PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE DAN GRAF WHEEL NURUL NUR INDAH SARI

PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE DAN GRAF WHEEL

NURUL NUR INDAH SARI

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012 1

ABSTRAK NURUL NUR INDAH SARI. Pelabelan Super Edge Magic pada Graf Cycle dan Graf Wheel. Dibimbing oleh TEDUH WULANDARI MAS’OED dan FARIDA HANUM. Karya ilmiah ini membuktikan bahwa graf cycle dan graf wheel memiliki pelabelan super edge magic. Pelabelan super edge magic pada suatu graf adalah pelabelan yang memiliki pelabelan edge magic dan himpunan simpulnya dipetakan ke {1, 2, … , 𝑝} serta himpunan sisinya dipetakan ke {𝑝 + 1, 𝑝 + 2, … , 𝑝 + 𝑞}, dengan 𝑝 adalah banyaknya simpul dan 𝑞 adalah banyaknya sisi pada suatu graf. Terdapat satu lema dan dua teorema yang dibahas dalam karya ilmiah ini. Lema ini digunakan untuk membuktikan kedua teorema. Teorema pertama membuktikan bahwa graf cycle 𝐶𝑛 adalah super edge magic jika dan hanya jika 𝑛 ganjil. Teorema kedua membuktikan bahwa graf wheel 𝑊𝑛 dengan order 𝑛 bukan graf super edge magic, bahkan 𝑊𝑛 dengan 𝑛 ≡ 0 mod 4 bukan graf edge magic. Kata kunci: pelabelan edge magic, pelabelan super edge magic, graf cycle, graf wheel.

2

ABSTRACT NURUL NUR INDAH SARI. Super Edge Magic Labeling on Cycle Graph and Wheel Graph. Supervised by TEDUH WULANDARI MAS’OED and FARIDA HANUM. This manuscript proves that cycle graph and wheel graph have a super edge magic labeling. Super edge magic labeling on a graph is labeling that has an edge magic labeling with a set of vertices were mapped in to {1, 2, … , 𝑝} and a set of edges were mapped in to {𝑝 + 1, 𝑝 + 2, … , 𝑝 + 𝑞}, in which 𝑝 is order and 𝑞 is size on the graph. There are one lemma and two theorems to be discussed. The lemma is used to prove the two theorems. The first theorem proves that cycle graph 𝐶𝑛 is super edge magic if and only if 𝑛 is odd. The second theorem proves that wheel graph 𝑊𝑛 of order 𝑛 is not super edge magic. Moreover 𝑊𝑛 is not edge magic if 𝑛 ≡ 0 mod 4. Keywords: edge magic labeling, super edge magic labeling, cycle graph, wheel graph.

3

PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE DAN GRAF WHEEL

NURUL NUR INDAH SARI

Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012

4

Judul Skripsi : Pelabelan Super Edge Magic pada Graf Cycle dan Graf Wheel Nama : Nurul Nur Indah Sari NIM : G54070039

Menyetujui, Pembimbing I,

Pembimbing II,

Teduh Wulandari Mas’oed, M.Si. NIP. 19740915 199903 2 001

Dra. Farida Hanum, M.Si. NIP. 19651019 199103 2 002

Mengetahui: Ketua Departemen Matematika,

Dr. Berlian Setiawaty, M.S. NIP. 19650505 198903 2 004

Tanggal Lulus :

5

PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya serta shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari peranan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. keluarga tercinta: Ibu dan Bapak (terima kasih atas doa, dukungan secara moril maupun materiil, motivasi, dan kasih sayangnya), adik-adikku (terima kasih atas doa dan dukungannya), serta keluarga besar dari Ibu dan Bapak (terima kasih atas doanya), 2. Teduh Wulandari Mas’oed, M.Si. selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu, motivasi, kesabaran, dukungan, dan bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini), 3. Dra. Farida Hanum, M.Si. selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas semua ilmu dan sarannya), 4. Drs. Siswandi, M.Si. selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu dan sarannya), 5. segenap dosen Departemen Matematika terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan, 6. staf Departemen Matematika terima kasih atas bantuannya, 7. teman-teman Matematika angkatan 44: Selvie, Resha, Fany, Anis, Sari, Ipul, Dora, Tanty, Yuyun, Titi, Wewe, Deva, Ndep, Ima, Lingga, Ruhyat, Ayung, Melon, Rachma, Sri, Denda, Fajar, Rofi, Dian, Tyas, Della, Pandi, Lili, Ririh, Yuli, Nunuy, Iam, Lilis, Ayum, Wahyu, Fikri, Atik, Cita, Arina, Masay, Diana, Yogie, Aswin, Imam, Lugina, Yanti, Pepi, Aqil, Eka, Aze, Ali, Vianey, Nadiroh, Na’im, Dhika, Nurus, Phunny, Ab, Siska, Indin, Olih, Tita, Lina, Lukman, Endro, Tendy, Ikhsan, Puying, Zae, dan Copa (terima kasih atas doa, dukungan, bantuan, dan kebersamaannya), 8. kakak-kakak Matematika angkatan 42 dan 43 (terima kasih atas semua ilmu dan bantuannya), 9. adik-adik Matematika angkatan 45 ( terima kasih atas bantuan dan dukungannya), 10. teman-teman B26 ( terima kasih atas dukungan dan kebersamaannya), 11. sahabat-sahabat terdekat: Fina, Nia, Echa, Tika, Lujeng, Rinal, Ayu, Lely, Anis, Agus, dan lainnya ( terima kasih atas doa, dukungan, dan kebersamaannya), 12. teman- teman FOSMA IPB, FOSMA Bogor, SHOT Bogor, GEMA Bogor, dan FKA Bogor (terima kasih atas doa, dukungan, dan kebersamaannya), 13. teman-teman Pondok Malea Atas (terima kasih atas dukungan dan kebersamaannya), 14. semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya dalam bidang matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.

Bogor, Februari 2012

Nurul Nur Indah Sari

6

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Minahasa pada tanggal 8 Juli 1989 dari pasangan bapak Oyo Suhyono dan ibu Teti Rosmiati. Penulis merupakan putri pertama dari tiga bersaudara. Tahun 2007 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Pangandaran dan pada tahun yang sama diterima sebagai mahasiswi IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif di berbagai kegiatan kemahasiswaan, yaitu sebagai pengurus Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) periode 2009, Organisasi Mahasiswa Daerah Ciamis (OMDA PMGC) dan FOSMA IPB. Selain itu, penulis juga aktif dalam berbagai kepanitiaan, di antaranya panitia Masa Perkenalan Departemen, try out Pengantar Matematika, dan training ESQ mahasiswa baru.

DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR ................................................................................................................. viii I

PENDAHULUAN ............................................................................................................. 1.1 Latar Belakang .......................................................................................................... 1.2 Tujuan .......................................................................................................................

1 1 1

II

LANDASAN TEORI ......................................................................................................... 2.1 Teori Graf .................................................................................................................. 2.2 Pelabelan Graf ...........................................................................................................

1 1 3

III

PEMBAHASAN ................................................................................................................

5

IV

SIMPULAN DAN SARAN ............................................................................................... 4.1 Simpulan ................................................................................................................... 4.2 Saran ..........................................................................................................................

14 14 15

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................

15

LAMPIRAN ...............................................................................................................................

16

vii

DAFTAR GAMBAR Halaman 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

Graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) .................................................................................................................. Cycle .................................................................................................................................... Graf 𝐺 nontrivial ................................................................................................................. Graf cycle ber-order 5 ......................................................................................................... Graf lengkap ber-order 5 .................................................................................................... Union dari 2 graf ................................................................................................................. Join dari 2 graf .................................................................................................................... Graf wheel ber-order 7 ........................................................................................................ Graf cycle ber-order 3 ......................................................................................................... Pelabelan edge magic pada graf 𝐶3 ..................................................................................... Pelabelan super edge magic pada graf 𝐶3 ........................................................................... Graf cycle ber-order 9 ........................................................................................................ Pelabelan super edge magic pada graf 𝐶9 ........................................................................... Graf cycle ber-order 4 ......................................................................................................... Pelabelan edge magic pada graf 𝐶4 ..................................................................................... Pelabelan edge magic pada graf 𝐶5 ..................................................................................... Pelabelan super edge magic pada graf 𝐶5 ........................................................................... Graf cycle ber-order 6 ......................................................................................................... Pelabelan edge magic pada graf 𝐶6 ..................................................................................... Graf cycle ber-order 7 ......................................................................................................... Pelabelan edge magic pada graf 𝐶7 ..................................................................................... Pelabelan super edge magic pada graf 𝐶7 ........................................................................... Graf wheel ber-order 5 ........................................................................................................ Pelabelan edge magic pada graf 𝑊5 .................................................................................... Graf wheel ber-order 4 ........................................................................................................ Graf wheel ber-order 6 ........................................................................................................ Pelabelan edge magic pada graf 𝑊6 .................................................................................... Graf wheel ber-order 8 ........................................................................................................ Graf wheel ber-order 9 ........................................................................................................ Pelabelan edge magic pada graf 𝑊9 .................................................................................... Graf wheel ber-order 11 ..................................................................................................... Pelabelan edge magic pada graf 𝑊11 ................................................................................... Graf 𝐶4 yang dilabeli dengan 𝑓 𝑎 = 4, 𝑓 𝑏 = 3, 𝑓(𝑐) = 2, 𝑓 𝑑 = 1, dan 𝑓 𝑎𝑏 = 8 . Graf 𝐶4 yang dilabeli dengan 𝑓 𝑎 = 4, 𝑓 𝑏 = 3, 𝑓(𝑐) = 1, 𝑓 𝑑 = 2, dan 𝑓 𝑎𝑏 = 8 . Graf 𝐶4 yang dilabeli dengan 𝑓 𝑎 = 4, 𝑓 𝑏 = 3, 𝑓(𝑐) = 2, 𝑓 𝑑 = 1, dan 𝑓 𝑎𝑏 = 7 . Graf 𝐶4 yang dilabeli dengan 𝑓 𝑎 = 4, 𝑓 𝑏 = 3, 𝑓(𝑐) = 1, 𝑓 𝑑 = 2, 𝑓 𝑎𝑏 = 7, dan 𝑓 𝑎𝑑 = 8 ................................................................................................................... Graf 𝐶4 yang dilabeli dengan 𝑓 𝑎 = 4, 𝑓 𝑏 = 3, 𝑓(𝑐) = 2, 𝑓 𝑑 = 1, dan 𝑓 𝑎𝑏 = 6 . Graf 𝐶4 yang dilabeli dengan 𝑓 𝑎 = 4, 𝑓 𝑏 = 3, 𝑓(𝑐) = 1, 𝑓 𝑑 = 2, 𝑓 𝑎𝑏 = 6, dan 𝑓 𝑎𝑑 = 7 ................................................................................................................... Graf 𝐶4 yang dilabeli dengan 𝑓 𝑎 = 4, 𝑓 𝑏 = 3, 𝑓(𝑐) = 2, 𝑓 𝑑 = 1, dan 𝑓 𝑎𝑏 = 5 . Graf 𝐶4 yang dilabeli dengan 𝑓 𝑎 = 4, 𝑓 𝑏 = 3, 𝑓(𝑐) = 1, 𝑓 𝑑 = 2, 𝑓 𝑎𝑏 = 5, 𝑓 𝑏𝑐 = 8, dan 𝑓 𝑎𝑑 = 6 ................................................................................................ Graf 𝐶4 yang dilabeli dengan 𝑓 𝑎 = 1, 𝑓 𝑏 = 2, 𝑓(𝑐) = 3, 𝑓 𝑑 = 4, 𝑓 𝑎𝑏 = 8, dan 𝑓 𝑏𝑐 = 6 .................................................................................................................... Graf 𝐶4 yang dilabeli dengan 𝑓 𝑎 = 1, 𝑓 𝑏 = 2, 𝑓(𝑐) = 4, 𝑓 𝑑 = 3, 𝑓 𝑎𝑏 = 8, 𝑓 𝑏𝑐 = 5, dan 𝑓 𝑎𝑑 = 7 ................................................................................................. Graf 𝐶4 yang dilabeli dengan 𝑓 𝑎 = 2, 𝑓 𝑏 = 3, 𝑓(𝑐) = 4, 𝑓 𝑑 = 1, 𝑓 𝑎𝑏 = 6, dan 𝑓 𝑎𝑑 = 8 ................................................................................................................... Graf 𝐶4 yang dilabeli dengan 𝑓 𝑎 = 2, 𝑓 𝑏 = 3, 𝑓(𝑐) = 1, 𝑓 𝑑 = 4, 𝑓 𝑎𝑏 = 8, 𝑓 𝑏𝑐 = 7, dan 𝑓 𝑎𝑑 = 5 .................................................................................................

