UNIVER,SM SAINS MAI^AYSIA Pepertksaan Semester Pertama Srdang 1990/91
Oktober/Norember l99O EUM lO2
-
Matemattk KeJuruteraan II Masa
:
lSjarnl
Sila pasttkan bahawa kertas peperlksaan tnt mengandungt 8 muka surat beserta I^AIVIPIRAN (3 muka surat) bercetak dan ENA[4-IG[ soalan sebelum anda memulakan peperlksaan lnl. Jawab mana-mana LIMA (5) soalan, dl dalam Bahasa Malaysla.
Markah bagl settap soalan adalah 1OO. Pecahan markah bagt bahagtanbahagtan soalan adalah sepertl dt dalam lmrungan (...). Mesln httung boleh dtgunakan dan proses ktraan mesttlah dltunJuk dengan Jelas.
Buku Slllr Matematlk dan Buku Slflr Statlstik ada dtsedtakan.
...2/-
x15
-2-
IEUM ro2l ,
l.
(a)
TunJukkan bahawa persamaan kebezaan, Bx4y2 - x2)dV - l2xy - 4xfo3)&< =
O
talah persamaan tepat. Seterusnya, carllah penyelesalan khusus bagt persamaan kebezaan ttuJtka dtberl Y = 2 blla x = l. (30%)
(b)
Selesalltan persamaan Euler-Cauchy bertkut: !;yi2y'
'+ l4:ry'+2Qr=9. -
., (c)
(3096)
Sebuah tangkl pada permulaarmya mengandungt 50 llter atr sultng. Pada masa t = O, seJenls larutan yang mengandungt 2 kg garam terlarut per ltter mengallr masuk ke dalam sebuah tangkl pada
kadar 3 llter per mtrxlt. Campuran ltu dtpastlkan seragam dengan mengaduk dan campuran yang teraduk dengan balk ltu mengallr serentak keluar darl tanglrrt ttu pada kadar yang sama. Katakan x lalahJumlah banyaknya garam dt dalam tangkl ttu pada masa t > O.
(0
Dapatkan model matematlk dalam bentuk persamaan kebezaan bagt x sebagat fungst t?,
(tt)
Tentukan berapakah banyaknya garam berada tangkl ttu pada masa t mtntt? dan
dl dalam
(Ut)
Tentukan berapakah banyaknya garam berada tangkt selepas 25 mtntt?.
dl dalam
(4@/61
(a)
Persamaan Alry yang dtgunakan untuk memodelkan pembelauan cahaya lalah,
Y"-:iY =O.
...3/_
x.16
-3-
IEUM 1O2l
Dengan menganggapkan bahawa bentuk penyelesalannya talah
Y=) a.x" n=O
dan dengan menggunakan kaedah strl kuasa, dapatkan penyelesalan am bagl persamaan Atry dt atas. (6006)
(c)
Model matemattk bagt lltar elektrtk yang dttunJukkan dt bawah tnl.
i
t'''ffu,"' R
dlbert oleh persamaan kebezaan, Lq
"
(t) + F{q' (t)
-
+
=
E(t)
:
dl mana L talah lnduktans, R lalah rlntangan, C talah kapasttans, E(t) talah elektromotlf yang berubah dan q(t) talah cas pada masa t.
I{atakan L, R dan C suatu lttar dtberl sebagat I henrl, 3OO ohm dan 5 x l0-5 farad mastng-maslng!, dan E(t) = 4O volts. Cartlah cas, q(t) pada sebarang masa t dengan syarat-syarat awalan g(O) = O dan Q'(o) =
o'
@oo/ol
(a)
Dengan menggunakan Jelmaan Laplace, selesalkan masalah ntlal awalan bagt persamaan kebez,aan,
y' '+ 3y' +2y = s-x,
y(O)
= l,
y'(O) =
O
.
(3Oo/o)
...4/-
xl"7
It
IEIjM lo2l
-4-
(b)
Persamaan BesselJents pertama perln$kat n talah persamaan dalam
bentuk,
xry"+ry'+k2-n25r = O.
