Pálinkó Éva – Szabó Márta
Vállalati pénzügyek PÉLDATÁR ÉS ESETTANULMÁNYOK
Nemzeti Tankönyvkiadó Budapest 2008
1
ELŐSZÓ A vállalati pénzügyek a közgazdaságtudomány egyik leggyakorlatiasabb diszciplínája. Elméleti alapvetései mellett fontos módszertani segítség a vállalatok gazdálkodásával foglalkozó szakemberek számára. Kiadványunkkal elsősorban ezt a módszertani segítséget kívántunk továbbfejleszteni. Könyvünkben összefoglalt, az új eljárásokat és elemzési technikákat bemutató feladatokat, esettanulmányokat elsősorban a vállalati pénzügyeket felsőfokon tanulmányozó hallgatók számára készítettük, de gyakorló vállalati szakemberek is számára is segíthet a vállalkozásuk pénzügyi menedzselésében. A Példatár és esettanulmányok kötet a 2004-ben a Nemzeti Tankönyvkiadónál megjelent azonos című tankönyv új kiadása. Az új kiadással a felsőfokú oktatás kétszintű képzési rendszeréhez kívánunk alkalmazkodni. A kétszintű rendszerben az alapdiplomát adó BSC (BA) képzések és a második szintet jelentő MSC (MA) képzések tananyagai, így a vállalati pénzügyek tankönyvei is elkülönülnek egymástól. A Példatár és esettanulmányok a BSC képzés tananyagához illeszkedik. A felsőfokú tanulmányokat megkezdő hallgatók a gazdasági jellegű képzésekben, a vállalati pénzügyek alapjainak elsajátítása során használhatják, a nem gazdasági jellegű képzésekben pedig pénzügyi alapozó tárgyak tananyagához illeszthető. A Példatár és esettanulmányok az elméleti tananyag gyakorlati alátámasztását, a BSC alapképzésekhez megjelent vállalati pénzügyek alapjai tankönyvek ismereteinek jobb megértését és gyakorlati példák bemutatását szolgálja. A BSC képzéshez megjelent kapcsolódó tankönyvek: Bélyácz Iván: Vállalati pénzügyek alapjai. Aula Kiadó, 2006. Pálinkó Éva ─ Szabó Márta: Vállalati pénzügyek alapjai. Typotex Kiadó, 2006. A „Példatár és esettanulmányok” tartalmilag átfogja a vállalati pénzügyek valamennyi klasszikus területét, a pénzügyi alapszámításokat, a beruházási és finanszírozási döntésekhez kapcsolódó tételek modellpéldáit, gyakorlati alkalmazásait. Miután a képletekben alkalmazott betűjelölések tankönyvenként eltérhetnek, kiadványunkban a fontosabb képletek értelmezéséhez szükséges alapinformációkat a keretes részekben összefoglaltuk. A példatár új kiadása során elsődleges cél volt, hogy az BSC szint tananyagához jól illeszkedő, gyakorlat orientált alkalmazásokat mutassunk be. További célnak tartottuk, hogy a nemzetközi szinthez ─képzésekhez, pénzügyi gyakorlathoz ─ jobban igazodjanak a példák, esettanulmányok. Ennek oka részben az, hogy hallgatóink nemzetközi nagyvállalatoknál helyezkednek el vagy olyan vállalatoknál, amelyek jelentős nemzetközi gazdasági kapcsolatokkal rendelkeznek ezért egyre inkább más valutákban, más árfolyam és kamatszintekben kell gondolkodniuk. Magyarország euró övezethez történő várható csatlakozása is ösztönözte a szerzőket, hogy a forint helyett más devizanemeket használjanak.
2
A könyv főbb fejezetei a vállalati pénzügyi döntések fontosabb területeihez, azaz befektetéséi és finanszírozási döntésekhez ill. rövid és hosszú távú pénzügyi döntésekhez igazodnak. A példatár funkcionálisan négy szerkezeti egységre osztható: I. Pénzügyi számítások alapjai – a vállalat pénzügyi környezete
A pénzügyi számítások alapvető módszereit mutatja be. A vállalatok pénzügyi befektetési környezetéhez kapcsolható alapozó rész a 2.fejezet, amely az értékpapírok árfolyam és hozamszámítását tartalmazza. Az alapozó fejezeteket a vállalati teljesítmény értékelés alapvető módszereinek, mutatóinak bemutatása zárja. Ez a fejezet egyúttal előkészíti a beruházási és finanszírozási kérdésekkel foglalkozó fejezeteket, elsősorban a pénzáramok értelmezése révén. II. Beruházási döntések A vállalati beruházási döntések alapmódszereit, a beruházási tőkeköltségvetés és a beruházás értékelés módszereit tartalmazza. A konvencionális, önálló beruházási projektek értékelése mellett a sajátos vonásokkal rendelkező egymást kizáró beruházási alternatívák összevétésének módszereit is bemutatjuk. III. Finanszírozási döntések A finanszírozással kapcsolatos fejezetek a tőkeköltség számítást, tőkeszerkezet és osztalékpolitika vizsgálatának módszereit foglalják magukba. A befektetési döntések speciális területe a forgótőke- befektetések. Az ehhez kapcsolódó példákat, tervezési elemzési módszereket közvetlenül összekapcsoltuk a finanszírozási döntésekkel. IV. Esettanulmányok Az esettanulmányok típusai illeszkednek a vállalati pénzügyi döntések alapvető területeihez. Tartalmaznak a vállalat értékével, a vállalati teljesítmény értékelésével, a beruházásokkal, finanszírozással összefüggő gyakorlati vállalati eseteket.
A törzsanyag fontosabb részeit típus feladatok fedik le, témakörönként az egyszerűbbtől az összetettebb feladatok és alkalmazások felé haladva. A típus feladatok a fejezet elején találhatók megoldással együtt. Az összetett feladatok és alkalmazások alfejezetek elsősorban gyakorló feladatokat, gyakorlati alkalmazásokat tartalmaznak. Az összetett feladatok és alkalmazások esetében a feladatok és ezek megoldása két alfejezetre különül el. A feladatok többsége gyakorlati vagy gyakorlat- közeli döntési helyzetekről szól, de belevettünk olyan modell értékű feladatokat is, amelyek a valóságos folyamatok összetettségét ugyan leegyszerűsítve tartalmazzák, de az elméleti tételek korlátozó feltételeinek megfelelően épülnek fel. Az esettanulmányok átfogják a vállalati pénzügyi döntések fontosabb területeit, és arra helyezik a hangsúlyt, hogy a gyakorlati problémák, kiinduló adatok ismeretében találják meg azokat a módszereket, amelyek megoldást jelentenek vállalati pénzügyigazdálkodási kérdésekre. Kérjük észrevételeiket az alábbi email címre juttassák el:
[email protected] [email protected]
Szerzők
3
1.
