OPERASI GABUNGAN, JOIN, KOMPOSISI DAN HASIL KALI KARTESIAN PADA GRAF FUZZY SERTA KOMPLEMENNYA Tina Anggitta Novia1 dan Lucia Ratnasari2 1,2 Program Studi Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. Soedarto, SH, Semarang, 50275
G : (V ,σ , µ ) is a nonempty set V together with a pair function σ : V → [0,1] and µ : VxV → [0,1] satisfied µ ( uv ) ≤ σ ( u ) ∧ σ ( v ) ∀u, v ∈V . This
Abstract. A fuzzy graphs
paper described about some operations on fuzzy graphs such as union, join, compositions and cartesian product. Complement of union two fuzzy graphs is join of their complement, join complement of two fuzzy graphs is union their complement. Complement of composition two strong fuzzy graphs is composition of their complement, but complement of cartesian product two stong fuzzy graphs is need not cartesian product of their complement. Keywords : cartesian product, complement, compositions, fuzzy graphs, join
1. PENDAHULUAN Teori graf merupakan salah satu bidang bahasan matematika yang mempelajari himpunan titik yang dihubungkan oleh himpunan garis [1], [5]. Himpunan kabur adalah suatu himpunan dimana nilai keanggotaan dari elemennya adalah bilangan riil dalam interval tertutup [0,1] [4]. Teori graf fuzzy pertama kali diperkenalkan oleh Azriel Rosenfeld pada tahun 1975 yang merupakan suatu perluasan dari teori graf dan himpunan kabur (fuzzy set). Seiring dengan perkembangan jaman maka konsep graf fuzzypun juga semakin berkembang. Komplemen graf fuzzy pertama kali diperkenalkan oleh Mordeson yang kemudian disempurnakan oleh M.S. Sunitha dan Vijayakumar. Pada tulisan ini akan dibahas mengenai operasi gabungan, join, komposisi dan hasil kali Cartesian pada graf fuzzy kemudian akan diselidiki komplemennya.
disingkat G : (σ , µ ) adalah sepasang fungsi dengan σ : V → [0,1] i. ii. µ : VxV → [0,1] yang memenuhi µ (uv) ≤ σ (u ) ∧ σ (v ) ∀u, v ∈ V . Contoh 2.1 Misalkan diberikan graf fuzzy G dengan himpunan titik V = {a, b, c, d , e} dan himpunan garis E = {(ab ), (be), (cd ), (ce), (de)}. Derajat keanggotaan dari himpunan titiknya adalah σ (a ) = 0.6 , σ (b) = 0.3 ,σ (c ) = 0.6 , σ (d ) = 0.4 , σ (e) = 0.5 dan derajat keanggotaan dari himpunan garisnya adalah µ (ab) = 0.3 , µ (be) = 0.1 , µ (cd ) = 0.2 maka graf µ (ce ) = 0.5 , µ (de ) = 0.3 , fuzzy G tersebut :
2. GRAF FUZZY Definisi 2.1. [2] Misalkan V himpunan titik berhingga, suatu graf fuzzy yang dinotasikan dengan G : (V ,σ , µ ) atau
159
Tina Angitta Novia dan Lucia Ratnasari (Operasi Gabungan, Join, Komposisi dan Hasil Kali Kartesian …)
G : (σ , µ )
( )
G : σ,µ
Gambar 1. Graf fuzzy
Gambar 3. Komplemen dari garf fuzzy G
Definisi 2.2 [2] Suatu graf fuzzy G : (σ , µ ) adalah graf fuzzy kuat jika ∗ µ (uv ) = σ (u ) ∧ σ (v ), ∀(uv ) ∈ µ . Contoh 2.2 Misalkan diberikan graf fuzzy dengan graf dasarnya
