OPTION VALUATION BY USING FAST FOURIER TRANSFORM (FFT) TECHNIQUES WITH VARIANSI GAMMA(VG) Fitriani Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM
[email protected]
ABSTRACT
Info: Jurnal MSA Vol. 2 No. 2 Edisi: Januari – Juni 2014 Artikel No.: 5 Halaman: 35 - 42 ISSN: 2355-083X Prodi Matematika UINAM
Fourier transform Techniques have important role in Financial Mathematics. Fast Fourier Transformation (FFT) is a technique Fourier transform with high accuracy and more efficient by using characteristic function than density function itself. FFT is used to option valuation under Lévy processes. This journal described Fourier transfor with its properties and Lévy processes. The section Lévy processes, we present a list of Lévy processes commonly used in financial applications together with their characteristic functions. FFT Algorithms is computed by using characteristic function of Variance Gamma (VG) with parameter 𝜎, 𝑣, 𝜃). At the end, we simulated computing Eropa call option value with FFT technique using VG by Carr and Madan’s approach. Key Word: Fourier transform, Lévy processes, fast Fourier transform, Characteristic function, Variance Gamma, European call option Carr and Madan’s approach
1. PENDAHULUAN Model Black-Schole dan Merton merupakan model yang sering digunakan dalam perhitungan harga opsi pada suatu pergerakan harga saham. Model tersebut menggunakan Geometric Brownian Motion dan dengan teorema limit pusat diperoleh bahwa model pergerakan harga saham berdistribusi lognormal. Namun, pada perkembangan dalam dunia keuangan, pada kenyataannya perubahan pergerakan harga saham yang tajam dan volatilitas return harga saham yang bersifat stokastik mengakibatkan model harga saham tidak selalu mengikuti distribusi lognormal. Dalam matematika keuangan, proses Lévy digunakan untuk memodelkan harga saham yang tidak mengikuti distribusi normal. Salah satu model harga saham yang berkembang saat ini adalah model eksponensial proses Lévy. Metode transformasi Fourier banyak digunakan dalam mencari solusi permasalahan
36
matematika dan fisika. Metode transformasi Fourier juga digunakan dalam matematika keuangan untuk perhitungan harga opsi dengan pergerakan harga saham mengikuti proses Lévy. Integral dari transformasi Fourier dapat dihitung dengan mudah dengan menggunakan fungsi karakterstik atau density function dari proses Lévy dibandingkan dengan density function dari transformasi Fourier. Metode transformasi Fourier dalam penentuan harga opsi lebih efisien dengan menggunakan komputasi numeric algoritma fast Fourier transform (FFT). Pada jurnal ini akan dilakukan perhitungan harga opsi eropa dengan menggunakan algoritma FFT dengan fungsi karakteristik Variansi Gamma (VG). 2. Transformasi Fourier Misal 𝑓(𝑥) adalah suatu fungsi real yang kontinu di (−∞, ∞) yang memenuhi: ∞
∫−∞|𝑓𝑥| 𝑑𝑥 < ∞.
(1)
Jurnal MSA, Vol. 2 No. 2, Juli – Des. 2014 Transformasi Fourier dari 𝑓(𝑥) didefinisakan: ∞
Ƒ𝑓 (𝑢) = ∫−∞ 𝑒 𝑖𝑢𝑦 𝑓(𝑦)𝑑𝑦.
(2)
Rumus invers Fourier diperoleh dengan mengikuti integral fungsi Dirac 𝛿(𝑦 − 𝑥), dimana 1 ∞ 𝑖𝑢(𝑦−𝑥) 𝛿(𝑦 − 𝑥) = 2𝜋 𝑑𝑢. ∫−∞ 𝑒
(3)
Dengan mensubstitusikan persamaan (4) ke dalam fungsi 𝑓(𝑥): ∞
𝑓(𝑥) = ∫−∞ 𝑓(𝑦)𝛿(𝑦 − 𝑥) 𝑑𝑦 ∞
𝑓(𝑥) =
maka Ƒℎ = Ƒ𝑓 Ƒ𝑔 . d. Relasi Parseval (Parseval relation) Perkalian scalar atau perkalian dalam dari dua fungsi pada 𝐿2 (ℝ) didefinisikan: ∞ 〈𝑓 ∙ 𝑔〉 = ∫−∞ 𝑓(𝑥) ̅̅̅̅̅̅ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥.