Fejezet
A PÉNZ IDŐÉRTÉKE 1.1.
A pénz időértéke – jelen és jövőérték számítás
1.1.1. A pénz időértéke – egyszeri betét/kifizetés
A pénz jövőértéke, pénzáram az időszak elején: FVT = C 0 (1 + r ) = C 0 ⋅ FVFr,T . T
A pénz jelenértéke, pénzáram az időszak végén:
PV0 = C T
CT r T t FV FVFrT PV PVFr,T
1 = C T ⋅ PVFr,T . (1 + r) T
Egy kamatperióduson belüli lineáris (egyszerű) kamatozás: FV = PV(1 + r ⋅ t ) .
= pénzáram, betét/kifizetés a T periódus végén. = éves kamatláb (a befektetés értelmezésének megfelelően; ri: névleges éves kamatláb, r: hozam, az alternatív befektetés hozama, piaci kamatláb, tényleges, effektív kamatláb) = lejárat időpontja. = kamatozás időtartama (a kamatnapok száma/az év napjainak száma) = a pénz jövőértéke (future value). = jövőérték faktor (future value factor), a pénzegység értéke T időszak végén, r kamatláb mellett. = a pénz jelenértéke. = jelenérték faktor (present value factor) r kamatláb és T év mellett.
F.1.1. Jövőérték kamatos kamatszámítással - egyszerű kamatozással a) Számítsa ki 5000 pénzegység értékét 5 és 10 év múlva, kamatos kamatszámítással, 6% éves névleges kamatláb esetén, ha a névleges kamatláb minden lejáratra azonos! b) Mekkora lesz az 5000 pénzáram értéke 5. és 10. év végén, ha a betét az első év végén történik? c) Mekkora lesz a betét értéke egyszerű kamatozással, az a) pont adatiból számítva? M.1.1. a) Kamatos kamatszámítással: FV5 = C0(1+r)T = 5 000(1+0,06)5 = 6 691,13. FV10 = C0(1+r)T = 5 000(1+0,06)10 = 8 954,24.
4
b) Kamatos kamatszámítással: FV5 = C0(1+r)T-1 = 5 000(1+0,06)5-1 = 6 312,38. FV10 = C0(1+r)T-1 = 5 000(1+0,06)10-1 = 8 447,39. c) Egyszerű kamatozással, a tőke értéke 5 év múlva. Ekkor a kamatot minden periódus végén kifizetik és nem tőkésítik: FV5 = C0(1+(r · T)) = 5 000(1+0,06 · 5) = 6 500. Egyszerű kamatozással, a tőke értéke 10 év múlva: FV10 = C0(1+(r · T)) = 5 000(1+0,06 · 10) = 8 000. F.1.2. A pénz jelenértéke D.A. 3 év múlva 20 000 eurót kap egy biztosító intézettől. D.A. befektetéseinek hozama 10%. Mennyit ér ma ez a befektetése, ha a 10% hozamot megfelelő diszkontrátának tekintjük? M.1.2.
PV = 20 000
1 (1 + 0,1) 3
= 20 000 ⋅ PVF = 20 000 ⋅ 0,751 = 15 026,30 euró 10%,3év
F.1.3. A kamatláb nagyságának hatása a pénzáram nagyságára Az amerikai részvény és kötvénypiacon 1926-1998 között – az Ibbotson Associates vizsgálata szerint – a részvények átlagos hozama 11% volt, az állampapíroké pedig 5%. Tételezzük fel, hogy a hozam a későbbiekben is változatlan marad Mekkora lesz 100 $ várható értéke 10, 20 és 40 év múlva, ha azt részvénybe ill. állampapírba fektetnénk? Mekkora a különbség a két befektetés értéke között 10 és 40 év múlva? M.1.3. Részvény: FV10 = 100(1+0,11)10 = 283,94 FV20 = 100(1+0,11)20 = 806,23 FV40 = 100(1+0,11)40 = 6500,08
Kötvény: FV10 = 100(1+0,05)10 = 162,89 FV20 = 100(1+0,05)20 = 265,33 FV40 = 100(1+0,05)40 = 704,00
10 év múlva a részvénybefektetés értéke az állampapír befektetés 1,74-szerese, 121,05 $-ral lesz több. A különbség 40 év múlva 5796,09 $ lesz, vagyis a részvénybefektetés értéke 9,23-szerese lesz az állampapír befektetésnek.
1.1.2. A pénz időértéke – általános formulák
Pénzáram sorozat jövőértéke:
FVT = C1 (1 + r )
T −1
+ C 2 (1 + r )
T−2
+ ... + C T (1 + r )
T −t
T
= ∑ C t (1 + r )
T−t
.
t =1
Pénzáram sorozat jelenértéke: T Ct CT C1 C2 + + + = . ... PV = ∑ 2 T (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) t =1 (1 + r )t
Nettó jelenérték: T Ct C1 C2 CT NPV = C 0 + ... . + + + = ∑ 2 T (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) t =0 (1 + r )t
5
Ct r T FVT meg. PV NPV
= t-edik időszak végén esedékes pénzáram (betét/kifizetés). = éves kamatláb. = évek száma. = a pénz jövőértéke (future value) T év múlva. A pénzáramok értékét a T időszak végére adja = a pénz jelenértéke (present value). Pénzáramok értékét az időszak elejére adja meg. = nettó jelenérték (net present value). Pénzáramok értékét az időszak elejére adja meg.
F.1.4. Jövő és jelenérték számítás – többszöri betét/kifizetés Kovács úr az idegenforgalom csökkenése miatt el kívánja adni balatoni ingatlanát. Három vevő jelentkezik, az egyik 100 ezer eurót ígér azonnali fizetésre, a másik 120 ezer eurót, de két év múlva tud csak fizetni, míg a harmadik vevő három részletben fizetné a következő összegeket: most 50 ezer, egy év múlva szintén 50 ezer, a második év végén 20 ezer eurót. Melyik ajánlatot fogadja el, ha az éves betéti kamat 6% minden lejáratra, a jövőbeni pénzáramok bekövetkezése biztosnak, kockázatmentesnek tekinthető? Milyen döntést hoz, ha jelen és jövőérték számítással alapozza meg választását? M.1.4. A) Jelenérték számítással: a) PV = 100 ezer euró.
