5
Obsah
obsah
obsah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Přehled veličin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Úvodem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Předmluva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1
Úvod do mechaniky . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6 1.2.7
Rozdělení mechaniky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O pohybu a prostoru v mechanice . . . . . . . . . . . Hmota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Čas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Síla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Veličiny a jednotky používané v mechanice . . . . Fyzikální zákony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vytváření rovnic v mechanice . . . . . . . . . . . . . .
2
Základní pojmy a zákony statiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.9.1 2.9.2 2.9.3 2.9.4
Princip akce a reakce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Síly na společné nositelce . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zákon rovnoběžníka sil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Moment síly k bodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dvojice sil a její moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mechanická práce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Výkon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Páka – pákové pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vazby těles, metoda uvolňování těles . . . . . . . . Podpora volná . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Podpora pevná (rotační) . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vazba vetknutím . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uvolňování těles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Rovinná soustava sil . . . . . . . . . . . . . 25
3.1 3.1.1 3.1.2 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.4 3.4.1
Soustava sil působící na jedné nositelce . . . . . . . Výslednice sil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rovnováha sil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soustava sil procházející jedním bodem . . . . . . Výslednice sil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rovnováha tří sil se společným působištěm . . . . Rozklad sil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skládání několika různoběžných sil se společným působištěm . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rovnováha více sil procházející jedním bodem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Momenty sil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statický moment síly k bodu . . . . . . . . . . . . . . . . Silová dvojice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Přeložení síly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Obecná rovinná soustava sil . . . . . . . . . . . . . . . . Výslednice sil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 11 11 12 12 12 14 16 16
18 18 19 19 19 20 20 21 21 21 22 23 23
25 25 26 26 26 27 30 31 32 33 33 36 38 38 38
3.4.2 3.4.3 3.5 3.5.1 3.5.2 3.5.3 3.5.4 3.6 3.6.1 3.6.2 3.6.3
Rovnováha sil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rovnováha čtyř sil v rovině . . . . . . . . . . . . . . . . Rovnoběžné síly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dvě rovnoběžné síly stejného smyslu, určení výslednice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dvě rovnoběžné síly opačného smyslu, určení výslednice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Několik rovnoběžných sil . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rozklad dané síly do dvou směrů . . . . . . . . . . . . Rovnováha vázaného tělesa v rovině . . . . . . . . . Jeden pevný podporový bod . . . . . . . . . . . . . . . . Dvě jednoduché podpory, vazbové síly v podporách nosníku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tři jednoduché podpory . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40 41 42 43 43 44 45 45 45 46 52
4 Soustava prostorových sil . . . . . 54 4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.2 4.3 4.3.1
Soustava sil se společným působištěm . . . . . . . . 54 Určení výslednic tří kolmých složek . . . . . . . . . . 54 Výslednice soustavy různoběžných sil se společným působištěm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Rovnováha soustavy sil se společným působištěm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Rovnoběžné síly v prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Obecná soustava sil v prostoru . . . . . . . . . . . . . . 56 Rovnováha sil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5
Příhradové nosníky . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1 5.2
Styčníková metoda řešení osových sil v prutech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Průsečná metoda řešení osových sil v prutech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6
Těžiště . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.1 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.2 6.2.1 6.2.2 6.3 6.3.1 6.3.2 6.4 6.4.1 6.4.2 6.5
Těžiště plochy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Těžiště základních ploch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Těžiště složených ploch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Těžiště plochy omezené obecnou křivkou . . . . . 69 Těžiště čar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Těžiště složené rovinné čáry . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Těžiště obecné rovinné křivky . . . . . . . . . . . . . . 71 Těžiště těles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Těžiště základních těles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Zjišťování těžiště těles pokusem . . . . . . . . . . . . . 74 Guldinovy věty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Výpočet povrchu rotační plochy . . . . . . . . . . . . . 74 Výpočet objemu rotačního tělesa . . . . . . . . . . . . 75 Stabilita těles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7
