Obsah. Úvod do měření

Obsah Úvod do měření 1 2 3

4

5

6

7

Fyzikální veličiny a jejich jednotky Měřicí metody Chyby měření

5 8 11

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

11 12 13 14 17

Hrubé chyby Soustavné (systematické chyby Chyby měřicích přístrojů Náhodné chyby Chyby nepřímých měření

Vyhodnocení naměřených funkčních závislostí

19

4.1 4.2 4.3 4.4

20 21 24 25

Lineární závislost Exponenciální a mocninná závislost Zásady tvorby grafů Grafy v Excelu

Práce v laboratoři

28

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

28 29 30 31 33

Teoretická příprava na měření Testy ve fyzikálním praktiku Zapojování obvodů Bezpečnost práce Vlastní měření

Pokyny ke zpracování naměřených hodnot

34

6.1 Příklady 6.2 Vypracování protokolu o měření

36 38

Měřicí přístroje a zdroje

39

00 / 1

Milí studenti, součástí základního kursu Fyzika na fakultách FEKT a FIT VUT je kromě teoretického také laboratorní cvičení, kterým Vás budou provázet tato skripta. Jsou rozdělena na dvě části. V první z nich – Úvodu do měření – najdete informace o základech měření a vyhodnocení naměřených hodnot, o přístrojích a zdrojích používaných v laboratořích fyziky a o bezpečnosti práce v laboratoři. Alespoň v minimální míře jsme se věnovali i samotnému průběhu laboratorních měření a úrovni odevzdávaných protokolů. Doufáme, že po prostudování Úvodu do měření Vám bude srozumitelnější zejména základní úkol každé experimentální činnosti, tj. důkladná analýza všech chyb, které se při měření vyskytly. Výsledek bez uvedení přesnosti nemá smysl – nelze jej porovnat s jiným naměřeným výsledkem. V praxi je tento postup samozřejmý. V kapitole 6 najdete dostatek příkladů vzorového zpracování včetně ukázky, jak využít při výpočtech kalkulátoru. Druhá část skript – Laboratorní úlohy – obsahuje podrobný popis jednotlivých úloh. Každá z nich je nejdříve vyložena po teoretické stránce a pak je vysvětlen postup při měření a zpracování výsledků. Konkrétní měřicí metody a výpočty chyb jsou u úloh pouze zmíněny, je tedy nezbytné prostudovat také Úvod do měření, kde je vysvětlení podrobné. Stejně tak je vhodné obrátit se v případě potřeby i k další odborné literatuře, neboť skripta jsou pouze základní učební pomůckou. Naší snahou je, aby laboratorní měření nepředstavovala pro Vás pouze ztrátu času – věřte, že i ve školní laboratoři můžete poznat objevitelskou radost a zažít uspokojení ze zdárného průběhu měření. Podmínkou je ovšem pečlivá příprava a schopnost samostatného a kritického myšlení, což je ostatně obecný požadavek pro celé vysokoškolské studium. Rádi bychom na závěr poděkovali kolegům a doktorandům našeho ústavu: Ing. Petru Sedlákovi, Ph.D., Ing. Knápkovi, Ing. Macků, Ing. Palai-Danymu, Ing. Škarvadovi a dalším, kteří se velkou měrou podíleli na inovaci laboratorních úloh a na zavádění nových úloh do fyzikálního praktika.

kolektiv autorů V Brně, září 2010

00 / 2

1 Fyzikální veličiny a jejich jednotky Hlavním zdrojem poznatků ve fyzice (jako ostatně v každé přírodní vědě) je pozorování a pokus. Základním úkolem při tom je měření fyzikálních veličin. Termín fyzikální veličina obvykle popisuje některou konkrétní vlastnost zkoumaného objektu, příp. jeho stav. Tak například moment setrvačnosti J je mírou setrvačných vlastností tělesa v rotaci kolem dané osy. Fyzikální veličiny jsou dvojího charakteru: Veličiny extenzivní neboli tzv. množství, které popisují kvantitativní vlastnosti těles (soustav). Jejich základní vlastností je aditivnost – při skládání těles ve složitější soustavy se tyto veličiny sečítají. Mezi extenzivní veličiny patří hmotnost, náboj, délka, teplo aj. Při měření extenzivní veličiny se zvolí určitá její hodnota za jednotku a pak se srovnává, kolikrát je měřená veličina větší nebo menší než tato jednotka. Veličiny intenzivní neboli stavové, které popisují kvalitativní, jakostní vlastnosti těles (soustav). Pro stavové veličiny je typické, že při skládání těles jednodušších ve složitější se vzájemně vyrovnávají. Při určování jejich velikosti je nutno postupovat jinak, než u extenzivních veličin. U veličin intenzivních se nejprve stanoví stupnice jednotlivých stavů, které přiřadíme čísla. Při vlastním měření pak zjišťujeme, s kterou hodnotou na této stupnici souhlasí stav měřené veličiny. Stupnici zpravidla definujeme tak, že různé stavy jednoznačně přiřadíme k velikosti určité veličiny extenzivní - např. teplotní stupnici definujeme tak, že teplota je přímo úměrná objemu určitého množství látky. Příkladem intenzivní veličiny je teplota, tlak, potenciál aj. Poněkud zvláštní postavení mezi fyzikálními veličinami má čas, který narůstá jedním směrem (tzv. veličina protenzivní). Měřením fyzikální veličiny se rozumí určení její velikosti ve zvolených jednotkách. Každé fyzikální veličině přiřazujeme značku (symbol), kterou obecně označujeme X. Značky jsou stanoveny dohodou, např. pro hmotnost značka m, pro rychlost v, pro elektrický proud I. Často jde o první písmena anglických názvů veličin: např. mass m, velocity v. Hodnotu fyzikální veličiny X určenou měřením vyjadřujeme rovnicí X = {X} [X] , kde {X} je číselná hodnota a [X] je jednotka dané veličiny. Hodnota veličiny nezávisí na jednotce, avšak její číselná hodnota ano. Proto musíme vždy uvést, v jaké jednotce udáváme číselnou hodnotu veličiny.

V minulosti byly zaváděny jednotky pro různé veličiny nezávisle na sobě. Později bylo nezbytné na základě poznané souvislosti mezi veličinami dát do vztahu i jejich jednotky. Podle stupně poznání a technické úrovni využívala fyzika různých soustav fyzikálních jednotek. V současné době převažuje ve světě Mezinárodní soustava jednotek SI (Système International d´ Unités) přijatá na 11. generální konferenci pro váhy a míry v Paříži v r.1960 a uzákoněna i u nás. Základní, odvozené a doplňkové jednotky jsou definovány v ČSN ISO 31-0.

00 / 3

Základních jednotek je sedm: metr (m), kilogram (kg), sekunda (s), ampér (A), kelvin (K), mol (mol) a kandela (cd). Jejich definice je následující: 1. Metr je délka trajektorie, kterou proběhne světlo ve vakuu za 1/299 792 458 sekundy. 2. Kilogram je hmotnost mezinárodního prototypu kilogramu uloženého v Mezinárodním úřadě pro váhy a míry v Sèvres u Paříže. 3. Sekunda je doba rovnající se 9 192 631 770 periodám záření, které odpovídá přechodu mezi dvěma hladinami velmi jemné struktury základního stavu atomu cesia 133. 4. Ampér je stálý elektrický proud, který při průtoku dvěma rovnoběžnými přímými a nekonečně dlouhými vodiči zanedbatelného kruhového průřezu, umístěnými ve vakuu ve vzájemné vzdálenosti 1 metru, vyvolá mezi nimi stálou sílu o velikosti 2.10-7 newtonu na 1 metr délky. 5. Kelvin je

1 273,16

část termodynamické teploty trojného bodu vody.

6. Mol je látkové množství soustavy, která obsahuje právě tolik elementárních jedinců (entit)1 kolik je atomů v nuklidu uhlíku 12 6 C o hmotnosti 0,012 kilogramů. 7. Kandela je svítivost zdroje, který v daném směru vysílá monofrekvenční záření 1 wattu na steradián. o kmitočtu 540.1012 hertzů a jehož zářivost v tomto směru je 683

Odvozené jednotky se odvozují ze základních jednotek pomocí definičních rovnic. Např. fyzikální veličina hustota je určena vztahem



m , V

kde m je hmotnost a V je objem tělesa. Dosadíme-li do vztahu jednotku hmotnosti (kg) a objemu (m3), je jednotkou hustoty kilogram na metr krychlový (kg.m-3). Odvozené jednotky lze vyjádřit součinem mocnin jednotek základních. Toto vyjádření nazýváme rozměr fyzikální jednotky. Některé odvozené jednotky mají vlastní názvy a značky, zpravidla podle jmen vynikajících fyziků; např. jednotka síly se nazývá newton (N). Základní a odvozené jednotky nazýváme souhrnným názvem hlavní jednotky.

Doplňkové jednotky Odvozeným veličinám a jejich jednotkám, které mají rozměr roven jedné, říkáme bezrozměrné. Jsou to tzv. doplňkové jednotky. Příkladem je rovinný úhel a jeho jednotka radián (rad):

     m  1  radián (rad) , r  m kde  je délka oblouku na kružnici o poloměru r, opsané kolem vrcholu rovinného úhlu. Při dosazování do veličinových rovnic jednotku rad u číselné hodnoty rovinného úhlu neuvádíme. Obdobnou jednotkou je steradián (sr) pro veličinu prostorový úhel. 1

Elementárními jedinci (entitami) mohou být např. atom, molekula, ion, elementární částice apod.

00 / 4

Kromě hlavních jednotek je možno používat jejich násobků nebo dílů, vytvořených pomocí mocnin čísla 10. Násobky a díly jednotek se tvoří z hlavních jednotek násobením nebo dělením vhodnou mocninou deseti (přednostně v řadě s kvocientem 103) pomocí předpon, které se spojují s názvem jednotky v jedno slovo. Je to jiná možnost, jak vyjádřit velmi velké nebo velmi malé hodnoty veličin. Např.: 2,35.10-9 s = 2,35 nanosekundy = 2,35 ns. Normalizovaná předpona

značka znamená násobek

peta

p

1015

tera

T

1012

giga

G

109

mega

M

106

kilo

k

103

mili

m

10-3

mikro



10-6

nano

n

10-9

piko

p

10-12

femto

f

10-15

Tab. 1.1 Nejčastěji používané předpony fyzikálních veličin Kromě hlavních jednotek a jejich násobků a dílů lze z praktických důvodů používat i vedlejší jednotky, např. pro čas minuta (min), hodina (h), pro objem litr (  ), pro hmotnost tuna (t) apod. Tyto jednotky nejsou součástí soustavy SI. Při výpočtech číselných hodnot fyzikálních veličin často potřebujeme měnit jednotky, v nichž veličinu vyjadřujeme. Tento přepočet nazýváme převod jednotek. Převod můžeme snadno provést například tak, že vynásobíme původní zadanou či změřenou hodnotu převodním koeficientem.

Uveďme příklad: Údaje 1 min a 60 s představují stejné časové intervaly. Můžeme proto psát 2 min = 2 (60 s) = 120 s Pro počítání s jednotkami platí stejná algebraická pravidla jako pro proměnné a čísla.

00 / 5

2 Měřicí metody Měření je základem každé experimentální vědy, kvalitní výroby a stálého technického rozvoje. Aby měření splnilo svůj účel, musí být potřebné hodnoty měřeny co nejspolehlivěji a co nejpřesněji. Postup, používaný při kvantifikaci (tj. stanovení číselné hodnoty) fyzikální veličiny, nazýváme měřicí metodou. Závisí především na povaze měřené veličiny a na tom, ze kterých vztahů vyjdeme a jakých měřicích přístrojů a uspořádání použijeme. Obvykle lze každou veličinu měřit několika různými metodami. Při rozhodování bývá často určující požadovaná přesnost výsledku. Uvedeme stručnou charakteristiku některých základních metod.

Metody přímé a nepřímé U přímých metod se velikost měřené veličiny zjišťuje přímým srovnáním veličiny s jednotkou (měření délky čárkovým měřidlem) anebo se přímo odečítá na přístrojích (měření času stopkami, teploty teploměrem, napětí voltmetrem...). U nepřímých metod se hodnota měřené veličiny získává výpočtem z jiných přímo měřených veličin.

Metody absolutní a relativní Absolutní metoda poskytuje hodnotu měřené veličiny vyjádřenou přímo v příslušné jednotce, např. čas v sekundách, proud v ampérech apod. Měření relativní jsou založena na srovnání s veličinou stejných rozměrů (např. hustota oleje se určuje porovnáním se známou hustotou vody, rovněž každé srovnávání s etalonem, normálem nebo standardem je relativní metodou).