120 = 106,80 ezer euró . (1 + 0,06) 2 50 20 c) PV = 50 + + = 114, 97 ezer euró . 1,06 1,06 2 b) PV =
B) Jövőérték számítással: a) FV2 = 100(1+0,06)2 = 112,36 ezer euró. b) FV2 = 120 ezer euró. c) FV2 = 50(1+0,06)2 + 50(1+0,06) + 20 = 129,18 ezer euró. Tehát a c lehetőséget kell választani. F.1.5. Jövőbeli pénzáramok jelenértéke Egy befektető tőkebefektetése révén a következő három évben az alábbi bevételre tesz szert (ezer dollárban): Év 1 2 3
Bevétel 10 000 5 600 3 800
A bevételek az időszak végén esedékesek. Mekkora a befektetett tőke értéke, ha a befektetés 8%-os hozamot biztosít? M.1.5. Év 1 2 3 Jelenérték összesen
Bevétel 10 000 5 600 3 800 17 076,4
PVF 0,926 0,857 0,794
PV 9260 4799,2 3017,2
6
F.1.6. Nettó jelenérték Ön egy befektetést tervez, 20 ezer euró értékben. A befektetésből befolyó várható készpénzbevétele az egymást követő három év végén 10 ezer euró, 12 ezer euró, és 8 ezer euró. Érdemes-e megvalósítani a befektetést, ha van egy azonos futamidejű és kockázatú befektetési lehetősége, amely évi 12%-os hozamot biztosít? (Jelen időpontban történő összehasonlítással alapozza meg a döntését!) M.1.6.
NPV = −20000 +
10000 12000 8000 + + = −20000 + 24189 = +4189 euró 1,12 1,12 2 1,12 3
Érdemes megvalósítani.
1.1.3. Lineáris és folytonos kamatozás
Kamat tőkésítése évente m alkalommal:
r ⎞ ⎛ FVT = C 0 ⎜1 + ⎟ = C 0 ⋅ FVFr/m, T⋅m . ⎝ m⎠ Jövőérték folytonos kamatozással
T⋅m
FVT = C 0 · e r · T .
Vegyes kamatozás (kamatperióduson belül lineáris, több kamatperiódus esetén kamatos kamat):
FV = PV (1 + r ⋅ t 1 )(1 + r ) (1 + r ⋅ t 2 ) . Diszkontálás egy perióduson belül, diszkontláb alkalmazásával: r⋅t , PV = C t (1 − d ) . d= 1+ r ⋅ t T
m d t Ct r T
= éven belüli kamat (tőkésítési) periódusok száma. = a vele egyenértékű kamatláb érvényességi idejére vonatkozóan a kamat és a kamattal növelt tőkeérték hányadosa. = kamatozás időtartama (a kamatnapok száma/az év napjainak száma). = t időszakban esedékes pénzáram (betét/kifizetés). = éves kamatláb. = lejárat időpontja.
F.1.7. Egy kamatozási perióduson belüli lineáris kamatozás A 2010. szeptember 27-én 6%-ra elhelyezett 1 000 euró betétjét 2010. december 30-án veszi fel. Mekkora összegre számíthat, feltéve, hogy a kamatláb nem változik az év folyamán, a kamatot a lejáratkor fizetik ki és az év tényleges napjait vesszük figyelembe? M.1.7.
FV = 1 000(1 + 0,06 ⋅
94 ) = 1 015,45 euró . 365
7
F.1.8. Jövőérték, éven belüli kamatjóváírás esetén Tételezzük fel, a betét értéke 5 000 dollár, az éves kamatláb 8%, minden lejáratra. Mekkora a betét értéke 3 év múlva éves, féléves, negyedéves, havi és folytonos kamatjóváírást feltételezve? M.1.8. a) éves kamatjóváírás esetén (m=1): FV3 = 5 000 (1+0,08)3 = 6 298,56 dollár. 6
⎛ 0,08 ⎞ b) féléves kamatjóváírás esetén (m=2): FV3 = 5 000 ⎜1 + ⎟ = 6 326,6 dollár . 2 ⎠ ⎝ ⎛ ⎝
c) negyedéves kamatjóváírás esetén (m=4): FV3 = 5 000 ⎜1 +
0,08 ⎞ ⎟ 4 ⎠
⎛ 0,08 ⎞ d) havi kamatjóváírás esetén (m=12): FV3 = 5 000 ⎜1 + ⎟ 12 ⎠ ⎝
12
= 6 341,21 dollár .
36
= 6 351,19 dollár .
e) folytonos kamatjóváírás esetén (er · T) : FV3 = 5 000 · e(0,08 · 3) = 5 000 · (2,71828)0,24 . = 6 356,25 dollár. F.1.9. Vegyes kamatozás Egy ügyfél 1 000 pénzegységet helyezett el bankszámláján 2008 szeptember 28-án. A betéti kamatláb 10%. A betétet 5 év múlva, 2013 június 29-én veszi fel. A kamatot az év végén írják jóvá a számlán. Mekkora összeget vesz fel lejáratkor? M.1.9.
94 ⎞ ⎛ 4 FV = 1 000 ⎜1 + 0,10 ⋅ ⎟ ⋅ (1 + 0,10) 365 ⎠ ⎝
180 ⎞ ⎛ ⋅ ⎜1 + 0,10 ⋅ ⎟ = 1 575,87 . 365 ⎠ ⎝
F.1.10. Diszkontálás egy perióduson belül Egy vállalkozás a 130 000 euróról szóló váltóját lejárat előtt 90 nappal benyújtja a számla-vezető bankjához leszámítolásra. (A váltódíjtól eltekintünk. A bank az évet 360 nappal számolja.) a)
Mekkora összeget ír jóvá a bank az ügyfél számláján? A bank olyan diszkontlábat állapít meg, amellyel ugyanakkora kamatot realizál, mintha folyószámlahitelt nyújtott volna. A folyószámla hiteleinek kamata10%. b) Mekkora a jóváírt összeg, ha a leszámítolási kamatláb 10%? M.1.10.
90 ⎛ ⎜ 0,1 ⋅ 130 000 360 a) PV = = 126 829,27 euró . Diszkontláb : ⎜ 90 90 ⎞ ⎜ ⎛ ⎜ 1 + 0,1 ⋅ ⎜1 + 0,1 ⋅ ⎟ 360 ⎝ 360 ⎠ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ = 0,024390243 ⎟ ⎟ ⎠
90 ⎞ ⎛ 0,1 ⋅ ⎜ ⎟ 360 ⎟ = 130 000 (1 - 0,024390243) = 126 829,27 euró . vagy: PV = 130 000 ⎜1 90 ⎟ ⎜ ⎜ 1 + 0,1 ⋅ ⎟ 360 ⎠ ⎝ 90 ⎞ ⎛ b) PV = 130 000 ⎜1 - 0,1 ⋅ ⎟ = 126 750 euró . 360 ⎠ ⎝
8
1.1.4. Kamatok és hozamok
Effektív kamatláb: m
reff
r ⎞ ⎛ = ⎜1 + i ⎟ - 1 . ⎝ m⎠
Reál kamatláb: 1 + ri rreál = −1. 1 + inflációs ráta
Hozamszámítás, ha csak egy jövőbeli pénzáram esedékes:
FV − 1. PV A hozamszámítás általános formulája: IRR = T
C0 +
C1
+
C2
(1 + IRR ) (1 + IRR )2
+ ... +
CT
(1 + IRR )T
= 0;
vagy: T
Ct
∑ (1 + IRR ) t =0
ri reff rreal IRR
t
= 0.
