Poděkování Ráda bych na tomto místě vyjádřila poděkování své vedoucí práce RNDr. Daně Černé, Ph.D. za odborné vedení, ochotu a trpělivost při čtení práce. Dále bych poděkovala své rodině a příteli za podporu po celou dobu studia a při tvorbě práce.
Anotace Diplomová práce se věnuje řešení středoškolských úloh v matematických programech. Mezi mnou vybrané softwary patří Geogebra a WolframAlpha. Zpracování je provedeno prostřednictvím webových stránek, které budou sloužit studentům středních škol jako pomůcka ve výuce i při domácí přípravě. Webové stránky obsahují i příklady nad rámec středoškolské matematiky a tudíž se mohou stát motivací pro studium vysokoškolské. Webové stránky dp.lenkakrupickova.cz jsem vytvořila na základě nutnosti pracovat s matematickými softwary nejen ve výuce. Při tvorbě jsem použila odbornou literaturu a materiály k daným softwarům a také učivu. Vše jsem propojila s mými dovednostmi a zkušenostmi v daných matematických softwarech. Součástí mých webových stránek je přehledný průvodce daným výpočetním prostředím. Jednotlivé kapitoly obsahují seznámení s vybraným výpočetním prostředím, pokyny k instalaci, dostupnými možnostmi a funkcemi nejen v matematice. V návazné části jsou rozebrány příklady středoškolské matematiky s důrazem na určité učivo. Důraz byl kladen na funkce a rovnice. Řešení příkladů je pomocí zvolených webových aplikací. Následně jsem zařadila i kapitolu zaměřenou na vysokoškolskou matematiku a řešení příkladů z praxe. Stránky mohou též sloužit studentům středních škol jako příprava na přijímací zkoušky z matematiky na vysokou školu. Cílem mé diplomové práce je vytvořit webové stránky, které pomohou studentům na středních a vyšších stupních vzdělávání. Stránky mnou vytvořené mohou sloužit i učitelům, kteří mají zájem dané matematické programy využívat ve výuce. Sbírka úloh z matematiky, se kterou se může čtenář setkat v závěru mých stránek, slouží k procvičování popřípadě jen k zopakování daného matematického problému. Kapitoly jsou na stránkách uspořádány v takovém sledu, aby se uživatel stránek mohl nejdříve s daným programem naučit pracovat a následně získané poznatky využil k řešení matematických příkladů a úloh v těchto softwarech. Klíčová slova matematický software – aplikace - funkce
The annotation
This thesis deals with solving secondary tasks in mathematical programs. The chosen programs are Geogebra and WolframAlpha. Processing of the thesis is realized by websites which can be used by secondary school students. These websites contain tasks beyond the secondary school mathematics, therefore many university students may find them a useful tool. I have created these websites dp.lenkakrupickova.cz on the grounds of necessity to work with mathematical programs not only in education. I have used technical literature and materials connected with the given programs and the syllabus and I have interconnected them with my personal skills and experience in the given mathematical programs. A necessary part of my websites is a clearly arranged program guide. These chapters deal with a familiarization with the programs, installation instructions, and program capabilities not only in mathematics. In the following chapter I have analysed secondary school mathematical problems focused on the concrete subject matter. I have focused my attention on functions and equations. Follow-up chapters rather deal with the university mathematics. I have created these chapters on the grounds of the following reasons. On one hand they can be used as the preparation for the entrance exams for university students, on the other hand they can serve as a study material for the same level of the students. The aim of my thesis is to create websites which can help the secondary and university students. The websites can be used by teachers who want to use these programs in their teaching. In the end of my thesis readers can find the collection of mathematical tasks which can be used for practice and revision of the given problem. I have arranged the chapters in the sequence to enable the users to learn how to use the program first. Afterwards they can use achieved knowledge in solving mathematical tasks.
Keywords mathematical software – aplication – function
Obsah Seznam obrázků .................................................................................................... 10 Seznam tabulek...................................................................................................... 10 Seznam grafů ......................................................................................................... 11 Úvod ...................................................................................................................... 12 1
2
Představení nejznámějších matematických programů.................................. 13 1.1
Mathematica .......................................................................................... 14
1.2
Maxima ................................................................................................. 15
1.3
MathCad ................................................................................................ 15
1.4
Maple..................................................................................................... 15
1.5
Derive .................................................................................................... 16
1.6
Cabri ...................................................................................................... 16
1.7
Octave ................................................................................................... 16
1.8
TIIA (TI InterActive) ............................................................................ 17
1.9
Geogebra, WolframAlpha, Matlab ........................................................ 17
Průvodce softwarem Geogebra..................................................................... 18 2.1
Historie Geogebry ................................................................................. 18
2.2
Charakteristika Geogebry...................................................................... 18
2.3
Pokyny k instalaci ................................................................................. 19
2.4
Prostředí Geogebry................................................................................ 20
2.5
Způsob práce s Geogebrou .................................................................... 21
2.5.1 Spuštění ............................................................................................. 21 2.5.2 Hlavní nabídka................................................................................... 21 2.5.3 Panel nástrojů .................................................................................... 22 2.5.4 Grafické a algebraické okno .............................................................. 25 2.5.5 Tabulka .............................................................................................. 25
3
2.6
Možnosti softwaru ................................................................................. 26
2.7
Řešené úlohy v Geogebře...................................................................... 28
Průvodce softwarem WolframAlpha ............................................................ 33 3.1
Historie WolframAlpha ......................................................................... 33
3.2
Charakteristika programu ...................................................................... 33
3.3
Popis prostředí ....................................................................................... 34
3.4
Způsob práce se softwarem ................................................................... 34 8
4
3.5
Možnosti softwaru ................................................................................. 36
3.6
Vybrané ukázky z WolframAlpha ........................................................ 37
Motivace pro vysokoškolské studium .......................................................... 38 4.1
Historie programu Matlab ..................................................................... 38
4.2
Představení programu Matlab ............................................................... 38
4.3
Ukázky z programu Matlab ................................................................... 39
4.3.1 Newtonova metoda tečen .................................................................. 39 4.3.2 Dynamika mechanických soustav ..................................................... 44 5
Popis vytvořených www stránek .................................................................. 48 5.1
Lineární funkce ..................................................................................... 48
5.2
Lineární lomená funkce......................................................................... 50
5.3
Mocninná funkce ................................................................................... 51
5.4
Goniometrické funkce ........................................................................... 52
5.5
Kvadratická funkce ............................................................................... 54
5.6
Učivo ve WolframAlpha ....................................................................... 55
Závěr ...................................................................................................................... 57 Seznam použitých zdrojů ...................................................................................... 58 Seznam příloh ........................................................................................................ 60
9
Seznam obrázků Obrázek 1: Ikona Geogebry .................................................................................. 19 Obrázek 2:Algebraické okno, grafické okno, tabulka v Geogebře........................ 21 Obrázek 3: Hlavní nabídka ................................................................................... 22 Obrázek 4: Panel nástrojů .................................................................................... 22 Obrázek 5: Konstrukce trojúhelníka v Geogebře .................................................. 30 Obrázek 6: Kružnice osově sdružené .................................................................... 31 Obrázek 7: Směrnice tečny v Geogebře ................................................................ 32 Obrázek 8: Dostupné služby ve WolframAlpha ..................................................... 34 Obrázek 9: Okruhy z matematiky ve WolframAlpha ............................................. 36 Obrázek 10: Příklad vyřešen pomocí WolframAlpha............................................ 37 Obrázek 11: Grafické znázornění Newtonovy metody tečen ................................. 40 Obrázek 12: Hledání minima Newtonovou metodou tečen ................................... 43 Obrázek 13: Trajektorie pohybu družice............................................................... 47 Obrázek 14: Závislost úhlu φ na čase ................................................................... 47 Obrázek 15: Applet znázorňující lineární funkci .................................................. 49 Obrázek 16: Applet pro lineární lomenou funkci .................................................. 50 Obrázek 17: Applet pro mocninnou funkci............................................................ 51 Obrázek 18: Applet na sestrojení sinusoidy a kosinusoidy ................................... 53 Obrázek 19: Applet pro funkce tangens a kontagens ............................................ 53 Obrázek 20: Grafické znázornění kvadratické funkce v Geogebře ....................... 54
Seznam tabulek Tabulka 1: Seznam priorit operací ........................................................................ 27 Tabulka 2: Používané matematické programy ...................................................... 63 Tabulka 3: Využití zvolených matematických programů ..................................... 63 Tabulka 4: Používané matematické programy ...................................................... 65 Tabulka 5: Využití zvolených matematických programů ..................................... 65 Tabulka 6: Používané matematické programy ...................................................... 67 Tabulka 7: Využití zvolených matematických programů ..................................... 67 10
Seznam grafů Graf 1: Využívání matematických programů studenty SŠ .................................... 63 Graf 2: Spokojenost s programem s WolframAlpha u studentů SŠ ...................... 64 Graf 3: Spokojenost s programem Geogebra u studentů SŠ ................................. 64 Graf 4: Využívání matematických programů učiteli SŠ ....................................... 65 Graf 5: Spokojenost s programem WolframAlpha u učitelů SŠ ........................... 66 Graf 6: Spokojenost s programem Geogebra u učitelů SŠ .................................... 66 Graf 7: Využívání matematických programů studenty VŠ ................................... 67 Graf 8: Spokojenost s programem WolframAlpha u studentů VŠ ........................ 68 Graf 9: Spokojenost s programem Geogebra u studentů VŠ................................. 68
11
Úvod Počítače
a
internet
jsou
v současné
době
součástí
běžného
života.
Také jsou nedílnou součástí života většiny studentů. Setkáváme se čím dál častěji s využitím počítačů a internetu i ve školním vyučování. Někteří učitelé už výuku bez informačních technologií vnímají jako nemoderní či výuku minulosti. Trendem se staly především interaktivní tabule, dataprojektory i využití internetu samotného. Dále se v současné době více a více setkávám s tím, že studenti využívají různý software, například WolframAlpha či Geogebru. Těchto programů využívají zejména při výpočtech a úlohách v matematice a jiných technicky zaměřených předmětech. Z tohoto důvodu jsem se rozhodla vytvořit webové stránky, které budou sloužit především studentům středních škol jako výuková pomůcka. Myslím si, že stránky uvítají studenti střední školy ale i začínající studenti vysoké školy. Webové stránky obsahují nejen informace o samotném výpočetním prostředí, pokyny k instalaci, přehled jeho funkcí, ale také ukázky příkladů řešených pomocí daného výpočetního prostředí. Dále jsem umístila na své stránky sbírku úloh k procvičení. Vše může studentům pomoci k jejich domácí přípravě i v rámci samotné výuky ve škole. Zaměřila jsem se na učivo funkce a rovnice. S funkcemi se setkáme už i na základní škole. Jelikož studuji učitelství matematiky pro střední školy, tak jsem většinu příkladů směřovala na střední školu, protože mohu stránky využít i v pedagogické praxi.
