No title

Obsah

[I]

Základní principy elektromechanické

přeměny

energie

1. Úvod 2. Kvazistacionární děje 3. Jediné vinutí se železným jádrem a konstantní vzduchovou mezerou 4. Dvě a více vinutí se železným jádrem a konstantní vzduchovou mezerou 5. Jediné vinutí se železným jádrem a proměnnou vzduchovou mezerou 6. Posuvný systém s dvěma vinutími 7. Otočný systém s dvěma vinutími a s konstantní vzduchovou mezerou 8. Obecný elektromechanický systém 9. Otočný systém s dvěma vinutími a proměnnou vzduchovou mezerou 10. Otočný systém s dvěma vinutími, konstantní vzduchovou mezerou a komutátorem

[II]

II 12

16 21 27 35 39 50 54 58

Teorie obecného elektrického stroje ll. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. "

Úvod Základní předpoklady v teorii obecného elektrického stroje Provedení obecného elektrického stroje Základní napěťové rovnice obecného elektrického stroje Pohybová rovnice a moment obecného elektrického stroje Synchronní stroj a jeho základní rovnice Indukčnosti synchronního stroje s vyniklými póly Lineární transformace základních rovnic synchronního stroje Výkon a moment synchronního stroje Asynchronní stroj a jeho základní rovnice Lineární transformace základních rovnic asynchronního stroje Výkon a moment asynchronního stroje ,

65 66 69 70 76 79 81 84 91 93 96 100

[9]

[lIl] Užití teorie obecného elektrického stroje 23.

24.

25. 26.

Stejnosměrné

stroje 102 a) Základní rovnice stejnosměrného stroje s cizím buzením 102 b) Vliv tlumicích obvodů na regulaci napětí dynama s cizím buzením 104 c) Základní rovnice a vlastnosti metadynu 108 d) Rozběh motoru s cizím buzením 109 Jednofázové komutátorové stroje 113 a) Sériový (univerzální) motor 113 b) Repulsní motor 115 Základní vlastnosti lineárně transformovaných veličin 118 Synchronní stroje 122 a) Základní rovnice synchronního stroje v ustáleném stavu 122 b) Fázorový diagram a moment synchronního stroje s vyniklými póly při kývání 126 Asynchronní stroje 131 Základní rovnice asynchronního stroje v ustáleném 131 stavu •

27.

Dodatek I Indukované napětí v komutátorové kotvě při obecné poloze kartáčů a nesinusovém průběhu magnetické indukce

135

Dodatek II Vztahy pro poměr vzájemné a

rotační indukčnosti

142

Dodatek III Vlastní a vzájemné

indukčnosti sinusově

rozloženého vinutí

147

•

•

Dodatek IV Lineární transformace a její vlastnosti

155

•

[10]

Literatura

159

Rejstřík

161

[I] Základní principy elektromechanické přeměny energie

1. Úvod

a techniky v posledních desetiletích se vyznačuje prudkým růstem vědeckých a technických poznatků, zkracováním doby od vědeckého objevu k jeho praktickému použití, rostoucím významem vědy při průmyslovém rozvoji, prolínáním vědních oborů a vznikem oborů hraničních. Tento objektivní vývoj má vliv i na celkové pojetí jednotlivých vědních a technických oborů. Při propracovávání jednotlivých oborů dochází k tomu, že izolovaná fakta a nesouvisející detaily jsou postupně pohlcovány obecnější koncepcí a vysvětlením. Dochází k hlubší teoretické návaznosti technického oboru s odpovídajícími obory přírodovědními, nalézají se jeho obecnější základy a unifikující prvky. Podobným vývojem prochází také obor elektrických strojů, zejména při výuce na vysokých školách. Původně izolovaný výklad jednotlivých druhů strojů převedl již ve třicátých letech G. Kron na společný základ zavedením obecného elektrického stroje. Definice elektrického stroje je dnes tak široká, že do této kategorie lze zahrnout všechny stroje k přeměně energií, z nichž alespoň jedna je energie elektrická. Nebudeme se na tomto místě zabývat otázkou, jakým zařízením je možno přiřadit název stroj. Největší skupinu tvoří takové elektrické stroje, u kterých dochází k elektromechanické přeměně energie, přičemž prostřed níkem této přeměny je energie magnetického pole. Prostředníkem elektromechanické přeměny energie může být i energie elektrického pole. Z uvedené kategorie elektrických strojů se v knize zabýváme převážně elektrickými stroji točivými. Při analýze těchto strojů vycházíme obecně ze základních principů elektrodynamiky a teorie obvodů. Cílem knihy je seznámit čtenáře se základy elektromechanické pře měny energie a výpočtem elektromagnetických sil a momentů, které v elektromechanických zařízeních vznikají a dále s teorií obecného elektrického Rozvoj

vědy

[111

stroje a lineární transformací proměnných. Tyto metody se dnes v zahraniční literatuře běžně používají a kníha má vytvořit předpoklady pro její studium a širší používání. Při výkladu základních principů se zvláštní důraz klade na logičnost a fyzikální srozumitelnost, která často v literatuře chybL Omezený rozsah knihy umožnil zařazení jen jednodušších aplikací teorie obecného stroje, o složitějších problémech se čtenář poučí v citované literatuře.

2. Kvazistacionárnl jevy

Základem analýzy elektromagnetických jevů jsou Maxwellovy rovnice, které se formulují buď v integrálním, nebo v diferenciálním tvaru. Maxwellovy rovnice v diferenciálním tvaru jsou

o 1+ D ot o B ot

(2.1)

rot H =

(2.2)

rot E =

(2.3)

div D =

(2.4)

div B = O

e

(2.5)

D =eE

(2.6)

B = IlH

(2.7)

I = rE

(2.8) kde

e = e,eo

je permitivita dielektrického eo = 8,854. 10-

12

prostředí,

Fim je permitivita vakua, poměrná

er (2.9)

když

permitivita

II = Ilrllo

je permeabilita magnetického 7

prostředí,

když

Ilo = 41t . 10- H/m je permeabilita vakua,

[12]

prostředí,

poměrná

permeabilita

prostředí,

H(E)

vektor intenzity magnetického (elektrického) pole,

B(D)

vektor magnetické (elektrické) indukce,

J

vektor plošné hustoty vodivého proudu, když platí

. ai = 1lm 03a ... O

kde

(2.10)

aa

i je vodivý proud,

a

plošný průřez

. l' J=lm 03''''0

aq

at

=

J .da

(2.11)

s

q prostorový náboj,

aq 03V"'O av

fl = lim

kde

objemová hustota náboje

(2.12)

V je objem, uzavírající náboj, měrná

vodivost.

Maxwellovy rovnice se obvykle doplňují vztahem pro Lorentzovu sílu F, která působí na náboj q pohybující se rychlostí v v poli magnetické indukce B a v elektrickém poli o intenzitě E: F = q(E

+v

(2.13)

x B)

Maxwellovy rovnice je možné v určitých případech zjednodušit. Tak např. v první Maxwellově rovnici (2.1) můžeme zanedbat při velmi vysokých kmitočtech vodivý proud v dielektrikách

.a rotH = D at

(2.14)

V případě vodivého proudu ve vodičích při nízkých kmitočtech a pomalých časových změnách můžeme zanedbat v rovnici (2.1) plošnou hustotu

[13]

posuvného proudu

rotH

(2.15)

(ajat) D

= J

Tímto zjednodušením se nedopouštíme velké chyby, jak vyplývá z následující úvahy. Podle rovnice (2.7) J závisí na E, posuvný proud, resp. hustota (ajat) D je úměrná podle (2.5) E. Probíhá-Ii např. E sinusově, pak podle (2.5) platí

a -D,...., c:os

(2.16)

at

kde

c:o = 2ni je úhlový kmitočet. •

O tom, zda je možné zanedbat vodivý nebo posuvný proud, rozhoduje nerovnost (2.17) I když zvolíme poměrně velké hodnoty Sr' i (např. Sr = 10 , i = 10 Hz) vzhledem k elektrickým strojům, je přesto pravá strana nerovnosti (2.17) 6 7 řádu 10- 5. Naproti tomu levá strana nerovnosti je u vodičů řádu 10 až 10 • Vodivý proud je tedy u vodičů nejméně o 10 řádů větší než posuvný proud. Můžeme tedy u většiny jevů v elektrických strojích zanedbat posuvný proud proti proudu vodivému a první Maxwellovu rovnici zjednodušit na rovnici (2.15). Jevy, u kterých se zanedbávají posuvné proudy, se nazývají jevy kvazi. , , . staclOnarruml. Elektrické obvody v elektrických strojích je možné považovat za obvody se soustředěnými parametry a použít pro ně Kirchhoffovy zákony. Při některých přechodných jevech na elektrických strojích spojených s rázovými jevy při vysokém napětí nelze použít zjednodušené první Maxwellovy rovnice a příslušné elektrické obvody je třeba chápat jako obvody s rozloženými parametry. Při analýze magnetického pole zavádíme často zjednodušující před poklady spočívající v tom, že prostorový problém magnetického pole pře vádíme na problém řešení magnetického obvodu pomocí Hopkinsonova zákona. Při analýze mechanického obvodu vycházíme z ď Alembertova principu 2

3

,

(2.18)

(14] ,

kde

F K je vektor

F:

vnějších

a

vnitřních

sil,

vektor setrvačné síly (setrvačný odpor).

Rovnice (2.18) tedy znamená, že vektorový součet vnější a vnitřní síly pusobící na pohybující se těleso a setrvačné síly tělesa je v každém časovém okamžiku roven nule. U rotačního pohybu elektrických strojů tento princip převádíme na rovnováhu momentu (2.19) r

kde

vnitřní

mi

je

Lm,

součet vnějších

r

elektromagnetický moment stroje, aktivních i pasívních momentu pusobících

na hřídeli, moment

setrvačných

sil,

moment

setrvačnosti

rotujících hmot,

mechanická úhlová rychlost rotoru. PI =

d

dt

.

Rovnice získané z Kirchhoffových zákonu pro elektrické obvody, z definice spřažených magnetických toku zavedením indukčností podle statické definice pro lineární magnetické obvody spolu s rovnicí pohybovou Obr. J. Magnetický obvod s jedním vinutím a s konstantní vzduchovou mezerou

•

[15]

(2.19) a rovnicí pro vnitřní elektromagnetický moment stroje mi dávají soustavu diferenciálních rovnic, postačující při zadání potřebných vstupních hodnot pro řešení kvazistacionárních jevů v elektrických strojích.

3. Jediné vinutí se železným jádrem a konstantní vzduchovou mezerou Magnetický obvod je tvořen železným jádrem s konstantní vzduchovou mezerou (j. Průřez magnetického jha SF. je konstantní a předpokládáme, že je konstantní také průřez vzduchové mezery S6 (obr. 1). Magnetický tok je vyvolán proudem ve vinutí, jehož okamžitá velikost i(t) je dána vstupním napětím u(t). O magnetickém toku předpokládáme, že jeho převážná část qJh se bude uzavírat tzv. hlavní cestou, to znamená magnetickým jhem o střední délce silové čáry lF. a vzduchovou mezerou (j. Jen poměrně malá část se bude uzavírat jako rozptylový tok qJ" mimo hlavní cestu, tj. převážně vzduchem. Budeme-li pro jednoduchost předpokládat, že okamžitá velikost magnetického toku qJ prochází každým závitem vinutí, platí pro qJ

(3.1)

qJ = a pro

(3.2)

qJh

+ qJ"

spřažený

'"

=

magnetický tok vinutí '"

NqJ

Budeme-li předpokládat, že proud

i(t) je nezávislou proměnnou a je funkcí

času

i = i(t)

(3.3) je

spřažený

(3.4)

'"

=

magnetický tok funkcí proudu i:

"'(i)

O této funkci je pro daný magnetický obvod známo, že je nelineární a dokonce to není funkce jednoznačná vlivem tzv. hystereze. Předpokládáme-li, že magnetický obvod je složen z magneticky kvalitních izolovaných plechů a že vliv hystereze je zanedbatelný, můžeme o funkci (3.4) předpokládat, že probíhá podle obr. 2. To je všeobecně známá magnetizační charakteristika. Jak jsme uvedli v kap. 2, je možné při analýze uvedeného systému vycházet ze zjednodušených Maxwellových rovnic, platných pro kvazistacio, ,. narru Jevy. Pro magnetický obvod platí podle první Maxwellovy věty

[16]

Hds = Ni =1,

(3.5)

"

kde

fp je magnetomotorické napětí budicího vinutí.

Je zřejmé, že hodnota křivkového integrálu (3.5) je stejná, ať integrujeme po cestě hlavního toku nebo po cestě toku rozptylového. Za dříve uvedených předpokladů a za předpokladu, že intenzita magnetického pole v železném jádru a ve vzduchové mezeře je konstantní, lze rovnici (3.5) psát

IJ

+ v;, =

HIJ ds = VFe

+ HIJJ

(3.6)

o

o

kde

HFel Fe

HFe (HIJ) je intenzita magnetického pole v železném jádru (vzduchové mezeře),

magnetické napětí v železném jádru (vzduchové mezeře).

VFe (VIJ)

Platí-li dále při předpokládaném rozptylu pro magnetickou indukci v železném jádru BF • mimo vinutí (ve vzduchové mezeře BIJ) BFe

I

= J1.Fe

H

Fe

({Jh.

=S '

(3.7)

/I

I

J1.Fe

= J1.FerO

Fe

Obr. 2. Magnetická energie a koenergie

-

II

-II •

I

•

I

[17]

lze dále psát

-

(3.8) -

-

lFe B

, JlFe

RJJŮl

kde

Fe

je magnetický odpor hlavní magnetické cesty,

R mFe (Rmll) Pro

magnetický odpor železné části hlavní cesty (vzduchové mezery).

SFe = Sll je

(3.9)

B Fe

(3.10) a

+

() B II Jlo

fil

=

Bll

=B

= Ni = B

Jestliže platí

Jl~e ~ Jlo

(3.11)

pak lze pro magnetickou indukci psát (3.12)

B

~

Ni Jlo()

[T; Hfm, A, m-

1

]

Obdobně

lze psát za dříve uvedených zjednodušujících rozptylový magnetický tok

předpokladů

pro

>

>

(3.13) Pro elektrický obvod, jehož parametry pro kvazistacionární jevy lze soustředit, platí podle druhé Maxwellovy rovnice druhý Kirchhoffův zákon (3.14)

u = Ri

d

+ Ptl/! ;

Pt = dt

V teorii elektrických strojů se

(3.15)

u = Ri

(3.16) kde

Ul

je tzv.

[18]

=

často formálně

+ Ptl/!" + Ul

Ptl/!h

vnitřní

indukované

napětí.

píše

Úpravou rovnice

dJYe = dJtj kde je

(3.14) dostaneme energetickou bilanci

+ dW......s

(3.17) (3.18)

dW. = ui dt

přírl1stek

elektrické energie,

(3.19)

dJtj = R;2 dt je přírl1stek energie, odpovídající Joulovým ztrátám. Zbytek

(3.20)

dWm.all = i d'" musí být přírl1stek magnetické energie. Toto je nejjednodušší tvar pro rl1stek magnetické energie. Pro magnetickou energii lze jednoduše psát

pří

'"i d"'(i)

Wmal =

(3.21)

o

. Pro spřažený magnetický tok, který je jednoznačnou funkcí proudu, nezávisí hodnota tohoto integrálu na integrační dráze a magnetická energie závisí na konečné hodnotě spřaženého magnetického toku"'. Takováto funkce, která závisí jen a jen na konečném stavu veličiny"', se nazývá stavová funkce. Geometricky představuje hodnotu integrálu (3.21) a hodnotu magnetické energie Wm.ag šrafovaná plocha nad magnetizační charakteristikou vobr. 2. Zaveďme zcela formálně výraz

,•

"'(i) di

Wco =

(3.22)

o

jako magnetickou koenergii. Geometricky je to šrafovaná plocha pod magnetizační charakteristikou vobr. 2. Z obr. 2 jakož i z rovnic (3.21) a (3.22) vyplývá, že vztah obou energií udává rovníce I

Wmaa

+

Wco =

i("') d'" +

o

"'(i) di

o

=

iili

(3.23)

kde veličiny i, ifi představují konečné hodnoty proudl1 a spřaženého magnetického toku.

[19]

Pro lineární průběh magnetizační charakteristiky (obr. 3), např. voblasti nenasycení železného jádra, nebo je-li možno magnetický odpor železného jádra zanedbat vůči magnetickému odporu vzduchu

(R mFe ~ R mcl ) (viz též rovnici (3.11)), platí podle (3.23) (3.24) Pak podle statické definice

Li = '" = N q>

(3.25)

indukčnosti

.

vinutí L konstantní. Při nelineárním dukčnost v oblasti nasycování závislá na proudu

je vlastní

L =

(3.26)

indukčnost

průběhu

je in-

L{i)

Dosazením (3.25) do (3.21) dostaneme pro magnetickou energii i

Wmag = L

(3.27)

i di = !Li2 o

což pomocí (3.25) lze také psát (3.28) Tento výraz je shodný s výrazem (3.24), který jsme odvodili přímo z obr. 3. Dosadíme-li do rovnice (3.25) výraz pro magnetický tok z Hopkinsonova zákona, dostaneme další vztah pro indukčnost 2

L = N

(3.29)

Rm

kde

= N 2A

m

N je počet závitů vinutí, Am magnetická vodivost obvodu, kterým se uzavírá uvažovaný magnetický tok.

Dosazením tohoto vztahu do (3.27) dostaneme dalŠÍ vyjádření energie magnetického pole (3.30) kde

[20]

f m je magnetomotorické napětí vinutí.

Další vztahy pro energii magnetického pole plynou z (3.28) (3.31) Dosadíme-li do' tohoto vztahu podle Hopkinsonova zákona (3.32) kde Rm je magnetický odpor obvodu, kterým se uzavírá uvažovaný magnetický tok, dostaneme (3.33) Přitom vztah (3.31) a především (3.33) vyjadřuje magnetickou energii po-

mocí magnetického toku jako nezávislé 4.

proměnné.

Dvě

a více vinutí se železným jádrem a konstantní vzduchovou mezerou

Předpokládejme

stejný magnetický obvod jako v předešlé kapitole, tvořený železným jádrem z plechů s konstantní vzduchovou mezerou. Tento obvod je nyní buzen dvěma vinutími 1, 2. Přestože obě vinutí jsou magneticky vázána, jsou napájena z nezávislých zdrojů o okamžitých napětích Ul(t), U2(t), která vyvolají proudy ve vinutí Žl> Ž2 (schéma na obr. 4). Považujeme-li tyto proudy za nezávisle proměnné a za funkce času Obr. 3. Magnetická energie a koenergie v lineárnim systému

Obr. 4. Systém s

vinutimi

•

Wmag

-1f

dvěma

If /'

/

I

I

WCo

I

~

\

• I

o

1

• I

[21]

(4.1)

i 1 = il(t)

il = il(t) jsou spřažené magnetické toky s vinutími ifJl' ifJl funkce závislé na obou proudech

(4.2)

ifJ1

= Vtl(i l, i l )

Vtl = VtzCil' il ) V dalším odvodíme z energetické bilance výraz pro magnetickou energii. Podle druhého Kirchhoffova zákona lze pro oba elektrické obvody psát

(4.3)

+ PtifJl + PtVtl

Ul = Rli l Ul = Rlil

kde Vtl' Vtl jsou spřažené magnetické toky s vinutími 1, 2. Úpravou těchto rovnic dostaneme celkovou energetickoll bilanci uvedeného systému a to tak, že první rovnici vynásobíme i l dt, druhou i l dt a obě rovnice sečteme. Dostaneme

(4.4)

dW. = dWj kde

(4.5) (4.6) (4.7)

podobně

+ dWmag

jako v kap. 3

+ ulil) dt (Rlii + RliD dt i l dVtl + i 2 dVt2

dWe

= (ulil

d»'.!

=

dWinaa =

•

Jak již bylo v kap. 3 konstatováno, je magnetická energie dána svým koneč ným stavem, tj. konečnou hodnotou magnetických záběrů ifJl' ifJ2 při odpovídajících proudech i l , i l čili magnetická energie je stavová funkce. Pro l funkce typu (4.2) se dá obvykle dokázat, že platí )

(4.8) 1) Pro lineární závislosti platí pro !JIl = L 11 ;l !JIl = Lll;l

!JIl a !JI2:

+ L 12 il + Lll;l

odkud při L 12 = L 21 lze výraz (4.8) snadno dokázat.

[22]

".,

..

_ -- - - - - - - - - - - - -

To je postačující podmínkou, aby křivkový integrál výrazu (4.7) byl nezávislý na integrační dráze a aby magnetická energie byla stavovou funkcí, jejíž hodnota závisí jen na konečném stavu veličiny 1/1. Je-li možno z rovnic (4.2) jinak psát

. i 1 = i 1(1/Il' 1/12) i 2 = i 2(t/t l'

(4.9)

t/t 2)

,

lze pro magnetickou energii z rovnice (4.7) psát

(4.10) c

-

'fl. "'2(;1(t/t1> t/t2) dt/tl + i (t/t1>' t/t2) dt/t2] 2

o

kde t/t 1. t/t 2 jsou integrační proměnné. Integračních cest je teoreticky libovolné množství. Jedna z nich je například ;Vl

Wmag = o

i 1(t/tl,0)dt/tl

,První integrál platí pro t/t2 t/t 2' neboť platí

t/t 1

=

ifi 1

+

(4.11) o

= O, v druhém

je

integrační proměnná

pouze

(4.12)

= konst

to znamená, že spřažený magnetický tok t/t 1 dosáhl konečné hodnoty při první integraci a je během druhé integrace konstantní. Takovou veličinu budeme označovat pruhem nad písmenem. Je možné volit i jinou cestu integrace, např. (4.13) o

o

Hodnota integrálu (4.13) se přitom od hodnoty integrálu (4;11) neliší. U prvního způsobu nejdříve nabudíme první vinutí na spřažený magnetický tok t/t 1 při t/t 2 = O. Po dosažení této hodnoty magnetického toku t/t 1 začneme budit druhé vinutí, až dosáhneme spřaženého magnetického toku t/t2' Energie nashromážděná v tomto elektromagnetickém systému je pak hledaná magnetická energie

, [23]

.

U druhého zpťtsobuje postup opačný. Je možné také budit oba systémy současně,

t/Jl t/J2

(4.15)

např.

tak, že platí

= k = konst

Pak platí

(4.16) Podle rovnice (3.22) je možné psát i pro magnetickou koenergii

c

- -

-

ll, J2

[t/JI(i 1,i2) di l o

+ t/J2(i 1, i2) di 2]

Ze součtu rovnic (4.10) a (4.17) bezprostředně plyne, že

Wmag +

(4.18)

Wco = ífíl1l

+ ífí212

Pro lineární magnetický obvod uvažovaného systému lze psát

•

t/J2

= L 21 i l

+ L 22 i2

Odtud pro i l , i2 lze psát •

(4.20) •

(4.21) když

předpokládáme

L 12 = L 21 = M.

Zvolíme-li např. cestu integrace podle (4.11), dostaneme

[24]

Wmall

1 =-D

~2

i!i.

+

L2.2"'1 d"'l O

(L11"'2 - M?il) d"'2 O

Po dosazení z rovnic (4.19), (4.21) a po úpravě dostaneme známější výraz pro magnetickou energii Wmag = !L11ii

+ !L22i~ + Mi 1 i 2

(4.22)

Porovnáním tohoto výrazu s rovnicí (4.19) lze jinak psát •

(4.23) Uvažme obecně n vinutí vzájemně magneticky vázaných za stejných podmínek jako v předešlém případě (viz schéma na obr. 5). Podle (4.1) a (4.2) lze analogicky pro proměnné psát ij =

iit)

"'j =

",ii l , i2 ,

(4.24) ••. ,

j = 1, 2, ... , n

in)

,,

Pro elektrické obvody

můžeme

psát

j = 1, 2, ... , n

(4.25)

. Obdobnou úpravou soustavy rovnic (4.25) dostaneme Obr. 5. Systém s n vinutími

• •

" "-

"\

\~

I

[25]

(4.26)

'i)h dt j

=

(4.27) kde

dJ'Ye

LUji j dt

=

LRji; dt + Lij dl/l j j j

j

(4.28)

dWj

= LRji; dt J

dWmag = Lij dl/l j

(4.29)

j

Podle (4.10) lze i zde pro magnetickou energii psát iJil.iJi2 •••• •iJin

(4.30)

Wmag = Podobně

'fill/l!> 1/12' ... ,1/1,,) dl/l j

o

j

pro magnetickou koenergii it,iz, ... ,in

w.,o

(4.31)

=

o

LI/Ili 1 , i2 ,

... ,

i,,) di j

j = 1, 2, ... , n

j

Analogicky podle výrazu (4.18) lze psát j = 1, 2, ... , n

(4.32)

Pro lineární magnetický obvod dostaneme řešením integrálu (4.30) obdobným zpiisobem jako u systému se dvěma vinutími výraz pro magnetickou energii Wmag

(4.33)

= w.,o = -1 Lijl/l j

j = 1, 2, ... , n

j

Jelikož .

k = 1, 2, ... , n

(4.34) (4.35) a

dosazením (4.34), (4.35) do (4.33) dostaneme j, k = 1, 2, ... , n

(4.36)

kde Ljj (resp. L kk) je vlastní indukčnost j-tého (resp. k-tého) vinutí, (4.37) je vzájemná indukčnost mezij-tým a k-tým vinutím.

[261

Rovnici (4.36) můžeme rozepsat do tvaru

WIlUI1

=

. (4.38)

t(L11 ii + LZ2i~ + ...) + LU i l i2 + L 13 i 1i3 + ... +

+ L23 i 2i 3 + ... + L34 i 3i4 + ... •

nebo do maticového tvaru L 11 L 21

=-!-

•••

L 22

L 13 L 23

'1

• ••

I

•

'2

•••

•

• •

L 31

L32

L33

•••

'3

• •

• •

• • •

• • ••

• • •

•

Wmag =

Lu

•

•

•

Hi)' . [L] [i]

(4.39)

5. Jediné vinutí se železným jádrem a proměnnou vzduchovou mezerou

Na obr. 6 je schéma uvažovaného jednoduchého elektromechanického systému tvořeného magnetickým obvodem, jehož podstatnou část tvoří železné jádro, přerušené proměnnou vzduchovou mezerou celkové délky 2x. Obr. 6. Magnetický obvod s jedním vinutím a

,..----_.

proměnnou

vzduchovou mezerou

L- _ _

•

I

u

ft;

•

.

-

I•

[27]

Vzduchová mezera se mění lineárním posunem kotvy, na kterou působí obecně okamžité vnější síly Lir. Magnetický obvod je buzen jediným vinutím o N r

závitech, napájeným proudem okamžité velikosti i. Při daném vstupním napětí okamžité velikosti u mfiže být budicí proud obecně např. funkcí času

(5.1)

i =

Dále

předpokládejme,

x

(5.2)

i(t) že také

proměnná

vzduchová mezera je funkcí

času

x(t)

=

Obdobně

jako v kap. 3 předpokládejme, že převážná část magnetického toku qJh probíhá hlavní cestou, kdežto menší část qJ" po cestách rozptylových. Předpokládáme-li, že s každým závitem cívky zabírá magnetický tok

je spřažený magnetický tok s vinutím o N závitech

1/1 = NqJ = I/I(i,

(5.4)

x)

Při

konstantních parametrech staneme pro funkci

řadu magnetizačních

Xl> X2' ••• , XII

a

při

zanedbání hystereze do-

charakteristik na obr. 7.

Magnetická energie uvažovaného elektromechanického systému s proměnnou vzduchovou mezérou bude sice funkce složitější než u systému s konstantní vzduchovou mezerou, avšak je to opět stavová funkce, daná svým konečným stavem, tj. konečnou velikostí magnetického toku a konečnou velikostí vzduchové mezery. Jestliže podle (5.5) můžeme určit

i

(5.6)

=

i(l/I, x)

lze pro uvažovanou magnetickou energii psát

(5.7)

Wm . ,

=

•i(l/I, x) dl/l o

Rovnice (5.7) představuje magnetickou energii opět jako stavovou funkci,

[28]

,

jejíž velikost závisí nejen na konečné hodnotě spřaženého magnetického toku 0/, ale i na konečné poloze kotvy x. Např. podle obr. 7 se v systému nahromadí magnetická energie Wmag V bodě A o velikosti vyznačené šrafované plochy (nad magnetizační charakteristikou), dosáhne-li systém konečné polohy kotvy xJ a konečné hodnoty magnetického toku fP. Je tedy

(5.8) ,

I v tomto případě lze Wmag vyjádřit křivkovým integrálem, jehož konečná hodnota nezávisí na cestě integrace. Z obr. 7 je zřejmé, že k bodu A dojdeme: a) změnou x při i = konst, b) změnou i při x = konst, c) změnou i, x v libovolném vztahu. Při

analýze uvažovaného elektromechanického systému je třeba řešit obvod elektrický, magnetický a mechanický. Analýza magnetického obvodu vychází opět ze zjednodušené první Maxwellovy rovnice, jak bylo ukázáno v kap. 3. Pro formální shodnost vý, sledků od této analýzy zde upustíme. Pro elektrický obvod platí druhý Kirchhoffův zákon u = Ri

+ Ptl"

pro mechanický obvod

(5.9) ď Alembertův

princip

(5.10) Obr. 7. Magnetická energie a koenergie systému s

D

proměnnou

vzduchovou mezerou

'-i

---o

[29]

kde

R

je

činný

odpor vinutí,

fi

vnitřní

LI, ,

součet vnějších

.elektromagnetická síla

působící

sil působících na kotvu kých ztrát kotvy (včetně setrvačné síly).

na pohyblivou kotvu, včetně

síly mechanic-

.

