OPTIMASI RUTE PENGIRIMAN CASH CARTRIDGE ATM MENGGUNAKAN INTEGER LINEAR PROGRAMMING MUHAMMAD DINAR MARDIANA

OPTIMASI RUTE PENGIRIMAN CASH CARTRIDGE ATM MENGGUNAKAN INTEGER LINEAR PROGRAMMING

MUHAMMAD DINAR MARDIANA

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA* Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Optimasi Rute Pengiriman Cash Cartridge ATM Menggunakan Integer Linear Programming adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Agustus 2015 Muhammad Dinar Mardiana NIM G54110033

ABSTRAK MUHAMMAD DINAR MARDIANA. Optimasi Rute Pengiriman Cash Cartridge ATM Menggunakan Integer Linear Programming. Dibimbing oleh PRAPTO TRI SUPRIYO dan SISWANDI. Pengisian ulang cash cartridge pada ATM (Automatic Teller Machine) yang berfungsi sebagai kotak penyimpanan uang tunai terkait erat dengan masalah pendistribusiannya. Upaya untuk menentukan skenario pendistribusian cash cartridge yang meminimumkan biaya operasional sangat diperlukan untuk memaksimumkan keuntungan. Karya ilmiah ini memberikan model untuk menentukan rute armada kendaraan guna mendistribusikan cash cartridge ke beberapa ATM dengan biaya operasional yang minimum. Model diformulasikan menggunakan Integer Linear Programming dengan kendala time windows pada setiap ATM yang harus dikunjungi. Model selanjutnya diimplementasikan menggunakan software LINGO 11.0 untuk menentukan skenario pendistribusian cash cartridge dari bank ke delapan ATM yang terpisah relatif jauh satu dengan yang lain. Hasil implementasi menggunakan komputer dengan prosesor 1.5 GHz dan RAM 4 GB diperoleh solusi optimal dalam waktu 3 jam 8 menit dan 47 detik. Hasil ini menunjukan bahwa model ini cukup beralasan untuk diterapkan pada situasi nyata. Kata kunci: CVRPTW, pengiriman cash cartridge.

ABSTRACT MUHAMMAD DINAR MARDIANA. Route Optimization of ATM Cash Cartridge Replenishment Using Integer Linear Programming. Supervised by PRAPTO TRI SUPRIYO and SISWANDI. Cash cartridge replenishment of ATM (Automatic Teller Machine) that serves as storage box for cash closely related to the problem of distribution. Efforts to determine the distribution scenario of cash cartridges that minimizes the operational costs are indispensable to maximize profits. This paper provides model to determine the routes for a fleet of vehicles to distribute the cash cartridges to several ATMs with the minimum operational costs. This model is formulated using integer linear programming with regard to time windows constraints at ATMs which must be visited. This model is then implemented using the software LINGO 11.0 to determine the distribution scenario of cash cartridges from the the bank to eight ATMs which relatively far apart from each other. The implementation using a computer with a 1.5 GHz processor and 4 GB of RAM provides optimal solution within 3 hours 8 minutes and 47 seconds. These results indicate that the model is reasonable to be applied in real situations. Keywords: CVRPTW, cash cartridge shipping.

OPTIMASI RUTE PENGIRIMAN CASH CARTRIDGE ATM MENGGUNAKAN INTEGER LINEAR PROGRAMMING

MUHAMMAD DINAR MARDIANA

Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015

Judul Skripsi : Optimasi Rute Pengiriman Cash Cartridge ATM Menggunakan Integer Linear Programming Nama : Muhammad Dinar Mardiana NIM : G54110033

Disetujui oleh

Disetujui oleh

Drs Prapto Tri Supriyo, MKom Pembimbing I

Drs Siswandi, MSi Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen

Tanggal Lulus:

PRAKATA Puji syukur kehadirat Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah yang berjudul Optimasi Rute Pengiriman Cash Cartridge ATM Menggunakan Integer Linear Programming. Penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1. Ibu, Bapak, Eki, Alan, Zalfa, dan seluruh keluarga tercinta yang sudah memberikan dukungan, motivasi, dan doa-doanya kepada penulis, 2. Bapak Drs Prapto Tri Supriyo MKom selaku dosen pembimbing 1, Bapak Drs Siswandi MSi selaku dosen pembimbing 2, dan Bapak Dr Ir Bib Paruhum Silalahi MKom selaku dosen penguji, terima kasih untuk bimbingan, ilmu, saran, motivasi, dan bantuannya selama penyelesaian karya ilmiah ini, 3. Semua dosen di Departemen Matematika, terima kasih untuk ilmu dan motivasi yang telah diberikan, 4. Staff Departemen Matematika: Bu Susi, Pak Yono, Bu Ade, dan staff lainnya, terima kasih untuk bantuannya, 5. Intan Fitria Sari, terima kasih telah selalu menjadi pendengar keluh kesah penulis, dan pembagi ilmu dalam mengerjakan karya ilmiah ini, 6. Teman-teman Matematika angkatan 48 yang selalu saling memberi dukungan dan semangat kepada penulis terutama yang sudah berbagi ilmu dan bantuannya, 7. Gilang, Jun, Adit, Agung, Rizki, Ical, terima kasih untuk hiburan kalian selama penulis sedang jenuh dikontrakan, 8. Semua pihak yang sudah membantu penulis dan tidak dapat disebutkan satu per satu. Penulis menyadari bahwa karya ilmiah ini masih memiliki kekurangan. Oleh karena itu, penulis sangat menghargai kritik dan saran dari pembaca. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Agustus 2015 Muhammad Dinar Mardiana

DAFTAR ISI PRAKATA

iv

DAFTAR ISI

v

DAFTAR TABEL

vi

DAFTAR GAMBAR

vi

DAFTAR LAMPIRAN

vi

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Tujuan Penelitian

1

TINJAUAN PUSTAKA

1

Linear Programming

1

Integer Programming

2

Vehicle Routing Problem

2

Capacitated Vehicle Routing Problem with Time Windows

2

DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH

3

Deskripsi Masalah Pengiriman Cash Cartridge

3

Formulasi Masalah Pengiriman Cash Cartridge

3

UJI MODEL

6

Deskripsi dan Uji Kasus Pertama

7

Deskripsi dan Uji Kasus Kedua

8

Deskripsi dan Uji Kasus Ketiga

9

IMPLEMENTASI MODEL

10

Deskripsi dan Formulasi Masalah Pengiriman Cash Cartridge

10

Hasil dan Pembahasan

15

SIMPULAN DAN SARAN

15

Simpulan

15

Saran

16

DAFTAR PUSTAKA

16

LAMPIRAN

17

RIWAYAT HIDUP

28

DAFTAR TABEL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Kecepatan, kapasitas dan biaya kendaraan dalam uji model Jarak antar-node (dalam km) uji kasus pertama Time windows dan permintaan setiap node uji kasus pertama Rute pengiriman hasil uji kasus pertama Jarak antar-node (dalam km) uji kasus kedua Time windows dan permintaan setiap node uji kasus kedua Rute pengiriman hasil uji kasus kedua Jarak antar-node (dalam km) uji kasus ketiga Time windows dan permintaan setiap node uji kasus ketiga Rute pengiriman hasil uji kasus ketiga Jarak antar-node (dalam km) Time windows dan permintaan setiap node Kecepatan, kapasitas dan biaya kendaraan Rute pengiriman hasil implementasi model

7 7 7 8 8 9 9 9 10 10 11 11 12 15

DAFTAR LAMPIRAN 1 Waktu tempuh antar-node untuk setiap kendaraan (dalam jam) 2 Sintaks dan hasil LINGO 11.0 pada implementasi Model

17 18

PENDAHULUAN Latar Belakang Pendistribusian merupakan salah satu kegiatan penting dari sebuah perusahaan. Beberapa permasalahan perusahaan dalam melakukan pendistribusian antara lain menentukan banyaknya kendaraan yang dioperasikan, serta menentukan rute kendaraan yang dapat mengoptimalkan jarak tempuh atau biaya perjalanan yang bertujuan agar semua permintaan pelanggan dapat terlayani dengan baik dan pada akhirnya keuntungan optimal akan diperoleh perusahaan. ATM (Automatic Teller Machine) merupakan fasilitas di mana nasabah bisa menarik tabungan atau gironya dengan kartu ATM melalui jaringan ATM bank dan jaringan ATM yang terafiliasi dengan bank baik dalam maupun luar negeri (IBI 2015). Dalam mesin ATM terdapat salah satu komponen penting yaitu cash cartridge yang berfungsi sebagai kotak penyimpanan uang tunai pada mesin ATM yang harus diisi ulang secara rutin. Pengisian ulang cash cartridge ini terkait erat dengan masalah pendistribusiannya. Hal ini sangatlah penting karena mengingat fungsi mesin ATM untuk melakukan transaksi agar lebih cepat dan efisien. Sehingga tidak terjadi kekosongan uang tunai dalam mesin-mesin ATM. Upaya menentukan rute pengiriman cash cartridge yang meminimumkan biaya operasional tentu sangat diperlukan dalam upaya memaksimumkan keuntungan.

Tujuan Penelitian Tujuan karya ilmiah ini adalah memformulasikan masalah optimasi rute pengiriman cash cartridge ATM untuk meminimumkan total biaya pengiriman dengan menggunakan ILP (Integer Linear Programming). Selanjutnya model diimplementasikan pada suatu kasus dengan menggunakan bantuan software LINGO 11.0.