12
1 Představení nejznámějších matematických programů V této kapitole se čtenář seznámí s několika významnými matematickými programy. Matematický software Pro lepší přehled o účelu jednotlivých matematických funkcí, které programy nabízí, je důležité se nejprve seznámit s daným standardem v jejich rozdělení. Matematické programy můžeme rozdělit do několika následujících kategorií [17]:
CAS software (Computer Algebra System): Tyto systémy počítačové algebry jsou založeny na tzv. symbolických výpočtech. Symbolické a algebraické výpočty můžeme charakterizovat jako výpočty se symboly reprezentujícími matematické objekty. Každý řešený problém či úlohu je potřebné vždy vhodně matematicky definovat a poté také správně interpretovat výsledek. Tento typ software nedokáže zpracovat zadání, které není napsáno pomocí matematických symbolů a operací. Většina těchto systémů nabízí rozhraní pro 2D a 3D zobrazování, algoritmizaci, specializované aplikované funkce. Zadané symboly mohou reprezentovat čísla, booleovské hodnoty, znaky představující písmena abecedy. Vše může být používáno pro matematické objekty, datové struktury a vykonavatelné procedury. Matematické objekty reprezentují proměnné, matematické výrazy, posloupnosti, matice, polynomy, funkce jedné a více proměnných, derivace, integrály, soustavy rovnic a nerovnic, prvky algebry, kterými jsou grupy, okruhy [15], [17]. Konečným cílem řešení matematického problému je vyjádření jeho řešení v explicitním analytickém tvaru, anebo nalezení jeho symbolické aproximace. V případě algebry jsou výpočty prováděny v souladu s pravidly algebry oproti použití přibližné aritmetiky zapsaných v pohyblivé řadové čárce, jak jsme tomu zvyklí u klasických numerických výpočtů, kde dochází k zaokrouhlování z důvodu omezeného počtu cifer. Součástí většiny systémů je jednoduchý vyšší programovací jazyk, který umožňuje uživatelům implementovat své vlastní algoritmy. Mezi CAS patří: Maple, Maxima, GAP, Derive, Mathematica, Geogebra.
13
Software pro analýzu dat: Zabývají se především prací s větším množstvím externích dat. Pracují buď s datovým balíkem jako celkem, nebo aplikují určitou operaci na každou datovou jednotku samostatně. Programy pro analýzu dat se využívají nejčastěji ke statistickým výpočtům. Mezi tyto programy patří: program R, Centurion XV, StatGraphic. Tabulkové procesory: Jsou určitou obměnou softwaru pro analýzu dat s menším počtem funkcí. Jsou určitě přehlednější pro práci z hlediska uložení dat do tabulek, a proto mají své uplatnění v praktickém užívání především v domácím prostředí uživatele. Mezi tabulkové procesory patří: MS Excel, Calc.
1.1 Mathematica První verze byla vydána v roce 1988. V současné době je majetkem firmy Wolfram Research. Jedná se o profesionální nástroj, který zahrnuje široký rozsah matematických funkcí zaměřených i na střední a vysokou školu. Mathematica for the Classroom je označení produktu Mathematica pro vyučování na středních školách [19]. Díky velmi snadné manipulaci zejména s grafickými objekty se stává názornou pomůckou pro výuku nejen matematiky, ale i dalších exaktních a technických předmětů, například informatiky, fyziky, zeměpisu na všech stupních vzdělávání. Tento program jsem během své pedagogické praxe využila již několikrát při výkladu učiva, k demonstracím ve třídě, neboť je kompatibilní s interaktivní tabulí. Pracuji s výukovými texty, které upravuji pomocí dynamických prvků, protože si myslím, že vizualizace při výkladu nového učiva je velmi důležitá a Mathematica je dobrý nástroj, který k ní napomáhá. Dále jsem tento program využívala a využívám pro sestavování písemných prací, aby
nedocházelo
k odlišnosti
mezi
jednotlivými
variantami
písemné
práce.
Generováním si vytvořím písemné práce stejného stupně obtížnosti, což je nespornou výhodou softwaru. Mathematica je komerčním programem, ale testována byla již v roce 2005 i volně šiřitelná verze Mathreader, která umožňuje uživateli pouze prohlížení již vytvořených souborů [19].
14
1.2 Maxima Jeden z nejstarších a méně známých programů, který byl vyvíjen již od 60. let. Distribuován byl v letech 1982-1999. Vyvinul se z komerčního softwarového balíku Macsyma, který byl legendárním systémem počítačové algebry [11]. Maxima je systém vytvořený pro manipulaci se symbolickými a numerickými operacemi. Přináší přesné výsledky ve výpočtu derivací, integrací, polynomů, vektorů, matic i v řešení soustav lineárních rovnic. Funkce vykresluje ve 2D a 3D rozměrech. Není příliš využívaným programem na středních školách, ale své uživatele si najde mezi některými studenty vysokých škol. Program je zdarma dostupný v rámci serveru Sourceforge [11].
1.3 MathCad Tento program spravuje Mathsoft. V současnosti dostupná verze získává na popularitě díky názornému a přehlednému uživatelskému rozhraní a přímé propojitelnosti s MS Excel. MathCad provádí technické výpočty a výpočtové zprávy, které obsahují texty, matematické rovnice, tabulky, grafy apod. Obsahuje moduly pro analýzu dat a práci s obrazovými a zvukovými soubory [15]. Tento program je často využíván na středních a vysokých školách k technickému kreslení, protože vypočtené hodnoty z MathCadu vstupují do CAD geometrie jako parametry a kóty a naopak [1]. Zde je pak využívána klíčová vlastnost programu, kterou je možnost skrývání výpočtové části dokumentu. Předností programu jsou též vizualizační možnosti, například kartézské, plošné či vektorové grafy. Tento program se mi zdá poměrně vhodný pro studenty středních škol z důvodu snadného zadávání rovnic a automatického přepočítání dokumentu.
1.4 Maple Vývoj vedený vědci na univerzitách v Kanadě začal kolem roku 1980. V současné době koriguje jeho vývoj firma Maplesoft. Maple je komerčním softwarem a umožňuje pracovat ve dvou prostředích, kterými jsou Worksheet mode a Document mode [4]. V programu
se používá vlastní
programovací
jazyk
Maple
s velkou
řadou
předdefinovaných funkcí a procedur [9]. Program by mohl být používán na školách ještě více, protože jeho pořízení by mohlo být pro školy velmi přínosné. Lze ho totiž využít pro výuku analytické geometrie či ve výuce posloupností a řad. 15
1.5 Derive Poprvé byl vydán v roce 1988 a byl vyvinut firmou Soft Warehouse jako nástupce programu Math [17]. Popularitu si získal z důvodu své menší paměťové náročnosti a též jako nástroj s algebraickými a grafickými schopnostmi, který je určen zejména pro výuku s kompletní českou lokalizací. V současné době je v našem školství využíván Derive 6.
1.6 Cabri Vznikl po roce 1995 jako prostředí k vytváření interaktivních geometrických konstrukcí na obrazovce počítače. Existuje verze v rovinné i prostorové geometrii. Ovládání programu je velmi jednoduché, protože všechny funkce jsou zahrnuty v několika obrazových ikonách s textovými popisky [10]. Program není volně dostupný v plné verzi. V dnešní době zastupují funkce programu Cabri zdarma dostupné programy GeoGebra a GeoNext, což je důvodem, že není v takové míře využíván samotný program Cabri. Převážně je využíván učiteli na základních školách pro přípravu demonstrací příkladů z geometrie, protože práce s programem je podobná rýsování pomocí pravítka a kružítka na školní tabuli. Těmto učitelům vyhovuje jednoduché ovládání, protože všechny funkce jsou zahrnuty v obrazových ikonách s textovými popisky a prostředí programu je uživatelsky dostupné.
1.7 Octave Vývoj začal v roce 1988 a původně měl být program určen jako program pro psaní vysokoškolské učebnice týkající se chemických reaktorů. První verze byla uvolněna v roce 1994 [18]. Dnes představuje vyšší programovací jazyk, který je určen zejména pro numerické výpočty. Octave představuje volně dostupnou verzí komerčního výpočetního prostředí Matlab, a proto většina příkazů má stejnou syntaxi. Tento program jsem využila v lineární algebře, kde jsem program použila pro výpočet inverzní matice a vlastních čísel čtvercové matice. Přes mé zkušenosti s programem Matlab a tedy zadávání podobných příkazů jsem shledala za užitečnou pomůcku seznam všech definovaných funkcí, který Octave nabízí. Software je dále vhodný pro řešení nelineárních rovnic nebo pro práci s polynomy atd.
16
1.8 TIIA (TI InterActive) Tento program je produktem firmy Texas Instruments a je koncipován jako výukový software. Jedná se o typ komerčního programu, který má výhodu v celkové jednoduchosti. Navíc od některých uvedených programů má integrovaný textový a tabulkový procesor, publikační nástroje a nástroje pro komunikaci s kalkulátory [17]. I tento program jsem ve své pedagogické praxi využila pro přípravu na výuku v lineární algebře, například pro výpočet inverzní matice a výpočet determinantu. Mnohdy mi tento software připomínal spíše grafickou kalkulačku než výukový software.
1.9 Geogebra, WolframAlpha, Matlab Těmto programům jsou věnovány samostatné kapitoly v této práci.
17
2 Průvodce softwarem Geogebra V této
kapitole
Vás
seznámím
a
provedu
matematickým
softwarem,
který se nazývá Geogebra. Vysvětlím principy práce s tímto softwarem, upozorním na důležité znaky, vlastnosti a ukáži na konkrétních případech některé postupy práce se softwarem.
2.1 Historie Geogebry Tvůrcem programu Geogebra je Markus Hohenwarter. Program byl součástí jeho diplomové práce v didaktice matematiky a počítačové vědy v letech 2001/2002. Diplomovou práci psal na Univerzitě v Salzburgu v Rakousku, kde také Markus Hohenwarter začal program vytvářet. Jeho práce byla podpořena stipendiem DOC z rakouské akademie věd, a díky tomu, mohl Markus pokračovat v rozvoji software. Dále rozvíjel program Geogebra ve své disertační práci v matematice pro vzdělávání na Floridě Atlantic Univerzity v letech 2006 – 2008. Tímto si našla Geogebra i cestu do Spojených států amerických. Během této doby program Geogebra vyhrál několik mezinárodních ocenění. Mezi tyto ocenění patří také evropské a německé vzdělávací software ocenění, například EASA 2002 nebo Digita 2004 [18]. Geogebra byla přeložena učiteli a vyučujícími matematiky po celém světě do více než 25 jazyků, což se stalo významným mezníkem pro samotný program. Dalším mezníkem pro rozvoj Geogebry byla skutečnost, že od roku 2006 je podporována rakouským ministrem školství. Podporována byla ze strany Rakouska proto, aby se mohla volně šířit a zdarma využívat k výuce matematiky na školách a univerzitách. V současné době je hlavním vývojářem programu Geogebra Michael Borcherds, který je učitelem matematiky na druhém stupni základní školy.
