BAB 1 Konsep Dasar 1.1 Denisi dan Teorema Dalam Kalkulus Pengembangan metoda numerik tidak terlepas dari pengembangan beberapa denisi dan teorema dalam mata kuliah kalkulus yang berkenaan dengan fungsi polinomial f (x). Oleh karena itu dibawah ini akan diingatkan kembali beberapa denisi dan teorema tersebut.
Teorema 1.1.1 (Nilai Tengah) Jika f (x) adalah fungsi kontinyu pada interval a b], dan didenisikan m = Infaxb f (x) dan M = Supaxb f (x) maka ada sebarang pada interval m M ], sehingga paling sedikit satu titik di dalam interval a b] akan memenuhi f ( ) =
Teorema 1.1.2 (Nilai Rata-Rata) Jika f (x) adalah fungsi kontinyu pada interval a b] dan terdefrensialkan pada interval (a b), maka paling sedikit ada satu titik dalam (a b) yang memenuhi f (b) ; f (a) = f 0 ( )(b ; a)
1
BAB 1. KONSEP DASAR
2
Teorema 1.1.3 (Integral Nilai Rata-Rata) Jika w(x) adalah fungsi tak negatif dan terintegralkan pada interval a b], dan misal f (x) kontinyu pada a b] maka Z b
untuk semua 2 a b]
a
w(x)f (x)dx = f ( )
Z b
a
w(x)dx
Teorema 1.1.4 (Teorema Taylor) Jika f (x) mempunyai n + 1 turunan kontinyu pada interval a b] untuk beberapa n 0 dan bila x x0 2 a b] maka f (x) pn(x) + Rn+1(x) n pn(x) = f (x0) + (x ;1!x0) f 0 (x0) + + (x ;n!x0) f (n) (x0) Z x 1 Rn+1(x) = n! (x ; t)n f (n+1)(t)dt x0 n+1 = (x ; x0) f (n+1)( ) (n + 1)! untuk antara x0 dan x
(1.1) (1.2) (1.3) (1.4)
Deret Taylor ini nantinya akan menjadi konsep dasar pengembangan metoda numeris. Beberapa metoda aproksimasi adalah merupakan hasil ekspansi dan pemenggalan dari deret ini. Sehingga deret ini sendiri juga merupakan model aproksimasi terhadap suatu fungsi f (x) sebagaimana digambarkan dalam contoh berikut ini.
Contoh 1 Diketahui f (x) = ln x, tentukan fungsi aproksimasi linear p1(x) dan kuadratik p2 (x) pada x0 = 1, dan gunakan p1 (x), p2 (x) untuk menghitung ln 1:5.
Solusi 1 f (x) = ln x maka f (x0) = ln 1 = 0 f 0(x) = x1 maka f 0(x0) = 1. Dengan menggunakan teori Taylor kita dapatkan
p1(x) = ln 1 + (x ; 1):1 = x ; 1 p2(x) = ln 1 + (x ; 1):1 + 12 (x ; 1)2: ; 1 = (x ; 1) ; 12 (x ; 1)2
BAB 1. KONSEP DASAR
3
Dengan demikian ln 1:5 dapat ditentukan dengan cara
ln 1:5 = p1(1:5) = 1:5 ; 1 = 0:5 ln 1:5 = p2(1:5) = (1:5 ; 1) ; 1 (1:5 ; 1)2 = 0:375 2 Secara gras aproksimasi dari p1(x) dan p2(x) terhadap f (x) = ln x dapat ditunjukkan sebagai berikut 4 3 2
p1(x)
1
f(x)
0 −1 −2 −3 −4 −5 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Gambar 1.1: approksimasi oleh p1(x) 2
f(x)
1
0 p2(x) −1
−2
−3
−4
−5 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Gambar 1.2: approksimasi oleh p2(x)
1.2 Representasi bilangan dalam komputer Komputer dapat melakukan operasi pada bilangan dengan mudah, misal 2 + 2 = 4 6 : 2 = 3, dengan pasti komputer dapat menjawab dengan benar. Namun
BAB 1. KONSEP DASAR
4
p
demikian bila komputer mengoperasikan ( 3)2 maka operasi ini tidak dilakukan ;
dengan cara 3 21 2 = 3 akan tetapi dengan cara melakukan pengakaran bilangan
p
tiga dua kali kemudian keduanya dikalikan. Dapat dipahami bahwa untuk 3 = 1:7320508 : : : mempunyai jumlah desimal (digit) yang tidak terbatas sehingga nilai tersebut hanya merupakan nilai pendekatan. Dalam hal melakukan pendekatan ini komputer melakukan pemotongan (Chopping) atau pembulatan (Rounding) dan selanjutnya dimungkinkan muncul beberapa kesalahan yang secara umum dikenal dengan nama kesalahan pembulatan (Rounding error) dan kesalahan pemotongan (Chopping error). Selanjutnya untuk merepresentasikan bilangan real, komputer pada umumnya menggunakan sistem "oating-point" dengan basis bilangan 2 (biner), 8(octal) dan 16(hexadecimal). Sedangkan format penyimpanannya dalam memori komputer digambarkan sebagai berikut :
x = (a1 a2 : : : at) e
(1.5)
dimana
a1 6= 0, dan 0 ai ; 1, a1 kemudian disebut titik radik. adalah tanda dengan nilai = +1 atau ;1, dan adalah basis. e adalah bilangan bulat dengan L e U , dimana L U masing-masing nilai terkecil dan terbesar.