TINJAUAN PUSTAKA Penentuan rute optimal pengiriman cash cartridge ATM dapat diformulasikan sebagai model Vehicle Routing Problem (VRP) menggunakan Integer Linear Programming (ILP). Berikut ini diberikan beberapa teori dan definisi yang digunakan terkait dengan ILP.

Linear Programming Menurut Winston (2004), Linear Programming (LP) adalah suatu masalah pengoptimuman yang memenuhi ketentuan-ketentuan sebagai berikut: 1. tujuan masalah ini untuk memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi linear. Fungsi yang dimaksimumkan atau diminimumkan disebut fungsi objektif,

2 2. nilai-nilai pada variabel keputusan harus memenuhi semua kendala yang ada. Setiap kendala harus berupa persamaan linear atau pertaksamaan linear, dan 3. terdapat pembatasan tanda bergantung untuk setiap variabel. Untuk sembarang variabel 𝑥𝑖 , pembatasan tanda menentukan 𝑥𝑖 harus taknegatif (𝑥𝑖 ≥ 0) atau tandanya tidak dibatasi.

Integer Programming Integer Programming (IP) adalah suatu masalah Linear Progamming dengan sebagian atau semua variabel yang digunakan berupa bilangan bulat (integer) taknegatif. Masalah IP dengan semua variabel yang digunakan berupa bilangan integer disebut pure integer programming. IP dengan beberapa variabel yang digunakan berupa bilangan integer disebut mixed integer programming. IP dengan semua variabelnya bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 IP (Winston 2004).

Vehicle Routing Problem Vehicle Routing Problem (VRP) adalah model yang digunakan untuk perencanaan dan proses pengambilan keputusan. Contoh masalah yang dapat diselesaikan dengan VRP antara lain yakni pengiriman barang dan pengumpulan sampah (Sarker dan Newton 2008). Menurut (Sarker dan Newton 2008), VRP sederhana dapat digambarkan sebagai berikut: 1 di depot terdapat kendaraan sejumlah M yang diketahui kapasitasnya, 2 terdapat pelanggan sejumlah 𝑁 − 1 dengan masing-masing pelanggan memiliki permintaan, 3 terdapat biaya perjalanan dari lokasi 𝑖 ke lokasi 𝑗, dan 4 tujuannya untuk menemukan rute pengiriman barang ke (dari) pelanggan dengan biaya minimum. Rute kendaraan harus mengawali dan mengakhiri perjalanan di depot. Solusi dari VRP adalah suatu himpunan rute yang dilakukan oleh satu kendaraan. Rute yang dihasilkan harus memenuhi semua permintaan pelanggan dan semua kendala yang diberikan untuk menghasilkan total biaya perjalanan yang minimum.

Capacitated Vehicle Routing Problem with Time Windows Capacitated Vehicle Routing Problem with Time Windows (CVRPTW) merupakan pengembangan dari VRP. CVRPTW merupakan VRP dengan mempertimbangkan kapasitas kendaraan sehingga dapat ditentukan banyaknya kendaraan yang harus disediakan untuk memenuhi semua permintaan pelanggan dan time windows berguna untuk memenuhi permintaan setiap pelanggan yang memiliki waktu pelayanan masing-masing, artinya setiap pelanggan memiliki batas waktu pelayanan dalam satu periode (Caric dan Gold 2008).

3

DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH Deskripsi Masalah Pengiriman Cash Cartridge Pengiriman cash cartridge merupakan salah satu bagian dari manajemen operasional bank. Bank akan mengirimkan cash cartridge yang berisi uang tunai ke beberapa ATM untuk mengisi ulang cash cartridge yang kosong pada mesin ATM, dengan setiap ATM memiliki time windows, yaitu terdapat selang waktu untuk melakukan pengisian ulang. Sistem pengisian ulang uang pada mesin ATM secara rutin dan teratur akan membuat pengelolaan transaksi pada mesin ATM menjadi baik. Perencanaan pada sistem pengisian perlu dilakukan. Penentuan rute pengiriman cash cartridge yang optimal merupakan bagian dari perencanaan sistem pengisian. Optimal pada pengiriman dapat ditinjau dari biaya yang minimum, jumlah kendaraan yang digunakan minimum, dan jarak tempuh yang minimum. Secara umum, dalam suatu mesin ATM berisi lima cash cartridge dan setiap cash cartridge berisi lembaran uang tunai kertas. Ketentuan mesin ATM yang harus diisi ulang adalah ketika hanya tersisa satu cash cartridge yang masih terisi uang tunai kertas, artinya setiap mesin ATM akan diisi ulang sebanyak empat cash cartridge. Pengiriman cash cartridge dilakukan oleh pihak bank yang memantau mesin-mesin ATM (server ATM) dalam satu wilayah. Pengiriman dilakukan dari bank ke ATM menggunakan kendaraan yang mempunyai kapasitas angkut cash cartridge tertentu. Setelah cash cartridge yang berisi uang tunai dalam kendaraan habis, kendaraan harus kembali ke bank. Kendaraan yang sudah kembali ke bank dapat mengunjungi ATM kembali apabila masih ada mesin ATM yang harus diisi ulang. Dengan demikian, kendaraan dapat mengunjungi bank lebih dari satu kali dalam satu periode untuk menukar cash cartridge kosong dengan cash cartridge berisi uang tunai. Frekuensi kendaraan berangkat dari bank disebut ritasi, dengan satuan rit. Setelah semua mesin ATM diisi ulang, kendaraan kembali ke bank.

Formulasi Masalah Pengiriman Cash Cartridge Misalkan dalam masalah ini terdapat suatu bank yang memiliki beberapa ATM. Selanjutnya depot merepresentasikan bank dan setiap node merepresentasikan keberadaan ATM. Node tersebut terbagi dalam dua tipe yaitu, terdapat sejumlah 𝑛 node dengan permintaan cash castridge tidak melebihi kapasitas maksimal kendaraan dan sejumlah (𝑛 + 𝑢) node dengan permintaan cash cartridge melebihi kapasitas maksimal kendaraan. Depot menyediakan sejumlah 𝑣 kendaraan yang mempunyai kapasitas angkut cash cartridge tertentu untuk melakukan pegiriman. Untuk menyelesaikan masalah ini akan dibangun sebuah model dengan asumsi-asumsi sebagai berikut: 1 laju setiap kendaraan konstan, 2 kendaraan yang tersedia tidak harus digunakan semua untuk mengirim cash cartridge, 3 jarak antar-node adalah simetrik, artinya jarak dari node 𝑖 ke node 𝑗 sama dengan jarak dari node 𝑗 ke node 𝑖,

4 4 biaya pengiriman cash cartridge hanya dihitung dari total biaya tetap ditambah total biaya perjalanan per km untuk setiap kendaraan yang digunakan, 5 setiap kendaraan yang digunakan dan sudah kembali ke depot dapat digunakan kembali untuk mengirim cash cartridge dalam satu periode, dan 6 node dapat dikunjungi lebih dari satu kali apabila node yang permintaannya melebihi kapasitas maksimal kendaraan. Masalah pengiriman cash cartridge ini dapat diformulasikan sebagai berikut: Himpunan 𝑉 = himpunan semua kendaraan, 𝑉 = {1, 2, … , 𝑣}, 𝑁 = himpunan node dengan permintaan kurang dari atau sama dengan kapasitas maksimal kendaraan, 𝑁 = {2, 3, … , 𝑛}, 𝑈 = himpunan node dengan permintaan lebih dari kapasitas maksimal kendaraan, 𝑈 = {𝑛 + 1, 𝑛 + 2, … , 𝑛 + 𝑢}, 𝑆 = himpunan semua node, 𝑆 = {1, 2, … , 𝑛, 𝑛 + 1, 𝑛 + 2, … , 𝑛 + 𝑢, 𝑛 + 𝑢 + 1}, dengan 1 dan (𝑛 + 𝑢 + 1) menyatakan depot yang sama. Indeks i,j,p = indeks untuk menyatakan node, k = indeks untuk menyatakan kendaraan. Parameter 𝐵𝑘 = kapasitas pada kendaraan k, 𝐶𝑘 = biaya perjalanan per km pada kendaraan k, 𝐹𝑘 = biaya tetap untuk setiap kendaraan 𝑘 yang digunakan, 𝐸𝑘 = kecepatan untuk setiap kendaraan k, 𝐿𝑖 = lamanya pelayanan pada node i, 𝑊𝑖 = batas awal waktu pelayanan pada node i, 𝑄𝑖 = batas akhir waktu pelayanan pada node i, = permintaan cash cartridge untuk setiap node i, 𝐷𝑖 𝑇𝑖𝑗 = jarak antara node i dan node j, bigM = konstanta positif yang nilainya relatif besar. Variabel Keputusan 𝑅𝑘 = total ritasi kendaraan k, 𝐴𝑖𝑗𝑘 = waktu tempuh antara node i dan node j untuk kendaraan k, 𝑀𝑖𝑘 = waktu node 𝑖 mulai dilayani oleh kendaraan 𝑘, 𝐺𝑖𝑘 = banyaknya cash cartridge yang kosong pada kendaraan k setelah meninggalkan node i, 𝐻𝑖𝑘 = proporsi dari permintaan cash cartridge pada node 𝑖 yang diangkut kendaraan 𝑘, 1, jika kendaraan k mengunjungi node j setelah node i 𝑋𝑖𝑗𝑘 = 0, lainnya. 1, jika kendaraan k digunakan untuk mengantarkan cash cartridge 𝑌𝑘 = 0, lainnya.