Metody statické a dynamické Mezi statické zařazujeme taková měření, při nichž se nejen měřená veličina, ale i ostatní veličiny nemění v čase a jejíž velikost odečteme na příslušném měřicím přístroji. U dynamické metody se měřená veličina (nebo dílčí veličiny, na kterých měřená závisí) mění s časem, a to zpravidla periodicky. Všechna měření (statická i dynamická) ovšem provádíme pokud možno za ustáleného stavu, tj. za stavu, kdy měřené veličiny zůstávají dostatečně dlouho neměnné. Např. při periodickém pohybu kyvadla se snažíme, aby amplituda výchylky neklesala, stejně tak požadujeme, aby v elektrickém obvodu neklesalo napětí zdroje v důsledku vybíjení baterie, apod. Není-li to z nějakého důvodu možné, jsou získané hodnoty méně spolehlivé. Velmi pomalé změny můžeme nechtě přehlédnout (měření kvazistatické). To bývá jeden z nejčastějších zdrojů chyb měření.

Metody substituční a kompenzační Princip substituční metody spočívá v tom, že se neznámá velikost měřené veličiny postupně nahrazuje řadou různých známých hodnot (normálů, etalonů) této veličiny. Při užití kompenzační metody vyrovnáváme měřenou veličinu stejně velkou hodnotou téže veličiny. Kompenzační metoda je obvykle přesnější než substituční, protože kompenzace probíhá ve stejném časovém okamžiku, kdežto u substituční metody hledáme vhodný normál postupně a podmínky měření nemusí zůstat stálé. 00 / 6

Metodu kompenzační používáme např. při vážení, často se používá u elektrických a magnetických měření. Obvykle jde o metodu nulovou, při níž je výchylka měřicího přístroje rovna nule.

Metody interpolační a extrapolační Při měření funkčních závislostí y = f(x) změříme pouze konečný počet hodnot y1, y2 , ... yn odpovídající hodnotám x1, x2 , ... xn . Často nás však zajímá hodnota y0 , která by náležela hodnotě x0 ležící uvnitř intervalu  x1, x2  . Hledanou hodnotu zjistíme nejrychleji interpolací. Pro lineární funkční závislosti nebo pro určení funkční hodnoty v malém intervalu  x1, x2  je výpočet hledané hodnoty velmi jednoduchý:

y0  y1 y2  y1  x0  x1 x2  x1



Obr. 2.1 Lineární interpolace

y0  y1   x0  x1 

y2  y1 x2  x1

Obr. 2.2 Lineární extrapolace

Interpolační metodu lze zpracovat i graficky. Tento způsob je vhodný zejména u nelineárních závislostí, kdy je výpočet složitější. Naměřenými body v tom případě proložíme křivku odpovídající teorii měřené funkční závislosti a hledanou hodnotu y0 , jež přísluší x0 , odečteme na ose y . Jestliže z naměřených hodnot odhadujeme hodnotu y0 v bodě, který leží mimo měřený interval, hovoříme o extrapolaci. U lineárních závislostí platí při extrapolaci pro y0 obdobný vztah jako u lineární interpolace. Při extrapolaci však musíme být mnohem opatrnější než při interpolaci, zejména leží-li x0 daleko od měřeného intervalu. Mimo měřený interval mohou mít totiž podstatný vliv nové fyzikální jevy, které se v měřeném intervalu neprojevily. Například při měření teplotní závislosti odporu vodiče v intervalu teplot od 10 ºC do 40 ºC naměříme lineární závislost a extrapolujeme ji do 100 ºC. Dodatečně pak zjistíme, že vodič se roztavil při teplotě 60 ºC, takže extrapolace nad tuto hodnotu byla nepřípustná. Zpravidla se nedoporučuje extrapolovat dále než o 20 % délky intervalu  x1, x2  .

00 / 7

Metoda postupná Většinou provádíme řadu měření nezávisle na sobě. Při měření opakujících se dějů je však užitečnější (a kratší), jestliže výsledek předchozího měření těsně navazuje na výsledek následujícího měření, tj. koncová hodnota jednoho měření je zároveň počáteční hodnotou měření dalšího. Pokud bychom zvětšili chybným údajem hodnotu prvního měření, nutně se musela hodnota druhého měření zmenšit, čímž se tedy chyby měření částečně eliminují. Např. při měření doby kmitu reverzního kyvadla je možno zaznamenat čas po každém desátém kmitu, aniž bychom stopky (nebo čítač spouštěný optoelektronickou závorou) zastavovali. Pro 50 kmitů tak dostaneme 10 údajů, které mají stále větší hodnotu. Pro kmit

0

čas (s)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

19,92 39,84 59,76 79,67 99,85 119,65 139,64 159,54 179,52

Při vlastním měření proběhlo našich 90 kmitů za poměrně krátkou dobu (179,52 s). Postupná metoda však umožňuje získat za stejný čas větší soubor hodnot než 90 kmitů – obdržíme tedy přesnější výsledek. To je důležité zejména u periodických dějů, kdy je nebezpečí, že vlivem tlumení děj ustane ještě před naměřením dostatečného množství hodnot. Naměřené hodnoty zaznamenáme do tabulky následujícím způsobem: počet kmitů

A čas (s)

počet kmitů

B čas (s)

rozdíly sloupců B – A 50T (s)

0T

0,00

50T

99,85

99,85

10T

19,92

60T

119,65

99,73

20T

39,84

70T

139,64

99,80

30T

59,76

80T

159,51

99,75

40T

79,67

90T

179,52

99,85

V posledním sloupci je 5 hodnot vždy po 50 kmitech. Měřili jsme 90 kmitů, ale uvedené výsledky nám dovolují určit pomocí této metody výsledek se stejnou přesností, jako bychom měřili 5-krát 50T, tj. 250 kmitů. Další zpracování výsledků je již standardní: určíme průměrnou hodnotu doby padesáti kmitů a chybu výsledku  (50T ) pro n = 5 měření a pravděpodobnost P = 0,95 (viz. str. 00-3/6) 50T  (99,80  0,07) s Pro jeden kmit je výsledek i chyba 50-krát menší, tedy T  (1,996  0,002) s

Poznámka Při měření pravidelně se opakujících veličin postačuje však mnohdy (nemáme-li velké nároky na přesnost) změřit n-násobek dané veličiny a chybu odhadnout z použitého měřicího přístroje. Označíme-li tedy n-násobek veličiny X symbolem X n , pak hodnota veličiny X je: X

Xn , n

ale také chyba

00 / 8

 (X ) 

 (Xn) n

.

3 Chyby měření Za daných podmínek má každá fyzikální veličina určitou hodnotu, kterou ovšem z principiálních důvodů nemůžeme zjistit úplně přesně. Každé měření je totiž zatíženo chybami, které jsou nejrůznějšího původu. Výsledek měření ovlivňují vlastnosti měřicích přístrojů i samotná osoba, která měření provádí. Dalším zdrojem chyb může být zvolená metoda měření a mnoho jiných, většinou nezjistitelných vlivů. Přesnost měření vyjadřuje blízkost výsledku měření ke skutečné hodnotě měřené veličiny. Skutečná – pravá – hodnota veličiny je ovšem pojem ideální. V teorii měření ji nahrazujeme tzv. konvenčně pravou hodnotou, což je hodnota, která se skutečné blíží natolik, že jejich rozdíl můžeme považovat za zanedbatelný. Při různých nárocích na přesnost můžeme např. za pravou hodnotu Planckovy konstanty jednou považovat 6,6256.10-34 J.s, jindy 6,6.10-34 J.s. Při opakovaných měřeních (po korekci soustavných chyb) klademe pravou hodnotu veličiny rovnu aritmetickému průměru naměřených hodnot. Přesnost, s jakou dané měření uskutečníme, musíme vždy stanovit, neboť výsledek měření bez uvedení přesnosti nemá smysl – nelze ho totiž porovnat s jiným naměřeným výsledkem. Součástí každého měření je tedy důkladná analýza všech chyb, které se při něm uplatnily. Chyby měření lze roztřídit do několika kategorií, a to podle různých hledisek. Podle původu (chyby osobní a chyby měřicích přístrojů, metody), podle charakteru (chyby náhodné a chyby soustavné) nebo podle analytického vyjádření (chyby absolutní a relativní). Můžeme uvést také chybu krajní (mezní), což je maximální chyba měření, ke které může za daných podmínek dojít, nebo chybu větší než maximální – tzv. chybu nadměrnou (hrubou). Ta svědčí o nespolehlivosti měření způsobené poruchou přístroje, omylem experimentátora apod. Některé výše uvedené druhy chyb se vzájemně prolínají a jejich rozlišení je mnohdy obtížné. Například soustavné chyby měření zůstávají při opakování měření za stejných podmínek konstantní. Mění-li se však podmínky měření (často si to ani neuvědomíme), mění se i hodnoty soustavných chyb a snadno dojde k jejich záměně s náhodnými chybami. Uvedeme-li chybu měření (ať už soustavnou, náhodnou nebo hrubou, či jinou) v jednotkách měřené veličiny, hovoříme o chybě absolutní. Lepší představu o přesnosti měření však dává chyba relativní, vyjádřena jako podíl absolutní chyby a měřené veličiny. Je to bezrozměrné číslo, což je výhodné, máme-li porovnat přesnost měření fyzikálních veličin různého druhu. V praxi se uvádí obvykle procentuální vyjádření relativní chyby.

3.1 Hrubé chyby Měření zatížené hrubou chybou poznáme snadno, protože dává proti ostatním měřením téže veličiny příliš odlišnou hodnotu. Hrubé chyby vznikají nepozorností nebo únavou (na stupnici čteme 13 místo 18), při zhoršených podmínkách měření (špatná viditelnost), může k nim dojít také při nevhodné volbě měřicí metody a měřicích přístrojů. Např. magnetoelektrické voltmetry s usměrňovačem pro měření střídavých napětí jsou cejchovány v efektivních hodnotách napětí. Toto cejchování však platí jen pro napětí harmonického průběhu. Jestliže by se takovým voltmetrem měřilo napětí neharmonického průběhu, údaj voltmetru by byl chybný. Při zpracování měření je nutno hrubé chyby vyloučit, aby nezkreslovaly výsledek měření.

00 / 9

3.2 Soustavné (systematické) chyby Největší problém z hlediska posouzení přesnosti měření představují soustavné chyby, protože jejich původ a velikost se dá určit mnohdy velmi obtížně. V praxi se navíc běžně vyskytují soustavné chyby společně s chybami náhodnými. Soustavnou chybou měření se rozumí chyba, jejíž hodnota se nemění, opakuje-li se měření za stejných podmínek (což není vždy splněno). Zdroje soustavných chyb jsou různé: jejich původem jsou měřicí metody, používané měřicí přístroje nebo osoby provádějící měření. Na rozdíl od náhodných chyb, u kterých nedovedeme přesně popsat příčiny vzniku, lze pečlivým rozborem měření (analýzou) soustavné chyby odhalit a odhadnout jejich velikost a znaménko (případně je odstranit). I když nebudeme ve cvičení úlohu opakovat, můžeme svoje zkušenosti a poznatky uplatnit u jiné úlohy, kde je použita stejná metoda měření, popřípadě stejné měřicí přístroje. Tak například při měření napětí voltmetrem dostáváme pro napětí hodnoty poněkud menší, protože vnitřní odpor voltmetru není nekonečně velký. Tady můžeme chybu vyloučit početní korekcí, nebo měření nahradit např. kompenzační metodou. Použijeme-li při měření gravitačního zrychlení reverzním kyvadlem vzorce pro dobu kmitu platného pro nulový rozkmit, dostáváme pro gravitační zrychlení hodnotu vždy o něco menší, než je skutečná hodnota. Potřebujeme-li velmi přesný výsledek, opravíme dobu kmitu podle tabulky na nulový rozkmit. Alespoň částečné eliminace soustavných chyb se dá dosáhnout opakováním měření různými metodami. Soustavné chyby tím dostanou charakter proměnlivých chyb se souměrným rozložením. Po vyhodnocení způsobem obvyklým u náhodných chyb dospějeme k přesnější hodnotě měřené veličiny. V některých případech (je-li rozptyl takto získaných hodnot značný) vyjádříme pouze rozpětí, ve kterém leží měřená veličina intervalem  X min , X max  . Existuje celá řada testů, kterými lze zjišťovat, zda skutečné chyby opakovaných měření (za stejných podmínek) obsahují kromě náhodné chyby i chybu soustavnou. Nejjednodušší je sledování posloupnosti znamének chyb. Odchylky se sledem znamének – – – + – – + + – + – + + + (nebo obdobným) jsou náhodné, zatímco u odchylek např. + + + + + – + + – – – – – se dá předpokládat soustavná složka, která se měnila z kladné na zápornou hodnotu. Chyby vnáší do měření i samotný objekt měření. Mnohé materiály delším provozem mění svoje vlastnosti (únava materiálu), takže interval, ve kterém určíme naměřenou veličinu se buď částečně nebo vůbec nekryje s intervalem, který udávají tabulky. Např. nižší hodnoty modulů se dají přirozeně vysvětlit a lze je v závěru protokolu zdůvodnit. Opožděné spuštění stopek při měření času, chybný způsob odečítání hodnot ze stupnice (tzv. paralaktická chyba), příliš hrubý odhad zlomků nejmenšího dílku – to jsou chyby osobní. Ty se nejúčinněji odstraní automatizací měření. Častými zdroji soustavných chyb jsou samotné měřicí přístroje, u nichž může být třeba nerovnoměrně nanesená stupnice (ověřujeme cejchováním). Důležité je rovněž správné nastavení přístrojů (nastavení nuly, citlivosti), a to před měřením i v průběhu měření. Není také vhodné měřit elektronickými měřicími přístroji hned po jejich zapnutí. Jejich vlastnosti jsou ustálené až po uplynutí dostatečně dlouhé doby. Soustavnou chybu, která byla zjištěna, je nutno korigovat. Ve zpracování výsledku měření se použijí opravené hodnoty měření.

