No title

Diskr
tn matematika Roman
ada Tom Kaiser Zdenk Ryjek

Katedra matematiky FAV Zpadoesk univerzita v Plzni 2004

ii

vodem M
te ped sebou text k pedn
ce Diskrtn matematika pro prvn ronk na Z
padoesk univerzit v Plzni. Clem pedn
ky, a tm i tto publikace, je nejen pedat z
kladn znalosti o diskrtn matematice, ale tak pispt k tomu, aby se posluchai a ten
i zdokonalili ve schopnosti pesnho mylen a formulov
n, a zskali cit pro vnitn kr
su matematickho argumentu. Diskrtn matematika je modern a dynamickou disciplnou, kter
zce souvis jak s ostatnmi matematickmi obory (nap. s line
rn algebrou nebo analzou), tak s teoretickou informatikou. Za adu impuls vd prudkmu rozvoji pota a komunikace ve druh polovin minulho stolet. Skripta vznikla voln na z
klad starho textu 1]. Pedpokladem pi jejich etb je znalost line
rn algebry v rozsahu vodnho kursu. Lze je zhruba rozdlit na dv 
sti: prvn tyi kapitoly jsou vnov
ny matematickm struktur
m, u ostatnch osmi jsou tmatem z
klady teorie graf. Doporuujeme vypracovat co nejvce cvien | stejn jako v jinch oborech i v diskrtn matematice ten
 nejvce zsk
, kdy l
tku samostatn proml. Cvien jsou oznaena symbolem I, u obtnjch problm jsou tyto symboly dva. Vsledky vybranch cvien jsou uvedeny na konci skript. Jedn
se pedevm o ta cvien, ve kterch je clem zodpovdt njakou ot
zku (a nikoli dok
zat njakou vtu). Jsou na svt matematick knihy, jejich etba je z
bavou a obas i \dobrodrustvm pozn
n". Snaili jsme se, aby k nim patila i tato skripta zda se to podailo, posoud nejlpe ten
. Sv podnty, postehy a upozornn na chyby poslejte prosm na adresu [email protected]. Opravy a doplky budou k dispozici na internetov str
nce http://home.zcu.cz/~kaisert/dma/errata. Dkujeme autorm softwaru pouitho pi pprav tto publikace. Jedn
se pedevm o tyto programy a soubory maker: TEX, LATEX, MetaPost, dvipdfm, sub
gure, hyperref, emp a dvichop. V textu jsou pouita cvien z knih 3], 4], 5] a 6]. D
le dkujeme kolegovi J. Brouskovi za cenn pipomnky k pracovnm verzm tohoto textu. Plze, nor 2004

Autoi iii

iv

Obsah
vodem 1 Relace 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

Strun o mnoin
ch . . . . . . Relace . . . . . . . . . . . . . . Zn
zornn relac . . . . . . . . Skl
d
n relac . . . . . . . . . . Zobrazen . . . . . . . . . . . . Zn
zornn relac na mnoin X Vlastnosti relac . . . . . . . . . Ekvivalence a rozklady . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

ii 1

. 1 . 3 . 5 . 5 . 9 . 11 . 12 . 14

2 Algebraick struktury

19

3 Uspodn a svazy

27

2.1 Grupy a tlesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Aritmetika modulo p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1 3.2 3.3 3.4

Uspo
d
n . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hassev diagram . . . . . . . . . . . . . . . Z
kladn pojmy v uspo
danch mnoin
ch Svazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Booleovy algebry 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

De#nice . . . . . . . . . . . . . . Booleovsk pot
n . . . . . . . . Booleovy algebry podmnoin . . . Dva pohledy na Booleovu algebru Atomy . . . . . . . . . . . . . . . Stoneova vta o reprezentaci . . . Direktn souin . . . . . . . . . . Booleovsk funkce . . . . . . . . . Soutov a souinov tvar . . . . v

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

27 28 31 33

41

41 43 44 46 46 48 51 52 54

vi

Obsah

5 Grafy 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

De#nice . . . . . . . . . Nkter z
kladn grafy . Isomor#smus a podgrafy Stupn . . . . . . . . . . Soubor stup . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

6 Cesty v grafu 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7

Sled, cesta a tah . . . . . . . . . . Homomor#smy . . . . . . . . . . Souvisl grafy . . . . . . . . . . . Vlastnosti souvislch graf . . . . Krunice . . . . . . . . . . . . . . Eulerovsk a hamiltonovsk grafy $asov
sloitost algoritmu . . . .

7 Stromy 7.1 7.2 7.3 7.4

De#nice . . . . . . . . Kostry . . . . . . . . . Bin
rn stromy . . . . Hu%manovo k&dov
n .

8 Orientovan grafy 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

. . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . .

Incidenn matice . . . . . . . . . . '
dky jako vektory . . . . . . . . . Hodnost incidenn matice . . . . . Faktory jako mnoiny sloupc . . . Pot
n koster . . . . . . . . . . . Pot
n koster: neorientovan grafy

10 Linern prostory grafu 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5

. . . .

De#nice orientovanch graf Siln
souvislost . . . . . . . Acyklick orientovan grafy Tranzitivn uz
vr . . . . . . Kondenzace . . . . . . . . .

9 Matice a poet koster 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6

. . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

Incidenn matice neorientovanho grafu Hodnost nad Z2 . . . . . . . . . . . . . . Vektory a faktory . . . . . . . . . . . . . Hvzdy, separace a ezy . . . . . . . . . Ortogonalita . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

59

59 60 61 63 64

67

67 68 68 70 72 73 76

79

79 82 83 87

93

93 94 96 98 99

103

103 104 106 107 108 110

113

113 114 115 117 119

Obsah

vii

10.6 Fundament
ln soustavy krunic a ez . . . . . . . . . . . . . . . 121 10.7 Nesouvisl grafy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

11 Vzdlenost v grafech

125

11.1 Matice sousednosti a poty sled . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 11.2 Vzd
lenost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

12 Ohodnocen grafy 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6

De#nice ohodnocench graf . . Dijkstrv algoritmus . . . . . . Matice v
ench vzd
lenost . . Minim
ln kostra . . . . . . . . Problm obchodnho cestujcho Toky v stch . . . . . . . . . .

Vsledky cvien Literatura

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

131

131 133 134 138 140 142

145 163

viii

Obsah

Kapitola 1 Relace (vodn kapitola je vnov
na dleitmu a velmi obecnmu pojmu relace, kter zasteuje adu na pohled rznorodch pojm jako zobrazen, ekvivalence nebo uspo
d
n. Protoe relace popisuj vztahy mezi prvky mnoin a navc jsou samy mnoinami, bude vhodn mnoiny nejprve kr
tce pipomenout.

1.1 Strun o mnoinch Mnoiny pat k z
kladnm matematickm objektm. V jistm smyslu je cel
matematika, jak ji dnes zn
me, vystavna na pojmu mnoiny. Vechny ostatn matematick objekty, a) jde o pirozen
sla nebo spojit funkce, lze toti modelovat pomoc mnoin. Komplikovan vlastnosti mnoinovho svta jsou pedmtem samostatnho oboru, tzv. teorie mno
in. N
s ale v tto pedn
ce nebudou jemnosti tto teorie pli zajmat a posta n
m n
sledujc intuitivn pohled na vc. Mno
ina je pro n
s soubor navz
jem rznch objekt1 , kter oznaujeme jako jej prvky. Je-li a prvkem mnoiny X , peme a ∈ X , jinak a ∈/ X . Mnoina je bu* konen (m
-li konen poet prvk) nebo nekonen. Poet prvk konen mnoiny X oznaujeme symbolem |X|. Sest
v
-li mnoina X z prvk x1, . . . , xk , peme X = {x1 , . . . , xk }. Podobn napklad z
pis X = {m ∈ N : m je sud slo} znamen
, e mnoina X je sloena ze vech sudch pirozench sel (symbol N bude i nad
le oznaovat mnoinu vech pirozench sel). Podmno
ina mnoiny X je mnoina Y , jej kad prvek je tak prvkem mnoiny X . Je-li Y podmnoinou mnoiny X , peme Y ⊂ X (ppadn Y ⊆ X , chceme-li zdraznit, e mnoiny X, Y mohou bt shodn). Pro pocvien ve form
lnm z
pisu meme de#nici vyj
dit takto: Y ⊂X 1

pr
v kdy

∀y

:

y ∈ Y ⇒ y ∈ X.

Ne
kme u ale, co to je objekt. V tom prv spov intuitivnost na eho p
stupu.

1

2

Kapitola 1. Relace

Mnoina Y ⊂ X je vlastn podmnoinou mnoiny X (ps
no Y & X ), pokud plat Y = X . Vimnme si, e przdn mno
ina ∅ (tj. mnoina, kter
nem

dn prvky) je podle de#nice podmnoinou kad mnoiny. Mezi pojmy prvek a podmnoina je z
sadn a nkdy pehlen rozdl. Je-li X = {1, 2, 3}, pak plat 1 ∈ X , ale z
pis 1 ⊂ X nem
smysl, protoe pirozen slo 1 (alespo zatm) nepovaujeme za mnoinu. Podobn plat {1} ⊂ X , ale neplat {1} ∈ X . Dal podmnoiny mnoiny X jsou napklad ∅, {2, 3} nebo X . Jin pklad: plat ∅ ⊂ ∅, ale ∅ ∈/ ∅, protoe mnoina ∅ 
dn prvky neobsahuje. S mnoinami lze prov
dt n
sledujc z
kladn operace. Prnik X ∩ Y sest
v
ze vech spolench prvk mnoin X a Y , sjednocen X ∪ Y ze vech prvk alespo jedn z mnoin X a Y , rozdl X − Y (ps
no tak X \ Y ) je sloen ze vech prvk mnoiny X , kter nejsou obsaeny v mnoin Y . Kartzsk souin X × Y mnoin X a Y je mnoina vech uspo
danch dvojic (x, y ), kde x ∈ X a y ∈Y. Cvi
en

I 1.1 Napite form
ln de#nici sjednocen, prniku a rozdlu mnoin. I 1.2 Dv mnoiny A, B jsou si rovny 2, pokud maj pesn tyt prvky, tedy pokud plat A ⊂ B a B ⊂ A. Dokate pmo z de#nic, e pro mnoiny A, B, X plat de Morganovy3 z
kony: X − (A ∪ B ) = (X − A) ∩ (X − B ), X − (A ∩ B ) = (X − A) ∪ (X − B ).

I 1.3 Nech) A je n-prvkov
mnoina. Kolik m
podmnoin? Kolik z tchto podmnoin m
sud poet prvk? n-prvkov mnoiny oznaujeme symbolem I;n1.4 Poet k-prvkovch podmnoin ;n

(teno `n nad k'). $slm

k

k

se k
kombinan sla.

; 

n (a) Vyj
dete jako vraz v promnnch n, k. Urete kombinan sla ;10 ;10 ;k 0 6 , 0 a 0 .

(b) Dokate, e plat

 

n k

+



n

k+1



=



;6

3

,



n+1 . k+1

Tento `oividn fakt' je vlastn de nic rovnosti mnoin. V teorii mnoin jde o jeden ze zkladnch axiom. 3 Augustus de Morgan (1806{1871). 2

1.2. Relace

3

(c) Dokate

n   X i i=k

I 1.5 Spotejte: (a)

k

=





n+1 . k+1

n   X n k =0

(b)

n X k =0

(−1)

k

,

  k

n . k

I 1.6 Symetrick rozdl mnoin A, B de#nujeme pedpisem A B

= (A − B ) ∪ (B − A).

Dokate podrobn: (a) A (A ∩ B ) = A − (A ∩ B ), (b) A (A ∪ B ) = (A ∪ B ) − A.

I 1.7 Dokate: X ⊂ A ∪ B ⇐⇒ (X − A) ⊂ B ⇐⇒ (X − A) ∩ (X − B ) = ∅.

I 1.8 Plat pro libovolnou tveici mnoin rovnost A × B = C × D pr
v tehdy, kdy A = C a B = D? Jak se situace zmn, nahradme-li vechny symboly rovnosti `=' symbolem `⊂'?

1.2 Relace Mjme dv mnoiny X ,Y a pedstavme si, e kad prvek x ∈ X me (a nemus) bt ve `vztahu' R s libovolnm potem prvk y ∈ Y . Na tento vztah nejsou kladeny 
dn dal podmnky. Pirozenm zpsobem, jak takov vztah popsat, je vyjmenovat vechny dvojice (x, y ) prvk x ∈ X a y ∈ Y , kter spolu jsou ve vztahu R. Pipomeneme-li si, e kartzsk souin X × Y je v oddlu 1.1 de#nov
n jako mnoina vech uspo
danch dvojic s prvnm prvkem z mnoiny X a druhm prvkem z mnoiny Y , dost
v
me se k n
sledujc de#nici pojmu relace:

Denice 1.1 Relace z mno
iny X do mno
iny Y je libovoln
podmnoina R

kartzskho souinu X × Y .

4

Kapitola 1. Relace

Takov relaci se k
binrn, protoe uruje vztah mezi dvojicemi objekt. De#nici lze snadno zobecnit na n-rn relace (vztahy mezi n-ticemi prvk), ale n
s zajm
pedevm bin
rn ppad. Je-li d
na relace R z mnoiny X do mnoiny Y , pak pro kadou dvojici (x, y ) ∈ R tak peme x R y (a teme `prvek x je v relaci R s prvkem y '). Dan prvek x ∈ X ovem nemus bt v relaci R s 
dnm prvkem mnoiny Y (v extrmnm ppad me bt relace R teba pr
zdn
). Proto de#nujeme lev obor relace R jako L(R) = {x ∈ X : existuje njak y ∈ Y tak, e x R y} a podobn prav obor P (R) = {y ∈ Y : existuje njak x ∈ X tak, e x R y} P klad 1.2 Vezmme si napklad mnoiny X = {2, 3, 5} a Y = {1, 4, 7, 10}. Jedna z relac z mnoiny X do mnoiny Y pak vypad
teba takto: R = {(2, 4), (2, 10), (5, 10)}. Relace R m
shodou okolnost dosti pirozen popis plat toti, e x je v relaci s y , pr
v kdy x dl y . To ale vbec nen podmnkou: stejn tak je relac z X do Y teba mnoina {(2, 4), (3, 7), (5, 1)}, u kter 
dn takov popis asi nenajdeme. Cvi
en

I 1.9 Mjme mnoiny pirozench sel A = {1, 2, 3, 4} a B = {3, 4, 5, 6}. Urete lev a prav obor relace R = {(a, b) : a ≥ b, a ∈ A, b ∈ B} z mnoiny A do mnoiny B . I 1.10 Nech) A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c} jsou dv mnoiny. Uvame n
sledujc relace z A do B : R = {(1, a), (1, c), (2, b), (3, a), (3, b), (4, b), (4, c), (4, d)} T = {(1, b), (1, c), (3, a), (4, a)}. Urete mnoiny R ∪ T , R ∩ T , R − T a symetrick rozdl R T . Jedn
se ve vech ppadech o relace? I 1.11 Mjme m-prvkovou mnoinu X a n-prvkovou mnoinu Y . Kolik je vech bin
rnch relac z X do Y ? (H
d
te-li m · n, pette si jet jednou de#nici.) I 1.12 Nech) R a S jsou relace z mnoiny X do mnoiny Y . 'ekneme, e relace R implikuje relaci S , plat-li xR y ⇒ xS y

pro kad x ∈ X a y ∈ Y . Co to znamen
o relacch R a S jakoto o mnoin
ch uspo
danch dvojic?

1.3. Znzornn relac

5

1.3 Znzornn relac Relaci R z minulho pkladu meme zn
zornit nkolika uitenmi zpsoby. Na obr. 1.1a je zn
zornn kartzsk souin X × Y , v nm jsou plnmi krouky zvraznny prvky relace R. Na obr. 1.1b pak jednotlivm prvkm mnoin X a Y odpovdaj body, piem mnoina X je zobrazena vlevo a mnoina Y vpravo. Dva body jsou spojeny arou, pokud jsou odpovdajc prvky v relaci R. Relace R je tak zn
zornna v podob grafu, co je pojem, kterm se budeme zabvat v pozdjch pedn
k
ch. Tmto dvma typm zn
zornn relace R budeme kat kartzsk a grafov zn
zornn. Y 10

10 5

7

7 3

4

4 1

2 2

3

1

5

(a)

X

X

(b)

Y

Obr
zek 1.1: Dva zpsoby zobrazen relace: (a) jako podmnoina kartzskho souinu, (b) jako graf.

Cvi
en

I 1.13 Jak z obr. 1.1a a 1.1b pozn
me lev a prav obor relace R? I 1.14 Zn
zornte obma zpsoby relaci R ze cvien 1.9.

1.4 Skldn relac Za chvli uvidme, e zobrazen (funkce), jak je zn
me z analzy, jsou speci
lnm ppadem relac. N
sledujc de#nice skl
d
n relac je zobecnnm pedstavy skl
d
n funkc.

6

Kapitola 1. Relace

Denice 1.3 Nech) R je relace z mnoiny X do mnoiny Y a S je relace z mno-

iny Y do mnoiny Z . Pak slo
en relac R a S je relace R ◦ S ⊂ X × Z z mnoiny X do mnoiny Z , de#novan
takto: (x, z) ∈ R ◦ S, pr
v kdy existuje y ∈ Y tak, e x R y a y S z, kde x ∈ X a z ∈ Z . Vimnme si, e sloen relac R,S je de#nov
no jen v ppad, e relace R `kon' v mnoin, kde S `zan
'.

Podvejme se na konkrtn pklad. Nech) X = {1, 2, 3, 4, 5}, Y = {5, 6, 10} a Z = {7, 12, 18, 20}, a de#nujme relace R ⊂ X × Y a S ⊂ Y × Z opt pomoc dlitelnosti (tedy napklad pro x ∈ X a y ∈ Y bude (x, y ) ∈ R, pokud x dl y ). V grafovm zn
zornn relac R a S dostaneme situaci na obr. 1.2a. R

5

5

S

20

10

4

R◦S 20

4

18 3

6

2

12

5

1 X

Y

(a)

18 3

7 Z

12 2 1 X

7 Z

(b)

Obr
zek 1.2: (a) Relace R a S , (b) jejich sloen. Z de#nice skl
d
n plyne, e prvky x ∈ X a z ∈ Z budou v relaci R ◦ S , pokud se z x do z d
pejt `po spojnicch' pes njak prvek y ∈ Y . Ovte, e R ◦ S vypad
jako na obr. 1.2b. V tomto zn
zornn relace je prhledn i dal pojem: inverzn relace.

Denice 1.4 Relace inverzn k relaci R

de#novan
vztahem pro x ∈ X, y ∈ Y .

y R −1 x

⊂ X ×Y

je relace

R −1 ⊂ Y × X ,

pr
v kdy x R y

V grafovm zn
zornn se pechod k inverzn relaci projev zrcadlovm otoenm obr
zku podle svisl osy. Jak tomu bude v kartzskm zn
zornn? (Cvien 1.18.) Vezmme napklad relaci S z obr. 1.2a. Relace inverzn k S bude S −1 = {(20, 5), (12, 6), (18, 6), (20, 10)}

1.4. Skldn relac

7

a jedn
se o relaci z mnoiny Z do mnoiny Y . Nech) je d
na mnoina X . Msto o `relaci z X do X ' mluvme prost o relaci na mno
in X . Vimnme si, e pro kad dv relace na X je de#nov
no jejich sloen. Vznanm pkladem relace na mnoin X je identick relace EX = {(x, x) : x ∈ X}. Co se stane, slome-li relaci R ⊂ X ×Y s relac k n inverzn? Zjevn R◦R−1 je relace na mnoin X a l
kav
hypotza je, e je rovna identick relaci EX . To ale nen pravda, jak ukazuje teba pr
zdn
relace R = ∅, pro kterou je R◦R−1 rovn pr
zdn
. Obecn neplat ani jedna z inkluz mezi EX a R◦R−1. (Viz cvien 1.19.) Podobn je tomu u opanho poad skl
d
n, toti pro relace R−1 ◦ R a EY . Z
le u skl
d
n operac na poad? Obecn samozejm ano | pokud R je relace z X do Y , a S je relace z Y do Z , pak R ◦ S je dobe de#novan
relace, zatmco S ◦ R de#nov
na nen. Jsou-li ovem R,S relace na mnoin X , pak tento problm neme nastat. Ani tam ale nemus bt R ◦ S = S ◦ R. Pkladem je tato situace: mnoina X je dvouprvkov
, X = {a, b}. Relace R ⊂ X × X sest
v
z jedin dvojice (a, a), zatmco S = {(a, b)}. Pak plat R ◦ S = {(a, b)} a S ◦ R = ∅. (Tto ot
zky se tk
tak cvien 1.17.) Tebae u skl
d
n relac z
le na jejich poad (nen to tedy komutativn operace), jednou pknou vlastnost n
s skl
d
n pekvap. Je toti asociativn, co znamen
, e nez
le na zpsobu, jakm relace uz
vorkujeme. Pesnji to vyjaduje n
sledujc vta. Jej dkaz me bt pi prvnm ten ponkud obtn, vyplat se ale jej dkladn prostudovat.

Vta 1.5 (O asociativit skldn relac ) Nech R ⊂ X × Y , S ⊂ Y × Z a

T ⊂ Z ×W

jsou relace. Potom

R ◦ (S ◦ T ) = (R ◦ S ) ◦ T.

Dkaz. K lepmu pochopen dkazu me pomoci, budeme-li si relace R, S , T

pedstavovat v grafovm zn
zornn jako na obr. 1.3. Dejme tomu, e x ∈ X a w ∈ W jsou spolu v relaci R ◦ (S ◦ T ). Podle de#nice sloen relac R a S ◦ T to znamen
, e existuje y ∈ Y tak, e x R y a y (S ◦ T ) w. Opt z de#nice sloen relac S a T existuje z ∈ Z tak, e y S z a z T w. Jinak eeno, pokud x (R ◦ (S ◦ T )) w, pak existuj y ∈ Y a z ∈ Z tak, e x R y S z T w (tj. v naem obr
zku lze z x do w pejt `po spojnicch' zleva doprava). A tato implikace plat i obr
cen, co plyne pmo z de#nice skl
d
n. Stejn se dok
e, e x ((R ◦ S ) ◦ T ) w, pr
v kdy existuj y ∈ Y a z ∈ Z tak, e x R y S z T w. To ovem znamen
, e plat x (R ◦ (S ◦ T )) w, pr
v kdy plat x ((R ◦ S ) ◦ T ) w, protoe ob tato tvrzen jsou ekvivalentn te podmnce. Z toho u vyplv
dokazovan
vta. 2

8

Kapitola 1. Relace R

S

T

x w X

Y

Z

W

Obr
zek 1.3: Ilustrace k dkazu vty 1.5. Cvi
en

I 1.15 Jak vypad
relace EX ve zn
zornnch z obr. 1.1? I 1.16 Je-li R relace na X , jak vypad
sloen R ◦ EX a EX ◦ R? I 1.17 Najdte pklad relace R na njak mnoin X , pro kterou plat (a)

R ◦ R−1 = R−1 ◦ R,

(b)

R ◦ R −1

= R −1 ◦ R .

I 1.18 Jak se li kartzsk zn
zornn relace R a inverzn relace R−1? I 1.19 Najdte mnoinu X a relaci R na X s vlastnost: (a)

R ◦ R −1

(b)

EX

& EX ,

& R ◦ R −1 ,

I 1.20 Mjme dv relace R a S na mnoin X s vlastnost L(R) = P (S ) a

L(S ) = P (R).

Jsou pak R a S zm nn, tj. plat pak R ◦ S = S ◦ R?

I 1.21 Nech) R, S, T jsou bin
rn relace na mnoin X . Dokate podrobn: (a) (R ∩ S )−1 = R−1 ∩ S −1, (b) (R ∪ S ) ◦ T = (R ◦ T ) ∪ (S ◦ T ). Zstane vztah (b) v platnosti, nahradme-li v nm vechny symboly sjednocen za prnik?

1.5. Zobrazen

9

1.5 Zobrazen Zobrazen je speci
lnm ppadem relace. Denice 1.6 Zobrazen (nebo tak funkce ) mnoiny X do mnoiny Y je relace f ⊂ X ×Y , pro kterou plat, e pro kad prvek x ∈ X existuje prv jeden prvek y ∈ Y tak, e (x, y ) ∈ f . Skutenost, e f je zobrazenm X do Y , zapisujeme jako f : X → Y . Pro x ∈ X nazv
me ono jedin y hodnotou zobrazen f v bod x a peme f (x) = y . 'k
me tak, e prvek x je vzorem prvku y pi zobrazen f . Nepehldnme, e libovoln prvek me mt vce vzor. Napklad relace f z mnoiny X = {1, 2, 3, 4} do mnoiny Y = {a, b, c, d} na obr. 1.4 je zobrazenm. Plat teba f (3) = a atd. 4

d c

3 2

b a

1 X

Y

Obr
zek 1.4: Zobrazen f :

X →Y.

Zobrazen mohou mt nkolik dleitch vlastnost. Denice 1.7 Zobrazen f : X → Y je • prost, pokud kad y ∈ Y m
nejve jeden vzor pi zobrazen f , • na, pokud kad y ∈ Y m
alespo jeden vzor pi zobrazen f , • vzjemn jednoznan (jinak t bijekce ), pokud je prost a na. Zobrazen f z obr. 1.4 nen ani prost, ani na, nebo) prvek c nem
vzor, zatmco a m
hned dva. Co se stane, utvome-li inverzn relaci k njakmu zobrazen f : X → Y ? Tato inverzn relace f −1 je vdy de#nov
na (je dokonce de#nov
na pro libovolnou relaci), ale nemus to bt zobrazen (viz cvien 1.22). Pkladem je teba pr
v zobrazen f z obr. 1.4. Slome-li dv zobrazen f : X → Y a g : Y → Z , vsledn
relace f ◦ g je zobrazen X do Z , pro jeho hodnoty plat (f ◦ g )(x) = g (f (x)). ($asto je mon se setkat i se z
pisem v obr
cenm poad, ve kterm se stejn zobrazen oznauje jako g ◦ f . V tomto textu se drme ve uvedenho znaen.)

10

Kapitola 1. Relace

Cvi
en

I 1.22 Ukate, e inverzn relace f −1 k zobrazen f : X → Y je sama zobraze-

nm, pr
v kdy f je bijekce.

I 1.23 Nech) f : X → Y a g : Y zobrazen.

→Z

jsou dv zobrazen. Dokate, e f ◦ g je

I 1.24 Nech) N je n-prvkov
mnoina a M je m-prvkov
mnoina. Urete poet: (a) zobrazen mnoiny N do mnoiny M , (b) prostch zobrazen N do M , (c) bijekc mezi N a M .

I 1.25 Najdte pklad zobrazen f : N → N, kter (a) je prost, ale nen na, (b) je na, ale nen prost.

I 1.26 (a) Je-li f ◦ g zobrazen na, mus f bt na? Mus g bt na? (b) Je-li f ◦ g prost zobrazen, mus f bt prost? Mus g bt prost?

I 1.27 Nech) p :

Y → Z je prost pokud p ◦ f = p ◦ g ,

plat, e zobrazen p, kter je na.

X→Y

zobrazen. Ukate, e pro zobrazen f, g : potom f = g . Najdte analogick fakt pro

I 1.28 Mjme zobrazen f : S → T , g : T lev inverzn zobrazen k f , plat-li zobrazen f je:

→ S . 'ekneme, f ◦ g = ES , resp. g ◦ f

e g je prav, resp. = ET . Dokate, e

(a) prost, pr
v kdy f m
prav inverzn zobrazen, (b) na, pr
v kdy f m
lev inverzn zobrazen, (c) bijekce, pr
v kdy m
prav i lev inverzn zobrazen a tato zobrazen jsou shodn
.

I 1.29 Relace R ⊂ A × B je: (a) zobrazen, pr
v kdy R−1 je zobrazen, (b) bijekce, pr
v kdy R−1 je bijekce, Dokate.

1.6. Znzornn relac na mnoin X

I 1.30 Dokate, e pro bijekce f : X → Y a g : Y (a) (b) (c)

EX EY

11 →Z

plat:

= f ◦ f −1 , = f −1 ◦ f ,

f ◦g

je bijekce.

I 1.31 Najdte bijekci: (a) mnoiny sudch celch sel 2Z na mnoinu celch sel Z, (b) mnoiny celch sel Z na mnoinu kladnch celch sel N+,

I 1.32 Dokate, e zobrazen f : N × N → N de#novan pedpisem f (m, n) =

3n · 2m je bijekce.

1.6 Znzornn relac na mnoin X Pro tuto chvli opustme relace z mnoiny X do mnoiny Y a budeme se vnovat vhradn relacm na jedin mnoin X . Pro takov relace m
me k dispozici jet nkolik typ zn
zornn. Vezmme si jako pklad relaci R na mnoin X = {a, b, c, d, e, f} de#novanou vztahem R = {(a, a), (f, f ), (a, c), (a, e), (b, d), (b, f ), (f, c), (e, a), (c, e)}.

U maticovho zn
zornn relace R sestrojme matici, eknme M (R), jej 
dky (a pr
v tak sloupce) jednoznan odpovdaj prvkm mnoiny X . V matici M (R) bude na 
dku odpovdajcm prvku x a ve sloupci odpovdajcm prvku y jednika, pokud x R y , a v opanm ppad tam bude nula. Pro ve uvedenou relaci R dostaneme matici 2 3 1 0 1 0 1 0 60 0 0 1 0 17 6 7 60 0 0 0 1 07 6 7, M (R) = 6 7 0 0 0 0 0 0 6 7 41 0 0 0 0 05 0 0 1 0 0 1 v n 
dky odpovdaj shora dol (a sloupce zleva doprava) prvkm a, . . . , f . Dal variantou je zn
zornn v podob orientovanho grafu. Idea je podobn
jako u grafovho zn
zornn, ovem s tm, e nyn meme uetit jednu mnoinu bod. Kad prvek mnoiny x bude nyn zastoupen jen jednm bodem (a ne dvma, jako by tomu bylo na obr. 1.1b). Vztah x R y zn
zornme ipkou z bodu x do bodu y . Vsledek pro ve uvedenou relaci R je na obr. 1.5.

12

Kapitola 1. Relace d

e

c

f a b

Obr
zek 1.5: Relace R jako orientovan graf.

1.7 Vlastnosti relac Vzhledem k obecnosti pojmu relace je pirozen, e se relace d
le dl podle toho, zda maj nebo nemaj urit z
kladn vlastnosti.

Denice 1.8 Relace R na mnoin X je •

re exvn, pokud pro kad x ∈ X plat x R x,

•

symetrick, pokud pro kad x, y ∈ X , x R y ⇒ y R x,

•

slab antisymetrick, pokud pro kad x, y ∈ X , xR y

•

a

y R x ⇒ x = y,

tranzitivn, pokud pro kad x, y, z ∈ X , xR y

a

y R z ⇒ x R z.

Tyto vlastnosti vtinou maj srozumitelnou interpretaci v jednotlivch zn
zornnch relace R. Uvame teba zn
zornn pomoc orientovanho grafu. Re0exvn relaci pozn
me podle toho, e v tomto orientovanm grafu je u kadho z bod `smyka', u symetrick relace m
kad
z ar svou dvojnici v opanm smru, atd. (D
le viz cvien 1.38.)

P klad 1.9 Uvame relaci S , de#novanou na mnoin kladnch re
lnch sel R+ pedpisem xS y

pr
v kdy 2x < y.

1.7. Vlastnosti relac

13

Tato relace nen re0exvn, protoe dokonce pro 
dn x ∈ R+ nen 2x < x. Nen ani symetrick
(sta uv
it x = 1, y = 3), a to do t mry, e je dokonce slab4 antisymetrick
. Kdyby toti 2x < y a 2y < x, pak bychom dostali 4x < x, co je na R+ nemon. 1
dn
dvojice tedy nespluje pedpoklad implikace v de#nici antisymetrinosti. Relace S je tak tranzitivn: pokud 2x < y a 2y < z, pak 2x < z/2 a tedy 2x < z. Situace se dramaticky zmn, pokud uvaujeme relaci S
zadanou stejnm pedpisem, ale na mnoin z
pornch re
lnch sel R−. Relace S
toti je re0exvn a nen slab antisymetrick
(dokate!). Nen ani tranzitivn, jak ukazuje trojice x = −2, y = −3, z = −4, pro kterou m
me 2x < y a 2y < z, ale neplat 2x < z . Cvi
en

I 1.33 Dokate, e zobrazen f : X → X je jakoto relace na mnoin X : (a) re0exvn, pr
v kdy f je identick zobrazen, (b) symetrick, pr
v kdy f je bijekce a f = f −1, (c) tranzitivn, pr
v kdy pro vechna y ∈ f (X ) plat y ∈ f −1(y ), kde f −1(y ) = {x ∈ X : f (x) = y}. Jak je mon charakterizovat slab antisymetrick
zobrazen?

I 1.34 Nech) X

Z je njak
mnoina celch sel. Relace d litelnosti na X je mnoina vech dvojic (x, y ) ∈ X 2 takovch, e x dl y (tj. existuje k ∈ Z ⊂

s vlastnost kx = y ). Dokate, e relace dlitelnosti je slab antisymetrick
na mnoin pirozench sel N, ale ne na mnoin nenulovch celch sel Z − {0}.

I 1.35 Rozhodnte, zda relace S v tabulce 1.1 jsou na pslunch mnoin
ch

(1) re0exvn, (2) symetrick, (3) slab antisymetrick, (4) tranzitivn. Kladn odpovdi dokate, z
porn dolote protipkladem. X

I 1.36 Je libovoln
tranzitivn a symetrick
relace na njak mnoin nutn re0exvn?

I 1.37 Dokate, e je-li relace na mnoin symetrick
i antisymetrick
, je nutn tranzitivn. Charakterizujte tyto relace.

I 1.38 Jak pozn
me z maticovho zn
zornn, zda je relace re0exvn a symet-

rick
?

I 1.39 Dokate, e relace R na mnoin X je tranzitivn, pr
v kdy R ◦ R ⊂ R. 4

I siln, ale tento pojem jsme zatm nede novali.

14

Kapitola 1. Relace x S y , pokud . . . mnoina X (a) R x≤y (b) R x
I 1.40 Nech) R je relace na mnoin X . Tranzitivn uzv r relace R je relace

R+

(rovn na X ) sest
vajc ze vech dvojic (x, y ), pro kter lze najt konen poet prvk z1 , . . . , zk s vlastnost x R z1 R z2 R . . . R zk R y.

(Tento zkr
cen z
pis samozejm znamen
x R z1, z1 R z2 atd.) Dokate, e (a) R+ je tranzitivn relace, (b) je to dokonce nejmen tranzitivn relace na X obsahujc R. (Pesnji: pokud T je tranzitivn relace na X , kter
obsahuje relaci R, pak tak R+ ⊂ T .) I 1.41 Nech) relace R na mnoin X je re0exvn (symetrick
, antisymetrick
, tranzitivn). Je pak R−1 tak re0exvn (symetrick
, antisymetrick
, tranzitivn)?

1.8 Ekvivalence a rozklady Vznan msto mezi relacemi maj ekvivalence. Denice 1.10 Ekvivalence na mno
in X je relace R na mnoin X , kter
je re0exvn, symetrick
a tranzitivn. P klad 1.11 Dobr pklad ekvivalence se objevil ve cvien 1.35. Nech) X je mnoina vech pmek v rovin. De#nujme na X relaci R pedpisem (p, q) ∈ R pr
v kdy p a q jsou rovnobn pmky. Peliv ten
 ji urit nahldl, e relace m
vechny ti vlastnosti z de#nice ekvivalence.

1.8. Ekvivalence a rozklady

15

P klad 1.12 Dleitm pkladem ekvivalence, kter se n
m bude hodit v pt kapitole, je kongruence modulo p. Jde o relaci na mnoin celch sel Z. Zvolme pevn cel slo p a de#nujme relaci ≡ na Z pedpisem

pr
v kdy p dl x − y. (Pipomeme, e p d l x − y , pokud x − y = pk pro njak k ∈ Z.) Relace ≡ je re0exvn, protoe p jist pro kad x dl slo x − x = 0. Je tak symetrick
, nebo) pokud x − y = kp, pak y − x = (−k) · p. Dokame, e ≡ je tranzitivn. Mjme x, y, z s vlastnost x ≡ y a y ≡ z. Je tedy x − y = kp a y − z =
p pro njak k,
. Pak ovem x − z = (x − y ) + (y − z ) = kp +
p = p(k +
) a x ≡ z. Tm je tranzitivita dok
z
na. Relace ≡ tedy skuten je ekvivalence. Relacm, kter jsou pouze re0exvn a symetrick (a nemus bt tranzitivn) se nkdy k
tolerance. P klad 1.13 Nech) X je mnoina vech k-tic nul a jedniek, kde k ≥ 2. Dv k -tice jsou v relaci R, pokud se li nejve v jednom symbolu. Takov
relace R je toleranc, nikoli vak ekvivalenc (ovte!). Jak je tomu pro k = 1? Ekvivalence zce souvis s pojmem rozkladu mnoiny. Denice 1.14 Nech) X je mnoina. (Neuspo
dan) soubor podmnoin {Xi}i∈I mnoiny X je rozklad mnoiny X , pokud mnoiny Xi jsou nepr
zdn, navz
jem disjunktn a jejich sjednocenm je cel
mnoina X . Mnoiny Xi nazv
me tdy rozkladu {Xi}i∈I . x≡y

5

4

2

6

1

3

Obr
zek 1.6: Rozklad mnoiny {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Soubor S = {{1, 3}, {6}, {2, 4, 5}}, zn
zornn na obr. 1.6, je napklad rozkladem mnoiny X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, zatmco soubory {{1, 2, 3}, {1, 4, 5}, {1, 5, 6}} a {{1, 2}, {3, 4, 5}} nikoli. Zdraznme, e u rozkladu nez
le na poad, ve kterm jsou jeho tdy uvedeny, take soubor {{2, 4, 5}, {6}, {1, 3}} je toton s rozkladem S .

16

Kapitola 1. Relace

Vta 1.15 Ekvivalence na X jednoznan odpovdaj rozkladm X . Dkaz. Uk
eme, jak dan ekvivalenci ∼ na mnoin X bijektivn piadit rozklad X/ ∼ mnoiny X . Pro x ∈ X de#nujme tdu prvku x pedpisem x]∼ = {y ∈ X : x ∼ y}. Msto x]∼ budeme ps
t strunji x]. Tvrdme, e pro x, y ∈ X jsou tdy x], y ] bu* shodn nebo disjunktn. Dejme tomu, e nejsou disjunktn, tedy existuje z ∈ x] ∩ y ]. Vezmme libovoln prvek x
∈ x]. M
me x ∼ x
a ze symetrie tak x
∼ x. Protoe z ∈ x], je rovn x ∼ z, take z tranzitivity plyne x
∼ z. Konen z faktu z ∈ y ] dostaneme y ∼ z, take z ∼ y a z tranzitivity x
∼ y . Jinmi slovy x
∈ y ]. Uk
zali jsme, e kad prvek x
tdy x] je rovn prvkem tdy y ]. Tot ale plat i naopak (dkaz je stejn), take x] = y ]. To jsme chtli dok
zat. Vezmeme-li tedy soubor mnoin X/ ∼ = {x] : x ∈ X} (kter obsahuje kadou tdu pouze jednou!), dostaneme systm disjunktnch podmnoin mnoiny x. Dky re0exivit je kad
tda nepr
zdn
(protoe x ∈ x]) a sjednocenm vech td je mnoina X . Jedn
se tedy o rozklad mnoiny X . Je-li naopak d
n rozklad {Xi : i ∈ I} mnoiny X , de#nujme relaci R pedpisem x R y, pokud x a y jsou prvky te mnoiny Xi . Relace R je takka z trivi
lnch dvod ekvivalenc (pro?). K dokonen dkazu zbv
si vimnout, e pokud podle ve uvedench pedpis piadme njak ekvivalenci ∼ rozklad a tomu zase ekvivalenci, dostaneme pr
v vchoz ekvivalenci ∼. Podobn je tomu, vyjdeme-li od rozkladu. Popsan
korespondence mezi rozklady a ekvivalencemi tedy opravdu pedstavuje bijektivn vztah. 2 Je-li ∼ ekvivalence, pak se tdy pslunho rozkladu nazvaj tdy ekvivalence ∼.

P klad 1.16 Uvame relaci R na mnoin {1, . . . , 6} s n
sledujcm maticovm zn
zornnm:

2

3

1 0 1 0 0 0 60 1 0 1 1 07 6 7 61 0 1 0 0 07 7 M (R) = 6 60 1 0 1 1 07 . 6 7 40 1 0 1 1 05 0 0 0 0 0 1 ('
dky i sloupce odpovdaj po ad prvkm 1, . . . ,6.) Ovte, e se jedn
o ekvivalenci. Sestrojme-li pslun rozklad jako v dkazu vty 1.15, dostaneme pr
v rozklad na obr. 1.6.

1.8. Ekvivalence a rozklady

17

Cvi
en

I 1.42 De#nujme relaci ∼ podobn jako ≡ v pkladu 1.12, s jednm malm rozdlem:

pr
v kdy existuje pirozen k tak, e x − y = kp, kde k pirozenm slm adme i nulu. Je relace ∼ ekvivalence? I 1.43 Dokate, e prnik libovolnho souboru ekvivalenc na dan mnoin X je rovn ekvivalence. I 1.44 Nech) R a S jsou ekvivalence na mnoin X . Rozhodnte, kter z n
sledujcch relac jsou nutn tak ekvivalence: (a) R ∪ S , (b) R − S , (c) R ◦ S . I 1.45 Dokate: sloen R ◦ S ekvivalenc R a S je ekvivalence, pr
v kdy R a S jsou z
mnn (tj. R ◦ S = S ◦ R). I 1.46 Zjistte, zda n
sledujc relace na mnoin R2 jsou ekvivalence, a ppadn najdte geometrickou interpretaci jejich td. U kadho ppadu je uvedena podmnka pro to, aby dvojice (x, y ) a (z, w) z mnoiny R2 byly spolu v relaci. (a) y − x = w − z, (b) y − kx = w − kz (kde k ∈ R), (c) x2 + 4y 2 = z2 + 4w2. I 1.47 Nech) Rn×n je mnoina vech re
lnch matic o rozmrech n × n. Pro dv takov matice A, B de#nujme5 A ≈ B, pokud A a B maj stejnou hodnost, A  B, pokud A a B jsou podobn matice. Ukate, e ob tyto relace jsou ekvivalence na Rn×n, a urete poet jejich td. I 1.48 Nakreslete relaci R z pkladu 1.16 jako orientovan graf. I 1.49 Matici M (R) z pkladu 1.16 je mon prohozenm dvou 
dk a dvou sloupc pevst do velmi speci
lnho `blokovho' tvaru. Pokuste se tento tvar de#novat, a na tomto z
klad formulovat obecnou charakterizaci ekvivalenc ve tvaru `R je ekvivalence, pr
v kdy M (R) m
perovn
n do blokovho tvaru'. Jak souvis blokov tvar s tdami ekvivalence? x∼y

P
ipomeme, e A a B jsou podobn
, pokud existuje matice P s vlastnost B = PAP ;1 , a e hodnost matice je maximln poet linern nezvislch
dek. 5

18

Kapitola 1. Relace

Kapitola 2 Algebraick
struktury 'ada algebraickch objekt m
podobu mnoiny s njakou dodatenou strukturou. Napklad vektorov prostor je mnoina vektor, ty vak nejsou `jeden jako druh': jeden z nich hraje vznanou roli nulovho vektoru, pro kad dva vektory je d
n jejich souet, je de#nov
na operace n
soben vektoru skal
rem atd. Pr
v tuto dodatenou informaci, kter
vektorov prostor odliuje od pouh mnoiny vektor, m
me na mysli, kdy mluvme o `struktue'. $asto se i samotn tyto objekty oznauj pojmem algebraick struktury.