{ {

5 Fungsi Objektif Fungsi objektif model ini adalah meminimumkan biaya perjalanan ditinjau dari jumlah biaya tetap ditambah jumlah biaya per km untuk setiap kendaraan yang digunakan, yakni: min 𝑧 = ∑ 𝐹𝑘 𝑌𝑘 + ∑ ∑ ∑ 𝐶𝑘 𝑇𝑖𝑗 𝑋𝑖𝑗𝑘 . 𝑘∈𝑉

𝑘∈𝑉 𝑗∈𝑆 𝑖∈𝑆

Kendala Kendala yang harus dipenuhi untuk model ini adalah sebagai berikut: 1 Setiap kendaraan tidak harus digunakan, ∑ 𝑋1𝑗𝑘 ≤ 1,

∀𝑘 ∈ 𝑉 .

𝑗∈𝑁∪𝑈

2

Kendaraan yang meninggalkan depot dipastikan untuk mengantarkan cash cartridge, ∑ 𝑋1𝑗𝑘 = 𝑌𝑘 ,

∀𝑘 ∈ 𝑉 .

𝑗∈𝑁∪𝑈

3 4

Tidak ada node yang dikunjungi oleh kendaraan yang tidak digunakan, 𝑋𝑖𝑗𝑘 ≤ 𝑌𝑘 , ∀𝑖, 𝑗 ∈ 𝑆; ∀𝑘 ∈ 𝑉 . Kendaraan yang mengunjungi node harus meninggalkan node tersebut, ∑ 𝑋𝑖𝑝𝑘 − ∑ 𝑋𝑝𝑗𝑘 = 0, 𝑖∈𝑆 𝑖≠𝑝

5

∀𝑝 ∈ 𝑆; ∀𝑘 ∈ 𝑉 .

𝑗∈𝑆 𝑝≠𝑗

Node yang memiliki permintaan kurang dari atau sama dengan kapasitas maksimal kendaraan dikunjungi tepat satu kali, ∑ ∑ 𝑋𝑖𝑗𝑘 = 1 ,

∀𝑗 ∈ 𝑁 .

𝑘∈𝑉 𝑖∈𝑆 𝑖≠𝑗

6

Node yang memiliki permintaan lebih dari kapasitas maksimal kendaraan dikunjungi lebih dari satu kali, ∑ 𝐻𝑖𝑘 = 1,

∀𝑖 ∈ 𝑈,

𝑘∈𝑉

∑ 𝑋𝑗𝑖𝑘 ≥ 𝐻𝑖𝑘 ,

∀𝑖 ∈ 𝑈; ∀𝑘 ∈ 𝑉 .

𝑗∈𝑆

7

8

Jumlah cash cartridge kosong kumulatif pada kendaraan yang meninggalkan node akan bertambah, 𝐺𝑖𝑘 + 𝐷𝑗 − 𝐺𝑗𝑘 ≤ (1 − 𝑋𝑖𝑗𝑘 )𝑏𝑖𝑔𝑀, ∀𝑘 ∈ 𝑉; ∀𝑖 ∈ 𝑆; ∀𝑗 ∈ 𝑁, 𝐺𝑖𝑘 + 𝐻𝑗𝑘 𝐷𝑗 − 𝐺𝑗𝑘 ≤ (1 − 𝑋𝑖𝑗𝑘 )𝑏𝑖𝑔𝑀, ∀𝑘 ∈ 𝑉; ∀𝑖 ∈ 𝑆; ∀𝑗 ∈ 𝑈 . Kendaraan yang digunakan harus kembali ke depot, ∑ 𝑋𝑖1𝑘 = 𝑌𝑘 ,

∀𝑘 ∈ 𝑉 .

𝑖∈𝑁∪𝑈

9

Jumlah cash cartridge kosong kumulatif tidak boleh melebihi kapasitas setiap kendaraan, 𝐺𝑖𝑘 ≤ 𝐵𝑘 , ∀𝑘 ∈ 𝑉; ∀𝑖 ∈ 𝑆 .

6 10 Jumlah cash cartridge kosong kumulatif setiap kendaraan yang meninggalkan depot adalah 0, 𝐺1𝑘 = 0, ∀𝑘 ∈ 𝑉, 𝐺(𝑛+𝑢+1)𝑘 = 0, ∀𝑘 ∈ 𝑉 . 11 Banyaknya ritasi setiap kendaraan merupakan frekuensi setiap kendaraan berangkat dari depot dalam satu periode, ∑ (𝑋1𝑖𝑘 + 𝑋(𝑛+𝑢+1)𝑖𝑘 ) = 𝑅𝑘 ,

∀𝑘 ∈ 𝑉 .

𝑖∈𝑁∪𝑈

12 Tidak ada perjalanan ke node yang sama, 𝑋𝑖𝑖𝑘 = 0, ∀𝑘 ∈ 𝑉; ∀𝑖 ∈ 𝑆, 𝑋1(𝑛+𝑢+1)𝑘 = 0, ∀𝑘 ∈ 𝑉; (𝑛 + 𝑢 + 1) ∈ 𝑆 . 13 Lama perjalanan dari node i ke node j untuk kendaraan k, 𝑇𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗𝑘 = , ∀𝑘 ∈ 𝑉; ∀𝑖, 𝑗 ∈ 𝑆 . 𝐸𝑘 14 Waktu mulai pelayanan pada node j, 𝑀𝑖𝑘 + 𝐴𝑖𝑗𝑘 + 𝐿𝑖 − 𝑏𝑖𝑔𝑀(1 − 𝑋𝑖𝑗𝑘 ) ≤ 𝑀𝑗𝑘 , ∀𝑘 ∈ 𝑉; ∀𝑖 ∈ 𝑆; ∀𝑗 ∈ 𝑁 . 15 Batas awal waktu pelayanan pada node i, 𝑀𝑖𝑘 ≥ 𝑊𝑖 , ∀𝑘 ∈ 𝑉; ∀𝑖 ∈ 𝑆 . 16 Batas akhir waktu pelayanan pada node i, 𝑀𝑖𝑘 + 𝐿𝑖 ≤ 𝑄𝑖 , ∀𝑘 ∈ 𝑉; ∀𝑖 ∈ 𝑆 . 17 Kendala ketaknegatifan, 𝐺𝑖𝑘 ≥ 0, ∀𝑘 ∈ 𝑉; ∀𝑖 ∈ 𝑆, 0 ≤ 𝐻𝑖𝑘 ≤ 1, ∀𝑘 ∈ 𝑉; ∀𝑖 ∈ 𝑈 . 18 Kendala biner. 𝑋𝑖𝑗𝑘 ∈ {0,1}, ∀𝑘 ∈ 𝑉; ∀𝑖, 𝑗 ∈ 𝑆, 𝑌𝑘 ∈ {0,1}, ∀𝑘 ∈ 𝑉 .

UJI MODEL Dalam membangun sebuah model matematika perlu dilakukan uji model untuk meyakinkan bahwa model yang dibangun adalah benar dan dapat diaplikasikan ke dalam masalah-masalah yang serupa atau kasus-kasus tertentu sesuai tujuan. Pada karya ilmiah ini, model yang dibangun adalah untuk menentukan rute pengiriman yang optimal dan telah dijelaskan secara terperinci dalam deskripsi masalah. Selanjutnya dalam masalah ini diberikan tiga uji kasus, yaitu kasus pertama adalah pendistribusian cash cartridge menggunakan satu kendaraan dengan satu ritasi, kasus kedua adalah pendistribusian cash cartridge menggunakan satu kendaraan dengan dua ritasi, dan kasus ketiga adalah pendistribusian cash cartridge menggunakan dua kendaraan dengan satu ritasi untuk setiap kendaraan. Misalkan untuk melakukan pengiriman pihak depot memiliki tiga kendaraan dengan dua tipe kendaraan, tipe pertama berkapasitas dua belas cash cartridge berjumlah dua kendaraan dengan biaya per km sebesar Rp 5000 dan tipe kedua berkapasitas enam belas cash cartridge berjumlah satu kendaraan dengan

7 biaya per km sebesar Rp 7000. Biaya tetap untuk setiap kendaraan yang digunakan sebesar Rp 200000, biaya tetap itu dikeluarkan untuk biaya pengawalan kendaraan yang digunakan selama pengiriman. Data yang berkaitan dengan kendaraan untuk semua kasus dalam uji model ini dapat dilihat pada Tabel 1 berikut: Tabel 1 Kecepatan, kapasitas, dan biaya kendaraan dalam uji model Kode Kendaraan

Kecepatan (km/jam)

Biaya Tetap

Biaya per km

Kapasitas Cash Cartridge

1 2 3

40 40 40

200000 200000 200000

5000 5000 7000

12 12 16

Deskripsi dan Uji Kasus Pertama Misalkan dalam uji kasus pertama, hasil yang diharapkan adalah pendistribusikan menggunakan satu kendaraan dengan satu ritasi untuk memenuhi semua permintaan setiap node. Terdapat tiga node yang akan dikunjungi yaitu node 2, node 3, dan node 4. Jarak antar-node untuk uji kasus pertama diberikan oleh Tabel 2 berikut, dengan node 1 dan node 5 menyatakan depot yang sama: Tabel 2 Jarak antar-node (dalam km) uji kasus pertama Node 1 2 3 4 5 1 0 1 1 2 0 2 1 0 1 1 1 3 1 1 0 1 1 4 2 1 1 0 2 5 0 1 1 2 0 Setiap node memiliki permintaan cash cartridge dan time windows masingmasing. Kendala permintaan dan time windows yang dimaksud untuk uji kasus pertama dapat dilihat pada Tabel 3 berikut: Tabel 3 Time windows dan permintaan setiap node uji kasus pertama Lama Pelayanan Permintaan Node Time Windows (dalam jam) Cash Cartridge 1 2 3 4 5

1 1 1 1 1

00.00 – 24.00 00.00 – 24.00 00.00 – 24.00 00.00 – 24.00 00.00 – 24.00

0 4 4 4 0

8 Dari data-data yang digunakan dalam uji kasus pertama ini, setelah diimplementasikan ke dalam model menghasilkan solusi sesuai dengan yang diinginkan dengan nilai fungsi objektif atau biaya pengiriman sebesar Rp 220000. Rute pengiriman yang dihasilkan dapat dilihat pada Tabel 4 berikut: Tabel 4 Rute pengiriman hasil uji kasus pertama Kode Kendaraan

Jenis Kendaraan

Banyak Ritasi

Rute Pengangkutan

1 12 cash cartridge 1 1 → 2 [4] → 4 [4] → 3 [4] → 1 2 12 cash cartridge 0 3 16 cash cartridge 0 a Angka di dalam [ ] menunjukkan banyaknya cash cartridge yang diisi ulang untuk setiap node.

Deskripsi dan Uji Kasus Kedua Misalkan dalam uji kasus kedua, hasil yang diharapkan adalah pendistribusikan menggunakan satu kendaraan dengan dua ritasi untuk memenuhi semua permintaan setiap node. Terdapat empat node yang akan dikunjungi yaitu node 2, node 3, node 4, dan node 5. Jarak antar-node untuk uji kasus kedua diberikan oleh Tabel 5 berikut, dengan node 1 dan node 6 menyatakan depot yang sama: Tabel 5 Jarak antar-node (dalam km) uji kasus kedua Node 1 2 3 4 5 6 1 0 1 1 2 3 0 2 1 0 1 1 1 1 3 1 1 0 1 1 1 4 2 1 1 0 1 2 5 3 1 1 1 0 3 6 0 1 1 2 3 0 Setiap node memiliki permintaan cash cartridge dan time windows masingmasing. Kendala permintaan dan time windows yang dimaksud untuk uji kasus kedua dapat dilihat pada Tabel 6 berikut:

9 Tabel 6 Time windows dan permintaan setiap node uji kasus kedua Lama Pelayanan Permintaan Node Time Windows (dalam jam) Cash Cartridge 1 2 3 4 5 6

00.00 – 24.00 00.00 – 24.00 00.00 – 24.00 00.00 – 24.00 00.00 – 24.00 00.00 – 24.00

1 1 1 2 2 1

0 4 4 8 8 0

Dari data-data yang digunakan dalam uji kasus kedua ini, setelah diimplementasikan ke dalam model menghasilkan solusi sesuai dengan yang diinginkan dengan nilai fungsi objektif atau biaya pengiriman sebesar Rp 245000. Rute pengiriman yang dihasilkan dapat dilihat pada Tabel 7 berikut: Tabel 7 Rute pengiriman hasil uji kasus kedua Kode Kendaraan

Jenis Kendaraan

Banyak Ritasi

Rute Pengangkutan

1 → 2 [4] → 5 [8] → 6 → 4 [8] → 3 [4] → 1 2 12 cash cartridge 0 3 16 cash cartridge 0 a Angka di dalam [ ] menunjukkan banyaknya cash cartridge yang diisi ulang untuk setiap node. 1

12 cash cartridge

2

Deskripsi dan Uji Kasus Ketiga Misalkan dalam uji kasus ketiga, hasil yang diharapkan adalah pendistribusikan menggunakan dua kendaraan dengan satu ritasi untuk setiap kendaraan untuk memenuhi semua permintaan setiap node. Terdapat empat node yang akan dikunjungi yaitu node 2, node 3, node 4, dan node 5. Jarak antar-node untuk uji kasus ketiga diberikan oleh Tabel 8 berikut, dengan node 1 dan node 6 menyatakan depot yang sama: Tabel 8 Jarak antar-node (dalam km) uji kasus ketiga Node 1 2 3 4 5 6 1 0 1 1 2 3 0 2 1 0 1 1 1 1 3 1 1 0 1 1 1 4 2 1 1 0 1 2 5 3 1 1 1 0 3 6 0 1 1 2 3 0

10 Setiap node memiliki permintaan cash cartridge dan time windows masingmasing. Kendala permintaan dan time windows yang dimaksud untuk uji kasus ketiga dapat dilihat pada Tabel 9 berikut: Tabel 9 Time windows dan permintaan setiap node uji kasus ketiga Lama Pelayanan Permintaan Node Time Windows (dalam jam) Cash Cartridge 1 2 3 4 5 6

00.00 – 24.00 01.00 – 06.00 01.00 – 06.00 01.00 – 06.00 01.00 – 06.00 00.00 – 24.00

1 2 1 2 1 1

0 8 4 8 4 0

Dari data-data yang digunakan dalam uji kasus ketiga ini, setelah diimplementasikan ke dalam model menghasilkan solusi sesuai dengan yang diinginkan dengan nilai fungsi objektif atau biaya pengiriman sebesar Rp 445000. Rute pengiriman yang dihasilkan dapat dilihat pada Tabel 10 berikut: Tabel 10 Rute pengiriman hasil uji kasus ketiga Kode Kendaraan

Jenis Kendaraan

Banyak Ritasi

Rute Pengangkutan

1 12 cash cartridge 1 1 → 3 [4] → 2 [8] → 1 2 12 cash cartridge 1 1 → 5 [4] → 4 [8] → 1 3 16 cash cartridge 0 a Angka di dalam [ ] menunjukkan banyaknya cash cartridge yang diisi ulang untuk setiap node.

IMPLEMENTASI MODEL Deskripsi dan Formulasi Masalah Pengiriman Cash Cartridge Misalkan dalam masalah pengiriman cash cartridge, suatu depot akan mengirimkan ke beberapa node. Pada implementasi ini depot merepresentasikan bank dan setiap node merepresentasikan keberadaan ATM. Terdapat delapan node yang akan dikunjungi yaitu node 2, node 3, node 4, node 5, node 6, node 7, node 8, dan node 9. Jarak antar-node dapat dilihat pada Tabel 11 berikut, dengan node 1 dan node 10 menyatakan depot yang sama:

11

Node 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabel 11 Jarak antar-node (dalam km) 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 1 2 3 3 3 6 1 0 1 1 1 2 5 5 1 1 0 1 1 1 1 5 2 1 1 0 1 3 5 5 3 1 1 1 0 1 4 6 3 2 1 3 1 0 5 7 3 5 1 5 4 5 0 3 6 5 5 5 6 7 3 0 7 8 9 7 7 8 5 2 0 1 1 2 3 3 3 6

9 7 9 9 7 7 8 5 2 0 7

10 0 1 1 2 3 3 3 6 7 0

Setiap node memiliki permintaan cash cartridge dan time windows masingmasing. Kendala permintaan dan time windows yang dimaksud dapat dilihat pada Tabel 12 berikut:

Node 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabel 12 Time windows dan permintaan setiap node Lama Pelayanan Permintaan Time Windows (dalam jam) Cash Cartridge 1 1 2 1 2 5 1 1 1 1

00.00 – 24.00 01.00 – 06.00 01.00 – 06.00 01.00 – 06.00 01.00 – 06.00 01.00 – 11.00 18.00 – 23.00 18.00 – 23.00 18.00 – 23.00 00.00 – 24.00

0 4 8 4 8 20 4 4 4 0

Depot memiliki lima kendaraan dengan dua tipe kendaraan, tipe pertama berkapasitas dua belas cash cartridge berjumlah tiga kendaraan dengan biaya per km sebesar Rp 5000 dan tipe kedua berkapasitas enam belas cash cartridge berjumlah dua kendaraan dengan biaya per km sebesar Rp 7000. Biaya tetap untuk setiap kendaraan yang digunakan sebesar Rp 200000, biaya tetap itu dikeluarkan untuk biaya pengawalan kendaraan yang digunakan selama pengiriman. Data yang berkaitan dengan kendaraan untuk implementasi model ini dapat dilihat pada Tabel 13 berikut:

12 Tabel 13 Kecepatan, kapasitas, dan biaya kendaraan Kode Kendaraan

Kecepatan (km/jam)

Biaya Tetap

Biaya per km

Kapasitas Cash Cartridge

1 2 3 4 5

40 40 40 40 40

200000 200000 200000 200000 200000

5000 5000 5000 7000 7000

12 12 12 16 16

Data yang diberikan merupakan data hipotetik yang dapat digunakan untuk keperluan simulasi. Masalah pengiriman dalam implementasi model ini dapat diformulasikan sebagai berikut: Himpunan 𝑉 = himpunan semua kendaraan, 𝑉 = {1, 2, … , 5}, 𝑁 = himpunan node dengan permintaan kurang dari atau sama dengan kapasitas maksimal kendaraan, 𝑁 = {2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}, 𝑈 = himpunan node dengan permintaan lebih dari kapasitas maksimal kendaraan, 𝑈 = {6}, 𝑆 = himpunan semua node, 𝑆 = {1, 2, … , 10}, dengan 1 dan 10 menyatakan depot yang sama. Indeks i,j,p = indeks untuk menyatakan node, = indeks untuk menyatakan kendaraan. k Parameter 𝐵𝑘 = kapasitas pada kendaraan k (Tabel 13), 𝐶𝑘 = biaya perjalanan per km pada kendaraan k (Tabel 13), 𝐹𝑘 = biaya tetap untuk setiap kendaraan 𝑘 yang digunakan (Tabel 13), 𝐸𝑘 = kecepatan untuk setiap kendaraan k (Tabel 13), 𝐿𝑖 = lamanya pelayanan pada node i (Tabel 12), 𝑊𝑖 = batas awal waktu pelayanan pada node i (Tabel 12), = batas akhir waktu pelayanan pada node i (Tabel 12), 𝑄𝑖 𝐷𝑖 = permintaan cash cartridge untuk setiap node i (Tabel 12), 𝑇𝑖𝑗 = jarak antara node i dan node j (Tabel 11), bigM = 100000. Variabel Keputusan 𝑅𝑘 = banyaknya ritasi kendaraan k, 𝐴𝑖𝑗𝑘 = waktu tempuh antara node i dan node j untuk kendaraan k, 𝑀𝑖𝑘 = waktu node 𝑖 mulai dilayani oleh kendaraan 𝑘, 𝐺𝑖𝑘 = banyaknya cash cartridge yang kosong pada kendaraan k setelah meninggalkan node i, 𝐻𝑖𝑘 = proporsi dari permintaan cash cartridge pada node 𝑖 yang diangkut kendaraan 𝑘,

13 kendaraan k mengunjungi node j setelah node i { 1,0, jika lainnya. 1, jika kendaraan k digunakan untuk mengantarkan cash cartridge = { 0, lainnya.

𝑋𝑖𝑗𝑘

=

𝑌𝑘

Fungsi Objektif Fungsi objektif model ini adalah meminimumkan biaya perjalanan ditinjau dari jumlah biaya tetap ditambah jumlah biaya per km untuk setiap kendaraan yang digunakan, yakni: 5

5

10 10

min 𝑧 = ∑ 𝐹𝑘 𝑌𝑘 + ∑ ∑ ∑ 𝐶𝑘 𝑇𝑖𝑗 𝑋𝑖𝑗𝑘 . 𝑘=1

𝑘=1 𝑗=1 𝑖=1

Kendala Kendala yang harus dipenuhi untuk model ini adalah sebagai berikut: 1 Setiap kendaraan tidak harus digunakan, 9

∑ 𝑋1𝑗𝑘 ≤ 1,

∀𝑘 = 1, 2, … , 5 .

𝑗=2

2

Kendaraan yang meninggalkan depot dipastikan untuk mengantarkan cash cartridge, 9

∑ 𝑋1𝑗𝑘 = 𝑌𝑘 ,

∀𝑘 = 1, 2, … , 5 .

𝑗=2

3 4

Tidak ada node yang dikunjungi oleh kendaraan yang tidak digunakan, 𝑋𝑖𝑗𝑘 ≤ 𝑌𝑘 , ∀𝑖, 𝑗 = 1, 2, … , 10; ∀𝑘 = 1, 2, . . , 5 . Kendaraan yang mengunjungi node harus meninggalkan node tersebut, 10

10

∑ 𝑋𝑖𝑝𝑘 − ∑ 𝑋𝑝𝑗𝑘 = 0, 𝑖=1 𝑖≠𝑝

5

∀𝑝 = 1, 2, … , 10; ∀𝑘 = 1, 2, … , 5 .

𝑗=1 𝑝≠𝑗

Node yang memiliki permintaan kurang dari atau sama dengan kapasitas maksimal kendaraan dikunjungi tepat satu kali, 5

10

∑ ∑ 𝑋𝑖𝑗𝑘 = 1 ,

∀𝑗 = 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 .

𝑘=1 𝑖=1 𝑖≠𝑗

6

Node yang memiliki permintaan lebih dari kapasitas maksimal kendaraan dikunjungi lebih dari satu kali, 5

∑ 𝐻𝑖𝑘 = 1,

∀𝑖 = 6,

𝑘=1 10

∑ 𝑋𝑗𝑖𝑘 ≥ 𝐻𝑖𝑘 , 𝑗=1

∀𝑖 = 6; ∀𝑘 = 1, 2, … , 5 .

14 7

8

Jumlah cash cartridge kosong kumulatif pada kendaraan yang meninggalkan node akan bertambah, 𝐺𝑖𝑘 + 𝐷𝑗 − 𝐺𝑗𝑘 ≤ (1 − 𝑋𝑖𝑗𝑘 )𝑏𝑖𝑔𝑀, ∀𝑘 = 1, 2, … , 5; ∀𝑖 = 1, 2, … , 10; ∀𝑗 = 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 𝐺𝑖𝑘 + 𝐻𝑗𝑘 𝐷𝑗 − 𝐺𝑗𝑘 ≤ (1 − 𝑋𝑖𝑗𝑘 )𝑏𝑖𝑔𝑀, ∀𝑘 = 1, 2, … , 5; ∀𝑖 = 1, 2, … , 10; ∀𝑗 = 6 . Kendaraan yang digunakan harus kembali ke depot, 9

∑ 𝑋𝑖1𝑘 = 𝑌𝑘 ,

∀𝑘 = 1, 2, … , 5 .

𝑖=2

9

Jumlah cash cartridge kosong kumulatif tidak boleh melebihi kapasitas setiap kendaraan, 𝐺𝑖𝑘 ≤ 𝐵𝑘 , ∀𝑘 = 1, 2, … , 5; ∀𝑖 = 1, 2, … , 10 . 10 Jumlah cash cartridge kosong kumulatif setiap kendaraan yang meninggalkan depot adalah 0, 𝐺1𝑘 = 0, ∀𝑘 = 1, 2, … , 5, 𝐺10𝑘 = 0, ∀𝑘 = 1, 2, … , 5 . 11 Banyaknya ritasi setiap kendaraan merupakan frekuensi setiap kendaraan berangkat dari depot dalam satu periode, 9

∑(𝑋1𝑖𝑘 + 𝑋10𝑖𝑘 ) = 𝑅𝑘 ,

∀𝑘 = 1, 2, … , 5 .

𝑖=2

12 Tidak ada perjalanan ke node yang sama, 𝑋𝑖𝑖𝑘 = 0, ∀𝑘 = 1, 2, … , 5; ∀𝑖 = 1, 2, … , 10, 𝑋110𝑘 = 0, ∀𝑘 = 1, 2, … , 5 . 13 Lama perjalanan dari node i ke node j untuk kendaraan k, 𝑇𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗𝑘 = , ∀𝑘 = 1, 2, … , 5; ∀𝑖, 𝑗 = 1, 2, … , 10 . 𝐸𝑘 14 Waktu mulai pelayanan pada node j, 𝑀𝑖𝑘 + 𝐴𝑖𝑗𝑘 + 𝐿𝑖 − 𝑏𝑖𝑔𝑀(1 − 𝑋𝑖𝑗𝑘 ) ≤ 𝑀𝑗𝑘 , ∀𝑘 = 1, 2, … , 5; ∀𝑖 = 1, 2, … , 10; ∀𝑗 = 2, 3, … , 10 . 15 Batas awal waktu pelayanan pada node i, 𝑀𝑖𝑘 ≥ 𝑊𝑖 , ∀𝑘 = 1, 2, … , 5; ∀𝑖 = 1, 2, … , 10 . 16 Batas akhir waktu pelayanan pada node i, 𝑀𝑖𝑘 + 𝐿𝑖 ≤ 𝑄𝑖 , ∀𝑘 = 1, 2, … , 5; ∀𝑖 = 1, 2, … , 10 . 17 Kendala ketaknegatifan, 𝐺𝑖𝑘 ≥ 0, ∀𝑘 = 1, 2, … , 5; ∀𝑖 = 1, 2, … , 10, 0 ≤ 𝐻𝑖𝑘 ≤ 1, ∀𝑘 = 1, 2, … , 5; ∀𝑖 = 6 . 18 Kendala biner. 𝑋𝑖𝑗𝑘 ∈ {0,1}, ∀𝑘 = 1, 2, … , 5; ∀𝑖, 𝑗 = 1, 2, … , 10, 𝑌𝑘 ∈ {0,1}, ∀𝑘 = 1, 2, … , 5 .

15 Hasil dan Pembahasan Formulasi masalah model ini diselesaikan menggunakan software LINGO 11.0. Solusi yang dihasilkan adalah minimum global, artinya rute yang dihasilkan merupakan rute dengan biaya paling minimum. Nilai fungsi objektif atau biaya pengiriman yang dihasilkan model yaitu Rp 617000. Dengan menggunakan komputer berspesifikasi CPU 1.50 GHz dan RAM 4 GB waktu komputasi yang diperlukan untuk menghasilkan solusi adalah selama 3 jam 8 menit 47 detik. Rute pengiriman yang dihasilkan dapat dilihat pada Tabel 14 berikut: Tabel 14 Rute pengiriman hasil implementasi model Kode Kendaraan

Jenis Kendaraan

Banyak Ritasi

1 2 3

12 cash cartridge 12 cash cartridge 12 cash cartridge

0 0 0

Rute Pengangkutan

1 → 4 [4] → 5 [8] → 6 [4] → 10 4 16 cash cartridge 2 → 7 [4] → 8 [4] → 9 [4] → 1 1 → 3 [8] → 2 [4] → 10 → 6 [16] 5 16 cash cartridge 2 →1 a Angka di dalam [ ] menunjukan banyaknya cash cartridge yang diisi ulang untuk setiap node. Kendaraan yang digunakan mengirim cash cartridge untuk menghasilkan rute yang optimal pada model ini hanya kendaraan 4 dan 5 masing-masing melakukan sebanyak 2 rit, sedangkan kendaraan 1, 2, dan 3 tidak digunakan. Terlihat juga node 6 dikunjungi dua kali sesuai dengan permintaan yang melebihi kapastitas maksimal suatu kendaraan.

SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Penentuan rute pengiriman cash cartridge dari bank ke ATM dapat dimodelkan sebagai masalah Capacitated Vehicle Routing Problem with Time Windows (CVRPTW) menggunakan ILP. Node yang memiliki sejumlah ATM dengan permintaan kurang dari atau sama dengan kapasitas maksimal kendaraan hanya dikunjungi tepat satu kali dan node yang memiliki sejumlah ATM dengan permintaan melebihi kapasitas maksimal kendaraan membuat node tersebut harus dikunjungi lebih dari satu kali. Implementasi model menggunakan software LINGO 11.0 pada komputer dengan prosesor 1.5 GHz dan RAM 4 GB untuk menentukan skenario pendistribusian cash cartridge dari depot ke delapan node yang terpisah relatif jauh satu dengan yang lain diperoleh solusi optimal dalam waktu 3 jam 8 menit dan 47 detik.

16 Saran Penelitian ini dapat dikembangkan dengan pengimplementasian pada data primer dari suatu Bank secara nyata serta mempertimbangkan kendala yang memungkinkan semua node dapat dikunjungi lebih dari satu kali.

DAFTAR PUSTAKA Winston WL. 2004. Operations Research: Applications and Algorithms. Ed ke-4. New York (US): Duxbury. Sarker RA, Newton CS. 2008. Optimization Modelling: A Practical Approach. Boca Raton (US): CRC Press Taylor & Francis Group. Caric T, Gold H. 2008. Vehicle Routing Problem. France (FX): InTech [IBI] Ikatan Bankir Indonesia (ID). 2015. Mengenal Operasional Perbankan 1. Indonesia (ID): PT Gramedia Pustaka Utama

17 Lampiran 1 Waktu tempuh antar-node untuk setiap kendaraan (dalam jam) Node 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 0 0.025 0.025 0.05 0.075 0.075 0.075 0.15 0.175 0

2 0.025 0 0.025 0.025 0.025 0.05 0.125 0.125 0.225 0.025

3 0.025 0.025 0 0.025 0.025 0.025 0.025 0.125 0.225 0.025

4 0.05 0.025 0.025 0 0.025 0.75 0.125 0.125 0.175 0.05

5 0.075 0.025 0.025 0.025 0 0.025 0.1 0.15 0.175 0.075

6 0.075 0.05 0.025 0.075 0.025 0 0.125 0.175 0.2 0.075

7 0.075 0.125 0.025 0.125 0.1 0.125 0 0.075 0.125 0.075

8 0.15 0.125 0.125 0.125 0.15 0.175 0.075 0 0.05 0.15

9 0.175 0.225 0.225 0.175 0.175 0.2 0.125 0.05 0 0.175

10 0 0.025 0.025 0.05 0.075 0.075 0.075 0.15 0.175 0

18 Lampiran 2 Sintaks dan hasil LINGO 11.0 pada implementasi Model model: sets: vehicle/1..5/:Y,B,C,F,E,R; node/1..10/:D,L,W,Q; noded/1..9/; mix1(node,vehicle):G,M,H; mix2(node,node):T; mix3(node,node,vehicle):X,A; endsets data: !kecepatan untuk setiap kendaraan; E=@ole('E:\DataSkripsi.xlsx','kecepatan'); !lamanya pelayanan di tempat i; L=@ole('E:\DataSkripsi.xlsx','lamapelayanan'); !batas awal pelayanan; W=@ole('E:\DataSkripsi.xlsx','batasawal'); !batas akhir pelayanan; Q=@ole('E:\DataSkripsi.xlsx','batasakhir'); !kapasitas kendaraan; B=@ole('E:\DataSkripsi.xlsx','kapasitas'); !fix cost; F=@ole('E:\DataSkripsi.xlsx','biayatetap'); !biaya per km; C=@ole('E:\DataSkripsi.xlsx','biayaperkm'); !demand setiap ATM; D=@ole('E:\DataSkripsi.xlsx','permintaan'); !jarak antar node; T=@ole('E:\DataSkripsi.xlsx','jarak'); enddata

bigM=100000; !fungsi objektif; min=@sum(vehicle(k):F(k)*Y(k))+ @sum(vehicle(k):@sum(node(j):@sum(node(i)|i#NE#j:C(k)*T(i,j) *X(i,j,k)))); !kendala-kendala; !setiap kendaraan tidak harus meninggalkan depot ; @for(vehicle(k):@sum(noded(j)|j#GT#1:X(1,j,k))<=1); !kendaraan yang meninggalkan depot dipastikan untuk mengantarkan uang; @for(vehicle(k):@sum(noded(j)|j#GT#1:X(1,j,k))=Y(k)); !tidak ada node yang dikunjungi oleh kendaraan yang tidak digunakan; @for(vehicle(k):@for(node(j):@for(node(i)|i#NE#j:X(i,j,k)<=Y (k)))); !kendaraan yang mengunjungi node harus meninggalkan node tersebut; @for(vehicle(k):@for(node(p):@sum(node(i)|p#NE#i:X(i,p,k))@sum(node(j)|p#NE#j:X(p,j,k))=0));

!ATM yang memiliki permintaan kurang dari atau sama dengan kapasitas maksimal kendaraan dikunjungi tepat satu kali;

19 @for(noded(j)|j#GT#1#AND#j#NE#6:@sum(vehicle(k):@sum(node(i) |j#NE#i:X(i,j,k)))=1);

!ATM yang memiliki permintaan lebih dari kapasitas maksimal kendaraan dikunjungi lebih dari satu kali; @sum(vehicle(k):H(6,k))=1; @for(vehicle(k):@sum(node(j):X(j,6,k))>=H(6,k)); !jumlah kotak uang kosong kumulatif pada kendaraan yang meninggalkan ATM akan bertambah; @for(vehicle(k):@for(node(i):@for(noded(j)|j#GT#1#AND#j#NE#6 #AND#i#NE#j:G(i,k)+D(j)-G(j,k)<=(1-X(i,j,k))*bigM))); @for(vehicle(k):@for(node(i):G(i,k)+H(6,k)*D(6)-G(6,k)<=(1X(i,6,k))*bigM)); !kendaraan yang digunakan harus kembali ke depot; @for(vehicle(k):@sum(noded(i)|i#GT#1:X(i,1,k))=Y(k)); !jumlah kotak kosong kumulatif tidak boleh melebihi kapasitas setiap kendaraan; @for(vehicle(k):@for(node(i):G(i,k)<=B(k))); !jumlah kotak kosong kumulatif setiap kendaraan yang meninggalkan depot adalah 0; @for(vehicle(k):G(1,k)=0); @for(vehicle(k):G(10,k)=0); !banyaknya rotasi seriap kendaraan merupakan frekuensi setiap kendaraan mengunjungi depot depot dalam satu periode; @for(vehicle(k):@sum(noded(i)|i#GT#1:X(1,i,k)+X(10,i,k))=R(k )); !tidak ada perjalanan ke node yang sama; @for(vehicle(k):@for(node(i):X(i,i,k)=0)); @for(vehicle(k):@for(node(i):X(1,10,k)=0)); !lama perjalanan dari tempat i ke tempat j untuk kendaraan k; @for(vehicle(k):@for(node(i):@for(node(j)|i#NE#j:A(i,j,k)=(T (i,j)/E(k))))); !waktu mulai pelayanan ATM (Pengisian uang) di tempat j; @for(vehicle(k):@for(node(i):@for(node(j)|i#NE#j#AND#j#GT#1: M(i,k)+(T(i,j)/E(k))+L(i)-bigM*(1-(x(i,j,k)))<=M(j,k)))); !batas awal pelayanan di tempat i; @for(vehicle(k):@for(node(i):M(i,k)>=W(i))); !batas akhir pelayanan di tempai i; @for(vehicle(k):@for(node(i):M(i,k)+L(i)<=Q(i))); !ketaknegatifan; @for(vehicle(k):@for(node(i):G(i,k)>=0)); @for(vehicle(k):G(6,k)>=0); !kendala biner; @for(vehicle(k):@for(node(i):@for(node(j)|i#NE#j:@bin(X(i,j, k))))); @for(vehicle(k):@bin(Y(k))); Global optimal solution found. Objective value: Objective bound: Infeasibilities: Extended solver steps: Total solver iterations:

617000.0 617000.0 0.000000 471091 57078053

20 Variable BIGM Y( 1) Y( 2) Y( 3) Y( 4) Y( 5) B( 1) B( 2) B( 3) B( 4) B( 5) C( 1) C( 2) C( 3) C( 4) C( 5) F( 1) F( 2) F( 3) F( 4) F( 5) E( 1) E( 2) E( 3) E( 4) E( 5) R( 1) R( 2) R( 3) R( 4) R( 5) D( 1) D( 2) D( 3) D( 4) D( 5) D( 6) D( 7) D( 8) D( 9) D( 10) L( 1) L( 2) L( 3) L( 4) L( 5) L( 6) L( 7) L( 8) L( 9) L( 10) W( 1) W( 2) W( 3) W( 4) W( 5) W( 6) W( 7)

Value 100000.0 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 1.000000 12.00000 12.00000 12.00000 16.00000 16.00000 5000.000 5000.000 5000.000 7000.000 7000.000 200000.0 200000.0 200000.0 200000.0 200000.0 40.00000 40.00000 40.00000 40.00000 40.00000 0.000000 0.000000 0.000000 2.000000 2.000000 0.000000 4.000000 8.000000 4.000000 8.000000 20.00000 4.000000 4.000000 4.000000 0.000000 1.000000 1.000000 2.000000 1.000000 2.000000 5.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 0.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 18.00000

