PÉLDATÁR FÉLÉVI HÁZI FELADAT FURATOS LEMEZ ANALITIKUS ÉS VÉGESELEM MEGOLDÁSA

PÉLDATÁR – 12. 2. FÉLÉVI HÁZI FELADAT FURATOS LEMEZ ANALITIKUS ÉS VÉGESELEM MEGOLDÁSA Szerző: Dr. Szekrényes András

 Dr. Szekrényes András, BME

 www.tankonyvtar.hu

2 Furatos lemez analitikus és végeselem megoldása

12.

FURATOS LEMEZ ANALITIKUS ÉS VÉGESELEM MEGOLDÁSA

Számítsuk ki a12.1 ábrán látható, saját síkjában terhelt furatos lemezben kialakuló feszültségmezőt a. analitikus módszerrel a síkfeladatok alapegyenletei segítségével, b. végeselem-módszerrel az ANSYS szoftver felhasználásával, majd végül hasonlítsuk össze a kétféle számítás eredményét! A lemez anyaga lineárisan rugalmas, homogén és izotrop.

12.1 ábra. Furatos lemez x irányú normális és minden peremen tangenciális irányú terheléssel.

12.1

Analitikus megoldás

A 11. fejezetben levezettük a síkfeladatok alapegyenletét hengerkoordináta-rendszerben (ld. (11.74) egyenlet):  ∂2 1 ∂ 1 ∂ 2  ∂ 2 1 ∂ 1 ∂2    χ = 0 , ∇ 4 χ = ∇ 2 ∇ 2 χ =  2 + + 2 + + 2  2 2 2  r ∂ r r ∂ r ∂ r r ∂ ∂ r r ∂ ϑ ϑ    (12.1) ami egy parciális differenciálegyenlet, melyhez dinamikai (feszültségmezőre vonatkozó) peremfeltételek is tartoznak. Tehát egy peremérték-feladatot kell megoldanunk. A feszültségek a következő képletek segítségével fejezhetők ki (ld. 11. fejezet): 1 ∂χ 1 ∂ 2 χ ∂2χ ∂  1 ∂χ  σr = σ + 2 , = , τ rϑ = −  (12.2) . ϑ 2 2 r ∂r r ∂ϑ ∂r  r ∂ϑ  ∂r A megoldáshoz a Fourier-féle módszert alkalmazzuk, azaz feltételezzük, hogy a megoldásfüggvény szétválasztható a változók szerint [1]: ∞

χ (r ,ϑ ) = ∑ Ri (r )Φ i (ϑ ) .

(12.3)

i =1

Ezt visszatéve a (12.1) alapegyenletbe kapjuk a következőt:



Alfejezetcím

3

1 d  d 1 d dR   1 d  d 1  II 1 d dR 1 (r ) Φ + r ( 2 R) Φ + 3 (r )Φ ′′ + 4 RΦ IV = 0 . (r )   r dr  dr  r dr dr   r dr  dr r r dr dr r  (12.4) Az r változó szerinti megoldást hatványfüggvény formájában keressük: R(r ) = r n . (12.5) Ezt a megoldást visszatéve a (12.4) egyenletbe a következőt kapjuk: n 2 (n − 2) 2 Φ + [(n − 2) 2 + n 2 ]Φ II + Φ IV = 0 . (12.6) a. Tételezzük fel, hogy: Φ II = Φ IV , (12.7) ami csak úgy lehetséges, ha Φ konstans és lineáris tagok kombinációja: Φ(ϑ ) = C1 + C 2ϑ , (12.8) ahol C1 és C2 konstansok. A (12.6) képlet ekkor a következőre módosul: n 2 ( n − 2) 2 Φ = 0 , (12.9) ami akkor teljesül, ha n = 0 vagy 2, viszont mindkét gyök kettős gyök a második hatvány miatt. A megoldandó differenciálegyenlet ekkor (12.4) alapján: 1 d  d  1 d dR   (r )  = 0 . (12.10) (r ) r dr  dr  r dr dr   Integráljuk az egyenletet r szerint: d  1 d dR  (12.11) r  (r ) = c1 . dr  r dr dr  Osszuk el az egyenletet r-el és ismét integráljuk r szerint: dR  1 d (12.12)  r dr (r dr ) = c1 ln r + c 2 . Most szorozzuk meg r-el és harmadszor is integráljuk: dR r2 r = c1 ∫ r ln rdr + c 2 + c3 . (12.13) dr 2 Parciálisan integrálva a jobb oldal első tagját kapjuk, hogy: dR 1 2 r2 r2 r = c1 (r ln r − ) + c 2 + c3 . (12.14) dr 2 2 2 Az eredményt osszuk el r-el és integráljuk negyedszer is: R (r ) = Ar 2 + B ln r + Cr 2 ln r + D , (12.15) ahol A, B, C és D konstansok. Összefoglalva tehát az a. esetben az alaprendszer elemei: r 2 , ln r , r 2 ln r ,1 és ϑ r 2 , ln r , r 2 ln r ,1 . (12.16) Ezek a függvények azonban nem periodikusak. Feltételezhető, hogy a megoldásfüggvény periodikus, azaz trigonometrikus függvényeket is tartalmaz. b. A páros deriváltak miatt tételezzük fel, hogy a megoldás trigonometrikus függvények kombinációja: cos(iϑ ) Φ(ϑ ) =  (12.17) , sin( i ϑ )   és így: cos(iϑ ) IV 4 cos(iϑ )  Φ II (ϑ ) = −i 2  (12.18)  , Φ (ϑ ) = i  .  sin(iϑ )   sin(iϑ ) 