00 / 10

3.3 Chyby měřicích přístrojů Vzhledem k rozmanitému původu soustavných chyb a jejich závislosti na podmínkách měření není ovšem mnohdy možné stanovit jejich hodnotu a opravit výsledek měření. V takovém případě určíme (nebo pouze odhadneme) alespoň interval, ve kterém s jistotou leží chyba jednoho měření. Výsledek měření tedy zapíšeme ve tvaru X  xN  u ( X ) ,

r ( X ) 

u( X ) , xN

(3.1)

kde xN je naměřená hodnota veličiny X, u(X) je mezní chyba měřidla v absolutním tvaru a  r ( X ) je relativní chyba výsledku. Chyby měřidel bývají zařazeny mezi soustavné chyby. U analogových (ručkových) měřicích přístrojů vymezíme interval, ve kterém leží měřená veličina, z třídy přesnosti. Ta je definována jako číslo n, které udává, že mezní chyba měření je n % z největší hodnoty zvoleného měřicího rozsahu, a to pro všechny hodnoty odečtené na tomto rozsahu. Velikost chyby z třídy přesnosti je jednoznačně určena zařazeným rozsahem. Na různých rozsazích je tedy různá, zpravidla větší než desetina nejmenšího dílku dělení. Výrobce zaručuje, že v těchto mezích leží součet všech dílčích soustavných chyb (způsobených nepřesností výroby, oteplením přístrojů vlastní spotřebou, stárnutím materiálů, rušivými mechanickými silami – tření, atd.) i mezní náhodná chyba. Snažíme se o co nejpřesnější odečítání hodnot, minimálně odhadneme polovinu nejjemnějšího dělení. Zatímco absolutní mezní chyba je pro daný rozsah konstantní, velikost relativní chyby závisí na hodnotě měřené veličiny. Z hlediska přesnosti měření je proto volba vhodného měřicího rozsahu velmi důležitá.

Příklad: Měřicí přístroj třídy přesnosti 0,2 má na rozsahu 1500 mA mezní absolutní chybu 3 mA (tj. 0,2 % z 1500 mA) pro všechny hodnoty. Odečítáme-li tedy na tomto rozsahu 1500 mA, je relativní chyba 0,2 %, ale při měření proudu 750 mA už 0,4 % a pro hodnotu 150 mA dokonce 2 %. Rozsah přístroje musíme proto volit vždy tak, aby se výchylka pohybovala pokud možno v poslední třetině nebo alespoň v druhé polovině stupnice, protože pouze tady měříme s relativní chybou jen o něco větší než je třída přesnosti. U číslicových měřicích přístrojů není mezní chyba dosud stanovena normami jako u analogových třídou přesnosti. Zpravidla se však celková chyba vyjadřuje součtem dvou čísel. První číslo je část chyby v % měřené hodnoty, druhé číslo je část chyby v % plného rozsahu (zde se uplatní zejména chyby související s kvantováním). Za mezní chybu vážení budeme považovat rozdíl nulových poloh před a po vážení dělený citlivostí vah. U stopek byla mezní chyba měření způsobená strojem a lidským faktorem odhadnuta na 0,3 s pro jeden odečet času. U všech měření, kdy odečítáme na stupnici, můžeme za maximální chybu považovat nejmenší dílek dělení (obvykle to bývá 1mm), někdy také jeho polovinu (stanovíme dohodou). Přesně odečteme celé dílky a není-li měřítko opatřeno noniem, desetiny dílku odhadneme. Úroveň svých měřicích schopností a tím i přesnost odečítání ze stupnice určí nejlépe každý sám. Je ovšem samozřejmé, že se snažíme o co nejlepší výsledek.

00 / 11

U většiny měření se vyskytuje více druhů chyb. Např. při měření napětí voltmetrem chyba odečítání na stupnici i chyba vymezená z třídy přesnosti. Srovnáním jejich velikostí zjistíme, kterou z nich můžeme zanedbat.

3.4 Náhodné chyby Opakujeme-li měření s dostatečnou rozlišovací schopností, pak i při konstantní hodnotě měřené veličiny dostaneme výsledky, které se navzájem liší. Příčinu spatřujeme v tom, že při každém měření působí řada víceméně nepostižitelných vlivů, které se náhodně kombinují a způsobují náhodné (nahodilé) chyby měření. Těmto chybám není možné se vyhnout a vynikají tím více, čím přesnější měření provádíme. Obdobně dostaneme náhodně rozložené výsledky opakovaných měření v případě, že měřená veličina má náhodný charakter, i kdyby samotná měření byla bez chyb. Pravděpodobnost a statistika nám umožňuje vyřešit problém, jak z těchto různých naměřených hodnot určit tu, která je s největší pravděpodobností skutečnou (pravou) hodnotou naší veličiny. Kdybychom provedli velmi mnoho (a „velmi mnoho“ znamená počet n   měření, ukázalo by se, že rozložení hodnot na číselné ose vykazuje jistou zákonitost. Nejvíce jich leží v blízkém okolí hodnoty, kterou nazýváme střední hodnota . Malé odchylky od střední hodnoty jsou tedy daleko četnější než velké. Většina veličin měřených ve fyzice má symetrické rozložení kolem střední hodnoty – pro každou kladnou odchylku od střední hodnoty bychom při velkém souboru hodnot našli stejně velkou zápornou odchylku. Takovéto rozložení se nazývá normální neboli Gaussovo rozložení a je popsáno funkcí 1 ( x   )2

 1 p ( x)  e 2  2

2

.

(3.2)

Je to známá zvonovitá křivka (obr. 3.1), která vyjadřuje hustotu pravděpodobností hodnot veličiny x (jsou to všechny hodnoty xi , jež by při našem měření mohla nabývat tato fyzikální veličina). Hodnoty xi jsou diskrétní, ale pro n   jsou rozloženy tak hustě, že je můžeme aproximovat spojitým rozložením. Funkce p(x) má jediné maximum právě v bodě x   a její průběh závisí na parametru . Čím menší je , tím vyšší a ostřejší je maximum, tj. naměřené hodnoty jsou méně rozptýleny.

Obr. 3.1 Průběh normálního rozdělení pro různé hodnoty rozptylu

00 / 12

Rozptýlenost hodnot na číselné ose vyjadřuje veličina  2 , jež se nazývá rozptyl. Je definována jako průměrný čtverec odchylek jednotlivých hodnot od střední hodnoty : 1 n

 2   ( xi   )2

(3.3)

Druhá odmocnina z rozptylu se nazývá směrodatná (standardní) odchylka) , v některých publikacích také střední kvadratická odchylka. Patří spolu se střední hodnotou k základním charakteristikám Gaussova rozložení. Protože p(x) vyjadřuje rozložení pravděpodobností hodnot, dá se řešením integrálu x2

 p( x) dx

(3.4)

x1

vyčíslit pravděpodobnost, s jakou se měřená veličina nachází v určitém intervalu  x1, x2  . Definiční obor funkce (3.4) je  ,   , v tomto intervalu se tedy veličina nachází se 100 %-ní pravděpodobností. Vymezíme-li na ose x význačné body, pak intervalu     ,     přísluší 68,26 %-ní pravděpodobnost výskytu náhodné veličiny, intervalu    2 ,   2  pravděpodobnost 95,44 %, a v intervalu    3 ,   3  leží s 99,72%ní pravděpodobností skutečná hodnota měřené veličiny (obr.3.2). Jinak řečeno, má-li naše veličina normální rozložení, je téměř 100 %-ní pravděpodobnost, že žádná z hodnot, kterou naměříme, se nebude odchylovat od střední hodnoty více než 3 . Normální Gaussovo rozložení (rozdělení) připouští sice teoreticky i výskyt velmi velkých odchylek od střední hodnoty, ale jejich pravděpodobnost je velmi malá.

Obr. 3.2 Normální Gaussovo rozdělení

Zkušenost ukazuje, že hodnoty náhodné veličiny nikdy nepřesáhnou určitou mez. Měřímeli vzdálenost 10 m, není prakticky možné, abychom v důsledku náhodných chyb naměřili např. 8 m. Za maximální možnou odchylku se bere nejčastěji Δmax  3 . Hodnoty, které přesáhnou tuto mez, vyloučíme obvykle ze zpracování jako hrubé chyby. Je to známé pravidlo „tří sigma“. Soubor n hodnot pro n   se ve statistice nazývá základní soubor a svými parametry  a  je popsán jednoznačně. V praxi je ovšem nemožné provést „nekonečně mnoho měření“, a to nejen z časových důvodů. U některých veličin by došlo k nevratným změnám, u jiných měřených objektů dokonce ke zničení. Musíme se proto spokojit s menším počtem měření a pokusit se i z tohoto tzv. náhodného výběru odhadnout parametry (tj. střední hodnotu a rozptyl, resp. směrodatnou odchylku) základního souboru.

00 / 13

Bodovým odhadem střední hodnoty  je aritmetický průměr naměřených hodnot x : x

1  xi n

(3.5)

Výběrový rozptyl s2 , kterým odhadujeme rozptyl základního souboru 2, je definován s2 

 ( xi  x )2

(3.6)

n 1

a výběrová směrodatná odchylka (střední kvadratická odchylka jednoho měření) s je potom

 ( xi  x )2

s

(3.7)

n 1

Aritmetický průměr a výběrový rozptyl ovšem nejsou obecně (z hlediska základního souboru) konstanty, neboť pro každou sadu měření bychom obdrželi poněkud jiné hodnoty jak aritmetického průměru, tak výběrového rozptylu. S jakou přesností můžeme považovat aritmetický průměr naměřených hodnot x za pravou hodnotu měřené veličiny? Tuto přesnost odhadu popisuje interval spolehlivosti: s s , x  tn, P   , n n

 x  tn, P 

(3.8)

kde x je aritmetický průměr naměřených hodnot, s je výběrová směrodatná odchylka a tn, P je koeficient Studentova rozdělení. s sx   n

Výraz

 ( xi  x )2

(3.9)

n(n  1)

se nazývá výběrová směrodatná odchylka aritmetického průměru.

