KALKULUS LANJUT Oleh: Alit Bondan Edisi Pertama Cetakan Pertama, 2007 Hak Cipta © 2007 pada penulis, Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apa pun, secara elektronis maupun mekanis, termasuk memfotokopi, merekam, atau dengan teknik perekaman lainnya, tanpa izin tertulis dari penerbit.
Candi Gebang Permai Blok R/6
Yogyakarta 55511 Telp. : 0274-4462135; 0274-882262 Fax. : 0274-4462136 E-mail :
[email protected]
Bondan, Alit Kalkulus Lanjut/Alit Bondan - Edisi Pertama Yogyakarta; Graha Ilmu, 2007 viii + 160 hlm, 1 Jil. : 23 cm. ISBN : 978-979-756-186-4 1. Matematika
I. Judul
KATA PENGANTAR Buku ini disusun untuk memenuhi pembelajaran Kalkulus Lanjut yang berasal dari pengalaman penulis mengajar di Universitas Trisakti (Jakarta) sejak tahun 1988 dan di Sekolah Tinggi Teknik PLN (Jakarta) sejak tahun 1998. Hal penting yang harus dipenuhi dalam penyusunan buku semacam ini ialah tetap mencoba supaya inti sari buku mudahmudahan dapat meningkatkan kemampuan matematis begitu banyak mahasiswa dewasa ini. Sejalan dengan hal tersebut, topik persamaan Diferensial karena beragamnya sengaja ditulis dalam tiga Bab, yaitu Bab I mengenai Persamaan Diferensial Orde I, Bab II mengenai Persamaan Diferensial Orde II dan pada Bab III mengenai Persamaan Diferensial Linier Orde n. Bagian terbesar pekerjaan saya ini adalah mereorganisasi dan memperluas konsep-konsep yang telah diberikan dalam awal perkuliahan matematika di tingkat Perguruan Tinggi yaitu Kalkulus I dan Kalkukus II, yang berarti bahwa latar belakang mahasiswa yang mulai mengambil matakuliah Kalkulus Lanjut semakin beragam. Penyusunan buku ini dibuat dalam setiap Bab supaya mahasiswa dapat dengan lebih mudah memahami analisa matematikanya dalam Bab yang bersangkutan. Bab IV adalah mengenai Integral Lipat sedangkan pada Bab V dan Bab VI masing-masing adalah Transformasi Laplace dan Deret Fourier dan Integral Fourier. Kedua Bab terakhir ini adalah sangat penting dalam menunjang pengetahuan mahasiswa di Fakultas Teknik.
vi
Kalkulus Lanjut
Akhirnya penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu tersusunnya buku ini, khususnya kepada Wasliyati ST yang telah membantu pengetikan seluruh isi buku ini yang mencakup notasi-notasi matematika yang belum tentu semua orang dapat melakukannya. Oktober, 2006 Penulis
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ...............................................................
v
DAFTAR ISI .............................................................................
vii
BAB I
Persamaan Diferensial Orde Pertama ..................
1
BAB II Persamaan Diferensial Orde Kedua .....................
38
BAB III Persamaan Diferensial Linier Orde n ....................
53
BAB IV Integral Lipat ............................................................
69
BAB V Dasar dasar Transformasi Laplace .......................
81
BAB VI Deret Fourier dan Integral Fourier ........................... 105 DAFTAR PUSTAKA ............................................................... 157 TENTANG PENULIS .............................................................. 159
BAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE PERTAMA Hasil Pembelajaran Setelah menyelesaikan Bab ini, Anda diharapkan dapat:
Mengetahui orde dari suatu persamaan diferensial.
Mengetahui bahwa suatu persamaan diferensial orde-n dapat diturunkan dari suatu fungsi yang mengandung n konstanta sembarang.
Menyelesaikan persamaan diferensial orde-pertama tertentu dengan integrasi langsung.
Menyelesaikan persamaan diferensial orde-pertama tertentu dengan pemisahan variabel.
Menyelesaikan persamaan diferensial homogen orde-pertama tertentu dengan substitusi yang tepat.
Menyelesaikan persamaan diferensial orde-pertama tertentu dengan menggunakan sebuah faktor integrasi.
Menyelesaikan persamaan Bernoulli.
2
Kalkulus Lanjut
1.1 Pendahuluan Menurut sejarah, persamaan diferensial timbul dari ketertarikan dan keingintahuan seseorang tentang perilaku dunia dimana ia hidup. Kita ingin mengetahui kapan dan bagaimana tumbuhan dipanen, bagaimana menginterpretasikan gerak bintang maupun planet terhadap iklim, formasi geologis atau dalam segi kehidupan yang lain. Interpretasi ini didasarkan pada pengamatan perubahan yang terjadi padanya. Kalkulus adalah pelajaran mengenai bagaimana kita dapat mengekspresikan perubahan secara matematis, dengan mengambil rasio perubahan dalam satu besaran terhadap perubahan besaran yang lain yang akan menghasilkan rata-rata tingkat perubahan, yang mana dalam limit menjadi tingkat perubahan sesaat atau derivatif. Secara matematis, investigasi terhadap perubahan akan menghasilkan persamaan-persamaan dan ekspresi-ekspresi yang meliputi derivatif-derivatif (turunan-turunan), yang kita kenal dengan nama persamaan deferensial. Jadi persamaan deferensial adalah sebuah persamaan yang menghubungkan sebuah fungsi yang tak diketahui dan derivatif-derivatifnya. Bentuk umum persamaan deferensial biasa (PDB) adalah f(x,y,y,y,y,...,y(n) = 0. Ekspresi ini mengatakan bahwa terdapat hubungan antara variabel bebas x dan variabel tak bebas y beserta derivatif-derivatifnya, dalam bentuk himpunan persamaan yang secara identik sama dengan nol. Sebuah persamaan diverensial disebut mempunyai orde n jika orde turunan tertinggi yang terlibat adalah n, sedangkan jika turunan dengan orde tertinggi itu berderajad k maka persamaan itu dinamakan persamaan diferensial berderajad k. Jika hanya satu variabel bebas yang diasumsikan maka persamaan itu dinamakan persamaan diferensial biasa misalnya:
