No title

http://meetabied.wordpress.com SMAN 1 Bone-Bone, Luwu Utara, Sul-Sel

Kebahagiaan tertinggi dalam kehidupan adalah kepastian bahwa Anda dicintai apa adanya, atau lebih tepatnya dicintai walaupun Anda seperti diri Anda adanya (Victor Hugo)

[RUMUS CEPAT MATEMATIKA] Irisan Kerucut

================================================================================ Materi ini dapat disebarluaskan secara bebas, untuk tujuan bukan komersial, dengan atau tanpa menyertakan sumber. Hak Cipta selamanya pada Allah Swt. Salam hangat selalu … Muhammad Zainal Abidin | admin of http://meetabied.wordpress.com

1. UAN 2003/P-1/No.26 Koordinat titik pusat dan jari-jari lingkaran : x2 +y2 -4x +6y +4 = 0 adalah…. A. (-3 ,2) dan 3 B. (3 ,-2) dan 3 C. (-2 ,-3) dan 3 D. (2 ,-3) dan 3 E. (2 ,3) dan 3

Gunakan info : @ x2 +y2 -4x +6y +4 = 0 A = -4, B = 6 dan C = 4

O

Sebenarnya kita hanya perlu mencari Pusat lingkaran saja, sebab r sudah sama pada pilihan.

@ Rumus Pusat : 1 1 1 1 P(- A, - B) = P(- .(-4), - .6) 2 2 2 2 = P(2 ,-3)

@ Jari-jari rumus : 1 2 1 2 A + B -C 4 4 1 1 = .(-4) 2 + .6 2 - 4 4 4 1 1 = .16 + .36 - 4 4 4 = 4+9-4 = 9 =3

r=

Jawaban : D

1 Perhatikan terobosannya

x 2 + y 2 - 4x + 6 y + 4 = 0 -2

-2

Pusat : ( 2 , -3 )

:

Jawaban : D

http://meetabied.wordpress.com

2

2. UAN 2003/P-2/No.26 Salah satu garis singgung yang bersudut 120o terhadap sumbu X positif pada lingkaran dengan ujung diameter titik (7 ,6) dan (1 ,-2) adalah…. A. y = -xÖ3 +4Ö3 +12 B. y = -xÖ3 -4Ö3 +8 C. y = -xÖ3 +4Ö3 -4 D. y = -xÖ3 -4Ö3 -8 E. y = -xÖ3 +4Ö3 +22

Gunakan info :

O

q = 120o berarti m = tg q = tg 120o = -Ö3 Titik ujung diameter : (7 ,6) dan (1 ,-2), berarti Pusat : ( 7 +2 1 , 6 -2 2 ) = ( 4 ,2 ) dan r = ( 7 - 4 )2 + ( 6 - 2 )2 = 9 + 16 = 5

O

Pers. Garissinggung umum :

y - b = m( x - a ) ± r 1 + m 2 y - 2 = - 3 ( x - 4 ) ± 5 1 + ( - 3 )2 y = -xÖ3 +4Ö3 ! 5.2 +2 y = -xÖ3 +4Ö3 ! 12

1 Perhatikan

terobosannya

Jawaban : A


3

3. EBTANAS’99/No.25 Diketahui lingkaran x2 +y2 +2px +10y +9 = 0 menyinggung sumbu X. Nilai p = …. A. 9 B. 6 C. 3 D. 13 E.

1 9

Gunakan info : @ x2 +y2 +2px +10y +9 = 0 Menyinggung sumbu-X, berarti y = 0 x2 +2px +9 = 0 D = 0 ð (2p)2-4.1.9 = 0 4p2 -36 = 0 4p2 = 36 p2 = 9 p=±3

O O

Menyinggung sumbu-X berarti y = 0. Menyinggung Sb-X, “ Pandang Pendamping X-nya dan C “ 2