{


}

{

}



Ekkor a (12.6) egyenletből a következőt kapjuk: n 2 (n − 2) 2 + i 2 [(n − 2) 2 + n 2 ] + i 4 = 0 . (12.19) Vizsgáljuk meg, hogy az i paraméter milyen értékeket vehet fel! A (12.19) egyenlet egy másodfokú egyenlet i2-re, melynek megoldásai: 1 i 2 = {[(n − 2) 2 + n 2 ] ± [(n − 2) 2 − n 2 ]}, (12.20) 2 azaz:  n2  i2 =  . (12.21) 2 (n 2 ) −   Ha n = 1, akkor mindkét esetben i2 = 1 az eredmény, azaz n = 1 esetén kettős gyökünk van. Az r szerinti megoldás ekkor R(r) = r, és így az alaprendszer függvényei: {r cos ϑ , r sin ϑ , rϑ cos ϑ , rϑ sin ϑ} . (12.22) A (12.21) képletből fejezzük ki ezek után az n értékét i függvényében:  ±i  n= (12.23) . ± i + 2  Vizsgáljuk meg, hogy mely esetekben léteznek kétszeres gyökök! Ha i = 1, akkor n = 1, -1, 3, 1, tehát létezik egy kétszeres gyök, az alaprendszer elemei így R(r) = rn alapján:  1  (12.24) i = 1 : r , , r 3 , r ln r  ,  r  ahol az utolsó tag a kétszeres gyök miatti negyedik, független tag. Ha i = 2, akkor n = 2, -2, 4, 0, tehát most nincs kétszeres gyök, az alaprendszer elemei tehát: 1   (12.25) i = 2 : r 2 , 2 , r 4 ,1 .  r  A (12.23) képlet alapján belátható, hogy i > 1 esetén már nem létezik kétszeres gyök, azaz a megoldás i > 1 esetén egyszerű szummázással felírható. Foglaljuk össze a megoldásfüggvényt [1]! χ (r ,ϑ ) = a01 + a02 ln r + a03 r 2 + a04 r 2 ln r + 1 + a13 r 3 + a14 r ln r ) cos ϑ + r 1 + (b11 r + b12 + b13 r 3 + b14 r ln r ) sin ϑ + r + (a11 r + a12

∞

+ ∑ (ai1 r i + a i 2 r −i + a i 3 r 2+ i + ai 4 r 2−i ) cos iϑ + i =2

(12.26)

∞

+ ∑ (bi1 r i + bi 2 r −i + bi 3 r 2+i + bi 4 r 2−i ) sin iϑ + i =2

+ (c1 + c 2 ln r + c3 r 2 + c 4 r 2 ln r )ϑ + + c5 rϑ cos ϑ + c6 rϑ sin ϑ + + χ p (r , ϑ ), ahol az 1., 6. és 7. sorok a nem periodikus megoldások, a 2-5. sorok a periodikus megoldások i = 1 és i = 2..∞ esetén. A 7. sorban az n = 1 esetén a kétszeres gyök következtében jelentkező megoldáshoz tartozó hiányzó tagokat vettük figyelembe, végül pedig az utolsó tag a partikuláris megoldás függvénye. A (12.26) képlet tulajdonképpen bármely síkfeladat  www.tankonyvtar.hu