Transformasi Fourier dari fungsi 𝑓 dan 𝑔 berturut-turut adalah Ƒ𝑓 dan Ƒ𝑔 , maka
1 ∞ 𝑖𝑢(𝑦−𝑥) 𝑓(𝑥) = ∫−∞ 𝑓(𝑦) 2𝜋 𝑑𝑢 𝑑𝑦 ∫−∞ 𝑒
∞ 1 ∞ 𝑖𝑢𝑥 (∫−∞ 𝑓(𝑦)𝑒 𝑖𝑢𝑦 ∫ 𝑒 2𝜋 −∞
∞
ℎ(𝑥) = 𝑓 ∗ 𝑔(𝑥) = ∫−∞ 𝑓(𝑦)𝑔(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦,
∞ 〈Ƒ𝑓 ∙ Ƒ𝑔 〉 = ∫−∞ Ƒ𝑓 ̅̅̅ Ƒ𝑔 𝑑𝑥.
𝑑𝑦)𝑑𝑢.
∞
1 Untuk 𝑓(𝑥) = 2𝜋 ∫−∞ 𝑒 −𝑖𝑢𝑥 Ƒ𝑓 (𝑢)𝑑𝑢 , diperoleh:
Sehingga diperoleh dari rumus invers Fourier: ∞
1 𝑓(𝑥) = 2𝜋 ∫−∞ 𝑒 −𝑖𝑢𝑥 Ƒ𝑓 (𝑢)𝑑𝑢.
∞ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫−∞ 𝑓(𝑥) ̅̅̅̅̅̅
(4)
∞
Suatu proses stokastik 𝑋𝑡 dengan density function (df) adalah , maka transformasi Fourier dari 𝑝 adalah
= 1 2𝜋
Ƒ𝑝 (𝑢) = ∞ ∫−∞ 𝑒 𝑖𝑢𝑦
𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐸[𝑒 𝑖𝑢𝑋 ].
Persamaan (5) disebut karakteristik dari 𝑋𝑡 .
∞
∞
∫−∞ Ƒ𝑓 ∫−∞ 𝑒 −𝑖𝑢𝑥 𝑔(𝑢) 𝑑𝑥𝑑𝑢 ∞
1 = 2𝜋 Ƒ𝑔 𝑑𝑢. ∫−∞ Ƒ𝑓 ̅̅̅
(5) sebagai
fungsi
Berikut diberikan sifat-sifat matematika transformasi Fourier yang akan digunakan pada pembahasan jurnal ini adalah: a. Diferensiasi Ƒ𝑓 (𝑢) = −𝑖𝑢 Ƒ𝑓 (𝑢)
Maka: 1 〈𝑓 ∙ 𝑔〉 = 2𝜋 〈Ƒ𝑓 (𝑢) ∙ Ƒ𝑔 (𝑢)〉 .
Selanjutnya, kita akan menerapkan Parseval relation ke perhitungan harga opsi. Misal 𝑉 adalah harga opsi dengan payoff pada waktu T adalah 𝑉𝑇 (𝑥) dan 𝑝(𝑥) adalah df dari riskneutral. ∞
𝑉 = 𝑒 −𝑟𝑡 ∫−∞ 𝑉𝑇 (𝑥)𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒 −𝑟𝑡 〈𝑉𝑇 (𝑥) ∙
b. Modulasi Ƒ𝑒 𝜆𝑥 𝑓 (𝑢) = Ƒ𝑓 (𝑢 − 𝑖𝜆), 𝜆 ∈ ℝ . c. Konvolusi Konvolusi antara dua fungsi yang integrabel 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) dinitasikan dengan:
37
∞
1 ∫−∞ 2𝜋 ∫−∞ 𝑒 −𝑖𝑢𝑥 Ƒ𝑓 𝑔(𝑢) 𝑑𝑢𝑑𝑥
𝑝(𝑥)〉. Dengan Parseval relation diperoleh: −𝑟𝑡
𝑉 = 𝑒2𝜋 〈Ƒ𝑝 (𝑢) ∙ Ƒ𝑉𝑇 (𝑢)〉.