(
G : (σ , µ)
G∗ : σ∗, µ∗
)
Gambar 2. Graf fuzzy G dan graf dasarnya
maka graf fuzzy tersebut merupakan graf fuzzy kuat karena ∗ µ (uv ) = σ (u ) ∧ σ (v ), ∀(uv ) ∈ µ . Definisi 2.3 [3] Komplemen dari suatu graf fuzzy G : (σ , µ ) adalah suatu graf
(
)
fuzzy yang dinotasikan G : σ , µ ,dimana i. σ = σ dan ii. µ (uv ) = σ (u ) ∧ σ (v ) − µ (uv )∀u , v ∈ V
3. OPERASI GABUNGAN, JOIN, KOMPOSISI DAN HASIL KALI KARTESIAN PADA GRAF FUZZY Definisi 3.1 [3] Misalkan G1 : (σ 1 , µ1 ) dan G2 : (σ 2 , µ 2 ) adalah dua graf fuzzy dengan G1 : (V1 , E1 ) dan G 2 : (V2 , E 2 ) V1 ∩ V2 = φ . Misalkan G ∗ = G1∗ ∪ G2∗ = (V1 ∪ V2 , E1 ∪ E2 ) ∗
∗
dan
merupakan gabungan dari G1∗ dan G2∗ , maka gabungan dari graf fuzzy G1 dan G2 adalah sebuah graf fuzzy G = G1 ∪ G2 : (σ 1 ∪ σ 2 , µ1 ∪ µ 2 ) dengan
σ 1 (u ) jika u ∈ V1 σ 2 (u ) jika u ∈ V2
(σ 1 ∪ σ 2 )(u ) = dan
µ1 (uv ) jika uv ∈ E1 µ 2 (uv ) jika uv ∈ E2
(µ1 ∪ µ 2 )(uv ) =
Contoh 3.1 Misalkan diberikan graf fuzzy G1 : (σ 1 , µ1 ) dan G2 : (σ 2 , µ 2 ) :
Contoh 2.3 Misalkan diberikan graf fuzzy pada Contoh 2.1 maka komplemen dari graf fuzzy tersebut adalah : Gambar 4. Graf fuzzy
G1 dan graf fuzzy G2
Sehingga gabungan dari graf fuzzy G1 : (σ 1 , µ1 ) dan G2 : (σ 2 , µ 2 ) adalah 160
Jurnal Matematika, Vol. 13, No. 3, Desember 2010 : 159-167
Teorema 3.1 [3] Misalkan G1 : (σ 1 , µ1 ) dan G2 : (σ 2 , µ 2 ) merupakan 2 graf fuzzy, maka : 1) G1 + G 2 = G1 ∪ G2 G1 ∪ G2
Gambar 5. Gabungan dari graf fuzzy graf fuzzy
G1 dan
G2
Definisi 3.2 [3] Misalkan G1 : (σ 1 , µ1 ) dan G2 : (σ 2 , µ 2 ) adalah dua graf fuzzy dengan G1 : (V1 , E1 ) V1 ∩ V2 = φ ∗
,
dan G 2 : (V2 , E 2 ) . Misalkan ∗
G ∗ = G1∗ + G2∗ = (V1 ∪ V2 , E1 ∪ E 2 ∪ E ') dimana E ' adalah himpunan semua garis yang menghubungkan semua titik dari V1 dan V2 .Maka join dari graf fuzzy G1 dan G2 adalah sebuah graf fuzzy G = G1 + G2 : (σ 1 + σ 2 , µ1 + µ 2 ) dengan (σ 1 + σ 2 )(u ) = (σ 1 ∪ σ 2 )(u ) jika u ∈ V1 ∪ V2 dan (µ 1 ∪ µ 2 )(uv ) jika uv ∈ E 1 ∪ E 2 σ 1 (u ) ∧ σ 2 (v ) jika uv ∈ E '
(µ 1 + µ 2 )(uv ) =
Contoh 3.2 Misalkan diberikan graf fuzzy G1 : (σ 1 , µ1 ) dan G2 : (σ 2 , µ 2 ) pada Contoh 3.1 sehingga join dari kedua graf fuzzy tersebut adalah :
Gambar fuzzy
G2
6. Join dari graf fuzzy
G1 dan graf
2) G1 ∪ G2 = G1 + G2 Bukti : 1) Akan dibuktikan G1 + G 2 = G1 ∪ G 2 , akan dibuktikan σ 1 + σ 2 (u ) = σ 1 ∪ σ 2 (u )
(
bahwa
)
dan µ 1 + µ 2 (uv ) = µ1 ∪ µ 2 (uv ) :
( i ). σ 1 + σ 2 (u ) = (σ 1 + σ 2 )(u ) , dengan definisi dari komplemen
= (σ 1 ∪ σ 2 )(u ) jika u ∈ V1 ∪ V2 σ (u ), jika u ∈ V1 = 1 σ 2 (u ), jika u ∈ V2
σ (u ), jika u ∈ V1 = 1 σ 2 (u ), jika u ∈ V2
(
)
= σ 1 ∪ σ 2 (u )
(
)
Sehingga σ 1 + σ 2 (u ) = σ 1 ∪ σ 2 (u )
( ii ).