Alfejezetcím

5

esetén alkalmazható, abban az esetben, ha hengerkoordináta-rendszerben dolgozunk. Térjünk vissza ezek után a konkrét feladathoz! A feszültségi tenzor egy, a furattól megfelelően távol lévő pontban a következő:  f t 0 σ =  t 0 0 . (12.27) x, y , z  0 0 0 Transzformáljuk át a feszültségeket az r-ϑ hengerkoordináta-rendszerbe. A HKR bázisvektorai: e r = cos ϑ i + sin ϑ j és eϑ = − sin ϑ i + cos ϑ j . (12.28) A feszültségtranszformációs összefüggés a radiális feszültségre:  f t 0  c  T ∞ σ r = e r σ e r = [c s 0] t 0 0  s  = fc 2 + 2cst , (12.29) x, y,z  0 0 0 0 ahol c = cosϑ és s = sinϑ. Felhasználva, hogy cos2ϑ = 1/2⋅(cos(2ϑ)+1) és sin2ϑ = 2⋅cosϑ⋅sinϑ, kapjuk, hogy: 1 σ r∞ = f (cos 2ϑ + 1) + t sin 2ϑ . (12.30) 2 A tangenciális irányú feszültség, valamint a csúsztató feszültség hasonlóan számítható ki: 1 T σ ϑ∞ = eϑ σ eϑ = f (1 − cos 2ϑ ) − t sin 2ϑ , (12.31) 2 x, y, z

1 f sin 2ϑ + t cos 2ϑ . 2 x, y,z Összehasonlítva a (12.30)-(12.31) képleteket az Airy-féle feszültségfüggvényre kapott megoldással, a következő tagok maradnak (12.26)-ból: χ (r ,ϑ ) = a01 + a 02 ln r + a03 r 2 + a04 r 2 ln r +

τ r∞ϑ = e r σ eϑ = − T

+ (a 21 r 2 + a 22 r − 2 + a 23 r 4 + a 24 ) cos 2ϑ +

(12.32)

+ (b21 r + b22 r + b23 r + b24 ) sin 2ϑ , amely összesen tizenkét konstans együtthatót tartalmaz. Vizsgáljuk meg először csak az első sor tagjait! A feszültségkomponensek ekkor ϑ-tól függetlenek, a (12.2) képletekből kapjuk: 1 ∂χ 1 σr = = a 02 2 + 2a 03 + a 04 (2 ln r + 1) , (12.33) r ∂r r ∂2χ 1 σ r = 2 = − a02 2 + 2a03 + a 04 (2 ln r + 3) . ∂r r τ rϑ = 0 . Számítsuk ki az alakváltozási jellemzőket a Hooke-törvény alapján síkfeszültségi állapotra a (11.68) képletek alapján: 1 Eε r = (σ r − νσ ϑ ) = a 02 2 (1 + ν ) + 2a 03 (1 − ν ) + 2a 04 (1 − ν ) ln r + a 04 (1 − 3ν ) , r (12.34) 2

−2


4



1 (1 + ν ) + 2a 03 (1 − ν ) + 2a 04 (1 − ν ) ln r + a 04 (3 − ν ) . r2 A fajlagos szögváltozás zérus. Az elmozdulásmező és az alakváltozási jellemzők kapcsolata (11.66) alapján: ∂u u εr = , εϑ = . (12.35) ∂r r Fejezzük ki az u radiális irányú elmozdulást mindkét képletből: ∂u 1 ∫ Eε r dr = ∫ E ∂r dr = Eu = −a02 r (1 + ν ) + 2a03 (1 − ν )r + 2a04 (1 − ν )r ln r − a04 (1 + ν )r , (12.36) 1 Eε ϑ r = Eu = − a 02 (1 + ν ) + 2a 03 (1 − ν )r + 2a 04 (1 − ν )r ln r + a 04 (3 − ν )r , r amelyeket összehasonlítva látható, hogy az a04 tag esetén inkompatibilis elmozdulásmezőt kaptunk. Ez az ellentmondás csak úgy oldható fel, ha: a 04 = 0 . (12.37) A többi tag esetén nem lép fel inkompatibilitási probléma. Most számítsuk ki a feszültségeket, figyelembe véve a (12.32) képlet összes tagját: 1 ∂χ 1 ∂ 2 χ 1 σr = + 2 = a02 2 + 2a03 + 2 r ∂r r ∂ϑ r 2 −4 − (2a21r + 6a22 r + 4a24 r − 2 ) cos 2ϑ − (2b21 + 6b22 r − 4 + 4b24 r − 2 ) sin 2ϑ , (12.38) 2 ∂ χ 1 σ ϑ = 2 = − a02 2 + 2a03 + (2a 21 r 2 + 6a 22 r − 4 ) cos 2ϑ + (2b21 + 6b22 r − 4 ) sin 2ϑ , ∂r r ∂  1 ∂χ  −4 −2 −4 −2 τ rϑ = −   = 2(a 21 − 3a 22 r − a 24 r ) sin 2ϑ − (2b21 − 3b22 r − b24 r ) cos 2ϑ , ∂r  r ∂ϑ  ahol észrevehetjük, hogy az a23 és b23 tagok kiestek, amely matematikailag azzal magyarázható, hogy r = ∞ esetén véges feszültséget kell kapnunk. A feszültségképletekben még mindig van nyolc ismeretlen konstans. Ez a nyolc konstans a feladat peremfeltételeiből már kiszámolható. Használjuk fel a (12.30) és (12.31) képleteket, amelyek a furattól végtelen r távolságra lévő pontokban adják meg a feszültségeket: 1 1 σ r∞ = σ r (∞,ϑ ) ⇒ f + f cos 2ϑ + t sin 2ϑ = 2a03 − 2a21 cos 2ϑ − 2b21 sin 2ϑ , 2 2 (12.39) 1 1 σ ϑ∞ = σ ϑ (∞,ϑ ) ⇒ f − f cos 2ϑ − t sin 2ϑ = 2a03 + 2a21 cos 2ϑ + 2b21 sin 2ϑ , 2 2 amely alapján: 1 1 1 a 03 = f , a 21 = − f , b21 = − t . (12.40) 4 4 2 További öt ismeretlen konstans a dinamikai peremfeltételből számolható ki. Az r = R helyen a furat a ϑ szögkoordinátától függetlenül terheletlen, azaz: Eε ϑ = (σ ϑ − νσ r ) = − a 02