(6)
Jurnal MSA, Vol. 2 No. 2, Juli – Des. 2014V0202035 3. Transformasi Fourier Diskrit Diberikan suatu barisan {𝑥𝑘 }, 𝑘 = 0, 1, … , 𝑁 − 1 dan transformasi Fourier diskrit dari {𝑥𝑘 } adalah {𝑦𝑗 }, 𝑗 = 0, 1, … , 𝑁 − 1, dengan 𝑦𝑗 = ∑𝑁−1 𝑘=1 𝑒
2𝜋𝑖𝑗𝑘 𝑁
𝑥𝑘 , 𝑗 = 0, 1, … , 𝑁 − 1.
(7)
Jika 𝑥 dan 𝑦 ditulis sebagai suatu vector yang berdimensi – N 𝒙 = (𝑥𝑜 , 𝑥1 , … , 𝑥𝑁−1 )𝑇 dan 𝒚 = (𝑦𝑜 , 𝑦, … , 𝑦𝑁−1 )𝑇 ,
adalah (𝑗, 𝑘), 2𝜋𝑖𝑗𝑘 𝑁
, 1 ≤ 𝑗, 𝑘 ≤ 𝑁,
maka 𝑥 dan 𝑦 direlasikan oleh: 𝑦 = 𝐹 𝑁 𝑥.
(8)
Untuk memperoleh 𝑦 diperlukan 𝑁 2 langkah. Jika dipilih 𝑁 = 2𝐿 , Perhitungan dengan menggunakan teknik FFT hanya memerlukan 1 𝑁𝐿 = 𝑁2 𝑙𝑜𝑔2 𝑁 langkah.Ide dari algoritma FFT 2 adalah dengan memanfaatkan sifat-sifat periodic dari kesatuan akar ke- 𝑁. Misal 𝑀 = 𝑁2, dan membagi vector x kedalam dua vector yang berukuran setengahnya. 𝒙′ = (𝑥𝑜 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑁−2 )𝑇 dan 𝒙′′ = (𝑥1 , 𝑥3 , … , 𝑦𝑁−1 )𝑇 . Selanjutnya kita bentuk suatu vektor berdimensi – M. 𝑦 ′ = 𝐹 𝑀 𝑥 ′ dan 𝑦 ′′ = 𝐹 𝑀 𝑥 ′′ , dengan 𝐹 𝑀 adalah matriks 𝑀 × 𝑀 yang anggotanya adalah (𝑗, 𝑘), 𝑀 𝐹𝑗,𝑘 =𝑒
2𝜋𝑖𝑗𝑘 𝑀
2𝜋𝑖𝑗 𝑁
𝑦 ′′ , 𝑗 = 0, 1, … , 𝑀 − 1,
𝑦𝑗+𝑀 = 𝑦𝑗′ − 𝑒 0, 1, … , 𝑀 − 1. (9)
2𝜋𝑖𝑗 𝑁
𝑦 ′′ , 𝑗 =
Dari perkalioan vector matriks 𝐹 𝑁 𝑥 kita dapat mereduksi jumlah operasi dengan perkalian dua vector matriks 𝐹 𝑀 𝑥 ′ dan 𝐹 𝑀 𝑥 ′′ . Jumlah operasi 2 direduksi dari 𝑁 2 ke 2(𝑁2)2 = 𝑁2 . Prosedur yang sama untuk mereduksi panjang barisan menjadi setengah dapat dilakukan berulang-ulang. Melalui algoritma FFT, jumlah total operasi direduksi dari Ο(𝑁 2 ) ke Ο(𝑁 𝑙𝑜𝑔2 𝑁). 4. Proses Lévy
dan 𝐹 𝑁 adalah matriks 𝑁 × 𝑁 yang anggotanya
𝑁 𝐹𝑗,𝑘 =𝑒
𝑦𝑗 = 𝑦𝑗′ + 𝑒
, 1 ≤ 𝑗, 𝑘 ≤ 𝑀,
Kompen M yang pertama dan terakhir dari y adalah
Suatu proses stokastik 𝑋𝑡 dengan 𝑋0 = 0 disebut proses Lévy jika memenuhi sifat-sifat berikut: a. Independent Increments. Untuk setiap barisan naik pada waktu 𝑡0 , 𝑡1 , … , 𝑡𝑛 dengan peubah acak 𝑋𝑡0 , 𝑋𝑡1 − 𝑋𝑡0 , … , 𝑋𝑡𝑛 − 𝑋𝑡𝑛−1 yang saling bebas.2. b. Time-homogeneus. Distribusi dari {𝑋𝑡+𝑠 − 𝑋𝑠 ; 𝑡 ≥ 0} tidak bergantung pada 𝑠. c. Continuous Stochastically. Untuk setiap 𝜀 > 0, 𝑃[|𝑋𝑡+ℎ − 𝑋𝑡 | ≥ 𝜀] → 0, ℎ → 0. d. Cadlag Process. Kontinu denganlimit kiri sebagai fungsi dari 𝑡. Proses Lévy adalah kombinasi linear drift, gerak Brown, dan lompatan (jump). Ketika proses Lévy 𝑋𝑡 , lompatan, besarnya lompatan tidak nol. Suatu ukuran Lévy 𝑤 dari 𝑋𝑡 didefinisikan di ℝ \ {0} menyatakan bagaimana proses lompatan terjadi. Pada model finite-activity kita mempunyai ∫ℝ 𝑤(𝑑𝑥) < ∞ sedangkan pada model infiniteactivity kita mempunyai ∫ℝ 𝑤(𝑑𝑥) = ∞ dan intensitas Poisson tidak didefinisikan. Ukuran Lévy 𝑤(𝑑𝑥) memberikan tingkat (rate) kedatangan dari lompatan berukuran (𝑥, 𝑥 + 𝑑𝑥). Fungsi karakteristik dari proses Lévy menggunakan rumus Lévy-Kinchine. 𝜙𝑋(𝑢) = 𝐸[𝑒 𝑖𝑢𝑋𝑡 ] 2
= exp(𝑎𝑖𝑡𝑢 − 𝜎2 𝑡𝑢2 + 𝑡∫ℝ\{0} (𝑒 𝑖𝑢𝑥 − 1 − 𝑖𝑢𝑥𝟏|𝑥|≤1 )𝑤(𝑑(𝑥)) 38
Jurnal MSA, Vol. 2 No. 2, Juli – Des. 2014 t
2 2 v K ( 2 ( iu ) 2 ) exp(iu t ) 2 , 2 ( iu ) K ( 2 2
= exp(𝑡𝜓𝑋(𝑢)), (10) Dimana ∫ℝ min(1, 𝑥 2 ) 𝑤(𝑑𝑥) < ∞, 𝑎∈ 2 ℝ, 𝜎 ≥ 0. 𝑎 merupakan rate drift, 𝜎 adalah volatilitas proses difusi dan 1 fungsi indikator. 𝜓𝑋(𝑢) merupakan karakteristik eksponen dari
K ( z)
𝑋𝑡 , X t tX 1 . Semua momen dari 𝑋𝑡 dapat diperoleh dari fungsi karakteristik pada saat fungsi pembangkit momen ke domain kompleks. Jadi, proses Lévy 𝑋𝑡 sepenuhnya ditentukan oleh fungsi karakteristik 𝜙𝑋. Beberapa proses Lévy yang secara umum digunakan dalam aplikasi keuangan beserta fungsi karakteristik masingmasing adalah a. Model Finite-activity 1.
Gerak Brown Geometrik, memiliki fungsi karakteristik exp(𝑖𝑢𝜇𝑡 −
2.
1 2 2 𝜎 𝑡𝑢 ) 2
Difusi lompatan Lognormal, fungsi karakteristik 1
1 2 2
3.
Difusi lompatan eksponensial memiliki fungsi karakteristik
ganda,
2
1−𝜂 𝑖𝑢𝑘 exp(𝑖𝑢𝜇𝑡 − 12𝜎2 𝑡𝑢2 + 𝜆𝑡 (1+𝑢 − 1) ) 2 𝜂2 𝑒
memiliki 1
fungsi
5. CGMY, memiliki fungsi karakteristik exp(𝐶Γ(−𝑌)) [(𝑀 − 𝑖𝑢)𝑌 − 𝑀𝑌 + (𝐺 + 𝑖𝑢)𝑌 − 𝐺 𝑌 ], dengan 𝐶, 𝐺, 𝑀 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑌 > 2 5. FFT pada Perhitungan Harga Opsi Eropa Berdasarkan ukuran risk-neutral 𝑄, misal harga pokok saham pada waktu 𝑡 adalah 𝑆𝑡 = 𝑆0 𝑒 (−𝑟𝑡+𝑋𝑡) , 𝑡 > 0,
(11)
dimana 𝑋𝑡 adalah proses Lévy dan 𝑟 adalah suku bunga (interest rate). Misal 𝑌 = 𝑙𝑜𝑔(𝑆0 ) + 𝑟𝑇 dan ℱ𝑉𝑇 adalah transformasi Fourier dari fungsi payoff 𝑉𝑇 (𝑥) dengan 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑆𝑇 . Dengan mensubstitusi ekspektasi discount ke persamaan (4), opsi Eropa dapat dinyatakan dengan rumus:
=𝑒
−𝑟(𝑇−𝑡)
𝑡
exp(𝑖𝑢𝜇𝑡)(1 − 𝑖𝑢𝑣𝜃 + 2𝜎 2 𝑣𝑢2 )𝑣 2. Normal Invers Gaussian, memiliki fungsi karakteristik exp(𝑖𝑢𝜇𝑡 + 𝛿𝑡√𝛼 2 − 𝛽 2 − √𝛼 2 − (𝛽 + 𝑖𝑢)2 ) 3. Generalized Hyperbolic, memiliki fungsi karakteristik
39
( z 2 4) k k 0 k!(v k 1)
𝑉(𝑆𝑡 , 𝑡) = 𝑒 −𝑟(𝑇−𝑡) 𝐸𝑄 [𝑉𝑇 (𝑥)]
b. Model Infinite-activity 1. Variansi Gamma, karakteristik
v
4. Finite-momen stabil, memiliki fungsi karakteristik 𝜋𝛼 exp(𝑖𝑢𝜇𝑡 − 𝑡(𝑖𝑢𝜎)𝛼 𝑠𝑒𝑐 2 )
memiliki
exp(𝑖𝑢𝜇𝑡 − 2𝜎2 𝑡𝑢2 + 𝜆𝑡 (𝑒 𝑖𝑢𝜇𝐽−2𝜎𝐽 𝑢 − 1)
I v ( z ) I v ( z ) , 2 sin(v )
z I v ( z) 2
d
t
=𝑒
2𝜋
−𝑟(𝑇−𝑡) 2𝜋
𝑖𝜇+∞
𝐸𝑄 [∫𝑖𝜇−∞ 𝑒 𝑖𝑧𝑥 ℱ𝑉𝑇 (𝑧)𝑑𝑧] 𝑖𝜇+∞
∫𝑖𝜇−∞ 𝑒 𝑖𝑧𝑥 𝜙𝑋𝑇 (−𝑧)ℱ𝑉𝑇 (𝑧)𝑑𝑧,
(12)
dengan 𝜇 = 𝐼𝑚 𝑧 dan 𝜙𝑋𝑇 (𝑧) adalah fungsi karakteristik dari 𝑋𝑇 . Rumus pada persamaan (12) sesuai dengan persmaam (6) yang diperoleh dengan menggunakan relasi Parseval (Parseval relation).