( µ + µ ) (uv) = 1
2
(σ1 + σ 2 )( u ) ∧ (σ1 + σ 2 )( v ) − ( µ1 + µ2 )( uv )
(σ 1 ∪ σ 2 )( u ) ∧ (σ 1 ∪ σ 2 )( v ) − ( µ1 ∪ µ2 )( uv ) , jika uv ∈ ( E1 ∪ E2 ) = (σ 1 ∪ σ 2 )( u ) ∧ (σ 1 ∪ σ 2 )( v ) − (σ 1 ( u ) ∧ σ 2 ( v ) ) , jika uv ∈ E '
σ 1 ( u ) ∧ σ 1 ( v ) − µ1 ( uv ) , jika uv ∈ E1 σ 2 ( u ) ∧ σ 2 ( v ) − µ2 ( uv ) , = jika uv ∈ E2 σ u ∧ σ v − σ u ∧ σ v , 2( ) ( 1( ) 2 ( )) 1( ) jika uv ∈ E ' dan u ∈V1 , v ∈V2
161
Tina Angitta Novia dan Lucia Ratnasari (Operasi Gabungan, Join, Komposisi dan Hasil Kali Kartesian …)
µ1 (uv ), jika uv ∈ E1 = µ 2 (uv ), jika uv ∈ E 2 0
µ1 ( uv ) , jika uv ∈ E1 µ ( uv ) , = 2 jika uv ∈ E2 σ ( u ) ∧ σ ( v ) , 1 1 jika u ∈ V1 , v ∈ V2 µ1 ∪ µ2 ( uv ) , jika uv ∈ E1 ∪ E2 = σ 1 ( u ) ∧ σ 1 ( v ) , jika ( uv ) ∈ E '
= µ1 ∪ µ 2 (uv )
Sehingga µ 1 + µ 2 (uv ) = µ1 ∪ µ 2 (uv ) Dari (i) dan (ii) terbukti G1 + G2 = G1 ∪ G2 2) Akan dibuktikan bahwa G1 ∪ G2 = G1 + G2 , yaitu ditunjukkan σ 1 ∪ σ 2 (u ) = σ 1 + σ 2 (u )
(
(
)
(
)
)
= µ1 + µ2 ( uv )
)
( i ). σ 1 ∪ σ 2 (u ) = (σ 1 ∪ σ 2 )(u ) dengan definisi komplemen
(
)
(ii)
terbukti
Sehingga µ 1 ∪ µ 2 (uv ) = µ1 + µ 2 (uv )
dan
µ1 ∪ µ 2 (uv ) = µ1 + µ 2 (uv ) ,
Dari (i) dan G1 ∪ G 2 = G1 + G 2 .
σ 1 (u ), jika u ∈ V1 = σ 2 (u ), jika u ∈ V2
Dari 1 dan 2 terbukti bahwa komplemen dari join 2 graf fuzzy merupakan gabungan dari komplemennya dan komplemen dari gabungan 2 graf fuzzy merupakan join dari gabungannya .
( = (σ
Contoh 3.3 Misalkan diberikan graf fuzzy G1 : (σ 1 , µ1 ) dan G2 : (σ 2 , µ 2 ) pada Contoh 3.1
σ (u ), jika u ∈ V1 = 1 σ 2 (u ), jika u ∈ V2
) )(u )
= σ 1 ∪ σ 2 (u ) 1
+σ2
(
)
Sehingga σ 1 ∪ σ 2 (u ) = σ 1 + σ 2 (u )
(ii).