2.2 Charakteristika Geogebry Geogebra je dynamický matematický software, který je určen pro výuku geometrie a algebry na všech úrovních vzdělávání. Software poskytuje dva úhly pohledu na tentýž objekt, protože v sobě spojuje dva pohledy na řešený problém a to prostřednictvím právě geometrie a algebry. Geogebra se také zabývá dalším oborem matematiky a tím je analýza. Dále také v sobě spojuje tabulky, znázornění grafů, statistiku a infinitezimální počet [13]. 18
Po práci v programu může uživatel samotný model, stejně jako vlastní model Geogebry, exportovat jako html stránku. Html stránka poskytuje nejen nastavení popisu a informativní údaje, ale také volbu přístupu uživatele. Uživatel do modelu může vkládat další vlastní konstrukce. Geogebra také umožňuje export obrázků v několika formátech. Důležitá je také podpora pro tisk, protože je řada uživatelů používá i v tištěné podobě [15]. Program je přehledný, má velmi intuitivní ovládání a zejména volně dostupný pro nekomerční použití. Je průběžně lokalizován do mnoha jazyků včetně češtiny, což bývá tím největším plusem u mnoha učitelů a studentů, kteří tento program používají při své práci.
2.3 Pokyny k instalaci Geogebra je volně dostupný software na internetu. Geogebru je možné využívat bezplatně pro nekomerční účely. Instalace programu je jednoduchá. K chodu programu je podstatné mít na svém počítači nainstalovanou Javu. Java bývá ve většině případech nainstalována do počítače od svého prodejce. V případě, že Java není na počítači nainstalována, je potřeba si Javu nainstalovat před instalací Geogebry. Instalační soubor je možné si stáhnout přímo od výrobce firmy Oracle na webových stránkách www.oracle.com. Nyní k samotné instalaci programu Geogebra. Důležité informace a instalační soubory
získáte
na
http://www.geogebra.org/.
Při
spuštění
Geogebry
bude
vše v angličtině. Uživatel může přejít na jazyk čeština, ale bohužel v případě nápovědy není dostupná česká verze. Pokud přesto uživatel preferuje češtinu při práci v samotném softwaru, změnu provede při instalaci kliknutím na Options a dále v nabídce Language vybereme Czech. V případě, že si program Geogebra stáhnete na svůj počítač, tak je potřeba mít připojení k internetu. Připojení k internetu je podstatné z důvodu přístupu k nápovědě v programu. Po úspěšné instalaci programu na svůj počítač se objeví na ploše ikona Geogebry. Ikona programu na ploše vypadá takto:
Obrázek 1: Ikona Geogebry
19
Uživatel nemusí mít samotný software nainstalovaný na svém počítači, a přesto s ním může pracovat. Lze to v případě, že je počítač trvale připojen k internetu. Pak může uživatel v prostředí Geogebry pracovat přímo na webových stránkách www.geogebra.org. Uživatel musí jen kliknout na okno pro práci on-line. Práce on-line je výhodná ve chvíli, kdy uživatel chce pracovat s Geogebrou jen jednorázově nebo krátkodobě, protože některé vytvořené soubory při práci on-line nelze následně upravovat nebo opakovaně otevřít bez nainstalovaného softwaru.
2.4 Prostředí Geogebry S danými objekty se dá pracovat v grafickém okně umístěném v nákresně nebo také
v algebraickém
okně.
Také
můžeme
spolupracovat
s tabulkou,
která přestavuje tabulkové zobrazení a zadání dat. Grafické okno, algebraické okno a všechny dostupné tabulky jsou propojeny a plně dynamické. Algebraické zobrazení i zobrazení tabulkou můžeme skrýt [8]. Nelze pouze skrýt grafické okno. Můžeme se setkat i s označením geometrické okno místo grafického. Příkazy je možné zadávat pomocí nástrojů v menu grafického okna, ale také pomocí příkazového řádku a přidružených pomocných polí, které nalezneme v dolní části okna. Příkazový řádek je označen jako vstup. V případě, že vytváříme nové objekty pomocí příkazového řádku, máme možnost využít nápovědu ke zvolenému příkazu. Nápověda obsahuje údaje o parametrech příkazu. Nápovědu lze využít hned několika způsoby. Buď klikneme na nápovědu v panelu nástrojů nebo využijeme online nápovědu nebo ji můžeme vyvolat kliknutím na klávesnici F1. Součástí standardní nabídky programu je možnost tvorby makrokonstrukcí [18]. Makrokonstrukce představují tvorbu nových vlastních příkazů a možnost úpravy panelu nástrojů. Nový panel nástrojů si může uživatel sestrojit z funkcí potřebných pro své konstrukce.
20
Obrázek 2:Algebraické okno, grafické okno, tabulka v Geogebře
2.5 Způsob práce s Geogebrou V této části kapitoly o způsobu práce s daným výpočetním prostředím budu využívat již zmíněné grafické okno a algebraické okno a další prvky softwaru.
2.5.1 Spuštění Po spuštění softwaru se zobrazí úvodní obrazovka, která byla popsána v předchozí kapitole. Nyní si popíšeme jednotlivé části softwaru a jejich možnosti využití.
2.5.2 Hlavní nabídka Pomocí hlavní nabídky bych chtěla všem uživatelům programu ukázat užitečné možnosti využití jednotlivých záložek. Pokud se s nimi uživatel předem seznámí, pak se podstatně rychleji orientuje už při vytváření konstrukcí či pracovních listů ve výpočetním prostředí. Z následujícího obrázku 3 je patrné, že je téměř totožný například s textovým editorem Word, ale nabídky daného menu se týkají převážně geometrických úkonů. Veškeré položky menu jsem popsala na svých webových stránkách ve způsobu práce.
21
Obrázek 3: Hlavní nabídka
2.5.3 Panel nástrojů Pomocí nástrojů umístěných v hlavním panelu nástrojů zadáváme v grafickém okně prvky geometrických konstrukcí. Některé vybrané funkce tlačítek z panelu nástrojů jsem v následujícím textu více popsala, protože panel nástrojů se zobrazí v menším rozsahu tlačítek než na výše uvedeném obrázku. Uživatel by tedy mohl například nabýt dojmu, že jeho konstrukci není možné v softwaru vytvořit. Výčet všech funkcí jednotlivých tlačítek z panelu nástrojů k programu Geogebra nalezne čtenář na vytvořených stránkách dp.lenkakrupickova.cz.
Obrázek 4: Panel nástrojů
22
Nový bod
Popis Nový bod – Vytvoříme nový bod v místě kliknutí a nástroje Nový bod. Pokud chceme vytvořit bod určitých souřadnic, lze použít mřížku nebo zadat do vstupního
pole.
Například
v kartézské
soustavě
souřadnic
zadáme
bod
takto: A=(1;8). Nově zvolené body lze umístit i na již existující objekty. Bod následně mění vlastnosti, například polohu spolu s objektem. Implicitně jsou body označovány velkými písmeny abecedy, tečkou a mají modrou barvu. K bodu lze přičíst číslo, které se přičte k oběma souřadnicím bodu. Například máme zadaný bod A=(1; 3) a vytvoříme bod B = A + 3 a získáme bod se souřadnicemi (6; 6). To samé lze využít i při násobení číslem obou souřadnic. Užitečné je také pracovat se souřadnicemi bodu, jejich zadávání je popsáno v podkapitole Hlavní nabídka. Ve Vlastnostech bodu lze Zapnout stopu, kterou při svém pohybu po nákresně bod zanechává. Bod na objektu – symbolizuje uchycení bodu na již vytvořený objekt. Můžeme také bod na objekt přenést až v průběhu práce. Důležité je bod na objekt uchytit, protože jinak při pohybu objekt by bod zůstával na stále stejném místě. Průsečík – tato funkce najde všechny průsečíky zvolených objektů. Po kliknutí na tuto funkci už stačí kliknout postupně na objekty, jejichž průsečík nás zajímá. Vzniklé body jsou označeny červenou barvou. Střed – lze hledat střed úsečky, pravidelného mnohoúhelníku či kuželosečky, kde se změnou úsečky se posouvá automaticky i střed.
23
Elipsa
Popis Elipsa, Hyperbola – je potřeba zadat ohniska a libovolný další bod kuželosečky pro její vykreslení. Parabola – pokud chceme vykreslit parabolu, pak je nutné zadat jako vstupní informace bod a řídící přímku. Kuželosečka daná pěti body – po vytvoření pěti bodů program vykreslí odpovídající kuželosečku, která všemi těmito body prochází. Úhel
Popis Úhel – je vykreslován proti směru pohybu hodinových ručiček a je nutné si dávat pozor na pořadí v jakém body či přímky zadáváme. Úhel dané velikosti – je potřeba zadat bod, vrchol a velikost úhlu ve stupních či radiánech. Symboly pro stupně a Ludolfovo číslo π jsou ve výběru.
24
Při zadávání velikosti lze určit, zda se úhel vykreslí po směru nebo proti směru hodinových ručiček, což je důležité především pro orientovaný úhel. Spolu s úhlem se vytvoří pouze příslušná kruhová výseč, která úhel označuje. Pokud chceme úhel společně s rameny, musíme k jeho vytvoření použít nástroj přímka Vzdálenost – změří vzdálenost dvou bodů nebo obvod zvoleného objektu a zároveň se zobrazí text s příslušnou hodnotou. Obsah – u mnohoúhelníků a kuželoseček měří jejich obsah. Opět vytvoří příslušný text. Spád – představuje přímku, která rozdělí nebo oddělí daný obrazec pod příslušným úhlem.
2.5.4 Grafické a algebraické okno Základní nastavení vzhledu objektů grafického okna je ovlivněno volbami položek ze sady Nastavení umístěné v hlavní nabídce. Pro grafické okno se též používá nákresna. Vzhled objektů grafického okna také můžeme změnit pomocí panelu nákresna v kontextovém
menu
grafického
okna.
Grafické
okno
lze posouvat
myší
spolu s klávesou Ctrl nebo Shift a přibližovat nebo oddalovat můžeme kolečkem na myši. V okně algebry je vždy zřetelné rozdělení objektu na volné a závislé. Tyto volné i závislé objekty je možné v okně vlastnosti předefinovat. Je také možné označit některé objekty jako pomocné. Pomocí okna vlastnosti je možné nastavit vlastnosti pro vybraný objekt, ale také pro celé množiny objektů, například pro body, přímky atd. V okně algebry se dá měnit způsob zobrazení, například na kartézský či polární souřadnicový systém. Každý
prvek
je
zvýrazněn
jak
v grafickém
tak
algebraickém
okně.