(0
Dengan menggunakan penggantlan y = 'nrl/2, tunJukkan bahawa persamaan dt atas boleh dttults dalam bentuk,
&*lt*1-4n2)p=o. 4xz I dx2 \
(tt)
Darl (l), tunJuklcan bahawa apabtla x
4
oo,
maka
penyelesatan bagl persamaan ttu talah, y(x)
-tx
- rlz(Cr cos x + Cz slri
x) :
dl mana C1 dan C2 talah malar-malar sebarangan.
(nr) Jfta dlbert Jn(x) talah fungst penyelesalan
bagl persamaan
Bessel dl atas dan
Inh)
=J'un(Jd,J=fl
,
tunJukkan bahawa In(x) talah suatu penyelesatan bagt persamaan kebezaan.
xry"+ry'-62.r'nQ1r =
Q.
(4@hl
(c)
Sebuah roket bergerak melalul laluan lurus mengufuk sepertt dalam gambaraJah dt bawah.
...5/-
x18
-5-
IEUM 1O2l
JfkaJfsfm roket, m berubah mengtkut masa, t semasa bergerak dan halaJu, vJuga berubah dtsebabkan oleh daya tuJah, F maka m dan v adalah dalam fungst t dan model matematlknya dtbert oleh persamaan kebezaan,
mdIL+\@
dt
dt
= F-D
yang mana D talah daya seretan roket ltu.
Katakan roket
pergerakan.
ttu dlberl daya tuJah
IO,OOO
kg dalam IO saat
ltu, Jlslrn roket berubah mengtkut masa, m = 50 - t slugs, dan daya seretannya talah 3v l€,yang mana v lalah "halajqf,rket ttu pada sebarang masa t. Cartlah persamaan hal4u re66ftrr-.r'3.terusn)'a, tentukan hal4lu rckg ttu _ pa-@Flilsa t = 10 saat. Anggapkan bahawa halaJu awal roket i"rAft$ilFaaa Pada nrasa
masa t = O. (3Oo/o)
4.
(a)
Pembolehubah rawak X mempunyat fungst ketumpatan kebarangkallan (f.k.k),
toiz , fbd- llor , , Io I
(i) (ll)
r3x
3.
Apakah nilat k supaya flx) benar-benar f.k.k? Carl P0( > 2) dan P(O.s < x < 2.5). (3006)
(b)
Katakan sebuah ststem mengandJrngl dua komponen A dan B. Kebarangkaltan komponen A ttdak berfungst lalah O.O1. kebarangkallan B ttdak berfun$st talah O.O2 dan kebarangkaltan kedua-dua komponen ttu ttdak berfungst lalah O.OO1. (0
Adakah perlstlwa komponen-komponen A dan berfungst ltu sebagat pertsttwa bebas?
(lt)
Apakah kebarangkalian komponen A tldak berfungst. Jlka dtketahul bahawa komponen B tldak berfungst?
I.19
B
...6/-
gagal
-6-
(lll)
IEUM 1O2l
Apakah kebarangkallan sekurang-kurangnya satu darlpada komponen ttu tldak berfungsl? (3W/ol
(c)
Dalam satu kaJtan, dldapatl mtn dan ststhan plawal kadar pembakaran bahan dorong sebuah roket lalah 4O cm/s dan 2 cm/s, maslng-mastng. Berdasarkan sampel rawak bersalz n= 25, dldapatt mlnnya lalah i = 41.25 cm/s. Dengan beranggapan bahawa kadar pembakaran ttu tertabur secara normal, uJtlah hlpotests nul, po = 49 melawan htpotests alternatf, 1g dan terangkan keputusan anda.
* 40 pada paras keertlan o = O.O5
* ."
(a)
(4Oo/ol
Katakan suhu bagl suatu cecalr ttdak pernah kurang dartpada 5@C atau lebth daripada 5loC. Jtka X ialah suhu cecalr lebth dartpada SOoC mempunyai fungst taburan kr-rmulatf sebagal,
F{x) =
,
Io
,
1x
(0 (tt) (ril)
O<x3 I
, X)l
Ir
Dapatlmn
x
P(X s O.5)
;
P(X > O.2) dan
P(o.2<x
.
