Orbán Béla EGY CSEPP GEOMETRIA A matematikai feladatok egy része olyan szellemi erőfeszítést igénylő rejtvényként fogható fel, amelynek megoldása jóleső érzést (sikerélményt) biztosít. Fokozott mértékben igaz ez – szemléletes jellegüknél fogva könnyebben átlátható – geometriai feladatokra. Az ilyen feladatok vonzerejét a matematika egész története biztosítja, mely tényt üdvös lenne az iskolai matematikaoktatásban is kihasználni, egyesek eltérő véleménye ellenére. A geometriai feladatok közül a szerkesztési feladatok azok, amelyek megoldása – véleményem szerint – a legtöbb sikerélményt biztosíthatja. Az ilyen feladatoknál adott mértani alakzatból kell kiindulni – kizárólag körző és vonalzó (beosztás nélküli egyenesvonalzó) segítségével –, előírt tulajdonságokkal rendelkező új alakzathoz eljutni. A körző és vonalzó kizárólagos használatát e két eszköz egyszerű volta és aránylag pontos kezelhetősége indokolta, amiért is csak ezekkel az eszközökkel megoldott feladatokat tekintették szerkesztéseknek. Az alábbiakban egy ilyen feladatot tárgyalok. Adott három ha, hb, hc szakasz. Szerkesszük meg azt a háromszöget, melynek a három magassága az adott szakaszokkal egyezik meg.
Ismertnek tételezem fel a háromszög megszerkesztési módját a legegyszerűbb esetekben: amikor adott a három oldal vagy két oldal és egy szög, illetve egy oldal és kétszög (alapszerkesztések). A jelen feladat esetén először is – megoldottnak tételezve fel a problémát – felveszünk egy háromszöget, abban meghúzzuk a három magasságot, és olyan összefüggéseket keresünk a magasságok és az oldalak (vagy szögek) között, melyeket a szerkesztésnél hasznosíthatunk. Az ABC háromszögben a három oldal legyen BC = a, CA = b, AB = c,
1
az ezekre merőleges és csúcsokon átmenő szakaszok (magasságok) pedig ha = AM, hb = BN, hc = CP.
A háromszög T területének képlete alapján felírhatjuk, hogy
T=
BC ⋅ AM CA ⋅ BN AB ⋅ CB , = = 2 2 2
ahonnan aha = bhb = chc = 2T
(1)
Vegyük most azt az A′B′C ′ háromszöget, melynek oldalai ez ABC háromszög magasságai, azaz B′C ′ = ha , C ′A′ = hb , A′B′ = hc . Húzzuk meg ez utóbbi háromszög A′M ′, B′N ′, C ′P′ magasságait,
2
majd ezzel a három szakasszal mint oldalakkal szerkesszük meg az A′′B′′C ′′ háromszöget: a′′ = B′′C ′′ = A′M ′, b′′ = C ′′A′′ = B′N ′, c′′ = A′′B′′ = C ′P′.
Az A′B′C ′ háromszög területét T ′ -vel jelölve felírhatjuk, hogy B′C ′ ⋅ A′M ′ = C ′A′ ⋅ B′N ′ = A′B′ ⋅ C ′P = 2T ′ vagy ha a′′ = hb b′′ = hc c′′ = 2T ′ . (2) Az (1) egyenlőségek tagjait a (2) egyenlőségek megfelelő tagjaival elosztva és ha, hb, hc-vel egyszerűsítve kapjuk, hogy a b c T , = = = a′′ b′′ c′′ T′ ami azt jelenti, hogy az ABC és A′′B′′C ′′ háromszögek hasonlók, mert a megfelelő oldalaik arányosak. Ily módon megszerkesztettünk egy, a keresett háromszöghöz hasonló A′′B′′C ′′ háromszöget. Most már csak ez utóbbival hasonló olyan háromszöget kell megkapnunk, melynek az egyik (megfelelő) magassága a három adott magasság valamelyike (ekkor a hasonlóság miatt a másik két magasság is az adottal fog megegyezni). Az A′′B′′C ′′ háromszögben az egyik (például az A′′ ) csúcsból a szemközti oldalra merőlegest bocsátunk, s erre felmérjük az A′′M ′′ = AM = ha szakaszt. Az M ′′ ponton át a B′′C ′′ -vel húzott párhuzamos az A′′B′′ egyenest az S, az A′′C ′′ -t pedig a T pontban metszi.
3
Az A′′ST háromszög lesz a feladat megoldása, mivel hasonló a keresettel, és az egyik magassága ugyanaz (emiatt egybevágása keresettel). E háromszög másik két magassága is az adott szakaszokkal lesz egyenlő.
