PEMABAHASAN SOAL-SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP TAHUN 2007
MATA PELAJARAN MATEMATIKA
OLEH: ROHADI USMAN M, S.Pd GURU SMP NEGERI 6 WATAMPONE KAB. BONE
SOAL PILIHAN GANDA 1. Urutan bilangan-bilangan 25555 ,52222, dan 33333 dari yang terkecil sampai yang terbesar adalah ……………. A.25555, 52222, 33333 B.52222, 33333, 25555 C. 33333, 25555, 52222 D. 52222, 25555, 33333 E. 33333, 52222, 25555 Jawab: B Pembahasan: 25555=(25)1111=321111 . 5222=(52)1111=251111 33333=(33)1111=271111 Jadi urutan bingan dari yang terkecil sampai yang terbesar adalah 251111 , 271111 ,321111 52222 , 33333 , 25555 2. Misalkan a, b, dan c bilangan bulat. Pernyataan-pernyataan berikut yang salah adalah……… A. Jika a membagi b dan b membagi c, maka a membagi c B. Jika a membagi b dan c, maka a membagi b+c C. Jika a membagi b dan c, maka a membagi bc D.Jika a membagi c dan b membagi c, maka ab membagi c E. Jika a membagi b, maka a membagi bc.
Pembahasan: Jawab: D. Jika a membagi c dan b membagi c, maka ab membagi c. A. Jika a membagi b dan membagi c, maka a membagi c B. Jika a membagi b dan c, maka a membagi b + c C. Jika a membagi b dan c, maka a membagi bc D. Jika a membagi c dan b membagi c, maka ab membagi c E. Jika a membagi b, maka a membagi bc.
Pernyataan ” Jika a membagi c dan b membagi c, maka ab membagi c” adalah salah. Ambil a = 4, b = 6, dan c = 12. 4 membagi 12 dan 6 membagi 12 tetapi 4 x 6 = 24 tidak membagi 12. 3. Misalkan untuk bilangan bulat a dan b didefenisikan a * b =
ab 2
,Untuk semua
bilangan bulat a ,b, dan c I. a * b =b * a II. a * a =a III. a *(b*c)=(a*b)*c Pernyataan yang benar adalah…………… A. I saja B. II saja C. III saja D I, dan II saja E. I, II, dan III saja Jawab: D. I dan II saja. ab ba I. a * b = = =b*a 2 2 II. a * a =
a a 2a =a 2 2
a b 2c b c 2a b c III. a * (b * c) = a * , sedangkan (a * b) * c = = 4 4 2
4. Bilangan cacah lima-digit dengan digit pertama tidak nol dan jumlah semua digitnya sama dengan 2 ada sebanyak……………. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 Jawab : E Pembahasan : Misalkan bilangan cacah lima digit itu adalah abcde a+b +c +d +e =2 , a 0 Bilangan cacah itu adalah : 11000 10100 10010 10001 20000 Bilangan cacah tersebut ada sebanyak 5.
5. Perhatikan Gambar 1 d
f
h
e
c
g
i
b
a Gambar 1
Nilai dari a + b + c + d + e + f + g + h + i adalah…………… A. 360 B. 540 C. 720 D.900 E. 1.260 Jawab : E d
f
h
e
c
g
i
a
b
Nilai dari a + b + c + d + e + f + g + h + i = 7 x 180 = 1.260 6. Suatu bilangan kuadrat jika dibagi 3, maka kemungkinan sisanya adalah………….. A. 0 B. 1 C. 2 D. 0 dan 1 E. 0, 1, atau 2 Jawab : D Pembahasan: K = Bilangan kuadrat K = 1, 4, 9, 16, 25, 36, … 4 : 3 sisa 1 9 : 3 sisa 0 16 : 3 sisa 1 25 : 3 sisa 1 Suatu bilangan kuadrat jika dibagi 3 kemungkinan sisanya 0 atau 1
7. Seorang pedagang membeli 25 kg bera jenis A seharga Rp. 6000,00 setiap kg dan 15 kg beras jenis B sehrga Rp. 4.000,00 setiap kg. Kedua jemis beras tersebut kemudian di campur. Agar mendapat untung 4%, setiap kg beras tersebut dijual seharga Rp………… A. B. C. D. E.