 ( X )  tn, P 

Součin

s n

(3.10)

je chyba výsledku z n měření s pravděpodobností P (tzv. hladina spolehlivosti). Obvykle uvádíme i relativní chybu výsledku  (X ) r ( X )  . (3.11) x Hodnoty t jsou tabelovány v příslušných normách, zde uvedeme pouze zkrácenou tabulku t pro vybrané hodnoty počtu měření n a některé pravděpodobnosti P. tn, P

n

P = 0,50

P = 0,68

P = 0,95

P = 0,99

3

0,817

1,321

4,526

19,210

5

0,741

1,110

2,968

6,620

10

0,703

1,059

2,320

3,250

15

0,692

1,037

2,145

2,997

20

0,688

1,027

2,093

2,861

Tab. 3.1 Tabulka vybraných hodnot koeficientů Studentova rozdělení 00 / 14

V technické praxi je obvyklé požadovat 95 %-ní pravděpodobnost výsledku (tedy hladinu spolehlivosti 0,95). Znamená to zároveň, že je pouze 5 %-ní riziko, že v našem intervalu se pravá hodnota měřené veličiny nenachází. Při běžných měřeních bývají výsledky uvedeny s hladinou spolehlivosti 0,68 (tedy s pravděpodobností 68 %). U výsledku se zapsanou chybou vždy uvedeme zvolenou pravděpodobnost a počet měření. Interval spolehlivosti se zužuje při rostoucím počtu měření v důsledku zmenšujících se hodnot t a rostoucího jmenovatele n ve vztahu (3.9). Na obr. 3.3 je však vidět, že při velkých n klesá s x jen pozvolna, takže provádění velkého počtu měření je neekonomické. Kromě toho nelze vždy zaručit stálost měřené veličiny a podmínek měření. Za vhodný počet měření se obvykle považuje 10 – 20.

Obr. 3.3 Závislost výběrové směrodatné odchylky na počtu měření

3.5 Chyby nepřímých měření Přímo naměřené veličiny dosazujeme ve většině případů do fyzikálních vztahů, abychom vypočetli hledanou fyzikální veličinu – jedná se o nepřímé měření. Vyvstává tedy otázka, jak veliká je chyba výsledné veličiny, jestliže známe chyby vstupních hodnot. Předpokládejme, že fyzikální veličina, kterou je nutno určit, souvisí s dílčími veličinami vztahem V  f ( X , Y , ...)

Hodnoty veličin X,Y,... změříme přímo a standardním postupem (s. 34) určíme také jejich chyby  ( X ),  (Y ), ... Nejpravděpodobnější hodnotu hledané veličiny obdržíme, dosadíme-li do vztahu aritmetické průměry změřených veličin, tj.

v  f ( x , y , ...)

(3.12)

Pokud jsme některou z veličin změřili jednorázově, dosadíme tuto hodnotu (např. y N ). Chyba takto vypočítané veličiny je dána vztahem 2

2

  f   f  (V )    ( X )     (Y )   ... ,  x   y 

(3.13)

kde  ( X ) je chyba výsledku měření veličiny X a  (Y ) chyba výsledku měření veličiny Y, atd.

00 / 15

Nemusí se přitom jednat o stejný druh chyb, neboť velmi často měříme některé veličiny pouze jednou, jiné opakovaně. Uvedený vztah se nazývá zákon šíření chyb a uvádíme ho bez důkazu. Ve většině případů nám však požadovaná přesnost dovolí použít jednoduššího tvaru téhož zákona

 (V ) 

f f  ( X )   (Y )  ... x y

(3.14)

Pro praktickou potřebu výpočtu přesnosti výsledku uvedeme několik aplikací vzorce (3.14) pro nejčastěji se vyskytující tvary funkce V, kde a, b, k, m jsou konstanty, a  ( X ) a  r ( X ) absolutní a relativní chyby. V  aX

 (V )  a ( X )

V  aX  bY

 (V )  a  ( X )  b  (Y )

V  aX k

 r (V )  k  r ( X )

V  aX k bY m

 r (V )  k  r ( X )  m  r (Y )

Xk

 r (V )  k  r ( X )  m  r (Y )

V

Ym

Tab. 3.2 Výpočet absolutních a relativních chyb pro nejčastěji se vyskytující funkce Je-li tedy nepřímo měřená veličina součtem či rozdílem přímo měřených veličin, rozhoduje o chybě výsledku větší z absolutních chyb. V zájmu ekonomického měření je třeba volit metody měření obou veličin tak, aby  ( X )   (Y ) (bez ohledu na chyby relativní). Nemá tedy v tomto případě ani smysl některou z veličin měřit daleko přesněji (s menší absolutní chybou) než ostatní, neboť na chybu výsledku nemá prakticky vliv. Je-li naopak nepřímo měřená veličina součinem nebo podílem přímo měřených veličin (a jejich mocnin), platí obdobný závěr pro relativní chyby. Pro velikost výsledné relativní chyby je určující největší relativní chyba (exponenty se přitom objevují jako koeficienty u příslušných relativních chyb) – tab. 3.2. Z toho také plyne, že veličiny, které se v určujícím vzorci vyskytují s vyššími mocninami, je třeba měřit s větší přesností než ostatní. V praxi se někdy naskytne i opačný úkol: stanovit, s jakou maximální chybou mohou být naměřeny hodnoty výchozích veličin, aby maximální chyba výsledku (tj. nepřímo měřené veličiny) nepřestoupila zadanou přípustnou mez. Postup se nazývá optimalizace měření. Nejčastěji se přitom vychází ze zásady stejného vlivu, tj. z předpokladu, že všechny členy na pravé straně rovnice (3.14) jsou stejně velké a tomuto požadavku se přizpůsobí výběr měřicích přístrojů a metoda měření. Obvyklá přesnost v laboratorním měření je okolo 1 %. Chceme-li posoudit pravděpodobnost, s jakou se nepřímo měřená veličina nachází ve vypočteném intervalu, musíme uvážit, s jakou pravděpodobností máme určeny dílčí veličiny. Nejmenší z těchto pravděpodobností je zároveň pravděpodobnost výsledku. (Je to aplikace známé zásady – pevnost řetězu je rovna pevnosti jeho nejslabšího článku.)

00 / 16

4 Vyhodnocení naměřených funkčních závislostí Kromě měření konstant je častou úlohou měření zjistit, jak nějaká veličina y (závisle proměnná, jinak řečeno funkce) závisí na jiné proměnlivé veličině x (nezávisle proměnné, jinak řečeno argumentu). Každá taková funkční závislost je určena tabulkou, grafem, nebo analytickým zápisem. Při vlastním měření ke zvoleným hodnotám x1, x2 , ...xn (rostoucím nebo klesajícím) zaznamenáváme do tabulky naměřené hodnoty y1, y2 , ... yn . Dvojice hodnot xi , yi pak vyneseme do grafu a podle přibližného tvaru křivky, spojující tyto body, rozhodneme, jakou funkcí vyjádříme hledanou závislost y  y( x) . Může to být funkce lineární, kvadratická popř. i funkce s vyššími mocninami x. Časté jsou také funkce exponenciální či logaritmické. V praxi se mohou vyskytnout dva případy: 1. Měřená závislost je známa a experiment ji více nebo méně přesně potvrdí. Je nutné tedy najít „správné“ hodnoty koeficientů v analytickém vyjádření funkce. Touto problematikou se zabývá vyrovnávací počet. 2. Fyzikální interpretace měřené závislosti není v literatuře jednoznačně popsaná, tzn. že nemůžeme předem znát tvar funkční závislosti – tzv. modelovou funkci. Pak je možné pokusit se vyslovit hypotézu o funkční závislosti a ověřit výsledky jinou metodou. Je nutno zdůraznit, že tzv. modelová funkce musí být fyzikálně opodstatněná. Předpokládáme-li lineární závislost, není vhodné proložit naši naměřenou závislost např. kvadratickou funkcí, i kdybychom dospěli k „lepší“ shodě s naměřenými údaji. V takovém případě musíme výsledky měření analyzovat a pokusit se nalézt zdroj možných chyb měření. Využití počítačů v této problematice nám umožňuje nalézt analytické vyjádření funkce, která nejlépe reprodukuje skutečně naměřenou funkční závislost i ve složitějším tvaru (např. polynom n-tého stupně, logaritmická či exponenciální funkce, popřípadě jejich kombinace). Při hledání vhodné funkce nesmíme zapomenout, že naměřené hodnoty závisle i nezávisle proměnné jsou zatíženy chybami stejně jako naměřené hodnoty konstantní veličiny (tj. chybami hrubými, soustavnými a nahodilými). Hodnoty v tabulce jsou tedy vyjádřením funkce, která „osciluje“ kolem funkce hledané (uvažujeme-li chyby nahodilé), popřípadě je posunuta vůči funkci hledané (jestliže jsme neodstranili chyby soustavné). Nejvíce patrné jsou ovšem chyby hrubé, které vyloučíme pokud možno ještě před zpracováním. Po zadání tvaru funkce nám vhodný program sám určí potřebné koeficienty (konstanty) ve vzorci. Správnost těchto konstant pak určuje tzv. regresní koeficient, který se při úplné shodě teorie s praktickým měřením rovná 1. Ve Fyzikálním praktiku půjde většinou o ověření závislostí

y  a  bx ,

y  ebx ,

00 / 17

y  ax b

4.1 Lineární závislost Řada jednodušších fyzikálních zákonů a závislostí je lineární, grafem je tedy přímka vyjádřená rovnicí

y  a  bx ,

(4.1)

kde a, b jsou konstanty. Z vyrovnávacích metod je v tabulkových kalkulátorech nejčastěji používána metoda nejmenších čtverců. Pracují s ní i kvalitnější programovatelné kapesní kalkulátory. Dává dobré výsledky při normálním (gaussovském) rozložení chyb. Pokud však opomeneme vyloučit hrubé chyby, výrazně zkreslují výsledek svým čtvercem. Nemáme-li k dispozici program, můžeme určit hledané koeficienty graficky. Existují grafické metody, které umožňují s dostatečnou přesností nalézt přímku, která se body vynesenými do grafu prokládá. Zkušenější experimentátor je schopen v případech, že požadavky na přesnost nejsou vysoké, proložit těmito body přímku „od oka“. Na obr. 4.1 jsou zobrazeny výsledky měření závislosti brzdného napětí na frekvenci, naměřené při stanovování Planckovy konstanty. Závislost je vyrovnána skupinovou metodou graficky. Měření, jehož obrazem je bod A, je zřejmě zatíženo hrubou chybou, proto jej do vyhodnocování nezahrneme. Ostatní body jsou rozděleny do dvou skupin, jsou nalezena jejich těžiště a jimi je proložena přímka. Bodu B byla přisouzena dvojnásobná váha, neboť při opakování měření jsme obdrželi stejnou hodnotu brzdného napětí. Obr. 4.1 Přímka proložená naměřenými body grafickou metodou

Směrnice lineární závislosti Prodloužíme-li přímku až po x = 0 , určíme koeficient a jako úsek na svislé ose. Koeficient b , tj. směrnici lineární závislosti, určíme ze vzorce: b

y2  y1 . x2  x1

! Pozor ! Z geometrie jste zvyklí určovat směrnici přímky jako tangentu jejího směrového úhlu. To ovšem platí jen tehdy, jsou-li na obou osách zvolena stejná měřítka.

00 / 18

(4.2)

Obr. 4.2 Směrnice – zobrazení 1

Obr. 4.3 Směrnice – zobrazení 2

Na obr. 4.2 a 4.3 je zobrazena tatáž lineární závislost. Na svislé ose je však v druhém případě jiné měřítko než na ose vodorovné. Při použití vztahu b  tg  vidíme, že při vyhodnocení téže lineární závislosti dostaneme při zobrazení v různých měřítkách různý výsledek. Stanovíme-li však pro obě zobrazení směrnice hodnotu b výpočtem podle vztahu (4.2):

b1 

56 mV  8, 0 Ω , 7, 0 mA

b2 

48 mV  8, 0 Ω 6, 0 mA

(4.3)

vyjde podle očekávání v obou případech stejná. Je třeba zdůraznit, že směrnice není obecně bezrozměrné číslo. Rozměr, resp. jednotku obdržíme po dosazení rozměrů (jednotek) veličin x, y do rovnice (4.2), tak jak je vidět v rovnici (4.3).

4.2 Exponenciální a mocninná závislost Máme-li zpracovat výsledky měření veličiny, jejíž závislost na nezávisle proměnné veličině je exponenciální nebo mocninná, lze vhodným zobrazením – u exponenciální funkce semilogaritmickým, u mocninné logaritmickým – převést tyto závislosti na lineární. Postup používáme zejména tehdy, nemáme-li přístup k automatizovanému zpracování, neboť vyrovnání lineární závislosti zvládneme jednoduchými prostředky. Snadno pak z grafu určíme koeficienty v původní měřené závislosti. Tato metoda má však své výhody i v případě počítačového zpracování měření, kdy nám koeficienty funkce v hledané závislosti určí program přímo a nemuseli bychom tedy graf „linearizovat“. Před samotným zpracováním je nutno totiž zjistit, zda měření neobsahuje hrubé chyby. V transformované přímce postřehneme tyto chyby snáze než v exponenciální nebo mocninné závislosti a můžeme je vyřadit. Mnohdy také podle zalomení přímky zjistíme, že naměřené hodnoty je vhodné rozdělit do dvou skupin a pro každou z nich určit jiné koeficienty prokládané funkce. 00 / 19

Exponenciální funkce y  aebx ,

má tvar

(4.4)

po logaritmování (přirozené logaritmy) obdržíme: ln y  ln a  bx .