Rovnici (S.9) po dosazení z rovnice (S.4) pišme

(S. 11)

u = Ri

(S.12) kde

Ul

+ u· I

= PtljJ

•

je tzv. vnitřní indukované napětí. Jelikož ljJ = ljJ(i, x), lze pro toto napětí psát oljJ dž u· = I ož dt

(S.13) ( 5.14) kde

U lt

+

oljJ dx = ox dt

,

U' t I

+ u· IF

oljJ di

= -'- -

ož dt .

je tzv. transformační napětí, vzniklé časovou změnou proudu při x = konst, a

(S.lS)

U lr

=

oljJ dx ox dt

=

oljJ ox

v

je tzv. pohybové napětí, vzniklé pohybem kotvy rychlostí v = dxldt při i = konsL Upravme rovnici (S.9) vynásobením i dt a rovnici (S.10) vynásobením dx. Dostaneme 2

(5.16)

U

(S.17)

fi dx

(5.18) kde

dWc = u i dt

je

i dt = Ri dt

přírůstek

=

+

i dljJ

Lf, dx ,

elektrické energie, 2

(S.19)

dWj = Ri dt je přírůstek energie, odpovídající Joulovým ztrátám,

[30]

d Jfím =

li dx

(5.20)

je přírůstek vnitřní mechanické energie a li je vnitřní elektromagnetická síla působící na kotvu,

Mv,.

=

'Llr dx

(5.21)

r

je přírůstek mechanické energie včetně energie odpovídající mechanickým ztrátám a kinetické energii. Ze zákona o zachování energie z předchozích rovnic nutně plyne, že dWmag

+ dJfím

=

i dtjJ

(5.22)

Z obr. 7 platí (viz též rovnici (4.18))

Wmag

+ w.,o

tjJ(i, x) . i

=

(5.23)

A jelikož

(5.24) . plyne z rovnice (5.23)

+

dW = ,,; di mag 'I'

i d'" - ow.,o di _ oWco dx 'I' oi ox

(5.25)

Dosazením rovnice (5.25) dostaneme po úpravě spolu s rovnicí (5.20)

co oWco d' f oW d O· 1+,xtjJ I oi ox

(5.26)

S ohledem na nezávislost obou proměnných i, x platí dále

co ' ) oW J(. / X - - ' - ' -

(5.27)

co tjJ(i x) = oW , oi

(5.28)

I

ox

,

Rovnice (5.27) je důležitý vztah pro velikost vnitřní elektromagnetické síly, působící na kotvu (pohyblivou část). Smysl této rovwce lépe vynikne, jestliže rovnici znásobíme rychlostí v = dx/dt

J(i

'I, X ) dx _ ow.,o dx -= dt

(5.29)

ox dt

[31]

. Levá strana rovnice představuje elektromechanickým systémem vydávaný vnitřní mechanický výkon Plm při tfJ = konst. Pravá strana představuje rychlost změny magnetické koenergie. . Rovnici (S.28) získáme přímo z definice magnetické koenergie. Pro tu podle (3.22) lze psát s ohledem na rovnici (S.4) í

(S.30) .

tfJ(i. x) di

Wco =

o

takže

o oi

(S.31)

o

Vynásobíme-li rovnici (S.28), resp. (S.31) výrazem di/dt

tfJ(i. x) di

(S.32)

=

ow.,o di

oi

dt

dt •

•

dostaneme na pravé straně výkon, který se nahromadí v magnetickém poli při x = konst. Levá část je v podstatě výkon, který se systému musí dodat z elektrického zdroje. Základní vztah pro elektromagnetickou sílu (5.27) je možno vysvětlit také pomocí magnetizačních křivek na obr. 8, kde jsou nakresleny dvě . magnetizační křivky pro polohu kotvy x a x + dx. Z předchozího výkladu plyne, že při i = konst (pro nezávisle proměnný proud) se při zvětšení x magnetická koenergie w.,o (plocha pod magnetizační křivkou) zmenší. Je tedy elektromagnetická síla podle (5.27) záporná a působí ve smyslu zmenšování vzduchové mezery. Z obr. 8 dále plyne, že při tfJ = konst se při zvětšení x magnetická energie Wmo, (plocha nad magnetizační křivkou) zvětší. Zanedbáme-li veličinu nekonečně malou druhého řádu, danou plochou A, B. C, je přírůstek magnetické energie až na znaménko roven přírůstku magnetické koenergie a vztah pro elektromagnetickou sílu můžeme nyní psát ve tvaru •

(.1. ) _ '" o Wma, JI '/'. X - - -==I"

(S.32a)

ox

Přírůstek

[32)

mechanické práce d W;m = fl dx je dán

přitažlivou

silou

a vyšrafovaná plocha představuje co do velikosti nejen přírůstek magnetické energie d Wim, magnetické koenergie d w.,o, ale i přírůstek mechanické práce dWim. Pro lineární systém se analýza zjednoduší, neboť podle rovnice (3.24)

Wmo, = W..., =

-1t/ti

Podle statické definice pro

L(x) i = t/t = Pro vlastní

L=

(5.33) indukčnost

L platí (5.34)

N({J

indukčnost

vinutí L totiž platí

L(x)

(5.35)

Dosazením (5.34) do (5.33) a dále dosazením do (5.27) dostaneme

li(i, x) = aH L(x) j2) = -1iZ aL(x) ax ax neboť

(5.36)

i, x jsou nezávisle proměnné.

Z rovnic (3.30) a (3.31) dostaneme další vyjádření pro elektromagnetickou sílu ve tvaru (5.37) (5.38) Obr. 8. Mechanická energie systému s

proměnnou

vzduchovou mezerou

x x+dx

c lB I

I I

I I I

o

---,

•

[33]

Podle předchozího rozboru je elektromagnetická síla záporná, a jak vyplývá z rovnic (5.36) až (5.38), způsobuje při zmenšování vzduchové mezery zvět šování indukčnosti, magnetické vodivosti a magnetického toku (při nezávisle proměnném proudu i, resp. magnetomotorickém napětí Jm). Při odvozování vztahu pro sílu z rovnice (3.33) je nezávisle proměnným magnetický tok a musíme proto použít vztahu (5.32a). Pro elektromagnetickou sílu platí

(5.39)

1

- zqJ

2

0R m

ox

anebo ze vztahu (3.31) nyní dostaneme

Ji

(5.40)

=

-1-qJ oJ,,!

ox

S ohledem na záporná znaménka na pravých stranách odpovídají tyto vztahy tomu, že při zmenšování vzduchové mezery působí elektromagnetická síla ve smyslu zmenšování magnetického odporu nebo magnetomotorického napětí (při nezávisle proměnném magnetickém toku qJ). Uvedené vztahy pro magnetickou energii a elektromagnetickou sílu jsou přehledně shrnuty v následující tabulce: -TAB.! VZTAHY PRO ENERGII MAGNETICKÉHO POLE A PRO ELEKTROMECHANICKOU SiLU V LINEÁRNícH SYSTÉMECH

Nezávisle , proměnné

Elektromagnetická síla

Energie magnetického pole

ti 2 ~

•

ox 2

oAm

zim ox

I. X

0'11

~(Nl) 'II

1('11) Nl

tfm ox

-t'll

IfI,X 2

'1'11 Rm

[34]

oL

-

1- ({12

olm ox Rm

é!x

6. Posuvný systém s

dvěma

vinutími

Na obr. 9 je princip posuvného elektrického stroje. Pevná část tohoto elektromechanického systému je z feromagnetického materiálu. Tímto jhem se uzavírá magnetický tok dvěma paralelními cestami, přes konstantní vzduchovou mezeru (j a přes proměnnou vzduchovou mezeru x. Na pevné části je vinutí o N 1 závitech napájené ze zdroje o okamžitém napětí Ul a proudu i 1 • Pohyblivá část se posouvá ve svislém směru a působí na ni kromě vnějších sil l.Jr elektromagnetická síla fj, takže platí známá rovnice ,

r

(6.1) r

Na posuvné části je vinutí o N 2 závitech, které je napájeno ze zdroje o okamžitém napětí U2 a proudu i 2 • Považujeme-li za nezávisle proměnné i 1 = i 1(t)

(6.2)

i2 = i2 (t)

(6.3)

x

(6.4)

=

x(t)

pak spřažené magnetické toky'" 1, resp. ljJ2' vinutí 1, resp. 2, jsou závisle v • promenne Obr. 9. Posuvný systém s

I

dvěma

vinutími

o ·

NT. u/.i,

o

o

o C

o

o o

Ó

o

•

[351

(6.5)

'" 1 = "'1(;1> i 2, X)

(6.6)

"'2

= "'z(i l , i z, X)

Pro oba elektrické obvody platí známé rovnice

+ P''''l Rzi z + P''''2

(6.7)

Ul = Rli l

(6.8)

Uz = .

Podobnou úpravou rovnic (6.1), (6.7), (6.8) jako v předchozích kapitolách dostaneme

(6.12)

+ dWmaa + dWim dW. = (ulil + u z i2) dt dWj = (Rlii + RziD dt dWR\ag + dWim = i l d"'l + i 2 d"'2

(6.13)

dWim = fi dx

(6.9)

dW. = dWj

(6.10) (6.11)

Jelikož podle (4.10) o il,h

W.O = W.O (il' i2, x) =

o

["'1(i 1, i2, i) di 1 + "'Z(;l' i z , i) diz]

pro magnetický nelineární systém platí (viz též (4.32))

Wrnag +

(6.15)

w.,o

= i

1"'1

+

i

Z"'2

Pro přírůstek magnetické energie dWR\8g z rovnice (6.15) pišme

(6.16)

dWmag = i l d"'l

+

i z d"'2

+ "'1 di 1 + "'Z di z

-

co d' oW.o d' oW ow.,o d - oi 'l - oi Iz - ox x l 2

Z rovnic (6.12), (6.13) a (6.16) plyne

'" [36]

_ . ow.,o Z ulZ ~.

d'Iz

+

fl -

Ow.,o OX

dx = O

Z této rovnice vyplývá také vztah pro elektromagnetickou 1".

vnitřní

sílu

oWco OX

=

JI

(6.17)

který je po stránce formální stejný jako v předchozích případech. Pro lineární systém lze použít statických definicí indukčností, takže pro magnetické záběry lze psát

1/11 = Lu i l + Miz

(6.18)

= Mil + Lzzi z

(6.19)

I/Iz kde

= Lu(x)

Lll

je vlastní

indukčnost

(6.20) vinutí pevné

části,

(6.21) je vlastní indukčnost vinutí posuvné

části,

L 12 = L 21 = M(x)

(6.22)

je vzájemná indukčnost mezi oběma vinutími. Jak je patrno z obr. 9, jsou všechny indukčnosti funkcí proměnné vzduchové mezery x. Pro lineární magnetický obvod platí podle (4.33)

Wm,ag

= Wco = -1 II/I;i; = -t(I/Il i l + I/Izi z)

(6.24)

I

Po dosazení z rovnice (6.18) a (6.19) do této rovnice dostaneme (6.25) Dosazením do (6.17) dostaneme konečně pro vnitřní elektromagnetickou sílu při respektování rovnic (6.20), (6.21) a (6.22) I" JI

=

~ .2 oL11

-Z'l

~ .2 oLu

"

oM

+ -z'z + 'l'ZOX OX OX

(6.26)

Při

známých parametrech elektromechanického systému podle obr. 9 lze výraz pro vnitřní sílu!; (6.17) pomocí (5.39) pro lineární magnetický obvod psát také takto:

[37]

[N; Wb, H-

(6.27) kde

t

,

m]

Rrnc je celkový magnetický odpor hlavní cesty magnetického toku. Můžeme-li

pro jednoduchost předpokládat, že vodivost feromagnetických cest je mnohem větší než vodivost vzduchu, platí pro magnetický odpor proměnné vzduchové mezery •

Rm(x)

(6.28)

x

=

Pocb a pro magnetický odpor konstantní vzduchové mezery a pro jednu paralelní cestu

R m(,,) = " . poab

(6.29)

Pro celkový magnetický odpor podle obr. 9 plati

x-+"

(6.30)

c

2a

Dosazením této rovnice do (6.27) dostaneme pro velikosti síly f,

(6.31)

•

=--

Pro magnetický tok (6.32)

4)

4)

pišme

= BS = Bbc

takže

f,

(6.33)

=

Blbc

.

[N; T, m, H/m]

2po

což je známý vztah pro přitažlivou sílu elektromagnetu. Pro magnetický tok 4) také podle Hopkinsonova zákona platí

(6.34)

[Wb; A, l/H]

[38]

je celkové magnetomotorické napětí magnetující obvod. Dosazením (6.35) a (6.30) do (6.34), dále dosazením takto upravené rovnice do (6.31) dostaneme konečně pro vnitřní elektromagnetickou sílu 2

= . f 1

7.

!

Jlob N 1 i 1

2 c

Otočný

+ N 2 i2

X

O

c

2a

(6.36)

-+systém s

dvěma

vinutími a konstantní vzduchovou mezerou

Na obr. 10 je princip otočného elektromechanického systému. Stojící část (stator) i otočná část (rotor) je z feromagnetického materiálu. Mezi statorem a rotorem předpokládejme konstantní vzduchovou mezeru (o = = konst). Na statoru a rotoru je vždy jedna cívka, takže osy cívek svírají mechanický úhel Bm' který je funkcí času t. Platí

Bm = OJmt kde

+ Bom,

(7.1)

OJm, je mechanická úhlová rychlost rotoru, Bom mechanický úhel cívek při t = O. Jsou-li opět okamžité proudy v obou vinutích nezávisle proměnné i 1 = i 1(t)

(7.2) (7.3)

i 2 = i 2 (t) Obr. 10.

Otočný

systém s

dvěma

vinutími a konstantní vzduchovou mezerou

[39]

jsou spřažené magnetické toky 1/11' 1/12 s oběma vinutími závisle proměnné a jsou funkci nejen proudů i l , i 2 , ale i úhlu 3 m (7.4)

1/11 = 1/Il(it> i2, 3J

(7.5)

1/12 = 1/I2(i l , i2, 3 m) Ze zjednodušeného obr. 11 je patrné, že spřažené magnetické toky jednotlivých vinutí se budou měnit v závislosti na úhlu 3 m podle vzájemné vazby těchto cívek. Pro elektrické obvody platí

+ PtI"l R2i2 + PtI"2

(7.6)

Ul = Rli l

(7.7)

U2 =

pro mechanický obvod

(7.8) (7.9) kde je vnitřní elektromagnetický moment, když momentů včetně

Lm. je •

součet

všech vnějších

momentu k urychlení setrvačných hmot a momentu ztrát. Moment k urychlení setrvačných hmot se obvykle píše zvlášť, takže

mj

(7.10)

•

= J

Pt(wJ + Lm, ,

kde J je moment

setrvačnosti

rotoru.

Jelikož (7.6), (7.7) se formálně neliší od (6.7), (6.8), lze podle (6.9) až (6.12) psát přímo

+ dW1I\81l + ďW;m dWe = (Ulil + U2i2) dt d~ = (Rlii + R 2 iD dt dWmas + dWim = i l d1/l1 + i 2 d1/l2 dWe = d~

(7.11)

(7.12) (7.13) (7.14)

[40]

Magnetická energie a koenergie (Wmag, w.:o) je funkcí všech nezávisle proměnných

Wm.ag = Wmag(il' i 2 ,

BJ

(7.16)

Zřejmě

i u tohoto elektromechanického systému lze předpokládat, že magnetická energie je stavovou funkcí a že podobně jako v kap. 6 lze podle (6.14) psát (7.17) o il, iz

Wco = o

+ lfr2(i l , i2 , !J.m.) di 2 ]

[lfrl(il, i2 , !J.m) di l

Odtud platí (viz též (4.32)) pro obecně nelineární magnetický obvod

Wmall

w.:o = ~)j lfri i 1> i 2 ,

+

... ,

BJ =

(7.18)

j

lfrl(i l , i l • BJ

= il

+ i 2 lfr2(il' i 2 , BJ

Z rovnice (7.18) dostaneme pro přírůstek magnetické energie

dWma,l = i l dlfrl -

Obr. 11. Schéma

+ lfrl di l + i 2 dlfrl + lfrl di 2

éH+:'o d'Zl ai 1

otočného

-

aw.:o d'Z2 ail

systému s

dvěma

-

aw.,o dO.,. aBm

(7.19)

-

m.

vinutími

ll,

m·I

[41]

Dosazením (7.19) a (7.15) do (7.14) dostaneme

m. - o~o d.9

(7.20)

0.9

1

+ m

oW.o oi 2

.1,

'1'2 -

111

S ohledem na to, že proměnné i 1 , i 2 , 8m jsou nezávisle pro vnitřní elektromagnetický moment psát

d'12 -- O

proměnné,

lze odtud

•

(7.21) Tento vztah pro moment otočného systému s dvěma vinutími je analogický vztahu (6.17) pro sílu posuvného systému se dvěma vinutími v předchozí kapitole, v kterém stačí dosadit za D

(7.22)

dx = - d.9

2

m

abychom dostali rovnici (7.21) . . Pro napěťové rovnice lze podle (7.6), (7.7), (7.4) a (7.5) psát

(7.23) (7.24) (7.25) kde (7.26)

Uitl

Ot/Jl di l = oi l dt

Uit2

Ot/J2 di l = oi l dt

jsou transformační

+

Ot/Jl di 2 --'-" ~ oi 2 dt

+

Ot/J2 di 2 -=-= ---= oi 2 dt

napětí,

•

indukovaná časovou změnou

proudů i 1 , i 2 ,

(7.27) •

(7.28) jsou rotační napětí, indukovaná pohybem magnetických polí statoru (rotoru) vOči rotoru (statoru).

[42]

Pro lineární systém platí podle (4.33), resp. (4.36):

Wlllal = Wco = t(id/l

+ i2ift2)

+ tL22i~ + Mi 1i2

= tL ll ii

(7.29)

kde za daných předpokladů (při konstantní vzduchové mezeře, viz obr. 10) L ll = konst ;

(7.30)

L 22 = konst

(7.31) je vzájemná indukčnost proměnná s úhlem natočení 3 m• Dosazením (7.29) do (7.21) se zřetelem na rovnice (7.2), (7.3), (7.30), (7.31) dostaneme pro vnitřní elektromagnetický moment

(7.32) Předpokládáme-li,

že

(7.33) kde Mill je ma.ximální vzájemná a úpravě dostaneme

indukčnost při

3 m = O, pak po dosazení

(7.34) Průběhy

odpovídající rovnicím (7.33) a (7.34) jsou na obr. 12, jestliže pro jednoduchost předpokládáme i1> i 2 = konst. Z průběhu momentu je zřejmé, Obr. 12.

Průběh

vzájemné

indukčnosti

a momentu

, ~

~

, \

\

\

\ \ _/

/

I

t, _. V"m

\ \

\

[43]

•

že uvažovaný elektromechanický systém nevytváří střední moment, střední mechanickou energii a výkon. Pro lineární systém lze pro spřažené magnetické toky 1/11' 1/1z psát (7.35)

(7.36) Pro konstantní vzduchovou mezeru je Lll' L Z2 = konst, avšak

(7.37) Dosazením do (7.25) až (7.28) lze psát (7.38)

(7.39) (7.40)

Uirl

(7.41)

UirZ

=

. aL12

lz

a8m

. aL 12

= 'l

a8m

Wm

Wm

Budeme-li pro jednoduchost předpokládat o nezávislých proměnných w m' i1> i z, že jsou konstantní, je transformační napětí nulové a zůstanou jen napětí rotační. Budeme-li předpokládat L 12 = L12(8J podle obr. 12, budou rotační napětí probíhat též sinusově. Budeme-li naopak předpokládat, že L 1Z(8m) probíhá podle obr. 13 lineárně (což odpovídá průběhu magnetické indukce ve vzduchové mezeře podle obr. 14), bude probíhat Pinl' mi> uir(8J co do tvaru stejně jako b6(8J na obr. 14. Doposud probíraný elektrický stroj točivý byl zjednodušen především tím, že na rotoru byla uvažována jedna cívka. Pro lepší využití stroje je na statoru nebo na rotoru (případně na obou částech podle druhu stroje) vinuti rozloženo do většího počtu drážek. Uvažme proto točivý elektrický stroj dvoup6lový, který má na statoru vinutí tvořené jedinou cívkou (např. budicím vinutím), na rotoru vinutí sestávající z r cívek uložených v Nd drážkách, posunutých o úhel oe (viz obr. 15). Pro jednoduchost předpokládejme kon-

[44]

stantni vzduchovou mezeru a lineárni magnetický obvod, takže při zanedbání drážkováni bude reluktance hlavniho magnetického obvodu nezávislá na poloze rotoru. Pro obě vinutí m~žeme psát napěťové rovnice Ur

=

+ p,l/Ir

Rrir

(7.42) (7.43)

. uq = Rqiq + p,l/Iq

je svorkové napětí vinutí statoru (rotoru vyvedené na kroužky), Rr (Rq) činný odpor vinutí statoru (rotoru), ir (iq) proud ve statoru (rotoru) jako nezávisle proměnná, l/Ir(l/Iq) spřažený magnetický tok vinutí statoru (rotoru).

kde

Ur (u q )

Pro

spřažené

magnetické toky platí

(7.44)

+ Lrqiq Lqqiq + Lrqir

l/Ir = Lrrir l/Iq = kde

Lce (Lqq) je vlastní indukčnost vinutí statoru (rotoru), Lrq vzájemná indukčnost mezi vinutím statoru a rotoru.

Pro vzájemnou

indukčnost

Lrq platí podle obr. 15

(7.45)

r = 1,2, ... , N d /2 .

kde Lrqr je vzájemná

indukčnost

Průběh

indukčnosti

Obr. 13.

vzájemné

r-té cívky rotoru s vinutím statoru. Obr. 14.

Průběh

magnetické indukce

bó(Jm ) •

ft

2/r

-:.t. v

m

[45]

Indukčnost

Lrqr je proměnná s po lo ho u ro to ru

tj. závislá na úhlu, kt er ý svírá os a r-té cívky ro to ru s os ou vi nu tí st at or u (obr. 15). Pr o te nt o úhel r-té cívky ro to ru pl at í (7.47)

+ 80m + (r - 1) ťX

8mr = wmt

kd e . wm je úh lo vá rychlost ro to ru , 8 0m

•

úhel pr vn í cívky ro to ru pr o t = O.

Předpokládáme-li,

že vzájemná indukčnost r-té cívky ro to ru se bu de měnit s úhlem 8 mr sinusově, lze pr o zvolené okamžité a nezávisle proměnné pr ou dy ic(t) a iq(t) ps át (7.48)

Lrqr = Lrqm cos [8m1

(7.49) kd e

8 m1 = wmt

+ (r -

1) ťX]

•

+ 8 0m

je úhel po su nu tí pr vn í cívky ro to ru (obr. 15) a Lrqm je maximální vz ájemná indukčnost cívky r ro to ru s vi nu tím st at or u, tj. při 8mr = O. D os az en ím do (7.44) a (7.45) do st an em e (7.50)

l/Ir = Lrrir

+ Lrqmiq I r

(7.51)

t/lq = Lqqiq

cos [8m1

+ (r -

1) ťX]

cos [8m1

+ (r -

1) ťX] ;

+ Lrqmir I r

r = 1, 2, ... , N d /2 Vlastní

indukčnost

vinutí st at or u Lrr lze sn ad no určit ze statické definice. Pr o určení celkové vzájemné indukčnosti vinutí st at or u a ro to ru je třeba určit součet v rovnicích (7.50) a (7.51). Lze ps át Lrq = Lrqm I cos [8m1

(7.52)

+ (r -

r

•

= Lrqm Re exp (j8,1\1)

1

+

1) ťX] = e

jll

+ ... +

. Nd 1 exp J 2

ťX

Řada na pr av é straně rovnice je geometrická, takže móžem e st an ov it součet

a na jít po úpravě reálnou

[46]

část

L

fq

=

L

fqm

=

Re ex (·9 ) e:xp(jNdrxj2) - 1 P J ml (.) 1 exp Jrx . Nd rx exp J 2

2

= L fqm Re exp (j.9ml )

----'----

/ . N d(X' /. N a' exp J d_ -exp -J 2 2 , 2 21

/ • rx'

.rx

• rx.' exp J- - exp -J , 2, , 21

exp J-

2

. Ndrx

, •

L fq = L fqm Re exp J .9 ml

/

sm

rx Nd -1 2 2

+

-

2 2 •

(7.53)

rx.

sm2

Jelikož platí Nd _ 1 ~ =

2

21t

2

1t

rx.

2

2

(7.54)

=- - -

2Nd 1t

(7.55)

2 lze

konečně

L fq =

pro Lfq psát 1 Lrqm

. rx

cos 9

sm2 Obr. 15.

Otočný

1t

m

1

rx

+--2 2

(7.56)

systém s rozloženým vinutím na rotoru

1 <:>

•

- - - - t - ' fr o ur

o

o

'

0

[47]

L fq =

(7.57)

Lrqrn

cos

Brn1 -

sin B rn1 cotg ~

2

Dosazením (7.57) do (7.50) a (7.51) dostaneme (7.58)

cos Brn1

-

(7.59)

cos B rn1

-

sin Bm1 cotg ~

2

sin B m1 cotg ~

2

Dosazením (7.58) a (7.51) do (7.42) a (7.43) dostaneme po úpravě

+ Uift + Ulfr Rqiq + Ulqt + Ulqr

(7.60)

Uf = Rrif

(7.61)

uq =

jsou transformační napětí a

(7.64) (7.65) jsou

rotační napětí.

Pro elektromagnetický moment platí podle rovnice (7.32) (7.66)

ml =

.. aLr q lrlq aBrn

a po dosazení z rovnice (7.57)

[48]

(7.67) 7ta

8

m

1

+--2 2

Pro elektromagnetický moment dále platí

(7.68) a z (7.64) a

(7.65) plyne (7.69)

Druhá polovina výrazu (UiCriC + uiqri q) je část přírůstku magnetické energie. Vyplývá to z energetické bilance, kterou provedeme z rovnic (7.60) a(7.61). Úpravou těchto rovnic dostaneme Pe =

A

~Pj

+

dWmag dt

+ Pim

(7.70) (7.71)

kde je

přiváděný ~Pj A

elektrický výkon

2 R· = ciC

2 R· q/q

+

(7.72)

jsou Joulovy ztráty ve vinutí statoru a rotoru a d~g

-= dt

+ Pim

Jelikož podle

_.

-

Uic,lc

.

.

.

+ Uiq,/q + UiCr/r + Uiqr/q

(7.73)

(4.36) (7.74)

j, r = f, q j

PtWma. = uif,ic +

ujq,iq

+ t(UUriC + Uiqriq)

Moment s úhlem 8 ml bude probíhat Z rovnice (7.67) vyplývá, že mi(Sn.,=
=

sinusově

od nuly do maxima.

-mlmax

ml(8m,~
[49]

8. Obecný elektromechanický systém

Na obr. 16 je obecný elektromechanický systém, který má n elektrických obvodů, z nichž p obvodů tvoří rotační systémy. Elektrické obvody jsou navzájem magneticky vázány, přičemž smysl a velikost této vazby je dána konstrukčním uspořádáním uvažovaného elektromechanického systému. O magnetických obvodech obecně předpokládáme, že jsou nelineární. Zanedbáváme však vliv hystereze a ztráty v železe. Pro elektrické obvody platí soustava rovnic

(8.1)

j = 1,2, ... , n

kde

ui je okamžité svorkové napětí j-tého elektrického obvodu, ii okamžitý proud j-tého obvodu,

"'i

spřažený

magnetický tok j-tého vinutí.

Pro mechanické obvody platí známá soustava rovnic •

(8.2)

I = 1,2, ... , p

kde

mll je

vnitřní

elektromagnetický moment l-tého mechanického obvodu, •

JI

moment setrvačnosti l-tého mechanického obvodu,

lOml

okamžitá mechanická úhlová rychlost l-tého mechanického obvodu,

ml

vnější

moment

včetně

momentu ztrát l-tého obvodu.

Budeme-li považovat za nezávisle •

proměnné např. i j , Bml

(8.3)

Jj

=

ilt)

j = 1, 2, ... , n

(8.4)

Brn.,

=

Bml(t)

I = 1,2, ... , p

(8.5) kde

Brn.1

=

lOml

+ Born.1

.