1 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 6 6 7 7 8 8 8 8 8 9 9 9 10 11 12 12 12 13 13 13 14 17 17 17 18 18 18 19 19 19 20 20 20

viii

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah jembatan Konigsberg adalah masalah yang pertama kali diselesaikan menggunakan graf. Masalah ini pertama kali dipecahkan pada tahun 1736 oleh Leonhard Euler seorang ahli matematika asal Swiss yang menemukan salah satu cabang dari matematika yang saat ini dikenal sebagai “Teori Graf”. Teori graf merupakan pokok bahasan yang memiliki banyak terapan sampai saat ini, di antaranya dalam model jaringan transportasi, teknik elektro, kimia, sistem komunikasi, administrasi bisnis, sosiologi, marketing, desain arsitektur, dan masih banyak lagi terapan yang lainnya. Banyak permasalahan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan graf. Sebagai contoh, permasalahan untuk merencanakan tempat pembuangan sampah pada suatu perumahan penduduk, diagnosa dalam jaringan komputer, dan masih banyak lagi permasalahan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan graf. Pelabelan graf merupakan salah satu topik dalam graf. Pelabelan pada suatu graf adalah suatu pemetaan bijektif dari himpunan simpul dan himpunan sisi ke himpunan bilangan asli. Terdapat beberapa jenis pelabelan pada graf,

antara lain pelabelan graceful, pelabelan ajaib (magic), pelabelan anti ajaib, dan pelabelan yang lainnya. Dalam pengembangan pelabelan ajaib (magic), dikenal pula pelabelan vertex magic, pelabelan super vertex magic, pelabelan edge magic, dan pelabelan super edge magic. Pelabelan super edge magic pada suatu graf 𝐺 yang memiliki 𝑝 simpul dan 𝑞 sisi adalah jika 𝐺 memiliki pelabelan edge magic dan memenuhi syarat-syarat lain. Karya ilmiah ini akan membuktikan bahwa graf cycle dan graf wheel merupakan graf yang memiliki pelabelan graf yang super edge magic. Ada satu lema dan dua teorema yang digunakan untuk membuktikan bahwa graf cycle dan graf wheel merupakan pelabelan graf yang super edge magic. Sumber utama karya ilmiah ini adalah artikel yang ditulis Enomoto et al. pada tahun 1998. 1.2 Tujuan Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah untuk membuktikan bahwa graf cycle dan graf wheel memiliki pelabelan graf yang super edge magic.

II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan beberapa definisi dalam teori graf dan pelabelan graf yang akan digunakan dalam penyusunan karya ilmiah ini.

sisinya tidak mempunyai arah. Contoh graf tak berarah dapat dilihat pada Gambar 1. 𝐺: a

2.1 Teori Graf Definisi 1 (Graf) Suatu graf 𝐺 adalah pasangan terurut (𝑉, 𝐸) dengan 𝑉 adalah himpunan takkosong dan berhingga dan 𝐸 adalah himpunan pasangan tak terurut yang menghubungkan elemen-elemen 𝑉. Graf 𝐺 dinotasikan 𝐺 = (𝑉, 𝐸). Elemen 𝑉 disebut simpul (vertex) sedangkan elemen 𝐸 disebut sisi (edge). Himpunan dari simpul-simpul pada graf 𝐺 dinotasikan dengan 𝑉(𝐺), sedangkan himpunan dari sisi-sisi pada graf 𝐺 dinotasikan dengan 𝐸(𝐺). (Foulds 1992) Graf yang dimaksud pada definisi tersebut adalah graf tak berarah artinya graf yang

c

b

d

e

Gambar 1 Graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸). Himpunan simpul dan himpunan sisi graf pada Gambar 1 adalah 𝑉(𝐺) = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} 𝐸 𝐺 = { 𝑎, 𝑏 , 𝑏, 𝑐 , 𝑎, 𝑐 , 𝑏, 𝑑 , 𝑐, 𝑒 }.

ix

2

Definisi 2 (Order dan Size) Misalkan diberikan graf 𝐺. Banyaknya simpul pada graf 𝐺 disebut order dan banyaknya sisi pada graf 𝐺 disebut size. Order dari graf 𝐺 dinotasikan dengan |𝑉 𝐺 | dan size dari graf 𝐺 dinotasikan dengan |𝐸 𝐺 |. (Chartrand & Oellermann 1993) Pada Gambar 1, nilai dari 𝑉 𝐺 𝐸 𝐺 = 5.

= 5 dan

Definisi 3 (Incident dan Adjacent) Misalkan diberikan graf 𝐺. Jika 𝑒 = {𝑢, 𝑣} ∈ 𝐸(𝐺) dengan 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) maka 𝑢 dan 𝑣 dikatakan adjacent di 𝐺 dan 𝑒 dikatakan incident dengan 𝑢 dan 𝑣. (Chartrand & Oellermann 1993) Pada Gambar 1, misalkan 𝑒 = {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸(𝐺) maka 𝑎 dan 𝑏 dikatakan adjacent di 𝐺 dan 𝑒 dikatakan incident dengan 𝑎 dan 𝑏. Definisi 4 (Degree) Derajat (degree) dari suatu simpul 𝑣 pada graf 𝐺 adalah banyaknya sisi yang incident dengan 𝑣 dan dinotasikan dengan deg 𝑣. (Chartrand & Oellermann 1993) Pada Gambar 1, derajat setiap simpulnya ialah deg 𝑎 = 2, deg 𝑏 = 3, deg 𝑐 = 3, deg 𝑑 = 1, dan deg 𝑒 = 1. Definisi 5 (Walk) Suatu walk pada graf 𝐺 adalah suatu barisan simpul dan sisi dari graf 𝐺 dengan bentuk {𝑣1 , 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣2 , 𝑣2 , 𝑣3 , 𝑣3 , … , 𝑣𝑛 −1 , 𝑣𝑛 , 𝑣𝑛 } dan dapat dituliskan sebagai {𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 } atau 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 . Suatu walk yang menghubungkan 𝑣1 dengan 𝑣𝑛 dikatakan tertutup jika 𝑣1 = 𝑣𝑛 . Jika 𝑣1 ≠ 𝑣𝑛 maka walk tersebut dikatakan terbuka. (Foulds 1992)

a

c

b

Gambar 2 Cycle. Definisi 7 (Graf Nontrivial) Suatu graf 𝐺 disebut graf nontrivial jika suatu graf 𝐺 memiliki order paling sedikit dua. (Chartrand & Oellermann 1993) Berikut ini diberikan contoh graf nontrivial ber-order 3. 𝐺:

Gambar 3 Graf 𝐺 nontrivial. Definisi 8 (Graf Cycle) Suatu graf ber-order 𝑛 dengan 𝑛 ≥ 3 yang membentuk sebuah cycle disebut graf cycle dan dinotasikan dengan 𝐶𝑛 . (Chartrand & Oellermann 1993) Berikut ini diberikan contoh graf cycle berorder 5. 𝐶5 :

a

b

e

c

d

Pada Gambar 1, terdapat walk terbuka yaitu walk {𝑎, 𝑎, 𝑏 , 𝑏, {𝑏, 𝑐}, 𝑐, {𝑐, 𝑒}, 𝑒}.

Gambar 4 Graf cycle ber-order 5.

Definisi 6 (Cycle) Cycle pada suatu graf 𝐺 adalah walk tertutup yang mengandung setidaknya tiga simpul dan semua simpulnya berbeda. (Foulds 1992)

Definisi 9 (Graf Lengkap) Graf ber-order 𝑝 yang setiap dua simpulnya adjacent disebut graf lengkap (complete graph) dan dinotasikan dengan 𝐾𝑝 . (Chartrand & Oellermann 1993)

Pada Gambar 1 terdapat cycle pada graf 𝐺 yang terdiri atas tiga simpul, yaitu

Berikut diberikan contoh graf lengkap berorder 5 seperti pada Gambar 5.

3

𝐾5 :

𝐶4 + 𝐾1 :

Gambar 5 Graf lengkap ber-order 5. Gambar 7 Join dari 2 graf. Definisi 10 (Union dari 2 Graf) Misalkan 𝐺1 dan 𝐺2 adalah graf dengan himpunan simpul yang disjoint, maka union dari 𝐺1 dan 𝐺2 , dituliskan 𝐺1 ∪ 𝐺2 , adalah graf yang memiliki 𝑉 𝐺1 ∪ 𝐺2 = 𝑉(𝐺1 ) ∪ 𝑉(𝐺2 ) dan 𝐸 𝐺1 ∪ 𝐺2 = 𝐸(𝐺1 ) ∪ 𝐸(𝐺2 ). (Chartrand & Oellermann 1993) Berikut diberikan contoh union dari 2 graf. 𝐾3 ∪ 3𝐾1 :

Definisi 12 (Graf Wheel) Untuk 𝑛 ≥ 4, graf wheel 𝑊𝑛 dengan order 𝑛 adalah join dari graf cycle 𝐶𝑛−1 ber-order 𝑛 − 1 dan graf lengkap (complete graph) 𝐾1 ber-order 1. (Fukuchi 2001) Berikut diberikan contoh graf wheel ber-order 7. 𝑊7 :

v1

v2

v0

v6

v3

Gambar 6 Union dari 2 graf. Definisi 11 (Join dari 2 Graf) Misalkan 𝐺1 dan 𝐺2 adalah graf dengan himpunan simpul yang disjoint, maka join dari 𝐺1 dan 𝐺2 , dituliskan 𝐺1 +𝐺2 , adalah graf 𝐺1 ∪ 𝐺2 dimana setiap simpul di 𝐺1 adjacent dengan setiap simpul di 𝐺2 ditambah semua sisi bertipe 𝑣1 𝑣2 dengan 𝑣1 ∈ 𝑉(𝐺1 ) dan 𝑣2 ∈ 𝑉(𝐺2 ). (Chartrand & Oellermann 1993)

v5

v4

Gambar 8 Graf wheel ber-order 7. 2.2 Pelabelan Graf Karya ilmiah ini membahas pelabelan super edge magic pada graf cycle dan graf wheel. Berikut dijelaskan beberapa definisi tentang pelabelan graf.

Berikut diberikan contoh join dari 2 graf. 𝐶4 :

𝐾1 :

Definisi 13 (Pelabelan Edge Magic) Misalkan 𝐺 graf dengan 𝑝 simpul dan 𝑞 sisi. Suatu pemetaan bijektif 𝑓 dari himpunan simpul gabung himpunan sisi ke himpunan {1, 2, … , 𝑝 + 𝑞) disebut sebagai pelabelan edge magic pada 𝐺 jika ada konstanta 𝑠 ∈ ℕ (disebut magic number 𝑓) sehingga 𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑣) + 𝑓(𝑢𝑣) = 𝑠 untuk setiap 𝑢𝑣 ∈ 𝐸(𝐺). (Enomoto et al. 1998) Berikut ini diberikan contoh pelabelan edge magic. Misalkan diberikan graf seperti pada Gambar 9. Banyaknya simpul ialah 3 dan banyaknya sisi juga 3, maka masing-masing berlabel 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.