= kinyilvánított (jegyzett, névleges vagy nominális) kamatláb. = tényleges kamatláb, effektív kamatláb, ha a kamatjóváírás éven belül többször történik. = az inflációs rátával korrigált kamatláb. = (internal rate of return) belső megtérülési ráta (tényleges hozam), az a kamatláb, amely mellett az NPV = 0, ha a hozamokat a belső megtérülési rátával lehet újrabefektetni.
F.1.11. Effektív kamatláb Mekkora az éves 6% névleges kamatláb tényleges, effektív értéke éves szinten éves, féléves, negyedéves, havi és folytonos konverziós periódusok (tőkésítési periódusok) feltételezésével? M.1.11. a) éves kamatjóváírás esetén: reff = (1 + 0,06) – 1 = 0,06;
⎛ ⎝
reff = 6%.
2
b) féléves kamatjóváírás esetén: reff = ⎜1 +
0,06 ⎞ ⎟ − 1 = 0,0609 ; reff = 6,09%. 2 ⎠ 4
c) negyedéves kamatjóváírás esetén: reff
⎛ 0,06 ⎞ = ⎜1 + ⎟ − 1 = 0,0614 ; reff = 6,14%. 4 ⎠ ⎝ 12
d) havi kamatjóváírás esetén: reff
⎛ 0,06 ⎞ = ⎜1 + ⎟ − 1 = 0,0617 ; reff = 6,17%. 12 ⎠ ⎝
e) folytonos kamatozás esetén: reff = e0,06 –1 = 0,0618; reff = 6,18%. F.1.12. Reálkamatláb
Mekkora az éves 6% nominális kamatláb reálértéke 3% ill. 4,8% inflációs ráta esetén?
9
M.1.12.
⎛ 1 + 0,06 ⎞ rreál = ⎜ ⎟ − 1 = 0,0291 ; rreál = 2,91%. ⎝ 1 + 0,03 ⎠ ⎛ 1 + 0,06 ⎞ b) rreál = ⎜ ⎟ − 1 = 0,0115 ; rreál = 1,15%. ⎝ 1 + 0,048 ⎠
a)
F.1.13. Tényleges hozam Ön 3 év múlva lakást szeretne venni, amelynek ára akkor 92 ezer euró lesz. Jelenleg 60 ezer eurója van. Mekkora hozamú befektetési lehetőséget kell találnia, ha ebből a pénzből akarja megvásárolni? M.1.13.
r = IRR = 3
92 − 1 = 0,1531 60
r = 15,31% .
F.1.14. Tényleges hozam Egy számítástechnikai vállalat 20 ezer euró befektetést tervez. Mekkora a várható hozama, ha a befektetésből befolyó várható készpénzbevétel a következő három évben 10 ezer euró, 12 ezer euró és 8 ezer euró az egymást követő években? M.1.14.
0 = −20 +
10 12 8 . + + 2 1 + IRR (1 + IRR ) (1 + IRR )3
NPV 24% esetén:
NPV = −20 +
10 12 8 + + = −20 + 20,065 = +0,065 ezer euró . 2 1 + 0,24 (1 + 0,24 ) (1 + 0,24)3
NPV 25% esetén:
NPV = −20 +
10 12 8 + + = −20 = −0,224 ezer euró . 2 1 + 0,25 (1 + 0,25) (1 + 0,25)3
Interpoláció:
NPVA (rF − rA ) . NPVA + NPVF IRR=24,22%. IRR = rA +
IRR = 0,24 +
0,065 (0,25 − 0,24) 0,065 + 0,224
10
1.2.
Különleges pénzáramok
1.2.1. Örökjáradék
Örökjáradék: C PV = r Növekvő tagú örökjáradék: C PV = r−g
Később kezdődő örökjáradék: C PV = ⋅ PVFr, T -1 r
PV C r g
= az örökjáradék jelenértéke. = egyenlő összegű kifizetés az idők végezetéig, amely alap esetben időszak végén esedékes. = a befektető elvárt hozamrátája. = a pénzáramok éves százalékos növekedése.
F.1.15. Örökjáradék Mennyit ér az a örökjáradék jellegű konzol kötvény amely évi 50 $-t fizet az idők végezetéig, a befektetés elvárt hozamrátája 8%? M.1.15.
PV =
50 = 625$ . 0,08
F.1.16. Később kezdődő örökjáradék Az ISO Rt. részvényenként 89 euró osztalék fizetését ígéri (a részvény lejárat nélküli értékpapír). Az első három évet követően, a negyedik év végétől fizet osztalékot. Értékeljük az osztalékáramot, ha a befektetők elvárt hozamrátája 9%. F.1.16. 0
1
2
3
4
5
6
….
t
89
89
89
….
89 …
∞
PV =
1 89 ⋅ = 763,60 euró . 0,09 (1 + 0,09) 3
vagy jelenérték faktor használatával:
11
PV = (89/0,09) · PVF9%,3év = 988,89 · 0,772 = 763,42 euró.
1.2.2. Évjáradék jelen- és jövőértéke
Szokásos évjáradék jelenértéke, ha a kifizetések az év végén esedékesek:
⎛1 1 PV = C ⎜⎜ − T ⎝ r r (1 + r )
⎞ ⎟ = C ⋅ PVA r,T ⎟ ⎠
Évjáradék jelenértéke, ha a kifizetések az év elején esedékesek:
PV = C 0 + C ⋅ PVA r,T -1
Szokásos évjáradék jövőértéke, ha a kifizetések az év végén esedékesek:
(1+ r) ∑(1+ r)T−t = C
FVT = C
t =1
C PVAr,T FVAr,T
T
T
−1
r
;
FV = C ⋅ FVA r,T
Évjáradék jövőértéke, ha a kifizetések az év elején esedékesek:
FV = C 0 (1 + r ) ⋅ FVA r.T
= éves azonos összegű kifizetés sorozata, amely az időszak végén esedékes. = az évjáradék jelenérték faktora, r kamatláb és T év mellett. = évjáradék jövőérték faktor, r kamatláb és T év mellett.