2.1 Grupy a tlesa V tomto oddlu pedstavme dva vznan pklady algebraickch struktur: grupu a tleso. Jsou de#nov
ny jako mnoina s jednou resp. dvma operacemi, kter maj (v porovn
n s vtinou ostatnch algebraickch struktur) pomrn siln vlastnosti. Pklad grup i tles je pesto podivuhodn
ada, a to v nejrznjch oblastech matematiky. Pojem tlesa ostatn ten
 obezn
men s vektorovmi prostory mon
zn
. Kad vektorov prostor toti existuje nad uritm tlesem, jeho prvky jsou pr
v ony skal
ry, jimi meme vektory n
sobit. Vektorov prostory nad tlesem re
lnch sel (probran v pedn
ce z line
rn algebry) jsou tak jen jednm speci
lnm ppadem. Nech) M je mnoina. Zobrazen  z M × M do M se nazv
(binrn) operace na mno
in M . Takov
operace me mt rzn vlastnosti. 'ekneme, e  je komutativn operace, pokud pro kad x, y ∈ M je x  y = y  x (tedy pokud vsledek nez
le na poad operand). Operace  je asociativn, pokud pro x, y, z ∈ M je x  (y  z ) = (x  y )  z (vsledek nez
le na uz
vorkov
n). Pklad asociativn operace jsme ji vidli u relac. Uv
me-li mnoinu vech relac na dan mnoin X a de#nujeme-li operaci ◦ jako sloen dvou relac, bude tato bin
rn operace asociativn, ale nikoli komutativn. Prvky mnoiny M mohou mt vzhledem k operaci  speci
ln vlastnosti. Prvek 19

20

Kapitola 2. Algebraick struktury

n ∈ M je neutrlnm prvkem (vzhledem k operaci ), pokud pro kad x ∈ M je x  n = x a rovn n  x = x. Vimnme si, e z de#nice trivi
ln plyne, e takov prvek je nejve jeden. Jsou-li toti n, n
neutr
ln prvky, pak na jednu stranu n  n
= n
(protoe n je neutr
ln), ale na druhou stranu n  n
= n (protoe n
je neutr
ln), take n = n
. Nech) n je neutr
ln prvek vzhledem k operaci . Prvek inverzn k prvku x ∈ M je takov prvek y , pro nj plat, e xy = y x = n. V ppad, e  je asociativn operace, je opan prvek k libovolnmu prvku x ∈ M nejve jeden. Jsou-li toti y, y
dva takov prvky, uvame vraz y  x  y
. Ob jeho uz
vorkov
n daj stejn vsledek. Pitom (y  x)  y
= n  y
= y
, ale y  (x  y
) = y  n = y , take y = y
. Nyn ji meme de#novat pojem grupy. Grupa je mnoina M spolu s asociativn bin
rn operac , ve kter existuje neutr
ln prvek a ke kadmu prvku existuje prvek inverzn. Pokud je operace  navc komutativn, mluvme o ko-

mutativn nebo abelovsk1 grup . Form
ln grupu de#nujeme jako uspo
danou dvojici (M, ). Standardnm pkladem grupy je teba mnoina vech re
lnch (celch, komplexnch, racion
lnch) sel s operac st
n. Pirozen
sla se st
nm grupu netvo (0 je neutr
ln, ale neexistuje skoro 
dn inverzn prvek), a teba cel
sla s n
sobenm rovn ne (1 je neutr
ln, ale inverzn prvky rovn neexistuj). Ani v mnoin racion
lnch sel neexistuje inverzn prvek k slu 0 vzhledem k operaci n
soben (pro 
dn racion
ln y nen 0 · y = 1). Oproti tomu mnoina vech nenulovch racion
lnch sel ji tvo grupu vzhledem k operaci n
soben. Mnoina vech matic danch rozmr je grupou vzhledem ke st
n. Grupou je rovn mnoina vech regul
rnch tvercovch matic 
du n s operac n
soben. Poadavek regularity je podstatn, protoe k 
dn singul
rn matici by neexistoval inverzn prvek. Spojit re
ln funkce tvo grupu vzhledem ke st
n, permutace dan mnoiny vzhledem ke skl
d
n, atd. Relace na dan mnoin spolu s operac skl
d
n grupu netvo. K popisu grupy na konen mnoin prvk je asto vhodn pout tabulku, kter
pro kadou dvojici prvk ud
v
vsledek grupov operace. Pkladem je tab. 2.1, kter
de#nuje grupu na mnoin {a, b} s operac ∗. ∗ a a a b b

b b a

Tabulka 2.1: Grupa na mnoin {a, b}. Pojem tlesa zachycuje dv grupy, de#novan na te z
kladn mnoin. Jeho prototypem je mnoina vech re
lnch sel R s operacemi + a ·. Dvojice (R, +) 1

Pouv se t oznaen Abelova grupa. Tato t
da grup je nazvna po norskm matematikovi

Nielsu Henriku Abelovi (1802{1829).

2.2. Aritmetika modulo p

21

je komutativn grupa s neutr
lnm prvkem 0, dvojice (R, ·) ale grupa nen (stejn jako u racion
lnch sel chyb inverzn prvek k slu 0). Z tohoto dvodu v n
sledujc de#nici tlesa pistupujeme k neutr
lnmu prvku prvn operace s jistou opatrnost. Nech) mnoina M spolu s operac ⊕ tvo komutativn grupu s neutr
lnm prvkem (dejme tomu) 0, a nech) na mnoin M − {0} je urena dal bin
rn operace ⊗. Potom (M, ⊕, ⊗) je t leso, pokud (M − {0}, ⊗) je rovn komutativn grupa a navc plat distributivn zkon : x ⊗ (y ⊕ z ) = (x ⊗ y ) ⊕ (x ⊗ z )

(2.1)

pro kad x, y, z ∈ M . Mezi tlesa pat mnoiny vech racion
lnch, re
lnch a komplexnch sel, vdy se standardnmi operacemi st
n a n
soben. V n
sledujcm oddlu budeme hovoit o tlesech, kter
sest
vaj jen z konenho potu prvk. Vimnme si jet, e pojem vektorovho prostoru nen pli vzd
len od pojmu abelovsk grupy. D
se ci, e vektorov prostor je abelovsk
grupa (s operac st
n vektor), na kter je navc de#nov
no n
soben vektor prvky danho tlesa. Cvi
en

I 2.1 Najdte grupu (G, ) o 4 prvcch, ve kter pro kad prvek x plat xx = 0. I 2.2 Isomorsmus grup (G, ) a (H, ) je bijekce f :

G → H , kter zobrazuje neutr
ln prvek grupy G na neutr
ln prvek grupy G a m
tu vlastnost, e pro kad g, g
∈ G je f (g  g
) = f (g )  f (g
). Ukate, e isomor#smus f zobrazuje inverzn prvek k libovolnmu prvku g ∈ G na inverzn prvek k prvku f (g ) (v grup H ).

I 2.3 Najdte dv konen grupy stejn velikosti, kter nejsou isomorfn (tj. neexistuje mezi nimi isomor#smus).

2.2 Aritmetika modulo p Pipomeme si, e ekvivalence ∼ na mnoin X je relace na X , kter
je re0exvn, symetrick
a tranzitivn. Jsou-li na mnoin X de#nov
ny njak operace, me bt pirozen poadavek, aby ekvivalence ∼ navc zachov
vala tyto dodaten operace. Takovm ekvivalencm se pak k
kongruence. My se zamme na jeden konkrtn pklad: kongruence modulo p.

22

Kapitola 2. Algebraick struktury

Nech) p ≥ 1 je pirozen slo. De#nujme na mnoin vech celch sel relaci ≡ (kongruenci modulo p) pedpisem x ≡ y,

pokud p dl rozdl x − y.

Je-li poteba zdraznit hodnotu sla p, peme x ≡ y (mod p). Fakt, e se jedn
o ekvivalenci, nen ani teba dokazovat. Kad
z p td tto ekvivalence je tvoena vemi sly, kter
pi dlen slem p d
vaj tent zbytek. Proto se oznauj jako zbytkov tdy modulo p. Tdu obsahujc slo x budeme znait jako x]p (jindy se pouv
znaen Zp (x)) a o prvku x budeme mluvit jako o reprezentantu tto tdy. Je-li slo p zejm z kontextu, peme msto x]p prost x]. Mnoina vech zbytkovch td modulo p se zna Zp . Tdy 0]p a 1]p , kter maj svm zpsobem vznan postaven, budeme znait prost 0 resp. 1. Jak je naznaeno v vodu tohoto oddlu, kongruence modulo p se chov
`slun' k operacm st
n a n
soben na celch slech:

Tvrzen 2.1 Nech x ≡ x
a y ≡ y
jsou cel sla. Potom x + y ≡ x
+ y


a

xy ≡ x
y
.

Dkaz. Z faktu x ≡ x
plyne x
− x = pm, kde m je cel. Podobn y
− y = pn, n

cel. Potom (x
+ y
) − (x + y ) = pm + pn = p(m + n), take x + y ≡ x
+ y
. Stejn tak x
y
− xy = (x + pm)(y + pn) − xy = p(xn + ym + pmn), proto x
y
≡ xy . 2 Hlavnm dvodem, pro je tento fakt dleit, je, e umouje penst aritmetick operace z celch sel na zbytkov tdy, kde tak dostaneme tzv. aritmetick operace modulo p. Nech) slo p je pevn d
no, take je nemusme explicitn uv
dt. Pro tdy x] a y ], zadan pomoc svch reprezentant, de#nujeme jejich souet ⊕ a souin ⊗ pedpisy x] ⊕ y ] = x + y] , x] ⊗ y ] = xy ] . U podobn de#nice je vak teba ovit jej korektnost : nedostaneme pi jin volb reprezentant td x] a y ] jin vsledky? Kdyby ano, jednalo by se o patnou de#nici. Proto pedpokl
dejme, e x] = x
] a y ] = y
]. To samozejm znamen
, e x ≡ x
a y ≡ y
. Podle Tvrzen 2.1 tedy x + x
≡ y + y
. Pak ovem mus bt x + y] = x
+ y
], take hodnota piazen
soutu x] ⊕ y ] je na volb reprezentant nez
visl
. Podobn je tomu u operace ⊗. Podvejme se pro konkrtnost na ppad p = 7, teba na tdy 2]7 a 6]7 . Z de#nice je 2]7 = {. . . , −5, 2, 9, 16, . . .}, 6]7 = {. . . , −1, 6, 13, 20, . . .}.

2.2. Aritmetika modulo p

23

Vechny mon souty prvku z tdy 2]7 a prvku z tdy 6]7 tvo mnoinu {. . . , −6, 1, 8, 15, 22, . . .},

co je pr
v tda 8]7 , take je pirozen, e jsme poloili 2]7 ⊕6]7 = 8]7 . Podobn mnoina vech souin prvku ze tdy 2]7 a prvku ze tdy 6]7 je obsaena ve td 12]7. Mnoina Z7 m
7 prvk, kter lze ps
t napklad jako 0]7, 1]7, . . . , 6]7 . Pi pot
n modulo p meme v praxi vynechat symboly pro tdy a pracovat pouze s sly 0, 1, . . . , p − 1 (s tzv. plnou soustavou zbytk modulo p), s tm, e vsledek kad operace nahradme pslunm zbytkem. Napklad pi pot
n modulo 5 bychom tak mohli ps
t teba 3 ⊕ 4 = 2 nebo 4 ⊗ 3 = 2. (plnou informaci o aritmetice modulo 5 pod
v
tabulka 2.2. 0 1 2 3 4 ⊗ 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 4 1 3 2 2 3 4 0 1 3 3 1 4 2 3 3 4 0 1 2 4 4 3 2 1 4 4 0 1 2 3 Tabulka 2.2: Aritmetika nad Z5 (v tabulce n
soben je vynech
n 
dek a sloupec prvku 0, kter sest
vaj ze samch nul). ⊕

Vta 2.2 Pro libovoln p ≥ 1: (a) dvojice (Zp ,⊕) je komutativn grupa, (b) operace ⊗ na Zp − {0} je komutativn, asociativn a m neutrln prvek, (c) operace ⊕ na Zp je distributivn vzhledem k operaci ⊗, tj. a ⊗ (b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c)

pro libovoln a, b, c ∈ Zp .

Dkaz. Vta snadno plyne z vlastnost aritmetickch operac na celch slech. V 
sti (a) je napklad operace ⊕ komutativn, protoe

a] ⊕ b] = a + b] = b + a] = b] ⊕ a] . Podobn dostaneme asociativitu. Tda 0] je zjevn neutr
ln vzhledem ke st
n. Inverzn prvek ke td a] je tda −a].

24

Kapitola 2. Algebraick struktury

$
st (b) se dokazuje zcela podobn. $
st (c) je opt dsledkem distributivity na celch slech, protoe plat 



a] ⊗ b] ⊕ c] = a] ⊗ b + c] = a(b + c)] = ab + ac] = ab] ⊕ ac] 

= a] ⊗ b]



⊕



a] ⊗ c]



.

2

Je Zp spolu s operacemi ⊕ a ⊗ tlesem? Podle vty 2.2 k tomu mnoho nechyb: vlastn pouze to, aby ke kad nenulov td existoval inverzn prvek vzhledem k n
soben. Pak by toti i (Zp , ⊗) byla abelovsk
grupa. Pt
me se tedy, kdy ke td x] ∈ Zp existuje inverzn prvek vzhledem k n
soben. Asi tomu tak nebude vdy napklad pro p = 4 nenajdeme inverzn prvek ke td 2]4. M
me toti 2] ⊗ 1] = 2], 2] ⊗ 2] = 0] a 2]⊗ 3] = 2]. Na druhou stranu napklad Z5 tlesem je, jak se lze pesvdit z ve uveden tabulky operace ⊗. (plnou odpov* na nai ot
zku nabz n
sledujc tvrzen.

Tvrzen 2.3 Ke td r] ∈ Zp existuje inverzn prvek vzhledem k nsoben, prv kdy
r a p jsou nesoud ln sla.

Dkaz. Implikaci zleva doprava dok
eme sporem. Dejme tomu, e r i p jsou dliteln
slem d > 1, a nech) s] je inverzn k r], to jest r] ⊗ s] = 1]. Z de#nice je rs] = 1], take rozdl rs − 1 je dliteln slem p, eknme rs − 1 = pn, kde n je cel. Pak ale rs − pn = 1, piem lev
strana je dliteln
slem d (kter dl jak r, tak p). Proto mus slo d dlit i jedniku na prav stran, take d = 1. Spor. K dkazu opan implikace pedpokl
dejme, e sla r a p jsou nesoudln
. Uvame p souin 1 · r, 2 · r, . . . , p · r. Tvrdme, e 
dn dva z tchto souin nejsou kongruentn modulo p, tedy e ir ≡ jr pro rzn i, j . Pedstavme si, e ir ≡ jr pro njak i = j . Pak p dl r (i − j ), a protoe s r je nesoudln, mus p dlit rozdl i − j . (Tento fakt plyne napklad z jednoznanosti rozkladu na prvosla.) Ovem rozdl i − j je v absolutn hodnot men ne p, take jedinou monost je i = j , co je spor s pedpokladem. V kad zbytkov td modulo p tm p
dem le nejve jeden souin i · r, kde i = 1, . . . , p. Td je ale (stejn jako souin) pesn p, take dokonce v kad td le pr
v jeden tento souin. Speci
ln pro njak i je ir ∈ 1]. Pak ale i] ⊗ r] = ir] = 1], ili i] je hledan inverzn prvek ke td r]. 2 Z tto vty ji snadno plyne charakterizace sel p, pro n je Zp tlesem. Kad prvoslo p je nesoudln s libovolnm slem, kter nen n
sobkem p. Na druhou stranu, pokud p nen prvoslo, pak se d
ps
t jako p = a · b (kde 1 < a, b < p), a potom a, p jsou soudln
sla. Shrnuto:

2.2. Aritmetika modulo p

25

Dsledek 2.4 Mno
ina Zp s operacemi ⊕ a ⊗ je t lesem, prv kdy
p je prvo-

slo. Nabz se jet dal ot
zka. Vme, e Zp je tleso pouze pro prvoseln
p. Existuje tleso o neprvoselnm potu prvk, eknme typrvkov? Jak ukazuje cvien 2.8, odpov* zn ano. Obecn plat vta, kterou nebudeme dokazovat, e n-prvkov tleso existuje pr
v tehdy, kdy n je mocnina prvosla. Nech) p je prvoslo. Vme-li, e Zp je tleso, nic n
m nebr
n uvaovat o vektorovch prostorech nad tmto tlesem. Podobn jako jednm ze z
kladnch pklad vektorovho prostoru nad re
lnmi sly je prostor Rn , tvoen n-ticemi re
lnch sel, zde hraje dleitou roli vektorov prostor Znp = {(a1 , . . . , an) : ai ∈ Zp pro kad i}, piem st
n + a n
soben skal
rem · jsou de#nov
ny `po slok
ch': (a1 , . . . , an ) + (b1 , . . . , bn ) = (a1 ⊕ b1 , . . . , an ⊕ bn ), c · (a1 , . . . , an ) = (c ⊗ a1 , . . . , c ⊗ an ), kde c ∈ Zp . Vimnme si, e protoe jednotliv sloky vektor jsou prvky Zp , st
me je pomoc operace ⊕ a n
sobme pomoc operace ⊗. V dalch 
stech pedn
ky se setk
me se speci
lnm ppadem tto konstrukce, vektorovm prostorem Zn2 nad Z2 , jeho prvky jsou n-tice nul a jedniek. Ve vektorovch prostorech nad konenmi tlesy lze prov
dt vechny obvykl operace jako v re
lnch vektorovch prostorech, napklad eit soustavy rovnic. Jako pklad eme soustavu x + 2y + 3z + 4t = 1 (2.2) x + y + 2z = 0 o 4 nezn
mch nad tlesem Z5 (viz tabulka 2.2). Pro pehlednost vynech
v
me tdov z
vorky a aritmetick operace zapisujeme jako +, · (a nikoli ⊕, ⊗). Standardnm postupem vytvome matici a pevedeme ji do kanonickho tvaru:

   1 2 3 4 1 ∼ 1 2 3 4 1 ∼ 1 2 3 4 1 1 1 2 0 0 0 4 4 1 4 0 1 1 4 1 

1 0 1 1 4 , ∼ 0 1 1 4 1 piem proveden pravy jsou (po ad): piten tyn
sobku prvnho 
dku k druhmu, vyn
soben druhho 
dku `slem' 4, a piten trojn
sobku druhho 
dku k prvnmu. Zji)ujeme, e een tto soustavy maj tvar {(4 + 4z + 4w, 1 + 4z + w, z, w ) : z, w ∈ Z5 }. Jinak eeno, kad een je line
rn kombinac (4, 1, 0, 0) + z · (4, 4, 1, 0) + w · (4, 1, 0, 1) kde z, w ∈ Z5 .

26

Kapitola 2. Algebraick struktury

Cvi
en

I 2.4 Nech) x, y ∈ Zn2 . Kdy je i-t
sloka soutu x + y nulov
? I 2.5 Kolik je een soustavy (2.2)? I 2.6 'ete soustavu nad tlesem Z3 : x + 2y + t = 1 2 x + 2z = 1 2x + z + t = 0

I 2.7 Napite tabulky st
n a n
soben v tlesech Z2 a Z7 . I 2.8 Ovte, e mnoina {0, 1, 2, 3} spolu s operacemi  a ◦, zadanmi pomoc

n
sledujcch tabulek, je tlesem. Ukate, e tyto operace se li od st
n a n
soben na mnoin Z4.  0 1 2 3 ◦ 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 1 1 0 3 2 2 2 3 1 2 2 3 0 1 3 3 1 2 3 3 2 1 0 II 2.9 Nech) a ≡ a
(mod b). Dokate, e plat (a, b) = (a
, b), kde (a, b) je nejvt spolen dlitel sel a a b. Vyuijte tento fakt k n
vrhu algoritmu pro vpoet nejvtho spolenho dlitele. (Jeden z takovch algoritm je zn
m jako Eukleidv algoritmus.) II 2.10 Nech) a a b jsou cel
sla (alespo jedno nenulov). Dokate, e (a, b) je nejmen kladn slo tvaru ax + by , kde x, y ∈ Z. I 2.11 Formulujte algoritmus na nalezen koe#cient x a y v rovnosti ax + by = (a, b). (Uijte Eukleidv algoritmus nebo vlastn algoritmus ze cvien 2.9.) I 2.12 Jak je mon ut algoritmus ze cvien 2.11 k nalezen inverznho prvku a−1 k prvku a ∈ Zp ? I 2.13 Dokate, e pokud x ≡ y (mod m), pak xn ≡ yn (mod m) pro libovoln pirozen n. I 2.14 Dokate, e pokud x ≡ y (mod m), cel slo d dl x a y, a plat (d, m) = 1, pak y x ≡ (mod m). d d Je mon pedpoklad (d, m) = 1 vynechat? I 2.15 Odvo*te pravidla pro dlitelnost sly 3, 8, 9 a 11.

Kapitola 3 Uspodn a svazy Pojem uspo
d
n, kter je tmatem tto kapitoly, pedstavuje (vedle zobrazen a ekvivalence) dal zajmav a dleit speci
ln ppad pojmu relace.

3.1 Uspodn

Denice 3.1 Uspodn na mnoin X je libovoln
relace na X , kter
je re0exvn, (slab) antisymetrick
a tranzitivn.

Oproti de#nici ekvivalence jsme tedy `pouze' zamnili symetrinost za antisymetrinost. (inky tto zmny jsou vak znan. Je-li R uspo
d
n na mnoin X , pak dvojice (X, R) se nazv
uspodan mno
ina. Jsou-li prvky x, y v relaci R (tedy x R y ), interpretujeme to slovy `prvek x je men nebo roven prvku y '. To je v souladu se vemi temi z
kladnmi vlastnostmi uspo
d
n. Uspo
d
nm z na de#nice se tak k
neostr uspodn, protoe pro kad x plat x R x. (U ostrho uspo
d
n bychom poadavek re0exivity nahradili antire exivitou : pro 
dn x neplat x R x. Nepjde ovem o uspo
d
n ve smyslu de#nice 3.1.) Neostr
uspo
d
n asto zname symboly ≤ nebo . Snadno se ov, e vlastnosti uspo
d
n m
napklad `standardn' uspo
d
n ≤ mnoiny re
lnch sel. Ponkud zajmavj je mon
fakt, e uspo
d
nm je i relace d litelnosti de#novan
vztahem `x dl y ' na libovoln mnoin pirozench sel (viz cvien 1.35). Tyto dva pklady se li v jednom dleitm ohledu, kter podrobn rozebereme. Nech) x, y jsou dva prvky uspo
dan mnoiny (X, ). Plat-li x  y nebo y  x, jsou prvky x, y porovnateln, v opanm ppad jsou neporovnateln. Uspo
d
n  se asto oznauje jako sten, protoe de#nice 3.1 pipout existenci dvojic neporovnatelnch prvk. Podobn o mnoin (X, ) mluvme jako o sten uspodan mno
in 1. 1

V anglitin se vil termn poset, kter vznikl jako zkratka z vrazu partially ordered set.

27

28

Kapitola 3. Uspodn a svazy

Pi standardnm uspo
d
n ≤ na mnoin R jsou kad dva prvky porovnateln. Takovm uspo
d
nm se k
linern nebo pln. Dvodem pro prvn oznaen je fakt, e line
rn uspo
d
n ad prvky dan mnoiny do jedn linie, `od nejmenho k nejvtmu'. Lpe to uvidme, a budeme mluvit o Hasseovch diagramech. N
 druh pklad, relace dlitelnosti na pirozench slech, line
rn nen, jak ukazuje napklad neporovnateln
dvojice {2, 3}. Zdraznme ovem, e oba zmnn pklady spadaj do obecnj kategorie 
stench uspo
d
n. Pidejme jet tet pklad uspo
d
n. Pro libovolnou mnoinu A meme uv
it njak soubor B jejch podmnoin. Na souboru B je pak pirozen de#nov
no uspodn inkluz ⊂: podmnoiny B, B
∈ B budou v relaci (tedy B ⊂ B
), pokud B je podmnoinou mnoiny B
. Ani uspo
d
n ⊂ obecn nen line
rn. Cvi
en

I 3.1 Jsou n
sledujc relace uspo
d
n? Pokud ano, vypite dvojice neporovnatelnch prvk. (a) R = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}, (b) S = {(1, 3), (2, 3), (3, 4), (3, 5), (1, 4), (2, 4), (1, 5), (2, 5)}.

I 3.2 Nech) ≤ (resp. <) je bn neostr (resp. ostr) uspo
d
n mnoiny pirozench sel N. De#nujme relace 1 a 2 na N × N pedpisem: (s, t) 1 (u, v), pokud s ≤ u a t ≤ v, (s, t) 2 (u, v), pokud bu*to s < u, nebo s = u a y ≤ v. Dokate, e 1 a 2 jsou 
sten
uspo
d
n a e 2 je line
rn uspo
d
n. Poznamenejme, e 2 je zn
m lexikograck uspo
d
n (bn ve slovncch). Pokuste se rozit jeho de#nici na mnoinu slov nad njakou konenou abecedou.

3.2 Hassev diagram Libovoln uspo
d
n samozejm meme, stejn jako kadou jinou relaci, zn
zornit v podob orientovanho grafu. Obr
zek 3.1 je zn
zornnm uspo
d
n dlitelnost na mnoin {2, 3, 4, 6, 8, 12}. Jako prostedek pro zn
zornn uspo
d
n ovem obr
zek 3.1 nen pli vhodn, ada ipek je v nm toti zbytench. Smyky u vrchol by napklad nebylo nutn kreslit, protoe kad uspo
d
n je z de#nice re0exvn. Podobn jsou-li v relaci dvojice (2, 4) a (4, 12), mus z tranzitivity bt 2 v relaci s 12 a tuto ipku by rovn nebylo poteba kreslit. Efektivn zn
zornn uspo
d
n pedstavuje tzv. Hassev diagram. De#nujme nejprve jeden pomocn pojem. Nech) x, y jsou prvky uspo
dan mnoiny (X, ). Prvek x je bezprostednm pedchdcem prvku y (ps
no x C y ),

3.2. Hassev diagram

29 6

8 12

4

2

3

Obr
zek 3.1: Uspo
d
n dlitelnost na mnoin {2, 3, 4, 6, 8, 12}. pokud x  y a neexistuje 
dn z ∈ X −{x, y}, pro kter by platilo x  z  y . Na vztah C se meme dvat jako na relaci na mnoin X (tzv. relace bezprostednho pedchzen ). Tato relace obecn nen re0exvn ani tranzitivn. Hassev2 diagram uspo
dan mnoiny (X, ) je zn
zornn, ve kterm pro kadou dvojici prvk x, y ∈ X plat x C y , pr
v kdy x, y jsou spojeny arou a prvek y je nakreslen ve ne x. Spojnice nen nutn opatovat ipkou, protoe smr je jednoznan d
n. Na obr. 3.2 vidme, e Hasseovm diagramem lze uspo
danou mnoinu z obr. 3.1 zn
zornit mnohem pehlednji. 8

12

4

6

2

3

Obr
zek 3.2: Hassev diagram uspo
d
n z obr. 3.1. Hassev diagram line
rn uspo
dan mnoiny vypad
podobn, jako na obr. 3.3a, kter zachycuje standardn uspo
d
n na mnoin pirozench sel {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Jin uspo
d
n na stejn mnoin, kter line
rn nen, je ureno dlitelnost. Jeho Hassev diagram je na obr. 3.3b. Jak je vidt, jednu mnoinu lze uspo
dat mnoha rznmi zpsoby. Jako dal pklad uvame uspo
d
n inkluz na mnoin vech podmnoin mnoiny {1, 2, 3}. Bn zobrazen a nepomrn pehlednj Hassev diagram tohoto uspo
d
n ukazuje obr. 3.4. Podmnoiny jsou pops
ny zkr
cen, napklad msto {1, 3} peme prost 13. 2 Helmut

Hasse (1898{1979).

30

Kapitola 3. Uspodn a svazy

6 5 4

4

6

3 2

2 1

3

5

1

(a)

(b)

Obr
zek 3.3: (a) Obvykl line
rn uspo
d
n na mnoin {1, . . . , 6}. (b) Uspo
d
n dlitelnost na te mnoin.

13

123

12

23

3

123

2 ∅

1

(a)

12

13

23

1

2

3

∅

(b)

Obr
zek 3.4: Dv zn
zornn uspo
d
n inkluz na souboru vech podmnoin mnoiny {1, 2, 3}: (a) orientovan graf (s vynechanmi smykami), (b) Hassev diagram.

3.3. Zkladn pojmy v uspodanch mnoinch

31

Cvi
en

I 3.3 Jak vypad
relace bezprostednho pedch
zen na uspo
dan mnoin (R, ≤)? I 3.4 Nakreslete Hassev diagram uspo
d
n dlitelnost na mnoin X ⊂ N. Zjistte, zda tato uspo
dan
mnoina m
nejmen resp. nejvt prvek. (a) X = {2, 3, 4, 12, 15, 60}, (b) X = {2, 4, 8, 12, 20, 28, 56}, (c) X = {2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 36, 60}. I 3.5 Ve cvien 1.40 byl de#nov
n tranzitivn uz
vr R+ relace R na mnoin X . Pid
me-li k relaci R+ vechny dvojice tvaru (x, x), kde x ∈ X , dostaneme re exvn -tranzitivn uzv r (nebo prost uzv r ) relace R, oznaovan symbolem R∗ . (a) Ukate, e kad uspo
d
n na konen mnoin X je uz
vrem sv relace bezprostednho pedch
zen. (b) Najdte pklad nekonen uspo
dan mnoiny, pro kterou tomu tak nen.

3.3 Zkladn pojmy v uspodanch mnoinch Zave*me nkolik pojm oznaujcch vznan prvky uspo
dan mnoiny. Mjme uspo
danou mnoinu (X, ). Prvek a ∈ X je nejv tm prvkem mnoiny X , pokud pro kad x ∈ X plat x  a. Podobn nejmen prvek mnoiny X je prvek a takov, e a  x pro kad x ∈ X . Nejvt prvek obecn nemus existovat, ale existuje-li, pak je uren jednoznan. Napklad na obr. 3.5a{d existuje pouze v ppadech (a) a (d). Nejmen prvek existuje pouze v ppadech (b) a (d). Prvky 8 a 18 na obr. 3.5b sice nejsou nejvt, ale maj alespo tu vlastnost, e 
dn prvek nen vt. Jedn
se o tzv. maxim
ln prvky. Prvek a ∈ X je maximlnm prvkem, pokud pro 
dn x ∈ X nen a  x. Symetricky: minimln prvek je takov prvek a ∈ X , e pro 
dn x ∈ X nen x  a. Je jasn, e ppadn nejvt prvek mus bt maxim
ln, a tak, e obr
cen
implikace neplat. N
sledujc tabulka uv
d maxim
ln a minim
ln prvky v jednotlivch pkladech na obr. 3.5. pklad maxim
ln minim
ln (a) 12 2, 3 8, 18 2 (b) (c) 3, 5, 7, 11 3, 5, 7, 11 (d) 72 2

32

Kapitola 3. Uspodn a svazy 72 12 4

6

2

3

(a)

8

18

24

36

4

6

4

6

2

(b)

3

5

(c)

7

11

2

(d)

Obr
zek 3.5: Hassev diagram dlitelnosti na mnoin X , kde (a) X = {2, 3, 4, 6, 12}, (b) X = {2, 4, 6, 8, 18}, (c) X = {3, 5, 7, 11}, (d) X = {2, 4, 6, 24, 36, 72}. Vra)me se k uspo
d
n inkluz na podmnoin
ch dan mnoiny. Pklad Hasseova diagramu takovho uspo
d
n je na obr. 3.4b. D
se z tohoto diagramu vyst vce, ne jenom kter podmnoiny jsou ve vztahu inkluze | napklad jak je prnik i sjednocen dvou mnoin? Jinmi slovy, je mon de#novat sjednocen dvou mnoin pouze s pouitm uspo
d
n inkluz? Sjednocen mnoin A,B je mnoina, kter
obsahuje jak mnoinu A, tak mnoinu B (jako podmnoiny), ale `neobsahuje nic navc'. Pesnji eeno, je to nejmen ze vech mnoin, kter jsou vt ne A i ne B . Slova `nejmen' a `vt' se tu samozejm vztahuj k uspo
d
n inkluz. Ne de#novan pojem suprema tak lze ch
pat jako (dalekos
hl) zobecnn pojmu sjednocen. Prvek z je horn zvorou dvojice prvk x, y uspo
dan mnoiny (X, ), pokud plat x  z a y  z. Supremum (jinak t spojen ) prvk x, y je nejmen ze vech jejich hornch z
vor, tedy takov prvek s, kter je horn z
vorou dvojice x, y , piem neexistuje jin
horn z
vora z =  s, pro kterou by bylo z  s. Dvojice prvk obecn 
dn supremum mt nemus: pedn nemus mt ani 
dnou horn z
voru (jako prvky 8, 18 na obr. 3.5b), nebo naopak me mnoina hornch z
vor mt vce minim
lnch prvk, ze kterch pak, jak vme, 
dn nebude nejmen. Tento ppad nast
v
u prvk 4, 6 na obr. 3.5d, kter maj horn z
vory 24, 36 a 72, piem 24 a 36 jsou minim
ln prvky v tto mnoin hornch z
vor. Podobn jako supremum je de#nov
no in#mum dvou prvk. Doln zvora prvk x, y je prvek z, pro kter je z  x a z  y , a inmum (prsek ) prvk x, y je nejvt z jejich dolnch z
vor. K pojmu in#ma se symetrickm zpsobem vztahuje ve, co bylo eeno o supremu. Cvi
en

I 3.6 Dokate, e v konen uspo
dan mnoin existuje nejmen prvek, pr
v

kdy v n existuje pesn jeden minim
ln prvek. Najdte nekonenou uspo
danou mnoinu, ve kter tato ekvivalence neplat.

3.4. Svazy

33

I 3.7 Na mnoin X = {a, b, c, d, e, f} je d
na relace R. Zjistte, zda se jedn
o

uspo
d
n a ppadn urete minim
ln a maxim
ln prvky, pokud (a) R = {(d, c), (b, a), (c, a), (d, b)} ∪ 4, (b) R = {(b, a), (c, a), (f, d), (b, d), (e, c), (e, a), (b, c), (b, f )} ∪ 4, kde 4 = {(x, x) : x ∈ X}.

I 3.8 Najdte uspo
danou mnoinu, ve kter mnoina hornch z
vor njakch dvou prvk m
pesn pt minim
lnch prvk.

I 3.9 Uvame mnoinu vech pirozench sel, uspo
danou relac dlitelnosti. Existuj v tto uspo
dan mnoin suprema a in#ma? Jak je jejich vznam?

I 3.10 Dokate, e kad uspo
d
n na konen mnoin X se d
rozit do line
rnho. Jinmi slovy: pro libovoln uspo
d
n R na X existuje line
rn uspo
d
n R
na X tak, e R ⊂ R
. I 3.11 Dokate, e konen
uspo
dan
mnoina (L, ≤) m
minim
ln prvek x a maxim
ln prvek y tak, e x ≤ y .

I 3.12 Bu* Un mnoina vech 
stench uspo
d
n na n-prvkov mnoin X .

Uvame Un jako uspo
danou mnoinu s uspo
d
nm danm inkluz (uspo
d
n jsou v relaci, pokud T roziuje S , tedy S ⊂ T ). Charakterizujte minim
ln a maxim
ln prvky uspo
dan mnoiny Un . S, T

3.4 Svazy Svaz je uspo
dan
mnoina (X, ), ve kter existuje supremum i in#mum pro libovolnou dvojici prvk. Ve svazu meme na supremum a in#mum pohlet jako na bin
rn operace (protoe je zarueno, e jejich hodnoty jsou de#nov
ny pro kadou dvojici). Supremum prvk x, y zde zname x ∨ y , in#mum jako x ∧ y . Pkladem svazu, na kter jsme ji narazili, je mnoina vech podmnoin libovoln mnoiny (uspo
dan
inkluz). Supremum dvou mnoin zde odpovd
jejich sjednocen, in#mum odpovd
jejich prniku. Pojmy suprema a in#ma jsme de#novali pomoc uspo
d
n. Je mon postupovat v opanm smru a z pouh znalosti bin
rnch operac suprema a in#ma na mnoin X rekonstruovat pvodn uspo
d
n? N
sledujc jednoduch tvrzen ukazuje, e to mon je (a dokonce sta zn
t jenom suprema).

Tvrzen 3.2 Pro libovoln dva prvky a, b svazu (X, ) plat ab

prv kdy


a∨b=b

prv kdy


a ∧ b = a.

34

Kapitola 3. Uspodn a svazy

Dkaz. Nech) a  b. Pak b je zjevn horn z
vorou dvojice a, b. Dejme tomu,

e pro njakou horn z
voru z = b tto dvojice plat z  b. Z faktu, e z je horn z
vora, plyne b  z. Dky antisymetrinosti m
me z = b, co je spor. Takov
z
vora z tedy neme existovat, take z de#nice suprema je a ∨ b = b. Tvrzen o in#mu se dokazuje symetricky. 2 Jednu polovinu minulho dkazu jsme si uetili poukazem na symetrii mezi pojmy supremum a in#mum. Jde o speci
ln ppad tzv. principu duality, kter uk
eme d
le. Inverzn relace −1 k uspo
d
n  je opt uspo
d
n (cvien 3.13). Nen tk si vimnout, e jeho Hassev diagram zsk
me, kdy otome Hassev diagram uspo
d
n  vzhru nohama. Pi tto zmn se suprema mn na in#ma a naopak. (Pesnji, supremum prvk a,b vzhledem k uspo
d
n  je jejich in#mem vzhledem k uspo
d
n −1 .) Z toho snadno dost
v
me n
sledujc princip duality : Pokud v njakm tvrzen, kter plat ve vech svazech, dsledn zamnme symboly ∨ a ∧ a otome smr vech nerovnost, dostaneme opt tvrzen platn ve vech svazech.

Vta 3.3 Pro operaci ∨ v libovolnm svazu (X, ) plat: (i) je asociativn, (ii) je komutativn, (iii)

a∨a=a

(iv)

a ∨ (b ∧ a) = a

pro a ∈ X , pro a, b ∈ X .

Dkaz. $
st (ii) (komutativita operace ∨) plyne pmo z de#nice suprema.

$
st (iii) plyne z faktu, e a  a (re0exivita) a z tvrzen 3.2. V 
sti (iv) vme, e b ∧ a  a (protoe b ∧ a je doln z
vora dvojice a, b), take z tvrzen 3.2 plyne, e a ∨ (b ∧ a) = a. Zbv

st (i), tedy asociativita operace ∨. Mjme prvky a, b, c ∈ X . Chceme uk
zat, e a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c. Ozname levou stranu tto rovnice jako
. Z de#nice vme, e
je horn z
vorou pro prvky a, b ∨ c, piem druh z tchto prvk je zase horn z
vorou pro prvky b, c. Odtud urit a, b, c 
. Vzhledem k tomu, e a ∨ b je nejmen horn z
vorou prvk a, b, mus bt a ∨ b 
. Pak ovem
je horn z
vorou dvojice (a∨b), c, take pro supremum tto dvojice m
me (a ∨ b) ∨ c 
= a ∨ (b ∨ c). Zcela obdobn lze uk
zat opanou nerovnost a ∨ (b ∨ c)  (a ∨ b) ∨ c. Z antisymetrinosti pak dostaneme poadovanou rovnost. 2

3.4. Svazy

35

Podobn vlastnosti jako operace ∨ m
dky principu duality samozejm i operace ∧ (speci
ln je asociativn a komutativn). Vlastnosti (i) a (ii) ve vt 3.3 jsou stejn, jako m
operace st
n a n
soben v tlese. Me n
s napadnout ot
zka, zda tato analogie jde jet d
l, napklad zda plat distributivita mezi operacemi ∧ a ∨, tedy a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)

pro libovoln prvky a, b, c.

(3.1)

Kad svaz, ve kterm plat (3.1), se nazv
distributivn. Pkladem takovho svazu je svaz podmnoin libovoln mnoiny. Jsou-li toti A, B, C njak mnoiny, pak z obr. 3.6 je vidt, e A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ). C

A

B

Obr
zek 3.6: Distributivita u mnoin: A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ). Na druhou stranu obr. 3.7 ukazuje dva pklady svaz, kter distributivn nejsou (viz cvien 3.14).

(a) M5 :

(b) N5 :

Obr
zek 3.7: Nedistributivn svazy. D
se dokonce uk
zat, e svazy M5 a N5 z obr. 3.7 jsou v jistm smyslu obsaeny v kadm nedistributivnm svazu. Abychom mohli tento fakt precizn vyj
dit, potebujeme jet jednu de#nici. Podsvazem svazu (X, ) je libovoln svaz (Y, ≤) takov, e (1)

a uspo
d
n ≤ je z
enm uspo
d
n  na mnoinu Y (jinmi slovy plat a ≤ b, pr
v kdy a  b a prvky a, b le v mnoin Y ), Y ⊂ X

(2) suprema (in#ma) ve svazu (Y, ≤) se shoduj se supremy (in#my) ve svazu (X, ).