BOnd = Brn.'(t =O)

je mechanický úhel, který určuje polohu rotujících cívek v daném čase t vůči pevné referenční ose.

[501

••

Spřažený

magnetický tok j-tého vinutí je pak funkcí všech nezávisle proměn

ných j = 1, 2, ... , n

(8.6)

Rovnice (8.1) pak s ohledem na rovnice (8.6) můžeme psát také takto:

(8.7) k = 1,2, ... , n

kde je tzv.

(8.8)

transformačni napětí,

proudů těch

u. . Jr}

indukované v j-tém vinutí časovými změnami cívek, které jsou s j-tým vinutím magneticky spřaženy,

=" anal/lJ '--

I

"'ml

d8ml • dt '

(8.9)

1 = 1, 2, ... , p

je tzv. rotační napětí, indukované v j-tém vinutí změnami spřažených magnetických toků rotujících vinutí v závislosti na úhlu natočení. Převeďme známou úpravou rovnice (8.1), (8.2) na rovnice přírůstků ., energn dWe = dWj

+ dWmo , + dWim

(8.10)

(8.11)

kde }

dWj

=

•

l:RJi] dt

(8.12)

J

Obr. 16. Obecný elektromechanický systém

U,

mi(

••

•• •• .

U'~

w,'e

o o

Mm

Wml

mil

••

• •

Un

mip

[511

(8.13)

dJtím

+ dWlII)lg

= ~)j

j = 1, 2, ... , n

dt/l} ;

j

(8.14)

1 = 1, 2, ... , n

d JtíD\ = Lmll d.9ml ; }

Pro magnetickou energii WD\8 8 a koenergii Wco lze např. podle (7.17) psát

-ll,l2, - ... ,ln -

(8.16)

Lt/ll i l' i2 ,

w.,o = O

••• ,

in; ~ml' ~m2' ... , ~D\P) di} ;

}

j = 1, 2, ... , n

Odtud plyne vztah (viz též (7.18)) (8.17)

Wmall

+

Wco = Lijt/l) }

Pro přírůstek magnetické energie platí z rovnice (8.17) (8.18)

I = 1, 2, ... , p

j = 1, 2, ... , n;

Dosazením rovnic (8.14) a (8.18) do (8.13) dostaneme po úpravě (8.19) Vzhledem k nezávislosti nického obvodu

(8.20)

mll = a pro

(8.21)

}-

[52]

platí pro moment l-tého mecha-

.

awco a.9ml

spřažený

t/I -

proměnných

magnetický tok j-tého obvodu

aw.,o ai}

Pro lineární magnetické obvody platí pro celkovou magnetickou energii podle (4.33) Wco = Wmag =

1- "fhl/!j

j = 1, 2, ... , n

(8.22)

j

resp. podle (4.36) j, k = 1, 2, ... , n

(8.23)

kde podle (4.34), (4.35) a (4.37) platí

l/!j

=

(8.24)

Ll/! jk k

l/!jk = Ljkik ;

j, k = 1, 2, ... , n

(8.25) (8.26)

Dosazením rovnice (8.22) do (8.20) dostaneme pro vnitřní elektromagnetický moment l-tého obvodu (8.27) S ohledem na volbu nezávislých

proměnných

lze dále psát (8.28)

Dosazením rovnic (8.24), (8.25) do rovnice (8.28) dostaneme (8.29) Tyto rovnice jsou zobecněním rovnice (7.66). Pro okamžitý vnitřní mechanický výkon l-tého obvodu platí (8.30)

Pro celkový

vnitřní

mechanický výkon pak lze psát

[53]

j = 1,2, ... , n

(8.31)

I = 1,2, ... , p

(8 .32) resp.

Pim =

l " " "..

-z t..., L.. L.h1k I

k

j

ml oLjl: d.9 _ < : ! --== O.9 ml dt

j, k = 1, 2, ... , n j = 1,2, ... , P

Pro zajímavost odvoďme ještě výraz pro časovou změnu magnetické energie. Z rovnice (8.23) vyplývá dWmag dt

(8.33)

=! LL 2

j

k

j, k = 1, 2, ... , n .

Jelikož součet posledních dvou členů podle j a k je stejný, lze výraz (8.33) zjednodušit takto: mag _ dW -= dt

(8.34)

""

L.. t..., j

k

l" -Zl 'lk J

dL jk +'1: L' . --= di k dt ' J dt J

Jelikož pro lineární magnetický systém platí

(8.35)

Ljk = L jk( .9m i> .9m2 ,

••• ,

.9mp)

pak úpravou · (8.34) dostaneme mag _ d W -= dt

(8.36)

j, k

jk d.9 ml dL 2" L.. t..., t...,1 'lk j k I J d.9 ml dt 1 """. .

k ""L' di + L..j t...,k J'k l J'--= dt

= 1, 2, ..., n; I = 1, 2, ... , P

. Ze srovnání (8.32) a (8.36) vyplývá, že první člen přírůstku magnetické energie podle času je ekvivalentní celkovému okamžitému vnitřnímu mechanickému výkonu. 9.

Otočný

systém s

dvěma

vinutími a proměnnou vzduchovou mezerou •

Uvažme jednoduchý otočný elektromechanický systém s jednou cívkou na statoru a jednou na rotoru (podobně jako v kap. 7), avšak s proměnnou vzduchovou mezerou (viz obr. 17).

[54J

Podobně Ul

jako v

předešlých

kapitolách lze pro elektrické obvody psát

+ Pt"'l R zi2 + Pt"'2

(9.1)

= Rli l

U2 =

(9.2)

Pro lineární magnetický obvod lze pro podle (4.19)

"'1 = "'l = Z obr. 17 je

L ll i l Mil

spřažené

magnetické toky psát

+ Mi 2 + L 22 i2

zřejmé,

(9.3) (9.4)

že

(9.5)

L l l = Lu (.9,J M

=

M(.9m)

L 22 = konst

Po dosazení do (9.1) a (9.2) dostaneme

(9.6) (9.7) (9.8) Obr. 17.

Otočný

systém s

dvěma

vinutími a

proměnnou

vzduchovou mezerou

•

[SS]

. dLl l

(9.9)

=

'l

d.9

m

Uirz

=

. dM 11

d.9m

.

dM

+ lZ d.9

Wm

Vyjádříme-li výraz pro elektromagnetický moment podle (8.29), dostaneme

j, k = 1,2

(9.10)

(9.11) Budeme-li pro jednoduchost

předpokládat,

že il> i z, .9 m jsou nezávisle pro-

měnné

il

(9.12)

= i 1(t)

iz =

--

iz{t)

i

.9m = .9r t )

pak po derivaci (9.11) dostaneme

1 .z aLu m· =-1 1 I 2 a.9m

(9.13)

.. aM +. 'l'Z-a.9m

Druhá složka momentu závisí (jak se dalo očekávat) nejen na vzájemné poloze obou vinutí, ale i na existenci obou okamžitých proudů ve vinutí statoru a rotoru. První složka momentu je závislá na změně magnetické vodivosti statorové cívky v závislosti na úhlu natočení .9 m rotoru vůči statoru. Tato složka, vzníkajIcí u systémů s proměnnou vzduchovou mezerou, se proto nazývá reluktanční moment. Existence této složky nezávisí na proudu i z, takže takový systém může dávat složku momentu i při i z = O (např. reluktanční moment u synchronních motorů s vyniklými póly). Budeme-li např. pro jednoduchost předpokládat podle obr. 17, že

M = M cos.9 m

(9.14)

Lil

[56]

= L IO

+ Lim cos 2.9m

pak podle (9.13) dostaneme pro. vnitřní moment (9.15a) jehož průběh v závislosti na .9m je na obr. 18. Kdybychom uvažovali válcový rotor a vyniklé póly na statoru, platilo by místo (9.5) pro indukčnosti Lll

(9. 15b)

= konst

M = M(.9 m ) L 22 = L Z2 (.9m ) Při

vyniklých pólech na statoru i na rotoru budou indilkčnosti

L ll = Lll(.9J

(9.16)

M = M(.9J L 22 = L22(.9J V tomto případě se odvodí obdobným způsobem pro moment vztah (viz 9.13) (9.17) Obr. 18.

Průběhy

složek momentu

ff Zl( 2 '--_ é.--=- '--_ ~_ _ _,'-../

'-' .......... mi2

--"-~m

10.

Otočný

systém s a komutátorem

dvěma

vinutími, konstantní vzduchovou mezerou

Uvažme obdobný systém jako na obr. 10 s tím rozdílem, že cívka na rotoru je vyvedena na jednoduchý komutátor (obr. 19), který je tvořen dvěma lamelami a dvěma kartáči. Předpokládejme, že komutační pásmo (tj. časové období, v němž dochází ke změně i 2 z jednoho smyslu na smysl opačný) je zanedbatelně krátké. Považujeme-li proudy statoru a rotoru a úhel Bm za nezávisle proměnné, lze psát prakticky stejné rovnice jako v kap. 7 (viz rovnice (7.1) až (7.28)). Pro lineární systém platí rovnice (7.29) až (7.32) a (7.35) až (7.41). je v tom, že v .rotoru máme nyní dva proměnné proudy. Budeme-li vnější proud i zv = i 2v(t) pokládat za nezávisle proměnnou, mění proud v cívce rotoru i 2 svůj smysl během komutace. Budeme-li předpokládat i 2v = konst,je průběh i 2 = i2(BaJ patrný z obr. 20. Bude-li střední hodnota magnetické indukce pod póly konstantní, bude se spřažený magnetický tok cívky rotoru měnit lineárně v závislosti na úhlu Bm: Lineárně se bude měnit i vzájemná indukčnost vinutí statoru a rotoru (viz obr. 13). Jelikož pro vnitřní elektromagnetický moment platí podle rovnice (7.32) (10.1)

mi =

.. oM(BaJ '1'2 oB m

Obr. 19. Otočný systém s dvěma vinutími, konstantní vzduchovou mezerou a komutátorem

Obr. 20.

Průběh

proudu v cívce

,•

Zl' •

-

--

'2"

7C •

'2

.

[58]

:Jil

~R

•

je pro i l = konst elektromagnetický moment mimo komutační pásmo konstantní a stejného smyslu, neboť součin i 2 [oM(.9 m)/o.9.,J má stále stejné znaménko, nezávislé na poloze rotoru. Pro W m = konst je i vnitřní výkon konstantní (viz obr. 21). Bude-li vzájemná indukčnost M(.9J probíhat v závislosti na poloze rotoru sinusově (viz obr. 12), bude mít moment stálý smysl, avšak jeho velikost bude pulsovat (viz obr. 22). Uvedené principy vedou k podstatě stejnosměrných strojů.

jeho existence bude záviset na ča sové změně proudů il> i 2 , jak je zřejmé z rovnic (7.25) a (7.26). Rotační napětí (viz rovnice (7.27), (7.28)) vznikne jak ve statoru, tak i v rotoru. Podobně jako v kap. 7 uvažme nyní několik cívek na rotoru (obr. 15), avšak cívky jsou vyvedeny na komutátor, což je jednoduše znázorněno na obr. 23. Úhel .9mk definujeme jako úhel, který svírá osa komutující cívky (spojená kartáči nakrátko) s osou vinutí statoru f. Uvažujeme, že šířka kartáče je stejná jako šířka lamely a že vždy komutuje jen jedna cívka rotoru. Komutace dané cívky vobr. 23 probíhá tedy v intervalu .9mk = -1X/2 až + 1X/2. V dalším budeme sledovat pohyb rotoru pouze v tomto intervalu, neboť z obr. 23 je zřejmé, že v dalším intervalu se elektricky nic nezmění, jen místo cívky N d /2 bude komutovat cívka «Nd /2) - 1). Platí tedy (při užití rovnice (7.1)) Pokud jde o

transformační napětí,

(10.2) Obr. 21.

~

E o-

Průběh

I

I I

I I

I 1C

momentu a výkonu

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

.

I II

II I

211:

.

Obr. 22.

Průběh

momentu a výkonu

-

ol::

1J.m

[59]

,

Pro prnběh komutujícího proudu bude platit obecně

Ve sledovaném intervalu máme tedy tři elektrické obvody: f - budicí vinutí statoru,

q - aktivní část vinutí rotoru [cívky 1 až «Nd /2) - 1)], k - komutující cívka. Pro tyto obvody lze psát podle obr. 23

(10.4)

Uc

(10.5)

uq =

(10.6)

O Pro

=

=

+ Ptlltf Rqiq + Ptt/tq Rkik + Ptt/tk

Rric

spřažené

magnetické toky platí

+ Lfqiq + Lfkik Lqqiq + Lfqir + Lqkik ~kik + Lqkiq + Lnic

(10.7)

t/tc = Lrfif

(10.8)

t/tq =

(10.9)

t/tk =

kde

pro i = j jsou vlastní indukčnosti jednotlivých obvodů, Lij pro i =t= j jsou vzájemné indukčnosti mezi jednotlivými obvody, když i, j = f, q,k.

LjJ

Pro Lcq

(10.10)

předpokládáme

L fq = - L'fqm

kde

podle obr. 23 vztah

L cos [8m1 + (s •

L'fqm je maximální vzájemná

1) IX]

;

indukčnost

S

Nd = 1,2, ... , - 1 2

jedné cívky rotoru a vinutí

statoru. Záporné znaménko Lcq plyne z použití spotřebičového pojetí kladných smyslů, podle kterého jsou znaménka napětí a proudů u motoru kladná. Na obr. 23 jsou naznačeny pro motor smysly kladných proudů a kladného toku budicího vinutí. Odtud plyne, že tok vytvořený kladným proudem kotvy v budicím vinutí je při úhlu O < 8m1 < 1tJ2 záporný a že Lfq má v rovnici (10.10) záporné znaménko.

[60]

•

Součet

najdeme podobným zpftsobem jako v kap. 7, takže po

úpravě

dostaneme r

~q

kde

= -Lf qm cos

LrqDl ,

Pro

=

I.:rqm

3 Dl 1

1t

+ -2 -

oe

cotg ~ 2

(10.12)

Lrk předpokládáme podle obr.

Lfk = Lfkm cos 3 ntk = LfkDl cos (3m1 kde

(10.11)

23 vztah -

oe)

(10.13)

Lfkm je maximální vzájemná indukčnost mezi vinutím statoru a komutující cívkou.

Na počátku komutace je v komutující cívce kladný proud, který vytvoří v budicím vinutí podle obr. 23 kladný tok a indukčnost L fk má proto v rovnici (10.13) kladné znaménko. Konečně pro vzájemnou indukčnost Lqk dostaneme Nd S = 1, 2, ... , - 1 (10.14) Lqk = L'qkm L cos soe ;

2

•

kde

L'qkm

je maximální vzájemná indukčnost mezi vinutím rotoru a komutující cívkou.

Provedeme-li opět součet pravé strany rovnice (10.14), dostaneme (10.15) Obr. 23.

Otočný

systém s rozloženým vinutím s komutátorem

•

" !:!!i. ,

2 -

[611

(10.16) kde Lql<m

= Eql<m cotg

~

2

Jelikož 1t

(10.17)

2

(10.18) pak Lql< = O což vyplývá také fyzikálně z toho, že vinutí q, k na obr. 23 mají stále osy vzájemně kolmé. Dosazením rovnic (10.11), (10.13) a (10.18) do (10.4) až (10.6) s respektováním rovnic (10.2) a (10.3) dostaneme 1t

3 l +--a m 2

(10.19) . . comL fqm'q SIn

+

•

(10.20)

Uq

=

o "'ml

1t

+- - a 2

1t

Rqiq + Lqq p,(iq) - L fqm cos 3 l+--a m 2

(10.21)

Řešení proměnné il< by bylo dáno řešením této soustavy rovnic. S ohledem

na krátký čas komutace nahraďme průběh proudu il< (jak je např. zvykem u stejnosměrných strojů) přímkou (viz obr. 24):

(10.22) Dosadíme-li za di,,/d3m do (10.19) a zanedbáme-li poměrně nepatrný pohyb rotoru v oblasti a a tedy sin (3ml - a) ~ O (i když se rotor otáčí, vyměňují

[62]

si cívky navzájem polohu, avšak uvedená situace ziistává neměnná), pak se rovnice pro obvod statoru a rotoru zjednoduší (10.23) (10.24) Jelikož (10.25) a pro malý úhel

(X

plyne z rovnice (10.12) (10.26) •

poslední dva členy v rovnici (10.23) pro vinutí statoru se ruší, takže Uf

+ L ff plif) Rqiq + Lqq Pt{iq) + Lfqmwmif

(10.27)

= Rfif

uq =

(10.28)

To jsou rovnice jednoduchého komutátorového stroje, jak je známe např. u stejnosměrných strojů. Zajímavé je, že ve statoru se prakticky vzájemně ruší rotační napětí indukované aktivní částí vinutí kotvy s transformačním napětím indukovaným komutující cívkou. Rotační napětí se uplatní pouze Obr. 24.

Průběh

při

proudu

komutaci

•

I

._,J I

I I

7Jmk-O

• Dm

I

•

I I

I

I (63)

v rotoru. Při lineární komutaci komutující cívka prakticky obvody. Lze potom psát

(10.29)

Ur

(10.30)

uq

neovlivňuje

oba

= Rrir + Ler p~ir) = Rqiq + Lqq pt(iq) + U jrq

(10.31) Oproti kroužkovému stroji (kap. 7) je rotační napětí v buzení Ujrr = O. Také transformační vazba mezi vinutím buzení a vinutím kotvy je nulová. Vazba mezi statorem a rotorem je dána pouze rotačním napětím indukovaným v pohybujícím se vinutí kotvy. Pro osy vinutí kotvy a buzení kolmé je jejich vzájemná indukčnost nulová. avšak změna této vzájemné indukčnosti podle úhlu je maximální. Pro vnitřní elektromagnetický moment platí podle (7.66)

(10.32)

mj

=

.. oLrq

Ir Iq

oam

Po dosazení z rovnice (10.11) do rovnice (10.32) dostaneme

(10.33) Pro uvažovanou polohu

(10.34) pak Toto je obecný vztah pro okamžitý moment stroje s komutátorem podle obr. 23, který se liší od vztahu pro moment stroje s kroužkovou kotvou (viz kap. 7).

[64]

[II] Teorie obecného elektrického stroje

•

ll. Úvod

Teorie jednotlivých druhů elektrických strojů se historicky vyvíjela téměř nezávisle. Tomu odpovídalo i různé názvosloví a označování veličin jednotlivých druhů strojů. Hlavním obsahem této teorie byla analýza ustálených stavů a veličin potřebných pro výpočet elektrických strojů. Principy elektrických strojů jsou však založeny na společných fyzikálních zákonech, a proto byla hledána společná teorie elektrických strojů. Gabriel Kron si položil tuto otázku: "Přestože se zdá, že všechny existující . typy točivých elektrických strojů byly vynalezeny a vyvinuty zcela nezávisle, neexistuje univerzální uspořádání, z kterého mohou být ostatní typy strojů odvozeny pomocí jednoduchých principů?" Kolem roku 1935 G. Kron matematicky formuloval obecnou teorii a definoval univerzální či obecný stroj, který při různých zapojeních představuje většinu známých elektrických strojů. Kronova teorie používá tenzorovou analýzu, teorii vícerozměrných neeuklidovských prostorů, a proto zůstala většinou inženýrů nepochopena. Teprve po roce 1950 byly uveřejněny práce, ve kterých je Kronova teorie vysvětlena srozumitelněji. V té době se také začíná principů teorie obecného stroje šířeji používat v evropské technické literatuře. Teorie obecného elektrického stroje shrnuje principy a základní rovnice všech elektrických strojů na společný základ a tím zjednodušuje jejich výklad a studium. Tato teorie má význam zejména při analýze elektrických strojů pracujících v elektromechanických systémech. Velkou výhodou obecné teorie je to, že formuluje rovnice elektrických strojů, které platí nejen pro ustálené, ale i pro přechodné děje a které mohou být také východiskem pro řešení těchto dějů na samočinných počítačích. V obecné teorň jsou elektrické stroje brány jako celek a jsou chápány jako soubor nepohyblivých a pohyblivých vzájemně magneticky vázaných elektrických obvodů (vinutí), charakterizovaných základními parametry,

[65]

•

kterými jsou vlastní a vzájemné indukčnosti, z nichž některé jsou závislé na poloze jednotlivých vinutí. Mezi základní parametry počítáme dále činné odpory a moment setrvačnosti. Při dalším výkladu teorie obecného stroje budeme vycházet z magnetických polí, jak je to běžné v klasické teorii elektrických strojů. Tím se dosáhne větší fyzikální srozumitelnostianázornosti teorie obecného stroje a získá se užší souvislost obou pojetí výkladu a analýzy elektrických strojů. Teorie obecného elektrického stroje není univerzální v tom smyslu, že by zahrnovala všechny, i detailní procesy v elektrických strojích, které jsou důležité např. pro zjišťování podkladů pro výpočet elektrických strojů. Tato teorie je obecná v tom smyslu, že je společná pro většinu elektrických strojů, že vysvětluje jejich základní vlastnosti a charakteristiky na základě společ ných principů. Dále je obecná tím, že je použitelná pro různé provozní stavy, tj. pro ustálené, přechodné, nesouměrné stavy, pro nesinusové napájecí napětí apod. Na druhé straně se v obecné teorii elektrické stroje idealizují zavedením zjednodušujících predpokladů, které budou dále probrány. Cílem dalšího výkladu je vysvětlení předpokladů odvození rovnic obecného elektrického stroje, vysvětlení významu jednotlivých parametrů, převedení různých druhů elektrických strojů na obecný stroj a použití teorie obecného elektrického stroje na analýzu určitých provozních stavů některých strojů.

12. Základní předpoklady v teorii obecného elektrického stroje

Rovnice obecného elektrického stroje se odvozují za předpokladů, které zjednodušují jejich znění a hlavně jejich řešení. Kromě předpokladů, kterými se zanedbávají vlivy druhořadého významu (např. zanedbání kapacity mezi závity a vinutími, zanedbání vlivu oteplení na velikost činných odporů, vliv komutace na základní provozní veličiny stroje apod.), se zavádějí další předpoklady, kterými se zanedbávají vlivy podstatnější. Oprávně nost takových zjednodušení se musí potom ověřovat experimentálně. Mezi tyto předpoklady patří především: a) Zanedbání vlivu magnetického sycení. Podle tohoto před pokladu jsou vztahy pro proudy a magnetické toky lineární, vlastní a vzájemné indukčnosti jsou nezávislé na proudu. Tento předpoklad je nutný k dosažení linearizace základních rovnic alespoň pro některé provozní stavy

[66]

a platnosti superpozice magnetických toků, ale může mít vliv na přesnost výsledků ZÍskaných řešením rovnic obecného elektrického stroje. Vliv magnetického sycení se v teorň obecného elektrického stroje uvažuje v někte rých případech, především při použití samočinných počítačů. b) Činné odpory a indukčnosti vinutí nezávisí na kmitočtu. Podle tohoto předpokladu se zanedbává povrchový jev a vliv vířivých proudů na indukčnosti . . c) Zanedbává se vliv komutace (komutujících proudů) u obecného komutátorového stroje. Tento předpoklad znamená uvažování nekonečně úzkých kartáčů a okamžité komutace proudu a může být zeslaben tím, že se uvažuje lineární komutace v konečné době komutace. Jak ukazuje podrobnější analýza (viz kap. 10), rovnice obecného komutátorového stroje při uvažování lineární komutace se liší jen nepatrně od rovnic obecného stroje za předpokladu okamžité komutace. d) Vinutí stroje jsou rovnoměrně rozložená po obvodu stroje (s výjimkou soustředěných budicích vinutí). Tento předpoklad vychází z toho, že vinutí skutečných strojů jsou rozložena ve velkém počtu drážek. Současně se zanedbává vliv drážkování. Takto se nahrazuje skutečné vinutí proudovou vrstvou na rozhraní vzduchové mezery. Tím se zjednodušuje analýza magnetických polí, výpočet indukčností aj. e) Vinutí strojů na střídavý proud jsou rozložena sinusově. Tento předpoklad znamená nahrazení skutečného rozloženého vinutí vinutím s hustotou vodičů (závitů) měnící se v závislosti na obvodu stroje plynule podle sinusového zákona či sinusovou proudovou vrstvou. Používá se pro vinutí rozložené do řady drážek, nepoužívá se ale pro vinutí soustředná (např. budicí), která mají prostorové rozložení magnetomotorického napětí nesinusové. Vlastnosti sinusově rozloženého vinutí jsou podrobně analyzovány v dodatku III. Prvním důsledkem tohoto předpokladu je uvažování sinusového prostorového rozložení magnetomotorického napětí ve vzduchové mezeře a zanedbání vlivu vyšších prostorových harmonických magnetomotorického napětí.

Tato magnetomotorická napětí vinutí působí na vzduchovou mezeru stroje, která má obecně délku proměnnou souměrně vzhledem k ose pólů. Za předpokladu, že délka vzduchové mezery je mnohem menší než délka pólové rozteče uvažované harmonické, můžeme zavést měrnou magnetickou vodivost A (na jednotku plochy), která je nepřímo úměrná délce

[67]

.

vzduchové mezery a kterou můžeme vyjádřit Fourierovou řadou, obsahující kromě konstantního členu sudé funkce dvojnásobného úhlu ')', měřené ho od osy pólu <Xl

A(')')

(12.1)

=

Ao

+ L Aj cos vy v=2

Průběh

magnetické indukce ve vzduchové mezeře se potom určí ze součinu magnetického napětí vzduchové mezery a měrné magnetické vodivosti podle vztahu (12.1). I při sinusovém průběhu magnetomotorického napětí vzduchové mezery bude průběh magnetické indukce nesinusový, obsahující prostorové a při otáčení také časové vyšší harmonické. Pro základní vlastnosti elektrických strojů jsou důležité spřažené magnetické toky vinutí, z kterých se určují indukovaná napětí a moment stroje. Vztahy pro spřažené magnetické toky sinusově rozložených vinutí jsou i pro nesinusové průběhy magnetických indukcí jednoduché (viz dodatek II). Tak nesinusový průběh magnetické indukce vinutí rotoru, daný soustředným vinutím (např. budicím) a proměnnou vzduchovou mezerou, vytvoří v sinusově rozloženém vinutí (např. fáze statoru) spřažený magnetický tok, který je dán pouze první harmonickou magnetické indukce pole rotoru a jehož velikost se při otáčení rotoru mění podle jednoduché harmonické funkce. Sinusově rozložená statorová vinutí vytvoří sinusové prostorové rozložení magnetomotorického napětí. Při pohybu rotoru s vyjádřenými póly obsahují průběhy magnetických indukcí těchto polí vyšší prostorové a časo vé harmonické. Spřažené magnetické toky vlastní a vzájemné těchto sinusově rozložených statorových vinutí obsahují při konstantních proudech jen složku konstantní a složku periodickou, závislou na dvojnásobku úhlu natočení rotoru. Periodické složky vlastního a vzájemného magnetického toku .JSou steJne. . , Tyto výsledky znamenají, že pro sinusově rozložené vinutí stačí uvažovat jen první dva členy Fourierovy řady (12.1), tedy (12.2) protože další uplatňují.

