6. Kurva debit masing-masing turbin. Secara umum keseluruhan pola proporsi debit untuk masing-masing turbin dan tenaga total yang dihasilkan dapat dilihat pada grafik 6.

194

PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW

KESIMPULAN Dari pengujian concavity terbukti fungsi adalah strictly-concave sehingga dapat dilakukan optimasi dalam hal ini dengan bantuan tool Solver Excel. Adapun untuk scenario dengan debit minimal atau antara 250cfs hingga 750cfs maka cukup turbin #1 yang dioperasikan, kemudian diikuti dengan turbin #3 untuk debit antara 750cfs sampai 1225cfs. Pengoperasian keseluruhan turbin baru akan optimal jika debit berada diatas 2000cfs. Pada debit maksimal diatas 3000cfs maka power listrik akan konstan pada 34043 Kilowatt. Pada debit maksimal ini perlu dibuat pintu buangan air untuk mecegah kerusakan turbin karena debit maksimal untuk masing-masing turbin adalah 1110cfs dan 1225cfs.

DAFTAR PUSTAKA [1] [2] [3] [4]

Thomas F.Edgar, David M. Himmelblau, Optimization of Chemical Processes,Mac.Graw Hill, 2001 A. Fauzi, Analisis Data dengan Excel 2007, Elex Media Komputindo, 2007 Hydro-Turbine Optimization, Math 237, Project B, Spring 2005 http://en.wikipedia.org/wiki/File:Millinocket,_Maine_%26_Mount_Katahdin.jpg, 15/04/2009.

195