4

𝐶3 : a

b

c

Gambar 9 Graf cycle ber-order 3. Misalkan simpul-simpul pada graf 𝐶3 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu 𝑓 𝑎 =4 𝑓 𝑏 =6 𝑓 𝑐 =2 Dipilih 𝑠 = 11, maka diperoleh label sisi, sehingga 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑎𝑏 = 4 + 6 + 1 = 11 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑎𝑐 = 4 + 2 + 5 = 11 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 6 + 2 + 3 = 11 dan dapat digambarkan seperti Gambar 10 (a). Sedangkan untuk 𝑠 = 12 dan misalkan simpul-simpulnya dipadankan dengan suatu nilai 𝑓 𝑎 =6 𝑓 𝑏 =5 𝑓 𝑐 =4 sehingga diperoleh 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑎𝑏 = 6 + 5 + 1 = 12 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑎𝑐 = 6 + 4 + 2 = 12 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 5 + 4 + 3 = 12 dan dapat digambarkan seperti Gambar 10 (b). (a)

Dari dua pelabelan tersebut, dapat dilihat bahwa pelabelan edge magic tidak tunggal. Nilai 𝑠 dapat berubah-ubah dengan memperhatikan label simpulnya. Pada dasarnya proses pelabelan edge magic pada graf cycle diperoleh dengan mencoba-coba semua kemungkinan label yang ada. Definisi 14 (Pelabelan Super Edge Magic) Misalkan 𝐺 graf dengan 𝑝 simpul dan 𝑞 sisi, dan 𝐺 memiliki pelabelan edge magic 𝑓. Jika 𝑓: 𝑉 𝐺 → {1, 2, … , 𝑝} dan 𝑓: 𝐸 𝐺 → {𝑝 + 1, 𝑝 + 2, … , 𝑝 + 𝑞} maka 𝑓 disebut pelabelan super edge magic. (Enomoto et al. 1998) Berikut ini diberikan contoh pelabelan super edge magic. Diberikan graf seperti pada Gambar 9. Berdasarkan definisi pelabelan super edge magic, maka 𝑓: 𝑉 𝐶3 → {1, 2, 3} dan 𝑓: 𝐸 𝐶3 → {4, 5, 6}. Misalkan simpulsimpul pada graf 𝐶3 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu 𝑓 𝑎 =1 𝑓 𝑏 =3 𝑓 𝑐 =2 Dipilih 𝑠 = 9, maka diperoleh label sisi, sehingga 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑎𝑏 = 1 + 3 + 5 = 9 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑎𝑐 = 1 + 2 + 6 = 9 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 3 + 2 + 4 = 9 dan dapat digambarkan sebagai berikut 1

4 5

1

5 3

6

3

2

(b)

1

2 3

4

2

Gambar 11 Pelabelan super edge magic pada graf 𝐶3 . Definisi 15 (Graf Super Edge Magic) Suatu graf 𝐺 disebut super edge magic jika terdapat sebuah pelabelan super edge magic dari 𝐺. (Enomoto et al. 1998)

6

5

6

4

Gambar 10 Pelabelan edge magic pada graf 𝐶3 .

Gambar 11 merupakan contoh graf super edge magic karena memiliki pelabelan super edge magic.

5

III PEMBAHASAN Karya ilmiah ini membahas lema dan teorema-teorema yang membuktikan bahwa graf cycle dan graf wheel memiliki pelabelan super edge magic. Misalkan diberikan graf seperti pada Gambar 9. Banyaknya simpul dan sisi ialah 3. Graf tersebut dilabeli dengan 𝑓: 𝑉 𝐶3 → {1, 2, 3} dan 𝑓: 𝐸 𝐶3 → {4, 5, 6}, sehingga diperoleh graf seperti pada Gambar 11. Berikut ini diberikan lema yang akan digunakan untuk membuktikan teorema selanjutnya. Lema 3.1 Jika 𝐺 graf nontrivial yang super edge magic, maka |𝐸 𝐺 | ≤ 2|𝑉 𝐺 | − 3. (Enomoto et al. 1998) Bukti : Misalkan 𝐺 graf nontrivial yang super edge magic. Akan dibuktikan bahwa |𝐸 𝐺 | ≤ 2|𝑉 𝐺 | − 3. Misalkan 𝐺 memiliki 𝑝 simpul dan 𝑞 sisi. Karena 𝐺 graf yang super edge magic artinya ada konstanta 𝑠 sehingga 𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑣) + 𝑓(𝑢𝑣) = 𝑠 dan 𝑓: 𝑉(𝐺) → {1, 2, … , 𝑝}, 𝑓: 𝐸(𝐺) → {𝑝 + 1, 𝑝 + 2, … , 𝑝 + 𝑞}. Maka akan dilihat nilai 𝑠 yang maksimum dan minimum, karena untuk melabeli suatu graf harus dilihat kemungkinan 𝑠 yang maksimum dan minimumnya. (i) Akan dilihat nilai 𝑠 yang maksimum. Pilih 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) maka magic number yang maksimum yaitu 𝑓 𝑢 = 𝑝, karena magic number yang maksimum 𝑝 maka kemungkinan yang maksimum untuk 𝑓(𝑣) ialah 𝑝 − 1, sehingga diperoleh 𝑓 𝑢 +𝑓 𝑣 =𝑝+ 𝑝−1 = 𝑉 𝐺 + (|𝑉 𝐺 | − 1) Karena simpul yang maksimumnya 𝑝 maka 𝑓 𝑢𝑣 = 𝑝 + 1 = |𝑉 𝐺 | + 1 Ini berarti 𝑠 = 𝑓 𝑢 + 𝑓 𝑣 + 𝑓 𝑢𝑣 = 𝑉 𝐺 + 𝑉 𝐺 −1 +(|𝑉 𝐺 | + 1) (ii) Akan dilihat nilai 𝑠 yang minimum. Untuk melakukan pelabelan, pilih magic number yang minimum yaitu 𝑓 𝑢 = 1 dan untuk 𝑓 𝑢𝑣 pilih magic number yang maksimum yaitu 𝑓 𝑢𝑣 = 𝑝 + 𝑞. Karena 𝑓 𝑢 = 1 maka paling tidak sisi yang minimumnya yaitu 𝑓 𝑣 = 1 + 1 = 2, sehingga diperoleh

𝑠 = 𝑓 𝑢 + 𝑓 𝑣 + 𝑓 𝑢𝑣 = 1 + 2 + (𝑝 + 𝑞) =1+2+( 𝑉 𝐺 + 𝐸 𝐺 ) Dari (i) dan (ii) dapat diperoleh 1+2+ 𝑉 𝐺 + 𝐸 𝐺 ≤𝑠 ≤ 𝑉 𝐺 + 𝑉 𝐺 −1 + (|𝑉 𝐺 | + 1) 3 + |𝑉 𝐺 | + |𝐸 𝐺 | ≤ 3|𝑉 𝐺 | |𝐸 𝐺 | ≤ 3|𝑉 𝐺 | − 3 − |𝑉 𝐺 | 𝐸 𝐺 | ≤2 𝑉 𝐺 |−3 ∎ Berikut ini diberikan ilustrasi Lema 3.1. Ilustrasi pertama, akan ditunjukkan graf yang super edge magic dan memenuhi |𝐸 𝐺 | ≤ 2|𝑉 𝐺 | − 3. Misalkan diberikan graf 𝐶3 seperti pada Gambar 9, banyaknya simpul dan sisi ialah 3. Jadi 𝐸 𝐺 | = 𝑉 𝐺 | = 3 dan 𝐸 𝐺 |=3≤2 𝑉 𝐺 |−3 =2 3 −3 = 3. Graf 𝐶3 merupakan graf super edge magic dan pertaksamaan pada Lema 3.1 dipenuhi. Ilustrasi kedua, akan ditunjukkan graf yang bukan super edge magic dan memenuhi |𝐸 𝐺 | ≤ 2|𝑉 𝐺 | − 3. Misalkan diberikan graf 𝐶4 seperti pada Gambar 14, banyaknya simpul dan sisi pada graf 𝐶4 adalah 4. Jadi 𝐸 𝐺 | = 𝑉 𝐺 | = 4 dan 𝐸 𝐺 |=4≤2 𝑉 𝐺 |−3 =2 4 −3 =5 Graf 𝐶4 bukan graf super edge magic (bukti dapat dilihat dilampiran) dan pertaksamaan pada Lema 3.1 dipenuhi. Ilustrasi ketiga, akan ditunjukkan graf yang bukan super edge magic dan tidak memenuhi |𝐸 𝐺 | ≤ 2|𝑉 𝐺 | − 3. Misalkan diberikan graf 𝑊5 seperti pada Gambar 23, banyaknya simpul adalah 5 dan banyaknya sisi adalah 8. Jadi |𝐸 𝐺 | = 8, |𝑉 𝐺 | = 5, dan 𝐸 𝐺 |=8≤2 𝑉 𝐺 |−3 =2 5 −3 =7 Graf 𝑊5 bukan graf super edge magic karena pertaksamaan pada Lema 3.1 tidak dipenuhi sehingga Lema 3.1 tidak dipenuhi. Lema 3.1 akan digunakan untuk menunjukkan graf cycle dan graf wheel memiliki pelabelan super edge magic. Sebelum membuktikan Teorema 3.2 akan diperlihatkan contoh cara pelabelan super edge magic pada suatu graf cycle. Misalkan diberikan graf cycle ber-order 9 dengan bentuk seperti pada Gambar 12.

6

𝐶9 :

Teorema 3.2 Cycle 𝐶𝑛 adalah super edge magic jika dan hanya jika 𝑛 ganjil. (Enomoto et al. 1998)

a b

i

c

h

g

d

f

e

Gambar 12 Graf cycle ber-order 9. Graf 𝐶9 tersebut akan dilabeli dengan 𝑓: 𝑉 𝐶9 → {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dan 𝑓: 𝐸 𝐶9 → {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18} sehingga menjadi graf super edge magic. Misalkan simpul-simpul pada graf 𝐶9 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu 𝑓 𝑎 =1 𝑓 𝑓 =8 𝑓 𝑏 =6 𝑓 𝑔 =4 𝑓 𝑐 =2 𝑓 𝑕 =9 𝑓 𝑑 =7 𝑓 𝑖 =5 𝑓 𝑒 =3 Dipilih 𝑠 = 24, maka diperoleh label sisi, sehingga 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑎𝑏 = 1 + 6 + 17 = 24 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 6 + 2 + 16 = 24 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑐𝑑 = 2 + 7 + 15 = 24 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑒 + 𝑓 𝑑𝑒 = 7 + 3 + 14 = 24 𝑓 𝑒 + 𝑓 𝑓 + 𝑓 𝑒𝑓 = 3 + 8 + 13 = 24 𝑓 𝑓 + 𝑓 𝑔 + 𝑓 𝑓𝑔 = 8 + 4 + 12 = 24 𝑓 𝑔 + 𝑓 𝑕 + 𝑓 𝑔𝑕 = 4 + 9 + 11 = 24 𝑓 𝑕 + 𝑓 𝑖 + 𝑓 𝑕𝑖 = 9 + 5 + 10 = 24 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑖 + 𝑓 𝑎𝑖 = 1 + 5 + 18 = 24 dan dapat digambarkan sebagai berikut 1 18

17 6

5 10

16 2

9

15

11

7

4 12

14 3

13

8

Gambar 13 Pelabelan super edge magic pada graf 𝐶9 . Cara pelabelan tersebut merupakan salah satu contoh cara pelabelan super edge magic pada suatu graf cycle. Cara ini juga digunakan untuk membuktikan Teorema 3.2. Berikut akan dibuktikan Teorema 3.2 yang menyatakan bahwa graf 𝐶𝑛 memiliki pelabelan super edge magic.