Každý tento prvek bude takto zvýrazněn právě, když bude v režimu objektů. Práce v okně algebry je často pohodlnější než práce v okně grafickém. Je zde rychlejší označení pro skrytí nebo naopak zobrazení objektů, protože přesně víme, o který bod nebo přímku se jedná.
2.5.5 Tabulka Okno
tabulky
umožňuje
funkce
obvyklé
pro
tabulkové
kalkulátory.
V jeho buňkách se můžeme setkat nejen s čísly ale i s libovolnými objekty Geogebry. Na obsah jakékoliv buňky tabulky se lze pomocí její adresy odvolávat. 25
Je možné se odvolávat nejen ve vzorcích tabulky ale i ve výrazech zadávaných do příkazového řádku.
2.6 Možnosti softwaru V této
kapitole
bych
chtěla
uživatelům
softwaru
přiblížit
možnosti,
které má v programu příkazová řádka, přímý vstup či některé logické operace při zadávání. Příkazová řádka Příkazová řádka je nástroj, který není obsažen v jiných geometrických náčrtnících například Cabri [18]. Příkazů je zde obsaženo mnoho, které podporují celé středoškolské téma funkce a analytická geometrie. Některé příkazy i přesahují středoškolská témata. Příkladem je diferenciální a integrální počet. Pokud zadáváme do příkazové řádky funkci nebo logickou operaci, můžeme jí vybrat z pomocné rozbalovací nabídky nebo zapsat pomocí klávesnice. V případě samotného psaní příkazu je dobré vědět, že zápis odpovídá JavaScriptu. Díky příkazové řádce lze využívat i funkce, které nejsou v panelu nástrojů. Ukázky některých příkazů dostupných z příkazové řádky, které byly vybrány z aktuálního seznamu pro českou lokalizaci programu [3].
Asymptota
Funkce
Bod
Graf
CelociselnyPodil
HlavniOsa
DeliciPomer
Hyperbola
Delka
KrokNaOseX
DelkaHlavniOsy
KrokNaOseY
DelkaVedlejsiOsy
KruhObloukUhlu
Derivace
Kruhová VysecDanaUhlem
Determinant
KruhVysecDanaObloukem
Elipsa
Kruznice
Excentricita
Kuzelosečka
Extrem
JednotkovyNormVektor 26
Kolmice
JeDefinovan
KorelacniKoeficient
JednotkovyVektor
KrivkKrivost
Integral
Podporované operace a funkce + , – , *, / , ! (faktoriál), závorky ()
sin( ).......sinus
*, mezera.....skalární součin
cos( ).......kosinus
^ ........mocnina
tan( )....... tangens
x( ), y( ).......x-souřadnice, y
asin( ).......arkus sinus
souřadnice
acos( ).......arkus kosinus
abs( ).......absolutní hodnota
atan( ).......arkus tangens
sgn( ).......signum x, znaménko x
sinh( ).......hyperbolický sinus
sqrt( ).......druhá odmocnina
cosh( ).......hyperbolický kosinus
cbrt( ).......třetí odmocnina
tanh( )....... hyperbolický tangens
random( ).....náhodné číslo v
asinh( ).......antihyperbolický sinus
intervalu 0, 1)
acosh( )......antihyperbolický
exp( ), e^x ...exponenciální funkce
kosinus
ln( ), log( ) ...přirozený logaritmus
atanh( )...... antihyperbolický
ld( ) .......logaritmus o základu 2
tangens
lg( ) .......dekadický logaritmus
floor( ) ..největší celé číslo menší
round( ) .......zaokrouhlení
ceil( ) ...nejmenší celé číslo větší
Priorita operací, která je uvedená v následující tabulce, je důležitá z hlediska zadávání, Pokud bychom tuto prioritu nedodržovali, tak nám to může spočítat jiné zadání příkladu. Tabulka 1: Seznam priorit operací [3] Priorita
Operace
1.
˄
2.
*/
3.
+ -
27
Přímý vstup Příkazovou řádku je možné také využít pro přímý vstup, tedy pro zadávání některých objektů. Pokud si uživatel vybere možnost vlastního zápisu, měl by respektovat několik pravidel pro jejich zápis [18]. Některá důležitá pravidla zápisu: -
zadávání příkazu ukončíme klávesou Enter,
-
u desetinných čísel píšeme místo čárky desetinnou tečku,
-
znak násobení * lze nahradit mezerou,
-
bod zadáváme A=(1,4.1) jako kartézské souřadnice nebo B=(1; 60°) jako polární souřadnice,
-
zadání vektoru je stejné jako pro bod, akorát s malým písmenem,
-
mocninu píšeme pomocí symbolu ^,
-
pro proměnnou nebo konstantu se nesmí vyskytovat totéž písmeno.
2.7 Řešené úlohy v Geogebře Úloha 1 Trojúhelník Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: c = 6 cm, va = 3,5 cm, vb= 5,5 cm [6]. Náčrtek
28
Postup řešení 1. V nákresně libovolně umístíme bod A a s použitím nástroje Úsečka s pevnou délkou
sestrojíme úsečku délky 6 cm.
2. Kružnici k1 zapíšeme do vstupního pole zápisem k_1 = Kruznice[A, 3.5] nebo pomocí nástroje Kružnice daná středem a poloměrem
.
3. Přidáme obdobně kružnici k2 buď zápisem k_2 = Kruznice[B, 5.5] nebo pomocí stejného nástroje Kružnice daná středem a poloměrem. 4. Nalezneme střed úsečky AB a sestrojíme nad ní Thaletovu kružnici kT. Provedeme to bud’ pomocí nástrojů Střed a bodem
a Kružnice daná středem
nebo postupně pomocí zápisu do vstupního pole S = Stred[A, B]
a k_T = Kruznice[S, SA]. 5. Průsečíky kružnic provedeme zápisy do vstupního pole následovně: A_1 = Prusecik[k_1, k_T] a B_1 = Prusecik[k_2, k_T]. Využít můžeme i nástroj Průsečík dvou objektů
.
6. Sestrojíme polopřímky p, q přes nástroj Polopřímka
nebo napíšeme zápisy
do vstupního pole: p = Poloprimka[A, B_1] a q = Poloprimka[B, A_1]. 7. Doplníme vrchol C trojúhelníka jako průsečík polopřímek p, q buď nástrojem Průsečík dvou objektů (stejný nástroj jako v bodu 5.) nebo můžeme také zápisem C = Prusecik[p, q]. 8. Body A, B, C spojíme díky nástroji Mnohoúhelník
tím, že postupně
klikneme na A, B, C, A. Též můžeme použít zápis do vstupního pole: Mnohouhelnik[A, B, C].
29
Obrázek 5: Konstrukce trojúhelníka v Geogebře
Úloha 2 Kružnice Najděte rovnici kružnice souměrně sdružené s kružnicí (x-1)2 + (y-2)2 = 1 podle přímky x - y - 3 = 0 [2]. Postup řešení Do vstupního pole zadáme rovnice kružnice a přímky takto: k: (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 1 p: x - y - 3 = 0 a) Z panelu nástrojů nejprve vybereme nástroj Osová souměrnost
.
b) Pak postupně klikneme v nabídce na vzor - kružnice k a na osu souměrnosti a přímka p. c) Vznikne obraz kružnice k, který je označen jako k', jejíž rovnici vidíme v okně algebry červeně napsanou jako k': (x - 5)2 + (y + 2)2 = 1.
30
Obrázek 6: Kružnice osově sdružené
Úloha 3 Směrnice tečny a lokální extrémy Funkce f(x): y = 2 – 1/2 x + cos 2x je definovaná na uzavřeném intervalu ˂2,5; 5,5˃ [9]. a) Sestrojte graf funkce f(x). b) Vytvořte bod A na křivce f(x) a její tečnu v bodě A. c) Sledujte, jak se mění směrnice tečny, vyhledejte lokální extrémy funkce f(x) na jejím definičním oboru. d) Sledujte chování oskulační kružnice ke křivce f(x) v bodě A. Postup řešení a) Do vstupního pole napíšeme: f = Funkce [2 - 0.5 x + cos(2 x), -2.5, 5.5]. b) Pomocí nástroje Nový bod
klikneme na křivku f(x) v Nákresně,
bod A se vytvoří na křivce. Pak nástrojem Tečny z bodu
klikneme nejprve
na A, pak na křivku a tím v bodě A vznikne tečna ke grafu funkce f(x). Ke stejnému výsledku dojdeme zápisem Tecna[A, f(x)] do vstupního pole.
31
c) Směrnici tečny určíme pomocí nástroje Spád
, kterým klikneme na bod A.
Také ji můžeme získat zápisem Smernice[a] do vstupního pole. d) Do vstupního pole napíšeme OskulacniKruznice[A, f(x)]. Budeme-li posouvat
bodem A po křivce f(x), můžeme sledovat polohu tečny a velikost její směrnice, například v místech s nulovou směrnicí je tečna vodorovná a vyskytují se zde lokální extrémy funkce.
Obrázek 7: Směrnice tečny v Geogebře
32
3 Průvodce softwarem WolframAlpha Následující části této kapitoly Vás seznámí nejen s aplikací WolframAlpha, ale také s dalšími funkcemi z jiných vědních disciplín. Dozvíte se o softwaru samotném, o jeho instalaci, způsobu práce, ale také o možnostech využití funkcí tohoto softwaru ve výuce či při studiu.
3.1 Historie WolframAlpha Celý software je vytvořený firmou Wolfram Research, jejímž zakladatelem je fyzik a úspěšný softwarový vývojář Stephen Wolfram. Nejpropracovanější a nejobsáhlejší matematická část byla vytvořena na známém produktu Mathematica. Proto se vše určitým způsobem testuje na Mathematice a následně zakomponuje do WolframAlpha a vznikají čím dál více pokročilejší verze, nyní je na trhu Mathematica verze 9 [20]. Postupně došlo ke zpoplatňování pokročilejších funkcí. V únoru 2012 se objevila placená, rozšířená verze pod názvem WolframAlpha Pro [19]. Do určité verze zůstal software plně zdarma. V současné době je možné využívat WolframAlpha také jako mobilní verzi do smartphone.