W( W( W( Q( Q( Q( Q( Q( Q( Q( Q( Q( Q( G( G( G( G( G( G( G( G( G( G( G( G( G( G( G( G( G( G( G( G( G( G( G( G( G( G( G( G( G( G( G( G( G( G( G( G( G( G( G( G( G( G( G( G(

8) 9) 10) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 1, 1) 1, 2) 1, 3) 1, 4) 1, 5) 2, 1) 2, 2) 2, 3) 2, 4) 2, 5) 3, 1) 3, 2) 3, 3) 3, 4) 3, 5) 4, 1) 4, 2) 4, 3) 4, 4) 4, 5) 5, 1) 5, 2) 5, 3) 5, 4) 5, 5) 6, 1) 6, 2) 6, 3) 6, 4) 6, 5) 7, 1) 7, 2) 7, 3) 7, 4) 7, 5) 8, 1) 8, 2) 8, 3) 8, 4) 8, 5) 9, 1) 9, 2) 9, 3) 9, 4)

18.00000 18.00000 0.000000 24.00000 6.000000 6.000000 6.000000 6.000000 11.00000 23.00000 23.00000 23.00000 24.00000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 12.00000 0.000000 0.000000 0.000000 12.00000 0.000000 12.00000 0.000000 0.000000 8.000000 12.00000 0.000000 0.000000 4.000000 0.000000 12.00000 12.00000 0.000000 12.00000 0.000000 12.00000 12.00000 12.00000 16.00000 16.00000 12.00000 12.00000 12.00000 8.000000 0.000000 0.000000 0.000000 12.00000 12.00000 0.000000 12.00000 12.00000 12.00000 16.00000

21 G( G( G( G( G( G( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( M( H( H( H(

9, 5) 10, 1) 10, 2) 10, 3) 10, 4) 10, 5) 1, 1) 1, 2) 1, 3) 1, 4) 1, 5) 2, 1) 2, 2) 2, 3) 2, 4) 2, 5) 3, 1) 3, 2) 3, 3) 3, 4) 3, 5) 4, 1) 4, 2) 4, 3) 4, 4) 4, 5) 5, 1) 5, 2) 5, 3) 5, 4) 5, 5) 6, 1) 6, 2) 6, 3) 6, 4) 6, 5) 7, 1) 7, 2) 7, 3) 7, 4) 7, 5) 8, 1) 8, 2) 8, 3) 8, 4) 8, 5) 9, 1) 9, 2) 9, 3) 9, 4) 9, 5) 10, 1) 10, 2) 10, 3) 10, 4) 10, 5) 1, 1) 1, 2) 1, 3)

0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 1.000000 5.000000 1.000000 3.050000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.025000 1.000000 5.000000 5.000000 1.050000 1.000000 4.000000 4.000000 4.000000 2.075000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 6.000000 5.150000 22.00000 18.00000 18.00000 18.00000 22.00000 22.00000 22.00000 18.00000 19.07500 18.00000 22.00000 18.00000 22.00000 20.12500 18.00000 0.000000 23.00000 23.00000 11.07500 4.075000 0.000000 0.000000 0.000000

H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( H( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T(

1, 4) 1, 5) 2, 1) 2, 2) 2, 3) 2, 4) 2, 5) 3, 1) 3, 2) 3, 3) 3, 4) 3, 5) 4, 1) 4, 2) 4, 3) 4, 4) 4, 5) 5, 1) 5, 2) 5, 3) 5, 4) 5, 5) 6, 1) 6, 2) 6, 3) 6, 4) 6, 5) 7, 1) 7, 2) 7, 3) 7, 4) 7, 5) 8, 1) 8, 2) 8, 3) 8, 4) 8, 5) 9, 1) 9, 2) 9, 3) 9, 4) 9, 5) 10, 1) 10, 2) 10, 3) 10, 4) 10, 5) 1, 1) 1, 2) 1, 3) 1, 4) 1, 5) 1, 6) 1, 7) 1, 8) 1, 9) 1, 10) 2, 1) 2, 2)

0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.2000000 0.8000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 1.000000 2.000000 3.000000 3.000000 3.000000 6.000000 7.000000 0.000000 1.000000 0.000000

22 T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T(

2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8,

3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 1)

1.000000 1.000000 1.000000 2.000000 5.000000 5.000000 9.000000 1.000000 1.000000 1.000000 0.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 5.000000 9.000000 1.000000 2.000000 1.000000 1.000000 0.000000 1.000000 3.000000 5.000000 5.000000 7.000000 2.000000 3.000000 1.000000 1.000000 1.000000 0.000000 1.000000 4.000000 6.000000 7.000000 3.000000 3.000000 2.000000 1.000000 3.000000 1.000000 0.000000 5.000000 7.000000 8.000000 3.000000 3.000000 5.000000 1.000000 5.000000 4.000000 5.000000 0.000000 3.000000 5.000000 3.000000 6.000000

T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( T( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( X( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A(

8, 2) 8, 3) 8, 4) 8, 5) 8, 6) 8, 7) 8, 8) 8, 9) 8, 10) 9, 1) 9, 2) 9, 3) 9, 4) 9, 5) 9, 6) 9, 7) 9, 8) 9, 9) 9, 10) 10, 1) 10, 2) 10, 3) 10, 4) 10, 5) 10, 6) 10, 7) 10, 8) 10, 9) 10, 10) 1, 3, 5) 1, 4, 4) 2, 10, 5) 3, 2, 5) 4, 5, 4) 5, 6, 4) 6, 1, 5) 6, 10, 4) 7, 8, 4) 8, 9, 4) 9, 1, 4) 10, 6, 5) 10, 7, 4) 1, 1, 1) 1, 1, 2) 1, 1, 3) 1, 1, 4) 1, 1, 5) 1, 2, 1) 1, 2, 2) 1, 2, 3) 1, 2, 4) 1, 2, 5) 1, 3, 1) 1, 3, 2) 1, 3, 3) 1, 3, 4) 1, 3, 5) 1, 4, 1) 1, 4, 2)

5.000000 5.000000 5.000000 6.000000 7.000000 3.000000 0.000000 2.000000 6.000000 7.000000 8.000000 9.000000 7.000000 7.000000 8.000000 5.000000 2.000000 0.000000 7.000000 0.000000 1.000000 1.000000 2.000000 3.000000 3.000000 3.000000 6.000000 7.000000 0.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.5000000E-01 0.5000000E-01

23 A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A(

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2,

4, 3) 4, 4) 4, 5) 5, 1) 5, 2) 5, 3) 5, 4) 5, 5) 6, 1) 6, 2) 6, 3) 6, 4) 6, 5) 7, 1) 7, 2) 7, 3) 7, 4) 7, 5) 8, 1) 8, 2) 8, 3) 8, 4) 8, 5) 9, 1) 9, 2) 9, 3) 9, 4) 9, 5) 10, 1) 10, 2) 10, 3) 10, 4) 10, 5) 1, 1) 1, 2) 1, 3) 1, 4) 1, 5) 2, 1) 2, 2) 2, 3) 2, 4) 2, 5) 3, 1) 3, 2) 3, 3) 3, 4) 3, 5) 4, 1) 4, 2) 4, 3) 4, 4) 4, 5) 5, 1) 5, 2) 5, 3) 5, 4) 5, 5) 6, 1)

0.5000000E-01 0.5000000E-01 0.5000000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.1500000 0.1500000 0.1500000 0.1500000 0.1500000 0.1750000 0.1750000 0.1750000 0.1750000 0.1750000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.5000000E-01

A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A( A(

2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,

6, 2) 6, 3) 6, 4) 6, 5) 7, 1) 7, 2) 7, 3) 7, 4) 7, 5) 8, 1) 8, 2) 8, 3) 8, 4) 8, 5) 9, 1) 9, 2) 9, 3) 9, 4) 9, 5) 10, 1) 10, 2) 10, 3) 10, 4) 10, 5) 1, 1) 1, 2) 1, 3) 1, 4) 1, 5) 2, 1) 2, 2) 2, 3) 2, 4) 2, 5) 3, 1) 3, 2) 3, 3) 3, 4) 3, 5) 4, 1) 4, 2) 4, 3) 4, 4) 4, 5) 5, 1) 5, 2) 5, 3) 5, 4) 5, 5) 6, 1) 6, 2) 6, 3) 6, 4) 6, 5) 7, 1) 7, 2) 7, 3) 7, 4) 7, 5)

0.5000000E-01 0.5000000E-01 0.5000000E-01 0.5000000E-01 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.2250000 0.2250000 0.2250000 0.2250000 0.2250000 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01


3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4,

8, 1) 8, 2) 8, 3) 8, 4) 8, 5) 9, 1) 9, 2) 9, 3) 9, 4) 9, 5) 10, 1) 10, 2) 10, 3) 10, 4) 10, 5) 1, 1) 1, 2) 1, 3) 1, 4) 1, 5) 2, 1) 2, 2) 2, 3) 2, 4) 2, 5) 3, 1) 3, 2) 3, 3) 3, 4) 3, 5) 4, 1) 4, 2) 4, 3) 4, 4) 4, 5) 5, 1) 5, 2) 5, 3) 5, 4) 5, 5) 6, 1) 6, 2) 6, 3) 6, 4) 6, 5) 7, 1) 7, 2) 7, 3) 7, 4) 7, 5) 8, 1) 8, 2) 8, 3) 8, 4) 8, 5) 9, 1) 9, 2) 9, 3) 9, 4)