(4.5)

Provedeme následující transformaci: Y  ln y , X  x , A  ln a . Po dosazení do (4.5) je vidět, že exponenciální závislost dostala tvar lineární funkce Y  A  bX .

V souřadnicích X, Y bude tedy funkce zobrazena přímkou. Používáme SW nástroje (v programu Excel nastavíme pro jednu z os logaritmické měřítko), nebo semilogaritmický papír (jedna z os má předtištěné logaritmické měřítko).

Obr. 4.4 Exponenciální funkce v semilogaritmickém zobrazení U logaritmických os jsou na patřičných místech zobrazeny mocniny 10, neboť i když na osu vynášíme logaritmus hodnoty, pro větší přehlednost připisujeme k dělícím bodům přímo hodnoty, nikoliv jejich logaritmy. Při výpočtech musíme vzít v úvahu, že osa je dělena v dekadických, nikoliv přirozených logaritmech. Po vynesení bodů do semilogaritmického zobrazení provedeme podle potřeby vyrovnání lineární závislosti a sestrojíme přímku. Směrnici této přímky, tj. koeficient b v závislosti (4.4), obdržíme ze vztahu b

log y2  log y1 ln10 . x2  x1

(4.6)

Do rovnice (4.6) dosazujeme souřadnice dvou dostatečně vzdálených bodů vyrovnávající přímky. Nedosazujeme hodnoty z tabulky, ale dva body ležící na proložené přímce. Nevolte vždy paušálně krajní body přímky, okrajové hodnoty měřeného intervalu jsou měřeny obvykle s menší přesností. Fyzikální rozměr koeficientu b je v tomto případě určen rozměrem jmenovatele zlomku, neboť logaritmus veličiny je vždy bezrozměrné číslo. Na obr. 4.4 je závislost relativního světelného toku na tloušťce pohlcujícího prostředí x při absorpci světla, která má tvar Φr  e ax . 00 / 20

Závislost má v semilogaritmickém zobrazení (osa x má lineární a osa y logaritmické měřítko) tvar klesající přímky. Směrnice této přímky k (přičemž k = – a) je k

log 2  log 30 ln10  0,54 cm1 (7, 0  2, 0) cm

Mocninnou závislost y  axb

jednoduchého typu

(4.7) lze také transformovat na závislost lineární. Rovnici (4.7) logaritmujeme: log y  log a  b log x

(4.8)

a po substituci Y = log y , X = log x , A = log a obdržíme rovnici přímky Y  A  bX .

(4.9)

V tomto případě, jak sami vidíte, musejí mít obě osy logaritmické měřítko. Takže v Excelu nastavíte logaritmické měřítko u obou os nebo použijete logaritmický papír (tj. obě osy mají logaritmické měřítko). Na obr. 4.5 je závislost výkonu vyzařovaného žárovkou na teplotě vlákna této žárovky. Podle Stefanova–Boltzmannova zákona má být vyzařovaný výkon úměrný čtvrté mocnině absolutní teploty: P   S T 4 .

Obr. 4.5 Mocninná závislost v logaritmickém zobrazení V logaritmickém zobrazení tedy očekáváme přímku, jejíž směrnice je 4. Ze souřadnic dvou bodů nalezené přímky vypočítáme směrnici přímky, tj. koeficient b , podle vztahu

b

log y2  log y1 . log x2  log x1

Po dosazení obdržíme b

 log P log 2, 4  log 0, 2   4, 03 ,  log T log1000  log 540

což je v dobré shodě s ověřovaným Stefanovým–Boltzmannovým zákonem. Na s. 25-28 si ukážeme postup vytvoření tohoto grafu v aplikaci MS Excel.

00 / 21

4.3 Zásady tvorby grafů Grafické zobrazení je díky názornosti velmi časté a v odborné fyzikální literatuře je téměř každá naměřená závislost doplněna grafem. Pro jejich zhotovování nejsou jednoznačná pravidla – v každém oboru jsou trochu odlišné zvyklosti. Ve fyzikálním praktiku doporučujeme držet se následujících zásad: 1. Grafy zhotovujeme na milimetrovém, popřípadě jiném speciálním grafickém papíře (semilogaritmický, logaritmický, polární), obvykle formátu A4. V pravoúhlé soustavě souřadnic se nezávisle proměnná vynáší na vodorovnou osu, přičemž kladné hodnoty veličin vzrůstají vpravo a nahoru od počátku souřadnic. V polární soustavě souřadnic musí ležet počátek čtení úhlů na vodorovné nebo svislé ose a kladný smysl úhlových souřadnic musí odpovídat opačnému smyslu otáčení hodinových ručiček. 2. Osy grafu musejí být popsány symbolem nebo názvem veličiny. Do kulaté závorky nebo za lomítko uvedeme i její jednotku (není-li veličina bezrozměrná). Na vnější stranu os vyneseme stupnici, jejíž body jsou přiměřeně daleko od sebe, abychom mohli z grafu pohodlně odečítat. Čísla se píší vodorovně, a to i u svislé osy. Pokud je to účelné, užíváme mocnin 10 popř. násobků jednotek. Souřadnice naměřených bodů na osách nevyznačujeme, ty lze vyhledat v tabulce. 3. Měřítka a stupnice grafu volíme tak, aby vynášené křivky zaplňovaly co největší plochu mezi osami. Do průsečíku os klademe nuly stupnic pouze v některých případech (chceme-li např. ukázat, že graf neprochází počátkem souřadnic). Jinak začíná stupnice hodnotou o něco menší než je nejmenší vynášená. 4. Chyba při odečítání obou souřadnic je stejná jen v té části křivky, kde směrnice příslušné tečny je rovna 1. V místech, kde se křivky příliš přibližují rovnoběžkám s některou osou, je chyba odečtu jedné či druhé souřadnice z grafu větší. Tuto chybu nelze vždy odstranit pouhou změnou měřítek stupnic na osách. 5. Jednotlivé naměřené hodnoty v grafu výrazně označíme – nejlépe křížkem. Naprosto nevhodné jsou pouhé tečky, které po vytažení křivky většinou zmizí. Potřebujeme-li do jednoho grafického pole vynést více křivek a mohlo by dojít k záměně bodů, odlišujeme je různými černobílými značkami (,,,,,,). Barvy použijeme pouze tehdy, bude-li graf tisknut barevně a také barevně rozmnožován. Ke každé křivce zapíšeme hodnotu parametru, který ji určuje. 6. Body nespojujeme lomenou křivkou, spojnice bodů nemá zpravidla žádný fyzikální význam. Pokud je žádoucí vytvořit spojnici bodů, prokládáme hladkou křivku (např. pomocí křivítka). Křivku volíme tak, aby neměla fyzikálně neopodstatněné skoky, zlomy a extrémy, byla dostatečně hladká a měla přibližně stejný počet bodů nad a pod čarou. 7. Graf musí mít svoje číslo a stručný a výstižný název. Pokud to situace vyžaduje uvedeme i další potřebné údaje (datum, typ vzorku, parametry a podmínky měření, apod.). Často musíme z grafu odečíst určitou hodnotu, kterou potřebujeme pro další zpracování měření. Tyto význačné body označíme odlišně od naměřených hodnot, a to jak na křivce, tak na příslušné ose. Na následujícím obrázku jsou V–A charakteristiky diody, které budete měřit při zjišťování výstupní práce elektronu z kovu. Každou z nich jsme měřili při jiné konstantní hodnotě žhavicího proudu I ž .

00 / 22

Body, v nichž anodový proud I A dosahuje nasycení (charakteristika přejde v lineární), jsou na křivce vyznačeny kolečkem a jejich souřadnice je vynesena na osu I A , neboť právě tyto hodnoty I aN (v obrázku jsou vyznačeny I S1, I S 2 , I S 3 ) potřebujeme k dalším výpočtům

.

Všechny zásady uvedené na předchozí straně platí i pro počítačovou tvorbu grafů. Grafy ovšem v tomto případě netiskneme na milimetrový papír, ale na jednobarevný, nebo je vkládáme přímo do textu.

4.4 Grafy v MS Excelu Vzhledem k tomu, že většina studentů používá při zpracování protokolů počítač, zmíníme se stručně i o zpracování grafů v tabulkovém procesoru MS Excel. Nepůjde samozřejmě o vyčerpávající návod, většina z vás základní práci s Excelem ovládá. Zdůrazníme jenom některé kroky při tvorbě grafů, v nichž studenti nejvíce chybují. Nejlépe si vysvětlíme postup na konkrétní úloze, kterou budete měřit v laboratorním cvičení z fyziky v letním semestru, a to na ověřování platnosti Stefanova-Boltzmannova zákona. Podle Stefanova-Boltzmannova zákona (S-B zákon) je vyzářený výkon úměrný čtvrté mocnině teploty vlákna, tedy P  konst T 4 .

Má-li tento zákon platit, grafem musí být mocninná funkce. Měřením a výpočty byly získány hodnoty V-A charakteristiky, příkon, odpor a teplota vlákna žárovky a koeficient pohltivosti, které jsou uvedeny v následující tabulce:

00 / 23

U V

I mA

P W

R Ω

R/R0 -

T K

α -

0,4 1,0 2,0 4,0 5,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0

51 86 128 193 219 245 289 332 367 402

0,020 0,086 0,256 0,772 1,095 1,470 2,312 3,320 4,404 5,628

7,84 11,63 15,63 20,73 22,83 24,49 27,68 30,12 32,70 34,83

2,48 3,68 4,94 6,56 7,23 7,75 8,76 9,53 10,35 11,02

583 818 1058 1354 1473 1566 1741 1872 2010 2120

0,436 0,475 0,506 0,568 0,576 0,605 0,623 0,669 0,668 0,689

Sloupce veličin T a P uspořádáte v Excelu vedle sebe, vyznačíte data v tabulce a kliknutím na ikonu vyvoláte Průvodce grafem. V prvním dialogovém okně 1/4 vyberete typ grafu. Pro fyzikální závislosti budete vždy volit XY bodový graf. Jednotlivé body nespojujeme lomenou křivkou, spojnice bodů nemá zpravidla žádný fyzikální význam.

Ve druhém okně 2/4 upravujete oblast dat, ve většině situací lze toto okno přeskočit. Po stisknutí tlačítka „další“ přejdete na okno 3/4, kde zadáte název grafu a popis os, na posledním 4/4 zadáte umístění grafu. Takto vytvořený graf můžete snadno znovu editovat, a to tak, že na něj 2krát kliknete a otevřete ho tím pro úpravy.

00 / 24

Pak jej můžete dále doplňovat a formátovat, tentokrát klikáním pravým tlačítkem myši. Tak např. můžete naměřenými body proložit křivku, která odpovídá dané závislosti a podívat se, zda opravdu platí S-B zákon, tedy že P  konst T 4 .

Kliknete pravým tlačítkem myši na jeden z bodů grafu (ty se podsvítí) a zvolíte „přidat spojnici trendu“. Poté volíte „typ trendu a regrese“, v našem případě funkci mocninnou a na kartě možnosti zaškrtnete položku „zobrazit rovnici regrese“. V grafu se objeví rovnice vyrovnané mocninné funkce. V exponentu jsme očekávali 4, nám vyšla mocnina 4,37. Můžeme to však považovat za dobrou shodu s teorií – chyba nepřesahuje 5 %. Takovýmto postupem můžete upravovat i další parametry grafu. Např. měřítko os, hodnoty maxima a minima na osách, hodnoty průsečíku, písmo, legendu grafu, aj. Regresní funkci volíme samozřejmě podle typu fyzikální závislosti, ne podle vzhledu grafu. Nevolíme tedy lineární závislost, ale mocninnou, neboť S-B zákon má tvar P  konst T 4 . Naše body jsou v přímce jen díky logaritmickému měřítku na obou osách (viz také s. 23).