3.2 Charakteristika programu WolframAlpha je převážně matematický a fyzikální nástroj. Je to vědomostní vyhledávač, který se liší od fulltextových vyhledávačů tím, že prohledává předem zformátované báze dat, nikoli běžné stránky na internetu. Tím se liší i výsledky vyhledávání. Výsledky vyhledávání nejsou v podobě odkazů na stránky, kde se hledaný odkaz vyskytuje nebo řeší, ale nabízí rovnou část výpočtu nebo výpočet zadaného příkladu či odpověď na zadanou otázku. Program se snaží k vyhledávaným heslům najít co nejvíce možností řešení. Pro uživatele to znamená, že má možnost získat komplexní přehled informací o hledaném heslu. Přínosné je to zejména pro uživatele, kteří nevědí přesně, co hledají anebo si chtějí rozšířit vědomosti v dané problematice. Program si dokáže poradit s elementárním výpočtem operací, převody mezi číselnými soustavami a jednotkami. Dále umí vypočítat integrály a derivace. Zvládne také vyřešit rovnice, například kvadratické, kubické, diferenciální a mnohé další [19]. 33
Zajímavý je komplexní přístup k řešení příkladů, kdy je zobrazen výsledek zároveň s dalšími doplňujícími informacemi, které se týkají daného příkazu. Mohou to být grafy či alternativní formy výsledků. Pro program není problémem řešení numerické ani symbolické. U jednodušších příkladů je zobrazen i samotný postup řešení. Nevýhodou se může pro uživatele programu stát, že má slabší výpočetní možnosti a problematické využití předchozích výpočtů. Za zmínku zde stojí uvést i nižší rychlost oproti běžným CAS, což se jeví jako omezení.
3.3 Popis prostředí Po zadání www.wolframalpha.com se spustí samotná internetová aplikace. Návod a veškerý popis je v anglickém jazyce. Práce se softwarem WolframAlpha je poměrně jednoduchá, proto si myslím, že cizí jazyk by neměl být při práci překážkou. Nyní se vraťme k popisu prostředí samotného softwaru. Příkazy je potřeba zadávat názvem funkce v angličtině následovaný výrazem nebo daty. Příkazy zadáváme do vstupního pole neboli příkazové řádky (Obrázek 8: Dostupné služby ve WolframAlpha) [20]. U aplikace se často stane, že poskytne správnou odpověď i tehdy, když jsme v zadání zadali například jiný typ závorky nebo zadali trochu jiné klíčové slovo. Ve standardní nabídce je možné kliknout na Examples, kde je ilustrováno použití daného příkazu na velkém množství příkladů, což může být tou jednodušší volbou pro začínajícího uživatele. Příkazová řádka pro zadávání příkazů se zobrazí hned při spuštění na úvodní straně webové aplikace.
3.4 Způsob práce se softwarem Součástí standardní nabídky v softwaru jsou i služby v rámci ikon pod příkazovou řádkou.
Obrázek 8: Dostupné služby ve WolframAlpha
34
Tyto služby slouží ve většině případů uživatelům, kteří zadávají příkazy z jiných oblastí než je matematika. Například se využívají pro zadání historických dat nebo obrázků živočichů či rostlin pro rozpoznání jejich druhů. Rozšířená klávesnice je využívaná pro zadávání matematických symbolů pro určité logické operace. V následujících odstavcích si popíšeme postup při práci se softwarem. Po napsání příkazu do příkazové řádky klikneme na symbol
, umístěný vpravo v příkazové řádce
nebo stiskneme klávesu Enter a příkaz odešleme ke zpracování. Pod příkazovou řádkou se zobrazí pole se vstupní interpretací zadaného příkazu a pole s výsledkem. Řešení se zobrazí prostřednictvím html stránky. V případě zájmu se postup řešení daného příkladu zobrazí kliknutím na ikonu
v pravém horním rohu
v prvním poli pod vstupním. Již zmíněné doplňující informace či grafické řešení se objeví pod řešením početním. Musím jen upozornit uživatele, že kroky řešení se nezobrazí u řady příkladů ve volně šiřitelné verzi tohoto výpočetního prostředí, ale výsledek se zobrazí u všech příkladů. Pokud chce uživatel dále pracovat jen s částí příkladu v daném poli, může využít ikonu možnosti práce, která se zobrazí, když kurzorem najede do levého dolního rohu tohoto potřebného pole. V případě
řešení
příkladu
či
úlohy
jsou
uvedeny
jednotlivé
kroky
spolu s použitými vzorci. Pokud je uživatel už zvyklý na nějaké výpočty příkladů, nemusí být výpočet pomocí WolframAlpha pro něj obvyklý. Myslím si, že i přesto může tento typ výpočtu postačit na ukázku a ověření správnosti výsledku.
35
3.5 Možnosti softwaru Okruhy matematických příkladů a úloh jsou uvedeny na obrázku 9. Tuto oblast okruhů jsem vybrala z jediného důvodu, protože má práce s programem je zaměřena na matematiku.
Obrázek 9: Okruhy z matematiky ve WolframAlpha
36
3.6 Vybrané ukázky z WolframAlpha Zvolená ukázka nabízí výpočet lokálních extrémů funkce dané předpisem
Obrázek 10: Příklad vyřešen pomocí WolframAlpha
Na uvedeném obrázku 10 vidíme, že příkaz pro výpočet lokálního extrému funkce je „local extrema“. Kontrolu příkazu nabízí input interpretation hned pod příkazovým řádkem. Software nabídl výsledek pro lokální maximum i lokální minimum. Následně vypočtené extrémy zaznamenal do grafu dané funkce pomocí červených bodů. Graf je označen jako plot. Software jednotlivé kroky řešení neposkytnul. 37
4 Motivace pro vysokoškolské studium Mnou zvolený software jako motivace pro vysokoškolské studium se nazývá Matlab. Není to software volně přístupný a stažitelný z internetu, ale studenti řady vysokých škol ho mohou získat v rámci licence dané vysoké školy. Většinou tento program využívají přímo ve výuce nebo v rámci své domácí přípravy. Tuto licenci lze získat na více než polovině vysokých škol v České republice. Setkat se můžeme i s jeho alternativou, která je volně dostupná. Alternativu představuje software Octave. V této kapitole bych Vám ráda o softwaru pověděla více, aby pro studenty vysoké školy převážně technických oborů nezůstal tabu.
4.1 Historie programu Matlab Název Matlab vznikl zkrácením slov MATrix LABotary. Přeloženo do češtiny jako „maticová laboratoř“. Při výpočtech jsou klíčovou datovou strukturou právě matice. Software Matlab vytvořil profesor Cleve Moler z Univerzity v Novém Mexiku. S návrhem softwaru chtěl studentům poskytnout využívání knihovny Eispack, Linpack bez nutnosti se učit programovací jazyk Fortran [16]. V roce 1983 Jack Little rozšířil software o další funkce a knihovny a se založením společnosti Mathworks uvedl Matlab na trh. První verze pro Windows byla uvedena pro veřejnost v roce 1994 [16]. Rozvoj informační technologie přinesl větší možnosti grafiky a další funkce v tomto výpočetním prostředí. V současné době je software využíván na akademické půdě i v soukromém sektoru v mnoho různých odvětvích.
4.2 Představení programu Matlab Matlab je interaktivní programové prostředí a také skriptovací jazyk. Matlab umožňuje uživateli počítání s maticemi, protože základním datovým typem programu jsou matice. Dalšími datovými strukturami jsou například vícerozměrná pole reálných nebo komplexních čísel. Výhoda je, že si další datové sktruktury může uživatel nadefinovat sám. Program také umožňuje implementaci algoritmu, vykreslování 2D i 3D grafů funkcí, počítačovou simulaci, analýzu dat nebo vytváření aplikací včetně uživatelského rozhraní. Grafy umí dále upravovat, například stínování grafu či vkládání tlačítka jako ovládacího prvku grafu [12]. Díky těmto funkcím není Matlab využíván jen pro matematické účely, ale je využívaný i jinými směry vědy. 38
Na program a jeho využití se setkáme s dvěma názory. Někteří odborníci z oblasti techniky a ekonomie nepovažují tento program za programovací jazyk, ale spíše za interaktivní programové rozhraní. Jiní o program říkají, že je velmi cenným a přínosným programem v oblasti programování. Matlab se rozrůstá a tedy přibývá i uživatelů. Přibývající uživatelé jsou nejčastěji z oblasti vědy a výzkumu. Nově je součástí Matlabu i program Notebook, který umožňuje tvorbu a ukládání dokumentace [12].
4.3 Ukázky z programu Matlab Ukázky příkladů řešené v programu Matlab byly zvoleny v rámci motivace ke studiu technicky zaměřených oborů na vysoké škole. První úloha znázorňuje hledání minima funkce pomocí Newtonovy metody tečen. Tento typ úlohy by měl být srozumitelný a názorný již studentům některých středních škol. Další úloha řeší fyzikální problém pomocí soustavy tří diferenciálních rovnic.
4.3.1 Newtonova metoda tečen Newtonovu metodu tečen vymyslel anglický fyzik a matematik Isaac Newton. Dále se podílel v matematice na objevu integrálního počtu a zobecnil binomickou větu. Jako fyzik měl své velké zásluhy v oblasti mechaniky. Metoda tečen neboli Newtonova metoda je iterační numerická metoda užívaná v matematice k řešení soustav algebraických a transcendentních rovnic. Řešení rovnice f(x)=0 hledáme pomocí tečen. Newtonova metoda tečen umožňuje nalézt řešení rovnice f(x)=0 za předpokladu, že známe derivaci funkce f '(x) a můžeme vypočítat směrnici tečny v daném bodě. Nezbytným předpokladem je znalost počáteční hodnoty x0, v jejíž blízkosti hledáme řešení. V případě, že se jedná o funkci spojitou, monotónní v intervalu, ve kterém hledáme řešení, můžeme očekávat řešení v průsečíku osy x a tečny ke grafu sestrojené z bodu f (x0) [14]. Jedna z možností, ale časově náročnější, pro nalezení počáteční hodnoty x0, je vytvoření tabulky, která bude obsahovat x-ové a y-ové souřadnice bodů grafu. V případě, že budeme násobit po sobě jdoucí y-ové hodnoty a jejich součin bude menší než nula, pak získáme body. Mezi x-ovými souřadnicemi těchto bodů leží právě hledaný kořen. Mnohem jednodušší způsob, jak zjistit počáteční hodnotu, je si danou 39
funkci nechat vykreslit v nějakém programu na počítači, který nám zobrazí průsečíky s osou x. Jako hodnotu x0 následně zvolíme nejbližší číslo blízko průsečíku grafu funkce s osou x. Nejen si nechat funkci vykreslit v nějakém matematickém programu, ale zadat příklad či úlohu k celkovému zpracování do Vámi zvoleného matematického programu je velmi přínosné z hlediska úspory času a případné kontroly správnosti řešení příkladu. Grafické znázornění této iterační metody vidíme na obrázku 11.
Obrázek 11: Grafické znázornění Newtonovy metody tečen
Bodem [x0 ; f(x0)] povedeme tečnu a její průsečík s osou x označíme jako x1. Jeho hodnotu vypočítáme podle následujícího vztahu neboli rekurentního vzorce:
x1 x0
f ( x0 ) . f ( x0 )
Stejný postup můžeme opakovat i pro x2, x3, … a najdeme tak ještě přesnější hodnotu.
