OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ HYNČICOVÁ TEREZA, H2IGE1 2014
ÚVOD • Z DŮVODU VYLOUČENÍ HRUBÝCH CHYB A ZVÝŠENÍ PŘESNOSTI NIKDY NEMĚŘÍME DANOU VELIČINU POUZE JEDNOU
• VÝSLEDKEM OPAKOVANÉHO MĚŘENÍ NĚKTERÉ VELIČINY JE ŘADA
DAT S RŮZNÝMI ČÍSELNÝMI HODNOTAMI TÉŽE VELIČINY A PRO VÝPOČET ÚLOHY MÁME NAMĚŘENO VÍC HODNOT, NEŽ JE TŘEBA (TZV. NADBYTEČNÁ MĚŘENÍ)
• ŘEŠENÍ ÚLOHY NENÍ JEDNOZNAČNÉ A JEDINÝM KOREKTNÍM ZPRACOVÁNÍM DAT JE JEJICH VYROVNÁNÍ
• VYROVNÁNÍ
ZPROSTŘEDKUJE JEDNOZNAČNÝ VÝPOČET HLEDANÝCH HODNOT A ODHADNE PŘESNOST JEJICH URČENÍ VČETNĚ KONTROL VYROVNÁNÍM URČENÝCH HODNOT
METODY VYROVNÁNÍ PRO
VÝPOČET S NADBYTEČNÝMI MĚŘENÍMI JE VŽDY NUTNÉ ŘEŠENÍ PROVÁDĚT ZA ZVOLENÉ DODATEČNÉ PODMÍNKY
• METOD
VYROVNÁNÍ JE VELKÉ MNOŽSTVÍ, OBVYKLE VYCHÁZÍ Z PODMÍNKY MINIMA NĚKTERÉ NORMY VEKTORU OPRAV MĚŘENÍ
• Z
HLEDISKA VYUŽITÍ LZE METODY VYROVNÁNÍ ROZDĚLIT TAKTO:
• METODA NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ (MNČ) – NEJČASTĚJI UŽÍVANÁ V GEODÉZII
• DALŠÍ METODY (METODA MINIMAX, METODY ROBUSTNÍHO ODHADU) – V GEODÉZII JSOU POUZE DOPLŇKOVÉ (NAPŘ. PRO DETEKCI HRUBÝCH CHYB)
METODA NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ • MATEMATICKO-STATISTICKÁ METODA PRO APROXIMACI ŘEŠENÍ PŘEUČENÝCH SOUSTAV ROVNIC
• "NEJMENŠÍ ČTVERCE" ZNAMENAJÍ, ŽE VÝSLEDNÉ ŘEŠENÍ MÁ MINIMALIZOVAT SOUČET ČTVERCŮ ODCHYLEK VŮČI KAŽDÉ ROVNICI
• POPRVÉ JI POUŽIL JEJÍ AUTOR CARL FRIEDRICH GAUSS V ROCE 1795 PRO ELIMINACI CHYB PŘI GEODETICKÉM MĚŘENÍ • PŘI SPLNĚNÍ URČITÝCH PŘEDPOKLADŮ DÁVÁ NEJMENŠÍ STŘEDNÍ CHYBU ODHADU NEZNÁMÝCH VELIČIN
• PŘEDPOKLAD = MINIMALIZOVANÁ NORMA VEKTORU OPRAV: � 𝑝𝑝𝑣𝑣 2 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
METODA NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ
METODA MINIMAX • ZALOŽENA NA MINIMAX ALGORITMU • POUŽÍVÁ
SE, KDYŽ JSOU MĚŘENÍ ZADÁNA TOLERANČNÍMI
INTERVALY
• HLEDÁME