5.200,00 5.460,00 5.520,00 5.580,00 6.240,00
Jawab: B 5.460,Harga beli per kg beras campuran adalah
25 6000 15 4000 5250, 25 15
Agar untung 4%, maka beras harus dijual seharga 104% dari harga beli. Dengan demikian, harga jual beras per kg adalah 104% x 5250 = Rp. 5.460,8. Jika f fungsi dari himpunan bilangan asli ke himpunan bilangan asli yang memenuhi f( x ) + f( x + 1 ) = 2x2 dan f ( 31 ) = 99 , maka f (99 )………….. A. 8.673 B. 8.772 C. 8.871 D. 9.505 E. 9.604 Jawab : C Pembahasan : f(x) + f(x+1) = 2x 2 f(31) = 99 f(31) + f(32) =2 x 312 99 + f(32) = 2 x 961 f(32) = 1.922 – 99 f(32) = 1.823
f(33) = 2 x 322 -1.823 = 225 f(34) = 2 x 332 -225 =1.953
f(35) = 2 x 342 – 1.953 = 359 f(36) = 2 x 352 – 1.953 = 2.091 f(37) = 2 x 352 – 1.953 = 501 f(31)= 99 f(33) = 225 f(35) = 359
31, 33, 35, 37, … , 99 Un = a + (n-1)b = 31 + (n-1)2
f(37) = 501 . . . f(99) = ……
31 + (n-1)2 =99 31 + 2n – 2 = 99 2n = 99 -29 n = 35 U35 = f(99)
99, 225, 359, 501, ……,……..,….. 126
134 8
142
U35 = 99 + (n-1 )126 + (n-1)(n-2)8 = 99 + 4.284 + 4.488 = 8.871
8 0
Jadi f(99)= 8.871
9.Diketahui suatu segitiga dan setengah lingkaran seperti pada gambar. Jika panjang sisi segitiga tersebut adalah 14 cm, maka luas daerah yang diarsir adalah ……. Cm2 A. 49 3 14 B. 49 3 24 1 2 C. 48 3 18 34 D. 48 3 18 12
Jawab.C Pembahasan:
C
P
A A
30o
O
O
B B
Karena AB = 14 cm, maka luas segitiga ABC =
1 14 2 3 = 49 3 cm2. 4
Perhatikan AOP siku-siku di P (sifat garis singgung). Karena ABC sama sisi, maka CAB = 60o. Akibatnya, AOP = 30o. AO = ½ AB = 7 cm, maka AP = Luas Setengah lingkaran =
7 7 cm dan OP = 3 cm. 2 2
1 OP 2 2 2
=
1 7 3 2 2
=
147 3 = 18 cm2 8 8
3 Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 49 3 - 18 cm2 8
10. Suatu lapangan rumput berbentuk persegi ABCD seperti gambar 3 dengan panjang AB = 7 m. Seekor kambing diikat di E dengan tali sepanjang 4m. Jarak AE= 2m. Luas daerah rumput yang dapat dimakan kambing tersebut adalah………m2 . A. 2 3
16 3
A
B
B. 2 3 4 C. 2 2
E
16 3
D. 8 4 D Jawab : C Pembahasan : 2 3 E A
B
2 30 E 4 D
C
Luas daerah rumput yang dapat dimakan kambing adalah:
C
Luas
1 Luas lingkaran + Luas juring 30 + Luas AOE 4
1 1 30 2 .a.t + 2 4 360 1 1 30 2 2 = 4 + .2.2 3 + 4 4 2 360 4 = 2 3 4 3 16 = 2 3 3
= 2 +
11. Banyak jalan terpendek dari P ke Q adalah……. A. 4 P B. 16 C. 22 D. 60 E. 80 Jawab : D Penyelesaian : P C D
A
Q
B Q
Melalui : PD = 1 jalan A ke Q = 5 jalan P ke A = 4 jalan B ke Q = 3 jalan P ke B = 12 jalan C ke Q = 1 jalan P ke C = 3 jalan Jadi dari P ke Q ada : 4 x 5 + 12 x 3 +3 x 1 = 20+36+4=60 jalan 12. Pada pukul 10.15 penerjun payung melompat dari pesawat udara sambil membuka parasutnya. Setelah 8 detik, ketinggiannya 2.000 meter dari permukaan tanah. Lima detik kemudian ketinggiannya 1.900 meter. Misalkan mulai detik ke-8 sampai dengan satu menit kecepatannya tetap. Ketinggiannya pada pukul 10.16 adalah………..meter. A. 860 C. 94 B. 890 D. 960 E. 980 Jawab : D Pembahasan : Waktu 5 detik jarak yang dilalau =2.000 – 1.900 = 100 meter
V=
100 20 m det 5