F.1.17. Évjáradék jelenértéke Az Isosoft Kft. két lehetőséget értékel. Egyik választási lehetőség: vásárol most 8000 euróért egy másológépet. A másik lehetőség: a következő 5 évben minden év végén 2100 eurót fizet ugyanannak a másológépnek a használatáért. a) Melyik lehetőséget érdemes kihasználni, ha a vállalat elvárt megtérülése 12%? b) Hogyan módosul az értékelés, ha az év elején kell fizetnie? M.1.17. a) éves fizetések az év végén történnek:
⎛ 1
1
⎞
⎟ = 7 570,03 euró; − PV = 2100 · PVA12%,5év = 2100 ⋅ ⎜⎜ 5 ⎟ ⎝ 0,12 0,12(1 + 0,12) ⎠ Vagy annuitás faktorral: PV = 2100 · 3,605 = 7 570,50 euró1. Érdemesebb a részletfizetést választani. b) éves fizetések az év elején történnek:
⎛ 1 1 − 4 ⎝ 0,12 0,12(1 + 0,12)
PV = 2100+2100· PVA12%,4év = 2100+ 2100 ⋅ ⎜⎜
⎞ ⎟⎟ = 8 478,43 euró. ⎠
Érdemesebb 8000 euróért megvenni. F.1.18. Évjáradék jelenértéke, ha a kifizetések az év elején esedékesek
1
Az eltérés kerekítésből adódik. A mellékletek faktor tábláiban három tizedesjegyre kerekített faktor értékek szerepelnek.
12
K.D. kárpótlási jegyét évjáradékra váltotta át. A következő 8 évben évi 4000 eurót kap. A kifizetések az év elején esedékesek. Mekkora a kárpótlási jegyek értéke? Az alternatív kamatláb 10%. M.1.18.
PV = 4000 + 4000 ⋅ PVA 10%,7év = 4000 + 4000 · 4,868 = 23 472 euró. F.1.19. Évjáradék jövőértéke Mekkora az évenkénti 1000 euró tőkebefektetés értéke 4 év múlva, ha a befektetés 8% hozamot hoz és a befektetés az év végén történik Hogyan módosul a befektetés értéke, ha a tőkebefizetés az év elején történik? Időskálán ábrázolja a pénzáramokat! M.1.19. a)
FV4 = 1 000 ⋅ FVA 8%,4év
⎛ (1 + 0,08) 4 − 1 ⎞ ⎟⎟ = 1000 ⋅ 4,506 = 4 506,11 euró . = 1000 ⋅ ⎜⎜ 0,08 ⎝ ⎠
b)
FV4 = 1 000 (1 + 0,08) · FVA 8%,4év = 1080 ⋅ 4,506 = 4 866,48 euró . Cash flow áram: a) kifizetés az év végén Év Cash flow
0
1 1 000
2 1 000
3 1 000
4 1 000 FV 1 000 1 080 1 166,4 1 259,71 összesen 4 506,11
c) kifizetés az év elején Év Cash flow
0 1 000
1 1 000
2 1000
3 1000
4
összesen
FV 1 080 1 166,4 1 259,71 1 360,49 4 866,60
1.3. Összetett feladatok – alkalmazások 1.3.1. Összetett feladatok F.1.20. a) Számítsa ki a 6% névleges kamathoz tartozó kamattényezőt egy évre! Mekkora a diszkonttényező ez esetben?
13
b) Határozza meg a 6% névleges kamatlábbal egyenértékű diszkontlábat! c) Számítsa ki a 6% diszkontlábbal egyenértékű kamatlábat! F.1.21. Számítsa ki a 8% diszkontlábhoz tartozó diszkonttényezőt! Mekkora ez esetben a kamatláb? F.1.22. Egy légi közlekedési vállalat Boeing repülőgép vásárlásába akar invesztálni. A feltételezések szerint 6 év múlva 20 millió dollárért el tudja adni a gépet a Singapour Airline-nak. a) Mekkora összeget kellene a Singapour Airline-nak ma befektetnie, 6% éves nominális hozam feltételezése mellett, hogy 6 év múlva rendelkezésére álljon a 20 millió dollár? b) Mekkora lenne 20 millió dollár jelenlegi értéke 8% ill. 10% elvárt hozam mellett? F.1.23. Az állami költségvetés deficitjét 3000 millió dollárral kívánja a kormány csökkenteni a következő 10 évben, a jóléti kiadások csökkentésével. Mekkora a tényleges deficit csökkenés, ha a kormány 8% évi kamattal tud kölcsönt felvenni, bármely lejáratra és a jóléti kiadások csökkentésének ütemezése a következő: Év 1. 2. 3. 4. 5.
Deficitcsökkentés, millió $ 100 100 200 200 350
Év 6. 7. 8. 9. 10.
Deficitcsökkentés, millió $ 350 400 400 450 450
F.1.24. Mennyi pénze lesz a bankban 4 év múlva, ha ma 5000 eurót helyez el, 6% névleges kamatláb és féléves kamatperiódus esetén? F.1.25. Kovács A. 2008 október 25-én bankba tett 20 ezer eurót. A betétet két év múlva, 2010 december 31-én szünteti meg. Mekkora összeget kap, ha betétkor 8%-os kamatot számolt a bank, és amelyet két év múlva, október 25-én 6%-ra csökkentett? Az év 365 napos, a kamat tőkésítése december 31-én történik. F.1.26. Mennyiért lehet ma leszámítoltatni 60 ezer euró értékű, 60 napos lejáratú váltót, ha az éves kamatláb 6%? (Váltó leszámítolásnál az év napjainak száma 360). Mekkora a diszkontláb nagysága? F.1.27. Mennyiért vásárolja meg a bank a leszámítolásra benyújtott 25 000 euróra szóló váltót, ha a váltó lejáratáig 90 nap van hátra, és a bank 12%-os hitelkamatnak megfelelő leszámítolási kamatlábat, valamint a bruttó összegre vetített 1,2%-os egyszeri váltódíjat alkalmaz? (1év = 360 nap.) F.1.28. Egy vevő 28 000 dollárral, tartozik, amely - szerződés szerint - a mai naptól számított 60. napon esedékes. Eltelik 30 nap, és a vevő tartozásának teljes kiegyenlítése fejében felajánl a vállalatnak: a) 27 200 dollárt b) az esedékesség előtt 20 nappal 27 300 dollárt. c) az esedékesség előtt 10 nappal 27 500 dollárt.
14
Az ajánlatok közül melyik a legkedvezőbb, ha a piaci kamatláb 7%?