Alfejezetcím

7

1 1   a02 r 2 + 2 f = 0    1 1  f  σ r ( R,ϑ ) = 0 ⇒ − + 6a22 4 + 4a24 2 = 0 , (12.41) R R  2  1 1   − t + 6b22 R 4 + 4b24 R 2 = 0  1 1  f  − 2 − 3a22 R 4 − a24 R 2 = 0 τ rϑ ( R , ϑ ) = 0 ⇒  . − t − 3b 1 − b 1 = 0  22 24 R4 R2  2  Az egyenletrendszer megoldása: R2 R4 R2 R4 a 02 = − f , a 22 = − f , a 24 = f , b22 = −t , b24 = tR 2 . 2 4 2 2 (12.42) A konstansokat visszatéve a feszültségképletekbe kapjuk, hogy: f R2 f R2 R4 R2 R4 σ r (r ,ϑ ) = (1 − 2 ) + (1 − 4 2 + 3 4 ) cos 2ϑ + t (1 − 4 2 + 3 4 ) sin 2ϑ , 2 2 r r r r r (12.43) 2 4 4 f R f R R σ ϑ (r ,ϑ ) = (1 + 2 ) − (1 + 3 4 ) cos 2ϑ − t (1 + 3 4 ) sin 2ϑ , 2 2 r r r 2 4 2 f R R R R4 τ rϑ (r ,ϑ ) = − (1 + 2 2 − 3 4 ) sin 2ϑ + t (1 + 2 2 − 3 4 ) cos 2ϑ . 2 r r r r A feszültségmezőre kapott függvények ábrázolásához végezzünk függvényvizsgálatot! I. ϑ = 90°, ekkor: f f σ ϑ ( R) = (1 + 1) + (1 + 3) = 3 f , (12.44) 2 2 f f σ ϑ (2 R) = (1 + 1 / 4) + (1 + 3 / 16) = 39 / 32 f = 1,22 f , 2 2 f f σ ϑ (4 R ) = (1 + 1 / 16) + (1 + 3 / 256) = 531 / 516 f = 1,037 f , 2 2 σ r ( R) = 0 - dinamikai peremfeltétel. II. ϑ = 0°, cos(2ϑ) = 1, sin(2ϑ) = 0, azaz: f R2 f R2 R4 σ r (r ) = (1 − 2 ) + (1 − 4 2 + 3 4 ) , (12.45) 2 2 r r r valamint, ha r = R, akkor σr(r) = 0, ami szintén dinamikai peremfeltétel. Keressük meg σr(r) szélsőértékét: dσ r ( r ) f R2 f R2 R4 =2 + ( 4 ⋅ 2 + 3 ( − 4 ) ) = 0, (12.46) dr ϑ =0 2 r3 2 r3 r5 amiből r = 1,2 R . Ezt visszatéve, és kiszámítva a szélsőértéket: f 1 f 1 1 σ r ( 1,2 R) = (1 − ) + (1 − 4 + 3 2 ) = −0,0417 f . 2 1,2 2 1,2 1,2 (12.47)  Dr. Szekrényes András, BME



Számítsuk ki a zérushely r koordinátáját is: R2 R2 R4 (12.48) 1− 2 +1− 4 2 + 3 4 = 0 , r r r amiből r = 1,5R . Végül pedig, ha r ⇒ ∞ , akkor σ r = f . III. A furat kerületén egytengelyű feszültségi állapot van a következők miatt: σ r ( R,ϑ ) = 0 és τ rϑ ( R,ϑ ) = 0 a dinamikai peremfeltételek miatt, valamint: f f σ ϑ ( R,ϑ ) = + (1 + 3) cos 2ϑ = f − 2 f cos 2ϑ , (12.49) 2 2 amelynek zérushelye az 1 − 2 cos 2ϑ = 0 egyenletből: cos 2ϑ = 1 / 2 ⇒ ϑ = 30 . IV. Ha f = 0 és csak tangenciális t terhelés van, akkor r = R –nél σ r ( R,ϑ ) = τ rϑ ( R,ϑ ) = 0 és σ ϑ ( R,ϑ ) = −4t sin 2ϑ . Az eredményeket a 12.2 és 12.3 ábrákon ábrázoltuk. Megjegyezzük, hogy a furatos lemez problémáját komplex függvények segítségével is meg lehet oldani, ld. pl. [2,3].