[681

členy řady

se ve vztazích pro

spřažené

magnetické toky ne-

13. Provedení obecného elektrického stroje Obecný elektrický stroj (obr. 25) se uvažuje jako dvoupólový komutátorový stroj s dvěma sadami kartáčů. Rozšíření odvozených vztahů na stroj 2p-pólový spočívá v převedení elektrických úhlů (úhlových rychlostí) dvoupóloyého stroje na mechanické úhly (úhlové rychlosti) 2p-pólového stroje. Přitom mezi elektrickými úhly IX a mechanickými úhly IXm platí známý vztah IX

a

(13.1)

= plXm

podobně

pro úhlovou rychlost elektrickou m a mechanickou mm platí

dlX

(13.2)

dt = m = pmm Stator obecného elektrického stroje má vyjádřené póly s jedním nebo několika vinutími na hlavních pólech v podélné ose d a v příčné ose q. Jestliže smysl os d, q orientujeme ve stejném smyslu jako kladné magnetické toky v těchto osách, je v uvažovaném případě osa q zpožděna o 90° za osou d. Tato vinutí mohou v konkrétních analyzovaných případech plnit různé funkce. Mohou pracovat jako vinutí budicí (cizí, paralelní, sériová), vinutí komutační, kompenzační, tlumicí aj. Přitom se uvažuje, že magnetické toky vytvořené vinutími jsou souměrné podle os těchto vinutí (podle os d, q). Pro teoretický rozbor je lhostejné, která část stroje se pohybuje a která stojí, protože jeho vlastnosti jsou dány jejich relativní rychlostí. Obr. 25. Schéma obecného elektrického stroje

D osa

f

q

a

. osa q

[69]

Rotorové vinutí s komutátorem se magneticky projevuje jako vinutí, jehož osa prochází kartáči (obr. 26). Otáčením rotoru jednotlivé vodiče cívek svoji polohu vůči statoru a tudíž i kartáčům stále mění, proudy ve vodičích vinutí v jedné rozteči kartáčů mají však vlivem komutace vždy stejný smysl. Např. vlivem proudu iq (obr. 26a) jsou proudy v jednotlivých vodičích vždy v horní rozteči kartáčů jednoho, v dolní rozteči opačného smyslu. Magnetické pole má tedy stále stejný směr (pokud se kartáče nepohybují), daný spojnicí elektrické polohy příslušných kartáčů, a pokud proudy v uvažovaných vrstvách vodičů nemění svůj smysl, má i magnetické pole rotoru stejný smysl (viz např. obr. 26a). Podobně je tomu i s magnetickým polem vose d, vytvořenýmproudem id přiváděným kartáči vose d a stejným vinutím rotoru (viz obr. 26b, c). Rotorové vinutí s komutátorem se pak jeví z hlediska magnetického působení jako zdánlivě stojící (pseudostacionárni). Tuto výjimečnou vlastnost vinutí rotoru (komutátorové kotvy) musíme brát v úvahu při odvozování rovnic rotorových vinutí (viz též kap. 10). Na komutátoru jsou tedy dvě sady kartáčů. Jedna sada kartáčů, na jejichž svorkách je napětí u q , je připojena k vinutí rotoru, jehož osa je kolmá k ose budicího vinutí f Oe v geometrické neutrále vinutí statoru f), leží tedy v příčné ose q. Druhá sada kartáčů, na jejichž svorkách je napětí Ud' je natočená proti první sadě kartáčů o 90° ve smyslu točení rotoru (obr. 25) a leží v podélné ose d. Z toho vyplývá, že obecný stroj má statorové vinutí stojící (např. f, g, D, Q) a otáčivě se pohybující rotorové vinutí (d, q). Společnou magnetickou osu .mají vinutí f, d, D nebo vinutí g, q, Q. Vinutí f, d, D jsou magneticky kolmá k vinutím g, q, Q. .

14. Základní napěťové rovnice obecného elektrického stroje

Základní rovnice obecného elektrického stroje tvoří především soustavu napěťových rovnic, jejichž počet je dán počtem vinutí stroje. Všechna vinutí stroje považujeme za spotřebič. Potom svorkové napětí vinutí se musí rovnat součtu úbytků (napětí) v tomto vinutí. Výkon spotřebovaný ve vinutí je kladný a při kladném napětí je proud spotřebiče kladný. Podle druhého Kirchhoffova zákona a podle Faradayova zákona můžeme pro jednotlivá vinutí psát napěťovou rovnici, kterou jsou vázána tři základní proměnná . , vmut1: •

[70]

napětí Uj,

proud

uJ = R

kde

. .,.

ij

a

spřažený

dl/! j +

J J

RJ je

činný

t

čas.

-'--.L

dt

magnetický tok I/!J' ve tvaru

. (14.1)

j = d, q, D, Q, f, g

odpor vinutí j-tého elektrického obvodu,

Vliv komutujících cívek přitom zanedbáváme. Tento vztah platí jak pro stojící, tak i pro pohybující se vinutí (bez komutátoru). Pro napětí na kartáčích rotoru lze tedy psát

(14.2) (14.3) magnetické toky I/! jednotlivých vinutí jsou dány magnetickými toky vytvořenými proudem uvažovaného vinutí a proudy vinutí, které s ním mají magnetickou vazbu. V uvažovaném případě platí pro lineární magnetické obvody Spřažené

(14.4)

j, k = f, g, d, q, D, Q

kde

Ljj(I-kk) jsou vlastní indukčnosti j-tého (k-tého) vinutí,

Obr. 26. Náhrada vinutí rotoru s komutátorem cívkami se stálou prostorovou polohou

•

I~

CJ

[71]

vzájemné

indukčnosti

vinutí j a vinutí k

(14.5) Odvození spřažených magnetických toků u obecného komutátorového stroje není jednoduché. Této otázce je věnována větší pozornost v dodatku J. Při podrobnější analýze je třeba zjistit vliv vzájemných indukčností na transformační a rotační napětí. Pro jednoduchý komutátorový stroj jsme v kap. 10 ukázali, že za uvedených předpokladů se ve statorových vinutích uplatňují pouze transformační napětí indukovaná časovou změnou proudů vinutí vose d nebo q. Rotační napětí se uplatňují pouze ve vinutí rotoru, a to na kartáčích vose q od magnetického toku vose d a naopak. Napěťová rovnice pro vinutí q kotvy plyne z obr. 27. V uvažovaném vinutí se indukuje transformační napětí časově proměnným spřaženým magnetickým tokem vose q, který je s uvažovaným vinutím q v magnetické vazbě. Rotační indukované napětí závisí na změně magnetického toku dané jen pohybem vinutí. V obr. 27 zabírá s vinutím rotoru maximální spřažený magnetický tok tjJq, ale změna tohoto toku je při elementárním pohybu vinutí q z dané polohy nulová. Naproti tomu magnetický tok vose d zabírající s vinutím rotoru q je nulový, ale jeho změna ve vinutí q, způsobená pohybem tohoto vinutí, je maximální. Z toho vyplývá, že ve vinutí q indukuje transformační napětí magnetický tok vose qa rotační napětí magnetický tok vose d. Pro svorkové napětí uq tedy po zahrnutí činného úbytku platí (14.6) . Znaménka všech členů této rovnice budou ve spotřebičovém systému kladná . Magnetické toky vytvořené vinutím g, Q a vinutím q jsou stejného smyslu a platí proto vztah •

(14.7) Rotační

indukované napětí vinutí q je dáno posledním členem v rovnici (14.6). Znaménko tohoto členu vyplývá z obr. 28. Pro uvažované polohy os d, q pro předpokládaný smysl otáčení a pro předpokládané smysly magnetických toků vose q vyplývá, že smysl proudu ve vinutí q je dán pravidlem levé ruky podobně jako u motoru. V základní rovnici pro vinutí q mají tedy napětí stejná znaménka jako u motoru a rotační napětí v rovnici (14.6) je kladné.

[72]

Napěťovou

rovnici pro vinutí d kotvy odvodíme analogicky z obr. 29. V tomto vinutí indukuje transformační napětí spřažený magnetický tok vose d, rotační napětí magnetický tok vose q. Z obr. 30 plyne, že pro před pokládaný smysl otáčeni a předpokládané smysly magnetických toků vose d je smysl proudu ve vinutí d dán pravidlem pravé ruky podobně jako u dynama. V základní rovnici pro vinutí d má tedy rotační napětí opačné znaménko než u motoru, a je proto záporné. Pro svorkové napětí u d tedy platí •

(14.8) Pro

spřažený

magnetický tok vose d platí podle obr. 30 rovnice (14.9)

V rovnicích (14.6) a (14.8) jsme předpokládali, že vinutí rotoru d, q jsou tvořena jediným vinutím kotvy s komutátorem s dvěma sadami kartáčů podle obr. 25. Proto jsou činné odpory v těchto rovnicích stejné. Rotační napětí představované posledními členy v rovnicích (14.6) a (14.8) můžeme odvodit pro ne sinusový průběh magnetické indukce (viz též dodatek I) ze součtu rotačních napětí indukovaných v jednotlivých závitech (vodičích). Toto napětí se odvozuje v základní teorii elektrických strojů pomocí vztahu Blv. Uvedeme jiné odvození rotačního napětí ze změny magnetického toku při pohybu vinutí. Magnetický tok závitu v poloze 8 je (viz obr. 31) Obr. 27. Obecný elektrický stroj s vinutím kotvy q

Obr. 28.

Určení napětí

znaménka ve vinutí q

rotačního

osa d

osad D

D

f'

Q

q

Q

[73]

D cp = 2B - 8- ,.

(14.10)

2

kde

ml

li je ideální délka kotvy.

Vzhledem k tomu, že celkové napětí vinutí se určuje z aritmetického součtu napětí jednotlivých cívek, můžeme nesinusový průběh magnetické indukce při výpočtu indukovaného napětí nahradit obdélníkovým průběhem se střední hodnotou B atř • Při elementárním posunutí cívky v poloze 8- vobr. 31 se pak magnetická indukce nemění a indukované rotační napětí závitu bude

(14.11) Zavedeme mechanickou úhlovou rychlost magnetický tok cp podle vztahu

Wm

d8- m /dt, za B stř zavedeme

=

1tD

(14.12)

cp = B stř 2p l-1 a dostaneme , 2p

(14.13)

Uirz

Při

=

1tDli

Dli CPwm.

=

2p 1t

CPwm

je v každé paralelní větvi zapojeno v sérii N j2a závitů, když N je celkový počet závitů vinutí rotoru. Je tedy indukované rov, nap ět"1 VInuti, t aCIi1

2a paralelních

větvích

,

Obr. 29. Obecný elektrický stroj s vinutím kotvy d

,

Obr. 30.

napětí

D

D

f

f

Q

[74]

Určení

znaménka ve vinutí d

Q

rotačního

(14.14) Tím jsme určili velikost konstanty (14.15) v rovnicích (14.6) a (14.8) Rovnici pro rotační indukované napětí můžeme zjednodušeně psát (14.16) kde

ro = prom je elektrická úhlová rychlost, krl = 2f1t činitel rozlohy první harmonické vinutí rovnoměrně rozloženého (v souvislé vrstvě) na celé pólové rozteči.

Tento činitel je dán poměrem geometrického součtu (průměru kruhu) k aritmetickému součtu napětí (polovině obvodu kruhu). Spřažený magnetický tok vinutí pro v-tou harmonickou je dán závity zapojenými v sérii (Nj2a), činitelem rozlohy v-té harmonické (2f1tv) a magnetickým tokem CP. Při porovnání se vztahem (14.16) vídíme, že resp. jen pro první harmonickou (v = 1). Obr. 31. Magnetický tok závitu v poloze [)

I \

z'", r~

\

"

I •

I

[75]

Na základě těchto úvah (14.6) a (14.8) psát ve tvaru (14.17)

(14.18)

. R

Ud

=

Uq

_ R' Iq

ld

+

dt/ld dt

+

dt/lq dt

-

můžeme

základní

napěťové

rovnice rotoru

,I, ((J'I'

qr

,I,

+ ((J'I'dr

Nově

zavedené spřažené magnetické toky t/ldr> t/lqr jsou dány odlišnými od (14.7) a (14.9) a platí pro ně

obecně

vztahy

(14.19)

kde veličiny Gd, Gq, Gdr , Gqg , GdD , GqQjsou tzv. rotační indukčnosti, vyjadřu jící vazbu mezi vinutími při indukování rotačních napětí. Tyto indukčnosti a jejich souvislosti s běžně používanými indukčnostmi jsou podrobněji probrány v dodatku I a II. V této kapitole jsme zavedli celkem šest napěťových rovnic (14.1), (14.17), (14.18) pro šest vinutí obecného stroje a osm rovnic pro spřažené magnetické toky (14.4), (14.19), (14.20). V těchto čtrnácti rovnicích je celkem 21 proměnných, a to:

•

šest napětí (Ur, Ug' Ud' uq, uD , UQ)' šest proudů (ir, ig , id , iq , iD, iQ), osm spřa žených magnetických toků (t/lr, t/lg, t/ld. t/lq, t/lD' t/lQ. t/ldr> t/lqr) a elektrická úhlová rychlost ((J. Předpokládáme-li, že šest napětí stroje je známo, máme pro patnáct neznámých proměnných soustavu jen čtrnácti rovnic. Jen v případě zadané (např. konstantní) rychlosti je tato soustava postačující pro analýzu stroje. V obecném případě proměnné rychlosti se musí tato soustava doplnit ještě pohybovou rovnicí (pro mechanické veličiny). 15. Pohybová rovnice a moment obecného elektrického stroje

Pohybovou rovnici obecného elektrického stroje pro okamžité hodnoty můžeme podle ď Alembertova principu psát ve tvaru známém z mechaniky d((Jm

m· = J dt

(15.1 )

1

+ mm

[76] •

kde

mi je vnitřní elektromagnetický moment obecného stroje, J

moment

setrvačnosti

rotujících hmot,

mechanická úhlová rychlost, t

v

cas, mechanický moment na ztrát.

hřídeli včetně

momentu mechanických

Znaménka členů v rovnici (15.1) jsou kladná pro chod stroje jako motor. Vnitřní elektromagnetický moment je dán magnetickými poli a proudy ve stroji. Je-li tento moment větší než mechanický moment na hřídeli (daný u motoru mechanickým zatížením), zvyšuje se mechanická rychlost stroje. U generátoru by znaménka vnitřního momentu a momentu mechanického (daného poháněcím motorem) byla záporná. Znamená to tedy, že v základních napěťových rovnicích tvaru (14.1) a v pohybové rovnici (15.1) jsme zvolili kladné směry a znaménka tak, že elektrické i mechanické energie (výkony) jsou u motorů kladné. U generátoru mají tyto veličiny znaménka záporná. Zavedením rovnice (15.1) se zvětšil počet základních rovnic obecného stroje na obr. 25 na patnáct. Předpokládáme-li, že mechanický moment mm je dán, zvětšil se počet neznámých proměnných na šestnáct (o vnitřní moment stroje mi)' Soustava základních rovnic bude pro daný počet neznámých proměnných úplná, jestliže odvodíme další rovnici pro vnitřní moment stroje pomocí již dříve zavedených proměnných (proudů a spřaže ných magnetických toků). Vnitřní elektromagnetický moment můžeme určit z energetické bilance obecného stroje (jako v části I), ze které vyplývá, že přírůstek přivedené elektrické energie se rovná přírůstku energie Joulových ztrát, přírůstku nahromaděné energie (v magnetickém poli a kinetické energie) a přírůstku energie přeměňované z formy elektrické na mechanickou (u generátoru z formy mechanické na elektrickou). Z této energetické bilance dále vyplývá, že přeměňovaná energie závisí jen na členech, které v napěťových rovnicích představují rotační napětí. Plyne tedy pro vnitřní (přeměňovaný) výkon a tím i pro vnitřní (elektromagnetický) moment obecného elektrického stroje pří mo z rovnic (14.17), (14.18) a (15.1) (15.2)

[77]

Po dosazení za ro = prom. dostaneme hledaný vztah pro magnetický moment stroje ve tvaru

vnitřní

elektro-

(15.3) Tím je soustava rovnic obecného elektrického stroje úplná, protože ji tvoří 16 rovnic pro 16 hledaných proměnných: i d , i q , ir, i g , i D , i Q, "'d' "'dr' "'q, "'qr> "'D' mi' rom (resp. ro) při zadaných veličinách U d , u q , Ur, Ug' UD' uQ' mm' Tato soustava rovnic obecného stroje je nelineární, protože rovnice (14.17), (14.18), (15.3) obsahují součiny proměnných. Pro konstantní rychlost rotoru se však soustava rovnic zjednoduší na soustavu lineárních rovnic s konstantními koeficienty. Základní rovnici (15.3) pro elektromagnetický moment je možno po- . mocí dříve uvedených rovnic psát v jiných tvarech. Např. použitím rovnic (14.19) a (14.20) dostaneme při i D = i Q = O

"'f' "','

"'Q'

(15.4) Přitom

u obecného elektrického stroje s vyniklými póly na statoru a s ruznou magnetickou vodivostí vose d a vose q se rotační indukčnost Gd obecně nerovná rotační indukčnosti Gq (vzniká tzv. reakční či reluktanční moment). U stroje s konstantní vzduchovou mezerou platí Gd = Gq a rovnice (15.4) se zjednoduší na tvar (15.5) .

Pro sinusově . proměnnou magnetickou indukci platí podle rovnic (1.26), (1.29) a (1.30), (1.25) ( 15.6)

"'dr = '"d

'"qr = '"q

a vztahy pro vnitřní moment (15.3) a (15.4) budou (15.7) (15.8) a Konečně

mUžeme vyjádřit vnitřní elektromagnetický moment ze změny nahromaděné energie magnetického pole při pohybu vinutí, daného v tomto případě derivací úhlu Bm (viz obr. 31) podle času. Veličiny násobené

(78]

•

v základních rovnicích úhlovou rychlostí Will. jsou podle rovnic (1.10), (1.18) dány derivací spřaženého magnetického toku podle úhlu 3m.' Veličiny l/Idr, l/Iqr můžeme vyjádřit z rovnice (1.19) pomocí vztahů

l/Idr

=

ot/l 03

•

8-= -,,/2

t/lqr

iJt/I =

(15.9)

03 8-=0

Přitom

znaménka obou veličin jsou před dosazením uvažovaných hodnot 3 stejná a z energetické bilance obecného stroje bychom obdobným postupem jako dříve dostali vztah pro elektromagnetický moment ve tvaru

03

(15.10)

+ 8-=-,,/2

z kterého opět vyplývá, že vnitřní elektromagnetický moment je dán prostorovou změnou energie magnetického pole obecného elektrického stroje. Přitom energie magnetického pole obecného stroje se mění v závislosti na úhlu natočení vinutí rotoru jen ve vinutích rotoru, a proto rovnice (15.10) obsahuje pouze členy s magnetickou energií vinutí rotoru.

16. Synchronní stroj a jeho základní rovnice

V předchozích odstavcích byl probrán obecný komutátorový stroj a jeho základní rovnice. V dalším si ukážeme, že tento stroj je fyzikálním modelem i pro střídavé stroje bez komutátoru, jako jsou stroje synchronní a asynchronní. Teorie obecného elektrického stroje se původně vyvinula z teorie synchronního stroje s vyniklými póly, jehož proměnné byly transformovány na nové proměnné, odpovídající veličinám obecného elektrického stroje. V dalším budou probrány základní rovnice synchronního stroje s vyniklými póly a jejich transfoI'mace na rovnice, které odpovídají dříve odvozeným rovnicím obecného komutátorového stroje. Tento postup bude také názorným příkladem pojetí elektrického stroje jako souboru vzájemně nepohyblivých a pohyblivých magneticky vázaných elektrických obvodů, charakterizovaných činnými odpory, vlastními a vzájemnými indukčnostmi.

Při

odvozování základních rovnic budeme uvažovat synchronní stroj s vyniklými póly, který má na statoru tři vinutí fází a, b, c a na rotoru má

[79J

budicí vinutí v podélné ose f a tlumicí vinutí představované vinutími D, Q v podélné a příčné ose (obr. 32). Základní rovnice je možné snadno rozšířit pro stroj, který má na rotoru více vinutí. Základní napěťové rovnice pro jednotlivá vinutí mají stejný tvar jako rovnice (14.1)

(k

(16.1)

= a, b, c, f, D,

Q)

Statorová vinutí předpokládáme souměrná, takže pro činné odpory platí (16.2) Rovnice pro spřažené magnetické toky můžeme pomocí vlastních a vzájemných indukčností psát ve tvaru (16.3)

t/ta = Laaia

+ Labib + La. i• + Lacic + LaDiD + LaQiQ

t/tb = 4a ia

+ 4b ib + Lbeie + LbCiC + 4 DiD + 4 Q iQ

t/te = Leaia

+ Lebib + Leeie + Lecic + LeOiD + LeQiQ

t/tc = Lcaia + Lfbi b + Lceie + Lffic + LfDiD t/tD = Loaia

+ Lobib + Loeie + Locic + Looio

t/tQ = LQaia

+ LQbib + LQeie + LQQiQ

Tyto rovnice obsahují 6 vlastních indukčností vinutí statoru a rotoru, 9 vzájemných indukčností vinutí statoru a rotoru, 3 vzájemné indukčnosti vinutí statoru a 1 vzájemnou indukčnost vinutí rotoru. Vzájemné indukčnosti vinutí, jejichž osy jsou kolmé, jsme v rovnici (16.3) položili rovny nule (16.4)

LCQ=LQc=LoQ=LQD=O Rozbor indukčností v rovnici (16.3) je obsahem dalšího odstavce. ,

Uplnou soustavu rovnic uvažovaného synchronního stroje dostaneme, doplníme-li rovnice (16.1), (16.3) ještě pohybovou rovnicí (15.1) a rovnicí pro vnitřní elektromagnetický moment.

(80)

•

17.

Indukčnosti

synchronního stroje s vyniklými póly

Analytické vyjádření vlastních a vzájemných indukčností je jedním ze základů teorie synchronního stroje. Vztahy pro indukčnosti se zjednodušují za předpokladu, že vinutí tří fází statoru jsou rozložena sinusově. Podstata tohoto předpokladu a matematické odvození indukčností za tohoto předpokladu je uvedeno v dodatku III. Pro vlastní a vzájemné indukčnosti uvedeme stejné vztahy pomocí jednoduché fyzikální představy, vycházející ze statické definice indukčností, podle které je vlastní indukčnost dána magnetickým tokem při jednotkovém proudu samotného vinutí a vzájemná indukčnost magnetickým tokem při jednotkovém proudu vinutí, které do uvažovaného vinutí magnetický tok vysílá. Vlastní a vzáj~mné indukčnosti vinutí rotoru Lff' LOD' LQQ' Lm nezávisí na poloze rotoru, protože stator synchronního stroje má válcový tvár (při zanedbání drážkování). Vzájemné indukčnosti vinutí rotoru a statoru závisí na relativní poloze rotoru a uvažované fáze statoru. Vzájemná indukčnost budicího vinutí f a vinutí fáze a je pro nulový úhel 8- mezi osou budicího vinutí a osou fáze a maximální (Lafm), nulová pro 8- = '!t/2, záporná maximální pro 8- = '!t atd. (viz obr. 33). Tuto závislost můžeme přibližně vyjádřit kosinusovou funkcí Laf

= Lea = Lafm cos 8-

(17.1)

,

Obr. 32. Schéma synchronního stroje s vyniklými póly

Obr. 33.

Vysvětlení

vztahu pro vzájemnou indukčnost fáze a a budicího vinutí f

a

LQfm.

b

1C

./ ./.

•

c

[81] •

Pro další fáze,

(17.2) (17.3)

natočené

proti fázi a o úhel

± 1X, platí obdobné vztahy

L bt = LCb = Latm cos (8 - 1X)

Let = Lce = Lafm cos (8

+ 1X) indukčnosti

Podobné vztahy platí pro ostatní vzájemné vose d a vinutí statoru

(17.4)

vinutí rotoru

LaD = Loa = LaDm cos 8 L bD = Lob = LaDm COS (8 - 1X)

LeD = Loe = LaDm cos (8

+ 1X)

Vzájemná indukčnost fáze a a vinutí v příčné ose Q je nulová pro 8 = O a maximální pro 8 = -xf2 (příčná osa předbíhá o xf2 podélnou osu). Platí proto

(17.5)

L aQ = LQa =

L aQm cos (8

+ -lx) =

-LaQm sin 8

4 Q = LQb = -LaQm sin (8 - 1X) L eQ

= LQe = -LaQm sin (8 + 1X) •

Vlastní indukčnosti vinutí statoru závisí na poloze rotoru, pokud má rotor vyniklé póly. Vlastní indukčnost fáze statoru bude největší (Laamax), bude-li osa vinutí fáze splývat s osou pólu (poloha největší magnetické vodivosti), a nejmenší (Laamin) při úhlu osy vinutí fáze a osy pólu rovném xf2. Protože magnetická vodivost se periodicky mění pro každý pól, bude perioda vzájemné indukčnosti rovna jedné pólové rozteči (rp = x). Taková periodická závislost vlastní indukčnosti se může přibližně vyjádřit podle vztahu (viz obr. 34):

(17.6) když Laamu = Lao

+ Ll

Laamin = Lao - Ll Pro další fáze statoru, natočené proti fázi a o úhel ±jx, platí obdobné vztahy . .

(17.7) (17.8)

4b = Lao Lee = Lao

[82]

+ Ll cos 2(8 - 1X ) + Ll cos 2(8 + 1X)

•

Vzájemné indukčnosti fází statoru závisí také periodicky na úhlu 8, protože při otáčení rotoru s vyjádřenými póly se periodicky mění magnetická vodivost společného magnetického obvodu dvou fází statoru. Na obr. 35 jsou naznačeny polohy rotoru pro maximální a minimální indukčnosti fází b, c. Vzájemná indukčnost je maximální pro 8 = 1t/2, i1t atd. a minimální pro 8 = O, 1t atd. Z obr. 35 dále plyne, že při kladném proudu ib bude. magnetický tok fáze c záporný, protože osy obou fází svírají úhel větší než 1t/2 a menší než !1t. Vzájemné indukčnosti jsou proto záporné a mů žeme je přibližně vyjádřit vztahy

14el

(17.9) -Lea = L abo -

L2 cos 2(8 - i1t)

= L abo - L 2 cos (28

-Lab = LJbo -

L2 cos 2(8 + i1t)

= L abo -

+ i1t)

L2 cos (28 - i1t)

V dodatku III je dokázáno, že vztahy (17.1) až (17.9) platí přesně pro sinusově rozložené vinutí. Je zde také dokázáno, že periodické složky vlastních a vzájemných indukčností mají stejnou amplitudu L 2 • Dosadíme-li odvozené vztahy pro vlastní a vzájemné indukčnosti do rovnic spřažených magnetických toků (16.3), dostaneme soustavu rovnic s periodickými časově proměnnými koeficienty, kterou můžeme přehledněji psát v maticové formě (viz rovnici (17.10)). Tuto soustavu a její řešení lze zjednodušit lineární transformací proměnných, kterou se periodické koeficienty odstraní. Obr. 34.

Vysvětlení

vztahu pro vlastní

indukčnost

fáze a •

•

• •

-11 2

--,- " •

• •

[83]

(17.10)

LaO

'1/.

+ Ll cos 28

-LabO

+

-LabO

+ Ll cos (28 -LabO

'l/b

+

+ Ll cos (28 'l/c

-LabO

--

+

+ Ll cos (28

in)

+ in)

LaO + + L 2 cos 2(8 - L abO

in)

+

+ in)

+ Ll cos (28 - L abO

+ L 2 cos 28

in)

.

+ L 2 cos 28 II

LaO+ + Lz cos 2(8

+ 1n)

-

'l/f

L afm cos 8

,

L afm cos (.9 -

in)

L afm cos (8 .

I

'l/D

L aDm cos 8

'l/Q

I-LaQm sin 8

L aDm cos (8 - L aQm sin (8 -

in) in)

1

L aDm cos (8

+ in) + in)

1- L aQm sin (8 + in) ..

18. Lineární transformace základních rovnic synchronního stroje

Základní rovnice synchronního stroje a jejich řešení se podstatně zjednodušÍ odstraněním periodických koeficientu lineární transformací proudu, napětí a spřažených magnetických toku statoru (viz dodatek IV). V teorii elektrických stroju se používá reálných i komplexních transformací proměn ných. Nejčastěji se používá lineární transformace d, q, O podle Parka [1J. Označíme-li puvodní proměnné veličiny fází a, b, c statoru obecně x., x b , Xc a nové transformované veličiny statoru Xd' x q , Xo, platí (18.1)

Xd

=

(18.2)

Xq

=

(18.3)

Xo =

+ Xb cos (.9 -kq[xa sin.9 + Xb sin (.9 ko[x a + X b + xc] kd[x a cos.9

-

lX) + Xc cos (.9 + lX)]

-

ix) + Xc sin (.9 + lX)]

Tato lineární transformace je jednoznačná, protože je nenulový determinant soustavy (při k d , k q, ko =1= O)

ix) kd cos (.9 + lX) -kq sin .9 -kq sin (.9 - lX) - kq sin (.9 + lX) kd cos.9

(18.4)

ko

[84J

kd cos (.9 -

ko

ko

=

k k k 3 .J~ d q o 2

.

Larm

cos 8

L aDm

1n)

L.rm cos (8 -

Larm

cos (8

cos 8

L. Dm cos (8 -

+ ln)

L aDm

•

-LaQm sin 8

-LaQm sin (8 -

,n)

cos (8 + in)

- L aQm sin (8

'a

,

•

,n)

+ ,n)

'b

•

'c

•

,

Lff

ILfD

L Dr

I

O

1

1

L DD

•

0

'r

O

•

'D

I LQQ

0

•

'Q

Transformační činitele k d , k q ,

ko se mohou volit libovolně (kromě nulové hodnoty), dokonce různě pro transformaci napětí, proudů a magnetických toků. Takové rozdílné volby nepřinášejí žádné výhody, a proto budeme v dalším uvažovat stejné transformační činitele pro napětí, proudy a magnetické toky. Fyzikálně je možno si veličinu Xd představit jako průmět velikostí okamžitých veličin Xa , Xb' Xc do osy d, která je osou rotoru (budicího vinutí/) a která se otáčí rychlostí rotoru. Veličinu xq můžeme představit jako průmět velikostí okamžitých veličin x., Xb' Xc do osy q, která je natočena ve smyslu .

Obr. 35a.

Vysvětleni

vzájemnou

Obr. 35b.

vztahu pro indukčnost

Lbc

I

Vysvětleni

vztahu pro

vzájemnou

indukčnost

L bc

b

..."

-J I

I

L 2..