Jarak yang dilalui dalam 8 detik = 8 x 20 = 160 m Ketinggian awal = 2000 + 160 =2.160 m Dari pukul 10.15 sampai pukul 10.16 waktu yang di gunakan ( t ) = 1 menit = 60 det Jarak yang dilalui dalam 60 det = 60 x 20 = 1.200 m Ketinggian pada pukul 10.16 = 2.160 – 1.200 = 960 m 13. Desi merayakan hari ulang tahun pada tanggal 27 desember 2006. Jika pada hari tersebut usia desi sama dengan jumlah digit dari angka tahun kelahirannya, maka Desi lahir pada tahun………. A. 1994 B. 1992 C. 1989 D. 1984 E. 1979 Jawab : D Pembahasan : Misal tahun kelahiran Desi adalah abcd maka : 2006 – abcd = a + b + c + d 2006 – 1984 = 1 + 9 + 8 + 4 22 = 22 Jadi abcd = 1984 14. Suatu barisan hanya terdiri bilangan 1, 2, 3, 4, dan 5. Jika barisan tersebut adalah 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4,…, maka suku ke-100 dari barisan tersebut adalah ……… A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 Jawab : D Pembahasan : U1 , U2 ,U3 ,…. 1 , 2 , 2 , 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, …….., , x 1
2
3
4
U100 = x Sn = 100 ( 1 + 2 + 3 + 4 +…+ n ) n = …… Sn =
n (n 1) 100 2
5
6
7
…
100
n = 14 Sn= 7 .15 = 105 Untuk n = 14 ada 105 suku x = 14 – 2 . 5 = 14 -10 = 4 Jadi suku ke-100 adalah 4 15. Konstanta dari ( 3x3 - 2x )8 adalah …… A. 14.328 B. 15.552 C. 16.112 Jawab : D Pembahasan : ( 3x3 -
2 x
D. 16.128
E. 17.128
2 2 2 ) + 28( 3x3 )6 ( )2 - 56 ( 3x3 )5 ( )3 + x x x 2 2 2 2 - 56( 3x3 )3 ( )5 + 28( 3x3 )2 ( )6 - 8( 3x3 ) ( )7 + ( )8 x x x x
)8 = ( 3x3 )8 - 8( 3x3 )7(
70( 3x3 )4 (
2 4 ) x
Konstanta = 28( 3x3 )2 (
2 6 ) x
= 28 . 32 . 26 = 28 . 9 .64 = 16.128 16. Banyak bilangan asli yang kurang dari 10.000 dengan jumlah digit pertama dan digit terakhirnya sama dengan 11 adalah ……. A. 999 B. 888 C. 800 D. 444 E. 400 Jawab : B Pembahasan : A 10.000 ; A = Bilangan asli 2……9 Digit I + digit II = 11 3……8 Untuk 4 digit 4……7 2 … … 9 5……6 8 10 1 10 6……5 7……4 Banyak bilangan 4 digit = 8 . 10 .10 .1 = 800 8……3 9……2 Untuk 3 digit 2 … 9 8
10
1
Banyak bilangan 3 digit = 8 . 10 .1 = 80
Untuk 2 digit 2 9 8
1
Banyak bilangan 2 digit = 8. 1 = 8 Jadi banyaknya bilangan asli yang dimaksud = 800 + 80 + 8 = 888
17. Perhatikan gambar 5. Jika bilangan pada daerah persegi tidak diarsir diperoleh dengan menjumlahkan dua bilangan pada persegi tidak diarsir di bawah dan terhubung dengannya, maka nilai x adalah ………. A. 1 B. 6 6x C. 9 D. 27 E. 54 Jawab : C 1
x
8
Gambar.5
Pembahasan : 2x + 7
x+1
1
6
x + 20
x+6
x
14
6
8
2x + 7 + x + 20 = 6x 3x + 27 = 6x 3x = 27 x=9 18. Perhatikan Gambar 6. Diketahui PQRS adalahmjajar genjang dan misalkan garis SU memotong diagonal PR di titik T, memotong ruas garis QR di titik U, dan memotong garis QR, dan memotong garis PQ di titik V. S R T U P
Q Gambar 6
V
Jika panjang ruas garis ST 16 cm dan panjang ruas garis TU 8cm, maka panjang ruas garis UV adalah……. Cm. A. 12 B. 18 C. 20 D. 22 E. 24 Jawab : E Pembahasan :
S
R T
16
x
U
8 P
p V
Q
PTS RTU ST PS TU RU
16 x 8 RU
RU
x 2
QU
x 2
QUV PSV x p 2 p 24 x
p 1 p 24 2
2 p p 24
p 24
19. Dua mata uang dilempar empat kali berturet-turut. Peluang muncul angka pertama kali pada pelemparan keempat adalah …….. A.