F.1.29. Az építési, lakásvásárlási hitelek kamatait az ügyfelek havonta fizetik (törlesztéstől most eltekintünk). A bankok a hitelek után éves nominális kamat fizetését rögzítik a hitelszerződésben. Egy bank az államilag támogatott hitelek után 6% kamatot, míg a piaci kondíciók szerint folyósított hitelekre 12% kamatot kér az ügyfeleitől. a) Mekkora az ügyfelek tényleges kamat terhe? b) Mekkora a tényleges kamatteher negyedéves kamatfizetés esetén F.1.30. Tételezzük fel, hogy ön 1 évig rendelkezik szabad pénzeszközzel. Két lehetőséget mérlegel, az egyik esetben az éves kamat periódusok száma 4, a másik esetben 3. Számítsa ki, hogy melyik lesz a jobb befektetés, 6%-os éves névleges kamatláb mellett? F.1.31. A bank a nála elhelyezett betét után havonta 0,6%-os kamatot fizet, az éves inflációs ráta 3,2%. Határozza meg az effektív- és a reálkamatláb nagyságát! F.1.32. Egy vállalkozó a pénzforgalmi számlájáról másfél éven keresztül minden hónap végén elkülönített betétszámlára utalt 10 000 eurót. A betét után a bank 7% éves kamatot fizet, a konstrukció havi kamatos kamatozású. Határozza meg, mekkora a 18. hónap végén összegyűlt megtakarítás! F.1.33. Ön most örökölt 1 millió dollárt, amely jelenleg 5% hozamot eredményez évente. Ha Ön feladja állását, és az örökségéből kíván élni, évi 100 ezer dollár kivonásával meddig tartana az öröksége? F.1.34. Egy biztosító intézet ügyfele most 35 éves és nyugdíjba vonulását követő életvitelét fontolgatja. 65 éves korában tervezi a nyugdíjba vonulását. Az aktuárius táblán nyugvó becslés alapján 90 évig fog élni. Nyugdíjba vonulását követően Madeirára szeretne költözni. Az új életfeltétel megteremtése várhatóan 300 000 dollár egyszeri kiadással társul (65. születésnapján tervezi). Ezt követően az éves megélhetési költségek összege 30 000 dollár, amelyet az egyszerűség kedvéért az év végén egyszeri kiadásként kezelünk. a) Mekkora összeggel kell rendelkeznie a nyugdíjazásának időpontjára? A biztosító 8% hozamot ígér. b) Az ügyfél már rendelkezik 80 000 dollárral. A tőkét évi 8% hozammal tudja befektetni. (Tételezzük fel, hogy a befektetés hozama nem adóköteles). Mekkora összeggel rendelkezik 30 év múlva, nyugdíjba vonulásakor? Elegendő lesz-e az így összegyűlt pénze terve megvalósításához? c) Ha a befektetések hozama adóköteles, 20% adókulccsal számolva mennyi pénz gyűlik össze a tőkeszámláján? F.1.35. A Vidámpark Rt. átlagosan 800 millió dollár cash flow-ra tett szert évenként a park működtetéséből. Ez a pénzáram várható a jövőben is. Az elvárt megtérülés 12%.
15
a) Mekkora a vállalat értéke, végtelen periódusszámot figyelembe véve? b) Mekkora a vállalat értéke, ha 30 éves koncessziós szerződése van a vállaltnak?
F.1.36. Egy magánnyugdíj biztosítással rendelkező ügyfél évente 6 000 eurót fizet tőkeszámlájára. A biztosítást 45 éves korában kezdte, nyugdíjba vonulása 65 éves korában várható. a) Mekkora tőkéje képződik, ha a nyugdíjbiztosító intézet évi 8% megtérülést ígér? b) Mekkora összeget kellene elhelyeznie minden évben, hogy 15 év múlva 400 000 euró álljon rendelkezésére? c) Hogyan módosul a 6 000 euró éves befizetés értéke, ha a befizetés az év elején történik? d) Hogyan módosul 400 000 euró felgyűlt pénzáramhoz tartozó éves befizetés összege, ha a befizetés az év elején történik? F.1.37. A.B vállalkozó 180 000 svájci frankban denominált hitelt vett fel 4 évre 5%-os kamattal. A kamat és tőketörlesztés az év végén esedékes, összegét számítsa ki az évjáradék képletével. F.1.38. Mennyiért érdemes megvásárolni 6% kamat mellett azt az évi 50 ezer angol font hozamot biztosító konzolt, amely 4. év végén kezdi meg a kifizetést? F.1.39. M.A. a kártérítésként megítélt összeget évjáradékra váltotta át. Az évjáradék 7 000 dollár, amely 15 éven keresztül, minden év végén kerül kifizetésre. Mekkora volt a kártérítés összege, ha az elvárt megtérülés 6%? F.1.40. Egy befektető a következő négy évben, minden év végén 12 000 dollár megtakarítást helyez el a CA részvény portfólióban. A portfólió várható hozama 11%. a) Mekkora a 4. év végén a megtakarítás értéke? b) Hogyan alakul a megtakarítás értéke, ha év elején történik a befektetést? F.1.41. Egy alapítvány örökjáradék formájában az első évben 12 000 eurót, az első évet követően pedig évi 5%-kal növekvő örökjáradékot kíván juttatni a kedvezményezetteknek. Mekkora összeget helyezne az alapítványba, ha a piaci kamatláb 10%? F.1.42. Örökölt egy évjáradékot. 10 éven keresztül minden év végén kapna 15 000 eurót. Önnek azonban azonnal szüksége lenne 80 ezer euróra ezért úgy dönt, hogy eladja a járadékot. Egy ismerőse 90 000 eurót ajánl fel azonnali fizetéssel, egy rokona pedig 95 000 eurót, amelyből azonnal fizetne 50 000 ezret és egy év múlva 45 ezret. Melyik ajánlatot fogadná el, ha a 10 éves befektetések elvárt hozama évi 8%? a) Az ismerősét, mert az ajánlata többet ér. b) A rokonét, mert az ő ajánlata ér többet. c) Egyiket sem, mert az értékpapírpiacon többet is kaphatna érte. F.1.43.