TAKOVÉ ŘEŠENÍ, JEHOŽ MAXIMÁLNÍ MOŽNÁ CHYBA JE ZE VŠECH MAXIMÁLNÍCH CHYB DALŠÍCH MOŽNÝCH ŘEŠENÍ NEJMENŠÍ
• POUŽÍVANÁ
SE NAPŘ. I VE STRATEGICKÝCH HRÁCH MEZI DVĚMA A VÍCE HRÁČI (DÁMA NEBO ŠACHY) - ÚKOLEM JE NALÉZT NEJLEPŠÍ TAH V DANÉ POZICI
ZPŮSOBY VYROVNÁNÍ 1) VYROVNÁNÍ PŘÍMÝCH MĚŘENÍ (JEDINÁ NEZNÁMÁ VELIČINA BYLA NEZÁVISLE MĚŘENA VÍCEKRÁT ZA SEBOU) 2) VYROVNÁNÍ ZPROSTŘEDKUJÍCÍCH MĚŘENÍ (VÍCE NEZNÁMÝCH VELIČIN JE NEPŘÍMO URČENO PROSTŘEDNICTVÍM PŘÍMÉHO MĚŘENÍ JINÝCH VELIČIN, KTERÉ JSOU S NEZNÁMÝMI VE ZNÁMÉM FUNKČNÍM VZTAHU (NAPŘ. POČÍTANÉ SOUŘADNICE A MĚŘENÉ ÚHLY, DÉLKY)
3) VYROVNÁNÍ PODMÍNKOVÝCH MĚŘENÍ (JEDNOTLIVÉ VELIČINY SE MĚŘÍ PŘÍMO, AVŠAK SOUČASNĚ MAJÍ SPLŇOVAT PŘEDEM DANOU MATEMATICKOU NEBO GEOMETRICKOU (NAPŘ. SOUČET ÚHLŮ V ROVINNÉM TROJÚHELNÍKU)
4) SLOŽITĚJŠÍ, KOMBINOVANÉ ZPŮSOBY VYROVNÁNÍ
PODMÍNKU
1) VYROVNÁNÍ PŘÍMÝCH MĚŘENÍ • DĚLÍME NA VYROVNÁNÍ: • STEJNÉ PŘESNOSTI (PŘI APLIKACI MNČ JE VÝSLEDKEM ARITMETICKÝ PRŮMĚR):
𝑥𝑥 =
∑ 𝑙𝑙 𝑛𝑛
𝑚𝑚𝑥𝑥 =
𝑚𝑚 𝑛𝑛
𝑚𝑚 =
∑ 𝑣𝑣 2 𝑛𝑛−1
• RŮZNÉ PŘESNOSTI (PŘI APLIKACI MNČ JE VÝSLEDKEM VÁŽENÝ (OBECNÝ) ARITMETICKÝ PRŮMĚR):
𝑥𝑥 =
∑ 𝑝𝑝𝑝𝑝 ∑ 𝑝𝑝
𝑚𝑚𝑥𝑥 =
𝑚𝑚0
∑ 𝑝𝑝
𝑚𝑚0 =
∑ 𝑝𝑝𝑝𝑝 2 𝑛𝑛−1
𝑚𝑚𝑖𝑖 =
𝑚𝑚0 𝑝𝑝𝑖𝑖
1) VYROVNÁNÍ PŘÍMÝCH MĚŘENÍ • MĚŘICKÝCH DVOJIC (NAPŘ. DVAKRÁT MĚŘENÁ DÉLKA, MĚŘENÍ TAM A ZPĚT PŘI NIVELACI, …) • STEJNÉ
𝑥𝑥 =
𝑙𝑙𝑖𝑖´ +𝑙𝑙𝑖𝑖´´ 2
PŘESNOSTI
𝑑𝑑𝑖𝑖 =
• RŮZNÉ PŘESNOSTI
𝑥𝑥 =
𝑙𝑙𝑖𝑖´ +𝑙𝑙𝑖𝑖´´ 2
𝑙𝑙𝑖𝑖´ -𝑙𝑙𝑖𝑖´´
𝑑𝑑𝑖𝑖 = 𝑙𝑙𝑖𝑖´ -𝑙𝑙𝑖𝑖´´ 𝑚𝑚𝑖𝑖 =
𝑚𝑚0 𝑝𝑝𝑖𝑖
𝑚𝑚 = 𝑚𝑚0 =
𝑚𝑚𝑥𝑥𝑖𝑖 =
∑ 𝑑𝑑𝑑𝑑 2𝑛𝑛
∑ 𝑝𝑝𝑑𝑑𝑑𝑑 2𝑛𝑛
𝑚𝑚0𝑥𝑥 𝑝𝑝𝑖𝑖
𝑚𝑚𝑥𝑥 =
𝑚𝑚 2
𝑚𝑚0𝑥𝑥 =
𝑚𝑚0 2
2) VYROVNÁNÍ ZPROSTŘEDKUJÍCÍCH MĚŘENÍ • ÚLOHU LZE ROZDĚLIT DO TĚCHTO
KROKŮ:
1) STANOVENÍ DIMENZE ÚLOHY: K= POČET NEZNÁMÝM (NUTNÝCH MĚŘENÍ) N= POČET PROVEDENÝCH MĚŘENÍ MUSÍ PLATIT: N>K
2) VOLBA NEZNÁMÝCH A SESTAVENÍ FUNKČNÍCH VZTAHŮ: 𝑙𝑙̂ = 𝑓𝑓(𝑥𝑥 𝑇𝑇 ) PŘ. PŘI VYROVNÁNÍ NIVELAČNÍ SÍTĚ:
3) ROVNICE OPRAV: 𝑣𝑣 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑇𝑇 − 𝑙𝑙 = 𝑙𝑙̂ − 𝑙𝑙
𝑥𝑥 = 𝐻𝐻 𝐴𝐴 , ℎ�1 = 𝑥𝑥 − 𝐻𝐻𝐴𝐴 , …
2) VYROVNÁNÍ ZPROSTŘEDKUJÍCÍCH MĚŘENÍ 4) PŘETVOŘENÉ NEZNÁMÝCH: 𝑥𝑥0 =?