Bukti : (⟹) Misalkan cycle 𝐶𝑛 adalah graf super edge magic. Akan dibuktikan 𝑛 bilangan ganjil. Bukti : Misalkan 𝐶𝑛 adalah graf super edge magic artinya ada pelabelan super edge magic 𝑓 dengan 𝑠 sebagai magic number. Artinya ada konstanta 𝑠 sehingga 𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑣) + 𝑓(𝑢𝑣) = 𝑠 dan 𝑓 𝑉 𝐶𝑛 → {1, 2, … , 𝑛}, 𝑓 𝐸 𝐶𝑛 → {𝑛 + 1, 𝑛 + 2, … , 𝑛 + 𝑛}. Karena setiap 𝑢𝑣 ∈ 𝐸(𝐶𝑛 ) berlaku 𝑠 = 𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑣) + 𝑓(𝑢𝑣) akibatnya 𝑠𝑛 =

𝑓 𝑢 + 𝑓 𝑣 + 𝑓 𝑢𝑣 𝑢𝑣 ∈𝐸 𝐶𝑛

=2

𝑓(𝑣) + 𝑣∈𝑉(𝐶𝑛 )

𝑓(𝑢𝑣) 𝑢𝑣 ∈𝐸(𝐶𝑛 )

= 2 1+2+⋯+𝑛 +( 𝑛 +1 +(𝑛 + 2) + ⋯ + (𝑛 + 𝑛)) 𝑛

=2

2𝑛

𝑖+ 𝑖=1 𝑛

=2

𝑖 𝑖=𝑛+1 2𝑛

𝑖+ 𝑖=1

𝑛

𝑖− 𝑖=1

𝑖 𝑖=1

𝑛 𝑛+1 =2 2 2𝑛(2𝑛 + 1) 𝑛(𝑛 + 1) + − 2 2 𝑛 𝑛+1 =2 2 4𝑛2 + 2𝑛 − 𝑛2 − 𝑛 + 2 𝑛(𝑛 + 1) 3𝑛2 + 𝑛 =2 + 2 2 𝑛(3𝑛 + 1) = 𝑛(𝑛 + 1) + 2 Ini berarti 𝑛(3𝑛 + 1) 𝑛(𝑛 + 1) = 𝑠𝑛 − 2 3𝑛 + 1 𝑛(𝑛 + 1) = 𝑛 𝑠 − 2 3𝑛 + 1 𝑛+1=𝑠− 2 3𝑛 + 1 =𝑠−𝑛−1 2 Karena 𝑠 dan 𝑛 adalah bilangan bulat 3𝑛+1 maka bilangan bulat, sehingga 2

7

3𝑛 + 1 haruslah genap. Akibatnya 3𝑛 ganjil, maka 𝑛 bilangan ganjil. ∎ (⟸) Misalkan 𝑛 adalah bilangan ganjil. Akan dibuktikan cycle 𝐶𝑛 adalah graf super edge magic. Bukti : Misalkan 𝑛 = 2𝑚 + 1 adalah bilangan ganjil dan diberikan graf cycle 𝐶𝑛 . Dimisalkan juga 𝑉 𝐶𝑛 = {𝑣0 , 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 −1 } 𝐸 𝐶𝑛 = {𝑣0 𝑣1 , 𝑣1 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 −2 𝑣𝑛 −1 , 𝑣𝑛 −1 𝑣0 }. Didefinisikan 𝑖+2 ; 𝑖 genap 2 𝑓(𝑣𝑖 ) = 𝑖+3 𝑚+ ; 𝑖 ganjil 2 𝑓(𝑣𝑛−1 𝑣0 ) = 2𝑛 𝑓(𝑣𝑖 𝑣𝑖+1 ) = 2𝑛 − 1 − 𝑖 dengan 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 2. Ambil sembarang 𝑣𝑖 𝑣𝑖+1 dengan 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 2 dan 𝑖 ganjil maka 𝑠 = 𝑓 𝑣𝑖 + 𝑓 𝑣𝑖+1 + 𝑓 𝑣𝑖 𝑣𝑖+1 (𝑖 + 1) + 2 𝑖+3 + = 𝑚+ 2 2 +(2𝑛 − 1 − 𝑖) 𝑖+3 𝑖+3 + + 2𝑛 − 1 − 𝑖 =𝑚+ 2 2 = 𝑚 + 𝑖 + 3 + 2𝑛 − 1 − 𝑖 = 𝑚 + 2𝑛 + 2 𝑛−1 = + 2𝑛 + 2 2 𝑛 − 1 + 4𝑛 + 4 = 2 5𝑛 + 3 = 2 dan untuk 𝑣𝑛 −1 𝑣0 𝑠 = 𝑓(𝑣𝑛−1 ) + 𝑓(𝑣0 ) + 𝑓(𝑣𝑛−1 𝑣0 ) (𝑛 − 1) + 2 0+2 + + 2𝑛 = 2 2 𝑛+3 = + 2𝑛 2 𝑛 + 3 + 4𝑛 = 2 5𝑛 + 3 = 2 Karena 𝑛 ganjil maka 5𝑛 ganjil, sehingga 5𝑛 + 3 haruslah genap. 5𝑛 +3 Akibatnya bilangan bulat, maka 𝑠 2 bilangan bulat. Jadi, 𝑓 adalah pelabelan super edge magic dengan magic 5𝑛+3 number 𝑠 = . 2 ∎

Berikut ini diberikan ilustrasi untuk lebih memahami Teorema 3.2. Ada beberapa ilustrasi yang akan diberikan. Pada dasarnya proses pelabelan edge magic dan pelabelan super edge magic pada graf cycle diperoleh dengan mencoba-coba semua kemungkinan label yang ada. Ilustrasi pertama, misalkan diberikan graf 𝐶4 dengan banyaknya simpul 4 dan banyaknya sisi 4, dengan bentuk graf seperti pada Gambar 14. 𝐶4 : a

b

d

c

Gambar 14 Graf cycle ber-order 4. Untuk memperoleh pelabelan edge magic maka simpul dan sisi berlabel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Misalkan simpul-simpul pada graf 𝐶4 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu 𝑓 𝑎 =6 𝑓 𝑐 =3 𝑓 𝑏 =7 𝑓 𝑑 =8 Dipilih 𝑠 = 15, maka diperoleh label sisi, sehingga 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑎𝑏 = 6 + 7 + 2 = 15 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 7 + 3 + 5 = 15 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑐𝑑 = 3 + 8 + 4 = 15 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑎𝑑 = 6 + 8 + 1 = 15 dan dapat digambarkan sebagai berikut 6 2

1

7

8 5

4 3

Gambar 15 Pelabelan edge magic pada graf 𝐶4 . Ilustrasi kedua, misalkan diberikan graf 𝐶5 dengan banyaknya simpul 5 dan banyaknya sisi 5, dengan bentuk graf seperti pada Gambar 4. Untuk memperoleh pelabelan graf edge magic maka simpul dan sisi berlabel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Misalkan simpulsimpul pada graf 𝐶5 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu

8

𝑓 𝑎 = 10 𝑓 𝑑 =8 𝑓 𝑏 =6 𝑓 𝑒 =4 𝑓 𝑐 =2 Dipilih 𝑠 = 17, maka diperoleh label sisi, sehingga 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑎𝑏 = 10 + 6 + 1 = 17 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 6 + 2 + 9 = 17 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑐𝑑 = 2 + 8 + 7 = 17 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑒 + 𝑓 𝑑𝑒 = 8 + 4 + 5 = 17 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑒 + 𝑓 𝑎𝑒 = 10 + 4 + 3 = 17 dan dapat digambarkan sebagai berikut

𝐶6 :

b

3

6

4 9

5

2

8

7

Gambar 16 Pelabelan edge magic pada graf 𝐶5 . Sedangkan untuk memperoleh pelabelan super edge magic maka dilabeli dengan 𝑓: 𝑉 𝐶5 → {1, 2, 3, 4, 5} dan 𝑓: 𝐸 𝐶5 → {6, 7, 8, 9, 10}. Misalkan simpul-simpul pada graf 𝐶5 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu 𝑓 𝑎 =1 𝑓 𝑑 =2 𝑓 𝑏 =3 𝑓 𝑒 =4 𝑓 𝑐 =5 Karena graf 𝐶5 ber-order 5 dan 5 merupakan bilangan ganjil maka berdasarkan Teorema 3.2 diperoleh graf 𝐶5 super edge magic maka 5𝑛+3 berlaku 𝑠 = = 14 dan diperoleh label 2 sisi, sehingga 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑎𝑏 = 1 + 3 + 10 = 14 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 3 + 5 + 6 = 14 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑐𝑑 = 5 + 2 + 7 = 14 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑒 + 𝑓 𝑑𝑒 = 2 + 4 + 8 = 14 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑒 + 𝑓 𝑎𝑒 = 1 + 4 + 9 = 14 dan dapat digambarkan sebagai berikut 1 9

10 3

4 8

6 5

7

Ilustrasi ketiga, misalkan diberikan graf 𝐶6 dengan banyaknya simpul 6 dan banyaknya sisi 6, dengan bentuk graf seperti pada Gambar 18.

d

Gambar 18 Graf cycle ber-order 6. Untuk memperoleh pelabelan edge magic maka simpul dan sisi berlabel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Misalkan simpul-simpul pada graf 𝐶6 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu 𝑓 𝑎 =7 𝑓 𝑑 =6 𝑓 𝑏 =2 𝑓 𝑒 =5 𝑓 𝑐 = 10 𝑓 𝑓 = 12 Dipilih 𝑠 = 20, maka diperoleh label sisi, sehingga 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑎𝑏 = 7 + 2 + 11 = 20 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 2 + 10 + 8 = 20 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑐𝑑 = 10 + 6 + 4 = 20 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑒 + 𝑓 𝑑𝑒 = 6 + 5 + 9 = 20 𝑓 𝑒 + 𝑓 𝑓 + 𝑓 𝑒𝑓 = 5 + 12 + 3 = 20 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑓 + 𝑓 𝑎𝑓 = 7 + 12 + 1 = 20 dan dapat digambarkan sebagai berikut 7

12

1

3

11 2

5 8

9 10

4

6

Gambar 19 Pelabelan edge magic pada graf 𝐶6 . Ilustrasi keempat, misalkan diberikan graf 𝐶7 dengan banyaknya simpul 7 dan banyaknya sisi 7, dengan bentuk graf sebagai berikut 𝐶7 : a

2

Gambar 17 Pelabelan super edge magic pada graf 𝐶5 .

e

c

10 1

f

a

b

g

c

f

d

e

Gambar 20 Graf cycle ber-order 7.