/-t b

Labo

--00_

"-

"-

tJ [85J

točení

o xJ2 před osu d a která se otáčí rychlostí rotoru. Znaménko minus v druhém řádku transformační matice odpovídá ose q, předbíhající ve smyslu točení o xJ2 osu d. Inverzní transformace se mfiže určit podle obecného vztahu (IV.6) nebo tak, že rovnici (18.1) násobíme cos 8/kd a sečteme ji s rovnicÍ (18.2) násobenou -sin 8fkq • Takto dostaneme •

1

(18.5)

Xd

kd

cos 8 _ 1 x q sin 8 = kq

=

2

cos 8 +

Xa

+

Xa

Xb

2

sin 8 +

!x) +

cos 8 cos (8 -

Xb

sin 8 sin (8 -

Xc

!x) +

cos 8 cos (8 + lX) +

Xc

sin 8 sin (8 + lX)

Odtud po úpravě při použití vztahu (18.3) plyne .

(18.6)

X

a

Podobně

21 = 3 kd

21. Xd cos 8 - x q SIn 8 3 kq

Xb

= -

3~

Xd

21

(18.8)

Xc

Xo

platí 21

(18.7)

11 +3 ko

= -

3~

Xd

cos (8 cos (8

21.

- lX) - -

3~

xq

SIn

21.

+ lX) - -

3~

11

(8 - lX) + -

x q SIn (8

3~

Xo

11

+ lX) + -

3~

Xo

Činítele k d , k q , ko volí různí autoři různě. Např. Park zvolil k.i = = kq = " ko = 1, čímž se zjednoduší vztahy (18.6) až (18.8). Pro splnění

podmínky tzv. invariantnosti výkonll (viz dodatek IV) musí podle (IV. 17) platit rovnost 2 1

-

(18.9)

3 kd

2 1

-

3 kd

2 1

--

cos 8

3 kq

cos (8 - ln)

2 1

--

3 kq

•

sin 8

sin (8 - ,n)

1

3ko 1

3ko

..

2 1

-

3 kd

[86]

cos (8 + ,n)

2 1 - sin (8 + ,n) 3 kq

1 3ko

--

Tato rovnost bude

tedy

splněna

pro

k~=k~=i

(18.10)

k~ =

(18.11)

např.

t pro

kd = kq =

ko

=

Ji

(18.12)

.J~

(18.13)

Tato volba. transformačních činitelů má, jak ukážeme dále, výhodu v tom, že vzájemné indukčnosti vinutí jsou pro transformované veličiny obapolně . , steJne. Použitím transformace d, q, O definované rovnicemi (18.1) až (18.3), resp. (18.6) až (18.8), odvodíme nyní transformované rovnice synchronního stroje. Lineární transformace napěťových rovnic statoru se jednoduše odvodí tímto postupem: Vyjdeme z rovnice spřaženého magnetic. kého toku fáze a, který je dán vztahem obdobným rovnici (18.6) 21

I/Ia

= -

3 kd

21.

I/Id

cos 8 - -

3 kq

I/Iq S10

8

11

+-

3 ko

Tento vztah zderivujeme podle času (8 = rot dl/la 2 1 dl/ld .....:...:: = cos dt 3 kd dt

n I:? -

2 1 - rol/lq cos 8 3 kq

+ 8 0)

2 1 ./, . n ro'l' d SIn I:? 3 kd 1 1

+- -

1/10

-

(18.14)

a dostaneme

2 1 dl/lq 3 kq dt

. n S10 I:?

(18.15)

-

dl/l o ~-=.

3 ko dt

•

kd cos

-

-kq sin

f)

kd cos (f)

-

!7t)

f)

-kq sin (f)

ko

!7t)

ko

+ !7t)

ko

.

.

kd cos (f)

+ 17t)

-kq sin (f)

[87]

, /

Tuto rovnici porovnáme s rovnicí (16.1)

-,-dt/l:. . : a = u .- R l. a a dt do které za

dt/la

(18.16)

Ua' ia

2 1

=

dt

dosadíme transformované veličiny podle (18.6): Ud cos

3 kd

2 1

o

ť1' -

-

3 kq

21 . o R 'd cos ť1' 3 kd

-

.

u q SIn

o

ť1'

1 1

+-

3 ko

21"0 -

-

3 kq

SIn ť1'

l

q

Uo-

+

ll. - 'o 3 ko

Rovnice (18.15) a (18.16) se sobě rovnají, jsou-li koeficienty u stejných trigonometrických funkcí stejné. Porovnáním koeficientů při cos 8, sin 8 a členů bez trigonometrické funkce dostaneme při kd = kq (18.17)

. Ud = R 'd

(18.18)

uq =

. R

(18.19)

. Uo = R 'o

lq

+

dt/ld

+

dt/lq

dt dt

./,

-

Q)'I'q

+

./, Q)'I'd

.

dt/lo

+ .-:-..:.. dt

Připojíme-li podle (16.1) napěťové rovnice rotorových vinutí

+

(18.20)

dt/lf

dt

(18.21)

UD

=

.

R D'D

dt/lD

+ --=--=dt

•

(18.22)

dostaneme soustavu rovnic pro napětí pro nové (transformované) statorové veličiny d, q, O. Tyto rovnice jsou shodné s rovnicemi obecného komutátorového stroje (14.1), (14.17), (14.18). Navíc je zde rovnice (18.19), protože jsme uvažovali statorové vinutí trojfázové.

[88]

Lineární transformace rovnic pro spřažené magnetické toky je obtížnější. Pro spřažený magnetický tok budicího vinutí plyne z rovnice (17.10)

(18.23)

Použitím transformačního vztahu (18.1) se tato rovnice zjednoduší na tvar "'r = 1 Larmid

kd

Obdobně

+ Lrrir + LroiD

se odvodí rovnice pro

"'D =

1 LaDmid + Lorir

kd

(18.24)

spřažený

magnetický tok

+ LoDiD

(18.25)

Pro spřažený magnetický tok vinutí Q plyne z rovnice (18.1)

"'Q ==

-LaQm[ia sin 8

+ ib sin (8

-

in) +

ie sin (8

+ in)] + LQQiQ

(18.26)

Použitím transformačního vztahu (18.2) se tato rovnice zjednoduší na tvar 1 L . 'I'Q = aQm1q

.1,

kq

L ' + QQ/Q

(18.27)

Rovnice pro spřažené magnetické toky statoru transformujeme tak, že do vztahu (18.1)

(18.28)

"'a' "'b' "'e

dosadíme za podle rovnic (16.3) a za vlastní a vzájemné indukč nosti vztahy uvedené v kap. 17. Po algebraických úpravách nakonec dostaneme

(18.29) kde

Ld = Lao

+ L abO +

Obdobně

se odvodí rovnice

~L2

je podélná synchronní indukčnost.

(18.30)

[89]

+ LabO

t L2

příčná

kde

Lq =

kde

Lo = Lao - 2LabO je netočivá

4.0

-:...

je

synchronní

indukčnost

(í8.31) indukčnost.

Odvozené rovnice pro spřažené magnetické toky se zjednoduší, budou-li odpovídající vzájemné indukčnosti v rovnicích (18.24), (18.25) a (18.29) stejné, tedy 1

(18.32)

- L.rm = tkdL.rm kd 1

(18.33)

- LaDm = tkdLaDm kd . . Podobně mají být stejné vzájemné indukčnosti v rovnicích (18.27) a (18.30), tedy

(18.34) Z

těchto

rovnic plyne podmínka pro volbu transformačních

činitelů

(18.35) Zavedeme-li nové značení

(18.36)

L dC . =

(18.37)

LdD =

(18.38)

LqQ

.JH) Lacm. = .JH) L.rm = .JH) LaDm. = Lod

t

= .J(t) LaQm

Lcd

= LQq

budou mít rovnice pro spřažené magnetické toky (18.24), (18.25), (18.27), (18.29), (18.30), (18.31) tvar

+ Ldfir + LdDiD Lqiq + LqQiQ

(18.39)

t/ld = Ldid

(18.40)

t/lq =

(18.41)

t/lo = Loio

(18.42)

t/lr = LCdid

(90]

+ Lcrir + LroiD

+ Lorir + LoDiD ~iq + LQQiQ

"'D = ~id

(18.43)

"'Q =

(18.44)

Tyto rovnice jsou shodné s rovnicemi spřažených magnetických toků obecného komutátorového stroje při uvažování sinusových průběhů magnetické indukce a při uvažování odpovídajícího počtu budicích (tlumicích) vinutí. Navíc je zde rovnice pro spřažený magnetický tok Tím jsme ukázali, že rovnice synchronního stroje s vyjádřenými póly , je možno lineární transformací převést na rovnice shodné s rovnicemi obecného komutátorového stroje (14.1), (14.17), (14.18) za uvažovaných podmínek (počet vinutí, sinusově rozložená vinutí statoru). V tomto oddíle jsme odvodili šest napěťových rovnic, (18.17) až (18.22), a šest rovnic pro spřažené magnetické toky, (18.39) až (18.44). V těchto dvanácti rovnicích je při šesti zadaných svorkových napětích celkem třináct neznámých proměnných, a to šest proudů, šest spřažených magnetických toků a úhlová rychlost. Tato soustava rovnic je úplná jen při zadané (např. konstantní) rychlosti. V obecném případě proměnné rychlosti , se musí tato soustava rovnic doplnit ještě pohybovou rovnicí (15.1) a rovnicí pro vnitřní moment stroje, která bude odvozena v následující kapitole.

"'0.

,

19. Výkon a momentsynchronního stroje

Okamžitý elektrický výkon trojfázového systému a, b, c je (19.1) Dosadíme-li za okamžité hodnoty napětí a proudů a, b, c podle transformač ních rovnic (18.6) až (18.8), dostaneme po úpravě 21.

p = -

, '

2 Ud'd

3 kd

21.

+-

2 Uql q

3 kq

11.

+-

(19.2)

2 UO/o

3 ko

Použitím vztahu (18.12), resp. (18.35) ,

kd = kq =

Ji

a vztahu (18.13) ko =

Jl •

[911

dostaneme pro okamžitý výkon v systému d, q, O (19.3) Uvedená volba transformačních činitelů a vztah pro výkon ve tvaru (19.3) bez činitelů odpovídá tzv. principu invariantnosti výkonů při lineární transformaci proměnných, který byl odvozen v obecné formě v dodatku IV. Při jiné volbě transformačních činitelů, např. podle Parka kd = kq = ~ 1, ko = t, bychom dostali pro výkon vztah (19.4) v kterém uvedený princip invariantnosti výkonů není splněn. Moment synchronního stroje můžeme odvodit z energetické bilance obdobně jako u obecného komutátorového stroje. Elektrický příkon (motoru) je při transformovaných veličinách statoru dán vztahem (19.5) Tento příkon se rovná Joulovým ztrátám, časové změně energie magnetického pole a vnitřnímu přeměňovanému výkonu. Jak bylo ukázáno dříve, je vnitřní výkon dán rotačními napětími, která jsou jen v napěťových rovnicích vinutí d, q. Z rovnice (19.5) po dosazení za U d a uq podle (18.17) a (18.18) dostaneme pro vnitřní moment Pi 2 1 (.1,' mi = = P - . - 'l'dlq Wm 3 kdkq

(19.6)

-

.1,' ) 'l'qld

Při volbě transformačních činitelů podle rovnice (18.12) dostaneme

(19.7) Tento vztah je totožný se vztahem pro elektromagnetický moment obecného komutátorového stroje (15.7) při uvažování sinusového průběhu magnetické indukce ve vzduchové mezeře. Odvozením rovnice (19.6) a (19.7) je soustava rovnic synchronního stroje úplná a bude v části III použita k řešení některých provozních stavů synchronního stroje. Soustava rovnic synchronního stroje je stejná jako soustava rovnic

[92]

obecného komutátorového stroje, jestliže skutečné statorové veličiny a, b, c se pomocí lineární transformace nahradí veličinami d, q, O. Řešení provozních stavil synchronního stroje při použití veličin d, q, O je jednodušší (odpadají periodické činitele).

20. Asynchronní stroj a jeho základní rovnice Podobně

jako u sychronního stroje je možno použitím lineární transformace proměnných převést základní rovnice asynchronního stroje na rovnice obecného komutátorového stroje. U asynchronního stroje je (ve srovnání se synchronním strojem) tato úprava jednodušší tím, že jeho vzduchová mezera je konstantní a také vyjádření jeho indukčností je jednodušší, a složitější tím, že je nutno transformovat statorové i rotorové veličiny a že je přitom možno volit v transformačních rovnicích rmné rychlosti souřad ných os nových proměnných d, q a rmné definice úhlu [) (mezi osou fáze a osou d). Při odvozování budeme uvažovat asynchronní stroj se souměrným trojfázovým vinutím na statoru i rotoru (obr. 36). Tento stroj má celkem šest vinutí, a .to tři statorová vinutí a, b, c a tři rotorová vinutí A, B, C. Základní napěťové rovnice pro jednotlivá vinutí mají stejný tvar jako rovnice (14.1) a, (16.1)

(k

= a, b, c, A, B, C)

(20.1)

Obr. 36. Schéma asynchronního stroje

/"

•

/"

/"

/" B

[93]

Statorová a rotorová vinutí pory platí

(20.2)

Ra

(20.3)

RA

předpokládáme souměrná,

= Rb = Rc = R. = RB = Rc = Rf

takže pro

činné

od-

•

Rovnice pro spřažené magnetické toky můžeme pomocí vlastních a vzájemných indukčností psát ve tvaru (viz též rovnici (16.3))

(20.4) •

t/I A = t/lB = t/lc =

+ LAbib + LAcic + LAAiA + LABiB + LACiC ~aia + ~bib + ~cic + ~AiA + LBBi B + ~cic . LCaia + LCbib + LCcic + LCAi A + LCBi B + Lccic LAaia

Protože vzduchová mezera asynchronního stroje je konstantní, nezávisí na poloze vlastní indukčnosti statoru

(20.5) -<.. • 7"

"'a

"'A

I I

s

-Ms

"'b "'o

L

-

Ls

-Ms

-Ms Mcos 9

+ ln)

"'B

M cos (9

"'C

M cos (9 - ln)

I I I

I

-Ms

I-Ms .

Ls

M cos (9 -:- in) .

Mcos9 M cos (9

+ ln)

•

[94]

-Ms

I I I

M cos (9

+ ln)

M cos (9 - ln)

Mcos9

vlastní

indukčnosti •

LAA = LsB = vzájemné

rotoru

Lee

indukčnosti

(20.6)

= Lr

statoru

(20.7) a vzájemné

indukčnosti

rotoru

(20.8) Na poloze rotoru závisí vzájemné indukčnosti statoru a rotoru. Pro sinusově rozložené vinutí platí pro tyto indukčnosti vztahy obdobné vztah1im II synchronního stroje .

.

L_A = LA_ = L bB = Lsb = Lee = Lee = M cos 8

(20.9)

~=~=4e=~=~=~=Moos~+~

(20.10)

L.e = Lea = L bA = LAb = LeB = Lse = M cos (8 - in)

(20.11)

Dosazením těchto vztahů do rovnic spřažených magnetických toků dostaneme rovnice s periodickými časově závislými činiteli, které mfižeme přehledně psát v maticové formě Mcos8 M cos (8 -

M cos (8

11t)

M cos (8 + !1t) Lr

I

+ i1t)

Mcos8 .

M cos (8 -

i1t)

I I I

-Mr

M cos (8 -

in)

•

M cos (8 + in)

•

'b •

Mcos8

•

-Mr

(20.12)

I-

'e •

'A

•

-Mr

I -M I

-Mr

Lr

•

'B

•

-Mr

r

I

Lr

•

'e

Tuto soustavu a její řešení lze podobně jako II synchronního stroje zjednodu, šit lineárními transformacemi proměnných statoru i rotoru, kterými se periodické koeficienty odstraní.

[95]

21. Lineární transformace základních rovnic asynchronního stroje

Statorová napětí, proudy a spřažené magnetické toky budeme lineárně transformovat použitím Parkovy transformace [viz rovnice (18.1) až (18.8)], ale s tím rozdílem, že budeme uvažovat obecný úhel 8 k v transfollllačních rovnicích. Tomuto úhlu odpovídá obecná rychlost souřadných os d, q podle vztahu

(21.1) Potom pro transformaci statorových rovnicím (18.1) až (18.3)

(21.2)

Xd =

kd[Xa cos 8 k

Xq = -kq[xa sin 8 k Xo =

ko[x a

veličin

platí rovnice obdobné

+ Xb cos (8 k - in) + Xc cos (8 k + in)] + xbsin(8k - in) + x c sin(8k + in)]

+ Xb + xc]

Zpětná transformace statorových veličin má tvar obdobný rovnicím

(18.6)

až (18.8) kd

kq

ko

Xb = 1 tXd cos (8k - in) - 1 i X q sin (8 k . kd kq Xc = 1 !Xd cos (8k kd

-

in) + 1 l xo ko

+ in) - 1 i X q sin (8k + in) + 1 lx o kq

ko

Lineární transformace rotorových veličin závisí na volbě úhlu 8 k ve . vztazích pro lineární transformaci statorových veličin. Vztahy pro lineární transformaci rotorových veličin odvodíme např. ze vztahů pro spřažené magnetické toky statoru, transformované na veličiny d, q, O. Podle vztahu (21.2) platí (21.4)

t/ld =

(21.5)

t/lq =

(21.6)

t/lo =

[96J

.

kd[t/la cos 8 k

+ t/lb cos (8k

-

in) + t/lc cos (8k + in)]

-kq[t/I. sin 8 k + t/lb sin (8k -ln) + t/lc sin (8k + ln)] ko(t/I. + t/lb + t/lc)

Dosazením za

t/la' t/lb' t/lc ze vztahu (20.12) dostaneme po úpravách

+ tkdM[iA cos (.9k - .9) + i Bcos (.9k - .9 - !1t) + + ie cos (.9k - .9 + !1t)] Ldiq - %kqM[iA sin (.9k - .9) + i B sin (.9k - .9 - !1t) + + ie sin (.9k - .9 + !1t)]

t/ld

= Ldid

(21.7)

t/lq

=

(21.8)

(21.9) kde

Ld = Ls

+

(21.10)

Ms

(21.11) Periodické koeficienty v rovnicích (21.7) a (21.8) odstraníme lineární trans· formací rotorových veličin, kterou budeme definovat pomocí stejných trans· formačních činitelů kd = k D , kq = k Q, ko = ko ve tvaru XD =

xQ =

Xo

=

+ XB cos (.9k - .9 - !1t) + + Xc cos (.9k - .9 + !1t)] -kq[XA sin (.9k - .9) + X B sin (.9k - .9 - 11t) + + Xc sin (.9k - .9 + !1t)] kO[XA + XB + xc] kd[X A cos

(.9k

-

.9)

(21.12)

(21.13)

(21.14)

•

Tato lineární transformace rotorových veličin se liší od lineární transformace statorových veličin (21.2) jen tím, že místo úhlu .9k je zde úhel .9k - .9. Stejnou změnou bychom dostali z rovnice (21.3) rovnice pro zpětnou trans· formaci rotorových veličin. Rovnice pro spřažené magnetické toky (21.7) až (21.9) se po trans· formaci rotorových veličin zjednoduší na tvar

kde

+ LdDi D Ldiq + LdDiQ

t/ld t/lq

= Ldid

(21.15)

=

(21.16)

t/lo

= Loio

(21.17)

•

L dD = LqQ = tM. Lineární transformací statorových a rotorových

(21.18) veličin

odvodíme

[97]

transformované rovnice pro

(21.19)

"'D

(21.20)

"'Q =

(21.21)

"'o = Loio

= LoiD

LoiQ

(21.22) kde L D = Lr

spřažené

magnetické toky rotoru ve tvaru

+ Lodid + LDdiq

+ Mr

(21.23)

Lo

=

Lr - 2Mr

(21.24)

Lod

=

LQq

=

tM

Napěťové

rovnice transformujeme stejným postupem jako v kap. 18 (viz rovnice (18.14) až (18.19» a dostaneme

(21.25) (21.16) = R i

+ d'dt" o

(21.27)

Uo

(21.28)

U D = RriD - (COk -

(21.29)

U Q = RriQ

(21.30)

. = R rlO

Uo

s o

co) "'Q + d"'D dt

+ (COk - co) "'D + d"'Q dt

+

d"'o ~ dt

V tomto odstavci jsme odvodili šest transformovaných veličin napě ťových rovnic (21.25) až (21.30) a šest transformovaných rovnic pro spřažené magnetické toky (21.15) až (21.17) a (21.19) až (21.21). V těchto dvanácti rovnicích je při šesti zadaných svorkových napětích a zvolené rychlosti COk celkem třináct neznámých proměnných, a· to šest proudů, šest spřažených magnetických toků a úhlová rychlost. Tato soustava rovnic je úplná jen při zadané (např. konstantní) rychlosti co. V obecném případě proměnné rychlosti

[98]

•

se musí tato soustava rovnic doplnit ještě pohybovou rovnicí (15.1) a rovnicí moment stroje, která bude odvozena v následující kapitole. pro vnitřní , Uhel 8 k a odpovídající rychlost rok souřadných os statorových veličin d, q můžeme v předchozích rovnicích volit libovolně. V tab. 2 jsou kromě obecné volby 8 k uvažovány čtyři zvláštní případy volby tohoto úhlu, a to úhel daný mechanickým otáčením rotoru, úhel 8. daný otáčením točivého magnetického pole, úhel 8 k = O (stojící souřadné osy d, q statorových veličin) a úhel8 r = 8. - 8, daný rozdílem ryc,htostí 'otáčení točivého magnetického pole a rotoru, tedy skluzovou rychlostí otáčení. Touto volbou úhlu v transformačních rovnicích statorových veličin je dán jednoznačně úhel pro transformaci rotorových veličin podle rovnic (21.7) a (21.8) nebo (21.12) a (21.13). Uvedené speciální volby úhlu 8 k mají různé výhody, kterých si všimneme při použití teorie obecného stroje. Při volbě 8 k = 8, která odpovídá rychlosti souřadných os statorových veličin d, q rovné rychlosti rotoru, budou mít napěťové rovnice asynchronního stroje (21.25) až (21.30) stejný tvar jako rovnice obecného stroje (14.1), (14.17), (14.18) a synchronního stroje (18.17) až (18.22), protože při této volbě budou nulová rotační napětí v transformovaných napěťových rovnicích pro rotorová vinutí D, Q. Ve srovnání s rovnicemi obecného stroje jsou zde navíc rovnice pro netočivé veličiny statoru a rotoru a je jiné značení některých vinutí. Ve srovnání s rovnicemi synchronního stroje jsou zde navíc rovnice pro netočivé veličiny rotoru, protože jsme uvažovali trojfázový rotor, naproti tomu zde nejsou napětové rovnice budicího vinutí f a vinutí g. ,

TAB.

2 VOLBY ÚHLU Statorové

V TRANSFORMAČNÍCH ROVNicíCH

veličiny

Rotorové

veličiny

o

Poznámka

transformace

IX,

P pro rotor

transformace

IX,

P pro

8• - 8= 8 r

o 8 r = 8. - 8

-8

stator

8 - 8

•

[99]

22. Výkon a moment asynchronního stroje

V kap. 19 jsme uvedli pro výkon vyjádřený pomocí fázových veličin a, b, c vztah (19.1) a pro výkon vyjádřený pomocí transformovaných veličin d, q, O vztah (19.3). Při volbě transformačních činitelů podle vztahů (l8.l2), (18.13), tj. kd = kq = .Ji a ko = .Jt, jsou v obou soustavách proměnných výkony vyjádřeny bez dalších činitelů a platí tzv. princip invariantnosti výkonů. Obdobné závěry a vztah platí pro výkon ve statorových i rotorových vinutích asynchronního stroje. Pokud se volí pro transformační či nitele jiné hodnoty než podle rovnic (18.12) a (18.13), je nutno pro výkon vyjádřený pomocí transformovaných veličin vyjít ze vztahu v obecném tvaru (19.2). Moment asynchronního stroje odvodíme z energetické bilance obdobně jako u obecného komutátorového stroje. Jak bylo dokázáno, závisí přeměňovaný výkon a jemu odpovídající vnitřní elektromagnetický moment jen na těch členech napěťových rovnic, které představují rotační napětí. Z rovnic asynchronního stroje (21.25) až (21.30) při obecné úhlové rychlosti transformačních os W k je dán vztah pro přeměňovaný výkon součiny rotač ních napětí a příslušných proudů ve tvaru (22.1)

Tento vztah můžeme za uvažovaných předpokladů konstantní vzduchové mezery a stejných vzájemných indukčností zjednodušit, neboť platí • rOVnIce l{Idiq - l{Iqid = - (l{IoiQ - l{IQio)

22.2 (21.15) a (21.16) a za l{Io, l{IQ podle rovnic (21.19), (21.20). Dostaneme

+ LdOioiq - Ldidiq -(LoioiQ + LodidiQ -

Ldidiq

- LdOidiQ =

=

LoioiQ - Lodiqio)

a odtud ~o(iqio - idiQ) = - Lw(idiQ - iqio)

(22.3) čímž je platnost rovnice (22.2) dokázána.

[100]

Použitím vztahu (22.2) v rovnici (22.1) a vztahu (13.2) ro = prom mů žeme moment asynchronního stroje při libovolné rychlosti rok psát ve tvarech mi = mi =

(22.4)

p(l/IDiQ - l/IQiD) P(l/Idiq - l/Iqid)

(22.5)

,

nebo použitím vyjádření (22.3) ve tvarech ,

mi

= - pLdD{idiQ - iqiD)

(22.6)

pLdD(iqiD - idiQ)

(22.7)

mi =

Odvozením vztahů pro moment je soustava rovnic asynchronního stroje úplná a bude v části III použita k řešení některých provozních stavů asynchronního stroje .

•

•

[l011

[III] Užití teorie obecného elektrického stroje V následujících kapitolách je teorie obecného elektrického stroje použito k řešení některých provozních a poruchových stavů elektrických strojů. Cílem je ukázat použitelnost rovnic obecného stroje pro různé druhy elektrických strojů pracujících za různých podmínek (v ustálených i v přechod ných stavech). Odvození některých základních vlastností a rovnic strojů známých z klasické teorie elektrických strojů umožňuje srovnání výhod a nevýhod obou metod analýzy a určení jejich použitelnosti. S ohledem na omezený rozsah této publikace byly vybrány jen nejjednodušší aplikace. 23.

Stejnosměrné

stroje

a) Základní rovnice stejnosměrného stroje s cizím buzením. Nejdříve odvodíme z rovnic obecného stroje známé základní rovnice stroje s cizím buzením (obr. 37). Z rovnic obecného stroje v kap. 14 a kap. 15 plynou bezprostředně základní rovnice stroje s cizím buzením ve tvaru (14.1)

•

(14.18)

uq

_ R''q

-

+

dt/lq. + OJ'I'dr ." dt

(14.4)

t/lq = Lqiq + . (14.19)

"'dr = Gdrir

[102]

+

LqQiQ

GdoiO

m· = J I

dWm

dt

+ mm

(15.1) (15.2)

Vinutí f u stejnosměrných strojů používáme nejčastěji jako cizí nebo paralelní buzenÍ. Vinutí D vose d je možno použít jako sériové vinutí; při spojení nakrátko představuje přibližně vliv tlumicích obvodů (masívní železo části hlavního magnetického obvodu). Vinutí Q můžeme u normálních strojů použít jako vinutí pomocných pólů nebo kompenzační vinutí. podle rovnice (14.16), dostaneme pro rotační inDosadíme-li za dukované napětí [poslední člen na pravé straně rovnice (14.18)]

"'dr

(23.1) a pro

vnitřní

mj

elektromagnetický moment

p N ",.

=-

a

•

'Pdlq

k"'. = 'Pdlq

(23.2)

1t

což jsou vztahy známé z teorie stejnosměrného stroje. Na rozdíl od klasické teorie jsou zde tyto vztahy odvozeny pro okamžité hodnoty. Základní rovnice stroje s cizím buzením můžeme upravit vyloučením spřažených magnetických toků (io = i Q = O) Obr. 37.

Stejnosměrný

stroj

D

f

[103]

. = R r'r

T .

