OpenGL és a mátrixok

Mátrix műveletek Lineáris transzformációk Affin transzformációk Homogén koordináta Mátrixműveletek OpenGL-ben

OpenGL és a mátrixok Róth Gergő

2013. március 4.

Róth Gergő

1/20


A rajzoláskor a videókártya minden csúcson végrehajt egy transzformációt. Mire jó? I

Kamera helyének beállítása

I

Egy objektum több pozícióra is kirajzolható

I

Egy objektum több méretben is kirajzolható

I

Egy objektum több szemszögből is kirajzolható

I

A transzformációk nem a CPU-n, hanem a GPU-n hajtódnak végre, ezáltal gyorsabb (párhuzamos végrehajtás)

2D / 3D grafikában minden transzformáció egy mátrixműveletnek felel meg. Róth Gergő

2/20


Skalárszorzás Összeadás Mátrixszorzás

Mátrix szorzása skalárral

Róth Gergő

3/20



Mátrixok összeadása I

Csak ugyanolyan méretű mátrixokat tudunk összeadni

Róth Gergő

4/20



Mátrix szorzása mátrixszal I I I

I

n x m méretű mátrixot csak m x p méretűvel tudunk beszorozni Az eredmény n x p dimenziókkal rendelkező mátrix A művelet nem kommutatív, vagyis nem lehet felcserélni az operandusokat: A * B != B * A A művelet asszociatív (csoportosítható): (A * B) * C = A * (B * C)

Róth Gergő

5/20


Egységmátrix Átméretezés Forgatás

N dimenziós koordinátát nxn méretű négyzetes mátrixszal tudunk transzformálni:     v0 a0 a3 a6 a1 a4 a7  ∗ v1  v2 a2 a5 a8

Róth Gergő

6/20



Egységmátrix (identity matrix):

1 0 v v ∗ 0 = 0 0 1 v1 v1

      v0 1 0 0 v0 0 1 0 ∗ v1  = v1  v2 v2 0 0 1

Róth Gergő

7/20



Átméretezés az origo középpontjából (scale):

sx 0

 sx 0 0

0 v0 sx ∗ v0 ∗ = sy v1 sy ∗ v1 0 sy 0

     sx ∗ v0 0 v0 0  ∗ v1  = sy ∗ v1  v2 sz ∗ v2 sz

Róth Gergő

8/20



Forgatás 2 dimenzióban az origo körül (rotate):

cos(α) −sin(α) sin(α) cos(α)

Róth Gergő

9/20



Forgatás 3 dimenzióban az origon átmenő egységvektor (l, m, n) körül (rotate):

Róth Gergő

10/20



A lineáris transzformációk halmozhatók. Példa (R - rotate, S - scale): rotate, scale, rotate, rotate M=R*R*S*R Elég csak M-et átadni a GPU-nak. Egyetlen szorzással (M * v) elvégezhető az összes transzformáció.

Róth Gergő

11/20


Eltolás

Eltolás (translate): tx v0 tx + v0 + = ty v1 ty + v1       tx + v0 v0 tx ty  + v1  = ty + v1  tz + v2 v2 tz

Róth Gergő

12/20


Eltolás

Mi a baj az eltolással? Nem halmozható, mivel az eltolást az összeadással lehet elvégezni, a többit pedig szorzással. Példa: (R - rotate, S - scale, T - translate): translate, rotate, scale, translate, scale, rotate M != R * S * T * S * R * T

Róth Gergő

13/20


I

A koordináták kiegészülnek egy újabb komponenssel: w

I

2D: (x, y) -> (wx, wy, w)

I

3D: (x, y, z) -> (wx, wy, wz, w)

I

Kezdetben általában egynek veszik w értékét

I

Homogén koordinátákkal elvégezhető az eltolás mátrixszorzással, így ez a transzformáció is halmozhatóvá válik.

Róth Gergő

14/20


Az eltolás mátrixa:       1 0 tx v0 tx + v0 0 1 ty  ∗ v1  = ty + v1  0 0 1 1 1  1 0  0 0

0 1 0 0

    tx v0 0 tx v1  ty 0 ty  ∗ = 1 tz  v2  tz 0 1 1

 + v0 + v1   + v2  1

Róth Gergő

15/20


Aktuális mátrix Vetítési mátrix Transzformációk Mátrixverem

OpenGL-ben léteznek beépített mátrixok (mindegyik mérete 4x4): I

Modelview matrix: M

I

Projection matrix: P

A csúcs tényleges helyét a következőképpen kapjuk meg: O=P*M*v

Róth Gergő

16/20



Amikor mátrixműveleteket végzünk OpenGL-el, akkor mindig az aktuális mátrixon végzünk utószorzást. Az aktuális mátrixot be tudjuk állítani a glMatrixMode(..) paranccsal. Paraméterei lehetnek: GL_MODELVIEW vagy GL_PROJECTION Egységmátrix betöltése: glLoadIdentity()

Róth Gergő

17/20



glMatrixMode(GL_PROJECTION) I

glOrtho(left, right, bottom, top, near, far) // ortogonális (merőleges) vetítés

I

gluPerspective(angle, x / h, near, far) // perspektivikus (a végtelenben az élek összetartanak) vetítés

Róth Gergő

18/20



Forgatás origon átmenő egységvektor (x, y, z) körül: glRotatef(angle, ax , ay , az ) Eltolás: glTranslatef(tx , ty , tz ) Átméretezés: glScalef(sx , sy , sz )

Róth Gergő

19/20



I

Állapot elmentése: glPushMatrix()

I

Állapot visszatöltése: glPopMatrix()

Róth Gergő

20/20

OpenGL és a mátrixok

Recommend Documents