36

Kapitola 3. Uspodn a svazy

P klad 3.4 Uvame znovu svaz X vech podmnoin mnoiny {1, 2, 3} s uspo-


d
nm inkluz, jeho Hassev diagram zn
me z obr. 3.4b. Na obr. 3.8a je zvraznna mnoina Y ⊂ X . Svaz (Y, ⊂) na obr. 3.8b nen podsvazem svazu (X, ⊂) (i kdy se tak pi zbnm ten de#nice me jevit). Prvky {1} a {3} toti ve svazu (X, ⊂) maj supremum {1, 3}, zatmco ve svazu (Y, ⊂) je jejich supremem prvek {1, 2, 3}. Pid
me-li vak k mnoin Y prvek {1, 3} a ozname vslednou mnoinu Y
, pak svaz (Y
, ⊂) ji je podsvazem svazu (X, ⊂). Pouen z uvedenho pkladu je, e ne kad
mnoina prvk svazu uruje podsvaz. 123

123

12

13

23

12

1

2

3

1

∅

(a)

3 ∅

(b)

Obr
zek 3.8: (a) Svaz (X, ⊂) se zvraznnou mnoinou prvk Y . (b) Svaz (Y, ⊂). Nyn meme vyslovit zajmavou charakterizaci distributivnch svaz, tzv. Birkho%ovo3 kritrium distributivity, jeho dkaz lze nalzt v 5]. Vimnme si, e jedna z implikac je trivi
ln.

Vta 3.5 (Birkhoovo kritrium distributivity) Svaz je distributivn, prv kdy
neobsahuje ani jeden ze svaz M5 , N5 jako podsvaz. 2

Vimnme si, e svaz (Y, ⊂) z pkladu 3.4 je toton se svazem M5 . Nen vak podsvazem distributivnho svazu (X, ⊂) (a nedost
v
me tak spor s vtou 3.5). Fakt, e `zak
zan podsvazy' z vty 3.5 jsou symetrick podle vodorovn osy, naznauje, e pi otoen distributivnho svazu `vzhru nohama' bychom mohli opt dostat distributivn svaz. V trochu jin formulaci to potvrzuje n
sledujc vta.

Vta 3.6 V libovolnm distributivnm svazu (X, ) plat tak duln forma distributivity:

x ∨ (y ∧ z ) = (x ∨ y ) ∧ (x ∨ z )

pro libovoln x, y, z ∈ X . 3 George

David Birkhoff (1884{1944).

3.4. Svazy

37

Dkaz. Polome v de#nici (norm
ln) distributivity a = x ∨ y, b = x, c = z.

Dostaneme, e p := (x ∨ y ) ∧ (x ∨ z) = a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) = (x∨y ) ∧x] ∨ (x∨y ) ∧z]. Podle du
ln verze vty 3.3d upravme levou z hranatch z
vorek na (x ∨ y ) ∧ x = x. V prav z
vorce jet jednou uplatnme distributivitu a dostaneme p = x ∨ (x ∧ z) ∨ (y ∧ z)]. To lze s pouitm asociativity upravit na x ∨ (x ∧ z)] ∨ (y ∧ z) a z vty 3.3d je konen p = x ∨ (y ∧ z). 2 Mus ve svazu vdy existovat nejvt prvek? Pklad mnoiny re
lnch sel s bnm uspo
d
nm ukazuje, e nikoli. Plat vak n
sledujc vta:

Vta 3.7 V konenm svazu v
dy existuje nejv t a nejmen prvek. Dkaz. Oslujme prvky uvaovanho svazu (X, ) jako X = {a1, . . . , an} a

de#nujme posloupnost s1, . . . , sn induktivn pedpisem si = si−1 ∨ ai pro i = 2, . . . , n, piem s1 = a1. Tato posloupnost `roste', pesnji si  si+1 pro kad i = 1, . . . , n − 1. Navc je z de#nice ai  si pro kad i = 1, . . . , n (si je toti horn z
vorou pro ai a si−1). Pro prvek sn mus tm p
dem bt ai  sn , kde i = 1, . . . , n, a je tedy nejvtm prvkem mnoiny X . Nejmen prvek najdeme podobn. 2 Implikaci v pedch
zejc vt nen mon obr
tit: uspo
dan
mnoina s nejvtm a nejmenm prvkem jet zdaleka nemus bt svaz. Pkladem je mnoina z obr. 3.5d. Nejvt prvek svazu (existuje-li) se obvykle zna jako 1, nejmen prvek jako 0. N
sledujc tvrzen ukazuje, e se jedn
o neutr
ln prvky operac ∧ resp. ∨.

Tvrzen 3.8 M-li svaz (X, ) prvky 0 a 1, pak pro ka
d x ∈ X plat x∧1=x

a

x ∨ 0 = x.

Dkaz. Prvek 1 je nejvt, take pro libovoln x ∈ X m
me x  1. Podle

tvrzen 3.2 je x ∧ 1 = x. Podobn pro operaci ∨ a prvek 0. 2 Svaz podmnoin libovoln mnoiny A nejvt a nejmen prvek m
. Nejvtm prvkem je cel
mnoina A, nejmenm pak pr
zdn
mnoina ∅. Cvi
en

I 3.13 Dokate, e inverzn relace

uspo
d
n.

−1

k libovolnmu uspo
d
n



je opt

I 3.14 Ovte, e uspo
dan mnoiny M5 , N5 na obr. 3.7 jsou svazy, a ukate, e v nich neplat rovnost (3.1).

I 3.15 Dokate, e svaz (X, ) je distributivn, pr
v kdy pro kad a, b, c ∈ X

s vlastnost a ∧ b = a ∧ c a a ∨ b = a ∨ c plat b = c. (Mete pout vtu 3.5.) Naleznte pklad nedistributivnho svazu, kde uveden
ekvivalence neplat.

38

Kapitola 3. Uspodn a svazy

I 3.16 Nech) R je line
rn uspo
d
n na mnoin X . Mus (X, R) bt svaz? I 3.17 Ukate, e mnoina vech pirozench sel N uspo
dan
dlitelnost je svaz. Rozhodnte, zda je tento svaz distributivn. Jak je nejvt a nejmen prvek?

I 3.18 (a) Nech) D(n) je mnoina dlitel pirozenho sla n, uspo
dan


relac dlitelnosti. Dokate, e D(n) je svaz (tzv. svaz d litel sla n). (b) Nech) X je konen
mnoina pirozench sel, kter
pi uspo
d
n relac dlitelnosti tvo svaz. Mus tento svaz bt distributivn?

I 3.19 Mnoina X je uspo
d
na relac dlitelnosti. Rozhodnte: •

kter jsou maxim
ln a minim
ln prvky mnoiny X ,

zda existuje nejvt a nejmen prvek mnoiny X , • zda X je svaz, • zda X je distributivn svaz. Mnoina X sest
v
z tchto prvk: (a) X = {2, 4, 6, 14, 42}, (b) X = {2, 3, 7, 14, 42}, (c) X = {1, 2, 3, 5, 30}, (d) X = {1, 2, 3, 12, 18, 36}, (e) X = {1, 2, 3, 4, 12, 20, 60}, (f) X = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}. •

I 3.20 Urete vechny podmnoiny X svazu dlitel D(12) sla 12 s vlastnost, e mnoina X (uspo
dan
relac dlitelnosti) je svaz, ale nen to podsvaz svazu D (12).

I 3.21 Navrhnte algoritmus, kter zjist, zda je dan
uspo
dan
mnoina svazem. Sou
st n
vrhu je reprezentace vstupn uspo
dan mnoiny.

I 3.22 Pevn bod zobrazen f :

(kde X je njak
mnoina) je kad x ∈ X , pro kter je f (x) = x. Dokate, e v konenm svazu L m
mnoina pevnch bod kadho zobrazen f : L → L zachov
vajcho uspo
d
n nejvt a nejmen prvek. X →X

3.4. Svazy

39

I 3.23 Ukate, e v libovolnm svazu (X, ) pro libovolnou trojici prvk x, y,

z

plat

(x ∧ y ) ∨ (x ∧ z)  x ∧ (y ∨ z).

II 3.24 Plat-li pro prvky a, b, c svazu L rovnost (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) ∧ (b ∨ c), pak se hodnot na kad stran tto rovnice k
medin prvk a, b, c. Dokate, e L je distributivn svaz, pr
v kdy kad
trojice jeho prvk m
medi
n.

I 3.25 Mjme svaz (X, ). Obdrme opt svaz, pid
me-li k (X, ) nov nejvt prvek 1
a nejmen prvek 0
?

40

Kapitola 3. Uspodn a svazy

Kapitola 4 Booleovy algebry Z minul kapitoly vme, e soubor podmnoin libovoln mnoiny m
strukturu distributivnho svazu. Jeho struktura je ale bohat o operaci, kter
kad podmnoin piazuje jej doplnk. Distributivnm svazm s podobnou operac se k
Booleovy algebry.

4.1 Denice

Denice 4.1 Nech) (X, ) je svaz s nejmenm prvkem1 0 a nejvtm prvkem

1. Komplement prvku x ∈ X je kad prvek y , pro kter plat x∨y

= 1,

x∧y

= 0.

Jak jsme naznaili ve, pedstavu o pojmu komplement poskytuje svaz podmnoin libovoln mnoiny A, kde komplementem mnoiny B ⊂ A je prost mnoinov doplnk A−B . (Je toti jasn, e sjednocenm mnoiny B a jejho doplku je cel
mnoina A, zatmco jejich prnik je pr
zdn.) V tomto ppad je komplement uren jednoznan. Obecn tomu tak bt nemus, ale v ppadech, o kter se budeme zajmat, plat, e komplement libovolnho prvku je nejve jeden:

Tvrzen 4.2 Je-li (X, ) distributivn svaz s 0 a 1, potom ka
d prvek x ∈ X m nejve jeden komplement.

Dkaz. Nech) x ∈ X m
komplementy y a y
. Podvejme se na prvek p := y ∧ (x ∨ y
).

Podle vty 3.7 m kad konen svaz nejmen  a nejvt  prvek. Protoe v kapitole 4 budeme p
leitostn hovo
it i o nekonench svazech, zahrnujeme poadavek existence nejmen ho a nejvt ho prvku do tto a dal ch de nic. 1

41

42

Kapitola 4. Booleovy algebry

Na jednu stranu je x ∨ y
= 1, a tedy p = y . Na druhou stranu z distributivity m
me p = (y ∧ x) ∨ (y ∧ y
) = 0 ∨ (y ∧ y
) = y ∧ y
. Zkr
tka a dobe y = y ∧ y
, co podle tvrzen 3.2 znamen
, e y  y
. Zcela symetrickm zpsobem ale dostaneme y
 y , take y = y
a dkaz je u konce. 2 Svazm s 0 a 1, kde kad prvek m
njak komplement, se k
komplementrn svazy.

Denice 4.3 Booleova2 algebra je distributivn komplement
rn svaz s prvky 0 a 1. Pouv
se tak pojmu Boolev svaz.

V Booleov algebe m
tedy kad prvek x pr
v jeden komplement, kter se zna x5. U Booleovch algeber je rovn asto pijm
na konvence, kter se pidrme i my, toti znait operaci suprema jako + a operaci in#ma jako · (piem teka se stejn jako u bnho souinu obvykle vynech
v
). Pepeme-li tedy napklad de#nici komplementu v tomto novm znaen, dostaneme x + x5 = 1 a xx5 = 0. Z
kony distributivity v novm h
vu vypadaj takto: • x(y + z ) = (x · y ) + (x · z ), • x + (y · z ) = (x + y ) · (x + z ).

Prvn z nich vypad
jako `star
zn
m
' distributivita u selnch operac, prost rozn
soben z
vorky. Druh
rovnost, kter
neplat o nic mn, ale u sel 
dnou obdobu nem
. Cvi
en

I 4.1 Rozhodnte, zda mnoina X ⊂ N spolu s uspo
d
nm danm dlitelnost

je (1) svaz, (2) distributivn svaz, (3) komplement
rn svaz, (4) Booleova algebra. (a)

X

= {1, 2, 3, 12, 18, 30, 180},

(b)

X

= {1, 2, 4, 6, 7, 10, 60, 420},

(c)

X

= {1, 2, 3, 7, 6, 14, 21, 42},

(d) mnoina vech dlitel sla 90 uspo
dan
dlitelnost.

II 4.2 Ozname mnoinu vech dlitel sla n, uspo
danou relac dlitelnosti, symbolem D(n). Dokate, e D(n) je pro libovoln n distributivnm svazem (viz tak cvien 3.18). Urete, pro kter
n je D(n) Booleovou algebrou. 2 George

Boole (1815{1864).

4.2. Booleovsk potn

43

I 4.3 Nech) u, v jsou prvky line
rnho prostoru Zn2 nad Z2 . De#nujme min(u, v) jako vektor, jeho i-t
souadnice je rovna minimu z i-tch souadnic vektor u a v. Dokate, e Zn2 je Booleova algebra vzhledem k operacm u∧v u∨v

= min(u, v), = u + v + min(u, v).

4.2 Booleovsk po tn

Vta 4.4 (De Morganovy zkony) V Booleov algebe

dvojici prvk x, y ∈ A:

A

plat pro ka
dou

(a) x + y = x5 · y5, (b)

xy

= x5 + y5.

Dkaz. Dokame 
st (a), tedy e prvek x5 · y5 je komplementem prvku x + y.

Nejprve je teba uk
zat, e (x + y )+(5x · y5) = 1. K tomu pouijeme distributivitu. Ta n
m k
, e p := (x + y ) + (5x · y5) = (x + y + x5) · (x + y + y5). Z de#nice komplementu ale je x + x5 = 1, a tedy i x + x5 + y = 1. Podobn i druh
z
vorka je rovna jedn, take p = 1 · 1 = 1. Ve druh polovin dkazu 
sti (a) musme uk
zat, e prvek q := (x + y ) · (5x · y5) je roven nule. Argument je podobn: z distributivity q = x · (5x · y5)] + y · (5x · y5)], a protoe xx5 = y y5 = 0, jsou ob hranat z
vorky nulov a q = 0 + 0 = 0. $
st (b) se dokazuje symetricky. 2 Pravidla pot
n v Booleovch algebr
ch shrnuje n
sledujc vta:

Vta 4.5 Pro libovoln prvky a, b, c Booleovy algebry B plat: (1)

a + a = a,

(2)

a+b=b+a

(3)

a + (b + c) = (a + b) + c

(4)

a + (ab) = a,

(5)

a(b + c) = (ab) + (ac)

(6)

a + 0 = a,

(7)

a · 0 = 0,

(8)

51 = 0, a+a 5 = 1,

(9)

(komutativita), (asociativita), (distributivita),

44

Kapitola 4. Booleovy algebry

(10)

a 5 = a,

(11)

a+b=a 5 · 5b

(De Morganovy zkony),

a rovn
du
ln formy vech t chto tvrzen (ve kterch zam nme symboly + a · a symboly 0 a 1).

Dkaz. Vtinu tchto tvrzen jsme ji dok
zali nebo plynou pmo z de#nic.

$
st (10) plyne z toho, e de#nice komplementu je symetrick
: je-li x5 komplementem prvku x, je tak x komplementem prvku x5, a tedy x = x5. 2 Cvi
en

I 4.4 Ukate, e bod (1) vty 4.5 plyne z bod (2), (3) a (4).

4.3 Booleovy algebry podmnoin Dleitm pkladem Booleovch algeber jsou ji zmnn svazy podmnoin. Vme, e soubor vech podmnoin mnoiny X (spolu s uspo
d
nm inkluz) tvo svaz. Je to dokonce svaz distributivn (pro?), a na za
tku kapitoly jsme zjistili, e je i komplement
rn. Jedn
se tedy o Booleovu algebru. Budeme ji oznaovat symbolem 2X . (Pro jistotu upozornme, e se zde nejedn
o umocov
n sla 2.) Nulovm prvkem v tto Booleov algebe je pr
zdn
mnoina ∅, prvek 1 je cel
mnoina X . Podvejme se pro mal
n podrobnji na Booleovu algebru tvoenou vemi podmnoinami njak zvolen n-prvkov mnoiny. Tato algebra m
2n prvk. Obr. 4.1 ukazuje Hasseovy diagramy Booleovch algeber 2X , kde X probh
mnoiny {a}, {a, b}, {a, b, c} a {a, b, c, d}. Pro vt pehlednost u obr
zk 4.1c a 4.1d vynech
v
me mnoinov z
vorky. Napklad z
pis bcd tak pedstavuje podmnoinu {b, c, d}, nikoli souin b · c · d (ten je ostatn nulov). Je-li mnoina X jednoprvkov
, pak Booleova algebra 2X m
pouze dva prvky, toti 0 a 1. Pozdji uvidme, e tato algebra, kterou budeme znait symbolem B2 , pes svou jednoduchost hraje mezi Booleovmi algebrami prominentn lohu. Operace soutu, souinu a komplementu v libovoln Booleov algebe meme zapsat tabulkou, podobn jako nap. u operac v tlese. Ve zmnn algebe B2 je vsledkem tab. 4.1. + 0 1 · 0 1 x x5 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 Tabulka 4.1: Operace v Booleov algebe B2 : st
n, n
soben a komplement.

4.3. Booleovy algebry podmnoin

45 abc

{a}

{a, b} {a}

∅ (a) 2fag

{b}

ab

ac

bc

a

b

c

∅ (b) 2fa
bg

∅ (c) 2fa
b
cg

abcd abc ab

ac

a

b ∅

abd

acd

bcd

ad

bd

cd

bc c

d

(d) 2f

g

a
b
c
d

Obr
zek 4.1: $tyi Booleovy algebry tvaru 2X . Operace ve typrvkov Booleov algebe 2{a,b} zachycuje tab. 4.2, kde msto {a, b} peme 1, msto ∅ peme 0 a u mnoin {a}, {b} vynech
v
me mnoinov z
vorky. + 0 0 0

1 1 a a 1 1 b b 1 b 1 1 1 1 1 1 a a a

b b

0 a b 1 0 0 0 0 0 a 0 a 0 a b 0 0 b b 1 0 a b 1 ·

x x5

0 1

a b

b a

1 0

Tabulka 4.2: Operace v Booleov algebe 2{a,b}. Cvi
en

I 4.5 Rozhodnte, zda relace S na mnoin 2{a,b,c} je (1) re0exvn, (2) symetrick
, (3) antisymetrick
, (4) tranzitivn, (5) ekvivalence, (6) uspo
d
n: (a) x S y ⇐⇒ x & y (tedy x ⊂ y a x = y ), (b) x S y ⇐⇒ x ∩ y = ∅, (c) x S y ⇐⇒ x ∪ y = {a, b, c}.

46

Kapitola 4. Booleovy algebry

I 4.6 Pro mnoina {0, a, b, 1} spolu s operacemi + a · v tab. 4.2 netvo tleso? I 4.7 Napite tabulky operac v Booleov algebe 2{a,b,c}. I 4.8 Bu* B mnoina vech podmnoin mnoiny pirozench sel N, kter jsou konen nebo maj konen doplnk v N. Uspo
d
n na B je de#nov
no mnoinovou inkluz. Ukate, e B je Booleova algebra.

4.4 Dva pohledy na Booleovu algebru De#novali jsme Booleovu algebru jako speci
ln ppad svazu, obecnji uspo
dan mnoiny. Z danho uspo
d
n na tto mnoin jsme teprve dodaten odvodili operace soutu, souinu a komplementu (pomoc pojm supremum a in#mum). Znalost samotnho uspo
d
n n
m poskytuje plnou informaci o tchto operacch. K vci bychom ale mohli pistoupit i z druh strany a de#novat Booleovu algebru pmo jako mnoinu M s bin
rnmi operacemi + a · a un
rn operac komplement, kter spluj urit
pravidla. Inspirov
ni tvrzenm 3.3.2 bychom pak mohli denovat uspo
d
n  na mnoin M pedpisem a  b,

pr
v kdy a · b = a.

(4.1)

Pokud byly podmnky kladen na nae operace vhodn zvoleny, bude mnoina M s tmto uspo
d
nm distributivn komplement
rn svaz | jinmi slovy Booleova algebra podle na star de#nice. Cvien 4.9 ukazuje, e vhodnmi pedpoklady jsou napklad podmnky ve vt 4.5. Cvi
en

I 4.9 Nech) B je mnoina s bin
rnmi operacemi + a ·, s un
rn operac kom-

plement (kter
prvku x piazuje prvek x5) a s urenmi prvky 0 a 1. Dokate, e pokud pro tyto operace a prvky plat podmnky (1) a (11) vty 4.5, pak mnoina M spolu s uspo
d
nm danm pedpisem (4.1) je Booleova algebra podle na dosavadn de#nice.

4.5 Atomy Denice 4.6 Atom Booleovy algebry (A, ) je libovoln prvek a ∈ A takov,

e jedinm prvkem z ∈ A, pro kter plat z ≺ a, je prvek z = 0. Mnoinu vech atom Booleovy algebry A zname At(A).

4.5. Atomy

47

Vimnme si, e ekvivalentn by lo atomy de#novat jako prvky, jejich bezprostednm pedchdcem je prvek 0. Napklad Booleova algebra 2{a,b} m
atomy {a} a {b}. Snadno se nahldne, e kad
konen Booleova algebra obsahuje aspo jeden atom: plat dokonce n
sledujc silnj tvrzen. Pozorovn 4.7 Pro ka
d prvek x = 0 konen Booleovy algebry A existuje atom a ∈ At(A) takov,
e a  x. Dkaz. Nen-li x atom, zvolme njakho jeho bezprostednho pedchdce x1 = 0. Nen-li ani x1 atom, zvolme jeho bezprostednho pedchdce x2 = 0. Iterac tohoto postupu musme po konenm potu krok narazit na njak atom a, a pro ten jist plat a  x. 2 Na druhou stranu existuj nekonen Booleovy algebry, kter neobsahuj ani jeden atom (viz cvien 4.12). Cvi
en

I 4.10 Kter prvky jsou atomy v n
sledujcch Booleovch algebr
ch:

(a) v Booleov algebe podmnoin 2{a,b,c}, (b) obecnji v algebe 2X , kde X je njak
mnoina, (c) ve svazu dlitel sla 30? I 4.11 Urete atomy Booleovy algebry ze cvien 4.8. II 4.12 Uvaujme n
sledujc relaci ∼ na mnoin P (N) vech podmnoin mnoiny pirozench sel N: A ∼ B, pr
v kdy symetrick rozdl A B je konen
mnoina. (a) Dokate, e ∼ je ekvivalence. (b) Ozname tdu ekvivalence ∼ obsahujc prvek A symbolem A]. De#nujme na tchto td
ch relaci  pedpisem A]  B ], pr
v kdy A − B je konen
mnoina. Ukate, e tato de#nice je korektn, tj. e nez
le na vbru reprezentant td A] a B ]. (c) Dokate, e relace  je uspo
d
n. (d) Dokate, e mnoina td ekvivalence ∼ s uspo
d
nm  je Booleova algebra, kter
nem

dn atomy. Popite spojen, prsek a komplement v tto Booleov algebe.

48

Kapitola 4. Booleovy algebry

4.6 Stoneova vta o reprezentaci De#nujme nejprve pojem isomor#smu mezi uspo
danmi mnoinami. Obecn eeno je isomor#smus bijekce, kter
zachov
v
`ve podstatn'. U uspo
danch mnoin mus zachov
vat uspo
d
n, zatmco napklad u grup jde o jednotkov prvek a grupovou operaci (viz cvien 2.2).

Denice 4.8 Isomorsmus uspo
danch mnoin (X, ) a (Y, ) je bijekce f :

takov
, e pro kad a, b ∈ X plat a  b pr
v kdy f (a)  f (b). Tyto uspo
dan mnoiny jsou isomorfn (ps
no (X, )  (Y, )), pokud mezi nimi existuje isomor#smus. X→Y

Jak ukazuje cvien 4.13, isomor#smus dvou Booleovch algeber jakoto uspo
danch mnoin zachov
v
i vechny dosud uvaovan operace (nap. supremum).

Denice 4.9 Nech) B = {a1, . . . , ak } je konen
mnoina prvk svazu (X, ) s nejmenm prvkem 0. Je-li k > 1, de#nujme supremum mno
iny B jako sup B =





. . . ((a1 ∨ a2 ) ∨ a3 ) ∨ . . . ∨ ak .

(4.2)

D
le de#nujme sup ∅ = 0, sup {a} = a.

Tvrzen 4.10 Nech (X, ) je svaz s nejmenm prvkem 0 a B = {a1 , . . . , ak } ⊂

X.

Potom:

(1) sup B je nejmen horn zvora mno
iny B , tj. nejmen prvek s vlastnost ai  x pro ka
d i,

x ∈ X

(2) ve vzorci (4.2) nezle
 na poad prvk a1 , . . . , ak ani na jejich uzvorkovn (a m tak smysl pst sup B = a1 ∨ · · · ∨ ak ).

Dkaz. Cvien 4.15. 2

Stoneova3 vta o reprezentaci charakterizuje vechny konen Booleovy algebry.

Vta 4.11 (Stoneova vta) Ka
d konen
Booleova algebra (A, ) je isomorfn s Booleovou algebrou (2At(A) , ⊂). Dkaz. Zkonstruujeme isomor#smus mezi uspo
danmi mnoinami (A, ) a (2At(A) , ⊂). Konkrtn pro x ∈ A nech) x∗ 3 Marshall

= {a ∈ At(A) : a  x}.

Harvey Stone (1903{1989).

4.6. Stoneova vta o reprezentaci

49

Zobrazen x → x∗ piazuje kadmu prvku x ∈ A mnoinu atom algebry A. Potebujeme uk
zat, e se jedn
o bijekci mezi A a 2At(A) a e plat x  y , pr
v kdy x∗ ⊂ y ∗. Dkaz rozdlme do ty 
st. (1) Pokud x  y , pak x∗ ⊂ y ∗. Toto je nejleh 
st dkazu. Pro kad a ∈ x∗ plat a  x  y a z tranzitivity je a ∈ y ∗. Jinak eeno, x∗ ⊂ y ∗. (2) Pokud x∗ ⊂ y ∗, pak x  y . Nech) naopak x  y . Podle tvrzen 3.2 mus bt xy = x. Vimnme si, e x = x · 1 = x(y + y5) = xy + xy5,

z eho plyne, e xy5 =  0. Najdme podle pozorov
n 4.7 atom a  xy5. Z de#nice in#ma je a  x a tedy a ∈ x∗ . D
le je a  y5 a tm p
dem neme bt a  y , protoe bychom dostali a  y y5 = 0 a je vak atom. Take a ∈/ y ∗. Atom a tedy dosvduje, e x∗ nen podmnoinou y ∗. Tm je poadovan
implikace dok
z
na. (3) Zobrazen x → x∗ je prost. Vezmme x =  y ∈ A. Z antisymetrie mus bt bu* x  y nebo y  x nech) plat prvn varianta. Podle obmny implikace v bodu (2) dost
v
me, e x∗ nen podmnoinou y ∗. Speci
ln x∗ = y ∗ a tvrzen je dok
z
no. (4) Zobrazen x → x∗ je na. Hled
me vzor libovoln mnoiny atom B = {a1 , . . . , ak } ⊂ At(A), tedy takov b ∈ A, e b∗ = B . Dok
eme, e tuto vlastnost m
prvek b = sup B . Pro kad atom ai ∈ B jist plat, e ai  b. Ot
zkou je, zda tato nerovnost me platit i pro njak atom c ∈/ B . Dejme tomu, e ano, tedy c  b. Rozepime sup B s pouitm symbolu + a zjitn, e na z
vork
ch nez
le a meme je vynechat: c · b = c · (a1 + · · · + ak ) = ca1 + · · · + cak

= 0 + · · · + 0 = 0,

piem pedposledn rovnost vych
z z faktu, e in#mum dvou rznch atom je nutn 0. Dok
zali jsme, e c · b = c, a tedy c ∈/ b∗ . Z toho ji plyne, e b∗ = B . Dkaz vty je proveden. 2

Dsledek 4.12 Poet prvk konen Booleovy algebry A je v
dy mocnina sla 2, konkrtn 2m, kde m = |At(A)|. 2

Dsledek 4.13 Dv konen Booleovy algebry se stejnm potem prvk jsou isomorfn.

Dkaz. Nech) A, B jsou Booleovy algebry (s uspo
d
nm, kter nebudeme vslovn zmiovat) a |A| = |B| = n. Vme, e A  2At(A) a B  2At(B) , kde uvaovan algebry podmnoin jsou uspo
d
ny inkluz. Ovem mnoiny At(A) a At(B) jsou stejn velk (jejich velikost je log2 n), take meme zvolit njakou

50

Kapitola 4. Booleovy algebry

bijekci g : At(A) → At(B). Tato bijekce podle cvien 4.16 indukuje isomor#smus 2g mezi Booleovmi algebrami 2At(A) a 2At(B) . Celkem vzato dost
v
me A  2At(A)  2At(B)  B

a sloenm tchto t isomor#sm je isomor#smus mezi A a B. 2 Cvi
en

I 4.13 Ukate, e jsou-li dv Booleovy algebry isomorfn (jako uspo
dan mno-

iny), pak pslun isomor#smus zachov
v
i operace suprema, in#ma a komplementu, tedy napklad f (x + y ) = f (x) + f (y ) (kde se ovem symbol + na kad stran rovnice vztahuje k jin Booleov algebe!)

I 4.14 Nech) B a C jsou Booleovy algebry. Ukate, e bijekce f : B → C splujc

f (x + y )

= f (x) + f (y ) a f (5x) = f (x) pro vechna Booleovch algeber.

x, y ∈ B

je isomor#smus

I 4.15 Dokate tvrzen 4.10. I 4.16 Nech) g :

je bijekce mezi konenmi mnoinami. Zobrazen indukuje zobrazen 2 : 2 → 2Z , dan pedpisem Y → Z g

g

Y

2g (A) = {g(a) : a ∈ A} pro libovoln A ⊂ Y . Ukate, e 2g je isomor#smus Booleovch algeber (2Y , ⊂) a (2Z , ⊂).

I 4.17 Ukate, e jsou-li g : X1 → X2 a h : X2 → X3 isomor#smy uspo
danch mnoin (X1, 1 ) a (X2, 2 ), resp. (X2 , 2) a (X3, 3 ), potom sloen g ◦ h : X1 → X3 je isomor#smem uspo
danch mnoin (X1 , 1 ) a (X3 , 3 ). I 4.18 (a) Najdte vechny navz
jem neisomorfn uspo
dan mnoiny o 3 prvcch.

(b) Dokate, e stejn velk konen line
rn uspo
dan mnoiny jsou isomorfn. (c) Najdte dv neisomorfn line
rn uspo
d
n mnoiny vech pirozench sel.

4.7. Direktn souin

51

4.7 Direktn souin Dsledkem Stoneovy vty je, e Booleovy algebry podmnoin jsou vlastn (a na isomor#smus) jedinmi pedstaviteli konench Booleovch algeber. Uvidme, e s pomoc n
sledujcho pojmu lze tento fakt vyj
dit v jet minimalistitj podob. Denice 4.14 Direktn souin Booleovch algeber (A1, 1 ) a (A2, 2 ) je kartzsk souin A1 × A2 s uspo
d
nm ≤ de#novanm `po slok
ch': (b1 , b2 ) ≤ (c1, c2), pokud b1 1 c1 a b2 2 c2, kde (b1 , b2 ) a (c1 , c2) jsou prvky souinu A1 × A2. Je-li A1 = A2, mluvme tak o direktn mocnin Booleovy algebry A1 . Direktn souin Booleovch algeber je s
m Booleovou algebrou. Abychom toto tvrzen dok
zali, musme z de#nic ovit, e je to komplement
rn distributivn svaz. Pedevm je snadn si vimnout, e v souinu A1 × A2 existuj suprema: supremem dvojic (b1 , b2 ) a (c1 , c2) je dvojice (b1 ∨ c1 , b2 ∨ c2 ). (Dokate.) Podobn je tomu s in#my, take A1 ×A2 je svaz. M
prvek 0, jeho sloky jsou nulov prvky v A1 resp. A2, a podobn de#novan prvek 1. Distributivita a komplement
rnost plynou z faktu, e tyto vlastnosti maj algebry A1 resp. A2. Podrobn dkaz nech
v
me na cvien 4.19. P klad 4.15 Uvame dvouprvkovou Booleovu algebru B2 = {0, 1} z obr. 4.1(a). Direktn mocnina B22 sest
v
ze vech dvojic prvk 0 a 1. M
tedy 4 prvky, kter lze ps
t jako 00, 01, 10 a 11. Obecn n-tou direktn mocninu B2n Booleovy algebry B2 lze ztotonit s mnoinou vech slov, tvoench n-tic symbol 0 a 1. Tato slova jsou uspo
d
na `po slok
ch', tj. (a1 a2 . . . an ) ≤ (b1b2 . . . bn ), pokud ai  bi pro kad i. Tvrzen 4.16 Je-li X n-prvkov mno
ina, pak 2X  B2n. Dkaz. Bez jmy na obecnosti (dky cvien 4.16) meme pedpokl
dat, e X = {1, . . . , n}. Pro i ∈ X uvame `slovo' wi = (0 . . . 010 . . . 0) s jednikou pr
v na i-tm mst. Isomor#smus f : 2X → B2n je pak d
n pedpisem f (Y ) =

X

wi ,

i∈Y

P

kde Y ∈ 2X a symbol oznauje st
n v Booleov algebe B2n . Je snadn nahldnout, e f je opravdu isomor#smus. 2 Dsledek 4.17 Ka
d konen Booleova algebra je isomorfn s Booleovou algebrou B2n pro n jak n. Dkaz. Plyne pmo ze Stoneovy vty a tvrzen 4.16. 2

52

Kapitola 4. Booleovy algebry

Cvi
en

I 4.19 Ukate podrobn, e direktn souin Booleovch algeber je Booleova algebra. Jak jsou jej atomy?

I 4.20 Urete hodnoty operac +, · a komplement v Booleov algebe B22 . V-

sledek porovnejte s tabulkou 4.2.

4.8 Booleovsk funkce

Denice 4.18 Booleovsk funkce n prom nnch je libovoln
funkce f : B2n →

B2 .

Pkladem booleovsk funkce 2 promnnch je funkce +, kterou u zn
me. Jej hodnoty ukazuje prvn 
st tab. 4.1. Obvyklej tvar tabulky m
jeden 
dek pro kadou kombinaci hodnot promnnch, jako v tab. 4.3, kter
ukazuje krom funkce + i funkce · a komplement. Jedn
se o tzv. pravdivostn tabulky. x y

0 0 1 1

0 1 0 1

x+y

x y

0 1 1 1

0 0 1 1

0 1 0 1

x·y

0 0 0 1

x x5

0 1 1 0

Tabulka 4.3: Hodnoty booleovskch funkc +, · a komplement.

Tvrzen 4.19 Mno
ina Fn vech booleovskch funkc n prom nnch s uspod-

nm ≤ danm pedpisem f ≤ g,

pokud pro ka
d x ∈ B2n plat f (x)  g (x),

je Booleova algebra.

Dkaz. Cvien 4.23. 2

Z
kladn booleovsk funkce je mon kombinovat do funkc sloitjch (teba xy5 + x5y ). To je idea booleovskch polynom, de#novanch n
sledujcm rekurentnm zpsobem.

Denice 4.20 (1) Vrazy 0, 1 a xi (pro libovoln i = 1, . . . , n) jsou booleovsk polynomy v promnnch x1 , . . . , xn .

4.8. Booleovsk funkce

53

(2) Jsou-li f a g booleovsk polynomy v promnnch (f + g ), (f · g ) a g5 rovn. (3) Dva booleovsk polynomy v promnnch uruj stejnou booleovskou funkci.

x1 , . . . , xn ,

x1 , . . . , xn

pak vrazy

jsou si rovny, pokud

P klad 4.21 Vraz x⊕y := x5y + xy5 (tzv. symetrick rozdl x a y) je booleovsk

polynom v promnnch x, y . Plat ovem tak x ⊕ y = (x + y )(5x + y5). Meme se o tom pesvdit pravdivostn tabulkou (tab. 4.4). Dal monost je pm vpoet podle booleovskch z
sad. Z distributivity toti m
me (x + y )(5x + y5) = xx5 + xy5 + y x5 + y y5 = 0 + xy5 + y x5 + 0 = x5y + xy5. 2 Dalm dleitm pkladem booleovskho polynomu je implikace de#novan
vztahem x → y := x5 + y . x y

0 0 1 1

0 1 0 1

x⊕y

0 1 1 0

x → y,

(x + y )(5x + y5) 0 1 1 0

Tabulka 4.4: Booleovsk polynomy se stejnou pravdivostn tabulkou. Cvi
en

I 4.21 Sestrojte pravdivostn tabulky booleovskch funkc, kter jsou ureny n
sledujcmi polynomy v promnnch x a y : (a)

x → y,

(b) y + xy5.

I 4.22 Je vraz x2 + x2 + x2 booleovskm polynomem v promnnch x1 , . . . , x5 ? Je roven booleovskmu polynomu x2 ? I 4.23 Dokate tvrzen 4.19. Popite suprema, in#ma a komplementy v Booleov algebe Fn .

54

Kapitola 4. Booleovy algebry

I 4.24 Kolik prvk m
mnoina F2 vech Booleovskch funkc dvou promn-

nch? Kolik mnoina Fn ?

I 4.25 Nech) | je Sheerova4 funkce B22 → B2 de#novan
tabulkou x y

x|y

0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Ukate, e pomoc She%erovy funkce je mon vyj
dit komplement, spojen a prsek.

4.9 Soutov a souinov tvar

Denice 4.22 Literl v promnnch x1 , . . . , xn je libovoln booleovsk polynom ve tvaru xi nebo x5i , kde i = 1, . . . , n. Souinov klauzule je booleovsk polynom, kter je souinem konen mnoha liter
l. Booleovsk polynom p je v soutovm tvaru5 , je-li soutem souinovch klauzul. Du
ln pojmy (soutov
klauzule, souinov tvar) jsou de#nov
ny n
sledujcm pirozenm zpsobem. Soutov klauzule je booleovsk polynom, kter je soutem konen mnoha liter
l. Polynom p je v souinovm tvaru, pokud souinem soutovch klauzul. P klad 4.23 Polynom x1 x2 + x1 x53 je zaps
n v soutovm, nikoli vak soui-

novm tvaru. Polynom x1(x2 + x53 ), kter je mu roven, je zaps
n v souinovm tvaru. Polynom x1 (x2 + x53 ) + x1 x2 nen ani v jednom z tchto tvar.

Naskt
se ot
zka, zda kadou booleovskou funkci je mon vyj
dit booleovskm polynomem v soutovm tvaru. Uvidme, e plat mnohem vc.

Denice 4.24 Booleovsk polynom p v promnnch

je v plnm soutovm tvaru, jestlie je v soutovm tvaru a kad ze stanc (souinovch klauzul) obsahuje pro kad i = 1, . . . , n bu*to liter
l xi nebo liter
l x5i (ne vak oba). Symetricky: p je v plnm souinovm tvaru, jestlie je v souinovm tvaru a kad z initel (soutovch klauzul) obsahuje pro kad i = 1, . . . , n liter
l xi nebo x5i. x1 , . . . , xn

P klad 4.25 Polynom x5y +xy5 v promnnch x, y je zaps
n v plnm soutovm tvaru. Jeho alternativn z
pis, (x + y )(5x + y5), je v plnm souinovm tvaru.

Maurice Sheffer (1882{1964). Msto `soutov tvar' se tak pouv o nco odtaitj  termn disjunktivn normln forma (DNF) msto `souinov tvar' pak konjunktivn normln forma (KNF). 4 Henry 5

4.9. Soutov a souinov tvar

55

Vta 4.26 Ka
dou nekonstantn booleovskou funkci booleovskm polynomem vm) tvaru.

n

prom nnch lze zapsat prom nnch v plnm soutovm (plnm souinon

Dkaz. Dok
eme nejprve 
st o plnm soutovm tvaru. Uvame libovoln

= (a1 , . . . , an ) ∈ B2n . De#nujme souinovou klauzuli pa jako souin liter
l xi pes vechna i takov
, e ai = 1, a liter
l x5i pes vechna i takov
, e ai = 0. Kad pa je tedy booleovsk polynom v plnm soutovm tvaru, kter je navc nenulov jen pro jedin z ∈ B2n (toti z = a). Mjme nyn booleovskou funkci f , kterou chceme reprezentovat booleovskm polynomem v plnm soutovm tvaru, a nech) A ⊂ B2n je mnoina vech z ∈ B2n , pro n je f (z) = 1. Polome-li a

pf

=

X

pa ,

a∈A

pak pf je booleovsk polynom v plnm soutovm tvaru a oividn nabv
stejnch hodnot jako funkce f . Vzhledem k tomu, e f nen konstantn nulov
funkce, nen souet v de#nici polynomu pf pr
zdn. Pokud jde o vyj
den v plnm souinovm tvaru, sta vyj
dit (nekonstantn) funkci f5 polynomem pf v plnm soutovm tvaru a upravit komplement pf podle de Morganova pravidla do souinovho tvaru. 2 Jednoduchm dsledkem vty 4.26 je odpov* na ve poloenou ot
zku: kad
booleovsk
funkce m
vyj
den ve tvaru polynomu v soutovm tvaru (nepoadujeme-li pln soutov tvar, plat toto tvrzen i pro konstantn funkce).

P klad 4.27 Vyj
dme v plnm soutovm a souinovm tvaru booleovskou funkci f v promnnch x, y , z, zadanou pravdivostn tabulkou 4.5. x

y

z

0 0 0 0 0 1

f (x, y, z )

0 0

0 1 0 0 1 1

1 1

1 1 0

1

1 0 0 1 0 1 1 1 1

0 0 0

Tabulka 4.5: Pravdivostn tabulka funkce f . '
dky tabulky, kter v dkazu vty 4.26 odpovdaj mnoin A, jsou zn
zornny tun. Prvn z nich nap. odpovd
prvku (010) ∈ B23 , take pslun


56

Kapitola 4. Booleovy algebry

klauzule p(010) je x5y z5. (Ovte, e x5y z5 nabv
nenulov hodnoty pr
v pro tento jedin prvek.) Podobnmi leny pispj i zbyl dva tun 
dky, take vyj
den funkce f v plnm soutovm tvaru je pf

= x5y z5 + x5yz + xy z5.

Vyj
dme f jet v plnm souinovm tvaru. Funkce f5 m
hodnotu 1 vude tam, kde f m
hodnotu 0. Snadno tedy vidme, e pf = x5y5z5 + x5y5z + xy5z5 + xy5z + xyz.

(Kad
z pti klauzul zde odpovd
jednomu netunmu 
dku.) N
s ale zajm
souinov tvar pro funkci f . Vezmeme tedy komplement pf : pf = x5y5z5 + x5y5z + xy5z5 + xy5z + xyz = x5y5z5 · x5y5z · xy5z5 · xy5z · xyz = (x + y + z)(x + y + z5)(5x + y + z)(5x + y + z5)(5x + y5 + z5).