9

Untuk memperoleh pelabelan edge magic maka simpul dan sisi berlabel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. Misalkan simpulsimpul pada graf 𝐶7 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu 𝑓 𝑎 = 14 𝑓 𝑒 = 10 𝑓 𝑏 =6 𝑓 𝑓 =3 𝑓 𝑐 =5 𝑓 𝑔 =7 𝑓 𝑑 =4 Dipilih 𝑠 = 22, maka diperoleh label sisi, sehingga 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑎𝑏 = 14 + 6 + 2 = 22 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 6 + 5 + 11 = 22 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑐𝑑 = 5 + 4 + 13 = 22 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑒 + 𝑓 𝑑𝑒 = 4 + 10 + 8 = 22 𝑓 𝑒 + 𝑓 𝑓 + 𝑓 𝑒𝑓 = 10 + 3 + 9 = 22 𝑓 𝑓 + 𝑓 𝑔 + 𝑓 𝑓𝑔 = 3 + 7 + 12 = 22 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑔 + 𝑓 𝑎𝑔 = 14 + 7 + 1 = 22 dan dapat digambarkan sebagai berikut 14 2

1

6

7

11

12

5

3 13

9 4

8

10

1 5

4

12

8

2

7 11

9 6

3

10

Gambar 22 Pelabelan super edge magic pada graf 𝐶7 . Dari keempat ilustrasi dapat dilihat bahwa 𝐶𝑛 dengan order 𝑛 genap yaitu 𝐶4 dan 𝐶6 merupakan graf edge magic, dan 𝐶4 bukan graf super edge magic (bukti dapat dilihat dilampiran). Sedangkan 𝐶𝑛 dengan order 𝑛 ganjil yaitu 𝐶5 dan 𝐶7 merupakan graf edge magic dan graf super edge magic. Pada teorema selanjutnya, yaitu Teorema 3.3, akan ditunjukkan bahwa graf wheel bukan graf super edge magic. Sebelum membuktikan Teorema 3.3 akan diperlihatkan contoh cara pelabelan edge magic pada suatu graf wheel. Misalkan diberikan graf wheel ber-order 5 dengan bentuk seperti pada Gambar 23. 𝑊5 :

Gambar 21 Pelabelan edge magic pada graf 𝐶7 . Sedangkan untuk memperoleh pelabelan super edge magic maka graf 𝐶7 dilabeli dengan 𝑓: 𝑉 𝐶7 → {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} dan 𝑓: 𝐸 𝐶7 → {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}. Misalkan simpul-simpul pada graf 𝐶7 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu 𝑓 𝑎 =1 𝑓 𝑒 =3 𝑓 𝑏 =5 𝑓 𝑓 =7 𝑓 𝑐 =2 𝑓 𝑔 =4 𝑓 𝑑 =6 Karena graf 𝐶7 dengan order 7 dan 7 merupakan bilangan ganjil maka berdasarkan Teorema 3.2 diperoleh graf 𝐶7 super edge 5𝑛+3 magic maka berlaku 𝑠 = = 19 dan 2 diperoleh label sisi, sehingga 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑎𝑏 = 1 + 5 + 13 = 19 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 5 + 2 + 12 = 19 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑐𝑑 = 2 + 6 + 11 = 19 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑒 + 𝑓 𝑑𝑒 = 6 + 3 + 10 = 19 𝑓 𝑒 + 𝑓 𝑓 + 𝑓 𝑒𝑓 = 3 + 7 + 9 = 19 𝑓 𝑓 + 𝑓 𝑔 + 𝑓 𝑓𝑔 = 7 + 4 + 8 = 19 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑔 + 𝑓 𝑎𝑔 = 1 + 4 + 14 = 19 dan dapat digambarkan seperti pada Gambar 22.

14

13

v1

v4

v0

v2

v3

Gambar 23 Graf wheel ber-order 5. Untuk memperoleh pelabelan edge magic maka simpul dan sisi berlabel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. Misalkan simpulsimpul pada graf 𝑊5 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu 𝑓 𝑣0 = 7 𝑓 𝑣3 = 1 𝑓 𝑣1 = 4 𝑓 𝑣4 = 12 𝑓 𝑣2 = 11 Dipilih 𝑠 = 21, maka diperoleh label sisi, sehingga 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣1 𝑣2 = 4 + 11 + 6 = 21 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣2 𝑣3 = 11 + 1 + 9 = 21 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣4 + 𝑓 𝑣3 𝑣4 = 1 + 12 + 8 = 21

10

𝑓 𝑣4 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣4 𝑣1 = 12 + 4 + 5 = 21 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣0 𝑣1 = 7 + 4 + 10 = 21 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣0 𝑣2 = 7 + 11 + 3 = 21 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣0 𝑣3 = 7 + 1 + 13 = 21 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣4 + 𝑓 𝑣0 𝑣4 = 7 + 12 + 2 = 21 dan dapat digambarkan seperti berikut 4 5

7

2

12 8

6

10

11

3 13

9

1

Gambar 24 Pelabelan edge magic pada graf 𝑊5 . Berikut diberikan beberapa contoh cara untuk memperoleh nilai 𝑠. Untuk 𝑊6 seperti pada Gambar 26, karena 𝑊6 memiliki 10 sisi maka 10𝑠 = 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓(𝑣1 𝑣2 ) +𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓(𝑣2 𝑣3 ) +𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣4 + 𝑓(𝑣3 𝑣4 ) +𝑓 𝑣4 + 𝑓 𝑣5 + 𝑓(𝑣4 𝑣5 ) +𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓(𝑣5 𝑣1 ) +𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓(𝑣0 𝑣1 ) +𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓(𝑣0 𝑣2 ) +𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓(𝑣0 𝑣3 ) +𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣4 + 𝑓(𝑣0 𝑣4 ) +𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣5 + 𝑓(𝑣0 𝑣5 ) = 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣2 +𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣3 +𝑓 𝑣3 + 𝑓(𝑣4 ) + 𝑓(𝑣4 ) + 𝑓(𝑣4 ) +𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣0 +𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣0 +𝑓 𝑣1 𝑣2 + 𝑓 𝑣2 𝑣3 + 𝑓 𝑣3 𝑣4 +𝑓 𝑣4 𝑣5 + 𝑓 𝑣5 𝑣1 + 𝑓 𝑣0 𝑣1 +𝑓 𝑣0 𝑣2 + 𝑓 𝑣0 𝑣3 + 𝑓 𝑣0 𝑣4 +𝑓(𝑣0 𝑣5 ) = 2𝑓 𝑣1 + 2𝑓 𝑣2 + 2𝑓 𝑣3 + 2𝑓(𝑣4 ) +2𝑓 𝑣5 + 4𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣1 +𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓(𝑣4 ) + 𝑓 𝑣5 +𝑓 𝑣1 𝑣2 + 𝑓 𝑣2 𝑣3 + 𝑓 𝑣3 𝑣4 +𝑓 𝑣4 𝑣5 + 𝑓 𝑣5 𝑣1 + 𝑓 𝑣0 𝑣1 +𝑓 𝑣0 𝑣2 + 𝑓 𝑣0 𝑣3 + 𝑓 𝑣0 𝑣4 +𝑓(𝑣0 𝑣5 ) 5

=2

16

𝑓 𝑣𝑗 + 4𝑓(𝑣0 ) + 𝑗 =1

𝑖 𝑖=1

Untuk 𝑊7 seperti pada Gambar 8, karena 𝑊7 memiliki 12 sisi maka 12𝑠 = 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓(𝑣1 𝑣2 ) +𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓(𝑣2 𝑣3 ) +𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣4 + 𝑓(𝑣3 𝑣4 ) +𝑓 𝑣4 + 𝑓 𝑣5 + 𝑓(𝑣4 𝑣5 ) +𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣6 + 𝑓(𝑣5 𝑣6 ) +𝑓 𝑣6 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓(𝑣6 𝑣1 ) +𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓(𝑣0 𝑣1 ) +𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓(𝑣0 𝑣2 ) +𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓(𝑣0 𝑣3 ) +𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣4 + 𝑓(𝑣0 𝑣4 ) +𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣5 + 𝑓(𝑣0 𝑣5 ) +𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣6 + 𝑓(𝑣0 𝑣6 ) = 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣2 +𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣3 +𝑓 𝑣3 + 𝑓(𝑣4 ) + 𝑓(𝑣4 ) + 𝑓(𝑣4 ) +𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣6 +𝑓 𝑣6 + 𝑓 𝑣6 + 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣0 +𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣0 +𝑓 𝑣1 𝑣2 + 𝑓 𝑣2 𝑣3 + 𝑓 𝑣3 𝑣4 +𝑓 𝑣4 𝑣5 + 𝑓 𝑣5 𝑣6 + 𝑓(𝑣6 𝑣1 ) +𝑓 𝑣0 𝑣1 + 𝑓 𝑣0 𝑣2 + 𝑓 𝑣0 𝑣3 +𝑓 𝑣0 𝑣4 + 𝑓(𝑣0 𝑣5 ) + 𝑓(𝑣0 𝑣6 ) = 2𝑓 𝑣1 + 2𝑓 𝑣2 + 2𝑓 𝑣3 + 2𝑓(𝑣4 ) +2𝑓 𝑣5 + 2𝑓 𝑣6 + 5𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣0 +𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣4 +𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣6 + 𝑓 𝑣1 𝑣2 + 𝑓 𝑣2 𝑣3 +𝑓 𝑣3 𝑣4 + 𝑓 𝑣4 𝑣5 + 𝑓 𝑣5 𝑣6 +𝑓(𝑣6 𝑣1 ) + 𝑓 𝑣0 𝑣1 + 𝑓 𝑣0 𝑣2 +𝑓 𝑣0 𝑣3 + 𝑓 𝑣0 𝑣4 + 𝑓(𝑣0 𝑣5 ) +𝑓(𝑣0 𝑣6 ) 6

19

=2

𝑓 𝑣𝑗 + 5𝑓(𝑣0 ) + 𝑗 =1

𝑖 𝑖=1

Dilihat dari beberapa contoh di atas maka bentuk umum untuk setiap graf 𝑊𝑛 adalah sebagai berikut 2(𝑛 − 1)𝑠 = 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣1 𝑣2 +𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓(𝑣2 𝑣3 ) ⋮ +𝑓 𝑣𝑛−2 + 𝑓 𝑣𝑛 −1 + 𝑓 𝑣𝑛 −2 𝑣𝑛 −1 +𝑓 𝑣𝑛−1 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣𝑛−1 𝑣1 +𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣0 𝑣1 +𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣0 𝑣2 ⋮ +𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣𝑛 −1 + 𝑓 𝑣0 𝑣𝑛−1 2 𝑛 − 1 𝑠 = 2𝑓 𝑣1 + 2𝑓 𝑣2 + ⋯ +2𝑓 𝑣𝑛−1 + 𝑛 − 2 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣0 +𝑓 𝑣1 + ⋯ + 𝑓(𝑣𝑛 −1 ) + 𝑓 𝑣1 𝑣2 +𝑓 𝑣2 𝑣3 + ⋯ + 𝑓 𝑣𝑛−2 𝑣𝑛−1 +𝑓 𝑣𝑛−1 𝑣1 + 𝑓 𝑣0 𝑣1 + 𝑓 𝑣0 𝑣2 + ⋯ + 𝑓 𝑣0 𝑣𝑛 −1 𝑛−1

2 𝑛−1 𝑠=2

3𝑛−2

𝑓 𝑣𝑗 + 𝑗 =1

+ 𝑛 − 2 𝑓(𝑣0 )

𝑖 𝑖=1

(1)

11

Dari persamaan tersebut diperoleh

Cara tersebut akan digunakan untuk mempermudah pembuktian Teorema 3.3. Berikut akan dibuktikan Teorema 3.3.