ROVNICE OPRAV A VOLBA PŘIBLIŽNÝCH
𝑣𝑣 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑙𝑙𝑙
𝑙𝑙𝑙 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥0𝑇𝑇 − 𝑙𝑙
A(N, K) NAZÝVÁME MATICÍ PLÁNU 5) NORMÁLNÍ ROVNICE: MATICI
VZNIKNOU DOSAZENÍM DO PODMÍNKY MNČ:
PŘETVOŘENÉ
𝐴𝐴𝑇𝑇 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 + 𝐴𝐴𝑇𝑇 𝑃𝑃𝑙𝑙𝑙 = 0 MATICE P JE MATICE VAH (DIAGONÁLNÍ)
ROVNICE
𝐴𝐴 =
𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕
OPRAV
2) VYROVNÁNÍ ZPROSTŘEDKUJÍCÍCH MĚŘENÍ 6) ŘEŠENÍ NORMÁLNÍCH ROVNIC: 𝑑𝑑𝑑𝑑 = (𝐴𝐴𝑇𝑇 𝑃𝑃𝑃𝑃)−1 ∗ 𝐴𝐴𝑇𝑇 𝑃𝑃𝑙𝑙𝑙 7) VÝPOČET OPRAV MĚŘENÍ (DOSAZENÍ DO PŘ. ROV. OPRAV): 𝑣𝑣 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝑙𝑙𝑙 8) VÝPOČET NEZNÁMÝCH: 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥0 + 𝑑𝑑𝑑𝑑
9) VÝPOČET VYROVNANÝCH MĚŘENÍ 𝑙𝑙̂𝐼𝐼 = 𝑙𝑙 + 𝑣𝑣
10)KONTROLA DOSAZENÍM DO FUNKČNÍCH VZTAHŮ: 𝐼𝐼𝐼𝐼 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥 𝑇𝑇 ) 𝑙𝑙�
𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑙𝑙̂𝐼𝐼 ≅ 𝑙𝑙�
2) VYROVNÁNÍ ZPROSTŘEDKUJÍCÍCH MĚŘENÍ 11)ZÁVĚREČNÁ KONTROLA (NEZÁVISLÁ NAPŘ. KONTROLA UZÁVĚRŮ, …)
KONTROLA VÝPOČTU,
12)KVALITATIVNÍ HODNOCENÍ: • APOSTERIORNÍ JEDNOTKOVÁ STŘEDNÍ CHYBA:
𝑚𝑚02
=
• STŘEDNÍ CHYBY MĚŘENÝCH VELIČIN: Σ𝑙𝑙𝑙𝑙 = 𝑚𝑚02 ∗ 𝑄𝑄𝑙𝑙𝑙𝑙 , • STŘEDNÍ CHYBY VYROVNANÝCH MĚŘENÍ:
Σ𝑙𝑙�𝑙𝑙 = 𝑚𝑚02 ∗ 𝑄𝑄𝑙𝑙�𝑙𝑙
𝑄𝑄𝑙𝑙�𝑙𝑙 = 𝐴𝐴𝑄𝑄𝑥𝑥𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑇𝑇
𝑣𝑣 𝑇𝑇 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑛𝑛−𝑘𝑘
𝑄𝑄𝑙𝑙𝑙𝑙 = 𝑃𝑃−1
• STŘEDNÍ CHYBY NEZNÁMÝCH: Σ𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑚𝑚02 ∗ 𝑄𝑄𝑥𝑥𝑥𝑥 , 𝑄𝑄𝑥𝑥𝑥𝑥 = (𝐴𝐴𝑇𝑇 𝑃𝑃𝑃𝑃)−1 • STŘEDNÍ CHYBY FUNKCÍ VYROVNANÝCH NEZNÁMÝCH
3) VYROVNÁNÍ PODMÍNKOVÝCH MĚŘENÍ 1) STANOVENÍ DIMENZE ÚLOHY: 𝑟𝑟 = 𝑛𝑛 − 𝑘𝑘 (POČET PODMÍNEK) 2) SESTAVENÍ PODMÍNEK: 𝜑𝜑 𝑙𝑙̂𝑇𝑇 = 0 NAPŘ.