1 44
Jawab: C.
B.
2 44
C.
3 44
D.
1 42
E.
1 4
3 44
Misalkan kedua sisi mata uang adalah A(angka) dan G(gambar), maka peristiwa yang dapat terjadi dalam setiap kali pelemparan adalah; AA, AG, GA, dan GG. Dengan demikian, banyak peristiwa dalam empat kali pelemparan adalah 44. Peristiwa munculnya angka(A) pertama pada pelemparan keempat berarti pada pelemparan pertama, kedua, dan ketiga kedua mata uang selalu muncul gambar(GG). (lihat diagram)
Lemp. I
Lemp. II
Lemp.III
Lemp. IV AA
GG
GG
GG
AG GG
Dengan demikian, banyak peristiwa yang dimaksud adalah 3. Jadi, Peluang munculnya angka pertama pada pelemparan ke empat adalah
3 . 44
20. Untuk meningkatkan penjualan, suatu perusahaan memberikan hadiah yang dimuat dalam setiap kotak susu yang dijual satu dari empat seri buku secara acak. Jika Ghina membeli empat kotak susu, maka peluang Ghina memdapatkan hadiah adalah…………
A.
1 256
Jawab: C.
B.
3 256
C.
3 32
D.
1 4
E. 1
3 32
Banyaknya peristiwa yang dapat terjadi adalah 44 = 256. Banyaknya peristiwa Ghina mendapatkan keempat seri adalah 4 x 3 x 2 x 1 = 24 Jadi, Peluang Ghina mendapatkan semua seri buku hadiah adalah
24 3 . 256 32
SOAL ISIAN SINGKAT 1. Jika bilangan 123.456.789 dikalikan dengan bilangan 999.999.999, maka banyak angka 9 dari hasil perkalian kedua bilangan tersebut adalan…………. Jawab : 123.456.789 x 999.999.999 = 123.456.789 x ( 1.000.000.000 – 1 ) = 123.456.789.000.000.000 – 123.456.789 = 123.456.788.876.543.211 Banyaknya angka 9 dari hasil kali perkalian kedua bilangan tersebut adalah nol (tidak ada) 2 Kota A terletak 50 km di sebelah utara kota B, dan kota C terletak 120 km di sebelah Timur kota B, dan kota D terletak di tengah antara kota B dan C. Jarak kota D dari kota A adalah…………… Jawab :
A
AD2 = AB2 + BD2 = 602 + 502 = (6.10)2 + (5.10)2 = 102 (62 + 52 ) = 102 (61) AD = 100(61)
150 km B
60 km
C D = 10 61 120 km Jadi jarak kota D dari kota A adalah 10 61 km 3. Perhatikan dua lingkaran kosentrik (memiliki titik pusat sama) seperti pada gambar 7.
d Gambar.7 Jika keliling lingkaran besar lebih panjang 4 meter dari keliling linkaran kecil, maka jarak d adalah ……….. meter. Jawab : K1 = (x + 4 ) m K2 = x m r1 = ( a + d ) r2 = a
a d
K1 = 2 r 1 K2 = 2 r 2 K1 - K2 = 4 m
2 (a + d ) - 2 a = 4 2 a + 2 d - 2 a = 4 2 d = 4 4 2 2 d= m
d=
4. Perhatikan gambar 8. Jika pada setiap persegi ditempatkan suatu bilangan positif sedemikian rupa sehingga perkalian bilangan-bilangan dari sembarang lima persegi yang berurutan menghasilkan 360, maka jumlah bilangan pada semua persegi terebut adalah……. 4
3
5
2
Gambar 8 Jawab : 360 = 36 .10 =4.3.3.2.5 = 4 . 2 . 3 .5 .3 4
2
3
5
3
4
2
3
5
3
4
2
3
5
Jadi jumlah bilangan pada semua persegi tersebut adalah : =4(4) + 4(2) + 6(3) + 3(5) =16 + 8 + 18 + 15 = 24 + 33 = 57 5. Perhatikan gambar 9. Luas daerah yang diarsir adalah………… cm2 .