Jurnal MSA, Vol. 2 No. 2, Juli – Des. 2014V0202035 Jika harga saham pada saat 𝑡 = 0 adalah sebesar 𝑆0 , maka pada saat 𝑇 harga opsi call Eropa dengan payoff sebesar (𝑆𝑇 − 𝐾 + ) adalah 𝐾𝑒 −𝑟𝑇 𝑖𝜇+∞ 𝑒−𝑖𝑧𝑘𝜙𝑋𝑡 (−𝑧) − 2𝜋 ∫ 𝑑𝑧 𝑧2 −𝑖𝑧 𝑖𝜇−∞
𝐶(𝑆0 , 𝑇; 𝐾) =
𝑖𝜇+∞
=−
∫
𝐾𝑒 −𝑟𝑇 2𝜋
𝑖𝜇−∞ 𝑖𝜇+∞
𝑖 𝑒−𝑖𝑧𝑘 𝜙𝑋𝑡 (−𝑧) 𝑑𝑧 𝑧
kuadrat-integrabel. Pengatur (dampening factor) harga call 𝑐(𝑘). 𝑐(𝑘) = 𝑒 𝛼𝑘 𝐶(𝑘),
untuk 𝛼 > 0. Nilai positif dari 𝛼 dilihat dari meningktnya integrabilitas dari modifikasi nilai call di atas sumbu-k negative. Syarat cukup untuk kuadrat-integrabel fungsi 𝑐(𝑘) diberikan
𝑖
−∫ 𝑒−𝑖𝑧𝑘 𝜙𝑋𝑡 (−𝑧) 𝑑𝑧 𝑧−𝑖 ] [ 𝑖𝜇−∞ ∞
= 𝑆0 [12+𝜋1 ∫
0
𝑅𝑒(
𝐸𝑄 [𝑆𝑇𝛼+1 ] < ∞. Tulis 𝜓𝑇 (𝑢) sebagai transformasi Fourier dari 𝑐(𝑘), 𝑃𝑇 (𝑠) sebagai fungsi kepadatan (df) dari pergerakan harga saham, dimana 𝑠 = log 𝑆𝑇 dan 𝜙𝑇 (𝑢) adalah fungsi karakteristik transformasi Fourier dari 𝑃𝑇 (𝑠), maka
𝑒−𝑖𝑢 log 𝑘 𝜙𝑋𝑡 (𝑢−𝑖) )𝑑𝑢] 𝑖𝑢𝜙𝑋𝑡 (−𝑖)
1
− 𝐾𝑒 −𝑟𝑇 [2 1
(14)
∞
∞
+ 𝜋 ∫ 𝑅𝑒 (
𝑒 −𝑖𝑢 log 𝑘 𝜙𝑋𝑡 (𝑢)
0
𝑖𝑢𝜙𝑋𝑡 (𝑖𝑢)
) 𝑑𝑢] ,
(13) dengan 𝑘 = 𝑙𝑜𝑔𝑲𝑺 + 𝑟𝑇. Rumus harga opsi pada persamaan (13) menyerupai rumus BlackScholes. Adanya sifat singular pada 𝑢 = 0 pada integral fungsi mengakibatkan FFT tidak dapat digunakan untuk menghitung integral. Jika integral diperluas dengan ekspansi deret Taylor di 𝑢, maka leading term pada ekspansi untuk kedua integral adalah 𝜊(𝑢1 ) yang divergen ketika terjadi kenaikan dari fungsi payoff yang diskontinu di 𝑆𝑇 = 𝐾. Akibatnya, transformasi Fourier dari fungsi payoff memiliki frekuensi yang tinggi. Untuk memperkecil frekuensi dapat dilakukan dengan mengalikan payoff dengan suatu fungsi eksponensial decay. Rumus Carr-Madan merupakan rumus alternative dalam perhitungan harga opsi Eropa dengan menggunakan fungsi karakteristik dari pergerakan harga saham. Carr and Madan (1999), mengasumsikan transformasi Fourier dari harga Call Eropa kemudian menghitung invers Fourier agar harga Call dapat dihitung dengan FFT. Misal 𝑘 = log 𝐾 dan transformasi Fourier dari harga call 𝐶(𝑘) ada jika memenuhi fungsi
𝜓𝑇 (𝑢) = ∫−∞ 𝑒 𝑖𝑢𝑘 𝑐(𝑘)𝑑𝑘 ∞
𝑠
= ∫−∞ 𝑒 𝑖𝑢𝑘 𝑃𝑇 (𝑠) ∫−∞[𝑒 𝑠+𝛼𝑘 − 𝑒 (1+𝛼)𝑘 ] 𝑒 𝑖𝑢𝑘 𝑑𝑘 𝑑𝑠 𝑒 −𝑟𝑡 𝜙 (𝑢−(𝛼+1)𝑖)
𝑇 = 𝛼2 −𝛼−𝑢 2 +𝑖(2𝛼+1)𝑢.