12.2 ábra. Furatos lemezben ébredő tangenciális feszültségek ϑ = 90° esetén és radiális irányú feszültségek ϑ = 0° esetén.



Alfejezetcím

9

12.3 ábra. Furatos lemez furatában ébredő tangenciális feszültségek x irányú húzás esetén (a) és minden peremen működő tangenciális terhelés esetén (b).

12.2

Végeselem megoldás

Oldjuk meg a 12.4 ábrán látható véges befoglaló méretű furatos lemez feladatot végeselem-módszerrel! Készítsük el az ábrán vázolt lemez végeselem modelljét, majd számítsuk ki a csomóponti elmozdulásokat és a feszültségeket! Rajzoljuk ki a normál- és csúsztató feszültségek eloszlását a szimmetriavonalak mentén!

12.4 ábra. Véges méretű furatos lemez normál és tangenciális irányú terhelés esetén.

Adatok: A = 80 mm, R = 8 mm, f = 1 MPa, t = 1 MPa, E = 200 GPa, ν = 0,3, v = 1 mm




A végeselem megoldást ANSYS 12 szoftverrel mutatjuk be. Az egyes parancsok a bal oldali, illetve a felső, vízszintes menüből érhetők el [4]. A távolságokat [mm]-ben az erőt pedig [N]-ban adjuk meg. Feladat címének kiírása a képernyőre File menu / Change Title / Title: “Furatos lemez modellezese sikfeszultsegi allapotban” - képernyő frissítése az egér görgőjével Analízis típusának megadása PREFERENCES – STRUCTURAL Elemtípus kiválasztása – 4 csomópontos izoparametrikus membránelem (PLANE42) PREPROCESSOR / ELEMENT TYPES / ADD/EDIT/DELETE /ADD / SOLID / QUAD 4NODE 42 / OK / PREPROCESSOR/ OPTIONS / ELEMENT BEHAVIOR K3 – PLANE STRS W/THK / OK / CLOSE PREPROCESSOR / REAL CONSTANTS / ADD/EDIT/DELETE / ADD / OK / THK=1 / OK / CLOSE - a vastagság megadása Anyagjellemzők megadása PREPROCESSOR / MATERIAL PROPS / MATERIAL MODELS / STRUCTURAL / LINEAR / ELASTIC / ISOTROPIC / EX = 200e3, PRXY = 0.3 / OK Kilépés: Material menü / Exit A geometria elkészítése PREPROCESSOR / MODELING / CREATE / AREAS / RECTANGLES / BY 2 CORNERS / WPX = 0, WPY = 0, WIDTH = 20, HEIGHT = 20 - a koordináták megadása a megnyíló ablakban A jobb oldali ikonok közül kattintsunk a 9., „Fit View” nevű nagyítóra, ezzel mindig az adott objektumhoz méretezzük a képernyőt. PREPROCESSOR / MODELING / CREATE / AREAS / RECTANGLES / BY 2 CORNERS / WPX = 0, WPY = 0, WIDTH = 80, HEIGHT = 80 / APPLY Egy további négyzet elkészítése PREPROCESSOR / MODELING / CREATE / AREAS / RECTANGLES / BY 2 CORNERS / WPX = 20, WPY = 20, WIDTH = 60, HEIGHT = 60 / OK Felületek átfedésének megszüntetése PREPROCESSOR / MODELING / OPERATE / BOOLEANS / OVERLAP / AREAS / PICK ALL Furat elkészítése PREPROCESSOR / MODELING / CREATE / AREAS / CIRCLE / SOLID CIRCLE / WPX = 0, WPY = 0, RADIUS = 8 / OK



Alfejezetcím

11

Furat kivonása a kisebbik négyzetből PREPROCESSOR / MODELING / OPERATE / BOOLEANS / SUBTRACT / AREAS - a kisebbik négyzet kijelölése egérrel / OK - a kör kijelölése egérrel / OK A furat negyedkörívének felezése PREPROCESSOR / MODELING / OPERATE / BOOLEANS / DIVIDE / LINE W/OPTIONS / OK / - körív kijelölése / OK A furat negyedkörívének felezőpontja és a legkisebb négyszög sarkának összekötése vonallal PREPROCESSOR / MODELING / CREATE / LINES / LINES / STRAIGHT LINE – - pontok kijelölése egérrel / OK A legkisebb felület felosztása a 45°-os vonallal PREPROCESSOR / MODELING / OPERATE / BOOLEANS / DIVIDE / AREA BY LINE - a legkisebb felület kijelölése / OK - A 45°-os vonal kijelölése / OK A felületek elkészítésének folyamatát mutatja a 12.5 ábra.