40
Uvedený vzorec můžeme odvodit také z Taylorova rozvoje. Nechť v intervalu <𝑎, 𝑏> leží jednoduchý reálný kořen rovnice 𝑓(𝑥) = 0 a existují v tomto intervalu i derivace 𝑓′ (𝑥), 𝑓′′(𝑥), potom lze funkci f vyjádřit ve tvaru Taylorova rozvoje v bodě x0. Přesné řešení označíme x*, potom f(x*) = 0 [14]:
kde
je bod ležící mezi x a x0. Člen
zanedbáváme, protože
je velmi malé,
pokud x0 leží blízko přesnému řešení x*. Dostaneme:
a proto položíme
x1 x0
f ( xn ) . f ( x n )
Analogicky dostaneme:
Na ukázku možného řešení určitého typu příkladu jsem zvolila matematický program Matlab. Příklad [14] Newtonovou metodou nalezněte minimum funkce dané předpisem f (x) = x4 – 4x3 – 6x2 – 4x + 4. Určíme stacionární body, tj. body pro které je f '(x) = 0. Použijeme odvozený vzorec:
x n 1 x n
g ( xn ) , g ( x n )
x n 1 x n
f ( x n ) . f ( x n )
kde g(x) = f '(x). Dostaneme:
41
Newtonovou metodou budeme hledat nulové body funkce g. Protože se v uvedeném vzorci vyskytuje derivace funkce g', která je rovna f '', je předpokladem pro určení minima funkce f, že musíme znát první a druhou derivaci zadané funkce. Zvolíme x0 = -2 a po 88 iteracích dostaneme přibližné řešení:
xmin = 3,8473,
f(xmin) = -108,8953.
Příklad proveden ve výpočetním prostředí Matlab % funkce u které hledame minimum syms x; fce = x^4 – 4*x^3 – 6*x^2 – 4*x + 4 Presnost=0.001; PocIteraci=100; PocPod=input(҆Pocatecni podmínka = ?҆); % vlastni vypocet X = PocPod; k = 0; PrvniDer = diff(fce); DruhaDer = diff(PrvniDer); while (PocIteraci > k) disp(҆Iterace : ҆);k = k+1 Der1 = subs(PrvniDer,x,X); Der2 = subs(DruhaDer,x,X); Xs = X; % stara hodnota X = X – inv(Der2)*Der1 %nova hodnota i = plot(X, subs(fce,x,X),҆g.҆); if abs(X – Xs) < Presnost % konec cyklu když jsme blizko minima Poslk = k; break; end; end; Poslk, Presnost, X
Postup při zadávání v programu Matlab: nejprve zavedeme symbolickou proměnnou příkazem syms proměnná, přesnost při řešení bude rovna 0,001 a počet iterací 100 a zavedení počáteční podmínky a bude zadána uživatelem, necháme spočítat derivaci za pomocí symbolické funkce diff (výraz), kde výraz obsahuje symbolickou proměnnou, za kterou jsem zadala funkci, protože zavoláme-li funkci, pak se zderivuje zadaný výraz podle x, když je v něm obsaženo, výstupem je hledaná derivace, kterou můžeme uložit do proměnné a také spočítat i druhou derivaci funkce,
42
do vypočtené derivace můžeme dosazovat pomocí funkce subs (výraz, stare, nove), kde stare je proměnná, za kterou dosazujeme a nove je proměnná, kterou nahrazujeme, pak použijeme funkci plot pro nakreslení grafu funkce, tedy nalezeného řešení, pro nakreslení grafu funkce uložené v symbolické proměnné můžeme též použít funkci ezplot, kde se graf vykreslí na určitém intervalu, ale získáme téměř stejný výsledek jako s funkcí plot. Pro výpočet jsem využila symbolický toolbox, který jsem měla k dispozici v programu Matlab. Symbolický toolbox rozšiřuje program o výpočty symbolické, například derivování, integrování, řešení diferenciálních rovnic atd.
Obrázek 12: Hledání minima Newtonovou metodou tečen
Z výše uvedeného obrázku 12 je patrné, jaký vliv má počáteční podmínka na počet kroků iterace než získáme správné řešení. Pokud změníme hodnotu počáteční podmínky, pak se změní počet iterací k nalezení správného řešení pro minimum hledané funkce. 43
4.3.2 Dynamika mechanických soustav Další ukázkou z výpočetního prostředí Matlab věnuji řešení reálnému fyzikálnímu problému. Problém jsem vybrala z oblasti dynamiky mechanických soustav. Tato ukázka je určena hlavně pro studenty technických fakult. Příklad [5] Obecná dráha družice kolem Země v souvislosti s respektováním její rotace První umělá družice byla vynesena na oběžnou dráhu v roce 1957. Její průměr byl 580 mm a hmotnost byla 83 kg. Vypuštěna byla ve výšce 250 km nad zemským povrchem se sklonem φ = 65̊ a rychlostí 7,8 km/s. Máme vypočítat trajektorii pohybu družice kolem Země s uvažováním její rotace a úhlovou rychlostí ω = 7,29.10-5 rad/s. Rovnice popisující pohyb družice v kartézské soustavě souřadnic mají tvar:
Jedná se o soustavu tří diferenciálních rovnic druhého řádu, které můžeme převést na soustavu šesti diferenciálních rovnic řádu prvního:
Transformace mezi kartézskými a sférickými souřadnicemi představují následující rovnice:
44
Výpis
výpočtu
trajektorie
pohybu
družice
kolem
Země
uvedený
z výpočetního prostředí Matlab function[] = druzice_3d % pohyb druzice k=6.672e-11; % gravitacni konstanta m_zeme=5.9736e24; % kg – hmotnost Zeme m_teleso=83; % kg – hmotnost druzice povrch_zeme=6378e3; % km – poloměr Země % pocatecni podminky r0=povrch_zeme+250e3; v0=7.8e3; % m/s theta_s=0; % deg phi_s=65; % deg 65 theta_v=90; % deg 90 phi_v=0; % deg 0 % prevod souradnic [sx0,sy0,sz0]=sph2cart(theta_s*pi/180,phi_s*pi/180,r0); [vx0,vy0,vz0]=sph2cart(theta_v*pi/180,phi_v*pi/180,v0); % cas vypoctu t_konec=1.2e4; % soustava diferenciálních rovnic popisujicich pohyb function [dsvdt]=dif_rce(t,sv) dsvdt=zeros(6,1); % prevod souradnic [theta,phi,r]=cart2sph(sv(1),sv(2),sv(3)); % gravitacni sila Fg=k*m_zeme*m_teleso/(r^2); dsvdt(1)=sv(4); dsvdt(2)=sv(5); dsvdt(3)=sv(6); dsvdt(4)=-Fg/m_teleso*cos(theta)*cos(phi); dsvdt(5)=-Fg/m_teleso*sin(theta)*cos(phi); dsvdt(6)=-Fg/m_teleso*sin(phi); end % reseni diferenciálních rovnic rel_presnost=1e-8; abs_presnost=1e-8; options=odeset('RelTol', rel_presnost, 'AbsTol', [abs_presnost abs_presnost abs_presnost abs_presnost abs_presnost abs_presnost]); [t,sv] = ode45(@dif_rce, [0, t_konec], [sx0, sy0, sz0, vx0, vy0, vz0], options); % prevod sx = sy = sz =
na fyzikalni veliciny sv(:,1); sv(:,2); sv(:,3);
% korekce vypoctu pro pohyb zeme [theta, phi, r] = cart2sph(sx,sy,sz); theta=theta-7.29e-5.*t;
45
[sx,sy,sz]=sph2cart(theta,phi,r); % graf ve 3D fig1=figure; hold on; % zeme [xm,ym,zm] = sphere(24); mesh(xm*povrch_zeme/1000, ym*povrch_zeme/1000, zm*povrch_zeme/1000, 'EdgeColor', [0 0 1]); % rovnik a Greenwichsky polednik tp=linspace(0, 2*pi, 100); plot3(povrch_zeme/1000*cos(tp), povrch_zeme/1000*sin(tp), zeros(length(tp)), 'k', 'LineWidth', 1.5); plot3(povrch_zeme/1000*sin(tp), zeros(length(tp)), povrch_zeme/1000*cos(tp), 'k', 'LineWidth', 1.5); % místo startu druzice plot3(sx0/1000, sy0/1000,sz0/1000, '.r', 'MarkerSize', 30); % draha druzice plot3(sx/1000, sy/1000,sz/1000, 'r', 'LineWidth', 1.5); % popisky a nastaveni vzhledu grafu hold off; axis equal; grid on; xlabel('x (km)'); ylabel('y (km)'); zlabel('z (km)'); title('Trajektorie pohybu druzice'); % zavislost phi na case fig2=figure; [theta, phi, r] = cart2sph(sx,sy,sz); plot(t/60,phi*180/pi); grid on; xlabel('t (min)'); ylabel('phi (deg)'); title('Trajektorie pohybu druzice');
end
Ve výše uvedeném výpisu je uveden celý průběh zadávání výpočtu trajektorie pohybu
družice
kolem
Země
s respektováním
její
rotace.
Není
nutné
to příliš komentovat, protože komentáře ke kódům jsou uvedeny ve výpise červeně a vždy se vyznačují tímto symbolem %.
46
Na obrázku 13 můžeme pozorovat trajektorii pohybu družice kolem Země s respektováním její rotace.
Obrázek 13: Trajektorie pohybu družice
Na obrázku 14 vidíme, že oběh družice kolem Země trvá přibližně 96 minut.
Obrázek 14: Závislost úhlu φ na čase
47
5 Popis vytvořených www stránek Téma mé diplomové práce je řešení středoškolských úloh v matematických programech. Z dotazníku, kde respondenti byli převážně studenti středních škol, vyplynulo to, že mezi často používané softwary patří Geogebra a WolframAlpha. Proto jsem se na ně zaměřila (viz příloha A). Samozřejmě programů, které školy využívají ve výuce matematiky je více, protože softwarové firmy jsou si vědomy, že je výhodné získávat budoucí uživatele už během školní docházky. Nyní je na místě tyto webové stránky čtenářům mé diplomové práce více přiblížit. Menu stránek je rozděleno do dvanácti položek. Po položce s úvodem následují čtyři položky týkající se výpočetního prostředí Geogebra a tři položky týkající se výpočetního prostředí WolframAlpha. Každý z těchto softwarů je zároveň představen i pomocí řešených příkladů a úloh. To uživatel nalezne v menu v ukázkách. Dále jsem se zabývala určitým středoškolským učivem, které jsem na stránkách rozvrhla do dvou částí. První část se věnuje teorii převážně zaměřené na funkce. Druhá část obsahuje sbírku příkladů, kde jsou některé příklady řešené pomocí matematických programů. V poslední položce menu stránek je uvedena použitá literatura. V teoretické části jsou uvedeny definice funkcí a applety vytvořené v Geogebře. Myslím si, že tyto applety mohou pomoci studentům k lepšímu uchopení či ujasnění tohoto učiva, protože zaznamenávají vlivy parametrů na danou funkci. Některé vybrané applety spolu s několika definicemi funkcí představím v následujících podkapitolách. Následně jsou další podkapitoly věnovány učivu v druhém vybraném softwaru.
