Oleh : Sutopo, S.Pd., M.Pd. Prodi P Mat-Jurusan PMIPA FKIP UNS
Materi KKD I Konsep dasar geometri dan segitiga (termasuk teorema dan aksioma terkait) KKD II Poligon dan Lingkaran (sifat dan luas) KKD III Bangun Ruang I (konsep dasar Lukisan, dan bidang iris) KKD IV Bangun Ruang II (Luas dan Volume)
Pelaksanaan Ujian KKD Jika Ujian I Nilai Kurang dari 60 maka Mhs dapat mengikuti remidi maks 1 kali Mhs yang remidi tetap mengikuti Perkuliahan pada KKD berikutnya Nilai Remidi Maksimal 60 Syarat mengikuti ujian, mhs wajib hadir minimal 75%, tiap tatap muka KKD
SISTEM PERKULIAHAN
PENILAIAN KKD I =25% KKD II =25% KKD III =25% KKD IV =25% Total = 100% NA = (N KKD I + N KKD II + N KKD III + N KKD IV)/4 Nilai : A : NA 80 B : 70 NA 79 C : 60 NA 69 D : 40 NA 59 E : NA < 40
REFERENSI Haryono DW. 1993. Geometri. Surakarta : UNS PRESS H.S.M. Coxeter, F.R.S. 1963. Introduction to Geometri New York : John Wiley & Sons. H.S.M. Coxeter, F.R.S. 1967. Geometry Revisited. The Mathematical Association of America
BAB I DASAR-DASAR GEOMETRI A. Pengertian Geometri Geometri berasal dari bahasa latin “ Geometria”, Geo : Tanah dan Metria : Ukuran. Geometri di Indonesia diterjemahkan Ilmu Ukur. Geometri : Cabang Matematika yang mempelajari titik, garis, bidang dan benda-benda ruang beserta sifat, ukuran dan hubungannya dengan yang lain. Objek Geometri : Benda pikir yang berasal dari benda nyata yang diabstraksikan dan di Idialisasikan. Diabstraksikan : tidak diperhatikan warna, bau, suhu dan sifat-sifat yang lain. Diidialisasikan : Dianggap sempurna.
B. Sistem Deduktif Aksiomatik Pengertian Pangkal
Definisi
Aksioma/Postulat
Dalil/Teorema Definisi
dst
Dalil/Teorema
Lemma
Aksioma/Postulat
Pengertian Pangkal (Unsur primitif) : Unsurunsur yang tidak perlu didefinisikan. Hal ini diperlukan agar tidak terjadi perputaran dalam definisi. Contoh : titik, garis, bidang dst. Definisi : Ungkapan yang digunakan untuk membatasi konsep. Ciri dalam definisi adalah berlaku biimplikasi. Contoh : Segiempat disebut jajar genjang jika dan hanya jika sisi-sisi yang berhadapan sejajar. Konsep : Ide abstrak yang digunakan untuk mengklasifikasikan sesuatu. Contoh : Jajar genjang, persegipanjang dll.
Aksioma : pernyataan yang secara langsung dapat diterima kebenarannya. Dalil/Teorema : Pernyataan yang harus dibuktikan kebenarannya.
Beberapa Pengertian Pangkal a. Titik Titik disajikan dengan huruf kapital A, B, C, ... Contoh : A : Titik A Antara titik yang satu dgn yg lain memenuhi relasi kongruensi b. Garis Garis disajikan dengan huruf kecil, misal a, b, g dst.
Perhatikan : Garis AB atau garis g g
AB
atau
B
A
Beberapa Aksioma : Aksioma 1.1 : Setiap garis adalah himpunan titik-titik. Aksioma 1.2 : Untuk sebarang dua titik yang berbeda, terdapat tepat satu garis yang memuat dua titik tersebut. Aksioma 1.3 : Setiap garis memuat paling sedikit dua titik yang berbeda. Aksioma 1.4 : Untuk suatu garis tertentu, minimal ada satu titik yang tidak terletak pada garis tersebut.