12.5 ábra. Furatos lemez geometriai modelljének elkészítése.

Modell tükrözése az x tengelyre nézve PREPROCESSOR / MODELING / REFLECT / AREAS / PICK ALL / X-Z PLANE Y / OK Felületek egymáshoz ragasztása PREPROCESSOR / MODELING / OPERATE / BOOLEANS / GLUE / AREAS / PICK ALL Hálózás Elemszám beállítása minden vonalon a 12.6 ábra alapján PREPROCESSOR / MESHING / SIZE CNTRLS / MANUALSIZE / LINES / PICKED LINES / PICK / NO. OF ELEMENT DIVISIONS = a megfelelő szám beírása, a parancs ismétlése  Dr. Szekrényes András, BME



PREPROCESSOR / MESHING / MESH / AREAS / MAPPED / 3 OR 4 SIDED / PICK ALL Plot menü / Multi-Plots - elemek, csomópontok megjelenítése

12.6 ábra. Furatos lemez végeselem modelljének részletei.

Modell tükrözése az y tengelyre nézve PREPROCESSOR / MODELING / REFLECT / AREAS / PICK ALL / Y-Z PLANE X / OK Felületek egymáshoz ragasztása PREPROCESSOR / MODELING / OPERATE / BOOLEANS / GLUE / AREAS / PICK ALL Átfedő csomópontok megszüntetése a függőleges szimmetriavonalon PREPROCESSOR / NUMBERING CTRLS / MERGE ITEMS / TOLER Range of coincidence = 0.05 / OK Terhelés megadása, tehelési esetek 1. eset: f = 1 MPa megoszló erő x irányban Kinematikai kényszerek PREPROCESSOR / LOADS / DEFINE LOADS / APPLY / STUCTURAL / DISPLACEMENT / ON NODES - a függőleges szimmetriatengely legalsó csomópontjának kijelölése / OK / UX, UY / APPLY - a függőleges szimmetriatengely legfelső csomópontjának kijelölése / OK / UX / OK



Alfejezetcím

13

f = 1 MPa megadása PREPROCESSOR / LOADS / DEFINE LOADS / APPLY / STUCTURAL / PRESSURE / ON LINES / - az x = 40 és -40 mm koordinátájú vonalak kijelölése egérrel, intenzitás, VALUE Load PRES Value = -1 A terhelés beolvasása load step 1 (LS1) esetként PREPROCESSOR / LOADS / LOAD STEP OPTS / WRITE LS FILES / LSNUM = 1 A terhelés és kinematikai kényszerek törlése PREPROCESSOR / LOADS / DEFINE LOADS / DELETE / STUCTURAL / PRESSURE / ON LINES / PICK ALL PREPROCESSOR / LOADS / DEFINE LOADS / DELETE / STUCTURAL / DISPLACEMENT / ON NODES / PICK ALL / ALL DOF / OK 2. eset: t = 1 MPa tangenciálisam megoszló erő PREPROCESSOR / LOADS / DEFINE LOADS / APPLY / STUCTURAL / PRESSURE / ON ELEMENTS - „box” aktiválása, a jobb oldali, felső hosszabbik függőleges peremen az elemek kijelölése box-szal / OK LKEY = 4, VALUE LOAD PRES VALUE = 1 / APPLY - „box” aktiválása, a jobb oldali, felső rövidebbik függőleges peremen az elemek kijelölése box-szal / OK LKEY = 1, VALUE LOAD PRES VALUE = 1 / APPLY - „box” aktiválása, a jobb oldali, alsó rövidebbik függőleges peremen az elemek kijelölése box-szal / OK LKEY = 3, VALUE LOAD PRES VALUE = 1 / APPLY - „box” aktiválása, a jobb oldali, alsó hosszabbik függőleges peremen az elemek kijelölése box-szal / OK LKEY = 3, VALUE LOAD PRES VALUE = 1 / APPLY A terhelést a többi peremen ugyanígy elő kell írni 12.7a ábra alapján, ahol minden peremvonalra megadtuk az LKEY értékét, a terhelés pedig mindenhol egységnyi. Kinematikai kényszerek, ehhez létrehozunk egy koordinátarendszert, ld. 12.7b ábra. PREPROCESSOR / MODELING / CREATE / KEYPOINT / IN ACTIVE CS / x = 0, y = 0, z = 0 / OK Workplane menü / Local Coordinate Systems / Create Local CS / By 3 Keypoints + - az x = 40 mm, y = 40 mm koordinátájú pont kijelölése - az x = 0, y = 0 koordinátájú pont kijelölése - az x = -40 mm, y = 40 mm koordinátájú pont kijelölése / OK




12.7 ábra. Az LKEY paraméter megadása a furatos lemez végeselem modelljének peremvonalain (a), a peremfeltételek megadása a furatos lemez modelljének elforgatásával (b).