3𝑛−2

𝑛−1

𝑖 = 2 𝑛−1 𝑠−2 𝑖=1

− 𝑛 − 2 𝑓(𝑣0 ) Misalkan 𝑛 ≡ 0 mod 4 maka 𝑛 dapat ditulis 𝑛 = 4𝑙 dengan 𝑙 ∈ ℤ sehingga

Teorema 3.3 Graf wheel 𝑊𝑛 dengan order 𝑛 bukan graf super edge magic. Bahkan 𝑊𝑛 dengan 𝑛 ≡ 0 mod 4 bukan graf edge magic. (Enomoto et al. 1998)

𝑛−1

2 𝑛−1 𝑠 =2

3 4𝑙 −2

3𝑛−2

𝑖= 𝑖=1 3𝑛−2

Akan dibuktikan: (i) Graf wheel 𝑊𝑛 dengan order 𝑛 bukan graf super edge magic. (ii) Graf wheel 𝑊𝑛 dengan 𝑛 ≡ 0 mod 4 bukan graf edge magic. Bukti : (i) Misalkan diberikan graf wheel 𝑊𝑛 dengan order 𝑛. Dengan Lema 3.1 akan dibuktikan 𝑊𝑛 bukan graf super edge magic. Bukti : Misalkan 𝑊𝑛 memiliki 𝑛 simpul dan 𝑚 sisi, maka 𝑓 𝑉 𝑊𝑛 → {1, 2, … , 𝑛} dan 𝑓 𝐸 𝑊𝑛 → {𝑛 + 1, 𝑛 + 2, … , 𝑛 + 𝑚}. Andaikan 𝑊𝑛 merupakan graf super edge magic. Berdasarkan Lema 3.1 diperoleh 𝐸 𝑊𝑛 | ≤ 2 𝑉 𝑊𝑛 | − 3 Sedangkan diketahui bahwa 𝑉 𝑊𝑛 = 𝑛 dan 𝐸 𝑊𝑛 = 2𝑛 − 2, akibatnya |𝐸 𝑊𝑛 | ≤ 2|𝑉 𝑊𝑛 | − 3 2𝑛 − 2 ≤ 2𝑛 − 3 −2 ≤ −3 terjadi kontradiksi. Akibatnya pengandaian salah, maka 𝑊𝑛 bukan graf super edge magic. (ii) Misalkan diberikan graf wheel 𝑊𝑛 dengan order 𝑛 dan 𝑛 ≡ 0 mod 4. Akan dibuktikan 𝑊𝑛 bukan graf edge magic. Bukti : Andaikan 𝑊𝑛 adalah graf edge magic artinya ada pelabelan edge magic 𝑓 dengan 𝑠 sebagai magic number, sehingga 𝑠 = 𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑣) + 𝑓(𝑢𝑣). Misalkan 𝑉 𝑊𝑛 = {𝑣0 , 𝑣1 , … , 𝑣𝑛−1 } dan 𝐸 𝑊𝑛 = 𝑣𝑖 𝑣𝑖+1 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 2 ∪ 𝑣𝑛−1 𝑣1 ∪ {𝑣0 𝑣𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} dengan deg 𝑣0 = 𝑛 − 1. Karena untuk setiap 𝑢𝑣 ∈ 𝐸(𝑊𝑛 ) berlaku 𝑠 = 𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑣) + 𝑓(𝑢𝑣) dan untuk setiap 𝑊𝑛 berlaku

𝑓 𝑣𝑗 𝑗 =1

𝑖 𝑖=1 12𝑙−2

𝑖 = 𝑖=1

𝑖 𝑖=1

1 12𝑙 − 2 (12𝑙 − 1) 2 1 = 2 6𝑙 − 1 12𝑙 − 1 2 = 6𝑙 − 1 (12𝑙 − 1) = 72𝑙 2 − 18𝑙 + 1 = 2 36𝑙 2 − 9𝑙 + 1 = 2𝑡 + 1 dengan 𝑡 bilangan bulat. Jadi merupakan bilangan ganjil. Sedangkan =

3𝑛−2 𝑖=1 𝑖

𝑛−1

2 𝑛−1 𝑠−2

𝑓 𝑣𝑗 − 𝑛 − 2 𝑓(𝑣0 ) 𝑗 =1

(2) Karena 𝑛 ≡ 0 mod 4, yang berarti 𝑛 = 4𝑙 untuk suatu bilangan bulat 𝑙, maka 𝑛 − 2 𝑓 𝑣𝑜 = 4𝑙 − 2 𝑓(𝑣0 ) = 2 2𝑙 − 1 𝑓(𝑣0 ) merupakan bilangan genap. Akibatnya persamaan (2) merupakan bilangan genap, sehingga terjadi kontradiksi. Akibatnya pengandaian salah, maka 𝑊𝑛 bukan merupakan graf edge magic. ∎

Berikut ini diberikan ilustrasi untuk lebih memahami Teorema 3.3. Ada beberapa ilustrasi yang akan diberikan. Pada dasarnya proses pelabelan edge magic pada graf wheel diperoleh dengan mencoba-coba semua kemungkinan label yang ada. 𝑊4 :

v1

3𝑛−2

𝑓 𝑣𝑗 + 𝑗 =1

+ 𝑛 − 2 𝑓(𝑣0 )

𝑖

v0

𝑖=1

v3

v2

Gambar 25 Graf wheel ber-order 4.

12

Ilustrasi pertama, misalkan diberikan graf wheel ber-order 4 dengan bentuk seperti pada Gambar 25. Misalkan simpul-simpul pada graf 𝑊4 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu 𝑓 𝑣0 = 5 𝑓 𝑣1 𝑣2 = 10 𝑓 𝑣0 𝑣1 = 8 𝑓 𝑣1 = 2 𝑓 𝑣2 𝑣3 = 4 𝑓 𝑣0 𝑣2 = 7 𝑓 𝑣2 = 3 𝑓 𝑣3 𝑣1 = 6 𝑓 𝑣0 𝑣3 = 9 𝑓 𝑣3 = 1 sehingga diperoleh 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣1 𝑣2 = 2 + 3 + 10 = 15 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣2 𝑣3 = 3 + 1 + 4 = 8 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣3 𝑣1 = 1 + 5 + 6 = 12 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣0 𝑣1 = 5 + 2 + 8 = 15 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣0 𝑣2 = 5 + 3 + 7 = 15 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣0 𝑣3 = 5 + 1 + 9 = 15 Terdapat nilai 𝑠 yang berbeda, sehingga graf 𝑊4 bukan graf edge magic. Ilustrasi kedua, misalkan diberikan graf wheel ber-order 6 dengan bentuk seperti pada Gambar 26. 𝑊6 : v1

𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣0 𝑣3 = 7 + 11 + 3 = 21 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣4 + 𝑓 𝑣0 𝑣4 = 7 + 4 + 10 = 21 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣0 𝑣5 = 7 + 1 + 13 = 21 dan dapat digambarkan sebagai berikut 5 15

9 13

1

10 4

2

12

7

16

14

3 6

8 11

Gambar 27 Pelabelan edge magic pada graf 𝑊6 . Ilustrasi ketiga, misalkan diberikan graf wheel ber-order 8 dengan bentuk seperti pada Gambar 28. 𝑊8 :

v1 v5

v2

v0

v7

v2 v0

v6 v4

v3

v3

Gambar 26 Graf wheel ber-order 6. Graf tersebut akan dilabeli sehingga memiliki graf edge magic. Simpul-simpul pada graf 𝑊6 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu 𝑓 𝑣0 = 7 𝑓 𝑣3 = 11 𝑓 𝑣1 = 5 𝑓 𝑣4 = 4 𝑓 𝑣2 = 2 𝑓 𝑣5 = 1 Dipilih 𝑠 = 21, maka diperoleh label sisi, sehingga 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣1 𝑣2 = 5 + 2 + 14 = 21 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣2 𝑣3 = 2 + 11 + 8 = 21 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣4 + 𝑓 𝑣3 𝑣4 = 11 + 4 + 6 = 21 𝑓 𝑣4 + 𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣4 𝑣5 = 4 + 1 + 16 = 21 𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣5 𝑣1 = 1 + 5 + 15 = 21 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣0 𝑣1 = 7 + 5 + 9 = 21 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣0 𝑣2 = 7 + 2 + 12 = 21

v5

v4

Gambar 28 Graf wheel ber-order 8. Misalkan simpul-simpul pada graf 𝑊4 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu 𝑓 𝑣0 = 10 𝑓 𝑣1 𝑣2 = 15 𝑓 𝑣0 𝑣1 = 16 𝑓 𝑣1 = 2 𝑓 𝑣2 𝑣3 = 8 𝑓 𝑣0 𝑣2 = 7 𝑓 𝑣2 = 11 𝑓 𝑣3 𝑣4 = 18 𝑓 𝑣0 𝑣3 = 3 𝑓 𝑣3 = 9 𝑓 𝑣4 𝑣5 = 19 𝑓 𝑣0 𝑣4 = 14 𝑓 𝑣4 = 4 𝑓 𝑣5 𝑣6 = 22 𝑓 𝑣0 𝑣5 = 13 𝑓 𝑣5 = 5 𝑓 𝑣6 𝑣7 = 21 𝑓 𝑣0 𝑣6 = 17 𝑓 𝑣6 = 1 𝑓 𝑣7 𝑣1 = 20 𝑓 𝑣0 𝑣7 = 12 𝑓 𝑣7 = 6 sehingga diperoleh 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣1 𝑣2 = 2 + 11 + 15 = 28 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣2 𝑣3 = 11 + 9 + 8 = 28 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣4 + 𝑓 𝑣3 𝑣4 = 9 + 4 + 18 = 31 𝑓 𝑣4 + 𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣4 𝑣5 = 4 + 5 + 19 = 28 𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣6 + 𝑓 𝑣5 𝑣6 = 5 + 1 + 22 = 28

13

𝑓 𝑣6 + 𝑓 𝑣7 + 𝑓 𝑣6 𝑣7 = 1 + 6 + 21 = 28 𝑓 𝑣7 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣7 𝑣1 = 6 + 2 + 20 = 28 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣0 𝑣1 = 10 + 2 + 16 = 28 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣0 𝑣2 = 10 + 11 + 7 = 28 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣0 𝑣3 = 10 + 9 + 3 = 22 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣4 + 𝑓 𝑣0 𝑣4 = 10 + 4 + 14 = 28 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣0 𝑣5 = 10 + 5 + 13 = 28 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣6 + 𝑓 𝑣0 𝑣6 = 10 + 1 + 17 = 28 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣7 + 𝑓 𝑣0 𝑣7 = 10 + 6 + 12 = 28 Terdapat nilai 𝑠 yang berbeda, sehingga graf 𝑊8 bukan graf edge magic. Ilustrasi keempat, misalkan diberikan graf wheel ber-order 9 seperti pada Gambar 29. 𝑊9 : v1

v2

𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣6 + 𝑓 𝑣5 𝑣6 = 1 + 22 + 16 = 39 𝑓 𝑣6 + 𝑓 𝑣7 + 𝑓 𝑣6 𝑣7 = 22 + 2 + 15 = 39 𝑓 𝑣7 + 𝑓 𝑣8 + 𝑓 𝑣7 𝑣8 = 2 + 23 + 14 = 39 𝑓 𝑣8 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣8 𝑣1 = 23 + 7 + 9 = 39 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣0 𝑣1 = 13 + 7 + 19 = 39 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣0 𝑣2 = 13 + 20 + 6 = 39 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣0 𝑣3 = 13 + 8 + 18 = 39 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣4 + 𝑓 𝑣0 𝑣4 = 13 + 21 + 5 = 39 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣0 𝑣5 = 13 + 1 + 25 = 39 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣6 + 𝑓 𝑣0 𝑣6 = 13 + 22 + 4 = 39 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣7 + 𝑓 𝑣0 𝑣7 = 13 + 2 + 24 = 39 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣8 + 𝑓 𝑣0 𝑣8 = 13 + 23 + 3 = 39 dan dapat digambarkan sebagai berikut 7

20

12

9

v8

11

v3

6

19 23

v0

14

v7

10

5

v4

24 2

21

25

4 15

v6

8

18

13

3

19

v5 22

16

1

Gambar 29 Graf wheel ber-order 9. Graf tersebut akan dilabeli sehingga memiliki graf edge magic. Misalkan simpulsimpul pada graf 𝑊9 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu 𝑓 𝑣0 = 13 𝑓 𝑣5 = 1 𝑓 𝑣1 = 7 𝑓 𝑣6 = 22 𝑓 𝑣2 = 20 𝑓 𝑣7 = 2 𝑓 𝑣3 = 8 𝑓 𝑣8 = 23 𝑓 𝑣4 = 21 Dipilih 𝑠 = 39, maka diperoleh label sisi, sehingga 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣1 𝑣2 = 7 + 20 + 12 = 39 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣2 𝑣3 = 20 + 8 + 11 = 39 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣4 + 𝑓 𝑣3 𝑣4 = 8 + 21 + 10 = 39 𝑓 𝑣4 + 𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣4 𝑣5 = 21 + 1 + 19 = 39

Gambar 30 Pelabelan edge magic pada graf 𝑊9 . Ilustrasi kelima, misalkan diberikan graf wheel ber-order 11 dengan bentuk seperti pada Gambar 31. 𝑊11 : v1 v2

v10

v9

v3

v0

v8

v4

v7

v5 v6

Gambar 31 Graf wheel ber-order 11.