4 cm
. GGG Gambar 9
3
4
2
Jawab : r = 4 cm 1 L 4 1 = 2 4 1 2 = 4 4 = 4 cm2
Luas daerah arsiran =
6. Jika H adalah himpunan semua pembagi positif dari 2007, maka banyak himpunan bagian dari H yang tidak kosong adalah……. Jawab : H = Pembagi positif dari 2007 H = 1, 3, 9, 223, 667, 2007 n(H) = 6 Banyak himpunan bagian dari H yant tidak kosong adalah 26 – 1 = 64 – 1 = 63 7. Suatu pabrik pembuat tas memiliki pekerja laki-laki sama banyak dengan pekerja wanita. Kecepatan kerja pekerja laki-laki dan wanita sama. Dalam waktu 6 hari, 6 pekerja laki-laki dan 8 pekerja wanita dapat menghasilkan 4.200 tas.Jika dalam waktu tujuh hari, seluruh pekerja pabrik dapat menghasilkan 5.600 tas, maka pekerja laki-laki pada pabrik tersebut ada sebanyak …… orang. Jawab : Misalkan : x = banyak pekerja laki-laki y = banyak pekerja wanita x=y Vx = Kecepan kerja laki-laki Vy = Kecepatan kerja wanita Vx = Vy Vx = a ( 6a + 8a )6 = 4.200 14a = 700 a = 50 Vx = 50 tas/hari/orang 7( x + y)50 = 5.600 7( 2x )50 =5.600 700x = 5.600 x=8 Jadi banyak pekerja laki-laki 8 orang
8. Himpunan semua bilangan prima yang kurang dari seratus dan kuadrat bilangan tersebut ditambah dua juga merupakan bilangan prima adalah …… Jawab : P = 2, 3, 5, 7, …,97 aP a2 + 2 P a2 + 2 habis dibagi 3 jika a3 Untuk a = 3 32 + 2 = 9 + 2 = 11 P Jadi himpunan bilangan Prima yang dimaksud adalah 3 9. Perhatikan Gambar 10. Banyak daerah persegi yang terletak pada daerah persegi ABCD berukuran 9 X 9 dan paling sedikit satu sisinya terletak pada persegi ABCD adalah……. Petunjuk: Salah satu daerah persegi yang dimaksud adalah daerah yang diarsir. A
D
B
C
Ukuran sisi
1 x 1 banyak persegi = 2 . 9 + 2 7 = 18 + 14 = 32 2 x 2 banyak persegi = 2 . 8 + 2 6 = 16 +12 = 28 3 x 3 banyak persegi = 2 . 7 + 2 .5 = 14 +10 = 24 4 x 4 banyak persegi = 2 . 6 + 2 .4 = 12 +8 = 20 5 x 5 banyak persegi = 2 . 5 + 2 .3 = 10 + 6 =16 6 x 6 banyak persegi = 2 . 4 + 2 .2 = 8 + 4 =12 7 x 7 banyak persegi = 2 .3 + 2 .1 =6 + 2 = 6 8 x 8 banyak persegi = 2 . 2 + 2 .0 = 4 9 x 9 banyak persegi = 1 Jadi banyak persegi yang dimaksud adalah 32 + 28+ 24 + 20 + 16 + 12 + 8 = 145 buah 10. Di laboratorium Matematika tardapat 6 batang kayu sejenis yang panjangnya berturutturut 2 dm, 4 dm, 4 dm, 10 dm, 22 dm, dan 37 dm. Jika keenam batang kayu tersebut harus digunakan untuk membuat trapesium sama kaki, maka banyaknya trapesium sama kaki yang dapat dibuat adalah……..
Jawab : 1 buah
D
A
C
B
Ketidaksamaan pada sisi Trapesium “Sisi terpanjang harus lebih lebih pendek dari jumlah panjang tiga sisi yang lain lainnya” AB AD + CD + CB Jadi banyaknya trapesium sama kaki yang dapat dibuat adalah1 yaitu dengan ukuran sisi (2+4+4), 10, 22 dan37.
.