16
N.A. szülei évenként 50 000 dollárt helyeznek el N.A. javára egy bankszámlán. A befizetéseket 15 évig szándékoznak fenntartani. Mekkora a befizetések értéke a 15. év végén, ha az alternatív befektetés elvárt hozamrátája 6%. F.1.44. Egy biztosító intézet évi 25 000 fontot fizet ügyfelének 10 éven keresztül. A kifizetések az év elején esedékesek. Mekkora a kifizetések jelenértéke, ha az alternatív kamatláb 6%? F.1.45. Tételezzük fel, hogy 6000 euró áruvásárlási kölcsönt szeretne felvenni. A folyósítás egy összegben történik. A visszafizetési határidő 3 év. A bank által alkalmazott kamatláb 9% amely a hitel futamideje alatt nem változik. A kölcsönszerződés alapján a tartozást (tőke + kamat) évente azonos nagyságrendben kell törleszteni. a) Számítsa ki az évente fizetendő adósságszolgálat összegét! b) Hogyan változik az adósságszolgálat nagysága, ha a tőkét kell azonos összegekben törleszteni? Ön melyik konstrukciót választaná és miért? F.1.46. Lakásvásárláshoz 45 ezer eurót vesz fel bankjától. A visszafizetési idő 5 év. A piaci kamatláb 6%. a) Mekkora a havi adósságszolgálati kötelezettség összege? b) Mennyivel csökkenne a lakásvásárlás költsége, ha az adósságszolgálat után 20% adókedvezményt érvényesíthetne? F.1.47. Tételezzük fel, hogy 50 000 font lakásvásárlási kölcsönt szeretne felvenni. A folyósítás egy összegben történik. A hitel futamideje 10 év. A bank által alkalmazott kamatláb 9% amely a hitel futamideje alatt nem változik. A kölcsönszerződés alapján a tartozást (tőke+kamat) évente azonos nagyságrendben kell törleszteni. a) b) c)
Számítsa ki az évente fizetendő adósságszolgálat összegét! Hogyan alakul az adósságszolgálat nagysága az első három évben, ha a tőkét kell azonos összegekben törleszteni? Hogyan változik az adósságszolgálat nagysága, ha az adósság szolgálatot havonta kell törleszteni?
1.3.2. Összetett feladatok megoldása M.1.20. a) Kamattényező: : (1+r);
(1+0,06)=1,06.
1 1 = 0,943 . (1 + 0,06) (1 + r ) 0,06 r b) Diszkontláb: d = ; d= = 0,0566; ; d= 5,66%. 1 + 0,06 1+ r r c) Kamatláb: 0,06 = ; r = 6,38%. 1+ r Diszkonttényező:
17
M.1.21.
Kamatláb diszkontlábból meghatározva: 0,08 = diszkonttényező:
r ; 1+ r
r = 8,7%,
1 = 0,92; vagy diszkonttényező, diszkontláb alapján: 1–d; 1–0,08=0,92. (1 + 0,087 )
M.1.22.
a) FV6 = PV · FVF6%, 6év; 20 millió = PV · (1+0,06)6 ⇒ PV= 20 ⋅ b) PV = 20 millió · PVF8%,6év = 20 ⋅
1 = 14,10 millió $. (1 + 0,06) 6
1 = 12,60; vagy: 20 · 0,630 = 12,60 millió $. (1 + 0,08) 6
PV = 20 millió · PVF10%,6év = 20 ⋅
1 = 11,29; vagy: 20 · 0,564 = 11,29 millió $. (1 + 0,1) 6
M.1.23. PV = 100 · PVF8%, 1év+ 100 · PVF8%, 2év+ 200 · PVF8%, 3év+ 200 · PVF8%, 4év+ 350 · PVF8%, 5év + 350 · PVF8%, 6év+ 400 · PVF8%, 7év+ 400 · PVF8%, 8év+ 450 · PVF8%, 9év+ 450 · PVF8%, 10év = 1825,91 millió $. M.1.24. 8
⎛ 0,06 ⎞ FV4 = 5 000 · FV(6 / 2)%, (4 · 2)év = 5000 ⋅ ⎜1 + ⎟ = 6333,85 euró. 2 ⎠ ⎝ M.1.25. Október 25 és december 31 között a kamatnapok száma 67.
⎡ ⎛ ⎡ ⎛ 67 ⎞⎤ 67 ⎞⎤ 298 FV = 20 000 ⋅ ⎢1 + ⎜ 0,08 ⋅ + 0,06 ⋅ ⎟ = 23590,11 euró ⎟⎥ ⋅ (1 + 0,08) ⋅ ⎢1 + ⎜ 0,08 ⋅ 365 ⎠⎦ 365 365 ⎠⎥⎦ ⎣ ⎝ ⎣ ⎝ M.1.26.
60000
= 59 405,94 euró . 60 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜1 + 0,06 ⋅ 360 ⎠ ⎝ 60 0,06 ⋅ 360 d= = 0,00990099 . 60 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜1 + 0,06 ⋅ 360 ⎠ ⎝ PV =
PV = 60 000(1–0,00990099)= 59 405,94 euró. M.1.27.
25 000 = 24 271,84 euró . 90 ⎞ ⎛ ⎜1 + 0,12 ⋅ ⎟ 360 ⎠ ⎝ 18
24 271,84 − 300 = 23 971,84 euró. M.1.28.
30 ⎞ ⎛ ⎟ = 27 356,49 dollár . 365 ⎠ ⎝ 20 ⎞ ⎛ b) 27 300 ⋅ ⎜1 + 0,07 ⋅ ⎟ = 27 404,71 dollár . 365 ⎠ ⎝ 10 ⎞ ⎛ c) 27 500 ⋅ ⎜1 + 0,07 ⋅ ⎟ = 27 552,74 dollár . 365 ⎠ ⎝
a) 27200 ⋅ ⎜1 + 0,07 ⋅
Tehát a C megoldás elfogadása javasolt. M.1.29. a) Effektív kamatláb 6% éves kamatozás és havi kamatfizetés esetén: 12
⎛ 0,06 ⎞ ⎜1 + ⎟ − 1 = 0,0616 ; reff = 6,17%. 12 ⎠ ⎝ Effektív kamatláb 12% éves kamatozás és havi kamatfizetés esetén: 12
⎛ 0,12 ⎞ ⎜1 + ⎟ − 1 = 0,1268 ; reff = 12,68%. 12 ⎠ ⎝ b) Effektív kamatláb 6% éves kamatozás és negyedéves kamatfizetés esetén: 4 0,06 ⎞ ⎛ ⎜1 + ⎟ − 1 = 0,0614 ; reff = 6,14%. 4 ⎠ ⎝ Effektív kamatláb 12% éves kamatozás és negyedéves kamatfizetés esetén: 4
⎛ 0,12 ⎞ ⎜1 + ⎟ − 1 = 0,1255 ; reff = 12,55%. 4 ⎠ ⎝ M.1.30. 4
⎛ 0,06 ⎞ ⎜1 + ⎟ − 1 = 0,0614 ; reff = 6,14%. 4 ⎠ ⎝
3
⎛ 0,06 ⎞ ⎜1 + ⎟ − 1 = 0,0612 ; reff = 6,12%. 3 ⎠ ⎝
Tehát a gyakoribb kamatelszámolás a betétes számára kedvezőbb. M.1.31.
reff = (1 + 0,006 ) − 1 = 0,0744 ; 12
rreál =
(1 + 0,006) (1 + 0,032)
reff = 7,44%.
12
− 1 = 0,0411 ;
rreal = 4,11%.