14

Graf tersebut akan dilabeli sehingga memiliki graf edge magic. Misalkan simpulsimpul pada graf 𝑊11 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu 𝑓 𝑣0 = 14 𝑓 𝑣6 = 4 𝑓 𝑣1 = 23 𝑓 𝑣7 = 22 𝑓 𝑣2 = 2 𝑓 𝑣8 = 5 𝑓 𝑣3 = 26 𝑓 𝑣9 = 25 𝑓 𝑣4 = 3 𝑓 𝑣10 = 8 𝑓 𝑣5 = 31 Dipilih 𝑠 = 46, maka diperoleh label sisi, sehingga 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣1 𝑣2 = 23 + 2 + 21 = 46 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣2 𝑣3 = 2 + 26 + 18 = 46 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣4 + 𝑓 𝑣3 𝑣4 = 26 + 3 + 17 = 46 𝑓 𝑣4 + 𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣4 𝑣5 = 3 + 31 + 12 = 46 𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣6 + 𝑓 𝑣5 𝑣6 = 31 + 4 + 11 = 46 𝑓 𝑣6 + 𝑓 𝑣7 + 𝑓 𝑣6 𝑣7 = 4 + 22 + 20 = 46 𝑓 𝑣7 + 𝑓 𝑣8 + 𝑓 𝑣7 𝑣8 = 22 + 5 + 19 = 46 𝑓 𝑣8 + 𝑓 𝑣9 + 𝑓 𝑣8 𝑣9 = 5 + 25 + 16 = 46 𝑓 𝑣9 + 𝑓 𝑣10 + 𝑓 𝑣9 𝑣10 = 25 + 8 + 13 = 46 𝑓 𝑣10 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣10 𝑣1 = 8 + 23 + 15 = 46 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣0 𝑣1 = 14 + 23 + 9 = 46 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣0 𝑣2 = 14 + 2 + 30 = 46 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣0 𝑣3 = 14 + 26 + 6 = 46

𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣4 + 𝑓 𝑣0 𝑣4 = 14 + 3 + 29 = 46 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣0 𝑣5 = 14 + 31 + 1 = 46 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣6 + 𝑓 𝑣0 𝑣6 = 14 + 4 + 28 = 46 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣7 + 𝑓 𝑣0 𝑣7 = 14 + 22 + 10 = 46 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣8 + 𝑓 𝑣0 𝑣8 = 14 + 5 + 27 = 46 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣9 + 𝑓 𝑣0 𝑣9 = 14 + 25 + 7 = 46 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣10 + 𝑓 𝑣0 𝑣10 = 14 + 8 + 24 = 46 dan dapat digambarkan sebagai berikut 23 8

21

15

13

9

25 16

26

6

14

7

18

30

24

2

17

29 27

5

10

19 22

3

1 28

20

12 11

31

4

Gambar 32 Pelabelan edge magic pada graf 𝑊11 . Dari beberapa ilustrasi tersebut dapat dilihat bahwa 𝑊𝑛 dengan order 𝑛 dan 𝑛 ≡ 0 mod 4 yaitu 𝑊4 dan 𝑊8 bukan graf edge magic. Sedangkan 𝑊𝑛 dengan order 𝑛 dan 𝑛 ≢ 0 mod 4 yaitu 𝑊6 , 𝑊9 , dan 𝑊11 merupakan graf edge magic.

IV SIMPULAN DAN SARAN 4.1 Simpulan Dalam karya ilmiah ini telah dibuktikan bahwa graf cycle dan graf wheel memiliki pelabelan graf yang super edge magic. Selain itu ditunjukkan pula bahwa graf cycle 𝐶𝑛 adalah graf super edge magic jika dan hanya jika 𝑛 bilangan ganjil. Graf 𝐶𝑛 dengan order 𝑛 bilangan genap tidak dapat ditunjukkan mempunyai pelabelan super edge magic hanya dapat ditunjukkan pelabelan edge magic-nya. Dalam karya ilmiah ini juga ditunjukkan bahwa graf wheel 𝑊𝑛 dengan order 𝑛 bukan

graf super edge magic, bahkan 𝑊𝑛 dengan 𝑛 ≡ 0 mod 4 bukan graf edge magic. Graf wheel 𝑊𝑛 hanya memiliki pelabelan edge magic pada saat 𝑛 ≢ 0 mod 4, sedangkan graf 𝑊𝑛 dengan order 𝑛 dan 𝑛 ≡ 0 mod 4 bukan graf edge magic. Suatu graf 𝐺 memiliki pelabelan super edge magic jika graf tersebut memiliki pelabelan edge magic. Tetapi tidak berlaku untuk sebaliknya, yaitu suatu graf 𝐺 yang memiliki pelabelan edge magic belum tentu memiliki pelabelan super edge magic.

15

4.2 Saran Karya ilmiah ini membahas pelabelan super edge magic pada graf cycle dan graf wheel. Bagi yang berminat membuat karya ilmiah yang berhubungan dengan pelabelan

super edge magic dapat mencari pada graf selain dari graf cycle dan graf wheel, misalnya pada graf complete, graf complete bipartite, graf Petersen yang diperumum, atau pada graf yang lainnya.

DAFTAR PUSTAKA Chartrand G, Oellermann OR. 1993. Applied and Algorithmic Graph Theory. New York: McGraw-Hill. Enomoto H, Llado AS, Nakamigawa T, Ringel G. 1998. Super edge-magic graphs. SUT Journal of Mathematics 34: 105-109.

Foulds LR. 1992. Graph Theory Applications. New York: Springer-Verlag. Fukuchi Y. 2001. Edge-magic labelings of wheel graphs. Tokyo J. Math 24: 153167.

16

LAMPIRAN

17

Lampiran 1 bukti graf 𝐶4 bukan graf super edge magic. Misalkan diberikan graf 𝐶4 dengan banyaknya simpul 4 dan banyaknya sisi 4, dengan bentuk graf seperti pada Gambar 14. Untuk memperoleh pelabelan super edge magic maka simpul dan sisinya dilabeli dengan 𝑓: 𝑉 𝐶4 → {1, 2, 3, 4} dan 𝑓: 𝐸 𝐶4 → {5, 6, 7, 8}. Ada beberapa kemungkinan untuk melabeli graf 𝐶4 , di antaranya: (i) Misalkan 𝑓 𝑎 = 4 dan 𝑓 𝑏 = 3, maka 𝑓 𝑎𝑏 yang mungkin adalah 𝑓 𝑎𝑏 = 8 dan 𝑠 = 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 + 𝑓(𝑎𝑏) = 4+3+8 = 15 Untuk 𝑓 𝑐 = 2 dan 𝑓 𝑑 = 1 tidak ada nilai yang mungkin, sehingga 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 15 3 + 2 + 𝑓(𝑏𝑐) = 15 𝑓(𝑏𝑐) = 10 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑐𝑑 = 15 2 + 1 + 𝑓(𝑐𝑑) = 15 𝑓(𝑐𝑑) = 12 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑎𝑑 = 15 4 + 1 + 𝑓(𝑎𝑑) = 15 𝑓(𝑎𝑑) = 10 𝑓(𝑏𝑐) = 𝑓(𝑎𝑑) = 10 dan 𝑓(𝑐𝑑) = 12 tidak mungkin karena 𝑓: 𝑉 𝐶4 → {1, 2, 3, 4} dan 𝑓: 𝐸 𝐶4 → {5, 6, 7, 8}, dan dapat digambarkan sebagai berikut 4 8 3

1

2

Gambar 33 Graf 𝐶4 yang dilabeli dengan 𝑓 𝑎 = 4, 𝑓 𝑏 = 3, 𝑓(𝑐) = 2, 𝑓 𝑑 = 1, dan 𝑓 𝑎𝑏 = 8. Sedangkan untuk 𝑓 𝑐 = 1 dan 𝑓 𝑑 = 2 tidak ada nilai yang mungkin, sehingga 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 15 3 + 1 + 𝑓(𝑏𝑐) = 15 𝑓(𝑏𝑐) = 11 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑐𝑑 = 15 1 + 2 + 𝑓(𝑐𝑑) = 15 𝑓(𝑐𝑑) = 12 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑎𝑑 = 15 4 + 2 + 𝑓(𝑎𝑑) = 15 𝑓(𝑎𝑑) = 9

𝑓(𝑏𝑐) = 11, 𝑓(𝑐𝑑) = 12, dan 𝑓(𝑎𝑑) = 9 tidak mungkin karena 𝑓: 𝑉 𝐶4 → {1, 2, 3, 4} dan 𝑓: 𝐸 𝐶4 → {5, 6, 7, 8}, dan dapat digambarkan sebagai berikut 4 8 3

2

1

Gambar 34 Graf 𝐶4 yang dilabeli dengan 𝑓 𝑎 = 4, 𝑓 𝑏 = 3, 𝑓(𝑐) = 1, 𝑓 𝑑 = 2, dan 𝑓 𝑎𝑏 = 8. (ii) Misalkan 𝑓 𝑎 = 4 dan 𝑓 𝑏 = 3, maka 𝑓 𝑎𝑏 yang mungkin adalah 𝑓 𝑎𝑏 = 7 dan 𝑠 = 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 + 𝑓(𝑎𝑏) = 4+3+7 = 14 Untuk 𝑓 𝑐 = 2 dan 𝑓 𝑑 = 1 tidak ada nilai yang mungkin, sehingga 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 14 3 + 2 + 𝑓(𝑏𝑐) = 14 𝑓(𝑏𝑐) = 9 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑐𝑑 = 14 2 + 1 + 𝑓(𝑐𝑑) = 14 𝑓(𝑐𝑑) = 11 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑎𝑑 = 14 4 + 1 + 𝑓(𝑎𝑑) = 14 𝑓(𝑎𝑑) = 9 𝑓(𝑏𝑐) = 𝑓(𝑎𝑑) = 9 dan 𝑓(𝑐𝑑) = 11 tidak mungkin karena 𝑓: 𝑉 𝐶4 → {1, 2, 3, 4} dan 𝑓: 𝐸 𝐶4 → {5, 6, 7, 8}, dan dapat digambarkan sebagai berikut 4 7 3

1

2

Gambar 35 Graf 𝐶4 yang dilabeli dengan 𝑓 𝑎 = 4, 𝑓 𝑏 = 3, 𝑓(𝑐) = 2, 𝑓 𝑑 = 1, dan 𝑓 𝑎𝑏 = 7.