(300/6)
(b) Unlt Komputer, USM membell komputer-komputer
perlbadl sebanyak 2Oo/o darl pembekal A, 300/6 darl pembekal B dan 5O026 darl pembekal C. Katakan dlketahut bahawa komputer-komputer yang dtbelt darlpada pembekal-pembekal A, B dan C ttu mengalamt kecacatan maslng-mastng sebanyak O.O50lo,
(t)
O.O2o/o
dan O.Ololo.
Berapa peratuskah komputer-komputer yang dlbell ltu adalah cacat?
x.
z0
...7 / -
-7-
(lf)
IEUM ro2l
Jlka satu komputer yang dtbel ltu dtptlth secara rawak dan dldapatt cacat, apakah kebarangkaltan komputer ltu datangnya dart pembekal C? (3@/o)
(c)
Paras pencemaran (y unlt) dan kelembapan (0z6) dt bandar Serl Iskandar dtcatat pada waktu te4gahart selama 1O harl berturut-turut adalah sepertl dt dalamJadual bertkut:
Harl
89
:
x : 77 95 30 45 85 50 65 60 63
10
g2
Lakarkan data pada kertas graf. Dapatkan Jangkaan kuasa dua terkectl bagl garts regresl data tersebut. Dengan menggunakan garls regresl yang dlperoleht ltu, carllah paras pencemaran blla kelembapannya talah 75o26. (4W/ol
6.
(a)
Katakan
X tertabur secara Polson dengan f.k.k,
pk, D = I"9-t untuk x = o, 1. 2, ............'.. xt TunJukkan bahawa mtn dan varlans bagt X lalah
1,.
Katakan btlangan panggtlan telefon dl peJabat UPA dalam satu harl talah pembolehubah rawak X dengan f.k.k,
pX=x) = $a,-t untukx= -xl
O,
1,2, ...............
Berapakah Jangkaan bllangan panggtlan telefon pada hart ltu? Cartlah Juga varlans bagt btlangan panggllan ttu. (3@/o)
1.21
...e/-
IEUM ro2l
-8-
(b)
Perttmbangkan gambaraJah suatu slstem elektrontk dt bawah yang
menunJukkan kebarangkaltan komponen-komponen slstem ttu beroperast. Ststem ttu akan beroperasl sepenuhnyaJtka pemasangan III dan sekurang-kurangnya satu komponen darl I dan II beroperasl. Anggapkan bahawa komponen-komponen bagt settap pemasangan dan dt antara pemasangan beroperasl secara bebas. Apakah kebarangkallan ststem ttu beroperasl?
'l r" r'f" .lili j:; | |
rian'
lll (4Oo/ol
(c)
Tentuan-tentuan bagt seJents kelull memerlukan mln kekuatan alah 18O kN/mm2. Jtka 5 bar kelull dlplllh secara rawak mempunyat mtn kekuatan alah i = 169.5 dan slslhan ptawal s = 5.7, uJtlah hlpotests nul ps = 18O kN/mmZ melawan htpotests alternatlf p1 < l8O kN/mm2 pada paras keertlan o = O.Ol dan blncangkan keputusan anda. (3@/o)
- ooooooo -
J.22
IJI}IPIRAN
I
[ruu roe]
Sifir
Luas Tqburan Norrnal lriawai
Nilai
pemasukan
z yang posicif. s ime cri .
ialah
keba rangka 1 i arr tl i ;t n t ,'l t: ,'l 7. Luas unculr nilai z yinrl,, trcP.'lt if
= 0 dan suatu nilai dipcrolchi dari prinsip
,Ar'
f
.00
0.0 0. r 0.2 0.j 0.4 0,5 0.6 0,7 0,E 0.9 t.0 t. | 1.2 | j t.. Lt t.6 t.1 |.8 f .9 2.0 2. I 2.2 t.l 1,4 2.t 2.6 2.7 2,E 2.9 l.(, .