(
µ1 ∪ µ2 ( uv)
= (σ1 ∪σ2 )( u) ∧ (σ1 ∪σ2 )( v) − ( µ1 ∪ µ2 )( uv)
σ 1 ( u ) ∧ σ 1 ( v ) − µ1 ( uv ) , jika uv ∈ E1 σ 2 ( u ) ∧ σ 2 ( v ) − µ 2 ( uv ) , = jika uv ∈ E2 σ ( u ) ∧ σ ( v ) − 0, 1 1 jika u ∈ V1 , v ∈ V2 dan uv ∈ E '
1)
Akan ditunjukkan G1 + G2 = G1 ∪ G2 ,
( i ). G1 + G2 Gambar join dari dua graf fuzzy diatas dapat dilihat pada Gambar 6 di Contoh 3.2, sehingga G1 + G2 =
G1 + G2
162
bahwa
Jurnal Matematika, Vol. 13, No. 3, Desember 2010 : 159-167
Gambar 7. Komplemen dari join graf fuzzy dan graf fuzzy
( ii ).
G1
G2
G1 dan G2 G1 ∪ G2
Gambar 11. komplemen dari gabungan graf fuzzy G1 dan graf fuzzy G2
G2 G1 Gambar 8. Komplemen dari graf fuzzy graf fuzzy
G1 dan
G2
G1 ∪ G2 =
G1 ∪ G2 Gambar 9. gabungan dari komplemen graf fuzzy G1 dan graf fuzzy G2
Sehingga dari (i) dan (ii) diperoleh G1 + G2 = G1 ∪ G2 2) Akan ditunjukkan bahwa G1 ∪ G2 = G1 + G2 , ( i ). G1 ∪ G2 Gambar gabungan dari dua graf fuzzy diatas dapat dilihat pada Gambar 5 di Contoh 3.1, sehingga
( ii ). Gambar komplemen G1 dan komplemen G2 dari dua graf fuzzy diatas dapat dilihat pada Gambar 11, sehingga G1 + G2 =
G1 + G2
Gambar 12. Join dari komplemen graf fuzzy G1 dan graf fuzzy
Sehingga dari (i) dan (ii) diperoleh G1 ∪ G2 = G1 + G2 . Sehingga dari 1 dan 2 terbukti bahwa komplemen dari join 2 graf fuzzy merupakan gabungan dari komplemennya dan komplemen dari gabungan 2 graf fuzzy merupakan join dari gabungannya . Definisi 3.3. [3] Misalkan G1 : (σ 1 , µ1 ) dan G2 : (σ 2 , µ 2 ) adalah dua graf fuzzy dengan G1 : (V1 , E1 ) V1 ∩ V2 = φ ∗
G1 ∪ G2
=
G2
,
dan G 2 : (V2 , E 2 ) dan misalkan ∗
G ∗ = G1∗ o G2∗ = (V1 × V2 , E ) adalah komposisi dari dua graf, dimana E = {(u , u2 )(u , v2 ) : ∀u ∈V1 , ∀u 2v2 ∈ E2 } ∪ {(u1 , w)(v1 , w) : ∀w ∈V2 , ∀u1v1E1} ∪ {(u1 , u 2 )(v1 , v2 ) : u1v1 ∈ E1 , u2 ≠ v2 }
163
Tina Angitta Novia dan Lucia Ratnasari (Operasi Gabungan, Join, Komposisi dan Hasil Kali Kartesian …)
Maka komposisi dari graf fuzzy G = G1 o G2 = (σ1 o σ 2 , µ1 o µ2 ) adalah graf fuzzy yang di definisikan oleh :