(15)
6. Algoritma Fast Fourier Transform (FFT) Harga call 𝐶(𝑘) dapat dihitung dengan menggunakan invers transformasi Fourier, dimana −𝛼𝑘
∞
𝐶(𝑘) = 𝑒 2𝜋 ∫−∞ 𝑒 −𝑖𝑢𝑘 𝜓𝑇 (𝑢)𝑑𝑢 −𝛼𝑘
∞
= 𝑒 𝜋 ∫0 𝑒 −𝑖𝑢𝑘 𝜓𝑇 (𝑢)𝑑𝑢.
(16)
Dengan menggunakan aturan trapezoid untuk mengintegralkan persamaan (16) diperoleh: −𝛼𝑘
−𝑖𝑢𝑗 𝑘 𝐶(𝑘) ≈ 𝑒 𝜋 ∑𝑁 𝜓𝑇 (𝑢𝑗 )∆𝑢, 𝑗=1 𝑒
(17)
dengan 𝑢𝑗 = (𝑗 − 1)∆𝑢, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑁, dan 𝑁 = 2𝐿 . Semi-infinite integral dengan domain [0, ∞] pada persamaan (15) diaproksimasi melalui integrasi domain berhingga, dimana batas atas dari 𝑢 pada integrasi numeriknya adalah 𝑁 ∆𝑢.
40
Jurnal MSA, Vol. 2 No. 2, Juli – Des. 2014 FFT merupakan algoritma numeric yang efisien dalam menghitung transformasi Fourier diskrit. Pada FFT kita menghitung −𝑖 𝑦(𝑘) = ∑𝑁 𝑗=1 𝑒
2𝜋 (𝑗−1)(𝑘−1) 𝑁
1,2, … , 𝑁.
(17)
𝑥(𝑗) ,
𝑘=
Misal batas integrasi limit adalah 𝑎, dimana 𝑎 = 𝑁 ∆𝑢. Selanjutnya akan dilakukan perhitungan harga opsi call dengan pengambilan 𝑘 bernilai diskrit. 𝑘𝑚 = −𝑏 + (𝑚 − 1)∆𝑘,
dengan 𝑏
41
𝑚 = 1,2, … , 𝑁,
(18)
Jurnal MSA, Vol. 2 No. 2, Juli – Des. 2014V0202035 8. Kesimpulan Jurnal ini membahas perhitungan harga call Eropa dengan menggunakan teknik Fast Fourier Transform (FFT). Fungsi karakteristik yang digunakan dalam FFT adalah fungsi karakteristik Variance Gamma (VG). Proses VG diperoleh dari penaksiran gerak Brown Aritmetik dengan drift 𝜃 dan volatilitas 𝜎 pada waktu acak yang diberikan oleh proses gamma dengan mean 1 dan variansi 𝑣, 𝑋𝑡 (𝜎, 𝜃, 𝑣). Dari hasil pembahasan di atas dapat dilihat langkahlangkah matematika serta simulasi teknik FFT dengan fungsi karakteristik VG dalam memntukan nilai opsi call Eropa. Dari hasil simulasi terlihat bahwa dengan nilai N yaitu titik diskrit transformasi Fourier yang besar yaitu 212 =4906 titik, waktu yang dibutuhkan untuk menghitung nilai opsi call sangat efisien yaitu hanya Elapsed time = 0.084413 detik. Namun, Teknik FFT dengan menggunakan VG hanya cocok untuk short-time maturity. Oleh karena itu kedepannya perlu dilakukan modifikasi time valued method.
[2] Bu, Yongqiang. 2007. Option using Lévy Processes. Göteborg, Sweden: Deaprtment of mathematical Statistics, Chalmers University of Technology. [3] J. C. Duan et al. 2012. Handbook of Computational Finance. Berlin Heidelberg: Springer. [4] Carr and Madan. 1999. Option Valuation using Fast Fourier Transformation. Journal of Computational Finance, 2 6173. [5] Carr, Madan and Chang. 1998. The Variance Gamma Process and Option Pricing. European Finance Review 2:79-105. Netherlands: Kluwer Academic Publishers. [6] Raible, Sebastian. 2000. Lévy Processes in Finance: Theory, Numerics and Enpirical Fact. Freiburg: Institut für Mathematische Stochastik Albert-Ludwigs-Universität Freiburg.
9. Daftar Pustaka [1] Schmelzle, martin. 2010. Option Pricing Using Fourier Transform: Theory and Aplication.
42