.0000 .019E
.079l
.It29
.ltt4 .t9t5
.2257 .2580 .288
t
,l I t9 ,3413
.01
.0J .0.1
.02
.0040 .0080
.0418 .0812
.0 r
.05
.06
20 .0160
,0478
.0517
.0E71
.09
t0
.0199 .02 _19 .Q557 .95t11, 06 )0 .0948 .0rE? r 0?6
07
.
.
1
.t665
,1E49
.1869.1888 .l(r07 .1925 .J94,1 .4049 .4066 ,40u2 .,t099 .4 | | 5 .4llt .4t.t7 .4207 .4222 .4216.425t .4265 .4179 ,1192
,4192
4t)2
,4452 .4 j jA ..t64 ,47
|
|i
.1686
,456.r
..lfi49 ,47
t'
.4t7.1
.40J6
.4126
.47?8 .478J
|
.4826 .4810
.486I .4864 .486E .4E9t .4896.4898 .4918 .4920 ..te22 ,i9Jr, .4940 .494
.4982
.4987
4.1(Xr .l,l l lJ
:ilD0 401
,
.4162 .410(r
,4t77
,4 4 J,)
4,r.t
4Jt9 I
5 ,1525 .r515. .tJ4t .l JU2 ..1591 .,tt,)t) 460t{ 46 | (' .461J .afrJ) ,4664 .467 | .4()18 4(tf 6 {bt t .,t69') .1706 .4712 .47JE ,,t'14.1 47J0 ,t] t6 .f76t 4767 178n .t?91 .,179n .r t{0J .l llot{ .ilt | 2 48 | 7 ..1 rt .l,l ,4trJ8 ..rU42 ,1846 .r tt Ju ,l I J,l .tEr7 .rIil.t4...tgI7 4 tt90 .4871 .4lt7J .4U7rt ,.ilrEt ..tr0 i ,490,r .4,/06 .tr09 .tr il .491 49l6 .,19 t,5 .,t927 .4929 4')| .r,,Jl ..t9l.l .t9J6 45 f
1
.4941
.a9,lJ .,l9.l(r
r.t9!5 .4956 .4rr7 .4966 .4915
l770 .t790 t8 t0 lr62 .1r80 .J9(r?
49.t9 .49r9 ,4960 .496 r ,te62 .4967 .496It .49d9 .4970 ,t97 | ,4', ) l ..r976.4977 .4977 .4978 .4e7e .4982 .493J .4'ru4 .49ti.t 49lt I ^r7s 49tr5 .4987 .49rJ8 .4988 .l9tt9 .trNr) .i(rx9 I
.4911 .4965 .4974 ..rgE I ,49E7
.170E.1729.1749
.4r45 .4)57 .4170.4182.41e4 .446J .447.1 44E.1 .449t .4J(15
.47't2 .482
09
0.1 |
.r2r7 .l2tJ .t291 .Dlt .n68 .I406 .t591 .t628 .16(14 .1700 .t7lo .t112 .r9t0.t98J .20r9.2054.208rJ 2l2l lrJT .2re0 2224 .229t .2t24 .2tt7 .2J69 .2422 .2.rJ4 2486 2517 .2 J49 .26t | .2642 .2671 .2704.2't34 .776't 279.1 .2tt2l .29r0.2919 .2967.2995.1021 ..105t .tO?E .1t06 .l?852 Dl .l r86 .12 t2 J 2J8 .1 264 .1 289 ,lJr5 .ll6J ,1J89 .l4lE.l46l .14E5 .1J08 .ltJl l5r4 .1140 1577 .1 199 .162
.1641' .401z
0tl
9 .0119 067 5 07 r.r 07JJ I ()(r4 ll0l .il.rr I .l.t l t,t80 tJt7 | 8Olt f lt.l,t tE1.,
0?;;
x.23
.49.ttt
.495
|
4961
,tv7l
49
t2
.496.1
.4974
49tJ0 .499 t
a986.4986
.r9e0
4990
LAI{PIRI\N
Sifir
Itiuu toz]
II
Taburan-t
Nilai Eo untuk yang diberikan
Dar
kcb ari'rrr
g,k
irl i ;tr.t
lli
1.3:ltl
1.73.t 1.719
20
1.3!5
l
2t
l.:ll:t
l.t;t
l.0ll0
t,l
I .:i:l I
l.? l?