(σ 1 o σ 2 )(u1 , u2 ) = σ 1 (u1 ) ∧ σ 2 (u2 ), ∀(u1 , u2 ) ∈V1 × V2
Misalkan G = G1 o G2 = G : (σ , µ ) dimana σ = σ 1 o σ 2 , µ = µ1 o µ 2
( )
G : σ , µ = G1 o G 2 , dimana
( ) G : (σ , µ ) = G = (V , E ); G : (σ , µ ) = G = (V , E ); µ = µ1 o µ 2 dan G ∗ = V , E 1
dan
1
∗ 1
1
1
∗ 2
1
(µ1 o µ2 )((u, u2 )(u, v2 )) = σ1 (u ) ∧ µ2 (u2v2 ), ∀u ∈ V1 , ∀u2v2 ∈ E2
;
(µ1 o µ2 )((u1 , w)(v1, w)) = σ 2 (w ) ∧ µ1 (u1v1 ), ∀w ∈ V2 , ∀u1v1 ∈ E1
dan G1 o G 2 : σ 1 o σ 2 , µ 1 o µ 2
;
Untuk pembuktian di bawah ini garis yang menghubungkan dua titik di notasikan dengan e . Untuk membuktikan µ 1 o µ 2 = µ1 o µ 2 dibuktikan dalam beberapa kasus Kasus 1. e = (u, u 2 )(u , v2 ), u 2 v2 ∈ E2 karena e ∈ E dan G graf fuzzy kuat maka µ (e ) = 0 . Juga µ 1 o µ 2 (e ) = 0
2
2
2
2
2
(
(µ1 o µ2 )((u1 , u2 )(v1, v2 )) = σ 2 (u 2 ) ∧ σ 2 (v2 ) ∧ µ1 (u1v1 ), ∀(u1, u2 )(v1, v2 ) ∈ E − E ' ' dimana
E ' ' = {(u, u2 )(u, v2 ) : ∀u ∈ V1 , ∀u2v2 ∈ E2 }
∪ {(u1 , w)(v1 , w) : ∀w ∈ V2 , ∀u1v1 ∈ E1}
(
Contoh 3.4 Misalkan diberikan graf fuzzy G1 : (σ 1 , µ1 ) dan G2 : (σ 2 , µ 2 ) pada Contoh 3.1 sehingga komposisi dari kedua graf fuzzy tersebut adalah :
karena u 2 v 2 ∉ E 2 .
)
)
(
)
sehingga (µ1 o µ 2 )(e ) = µ1 o µ 2 (e ) Kasus 2. e = (u , u 2 )(u , v2 ), u 2 v2 ∉ E 2 karena e ∉ E , sehingga µ (e) = 0 ,
µ (e ) = σ (u, u 2 ) ∧ σ (u , v 2 ) − µ (e ) = σ (u , u 2 ) ∧ σ (u , v 2 ) − 0 = σ (u, u 2 ) ∧ σ (u , v 2 ) = (σ 1 (u ) ∧ σ 2 (u 2 )) ∧ (σ 1 (u ) ∧ σ 2 (v 2 )) = σ 1 (u ) ∧ σ 2 (u 2 ) ∧ σ 2 (v 2 ),
dan karena
G1 o G2
Gambar 13. Komposisi dari graf fuzzy graf fuzzy
G1 dan
1
)
o µ 2 (e ) = σ 1 (u ) ∧ µ 2 (u 2 v 2 )
G2
maka G1 o G2 = G1 o G2 . Bukti : Untuk membuktikan G1 o G2 = G1 o G2 ,
= σ 1 (u ) ∧ σ 2 (u 2 ) ∧ σ 2 (v 2 )
= µ (e )
Teorma 3.2. [3] Misalkan G1 (σ 1 , µ1 ) dan G2 (σ 2 , µ 2 ) adalah dua graf fuzzy kuat
164
(µ
u2 v2 ∈ E2 , maka
(
)
sehingga (µ1 o µ 2 )(e ) = µ1 o µ 2 (e ) Kasus 3. e = (u1 , w)(v1 , w), u1v1 ∈ E1 karena e ∈ E , maka µ (e ) = 0 .