P klad 4.28 Upravme do plnho soutovho tvaru polynom f (x, y ) = ((5 xy ) · x5) + y.

Mohli bychom sestrojit tabulku a postupovat stejn jako v minulm pkladu, ale uk
eme een s vyuitm booleovskho pot
n. Nejprve se zbavme komplementu v prvn z
vorce: f (x, y ) = ((5 x + y5) · x5) + y = (x + y5)5 x+y = xx5 + y5x5 + y = x5y5 + y.

Vsledn polynom je sice v soutovm tvaru, ne vak v plnm soutovm tvaru, protoe druh
klauzule neobsahuje 
dn liter
l promnn x. Pouijeme trik: vyn
sobme tuto klauzuli vrazem x + x5 = 1 a upravme. Hodnoty funkce se tm nezmn. f (x, y ) = x5y5 + y

= x5y5 + y (x + x5) = x5y5 + xy + x5y, a to je tak hledan vyj
den polynomu f v plnm soutovm tvaru. Cvi
en

I 4.26 Rozhodnte, zda jsou n
sledujc booleovsk polynomy v soutovm resp. souinovm tvaru: (a) x1 x2 + x3 x4 , (b) x1 (x1 + x51 ),

4.9. Soutov a souinov tvar (c) (d)

57

x1 + x2 , x1 x2 x3 x4 .

I 4.27 Vyj
dete booleovsk funkce f (x, y, z) a g(x, y, z) polynomem (a) v pl-

nm soutovm a (b) v plnm souinovm tvaru. x

0 0 0 0 1 1 1 1

y

0 0 1 1 0 0 1 1

z

0 1 0 1 0 1 0 1

f (x, y, z )

x

y

z

g (x, y, z )

0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 I 4.28 Najdte 2 rzn
vyj
den v soutovm tvaru pro booleovsk polynom x(y + z ).

I 4.29 Plat vta 4.26 i pro konstantn booleovsk funkce? Lze funkci s kon-

stantn hodnotou 1 (v n promnnch) zapsat v plnm soutovm tvaru?

I 4.30 Peve*te do plnho soutovho a plnho souinovho tvaru n
sledujc booleovsk polynomy v promnnch x, y, z: (a) x → (y → x), (b) x ⊕ (y → z), (c) y (x + y5z), (d) ((5xy ) ⊕ z)((xz) → y ).

I 4.31 Peve*te booleovsk polynomy do plnho souinovho tvaru, a to (i) pomoc booleovskho kalkulu, (ii) pomoc tabulky: (a) x → ((y + x5z) ⊕ z5), (b) ((xy5) ⊕ (y z5)) ⊕ (zx5).

I 4.32 Kolik je Booleovskch funkc n promnnch, jejich pln souinov tvar je z
rove tvarem soutovm?

II 4.33 Dokate, e pro kadou Booleovskou funkci je z
pis v plnm soutovm tvaru jednoznan.

58

Kapitola 4. Booleovy algebry

Kapitola 5 Grafy Touto kapitolou zan
druh

st naeho textu, kter
je vnov
na teorii graf. Sezn
mme se v n s nktermi z
kladnmi grafovmi pojmy.

5.1 Denice Denice 5.1 Graf ;V  , piem

2

G

je dvojice G = (V, E ), kde V je konen
mnoina a E ⊂  

V

 y} 2 = {{x, y} : x, y ∈ V a x = je mnoina vech dvouprvkovch mnoin (neuspodanch dvojic ) prvk mnoiny V . Prvky mnoiny1 V nazv
me vrcholy (asto tak uzly ), prvky mnoiny E pak hrany grafu G. Vrcholy x, y ∈ V jsou sousedn, pokud {x, y} ∈ E .

V obvyklm zn
zornn grafu jsou vrcholy zastoupeny body v rovin a kad
hrana {x, y} arou spojujc pslunou dvojici bod jako na obr. 5.1. Potebujeme-li se odk
zat na mnoinu vrchol resp. hran njakho grafu G, pouijeme z
pis V (G) resp. E (G). Vimnme si, e nae de#nice grafu neumouje, aby mezi dvma vrcholy vedla vce ne jedna hrana (tzv. nsobn hrany ). Nepovoluje tak tzv. smyky, tj. hrany, kter spojuj vrchol se sebou samm. V nkterch situacch je vhodnj uvaovat grafy, kter n
sobn hrany nebo smyky maj. My se vak zatm pidrme na jednoduch de#nice. Dal dleit zjitn je, e nae grafy jsou neorientovan, jejich hrany nemaj smr, protoe jsou de#nov
ny jako neuspodan dvojice vrchol. Nkdy budeme pro jednoduchost zapisovat hranu {x, y} prost jako xy  je ale teba mt na pamti, e v neorientovanm grafu nen rozdl mezi hranami xy a yx. Ustlen oznaen V , E pochz z anglick terminologie: anglick termn pro vrchol je vertex, pro hranu edge. 1

59

60

Kapitola 5. Grafy 4

4

3 8

7

5

6

1

5

2

(a)

3

1

(b)

2

Obr
zek 5.1: Pklady graf. Budeme tak uvaovat pedevm o konench grafech, tedy takovch, jejich mnoina vrchol je konen
. (Mus pak bt konen
i mnoina hran?) Pojem neorientovanho grafu je velice blzko pojmu symetrick relace. Je-li R antire0exvn2 symetrick
relace na mnoin X , pak j lze piadit neorientovan graf G s mnoinou vrchol V (G) = X , ve kterm prvky x, y ∈ X jsou spojeny hranou (tedy {x, y} ∈ E (G)), pokud x R y . Tato korespondence plat i opan. Lze dokonce i odstranit poadavek antire0exivity, pokud ovem v grafu G povolme smyky.

5.2 Nkter zkladn grafy Uk
eme si pklady graf, kter jsou natolik dleit, e si zaslouily vlastn jmna a oznaen. Nech) n je pirozen slo a ozname n] = {1, . . . , n}. Vechny d
le de#novan grafy maj mnoinu vrchol n]. pln graf na n vrcholech (zna se Kn ) obsahuje jako hrany vechny neuspo
dan dvojice prvk n], take V (Kn ) = n],   n] . E (Kn ) =

2

Diskrtn graf

Dn

na n vrcholech nem

dn hrany:

V (Dn ) = n], E (Dn ) = ∅. 2

K6

D6

Relace R je antireexvn, pokud pro dn x neplat x R x.

5.3. Isomorsmus a podgrafy Cesta

Pn

61

na n vrcholech je de#nov
na takto:

V (Pn ) = n], E (Pn ) = {{i, i + 1} : 1 ≤ i < n}.

6 P6

Kru
nice

Cn

1

na n ≥ 3 vrcholech vznikne pid
nm jedn hrany:

V (Cn ) = n], E (Cn ) = E (Pn ) ∪ {{1, n}}.

C6

5.3 Isomorsmus a podgrafy Podvejme se na dvojici graf G, H , zn
zornnch na obr. 5.2. Jsou to rozhodn rzn grafy. Nejde ani tak o to, e se li zpsob nakreslen | kad graf lze nakreslit mnoha zpsoby, a nez
le na tom, zda jsou 
ry pedstavujc hrany rovn i zda se teba k. Grafy G, H jsou nicmn rzn u proto, e maj rzn mnoiny vrchol V (G) = {1, 2, 3, 4, 5}

a

V (H ) = {a, b, c, d, e}.

Neme tedy jt o toto
n grafy. Je to ale jedin rozdl? Jinmi slovy, bylo by mon vrcholy grafu H `peznait' tak, abychom dostali pesn graf G? Tato ot
zka smuje k pojmu isomor#smu graf. $ten
e, kter zn
de#nici isomor#smu grup (kap. 2) nebo uspo
danch mnoin (kap. 4) by de#nice pro grafy nemla pekvapit.

Denice 5.2 Isomorsmus graf G a H je bijekce f : V (G) → V (H ), pro kterou

plat, e dvojice {x, y} je hranou grafu G, pr
v kdy dvojice {f (x), f (y )} je hranou grafu H . Grafy G, H , mezi ktermi existuje isomor#smus, jsou isomorfn (ps
no G  H ). Grafy na obr. 5.2 isomorfn jsou: sta uv
it bijekci, kter
prvky 1, 2, 3, 4, 5 zobraz po ad na prvky a, b, c, d, e. (Ovte podmnku v de#nici isomor#smu.) Tyto grafy ovem nejsou isomorfn s 
dnm z graf na obr. 5.1. N
sledujc de#nice popisuje situaci, kdy je jeden graf `obsaen' v grafu jinm.

Denice 5.3 Graf H je podgrafem grafu G (ps
no H

V (G )

a E (H ) ⊂ E (G).

⊂ G),

pokud V (H )

⊂

62

Kapitola 5. Grafy 4

b

5

d

3

e a

1

(a)

2

c

(b)

Obr
zek 5.2: Rzn, ale isomorfn grafy. Silnj variantou pojmu podgrafu je pojem indukovanho podgrafu, u kterho vyadujeme, aby obsahoval vechny hrany, kter ve `vtm' grafu na dan mnoin vrchol existuj:

Denice 5.4 Graf ;HV (jeH )indukovanm podgrafem grafu G, pokud V (H ) ⊂ V (G)

a E (H ) = E (G) ∩ 2 . Kad
mnoina X ⊂ V (G) tedy uruje pr
v jeden indukovan podgraf H grafu G takov, e V (H ) = X . Tomuto podgrafu k
me indukovan podgraf na mno
in X . Graf na obr. 5.2a je napklad podgrafem grafu na obr. 5.1b, ale nen jeho indukovanm podgrafem. Cvi
en

I 5.1 Dokate, e konen grafy s rznm potem vrchol nemohou bt isomorfn.

I 5.2 Dokate, e relace `bti isomorfn' na mnoin vech konench graf je ekvivalence.

I 5.3 Najdte isomor#smus mezi grafy na obr. 5.3. (Poznamenejme, e graf,

kter je s nimi isomorfn, se obvykle oznauje symbolem K3,3 .)

I 5.4 Kolik hran maj grafy Kn, Dn, Pn a Cn? II 5.5 Bu* G neorientovan graf (bez smyek a n
sobnch hran) na 6 vrcholech.

Dokate, e G obsahuje mnoinu U t vrchol takovou, e indukovan podgraf na U je diskrtn nebo pln graf. (Jde o velmi speci
ln ppad slavn Ramseyovy v ty.)

5.4. Stupn

63 5

1

6

3

b

2

4

c

f

a

e d

Obr
zek 5.3: Dva isomorfn grafy.

5.4 Stupn

Denice 5.5 Stupe! vrcholu v grafu G je poet hran grafu G, kter obsahuj vrchol v. Zna se dG(v).

V grafu G1 na obr. 5.1a je napklad dG1 (v) = 3 pro kad vrchol v.

Pozorovn 5.6 V grafu o n vrcholech je stupe! ka
dho vrcholu nejve n − 1. N
sledujc zajmav
vta k
, e 
dn graf neme mt lich poet vrchol lichho stupn. V anglitin se j nkdy k
Handshaking lemma, lemma o pod
n ruky, protoe ji meme parafr
zovat n
sledovn. Dejme tomu, e na njak oslav se host navz
jem vtaj pod
nm ruky, ne vak nutn kad s kadm (teba proto, e se vichni neznaj). Pak poet lid, kte si potesou rukou s lichm potem osob, bude za vech okolnost sud.

Vta 5.7 Poet vrchol lichho stupn je v ka
dm grafu sud. Dkaz. Nech) S je souet stup vech vrchol v grafu G: S

=

X

v∈V (G)

dG (v ).

Kad
dvojice (v, e), kde e je hrana obsahujc vrchol v, k slu S pispje jednikou. Kad
hrana m
ovem dva konce a pispv
tak pr
v dvakr
t. Jinak eeno, S = 2m, kde m je poet hran grafu G. $slo S je tedy sud a z toho u plyne tvrzen vty.

2

Cvi
en

I 5.6 Urete stupn vrchol v grafech Kn, Dn, Pn a Cn.

64

Kapitola 5. Grafy

5.5 Soubor stup Nech) G je graf (i nad
le bez smyek a n
sobnch hran). Soubor stup! nebo tak sk"re grafu G je posloupnost sel, kterou zsk
me, kdy seadme stupn vech vrchol v grafu G od nejvtho k nejmenmu. Napklad sk&re grafu na obr. 7.1(a) je (3, 1, 1, 1) a graf na obr. 7.1(b) m
sk&re (2, 2, 2, 1, 1). Budeme se zabvat pedevm ot
zkou, kter nerostouc posloupnosti sel jsou grafov, tj. maj tu vlastnost, e jsou souborem stup njakho grafu. Je toti jasn, e nkter nerostouc posloupnosti sel grafov nejsou, teba (6, 6, 6) nebo (2, 3). Na druhou stranu, jak ukazuje cvien 5.8, jedn grafov posloupnosti me obecn odpovdat nkolik neisomorfnch graf. Pi letmm pohledu na cvien 5.10 se ukazuje, e zodpovzen tto ot
zky metodou pokusu a omylu me bt n
ron kol (zkuste to!). (innm n
strojem je vak n
sledujc vta.

Vta 5.8 Nech d = (d1, . . . , dn) je nerostouc posloupnost a n ≥ 2. Posloupnost d je grafov, prv kdy
je grafov posloupnost d
= (d2 − 1, d3 − 1, . . . , dd +1 − 1, dd +2 , . . . , dn). Dkaz. `⇐': Nech) je d
na posloupnost d a nech) d
je sk&re grafu G
. Pidejme 1

1

ke grafu G
nov vrchol v a spojme jej hranami s d1 vrcholy nevych stup. Vsledn graf m
sk&re d. `⇒': Dejme tomu, e d je sk&re grafu G. Pmoarm odstrannm vrcholu w s nejvym stupnm bohuel nemusme dostat graf se sk&re d
| k tomu bychom potebovali, aby sousedy vrcholu w bylo d1 vrchol, jejich stupn jsou nejvy hned po w. Na strategi proto bude upravit G na graf se stejnm sk&re, kter tuto vlastnost m
. Nech) H je libovoln graf se sk&re d. Sea*me jeho vrcholy do posloupnosti (v1 , . . . , vn ) tak, e stupe vrcholu vi je di (jinak na vbru seazen nez
le). De#nujme kvalitu q(H ) grafu H jako nejvt i, pro kter plat, e vrchol v1 soused se vemi vrcholy v2 , . . . , vi. (Pokud jsou nesousedn ji vrcholy v1 , v2, polome q(H ) = 1.) Nech) H0 je graf s nejvy monou kvalitou mezi vemi grafy se sk&re d. Pedpokl
dejme nejprve, e q(H0) je nejve d1. Mezi d1 vrcholy v2, . . . , vd1 +1 je tedy vrchol vj , kter nesoused s vrcholem v1 . Protoe stupe vrcholu v1 je d1, mus nutn existovat njak jeho soused vk , kde k > d1 + 1. Tvrdme, e existuje vrchol v
s vlastnost vj v
∈ E (H ),

ale

vk v
∈ / E (H ).

(5.1)

Jinak by toti kad soused vrcholu vj byl i sousedem vrcholu vk , a s ohledem na vrchol v1 bychom dostali dj < dk . To je nemon, protoe j < k a posloupnost d je nerostouc. Vrchol v
s vlastnost (5.1) tedy existuje.

5.5. Soubor stup

65 v1

vj

v1 vk

v


vj

vk v


Obr
zek 5.4: Zven kvality grafu v dkazu vty 5.8. Hrany jsou zn
zornny pln, `nehrany' 
rkovan. Vrcholy v1, vj , vk a v
tvo `kon#guraci' na lev stran obr. 5.4. Pokud hrany v1 vk a vj v
nahradme v grafu H0 hranami v1 vj a vk v
, stupn vrchol (a tedy ani sk&re) se nezmn, ale kvalita vslednho grafu bude vy. To je spor s maximalitou q(H0). Dok
zali jsme, e q(H0) > d1, take vrchol v1 soused s vrcholy v2 , . . . , vd1 +1. Nyn ovem graf vznikl odstrannm vrcholu v1 z grafu H0 m
sk&re d
. Posloupnost d
je tedy grafov
, co jsme chtli dok
zat. 2 Cvi
en

I 5.7 Zjistte sk&re graf:

(a) pln bipartitn graf Kp,q (p ervench a q modrch vrchol, kad dva rznobarevn jsou spojeny hranou), (b) Hassev diagram Booleovy algebry 2X , kde X = {1, . . . , k}. I 5.8 Najdte dvojici neisomorfnch graf se stejnm sk&re. I 5.9 Pro kter
n existuje graf se sk&re (n, n − 1, . . . , 1)? I 5.10 Rozhodnte, zda n
sledujc posloupnost je souborem stup njakho grafu, a ppadn takov graf najdte: (a) (5, 5, 4, 4, 3, 3), (b) (5, 5, 5, 4, 4, 3, 2). (c) (7, 6, 6, 5, 4, 4, 4, 3, 3, 3, 2), II 5.11 Graf je k-regulrn, pokud vechny jeho vrcholy maj stupe k. (a) Dokate, e na n vrcholech existuje 3-regul
rn graf, pr
v kdy n je sud. (b) Charakterizujte dvojice (n, k) s vlastnost, e existuje njak k-regul
rn graf na n vrcholech.

66

Kapitola 5. Grafy

Kapitola 6 Cesty v grafu Tmatem tto kapitoly jsou cesty v grafech a rzn jejich modi#kace. Pomoc cest zavedeme souvisl grafy a odvodme nkter jejich vlastnosti. Pedstavme rovn eulerovsk a hamiltonovsk grafy a prozkoum
me pekvapiv rozdl v obtnosti algoritmickho rozpozn
v
n graf z tchto dvou td.

6.1 Sled, cesta a tah Denice 6.1 Sled (z vrcholu u do vrcholu v) v grafu G je libovoln
posloupnost

(u = v0, v1 , . . . , vk = v), kde vi jsou vrcholy grafu G a pro kad i = 1, . . . , k je vi−1 vi hranou grafu G. $slo k je dlka tohoto sledu. 'k
me, e sled prochz vrcholy v0 , . . . , vk nebo e na nm tyto vrcholy le
. Sled je tedy jak
si proch
zka po grafu, pi kter v kadm kroku pech
zme po hran mezi sousednmi vrcholy. V r
mci tto proch
zky meme libovoln vrchol navtvit vcekr
t, meme dokonce i projt vcekr
t po te hran.

Denice 6.2 Cesta z u do v v grafu G je sled (u = v0 , v1, . . . , vk = v), ve kterm se kad vrchol vi objevuje pouze jednou.

Za zmnku stoj trivi
ln ppad uvedench de#nic, toti sled (u), kde u ∈ V . Jedn
se o sled nulov dlky z u do u, kter je z
rove i cestou. Cvi
en

I 6.1 Uvame libovolnou cestu (v0 , . . . , vk ) v grafu G. Nech) V
= {v0 , . . . , vk }

je mnoina vrchol, ktermi tato cesta proch
z, a E
= {vi−1 vi : i = 1, . . . , k} je mnoina hran, kter pouv
. Dokate, e podgraf (V
, E
) grafu G je isomorfn s grafem Pk+1 de#novanm v oddlu 5.2. 67

68

Kapitola 6. Cesty v grafu

6.2 Homomorsmy Alternativn de#nice sledu a cesty je zaloena na pojmu homomor#smus. Denice 6.3 Homomorsmus grafu G do grafu H je zobrazen f : V (G) → V (H ) s vlastnost, e pro kadou hranu xy grafu G je f (x)f (y ) hranou grafu H . Vimnme si, e oproti pojmu isomor#smus z oddlu 5.3 nemus f bt bijekce, a e namsto ekvivalence je zde vyadov
na jedin
implikace. Nyn ji meme podat alternativn de#nici sledu v grafu G: je to libovoln homomor#smus njak cesty Pk (viz oddl 5.2) do G. Rozdl oproti de#nici 6.1 je jen form
ln: posloupnost vrchol a hran je tu nahrazena zobrazenm. Kad homomor#smus f grafu G do grafu H indukuje zobrazen f ∗ : E (G) → E (H ) pedpisem f ∗ (xy ) = f (x)f (y ) ∈ E (H ). Denice 6.4 Nech) f je homomor#smus grafu G do grafu H . 'ekneme, e f je • vrcholov monomorsmus, pokud f : V (G) → V (H ) je prost zobrazen, • vrcholov epimorsmus, pokud f je zobrazen na, • hranov monomorsmus, pokud f ∗ je prost, • hranov epimorsmus, pokud f ∗ je na. Cestu v grafu G nyn meme ekvivalentn de#novat jako vrcholov monomor#smus z njak cesty Pk do grafu G. Pozdji, nap. v oddlu 6.5, se sezn
mme s dalmi pojmy, kter se daj de#novat pomoc homomor#sm. Cvi
en

I 6.2 Najdte pklad homomor#smu mezi dvma grafy, kter je vrcholovm monomor#smem a hranovm epimor#smem, ale nen isomor#smem.

6.3 Souvisl grafy Denice 6.5 Graf

je souvisl, pokud pro kad dva vrcholy v grafu G cesta z x do y . V opanm ppad je graf G nesouvisl. G

x, y

existuje

Nech) G je graf s mnoinou vrchol V . De#nujme na V relaci ∼ pedpisem x ∼ y,

pokud v G existuje cesta z x do y .

Jedn
se o ekvivalenci? Urit je to relace re0exvn (dky existenci cesty dlky 0) a symetrick
(protoe peteme-li cestu pozp
tku, bude to podle de#nice zase

6.3. Souvisl grafy

69

cesta). Pokud jde o tranzitivitu, m
me-li cestu z x do y a cestu z y do z, zd
se jako pirozen
idea `sloenm' tchto cest zskat cestu z x do z. Pot je ovem v tom, e vsledkem sloen nemus bt cesta, protoe pvodn dv cesty se mohou libovoln protnat. Pome n
m vak n
sledujc tvrzen. Tvrzen 6.6 Existuje-li v grafu G sled z vrcholu x do vrcholu y, potom x ∼ y. Dkaz. Chceme uk
zat, e existuje-li sled z x do y, pak existuje tak cesta z x do y . Nech) tedy (x = v0, v1 . . . , vk−1, vk = y ) je sled z x do y , a zvolme jej tak, aby k bylo nejmen mon (tj. aby 
dn sled z x do y neml men dlku). Tvrdme, e takovto minim
ln sled (ozname jej S ) ji mus bt cestou. Dejme tomu, e nen. Pak se v nm mus njak vrchol opakovat, tj. pro njak i=  j mus bt vi = vj . Pokud z naeho sledu (x = v0, . . . , vi−1 , vi, vi+1, . . . , vj−1, vj , vj +1, . . . , vk = y ) vypustme 
st od vi+1 do vj vetn, dostaneme posloupnost (x = v0, . . . , vi−1, vi, vj +1, . . . , vk = y ), kter
je podle de#nice rovn sledem (vrcholy vi a vj +1 jsou toti sousedn). Navc jde o sled z x do y , kter je krat ne S . To je spor. 2 Dsledek 6.7 Relace ∼ na mno
in V je ekvivalence. Dkaz. Povimli jsme si, e re0exivita a symetrinost plat z jednoduchch dvod. Dokame tranzitivitu. Pedpokl
dejme x ∼ y a y ∼ z. Nech) (x = v0 , . . . , vk = y ) je cesta z x do y a (y = w0 , . . . , w
= z ) je cesta z y do z . Potom posloupnost (x = v0, v1 , . . . , vk−1, vk = w0, w1, . . . , w
−1, w
= z) je sled z x do z (tebae to nemus bt cesta) a podle tvrzen 6.6 je x ∼ z. 2 Denice 6.8 Komponenty grafu G jsou vechny indukovan podgrafy grafu G na jednotlivch td
ch ekvivalence ∼. Je-li tedy K komponenta grafu G, pak V (K ) je jednou ze td ekvivalence ∼. Je jasn, e K je souvisl graf, protoe prvky te tdy libovoln ekvivalence jsou kad s kadm v relaci. Na druhou stranu je K maxim
ln souvisl podgraf grafu G: nejde jej rozit o dal vrchol, nem
-li ztratit souvislost. Ze 
dnho vrcholu komponenty K toti nevede hrana do 
dnho vrcholu mimo ni (cvien 6.3). Mohlo by se zd
t, e komponenty grafu lze snadno urit `na prvn pohled', ale u vtch nebo nepehledn zadanch graf to tak trivi
ln bt nemus (viz cvien 6.5). Pesto je pravda, e z algoritmickho hlediska je uren komponent a testov
n souvislosti grafu snadnm problmem. K obma elm lze pout nap. Dijkstrv algoritmus, kter popeme v oddlu 12.2 (viz ale tak cvien 6.7).

70

Kapitola 6. Cesty v grafu

(a)

(b)

Obr
zek 6.1: Urete poet komponent. Cvi
en

I 6.3 Dokate, e je-li K komponenta grafu G, u ∈ V (K ) a v ∈/ V (K ), pak mezi u

a v nen hrana.

I 6.4 Dokate, e graf je souvisl pr
v tehdy, kdy m
jedinou komponentu. I 6.5 Urete poet komponent graf na obr. 6.1. II 6.6 Cesta P v grafu G je nejdel, pokud G neobsahuje cestu s vce vrcholy.

Ukate, e dv nejdel cesty v souvislm neorientovanm grafu G maj spolen alespo jeden vrchol.

I 6.7 Formulujte algoritmus, kter zjist, zda je zadan graf souvisl, a ppadn ur jeho komponenty. Vstupem algoritmu je seznam vrchol a hran grafu.

6.4 Vlastnosti souvislch graf Denice 6.9 Nech) v je vrchol grafu G. Graf G−v, vznikl odstran nm vrcholu

v,

je de#nov
n jako indukovan podgraf grafu G na mnoin V (G) − {v}.

N
sledujc vta ukazuje, e souvisl graf vdy obsahuje vrchol, jeho odstrannm neztrat souvislost. Jej dkaz vtipn pouv
pedpoklad maximality.

Vta 6.10 Ka
d souvisl graf souvisl graf.

G

obsahuje vrchol

v

s vlastnost,
e

G−v

je

6.4. Vlastnosti souvislch graf

Dkaz. Nech)

71

= (v0, . . . , vk ) je cesta maxim
ln mon dlky v grafu G. Tvrdme, e vrchol v0 m
poadovanou vlastnost. Dejme tomu, e G − v0 je nesouvisl graf. Cesta P −v0 mus zjevn cel
leet v jedn komponent grafu G− v0 . Krom tto komponenty existuje alespo jedna dal komponenta C . Z vrcholu v0 mus vst do komponenty C njak
hrana, co n
m umouje prodlouit cestu P . Tm dost
v
me spor s maximalitou. 2 Vimnme si, e msto vrcholu v0 jsme stejn tak mohli zvolit druh konec cesty P , vrchol vk . Pokud m
tedy graf G vce ne jeden vrchol, pak existuj dokonce alespo dva vrcholy splujc podmnku vty 6.10. Zave*me nyn n
sledujc konvenci: bude-li z kontextu jasn, o kterm grafu se hovo, bude n oznaovat poet jeho vrchol a m poet jeho hran. P

Vta 6.11 V souvislm grafu je m ≥ n − 1. Dkaz. Vtu dok
eme indukc. Pro n = 1 se jedn
o graf na jednom vrcholu,

a ten je souvisl. Pedpokl
dejme, e vta plat pro vechny grafy s mn ne n vrcholy, kde n > 1, a dokame ji pro libovoln graf G s n vrcholy. Nech) G m
m hran. Podle vty 6.10 v grafu G existuje vrchol v, kter lze odstranit bez poruen souvislosti. Graf G − v m
n
= n − 1 vrchol a poet m
jeho hran je nejve m − 1 (do vrcholu v vedla alespo jedna hrana). Z induknho pedpokladu je m
≥ n
− 1, a tedy m ≥ m
+ 1 ≥ (n
− 1) + 1 = n − 1, co jsme chtli dok
zat. 2 Jak je vztah souvislosti grafu a potu jeho hran? Intuitivn je zejm, e se zvyujcm se potem hran roste ance, e graf bude souvisl. Na druhou stranu: pid
me-li k plnmu grafu na n − 1 vrcholech jeden izolovan vrchol, zsk
me nesouvisl graf s velmi vysokm potem hran. Tomuto pkladu bychom se vyhnuli, kdybychom poadovali, aby kad vrchol ml dostaten velk stupe. Zde je extrmnm (v teorii graf se k
tak extrem
lnm) pkladem disjunktn sjednocen dvou plnch graf na n/22 vrcholech to je nesouvisl a kad vrchol m
stupe n/2 − 1. Tento pklad ukazuje, e n
sledujc vtu nen mon zlepit:

Vta 6.12 Jsou-li stupn vech vrchol v grafu G alespo! n/2, pak je G souvisl graf.

Dkaz. Dejme tomu, e vta neplat a G je nesouvisl. M
tedy aspo dv nepr
zdn komponenty A,B . Alespo jedna z tchto komponent (dejme tomu A) m
nejve n/2 vrchol, jinak by poet vrchol v celm grafu nemohl bt n. Z libovolnho vrcholu v komponenty A vedou hrany jen do ostatnch vrchol tto komponenty, kterch je nejve n/2 − 1. Stupe vrcholu v tedy mus bt men ne n/2, co je spor s nam pedpokladem. 2

72

Kapitola 6. Cesty v grafu

Cvi
en

I 6.8 Dokate, e v grafu s k komponentami plat m ≥ n − k. II 6.9 Dokate, e graf, ve kterm jsou stupn vech vrchol alespo δ, m
mn ne n/δ komponent.

6.5 Krunice

Denice 6.13 Uzaven sled v grafu G je sled (v0, . . . , vk ), ve kterm plat v0 =

vk .

Kru
nice v grafu G je uzaven sled dlky alespo 3, ve kterm se vrchol v0 objevuje pr
v dvakr
t a kad ostatn vrchol nejve jednou. $slo k je dlka dan krunice.

Krunici a uzaven sled v grafu G meme ekvivalentn de#novat pomoc pojm z oddlu 6.2: uzaven sled v grafu G nen nic jinho ne homomor#smus njak krunice Ck (viz oddl 5.2) do G. Takov homomor#smus je krunic v grafu G, pr
v kdy je to vrcholov monomor#smus. Ve cvien 6.1 jsme vidli, e cesty dlky k v grafu G lze ztotonit s podgrafy isomorfnmi s grafem Pk+1. Podobn ztotonme krunice dlky k v grafu G s podgrafy isomorfnmi s grafem Ck . Meme tak mluvit o mnoin hran njak krunice v grafu G a podobn. V minulm oddlu jsme de#novali operaci odstrann vrcholu z grafu. Jej pirozenou obdobou je operace odstrann hrany. Jedn
se o pouh smaz
n hrany se zachov
nm jejch koncovch vrchol. Denice 6.14 Je-li e hrana grafu G = (V, E ), potom graf G − e vznikl odstran nm hrany e je de#nov
n jako graf (V, E − {e}). Vta 6.15 Je-li e hrana souvislho grafu G, kter le
 na n jak kru
nici, potom G − e je souvisl graf. Dkaz. Nech) e = xy je hranou krunice C . V krunici C existuj dv cesty z vrcholu x do vrcholu y  tu z nich, kter
m
dlku vt ne 1, ozname P . Dokazujeme, e G−e je souvisl graf. K tomu sta najt sled mezi libovolnmi dvma vrcholy u, v. Nech) S je cesta z u do v v (souvislm) grafu G. Pokud S nepouv
hranu e, je cestou i v grafu G−e. Pokud ji pouv
, meme tuto hranu nahradit cestou P . Pesnji eeno, pokud S = (u = s0, s1, . . . , si = x, si+1 = y, . . . , sk = v ) a P = (x = p0 , p1 , . . . , p
= y ), vezmeme S
= (u = s0 , s1 , . . . , si−1 , x = p0 , p1 , . . . , p
= y, si+2 , . . . , sk = v ), co je sled v grafu G − e. (V ppad, e S hranu e pouv
v opanm smru, tedy si = y , si+1 = x, vlome i cestu P obr
cen.) Dkaz je hotov. 2 Implikace ve vt 6.15 se dokonce d
zeslit na ekvivalenci (viz cvien 6.10).

6.6. Eulerovsk a hamiltonovsk grafy

73

Cvi
en

I 6.10 Dokate, e je-li G − e souvisl graf, pak hrana e grafu G le na njak krunici.

6.6 Eulerovsk a hamiltonovsk grafy Ji v 18. stolet zkoumal Leonhard Euler (1707{1803) n
sledujc problm1: za jakch podmnek existuje sled, kter pouv
kadou hranu danho grafu pr
v jednou? Touto ot
zkou se dost
v
me k pojmu tah.

Denice 6.16 Tah z u do v v grafu G je sled (u = v0, v1 , . . . , vk = v), ve kterm

se mohou opakovat vrcholy, ale hrany vi−1vi jsou pro rzn
i rzn. Uzaven tah je tah, kter je uzavenm sledem. Uzaven tah je eulerovsk, pokud pouv
kadou hranu grafu G. Podobn jako sledy, cesty a krunice v grafu, i tah se d
snadno ekvivalentn de#novat pomoc pojmu homomor#smus (viz cvien 6.11). V dalm textu se n
m bude hodit n
sledujc pozorov
n.

Lemma 6.17 Nech T je tah z vrcholu x do vrcholu y v grafu G. Ozname poet hran tahu T , obsahujcch vrchol z ∈ V (G), symbolem dT (z). Pak plat,
e dT (z) je sud, prv kdy
T je uzaven tah nebo z ∈/ {x, y}.

Dkaz. Nech) T = (v0, . . . , vk ), kde x = v0 a y = vk . Opateme kadou hranu vi vi+1 tahu T ipkou z a kolik ven?

z vrcholu vi do vrcholu vi+1 . Kolik ipek smuje do vrcholu

Kadmu vskytu vrcholu z v tahu T odpovd
njak index i s vlastnost z = vi . Ozname vskyt jako vnitn, je-li 0 < i < k . Kad vnitn vskyt pispv
jednu ipku smrem do z (na hran vi−1 vi) a jednu ipku ven (hrana vi vi+1 ). Vnitn vskyty zachov
vaj rovnov
hu mezi poty ipek v obou smrech a je pi nich tedy pouit sud poet hran. Tyto hrany nemaj na paritu sla dT (z) vliv a meme je tedy ignorovat ostatn hrany ozname jako podstatn (pro z). Pokud z ∈/ {x, y}, pak vrchol z nen obsaen v 
dn podstatn hran, take dT (z ) je sud. Meme tedy pedpokl
dat, e z = x (ppad z = y je symetrick a nemusme jej uvaovat zvl
)). Je-li tah T uzaven, pak podstatn hrany obsahujc vrchol z jsou v0 v1 a vk v0, take i v tomto ppad je dT (z) sud slo. Konen pokud tah T nen uzaven, pak jedinou podstatnou hranou obsahujc vrchol z je hrana v0 v1 , take dT (z) je lich. Sloenm vech t ppad dostaneme poadovanou ekvivalenci. 2 Euler ilustroval sv vsledky na slavnm p
kladu: ukzal, e nen mon p
ejt bhem jedin prochzky prv jednou p
es kad z most ve mst Krlovci (K"nigsberg, dne n Kaliningrad) a vrtit se na stejn msto. 1

74

Kapitola 6. Cesty v grafu

Eulerova odpov* na ot
zku, kter grafy maj eulerovsk tah, je obsaena v n
sledujc vt.

Vta 6.18 Souvisl graf G m eulerovsk tah, prv kdy
vechny jeho vrcholy maj sud stupe!. Dkaz. `⇒': Eulerovsk tah je uzaven, take tvrzen plyne z lemmatu 6.17.

`⇐': Nech) M je uzaven tah maxim
ln mon dlky. Dok
eme, e M obsahuje kadou hranu grafu G. Pro dkaz sporem pedpokl
dejme, e neobsahuje hranu e = xy . Nejprve najdeme hranu e0 , kter
rovn nen obsaena v tahu M , ale tento tah proch
z alespo jednm z jejch koncovch vrchol. Jak ji najt? Meme pedpokl
dat, e tah M neproch
z vrcholem x, jinak sta vzt e
= e. Ze souvislosti grafu G existuje cesta z x do njakho vrcholu, kterm proch
z tah M . Nejkrat takov
cesta (ozname ji P ) jist neobsahuje 
dnou hranu tahu M , jinak bychom ji mohli zkr
tit. Na druhou stranu je dlka cesty P alespo 1 (protoe tah M neobsahuje vrchol x). Zvolme tedy za hranu e0 posledn hranu cesty P . Ta m
poadovan vlastnosti: nele na tahu M , ale ten proch
z jednm z jejch koncovch vrchol. Najdeme nyn uzaven tah T , kter neobsahuje 
dnou hranu tahu M . Zkonstruujeme jej postupnm pid
v
nm hran. Nech) z0 je koncov vrchol hrany e0 , kter le na tahu M . Ozname druh koncov vrchol symbolem z1 a de#nujme vchoz (neuzaven) tah T1 = (z0 , z1 ). Podle lemmatu 6.17 je poet hran tahu M , obsahujcch vrchol z1 , sud. Celkov stupe tohoto vrcholu je rovn sud, take krom hrany e0 = z0z1 mus existovat jet njak
hrana e1 obsahujc vrchol z1 , kterou tah M neproch
z. Polome T2 = (z0 , z1, z2 ), kde z2 je druh koncov vrchol hrany e1. V i-tm kroku konstrukce m
me zkonstruov
n tah Ti, kter kon ve vrcholu zi . Je-li zi = z0 , jsme hotovi, protoe Ti je uzaven tah s poadovanou vlastnost. Jinak podle lemmatu 6.17 je z hran obsahujcch vrchol zi sud poet obsaen v tahu M a lich poet v tahu Ti. Protoe stupe vrcholu zi je sud, existuje hrana ei+1 , kter
z nj vych
z a nen obsaena z 
dnm z tah M a Ti . Pid
nm druhho koncovho vrcholu zi+1 hrany ei+1 k tahu Ti zsk
me del tah Ti+1 . Graf G obsahuje konen poet hran, a tak po konenm potu krok mus nastat situace zi = z0 . Tm je existence tahu T dok
z
na. Zbv
si vimnout, e tah T lze pout k prodlouen tahu M . Sta proch
zet po tahu M a k njakmu vskytu vrcholu z0 , projt cel uzaven tah T , a pot projt zbvajc 
st tahu M . Vsledn uzaven tah M
m
vt dlku ne M (vme toti, e dlka tahu T je nenulov
!) a to je spor. 2 Graf, kter m
njak eulerovsk tah, se nazv
eulerovsk graf. Podle vty 6.18 je snadn poznat, zda je dan graf eulerovsk: sta zkontrolovat, zda je souvisl a zda vechny stupn jsou sud. Nen tedy poteba nap. zkouet vechny mon tahy a zji)ovat, zda nkter n
hodou nen eulerovsk.

6.6. Eulerovsk a hamiltonovsk grafy

75

Nabz se mal
modi#kace uvaovanho pojmu. Eulerovsk tah je uzaven sled, pouvajc kadou hranu pr
v jednou. Co se zmn, budeme-li poadovat, aby dan uzaven sled obsahoval kad vrchol pr
v jednou? Takov sled mus bt krunic. Krunice, kter
proch
z vemi vrcholy grafu, se nazv
hamiltonovsk, a graf obsahujc njakou takovou krunici je hamiltonovsk graf. N
zev je odvozen od jmna irskho matematika Williama Rowana Hamiltona (1805{1865). Ten v roce 1857 vynalezl hlavolam, jeho zad
nm bylo najt `cestu' po hran
ch tzv. dvan
ctistnu (trojrozmrnho mnohostnu o 20 vrcholech), kter
navtv kad vrchol pr
v jednou a vr
t se na vchoz msto. (loha je ekvivalentn s nalezenm hamiltonovsk krunice v grafu na obr. 6.2, ktermu se rovn k
dvan
ctistn.

Obr
zek 6.2: Dvan
ctistn s vyznaenou hamiltonovskou krunic. Existuje njak kritrium ve stylu vty 6.18, kter by n
m umoovalo snadno a rychle poznat hamiltonovsk grafy? Vzhledem k podobnosti pojm eulerovsk tah a hamiltonovsk
krunice by se to mohlo zd
t pravdpodobn. Odpov* na tuto ot
zku vak ponkud pekvapiv nen zn
ma a ve nasvduje tomu, e takov kritrium neexistuje. Na druhou stranu je zn
ma cel
ada postaujcch podmnek pro existenci hamiltonovsk krunice. Lze napklad uk
zat, e hamiltonovsk je kad graf, pro kter je splnn pedpoklad vty 6.12 (toto zeslen vty 6.12, tzv. Diracova v ta, pat ke klasickm vsledkm teorie graf). Abychom mohli pesnji popsat rozdl mezi problmy rozpozn
v
n hamiltonovskch a eulerovskch graf, potebujeme se strun zmnit o vpoetn sloitosti. Cvi
en

I 6.11 De#nujte tah a uzaven tah pomoc pojm z oddlu 6.2. I 6.12 Najdte eulerovsk tah v grafu na obr. 6.3.

76

Kapitola 6. Cesty v grafu

I 6.13 Dokate, e souvisl graf G m
(uzaven nebo neuzaven) tah obsa-

hujc kadou hranu pesn jednou, pr
v kdy G m
nejve dva vrcholy lichho stupn. 6

5 3 1

2

4

Obr
zek 6.3: Graf ve cvien 6.12.