Tření . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.1 7.2
Význam tření v denním životě a v technické praxi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Druhy tření . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6 7.3 7.3.1 7.3.2 7.3.3 7.3.4 7.3.5 7.3.6 7.4 7.4.1 7.4.2 7.5 7.5.1 7.5.2 7.6 7.6.1 7.7
Obsah
Smykové tření . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Nepohybující se těleso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Tření za pohybu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Třecí úhel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Tření v klínové drážce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Vzpříčení vedeného tělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Sevření tělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Čepové tření . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Radiální čepy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Axiální čepy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Vláknové tření . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Základní vztahy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Silové poměry u otevřeného řemenového převodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Odpory při valení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Valení po vodorovné rovině . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Odpory při pomalém pohybu vozidla po vodorovné rovině . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8 Silové poměry u jednoduchých mechanismů s pasivními odpory 97 8.1 Páka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 8.1.1 Úhlová páka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 8.1.2 Můstková váha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.2 8.2.1 8.2.2 8.2.3 8.3 8.3.1 8.3.2 8.4 8.4.1 8.5 8.5.1 8.5.2 8.5.3 8.6 8.6.1 8.6.2
Smykové tření tělesa na nakloněné rovině . . . . . 99 Hnací (zadržující) síla má obecný směr . . . . . . . 100 Hnací (zadržující) síla je rovnoběžná se základnou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Hnací (zadržují síla) je rovnoběžná s nakloněnou rovinou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Tření na šroubu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Silové poměry na šroubu s plochým závitem . . . 103 Silové poměry na šroubu s ostrým závitem . . . . 104 Klínové ústrojí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Klín jednostranný se zatěžujícími silami kolmými k ose klínu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Kladky a kladkostroje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Pevná kladka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Volná kladka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Kladkostroje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Brzdy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Čelisťové brzdy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Pásové brzdy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9 Aplikace příkladů řešených v Excelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Použitá literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Úvodem
9
Úvodem
Technická mechanika patří k nejdůležitějším průpravným odborným předmětům na střední průmyslové škole strojnické. Pro studenty má několik základních významů:
−− poskytuje žákům přehled o základních výpočtových metodách pro bezpečný a hospodárný návrh strojních součástí, strojů a zařízení, −− zdokonaluje studenty v rozvoji logického myšlení při účelném využívání známého matematického aparátu, −− podněcuje žáky k tvořivému myšlení a k řešení praktických problémů, −− vede žáky k všestranné, účinné a otevřené komunikaci, −− jedním z důležitých cílů mechaniky je umožnit žákům osvojit si strategie učení, naučit žáky umět se učit, umět získávat a zpracovávat nové poznatky tak, aby byli připraveni pro celoživotní vzdělávání. Je nutné umět získávat informace nejen z internetu, ale i z tradičních informačních zdrojů, z odborné literatury, učebnic, firemní literatury, norem, strojnických tabulek apod. Tato učebnice statiky si klade za cíl seznámit žáky se základy středoškolské statiky. Pokud na to studentům stačí matematické znalosti, jsou základní teoretické poznatky odvozovány. Po teoretickém úvodu je vždy uveden metodicky správný a obecně platný algoritmus řešení úloh. V učebnici je uvedeno celkem 102 vyřešených příkladů. Nejsou zde zadány neřešené úlohy, protože velké množství kvalitních neřešených příkladů pro samostatnou práci žáků
nabízí např. publikace K. Mičkal: Sbírka úloh z technické mechaniky. Praha, Informatorium 2008. Na závěr jednotlivých kapitol jsou vždy uvedeny kontrolní otázky. Technická mechanika řeší úkoly použitím základních pouček a axiomů. Charakteristické pro používané základní fyzikální zákony v mechanice je jejich obecnost a poměrná jednoduchost. Zákony tak umožňují snadné matematické zpracování řešené problematiky. V mechanice důsledně počítáme s jednotkami v mezinárodní SI soustavě. Pracujeme výhradně s takovými jednotkami, které se dají násobit a dělit bez převodních součinitelů. Skutečná znalost mechaniky může studentům otevřít bránu k osvojení látky dalších odborných předmětů a k řešení úkolů v praxi. K trvalému pochopení mechaniky nestačí se naučit zpaměti axiomy, pravidla a věty, ale je třeba umět využít znalostí mechaniky k řešení konkrétních praktických příkladů. V předkládané učebnici je představen ucelený soubor řešených úloh, který vás dovede k solidnímu osvojení základního učiva. Nikdy neřešte příklady bez znalosti teorie, ale také nestudujte teorii samostatně bez aplikace praktických příkladů. Oba systémy učení přinášejí jen velmi malý užitek. Poznámka: V důsledku zmenšování obrázků oproti originální předloze u většiny z nich nesouhlasí uváděná měřítka délek a sil se skutečnými měřítky v obrázcích.