Definisi : Sebarang himpunan yang memuat paling sedikit dua titik yang merupakan himpunan bagian dari suatu garis disebut himpunan kolinier. Kolinier : Segaris. 3. Relasi Urutan Antara (between) : Relasi teknik yg tidak didefinisikn Suatu titik B yang terletak diantara A dan C disajikan dengan (A, B, C). Aksioma 1.5 : (A, B, C) Jhj (C, B, A) Aksioma 1.6 : Jika (A, B, C) maka A, B, dan C berbeda dan kolinier. Aksioma 1.7 : Jika A, B, C berbeda dan kolinier maka dipenuhi tepat satu dari sifat berikut : (A, B, C) atau (B, C, A) atau (C, A, B)
Teorema 1.1 : Jika (A, B, C) dan (A, C, D) maka A, B, C, dan D berbeda dan kolinier Bukti : Menurut Aks 1.6 bahwa (A, B, C) berarti A, B, C berbeda dan kolinier, demikian juga (A, C, D). Jika D=B maka (A, C, D) menjadi (A, C, B) hal ini kontrakdisi dengan aks 1.7. Akibatnya A, B, C dan D berbeda. Perhatikan Aks 1.2. Terdapat satu grs yang melalui A dan C. Karena B dan D terletak pada garis tersebut maka A, B, C dan D kolinier. Teorema berikut dapat digunakan sebagai latihan : o Teorema 1.2 : Jika (A, B, C) dan (A, C, D) maka (A, B, C, D) o Teorema 1.3 : Jika (A, B, C) dan (B, C, D) maka (A, B, C, D) o Teorema 1.4 :
a. Jika (A, B, D) dan (A,C,D) dan B C maka (A, B,C) atau (A, C, D). b. Jika (A,B,C) dan (A, B,D) dan C D maka (B, C, D) atau (B, D, C). c. Jika (A, B,C) dan (A,B, D) dan C D maka (A, D, C) atau (A, C, D).
Definisi: Misalkan O dan A dengan (O A) terletak pada garis g . S 1 : Himp semua titik g yg memuat A dan X sedemikian sehingga (O, X, A) atau (O, A, X) dan S 2 : Himp semua titik X sedemikian sehingga (X, O, A). S 1 dan S 2 disebut setengah garis (half line) dari garis g terhadap O. Definisi : Jika S 1 dan S 2 saling asing, berlaku : Untuk sebarang titik A pd S 1 dan B pada S 2 terdapat suatu titik dalam S (S = S 1 S 2). Untuk Sebarang dua elemen A dan B dalam himpunan yang sama tidak terdapat dari S yang terletak diantaranya, maka dikatakan S memisahkan S 1 sdan S 2.
4. Segmen garis. Definisi : Ditentukan dua titik A dan B yang berbeda. Himp semua titik X sedemikian sehingga (A, X, B) disebut segmen. Segmen garis AB disajikan A
x
B
Segmen AB dengan A dan B sebagai Ujung Perhatikan: Segmen AB bersifat terbuka dan kontinu
Teorema 1.5 : A dan B bukan elemen AB 1.6 : AB = BA 1.7 : AB adalah subset dari AB 1.8 : Jika AB = CD maka A=C dan B=D atau C = B dan A = D 1.9 : Ditentukan AB dan (A, P, B). AP dan PB adalah subset dari AB Buktikan teorema 1.11.
Bukti : Diketahui AB dan (A, P, B), berarti P terletak diantara A dan B. Adib segmen AP subset dari segmen AB. Misalkan X adalah titik sebarang pada AP. Karena A, P, B kolinier maka x terletak pada segmen AB. Jadi karena setiap titik pada AP juga terletak pada segmen AB maka segmen AP subset segmen AB. Dengan Cara yang sama dpt ditunjukkan untuk segmen PB.
5. Aksioma Pasch Jika A, B, C adalah tiga titik yang berbeda dan tidak kolinier, g adalah sebarang garis yang tidak melalui A, B dan C, dan g memuat satu titik pada segmen AC maka g juga memuat satu titik pada segmen BC atau AB. Perhatikan : A B g C Teorema 1.10 : Jika A, B, C titik yang berbeda dan tidak kolinier, sebarang garis g yang memuat titik pada segmen AB dan AC pastilah tidak memuat titik pada segemen BC.
6. Himpunan Konveks Definisi : Himpunan S disebut himpunan konveks jika sebarang dua titik P dan Q anggota S maka segmen PQ terletak dalam S. Contoh : Setiap segmen garis adalah himpunan konveks A
P
Q
B
7. Sinar Definisi : Sinar adalah himpunan semua titik pada suatu garis yang terletak sepihak dengan O. Atau garis yang ditarik dari sebuah titik kearah titik lain. Contoh : O A B Sinar AB atau AB Titik A disebut pangkal dan arah AB disebut arah sinar.