6.7 asov sloitost algoritmu Pedstavme si njak algoritmus A, kter pro libovoln graf G (vstupn graf ) rozhodne, zda m
G uritou vlastnost (teba zda je eulerovsk). Takov algoritmus sest
v
z mnostv elementrnch operac jako je seten dvou sel nebo zjitn, zda mezi uritmi dvma vrcholy grafu G vede hrana.2 Poet element
rnch operac, kter si proveden algoritmu vy
d
, samozejm z
vis na vstupnm grafu G ozname tento poet f (G). #asov slo
itost algoritmu A je funkce f : N → N, de#novan
vztahem f (n) = max f (G), G

kde G probh
vechny grafy na n vrcholech. Jde tedy o poet element
rnch operac, nutnch `v nejhorm ppad' pro zpracov
n grafu na n vrcholech. $asov
sloitost me bt vyj
dena i pomoc jinch parametr vstupnho grafu, ne je poet vrchol, a lze ji analogicky de#novat i pro algoritmy, kter pracuj s jinmi strukturami ne s grafy. Vra)me se k rozpozn
v
n eulerovskch graf. Navren algoritmus proch
z jeden vrchol po druhm a testuje, zda jeho stupe je sud. Pokud jde o vstupn graf G, pedpokl
dejme, e pro kad vrchol grafu G je zad
n seznam jeho soused. Jak
je asov
n
ronost tohoto algoritmu? Pro kad z n vrchol je teba spotat stupe, a to obn
 zjistit existenci nebo neexistenci kad z n − 1 potenci
lnch hran vedoucch z tohoto vrcholu. $asov
sloitost je tedy n(n − 1). Je to tedy kvadratick funkce promnn n pokud n
m sta odhadnout `
dovou' P
esn vymezen elementrnch operac, tvaru vstupnch dat atd. je obecn velmi dleit, nm v ak bude stait tento intuitivn pohled na vc. 2

6.7. asov sloitost algoritmu

77

z
vislost asov sloitosti na n, ekneme, e asov
sloitost je O(n2). (Obecn pro dv funkce g, h : N → N peme g = O(h), pokud existuje konstanta c tak, e pro dost velk n plat g (n) < c · h(n).) N
 algoritmus je tedy polynomiln, jeho asov
sloitost je urena polynomem. Jak testovat, zda je dan graf hamiltonovsk? Nejsou k dispozici o mnoho lep metody ne `hrub
sla', nap. zkouet hamiltonovskou krunici vybudovat postupnm prodluov
nm cesty, v ppad ne spchu se vracet zpt a probrat dal monosti (tzv. backtracking ). Pklad podobnho postupu uvidme v oddlu 12.5. V kadm vrcholu m
me obvykle nkolik monost, jak postupovat d
le, take poet vech situac, kter je teba probrat, se s kadm dalm vrcholem alespo zdvojn
sobuje. $asov
sloitost takovho algoritmu je katastrof
ln: je vy ne libovoln polynom, je to exponenciln funkce n, jako je nap. funkce 2n (nebo jet hor). Zde z teoretickho hlediska vede dlic 
ra mezi rychlmi a pomalmi algoritmy: `rychl' (neboli efektivn ) je algoritmus s polynomi
ln asovou sloitost, `pomal' jsou ty ostatn3. Rozdl mezi polynomi
ln a exponenci
ln asovou sloitost ilustruje tabulka 6.1, ve kter je uvedena doba prov
dn algoritmu s asovou sloitost n3 resp. 2n pro rzn velikosti vstupnch dat n a za pedpokladu, e proveden jedn operace trv
1 mikrosekundu. 10 20 50 100 200 1 ms 8 ms 125 ms 1s 8s 2n 1 ms 1 s 36 let 4 · 1016 let 5 · 1046 let Tabulka 6.1: Polynomi
ln a exponenci
ln asov
sloitost. n3

Pestoe se ob lohy popsan v oddlu 6.6 (rozhodov
n, zda je graf eulerovsk resp. hamiltonovsk) zdaj velmi podobn, n
ronost jejich algoritmickho een je dramaticky rozdln
. Problm zji)ov
n hamiltonovskosti toti pat do velk tdy tzv. NP-plnch problm. Jde o velmi obtn problmy, pro kter nen zn
m efektivn algoritmus, ale z
rove nen dok
z
na jeho neexistence. Ot
zka, zda takov algoritmus existuje, pat k nejvtm otevenm problmm souasn matematiky. O asov sloitosti algoritm se lze dozvdt vce nap. v pedn
ce 8] nebo v knize 2]. My se k tomuto tmatu vr
tme pedevm v oddlu 12.2, kde budeme analyzovat asovou sloitost tzv. Dijkstrova algoritmu. S dalm NP- plnm problmem, tzv. problmem obchodnho cestujcho, se sezn
mme v oddlu 12.5.

Me se samoz
ejm stt, e je exponenciln algoritmus pro `rozumn' hodnoty n rychlej  ne t
eba polynomiln algoritmus se sloitost 1000000n8. Na druhou stranu praxe ukazuje, e se pro #lohy
e iteln efektivnm algoritmem zpravidla da
 postupn snit asovou sloitost algoritmu do `rozumnch' mez. Ke vzcnm vjimkm zatm pat
 tzv. probl
m!linernho programovn. 3

78

Kapitola 6. Cesty v grafu

Kapitola 7 Stromy Stromy jsou jednou z nejdleitjch td graf. O tom svd i mnostv vt, kter je z rznch pohled charakterizuj. Nkolik z nich dok
eme v tto kapitole. Pedstavme tak dv praktick aplikace strom: prvn se tk
vyhled
v
n v line
rn uspo
dan mnoin, druh
optim
lnho k&dov
n symbol z njak abecedy.

7.1 Denice

Denice 7.1 Strom je souvisl graf, kter neobsahuje 
dnou krunici. List stromu T je libovoln vrchol, jeho stupe v T je 1.

(a)

(b)

(c)

Obr
zek 7.1: Stromy. Nkolik pklad strom ukazuje obr. 7.1. Tyto stromy maj (zleva doprava) 3, 2 a 12 list.

Tvrzen 7.2 Ka
d strom m alespo! dva listy. Dkaz. Vezmme cestu P maxim
ln mon dlky ve stromu T . Nech) x je

koncov vrchol cesty P . Kad soused vrcholu x mus leet na cest P , jinak by bylo mon ji prodlouit. Dejme tomu, e x nen list a m
tedy alespo dva 79

80

Kapitola 7. Stromy

sousedy y1, y2. Sled, kter dostaneme, pokud vyjdeme z vrcholu x do vrcholu y1, d
le po cest P do y2 a zpt do x, je krunic v grafu T . Ten je ale stromem a 
dnou krunici neobsahuje, take x je skuten list. Dalm listem je druh koncov vrchol cesty P . 2 V tomto oddlu si uk
eme ti dleit vty, z nich kad
charakterizuje stromy z jinho hlediska: vta 7.3 podle potu cest mezi dvma vrcholy, vta 7.4 podle potu hran a konen vta 7.6 podle nesouvislosti jistch podgraf (tzv. faktor). Z de#nice je graf souvisl, obsahuje-li alespo jednu cestu mezi kadou dvojic vrchol. Pokud podmnku zeslme a budeme poadovat existenci pr
v jedn cesty, pak podle n
sledujc vty budou tto podmnce vyhovovat pr
v vechny stromy.

Vta 7.3 Graf G je strom, prv kdy
pro ka
d dva vrcholy u, v ∈ V (G) existuje

v grafu G prv jedna cesta z u do v.

Dkaz. `⇒': Strom G je z de#nice souvisl, take alespo jedna cesta mezi kadmi dvma vrcholy existuje. Nech) P, Q jsou dv cesty z vrcholu u do vrcholu v , piem P = (u = p0 , p1 , . . . , pk = v ), Q = (u = q0 , q1 , . . . , q
= v ).

Nech) i je nejmen index takov, e pi = qi. Vzhledem k tomu, e cesty P a Q jsou rzn, ale zanaj v tme vrcholu, plat 1 ≤ i ≤ k,
. Zvolme j nejmen takov, e j > i a qj le na cest P . Vme, e pinejmenm q
na P le, proto takov index j jist existuje. De#nujme sled S n
sledujcm zpsobem: vyjdeme z vrcholu pi−1 po cest P do pj a odtud po cest Q zpt do qi−1 = pi−1. Je jasn, e S je krunice v grafu G, co je spor s pedpokladem, e G je strom. Mezi u a v je tedy jen jedin
cesta. `⇐': Graf G, ve kterm mezi kadmi dvma vrcholy existuje njak
cesta, je jist souvisl. Pokud by obsahoval krunici, vedly by mezi libovolnmi dvma vrcholy tto krunice alespo dv cesty. Graf G, kter spluje n
 pedpoklad, je tedy stromem. 2 Podle vty 6.11 m
souvisl graf na n vrcholech aspo n − 1 hran. N
sledujc vta k
, e stromy lze charakterizovat jako grafy, u nich v tomto dolnm odhadu potu hran plat rovnost.

Vta 7.4 Graf G je strom, prv kdy
je souvisl a m n − 1 hran. Dkaz. `⇒': Strom je z de#nice souvisl. Uk
eme indukc podle potu vrchol, e m
n − 1 hran. Pro strom na jednom vrcholu tvrzen jist plat. Nech) je d
n strom G s n > 1 vrcholy a nech) v je nkter jeho list (existuje podle tvrzen 7.2).

7.1. Denice

81

Graf G − v je strom (jak je vidt z de#nice) a m
n − 1 vrchol a m − 1 hran. Podle induknho pedpokladu je m − 1 = (n − 1) − 1 a tedy m = n − 1, co jsme chtli dok
zat. `⇐': Potebujeme dok
zat, e souvisl graf s n vrcholy a n − 1 hranami neobsahuje krunici. Opt pouijeme indukci podle n, piem pro n = 1 je tvrzen trivi
ln. Nech) souvisl graf G m
n − 1 hran. Kdyby stupn vech vrchol byly vt ne 1, pak jejich souet je alespo 2n a poet hran (kter je pesn polovinou z tohoto sla) by byl alespo n. Proto G mus obsahovat njak vrchol stupn nejve 1. Stupe 0 vak dky souvislosti meme vylouit. Nech) tedy v je vrchol stupn 1. Graf G − v m
n − 1 vrchol, n − 2 hran a je souvisl. Podle induknho pedpokladu je to strom. Optovnm pid
nm vrcholu v neme vzniknout krunice, take stromem je i cel graf G. 2 Ped uvedenm posledn charakterizace strom potebujeme jet jeden pojem. Oboj se n
m bude hodit pozdji, a budeme hovoit o souvislostech mezi grafy a maticemi.

Denice 7.5 Faktor grafu G je libovoln jeho podgraf, jeho mnoina vrchol je V (G). Faktor je vlastn, je-li rzn od grafu G. Vta 7.6 Graf G je strom, prv kdy
je souvisl a nem
dn souvisl vlastn

faktor.

Dkaz. `⇒': Nech) strom G m
souvisl vlastn faktor F . Protoe F = G,

existuje njak
hrana e ∈ E (G) −E (F ). Podle vty 6.15 mus G−e bt nesouvisl graf, protoe G neobsahuje 
dnou krunici. Graf F je ovem faktorem grafu G−e a mus tak bt rovn nesouvisl. To je spor. `⇐': Nech) G je graf, kter nem
souvisl vlastn faktor. Dejme tomu, e obsahuje krunici C . Pro e ∈ E (C ) je opt podle vty 6.15 G − e souvisl graf. Jedn
se vak o vlastn faktor grafu G, a to je spor. Vzhledem k tomu, e souvislost grafu G pedpokl
d
me, je vta dok
z
na. 2 Jak lze zjistit, zda je dan graf G stromem? Stejn jako u testov
n souvislosti je to patrn `na prvn pohled' u malch graf nakreslench pehlednm obr
zkem. Pedstavme-li si vak teba graf s destkami tisc vrchol, navc zadan matic, jak to uvidme v kapitole 9, pak s prvnm pohledem mon
nevystame. Snadn postup vak nabz vta 7.4, podle n sta spotat, zda m
graf n − 1 hran, a otestovat, zda je souvisl (nap. pomoc Dijkstrova algoritmu, se kterm se sezn
mme v oddlu 12.2, nebo algoritmu ze cvien 6.7). Nen tedy poteba zji)ovat, zda graf G obsahuje njakou krunici.

Cvi
en

I 7.1 Kolik existuje rznch strom na mnoin V = {1, 2, 3, 4}? Kolik existuje navz
jem neisomorfnch strom na mnoin V ?

82

Kapitola 7. Stromy

7.2 Kostry

Denice 7.7 Kostrou souvislho grafu G je kad jeho faktor, kter je stromem. Jinak eeno, kostra grafu G je souvisl podgraf bez krunic, kter obsahuje vechny vrcholy grafu G. Obr. 7.2 ukazuje 3 rzn kostry tho grafu. Upozornme, e dosti astou chybou je z
mna pojm kostra a strom. Rozdl je ale podstatn: konkrtn graf me nebo nemus bt stromem, ale pojem kostra se vdy v
e jet k dalmu grafu, nap. v ot
zce `Je graf G kostrou grafu H ?'

Obr
zek 7.2: Ti kostry tho grafu (zn
zornny tun). M
kad graf kostru? Z toho, e kad faktor nesouvislho grafu je nesouvisl, vidme, e nesouvisl graf 
dnou kostru mt neme. Na druhou stranu plat n
sledujc tvrzen.

Tvrzen 7.8 Ka
d souvisl graf m alespo! jednu kostru. Dkaz. Nech) G = (V, E ) je souvisl graf. Uvame mnoinu hran M , kter
m
vlastnost, e

faktor (V, M ) grafu G neobsahuje krunice (7.1) a je s touto vlastnost maxim
ln vzhledem k inkluzi. (Takov
mnoina existuje, protoe napklad i pr
zdn
mnoina spluje podmnku (7.1).) Tvrdme, e faktor (V, M ) je souvisl. Dejme tomu, e to tak nen a uvame komponenty A, B grafu (V, M ). V souvislm grafu G mezi A a B jist vede njak
hrana e. Pid
nm tto hrany k mnoin M krunice vzniknout neme, to by toti vedlo ke sporu s vtou 6.15. Proto mnoina M ∪ {e} m
rovn vlastnost (7.1) a dost
v
me spor s maximalitou mnoiny M. 2 Stromy a kostry maj adu praktickch aplikac. S nktermi z nich se v dalm textu sezn
mme: • binrn a dal stromy slou jako datov struktury algoritm (oddly 7.3 a 7.4),

7.3. Binrn stromy

83

•

minimln kostra se objevuje v loh
ch, kde je clem najt optim
ln propojen jistch objekt (oddl 12.4),

•

rozhodovac strom se pouv
k modelov
n rozhodovacch proces (je pops
n v oddlu 12.5).

Kostry graf se rovn uplatuj pi analze elektrickch obvod (tzv. metoda stavovch promnnch). Ve cviench k tomuto oddlu je zad
nm spotat kostry rznch graf. K tto ot
zce se vr
tme v kapitole 9, kde odvodme souvislost mezi potem koster grafu a determinantem jist matice. Cvi
en

I 7.2 Urete poet koster: (a) stromu na n vrcholech, (b) krunice Cn , (c) grafu, kter vznikne, pid
me-li k C2n ttivu spojujc dva vrcholy ve vzd
lenosti n.

I 7.3 Nech) M2n je graf tvoen n disjunktnmi hranami na 2n vrcholech. Urete

poet koster grafu G, kter vznikne pid
nm novho vrcholu a jeho spojenm s kadm vrcholem z V (M2n ). (G je tedy n troj helnk slepench \za vrchol".)

II 7.4 Nech) G je graf na mnoin vrchol {1, . . . , n} ∪ {v, w}, v nm je kad

vrchol z {1, . . . , n} spojen hranou jak s v, tak s w, a jin hrany G nem
. Urete (a) poet koster grafu G, (b) poet koster grafu G + vw, kter vznikne z G pid
nm hrany vw.

7.3 Binrn stromy Stromy maj irok uplatnn jako datov struktury pro rzn algoritmy. Uk
eme si dva pklady pouit tzv. bin
rnch strom. Nejprve jejich de#nici. Koenov strom je dvojice (T, r), kde T je strom a r jeho vrchol, ktermu budeme kat koen. Hloubka h(w) vrcholu w ∈ V (T ) je dlka cesty P (w) z koene r do w . Vrchol v je rodiem vrcholu w , pokud je jeho sousedem na cest P (w ) (pak tak ekneme, e w je potomkem vrcholu v). Binrn strom je koenov strom, v nm m
kad vrchol nejve dva potomky a kad potomek je oznaen jako lev nebo prav. 1
dn rodi samozejm nem
dva potomky stejnho typu.

84

Kapitola 7. Stromy

(a)

(b)

Obr
zek 7.3: Bin
rn stromy. V obvyklm zn
zornn bin
rnho stromu je koen nahoe a lev resp. prav potomek na pslun stran pod svm rodiem. Pklady bin
rnch strom jsou na obr. 7.3. Bin
rn stromy se dobe hod k reprezentaci line
rnch uspo
d
n. Dejme tomu, e potebujeme implementovat algoritmus, kter pracuje s abecedn seazenm seznamem n osob, piem kad osob odpovd
njak z
znam. Seznam je obs
hl a vzhledem k astm pstupm potebujeme, aby as nutn k nalezen konkrtnho z
znamu byl co nejmen. Jako ilustraci pouijme jmna z jednoho

norovho tdne v kalend
i. (Kad z
znam obsahuje jet dal informace, kvli kterm se vlastn vyhled
v
n prov
d. Pro n
 vklad vak nejsou dleit.) Apolena Boena Jiina Mojmr Slavna Valentn Vnceslav ...

...

...

...

...

...

...

Jak efektivn najt z
znam odpovdajc uritmu jmnu? Jednou monost je proch
zet z
znamy od za
tku jeden po druhm a hledat ten spr
vn. Pak ovem v nejhorm ppad musme projt vech n z
znam (a v prmru n/2 z
znam). Tento as vak lze vrazn zkr
tit s pouitm vyhled
vacho stromu. Binrn vyhledvac strom pro line
rn uspo
danou mnoinu (X, ≤) je bin
rn strom, jeho vrcholy jsou prvky mnoiny X a v nm pro kad vrchol v plat, e je-li
lev potomek vrcholu v , pak
< v , a podobn pro pravho potomka p vrcholu v je p > v . (Adjektivum binrn budeme pro strunost vynech
vat.) V naem pkladu je mnoinou X mnoina z
znam, uspo
dan
podle abecedy. Pklad vyhled
vacho stromu pro mnoinu X je na obr. 7.4. Ozname jmno pslun vrcholu v symbolem a(v). Jak se v naem stromu vyhled
z
znam pro konkrtn jmno x? Zaneme od koene r a porovn
me slova x a a(r ) (v abecednm uspo
d
n). Je-li x = a(r ), nali jsme hledan z
znam. Pokud x < a(r), pejdeme k levmu potomku vrcholu r, jinak k pravmu potomku. Test se opakuje a do nalezen shody. Ve stromu na obr. 7.4 lze libovoln z
znam vyhledat nejve ve tech krocch. Bez pouit vyhled
vacho stromu bychom k vyhled
n jmna Vnceslav potebovali 7 krok. Ne kad vyhled
vac strom pro danou mnoinu n
m vak nabz takov zlepen. Napklad u stromu na obr. 7.5 potebujeme v nejhorm ppad rovn 7 krok.

7.3. Binrn stromy

85

Mojm´ır

Boˇzena

Apolena

Valent´ yn

Jiˇrina

Slavˇena

Vˇenceslav

Obr
zek 7.4: Vyhled
vac strom pro mnoinu z
znam.

Vˇenceslav Valent´ yn Slavˇena Mojm´ır Jiˇrina Boˇzena Apolena

Obr
zek 7.5: Jin vyhled
vac strom.

86

Kapitola 7. Stromy

Kolik krok tedy trv
vyhled
n z
znamu v obecnm vyhled
vacm stromu? De#nujme hloubku vyhled
vacho stromu T jako maxim
ln hloubku h(v) njakho jeho vrcholu (pipomeme, e hloubka vrcholu je de#nov
na na za
tku tohoto oddlu). K vyhled
n z
znamu ve stromu hloubky d je pak v nejhorm ppad poteba d krok. Pro danou uspo
danou mnoinu ale m
me na vbr z mnoha strom. Jak nejmen hloubky lze dos
hnout? 'ekneme, e vyhledvac strom pro mnoinu X je optimln, m
-li mezi vemi vyhled
vacmi stromy pro X minim
ln hloubku.

Vta 7.9 Hloubka h(n) optimlnho vyhledvacho stromu pro n-prvkovou mno-


inu X je

h(n) = log2 (n + 1) − 1,

(7.2)

kde log2 (. . . ) oznauje horn celou st z dvojkovho logaritmu.

Dkaz. Nejprve dokame, e h(n) je vt nebo rovno vrazu na prav stran

nerovnosti (7.2). Nech) T je libovoln bin
rn strom na n vrcholech. Ozname jeho hloubku d. Pro 0 ≤ i ≤ d je poet vrchol stromu T s hloubkou rovnou i nejve 2i. Odtud n ≤ 20 + 21 + · · · + 2d = 2d+1 − 1, take d ≥ log2(n+1)−1. Protoe d je cel slo, plat dokonce d ≥ log2(n+1)−1. Spluje-li tuto nerovnost hloubka kadho stromu na n vrcholech, mus platit i (7.2). V opanm smru potebujeme zkontruovat vyhled
vac strom pro mnoinu X , jeho hloubka bude rovna prav stran nerovnosti (7.2). Nejprve najdeme strom S , ve kterm kad vrchol o hloubce nejve h(S ) − 2 m
oba potomky,

(7.3)

a potom uk
eme, e strom S m
poadovanou vlastnost. Ozname X = {x1 , . . . , xn }, kde x1 < · · · < xn . Je-li n ≤ 2, pak snadno najdeme strom pro X s hloubkou 0 nebo 1, kter trivi
ln spluje podmnku (7.3). Pro vt n za koen stromu S zvolme medin posloupnosti x1, . . . , xn , tj. prvek xm , kde m = n/2 (medi
n je obecn prostedn prvek monot&nn posloupnosti). Pro uspo
dan mnoiny X1 = {x1 , . . . , xm−1 } a X2 = {xm+1 , . . . , xn } rekurzvnm zpsobem zkonstruujme bin
rn vyhled
vac stromy S1 a S2 s vlastnost (7.3). Strom S zsk
me tak, e levm potomkem koene xm uinme koen stromu S1 a pravm potomkem koen stromu S2. Vidme, e podmnka (7.3) zstane zachov
na. Zbv
urit hloubku d = h(S ) stromu S . Z podmnky (7.3) plyne, e pro 0 ≤ i ≤ d − 1 obsahuje strom S pesn 2i vrchol o hloubce i. M
tedy pesn 1 + 2 + 22 + · · · + 2d−1 = 2d − 1

7.4. Humanovo kdovn

87

vrchol o hloubce men ne d. Z de#nice navc mus obsahovat alespo jeden vrchol o hloubce d, take n ≥ 2d . Po piten jedniky k obma stran
m a zlogaritmov
n snadno zjistme, e plat d ≤ log2 (n + 1) − 1,

m je dkaz hotov. 2 Dsledkem vty 7.9 je, e s pouitm vhodnho vyhled
vacho stromu lze v n-prvkov uspo
dan mnoin vyhled
vat v potu krok, kter je omezen logaritmickou funkc n. (S pouitm formalismu z oddlu 6.7 bychom ekli, e poet krok je O(log n).) Oproti linernmu potu krok bez pouit vyhled
vacho stromu jde o znan zlepen. V naem pkladu pedpokl
d
me, e vyhled
vac strom je statick : sta jej jednou zkonstruovat a ji se nemn. Existuj tak algoritmy, pomoc kterch lze do vyhled
vacch strom pid
vat vrcholy nebo je odebrat, a to pi zachov
n efektivity danho stromu. Vce se o tchto tmatech lze dozvdt nap. v knize 2]. Cvi
en

II 7.5 (a) Urete souet

n X k =1

k · 2k .

(b) Vyhled
vac strom T o hloubce d je pln, pokud vechny listy maj hloubku d a kad ostatn vrchol m
2 potomky. Kolik vrchol m
takov strom? (c) S pouitm 
sti (a) spotejte prm rn poet krok potebn k vyhled
n z
znamu v plnm vyhled
vacm stromu o hloubce d. (Prmr se pot
pes vechny vrcholy stromu.)

7.4 Humanovo kdovn Dost
v
me se k dal aplikaci bin
rnch strom, k tzv. Hu%manovu1 k&dov
n. Nech) je d
na konen
abeceda 6. Jej prvky budeme nazvat symboly. Nam clem bude zak&dovat kad symbol binrnm et zcem (posloupnost nul a jedniek, tzv. bit ), tak, aby bylo splnno nkolik podmnek, k jejich zformulov
n se dostaneme za chvli. K"dovn pro abecedu 6 je prost
funkce, kter
piazuje kadmu symbolu a konenou posloupnost c(a) symbol 0 a 1 (k"d symbolu a). 1 David

A. Huffman (1905{1999).

88

Kapitola 7. Stromy

Nech) je pevn zvoleno k&dov
n c. Pak lze de#novat i k&d posloupnosti symbol a1 . . . ak , a to jako zetzen k&d c(a1 ) . . . c(ak ).

Je z tohoto k&du mon rekonstruovat pvodn posloupnost a1 . . . ak ? Ne vdy. Uvame napklad abecedu 6 = {X, Y, Z} s n
sledujcm k&dov
nm: symbol X Y Z k&d 0 1 01 Pak nap. posloupnosti Z a XY maj stejn k&d 01. Tto situaci bychom se chtli vyhnout. To se n
m poda napklad tehdy, kdy bude nae k&dov
n prexov, tj. kdy k&d 
dnho symbolu nebude po
tenm sekem (`pre#xem') k&du 
dnho jinho symbolu.

Pozorovn 7.10 Prexov k"dovn piazuje rznm posloupnostem symbol rzn k"dy.

Dkaz. Cvien 7.6. 2

Pre#xov k&dov
n se d
najt snadno: sta symbolm piadit rzn k&dy stejn dlky
. Nyn se dost
v
me k dalmu poadavku: chtli bychom minimalizovat prmrnou dlku k&du piazenho symbolu abecedy 6. Pedpokl
d
me pitom, e kad symbol a m
urenou vhu w(a), na kterou se meme dvat jako na pomrnou etnost symbolu a v `typickm textu' nad abecedou 6, a kter
se bere v vahu pi vpotu uvedenho prmru. Jinak eeno, ozname-li dlku bin
rnho etzce r symbolem |r|, budeme chtt, aby v
en dlka k&dov
n c, vd(c) =

X a∈

w (a) · |c(a)|,

(7.4)

byla co nejmen. K&dov
n c pro abecedu 6 je optimln, pokud je pre#xov a m
mezi vemi pre#xovmi k&dov
nmi pro 6 nejmen v
enou dlku. Uvame jako jednoduch pklad abecedu 6 = {A, B, C, D}. Jsou-li vechny v
hy stejn, pak nelze potat s lepm eenm, ne je k&dov
n s k&dy 00, 01, 10 a 11 a s v
enou dlkou 2 (obecn pro n-prvkovou abecedu bychom potebovali log2 n bit). Pedpokl
dejme ovem, e symboly maj n
sledujc v
hy: symbol A B C D v
ha 0.6 0.3 0.05 0.05

(7.5)

7.4. Humanovo kdovn

89

Pak nen vyloueno, e se n
m na v
en dlce poda uetit, pokud astmu symbolu A piadme nejkrat mon k&d, i za ceny prodlouen k&d m
lo frekventovanch symbol C a D. Skuten, napklad k&dov
n symbol A B C D k&d 0 10 110 111 je pre#xov a jeho v
en
dlka je pouze 1.5 = 0.6 × 1 + 0.3 × 2 + 0.05 × 3 + 0.05 × 3. S tmto k&dov
nm tedy na jeden symbol potebujeme prmrn pouze 1.5 bitu! D
se uk
zat, e je to optim
ln k&dov
n. Pre#xov
k&dov
n maj zk vztah k bin
rnm stromm. Nech) T je bin
rn strom, jeho listm jsou vz
jemn jednoznan piazeny symboly z abecedy 6. Ozname list odpovdajc symbolu a ∈ 6 jako
a . Strom T uruje k&dov
n pro abecedu 6, a to n
sledujcm zpsobem. Urme k&d c(a) symbolu a ∈ 6. Ozname vrcholy na cest P (
a) v poad od koene jako r = v0 , v1, . . . , vd =
a . Hledan k&d pak bude posloupnost c(a) = (b1 , . . . , bd ), kde d je hloubka listu
a , vechny bi jsou z mnoiny {0, 1} a bi = 0 ⇐⇒ vrchol vi je levm potomkem vrcholu vi−1 . V opanm smru lze pro kad pre#xov k&dov
n sestrojit odpovdajc bin
rn strom (viz cvien 7.11). Napklad naemu optim
lnmu k&dov
n pro abecedu {A, B, C, D} odpovd
strom na obr. 7.6. Pokusme se peformulovat lohu hled
n optim
lnho k&dov
n v ei bin
rnch strom. A B C

D

Obr
zek 7.6: Bin
rn strom odpovdajc optim
lnmu k&dov
n pro abecedu {A, B, C, D} s v
hami 7.5. Optimln strom pro abecedu 6 = {a1 , . . . , an } s v
hami w(ai) je bin
rn strom T s listy
1, . . . ,
n , jeho prm rn v
en hloubka vh(T ), de#novan
pedpisem n X vh(T ) = w(ai) · h(
i), i=1

je nejmen mon
. Je jasn, e optim
lnmu stromu odpovd
optim
ln k&dov
n pro abecedu 6 s danmi v
hami. (Pozor na rozdl mezi pojmem `optim
ln strom' a termnem `optim
ln vyhled
vac strom' z oddlu 7.3.)

90

Kapitola 7. Stromy

Ne popeme Hu%manv algoritmus pro nalezen optim
lnho stromu, zave*me jet dv de#nice. Vrchol v bin
rnho stromu T je nsledovnkem vrcholu u, pokud u le na cest P (v ). Speci
ln je tedy kad vrchol svm vlastnm n
sledovnkem. Lev (prav) podstrom pod vrcholem v je indukovan podgraf stromu T na mnoin vech n
sledovnk levho (pravho) potomka vrcholu v. Vstupem Humanova algoritmu je abeceda 6 = {a1, . . . , an } spolu s piazenm vah w(ai) symbolm ai ∈ 6. Jeho vstupem je (nkter) optim
ln strom H pro abecedu 6, tzv. Humanv strom. Pslun k&dov
n se oznauje jako Humanovo k"dovn. Algoritmus pracuje s posloupnost koenovch strom s v
enmi listy, kter
se v kadm kroku mn. Vchoz posloupnost P0 = (T1, . . . , Tn ) je tvoena trivi
lnmi stromy Ti o jedinm vrcholu ai s vahou w(ai). Algoritmus skon, a bude nae pracovn posloupnost obsahovat jedin strom, a tm bude hledan Hu%manv strom H . Popime k-t krok algoritmu. V
ha w(T ) libovolnho stromu T je de#nov
na jako souet vah jeho list. Najdeme v pracovn posloupnosti Pk−1 dvojici strom s minim
lnm soutem vah. Takovch dvojic me bt vce abychom se vyhnuli nejednoznanosti, de#nujme mnoinu uspo
danch dvojic Mk−1 = {(s, t) : s < t a souet w (Ts ) + w (Tt ) je minim
ln mon} a najdme v n nejmen prvek (i, j ) v lexikogra#ckm uspo
d
n (viz cvien 3.2). Posloupnost Pk vznikne z posloupnosti Pk−1 n
sledovn: (1) vypustme strom Tj , (2) nahradme strom Ti stromem, jeho koenem je nov pidan vrchol vk , levm podstromem pod koenem je Ti a pravm podstromem pod koenem je Tj (v
hy na listech zst
vaj beze zmny). Vidme, e poet prvk pracovn posloupnosti strom se provedenm k-tho kroku snil o 1. Algoritmus tedy skon po p − 1 krocch. Ilustrujme jeho prbh na pkladu. Nech) jsou pro abecedu 6 = {A, E, G, I, L, R} ureny tyto v
hy: symbol A E G I L R (7.6) v
ha 0.2 0.4 0.06 0.1 0.1 0.14 Najdeme Hu%manv strom pro tuto abecedu. V n
sledujcm schmatickm zn
zornn prbhu Hu%manova algoritmu kad 
dek zachycuje stav pracovn posloupnosti strom v pslunm kroku. Psmena odpovdaj stromm na jednom vrcholu. Strom S na vce vrcholech je zn
zornn symbolem S1 S2 , kde S1 (resp. S2) je lev (resp. prav) podstrom pod

7.4. Humanovo kdovn

91

koenem stromu S . Prvky posloupnosti jsou oddleny mezerami, sla ud
vaj v
hu danho stromu, pro pehlednost n
sobenou stem. A20 E40 G6 I10 L10 R14 A20 E40 G I 16 L10 R14 G I 16 L R 24 A20 E40 A G I 26 L R 24 E40 A GI LR

60

E40

A G I L R E 100 Vsledn Hu%manv strom (kter odpovd
poslednmu 
dku v tomto z
pisu) je na obr. 7.7. Nali jsme tedy n
sledujc optim
ln k&d: I L R symbol A E G k&d 000 1 0010 0011 010 011

E

A

L

R

G I

Obr
zek 7.7: Hu%manv strom pro abecedu s v
hami (7.6). Pomoc tto tabulky nen problm zak&dovat libovoln slovo v abeced 6. Napklad k&d slova ALERGIE je 0000101011001000111. Korektnost Hu%manova algoritmu zaruuje n
sledujc vta, jej dkaz ponech
v
me jako (t) problm na cvien 7.12.

Vta 7.11 Nech 6 = {a1 , . . . , an} je abeceda s vhami w(ai). Strom zkonstruovan Humanovm algoritmem je optimlnm stromem pro tuto abecedu. 2

Cvi
en

I 7.6 Dokate pozorov
n 7.10. I 7.7 Urete prmrnou v
enou hloubku vh(T ) stromu na obr. 7.7.

92

Kapitola 7. Stromy

I 7.8 Zak&dujte pomoc Hu%manova k&dov
n z naeho pkladu slova ELEGIE

a LILIE. Vyplat se pro tato slova Hu%manovo k&dov
n pout? Pro?

I 7.9 Urete slovo, jeho Hu%manv k&d v k&dov
n z naeho pkladu je 01000110010000.

I 7.10 Najdte Hu%manv strom pro abecedu {A, B, C, D, E} s v
hami symbol A B C D E v
ha 0.1 0.15 0.5 0.1 0.15 a urete jeho prmrnou v
enou hloubku.

I 7.11 Ukate, e pre#xov
k&dov
n pro abecedu 6 jsou ve vz
jemn jedno-

znanm vztahu s bin
rnmi stromy, jejich listy jsou oznaeny symboly abecedy 6.

II 7.12 Dokate vtu 7.11.

Npov da. Nech) ai, aj jsou dva symboly s minim
ln vahou. Ukate, e pro abecedu 6 existuje optim
ln strom, ve kterm symboly ai a aj maj stejnho pedchdce. Z tohoto lemmatu plyne vta 7.11 indukc pes n. ]

Kapitola 8 Orientovan
grafy V tto kapitole se budeme zabvat grafy, v nich m
kad
hrana uren smr | tzv. orientovanmi grafy. Smr (orientace) hran se obvykle zn
zoruje ipkami jako na obr. 8.1. 4 5

3

1

2

Obr
zek 8.1: Orientovan graf.

8.1 Denice orientovanch graf

Denice 8.1 Orientovan graf je dvojice (V, E ), kde V je mnoina vrchol a

je mnoina hran. Vimnme si, e hrany jsou nyn prvky kartzskho souinu V × V , a tedy uspodan dvojice vrchol. (Orientovan graf je tedy vlastn tot, co bin
rn relace na mnoin V .) Dvojici (u, v) interpretujeme jako hranu, kter
zan
ve vrcholu u a kon ve vrcholu v. Podle de#nice me bt hranou i dvojice (v, v). Nae orientovan grafy tedy mohou mt smyky. N
sobn hrany ve shodnm smru nad
le nepovolujeme (graf ale me obsahovat dvojici `protichdnch' hran mezi dvma vrcholy). Podobn jako u neorientovanch graf budeme dvojici (u, v) zapisovat prost jako uv. Pojmy podgraf a indukovan podgraf jsou de#nov
ny jako u neorientovanch graf. Z orientovanho grafu G meme snadno vyrobit neorientovan graf E ⊂V ×V

93

94

Kapitola 8. Orientovan grafy

(tzv. symetrizaci grafu G) tak, e `zapomeneme' orientace vech hran. Ppadn smyky odstranme a n
sobn hrany nahradme jednoduchmi. (Viz obr. 8.2.) Nkter pojmy tkajc se neorientovanch graf tak lze pmo aplikovat na grafy orientovan. 'ekneme napklad, e graf G je (slab ) souvisl, je-li jeho symetrizace souvisl
. Komponenty orientovanho grafu G jsou (analogicky k situaci u neorientovanch graf) maxim
ln slab souvisl podgrafy. Pesnji eeno, komponenta je slab souvisl indukovan podgraf s vlastnost, e 
dn indukovan podgraf na vt mnoin vrchol nen slab souvisl. 4 5

3

1

2

Obr
zek 8.2: Symetrizace grafu z obr. 8.1. V opanm smru, u pechodu od neorientovanho grafu k orientovanmu, m
me adu monost, jak hrany opatit ipkami. 'ekneme, e orientovan graf G je orientac grafu H , je-li H symetrizac orientovanho grafu G. Kad neorientovan graf m
tedy adu orientac. Orientovan graf na obr. 8.1 je napklad jednou z orientac grafu na obr. 8.2.

Denice 8.2 Vstupn stupe! d+G(u) vrcholu u orientovanho grafu G = (V, E ) je

poet hran, kter kon ve vrcholu u, tedy poet dvojic xu (kde x ∈ V ) v mnoin hran E . Podobn vstupn stupe! d−G(u) je poet dvojic ux v mnoin hran.

Cvi
en

I 8.1 Dokate, e v orientovanm grafu G = (V, E ) s m hranami plat X

d+ G (v ) =

v∈V

X

d− G (v ) = m.

v∈V

8.2 Siln souvislost Pro orientovan grafy lze snadno upravit de#nice pojm sled, cesta v grafu a krunice v grafu. Znn de#nic je vlastn tm stejn, jedin rozdl je v tom, e kad krok sledu mus nyn respektovat orientaci pslun hrany. Msto pojmu `krunice' pouv
me u orientovanch graf termnu `cyklus'.

8.2. Siln souvislost

95

Denice 8.3 Orientovan sled z vrcholu x do vrcholu y v orientovanm grafu G

je posloupnost vrchol (x = v0 , v1, . . . , vk = y ), ve kter je pro kad i = 1, . . . , k dvojice vi−1 vi hranou grafu G. Orientovan cesta v G je orientovan sled, kter obsahuje kad vrchol nejve jednou. Cyklus v G je orientovan sled, ve kterm je v0 = vk , tento vrchol je v nm obsaen pr
v dvakr
t a vechny ostatn nejve jednou. Graf G na obr. 8.1 obsahuje napklad sled (3, 1, 2, 3, 4, 4), naopak posloupnost (4, 3, 2, 1) sledem nen. Tento graf obsahuje tak cykly (1, 2, 3, 1), (4, 4) (dlka tohoto cyklu je 1) a (1, 2, 1). Slab
souvislost n
m nek
mnoho o existenci orientovanch cest v danm grafu. U orientovanch graf je proto asto pirozenj pracovat se silnj variantou pojmu souvislost.

Denice 8.4 Orientovan graf G je siln souvisl, pokud v nm pro kadou dvojici vrchol x, y existuje orientovan
cesta z x do y i orientovan
cesta z y do x, N
sledujc vta charakterizuje siln souvisl grafy. Jak je asi zejm, k
me, e hrana xy je obsaena v cyklu (v0, v1, . . . , vk = x0 ), pokud pro njak i je x = vi a y = vi+1.

Vta 8.5 Slab souvisl orientovan graf je siln souvisl, prv kdy
ka
d jeho hrana je obsa
ena v n jakm cyklu.

Dkaz. `⇒': Uvame hranu xy orientovanho grafu G. Ze siln souvislosti plyne

existence cesty P z y do x. Pipojenm hrany xy za tuto cestu vznikne cyklus, kter hranu xy obsahuje. `⇐': Nech) x, y je libovoln
dvojice vrchol, a nech) Q je cesta z x do y v symetrizaci slab souvislho orientovanho grafu G. Cesta Q je tedy posloupnost vrchol (x = q0, q1 , . . . , qk = y ), kde pro i = 1, . . . , k je bu* qi−1qi ∈ E (G) (a ekneme, e jde o dobe orientovanou hranu cesty Q) nebo qi−1 qi ∈/ E (G) a qi qi−1 ∈ E (G) (patn orientovan
hrana). Kad
patn orientovan
hrana qi qi−1 je obsaena v cyklu speci
ln existuje orientovan
cesta Ri z qi−1 do qi . Nahradme-li v cest Q kadou patn orientovanou hranu pslunou cestou Ri , zsk
me orientovan sled z x do y . Podle cvien 8.3 tedy existuje orientovan
cesta z x do y . Vzhledem k tomu, e dvojice x, y byla libovoln
, graf je siln souvisl. 2 De#nujme na vrcholech orientovanho grafu G relaci oboustrann dosa
itelnosti ∼: pro vrcholy x, y plat x ∼ y , pokud v G existuje orientovan
cesta z x do y i naopak. S pouitm cvien 8.3 je snadn dok
zat, e tato relace je ekvivalenc. Tento fakt meme pout v de#nici tzv. kvazikomponent, kter jsou obdobou komponent pro silnou souvislost. K jejmu pochopen me pomoci vr
tit se k de#nici pojmu komponenta v kapitole 5.

96

Kapitola 8. Orientovan grafy

Denice 8.6 Kvazikomponenta orientovanho grafu G je kad jeho indukovan podgraf na mnoin vrchol, kter
tvo nkterou z td ekvivalence ∼.

De#nici ilustruje graf na obr. 8.3(a) s 2 komponentami a celkem 5 kvazikomponentami, zn
zornnmi na obr. 8.3(b). Podobn orientovan graf na obr. 8.1 m
ti kvazikomponenty, jejich mnoiny vrchol jsou {1, 2, 3}, {4} a {5}. C4 C3

C5

(a)

C1

C2

(b)

Obr
zek 8.3: Orientovan graf a jeho kvazikomponenty. Cvi
en

I 8.2 Najdte pklad slab souvislho orientovanho grafu na 6 vrcholech, kter

m
3 kvazikomponenty.

I 8.3 Dokate, e v orientovanm grafu existuje orientovan
cesta z vrcholu x

do vrcholu y , pr
v kdy v nm existuje orientovan sled z x do y .

I 8.4 Dokate, e kvazikomponenty orientovanho grafu G jsou pr
v jeho ma-

xim
ln siln souvisl podgrafy | jinmi slovy, jsou to pr
v ty podgrafy H , pro kter plat, e je-li H vlastnm podgrafem jinho grafu K ⊂ G, pak K nen siln souvisl.

I 8.5 Formulujte algoritmus na nalezen kvazikomponent orientovanho grafu.

8.3 Acyklick orientovan grafy

Denice 8.7 Orientovan graf je acyklick, pokud neobsahuje 
dn cyklus. Slab souvisl acyklick orientovan grafy jsou tedy z jistho hlediska obdobou strom, tj. souvislch graf, kter neobsahuj 
dnou krunici.