bahwa
Kemudian,
(µ
1
)
u1 v1 ∉ E1
karena
o µ 2 (e ) = 0 ,
(
)
sehingga (µ1 o µ 2 )(e ) = µ1 o µ 2 (e )
maka
Jurnal Matematika, Vol. 13, No. 3, Desember 2010 : 159-167
Contoh 3.6 Misalkan diberikan dua graf G1 dan G2 yang merupakan graf fuzzy kuat , yaitu :
Kasus 4. e = (u1 , w)(v1 , w), u1v1 ∉ E1 karena e ∉ E , maka µ (e) = 0 dan
µ (e ) = σ (u1 , w) ∧ σ (v1 , w ) − µ (e ) = σ (u1 , w) ∧ σ (v1 , w ) − 0 = σ (u1 , w) ∧ σ (v1 , w ) = σ 1 (u1 ) ∧ σ 1 (v1 ) ∧ σ 2 (w),
Gambar 14. Graf fuzzy kuat
dan karena u1 v1 ∈ E1 di dapat
(
G2
G1
fuzzy kuat
G1 dan Graf
G2
)
sehingga (µ1 o µ 2 )(e ) = µ1 o µ 2 (e )
µ 1 o µ 2 (e ) = σ 2 (w) ∧ µ1 (u1v1 ) = σ 2 (w ) ∧ σ 1 (u1 ) ∧ σ 1 (v1 ),
maka,
= µ (e )
Kasus 5. e = (u1 , u 2 )(v1 , v2 ), u1v1 ∈ E1 dan u 2 ≠ v2
karena e ∈ E , maka µ (e ) = 0 , Kemudian,
(µ
1
)
u1 v1 ∉ E1
karena
o µ 2 (e ) = 0 ,
(
maka
)
sehingga (µ1 o µ 2 )(e ) = µ1 o µ 2 (e ) Kasus 6. e = (u1 , u 2 )(v1 , v2 ), u1v1 ∉ E1 dan u 2 ≠ v2 karena e ∉ E , maka µ (e) = 0
G1 o G2
Gambar 15. Komposisi dari graf fuzzy kuat dan graf fuzzy kuat
G1
G2
µ (e ) = σ (u1 , u 2 ) ∧ σ (v1 , v 2 ) − µ (e ) = σ (u1 , u 2 ) ∧ σ (v1 , v 2 ) − 0 = σ (u1 , u 2 ) ∧ σ (v1 , v 2 ) = σ 1 (u1 ) ∧ σ 1 (v1 ) ∧ σ 2 (u 2 ) ∧ σ 2 (v 2 )
dan karena u1 v1 ∈ E1 , di dapat
µ1 o µ 2 = µ (u1v1 ) ∧ σ 2 (u 2 ) ∧ σ 2 (v 2 ) = σ 1 (u1 ) ∧ σ 1 (v1 ) ∧ σ 2 (u 2 ) ∧ σ 2 (v 2 ),
G1 o G 2
Gambar 16. komplemen dari komposisi dua graf fuzzy kuat
= µ (e )
(
)
sehingga (µ1 o µ 2 )(e ) = µ1 o µ 2 (e ) Dari kasus 1 sampai kasus 6, ini membuktikan bahwa G1 o G2 = G1 o G2 .
G2
G1
Gambar 17. Komplemen dari graf fuzzy kuat graf fuzzy kuat
G1
G2 165
Tina Angitta Novia dan Lucia Ratnasari (Operasi Gabungan, Join, Komposisi dan Hasil Kali Kartesian …)
(U1,V2)(0.5)
(U1,V1)(0.5) 0.5 0.5 (U3,V2)(0.7)
(U2,V1)(0.6)
0.5 0.5
G1 × G2 (U3,V1)(0.8)
(U2,V2)(0.6)
G1 o G2 Gambar 18. Komposisi dari komplemen 2 graf fuzzy kuat
Sehingga didapat bahwa jika G1 dan G2 merupakan graf fuzzy kuat maka G1 o G2 = G1 o G2 , Definisi 3.4 [3] Misalkan G1 : (σ 1 , µ1 ) dan G2 : (σ 2 , µ 2 ) adalah dua graf fuzzy dengan G1 : (V1 , E1 ) V1 ∩ V2 = φ ∗
,
dan G 2 : (V2 , E 2 ) . Misalkan ∗
Gambar 19. Cartesian product dari graf fuzzy dan graf fuzzy
G1
G2
Misalkan G1 (σ 1 , µ1 ) dan G2 (σ 2 , µ 2 ) adalah dua graf fuzzy kuat, maka tidak selalu berlaku G1 × G 2 = G1 × G 2 . Contoh 3.8 Misalkan di berikan graf fuzzy kuat G1 (σ 1 , µ1 ) dan G2 (σ 2 , µ 2 ) pada Contoh 3.6 pada Gambar 14 , maka cartesian product-nya adalah