8. Sudut. Definisi : Ditentukan 2 sinar berbeda yang tidak kolinier, misalkan dengan titik pangkal Y. Union dari dua sinar tersebut bersama titik pangkalnya disebut sudut.
Titik Y disebut titik Sudut dan sinar-sinar tersebut disebut kaki sudut. Penyajian sudut diatas dengan sudut [XYZ] atau sudut [ZYX] Sedang besar sudut dinyatakan dengan XYZ atau Y.
Dlm pemb sudut [XYZ] disajikan dgn XYZ Sudut dalam (interior) PQR adlh daerah seperti pd gamb berikut. Himpunan S (himpunan titik-2) adalah sudut dalam PQR.
Sudut Luar adalah daerah seperti yang ditunjukkan gb berikut.
a. Putaran (rotasi) C A
B
Jika sebuah sinar diputar pada titik pangkalnya (dari posisi AB ke AC) maka terbentuk sudut BAC. Besarnya sudut yang terbentuk tergantung seberapa besar memutar sinar Awalnya.
b.
Ukuran Sudut.
Besar suatu sudut adalah besar jarak putar kedua sisinya. Untuk menyatakan besar sudut digunakan derajat. Satu putaran ada 360 *) Sudut siku-siku adalah sudut yang besarnya 90 , *) Sudut lurus adalah sudut yang besarnya 180 . *) Sudut lancip adalah sudut yang besarnya antara 0 dan 90 *) Sudut tumpul adalah sudut yang besarnya antara 90 dan 180 . Latihan :1. Lukislah sudut 90 , sudut 30 dan 60 hanya dengan jangka dan penggaris.
c. Sudut berkomplemen yaitu dua sudut yang jumlahnya 90
Dari contoh tersebut, Jika sudut a dan b saling komplemen maka jika besar sudut a= 30 maka sudut b adalah 60.
d. sudut bersuplemen (berpelurus) B C
O
A
AOB dan BOC diktkn saling bersuplemen (berpelurus) e. Sudut bersisian Sudut-sudut yang bersisian adalah dua sudut yang mempunyai titik sudut yang sama dan sebuah sisi yang berimpit yang terletak diantara dua sisi yang lain. A B O
AOB dan
C
BOC adalah saling bersisian.
9. Bidang Bidang tidak didefinisikan. Bidang dibedakan menjadi dua, yaitu bidang datar dan bidang lengkung. Suatu bidang disajikan dengan huruf kecil u, v, w dan seterusnya atau dengan huruf , , , ... Contoh: w v
Bidang Datar
bidang Lengkung
Beberapa Aksioma Aksioma 1.8 : Melalui tiga titik yang berbeda sekurang-kurangnya dapat dibuat satu bidang datar. Aksioma 1.9 : Jika ada 2 titik yang berbeda dan terletak pada bidang datar maka garis yang melalui dua titik tersebut terletak pada bidang 10. Kedudukan dua garis
a. Dua garis berpotongan Definisi : Dua garis dikatakan berpotongan jika dan hanya jika mempunyai tidak lebih dari satu titik persekutuan.
Perhatikan gb berikut. 3
2 P
4
g
1 l
Perhatikan Kedudukan sudut P1 dan sudut P3 serta sudut P2 dan sudut P4 saling bertolak belakang. Teorema: Dua sudut yang bertolak belakang besarnya sama Bukti: Akan dibuktikan bahwa P1 = P3. Sudut P1 dan P2 saling berpelurus sehingga P1+ P2 = 180 Demikian jg sdt P2 dan P3 saling berpelurus shg P2 + P3 = 180 Akibatnya P1 + P2 = P2 + P3 shg P1 = P3. Jadi terbukti Dengan cara yang sama dapat dibuktikan P2 = P4
Sudut potong adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh kedua garis yang berpotongan.
SEGITIGA Definisi: Misalkan diberikan 3 titik A, B, C yang tidak kolinier. Himpunan yang merupakan Union dari himpunan yang memuat A, B dan C saja dan bersama dengan segmen AB, AC, dan BC disebut segitiga.