8.3. Acyklick orientovan grafy

97

Denice 8.8 Vstupn vrchol orientovanho grafu G je vrchol, jeho vstupn stu-

pe d+G(v) je nulov. Podobn vstupn vrchol je vrchol, pro kter je d−G(v) = 0.

Acyklick grafy lze charakterizovat z hlediska existence vstupnch vrchol v jejich podgrafech.

Vta 8.9 Orientovan graf G s konenou mno
inou vrchol je acyklick, prv

kdy
ka
d jeho neprzdn podgraf H ⊂ G obsahuje vstupn vrchol.

Dkaz. `⇒': Zvolme vrchol v0. Nen-li vstupn, vede do nj njak
hrana, dejme tomu z vrcholu v1. Opakov
nm tto vahy zsk
me nejve po n + 1 krocch (kde n je poet vrchol) bu*to vstupn vrchol. nebo posloupnost n + 1 vrchol (v0 , v1, . . . , vn), ve kter se mus nkter vrchol vyskytovat dvakr
t, eknme vi = vj a i < j . Ve druhm ppad by ale podposloupnost vj , vj−1 , . . . , vi byla cyklem v acyklickm grafu G. `⇐': Pedpokl
dejme existenci vstupnch vrchol a dokame, e orientovan graf G je acyklick. Nech) obsahuje cyklus C . Tento cyklus uruje podgraf H grafu G, sest
vajc z hran a vrchol, ktermi C proch
z. Vechny vstupn i vstupn stupn v podgrafu H jsou rovny jedn. To je spor. 2 Lze oek
vat, e podobn vsledek plat i pro vstupn vrcholy. Dsledek 8.10 Orientovan graf G je acyklick, prv kdy
v ka
dm jeho ne-

przdnm podgrafu H ⊂ G existuje vstupn vrchol.

Dkaz. Otome-li smr kad hrany grafu G, acyklinost zstane zachov
na a

vstupn vrcholy pech
zej na vstupn a naopak. 2 N
sledujc vta charakterizuje acyklick grafy jako takov, na nich existuje uspo
d
n vrchol konzistentn se smry vech hran.

Vta 8.11 Orientovan graf G je acyklick, prv kdy
jeho vrcholy lze seadit

do posloupnosti (v1 , . . . , vn ) tak,
e pro ka
dou hranu vi vj grafu G plat i < j .

Dkaz. `⇒': Polome G1 = G. Podle vty 8.9 existuje vstupn vrchol v1 acyklickho orientovanho grafu G1. Nech) G2 = G1 − v1 je orientovan graf vznikl odstrannm vrcholu v1 (a vech hran, kter ho obsahuj). To je podgraf grafu G, a m
tedy vstupn vrchol v2. Opakov
nm tohoto postupu dostaneme posloupnost vrchol (v1, . . . , vn ). Dejme tomu, e vivj ∈ E (G), ale pitom i > j . Pak ale vi ∈ V (Gj ) a kvli hran vi vj neme vj bt vstupnm vrcholem grafu Gj , co je spor. `⇐': Mjme vrcholy seazeny do posloupnosti s uvedenou vlastnost a pedpokl
dejme, e G obsahuje cyklus (vi0 , vi1 , . . . , vi ;1 , vi = vi0 ). Pak plat, e vi0 vi1 ∈ E (G) a tedy i0 < i1 . Obecnji dost
v
me k

i0 < i1 < i2 < · · · < ik−1 < i0 ,

k

98

Kapitola 8. Orientovan grafy

co nen mon. Tm je dkaz hotov. 2 V dkazu vty 8.11 se vlastn skrv
efektivn algoritmus pro test acyklinosti orientovanho grafu G = G1 . V jeho i-tm kroku postupujeme n
sledovn: (1) Je-li Gi graf na jedinm vrcholu, algoritmus kon. Graf G je acyklick. (2) Pokud graf Gi obsahuje njak vstupn vrchol vi, polome Gi+1 = Gi − vi a pokraujeme krokem i + 1. (3) V opanm ppad graf G nen acyklick a algoritmus kon. V kadm z O(n) krok tohoto algoritmu je poteba najt vstupn vrchol v grafu o nejve n vrcholech. Pi pouit postupu, kter plyne z dkazu vty 8.9, lze vstupn vrchol najt v ase O(n). Celkov
asov
sloitost popsanho algoritmu je tedy O(n2). Cvi
en

I 8.6 Najdte pro acyklick orientovan graf na obr. 8.4 posloupnost vrchol

splujcch podmnku vty 8.11. I 8.7 Najdte (nekonen) acyklick orientovan graf, kter neobsahuje vstupn vrchol. 5

4

6

3

1

2

Obr
zek 8.4: Acyklick orientovan graf.

8.4 Tranzitivn uzvr Vme ji, e orientovan grafy s mnoinou vrchol V jednoznan odpovdaj bin
rnm relacm na mnoin V (viz cvien 8.8). Denice 8.12 Tranzitivn uzv r orientovanho grafu G je orientovan graf G+ takov, e V (G+) = V (G) a  x = y a v G existuje orientovan
cesta z x do y , + xy ∈ E (G ), pokud x = y a vrchol x le na njakm cyklu v G.

8.5. Kondenzace

99

Vimnme si, e graf G je podgrafem grafu G+ a e G je acyklick, pr
v kdy neobsahuje 
dnou smyku. N
sledujc vta charakterizuje acyklick grafy jako grafy, jejich (mrn rozen) tranzitivn uz
vr je grafem uspo
d
n na V (G). G+

Vta 8.13 Orientovan graf

= (V, E ) bez smyek je acyklick, prv kdy
graf G , vznikl pidnm vech smyek k tranzitivnmu uzv ru G+, je grafem uspodn (tj. E (G∗) je relace uspodn na V (G∗) = V (G)). G

∗

Dkaz. `⇒': Nech) G je acyklick. Dky pidanm smyk
m je E (G∗) re0exvn

relace. Je tak slab antisymetrick
, nebo) xy ∈ E (G∗) a yx ∈ E (G∗) by pro rzn x, y znamenalo, e G obsahuje orientovan sled z x do y i naopak. Uvame podgraf H sloen z vrchol a hran obou tchto sled v tomto podgrafu je vstupn stupe kadho vrcholu aspo 1. Neobsahuje tedy vstupn vrchol, co je ve sporu s vtou 8.9. `⇐': Nech) E (G∗ ) je uspo
d
n. Pro n
zornost zapisujme xy ∈ E (G∗) jako x ≤ y . Pedpokl
dejme, e G obsahuje cyklus C = (x0 , x1 , . . . , xk = x0 ). Pak pro kad i = 0, . . . , k − 1 plat xi xi+1 ∈ E (G), jinak eeno xi ≤ xi+1 . Z tranzitivity je tedy x0 ≤ xk−1. Vme vak, e tak xk−1 x0 ∈ E (G), take xk−1 ≤ x0 . Z antisymetrinosti relace E (G∗) mus bt x0 = xk−1 . Cyklus C m
tedy dlku 1 a mus to bt smyka. To je spor s pedpokladem, e G je bez smyek. 2 Cvi
en

I 8.8 Nech) G = G(R) je orientovan graf bin
rn relace R na mnoin V . Jak z grafu G pozn
me, zda je relace R: (a) re0exvn, (b) symetrick
, (c) antisymetrick
?

I 8.9 Formulujte algoritmus pro nalezen tranzitivnho uz
vru orientovanho grafu.

8.5 Kondenzace

Denice 8.14 Kondenzace orientovanho grafu G je orientovan graf Gc, jeho

vrcholy jsou kvazikomponenty grafu G, a pro rzn kvazikomponenty Q1 , Q2 ∈ plat

V (G c )

Q1 Q2 ∈ E (Gc ),

pokud pro njak x1 ∈ V (Q1 ), x2 ∈ V (Q2) je x1x2 ∈ E (G).

100

Kapitola 8. Orientovan grafy

Kondenzaci si lze pedstavit tak tak, e kadou kvazikomponentu grafu G `st
hneme' do jedinho vrcholu hrany, kter vedly mezi rznmi kvazikomponentami, nyn povedou mezi tmito novmi vrcholy. Vynech
me ovem smyky. V ppad, e mezi dvma vrcholy povede vce hran v tme smru, nahradme je jedinou hranou. Vezmme jako pklad opt graf na obr. 8.3. Vme, e m
pt kvazikomponent C1 , . . . , C5 . Jeho kondenzac je orientovan graf na obr. 8.5a. Kondenzace grafu G z obr. 8.1 je zn
zornna na obr. 8.5b. U kadho vrcholu je zde uvedena mnoina vrchol pslun kvazikomponenty grafu G. C5

C4

C1

C2

(a)

{5}

C3

{1, 2, 3}

{4}

(b)

Obr
zek 8.5: Kondenzace (a) grafu z obr. 8.3, (b) grafu z obr. 8.1.

Vta 8.15 (Vta o kondenzaci) Pro orientovan graf G plat:

je acyklick orientovan graf. G je siln souvisl, prv kdy
Gc m jedin vrchol. G je acyklick, prv kdy
G = Gc . Dkaz. (i) Nech) L je cyklus v Gc, proch
zejc po ad vrcholy C1 , C2, . . . , Ck , Ck+1 = C1 grafu Gc (viz obr. 8.6). Pro 1 ≤ i ≤ k uvame hranu Ci Ci+1 cyklu L. Vrcholy Ci, Ci+1 odpovdaj kvazikomponent
m grafu G. Z de#nice kondenzace existuj vrcholy xi ∈ V (Ci) a yi+1 ∈ V (Ci+1 ) tak, e xi yi+1 je hrana grafu G. Polome pro jednoduchost y1 := yk+1. M
me tedy k-tici hran, kter vedou postupn z kvazikomponenty C1 do C2, z C2 do C3 atd., a nakonec z Ck do C1. Tyto hrany na sebe nemus navazovat, ale v kad kvazikomponent Ci jist existuje cesta Pi z vrcholu yi do xi. N
sledujc posloupnost hran a cest tedy tvo cyklus L
v grafu G: (i) (ii) (iii)

Gc

x1 y2 , P2 , x2 y3 , P3 , . . . , Pk , xk y1 , P1 .

Vimnme si, e po cyklu L
lze v grafu G dojt z vrcholu y2 do vrcholu x1 . V opanm smru pitom mezi tmito vrcholy vede hrana. Oboustrann
dosaitelnost tchto vrchol je ve sporu s tm, e vrcholy le v rznch kvazikomponent
ch. (ii) a (iii): Snadn dkaz pmo z de#nic ponech
v
me jako cvien 8.10. 2

8.5. Kondenzace

101 C3

x3

y3

x2

y1 x1 C1

y2 C2

Obr
zek 8.6: Konstrukce cyklu L
v grafu G. $
rkovan oblasti jsou kvazikomponenty C1, C2, C3 grafu G (vrcholy cyklu L v Gc ). Cvi
en

I 8.10 Dokate body (ii) a (iii) vty 8.15. I 8.11 Najdte kondenzaci graf na obr. 8.7.

(a)

(b)

Obr
zek 8.7: Grafy ke cvien 8.11.

102

Kapitola 8. Orientovan grafy

Kapitola 9 Matice a poet koster Graf (orientovan i neorientovan) lze popsat matic, a to hned nkolika rznmi zpsoby. Tmatem tto kapitoly jsou incidenn matice orientovanch graf a to, jak algebraick vlastnosti tchto matic zachycuj vlastnosti pslunch graf. Uk
eme si pedevm pozoruhodnou, a spektakul
rn aplikaci incidennch matic, pi kter spot
me vechny kostry libovolnho neorientovanho grafu pomoc determinantu jist jednodue de#novan matice. Mimo jin dostaneme odpov* na n
sledujc ot
zku: Kolik existuje rznch strom na pevn dan n-prvkov mnoin vrchol? Zdraznme, e se jedn
o rzn, nikoli neisomorfn stromy. Na tprvkov mnoin vrchol napklad existuj 3 rzn stromy, ale vechny jsou navz
jem isomorfn. (Viz tak cvien 7.1.)

9.1 Incidenn matice Nech) G je v celm tomto oddlu orientovan graf s vrcholy V = {v1 , . . . , vn } a hranami E = {e1 , . . . , em}. Budeme tak pedpokl
dat, e graf G neobsahuje smyky.

Denice 9.1 Incidenn matice M (G) orientovanho grafu G je re
ln
matice o rozmrech n × m, de#novan
vztahem M (G) = (mij ), kde 8 <

mij

=:

+1 pokud hrana ej vych
z z vrcholu vi, −1 pokud hrana ej vch
z do vrcholu vi , 0 jinak. 103

104

Kapitola 9. Matice a poet koster v4 e4 v1

e3 e5

e1

v3 e2 v2

Obr
zek 9.1: Orientovan graf. Graf na obr. 9.1 m
tedy n
sledujc incidenn matici: 2 3 1 0 0 −1 1 6−1 1 0 0 0 77 , 6 4 0 −1 1 0 −15 0 0 −1 1 0 v n 
dky odpovdaj po ad vrcholm v1, . . . , v4 a sloupce hran
m e1, . . . , e5. Vimnme si, e kdyby graf G obsahoval smyky, nebyla by jeho incidenn matice dobe de#nov
na | smyka toti z pslunho vrcholu vch
z, ale z
rove z nj vych
z. Proto n
 pedpoklad, e G je bez smyek. Zdraznme jet jednu dleitou vlastnost incidennch matic, jejm dsledkem jsou rzn jejich speci
ln vlastnosti, kter uvidme v n
sledujcch oddlech (nap. Vta 9.6). V ka
dm sloupci matice M (G) jsou prv dva nenulov prvky, z nich
jeden je +1 a druh je −1. Dvodem je samozejm fakt, e kad
hrana obsahuje pr
v dva vrcholy, piem v prvnm zan
a ve druhm kon. Cvi
en

I 9.1 Urete incidenn matice graf na obr. 9.2 (s danm oznaenm vrchol a hran).

I 9.2 V jakm vztahu jsou matice M (G) a M (H ), jsou-li grafy G a H isomorfn?

9.2 dky jako vektory Incidenn matice M (G) m
n 
dk a m sloupc. Na kad 
dek se tak meme dvat jako na vektor o m slok
ch, pesnji prvek vektorovho prostoru Rm. '
dky odpovdaj vrcholm grafu G, a my budeme 
dek odpovdajc vrcholu vi oznaovat jako vi. (Sloupec odpovdajc hran ej budeme znait jako ej .)

9.2. dky jako vektory e3

v4

105 v3

v6

e5

v5

e4

v4

e6 e4 v1

e5 e1

e2

e7

v2

v1

(a)

e8 e1

e9 v2

e3 e2

v3

(b)

Obr
zek 9.2: Urete incidenn matice. Jako v kadm vektorovm prostoru, i v prostoru Rm je de#nov
n pojem line
rn z
vislosti. Pro pipomenut: Mnoina vektor w1 , . . . , wk z vektorovho prostoru W (nad tlesem re
lnch sel) je linern zvisl, pokud existuj re
ln koe#cienty α1, . . . ,αk tak, e k X i=1

αi wi

=0

a pitom ne vechny koe#cienty αi v tto linern kombinaci vektor wi jsou rovny nule. Jak m
vznam, je-li urit
mnoina 
dk matice M (G) line
rn z
visl
? Co to k
o odpovdajc mnoin vrchol grafu G? Klem k odpovdm na tyto ot
zky je n
sledujc nen
padn tvrzen.

Tvrzen 9.2 Nech K je komponenta orientovanho grafu G, a nech

n X i=1

αi vi

=0

je nulov linern kombinace vektor vi . Potom pro vechny vrcholy vk z komponenty K jsou si koecienty αk navzjem rovny.

Dkaz. Nejsou-li na komponent K vechny koe#cienty αk shodn, pak (dky

slab souvislosti) mus existovat hrana ej ∈ E (K ) takov
, e jej po
ten vrchol vp a koncov vrchol vq maj rzn koe#cienty αp = αq . Vzpomeme si, e M (G) obsahuje v j -tm sloupci (ve sloupci hrany ej ) jen dva nenulov prvky:P+1 v p-tm 
dku a −1 v q-tm 
dku. Odtud plyne, e j -t
sloka vektoru ni=1 αi vi je rovna rozdlu αp − αq . O zmnnm vektoru ale pedpokl
d
me, e je nulov, take i αp = αq . To je spor. 2

106

Kapitola 9. Matice a poet koster

Cvi
en

I 9.3 Jsou re
ln vektory (0, 1, −2), (1, −1, 1) a (2, −1, 0) line
rn z
visl? Jak to lze poznat pomoc determinantu matice?

9.3 Hodnost incidenn matice Hodnost h(M ) matice M je maxim
ln velikost line
rn nez
visl mnoiny jejch 
dk. Lze hodnost incidenn matice M (G) urit z vlastnost grafu G? Pedevm si vimnme, e matice M (G) nikdy neme mt plnou hodnost n. Seteme-li toti vechny 
dky, dva nenulov prvky v kadm sloupci se vz
jemn vyru a vyjde nulov vektor. Jedn
se tedy o nulovou line
rn kombinaci 
dk matice M (G) (v n jsou vechny koe#cienty rovny jedn). Mnoina vech 
dk matice M (G) je line
rn z
visl
.

Vta 9.3 Pro slab souvisl graf G m matice M (G) hodnost n − 1. Plat dokonce,
e kad
mno
ina n − 1 dk matice M (G) je linern nezvisl.

Dkaz. Nech) G je slab souvisl a S je mnoina n P − 1 
dk matice M (G). Uk
eme, e S je line
rn nez
visl
. Dejme tomu, e v ∈S αivi = 0 je nulov
i

line
rn kombinace 
dk z S a rozime tuto kombinaci na vechny 
dky M (G) tm, e pro (jedin) 
dek vk ∈/ S polome αk = 0. Dostaneme line
rn kombinaci n X i=1

αi vi

=0

a podle tvrzen 9.2 mus bt vechny koe#cienty αi shodn (protoe slab souvisl graf G m
jedinou komponentu). Kvli koe#cientu αk jsou tedy vechny nulov. Dok
zali jsme, e mnoina S je line
rn nez
visl
, a speci
ln tak h(M (G)) = n − 1. 2 Toto tvrzen lze zobecnit i na grafy, kter nejsou slab souvisl:

Vta 9.4 Orientovan graf G m pesn k komponent, prv kdy
h(M (G)) = n − k.

Dkaz. `⇒': Nech) G m
k komponent C1, . . . , Ck . Nejprve dok
eme, e hod-

nost matice M (G) je nejve n − k. Nech) S je mnoina alespo n − k + 1 
dk. Mus existovat komponenta Cp s vlastnost, e S obsahuje vechny 
dky odpovdajc vrcholm Cp, protoe kdyby S z kad komponenty aspo jeden 
dek vynechala, obsahovala by jich nejve n − k. Seteme-li nyn vechny 
dky vi pro vi ∈ V (Cp ), dostaneme nulov vektor: kad
hrana ej m
v Cp bu* oba konce (a pslun souet je 1 + (−1)), nebo ani jeden (a pak st
me sam nuly). Tato nulov
line
rn kombinace 
dk z S ukazuje, e mnoina S je line
rn z
visl
. Proto h(M (G)) ≤ n − k.

9.4. Faktory jako mnoiny sloupc

107

Vyberme nyn njakou mnoinu 
dk S o velikosti n − k, kter
pro kadou komponentu Li obsahuje vechny 
dky odpovdajc vrcholm Li krom jedinho. Tvrdme,Pe S je line
rn nez
visl
. Kdyby tomu tak nebylo, rozime line
rn z
vislost v ∈S αivi = 0 na vechny 
dky matice M (G) poloenm αi = 0 pro vechny vi ∈/ S : n X αi vi = 0. i

i=1

Podle tvrzen 9.2 jsou vechny koe#cienty na kad komponent Li shodn. Protoe pro kadou komponentu existuje vrchol s nulovm koe#cientem, mus bt αi = 0 pro kad i, take S je vskutku line
rn nez
visl
. Hodnost matice M (G) je tedy pr
v n − k. `⇐': Nech) h(M (G)) = n − k. Podle dok
zan implikace je hodnost incidenn matice grafu s i komponentami rovna n − i. Graf G tedy mus mt pesn k komponent. 2 Cvi
en

I 9.4 Urete hodnost incidenn matice orientovanho grafu na 3k vrcholech,

tvoenho k disjunktnmi cykly dlky 3. Jak vypadaj line
rn nez
visl mnoiny 
dk o maxim
ln velikosti?

9.4 Faktory jako mnoiny sloupc Vme, e setenm vech 
dk matice M (G) dostaneme nulov vektor. Lze ji tedy rekonstruovat z matice MR (G), vznikl vyputnm poslednho 
dku matice M (G). Jinak eeno, matice MR (G) (kterou nazv
me redukovan incidenn matice grafu G) poskytuje o orientovanm grafu G plnou informaci. Sloupce incidenn matice M (G) odpovdaj hran
m grafu G. Pro n
s bude dleit, e mnoiny sloupc tto matice odpovdaj uritm podgrafm grafu G. Pipomeme z de#nice 7.5, e faktor grafu G je libovoln podgraf H ⊂ G, pro kter je V (H ) = V (G). Kad faktor grafu G je tedy jednoznan uren svou mnoinou hran. Tm je tak d
n vz
jemn jednoznan vztah mezi tmito faktory a mnoinami sloupc matice MR (G): faktor FS , piazen mnoin sloupc S , obsahuje pr
v ty hrany ej , jejich sloupec ej pat do S . V n
sledujc vt #guruj tvercov podmatice matice MR (G) 
du n − 1. Vzhledem k tomu, e MR (G) m
pr
v n − 1 
dk, je kad
takov
podmatice urena n − 1-prvkovou mnoinou sloupc. Pro mnoinu sloupc S ozname pslunou podmatici jako AS . Pro neorientovan grafy jsme de#novali pojem kostry. Do oblasti orientovanch graf jej peneseme takto: podgraf H orientovanho grafu G je jeho kostrou, pokud symetrizace grafu H je kostrou symetrizace grafu G, a navc H neobsahuje smyky ani protichdn hrany.

108

Kapitola 9. Matice a poet koster

Vta 9.5 Nech G je slab souvisl orientovan graf bez smyek. Potom tver-

cov podmatice AS matice MR (G) du n− 1 je regulrn, prv kdy
odpovdajc faktor FS je kostrou grafu G. Dkaz. `⇒': Nech) matice AS je regul
rn. Z de#nice plyne, e AS je redukovanou matic incidence faktoru FS , tedy AS = MR (FS ). Protoe h(AS ) = n − 1, mus mt (neredukovan
) matice M (FS ) maxim
ln monou hodnost n − 1. Podle vty 9.4 je FS slab souvisl. Navc urit neobsahuje protichdn hrany, protoe pslun sloupce by byly a na znamnko shodn a AS by nebyla regul
rn matice. Symetrizace faktoru FS je tedy souvisl graf s n − 1 hranami. Podle vty 7.4 se mus jednat o strom. Odtud dost
v
me tvrzen vty. `⇐': Nech) faktor FS je kostrou grafu G. Je tedy slab souvisl a podle vty 9.3 tvo prvnch n − 1 
dk matice M (FS ) line
rn nez
vislou mnoinu. Proto h(MR (FS )) = n − 1 a matice AS = MR (FS ) je regul
rn. 2 Cvi
en

I 9.5 Kolik faktor m
graf o n vrcholech a m hran
ch?

9.5 Po tn koster $tvercov podmatice matice incidence maj zajmavou vlastnost, kter se k
totln unimodularita : Vta 9.6 Je-li M (G) incidenn matice orientovanho grafu G (bez smyek) a je-li B jej tvercov podmatice du r (kde 1 ≤ r ≤ n), potom determinant matice B je 0 nebo ±1. Dkaz. Indukc podle r. Pro r = 1 je tvrzen jasn z de#nice incidenn matice. Pedpokl
dejme, e r > 1. Pokud matice B obsahuje nulov sloupec, je det B = 0. Pokud obsahuje sloupec s jedinou nenulovou hodnotou bij , pak z rozvoje podle tohoto sloupce dost
v
me det B = ± det B
, kde B
vznikne z B odstrannm i-tho 
dku a j -tho sloupce. Podle induknho pedpokladu je det B
∈ {0, 1, −1}, take tot mus platit pro matici B . Meme tedy pedpokl
dat, e kad sloupec matice B obsahuje pr
v dv nenulov hodnoty (tj. 1 a −1). Setenm vech 
dk nutn dostaneme nulov vektor to znamen
, e matice B je singul
rn a det B = 0. I v tomto poslednm ppad tvrzen plat. 2 Pi pot
n koster grafu se neobejdeme bez Cauchy{Binetovy1 vty, kterou nebudeme dokazovat. Jej zhruba dvoustr
nkov dkaz lze najt nap. v knize 4]. 1

Augustin-Louis Cauchy (1789{1857) a Jacques Philippe Marie Binet (1786{1856).

9.5. Potn koster

109

Vta 9.7 (Cauchy{Binetova vta) Nech B je matice o rozm rech r × s, kde r ≤ s.

Potom plat,
e

X

det(B · B T ) =

(det BI )2,

I

kde I probh vechny r-prvkov mno
iny sloupc a matice B , uren sloupci z mno
iny I . 2

BI

je tvercov podmatice

Nyn ji meme vyslovit vtu, kter
d
v
do souvislosti determinanty a poet koster.

Vta 9.8 Nech G je slab souvisl orientovan graf bez smyek a A = MR (G). Potom poet koster grafu G je roven determinantu matice A · AT .

Dkaz. Podle Cauchy{Binetovy vty je det(A · AT ) =

X

(det AS )2 ,

(9.1)

S

kde S probh
(n − 1)-tice sloupc matice A. Podle vty 9.5 (ve kter m
symbol AS stejn vznam jako zde) je det AS = 0 pesn pro ty mnoiny S , pro n je faktor FS kostrou. Ostatn mnoiny S souet v (9.1) neovlivn. Je-li FS kostra, pak podle vty 9.6 je det AS = ±1, take (det AS )2 = 1. Kad
kostra tedy v soutu (9.1) pispje jednikou a vidme, e det(A · AT ) skuten pot
kostry grafu G. 2

P klad 9.9 Jako aplikaci vty 9.8 spotejme kostry grafu G, kter je de#nov
n jako cyklus dlky 3. Jeho redukovan
incidenn matice je

1 0 −1 MR (G) = −1 1 0 take







, 

det MR (G) · (MR (G)) = det −21 −21 = 3. Graf G m
tedy 3 kostry (co n
s asi pli nepekvap). T

Cvi
en

I 9.6 Spotejte pomoc vty 9.8 kostry grafu na obr. 9.1.

110

Kapitola 9. Matice a poet koster

9.6 Po tn koster: neorientovan grafy Nech) je d
n neorientovan graf G. Chceme-li `v praxi' potat jeho kostry pomoc determinant, lze to zadit snadnji ne pomoc vty 9.8. K jejmu pouit bychom nejprve museli graf G libovoln zorientovat a zskat tak orientovan graf  , d
le spotat souin MR (G  ) · (MR (G  ))T a konen zjistit jeho determinant. G Uveden souin vak (jak uvidme) z
vis pouze na grafu G, nikoli na zvolen orientaci, a lze jej navc snadno odvodit pmo z grafu G. Tm se vyhneme nutnosti n
soben matic.

Vta 9.10 Nech G je neorientovan graf s vrcholy V = {v1, . . . , vn} a G n jak

jeho orientace bez smyek a nsobnch hran. Dle polo
me  ) · (M (G  ))T L = M (G

(tzv. Laplaceova matice grafu G).

Potom pro prvky tvercov matice L = (
ij ) du n plat: 8 < dG (vi )


ij

=:

Navc plat,
e matici L
= dku a sloupce z matice L.

pokud i = j , −1 pokud vi vj ∈ E (G), 0 jinak.

 ) · (MR (G  ))T MR (G

zskme vyput nm poslednho

Dkaz. Poloku
ij matice L zsk
me jako skal
rn souin vi · vj , tedy souin

i-tho

a j -tho 
dku matice M (G ). Pokud i = j , pak kad
hrana obsahujc vrchol vi (nez
visle na smru) pispje k tomuto skal
rnmu souinu 1, take vi · vi = dG(vi ). Pro i = j jsou vrcholy vi, vj spojeny nejve jednou hranou, tj. vektory vi, vj jsou nejve v jedn souadnici oba nenulov. Snadno vidme, e souin vi · vj je −1 resp. 0 podle toho, zda vivj je hranou nebo ne. Druh

st vty pmo plyne z de#nice n
soben matic. 2 Rychlej postup pot
n koster neorientovanho grafu, zaloen na tto vt, si uk
eme na n
sledujcm pkladu.

P klad 9.11 Uvame neorientovan graf G na obr. 9.3. Napime pmo jeho Laplaceovu2 matici:

2

3

2 −1 0 0 −1 6−1 2 −1 0 0 77 6 7 L=6 6 0 −1 3 −1 −17 . 4 0 0 −1 2 −15 −1 0 −1 −1 3 2 Pierre-Simon

Laplace (1749{1827).

9.6. Potn koster: neorientovan grafy

111

v4 v5

v3

v1

v2

Obr
zek 9.3: Graf z pkladu 9.11. Podle vt 9.10 a 9.8 sta z matice L vynechat posledn 
dek a sloupec, a determinant vsledn matice L
je poet koster grafu G. Pmm vpotem zjistme, e 2 3 2 −1 0 0 6 7 det L
= det 64−01 −21 −31 −0175 = 11. 0 0 −1 2 Graf G m
tedy 11 koster. Vra)me se k ot
zce, kterou jsme tuto kapitolu zah
jili: kolik existuje rznch strom na n-prvkov mnoin vrchol? Lze ji formulovat tak takto: kolik rznch koster m
pln graf na n vrcholech? Vta 9.12 pln graf na n ≥ 2 vrcholech m nn−2 rznch koster. Dkaz. Laplaceova matice Ln grafu Kn je tvercov
matice 
du n a vypad
takto: 2 3 n − 1 −1 −1 . . . −1 6 −1 n − 1 −1 . . . −1 7 6 7 6 −1 7 − 1 n − 1 . . . − 1 Ln = 6 7. 6 .. ... ... . . . ... 75 4 . −1 −1 −1 . . . n − 1 Determinant matice L
n , kter
vznikne odstrannm poslednho 
dku a sloupce, je hledan poet koster. Pitme k prvnmu 
dku matice L
n vechny ostatn 
dky, a n
sledn pitme tento nov prvn 
dek ke vem ostatnm. Determinant se nezmn, take 3 2 1 1 1 ... 1 60 n 0 . . . 0 7 7 6 60 0 n . . . 0 7
det Ln = det 66 7. . . . .7 4 .. .. .. . . . .. 5 0 0 0 ... n Matice na prav stran m
n − 1 
dk, take rozvojem podle prvnho sloupce dost
v
me det L
n = nn−2. 2

112

Kapitola 9. Matice a poet koster

Cvi
en

I 9.7 Urete poet koster graf na obr. 9.4.

(a)

(b)

(c)

(d)

Obr
zek 9.4: Urete poet koster.

I 9.8 Osvte si potebn pojmy z line
rn algebry a ukate, e pro Laplaceovu

matici L(G) neorientovanho grafu G plat: (a) L(G) je pozitivn semide#nitn, (b) vlastn vektor pslun vlastnmu slu 0 je vektor s jednotkovmi slokami, (c) je-li G souvisl, pak vlastn slo 0 m
n
sobnost 1.

Kapitola 10 Linern prostory grafu Metoda pot
n koster pomoc determinant nen jedinm pojtkem mezi teori graf a line
rn algebrou. V tto kapitole uvidme, jak lze kadmu neorientovanmu grafu pirozenm zpsobem piadit dva line
rn prostory nad tlesem Z2 (prostor krunic a prostor ez) a prozkoum
me vlastnosti tchto prostor.

10.1 Incidenn matice neorientovanho grafu Podobn, jako jsme de#novali incidenn matici pro orientovan grafy, lze ji zavst i pro grafy neorientovan. Vzhledem k tomu, e hrany tchto graf nemaj smr, vystame zde s hodnotami 0 a 1. Je-li tedy G neorientovan graf s n vrcholy v1 , . . . , vn a m hranami e1 , . . . , em , pak jeho incidenn matice M (G) je de#nov
na pedpisem M (G) = (mij ), kde mij

=



1 pokud vi ∈ ej , 0 jinak

pro i = 1, . . . , n a j = 1, . . . , m. v4 e4 v1

e3 e5

e1

v3 e2 v2

Obr
zek 10.1: Neorientovan graf H . Graf na obr. 10.1 m
napklad n
sledujc incidenn matici (i-t 
dek od113

114

Kapitola 10. Linern prostory grafu

povd
vrcholu vi, j -t sloupec hran ej ): 2 3 1 0 0 1 1 61 1 0 0 07 7 M (H ) = 6 40 1 1 0 15 . 0 0 1 1 0 Vimnme si, e kad sloupec incidenn matice nyn obsahuje pr
v dva prvky, kter jsou rovny jedn. Stejn jako u orientovanch graf tak dok
eme jednoznan zrekonstruovat posledn 
dek z 
dk pedch
zejcch. Asi bychom proto ekali, e 
dky takovto matice jsou opt line
rn z
visl. Ve uveden
matice M (H ) m
vak pekvapiv hodnost 4, tedy maxim
ln monou! Z
hada m
jednoduch een: S incidenn matic neorientovanho grafu je teba pracovat nad t lesem Z2 . Co to pesn obn
, uvidme v n
sledujcm oddlu.

10.2 Hodnost nad Z2 '
dky matice M (G) jsou vektory sloen z m nul a jedniek. Meme je tedy interpretovat jako prvky vektorovho prostoru Zm2 dimenze m nad tlesem Z2 . Veker
aritmetika v tomto prostoru je prov
dna `po slok
ch' a modulo 2. Pipomeme, e mnoina vektor {w1, . . . , wk } ⊂ Zm2 je linern zvisl nad Z2 , pokud existuj koe#cienty α1 , . . . , αk ∈ Z2 (ne vechny nulov), pro n je k X i=1

αi wi

= 0,

piem samozejm st
le pot
me nad tlesem Z2 . Vzhledem k tomu, e koe#cienty mohou bt pouze 0 nebo 1, a nulov koe#cienty souet neovlivn, je vidt, e mnoina vektor je line
rn z
visl
nad Z2 , pr
v kdy obsahuje nepr
zdnou podmnoinu s nulovm soutem. Hodnost matice M nad Z2 (budeme ji znait h2(M )) je de#nov
na jako maxim
ln velikost mnoiny 
dk, kter
je line
rn nez
visl
nad Z2 . Tebae matice M (H ) m
hodnost (nad tlesem re
lnch sel) rovnou 4, nad Z2 je soutem jejch 
dk nulov vektor a podle oek
v
n plat h2 (M (H )) = 3. Pro hodnost matice M (G) nad Z2 plat obdobn vztahy jako pro obyejnou hodnost v orientovanm ppad, a tak se velmi podobn dokazuj. Shrneme je v n
sledujc vt, jej dkaz ponech
me jako cvien.

Vta 10.1 Pro neorientovan graf G plat: (i) Hodnost h2(M (G)) je rovna n − k, prv kdy
G m k komponent.

10.3. Vektory a faktory

115

(ii) Je-li G souvisl, pak dokonce ka
dch n − 1 dk tvo linern nezvislou mno
inu nad Z2 . 2 Cvi
en

I 10.1 Dokate vtu 10.1.

10.3 Vektory a faktory

Kad vektor z prostoru Zm2 odpovd
njak mnoin hran grafu G, a ta zase jednoznan uruje faktor grafu G. Pro jednoduchost proto obvykle nebudeme rozliovat mezi vektory ze Zm2 , faktory grafu G a mnoinami jeho hran. V ppad poteby budeme o vektoru, kter odpovd
njak mnoin hran M , hovoit jako o jejm charakteristickm vektoru. V prostoru Zm2 je de#nov
no st
n, kter budeme znait symbolem ⊕. Co znamen
toto st
n v ei faktor? Jsou-li F, F
∈ Zm2 , pak na i-tm mst v soutu F ⊕ F
bude 0, pr
v kdy F a F
maj na tomto mst oba 0 nebo oba 1. Odtud snadno vidme, e faktor F ⊕ F
je symetrick rozdl faktor F a F
, tj. je de#nov
n pedpisem F ⊕ F


= F ∪ F
−





F ∩ F
.

Pklad `st
n' faktor grafu H na obr. 10.1 ukazuje obr. 10.2. ⊕

=

Obr
zek 10.2: St
n faktor. 'ekneme, e faktor F ⊂ G je sud, m
-li v nm kad vrchol sud stupe. Tento pojem zce souvis s pojmem eulerovskho grafu, studovanm v oddlu 6.6: kad
komponenta sudho faktoru je toti eulerovsk graf. Bude n
s zajmat mimo jin n
sledujc ot
zka: Kolik m graf G sudch faktor?

Alespo jeden sud faktor existuje vdy: faktor s pr
zdnou mnoinou hran. Je-li ovem graf G napklad stromem, pak u 
dn dal sud faktory nem
. Kad jeho faktor je toti sjednocenm disjunktnch strom, a my vme, e strom na alespo dvou vrcholech obsahuje njak list, tj. vrchol stupn 1. Jedin sud faktor stromu je tedy ten, ve kterm jsou vechny komponenty jednobodov.

116

Kapitola 10. Linern prostory grafu

Oproti tomu kad
krunice C v grafu G uruje sud faktor s mnoinou hran E (C ) (vrcholy na C maj stupe 2, ostatn 0). Zd
se tedy, e m vce krunic, tm vce sudch faktor. Z
sadn pozorov
n pedstavuje n
sledujc vta.

Vta 10.2 Sud faktory tvo podprostor vektorovho prostoru Zm2 . Dkaz. Vzhledem k tomu, e pracujeme nad tlesem Z2 , sta ovit, e souet (=symetrick rozdl) sudch faktor F1 , F2 je sudm faktorem, tj. e stupe kadho vrcholu v ∈ V (G) ve faktoru F1 ⊕ F2 je sud. Nech) Ai je mnoina hran obsahujcch v ve faktoru Fi (i = 1, 2). Vme, e ve faktoru F1 ⊕ F2 je vrchol v obsaen pr
v ve hran
ch ze symetrickho rozdlu A1 ⊕ A2. Jeho stupe je tak dF1 ⊕F2 (v ) = |A1 ⊕ A2 | = |A1 ∪ A2 − (A1 ∩ A2 )| = |A1| + |A2| − 2|A1 ∩ A2 |,

a protoe Ai jsou mnoiny sud velikosti, je i tento stupe sud. Vrchol v byl libovoln, take F1 ⊕ F2 je sud faktor. 2 Podprostoru z vty 10.2 se k
prostor kru
nic nebo prostor cykl grafu G. Oznauje se C (G). N
zev `prostor krunic' me bt zav
djc, nebo) tento prostor obecn obsahuje i sud faktory, kter nejsou krunicemi (viz cvien 10.2). Tuto terminologii ospravedluje n
sledujc pojem, kter tak umouje alternativn, mon
intuitivnj pohled na prostor C (G). Matice kru
nic C (G) sest
v
z 
dk, kter vz
jemn jednoznan odpovdaj krunicm v grafu G. '
dek pslun krunici C je charakteristick vektor jej mnoiny hran E (C ). Matice C (G) m
tedy m sloupc a tolik 
dk, kolik je krunic v grafu G. Je urena jednoznan a na poad 
dk a sloupc.

Tvrzen 10.3 %dky matice C (G) generuj prostor kru
nic C (G). Dkaz. Sta uk
zat, e libovoln sud faktor F je soutem krunic. Pouijeme

indukci podle potu hran faktoru F . Meme pedpokl
dat, e F obsahuje njak hrany, jinak je toti soutem pr
zdn mnoiny 
dk matice C (G). Zvolme komponentu F0 faktoru F , kter
obsahuje aspo jednu hranu. Potom F0 je souvisl graf, ve kterm vechny vrcholy maj sud stupe, take podle vty 6.18 m
graf F0 eulerovsk tah T = (v0 , . . . , vk = v0 ). Pro nejmen index i > 0 s vlastnost vi = v0 je po
ten sek K = (v0 , . . . , vi ) tahu T nutn krunic. Ozname mnoinu hran tto krunice symbolem E (K ). Faktor F
= E (F ) ⊕ E (K ) zsk
me `odetenm' krunice K z faktoru F . Je to tedy sud faktor a m
mn hran ne F . Z indukce plyne, e F
je soutem krunic (eknme) C1 , . . . , C
. Proto tak faktor F
= C1 ⊕ · · · ⊕ C
⊕ K je soutem krunic, co jsme chtli dok
zat. 2

10.4. Hvzdy, separace a ezy

117

Cvi
en

I 10.2 Najdte pklad grafu, jeho prostor krunic obsahuje i sud faktory, kter nejsou krunicemi.

I 10.3 Urete matici krunic graf na obr. 10.3.

(a)

(b)

Obr
zek 10.3: Grafy k cvien 10.3.

10.4 Hvzdy, separace a ezy Od tohoto oddlu d
le budeme pedpokl
dat, e graf G je souvisl. K nesouvislm grafm se vr
tme na konci kapitoly. Jak vypadaj faktory uren 
dky incidenn matice grafu G? Pokud se jedn
o 
dek, kter pslu vrcholu vi , pak do danho faktoru n
le pouze hrany obsahujc vrchol vi. Tomuto faktoru k
me hv zda vrcholu vi a oznaujeme jej Hi . Vechny hvzdy grafu na obr. 10.1 jsou zn
zornny na obr. 10.4.

Obr
zek 10.4: Hvzdy v grafu na obr. 10.1. Vimnme si, e hvzdy typicky obsahuj izolovan vrcholy (vrcholy stupn 0) | konkrtn ve hvzd vrcholu vi bude izolovan kad vrchol, kter s nm nesoused. Vechny tyto vrcholy vak do hvzdy pat (je to faktor)! Pojem hvzda lze zobecnit n
sledujcm zpsobem. Pro mnoinu vrchol X ⊂ V (G) nech) ∂X oznauje faktor sloen ze vech hran, kter maj v mnoin X pr
v jeden koncov vrchol (tj. z hran, kter vedou `mezi' X a V (G) − X ). Kad faktor tohoto tvaru ozname termnem separace. Napklad kad
hvzda je separace, protoe plat ∂{vi} = Hi. Separac je i faktor bez hran.