00 / 25

Graf závislosti P(T) 10,000 y = 2E-14x 4,3756

P/W

1,000

0,100

0,010 100

1000

10000

T/K

Obr. 6.1: Ověření platnosti Stefanova-Boltzmannova zákona

5 Práce v laboratoři 5.1 Teoretická příprava na měření Má-li laboratorní cvičení splnit svůj účel, je bezpodmínečně nutné, aby studenti docházeli na každé měření řádně připraveni. Nedostatečná příprava vede k mechanickému provádění jednotlivých úkolů podle pracovního postupu bez hlubšího pochopení fyzikální podstaty problému a zvyšuje nebezpečí poškození měřicích přístrojů. Při měření elektrických úloh může navíc dojít k závažným úrazům. Nejdůležitější část přípravy je přesná formulace problému, který má být řešen. Musíme si jasně uvědomit, co je hlavní cíl měření. Ve skriptech nebo jiné doporučené literatuře je nutno prostudovat příslušnou problematiku tak, abychom získali představu o tom, jaký výsledek měření můžeme očekávat. Do přípravy (podle pokynů na volné listy nebo do laboratorního sešitu) zapíšeme všechny potřebné poznámky a výpisy. Ze základních vztahů vyplyne, které dílčí veličiny mají být změřeny. I když bývá u každé úlohy navržen pracovní postup, předpokládá se, že hlavní zásady experimentální práce a obecné metody měření (např. postupnou, kompenzační apod.) student už ovládá. Je nutné tedy prostudovat i první část skript – Úvod do měření nebo nahlédnout do doporučené literatury, kterou vám sdělí učitel. Proměřujeme-li fyzikální závislost, je vhodné předem odhadnout interval hodnot měřených veličin a stanovit počet a rozložení měřených bodů. Uvážíme, kterou oblast dané závislosti je nutno proměřit hustěji.

00 / 26

Všechny nejasnosti je nutno konzultovat s učitelem předem. Student musí počítat s tím, že jeho příprava do cvičení bude kontrolována. Při nedostatečné přípravě nebude moci absolvovat cvičení v řádném termínu. Součástí každého úkolu ve fyzikálním měření je úplný a přehledný záznam o měření. Záznam musí být srozumitelný i po delším čase, a to nejen pro studenta, který měření prováděl, ale pro každého, kdo bude chtít měření analyzovat nebo v něm pokračovat. Důležitost tohoto úkolu pro technickou praxi není třeba zdůvodňovat. Poznámky se zapisují v konečné formě současně s měřením do zvláštního sešitu nebo na zvláštní papír, který je nutno nechat podepsat vyučujícím. Přepisování zápisu „na čisto“ je zbytečné a neodpovídá technické praxi. V záhlaví nezapomeňte uvést název a číslo úlohy a datum měření. Záznam musí obsahovat všechny údaje, potřebné ke zpracování celého měření. Je nutné uvést také čísla vzorků a seznam použitých přístrojů a jejich bližší specifikaci, aby bylo možné měření podle potřeby znovu opakovat a odhalit vliv konkrétních přístrojů.

5.2 Testy ve fyzikálním praktiku K rychlému prověření potřebných znalostí slouží ve fyzikálním praktiku vstupní testy zpracovávané na počítačích. V úvodní hodině se studenti dozvědí, u kterých úloh budou v semestru zařazeny. V přihlašovacím formuláři vyplníte uživatelské jméno, které jste obdrželi při zápisu (např. xlospe00), heslem je Vaše ID z Průkazu studenta. Při vlastním testování mohou studenti používat pouze kalkulátor a svou vlastní přípravu; skripta ani jiné pomůcky nejsou povoleny. Po zadání osobních údajů se vygeneruje pět testových otázek. Každá otázka obsahuje 5 volitelných odpovědí, z nichž pouze jedna je správná. Odpovídejte samostatně kliknutím myší na zvolenou volbu A, B, C, D nebo E přepínače ve spodní části stránky s otázkou a poté stiskem tlačítka „Odeslat odpověď“. Bezprostředně po odeslání je zvolená odpověď zvýrazněna tučným písmem. Zvolenou odpověď je možno opakovaně měnit, započítána je poslední odpověď uložená před vyhodnocením testu. Pokud na danou otázku neodpovíte, je Vám započítána špatná odpověď. Mezi stránkami s otázkami se pohybujete pomocí pěti záložek v horní části okna. Kromě nich je tu záložka „Test“, která obsahuje přehled aktuálně zvolených odpovědí a tlačítko „Vyhodnotit test“, kterým je proveden přechod na vyhodnocení testu. Jednotlivé stránky testu můžete zobrazovat v libovolném pořadí, na již navštívené stránky je možné se vracet. V průběhu řešení testu nepoužívejte tlačítka „Zpět“, „Vpřed“ nebo „Aktualizovat“, jejich stisk způsobí ukončení testu. Pokud zavřete okno prohlížeče, je test ukončen. Po ukončení testu již není možné test opakovat. V pravém horním rohu se zobrazuje čas, který zbývá do konce testování, celý test trvá zpravidla 10 minut. Po uplynutí celkové doby nebo po stisku tlačítka „Vyhodnotit test“ na stránce „Test“ je provedeno vyhodnocení testu. Jestliže budete odpovídat až těsně před vypršením časového limitu, může se stát, že Vaše odpověď už nebude započítána. Po ukončení testu si můžete výsledek prohlédnout na stránce „Test“. Ve spodní části stránky s každou otázkou je navíc uvedeno písmeno Vámi zvolené odpovědi a písmeno správné odpovědi. Tlačítkem „Konec prohlížení“ na stránce „Test“ nebo po vypršení časového limitu je ukončeno prohlížení odpovědí a zobrazena stránka s celkovým výsledkem testu.

00 / 27

5.3 Zapojování obvodů Základním předpokladem úspěšné a bezpečné práce v elektrické laboratoři je dokonalá znalost schémat zapojovaných obvodů a pochopení fyzikálních jevů v daném úkolu. Napsat přesný, podrobný a přitom univerzální návod na to, jak konkrétně sestavit skutečný měřicí obvod, není prakticky možné. Přesto bude krajně účelné, aby se hlavně začátečník držel následujících zásad pro zapojování obvodů a pro zacházení s elektrickými přístroji.  Jakékoliv elektrické zdroje (el. rozvodná síť, akumulátorové baterie, Westonův normální článek, ale i – pokud vstup máme trvale pod napětím – výstupní svorky transformátorů, elektronických zdrojů, generátorů nf kmitů, atd.) zapojujeme do obvodu zpočátku pouze jednou svorkou, a to zemněnou. Druhou svorku („živou“) necháme přímo na zdroji rozpojenou. Síťové vidlice pochopitelně nezasuneme.  Obvod začneme zapojovat obvykle od zdroje energeticky nejsilnějšího, resp. nejméně choulostivého na přetížení. Postupně připojujeme další prvky obvodu, a to tak, abychom se pokud možno nejkratší cestou dostali od jedné svorky ke druhé. Přijdeme-li ve schématu do uzlu, není účelné začít zapojovat hned všechny větve. Velmi často se právě zde dopustíme nějaké chyby. Po zapojení hlavního obvodu zapojíme postupně další, popřípadě připojíme boční větve k hlavnímu obvodu.  Měřidla přepneme na nejvyšší rozsahy – snížíme tak riziko případného poškození přístroje. Měřidla přepínáme na vyšší rozsah při každé změně v zapojení či v podmínkách měření. Zkontrolujeme, nebudou-li překročeny maximální přípustné hodnoty napětí a proudu všech prvků obvodu.  Elektronické přístroje potřebují určitou dobu k nažhavení, resp. k teplotní stabilizaci součástí (alespoň 5 až 10 minut). U osciloskopů stáhneme úplně jas obrazovky vždy, když neměříme (přístroj nevypínáme). Časté zapínání a vypínání elektronickým přístrojům neprospívá.  V dvojici přívodů rozlišujeme vždy „živý“ a „zemněný“ přívod. Je nutno dát zvlášť dobrý pozor na to, aby živý přívod nebyl zkratován např. tím, že by byl spojen se zemněným přívodem dalšího přístroje, a tedy prostřednictvím zemnících kolíků zásuvek zpět se zemněním původního přístroje.  Před připojením k regulovatelným zdrojům (regulační transformátor, potenciometr, reostat apod.) se musíme přesvědčit, jsou-li skutečně nastaveny na minimum omezované hodnoty. Nastavení na minimum nebo alespoň snížení hodnot musíme opakovat před každou změnou v zapojení.  Po úplném sestavení obvodu je nutné celé zapojení překontrolovat a pak teprve připojit ke zdroji. V našich laboratořích nesmí žádný student připojit elektrický obvod nebo zařízení ke zdrojům bez vědomí vyučujícího.  Při měření pak musíme počítat s tím, že vedle prvků, užívaných ve schématu, se mohou uplatňovat odpory, indukčnosti a kapacity spojovacích vodičů, přechodové odpory, které vznikají na styku dvou vodičů, vnitřní odpory zdrojů, impedance voltmetrů a ampérmetrů a také parazitní termoelektrická napětí. U každého měření musíme posoudit, které z uvedených veličin mohou mít vliv na výsledek měření.

00 / 28

5.4 Bezpečnost práce Pro práci ve fyzikální laboratoři FEKT VUT je stanoví laboratorní řád, s kterým se studenti seznámí v úvodní hodině, a který musí bezpodmínečně dodržovat. Jedná se zejména o následující zásady: 1. Dbát všech upozornění uvedených na bezpečnostních a informačních tabulkách umístěných v laboratoři. 2. Nepoužívat žádné přístroje a zařízení bez prostudování jejich obsluhy. 3. S horkými předměty manipulovat jen pomocí vhodných pomůcek. 4. Okamžitě hlásit vyučujícímu každý úraz v laboratoři. Velkou pozornost je třeba věnovat zejména předcházení úrazům způsobených elektrickým proudem, neboť tuto skutečnost stále ještě mnoho lidí (i poučených) podceňuje. Je všeobecně známo, že na každý organismus působí elektrický proud jinak. Rozhodující veličinou není, jak se většina lidí mylně domnívá, velikost napětí, ale velikost proudu. Velikost napětí, které je lidskému zdraví a případně i životu nebezpečné, závisí totiž na mnoha okolnostech, takže někdy to může být 100 V, jindy až 200 V a v některých případech třeba jen 50 V. To záleží na tom, jaký je:   

Povrchový odpor těla – zpravidla jde o odpor kůže v místě dotyku s vodičem. Tato veličina mění svoji hodnotu s vlhkostí kůže a mívá hodnotu několik kΩ . Objemový odpor lidského těla – který závisí na vzájemné geometrické poloze elektrod (dotýkajících se vodičů), na jejich vzájemné vzdálenosti apod. časový průběh elektrického proudu – střídavý proud 50 Hz je daleko nebezpečnější než stejnosměrný proud téže velikosti. Kromě toho je prokázáno, že účinky střídavých proudů vyšších frekvencí jsou menší ve srovnání se střídavými proudy nízkých kmitočtů.

Dospělý člověk snese napětí velmi vysoké frekvence až do 100 kV. Kmitočty většiny střídavých proudů používaných v praxi jsou však bohužel takové, že způsobují člověku největší škody na zdraví. Za bezpečný bývá považován stejnosměrný proud do 10 mA a střídavý proud o frekvenci do 100 Hz do 3,5 mA. Jak již bylo uvedeno, o účinku elektrického proudu rozhoduje velikost proudu, který lidským tělem prošel. Dojde-li při veškeré opatrnosti k úrazu elektrickým proudem, je naděje na záchranu postiženého tím větší, čím dříve je mu poskytnuta pomoc. Proto je důležité, aby s první pomocí bylo seznámeno co nejvíce lidí bez ohledu na jejich elektrotechnickou kvalifikaci.

Záchranné práce musejí probíhat vždy v tomto pořadí:

Vyprostit postiženého Vyproštění je zapotřebí provést co nejrychleji, ale tak, aby nebyl proudem zasažen sám zachránce, a to vypnutím obvodu nebo odtažením postiženého, případně odsunutím vodiče, který úraz způsobil. K odsunutí je třeba použít suchého izolantu, v krajním případě lze vodič uchopit rukou chráněnou několika vrstvami suché tkaniny.