18

Sedangkan untuk 𝑓 𝑐 = 1 dan 𝑓 𝑑 = 2 ada nilai yang mungkin, yaitu 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑎𝑑 = 14 4 + 2 + 𝑓(𝑎𝑑) = 14 𝑓(𝑎𝑑) = 8 Ada dua kemungkinan untuk 𝑓(𝑏𝑐) yaitu 5 dan 6. Jika 𝑓(𝑏𝑐) = 5 maka 𝑠 = 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓(𝑏𝑐) = 3+1+5 =9 Jika 𝑓(𝑏𝑐) = 6 maka 𝑠 = 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓(𝑏𝑐) = 3+1+6 = 10 Karena untuk 𝑓 𝑏𝑐 = 5 yaitu 𝑠 = 9 dan 𝑓 𝑏𝑐 = 6 yaitu 𝑠 = 10, maka 𝑠 = 14 tidak dipenuhi. Dengan cara yang sama untuk 𝑓(𝑐𝑑) yaitu 5 dan 6 maka 𝑠 = 14 tidak dipenuhi. Dan dapat digambarkan sebagai berikut 4 8

7 3

2

1

Gambar 36 Graf 𝐶4 yang dilabeli dengan 𝑓 𝑎 = 4, 𝑓 𝑏 = 3, 𝑓(𝑐) = 1, 𝑓 𝑑 = 2, 𝑓 𝑎𝑏 = 7, dan 𝑓 𝑎𝑑 = 8. (iii) Misalkan 𝑓 𝑎 = 4 dan 𝑓 𝑏 = 3, maka 𝑓 𝑎𝑏 yang mungkin adalah 𝑓 𝑎𝑏 = 6 dan 𝑠 = 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 + 𝑓(𝑎𝑏) = 4+3+6 = 13 Untuk 𝑓 𝑐 = 2 dan 𝑓 𝑑 = 1 ada nilai yang mungkin, yaitu 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑎𝑑 = 13 4 + 1 + 𝑓(𝑎𝑑) = 13 𝑓(𝑎𝑑) = 8 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 13 3 + 2 + 𝑓(𝑏𝑐) = 13 𝑓(𝑏𝑐) = 8 Karena ada nilai yang sama yaitu 𝑓(𝑎𝑑) = 𝑓(𝑏𝑐) = 8 maka syarat pelabelan super edge magic tidak dipenuhi. Dan ada nilai yang tidak mungkin juga, yaitu 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑐𝑑 = 13 2 + 1 + 𝑓(𝑐𝑑) = 13 𝑓(𝑐𝑑) = 10

Sehingga dapat digambarkan sebagai berikut 4 6 3

1

2

Gambar 37 Graf 𝐶4 yang dilabeli dengan 𝑓 𝑎 = 4, 𝑓 𝑏 = 3, 𝑓(𝑐) = 2, 𝑓 𝑑 = 1, dan 𝑓 𝑎𝑏 = 6. Sedangkan untuk 𝑓 𝑐 = 1 dan 𝑓 𝑑 = 2 ada nilai yang mungkin, yaitu 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑎𝑑 = 13 4 + 2 + 𝑓(𝑎𝑑) = 13 𝑓(𝑎𝑑) = 7 Ada dua kemungkinan untuk 𝑓(𝑏𝑐) yaitu 5 dan 8. Jika 𝑓(𝑏𝑐) = 5 maka 𝑠 = 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓(𝑏𝑐) = 3+1+5 =9 Jika 𝑓(𝑏𝑐) = 8 maka 𝑠 = 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓(𝑏𝑐) = 3+1+8 = 12 Karena untuk 𝑓 𝑏𝑐 = 5 yaitu 𝑠 = 9 dan 𝑓 𝑏𝑐 = 8 yaitu 𝑠 = 12, maka 𝑠 = 13 tidak dipenuhi. Dengan cara yang sama untuk 𝑓(𝑐𝑑) yaitu 5 dan 8 maka 𝑠 = 13 tidak dipenuhi. Dan dapat digambarkan sebagai berikut 4 7

6 3

2

1

Gambar 38 Graf 𝐶4 yang dilabeli dengan 𝑓 𝑎 = 4, 𝑓 𝑏 = 3, 𝑓(𝑐) = 1, 𝑓 𝑑 = 2, 𝑓 𝑎𝑏 = 6, dan 𝑓 𝑎𝑑 = 7. (iv) Misalkan 𝑓 𝑎 = 4 dan 𝑓 𝑏 = 3, maka 𝑓 𝑎𝑏 yang mungkin adalah 𝑓 𝑎𝑏 = 5 dan 𝑠 = 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 + 𝑓(𝑎𝑏) = 4+3+5 = 12

19

Untuk 𝑓 𝑐 = 2 dan 𝑓 𝑑 = 1 ada nilai yang mungkin, yaitu 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑎𝑑 = 12 4 + 1 + 𝑓(𝑎𝑑) = 12 𝑓(𝑎𝑑) = 7 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 12 3 + 2 + 𝑓(𝑏𝑐) = 12 𝑓(𝑏𝑐) = 7 Karena ada nilai yang sama yaitu 𝑓(𝑎𝑑) = 𝑓(𝑏𝑐) = 7 maka syarat pelabelan super edge magic tidak dipenuhi. Dan ada nilai yang tidak mungkin juga, yaitu 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑐𝑑 = 12 2 + 1 + 𝑓(𝑐𝑑) = 12 𝑓(𝑐𝑑) = 9 Dan dapat digambarkan sebagai berikut 4 5 3

1

2

Gambar 39 Graf 𝐶4 yang dilabeli dengan 𝑓 𝑎 = 4, 𝑓 𝑏 = 3, 𝑓(𝑐) = 2, 𝑓 𝑑 = 1, dan 𝑓 𝑎𝑏 = 5. Sedangkan untuk 𝑓 𝑐 = 1 dan 𝑓 𝑑 = 2 ada nilai yang mungkin, sehingga 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 12 3 + 1 + 𝑓(𝑏𝑐) = 12 𝑓 𝑏𝑐 = 8 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑎𝑑 = 12 4 + 2 + 𝑓(𝑎𝑑) = 12 𝑓(𝑎𝑑) = 6 4 6

5 3

2 8 1

Gambar 40 Graf 𝐶4 yang dilabeli dengan 𝑓 𝑎 = 4, 𝑓 𝑏 = 3, 𝑓(𝑐) = 1, 𝑓 𝑑 = 2, 𝑓 𝑎𝑏 = 5, 𝑓 𝑏𝑐 = 8, dan 𝑓 𝑎𝑑 = 6. Kemungkinan untuk sehingga

𝑓 𝑐𝑑

yaitu 7,

𝑠 = 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑐𝑑 = 1+2+7 = 10 Karena untuk 𝑓 𝑐𝑑 = 7 yaitu 𝑠 = 10 maka 𝑠 = 12 tidak dipenuhi. Dan dapat digambarkan seperti pada Gambar 40. (v) Misalkan 𝑓 𝑎 = 1 dan 𝑓 𝑏 = 2, maka 𝑓 𝑎𝑏 yang mungkin adalah 𝑓 𝑎𝑏 = 8 dan 𝑠 = 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 + 𝑓(𝑎𝑏) = 1+2+8 = 11 Untuk 𝑓 𝑐 = 3 dan 𝑓 𝑑 = 4 ada nilai yang mungkin, sehingga 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 11 2 + 3 + 𝑓(𝑏𝑐) = 11 𝑓(𝑏𝑐) = 6 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑐𝑑 = 11 3 + 4 + 𝑓(𝑐𝑑) = 11 𝑓(𝑐𝑑) = 4 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑎𝑑 = 11 1 + 4 + 𝑓(𝑎𝑑) = 11 𝑓(𝑎𝑑) = 6 Karena ada nilai yang sama yaitu 𝑓(𝑏𝑐) = 𝑓(𝑎𝑑) = 6 dan 𝑓(𝑐𝑑) = 𝑓 𝑑 = 4 maka syarat pelabelan super edge magic tidak dipenuhi. Dan dapat digambarkan sebagai berikut 1 8 2

4 6 3

Gambar 41 Graf 𝐶4 yang dilabeli dengan 𝑓 𝑎 = 1, 𝑓 𝑏 = 2, 𝑓(𝑐) = 3, 𝑓 𝑑 = 4, 𝑓 𝑎𝑏 = 8, dan 𝑓 𝑏𝑐 = 6. Sedangkan untuk 𝑓 𝑐 = 4 dan 𝑓 𝑑 = 3 ada nilai yang mungkin, sehingga 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 11 2 + 4 + 𝑓(𝑏𝑐) = 11 𝑓 𝑏𝑐 = 5 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑎𝑑 = 11 1 + 3 + 𝑓(𝑎𝑑) = 11 𝑓(𝑎𝑑) = 7 Kemungkinan untuk 𝑓 𝑐𝑑 yaitu 6, sehingga 𝑠 = 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑐𝑑 = 4+3+6 = 13

20

Karena untuk 𝑓 𝑐𝑑 = 6 yaitu 𝑠 = 13 maka 𝑠 = 11 tidak dipenuhi. Dan dapat digambarkan sebagai berikut 1 7

8 2

3 5 4

Gambar 42 Graf 𝐶4 yang dilabeli dengan 𝑓 𝑎 = 1, 𝑓 𝑏 = 2, 𝑓(𝑐) = 4, 𝑓 𝑑 = 3, 𝑓 𝑎𝑏 = 8, 𝑓 𝑏𝑐 = 5, dan 𝑓 𝑎𝑑 = 7. (vi) Misalkan 𝑓 𝑎 = 2 dan 𝑓 𝑏 = 3, maka 𝑓 𝑎𝑏 yang mungkin adalah 𝑓 𝑎𝑏 = 6 dan 𝑠 = 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 + 𝑓(𝑎𝑏) = 2+3+6 = 11 2

𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑎𝑑 = 11 2 + 1 + 𝑓(𝑎𝑑) = 11 𝑓(𝑎𝑑) = 8 Karena ada nilai yang sama yaitu 𝑓(𝑎𝑏) = 𝑓(𝑐𝑑) = 6 dan 𝑓(𝑏𝑐) = 𝑓 𝑐 = 4 maka syarat pelabelan super edge magic tidak dipenuhi. Dan dapat digambarkan seperti pada Gambar 43. Sedangkan untuk 𝑓 𝑐 = 1 dan 𝑓 𝑑 = 4 ada nilai yang mungkin, sehingga 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 11 3 + 1 + 𝑓(𝑏𝑐) = 11 𝑓 𝑏𝑐 = 7 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑎𝑑 = 11 2 + 4 + 𝑓(𝑎𝑑) = 11 𝑓(𝑎𝑑) = 5 Kemungkinan untuk 𝑓 𝑐𝑑 yaitu 8, sehingga 𝑠 = 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑐𝑑 = 1+4+8 = 13 Karena untuk 𝑓 𝑐𝑑 = 8 yaitu 𝑠 = 13 maka 𝑠 = 11 tidak dipenuhi. Dan dapat digambarkan sebagai berikut 2

6

8

3

5

6 1 3

4 7

4

Gambar 43 Graf 𝐶4 yang dilabeli dengan 𝑓 𝑎 = 2, 𝑓 𝑏 = 3, 𝑓(𝑐) = 4, 𝑓 𝑑 = 1, 𝑓 𝑎𝑏 = 6, dan 𝑓 𝑎𝑑 = 8. Untuk 𝑓 𝑐 = 4 dan 𝑓 𝑑 = 1 ada nilai yang mungkin, sehingga 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 11 3 + 4 + 𝑓(𝑏𝑐) = 11 𝑓(𝑏𝑐) = 4 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑐𝑑 = 11 4 + 1 + 𝑓(𝑐𝑑) = 11 𝑓(𝑐𝑑) = 6

1

Gambar 44 Graf 𝐶4 yang dilabeli dengan 𝑓 𝑎 = 2, 𝑓 𝑏 = 3, 𝑓(𝑐) = 1, 𝑓 𝑑 = 4, 𝑓 𝑎𝑏 = 8, 𝑓 𝑏𝑐 = 7, dan 𝑓 𝑎𝑑 = 5. Dilihat dari beberapa kemungkinan untuk melabeli graf 𝐶4 tersebut maka graf 𝐶4 bukan graf super edge magic.