118

Kapitola 10. Linern prostory grafu

Vta 10.4 Mno
ina vech separac je podprostorem prostoru Zm2 . Dkaz. Sta ovit uzavenost na souty. Dokazujeme, e pro kad X, Y

⊂ V (G) je faktor ∂X ⊕ ∂Y separac. Vimnme si, e hrana e pat do faktoru ∂X ⊕ ∂Y , pr
v kdy e ∈ ∂X a e ∈ / ∂Y nebo naopak. To zase plat pr
v tehdy, kdy e m
v jedn z mnoin X, Y jeden konec a v t druh bu* 
dn nebo oba konce. Jak lze snadno ovit, ekvivalentn podmnkou je, e e m
pr
v jeden konec v mnoin X ⊕ Y . Dok
zali jsme tedy, e ∂ (X ⊕ Y ) = ∂X ⊕ ∂Y

a z toho plyne tvrzen vty. 2 Nech) S je separace, dejme tomu S = ∂X . Odstrannm hran faktoru S z grafu G dostaneme jist nesouvisl graf, protoe z 
dnho vrcholu v mnoin X v grafu G − E (S ) nevede hrana do 
dnho vrcholu mimo X . Speci
lnm ppadem separace je ez, kter je de#nov
n n
sledovn. %ezem v souvislm grafu G je mnoina hran A s vlastnost, e graf G − A (vznikl odstrannm hran v A z grafu G) je nesouvisl, ale pitom 
dn
vlastn podmnoina mnoiny A tuto vlastnost nem
. Podprostor z vty 10.4 se nazv
prostor ez grafu G a oznauje se R(G). Vme, e kad
hvzda je jeho prvkem. Plat dokonce n
sledujc: Tvrzen 10.5 Hv zdy generuj cel prostor ez. Dkaz. Musme uk
zat, e kadou separaci ∂X lze vyj
dit jako souet hvzd. Tvrdme, e plat X Hi = ∂X. vi ∈X

Tato rovnost plyne z faktu, e m
-li hrana ej v mnoin X oba koncov vrcholy, zapotali jsme ji v soutu na lev stran dvakr
t nem
-li v X ani jeden vrchol, nezapotali jsme ji vbec. V obou ppadech vyjde na j -tm mst vslednho vektoru 0. Hodnota 1 tedy na tomto mst vyjde pr
v tehdy, kdy ej je hranou faktoru ∂X . 2 Vta 10.6 Dimenze prostoru ez je prv n − 1. Dkaz. Podle pedchozho tvrzen je prostor ez generov
n hvzdami. Podle vty 10.1(ii) je dimenze tohoto prostoru pesn n − 1. 2 Stejn jako vtina prvk prostoru krunic nejsou krunice (ale sud faktory), tak prostor ez je z vt 
sti tvoen faktory, kter nejsou ezy (ale separacemi, viz cvien 10.4). Podobn jako u prostoru krunic meme de#novat matici ez R(G) grafu G, jej kad 
dek je charakteristick vektor mnoiny hran nkterho ezu v grafu G (a kadmu ezu odpovd
jeden 
dek). N
sledujc fakt je analogi tvrzen 10.3.

10.5. Ortogonalita

119

Tvrzen 10.7 %dky matice R(G) generuj cel prostor R(G). Dkaz. Podle tvrzen 10.5 vme, e prostor R(G) je generov
n hvzdami. Te-

bae ne kad
hvzda je ez, nen tk nahldnout, e rzn ezy obsaen v jedn hvzd H jsou navz
jem disjunktn a H je tedy jejich soutem. Vechny hvzdy tak le v line
rnm obalu mnoiny 
dk matice R(G) a z toho plyne dokazovan tvrzen. 2 Cvi
en

I 10.4 Najdte pklad separace v njakm grafu, kter
nen ezem. Najdte pklad hvzdy s touto vlastnost.

I 10.5 Dokate, e je-li A ez v souvislm grafu G, pak graf G − A m
pr
v

dv komponenty. Rozhodnte, zda plat opan
implikace.

I 10.6 Dokate, e graf, kter obsahuje njak ez o velikosti 1, neme bt eulerovsk ani hamiltonovsk.

10.5 Ortogonalita

Pipomeme, e ve vektorovm prostoru Rn je pro kadou dvojici vektor u, v de#nov
n skal
rn souin. Od nj se odvozuje pojem ortogonality vektor. Podobn pojmy maj smysl i v prostoru Zm2 . Jsou-li u = (u1 . . . um) a v = (v1 . . . vm ) prvky prostoru Zm2 , pak jejich skalrn souin 1 u · v je de#nov
n pedpisem u·v

=

m X i=1

ui vi ,

kde st
n prov
dme v tlese Z2 (vsledek je tedy 0 nebo 1). Vektory u, v jsou ortogonln nebo kolm (zname u ⊥ v), pokud u·v = 0. Tento pojem lze rozit na mnoiny vektor: mnoiny U, V ⊂ Zm2 jsou ortogonln (U ⊥ V ), pokud u ⊥ v pro kad u ∈ U , v ∈ V . Jak vznam m
skal
rn souin pi naem ztotonn vektor a faktor? Kdy jsou dva faktory navz
jem kolm? Pmo z de#nice plyne jednoduch
odpov*: jsou kolm, pr
v kdy se shoduj v sudm potu hran (tj. jejich prnik m
sudou velikost). Je-li W podprostor prostoru Zm2 , de#nujeme jeho ortogonln dopln k W ⊥ jako mnoinu vech vektor, kter jsou kolm na kad prvek podprostoru W . Pro p
esnost upozornme, e na e de nice je v mrnm rozporu s obecnou de nic skalrnho souinu ve vektorovch prostorech. Ta toti mj. poaduje, aby vztah x · x = 0 platil pouze pro nulov vektor. V na em p
pad ale bude platit pro kad vektor se sudm potem jedniek. 1

120

Kapitola 10. Linern prostory grafu

Z bilinearity skal
rnho souinu snadno plyne, e W ⊥ je opt podprostorem (viz cvien 10.7). Pro n
s bude velmi dleit
n
sledujc vta.

Vta 10.8 Je-li W podprostor prostoru Zm2 , pak plat dim W + dim W ⊥ = m.

Dkaz. Ozname dim W = k. Nech) M je matice o rozmrech k ×m, jej 
dky jsou prvky njak pevn b
ze podprostoru W . K tomu, aby vektor x ∈ Zm2 byl kolm na kad vektor z W , sta, aby byl kolm na kad prvek zvolen b
ze. Jinmi slovy, x ∈ W ⊥ , pr
v kdy x je eenm soustavy Mx = 0. Standardn eliminac (a ppadnm peskupenm sloupc) upravme M na matici M
, ve kter prvnch k sloupc tvo jednotkovou matici, tedy M


=

h

 

i

Ik  B ,

kde B je njak
matice o rozmrech k× (m−k). Je jasn, e libovoln zvolen
sla xk+1 , xk+2 , . . . , xm , lze jednoznan doplnit na een x = (x1 . . . xm ) soustavy Mx = 0. Dimenze prostoru, tvoenho eenmi tto soustavy (kterm je shodou okolnost prostor W ⊥ ), je tedy m − k. Vta je dok
z
na. 2 Dokonme nyn vpoet dimenz prostoru krunic a prostoru ez. Nech) F je njak faktor grafu G. Podle toho, co bylo eeno o ortogonalit faktor, je stupe vrcholu vi ve faktoru F sud, pr
v kdy je F kolm na hvzdu Hi. To znamen
, e F je sud faktor, pr
v kdy je kolm na vechny hvzdy. Jinak eeno:

Vta 10.9 Prostor kru
nic C (G) je ortogonlnm dopl!kem prostoru ez R(G). Dkaz. Prvky prostoru C (G) jsou pr
v sud faktory. Vme, e F ∈ C (G), pr
v

kdy F je kolm na kadou hvzdu. Protoe prostor ez R(G) je hvzdami generov
n, plat, e F ∈ C (G), pr
v kdy F ⊥ S pro kadou separaci S ∈ R(G). Jinmi slovy C (G) = R(G)⊥ . 2 Podle vty 10.6 je dim R(G) = n − 1. Podle vty 10.8 plat dim C (G) + dim R(G) = m. V dsledku dost
v
me:

Vta 10.10 Dimenze prostoru kru
nic je m − n + 1. 2 Dsledek 10.11 Souvisl graf G m 2m−n+1 sudch faktor. 2 Cvi
en

I 10.7 Dokate, e ortogon
ln doplnk W ⊥ podprostoru W podprostorem.

⊂

Zm2 je rovn

10.6. Fundamentln soustavy krunic a ez

121

10.6 Fundamentln soustavy krunic a ez Urili jsme pesn dimenzi prostoru krunic a prostoru ez. V tomto odstavci uk
eme zpsob, jak snadno najt b
ze tchto prostor, navc v pknm speci
lnm tvaru. Nech) G je souvisl graf. Zvolme pevn njakou jeho kostru T . Hrany e ∈ E (G) − E (T ) se nazvaj t tivy kostry T . Je jich m − n + 1, protoe kad strom na n vrcholech m
n − 1 hran, piem poet vech hran grafu G je m. Vme, e stromy jsou charakterizov
ny vlastnost, e kad dva jejich vrcholy jsou spojenu pr
v jednou cestou. Odtud plyne, e pid
me-li ke koste T ttivu ej , vsledn graf T + ej bude obsahovat pr
v jednu krunici. Ozname tuto krunici Cj . Soubor vech krunic Cj , kde ej probh
ttivy kostry T , se nazv
fundamentln soustava kru
nic grafu G vzhledem ke koste T . Pklad takov soustavy je na obr. 10.5.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Obr
zek 10.5: (a) Graf s pln vyznaenou kostrou, (b){(e) jeho fundament
ln soustava krunic (krunice tun).

Tvrzen 10.12 Fundamentln soustava kru
nic vzhledem ke koste T tvo bzi prostoru kru
nic C (G).

Dkaz. Nech) F je fundament
ln soustava krunic vzhledem ke koste T . Vim-

nme si, e kad
ttiva ej kostry T je obsaena v jedinm prvku systmu F (toti F tedy mus bt line
rn nez
visl
, protoe pro kad ve faktoru Cj ). Mnoina P len Ck v soutu j Cj (kde ej probh
nkter ttivy) je k-t
sloka vslednho vektoru nenulov
. Nali jsme tedy m − n +1 line
rn nez
vislch prvk prostoru C (G), a protoe vme, e dimenze tohoto prostoru je m − n + 1, mus jt o b
zi. 2 Podobn postup lze aplikovat v ppad prostoru ez. Nech) ej je nkter
z hran kostry T . Odstranme-li ji, vsledn graf T −ej bude nesouvisl (to snadno plyne z vlastnost strom) a bude mt pr
v 2 komponenty. De#nujme Rj jako faktor sest
vajc ze vech hran grafu G, kter vedou mezi komponentami grafu T − ej . Snadno se nahldne, e jeho mnoina hran je ez. Kostra T m
n − 1

122

Kapitola 10. Linern prostory grafu

hran, take tmto zpsobem dostaneme n − 1 faktor, kter dohromady tvo fundamentln soustavu ez vzhledem ke koste T . Kad
hrana ej ∈ E (T ) je hranou jedinho faktoru z tto fundament
ln soustavy ez, toti faktoru Rj (cvien 10.9). Odtud opt plyne, e fundament
ln soustava ez je line
rn nez
visl
, a protoe dim R(G) = n − 1, dost
v
me:

Tvrzen 10.13 Fundamentln soustava ez vzhledem ke koste prostoru ez R(G).

T

tvo bzi

Cvi
en

I 10.8 Urete fundament
ln soustavu krunic a fundament
ln soustavu ez

grafu na obr. 10.6 vzhledem k vyznaen koste.

Obr
zek 10.6: Graf ke cvien 10.8 s tun vyznaenou kostrou.

I 10.9 Dokate, e kad
hrana kostry T je obsaena v pr
v jednom faktoru z pslun fundament
ln soustavy ez.

10.7 Nesouvisl grafy Doposud jsme se zabvali souvislmi grafy. Nae vahy lze uplatnit i na grafy nesouvisl. Nech) graf G m
k komponent C1, . . . , Ck . Zvolme v kad z nich njakou jej kostru Ti (i = 1, . . . , k). Graf G tak bude obsahovat n − k hran, kter pat do njakho Ti, a m − n + k hran, kter do 
dn ze zvolench `koster' nepat. Stejn jako dve obdrme fundament
ln soustavu krunic o m − n + k prvcch a fundament
ln soustavu ez o n − k prvcch. (Ta ji nen tvoena ezy, kter jsme de#novali jen v souvislch grafech, ale obecnji separacemi.) Protoe vta 10.9 plat beze zmny, dost
v
me, e nae fundament
ln soustavy jsou i zde b
zemi pslunch prostor.

Vta 10.14 M-li graf G k komponent, pak dim C (G) = m−n + k a dim R(G) =

n − k.

2

10.7. Nesouvisl grafy Cvi
en

I 10.10 Prove*te podrobn dkaz vty 10.14.

123

124

Kapitola 10. Linern prostory grafu

Kapitola 11 Vzdlenost v grafech V kadm grafu lze pirozenm zpsobem de#novat vzd
lenost libovoln dvojice vrchol. Hlavnm vsledkem tto kapitoly je pekvapiv tvrzen, podle kterho lze vzd
lenosti v grafu zjistit z mocnin jeho matice sousednosti.

11.1 Matice sousednosti a poty sled

Denice 11.1 Nech) G je orientovan graf na vrcholech {v1 , . . . , vn}. Matice sousednosti grafu G je re
ln
matice o rozmrech n × n, de#novan
pedpisem S (G) = (σij ), kde  1 pokud vivj ∈ E (G), σij = 0 jinak

pro i, j = 1, . . . , n.

v4

v3

v2

v1

Obr
zek 11.1: Orientovan graf. Napklad graf na obr. 11.1 m
matici sousednosti 2 3 1 1 0 0 60 0 0 17 7 S (G) = 6 40 1 0 15 . 0 0 1 0 125

126

Kapitola 11. Vzdlenost v grafech

Matice sousednosti neorientovanho grafu je de#nov
na jako matice sousednosti jeho symetrick orientace. (Pipomeme, e symetrick
orientace je orientovan graf, kter vznikne, pokud kadou hranu nahradme dvojic protichdnch orientovanch hran.) Pi pot
n matice sousednosti napklad pro neorientovan cyklus C4 o dlce 4 musme tedy pejt k orientovanmu grafu na obr. 11.2 a zjistme, e matice sousednosti je 2 3 0 1 0 1 61 0 1 07 7 S (C 4 ) = 6 40 1 0 15 . 1 0 1 0 v4

v1

v3

v2

Obr
zek 11.2: Symetrick
orientace cyklu dlky 4. Z matice S (G) lze pomrn jednodue zjistit poet vech sled se zadanm za
tkem, koncem a dlkou v orientovanm grafu G. Pro k > 0 budeme symbolem (k) σij oznaovat prvek na pozici (i, j ) v k -t mocnin matice S (G). Nult
mocnina tto matice je de#nov
na jako identick
matice En . Pro vrcholy x, y ∈ V (G) budeme pojmem xy -sled rozumt sled z x do y v grafu G.

Vta 11.2 Nech G je orientovan graf a k ≥ 0. Prvek σij(k) matice (S (G))k je roven potu vi vj -sled dlky pesn k v grafu G.

Dkaz. Ozname poet vivj -sled dlky k jako Pijk . Dokazujeme tedy, e Pijk = (k) .

Pro strunost budeme ps
t E = E (G). Dkaz provedeme indukc podle k. Pro k = 0 je matice (S (G))k rovna identick matici, take σij(0) = 1, pr
v kdy i = j . Na druhou stranu sled dlky 0 z vi do vj existuje, pr
v kdy i = j , a pak je pr
v jeden. Odtud Pij0 = σij(0) . Ppad k = 0 je tedy probr
n. Nech) je tvrzen dok
z
no pro k
< k. Uvame libovoln vi vj -sled σij

(z0 , z1, . . . , zk−1, zk ) dlky

(take z0 = vi a zk = vj ). Vynech
me-li posledn vrchol, dostaneme vi zk−1 -sled dlky k − 1, z jeho poslednho vrcholu vede hrana do vj . Naopak kad sled dlky k − 1, kter zan
ve vrcholu vi a kon ve vrcholu, ze kterho k

11.1. Matice sousednosti a poty sled

127

vede hrana do vj , uruje vivj -sled dlky k. Jak lze snadno ovit, jedn
se o bijektivn vztah mezi sledy tchto dvou typ. Poet vi vj -sled dlky k je tedy roven celkovmu potu vi v
-sled dlky k − 1, kde v
probh
vechny vrcholy s vlastnost v
vj ∈ E . Proto plat Pijk

= =

X

v` : v` vj ∈E n X

Pi
k−1

X

v` : v` vj ∈E

(k−1)

σi


(k−1) · σ (1)

σi



=1 (k) σij ,

=


j

= kde druh
rovnost plyne z induknho pedpokladu a posledn z de#nice n
soben matic (S (G))k−1 a S (G). 2 Uvame jako pklad sledy dlky 3 v orientovanm grafu G na obr. 11.3. Jeho matice sousednosti a tet mocnina tto matice vypadaj takto: 2 3 2 3 0 1 0 0 2 1 S (G) = 41 0 15 , (S (G))3 = 42 1 35 . 0 1 1 1 3 3 v1

v2

v3

Obr
zek 11.3: Orientovan graf na 3 vrcholech. Z matice (S (G))3 lze napklad vyst, e v grafu G existuje jeden v3 v1-sled dlky 3 (toti v3v3 v2 v1) nebo ti v2v3 -sledy dlky 3: jsou to v2 v1v2 v3, v2v3 v2v3 a v2 v3 v3 v3 .

P klad 11.3 Uvame neorientovanou krunici C4 dlky 4 s vrcholy oslova-

nmi proti smru hodinovch ruiek. Ureme poty sled dlky 4 mezi rznmi dvojicemi vrchol v tomto grafu. Matici sousednosti grafu C4 jsme nali na za
tku kapitoly (pechodem k symetrick orientaci). Snadno spot
me, e 2 3 8 0 8 0 6 7 (S (C4))4 = 6408 80 08 8075 . 0 8 0 8 Vidme, e pro sousedn vrcholy vi, vj neexistuje 
dn vivj -sled dlky 4, zatmco pokud i = j nebo vi a vj jsou protilehl, pak poet takovch sled je 8. Napklad (uzaven) sledy z v1 do v1 dlky 4 jsou: v1 v2v1 v2 v1, v1v4 v1v4 v1 , v1 v2v3 v4v1 , v1 v4 v3 v2 v1 , v1 v2 v3 v2 v1 , v1 v4 v3 v4 v1 , v1 v2 v1 v4 v1 a v1 v4 v1 v2 v1 .

128

Kapitola 11. Vzdlenost v grafech

Cvi
en

I 11.1 Nech) L(G) je Laplaceova matice neorientovanho grafu tola 9). Urete souet L(G) + S (G).

G

(viz kapi-

I 11.2 Kolik sled dlky 4 z v2 do v2 existuje v grafu na obr. 11.3? Najdte je. II 11.3 Nech) Fk je poet xy-sled dlky k v grafu na obr. 11.4. Urete reku-

rentn vztah pro posloupnost (F1, F2, . . . ). Npov da: Tato posloupnost se nazv
Fibonacciho posloupnost, podrobnosti viz 7]. x

y

Obr
zek 11.4: Urete poet xy -sled.

11.2 Vzdlenost

Denice 11.4 Vzdlenost d(x, y) vrchol x, y orientovanho grafu G je dlka nejkrat cesty z x do y . Pokud takov
cesta neexistuje, polome d(x, y ) = ∞.

Pojem vzd
lenosti je zde de#nov
n pro orientovan grafy. Pro grafy neorientovan jej meme de#novat prostednictvm symetrick orientace. Vzd
lenost vrchol v neorientovanm grafu G je tak jejich vzd
lenost v symetrick orientaci tohoto grafu. (Podobn je tomu i u dalch pojm v tomto oddlu, kter nebudeme explicitn de#novat pro neorientovan grafy.) Vzd
lenost v neorientovanch grafech m
vlastnosti metriky. Tvrzen 11.5 Nech G je souvisl neorientovan graf. Pak funkce d(x, y) je metrikou na mno
in V (G), tj. m nsledujc vlastnosti: (1) d(x, y ) ≥ 0, piem
d(x, y ) = 0, prv kdy
x = y , (2) d(x, y ) = d(y, x), (3) d(x, y ) + d(y, z) ≥ d(x, z) (`trojhelnkov nerovnost'). Dkaz. Cvien 11.4. 2

Denice 11.6 Distann matice orientovanho grafu G s vrcholy v1 , . . . , vn je

matice

o rozmrech n × n.



n

D (G) = d(vi , vj )

i,j =1

11.2. Vzdlenost

129

Napklad distann matice grafu G na obr. 11.1 je 3 2 0 1 3 2 6 ∞ 0 2 17 7 D (G ) = 6 4 ∞ 1 0 15 . ∞ 2 1 0 Distann matice neorientovanho grafu je de#nov
na jako distann matice jeho symetrick orientace. Vidli jsme, e matice sousednosti a jej mocniny umouj zjistit poet sled dan dlky mezi dvma vrcholy. Snadno odvodme n
sledujc tvrzen, ve kterm symbol σij(k) nad
le pedstavuje prvek na pozici (i, j ) v k-t mocnin matice sousednosti S (G). Tvrzen 11.7 Prvek d(vi, vj ) distann matice D(G) je roven nejmenmu k, pro kter σij(k) = 0 (ppadn ∞, pokud takov k neexistuje). Dkaz. Nech) M je mnoina vech k, pro kter σij(k) = 0. Cesta z vi do vj existuje pr
v tehdy, kdy existuje njak sled z vi do vj . 'eeno obr
cen, d(vi, vj ) = ∞, pr
v kdy M = ∅. Jsou-li splnny tyto podmnky, tvrzen plat. Nech) tedy dlka nejkratho sledu z vi do vj je k0. Je jasn, e k0 je nejmen prvek mnoiny M . Z cvien 8.3 vme, e nejkrat sled z vi do vj je nutn cestou, take tak d(vi, vj ) = k0. Dkaz je hotov. 2 Z uvedenho tvrzen dost
v
me horn odhad asov sloitosti nalezen distann matice (pipomeme, e o asov sloitosti jsme hovoili v oddlu 6.7). Vzhledem k tomu, e vzd
lenost libovolnch dvou vrchol je bu* men ne n, nebo nekonen
(graf na n vrcholech neobsahuje 
dnou cestu dlky ≥ n), sta pro zjitn matice D(G) spotat n − 1 mocnin matice sousednosti S (G). Vpoet kad mocniny spov
ve vyn
soben dvou matic o rozmrech n × n, kter vyaduje O(n3) aritmetickch operac. Celkov
doba vpotu tak bude O(n4). Ukame si aplikaci tvrzen 11.7 na grafu G z obr. 11.1. Jeho distann matici jsme sice odvodili i pmo z de#nice, u vtch graf je vak mnohem jednodu pout n
sledujc obecn postup. Spot
me prvn tyi mocniny matice sousednosti (vetn nult). Jednotliv prvky jsou zvraznny v nejni mocnin, kde jsou nenulov: 2

1 6 (S (G))0 = 6400 0 2 1 6 (S (G))2 = 6400 0

0 1 0 0 1 0 0 1

0 0 1 0 0 1 1 0

3

0 077 , 05 1 3 1 077 , 15 1

2

1 6 (S (G))1 = 6400 0 2 1 6 (S (G))3 = 6400 0

1 0 1 0 1 1 1 0

0 0 0 1 1 0 1 1

3

0 177 , 15 0 3 1 177 . 15 1

130

Kapitola 11. Vzdlenost v grafech

Pro kad prvek nyn zapeme, ve kter mocnin je zvraznn dostaneme distann matici D(G). Vimnme si, e u prvk, kter jsou nulov ve vech (S (G))k pro k < n, meme ps
t ∞. 2

0 1 6∞ 0 D (G ) = 6 4∞ 1 ∞ 2

3 2 0 1

3

2 177 . 15 0

Z mocnin matice sousednosti lze algebraickm zpsobem urit, zda je dan graf acyklick. Tvrzen 11.8 Orientovan graf G je acyklick, prv kdy
n jak mocnina jeho matice sousednosti je nulov. Dkaz. `⇒': V acyklickm grafu je kad sled cestou. M
-li graf n vrchol, pak v nm neexistuje cesta na n + 1 vrcholech (cesta dlky n), a tedy ani 
dn sled dlky n. Podle vty 11.2 je (S (G))n = 0. `⇐': Nech) (S (G))k = 0. Podle vty 11.2 v grafu G neexistuje 
dn sled dlky k. Pokud ovem G obsahuje njak cyklus C , obsahuje tak sledy vech dlek (sta obch
zet C kolem dokola). Graf G tedy mus bt acyklick. 2 $asov
sloitost testov
n acyklinosti grafu s vyuitm tvrzen 11.8 je zhruba n4 (kad z n n
soben matic vyaduje piblin n3 operac), take tento postup je pomalej ne algoritmus popsan v oddlu 8.3. Tvrzen je zajmav spe z opanho hlediska: umouje pout grafy ke zjitn, zda matice s prvky 0 a 1 m
njakou nulovou mocninu, a to rychleji ne pomoc n
soben matic. Cvi
en

I 11.4 Dokate tvrzen 11.5. I 11.5 Urete distann matici neorientovan krunice Cn a orientovanho cyklu

n C

na n vrcholech.

I 11.6 Dokate, e le-li vrcholy vi, vj v rznch kvazikomponent
ch orientovanho grafu G, pak d(vi, vj ) = ∞ nebo d(vj , vi) = ∞. I 11.7 Jak lze z distann matice orientovanho grafu poznat, zda je graf siln souvisl?

Kapitola 12 Ohodnocen
grafy V praktickch aplikacch teorie graf zpravidla graf slou jako n
stroj k popisu njak struktury. Jednotliv prvky tto struktury maj asto piazeny njak hodnoty (me jt nap. o parametry sou
stek v elektrickm obvodu, dlky elezninch trat, ceny za pepravu jednotky zbo nebo propustnosti datovch spoj). Zad
nm pak je realizovat njak cl (teba pepravit zbo) optim
lnm zpsobem. (lohy tohoto typu se nazvaj optimalizan lohy a my se v tto kapitole s nkolika z nich sezn
mme. Popeme pitom nkolik dleitch algoritm, zejmna Dijkstrv algoritmus pro hled
n minim
ln cesty a hladov algoritmus pro hled
n minim
ln kostry.

12.1 Denice ohodnocench graf Uvame graf, jeho vrcholy jsou evropsk
msta a hrany jsou eleznin trat, kter je spojuj. Chceme-li najt nejkrat cestu vlakem dejme tomu z Budapeti do Pae, nen ani tak dleit, kolik hran naeho grafu bude tato cesta obsahovat | zajm
n
s spe, kolik kilometr bude mit. Bude tedy nutn pidat do grafu dodatenou informaci o `dlce' jednotlivch hran. Dostaneme tzv. ohodnocen graf.

Denice 12.1 Ohodnocen orientovan graf (G, w) je orientovan graf G spolu s re
lnou funkc w : E (G) → (0, ∞). Je-li e hrana grafu G, slo w(e) se nazv
jej ohodnocen nebo vha.

Podobn je de#nov
na neorientovan
verze ohodnocenho grafu. I v tomto oddlu budeme hovoit pedevm o orientovanch grafech, s tm, e k neorientovanmu ppadu lze vdy pejt pes symetrickou orientaci. Ohodnocen hran symetrick orientace grafu (G, w) je pirozen odvozeno z pvodnho ohodnocen (ob protichdn hrany vznikl z neorientovan hrany e dostanou ohodnocen w (e)). 131

132

Kapitola 12. Ohodnocen grafy

$asto je vhodn uvaovat grafy bez ohodnocen jako speci
ln ppady ohodnocench graf, v nich je v
ha kad hrany rovna jedn. V r
mci tto pedstavy meme de#novat n
sledujc zobecnn matice sousednosti. Denice 12.2 V
en matice sousednosti ohodnocenho orientovanho grafu (G, w) s vrcholy v1, . . . , vn je matice W (G) = (wij ), kde  w (vivj ) pokud vi vj ∈ E (G), wij = 0 jinak, pro i, j = 1, . . . , n. Vimnme si jedn dleit vci: nez
porn tvercov matice jednoznan odpovdaj ohodnocenm orientovanm grafm. Napklad matici 2 3 3 0.1 0 0 60 0 2 67 7 W =6 40 0 0 15 0 2.5 0 0 odpovd
graf na obr. 12.1. v4 25 3

v1

01

6

v2

1

2

v3

Obr
zek 12.1: Ohodnocen orientovan graf G popsan matic W . Pirozenm zobecnnm dlky cesty v neohodnocenm grafu je jej v
ha. Denice 12.3 Nech) M je mnoina hran ohodnocenho orientovanho grafu (G, w). Vha w(M ) mnoiny M je souet vah jednotlivch hran e ∈ M . Pro strunost de#nujeme vhu w(P ) cesty P jako v
hu jej mnoiny hran. Jsou-li u, v vrcholy grafu G, pak minimln cesta z u do v je kad
cesta, jej v
ha je minim
ln (tj. 
dn
cesta z u do v nem
men v
hu). V
en vzdlenost dw (u, v ) vrchol u, v je v
ha minim
ln cesty z u do v . Poznamenejme, e podle tto de#nice je speci
ln dw (u, u) = 0. D
le si vimnme, e minim
ln cesta z u do v zdaleka nemus bt nejkrat, pokud jde o poet hran. Pkladem je graf na obr. 12.2. Cvi
en

I 12.1 Kter matice odpovdaj ohodnocenm neorientovanm grafm?

12.2. Dijkstrv algoritmus

133 1

1

1

1

u

v

10

Obr
zek 12.2: Minim
ln cesta z u do v nemus bt nejkrat.

12.2 Dijkstrv algoritmus Jak lze najt v
enou vzd
lenost vrchol v ohodnocenm grafu? Asi nejzn
mjm postupem je Dijkstrv1 algoritmus, kter si uk
eme v tomto oddlu. Vstupem algoritmu je ohodnocen orientovan graf (G, w) a vrchol v ∈ V (G). Jeho vstupem je pro kad vrchol x: (1) v
en
vzd
lenost dw (v, x) vrchol v a x, (2) (njak
) minim
ln cesta Px z v do x. `Pot
' tedy mnohem vc ne jen v
enou vzd
lenost dan dvojice vrchol. Algoritmus probhne v nejve n krocch. V celm jeho prbhu bude de#nov
n strom T , jeho vrcholy tvo podmnoinu V (G) (na po
tku to bude jedin vrchol v, postupn se T roz a na kostru grafu G). Pro kad vrchol x ∈ V (G) bude d
le uren odhad vzdlenosti c(x). I toto slo se typicky bude mnit a po dokonen algoritmu bude rovno v
en vzd
lenosti dw (v, x). Pro vechny vrcholy z s konenou nenulovou hodnotou c(z ) bude de#nov
n jejich pedchdce z5. I. P prava: T budi strom na jedinm vrcholu v. Polome c(v) := 0. Pro sousedy z vrcholu v polome c(z ) = w (vz )

a z5 = v.

Pro vechny ostatn vrcholy x ∈ V (G) de#nujeme c(x) := ∞. Pedchdce nen uren pro 
dn z tchto vrchol x ani pro vrchol v. II. Jeden krok algoritmu: Pokud T je kostra grafu G nebo kad vrchol z ∈ / V (T ) m
c(z ) = ∞, pejdeme na bod III. Jinak mezi vrcholy z ∈ / V (T ) vybereme vrchol x, kter m
minim
ln hodnotu c(x). Je-li jich vc, zvolme mezi nimi libovoln. Pid
me do stromu T vrchol x a hranu x5x (pedchdce vrcholu x je jist de#nov
n, protoe c(x) je konen). D
le pro vechny vrcholy z ∈/ V (T ), pro n je xz hranou grafu G, pepot
me odhad vzd
lenosti: je-li c(x) + w(xz) < c(z), polome c(z) := c(x) + w(xz) a rovn z5 = x. Opakujeme bod II. 1 Edsger

W. Dijkstra (1930{2002).

134

Kapitola 12. Ohodnocen grafy

III. Konec: Pro kad vrchol x ∈ V (T ) je hledanou minim
ln cestou Px

cesta z v do x ve stromu T (kter
je jednoznan urena). Jej v
ha uruje v
enou vzd
lenost dw (v, x). Pro ostatn vrcholy x 
dn
cesta z v do x neexistuje a dw (v, x) = ∞. Odhadnme nyn pro Dijkstrv algoritmus jeho asovou sloitost, jak jsme ji de#novali v oddlu 6.7. Ppravn
f
ze bude pro graf na n vrcholech vyadovat as O(n) (pro kad z n vrchol potebujeme nastavit odhad vzd
lenosti a pedchdce). Krok II. bude proveden maxim
ln n-kr
t, protoe pro kad vrchol se prov
d nejve jednou. Jakou asovou sloitost m
jedno jeho proveden? Nejprve vybr
me vrchol x ∈ V (G) − V (T ) s minim
lnm konenm odhadem vzd
lenosti. K tomu sta n operac. Dalch O(n) operac n
m zabere pepot
n odhad vzd
lenosti a prava pedchdc u soused vrcholu x. Na jeden krok II. tak sta O(n) operac. Zji)ujeme tedy, e asov
n
ronost Dijkstrova algoritmu je O(n2). Dijkstrv algoritmus lze pout i pro testov
n souvislosti neohodnocenho grafu G. Sta kadou hranu symetrick orientace ohodnotit vahou 1 a libovoln zvolit vrchol v. Strom T , nalezen Dijkstrovm algoritmem, je kostrou grafu G, pr
v kdy G je souvisl graf. (Plat dokonce, e vrcholy stromu T tvo komponentu obsahujc vrchol v.) Podobnm postupem lze testovat i silnou souvislost. Cvi
en

I 12.2 Najdte Dijkstrovm algoritmem minim
ln cestu z vrcholu u do vrcholu

v

v grafech na obr. 12.3.

I 12.3 Najdte Dijkstrovm algoritmem minim
ln cestu z vrcholu u do vrcholu

v

v grafech na obr. 12.4.

12.3 Matice vench vzdlenost K zachycen v
ench vzd
lenost vech dvojic vrchol v ohodnocenm orientovanm grafu slou n
sledujc matice.

Denice 12.4 Matice v
ench vzdlenost (t w-distann matice ) ohodnoce-

nho orientovanho grafu (G, w) s vrcholy v1 , . . . , vn je matice Dw (G) o rozmrech n × n, kde D w (G) = (dw (vi , vj ))ni,j =1 .

Jednou monost, jak ji sestrojit, je pout Dijkstrv algoritmus. Ten n
m libovoln jej 
dek najde v ase O(n2), take celkov as vpotu je O(n3).

12.3. Matice vench vzdlenost

135

v 6

7 14

6 1

20

u 6

4

1 13

14

8

15

8

11

5

16 3

v

12 7

3

12

u

5

1

1

(a)

(b) 8 1 3

u 5

7

4

1

3

8

1

11

17 7

8

5

1

10 4

v 12

4

(c)

Obr
zek 12.3: Najdte minim
ln cestu z u do v.

15

u

1

6

5

20

20

8

11

6

2

20

10

5

6

10

25

25

4

v

3

v

(a) 3

u

5

6

4 38

2

7

15

2

12

15

15

12

9

1

13

1

10

3

20

10

20

10

20

(b)

Obr
zek 12.4: Najdte minim
ln cestu z u do v.

136

Kapitola 12. Ohodnocen grafy

Uk
eme si jinou jednoduchou metodu, kter
pracuje v o nco horm ase O (n4 ). Nejprve pomocn
de#nice. Nech) je d
no k ≥ 1. Cesta z vi do vj je k minimln, pokud jej dlka je nejve k a pokud 
dn
jin
cesta z vi do vj o dlce nejve k nem
men v
hu. Ozname jako Dk matici, jej prvek dkij na pozici (i, j ) je roven v
ze kminim
ln cesty z vi do vj (ppadn m
hodnotu ∞, pokud takov
cesta neexistuje). Vzhledem k tomu, e kad
cesta m
dlku nejve n − 1, mus bt matice Dn−1 rovna hledan w-distann matici Dw (G). Ot
zkou tedy je, jak matice Dk sestrojit. Pro k = 1 je to snadn | pro prvky d1ij zjevn plat: 8 <

0 pro i = j , w (vi vj ) pro ij ∈ E (G), ij = : ∞ jinak.

d1

Matice D1 tedy bude tm shodn
s v
hovou matic W (G), a na to, e nuly mimo hlavn diagonlu jsou v matici D1 nahrazeny hodnotami ∞. Dejme tomu, e ji zn
me matici Dk a chceme sestrojit matici Dk+1. Zanme pozorov
nm. Nech) P je k-minim
ln cesta z vi do vj . Odebr
nm poslednho vrcholu vznikne cesta P
z vi eknme do vp . Tato cesta mus bt (k−1)-minim
ln, jinak bychom dostali spor s k-minimalitou cesty P . Odtud vidme, e pro dlku dkij k -minim
ln cesty z vi do vj plat dkij

1 = dk− ip + w (vp vj )

pro njak vrchol vp s vlastnost vpvj ∈ E (G). Pestoe pedem nevme, o kter vrchol vp se jedn
, meme ps
t dkij

n

= min
=1





1 + d1 , dk−
j i


(12.1)

piem vyuv
me fakt, e pokud v
vj ∈/ E (G), pak d1
j = ∞, take v minimu bude dan souet zanedb
n. Vimnme si, e vzorec (12.1) n
padn pipomn
de#nici n
soben matic | pouze obsahuje minimum na mst sumy a souet na mst souinu. Skuten, pokud na re
lnch slech `pede#nujeme' st
n a n
soben pedpisem x
y x;y

= min(x, y ), = x + y,

pak plat, e matice Dk+1 je souinem matic Dk a D1 vzhledem k operacm
a ;. Indukc snadno dostaneme n
sledujc vtu.

Vta 12.5 Matice Dk je k-tou mocninou matice D1 vzhledem k operacm
a ;. 2

12.3. Matice vench vzdlenost

137

Vidme, e ke spot
n matice Dw (G) sta provst n − 2 `vyn
soben' matic D1 . N
sledujc tvrzen k
, e tento proces lze navc peruit ji v okamiku, kdy se `vyn
sobenm' matice poprv nezmnila.

Tvrzen 12.6 Pokud pro n jak q

matic Dw (G).

1 plat

≥

Dq+1

=

Dq ,

pak

Dq

je hledanou

Dkaz. Dok
eme indukc, e za danho pedpokladu pro vechna k > q plat Dk

= Dq .

(*)

Pro k = q + 1 je tvrzen pravdiv. Dejme tomu, e je chceme dok
zat pro dan k ≥ q + 1 za pedpokladu, e pro k − 1 tvrzen (*) plat. 1 ve vzorci (12.1) nahradit Podle induknho pedpokladu meme len dk− i
hodnotou dqi
. Dost
v
me tak rovnost dkij = dqij+1. Proto Dk = Dq+1 a tm p
dem Dk = Dq . Tvrzen (*) je tak dok
z
no pro vechna k > q . Dkaz je u konce, jakmile si vimneme, e pro kad k ≥ n− 1 je Dk = Dw (G).

2

Cvi
en

I 12.4 Najdte matici v
ench vzd
lenost nho grafu (a)

(b)

(c)

, G

ohodnocenho orientovakter je d
n n
sledujc matic sousednosti: 2

0 61 ) = 6 W (G 48 0 2

0 69 6  ) = 64 W (G 6 40 6 2

0 64 6  ) = 63 W (G 6 42 1

) D w (G

3 0 2 7

0 0 7 5 6 1 0 4 3 2

3

1 0 0 6

0 377 , 25 0 3

1 10 0 2 0

9 3 4 0 1

7 3 77 1177 , 05 0

2 1 0 4 3

3 2 1 0 4

4 377 277 . 15 0

3

138 (d)

Kapitola 12. Ohodnocen grafy 2

0 66 6  ) = 69 W (G 6 40 8

2 0 2 3 5

4 1 0 4 8

0 6 3 0 2

3

6 1477 6 77 . 15 0

12.4 Minimln kostra Tma tohoto oddlu zce souvis s pojmem minim
ln cesta. Omezme se na ohodnocen neorientovan grafy. Dejme tomu, e potebujeme propojit n mst rozvodem elektrick energie. Pro kad
dv sdla zn
me n
klady na pm spojen a chceme, aby celkov
cena byla co nejni. Situaci lze modelovat grafem G, jeho vrcholy odpovdaj mstm a v
hy hran cen
m spojen. Uvaovan rozvody energie odpovdaj souvislm faktorm grafu G (mus toti bt tak `souvisl' a pokrvat vechna msta). Faktor, kter obsahuje njakou krunici, neme urovat nejlevnj een, nebo) odstrannm libovoln hrany tto krunice snme cenu a faktor zstane souvisl. Hledan faktor F je tedy kostrou grafu G, a to kostrou, kter
m
nejmen monou v
hu. Denice 12.7 Kostra T ohodnocenho neorientovanho grafu G je minimln, pokud m
mezi vemi kostrami minim
ln v
hu w(T ) = w(E (T )) (viz de#nice 12.3). Uvedeme tzv. hladov algoritmus pro hled
n minim
ln kostry souvislho grafu G, kter jako prvn formuloval esk matematik Otakar Borvka (1899{ 1995). Zave*me n
sledujc oznaen: je-li H graf a e hrana s koncovmi vrcholy z V (H ), pak H + e je graf, kter vznikne pid
nm hrany e ke grafu H . Algoritmus pracuje v n − 1 krocch. V i-tm kroku je de#nov
n faktor Li , kter neobsahuje krunice. (Protoe graf bez krunic je disjunktnm sjednocenm strom, oznaujeme ho jako les.) Vsledn faktor Ln−1 je, jak uvidme, minim
ln kostrou. Vchoz les L0 sest
v
z izolovanch vrchol, tj. E (L0 ) = ∅. Uvame i-t krok algoritmu. Na snahou je rozit faktor Li−1 pid
nm jedn hrany na faktor Li . Nkter hrany ale pidat nememe, protoe bychom vytvoili krunici. Z hran, kter pidat lze, vyberme hranu ei s nejmen vahou2 a polome Li = Li−1 + ei . Musme jet uk
zat, e hrana ei s poadovanou vlastnost vbec existuje. To je snadn: graf Li−1 m
n vrchol a mn ne n − 1 hran. Podle vty 6.11 je Algoritmus bere v kadm kroku `nejleh' hranu, kter p
ichz v #vahu | odtud nzev hladov. 2

12.4. Minimln kostra

139

tedy nesouvisl. Graf G je ovem souvisl, take mezi nktermi dvma komponentami grafu Li−1 vede alespo jedna hrana. Pid
nm tto hrany krunici jist nevytvome. Popsali jsme zpsob nalezen kostry Ln−1 . Dokame nyn, e tato kostra je minim
ln.