+~

dir dt

(23.3)

Ur

(23.4)

R' uq Iq

(23.5)

.... . J dco m k 'l'd' = _. q dt

+

Lq diq dt

+ U ir

+

m

m

a pro ustálený stav na tvar (23.6)

U r = Rrlr

(23.7)

U q = Rlq +'Uir

(23.8)

M·I

= kťPdIq

Pro chod stroje pracujícího jako dynamo by proud iq , resp. jeho znaménko bylo záporné a rovnice (23.4) a (23.7) by měly tvar (23.9) (23.10) Pomocí těchto základních rovnic, které jsou obdobné jako v běžné teorii elektrických strojů, je možno odvodit různé provozní charakteristiky a vlastnosti stejnosměrného motoru nebo dynama s cizím buzením. b) Vliv tlumicích obvodů na regulaci napětí dynama s cizím buzením. Rešme jednoduchý příklad, a to vliv masívních částí hlavníhó magnetického obvodu (např. masívního jha statoru, případně pólů) na rychlost odezvy při regulaci napětí dynama s cizím buzením. Pro jednoduchost předpokládejme lineární magnetický obvod a zanedbejme vliv komutujících cívek. Dále předpokládejme, že vliv tlumicích obvodů masívních částí můžeme přibližně nahradit vlivem vinutí (např. D vose d, viz obr. 37), které je spojeno nakrátko (u o = O). Dále zanedbejme vliv remanentního magnetismu. . , Vlohu budeme řešit za těchto počátečních podmínek: ~

(23.11)

pro

t < O

(23.12)

pro

t

pro

(23.13)

[104]

~

-

O

t ~ O

Ur Ur •

= ir = io = O = U r = konst

Iq

=0

COm

= konst

To znamená, že budeme řešit nabuzování dynama s cizím buzením naprázdno při konstantní rychlosti, když v čase t = O přivedeme na budicí vinutí konstantní napětí Uf. Rešme nyní odezvu na tento skokový vstup, tj. časový průběh ~

(23.14) základě počátečních

podmínek se soustava rovnic stroje na obr. 37 po úpravě zjednoduší takto (pro Gfd = L fd , G Dd = Lod): Na

Uq

= w(Lfdif

+ LodiD)

. Uf = Uf = Rf/ f

+

(23.15)

. dl/lf = Rf/ f dt

+

dif Lf dt

+

. . dl/lD di D UD = O = RD' D + = RD/ D + Lo dt dt

di D Lm ----=dt

+

dir Lm ---= dt

Zobrazením této soustavy rovnic pomocí Laplaceovy transformace dosta, v neme po uprave

O = wL fd if(p)

+ WLnd iD(p)

Uf = (Rr p

+

O = (RD

+ pLn) iD(p) + pLm ir(p)

pLr) ir(p)

(23.16)

- uq(p)

+ pLm iD(p)

Řešením této soustavy rovnic dostaneme pro uq(p):

(23.17) (23.18)

kde _ L fd 1:fd -

Rr

_ Lr

1:r -

Rr

Jmenovatel racionální funkce lomené (23.17) má kromě nulového kořenu

[105]

dva

kořeny

(23.19)

Pll

•

_ 1f + To + = 2CTfD1fTo -

1f

+ To 1 -

o kterých lze dokázat, že jsou vždy reálné, vždy platí 1

neboť

1

pro

členy

pod odmocninou

1

>---

(23.20) Jelikož (23.21) (23.22) pak

1

1f

~

1 .

To

takže rovnice (23.19) se zjednoduší 1

(23.23)

1

-

1 ----.-

S ohledem na (23.21) platí (23.24)

Jelikož absolutní hodnota druhého člen, platí dále

členu

je jen o málo menší než první

(23.26) Z charakteru polynomu jmenovatele je zřejmé, že časový průběh napětí uq(t) bude mít kromě stejnosměrné složky dvě exponenciální složky, které zanikají s časovými konstantami Tl' Tl' Podle Heavisideova expanzního teorému lze psát přímo (23.27)

[106]

A kde

P(O) R(O)

(23.28)

B =

P(PI) . = WUC['Ifd + PI('IfdTD - 'IfOTdO)] Pl R'(Pl) Pl .J[('If + TO)2 - 4uro'IfTo]

(23.29)

=

P(P2). = WUC['Ifd + P2('Ifd TO - 'IfOTdO)] P2 R'(P2) - P2 .J[('If + TO)2 - 4uro'IfTo]

(23.30)

C

=

S ohledem na velikost obvyklých dokázat, že B < O·,

parametrů stejnosměrného

stroje se dá

c>O

(23.31)

Pro kontrolu proveďme limitní vztahy (23.17): lim P uq(p)

= lim uq(t) = O

(23.32)

t~O

p-+ 00

c lim uq(t) ::;: U wLCd t ... ", Rc

lim P uq(p) = P"'O

=

I cwLCd

(23.33)

Rovnici (23.27) odpovídá pak průběh podle obr. 38. Z obr. 38 je zřejmé, že masívní části magnetického obvodu statoru (tj. tlumicí obvody) zpomalují nárůst napětí "q. Je to známý účinek, který se odstraní lištěním magnetického obvodu statoru. Průběh napětí

Obr. 38.

dynama

při

nabuzenI

A

. ... -. ..... ,.~-_ ~

/ I

,....'\

_.í.. -Be ITtl

/

[107]

.

c) Základní rovnice a vlastnosti metadynu. Metadyn je stroj, který nemá na válcovém statoru budicí vinutí a který má na kotvě dvě sady kartáčů, vzájemně natočené o 90° elektrických. Jedna ze sad kartáčů je napájena, druhá je připojena na zatížení, představované v daném případě zatěžovaCÍm odporem Rz (obr. 39). Základní rovnice metadynu dostaneme jako zvláštní případ rovnic obecného stroje (14.18) .

uq =

. R

+

Iq

d1/lq dt

· R zld

(14.17)

Ud

= -

(14.4)

1/Id

= Ldid

1/Iq

=

(14.19)

1/Idr

= Gdid

(14.20)

1/Iqr

=

=

+

R. 'd

,I, W'I' dr

.

d1/l d + dt

,I, W'I'qr

Lqiq

Gqi q

Z těchto rovnic je možno řešit přechodné stavy metadynu při konstantní rychlosti. Pro ustálený chod při napájení stejnosměrným napětím U q = Uq mů žeme rovnice metadynu psát ve tvaru

+ wGdld

(23.34)

Uq = RIq

(23.35)

O = -wGqIq Z

těchto

dvou rovnic

I =

(23.36)

q

tl -

určíme

proudy metadynu

Uq(R + Rz) 2 2 R + RzR + W Gd Gq

I _

(23.37)

+ (R + Rz) Id

R

2

+

UqwG q 2 RzR + w GdGq

Odtud plyne, že

I =. q R

(23.38)

Uq

+

W

R

2

Gd Gq

+ Rz

a že tedy napájecí proud bude nejmenší pro Rz =

[l08]

o.

Protože R + RzR ~ W Gd Gq , bude podle rovnice (23.37) proud Id napájející zatížení Rz při konstantním napětí Uq prakticky konstantní. Vnitřní elektromagnetický moment metadynu plyne z rovnice (15.3) 2

2

(23.39) . a je nulový, protože při konstantní vzduchové mezeře metadynu Gd = Gq • Z , tohoto rozboru plyne, že metadyn pracuje při napájení stejnosměrným napětím jako měnič stejnosměrné energie se stálým napětím na stejnosměr. nou energii se stálým proudem. Přitom jeho vnitřní moment je nulový a po· háněcí stroj kryje pouze ztráty při chodu naprázdno. d) Rozběh motoru s cizím buzením. Rozběh motoru s cizím buzením při konstantním budicím proudu .i f a při konstantní veličině l/Jdr můžeme řešit pomocí rovnic (23.4) a (23.5) (23.40) (23.41) do kterých jsme dosadili za rotační indukované napětí a vnitřní moment podle vztahů (23.1) a (23.2). Za předpokladu, že napájecí napětí je konstantní (U q = Uq) a že zatě· žovací moment mzje znám, jsou v uvedených rovnicích (23.40) a (23.41) dvě neznámé proměnné, a to proud kotvy iq a mechanická úhlová rychlost ·Wm. Obr. 39. Schéma metadynu

•

'"

[109]

Pro jednoduchost budeme předpokládat. že zatěžovacÍ moment (včetně momentu mechanických ztrát) je nulový (m z = O) a že počáteční podmínky jsou nulové

(23.42)

iq(O) = O

(23.43)

wm(O)

O

=

Pak z (23.41) plyne pro

(23.44)

Wm

d t t

d kcP =

t. ( ) Iq

J

o

Po dosazení do (23.40) dostaneme diq Lq dt

(23.45)

+

R'

Iq

(kcPdY

+

J

t. Iq

o

d - U t q

Tato rovnice je analogická rovnici obvodu připojeného na konstantní napětí U q' který má sériově zapojenou indukčnost Lq. odpor R a kapacitu

(23.46) Podobně

dostaneme rovnici pro mechanickou úhlovou rychlost dosazenim za iq z rovnice (23.41) J . dW m

.

(23.47)

I

=--~

kcPd dt

q

do rovnice (23.40) a dostaneme 2

d wJ1\

-----::.: +

(23.48)

dt

R dWm Lq dt

.+

(kcP d)2 JLq

_ UqkcPd - W Itl - ---"----= LqJ

Také tato rovnice je analogická rovnici obvodu sériově zapojeného R. Lq. CM. připojeného tentokrát na napětí lineárně narůstající s časem

(23.49) Kapacita CM. daná rovni~í (23.46). je dána momentem setrvačnosti a magnetickým tokem cPd motoru s cizím buzením a nazývá se někdy kapa-

[110]

citou elektrodynamického kondenzátoru (nebo elektromechanickou kapacitou). Z rovnic (23.47) a (23.42) plyne další nutná počáteční podmínka dWm = O dt

pro

t = O

(23.50)

a z rovnic (23.45), (23.42) pak di q

Uq

_

-

dt

pro

Lq

t

=O

(23.51)

Řešení rovnice (23.45) pro iq a rovnic (23.48) pro wm je známé řešení

diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Charakteristická rovnice je v obou případech stejná a má tvar p2

+

Rp

+

1 = O LqCM

Lq

(23.52)

. Její kořeny dané vztahem

R = - 2L

Pl,2

1+ -

(23.53)

q

mohou být obecně reálné různé, reálné stejné a Zavedeme elektrickou časovou konstantu

komplexně

sdružené.

T = Lq R

(23.54)

a elektromechanickou

Tm

=

časovou

konstantu

-

Rl

RCM

(23.55)

= (ktP )2 d

Potom rovnici (23.53) můžeme psát ve tvaru Pl,2

V praxi u

1 = - 2T 1 ±

většiny stejnosměrných strojů

(23.56) bývá

4T
(23.57)

[111]

a pro

kořeny můžeme přibližně

psát

1

(23.58)

Pl.2 = - 2T 1±

a odtud (23.59)

Pl

1

~-

T

(23.60) Při

daných počátečních podmínkách a při reálných různých kořenech charakteristické rovnice je řešení diferenciálních rovnic pro proud

lit)

(23.61)

(e Plt

U

q

=

eP2t )

_

Lq(pt - P2) nebo pro vztah (23.57) přibližně (23.62) a pro mechanickou úhlovou rychlost Wm(t) = Wo 1 +

(23.63) kde

q

Wo = U ktPd

P2 ePlt Pl - P2

_

---,P:....;l,-- eP2t Pl - P2

je ustálená úhlová rychlost naprázdno, •

nebo pro vztah (23.57) přibližně

(t) ~

W

(23.64)

m

W

o

1_

Tm

T.-T m

e- tlTm +

Vypočítaný průběh proudu

T e- t / T T.-T m

žit) a rychlosti wm(t) při rozběhu motoru

s cizím buzením je znázorněn na obr. 40. Z rovnic (23.62) a (23.64) současně plyne, že při přibližném řešení za podmínky (23.57) lze přechodný děj při rozběhu rozložit na přechodný děj elektrický (elektromagnetický), charakterizovaný elektrickou časovou konstantou T a na děj elektromechanícký, charakterizovaný elektromechanickou časovou konstantou Tm •

[112]

.

24. Jednofázové komutátorové stroje ,

a) Sériový (univerzální) motor. Tento příklad ukáže možnost použití teorie obecného stroje nejen při stejnosměrném, ale i při střídavém napájecím napětí sériového motoru. Základní rovnice sériového motoru plynou z rovnic obecného stroje , a z jeho schématu na obr. 41. uq =

. R

Iq

+

dt/lq dt

+

dt/lr ----'-.:. dt

. U r = R r'r

t/I dr

./.

+ OJ'I' dr

(24.1) (24.2) (24.3) (24.4) (24.5) (24.6) (24.7)

= Gdri r

t/lq = Lqiq t/lr

=

Lrir

u

=

Uq

'r •

=

•

Iq

+ Uf =

•

I

Z těchto rovnic dostaneme jednoduchou úpravou základní rovnici sériového motoru platnou pro okamžité hodnoty U

Obr. 40.

=

(R

+ Rf) i + (Lq + 4) di + POJmGdfi

(24.8)

dt

Průběh

proudu a rychlosti motoru s cizím buzerum při

Obr. 41. Schéma sériového motoru rozběhu •

....•

ff{

I

t [113]

pro ustálený stav při stejnosměrném napájecím napětí u = U

Základní rovnici sériového motoru při napájení střídavým napětím dostaneme z rovnice (24.8) pro okamžité hodnoty, nahradíme-li okamžité hodnoty proudů a napětí příslušnými fázory

kde

co. = 2rcfs je úhlový kmitočet napájecího Rc = R + Rf celkový činný odpor stroje, Lc = Lq + Lf celková indukčnost stroje.

napětí,

Z rovnice (24.10) bezprostředně plyne proud 1 ve tvaru

(24.11) Z této rovnice je možné odvodit kružnicový diagram sériového motoru, efektivní hodnotu proudu U

(24.12) účiník

motoru

(24.13) Moment sériového motoru určíme podle vztahů (15.3), (15.4), který se v tomto případě zjednoduší na tvar (id = O) •

(24.14) Tento vztah platí pro okamžitý moment nebo pro moment

při

napájení

stejnosměrným napětím. Střední

moment při napájení střídavým napětím se určí z energetické bilance stroje. Rovnici (24.10) násobíme komplexně sdruženým proudem 1* a dostaneme

(24.15)

[114]

kde

Re [Ul*] = Ul cos q> je elektrický příkon motoru,

RIP

ztráty ve vinutí motoru.

poslední člen představuje vnitřní přeměňovaný výkon, pro který m"O.žeme psát Pj = Mjwm = Re [pwmGdclI*] = pwmGdcI

Odtud plyne pro

střední

2

(24.16)

moment sériového motoru

. Mj = p Re [Gdcll*] = pGdfP

(24.17)

Střední

moment stroje při napájení střídavým napětím se tedy určuje obdobně jako činný výkon. Z rovnice (24.17) plyne známý výsledek, že střední vnitřní moment sériového motoru při napájení stejnosměrným proudem nebo stejným efektivním střídavým proudem je stejný. b) Repulsní motor. Základní rovnice repulsního motoru, které jsou výchozím podkladem pro jeho analýzu, plynou také z rovnic obecného elektrického stroje. Repulsní motor, jehož schéma je na obr. 42, má na statoru budicí vinutí f a rotorová komutátorová kotva je spojena nakrátko přes kartáče v obecné poloze IX. Napěťová rovnice rotorového vinutí spojeného nakrátko, jímž prochází proud ir> bude mít tvar

O = R rlr·

+

Lr di r dt

(24 •18)

+ Ul

Obr. 42. Schéma repulsnfho motoru

'

•

f

[1151

,

.•

0 '0

'"

kde

. '

Rr(Lr) je činný odpor (indukčnost rotoru).

Poslední člen představuje napětí indukované v rotoru magnetickým polem statoru. Vztah pro toto napětí plyne z (1.17) při uvažování buzení jen vose d (t/I q = O). Pro jednoduchost budeme zde uvažovat jen první harmonickou magnetické indukce (v = 1). Tak dostaneme pro polohu kartáčů IX

(24.19)

Uj

=

N kr 2a

prom IPdm(t) sin IX +

-

o IPdm(t) cos IX

ot

Použitím vztahu (1.25) můžeme tento vztah psát

(24.20) Dosazením do (24.18) dostaneme napěťovou rovnici rotoru ve tvaru .

. O = R r'r

(24.21)

+

Napěťová

L dir ./,' r - prom'/' d SIn IX

dt

·

+

dt/ld

dt

cos IX

rovnice budicího vinutí f na statoru je ..

(24.22)

Uc =

Pro

.

R cIc

dt/lc

+~ dt

spřažené

(24.23)

t/ld = Ldcic

(24.24)

t/Ic

magnetické toky

můžeme

psát vztahy

= Lffic + L df cos IX • i r indukčnost

vinutí statoru a rotoru L df je definována pro polohu kartáčů IX = O, proto tok v rovnici (24.24) vytvořený proudem id ve vinutí f musí být při sinusovém průběhu magnetické indukce násoben cos IX. . Vyloučením spřažených magnetických toků v napěťových rovnicích dostaneme Vzájemná

(24.25)

Uf

(24.26)

. = R flc

+

L díc

O = LdC cos IX

[116]

f

dt díf

dt

+ -

L

df

dir

cos IX ---"

dt

L .' prom df'e SIn IX

+

R . r'r

+

L dir r ---" dt

Tyto rovnice platí pro okamžité hodnoty a mohou se použít k řešení pře chodných dějů repulsního motoru. Napěťové rovnice pro střídavé sinusové napájecí napětí dostaneme z rovnic (24.25) a (24.26), nahradíme-li proudy a napětí příslušnými fázory

+ jOOsLf) If + jOOsLdflr cos IX

Uf = (Rc

. O = (jOOsLdf cos a - Poo~Ldf sin a) Ic Z

těchto

rovnic

můžeme vypočítat

(24.27)

+ (Rr + jOOsLr) Ir

(24.28)

proudy obou vinutí repulsního motoru

.

I = r (Rc

a + PoomLdf sin a) Uc 2 + jOOsLc) (Rr + jOOsLr) + 00; ~c cos a + jPOOmOOsL~c sin a cos IX ( -jOOsLdf cos

(24.30)

.

•

Z těchto rovnic je možno určit velikosti proudů, účiník, případně mechanickou rychlost motoru. Moment repulsního motoru vyplývá z energetické bilance nebo přímo z členu odpovídajícího rotačnímu napětí v rovnici (24.26), násobeného příslušným proudem. Okamžitou hodnotu momentu dostaneme z vnitřního výkonu (24.31) ve tvaru

Střední

moment při napájení střídavým proudem jako u sériového motoru [viz rovnici (24.17)]

určíme podobně

Mi = - pLdC Re (lcl; sin IX]

(24.33)

Po dosazení proudů podle (24.29) a (24.30) dostaneme

(24.34)

Mi = -pLdf •

[117]

Tento vztah můžeme zjednodušit na odporll Rr' Rf

přibližný

výraz

při

zanedbání

činných

(24.35) Maximální moment ani podle tohoto vztahu nenastává při poloze kartáčů ex = 45°, jak se někdy uvádí v literatuře, ale při úhlu ex > 45°. Vztah pro maximální moment při ex = 45° bychom dostali z (24.35) při zanedbání vlivu rotorového toku na statorové vinutí, tedy při zanedbání členll se vzájemnou indukčností statoru a rotoru Ldf ve jmenovateli. -•

25. Základní vlastnosti

lineárně

transformovaných

veličin

V předchozí části bylo k odvození základních rovnic synchronního a asynchronního stroje použito lineární transformace jejich proměnných. Proto dříve, než se budeme zabývat použitím teorie těchto strojů, použijeme lineární transformace d, q, O na některé zvláštní, často se vyskytující veličiny vinutí a, b, c. Tím se dosáhne lepšího fyzikálního pochopení podstaty transformovaných veličin a současně se odvodí některé základní vlastnosti a vztahy pro transformované veličiny, které budeme používat v následujících kapitolách. Uvažujeme nejdříve souměrné střídavé veličiny, např. napětí (25.1)

+
Ua

= -Um sin (mst

Ub

=

Uc

=

kde m.

= 21tfs je úhlový kmitočet. Pro tato napětí odvodíme transformované

veličiny d, q, O podle transformačních vztahll (18.1) až (18.3) s obecným

úhlem 81< = ml
+ 81<0

=

21tfl< + 81<0' kde ik je

+
-

Ud

= -Umkd[sin (mst

(25.2)

Ud

=

(118)

kmitočet otáčení souřadné

uq = uq = Uo =

+
(25.3) (25.4)

vztahfi vyplývá, že při souměrných sinusově proměnných veličinách mají jejich lineárně transformované veličiny d, q, Otyto vlastnosti: a) Netočivé veličiny (s indexem O) jsou nulové. b) Veličiny d, q jsou střídavé veličiny o kmitočtu, který je dán rozdílem kmitočtu střídavých veličin f. a kmitočtu otáčení souřadné soustavy fk' c) Amplituda veličin d, q, je dána amplitudou sinusových souměr ných veličin násobenou činitelem ikd nebo ikq. Tento činitel by bylo možno odstranit volbou transformačních činitelů kd = kq = 1 podle Parka [1J. Potom by amplitudy střídavých a transformovaných veličin byly stejné. Tato volba transformačních činitelů má však některé nevýhody (neplatí princip invariance výkonů a vzájemné indukčnosti odpovídajících si vinutí nejsou po lineární transformaci stejné), které byly vysvětleny v kap. 18 a 19. d) Úhel charakterizující transformované veličiny d, q je dán rozdílem úhlu střídavých veličin wst +

Ud

těchto

=

Re

u q = Re

kde

[.J(2) UdeJ(W.-Wkl'] [.J(2) UqeJ(W.-Wk)']

•

=

Re

[j ikdUmeJ[(W.-Wk)t+(q>-SkO)]]

(25.5)

=

Re

[i k qU mej[(w.-coklt+(q>-SkOll]

(25.6)

Ud , Uq jsou efektivní fázory.

Pro ka = kq odtud plynou jednoduché vztahy (25.7)

Ud = jUq

a z (25.2), (25.3) Ud

+ jU q =

j ikdU DleJ[(CO.-Wk)t+(q>-SkO)]

(25.8)

[119]

kde pro fázor uvažovaného

u =.

(25.10)

Um

střídavého napětí

platí

ej(q>-3 kO)

] .j(2)

(25,11) nebo U

=

2 Ud 3kd

=j

2 Uq 3kd

Rovnice (25.7), (25.9) a (25.11) platí pro souměrné střídavé veličiny vždy bez ohledu na volbu znaménka a sinusové nebo kosinusové funkce v rovnicích (25.1 ). Na této volbě závisí jen rovnice (25.8) a tvar fázoru podle rovnice (25.10). Dále jsou přehledně uvedeny tvary fázorů U při různé volbě souměrných střídavých veličin, reprezentovaných zde napětím fáze a: (25.12)

pro

Ua

=

(25.13)

U=

(25.14)

U=•

g) Pro zvláštní případ úhlové rychlosti souřadných os rovné úhlovému kmitočtu střídavých veličin

(25.15) jsou transformované veličiny d, q veličinami konstantními (stejnosměrnými) a platí pro ně vztahy (25.16)

Ud

= Um

lkd sin (8 kO

(25.17)

u q = Um

lkd cos (8 kO

-

Úhel transformovaných veličin je dán rozdílem počátečního úhlu souřad-

[120]

ných os a uvažované střídavé veličiny. Jak ukážeme dále u synchronního stroje, může tento úhel mít důležitý fyzikální význam. Pro střídavé veličiny, které mají opačný sled fází než veličiny v transformačních rovnicích Ua

U b = Uc

Um sin (cot

= -

+ cp)

(25.18)

+ cp + in) UDI sin (cot + cp - in)

Um sin (cot

-

= -

budou transformované

veličiny

dány vztahy

(25.19)

uq =

+ cos)t + (.9 kO + cp)] -.Um 1-kq cos [(COk + cos) t + (.9kO + cp)]

Uo =

O

(25.21)

Ud

-Um~kdsin[(cok

=

(25.20)

stejné úhlové rychlosti souřadných os COk a úhlového kmitočtu COs budou nyní veličiny d, q střídavé s kmitočtem rovným dvojnásobku kmitočtu střídavých veličin. Kmitočet transformovaných veličin je tedy dán relativní rychlostí souřadných os a točivého pole vytvořeného uvažovanými souměrnými střídavými veličinami. Uvažujeme konečně zvláštní případ střídavých veličin, které mají v každém okamžiku ve všech fázích stejnou hodnotu Pro zvláštní

Ua =

případ

+ cp) Um sin (cot + cp) Um sin (cot + cp)

(25.22)

-Um sin (cot

Ub

= -

Uc

= -

Transformované

veličiny

budou v tomto

případě

dány vztahy

Ud

=

O

(25.23)

Uq

= O

(25.24) (25.25)

Uvažované střídavé veličiny a, b, c tvoří netočivou soustavu, a proto z transformovaných veličin je nenulová jen netočivá veličina (s indexem nula).

[121]

26. Synchronní stroje •

a) Základní rovnice synchronního stroje v ustáleném sta vu. Z obecných rovnic synchronního stroje, uvedených v předchozí části, odvodíme nejdříve základní rovnice synchronruno stroje s vyniklými póly v ustáleném stavu. Přitom budeme předpokládat, že riapětí budicího vinutí f je konstantní

Ur = U r = konst

(26.1)

a statorová fázová napětí, proudy a magnetické toky jsou souměrné střída vé veličiny dané např. pro napětí vztahy (25.1). Vzhledem k tomu, že u synchronního stroje v ustáleném stavu je úhlová rychlost souřadných os d, q rovna úhlovému kmitočtu střídavých veličin, platí vztah (25.15) a všechny transformované veličiny (napětí, proudy a magnetické toky) jsou konstantní. Potom se rovnice synchronního stroje (18.17) až (18.22), (18.39) až (18.44) zjednoduší na tvar (26.2)

Ud = Rid - rot/! q

(26.3)

uq = Riq

(26.4)

Uf = Ur = RrIr

(26.5)

t/!d = L.Jid

(26.6)

t/!q = Lqiq

(26.7)

t/!r = Lcdid

+ rot/!d + Ldri ( + Lfi(

V těchto rovnicích není uvažováno tlumicí vinutí, které chod stroje v ustáleném souměrném stavu neovlivňuje. Vzájemné indukčnosti Ldr , LCd jsou stejné, protože pro transformační činitele jsme zvolili zvláštní hodnoty podle rovnice (18.35)

kd = kq =

(26.8)

Pro obecné na tvar

Ji

transformační činitele

by se

dvě

z uvedenýcp rovnic •

změnily •

(26.9) (26.10)

[122]

Z uvedených rovnic plyne, že řešení synchronru'ho stroje v ustáleném stavu při synchronní rychlosti se převádí na řešení stejnosměrného problému v transformovaných veličinách d, q. D~saďme (26.6) a (26.9) do (26.2) a (26.3), čímž dostaneme ustálené (a stejnosměrné) hodnoty pro napětí a proudy (26.11)

Ud = Rid - Xqiq

uq = Riq

+ Xdid + !kdXarir

(26.12)

Parkovu transformaci z trojfázového systému a, b, c do systému d, q, O jsme v kap. 18 geometricky interpretovali jako průmět fázoru r, otáčejícího se v souřadném systému a, b, c synchronní rychlostí ros do pravoúhlého souřadného systému d, q (viz obr. 43), který se otáčí rovněž se synchronní rychlostí ros. Přitom jsme obecně volili v systému d, q jiné měřítko, to znamená, že jsme veličiny zobrazené vose d násobili reálnou konstantou kd a vose q reálnou konstantou kq [viz rovnice (18.1) a (18.2)]. Při zpětné transformaci [viz rovnice (18.6) až (18.8)] dostaneme převodní konstantu pro osu d 1- . l/kd' pro osu q 1- • l/kq, případně 1- . l/ko pro netočivou složku. Abychom rovnice (26.11) a (26.12) vyjádřili pomocí fázorů v systému a, b, c, mohli bychom provést zpětnou transformaci s příslušnou úpravou. Volíme však jednodušší způsob. Považujeme kladnou osu d za kladnou reálnou, kladnou osu q za kladnou imaginární osu. Rovnice (26.11) a (26.12) lze přepsat takto (26.13) Obr. 43. Souvislost

veličin

d, q s fázovými

veličinami

a, b,

C

osad(+)

lil __

I'd

I I

':- - - - .....Va I I

I I

[123]

•

jUq = jRlq + jXdld +

(26.14)

J Xaflfm

.J2

kde při volbě kd = kq je (26.15)

Jestliže z obr. 43

přímo

plyne, že

(26.16) pak lze mipř. pro fázor napětí Ua a proudu la ve fázi a podle rovnice (25.9) psát •

ua = U d + J'Uq = U aé

(26.17)

pu

(26.18) kde CPu je fázový posuv fázoru Ua vůči kladné reálné ose (ose +d, viz obr. 43). Sečtením rovnic (26.13) a (26.14) potom dostaneme

(26.19)

Ua = RIa + jXdld + jXqIq + Ui(

(26.20) kde

Id

=

Id

•

J

Definujeme-li zátěžný úhel (j jako úhel mezi fázorem Uif a Ua, pak při motorickém chodu fázor Ua předbíhá fázor Uir o úhel (j, při generátorickém chodu je o (j opožděn, přičemž je možné tento úhel orientovat buď od fázoru Uir

[1241

k fázoru Ua' nebo opačně, což souvisí s koncepcí volby kladných v elektrických, magnetických i mechanických obvodech. Pro velikost [) pak z rovnice (26.17) a (26.20) plyne

smyslů

(26.21) Pro stabilní chod musí být [) v mezích •

(26.22)

Volíme-li úhel [) orientovaný, pak pro generátorický a motorický chod vycházejí opačná znaménka úhlu [). Např. pro spotřebitelskou koncepci je podle (26.19) fázorový diagram podbuzeného motoru na obr. 44 a pro přebuzený generátor na obr. 45. Moment synchronního stroje s vyjádřenými póly určíme při zanedbání odporu statoru (R ~ X d , X q ). Do obecného vztahu (19.6) dosadíme z (26.2), (26.3) (26.23) •

,I,

_

'Yd -

Uq

(26.24)

m

Obr. 44. Fázorový diagram podbuzeného motoru Obr. 45. Fázorový diagram přebuzeného alternátoru Uif

(XrX'I)Id XqIa

/'

Ia

(,J. ,

~o)---

•

--<0)-fáze a

llf

[125]

a pro

vnitřní

Mi =

(26.25)

elektromagnetický-moment dostaneme

1 (.