5.1 Lineární funkce Definice: Lineární funkce je každá funkce f na množině R (D(f) = R), která je dána předpisem f: y = px + q, kde p a q jsou reálná čísla [7].
48
Speciálním případem lineární funkce je funkce s koeficientem p = 0, tj. funkce předpisem f: y = q, kterou nazýváme konstantní funkce. Druhým speciálním případem s koeficientem q = 0 a p ≠ 0, tj. funkce
lineární
funkce
může
být
funkce
f: y = px, kterou nazýváme přímá úměrnost.
Obrázek 15: Applet znázorňující lineární funkci
Applet na obrázku 15 obsahuje posuvníky pro parametry a a b. Pokud si uživatel myší změní hodnotu na jednom z posuvníků, pak může sledovat změnu grafu v kartézské soustavě souřadnic.
49
5.2 Lineární lomená funkce Definice: Lineární lomená funkce je funkce f na množině D(f) = R – {-d/c} daná předpisem
kde a, b, c, d ∈ R, c ≠ 0, bc – ad ≠ 0. Poznámka: Podmínky c ≠ 0, bc – ad ≠ 0 pro koeficienty ve funkčním předpise se kladou proto, aby mezi lineární lomenou funkci nebyla zahrnuta funkce lineární včetně funkce konstantní.
Obrázek 16: Applet pro lineární lomenou funkci
Applet na obrázku 16 obsahuje čtyři posuvníky pro koeficienty lineární lomené funkce. Je možné tedy měnit jednotlivé koeficienty postupně a pozorovat jejich vlivy na danou funkci. 50
5.3 Mocninná funkce Definice: Nejprve nadefinujeme mocninu s celým exponentem x1 := x; xn+1 := x · xn,
pro každé n ∈ N, n ≥ 1.
Číslo x se nazývá základ mocniny, číslo n exponent. Mocninná funkce s exponentem n je každá funkce f vyjádřená ve tvaru: f: y = xn, n ∈ N, n ≥ 1 [7].
Obrázek 17: Applet pro mocninnou funkci
Na obrázku 16 vidíme, že posuvník v appletu obsahuje zápornou i kladnou hodnotu exponentu. 51
Proto může uživatel pozorovat, že pro n = 1 získá graf zvláštního případu mocninné funkce, a to graf lineární funkce. Pro n = 2 obdrží graf funkce kvadratické. Obě zmíněné funkce se řadí mezi funkce mocninné.
5.4 Goniometrické funkce Definice: Mějme trojúhelník ABC, označme úhly α, β, γ, a položme γ = π/2. Dále označme strany trojúhelníka a, b, c, kde c je přepona, a, b jsou odvěsny pravoúhlého trojúhelníka. Pak pomocí poměru délek dvou stran tohoto trojúhelníka vzhledem k úhlu α definujeme následující goniometrické funkce:
Rozšíříme tyto definice na libovolný úhel α. Nejprve definujeme sin(0) = 0, cos(0) = 1, sin(π/2) = 1, cos(π/2) = 0. Pro α z π/2, π definujeme sin(α) = sin(π - α) a cos(α) = -cos(π - α). Pro α z π,2π definujeme sin(α) = -sin(α - π) a cos(α) = cos(2π - α). Dostaneme tak sinus a kosinus na 0,2π , pak je rozšíříme na všechny úhly opakováním této základní periody [18]. Ke goniometrickým funkcím jsem vytvořila dva applety. Jeden znázorňuje funkce sinus a kosinus. Druhý vykresluje tangens a kotagens. Applety se spustí již při otevření položky s těmito funkcemi v menu stránek. Je zde ukázána souvislost jednotkové kružnice a grafy goniometrických funkcí. Pohybem po jednotkové kružnici se grafy daných funkcí postupně vykreslí (viz obrázek 17 a 18). 52
Obrázek 18: Applet na sestrojení sinusoidy a kosinusoidy
Obrázek 19: Applet pro funkce tangens a kontagens
53
5.5 Kvadratická funkce Definice: Kvadratická
funkce je
každá
funkce f
na
množině R (D(f)
= R),
která je dána předpisem f: y = ax2 +bx + c, kde a ∈
- {0} b, c ∈
.
Působení koeficientu a, b, c na kvadratickou funkci: Pokud je parametr a ˃ 0, funkce je konvexní na celém intervalu definičního oboru D(f). Pokud je a < 0, je funkce konkávní na celém intervalu D(f). Parametr b ovlivňuje souřadnice vrcholu paraboly. Parametr c má vliv na souřadnice vrcholu a posouvá ji po ose y. Uvedené vlivy můžeme sledovat i v appletu pro kvadratickou funkci na vytvořených stránkách.
Obrázek 20: Grafické znázornění kvadratické funkce v Geogebře
54
5.6 Učivo ve WolframAlpha Popsané využití programu Geogebra v předchozí podkapitole této kapitoly už nemusí být stejné pro program WolframAlpha. Ve WolframAlpha nelze vytvářet applety či cokoli programovat. Tento program slouží ve velké rozsahu spíše ke kontrole správnosti výsledků, protože ne vždy se zobrazí i postup řešení. Odpověď na dotaz se zobrazí v čitelné a přehledné formě i mnohdy pro úplného laika. Zatímco Geogebra se spíše zaměřuje na témata spojená s geometrií, tak WolframAlpha je zaměřen na řešení algebraických úloh, numerických a statistických výpočtů. Právě algebraické výpočty se staly jedním z podnětů pro výběr učiva. Tím učivem jsou rovnice, které zprostředkuji i pomocí tohoto zvoleného programu. Dále jsem chtěla, aby si vybraná učiva byla do jisté míry podobná a mohly se případně vzájemně propojit. Funkce a rovnice jsou si vzájemně blízké, protože rovnice se dají znázornit jednak početně, ale také graficky. Právě grafické znázornění je pro obě témata stejné. Samozřejmě i podle jednotlivých názvů pro funkce a rovnice si obyčejný laik domyslí, že například kvadratická rovnice a kvadratická funkce musí spolu nějakým způsobem souviset. Právě spolu související grafické znázornění rovnice a funkce je v programu WolframAlpha viditelné, protože program po zadání rovnice nabídne zároveň i její grafické znázornění a v alternativních řešeních i funkci s rovnicí spojenou. Vraťme se k obsahu webových stránek a ke zpracování rovnic pomocí zvoleného programu WolframAlpha. Opět se uživatel na stránkách může seznámit s manuálem jak pracovat s programem, ale také se sbírkou úloh tentokrát obsahující řešené rovnice. Ve zmíněné sbírce úloh jsem uvedla přibližně patnáct příkladů na různé typy rovnic. Od lineární rovnice řešené v oboru reálných i komplexních čísel nebo zadanou s parametrem.
Následuje
kvadratické
rovnice
řešené
také
v oboru
reálných
a komplexních čísel a s parametrem. Dále jsou uvedeny rovnice iracionální, logaritmické, exponenciální až po goniometrické rovnice a goniometricky řešenou binomickou rovnici v komplexních číslech. Vždy je uvedeno samotné zadání rovnice a pod každým zadáním je opět řešení. V tomto případě se po kliknutí na Řešení u některých příkladů zobrazí řešení v nové záložce prohlížeče. Je tomu, protože program funguje na principu internetového vyhledávače.
55
Pro uživatele je tento typ řešení velmi přínosný, protože mu to zprostředkuje řešení rovnice spolu s dalšími alternativami využití rovnice, ale také ukázku správného zadávání příkladu do rovnice. Program má pro určité matematické operace specifické symboly. V této podkapitole už neuvádím vizuální ukázku řešené rovnice v programu, protože tuto ukázku uživatel nalezne v kapitole týkající se samotného programu nebo při kliknutí na již popsané řešení rovnic. Veškeré tyto možnosti poskytují vytvořené webové stránky i kapitole této diplomové práce. Nyní jen poskytnu nabídku několika typů příkladů, se kterými se uživatel stránek může setkat ve sbírce úloh. Příklad č. 2 Řešte v oboru C rovnici:
3 i 1 i x 2 i, kde i je imaginární jednotka [2]. Příklad č. 5 Řešte rovnici:
px 1 q x2 1 p 2 x 1 x 1 x 1 , kde x ∈ R je neznámá, p, q, jsou reálné parametry [7]. Příklad č. 7 Řešte v oboru R rovnici x 9 m 2 x 3m
s reálným parametrem m [7]. Příklad č. 8 Při kterých hodnotách parametru a ∈ R má uvedená kvadratická rovnice
3x 2 4 x 2 log 3 a 0 reálné kořeny [6]?
56
Závěr Dříve než jsem si upřesnila téma mé diplomové práce, tak jsem provedla výzkum formou dotazníků mezi studenty středních škol, vysokých škol a učiteli na středních školách. Jedním z cílů výzkumu bylo zkoumání, zda mají matematické programy své uplatnění na různých úrovních vzdělávání. Dalším cílem bylo zmapovat nejčastěji používané matematické programy v rámci výuky i mimo ni. Zpracovaný výzkum mi tedy posloužil především k rozhodnutí, na které programy se ve své práci více soustředit. Tento dotazník jsem zařadila do příloh ke své diplomové práci. Následně jsem se pustila do samotné tvorby webových stránek týkajících se především matematických programů Geogebra a WolframAlpha. Očekávala jsem, že stránky pomohou k usnadnění práce s programy nebo v uchopení učiva funkce za pomocí programu Geogebra či rovnic s využitím programu WolframAlpha. Po vyzkoušení stránek na studentech jedné střední školy v Jablonci nad Nisou jako výukové pomůcky pro funkce se má očekávání naplnila. Zde se nabízí možnost vyzdvihnout určité klady těchto softwarů. Mezi kladné stránky softwarů patří, že jsou volně šiřitelné se slušnými možnostmi pro práci s matematickým textem. Právě i pro učitelé byly stránky tvořeny, protože si díky nim mohou zmiňované programy nastudovat a vhodně je zařadit do výuky. Následně jsem také došla k závěru a spíše ke slabé stránkce programů, že při využití ve výuce i při domácí
přípravě
brání
širšímu
použití
v některých
momentech
hlavně
jejich primární zaměření na vyšší matematiku. Více výukových vlastností jsem shledala u programu Geogebra, proto z didaktického hlediska vyzdvihuji právě Geogebru. Zejména význam dynamických ukázek založených na posuvnících. Sice program WolframAlpha má zase více výhod v numerických výpočtech, ale nepovažuji ho za vhodný k přílišnému zapojení do výuky, nýbrž spíše k případnému samotnému samostudiu nebo při domácí přípravě na vyučování. Usoudila jsem, že pokud v budoucnosti mé vytvořené stránky, které student nebo vyučující nalezne na dp.lenkakrupickova.cz, pomohou buď jen při práci s programy, nebo k uchopení daného učiva, tak se cíl stránek určitě naplnil. Webové stránky bych určitě během své pedagogické praxe rozšířila i o další používané softwary ve školním prostředí.