21
2 Základní pojmy a zákony statiky
2.8 Páka – pákové pravidlo
ní. Ve skutečnosti je práce odebraná menší o ztráty. Toto pravidlo využíváme i u dalších jednoduchých mechanismů, např. u nakloněné roviny, šroubu, klínu, kladkostroji.
Nejjednodušší páka je pevná přímá tyč otáčející se kolem osy O. V rovnovážné poloze bude mít páka vodorovný směr. Na jednom konci páky působí břemeno silou Q, na druhém konci ji vyvažujeme silou F. Vzdálenost AO je rameno břemene a, vzdálenost BO je rameno síly b (obr. 2.16). a
b
A
B O F
Q
Obr. 2.16
Jestliže má být páka v rovnovážné poloze (neotáčí se), potom algebraický součet momentů k otočnému bodu O se rovná nule: Q · a – F · b = 0.
(2.10)
2.9 Vazby těles, metoda uvolňování těles V kap. 1 bylo uvedeno, že poloha bodu v prostoru se určuje nejčastěji třemi nezávislými pravoúhlými souřadnicemi x, y, z. Nejmenší počet vzájemně nezávislých souřadnic (nezávislých pohybů) se nazývá počet stupňů volnosti. Hmotný bod má v rovině dva stupně volnosti, mohou se měnit dvě souřadnice x a y. Těleso v rovině má 3 stupně volnosti, mohou se měnit souřadnice x, y a úhel θ. Těleso v rovině (obr. 2.18) se nejprve posune a následně otočí. Hmotný bod má v prostoru tři stupně volnosti. Mohou se měnit souřadnice x, y a z. Těleso v prostoru má šest stupňů volnosti. Mění se tři souřadnice a tři úhly natočení. y
x
Tento výraz nazýváme pákovým pravidlem. Je to jeden ze základních axiomů mechaniky. Byl znám již v dávnověku. Moment břemene se rovná momentu síly: Q · a = F · b.
(2.10a)
Jestliže jsou obě ramena stejně dlouhá, potom je páka rovnoramenná. Velikost břemene se rovná velikosti síly. Všimněme si: pokud máme vyváženou páku s rameny např. v poměru délek 1 : 2, zvedneme sice 2krát těžší břemeno o jednu délku, ale zato budeme muset prodloužit delší rameno o dvě jednotky délky. Pohyb závaží je úměrný délce ramena. Zisk síly na páce je vyvážen nutností působit silou na delší dráze. Z geometrie podobných trojúhelníků (obr. 2.17) vyplývá:
y
k
k
θ 0
Obr. 2.18
x
Tělesa mohou existovat volná nebo vázaná. Vázané těleso je vazbami spojeno s jinými tělesy. Vazby těleso částečně znehybňují. Jedním z hlavních úkolů statiky je vyšetřování vazbových sil (reakcí) působících mezi tělesy. Vazbové síly působí v podporách nebo závěsech. Jestliže mezi tělesy neexistují vazby, potom jde o těleso volné. Pohyb volného tělesa není omezen, může se pohybovat všemi směry.
2.9.1 Podpora volná
Ts1 Ts 2 a = b $ a b = 2a Δs1 Δs 2 Q
Obr. 2.17
Q · Δs1 = F · Δs2.