Uql q

Wm

+

.)2 1 Ud'd - - 3 kdkq

Výraz v závorce představuje okamžitý elektrický výkon a při zanedbání ztrát ve vinutí statoru i okamžitý vnitřní výkon. Za transformované veličiny d, q zavedeme fázové veličiny statoru. Podle vztaM (25.16), (25.17) a (26.21) platí (26.26)

Ud

= -lkdU m sin () = -

3

.j2

kdU

sin ()

u q--

kde

U je efektivní fázové

napětí.

Z rovnic (26.11), (26.12), (26.20) a (26.26) plynou vztahy pro proudy .

(26.27)

'd =

1

u -

Xd

q

3 k U- f

.j2

q

1

=

3

kq (U cos () - U' f )

.j2 X d

1

-

Po dosazení do vztahu pro moment dostaneme po

úpravě

(26.28) což je známý vztah pro moment synchronního stroje s vyjádřenými póly. Z tohoto výsledku je také zřejmé, že volba transformačních konstant kd , kq nemá vliv na tvar vztahu pro statický moment synchronního stroje s vyjádřenými póly. b) Fázorový diagram a moment synchronního stroje s vyniklými póly při kývání. Některé pomalé přechodné děje, jako je např. kývání synchronního stroje a jeho dynamická stabilita, se mohou řešit přibližně pomocí rovnic pro ustálený stav za předpokladu konstantního magnetického toku budicího vinutí při uvažovaném ději. Tento předpoklad vyplývá z toho, že budicí vinutí je spojeno nakrátko přes kotvu budiče a že

[126]

má relativně velkou časovou konstantu (zanedbatelný činný odpor). Vliv tlumicích vinutí s relativně malou časovou konstantou na přechodný děj se v těchto případech zanedbává. Odvodíme základní rovnice, fázorový diagram a moment synchronního stroje s vyjádřenými póly za předpokladu Vtr = konst a při zanedbáni transformačních napětí.

Z rovnic magnetických toků (26.5), (26.7) vyloučíme proud ir, který je za uvažovaných předpokladů proměnný a určíme budicí tok "'r,který uvažujeme konstantní. Z rovnice (26.5) určíme proud •

(26.29) který dosadíme do vztahu (26.7) pro tok "'r a dostaneme t/lr =

Lrdid + Lr

(26.30)

("'d - Ldid)

LCd

. Tuto rovnici

co

L df

Lc

můžeme

také psát ve tvaru

. ...

t/lf

=

CO"'d -

(26.31)

co

Indukčnost (v závorce)

Ld

-

L~d -_ .LJd "

(26.32)

Lc je přechodná (transientní) indukčnost stroje (při budicím vinutí spojeném nakrátko a při rozpojených tlumicích obvodech to znamená při jejich zanedbání) a člen na levé straně představuje napěti indukované ve statorovém vinutí konstantním magnetickým tokem budicího vinutí t/lr, které také • označujeme jako napětí za přechodnou reaktancí L u'q = co . df

Lr

./, \rf

(26.33)

Rovníci (26.31) můžeme tedy psát ve tvaru

(26.34)

[127]

Za první člen na pravé straně dosadíme z rovnice (26.3) a dostaneme (26.35) Současně platí i rovnice (26.2).

Rovnice (26.35) je obdobná rovnici synchronního stroje v ustáleném stavu (26.3) po dosazení za magnetický tok podle rovnice (26.5) až na to, že napětí mLdfif = u jf zde nahrazuje napětí za přechodnou reaktancí u~ podle (26.33) a podélnou synchronní reaktanci X d zde nahrazuje přechodná reak- . tance X~. Tyto rovnice platí pro souměrný chod za uvedených podmínek a mohli bychom je upravit stejným postupem jako v předchozím odstavci. Dostali bychom základní napěťovou rovnici analogickou rovnici (26.19), ve které napětí U jf je nahrazeno napětím U~ a synchronní reaktance X d pře chodnou reaktancí X~, ve tvaru

"'d

(26.36) K sestrojení fázového diagramu generátoru (obr. 46) upravíme tuto rovnici použitím vztahu (26.18) na tvar

Ua - RIa - jXqIa = j(X~ - Xq) .Id-- + U~

(26.37)

.

'

U synchronních strojů je normálně X q > X~ a první člen na pravé straně je tedy záporný. Tři členy na levé straně rovnice (26.37) sestrojíme pro dané Ua' la' cos cp, X q stejně jako ve fázorovém diagramu pro ustálený stav vobr. 45. Tím zjistíme směr napětí U~ (shodný se směrem napětí U jf), na který je složka Id proudu la kolmá. Vynesením úbytku napětí -j(Xq - X~) Id zpožděného o 1tJ2 proti proudu Id určíme napětí U~. Srovnáním fázorových diagramů na obr. 45 a 46 dostaneme vztah mezi napětím U jf a U~ z rovnice •

Uíf - XdId = U~ - X~ld ,

a odtud U~ = U jf

(26.38)

-

(Xd

-

X~) Id

Moment synchronního stroje s vyjádřenými póly při "'r = konst (při pomalých přechodných dějích, jako je např. kývání) dostaneme při zanedbání činného odporu statoru ze vztahu (26.28) pro moment synchronního stroje v ustáleném stavu (při i r = konst), v kterém se ve smyslu předchozího rozboru nahradí napětí Uif napětím U~ a reaktance X d reaktancí X~. Pro

[128]

elektromagnetický moment pro R = O platí opět vztah (26.25), do kterého dosadíme za Ud, U q , iq stejné vztahy (26.26) a (26.27) jako v předchozím odstavci. Pouze za id dosadíme vztah, který plyne z (26.35) pro R = O a dostaneme (26.39) Podobriě jako v rovnici (26.27) můžeme psát

.

Id

1

3 k

=-

(26.40)

X'd

kde

U' = 1 kd roL l/If q /2 k afm L Y

(26.41)

f

q

Rovnice (26.41) je analogií rovnice (26.20). Po dosazení uvedených vztahů do (26.25) a po úpravě dostaneme

3 UU~ . J;: M·I = - - - " - SInu rom X~

U

+-

2

2

1

1

- - - sin 2[)

Vzhledem k tomu, že X q > X~, je druhý člen v závorce záporný a rovnici můžeme psát ve tvaru UU~ .

2

J;:

--"SInu

X'd

U -2

1

---

Obr. 46. Fázorový diagram synchronního stroje

u'9

1

(26.42) předchoZÍ

sin 2[)

při Ipf =

(26.43)

konst

. RIa

•

(129)

Porovnejme nyní číselně moment synchronního stroje s vyjádřenými póly pro i, = konst a pro l/I, = konst (pro pomalé přechodné děje). Moment vyjádříme v poměrných veličinách vztažených na jmenovitý moment (26.44) je jmenovitý zdánlivý výkon, jmenovité napětí (proud), jmenovitá (synchronní) úhlová rychlost, Zn = Un/ln

jmenovitá impedance.

Vztah pro moment (26.28) můžeme vyjádřit v poměrných veličinách (26.45) nebo označíme-Ii psát ve tvaru mi =

(26.46)

poměrné veličiny

UU·

" sin

o+

Xd

u

2

2

1

xq

~

malými písmeny, 1

můžeme

tuto rovnici

sin 20

Podobně je možno upravit vztah (26.43) ,

,

uU q

•

~

m·I = , SIn o

(26.47)

2

-

Xd

1 1 . 2~ srn u 2 Xd xq

_u_

moment určíme např. pro Xd = 1,0, x q = 0,5, Xd = 0,25, u = 1 pro jmenovitý zatěžovaCÍ proud při cos ({) = 0,8, kterýje dán vztahem i = 0,8 + j 0,6. Při tomto zatížení je Uif = 1,77 a poměrné napětí za přechodnou reaktanCÍ je podle vztahu (26.38) rovno 1,155. Pro tyto veličiny dostáváme poměrné momenty Poměrný

pro

i,

= konst

mi = 1,77 sin

(26.48) pro (26.49)

[1301

o + 0,5 sin 20

l/I,

= konst

m;

= 4,62 sin o -

1 sin 20

Z těchto výsledkú plyne, že amplituda základní složky momentu při kývání je podstatně větší a že druhá, tzv. reluktančtú složka, má při kývání záporné znaménko a také větší amplitudu. Pril.běhy obou momentil. jsou srovnány na obr. 47, kde složky momentu při kývání jsou naznačeny čárko vaným proběhem.

27. Asynchronní stroje

Základní rovnice asynchronního stroje v ustáleném stavu. Z obecných rovnic asynchronního stroje uvedených v předchozí části odvodíme základní rovnice asynchronního stroje v ustáleném stavu. Budeme uvažovat souměrný trojfázový asynchronní stroj při konstantní otáčivé rychlosti s trojfázovým rotorem při souměrném trojfázovém napájení statoru. Casový proběh napětí, proudil. a magnetických tokil. je periodický s konstantní amplitudou. Při odvození využijeme vlastností transformovaných souměrných střídavých veličin odvozených v kap. 25. . Obecné rovnice asynchronního stroje (21.25) až (21.30) zjednodušíme volbou transformačního úhlu 8" tak, že rychlost souřadné soustavy ro" je stejná jako úhlový kmitočet ros .střídavých statorových veličin (jako rychlost točivého magnetického pole souměrných střídavých veličin v elektrických radiánech za sekundu)

(27.1) Obr. 47. Průběh momentu synchronního stroje při ie [pro rovnice (26.48) a (26.49)]

= konst a při "'e = konst

mi (Vf = konsf. )

, "'

\

1t,62sina -- mi ( if konsf.) 2

•

1, 77sinó'

............ ./

.....

i

\

ó'

I

\

\

\

,

'

/

/ /

I

-sin 20

.... _ /

[131]

Potom jsou statorové veličiny d, q podle rovnic (25.2) a (25.3) stejnosměrné veličiny. •

Rotorové střídavé veličiny mají kmitočet daný rozdílem elektrické rychlosti točivého pole a elektrické rychlosti rotoru (27.2)

Wr

= W. -

W

Podle tab. 2 musí se rotorové veličiny D, Q při volbě rychlosti souřadné soustavy podle (27.1) transformovat při použití transformačního úhlu 8 r = 8. - 8. Z rovnice (25.2) a (25.3) plyne, že úhlový kmitočet veličiny po transformaci je dán rozdílem úhlového kmitočtu uvažované veličiny před transformací, který je nyní podle (27.2) w" a úhlové rychlosti souřadné soustavy, která podle tab. 2 je Wr = Ws - w. Mají tedy transformované rotorové veličiny úhlový kmitočet

Wr -(ws -w)=wr -wr =0

(27.3)

a jsou tedy zase

stejnosměrnými veličinami.

Na základě toho se základní rovnice asynchronního stroje (21.25) až (21.30) zjednoduší tím, že transformační napětí jsou při stejnosměrných veličinách nulová. Současně zavedeme

ws - w = swS

(27.4) kde (27.5)

s =

(ws -

Ud =

Rsid -

u q = Rsiq Uo

w)fws je skluz. Základní

napěťové rovnice mají nyní tvar

wsl/l q

+ wsl/ld

= Rrio - sWsl/lQ

u Q = RriQ

+ swsl/lo

Po vyloučení spřažených magnetických tokll podle rovnic (21.15) až (21.21) (27.6)

(27.7)

Ud =

Rsid -

uq =

Rsiq

Uo

WsLdOiQ

+ W.Ldid + WsLdOiO

= Rrio - sWsLoiQ -

uQ = RriQ

[132]

WsLdiq -

SWSLdOiq

+ sWsLoio + SWsLdOid

d, q a D, Q m\"Jžeme transformovat zpět na fázové veličiny zpětnou transformaCÍ (21.3). Můžeme však také využít vztahu (25.9), podle kterého součet např. Ud + jU q se až na číselný činitel 1/.J(2) . i . l/kd rovná fázoru efektivního střídavého napětí, násobenému eJ(ro.-cok)t, který, je však v uvažovaném případě roven jedné. Z rovnic (27.6) takto dostaneme Veličiny

•

a z rovmc

+ jUQ

Uo

=

R.(io

+ jiQ) + jscosLo(io + jiQ) + jsco.LdO(id + jiq)

(27.9)

Za součty veličin d (nebo D) a veličin q (nebo Q) násobených j zavedeme příslušné fázory napětí a proudů statoru a rotoru, které jsou definovány vztahy (25.11) až (25.14) v závislosti na zvolené soustavě souměrných stří davých veličin. Společný činitel všech fázorů 1/.J(2) . i . l/kd můžeme krátit a dostaneme známé základní rovnice asynchronního stroje v ustáleném souměrném chodu

kde

+ jXdla + jXdolA RJA + jsXolA + jsXdola cosLd = cos(Ls + Ms) cosLo = cos(Lr + Mr)

Ua = R.Ia

(27.10)

UA =

(27.11)

Xd = Xo =

(27.12) (27.13) (27.14)

X dO = 1-co.M

Moment asynchronního stroje odvodíme ze vztahů (19.6) a (22.7). Tyto vztahy nezávisí na rychlosti souřadného systému COk a plyne z nich

P LdO(.. lolq 3 kdkq

2 mj = -

-

.lQ1d ,)

(27.15)

Vztah pro střední moment dostaneme tím, že do tohoto vztahu zavedeme za okamžité hodnoty efektivní fázory. Tento postup je obdobný jako při určení činného výkonu pro ustálené střídavé veličiny. Pro střední moment takto dostaneme P LdO Re ( * - LQld*) lol 3kk q d q

2 M· =I

.

(27.16)

[133]

Podle vztahu (25.7) platí (27.17)

Id = j/q

(27.18)

ID = j/Q Použitím

(21.19)

těchto

Mi =

vztahi't dostaneme pro moment

~

P LdO 2 Re Olol:)

3 kdkq

I: mi'tžeme zavést fázory

Za veličiny ID, (25.11)

(27.20)

I: = lkd/a*

(27.21)

ID = l kd / A

střídavých

proudi't podle vztahu

a pro moment dostaneme

Mj

(27.22)

= 3pLdo Re j(/AI:) ,

Z napěťové rovnice (27.11) určíme komplexně sdružený proud •

la* =

(27.23)

(U: - RtI!

J

+ jsXoI!)

SWsLdO

a po dosazení do vztahu pro moment (27.24) a po

vyčíslení

_

Mi -

(27.25)

reálné

3 Wsm.

kde

části

Rl;' -

PA

S

je synchronní mechanická úhlová rychlost, činný výkon (jedné fáze) odebíraný

z rotorového obvodu. Rovnice (27.25) vyjadřuje známý vztah pro střední vnitřní elektromagnetický moment asynchronního stroje v ustáleném stavu, který je možno běžnými zpi'tsoby upravit na tvary uváděné v literatuře.

(134]

_- - - - - - - - - - - - -

..

Dodatek I Indukované napětí v komutátorové kotvě a nesinusovém průběhu magnetické indukce

při

obecné poloze

kartáčů

Budeme uvažovat komutátorový stroj, který má 2p pólů a který má statorová vinutí, jejichž osy d a qjsou vzájemně posunuty tak, že osa q před 0 bíhá v kladném směru o 90 osu d. Rotor tvoří kotva s komutátorem, na kterém jsou kartáče v obecné poloze. Budeme předpokládat, že magnetická indukce ve vzduchové mezeře v axiálním směru stroje je konstantní. Pro délku vzduchové mezery podstatně menší, než je pólová rozteč uvažované harmonické, je tangenciální složka magnetické indukce zanedbatelná a průběh magnetického pole ve vzduchové mezeře je dán jen radiální složkou magnetické indukce. Dále budeme předpokládat obecný průběh magnetické indukce ve vzduchové mezeře, který rozložíme na složku magnetické indukce bd vose d a na složku magnetické indukce bq vose q, které závisí na času a na místě obvodu rotoru

(1.1) kde

8 je úhel v elektrických radiánech

měřený

po obvodu rotoru.

Předpokládáme,

že s ohledem na souměrnost stroje je průběh magnetické indukce bd souměrný podle osy d a průběh magnetické indukce bq souměrný podle osy q (obr. 48). Měříme-li úhel 8 od osy d, je bd(t, 8) sudou funkcí 8 a bq(t, 8) lichou funkcí 8. Průběhy bd , bq rozvedeme pomocí Fourierových řad, které s ohledem na uvedenou souměrnost obsahují jen liché harmonické a platí tedy 00

bd(8,

t)

= -

L Bd01.(t) cos v8

v = 2k

+ 1;

k = 0, 1, 2, ...

(1.2)

+ 0, 1, 2, ...

(1.3)

v=l 00

bq(8, t) =

L Bq01.(t) sin v8

v

= 2k + 1;

k

v=l

Zvolená znaménka odpovídají jednak průběhu magnetické indukce bq zabírajícímu podle zvoleného systému os d, q s vinutím kotvy dříve než průběh magnetické indukce bd , jednak zvolenému kladnému znaménku pro mag-

[135]

netický tok vystupující z kotvy. Výsledná magnetická indukce v libovolném místě obvodu rotoru 8 je dána součtem magnetických indukcí bd , bq (za předpokladu zanedbání magnetického sycení platí zákon superpozice). Magnetický tok vinutí kotvy rozloženého mezi místem 8 1 a 8 2 se obecně určí podle vztahu

(1.4)

D

I;

82

. [b(8,

2

o

t) dl] d8

81

Podle předpokladu je magnetická indukce v axiálním směru konstantní a vinutí je rozloženo po celé pólové rozteči. Potom po dosazení za b(8, t) součtu bd(8, t) a bq (8, t) podle vztahů (1.2), (1.3) do předchozí rovnice dostaneme

(1.5)

D

8

r:t:)

L

2

v= 1

(-Bdm.{t) cos v8 + Bqm.(t) sin v.9) d.9

8-"

nebo použitím mechanických úhlů.9 m = 81p pro 2p-pólový stroj

( - Bdmv(t) cos vp.9m+ Bqmv(t) sin vp8m) d(p8 m)

(1.6) 8 m -rr/ p

a po integraci 00

(1.7)

(1.8) kde IPdm.{t)

2

= -

n

L [IPdm.{t) sin vp.9m + IPqm.(t) cos vp.9m]

y=l

Bdn\V(t)

nD

2vp

I. 1

,

(1.9)

IPqm.(t)

2

= -

n

Bqm.{t)

nD

2vp

li

Výsledný vztah (1.7) vyjadřuje magnetický tok, který na obr. 49 zabírá s tlustě vytaženou plochou kotvy. Tento vztah je možno také snadno vyjádřit pomocí elektrických stupňů 8. Dále určíme spřažený magnetický tok vinutí kotvy vobr. 49. Tento spřažený magnetický tok musí být vyjádřen jako funkce času t a úhlu 8 m , aby bylo možno z něj určit indukované napětí dané časovou a prostorovou změnou magnetického toku (transformací a rotací) podle vztahu =

U

(1.10)

i

[136]

dtjJ(.9m, t) dt

=

otjJ + ol/t d8 m ot

08m dt

Takové odvození spřaženého magnetického toku '" vlastně předpokládá pohyb kartáčů (Bm = OJmt + Bom) nebo připojení uvažovaného vinutí kotvy na kroužky. Teprve později v průběhu odvození budeme uvažovat stojící kartáče nebo vinutí připojené na komutátor. Spřažený magnetický tok uvažovaného vinutí určíme podle vztahu (1.11) Sn" - Klp

kde No = Nj2a(njp) je počet závitů zapojených v sérii na jeden radián (mechanický). Po dosazení za No a za cp(Bm, t) podle vztahu (1.7) dostaneme

Np '" ",(Brn' t) = L 2an v= 1 a po integraci "'(8 m ,

t)

=

N L ! (cI>dmv(t) cos vp9 m - cI>qmv(t) sin vp9m) an v v

(LB)

Indukované napětí v kotvě dostaneme z tohoto vztahu použitím rovnice (1.10). Zatímco časová závislost spřaženého magnetického toku není přímo dána, je závislost tohoto toku na úhlu 8 m vyjádřena Fourierovými řadami a derivaci magnetického toku podle úhlu je možno provést. Tak dostaneme (1.14) Obr. 48.

Průběhy

magnetické indukce bd • bq

Obr. 49. Magnetický tok zabírající s kotvou obecného stroje

osad

[137]

Tento vztah zjednodušíme a zavedeme do něj činitel rozlohy pro v-tou harmonickou vinutí kotvy rovnoměrně rozloženého po celé pólové rozteči 2 k .. = -

(1.15)

1tV

a mechanickou úhlovou rychlost (1.16) Tak z rovnice (1.14) dostaneme

•

(1.17)

Tento obecný vztah můžeme zjednodušit zavedením elektrického úhlu 8 = p8m a elektrické úhlové rychlosti POOm = 00. První dva členy v rovnici (1.17) představují rotační napětí, další dva členy napětí transformační. Z rovnice (1.10) a z odvození (1.17) plyne, že veličina násobená mechanickou úhlovou rychlostí OOm se rovná derivaci spřaženého magnetického toku 1/I(8m, t) podle úhlu 8m , jehož derivací podle času je dáno transformační napětí. Označíme-li tuto veličinu 1/1" můžeme pro rovnici (1.17) psát (1.18)

V teorii obecného stroje se častěji pracuje s veličinou, která je násobena elektrickou úhlovou rychlostí 00 a která se rovná derivaci spřaženého magnetického toku 1/1(8, t) podle úhlu 8. Pro veličiny v rovnici (1.17) obdobně platí

[138]

l/!r(8, t) =

o

09

N

2a

~)n(4)dIllY cos v9 -

4>qmy

Y

Spřažený magnetický tok vinutí kotvy, který označíme vyjádřit

pomocí vlastní úhlu 8 podle vztahu

(1.19)

sin v9) =

indukčnosti

a vzájemných

l/!.•J9, t),

indukčností

můžeme

závislých na

(1.20)

ir, ig je proud statorových (budicích) vinutí.

kde

Potom veličina násobená elektrickou úhlovou rychlostí ro, kterou jako l/!kr(8, t), bude

označíme

17 ./. (9, t) = 4(9) i (t) + oL..:~9) j (t) + oLk g{92 i (t) 'l'l
(1.21)

rotačních indukčností o

(1.22)

o

Přitom rotační indukčnost GI«9) = 174(8)/179 bude nenulová jen u strojů, které mají proměnnou vzduchovou mezeru (vyniklé póly). Z rovnic (L21) a (1.22) vyplývá vzájemná souvislost vlastních a vzájemných indukčností L a rotačních indukčností G. tíselné srovnání těchto indukčností pro některé

dané průběhy magnetických indukcí ve vzduchové mezeře je uvedeno v dodatku II. V rovnici (1.17) je rotační indukované napětí časově proměnné i při konstantních, časově nezávislých tocích 4>dIllY' 4>QIllY' To je dáno tím, že jsme museli při odvozování indukovaného napětí v komutátorové kotvě uvažovat proměnný úhel 9 či 8 m , tedy pohyblivé kartáče nebo vinutí kotvy připojené na kroužky. Nyní z této rovnice určíme vztahy pro indukovaná napětí ve vinutí kotvy pro zvláštní pevné polohy kartáčti. Nejdříve budeme uvažovat úhel 9 = O (obr. 50). Indukované napětí pro tuto stálou polohu kartáčů označíme Uid (kartáče v poloze d, vinutí kotvy mámagnetickou vazbu s toky vose d). Z rovnice (L17) při zavedení elektrické úhlové rychlosti ro = Prolil dostaneme o

o

[139J

o

(1.23) Tuto rovnici

můžeme zkráceně

psát ve tvaru

(1.24)

(1.25) kde

(1.26)

=

N I4>qm.

na •

=

N

na

qJqr

V rovnici (1.24) píšeme místo parciální derivace podle t derivaci obyčejnou, protože je to jediná derivace v základních rovnicích (parciální derivace podle 3 či 3m byla již provedena). Dále budeme uvažovat úhel a. = -nf2 (obr. 51). Indukované napětí pro tuto stálou polohu kartáčů označíme Uiq (kartáče v poloze osy q, která je zpožděna o nf2 proti ose d, vinutí kotvy má magnetickou vazbu s toky vose q). Z rovnice (1.17) dostaneme .

(1.27)

SIn

Tuto rovnici • (1.28)

můžeme zkráceně

n

v2

psát ve tvaru

dl/!q + (1)'1',I,dr

Ulq

=

,I,

N "k;';' . n N " . n N = t... r.V"""dm. SIn v - = L..4>dm. SIn v - =

dt

(1.29) kde (1.30)

'I'dr

2a.

2

na.

2

na

qJdr

V rovnici (1.28) píšeme obyčejnou derivaci podle t ze stejného důvodu jako v rovnici (1.24). Rovnice (1.24) a (1.28) pro indukovaná napětí jsou základní pro odvození napěťových rovnic pohybujícího se vinutí kotvy s dvěma sadami kartáčů

[140]

(vose d, vose q). To vyplývá z kap. 14, kde byla tato napětí uvedena bez podrobnějšího kvantitativního odvození. Spřažené magnetické toky vinutí kotvy v rovnicích (1.25) a (1.29), jejichž časová změna určuje transformační napětí, můžeme podobně jako v rovnici (1.20) vyjádřit pomocí vlastních a vzájemných indukčností, které pro uvažované pevné polohy kartáčů již nezávisÍ na úhlu 8, tedy

"'d =

Ldid

"'q = Lqiq

+ LdCiC

(I.31)

+

(I.32)

Lqgig

Veličiny násobené úhlovou rychlostí v rovnicích

(1.24) a (1.28) a de-

finované vztahy (1.26) a (1.30) můžeme vyjádřit z rovnice (1.19) a pomocí tzv. rotačních indukčností, které pro uvažované pevné polohy kartáčů nezávisí již na úhlu 8, tedy

+ GdciC Gqiq + Gqgig

"'dr = Gdid

(I.33)

"'qr =

(I.34)

kde veličiny Gd, Gq, GdC ' Gqg jsou tzv. rotační indukčnosti (viz dodatek II) . •

Obr. 50. Poloha kartáčů pro úhel [}. = O Obr. 51. Poloha kartáčů pro úhel[}. = -rr/2

osad

osa d

:----r-'-

osaq

o

[141]

Dodatek II Vztahy pro poměr vzájemné a


předchozích

kapitolách jsme zavedli pojmy rotační indukčnosti, vyjadřující vazbu mezi vinutími při indukování rotačního napětí. Z rovnic (1.21), (1.22) plyne jejich obecná souvislost s indukčnostmi používanými ve statických obvodech. Nyní ukážeme pro některé konkrétní případy kvantitativní vztahy, které platí mezi statickými a rotačními indukčnostmi. Pro sinusové prť1běhy magnetické indukce (v = 1) ve vzduchové mezeře plyne z rovnic pro spřažené magnetické toky (1.25), (I.30) nebo (1.26), (1.29) V

(11.1)

t/tdr

=

t/td

(11.2)

t/tqr

=

t/tq

Přitom je třeba si všimnout, že v rovnici (1.24) je rotační indukované napětí

záporné pro zvolené smysly os d, q a otáčení mm a pro zvolená znaménka magnetických tokť1. Z těchto rovnic a z rovnic (1.31) až (1.34) plyne

(ll.3)

Ld

(11.4)

Ldf =

(11.5)

Lq = +Gq

=

Gd Gdf

•

Lqg =

(11.6)

+ Gqg

V rovnici (11.1) až (11.6) jsou všechny veličiny kladné. Záporné znaménko rotačního indukovaného napětí v podélné ose a příslušného magnetického toku bylo respektováno přímo v napěťové rovnici (1.24). Pro obecný proběh magnetické indukce bude souvislost indukčností a rotačních indukčností složitější. Odvodíme proto vztah pro poměr vzájemné a rotační indukčnosti, např. Lqg a Gqg pro dva extrémní případy uspořádání vinutí, a to pro vinutí nerozložené (obdélníkový proběh magnetické indukce) a pro vinutí rovnoměrně rozložené po celém obvodě (trojúhelníkový proběh magnetické indukce). Obdélníkový prť1běh magnetické indukce ve vzduchové mezeře (obr. 52) je vytvořen např. statorovým vinutím g (viz též obr. 48). Tento proběh

[142J

můžeme vyjádřit

O) B(~=

pomocí Fourierovy řady

4k

.

o

sm~+

1t

sin 38 3

+

sin 58 5

+ ...