57
Seznam použitých zdrojů Literatura [1] BRETSCHER, Nicola. Dynamic geometry software: the teacher´s role in facilitating instrumental genesis. Research in Mathematics Education. 2011, vol. 11, no. 2, 180-192. ISSN 1479-4802. [2]
BUŠEK,
Ivan. Řešené
maturitní
úlohy z
matematiky.
3.,
přepracované
vyd. Praha: Prometheus, 1999. 631 s. ISBN 807196140. [3] HOHENWARTER, Markus. Dynamic investigation of functions using GeoGebra. Proceedings
of
Dresden
International
Symposium
and its Integration into Mathematics Education
on
Technology
in Jahre 2006. Dresden
(Germany), 2006. [4] HŘEBÍČEK, Jiří. Úvod do systému Maple. Brno: Fakulta Informatiky Masarykovy univerzity, 2004. 102 s. [5] KARBAN, Pavel. Výpočty a simulace v programech Matlab a Simulink. 1. vyd. Brno: Computer Press, a. s., 2006. 214 s. ISBN 978-80-251-1448-3. [6] PETÁKOVÁ, Jana. Matematika. Příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. Praha: Prometheus, 2003. 303 s. ISBN 80-7196-099-3. [7] POLÁK, Josef. Středoškolská matematika v úlohách I. Dotisk 1. vydání Praha: Prometheus, 1998. 344 s. ISBN 80-7196-021-7. [8] PREINER, Judith. Introducing Dynamic Mathematics Software to Mathematics Teachers: the Case of Geogebra. Salzburg, 2008. 264 s. [9] STANÍČEK, Petr. CSS Hotová řešení. 1. vyd. Brno: Computer Press, 2006. 208 s. EAN 9788025110317.
58
Internetové zdroje [10] Cabri.cz. Cabri Geometrie. [online]. c 2013, [cit. 2015-05-26]. Dostupné z:
. [11] CCB, spol. s r. o., Linux Expres. [online]. c 2014, [cit. 2015-05-23]. Dostupné z:
. [12] HERINGOVÁ, Blanka a kol.Matlab díl I. – práce s programem. [online]. c 1995, [cit. 2015-11-18]. Dostupné z: . [13] International GeoGebra Institute.[online]. c 2015, [cit. 2015-04-02]. Dostupné z: . [14] KREJSA, Martin. Řešení nelineárních algebraických rovnic. [online]. c 2012, [cit. 2015-10-15]. Dostupné z: . [16] MathWorks. Matlab. [online]. c 1991-2015, [cit. 2015-05-20]. Dostupné z: . [17] SIMONEAU M. [online]. c 2015, [cit. 2015-10-21]. Dostupné z: <www.dmoz.org/Science/Math/Software>. [18] STRNAD, Václav. Matematika pro střední školy. [online]. c 2013, [cit. 2015-09-05]. Dostupné z: . [19] Wolfram. All rights reserved. The Matematica Story: A Scrapbook. c 2014, [cit.2015-04-20]. Dostupné z: . [20] Wolfram Mathematica. All rights reserved. [online]. c 2015, [cit. 2015-04-21]. Dostupné z: .
59
Seznam příloh Příloha A – dotazník ..................................................................................................... 60
60
Příloha A – dotazník Vážené respondentky, vážení respondenti, Obracím se na Vás s žádostí o vyplnění mého dotazníku, který bude do určité míry součástí mé diplomové práce. Dovoluji si Vás rovněž požádat o co nejpřesnější a pravdivé odpovědi. Účast v průzkumu je anonymní a dobrovolná. Předem děkuji za spolupráci a Váš čas. Studentka Pedagogické fakulty Technické univerzity v Liberci. Správné odpovědi zakroužkujte. V otázkách, kde je odpověď pomocí škály, označte kroužkem příslušný stupeň, který je odpovídající pro Vaši odpověď. Dotazníky byly rozděleny mezi studenty středních škol, vysokých škol a učitelé matematiky na středních školách. Osloveno v rámci mého průzkumu bylo 36 studentů SŠ, 4 učitelé na SŠ, 2 učitelé na gymnáziu, dále 16 studentů VŠ. Dotazník vyplnily všichni respondenti. Následující text a grafy představují znázornění odpovědí na jednotlivé otázky uvedené v mém dotazníku. Závěrečné shrnutí mého průzkumu jsem provedla na základě odpovědí oslovených respondentek a respondentů.
Otázky 1) Jakého jste pohlaví? a) žena b) muž 2) Kolik je Vám let?................................................................... 3) Jaký je Váš sociální status? a) student SŠ
c) učitel SŠ
b) student VŠ
d) učitel gymnázia
4) Uveďte, zda používáte matematické programy? ano
spíše ano
nevím
spíše ne
ne
5) Které z uvedených programů využíváte? (můžete zaškrtnout více odpovědí) a) WolframAlpha b) Matlab c) Mathematica d) Cabri e) Geogebra f) Jiné 6) Vyberte z následujících činností, při kterých Vámi uvedené programy (v otázce 6) využíváte? (můžete zaškrtnout více odpovědí) a) práce b) výuka c) domácí příprava d) pomůcka při výpočtu příkladů e) jiné 7) Domníváte se, že matematický program WolframAlpha je dostačující (funkce)? ano
spíše ano
nevím
spíše ne
ne
8) Pokud ne, proč? 9) Máte pocit, že matematický program Geogebra je dostačující (funkce, applety)? ano
spíše ano
nevím
10) Pokud si myslíte, že není. Uveďte důvody proč?
spíše ne
ne
Vyhodnocení průzkumu Vyhodnocení
a
interpretaci
odpovědí
jsem
rozdělila
do
kategorií
podle oslovených respondentů. První kategorie oslovených představovali studenti střední školy. Do druhé jsem zařadila učitelé matematiky na středních školách a do třetí kategorie studenty vysokých škol. Studenti SŠ 1. 12 žen, 24 mužů 2. Věková hranice v rozmezí 17-20let 3. Určen sociální status – student SŠ 4. Výsledky jsou znázorněny v grafu 2. Graf 1: Využívání matematických programů studenty SŠ
5. Výsledky obsahuje tabulka 2. Tabulka 2: Používané matematické programy WolframAlpha
Matlab
Mathematica
Cabri
Geogebra
jiné
22
1
10
6
8
0
6. Získané výsledky poskytuje tabulka 3. Tabulka 3: Využití zvolených matematických programů Práce
Výuka
Domácí příprava
Pomůcka při výpočtech
jiné
10
8
16
20
3
7. Zjištěné údaje jsou znázorněny v grafu 3. Graf 2: Spokojenost s programem s WolframAlpha u studentů SŠ
8. Program lze využívat, když je uživatel online. 9. Výsledné údaje jsou znázorněny v grafu 4. Graf 3: Spokojenost s programem Geogebra u studentů SŠ
10. Geogebra se specializuje spíše na geometrii.
Učitelé na SŠ a gymnáziích 1. 3 ženy, 3 muži 2. Věková hranice v rozmezí 32-53let 3. Určen sociální status – učitel 4. Výsledky jsou znázorněny v grafu 5. Graf 4: Využívání matematických programů učiteli SŠ
5. Výsledky obsahuje tabulka 4. Tabulka 4: Používané matematické programy WolframAlpha
Matlab
Mathematica
Cabri
Geogebra
jiné
3
2
2
3
4
2
6. Získané výsledky poskytuje tabulka 5. Tabulka 5: Využití zvolených matematických programů Práce
Výuka
Domácí příprava
Pomůcka při výpočtech
jiné
3
4
4
1
2
7. Zjištěné údaje jsou znázorněny v grafu 6. Graf 5: Spokojenost s programem WolframAlpha u učitelů SŠ
8. Nebyla uvedena žádná odpověď. 9. Výsledné údaje jsou znázorněny v grafu 7. Graf 6: Spokojenost s programem Geogebra u učitelů SŠ
10. Nebyla uvedena žádná odpověď.
Studenti VŠ 1. 25 žen, 10 mužů 2. Věková hranice v rozmezí 21-23let 3. Určen sociální status – student VŠ 4. Výsledky jsou znázorněny v grafu 8. Graf 7: Využívání matematických programů studenty VŠ
5. Výsledky obsahuje tabulka 6. Tabulka 6: Používané matematické programy WolframAlpha
Matlab
Mathematica
Cabri
Geogebra
jiné
11
7
4
3
7
3
6. Získané výsledky poskytuje tabulka 7. Tabulka 7: Využití zvolených matematických programů Práce
Výuka
Domácí příprava
Pomůcka při výpočtech
jiné
1
8
11
13
2
7. Zjištěné údaje jsou znázorněny v grafu 9. Graf 8: Spokojenost s programem WolframAlpha u studentů VŠ
8. Musím být jako uživatel trvale připojen k internetu, pokud chci v programu pracovat. Neukazuje veškerý postup řešení některých příkladů. 9. Výsledné údaje jsou znázorněny v grafu 10. Graf 9: Spokojenost s programem Geogebra u studentů VŠ
10. Studenti, kteří mají ve svém oboru matematiku, by uvítali více možností pro řešení příkladů z matematické analýzy.
Závěrečné vyhodnocení dotazníku Z odpovědí oslovených respondentek a respondentů na otázky 7 a 9 je patné, že více je využíván matematický program WolframAlpha než Geogebra. Studenti SŠ nejvíce používají matematické programy jako pomůcku při výpočtu příkladů. Byli nespokojeni s nutností trvalého připojení k internetu při práci s programem WolframAlpha. U programu Geogebra představoval problém specializace tohoto programu převážně na geometrii. V případě učitelů byl upřednostňován program Geogebra. Programy se jim zdáli dostačující vzhledem k operacím, funkcím atd. Samotné programy nejvíce využívají pro domácí přípravu na vyučování. U oslovených studentů VŠ měl přednost WolframAlpha. Osloveni byli studenti fakulty Přírodovědně-humanitní a Pedagogické Technické univerzity v Liberci se zaměřením na vzděláváním v oboru Matematika, Informatika, dále studenti fakulty Mechatroniky, Informatiky a Mezioborových studií Technické univerzity v Liberci. Tito studenti používají matematické programy při domácí přípravě ke studiu a zároveň jako pomůcku při výpočtu některých příkladů. WolframAlpha jim přišel nedostačující z hlediska postupu řešení příkladů. Nezobrazuje je se celý postup řešení u některých složitějších příkladů. Naopak velkou výhodu viděli v mobilní verzi WolframAlpha. V programu Geogebra spatřují nevýhodu při výpočtu příkladů z oboru matematické analýzy, ale i přesto více viděli plusy pro obor geometrie.