'J.tl?,1
23
1.31|,
l. t l'l r -l I l,t I I
:l.tl(,'r
25
l.Jl(r
L?rlll
2.0(r(
2lt
l.:!15
l.i0(r
27 2B
I.3 l,l
1.70:t
I .313
I
l.3ll
.?()l l.t,(,r,
:: 05(, 1.051 !.0,1u 'r 015
l.:l l0
l.(r(17
l.0ll
lcl>ilr besa .0(15 .0I 6:!.65? :t I 811 (r.()(r5 9.1)2lt ,t.5,1I s.tlll :r.?,1? 4.6(),1 :r.:i65 4 0:!:l :1.;07 :r |l:, J,r)(tll :t.,199 it.itss r.t,(/(; 3.11,0 :.$: I !.?6.1 3.109 :f.10(/ t.illt 3.055 l.(,lt I !.(r5() :1.01:] ?.(ril,l 2.911 2.9'17 l.(rl)l 1.58:t 2.()21 2.167 :1.ll98 2.51-.'ll 2.lJ?{t 2.5:19 2,116l :l.tl,li) 2.5'i8 :l.tl3 I 5 I ll ?.lll9 :J 5()ll 'l.i()0 2.110? 2.i91 l ,le:l '!.?tl? :.,lli5 '1.i79 l,lit, :.'/? I 'l ,ll:l ?.76:I ll.l(rl l.?56 !.lt,l '.!.?50 l.l5?
40
L30:I
L(rll'l
!.01I
:.?()l
60
l.)()r,
l
(r7|
".01)()
120
l.:(xl
l.(rlrl I (' lir
I rriil I rr()(l
Kebarangkal i.'rn utl<.rri
j atr
Kebeb as an ll
6.3 t,1
.)
t .886
2.930
?.?(tt, 4,:l():l
3 rl
1.0:ltt 1.5:|:|
.1..)r),r
:r. I
?
I.'ll(r L,ll0
:.015
I
3.0?
J
I
.r l'1.,
lr:
!.iirt ,) ('l
L(),1:l
,r I tlll
t] 9
I .:1"7
l.ll(llr l.ll6t)
.l.ll()(t
l.:Iil3
| .tl:lJ
2.)6'l
l0
1.3??
l,l|l?
It
t.363
l.?96
2.:,101
l2
l.itir6
l.7ll:l
13
1.350
l.??
I
2.171) ll. I trtt
l4 l5
1.341'r 1.3'l I
I .761
l(r
l,3J?
1.7.10
1.3:f :t
1.7,10
'.1,1
1.3)0
2.0'):l
6 1I
l.,l
l? IB
l9
2,1
29 30
€
I ir
l.llltl
|
.)tr,)
-
t.753
.;15
I ll('] .r .rr)lt
!,145 :1. l:i I .) l')tl
l()
!. l()l
!.(rll(r
I
L()(r'I
124
|
4'lrll) :,:lilt
?.f,(;0
(nnu roz)
L-ctmFrirarr I{I.
Jadrral
J,...'Irrretarr
Latr,lace.
Furrgsi AsaI
Jelamaan
ftil
Leiplace
f'(s) L
L
s)O
5
t rl ,ir irrl,,.Uer f,c'sit-if kt
-l!._ g n.|
s)O
l"
L
a:1
s)k
s-k
. rr kt E.e
rr!
(s - !.)t*1
sin kt (:fJg,
l.'.
s)O
t
+k k
sitrfr kt
k ,*CrSl-r
s)k
s 22.
kt
sk
t25
s)o s)
lxl
s)
lxl