Megjelenítés a 11-es számú koordinátarendszerben Workplane menü / Change Display CS to / Specified Coord Sys / KCN = 11 / OK (képernyő frissítése az egér görgőjével) PREPROCESSOR / LOADS / DEFINE LOADS / APPLY / STUCTURAL / DISPLACEMENT / ON NODES - az x = 0, y = 0 koordinátájú csomópont kijelölése / OK / UX, UY / APPLY - az x = 2 ⋅ 80 mm, y = 0 koordinátájú csomópont kijelölése / OK / UY / OK A terhelés beolvasása load step 2 (LS2) esetként PREPROCESSOR / LOADS / LOAD STEP OPTS / WRITE LS FILES / LSNUM = 2 Megoldás SOLUTION / SOLVE / FROM LS FILES / 1 – 2 „SOLUTION IS DONE!” Az aktív és megjelenítési koordinátarendszer beállítása Workplane menü / Change Active CS to / Global Cartesian Workplane menü / Change Display CS to / Global Cartesian (képernyő frissítése az egér görgőjével) Terhelési esetek létrehozása, beolvasása és szorzása GENERAL POSTPROC / LOAD CASE / CREATE LOAD CASE / Results fileból / OK LCNO = 1, LSTEP = 1, SBSTEP = Last / APPLY / OK LCNO = 2, LSTEP = 2, SBSTEP = Last / OK A terhelési esetek beolvasása  www.tankonyvtar.hu


Alfejezetcím

15

GENERAL POSTPROC / LOAD CASE / READ LOAD CASE 1 – normális teher (f) GENERAL POSTPROC / LOAD CASE / READ LOAD CASE 2 – tangenciális teher (t) Eredmények kirajzolása, listázása GENERAL POSTPROC / PLOT RESULTS / DEFORMED SHAPE / DEF + UNDEF EDGE kiválasztása / OK PlotCtrls menü / Animate / Deformed Shape - animálás Elmozdulások, feszültségek, nyúlások színskálával, csomóponti mennyiségekkel GENERAL POSTPROC / PLOT RESULTS / CONTOUR PLOT / NODAL SOLU / NODAL SOLUTION: DOF SOLUTION: UX, UY, USUM STRESS:

csomóponti megoldások elmozdulások megjelenítése színskálával normál- és csúsztató feszültségek, főfeszültségek, egyenértékű feszültségek ELASTIC STRAIN: fajlagos nyúlások és szögváltozások, főnyúlások, egyenértékű nyúlás Feszültségek, nyúlások színskálával, elemre számolt mennyiségekkel GENERAL POSTPROC / PLOT RESULTS / CONTOUR PLOT / ELEMENT SOLU / ELEMENT SOLUTION: STRESS: ELASTIC STRAIN:

elemre vonatkozó megoldások normál- és csúsztató feszültségek, főfeszültségek, egyenértékű feszültségek fajlagos nyúlások és szögváltozások, főnyúlások, egyenértékű nyúlás

Elmozdulások, feszültségek, nyúlások animálása PLOT CTRLS / ANIMATE / DEFORMED RESULTS ... Kiválasztjuk az animálni kívánt mennyiséget (DOF Solution / Stress, stb.), majd megadjuk az animáláshoz használt keretek (Frames) számát és a késleltetési időt (Time delay). Az y-irányú feszültségek kialakulása az 1. ill. 2. terhelési lépésben a mellékelt animációkon látható (pt_anim_12-01.avi, pt_anim_12-02.avi). Az eredmények megjelenítése hengerkoordináta-rendszerben GENERAL POSTPROC / OPTIONS FOR OUTP / RSYS Results coord system / Global cylindrical A feszültségeloszlásokat a 12.8 ábra mutatja az x irányú egytengelyú húzás esetén. Mivel a modell szimmetrikus, ezért csak az egyik felét mutatjuk meg.




12.8 ábra. Furatos lemez végeselem modelljében ébredő feszültségek [MPa]-ban, σx (a) és σy (b) az x-y koordinátarendszerben és σϑ (c) hengerkoordináta-rendszerben.