180° − 𝛼𝛼 − 𝛽𝛽 − 𝛾𝛾 = 0
3) PŘETVOŘENÉ PODMÍNKOVÉ ROVNICE: 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑢𝑢 = 0
4) VÝPOČET OPRAV: 𝑣𝑣 =
𝐵𝐵 =
𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑙𝑙̂
𝑢𝑢 = 𝜑𝜑(𝑙𝑙𝑇𝑇 )
−1 −1 𝑇𝑇 −1 𝑇𝑇 −𝑃𝑃 𝐵𝐵 (𝐵𝐵𝑃𝑃 𝐵𝐵 )
KORELÁTY K
𝑢𝑢
3) VYROVNÁNÍ PODMÍNKOVÝCH MĚŘENÍ 5) VYROVNANÁ MĚŘENÍ:
𝑙𝑙̂ = 𝑙𝑙 + 𝑣𝑣
6) KONTROLA DOSAZENÍM DO PODMÍNEK: 𝜑𝜑 𝑙𝑙̂𝑇𝑇 ≅ 0
7) KONTROLA DOSAZENÍM DO DALŠÍCH (ZÁVISLÝCH) PODMÍNEK 8) KVALITATIVNÍ HODNOCENÍ:
• APOSTERIORNÍ JEDNOTKOVÁ STŘEDNÍ CHYBA: • STŘEDNÍ CHYBY MĚŘENÝCH VELIČIN: Σ𝑙𝑙𝑙𝑙 = 𝑚𝑚02 ∗ 𝑄𝑄𝑙𝑙𝑙𝑙 ,
𝑚𝑚02
=
𝑄𝑄𝑙𝑙𝑙𝑙 = 𝑃𝑃−1
𝑣𝑣 𝑇𝑇 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑟𝑟
• STŘEDNÍ CHYBY VYROVNANÝCH MĚŘENÍ:
Σ𝑙𝑙�𝑙𝑙 = 𝑚𝑚02 ∗ 𝑄𝑄𝑙𝑙�𝑙𝑙 𝑄𝑄𝑙𝑙�𝑙𝑙 = 𝑃𝑃−1 − 𝑃𝑃−1 𝐵𝐵𝑇𝑇 (𝐵𝐵𝑃𝑃−1 𝐵𝐵𝑇𝑇 )−1 𝐵𝐵𝑃𝑃−1
• STŘEDNÍ CHYBY FUNKCÍ VYROVNANÝCH NEZNÁMÝCH
4) KOMBINOVANÉ DRUHY VYROVNÁNÍ •
VYROVNÁNÍ ZPROSTŘEDKUJÍCÍCH MĚŘENÍ S PODMÍNKAMI (APLIKOVÁNO PŘI VYROVNÁNÍ VOLNÝCH SÍTÍ)
• VYROVNÁNÍ
PODMÍNKOVÝCH MĚŘENÍ S NEZNÁMÝMI (NAPŘ. K NALEZENÍ CHYBY KONSTANTNÍ VELIKOSTI V MĚŘENÝCH DATECH)
LITERATURA: • BÖHM, J., RADOUCH, V., HAMPACHER, M. (1990) TEORIE CHYB A VYROVNÁVACÍ POČET. GEODETICKÝ A KARTOGRAFICKÝ PODNIK PRAHA, 1990, 2. UPRAVENÉ VYDÁNÍ.
DĚKUJI ZA POZORNOST