0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.2250000 0.2250000 0.2250000 0.2250000 0.2250000 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.5000000E-01 0.5000000E-01 0.5000000E-01 0.5000000E-01 0.5000000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1750000 0.1750000 0.1750000 0.1750000


4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6,

9, 5) 10, 1) 10, 2) 10, 3) 10, 4) 10, 5) 1, 1) 1, 2) 1, 3) 1, 4) 1, 5) 2, 1) 2, 2) 2, 3) 2, 4) 2, 5) 3, 1) 3, 2) 3, 3) 3, 4) 3, 5) 4, 1) 4, 2) 4, 3) 4, 4) 4, 5) 5, 1) 5, 2) 5, 3) 5, 4) 5, 5) 6, 1) 6, 2) 6, 3) 6, 4) 6, 5) 7, 1) 7, 2) 7, 3) 7, 4) 7, 5) 8, 1) 8, 2) 8, 3) 8, 4) 8, 5) 9, 1) 9, 2) 9, 3) 9, 4) 9, 5) 10, 1) 10, 2) 10, 3) 10, 4) 10, 5) 1, 1) 1, 2) 1, 3)

0.1750000 0.5000000E-01 0.5000000E-01 0.5000000E-01 0.5000000E-01 0.5000000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.1000000 0.1000000 0.1000000 0.1000000 0.1000000 0.1500000 0.1500000 0.1500000 0.1500000 0.1500000 0.1750000 0.1750000 0.1750000 0.1750000 0.1750000 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01


6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7,

1, 4) 1, 5) 2, 1) 2, 2) 2, 3) 2, 4) 2, 5) 3, 1) 3, 2) 3, 3) 3, 4) 3, 5) 4, 1) 4, 2) 4, 3) 4, 4) 4, 5) 5, 1) 5, 2) 5, 3) 5, 4) 5, 5) 6, 1) 6, 2) 6, 3) 6, 4) 6, 5) 7, 1) 7, 2) 7, 3) 7, 4) 7, 5) 8, 1) 8, 2) 8, 3) 8, 4) 8, 5) 9, 1) 9, 2) 9, 3) 9, 4) 9, 5) 10, 1) 10, 2) 10, 3) 10, 4) 10, 5) 1, 1) 1, 2) 1, 3) 1, 4) 1, 5) 2, 1) 2, 2) 2, 3) 2, 4) 2, 5) 3, 1) 3, 2)

0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.5000000E-01 0.5000000E-01 0.5000000E-01 0.5000000E-01 0.5000000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1750000 0.1750000 0.1750000 0.1750000 0.1750000 0.2000000 0.2000000 0.2000000 0.2000000 0.2000000 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.2500000E-01 0.2500000E-01


7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8,

3, 3) 3, 4) 3, 5) 4, 1) 4, 2) 4, 3) 4, 4) 4, 5) 5, 1) 5, 2) 5, 3) 5, 4) 5, 5) 6, 1) 6, 2) 6, 3) 6, 4) 6, 5) 7, 1) 7, 2) 7, 3) 7, 4) 7, 5) 8, 1) 8, 2) 8, 3) 8, 4) 8, 5) 9, 1) 9, 2) 9, 3) 9, 4) 9, 5) 10, 1) 10, 2) 10, 3) 10, 4) 10, 5) 1, 1) 1, 2) 1, 3) 1, 4) 1, 5) 2, 1) 2, 2) 2, 3) 2, 4) 2, 5) 3, 1) 3, 2) 3, 3) 3, 4) 3, 5) 4, 1) 4, 2) 4, 3) 4, 4) 4, 5) 5, 1)

0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1000000 0.1000000 0.1000000 0.1000000 0.1000000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.1500000 0.1500000 0.1500000 0.1500000 0.1500000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1500000


8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9,

5, 2) 5, 3) 5, 4) 5, 5) 6, 1) 6, 2) 6, 3) 6, 4) 6, 5) 7, 1) 7, 2) 7, 3) 7, 4) 7, 5) 8, 1) 8, 2) 8, 3) 8, 4) 8, 5) 9, 1) 9, 2) 9, 3) 9, 4) 9, 5) 10, 1) 10, 2) 10, 3) 10, 4) 10, 5) 1, 1) 1, 2) 1, 3) 1, 4) 1, 5) 2, 1) 2, 2) 2, 3) 2, 4) 2, 5) 3, 1) 3, 2) 3, 3) 3, 4) 3, 5) 4, 1) 4, 2) 4, 3) 4, 4) 4, 5) 5, 1) 5, 2) 5, 3) 5, 4) 5, 5) 6, 1) 6, 2) 6, 3) 6, 4) 6, 5)

0.1500000 0.1500000 0.1500000 0.1500000 0.1750000 0.1750000 0.1750000 0.1750000 0.1750000 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.5000000E-01 0.5000000E-01 0.5000000E-01 0.5000000E-01 0.5000000E-01 0.1500000 0.1500000 0.1500000 0.1500000 0.1500000 0.1750000 0.1750000 0.1750000 0.1750000 0.1750000 0.2000000 0.2000000 0.2000000 0.2000000 0.2000000 0.2250000 0.2250000 0.2250000 0.2250000 0.2250000 0.1750000 0.1750000 0.1750000 0.1750000 0.1750000 0.1750000 0.1750000 0.1750000 0.1750000 0.1750000 0.2000000 0.2000000 0.2000000 0.2000000 0.2000000


9, 7, 1) 9, 7, 2) 9, 7, 3) 9, 7, 4) 9, 7, 5) 9, 8, 1) 9, 8, 2) 9, 8, 3) 9, 8, 4) 9, 8, 5) 9, 9, 1) 9, 9, 2) 9, 9, 3) 9, 9, 4) 9, 9, 5) 9, 10, 1) 9, 10, 2) 9, 10, 3) 9, 10, 4) 9, 10, 5) 10, 1, 1) 10, 1, 2) 10, 1, 3) 10, 1, 4) 10, 1, 5) 10, 2, 1) 10, 2, 2) 10, 2, 3) 10, 2, 4) 10, 2, 5) 10, 3, 1) 10, 3, 2) 10, 3, 3) 10, 3, 4) 10, 3, 5) 10, 4, 1) 10, 4, 2) 10, 4, 3) 10, 4, 4) 10, 4, 5) 10, 5, 1) 10, 5, 2) 10, 5, 3) 10, 5, 4) 10, 5, 5) 10, 6, 1) 10, 6, 2) 10, 6, 3) 10, 6, 4) 10, 6, 5) 10, 7, 1) 10, 7, 2) 10, 7, 3) 10, 7, 4) 10, 7, 5) 10, 8, 1) 10, 8, 2) 10, 8, 3) 10, 8, 4)

0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.1250000 0.5000000E-01 0.5000000E-01 0.5000000E-01 0.5000000E-01 0.5000000E-01 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.1750000 0.1750000 0.1750000 0.1750000 0.1750000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.2500000E-01 0.5000000E-01 0.5000000E-01 0.5000000E-01 0.5000000E-01 0.5000000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.7500000E-01 0.1500000 0.1500000 0.1500000 0.1500000

27 A( A( A( A( A( A(

10, 10, 10, 10, 10, 10,

8, 9, 9, 9, 9, 9,

5) 1) 2) 3) 4) 5)

0.1500000 0.1750000 0.1750000 0.1750000 0.1750000 0.1750000

A( A( A( A( A(

10, 10, 10, 10, 10,

10, 10, 10, 10, 10,

Gambar 1 Status solusi model

1) 2) 3) 4) 5)

0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

28

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Cirebon pada tanggal 7 Mei 1993 sebagai anak pertama dari empat bersaudara, dari pasangan Zaenuddin dan Noneng Sufiati. Tahun 1999 penulis lulus dari TK Al-Hijrah Kabupaten Cirebon. Tahun 2005 penulis lulus dari SDN 3 Klangenan Kabupaten Cirebon. Tahun 2008 penulis lulus dari SMP Plus Pondok Pesantren Al-Aqsha Kabupaten Sumedang. Tahun 2011 penulis lulus dari SMAN 1 Palimanan Kabupaten Cirebon dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan di Departemen Matematika IPB, penulis pernah menjadi asisten dosen mata kuliah Analisis Numerik pada semester ganjil 2014/2015. Selain itu, penulis aktif sebagai Wakil Ketua Umum Organisasi Mahasiswa Daerah (OMDA) Cirebon 2012/2013, Anggota Disivi Pengembangan Sumber Daya Masyarakat Organisasi Mahasiswa Daerah (OMDA) Cirebon 2013/2014, Anggota Divisi Advokasi dan Kesejahteraan Mahasiswa Badan Eksekutif Mahasiswa (BEM) FMIPA IPB 2012/2013, dan Ketua Divisi Internal Badan Eksekutif Mahasiswa (BEM) FMIPA IPB 2013/2014. Penulis juga aktif sebagai panitia beberapa acara, diantaranya sebagai Ketua Divisi Humas Dies Natalis Asrama ke-10 2012, Ketua Pelaksana IPB Goes to School dan Try Out SBMPTN SMA sederajat di Cirebon 2013, G-Faculty Orientation for Scientist (GForce) 2013, Masa Perkenalan Departemen 2013, dan Anggota Divisi Konsumsi Pesta Sains Nasional 2012, 2013, dan 2014.

OPTIMASI RUTE PENGIRIMAN CASH CARTRIDGE ATM MENGGUNAKAN INTEGER LINEAR PROGRAMMING MUHAMMAD DINAR MARDIANA

Recommend Documents