G ∗ = G1∗ × G2∗ = (V , E ' ') adalah cartesian product dari dua graf dimana V = V1 × V2 dan E ' ' = {(u , u 2 )(u , v 2 ) : ∀u ∈ V1 , ∀u 2 v 2 ∈ E 2 }
∪ {(u1 , w)(v1 , w) : ∀w ∈ V2 , ∀u1v1 ∈ E1 }
. G ×G maka cartesian product dari Gambar 20. Cartesian product dari graf fuzzy G1 G = G1 × G2 : (σ 1 × σ 2 , µ1 × µ 2 ) adalah dan graf fuzzy G2 graf fuzzy yang di definisikan oleh : (σ 1 × σ 2 )(u1 , u 2 ) = σ 1 (u1 ) ∧ σ 2 (u 2 ) ∀(u1 , u 2 ) ∈ V Akan ditunjukkan bahwa jika G1 (σ 1 , µ1 ) dan G2 (σ 2 , µ 2 ) adalah dua graf fuzzy dan kuat, tidak selalu berlaku µ1 × µ 2 ((u , u 2 )(u , v 2 )) = G1 × G2 = G1 × G2 , σ 1 (u ) ∧ µ 2 (u 2 v 2 ) , ∀u ∈ V1 , ∀u 2 v 2 ∈ E2 1
2
µ1 × µ 2 ((u1 , w )(v1 , w)) = σ 2 (w) ∧ µ1 (u1v1 ) , ∀w ∈ V2 , ∀u1v1 ∈ E1 Cotoh 3.7 Misalkan diberikan graf fuzzy G1 : (σ 1 , µ1 ) dan G2 : (σ 2 , µ 2 ) pada Contoh 3.1, sehingga Cartesian product dari kedua graf fuzzy tersebut adalah :
166
G1 × G2
Gambar 21. Komplemen dari Cartesian product dua graf fuzzy kuat
Jurnal Matematika, Vol. 13, No. 3, Desember 2010 : 159-167
berdasarkan komplemen graf fuzzy kuat G1 dan graf fuzzy kuat G2 pada Gambar 21, maka diperoleh :
G1 ×G2 Gambar 22. Cartesian product dari komplemen dua graf fuzzy kuat G1 dan graf fuzzy kuat G2
Sehingga didapat bahwa jika G1 (σ 1 , µ1 ) dan G2 (σ 2 , µ 2 ) adalah dua graf fuzzy kuat, maka tidak selalu berlaku G1 × G2 = G1 × G2 . 4. PENUTUP Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan diperoleh: 1. Komplemen dari gabungan dua graf fuzzy adalah join dari komplemennya.
2. Komplemen dari join dua graf fuzzy adalah gabungan dari komplemennya. Komplemen dari komposisi dua graf fuzzy kuat adalah komposisi dari komplemennya. 3. Jika terdapat dua graf fuzzy kuat, tidak selalu berlaku komplemen dari hasil kali Cartesian dua graf fuzzy adalah hasil kali Cartesian dari komplemennya. 5. DAFTAR PUSTAKA [1] Chartrand, G dan L. Lesniak., (1996), Graphs & Digraphs. New York : Drew University [2] Mordeson, J.N, & Nair , P., (2000), Fuzzy graphs and Fuzzy hypergraphs. Physica-Verlag : New York. [3] Sunita, M.S dan A. Vijaya Kumar, (2002), Complement of A Fuzzy Graph. Indian J. Pure Applied Mathematical, 33:9 hal 1451 – 1464. [4] Susilo, F., (2006), . Himpunan dan Logika Kabur serta Aplikasinya. Yogyakarta : Graha Ilmu. [5] Wilson, J. et. al., (1990), Graphs An Introductory Approach. New York : University Course Graphs, Network, and Design.
167