Felvetődik a kérdés: bármely három ha, hb, hc szakasz esetében elvégezhető-e a szerkesztés? A követett eljárás választ ad erre: A ha, hb, hc szakaszokkal, mint oldalakkal, csak akkor lehet háromszöget szerkeszteni, ha közülük bármely kettőnek az összege nagyobb a harmadiknál (háromszög-egyenlőtlenség). Igazolható, hogy ez a feltétel nem csak szükséges, de elegendő is a szerkesztés elvégzéséhez. A tárgyalt problémával rokon az a feladat, amikor olyan háromszöget kell szerkeszteni, melynek a három oldalfelező egyenese (a csúcsokat a szemközti oldal felezőpontjával összekötő három szakasz) adott. Ez a feladat egyszerűbb a fent tárgyaltnál, próbálkozzon meg vele az olvasó! Vigyázat! Ha valaki az előzőkön felbuzdulva a háromszöget a három belső szögfelezőjének ismeretében akarja megszerkeszteni, biztos kudarcra számíthat, mivel ez a szerkesztés csak körző és vonalzó segítségével nem végezhető el. Mit is jelent ez? A matematikusok sokáig úgy vélték, hogy ilyen probléma nincs, legfeljebb még nem ismerik a szerkesztési eljárást. Már az ókorban felvetődött három ilyen (nevezetes) szerkesztési feladat: 1. a kocka kétszerezése vagy déloszi probléma; 2. a szög harmadolása; 3. a körnégyszögesítés és a körkiegyenesítés feladata. Mit is jelentenek ezek a feladatok?
4
1. Kocka kétszerezése A feladat keletkezését Plutarkhosz görög történetíró jegyezte fel. Egyszer Délosz szigetén pestis dühöngött. A lakások szorultságukban a delphoi jósdához fordultak, ahonnan azt a feleletet kapták, hogy a járvány csak akkor szűnik meg, ha Apollón delphoi szentélyének kocka alakú oltárkövét kétszer akkora térfogatú, ugyanilyen alakú kőre cserélik ki. Ha a régi kocka élhossza a és x az új oltárkőé, akkor x3 = 2a 3 , azaz x = a ⋅ 3 2. Az a szakaszból az x szakasznak körzővel és vonalzóval (az egyedül megengedett módon) történő megszerkesztése a régi görögöknél legyőzhetetlen nehézséget okozott, de számos értékes geometriai vizsgálat elindítója lett (nevezetes görbék, kúpszeletek felfedezése). A feladat megoldhatatlanságát matematikai szigorral csak a XIX. században sikerült bizonyítani. 2. Szögharmadolás A feladat: egy tetszőleges szög csúcsán keresztül olyan két félegyenest szerkeszteni, mely a szöget három egyenlő (egybevágó) szögre bontja fel. Sajátos szögek, pl. 60° és 90° esetén a szerkesztés elvégezhető körzővel és vonalzóval, de tetszőleges szög esetében nem, mely tény matematikailag igazolható (XIX. század). Ennek dacára még a közelmúltban is akadtak olyanok (műkedvelő matematikusok), akik állították, hogy megoldották ezt a feladatot, noha mindig csak egy (esetleg jó) közelítő szerkesztést adtak meg. 3. Körnégyszögesítés és körkiegyenesítés A matematika történetének évezredeken át egyik legnépszerűbb feladata volt a kör négyszögesítése, vagyis olyan négyzet szerkesztése, melynek területe egy adott r sugarú kör π r 2 területével egyenlő. A kör kiegyenesítése olyan szakasz megszerkesztését jelenti, amelynek hossza adott r sugarú kör 2π r kerületével egyezik meg. Mindkét feladat visszavezethető az egységnyi szakaszból a π hosszúságú szakasz megszerkesztésére. Ez csak körzővel és vonalzóval végezhető el. Ez a tény abból következik, hogy a π egy ún. transzcendens szám, azaz nem lehet egyetlen, egészegyütthatójú algebrai egyenletnek a gyöke sem. Ezt Lindemann német matematikus mutatta ki 1882-ben.
5
A fenti három klasszikus szerkesztési probléma megoldására tett kísérletek jelentősen hozzájárultak a matematika későbbi fejlődéséhez. Szintén megoldhatatlannak bizonyult adott sugarú körbe írt egyes szabályos sokszögek, például a szabályos hétszög, kilencszög körzővel és vonalzóval való megszerkesztése nem lehetséges. A „matematikusok fejedelme”, Karl Gauss állapította meg 1801-ben azoknak a szabályos sokszögeknek az oldalszámát, melyek körzővel és vonalzóval megszerkeszthetők. Befejezésül meg kell említenem, hogy ma már egy szerkesztési feladat gépi úton is megoldható, a kellően programozott számítógép a kívánt alakzatot „kirajzolja”. Mindez viszont nem pótolja a klasszikus, körzővel és vonalzóval végzett szerkesztéssel kapott eredmény nyújtotta sikerélményt.
6