Elmozdulások, feszültségek, nyúlások eloszlása kijelölt útvonal mentén GENERAL POSTPROC / PATH OPERATIONS / DEFINE PATH / BY NODES - a függőleges szimmetriatengely kezdő és végső csomópontjának kijelölése / OK / - Name: ST90 GENERAL POSTPROC / PATH OPERATIONS / MAP ONTO PATH - STRESS / X-DIRECTION, SX - az x irányú feszültség kiválasztása GENERAL POSTPROC / PATH OPERATIONS / PLOT PATH - az útvonal megjelenítése fehér vonallal GENERAL POSTPROC / PATH OPERATIONS / PLOT PATH ITEM / ON GRAPH - az eloszlás megjelenítése A diagram beállításainak megváltoztatása PlotCtrls menü / Style / Graphs / Modify Axes (A többi feszültségeloszlás kirajzolásához hasonlón kell eljárni) A feszültségeloszlásokat a 12.2 és 12.3 ábrákhoz hasonlóan ábrázoltuk a végeselem megoldás alapján is. Ezt mutatja a 12.9 és 12.10a ábra.



Alfejezetcím

17

12.9 ábra. Furatos lemezben ébredő tangenciális feszültségek ϑ = 90° esetén és radiális irányú feszültségek ϑ = 0° esetén a végeselem megoldás szerint.

A 2. terhelési esethez tartozó eredmények a fenti parancsok ismételt végrehajtásával dolgozhatók fel. Az eredményeket listázni is lehet. Példaképpen nézzük meg a furat kerületén ébredő feszültségek listázását a „t” tangenciális terhelés esetén. A terhelési eset beolvasása GENERAL POSTPROC / LOAD CASE / READ LOAD CASE 2 – tangenciális teher (t) Select menü / Entities / Lines / By Numpick / From Full / OK / - a furat köríveinek kijelölése / OK Select menü / Entities / Nodes / Attached to / Lines, all / Reselect / OK / - a körívekhez kötött csomópontok automatikusan kijelölésre kerülnek Az eredmények megjelenítése hengerkoordináta-rendszerben GENERAL POSTPROC / OPTIONS FOR OUTP / RSYS Results coord system / Global cylindrical Eredmények listázása List menü / Results / Nodal solution / DOF solution / komponens megadása / Stress / komponens megadása, SX = σr, SY = σϑ, SXY = τrϑ / Elastic strain / komponens megadása / Element solution – elemre vonatkozó megoldások / Reaction solution – reakciók listázása A tangenciálisan terhelt furatos lemez furatának kerületén ébredő tangenciális σϑ feszültség eloszlását mutatja a 12.10b ábra.




12.10 ábra. Furatos lemez furatában ébredő tangenciális feszültségek x irányú húzás esetén (a) és minden peremen működő tangenciális terhelés esetén (b) a végeselem megoldás szerint.

Eredmények leolvasása egérrel GENERAL POSTPROC / QUERY RESULTS / SUBGRID SOLU – komponens kiválasztása Külön ablakban GENERAL POSTPROC / RESULTS VIEWER – komponens kiválasztása 12.3

Az analitikus és végeselem megoldások összehasonlítása

A kétféle számítás eredményei a feszültségeloszlások alapján jól egyeznek. A 12.2 ábrán látható analitikus eredmények a 12.9 ábrán bemutatott végeselem számítás eredményeivel összehasonlítva igen kis eltérések jelentkeznek a feszültségeloszlásokban. A radiális irányú feszültség az analitikus számítás szerint előjelet vált r = 1,5R -nél (ld. 12.2 ábra). A végeselem modell szerint azonban nincs előjelváltás (ld. 12.9 ábra), ami azzal magyarázható, hogy a végeselem háló nem elég sűrű ezen a részen. A furat kerületén ébredő, kétféle számítás alapján kapott feszültségeket a 12.3 és 12.9 ábrák mutatják. Az eloszlások görbéinek zérushelyei mind az analitikus, mind a végeselem számítás szerint egyeznek. A feszültségek minimuma és maximuma tekintetében vannak eltérések, ezek azonban nem jelentősek. 12.4

Bibliográfia

[1]

Vörös Gábor, Alkalmazott mechanika előadások, 1978 I. félév. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Gépészmérnöki Kar, Műszaki Mechanikai Tanszék. L.P Kollár, G.S. Springer, Mechanics of composite structures, Cambridge University Press 2003, Cambridge, New York, Melbourne, Madrid, Cape Town, Singapore Sao Pãolo.

[2]



Alfejezetcím

[2] [4]

19

Kozmann György, Változó keresztmetszetű rudak szilárdságtana, Mérnöki Továbbképző Intézet 1953-54 évi előadássorozatából: 2707, 1954, kézirat. ANSYS 12 Documentation. http://www.ansys.com/services/ss-documentation.asp.



PÉLDATÁR FÉLÉVI HÁZI FELADAT FURATOS LEMEZ ANALITIKUS ÉS VÉGESELEM MEGOLDÁSA

Recommend Documents