(a1a2 : : : at) adalah mantisa. Bila bilangan real x dinyatakan dalam
x = (a1a2 : : : at at+1 : : : ) e
(1.6)
BAB 1. KONSEP DASAR
5
maka representasi pemotongan desimal dapat dinyatakan dalam bentuk oating point fl(x) sebagai berikut
fl(x) = (a1 a2 : : : at) e
(1.7)
Sedangkan representasi pembulatan dapat ditampilkan sebagai 8 > <
fl(x) = > :
(a1 a2 : : : at ) e
0 at+1 < 2
(a1 a2 : : : at) + (0 : : : 01) ] e
2
at+1 <
Dalam hal ini fl(x) 6= x, oleh karena itu kesalahan dapat dimunculkan dalam bentuk = x ; fl(x), dan kesalahan relatifnya
x ; fl(x) = R x dengan demikian
fl(x) = (1 ; R )x
(1.8)
Jika simbol-simbol operasi mesin komputer dinyatakan dalam dan maka operasi jumlah, kurang, kali dan bagi untuk x dan y dalam komputer dinyatakan sebagai berikut:
x y = fl(fl(x) + fl(y)) x y = fl(fl(x) ; fl(y)) x y = fl(fl(x) fl(y)) x y = fl(fl(x) fl(y)): Dengan demikian komputer melakukan oating point terhadap masing-masing komponen bilangan sebelum dan sesudah melakukan operasi. Hal ini bertujuan untuk meminimalkan kesalahan yang dihasilkannya.
BAB 1. KONSEP DASAR
6
Secara umum formulasi nilai kesalahannya dari perhitungan aproksimasi terhadap xA (niali eksak) oleh xT (nilai aproksimasi), dapat dinyatakan sebagai
E (xA) = xT ; xA
(1.9)
dan kesalahan relatifnya adalah
Rel(xA) = xT x; xA T
(1.10)
1.3 Algoritma Teorema 1.3.1 (Algoritma) Algoritma adalah suatu prosedur yang menggambarkan urut-urutan rapi dan logis dengan tujuan memudahkan pengimplementasian suatu masalah. Selanjutnya, sebagai prosedur logis algoritma harus dapat dengan mudah diinterpretasikan dalam fungsi-fungsi khusus pada komputer programming.
Dua simbol yang digunakan dalam algoritma adalah Period () dan menunjukan akhir prosedur, dan titik koma () memisahkan tugas dalam beberapa langkah. Teknik loop (pengulangan) dalam algoritma dapat dinyatakan dengan 'kontrol penyanggah'
For i = 1 2 : : : n Set xi = ai + i h ataupun 'kontrol bersyarat'
While i < N do Steps 3 ; 6
BAB 1. KONSEP DASAR
7
if : : : then if : : : then : : : else Misal suatu algoritma untuk menghitung N X i=1
xi = x1 + x2 + + xN
dapat diuraikan adalah sebagai berikut INPUT N x1 x2 : : : xn: PN
OUTPUT SUM=
i=1 xi :
Step 1 Set SUM=0. Step 2 For i = 1 2 3 : : : N do
set SUM = SUM + xi: Step 3 OUTPUT (SUM)
STOP.
1.4 Software Komputer Banyak software programming, baik compiler ataupun semi compiler, yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah numerik, diantaranya adalah 1. Fortran (LINPACK, EISPACK, LAPACK, BLAS, NAG) 2. Matlab yang library-nya berdasarkan EISPACK dan LINPACK + beberapa Matlab Toolbox 3. Maple 4. Pascal 5. Turbo C+ dan Turbo Basic, dll.
BAB 1. KONSEP DASAR
8
Latihan Tutorial 1
1. Fungsi aproksimasi sebagian besar didasari oleh pengembangan deret Taylor sebutkan teorema Taylor ini. Bila diketahui f (x) = sin x terapkan deret Taylor ini untuk menentukan fungsi aproksimasi kuadratik terhadap
f pada x = 0. Kemudian tentukan nilai aproksimasi dari sin 5. Disadari bahwa dalam menghitung nilai sin 5 anda akan mendapatkan kesalahan numeris sebutkan penyebab kesalahan itu. Selanjutnya untuk mengantisipasi kesalahan ini diperlukan format penyimpanan yang baik dalam memori komputer, tentukan format tersebut. Dan bila diberikan nilai eksak
xA dan nilai aproksimasi xT , formulasikan kesalahan E (xA) serta relatif kesalahan Rel(xA). 2. Tentukan konversi dari masing-masing bilangan dibawah ini kedalam bentuk desimal biasa. (a) (1010101:101)2 (b) (2A3:FF )16 (c) (:101010101 : : : )2 3. Tentukan fungsi aproksimasi p1(x) p2(x) dan p3(x) dari fungsi dibawah ini pada x0 = 1. (a) f (x) = ln x + x (b) g(x) = x2 + 4x + 2 dan tentukan nilai dari ln 3, melalui fungsi aproksimasi f (x).
BAB 1. KONSEP DASAR
9
4. Gunakan deret Taylor untuk menemukan rumusan dari ex sin x cos x e;x2 dan 1;1 x pada x0 = 0 5. Lakukan pembulatan dan pemotongan terhadap bilangan dibawah ini sampai empat desimal dibelakang koma. (a) 0:35745397 (b) 4:8975978 (c) ;1:098904045 (d) 0:09874329873 dan tentukan nilai kesalahan dan kesalahan relatifnya. 6. Gunakan metoda biseksi untuk menyelesaikan persmaan dibawah ini pada interval yang diberikan
p
(a) x ; cos x = 0
pada interval 0 1]
(b) x3 ; 7x2 + 14x ; 6 = 0
pada interval 1 1:32]
(c) 2x cos x ; (x + 1)2 = 0
pada interval ;3 ;2]
dengan toleransi = 1e ; 2