M.1.32. 18
⎛ 0,07 ⎞ ⎜1 + ⎟ −1 12 ⎠ ⎝ FV = 10 000 ⋅ = 189 208,84 euró . 0,07 12
M.1.33. PV = 1 000 000 = 100 000 · PVA5 %, T év.
1000000 = 100 000
1 1 . 0,05 0,05 ⋅ 1,05 T
1,05T = 2.
19
T = 14,21 Tehát legalább 14 évig tart az öröksége. M.1.34. a) 65. és 90. év között szükséges pénzösszeg értéke 65. születésnapján: PV = 300 000 + 30 000 · PVA8%,25év = 300 000+ 30 000· 10,675 = 620 250 $.
b) FV = 80000 (1 + 0,008 )
30
= 805 012,55 $. Igen.
c) FV = 80000[1 + 0,08(1 − 0,02 )]
30
= 514 444,85 $.
M.1.35. a) PV =
C 800 = = 6 666,67 millió dollár . r 0,12 ⎛ 1 1 − 30 ⎝ 0,12 0,12(1 + 0,12)
b) PV = 800 ⋅ ⎜⎜
⎞ ⎟⎟ = 6444,15; vagy : 800 ⋅ 8,055 = 6 444 millió dollár . ⎠
M.1.36. a) FV20 = C · FVA8%,20év = 6000 · 45,762 = 274 572 euró. b) FV15 = 400 000 = C · FVA8%,15év = C · 27,152; C = 14 731,88 euró. c) FV25 = C (1+r) · FVA8%20év = 6 000(1+0,08) · 45,762 = 296 537,76 euró. d) FV15 = 400 000 = C(1+0,08) · FVA8%,15év = C(1+0,08) · 27,152; C = 13 640,63 euró. M.1.37. PV = C · PVA5%,4év = C · 3,546 = 180 000 svájci frank. C = 50 761 svájci frank. Év 0 1 2 3 4
Adósságszolgálat /év
Kamathányad/év
50 761 50 761 50 761 50 761
9 000 6 912 4 720 2 417
Tőkehánya d/év
Fennálló kötelezettség
41 761 43 849 46 041 48 344
180 000 138 239 94 390 48 349 ≈0
M.1.38.
50 · PVF6%,3év = 833 · 0,840 = 699,72; 0,06 50 1 ⋅ vagy: = 699,68 ezer font. 0,06 (1 + 0,06) 3
PV =
M.1.39.
⎛ 1 1 PV = 7000 ⋅ ⎜⎜ − 30 ⎝ 0,06 0,06(1 + 0,06)
⎞ ⎟⎟ = 96353,82; vagy : 7000 ⋅ 13,760 = 96320 dollár ⎠
M.1.40.
⎛ (1 + 0,11) 4 − 1 ⎞ ⎟⎟ = 56 516,77 euró . 0,11 ⎝ ⎠
a) FV4 = 1 2000 ⋅ FVA 11%,4év = 12000 ⋅ ⎜⎜
20
⎛ (1 + 0,11) 4 − 1 ⎞ ⎟⎟ = 62 733,62 euró 0,11 ⎝ ⎠
b) FV4 = 1 2000 ⋅ (1 + 0,11) ⋅ FVA 11%,4év = 12000 ⋅ (1 + 0,11) ⋅ ⎜⎜ M.1.41.
PV =
12 000 = 240 000 euró . 0,1 − 0,05
M.1.42. a) PV = 90 000 euró
b) PV = 50 000 +
45 000 = 91 666,67 euró . 1,08
⎛ 1 1 PV = 15 000 ⋅ ⎜⎜ − 10 ⎝ 0,08 0,08 ⋅ 1,08
c)
⎞ ⎟⎟ = 100651,22; vagy : 15 000 ⋅ 6,71 = 100 650 euró . ⎠
A c) ajánlat a kedvezőbb. M.1.43.
⎛ (1 + 0,06)15 − 1 ⎞ ⎟ = 1163 798,50; FVT = C ⋅ FVA r,,T = 50 000⎜⎜ ⎟ 0,06 ⎝ ⎠ vagy: 50 000 · 23,276 = 1 163 800 dollár.
M.1.44.
⎛ 1 1 PV = 25 000 + 25 000 ⋅ ⎜⎜ − 9 ⎝ 0,06 0,06 ⋅ 1,06
⎞ ⎟⎟ = 195 042,31 font . ⎠
M.1.45.
⎛ 1 ⎞ 1 ⎟ = 2 370,33euró; . 6000 = C ⋅ ⎜⎜ − 3 ⎟ 0,09 0 , 09 ( 1 + 0 , 09 ) ⎝ ⎠ 6000 = 2 371 euró . Vagy annuitás faktorral: C = 2,531
a)
b) Törlesztési terv: Év
Fennálló tőketartozás
1 2 3
4000 2000 0
Esedékes kamat 540 360 180
Esedékes tőketörlesztés 2000 2000 2000
Esedékes adósságszolgálat 2 540 2 360 2 180
A fizetendő kamat mértékét tekintve mindkét konstrukció azonos költséget jelent a hitelfelvevő számára. A két változat rangsorolásakor a döntés más, (pl. likviditási) szempont alapján történik. M.1.46.
a)
⎛ 1 1 45 000 = C ⋅ ⎜⎜ − 60 ⎝ 0,005 0,005 ⋅ 1,005
⎞ ⎟⎟ = 869,98 euró; ⎠
Vagy: C = 45 000 / 51,726 = 869,97 euró.
⎛
1 1 − 60 ⎝ 0,005 0,005 ⋅ 1,005
b) PV = C ⋅ (1 − 0,2)⎜⎜
⎞ ⎟⎟ . ⎠
21
⎛ 1 1 PV = 869,97 ⋅ (1 − 0,2 )⎜⎜ − 60 ⎝ 0,005 0,005 ⋅ 1,005
⎞ ⎟⎟ = 35 999,75 euró . ⎠
PV = 869,97 · (1-0,2) · 51,726 = 36 000,05 euró. M.1.47.
⎛ 1
⎞
1
50 000
= 7790,59 font . − a) 50 000 = C ⋅ ⎜⎜ ⎟ = 7 791,00 font ; C = 10 ⎟ 6,418 ⎝ 0,09 0,09 ⋅ 1,09 ⎠ b) C1 = 5 000 + 4 500 = 9 500 font. C2 = 5 000 + 4050 = 9 050 font. C3 = 5 000 + 3 600 = 8 600 font.
⎛
1
1
⎞
− c) 50 000 = C ⋅ ⎜⎜ ⎟ = 633,38 font ; 120 ⎟ ⎝ 0,0075 0,0075 ⋅ 1,0075 ⎠ vagy: C =
50 000 = 633,38 font . 78,942
22