Vta 12.8 Nech G je ohodnocen neorientovan graf. Kostra Ln−1 , nalezen

hladovm algoritmem, je minimln kostrou grafu G.

Dkaz. Nech) L = Ln−1 je kostra grafu G, zskan
hladovm algoritmem. Pro

dkaz sporem pedpokl
dejme, e nen minim
ln kostrou, a ze vech minim
lnch koster zvolme takovou kostru M , kter
m
s kostrou L spolen nejvt poet hran. Vezmme nejmen i, pro kter plat, e ei ∈/ E (M ) (pipomeme, e ei je hrana pid
van
v i-tm kroku algoritmu). Pak jist E (Li−1 ) ⊂ E (M ). Protoe koncov vrcholy x, y hrany ei jsou ve stromu M spojeny pr
v jednou cestou (vta 7.3), graf M + ei obsahuje pr
v jednu krunici C . Nech) f je libovoln
hrana krunice C , kter
nen obsaena ve stromu L. Graf Li−1 + f je podgrafem kostry M , a neobsahuje tedy krunice. Pid
n hrany f tak pich
z v vahu v i-tm kroku hladovho algoritmu. Protoe byla msto n pid
na hrana ei, mus bt w (ei) ≤ w (f ).

(12.2)

Odstrannm hrany f z grafu M + ei zanikne jedin
jeho krunice. Vsledn graf M
je tedy stromem, a tm p
dem kostrou grafu G. Dky nerovnosti (12.2) nen jeho v
ha vt ne v
ha minim
ln kostry M . Pitom plat |E (M
) ∩ E (L)| > |E (M ) ∩ E (L)|,

co je ve sporu s vbrem kostry M . Tento spor ukazuje, e kostra L je minim
ln.

2

Jak
je asov
sloitost hladovho algoritmu? Uk
eme, e pi vhodn implementaci jm lze minim
ln kostru najt v ase O(mn), kde m je poet hran a n poet vrchol vstupnho grafu G. (Sloitost je v tomto ppad vyj
dena jako funkce dvou promnnch, ne jenom potu vrchol n.) Poet krok algoritmu je n − 1, protoe v kadm kroku pid
me jednu z hran kostry L. V kadm kroku musme pro kadou z O(m) zbvajcch hran zjistit, zda jejm pid
nm vznikne krunice. To by pi neikovn implementaci vyadovalo as O(n), take celkov
sloitost tto implementace by byla O(mn2). Lze vak uetit pomoc n
sledujcho vylepen, zn
mho jako Kruskalv algoritmus. Seadme vrcholy do posloupnosti v1, . . . , vn . Pro kad vrchol vj budeme udrovat slo m(vj ), kter ud
v
minimum z index vech vrchol, kter le ve stejn komponent jako vj . V r
mci ppravn f
ze algoritmu pro kad j polome

140

Kapitola 12. Ohodnocen grafy

m(vj ) := j . Po

kadm provedenm kroku algoritmu pepot
me hodnoty m(vj ) (pid
nm hrany se spoj dv komponenty faktoru Li , take v jedn z nich je teba hodnoty upravit). Ke zjitn, zda pid
nm hrany vj vk vznikne krunice, nyn sta porovnat hodnoty m(vj ) a m(vk ): krunice vznikne pr
v tehdy, kdy jsou shodn. Analyzujme sloitost vylepen verze algoritmu. Ppravn
f
ze zabere O(n) operac na inicializaci hodnot m(vj ). N
sleduje O(n) krok algoritmu. V r
mci kadho z nich je teba pro kadou z O(m) hran provst konstantn poet3 operac (porovn
n hodnot m(vj )). Z hran, kter lze pidat, vybereme tu s minim
ln vahou, a pot v ase O(n) pepot
me hodnoty m(vj ). Dost
v
me tedy celkov odhad O(mn). Cvi
en

I 12.5 Je pravda, e je-li T minim
ln kostra ohodnocenho neorientovanho

grafu G a u, v ∈ V (G), pak cesta z u do v v koste T je minim
ln cestou z u do v G? Dokate nebo najdte protipklad.

v

I 12.6 Pomoc hladovho algoritmu najdte minim
ln kostry graf na obr
zku 12.5.

5

1 2

2

1

3 3

2

1

1

1 1

(a)

2

1

2

2 6

2

2 1

1

7

4 4

(b)

Obr
zek 12.5: Najdte minim
ln kostry.

12.5 Problm obchodn ho cestuj c ho Vechny lohy, kter jsme zatm v kapitole 12 zkoumali, byly eiteln efektivnmi algoritmy. Nyn strun popeme problmu, u kterho se situace zd
bt odlin
. Jedn
se o tzv. lohu obchodnho cestujcho. Konstantn zde znamen `nezvisl na m a n'. Konstantn veliinu lze v rmci pouvanho formalismu znait symbolem O(1). 3

12.5. Problm obchodnho cestujcho

141

Obchodn cestujc m
za kol objet vechna msta v danm kraji, a to po nejkrat mon trase (meno potem ujetch kilometr). Kad msto mus navtvit pr
v jednou a m
skonit ve vchozm bod. Reformulace problmu v jazyce teorie graf je nasnad: zad
nm je ohodnocen neorientovan graf, jeho vrcholy odpovdaj mstm, hrany dvojicm mst s pmm silninm spojenm, a v
ha kad hrany je vzd
lenost pslun dvojice mst. Hledanm eenm je hamiltonovsk
krunice s nejmen monou vahou (optimln hamiltonovsk
krunice). Pro grafy mal velikosti lze een pomrn rychle najt `hrubou silou' jako v n
sledujcm pkladu. Nech) G je ohodnocen graf na obr. 12.6. Budeme proch
zet vechny hamiltonovsk krunice v grafu G a hledat mezi nimi optim
ln een. Zaneme-li ve vrcholu A, meme pokraovat do libovolnho z jeho 3 soused. Z kadho souseda pak lze pejt do dvou dosud nenavtvench vrchol atd. Nem
-li ji aktu
ln vrchol x 
dnho nenavtvenho souseda, jsou dv monosti. Bu*to je mon pejt z x do A a uzavt tm hamiltonovskou krunici (pak je nutn porovnat jej v
hu se st
vajcm minimem a ppadn jej aktualizovat), nebo to mon nen a dan
vtev prohled
v
n skonila ne spchem. V kadm ppad se vr
tme k posledn uinn volb a zvolme dal z variant. Jsou-li vechny monosti probr
ny, algoritmus kon. Postup lze pehledn zn
zornit koenovm stromem na obr. 12.7 (tzv. rozhodovac strom ). Koenu je piazen vchoz vrchol A, potomci kadho vrcholu odpovdaj variant
m dalho prohled
v
n. Zvraznn listy tohoto stromu pedstavuj hamiltonovsk krunice (sla u list jsou v
hy tchto krunic), ostatn listy pedstavuj cesty, kter se na hamiltonovsk krunice nedaj rozit. (loha m
dv een o v
ze 21. I na tomto malm pkladu je vidt, e se rozhodovac strom naeho algoritmu me rychle rozrst. $asov
sloitost je zhruba d
na funkc n! (roste tedy jet mnohem rychleji ne 2n ). Nap. u plnho grafu toti probr
me vech (n − 1)! hamiltonovskch krunic (viz cvien 12.7). F 5

C 2

4 4

5

D

A

1 3 6

B

5

E

Obr
zek 12.6: Zad
n lohy obchodnho cestujcho.

142

Kapitola 12. Ohodnocen grafy A B C

E

F D E

C

D E F D

C

24

25

B F

C

F

E

D D F

D

D F E D

B

21

25

E E

B

D

F

B

F C

E

C

C B

B

F

B

E

24

C 21

Obr
zek 12.7: Rozhodovac strom pro lohu obchodnho cestujcho. Pro lohu obchodnho cestujcho nen zn
m 
dn efektivn algoritmus. Stejn jako problm rozpozn
v
n hamiltonovskch graf, o kterm jsme hovoili v oddlu 6.6, pat i tato loha k tzv. NP- plnm problmm. Cvi
en

I 12.7 Ukate, e pln graf na n vrcholech m
(n − 1)! hamiltonovskch krunic.

I 12.8 Pomoc rozhodovacho stromu najdte een lohy obchodnho cestuj-

cho pro ohodnocen graf na obr. 12.8.

12.6 Toky v s t ch V tto kapitole jsme uvedli jen nkolik aplikac ohodnocench graf. Oblast velmi bohatou na tyto aplikace je tak teorie tok v stch, kter
se zabv
n
sledujc situac. S je orientovan graf obsahujc dva vznan vrcholy z (zdroj) a s (stok). Kad
hrana m
urenou propustnost (budeme-li si hrany pedstavovat jako potrub, jde o mnostv kapaliny, kter me hranou za jednotkov as protct). Tok v tto sti je ohodnocen hran s vlastnost, e souet ohodnocen hran vstupujcch do libovolnho vrcholu x ∈/ {z, s} je shodn se soutem ohodnocen hran, kter z x vystupuj (z x tedy odtk
tolik kapaliny, kolik do nj piteklo). Clem je najt maximln tok, tj. tok, pro kter ze zdroje vytk
maxim
ln mnostv kapaliny. Existuje vta (tzv. vta o maxim
lnm toku), kter
toto mnostv

12.6. Toky v stch

143 D 2

7

E

C 8 1

9 5

3

A

3

2

5

B

Obr
zek 12.8: Graf ke cvien 12.8. jistm elegantnm zpsobem charakterizuje. Pro nalezen maxim
lnho toku jsou k dispozici efektivn algoritmy. Podrobnj informace k tomuto tmatu lze zskat mj. v pedn
k
ch 8].

144

Kapitola 12. Ohodnocen grafy

Vsledky cvien Kapitola 1 1.1.

X ∪Y X ∩Y X −Y

= {z : x ∈ X nebo z ∈ Y }, = {z : x ∈ X a z ∈ Y }, = {z : x ∈ X a z ∈/ Y }.

1.3. A m
2n podmnoin, z toho 2n−1 sudch. 1.4. (a)  

n k

 

= k!(nn−! k)! , 







 

6 = 20, 10 = 210, 10 = 1, 0 = 1. 3 6 0 0

1.5. (a) 2n. (b) 0. 1.8. V obou ppadech tvrzen plat. 1.9. L(R) = P (R) = {3, 4}. 1.10. R∪T R∩T R−T R T

= {(1, a), (1, b), (1, c), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b), (4, c), (4, d)}, = {(1, c), (3, a)}, = {(1, a), (2, b), (3, b), (4, b), (4, c), (4, d)}, = {(1, a), (1, b), (2, b), (3, b), (4, a), (4, b), (4, c), (4, d)}. 145

146

Vsledky cvien

1.11. 2mn. 1.12. R implikuje S , pr
v kdy R ⊂ S . 1.13. Obr. 1.1a: nap. prvky L(R) odpovdaj sloupcm obsahujcm alespo

jeden vyznaen prvek. Na obr. 1.1b odpovdaj bodm z mnoiny X , ze kterch vede alespo jedna spojnice.

1.14. Viz obr. 12.9. Y 6

4

6

5

3

5

4

2

4

1

3

3 1

2

3

4

X

(a)

X

(b)

Y

Obr
zek 12.9: 'een cvien 1.14.

1.15. Nap. pro X = {1, 2, 3, 4} viz obr. 12.10. Y 4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1 1

2

3

4

(a)

X

X

(b)

Y

Obr
zek 12.10: 'een cvien 1.15.

1.16. Ob sloen jsou rovna R. 1.17. (a) Napklad relace R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} na mnoin {1, 2, 3}. (b) Relace EX na libovoln mnoin X .

147

1.18. Jedno je zrcadlovm obrazem druhho podle diagon
ly. 1.19. Napklad: (a) pr
zdn
relace na nepr
zdn mnoin, (b) relace R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}

na X = {1, 2}.

1.20. Ne, nap. pro R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2)} a S = {(1, 2), (2, 1)} na X = {1, 2}. 1.21. Vztah (b) v platnosti nezstane, viz nap. relace R = {(2, 2)}, S = {(2, 1)} a T = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} na X = {1, 2}.

1.24. (a) mn. (b) m(m − 1) . . . (m − n + 1) = 0.

;m n

· n!.

(c) n! pokud m = n, jinak

1.25. (a) Napklad f (n) = 2n. (b) Napklad f (0) = 0, f (n) = n − 1 pro n ≥ 1. 1.26. (a) Je-li f ◦ g na, pak g je na, f ne nutn. (b) Je-li f ◦ g prost
, pak f je prost
, g ne nutn.

1.27. `Analogick fakt' je f ◦ p = g ◦ p ⇒ f = g. 1.31. Napklad: (a) n → n/2. (b) n → 2n pro n > 0 a n → −2n + 1 pro n ≤ 0. 1.33. Slab antisymetrick
zobrazen jsou charakterizov
na nap. podmnkou pokud f (f (x)) = x, pak f (x) = x.

1.35. Uv
dme zkratky vlastnost danch relac (R = re0exvn, A = slab antisymetrick
atd.): (a) RAT, (b) AT, (c) RS, (d) RST, (e) S, (f) RAT, (g) RT, (h) SAT (plat toti S = {(0, 0)}!), (i) T, (j) RT, (k) nic, (l) RST.

1.36. Ne, viz napklad pr
zdn
relace. 1.37. Jde pr
v o podmnoiny identick relace. 1.38. Matice re0exvn relace m
na diagon
le sam jedniky, matice symetrick

relace je symetrick
.

1.41. Ano. 1.42. Relace ∼ nen ekvivalence, protoe p ∼ −p, ale nen −p ∼ p.

148

Vsledky cvien 4

3

6

5

2

1

Obr
zek 12.11: 'een cvien 1.48.

1.44. (a) Ne, viz relace R = {(1, 2), (2, 1)} ∪ 4 a S = {(2, 3), (3, 2)} ∪ 4 na mnoin {1, 2, 3}, kde 4 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}. (b) Ne, nen re0exvn. (c) Ne, viz cvien 1.45.

1.46. (a) Ano, pmky rovnobn s y = x. (b) Ano, pmky rovnobn s y = kx. (c) Ano, soustedn elipsy. 1.47. Ekvivalence ≈ m
n + 1 td, ekvivalence  nekonen mnoho. 1.48. Viz obr. 12.11. 1.49. Matice M je v `blokovm tvaru', pokud 2

B1

M

=

6 6 6 4

0 ... 0

0

3

0 0 77 . . . 0 75 ,

... B2 . . .

... 0

. . . Bk

kde `bloky' Bi jsou tvercov matice sloen ze samch jedniek, jejich diagon
ly le na diagon
le matice M . V matici M (R) v blokovm tvaru bloky odpovdaj td
m ekvivalence R.

Kapitola 2

2.1. Grupa na mnoin {0, a, b, c} s operac : 0 0 0

a a

a b c

c b



a b c

0

b b c

0 a

c c b a

0.

2.3. Nejmen pklad tvo grupa ze cvien 2.1 spolu s grupou urenou tabulkou

149 0 0 0 

a b c

a b c

a a b c

0

b b c

0

c c

0

a a b,

co je v podstat grupa Z4 , de#novan
v oddlu 2.2.

2.4. Kdy se x a y v i-t souadnici shoduj. 2.5. 25. 2.6. Mnoina een je {(4t + 2, 2, t + 1, t) : t ∈ Z5 }.

2.7. Tleso Z2 : 0 1 0 0 1 1 1 0

⊕

1 1 1

⊗

Tleso Z7 : ⊕

0 1 2 3 4 5 6

0 0 1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 6 0

2 2 3 4 5 6 0 1

3 3 4 5 6 0 1 2

4 4 5 6 0 1 2 3

5 5 6 0 1 2 3 4

6 6 0 1 2 3 4 5

⊗

1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 6

2 2 4 6 1 3 5

3 3 6 2 5 1 4

4 4 1 5 2 6 3

5 5 3 1 6 4 2

6 6 5 4 3 2 1

2.12. Nech) z je reprezentant tdy a. Pokud p dl z, pak a = 0 a inverzn

prvek neexistuje. Jinak (z, p) = 1, protoe p je prvoslo, a sta najt koe#cient x v rovnosti zx + py = (z, p). Tda x]p je inverzn ke td a.

2.15. Jde o kritria: (a) x je dliteln 3 (resp. 9), pr
v kdy m
souet cifer

dliteln 3 (resp. 9). (b) $slo x je dliteln 8, pr
v kdy m
posledn trojsl dliteln 8. (c) $slo x je dliteln 11, pr
v kdy je rozdl soutu cifer na lichch pozicch a soutu cifer na sudch pozicch dliteln 11.

150

Vsledky cvien

Kapitola 3

3.1. (a) ne, (b) ano, neporovnateln dvojice jsou {1, 2} a {4, 5}. 3.2. Nech) X je abeceda (mnoina symbol) s line
rnm uspo
d
nm ≤. Pro

slova a = a1 . . . am a b = b1 . . . bn (kde symboly ai , bj jsou z X ) polome a  b, pr
v kdy existuje k ≤ min(m, n) s vlastnostmi: (1) pro kad j ≤ k je aj ≤ bj , a d
le (2) bu* k < min(m, n) a ak+1 ≤ bk+1, nebo k = m. Relace  je tzv. lexikograck uspodn na mnoin slov nad abecedou X .

3.3. Je to pr
zdn
relace. 3.4. Viz obr. 12.12. V pkladu (a) existuje jen nejvt prvek (60), v pkladu (b) nejvt (56) i nejmen (2), v pkladu (c) ani jeden. 56

60 12

12

15

4 2

(a)

8

24 36 60 28 20

4 3

8

12 4

2

(b)

6 2

(c)

3

Obr
zek 12.12: 'een cvien 3.4.

3.5. (b) Napklad mnoina re
lnch sel se standardnm uspo
d
nm (viz cvien 3.3).

3.6. Napklad mnoina vech celch sel se standardnm uspo
d
nm a s pidanm prvkem ∗, kter je men ne 0 a neporovnateln se vemi z
pornmi sly. Prvek ∗ je jedin minim
ln prvek, ale nejmen prvek neexistuje.

3.7. (a) Ne, protoe (d, a) ∈/ R. (b) Ano, minim
ln prvky jsou b, e, maxim
ln a, d.

3.8. Napklad mnoina {1, . . . , 7} s uspo
d
nm R = {(i, j ) : i ≤ 2, j ≥ 3} ∪ {(i, i) : i = 1, . . . , 7}.

151

3.9. Existuj, in#mum odpovd
nejvtmu spolenmu dliteli, supremum nejmenmu spolenmu n
sobku.

3.12. Jedin minim
ln prvek je pr
zdn uspo
d
n, maxim
ln prvky jsou line
rn uspo
d
n.

3.14. Dok
eme jen neplatnost vztahu (3.1) ve svazu

M5 . Nech) x, y, z jsou vechny ti prvky svazu M5 rzn od 0, 1, piem y ≤ z. Potom z ∧ (x ∨ y ) = z ∧ 1 = z , zatmco (z ∧ x) ∨ (z ∧ y ) = 0 ∨ x = x, take distributivita neplat. U svazu N5 je rovn teba uv
it ti prvky rzn od 0, 1.

3.15. Vlastnost neplat nap. pro prvky svazu N5 rzn od 0, 1. 3.16. Ano. 3.17. Nejmen prvek je 1, nejvt 0. Svaz je distributivn: podle cvien 3.9

in#mum sel a, b odpovd
nejmenmu spolenmu dliteli nsd(a, b), supremum nejmenmu spolenmu n
sobku nsn(a, b). Protoe plat a · b = nsd(a, b) · nsn(a, b),

podle cvien 3.15 snadno dost
v
me distributivitu danho svazu.

3.18. (b) Ne, napklad pro X = {1, 2, 3, 5, 30} jde o svaz N5. 3.19. ppad minim
ln maxim
ln nejmen nejvt svaz distributivn (a) 2 4, 42 2 | ne | (b) 2,3,7 42 | 42 ne | 1 30 1 30 ano ne (c) (d) 1 36 1 36 ne | 1 60 1 60 ano ne (e) 1 30 1 30 ano ano (f)

3.20. Jsou to mnoiny {1, 2, 3, 12}, {1, 2, 3, 4, 12}, {1, 4, 6, 12}, {1, 3, 4, 6, 12}. 3.25. Ano.

152

Vsledky cvien

Kapitola 4 4.1.

ppad svaz distributivn komplement
rn Booleova algebra (a) ne | | | (b) ano ne ano ne ano ano ano (c) ano (d) ano ano ne ne 4.2. Uspo
dan
mnoina D(n) je Booleova algebra, pr
v kdy n nen dliteln druhou mocninou 
dnho prvosla. (Pokud toti p2 dl n, pak p nem
komplement.) 4.5. Zkratky: R = re0exvn, S = symetrick
, A = slab antisymetrick
, T = tranzitivn ppad R S A T ekvivalence uspo
d
n (a) ne ne ano ano ne ne (b) ne ano ne ne ne ne ne ne (c) ne ano ne ne 4.6. Nap. prvek a nem
inverzn prvek vzhledem k n
soben. 4.7. Uvedeme pouze tabulku operace + (v obvyklm z
pisu, take nap. mnoinu {b, c} oznaujeme bc). + 0 a b c ab ac bc 1 0 0 a b c ab ac bc 1 a a a ab ac ab ac bc 1 b b ab b bc ab 1 bc 1 c c ac bc c 1 ac bc 1 ab ab ab ab 1 ab 1 1 1 ac ac ac 1 ac 1 ac 1 1 bc bc 1 bc bc 1 1 bc 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4.10. Atomy jsou: (a) mnoiny {a}, {b}, {c}, (b) jednoprvkov podmnoiny mnoiny X , (c) prvky 2, 3 a 5. 4.11. Atomy jsou jednoprvkov podmnoiny mnoiny pirozench sel. 4.12. (d) Spojen, prsek a komplement lze popsat n
sledovn: A] ∧ B ] = A ∩ B ], A] ∨ B ] = A ∪ B ], A] = N − A].

153

4.18. (a) Hasseovy diagramy tchto uspo
danch mnoin jsou na obr. 12.13.

(c) Nap. n
sledujc uspo
d
n S , T : uspo
d
n S je standardn uspo
d
n pirozench sel, uspo
d
n T se s nm shoduje na mnoin {1, 2, . . .}, ale slo 0 je v nm vt ne vechna ostatn sla.

Obr
zek 12.13: Pt neisomorfnch tprvkovch uspo
danch mnoin.

4.19. Mnoinou atom direktnho souinu A1 × A2 je kartzsk souin At(A1) ×

At(A2).

4.20. Hodnoty zsk
me, pokud v tabulce 4.2 provedeme n
sledujc nahrazen: 0 → 00,

a → 10,

b → 01,

1 → 11.

4.21. Vsledkem jsou tyto pravdivostn tabulky: x y

0 0 1 1

0 1 0 1

x→y

1 1 0 1

y + xy5

0 1 1 1

4.22. Je to booleovsk polynom rovn polynomu x2 . 4.23. Supremum funkc f, g je funkce, jej hodnota v kad n-tici (a1, . . . , an) ∈

je supremem hodnot f (a1, . . . , an ) a g (a1, . . . , an ). Podobn in#mum a komplement.

B2n

4.24. |F2| = 16, |Fn| = 22 . 4.25. Plat n

x5 = x | x, x + y = x5 | y5 = (x | x) | (y | y ), x·y

= x | y = (x | y ) | (x | y ).

154

Vsledky cvien

4.26. (a) Ani v jednom, (b) jen v souinovm, (c) v obou, (d) v obou. 4.27. f (x, y, z ) = x5y z5 + xy5z5 + xy5z + xyz = (x + y + z)(x + y + z5)(x + y5 + z5)(5x + y5 + z), g (x, y, z ) = x5y5z5 + x5y z5 + x5yz + xy5z + xyz = (x + y + z5)(5x + y + z)(5x + y5 + z).

4.28. Napklad xy5z5 a xy5z5 + xx5. 4.29. Vta neplat, konstantn 1 m
vyj
den v plnm soutovm, ale nikoli v plnm souinovm tvaru.

4.30. x → (y → x) = xyz + xy z5 + xy5z + xy5z5 + x5yz + x5y z5 + x5y5z + x5y5z5

(vyj
den v plnm souinovm tvaru neexistuje), x ⊕ (y → z ) = xy z5 + x5yz + x5y5z + x5y5z5 = (x + y5 + z)(5x + y + z)(5x + y + z5)(5x + y5 + z5), y (x + y5z ) = xy5z + xy5z5 + x5yz + x5y z5 + x5y5z5 = (x + y + z)(x + y + z5)(5x + y5 + z), ((5xy ) ⊕ z)((xz) → y ) = xyz + x5y z5 + x5y5z = (x + y + z)(x + y5 + z5)(5x + y + z)(5x + y + z5)(5x + y5 + z).

4.31. x → ((y + x5z ) ⊕ z5) = xyz + xy5z5 + x5yz + x5y z5 + x5y5z + x5y5z5 = (5x + y5 + z)(5x + y + z5), ((xy5) ⊕ (y z5)) ⊕ (zx5) = xy z5 + xy5z + xy z5 + xy5z5 + x5yz + x5y z5 + x5y5z = (x + y + z)(5x + y5 + z5).

4.32. 2n.

155

Kapitola 5

5.3. Jeden z isomor#sm napklad piazuje vrcholm 1, 2, . . . , 6 po ad vrcholy b, e, f, c, a, d.

; 

5.4. Po ad n2 , 0, n − 1 a n. 5.6. Vechny vrcholy grafu Kn maj stupe n− 1, v grafu Dn jsou vechny stupn

0. V grafu Pn jsou pro n ≥ 2 dva vrcholy stupn 1, ostatn maj stupe 2. Graf m
jeden vrchol stupn 0. Vechny stupn v grafu Cn jsou 2. 5.7. (a) Pro p ≥ q je sk&re (p, p, . . . , p, q, q, . . . , q), piem p se opakuje q-kr
t a q se opakuje p-kr
t. (b) (k, k, . . . , k ), kde k se opakuje 2k -kr
t. 5.8. Napklad krunice C6 a disjunktn sjednocen dvou krunic C3 . 5.9. Pro 
dn. Graf s n vrcholy neme mt vrchol stupn n. 5.10. (a) Viz obr. 12.14a. (b) Viz obr. 12.14b. (c) Neexistuje (souet stup je lich). 5.11. (b) Jde o n
sledujc charakterizaci: k-regul
rn graf na n vrcholech existuje pr
v tehdy, kdy k − 1 dl n. P1

(a)

(b)

Obr
zek 12.14: Pklady een cvien 5.10.

Kapitola 6

6.2. Nap. kad prost zobrazen mnoiny X do mnoiny Y je homomor#smus

diskrtnho grafu s mnoinou vrchol X do diskrtnho grafu s mnoinou vrchol Y a m
poadovan vlastnosti. 6.5. (a) 3, (b) 4. 6.11. Tah je hranov monomor#smus z cesty Pk do grafu G, uzaven tah je hranov monomor#smus z krunice Ck do G. 6.12. Nap. (1, 2, 3, 1, 4, 2, 5, 3, 6, 4, 5, 6, 1).

156

Vsledky cvien

Kapitola 7

7.1. Poet rznch strom je 16, poet neisomorfnch 2. 7.2. (a) 1, (b) n, (c) n2 + 2n. 7.3. 3n. 7.4. (a) n · 2n−1, (b) 2n−1(n + 2). 7.7. Prmrn
v
en
hloubka je 2.36. 7.8. ELEGIE: 10101001000111, LILIE: 010001101000111. Hu%manv k&d se `vy-

plat' u prvnho slova (m
dlku 14, zatmco pi zak&dov
n kadho symbolu trojic bit bychom potebovali 18 bit. U druhho slova je dlka v obou ppadech stejn
. 7.9. LIGA. 7.10. Hu%manv strom je na obr. 12.15. Jeho prmrn
v
en
hloubka je 2.6. C A

D

B

E

Obr
zek 12.15: Hu%manv strom ve cvien 7.10.

Kapitola 8

8.2. Napklad sjednocen orientovanho cyklu na vrcholech a, b, c, d a orientovan

cesty na vrcholech d, e, f . 8.6. Napklad (5, 2, 3, 1, 6, 4) nebo (5, 2, 1, 3, 6, 4). 8.7. Napklad graf G, jeho mnoinou vrchol je mnoina vech celch sel, a hrany jsou vechny dvojice (k, k + 1), kde k ∈ Z. 8.8. (a) R je re0exvn, pr
v kdy u kadho vrcholu je smyka. (b) R je symetrick
, pr
v kdy ke kad hran mezi rznmi vrcholy existuje protichdn
hrana. (c) R je antisymetrick
, pr
v kdy graf G neobsahuje 
dnou dvojici protichdnch hran. 8.11. V obou ppadech jde o orientovan graf se dvma vrcholy spojenmi jednou hranou.

157

Kapitola 9 9.1. (a) 3

2

1 0 0 −1 1 6−1 1 0 0 0 77 , 6 4 0 −1 −1 0 05 0 0 1 1 −1 (b) 2

1 6−1 6 6 0 6 6 0 6 4 0 0

0 1 −1 0 0 0

0 0 −1 1 0 0

0 0 0 1 −1 0

0 0 0 0 1 −1

0 0 0 0 −1 1

−1

0 0 0 0 −1

0 −1 0 0 1 0

3

0 1 77 0 77 . 0 77 −15 0

9.2. Li se jen poadm 
dk a sloupc. 9.3. Ano. Vektory v1 , . . . , vn ∈ Rn jsou line
rn z
visl, pr
v kdy matice s 
dky v1 , . . . ,vn

m
nulov determinant.

9.4. Hodnost je 2k, hledan mnoiny obsahuj pro kadou komponentu pr
v dva 
dky odpovdajc jejich vrcholm.

9.5. Poet faktor je 2m. 9.6. Je jich 8 (viz tak cvien 7.2c). 9.7. (a) 12. (b) 21. (c) 75. (d) 384.

Kapitola 10 10.2. Napklad sjednocen dvou troj helnk se spolenm vrcholem. Faktor

obsahujc vechny hrany je sud, ale nen to krunice.

158

Vsledky cvien

10.3. Pi oslov
n hran jako na obr. 12.16 dostaneme matice, kter se od n
sledujcch li jen poadm 
dk: 2

1 60 6 60 6 61 6 60 6 6 (a) 6611 6 60 6 61 6 61 6 40 0

1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1

0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0

1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0

0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 e8

0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1

e3

e4

3

0 077 077 077 177 077 , 077 077 177 177 15 1

2

1 60 6 60 6 (b) 66 1 60 6 41 1

e7 e2

e5 e6 e1

(a)

1 0 0 1 0 1 1

0 1 0 1 1 0 1

0 1 0 1 1 0 1

0 0 1 0 1 1 1

0 0 1 0 1 1 1

1 0 1 1 1 0 0

1 1 0 0 1 1 0

0 1 1 1 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

3

0 0 77 0 77 0 77 . 0 77 05 0

e5 e4 e12 e9 e11 e6 e7 e8 e3 e1

e2 e10

(b)

Obr
zek 12.16: Oznaen hran graf z cvien 10.3.

10.4. Nap. hvzda vrcholu stupn 3 v grafu na obr. 7.1a nen ez. 10.5. Opan
implikace neplat, nap. tun oznaen
mnoina hran A na obr
z-

ku 12.17 nen ezem.

Obr
zek 12.17: Pklad k cvien 10.5.

10.8. 'een je na obr. 12.18 a 12.19.

159

Kapitola 11

11.1. Na diagon
le jsou stupn vrchol, jinde 0. 11.2. Pt: v2 v1 v2v1 v2, v2 v3v2 v1v2 , v2v1 v2v3 v2 , v2 v3v2 v3 v2, v2v3 v3 v3v2 . 11.3. Jde o vztah = F2 = 1, Fi+2 = Fi + Fi+1 , F1

kde i ≥ 1.

11.5. Pro sud n je 2

0 61 6 6 .. 6. D (Cn ) = 6 n 62 6. 4 .. 1

1 0 ...

2 1 ...

... ...

...

n n 1 ... 2 −1 n 2 2− n n ... 2 −2 2 −1 2 n

n 2 −1 2 −2 ...

n

... 2

... 3

...

...

... 1 ... n

2

... 0 ...

... 1 ...

...

...

...

n 2 −1 2 − 2 ...

n

2 3 ...

2 −2

n

... 1

1 2 ...

3

7 7 7 7 7 n − 1 7 2 ... 75

0

(pro lich n jsou nutn mal zmny). D
le je 2

0

1 6n − 1 0 6 D (Cn ) = 6 .. ... 4 . 1 2

2 ... 1 ... ... . . . 3 ...

3

n−2 n−1 n − 3 n − 27 7

...

n−1

... 0

7. 5

11.7. Graf je siln souvisl, pr
v kdy jeho distann matice neobsahuje poloky ∞.

12.1. $tvercov symetrick nez
porn re
ln matice.

Obr
zek 12.18: Fundament
ln soustava krunic ve cvien 10.8 (tun).

160

Vsledky cvien

Obr
zek 12.19: Fundament
ln soustava ez ve cvien 10.8 (tun). v u u

v u

(a)

v

(b)

(c)

Obr
zek 12.20: (Nkter) minim
ln cesty v pkladu 12.2.

12.2. Pklady een jsou na obr. 12.20. V
hy minim
lnch cest jsou: (a) 22, (b)

21, (c) 21.

12.3. Ozname vrcholy zleva doprava u, x1, x2 , . . . , x6, v. Potom minim
ln cesta

je: (a) (u, x3, x2 , x5, v), v
ha 29, (b) (u, x2, x1, x4 , x3 , x6, v), v
ha 28.

12.4. Matice v
ench vzd
lenost jsou: 2

0 3 0 (a) 2 8 7

1 2 0 6

3 377 , 25 0

0 64 6 (c) 663 42 1

2 1 0 4 3

3 2 1 0 4

61 6 43

2

1 0 4 3 2

2

3

3

4 377 277 , 15 0

0 69 6 (b) 664 46 6

2

8 0 7 5 6

0 2 0 2 (d) 3 8 5 66 6 68 6 49

1 5 0 2 3

3 1 0 4 6

5 3 4 0 1

3

7 3 77 1077 , 85 0 3 6 6 4 577 3 477 . 0 15 2 0

161

Kapitola 12

12.5. Tvrzen neplat, sta uv
it troj helnk s hranami ohodnocenmi 2, 2, 3, piem u a v jsou koncov vrcholy hrany o v
ze 3.

12.6. Minim
ln kostry maj v
hu (a) 8, (b) 11. Jejich pklady jsou na obr
zku 12.21.

(a)

(b)

Obr
zek 12.21: Minim
ln kostry v cvien 12.6.

12.8. Optim
ln krunice je (A, D, E, B, C, A) a m
v
hu 16.

162

Vsledky cvien

Literatura 1] J. Holenda a Z. Ryj
ek, Linern algebra II. Skripta, Z
padoesk
univerzita v Plzni, 1997. 2] L. Kuera, Kombinatorick algoritmy. SNTL, Praha, 1983. 3] L. Lov
sz, Combinatorial Problems and Exercises. Akadmiai Kiad&, Budapest, 1979. 4] J. Matouek a J. Neetil, Kapitoly z diskrtn matematiky. Matfyzpress, Praha, 1996. 5] L. Proch
zka, Algebra. Academia, Praha, 1990. 6] E.R. Scheinerman, Mathematics: A Discrete Introduction. Brooks/Cole, Paci#c Grove, 2000. 7] N.J.A.S. Sloane, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, http://www.research.att.com/~njas/sequences. 8] Teorie graf a diskrtn optimalizace I., II. Pedn
ky na Z
padoesk univerzit v Plzni.

163

164

Literatura

Rejstk Dijkstra, E. W., 133 direktn mocnina, 51 souin, 51 distributivita, 21, 35, 43 dvan
ctistn, 75

Abel, N. H., 20 algebraick
struktura, 19 algoritmus Dijkstrv, 69, 77, 133 efektivn, 77 hladov, 138 Hu%manv, 90 polynomi
ln, 77 antire0exivita, 27 aritmetika modulo p, 22 asociativita, 7, 43 atom, 46

ekvivalence, 14 element
rn operace, 76 epimor#smus hranov, 68 vrcholov, 68 Euler, L., 73

backtracking, 77 bezprostedn pedchdce, 28, 47 bijekce, 9 Binet, J. P. M., 108 Birkho%, G. D., 36 bit, 87 Boole, G., 42 Booleova algebra, 42 booleovsk
funkce, 52 booleovsk polynom, 52 Borvka, O., 138

faktor, 81, 107 sud, 115 fundament
ln soustava krunic, 121 ez, 122 funkce, viz zobrazen She%erova, 54 graf, 5, 59 acyklick, 96 diskrtn, 60 eulerovsk, 74 hamiltonovsk, 75 k -regul
rn, 65 neorientovan, 59 ohodnocen, 131 orientovan, 93 siln souvisl, 95 slab souvisl, 94 souvisl, 68

pln, 60 grupa, 20

Cauchy, A.-L., 108 cesta, 61, 67, 68 minim
ln, 132 nejdel, 70 orientovan
, 95 cyklus, 95 asov
sloitost, 76 de Morgan, A., 2 de Morganovy z
kony, 2, 43, 44 dlitelnost, 13 165

166 abelovsk
, 20 komutativn, 20 Hamilton, W. R., 75 Hasse, H., 29 Hassev diagram, 29 hloubka prmrn
v
en
, 89 stromu, 86 vrcholu, 83 hodnost, 17, 106, 114 hodnota zobrazen, 9 homomor#smus, 68 hrana, 59 hrany n
sobn, 59 Hu%man, D. A., 87 hvzda, 117 implikace, 4, 53 incidenn matice redukovan
, 107 in#mum, 32 inkluze, 28, 29, 32, 33 inverzn relace, 6 isomor#smus graf, 61 grup, 21 uspo
danch mnoin, 48 kartzsk souin, 2 klauzule souinov
, 54 soutov
, 54 kolm vektory, viz ortogon
ln vektory kombinan slo, 2 komplement, 41 komponenta, 69, 94 komutativita, 43 kondenzace, 99 kongruence modulo p, 15, 21 koen, 83

Rejstk kostra, 82, 107 minim
ln, 83, 138 k&d symbolu, 87 k&dov
n, 87 Hu%manovo, 90 optim
ln, 88 pre#xov, 88 kritrium distributivity, 36 krunice, 61, 72 hamiltonovsk
, 75 kvazikomponenta, 96 Laplace, P.-S., 110 lemma o pod
n ruky, 63 line
rn z
visl
mnoina, 105, 114 line
rn programov
n, 77 list, 79 liter
l, 54 matice distann, 128 incidenn, 103, 113 krunic, 116 Laplaceova, 110 ez, 118 v
ench vzd
lenost, 134 w -distann, 134 matice sousednosti, 125 v
en
, 132 medi
n, 39 metoda stavovch promnnch, 83 metrika, 128 mnoina, 1 konen
, 1 nekonen
, 1 pr
zdn
, 2 monomor#smus hranov, 68 vrcholov, 68 n
sledovnk, 90 norm
ln forma

Rejstk disjunktivn, 54 konjunktivn, 54 NP- plnost, 77, 142 obchodn cestujc, 140 obor relace lev, 4 prav, 4 odstrann hrany, 72 vrcholu, 70 operace, 19 asociativn, 19 komutativn, 19 ortogon
ln doplnk, 119 ortogon
ln vektory, 119 pevn bod, 38 podgraf, 61 indukovan, 62 podmnoina, 1 vlastn, 2 podobn matice, 17 podstrom, 90 podsvaz, 35 porovnateln prvky, 27 poset, 27 posloupnost grafov
, 64 potomek, 83 pravdivostn tabulka, 52 princip duality, 34 problm NP- pln, 77, 142 obchodnho cestujcho, 77, 140 optimalizan, 131 prostor cykl, viz prostor krunic krunic, 116 ez, 118 prmrn
v
en
hloubka, 89 prnik mnoin, 2 prsek, 32

167 prvek, 1 inverzn, 20 maxim
ln, 31 minim
ln, 31 nejmen, 31 nejvt, 31 neutr
ln, 19 relace, 3 antire0exvn, 60 bezprostednho pedch
zen, 29 bin
rn, 4 dlitelnosti, 27 inverzn, 6 n-
rn, 4 na mnoin, 7 oboustrann dosaitelnosti, 95 re0exvn, 12 slab antisymetrick
, 12 symetrick
, 12 tranzitivn, 12, 13 rodi, 83 rovnost mnoin, 2 rozdl mnoin, 2 symetrick, 3 rozklad, 15 ez, 118 separace, 117 s), 142 sjednocen mnoin, 2 skl
d
n relac, 5 sk&re, 64 sled, 67, 68 dlka, 67 orientovan, 95 uzaven, 72 sloen relac, 5 sloitost asov
, 76 smyka, 59 soubor stup, viz sk&re

168 souin direktn, 51 skal
rn, 119 souinov tvar, 54

pln, 54 soutov tvar, 54

pln, 54 spojen, 32 Stone, M. H., 48 strom, 79 bin
rn, 82, 83 Hu%manv, 90 koenov, 83 optim
ln, 89 optim
ln vyhled
vac, 86 rozhodovac, 83, 141 vyhled
vac, 84 stupe, 63 vstupn, 94 vstupn, 94 supremum, 32 svaz, 33 dlitel, 38 distributivn, 35 komplement
rn, 42 symetrick rozdl, 3, 53, 115 symetrizace, 94 tah, 73 eulerovsk, 73 uzaven, 73 teorie mnoin, 1 tleso, 21 ttiva, 121 tok v sti, 142 tolerance, 15 tranzitivn uz
vr, 14 tda ekvivalence, 16 uspo
d
n, 27 
sten, 27 inkluz, viz inkluze lexikogra#ck, 28

Rejstk line
rn, 28 neostr, 27 ostr, 27

pln, 28 uspo
dan
mnoina 
sten, 27 uz
vr re0exivn-tranzitivn, 31 tranzitivn, 98 uzel, 59

loha, viz problm

pln
soustava zbytk, 23 v
ha cesty, 132 mnoiny hran, 132 symbolu, 88 v
en
dlka, 88 vta Cauchy{Binetova, 108 Diracova, 75 Ramseyova, 62 Stoneova o reprezentaci, 48 vrchol, 59 vstupn, 97 vstupn, 97 vzd
lenost, 128 v
en
, 132 z
vora doln, 32 horn, 32 zbytkov
tda, 22 zn
zornn relace grafov, 5 kartzsk, 5 maticov, 11 orientovanm grafem, 11 zobrazen, 9 inverzn, 10 na, 9 prost, 9 vz
jemn jednoznan, 9