(11.7)

Magnetický tok kotvy určíme podle vztahu (viz té,l 1.4) .

8

q>(8)

=

li D 2

8-"

B(8) z (11.7) a po integraci dostaneme

Po dosazení za

q>(8)

(11.8)

B(8) d8

4k

= -

o

'iD cos ~ +

1t

cos 38 32

+

cos 58 52

Spřažený magnetický tok určíme obdobně jako v

+ ...

(1.11)

(11.9)

•

při použití elektric-

kých úhlů

1/1(8)

=

N 2a1t

Po dosazení za

(11.10)

8-"

q>(8, t) z (11.9) a po integraci dostaneme

./,(0) __ 4k 'I'~ .

q>(8, t) d8

8

1t

2

N ID.

a

i

o

sm~+

sin 38 3 3

+

sin 58 53

(11.11)

+ ... .

Obr. 52. Obdélníkový

průběh

magnetické indukce B (8)

osaq CI:l

.

.

..

k O

-;rr •

1C

21l

• TJ-

.

[143]

Tento tok má největší hodnotu pro 8 = -1tJ2 v příčné ose q. Bude proto ve vinutích, která jsou v příčné ose (např. ve vinutí rotoru q), indukovat největší transformační napětí. Pro tento úhel 8 z (11.11) plyne 4k N 1 = 2 liD 1 - 3 1t a 3

!/J

(11.12)

+

Po vyjádření součtu nekonečné vinutí q a vinutí g dostaneme ./, = 4Nk [.D 1t = L

(11.13)

a

'I'

Veličinu

2S

1

53

1

-

+ ...

73

řady

a po zavedení vzájemné

indukčnosti

.

qgJ g

!/Jr určíme z rovnice (11.11) podle vztahu

./,'I' r (0) _ a!/J _ ť1' a8

(11.14)

1

-

4k N 1 D ° 2 I cos ť1' 1t a

+

cos 3.9 2 3

+

cos 5.9 2 5

+ ...

Tato veličina má největší (zápornou) hodnotou pro .9 = O, tedy v podélné ose d. Rotační napětí indukované vinutím g je v rotující kotvě největší pro kartáče v podélné poloze (ve vinutí d). Z (11.14) pro .9 = Oplatí

(11.15)

!/Jr

4k N = -

2

1t

a

liD 1 +

1

3

2

Po vyjádření součtu nekonečné vinutí q a vinutí g dostaneme

+

1 · 1 2

5

řady

+

7

2

•

+ ...

a po zavedení


(11.16) Znaménka v rovnicích pro magnetické toky jsou v souladu se znaménky v obdobných rovnicích v dodatku I. Z rovnic (11.13) a (11.16) plyne pro poměr absolutních hodnot vzájemné indukčnosti Lqg a rotační indukčnosti Gqg ILqg

(11.17)

IGqgl

= ~ = 0,785 4

Obdobně

nosti a

[144]

bychom odvodili vztahy pro poměr jiné odpovídající indukč

rotační indukčnosti.

Trojúhelníkový průběh magnetické indukce ve vzduchové mezeře je na obr. 53. Tento průběh můžeme vyjádřit pomocí Fourierovy řady

4k. o sin 38 5101:1'rt 3

Bd = Pro

spřažený

+

sin 58

5

- ...

(U.l8)

obdobně

magnetický tok dostaneme

jako pro obdélníkový

průběh B(8)

,/.(0) __ 4k 'I' 1:1' -

N 1D

.

.

rt 2 a

sin 38 33

o _

S10 1:1'

1

+

sin 58 _ 53

...

(U.l9)

Největší hodnotu toku dostaneme pro 8 = -rt/2 a po vyjádření součtu nekonečné řady ,I. 'I'

= 4Nk l.D

a

Veličinu ,I.

'I'r

a zavedení vzájemných

=

o!/J

1

rt

2

indukčností

L'

25. 3 =

(II.20)

qglg

!/Jr určíme z rovnice (II.l9) podle vztahu = _ 4k N [.D cos 8 _ cos 38

rt 2 a

08

+ cos 58

32

1

_ ...

52

Táto veličina má největší hodnotu pro 8 = O a po vyjádření né řady a po zavedení rotační indukčnosti Gqg dostaneme ,I.

'I'r

4Nk

= - _.

a

(II.2l)

součtu nekoneč

rt . [. D = - G I ' 25 qgg

Obr. 53. Trojúhelníkový

průběh

(II.22)

magnetické indukce B (8)

osaq

.,j

-T{

21C

I

I

[145]

Z rovnic (11.20) a (11.22) plyne pro poměr absolutních hodnot vzájemných indukčnostív:z:tah •

(11.23) Závěrem

je tedy možno shrnout: Poměr vzájemné indukčnosti Lqll a rotační indukčnosti Gqa je pro obdélníkový průběh 0,785, pro sinusový průběh 1 a pro trojúhelníkový průběh magnetické indukce 1,05.

•

•

•

•

•

[146]

"

.. .._ - - - - - - _ .._.

.

.__._'-

- ---

.

Dodatek III Vlastní a vzájemné

indukčnosti sinusově

rozloženého vinutí

Sinusově

rozloženým vinutím se rozumí vinutí, jehož počet závitů (vodičů) podél pólové rozteče se spojitě mění podle sinusové závislosti. U skutečných strojů jsou vinutí rozložená, mají zkrácený krok (tj. rozteč 0 cívek je menší než 180 elektrických) a jsou aproximací tohoto ideálního případu. Pro počet závitů sinusově rozloženého vinutí (obr. 54) platí v urči tém místě (1. vztah

(nI.1) kde

N m je největší počet závitů, tj. v místě úhel v elektrických radiánech,

(1.

•

Celkový dvojicemi je

počet závitů sinusově

.

(1.

=

1t/2,

měřený

od osy vimttÍ.

rozloženého vinutí stroje s p pólovými

"

N =p

(nI.2)

o

•

Vzájemnou indukčnost vinutí rotoru a sinusově rozloženého vinutí statoru určíme z magnetického toku rotorového vinutí (např. budicího vinutí f) zabírajícího se sinusově rozloženým vinutím statoru. Předpokládejme, že průběh magnetické indukce rotorového vinutí je Ob/'. 54. Sinusově rozložené vinutí

I á.=o

o o

o

o o

o

o

o 00

O O

,

-

O O

O

O

o

O O

o

•

oo

o

.o o o

o o

[147]

nesinusový, ale je symetrickou sudou funkcí. Otáčí-li se rotor elektrickou úhlovou rychlostí ro, lze pomocí Fourierova rozvoje psát pro okamžitou hodnotu magnetické indukce v místě o: statoru

(I1I.3)

b(o:)

=

'" L Bm. cos v(o:

.=1

v = 2k

- .9)

+

1

k = O, 1, 2, ...

kde v.9 je úhel, který svírá osa v-té harmonické magnetické indukce (osa pólu) s osou vinutí fáze a. Přitom platí (III A)

.9 = rot

+ .90

kde .90 je (v elektrických radiánech) úhel osy pólu a osy fáze v čase t = O. 0 Magnetický tok cívky statoru s plným krokem (tj. o rozteči 180 elektrických) o jediném závitu v místě o: je dán vztahem

•

(HI.5) (III.6) tedy CPar(O:) =lD

'" B

L

v= 1

mv sin

v(a - .9)

V

kde 1 a D jsou aktivní délka a průměr rotoru, resp. statoru, zanedbá-li se délka vzduchové mezery. Spřažený magnetický tok celého sinusově rozloženého vinutí fáze a je potom n

(111.7)

n

Nrt CPar(O:) do: =

tfJar =

CParNm sin a do: = o

o

"sin v(a - .9) sin o: da o

a odtud

(III.8)

tfJar = Nml D 2

-

f

Brnv

v= 1

V

1

v

+

•

[sin v.9 1

1 V -

1

[sin v.9

+ sin «v +

+ sin «v

1) 1t

-

- 1) 1t

-

v.9)] -

v.9)]

Druhý člen ve velké závorce je roven nule pro všechna uvažovaná v, první člen je nenulový jen pro v = 1, kdy řešením neurčitého výrazu dostaneme 1t cos .9. Výsledný vztah pro cívkový tok je tedy

[148]

(III.9) kde

Lar je vzájemná fáze a,

Ir

indukčnost

mezi budicím vinutím vose d a vinutím

budicí proud, nezávislý na úhlu 8.

Pro Lar z rovnice (III.9) vyplývá •

Lar

=

Lea

= Larm cos 8

(III. 10) (III. 11)

kde je maximální vzájemná indukčnost vinutí f, a, když osa d je totožná s osou vinutí fáze a. Vztah (III.10) je shodný s rovnicí (17.1) v kap. 17, kde jsou na základě této rovnice uvedeny vztahy pro vzájemné indukčnosti ostatních vinutí rotoru v podélné a příčné ose a sinusově rozložených vinutí statoru. Napětí indukované ve fázi a tokem budicího vinutí plyne z (III.9)

a (III.4) Uar =

dl/lar dt

N 1 D B · = -W1t m ml SIn

2

n

(III.12)

ťJ'

Zavedeme-li do tohoto vztahu celkový počet závitů podle (III.2), dostaneme pro efektivní hodnotu střídavého napětí úpravou

1tD 2 Uar = 1- Bm1w = 4,44Nkr iPmf .J2 4 2p 1t N

kde

1t

kr = 1t/4 iPm. = 1tD/2p . 1. 2/1t . Bm.l

je

činitel

. , VInutI,

rozlohy

(III. 13) sinusově

rozloženého

maximální magnetický tok vinutí.

Z odvození v tomto odstavci plyne, že nesinusový prostorový průběh magnetické indukce indukuje v sinusově rozloženém vinutí jen první harmonickou napětí, že tedy činitele rozlohy tohoto vinutí jsou pro všechny vyšší harmonické nulové. Činitel rozlohy pro první harmonickou tohoto vinutí je 1tJ4. Vzájemné indukčnosti vinutí statoru a rotoru jsou vyjádřeny jednoduchými harmonickými funkcemi. Z průběhu magnetické indukce rotot:u zabírající se statorovým sinusově rozloženým vinutím se uvažuje podle toho jen první harmonická.

[149]

Vlastní a vzájemné indukčnosti sinusově rozloženého vinutí statoru určíme z magnetického toku vytvořeného samotným sinusově rozloženým trojfázovým statorovým vinutím, kterým procházejí okamžité proudy i a, i b , ic. Magnetomotorické napětí např. fáze a v místě a tohoto vinutí (definovaného vztahem (111.1)) je

!.,,-

(111.14)

.. +"

N mia sin a da

N

= 2Nrnia cos (X =

p

ia cos a

Magnetický potenciál (magnetomotorické napětí pro jednu vzduchovou mezeru při zanedbání magnetického odporu železa) je (111.15)

Va ..

j.. N' N . = = m'a cos a = 'a cos a 2 2p

Podobně

(111.16)

odvodíme pro zbývající dvě fáze

Vbcz

= N rnib cos

(a - 120°)

vc..

= Nrnic cos

(a + 120°)

Prostorový průběh magnetického potenciálu sinusově rozloženého vinutí neobsahuje tedy prostorové vyšší harlllonické. Magnetický potenciál trojfázového vinutí je tedy dán vztahem (111.17)

Výsledný magnetický potenciál v.. vyvolá tok t/la' pro který platí

např.

ve fázi a celkový magnetický

(111.18) První složka je magnetický tok fáze a, který je vyvolán proudem i., zbývající dvě složky toků jsou vyvolané ib a ic' Uvedené fiktivní složky magnetických toků se mohou uzavírat buď cestou rozptylovou (vzduchovou mezerou, pří padně statorem), nebo hlavní magnetickou cestou (statorem, vzduchovou mezerou a rotorem). MOžeme tedy pro celkový magnetický tok I/Ia fáze a psát (111.19)

[150]

kde

"'... je

spřažený

rozptylový magnetický tok fáze a,

"'.6

spřažený

hlavní magnetický tok ve vzduchové

mezeře.

Magnetické vodivosti rozptylových cest jsou téměř konstantní, nezávislé na poloze rotoru. Lze tudíž pro'"ao psát přímo

(III. 20) kde La..

je rozptylová

- LM.. = La"" = Laco

indukčnost

fáze a,

vzájemná rozptylová indukčnost mezi pří slušnými fázemi. Ta je záporná, neboť fázová 0 vinutí jsou prostorově natočena o 120 elektrických.

Prostorové rozložení magnetické vodivosti obvodu hlavního magnetického toku závisí na vzájemné poloze rotoru a prostorového rozložení výsledného magnetického potenciálu statoru. Zavedeme-li magnetickou vodivost A(Y) pro jednotkovou plochu, bude tato vodivost v případě nerovnoměrné vzduchové mezery podle obr. 55 sudou funkcí úhlu y (za předpo kladu, že vzduchová mezera je mnohem menší než průměr rotoru) •

00

A.{y)

= Ao

+ L A. cos vy

v = 2k;

k

(III.21)

= I, 2, ...

• =2

přičemž IX

=Y+8 = y+

Obr. 55. Odvozeni vztahu pro s vyjádřenými póly ....

I

I I

+ 80

rot

měrnou

I I

(III.22) magnetickou vodivost synchronního stroje

.,.,

•

/

"I / .oo~o o .1.000 ""'"\v'-' I 1--1-_ ~

«-O

I

, I ......'"

-+-

I I

I

I I I

I

I

I

•

I

I

I

I

I

[151}

Magnetická indukce sinusově rozloženého vinutí v nerovnoměrné vzduchové v • . , mezere Je potom nesmusova

(111.23) 00

+ ie cos (O(

!1t)] [.1. 0 +

+

L Av cos vy] v=2

(111.24) nebo b6 = Nm{Ao[i a cos ex + ib cos (ex - !1t) + ie cos (ex + !1t)]} + 00

A

+ N m L · {ia(cos [(v + 1) ex .=22

+ ib(COS [(v +

v8] + cos [(v - 1) ex - v8]) +

1) ex - v8 - !1t] + cos [(v - 1) ex - v8 + !1t]) +

+ ie(cos [(v + 1) ex - v8 + l1t] + cos [(v - 1) ex - v8 - ln])} Magnetický tok ve vzduchové ex určíme podle vztahu

mezeře

jednoho závitu v obecné poloze

(1II.25) Po dosazení podle (111.24) a výpočtu integrálu v (111.25) dostaneme

(111.26)

D

1- N m 2A.o(ia sin ex + ib sin (a - j1t) + ie sin (a + !1t)] + 2

'+ fAv

1 {iasin[(v+1)0(-v8]+ ib sin[(v+1)0(-v8-!1t] + v+1 .

v=2

+ ie sin [(v + 1)a-v8

+!1t]} +

1 {ia sin [(v-1)0(-v8]+ v-1

+ ib sin [(v - 1) a - v8 + !1t] + ie sin [(v - 1) a - v8 - l1t]} Protože podle předpokladu je v číslo sudé, obsahuje průběh magnetické indukce podle (111.24) a magnetický tok cívky podle (111.26) jen liché harmrmonické. Spřažený magnetický tok sinusově rozloženého vinutí fáze a procházející vzduchovou mezerou je .. +,.

1/1.6 = N m

(111.27)

[152]

,.

sin a dO(

•

Po dosazení podle (m.26), výpočtu integrálu v (m.27) a neurčitých výrazfi, v napr. tvaru

~ )'2 lim 2

.-+2

{sin [(v - 2)(a

1

(v - l)(v - 2)

- [sin (v - 2) a - v.9]} = i. A2 2 dostaneme .1, '1'86

=

1 D N 2 1t. -

•

'.

m

2

A

20+

2

2

1t

+ 1t) -

v.9] -

(III.28)

cos 2.9

cos 2.9

_

2

+

o

2

2

2

2

COS(2.9 -

!1t) + (UI.29)

(III.30)

+ -

L

.0., +

2

L 2 cos (2.9

+ !1t) je

kde při použití vztahu (m.2)

•

2

1tD N Ao L.o., = N m lAo = s -=2 2 2p 2

L

= N2 1tD I A2 = N

2

m

2

2

2

4

S

(UI.3l)

A2

(Ul. 32)

2p

= 1tD I 2p

s

(HI.33)

Dosazením rovnic (III.20) a (III.30) do (IH.l9) dostaneme

l/Ia

=

(UI.34)

[La.. + La06 + L 2 cos 2.9] ia + + -

L.06 _

2

~.. +

L 2 cos (2.9 -

!1t)

jb

+

+ - Lao~ _ ~.. + L 2 cos (2.9 + !1t) je 2

[153]

•

Porovnáním rovnice (111.34) s rovnicí (111.18) dostaneme pro vlastní indukčnost fáze a . (111.35)

La. = Lao

+ L 2 cos 28

Pro vzájemnou indukčnost fází statoru dále dostaneme (111.36)

Lab

= L ba =

L abO =

(111.37)

Lao6

2

- LabO

+

L

+ L 2 cos (28

-

l1t)

Ma

Vztah (111.35) je shodný s rovnicí (17.6) a vztah (111.36) s rovnicí (17.9) v kap. 17, kde jsou uvedeny vztahy pro ostatní vlastní a vzájemné indukčnosti sinusově rozložených vinutí statoru. Ze vztahu (111.29) plyne, že pro výpočet cívkového toku a tedy i napětí sinusově rozloženého vinutí se uplatňují z Fourierovy řady pro magnetickou vodivost (111.21) jen první dva členy, tedy (111.38)

1154]

Dodatek IV Lineární transformace a její vlastnosti ,

Uvažujeme soustavu rovnic pro YI

=

Y2

= a2l x I

a11 x I

+ +

a12 x 2 a22 x 2

+ ... + + ... +

• • •

kterou

proměnné Yi' Xi

ve tvaru

(IV. 1)

a1n X n a2n X n • • •

můžeme

psát v maticovém tvaru

YI

a11

a12

• ••

al n

Xl

Y2

a21

a22

•••

a2n

X2

• • •

• • • •

• • •

•••

•

• • •

• •

a nn

Xn

I ani

Yn

(IV.2)

a n2

I

•••

(IV.3)

nebo y = ax kde ai/, (i, k = 1,2, ... , n) jsou na X nezávislé veličiny, které mohou být reálná nebo komplexní čísla, funkce nebo diferenciální operátory. Dále uvažujme lineární transformaci proměnných Xi na nové proměnné X;. Původní proměnné se dají vyjádřit pomocí nových proměnných podle vztahu Xl

C11

C12

• ••

Cin

X~

X2

C21

C22

•••

C2n

X~

• • •

Xn

(IVA)

• • • •

• • •

• ••

• • •

• • •

,

Cn 1

Cn2

•••

Cnn

Xn

[155)

(IV.5) nebo x = Cx' kde

cI}

jsou libovolná reálná nebo komplexní (IV.5) je tzv . transformační matice.

čísla

Transformační vztahy pro nové proměnné

x; plynou z rovnice (IV.5)

a matice C v rovnici

ve tvaru (IV.6) kde C- 1 je inverzní transformační matice. Platí pro ni známý vztah (IV.7) kde

laljl

je determinant

AIj

"Aul!

transformační

matice,

aij

lalil,

algebraické doplňky prvků determinantu adjungovaná matice, jejíž prvky tvoří algebraické prvků determinantu

aij

doplňky

laul.

Z rovnice (IV.7) plyne, že transformační matice C musí být regulární a že tedy platí vztah (IV.8) .

Tato podmínka vyjadřuje lineánú nezávislost a jednoznačnost lineární transformace proměnných podle rovnic (IV.5) a (IV.6) . . Vztáh pro lineární transformaci proměnných Yi se určuje z podmínky invariantnosti lineární formy (IV.9) nebo v maticovém tvaru (IV. 10) Tyto rovnice mohou v teorii obecného elektrického stroje představovat okamžitý výkon, jestliže např. proměnné XI představují proudy a proměnné Yi napětí. Potom tyto vztahy vyjadřují tzv. princip invariantnosti výkonu. Dosadíme-li do (IV.10) rovnici (IV.5), dostaneme

[Cx'], y

(IV. ll)

[156]

=

x;y'

', nebo Xt'c tY = XtY

(IV.l2)

Za předpokladu

(IV.l3) dostaneme odtud

'1'

transformační

vztah pro

proměnné

YI

(IV.l4)

= CtY

(IV.lS)

nebo Y = C; ly' V teorii obecného stroje se různé proměnné (proudy, napětí, spřažené toky, magnetické toky) transformují pomocí stejných transformačních matic. Ze srovnání transformačních rovnic (IV.6) a (IV.l4) nebo (IV.S) a (IV.lS) plynou pro splnění podmínky invariantnosti výkonů pro transformační matici vztahy • 1

C- = Ct

(IV.l6)

nebo C = C;l

(IV.l7)

[157]

•

•

•

•

Literatura [1]

[2] [3] [4] [5] [6]

[7]

[8] [9] [10] [11]

[12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19]

[20] [21]

Park, R. H.: Two Reaction Theory or Synchronous Machines, Generalised Method or Analysis I. TAIEE, 1929, str. 716-727. Park, R. H.: Two Reaction Theory or Synchronous Machines II. TAIEE, 1933, str. 352- 354. Park, R. H.: Definition or on Ideal Synchronous Machine. G. E. Review, 1928, str. 332-334. Kron, G.: The Application or Tensors to the Analysis of Rotating Electrical Machinery. G. E. Review, 1935-1937. Lewis, W. A.: A Basic Analysis of Synchronous Machines I. TAIEE, Part III, 1958, str. 436-453. Concordia, c.: Synchronous Machines. Theory and Performance. John Wiley and Sons, 1951. Laible, Th.: Die Theorie der Synchronmaschine in nichtstationaren Betrieb. Springer 1952. Kučera, J. - Horák, Z.: Tensory v elektrotechnice a fysice. NČSAV 1963. Adkins, B.: The General Theory of Electrical Machines. Chapman and Hall 1957. White, D. C. - Woodson, H. H.: Electromechanical Energy Conversion. Mc Graw Hill1959. Ku, Y. U.: Electric Energy Conversion. Ronald Press 1959. Majmudar, H.: Electromechanical Energy Conversion. Allyn and Bacon 1965. Messerle, H. K.: Dynamic Circuit Theory. Pergamon Press 1965. Schmitz, N. L. - Novotny, D. W.: Introductory Electromechanics. The Ronald Press 1965. Ellison, A. J.: Electromechanical Energy Conversion. Harrap 1965. Jevons, M.: Electric Machine Theory. 1966. O'Kelly, D. - Simmons, S.: Introduction to Generalized Electrical Machine Theory. Me Graw Hill 1968. Gibbs, W. J.: Tensors in Electrical Maehine Theory. Chapman and Hall 1952. Gibbs, W. J.: Electrical Maehines Analysis using Matrices. Pittman and Sons 1962. Hancock, N. N.: Matrix Analysis of Electrical Maehinery. Pergamon Press 1966. Say, M. G.: Introduction to the Unified Theory of Electromagnetic Maehines, Pittman 1972.

[159]

•

Rejstřík

Bilance energetická 19, 22, 49 Činitel rozlohy 75, 138, 149 činitele transformační 85-87, 90-92 Děje kVllzistacionární 14, 18 - přechodné elektromagnetické 112 ...,.. - elektromechanické 112 Diagram fázorový 125, 128-129 Energie kinetická 31 - magnetická 17, 19-29,32-34,41,52, 53 Funkce stavová 19,22, 23, 41 Hystereze 16, 50 Charakteristika magnetizační 16, 20 Indukčnosti 20, 57 - asynchronního stroje 94, 95 - rotační 76, 78, 139, 141, 142, 144, 146 - sinusově rozloženého vinuti 147-154 - statická definice 15, 20, 37, 81 - synchronního stroje s vyniklými póly 81-83,85 - vlastní 20, 26, 33, 37, 45, 46, 60, 80, 150-154 - vzájemné 26, 37, 43, 45, 46, 59, 60, 61, 64,72,80,147-149,150- 154 - vztah vzájemné a rotační 144, 146 invariantnost výkonů 86, 92, 156-157 Koenergie 17, 26, 29, 32, 33, 41, 52 komutace 59, 61, 62, 63, 67 komutátor 58, 59 kondenzátor elektrodynamický 110-111 konstanta časová 106,111,112 Kron G. 11,65 Linearizace 66 Metadyn 108-109 mezera vzduchová 27, 28, 39, 68 moment asynchronního stroje 133-134 - elektromagnetický vnítřnf ll, 15, 40, 42, 43, 48, 49, 50, 53, 58, 59, 77, 78-79, 80, 103 - mechanický 77

- reluktanční 56, 78 - setrvačnosti 15, 40, 50, 77 - stejnosměrného stroje 103 - střední 114-115, 117, 133-134 - synchronního stroje 126 - - - při kývání 129 - - - poměrný 130-131 motor repulsní 115 - rozběh 109-112 Napětí efektivní 149 - indukované vnitřní 18, 20, 136, 137 - magnetomotorické 17, 39, 67, 68 - pohybové 30 - rotační 42, 48, 51, 59, 63, 64, 72, 73 74, 75, 103, 138 - transformační 30, 42, 48, 51, 59, 63, 72, 73, 138 Obvod elektrický 14, 15, 22, 25, 29, 36, 40, 50, 125 ~ magnetický 14, 15, 16, 26, 28, 29, 50, 55, 125 - mechanický 14, 29, 40, 50, 125 odpor magnetický 18, 38 osa podélná 69 - příčná 69 Parametry rozložené 14 - soustředěné 14 Park R. H. 84, 92, 119 permeabilita 12 permitivita 12 princip ďAlembertův 14, 29,76 přeměna energie 11 Rovnice Maxwellovy 12, 16 - napěťové 42, 45, 70, 72, 73, 76, 80, 93 - pohybová 15, 76, 80 - pro spřažené magnetické toky 80, 84, 94-95 rychlost souřadných os 96, 99 itada Fourierova 68, 137, 143, 145, 154

[161)

Síla elektromagnetická vnitřní ll, 30- 35, 37,38, 39 - Lorenzova 13 - setrvačná 15 soustava rovnic 25, 76, 78, 80, 88, 92 - - s konstantními koeficienty 78 stroj asynchronní 93-101 - - v ustáleném stavu 131-134 - elektrický 11 - - obecný 65 - 66, 69 - komutátorový jednofázový 113-118 - stejnosměrný 102-112 - synchronní 79-93 - - v ustáleném stavu 122-126 - - při kývání 126-131 systém elektromechanický 35 - - otočný 39, 54 - - obecný 50- 54 Tok magnetický 16, 28, 34,38,69,73-74, 143, 148, 149 - spřažený magnetický 16, 22, 28, 40, 45, 50, 51, 52, 60, 68, 71, 75, 137, 143, 148 transformace Laplaceova 105 - lineární 83, 84, 85, 96 - - napěťových rovnic 87-88,98 - - rovnic pro spřažené magnetické toky 89-91, 96-98 •

l162]

- souměrných střídavých veličin 118-121 Účiník 114 úhel elektrický 138 - mechanický 39, 50 - zátěžný 124 úhlová rychlost elektrická 69, 75, 138, 139 - - mechanická 15, 39, 50, 69,77, 138 Vinutí budicí 68, 69, 103 - kompenzační 69, 103 - komutační 69 - pseudostacionární 70 - rotorové s komutátorem 70, 71 - rozložené rovnoměrně 67 - - sinusově 67, 68, 147 - soustředěné 67 - tlumicí 69 vodivost magnetická 20 - - měrná 67, 68, 151 výkon vnitřní mechanický 32, 53, 54, 77, 92 Zákon Faradayův 70 - Hopkinsonův 14, 20, 21, 38 zákony Kirchhoffovy 14, 15, 18,22,29 ztráty Joulovy 19, 49 - v železe 50 -

•

Obecná teorie elektrického stroje DOC. ING. J. MgltIČKA, CSc., PROF. ING. Z. ZOUBEK, CSc. DT 621.313.01 Vydalo SNTL - Nakladatelství technické literatury, n. p., Spálená 51, Praha I, v roce 1973 v řadě elektrotechnické literatury jako svou 7213. publikaci Redakce elektrotechnické literatury, odpovědný redaktor Ing. Josef ruha Vazbu a přebal navrhl a graficky upravil Karel Wick Vytiskla Státní tiskárna, závod 5, nositel ltádu práce, Praha 8 164 stran, 55 obrázkll, 2 tabulky Typové číslo L 25-B 3-IV-41/52140-VI - Vydání první - Náklad 2000 výtiskť1 9,82 AA, 10,26 VA 05/34 Cena vázaného výtisku Kčs 20,00 - I 508/21,856 04-519-73 Kčs 20,00 - I Publikace je určena vývojovým a vědeckým pracovnfkllm, inženýrům, technikům a studentům elektrotechnických fakult příslušných studijních oborll

No title

Recommend Documents