Zavést oživovací pokusy V případě, že postižený nedýchá nebo přestal dýchat, nezdržujeme se ošetřováním vedlejších úrazů, ale zahájíme dýchání z plic do plic. Z úst odstraníme překážky, které by mohly dýchání bránit a postiženého položíme na záda. Jeho hlavu zakloníme co nejvíce vzad 00 / 29

a otevřeme ústa. Jsou-li křečovitě stažena, neotvíráme je násilím, ale dýcháme nosem postiženého. Provádíme-li dýchání do úst, je zapotřebí zamezit unikání vdechnutého vzduchu nosem. Zpočátku vdechneme asi 10-krát v intervalu jedné sekundy, pak pokračujeme kolem 15 vdechů za jednu minutu. Vdechnutý vzduch vychází samovolně z plic ústy postiženého. Jestliže umělé dýchání není účinné a nemá-li postižený hmatný tep, je třeba začít s nepřímou srdeční masáží. Zachránce položí zápěstí pravé ruky dlaňovou stranou asi 3 až 5 cm nad dolní okraj hrudní kosti postiženého. Levou ruku položí přes pravou a vahou vlastního těla stlačuje rytmicky hrudní kost do hloubky asi 4 až 5 cm rychlostí 100krát za minutu. Vždy na 30 stlačení připadají 2 vdechy metodou z plic do plic. Nepřímá masáž a umělé dýchání se provádí až do oživení postiženého nebo příchodu lékaře.

Přivolat lékaře Ohlásit úraz odpovědnému zástupci organizace Měření s laserem Lasery vyvíjejí značné intenzivní záření ve viditelné i neviditelné spektrální oblasti. Uvedené záření škodí osobám a předmětům, především svými tepelnými účinky. Záření laseru může u člověka způsobit poranění pokožky a poškození očí. Může dojít i k poškození hlouběji uložených tkání. Citlivost na účinky laserového záření je individuální. Při práci je nutné dodržování následujících zásad: Laserové záření škodí osobám a předmětům především svými tepelnými účinky – může způsobit poškození pokožky i očí. 

Vstup do laboratoře je povolen pouze studentům, kteří měří danou úlohu.



Laser zapíná a vypíná učitel. Dráha laserového paprsku je z bezpečnostních důvodů zakrytována, takže nemůže dojít k náhodnému zasažení oka. Studenti mohou manipulovat pouze těmi ovládacími prvky, které jsou nutné pro splnění úkolu měření.



Na sítnici oka nesmí dopadnou paprsek laseru, oko může být poraněno nejen přímými, ale i difusně odraženými paprsky. Při měření je proto nutné sundat z ruky všechny lesklé předměty (hodinky, prsteny apod.).



V úvodní hodině laboratorních cvičení musí být studenti prokazatelně seznámeni se zásadami bezpečnosti práce v laserové laboratoři a používání ochranných pomůcek.



Stolní lampa, zajišťující nepřímé osvětlení měřících přístrojů, musí být neustále rozsvícena. Při jakékoliv poruše a při nejasnostech je třeba přivolat učitele.

Měření se zářiči S radioaktivními látkami lze pracovat pouze v dozimetrické laboratoři, tj. v místnosti 327. Před zahájením výuky musí být studenti prokazatelně seznámeni s těmito pokyny a během výuky je bezpodmínečně dodržovat. 

Radioaktivní látky užívané při výuce jsou umístěny v olověných skříňkách nebo zařízeních u jednotlivých úloh. Všechny skříňky se zářiči jsou označeny a trvale uzamčeny. Zářiče vydává a po ukončení měření uschovává učitel.



V dozimetrické laboratoři je zakázáno jíst, pít a kouřit. Po skončení práce se zářiči se doporučuje umýt si ruce v tekoucí vodě (z důvodů možnosti nepředvídaného vnějšího zamoření). 00 / 30



Bližší pokyny ke způsobu práce s jednotlivými zářiči vydává podle potřeby zodpovědný pracovník ve formě dodatků k tomuto řádu (Ing. Jiří Majzner).



V případě ztráty zářiče zahájit okamžitě pátrání po zářiči s použitím Geiger-Müllerova čítače. Při jakékoliv poruše a při nejasnostech je třeba přivolat učitele.



O ztrátě zářiče informovat vedoucího ústavu a zodpovědného pracovníka.

5.5 Vlastní měření V laboratoři se nejprve před měřením přesvědčte, zda jsou připraveny všechny potřebné přístroje, pečlivě si je prohlédněte a seznamte se s jejich funkcí. Všimněte si a prostudujte pokyny k úloze a do sešitu zaznamenejte všechny změny. Zapište, jaké přístroje skutečně použijete, příp. opravte tabulky. Nebojte se s učitelem prodiskutovat pracovní postup měření, připadá-li vám váš návrh lepší. U některých úloh mohlo dojít ke změnám, které nejsou zachyceny ve skriptech. Poté připravte přístroje k měření, elektrické obvody zapojte podle schématu a požádejte učitele, aby zapojení zkontroloval. Elektrické zdroje může student zapojit až po jeho souhlasu. Z předběžného rozboru přesnosti měření vyplyne, jak přesně potřebujete určit hodnoty jednotlivých dílčích veličin a tomu přizpůsobíte způsob měření. Normální laboratorní měření jsou požadována s přesností do 1 %, někdy až do 5 %. Taková měření vyžadují kvalitní, ale jinak běžné měřicí přístroje a vhodně zvolenou metodu. U orientačních měření připouštíme přesnost do 10 %. Dbejte o správné odečítání hodnot na měřicích přístrojích (pozor na osobní chyby) a správnou manipulaci s nimi. Vždy odhadujte desetiny nejmenších dílků stupnice. Při odečítání hodnot na stupnici musíme dát pozor na chybu z úkosu (tzv. paralaktickou chybu). U nulových metod je potřeba opětovně kontrolovat nulovou polohu přístroje. Zvolený pracovní postup přesně dodržujte a poznamenejte si všechny okolnosti, které by mohly mít vliv na výsledky měření. Chybu určujeme i u jednorázových měření, a to nejčastěji jako mezní odhad chyby. Nezapomeňte proto zaznamenat u elektrických měřicích přístrojů třídu přesnosti.

Je důležité, aby student během celého cvičení přivykal kritickému pohledu na vlastní práci. V laboratoři máte za úkol nejen změřit hodnoty zadaných fyzikálních veličin, ale také umět ohodnotit správnost a přesnost naměřených výsledků. Nesoulad mezi naměřenou hodnotou dané fyzikální veličiny a hodnotou očekávanou (obvyklou, tabelovanou) nemusí být ani neočekávaný ani nežádoucí. Naopak – je příležitostí k fyzikálnímu pátrání po možných zdrojích tohoto jevu a k získání dalších experimentálních zkušeností.

00 / 31

6 Pokyny ke zpracování naměřených hodnot Při numerických výpočtech nesmíme zapomínat, že naměřené hodnoty veličin jsou pouze přibližná, neúplná čísla. Platné cifry (číslice) daného čísla jsou všechny od první nenulové zleva do poslední zapsané vpravo. Poslední zapsaná cifra – získaná zpravidla odhadem desetin dílků na stupnici – je již zatížena chybou měření. Význam mají tedy i pravostranné nuly, protože jimi dáváme najevo, jak přesně bylo provedeno měření. Zapíšeme-li výsledek měření bez udané chyby, považujeme za chybu jedničku na posledním řádu zapsané číslice. Údaj d = 1,2 m tedy znamená, že měření bylo provedeno s chybou 0,1 m – relativní chyba přibližně 10 %. Naproti tomu tentýž výsledek zapsaný ve tvaru d = 1,200 m chápeme jako d  (1, 200  0,001) m , což je velmi přesná hodnota (relativní chyba zhruba 0,1 %). Výsledek bez zapsané chyby připouštíme pouze v případě, kdy pro další výpočty postačí řádový odhad chyby. Chyby uvádíme na jednu platnou číslici a zaokrouhlujeme vždy nahoru. Pouze v případě, kdy by to neúměrně zhoršilo přesnost výsledku, uvedeme chybu na dvě číslice. Vypočítanou chybu  ( X )  3,382 102 m zapíšeme tedy  ( X )  4 102 m . Pokud ale vyjde chyba

například

 ( X )  1,112 102 m ,

zapíšeme

raději

 ( X )  1, 2 102 m ,

neboť

zaokrouhlením na 2 102 m bychom chybu prakticky zdvojnásobili. Výsledek měření uvádíme na tolik míst, aby poslední zapsané číslo výsledku bylo stejného řádu jako poslední číslo chyby. správně

d  (6,84  0,02) m

správně

d  (6,84  0,11) m

nesprávně

d  (6,843  0,02) m

nesprávně

d  (6,8  0,018) m

Pro zápis naměřených i vypočtených hodnot užíváme zásadně mocnin 10, neboť do platných čísel se nepočítají nuly plynoucí z činitele 10n . Je-li U = 14000 V určeno s platností na 3 číslice, musíme údaj zapsat buď U = 14,0 kV nebo U = 1,40.104 V. Musíme mít na paměti, zejména při používání kalkulaček (bez zaokrouhlování), že nemůžeme pouhým výpočtem zvyšovat přesnost výsledku. Dosažená přesnost musí odpovídat použitým měřicím přístrojům a metodě měření. Při sčítání a odečítání se výsledek zaokrouhluje na poslední platné místo toho řádu, který je u všech sčítanců platný. Příklad:

15,6 + 2,35 + 0,093 – 0,155 + 0,3 = 18,188 = 18,2 .

Při násobení a dělení je možno u výsledku zapsat nanejvýš tolik platných cifer, kolik má číslo s nejmenším počtem platných cifer. Příklad:

24,1523,46 = 83,56592 = 83,6 .

00 / 32

Při výpočtech uvedeme pro každý použitý vztah příklad číselného dosazení. Do rovnice dosadíme hodnoty veličin i s příslušnými jednotkami a číselné hodnoty konstant a bez dalších mezivýsledků uvedeme konečný výsledek. Používáme-li pouze soustavu jednotek SI a předem známe jednotku, v níž vyjde číselná hodnota výsledné veličiny, mohou se do rovnice dosadit číselné hodnoty veličin a jednotka výsledné veličiny se připíše za výraz. Důsledně dbáme o to, aby rovnice byly rozměrově homogenní. Pro vyhodnocení přímých opakovaných měření lze s výhodou využít kalkulátoru se statistickými funkcemi, z nichž využijeme aritmetický průměr x , který je definován v návodech ke kalkulátorům shodně s rovnicí (3.5) a směrodatnou (standardní) odchylku výběru s (značenou také  n1 ) definovanou shodně s rovnicí (3.7). V návodech ke kalkulátorům je upravena obvykle na tvar

 n1 

( x ) 2 n n 1

 x2 

(6.1)

Postup je tedy následující: 1. Zvolíme statistický režim kalkulátoru. 2. Do paměti kalkulátoru zadáme postupně naměřené hodnoty xi (klávesou M+ nebo DATA). 3. Klávesou x vyvoláme hodnotu aritmetického průměru. 4. Klávesou  n1 vyvoláme výběrovou směrodatnou odchylku. 5. Tuto hodnotu vydělíme odmocninou z počtu měření – obdržíme výběrovou směrodatnou odchylku průměru:

sx 

 n1

(6.2)

n

6. V tab. 3.1 najdeme pro zvolenou pravděpodobnost P a počet měření n hodnotu koeficientu tn, P a určíme chybu výsledku:

 ( X )  tn, P  s x

(6.3)

Tuto chybu zaokrouhlíme na 1, nejvýše 2 číslice. 7. Výsledek opakovaného měření pak zapíšeme ve tvaru X  x  (X )

z n měření při P  95%,  r ( X ) 

 (X )

100% (6.4) x Střední hodnotu zaokrouhlujeme na stejný řád jako chybu, neboť nemá smysl zapisovat výsledek s větší přesností, než je hodnota chyby.

Pro snadné porovnání náhodných vlivů a chyb přístrojů nebo metody uvádíme vždy i soustavnou relativní chybu měřidla ur ( X ) a snažíme se, aby náhodná chyba byla pokud možno menší nebo srovnatelná s chybou měřidla. Opakování každého měření není však vždy možné a ani účelné. Pokud se při měření uplatňují výrazněji soustavné chyby nebo je přesnost jednoho měření postačující, nesnažíme se „udělat učiteli radost“ a naměřit obligátních deset hodnot, které navíc uměle vhodně rozptýlíme. 00 / 33

Přesnost měření musíme ovšem posoudit i v případě jednoho měření veličiny X, a to odhadnutou chybou u ( X ) z třídy přesnosti přístrojů, z výrobní tolerance odporů, kondenzátorů apod. Pod pojmem „jedno měření“ ovšem rozumíme jedno měření plus jedno kontrolní měření, abychom mohli vyloučit hrubou chybu. Odhadnutá chyba měření nám umožní zapsat správný (tj. reálný) počet platných míst výsledku.

6.1 Příklady Příklad 1 Při určování momentu setrvačnosti homogenní desky přímou metodou, tj. ze vztahu 1 m(a 2  b 2 ) , musíme změřit její rozměry a a b. Hmotnost desky je známa bez udání J 0  12 chyby, údaj m = 1,805,0 g budeme tedy chápat jako m = (1,805,0 ± 0,1) g. Vzhledem k malé hodnotě relativní chyby  r (m)  0,005 % ji při dalších výpočtech zanedbáme. i

a (mm)

b (mm)

1

601,5

80,65

2

601,0

a  601,1 mm

80,70

b  80, 295 mm

3

601,5

sa  0,16329 mm

80,55

sb  0,10012 mm

4

601,5

80,50

5

601,5

80,30

6

600,0

7

601,5

8

601,5

9

600,5

79,85

10 601,0

80,35

u(a)  0,5 mm

80,15

ur (a)  0,08 %  0,1 %

80,10 79,80

u(a)  0,05 mm ur (a)  0,06 %  0,1 %

V tabulce jsou pro srovnání uvedeny také soustavné chyby u a ur použitých měřidel v absolutním a relativním tvaru. Rozměr a desky jsme měřili kovovým měřítkem, veličinu b posuvkou. Chyby veličin a a b jsou podle vztahu (6.3):

 (a)  2, 262  sa  0,36936 mm

po zaokrouhlení

 (a)  0, 4 mm

 (b)  2, 262  sb  0, 226 47 mm

po zaokrouhlení

 (b)  0,3 mm

Hodnotu koeficientu tn, P pro požadovanou 95%-ní pravděpodobnost a 10 měření jsme odečetli z tab. 3.1. Výsledky přímých měření tedy zapíšeme ve tvaru: a  (601,1  0, 4) mm

při P  95 %

a

n  10

 r (a)  0,07 %  0,1 %

b  (80,3  0,3) mm

při P  95 %

a

n  10

 r (b)  0,37 %  0, 4 %

00 / 34

Náhodná a soustavná chyba jsou u veličiny a srovnatelné, u veličiny b je náhodná chyba oproti soustavné o něco větší. Vzhledem k menšímu rozměru b jsou však chyby ur (a) a ur (b) srovnatelné. Moment setrvačnosti je: J0 









1 1 m a 2  b2  1,805 601,12  80,32 106 kg.m2  5531,863 105 kg.m 2 12 12

Chyba  ( J 0 ) je podle vztahu z tab. 3.2:

 ( J0 ) 

m 1,805 a   (a)  b   (b)    601,1 0, 4  80,3  0,3 106 kg.m2  8 105 kg.m 2   6 6

Výsledek zaokrouhlíme tak, aby poslední platná cifra výsledku byla stejného řádu jako chyba.

J 0  (5532  8) 105 kg.m2

při P  95 %

a

n  10

 r ( J 0 )  0, 2 %

Příklad 2 Měření elektrického odporu přímou metodou se provádí na základě Ohmova zákona, tj. pomocí měření procházejícího proudu a příslušného úbytku napětí. Napětí U jsme měřili voltmetrem s třídou přesnosti 0,5 o rozsahu 6 V. Naměřená hodnota napětí byla U = 5,85 V. Ampérmetr měl rozsah 60 mA a třídu přesnosti 1, naměřená hodnota I = 21,2 mA. Chyby odečítání na stupnici jsme určili u1(U )  0,01 V , u1( I )  0,1 mA . Chyby přístrojů dané jejich třídou přesnosti jsou u2 (U )  0,03 V , u2 ( I )  0,6 mA . Je zřejmé, že chyby odečítání na stupnici lze zanedbat vůči mezním chybám přístrojů. Vypočítáme odpor R: R

U 5,85  Ω  275,943396 Ω . I 21, 2 103

Relativní chyba  r ( R) bude

 r ( R)  odtud

 ( R) R



 (U )  ( I ) U



I

 0,5 %  2,8 %  3 % ,

( R)  R r ( R)  8, 2783 Ω  9 Ω .

Výsledek zapíšeme: R  (276  9)  ,

 r ( R)  3 %

Je jasně vidět, že ne všechny přímo měřené veličiny mají stejný vliv na přesnost výsledku. V našem příkladě byla rozhodující chyba u(I). Pro dosažení přesnějšího výsledku bychom museli použít ampérmetr s lepší třídou přesnosti.

00 / 35

6.2 Vypracování protokolu o fyzikálním měření Na začátku semestru určí vyučující, ze kterých měření vypracuje student protokol. Protokol musí obsahovat: 

Vyplněnou hlavičku První list protokolu opatříte razítkem, které je k disposici v každé laboratoři nebo si ho v elektronické podobě stáhněte z webu a ve všech kolonkách tuto tabulku vyplníte.



Název úlohy



Úkol měření Stručné vymezení toho, co se má měřením zjistit. Podklady najdete ve skriptech nebo v laboratoři u úlohy.



Popis metody měření Uvedete teoretický základ užité metody (vlastními slovy, neopisujte doslova celé pasáže skripta!!), vztahy a vzorce potřebné ke zpracování naměřených hodnot s vysvětlením použitých symbolů. Uváděné rovnice je někdy vhodné číslovat.



Popis experimentu Nakreslíte schéma měřicího zařízení podle povahy úlohy. Obrázky kreslete podle pravítka, ne rukou! Uvedete použité přístroje a pomůcky (identifikace výrobním číslem nebo evidenčním číslem).



Naměřené hodnoty a jejich zpracování Tabulky hodnot opakovaných měření a hodnoty veličin vypočtených. Tabulka musí mít číslo a název, veličiny v záhlaví tabulek musí mít jednotky. Rastr tabulek rýsujte podle pravítka. U každé měřené veličiny provedete výpočet nebo odhad chyby.



Příklad výpočtu Uvedete každý použitý vztah s číselným dosazením a poté bez dalších mezivýpočtů výsledek. Opakuje-li se výpočet vícekrát, uvedete jeden příklad numerického dosazení.



Grafy Měříte-li fyzikální závislosti, zpracujete do grafu. Všechny grafy musí být úhledné a na první pohled srozumitelné (viz kapitoly 4.3 a 4.4).



Zhodnocení výsledků měření Přehledně uvedete výsledky měření s udáním chyby. Při měření více metodami provedete porovnání výsledků z hlediska přesnosti. Je-li to možné, provedete porovnání s tabulkovou hodnotou. Pokud se váš výsledek liší o více než trojnásobek chyby měření, je pravděpodobné, že vaše měření je zatíženo nějakou soustavnou chybou (nevhodná metoda, zanedbání podstatného vlivu apod.). Možná je také hrubá chyba při měření nebo ve výpočtu.

Poznámka: Při zpracování protokolů včetně grafů je samozřejmě možno využít PC a vhodný textový a tabulkový procesor.

00 / 36

7 Měřicí přístroje a zdroje Měřicí přístroje jsou zařízení určená k měření fyzikálních veličin, které jsou pomocí jiných přístrojů nebo snímačů převedeny na elektrický signál (napětí nebo proud). Základní elektrické veličiny, kterými jsou napětí a proud, lze měřit v zásadě dvěma typy přístrojů, a to ručkovými (analogovými) a číslicovými (digitálními). Ručkové měřicí přístroje pracují na principu silových působení magnetických polí, která jsou vyvolaná velikostí procházejícího (měřeného) proudu cívkami přístroje. Základem většiny ručkových měřících přístrojů je vlastní měřící systém, který má podle způsobu převádění měřené elektrické veličiny na mechanický pohyb definovanou tzv. vlastní spotřebu. Jedná se o číselné údaje veličin, které daný systém charakterizují (většinou velikostí vnitřního odporu) a hodnotu připojené veličiny, která vyvolá maximální výchylku na stupnici. Tyto hodnoty pak definují nejmenší měřicí rozsah přístroje. Jako příklad uvádíme pro magnetoelektrický měřicí systém hodnoty 60 mV/10 . Současně používané ručkové měřicí přístroje využívají většinou stejný měřicí systém a podle způsobu a velikosti připojených rezistorů pak vytvářejí buď voltmetr nebo ampérmetr.

Ampérmetr je měřicí přístroj určený k měření procházejícího proudu. Do obvodu se zapojuje sériově (obr. 7.1). Jeho rozsah je možno zvětšovat paralelně k němu připojeným rezistorem, který nazýváme bočník (obr. 7.2). Chceme-li rozsah ampérmetru zvětšit n-krát, tj. I  nI A , pak odpor bočníku je: Rb 

RA . n 1

(7. 1)

Rb

IB I

A

RA

U

I RZ

U

Obr. 7.1

IA

A R A RZ

Obr. 7.2

Aby ampérmetr minimálně ovlivňoval skutečnou velikost měřeného proudu, je nutné, aby jeho vnitřní odpor byl co nejmenší.

00 / 37

Voltmetr je měřicí přístroj určený k měření napětí v elektrických obvodech. K měřenému dvojpólu se připojuje paralelně (viz obr. 7.3). Jeho rozsah je možno zvětšovat sériově k němu připojeným rezistorem, který nazýváme předřadník (obr. 7.4). Chceme-li rozsah voltmetru zvětšit n-krát, tj. U  nUV , pak odpor předřadníku je: Rp  RV (n  1)

(7.2)

Obecným požadavkem pro měření voltmetrem je, aby jeho vnitřní odpor RV byl co možná největší.

I

RV I

V RZ

U

RZ

U

V

RP RV

Obr. 7.3

Obr. 7.4

Velmi často potřebujeme při měření nastavovat v elektrických obvodech napětí nebo procházející proud, které jsou od hodnoty napájecího zdroje odlišné. Nejjednodušší je použít k tomu různě zapojený rezistor, který má jezdce tvořícího odbočku – prvek se nazývá

potenciometr. I

R1

U1

R1

R2

1

U R2

U2

A

U

RZ

RZ

RA

2

Obr. 7.5

Obr. 7.6

Pro regulaci napětí směrem k nižším hodnotám napětí než má napájecí zdroj použijeme potenciometr v zapojení napěťového děliče. Na náhradním elektrickém schématu na obr. 7.5 jsme nastavili jezdce potenciometru tak, že první část má odpor R1 a druhá R2 . Posunem jezdce se hodnoty R1 a R2 mění.

00 / 38

U nezatíženého děliče napětí je jeho výstupní napětí U 2  U1

R2 . R1  R2

(7.3)

U napěťového děliče, který je na výstupu zatížen rezistorem RZ je pak výstupní napětí: R2 RZ R2  RZ U2  U . RR R1  2 Z R2  RZ

(7.4)

Pro nastavování proudu obvodem používáme potenciometru zapojeného jako reostat (obr. 7.6.) Část potenciometru R1 , přes níž proud prochází, je proměnná a tedy proud tekoucí obvodem je ( R2 se neuplatní):

I

U . R1  RA  RZ

(7.5)

Stabilizovaný zdroj BS 525 je zdroj dvou nezávislých stabilizovaných napětí, z nichž každé je možno plynule regulovat od 0 do 30 V. Každá jednotka je vybavena plynule regulovanou ochranou proti přetížení, která omezuje výstupní proud na předem nastavenou hodnotu. Rozmezí regulace ochrany je možno volit od 0,05 A do 1,1 A. Pokud proudová ochrana je ve funkci, svítí LED, která je umístěna vedle nastavovacího elementu. Výstupní napětí je měřeno na vestavěném indikačním přístroji, a to zvlášť na každé jednotce. Po přepnutí horního přepínače umístěného vedle indikátoru je na měřicím přístroji indikována hodnota výstupního napětí, po stisknutí spodního je pak indikována hodnota odebíraného proudu. Pro přesné měření výstupního napětí je třeba použít vnější voltmetr. Každý ze zdrojů má tři výstupní zdířky, ke kterým se připojuje zátěž. Střední svorka (zelená) je spojena jen s kostrou přístroje. Využívá se k vytvoření symetrického napětí pomocí dvou vnějších rezistorů. Ke zbývajícím dvěma svorkám je připojeno výstupní napětí. Pokud chceme ze zdroje odebírat vyšší výstupní napětí než 30 V, je možno zdroje spojit do série. Pak ale musí být některá z výstupních svorek spojena s kostrou přístroje a obě jednotky musí mít nastaveny stejný omezovací výstupní proud.

Poznámka Společně s ručkovými měřicími přístroji se v laboratořích objevují i měřicí přístroje číslicové (digitální) a také další zdroje. Pokud to bude nutné, najdete jejich popis u jednotlivých úloh.

00 / 39