F
Spojení v dotykovém bodě A sledovaného tělesa se nazývá podpora volná. V této vazbě vzniká vazbová síla (reakce), jejíž nositelkou je normála n vazbové plochy (obr. 2.19). Rovnocenná je vazba vláknem (obr. 2.20) nebo tuhou tyčí (obr. 2.21). Jedinou neznámou u této vazby je její velikost. Směr vazbové síly je dán směrem normály n vazbové plochy, resp. směrem tuhé tyče nebo vlákna. n
n
(2.11)
Oba výrazy v rovnici (2.11) značí mechanickou práci. Znamená to, že práci na páce neušetříme, práce vložená se rovná práci odebrané. To je tzv. zlaté pravidlo mechaniky. Tato věta platí teoreticky, jestliže neuvažujeme tře-
A A
Obr. 2.19
101
8 Silové poměry u jednoduchých mechanismů s pasivními odpory
Podle sinové věty platí: Fid = h= F1
F1
n R1 φ 90˚ − β v T α
R
β
90˚ − β
•• Pohyb tělesa dolů ve smyslu 2
1
φ F1 α+φ
Mohou nastat dva případy: 1. Úhel nakloněné roviny α je menší než třecí úhel φ a síla F2 je silou hnací a působí ve smyslu 2. 2. Úhel nakloněné roviny α je větší než třecí úhel φ a síla F2 je silou zadržující, působí ve smyslu 1.
G
Obr. 8.14
F1
G sin 6 180c - ^ { + 90c - bh @ sin ^ a + {h . F1 = G cos ^ b - {h
sin ^ a + {h
&
=
sin a sin a ^ cos b + n $ sin bh cos b = . sin a + n $ cos a cos b ^ sin a + n $ cos ah G cos b + n $ sin b (8.8) G
&
(8.7)
Výsledky rovnic (8.6) a (8.7) jsou zdánlivě formálně rozdílné, po dosazení výrazu:
sin { tg { = n = cos {
Výsledná vazbová síla R bude od normály odkloněna na opačnou stranu oproti předchozímu příkladu a bude stále procházet průsečíkem sil F2 a G. Grafické řešení pro první případ je naznačeno na obr. 8.15. Tření působí vždy proti pohybu. F2
sin ^ { - ah
=
do rovnice (8.6) aplikací trigonometrických vztahů získáme rovnici (8.7). O shodnosti se můžeme přesvědčit i numerickým výpočtem (příklad 84).
G sin ^ 90 - { - bh R
φ−α G F2
Druhý případ pohybu dolů (obr. 8.16):
podle rovnice (8.7):
sin a . cos b
Účinnost nakloněné roviny při zvedání břemene vyjádříme vztahem:
90° − φ − β
Obr. 8.15
sin 10c + 0,087 5 $ cos 10c = 28,6 N, cos 30c + 0,087 5 $ sin 30c
V obou případech vychází stejný výsledek. Jestliže uvažujeme ideální nakloněnou rovinu (bez tření), potom μ = 0, φ = 0 a R = N. Tyto hodnoty dosadíme do rovnice (8.6) nebo (8.7) a získáme vztah pro ideální sílu bez tření:
T
α
Podle rovnice (8.6):
Fid = G
β F2
R
sin ^ 10c + 5ch = 28,6 N. F1 = 100 N cos ^ 30c - 5ch
sin ^ { - ah . cos ^ { + bh
(8.9)
2
α = 10°, φ = 5°, μ = tg φ = 0,087 5, β = 30°, G = 100 N.
F2 = G
90°− φ − β
n φ
Příklad 84. Je dáno:
F1 = 100 N
&
F2
sin ^ a - {h
=
G sin ^ 90c + b + {h
sin ^ a - {h . cos ^ { + bh
(8.10)
F2 β
φ T
2
F2 = G
90° − φ − βh
R
n
&
R
α−
φ
F2
α
90° + φ + β
G
Obr. 8.16
Oba výrazy pro sílu F2 jsou stejné až na znaménko.