æ A ö Atau ç ÷ =C è-2ø

1 Perhatikan terobosannya

x 2 + y 2 + 2 px + 10 y + 9 = 0 æ 2 p ö2 çç ÷÷ = 9 è -2 ø

p2 = 9 p = ±3

te ta pan

Jawaban : C


4

4. Lingkaran x2 +y2 -14x +2my +49 = 0. Menyinggung sumbu Y, maka nilai m adalah…. A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 E. 11

@ x2 +y2-14x +2my +49 = 0 Menyinggung sumbu-Y, berarti x = 0 y2 +2my +49 = 0 D = 0 Þ (2m)2-4.1.49 = 0 4m2 -142 = 0 (2p)2 = 142 2p = ± 14 p=±7

O O

Menyinggung sumbu-Y, berarti x=0 Menyinggung Sb-Y, “ Pandang Pendamping Y-nya dan C “ 2

æ B ö Atau ç ÷ =C è-2ø

JAWABAN : C

@

Perhatikan terobosannya

x + y 2 - 14 x + 2 m y + 49 = 0 2

æ 2m çç è -2

ö2 ÷÷ = 49 ø

m 2 = 49 m = ±7

te ta p a n


5

5. Persamaan lingkaran dengan pusat (3 ,-4) menyinggung sumbu X adalah…. A. x2 +y2 -6x +8y +16 = 0 B. x2 +y2 -6x -8y -16 = 0 C. x2 +y2 -6x +8y +9 = 0 D. x2 +y2 -6x +8y -9 = 0 E. x2 +y2 -6x -8y -9 = 0

@ pusat (3 ,-4)

O

x2 +y2 -2px -2qy +p2 = 0 x2 +y2 -2.3x -2.(-4)y +32 = 0 x2 +y2 -6x +8y +9 = 0

JAWABAN : C

@


Pers.Lingkaran dengan pusat (p ,q) dan menyinggung sumbu X adalah : (x –p)2 +(y –q)2 = q2 atau x2 +y2 -2px -2qy +p2 = 0

32

P (3 , - 4 ) k a lik a n

x

2

-2

+ y

2

-2

- 6x + 8y + 9 = 0


6

6. Persamaan lingkaran dengan pusat (-4 ,2) menyinggung sumbu Y adalah…. A. x2 +y2 +8x -4y +16 = 0 B. x2 +y2 -8x +4y +16 = 0 C. x2 +y2 +8x -4y +4 = 0 D. x2 +y2 +8x +4y +4 = 0 E. x2 +y2 -8x +4y +4 = 0

@ pusat (-4 ,2)

@ Pers.Lingkaran dengan -2

-4 (x +4)2 +(y -2)2 = r2

pusat (p ,q) dan menyinggung sumbu Y adalah : L (x –p)2 +(y –q)2 = p2 atau L x2 +y2 -2px -2qy +q2 = 0

Menyinggung sumbu Y, berarti jari – jarinya sama dengan absis titik pusat yaitu r = |-4| = 4 ,maka persamaan lingkarannya adalah :

(x +4)2 +(y -2)2 = 42 x2 +8x +16 +y2 -4y +4 = 16 x2 +y2+8x -4y +4 = 0

@


P(-4,2) x2 +y2 -2px -2qy +q2 = 0 x2 +y2 -2(-4)x -2.2y +22 = 0 x2 +y2 +8x -4y +4 = 0

JAWABAN : C

7. Persamaan lingkaran dengan pusat (3 ,5) dan jari-jari 6 adalah…. A. x2 +y2 -6x +10y -2 = 0 B. x2 +y2 -6x -10y -2 = 0 2 C. xhttp://meetabied.wordpress.com +y2 +6x +10y -2 = 0

7

@ P(3 ,5), r = 6 (x –p)2 +(y –q)2 = r2 (x –3)2 +(y –5)2 = 62

@ Pers.Lingkaran dengan pusat (p ,q) dan jari-jari r adalah : L x2 +y2 -2px -2qy +p2+q2-r2 = 0

x2 -6x +9 +y2-10y +25 = 36

x2 +y2 -6x -10y -2 = 0

JAWABAN : B

3

2

+ 5 2 - 6 2 = -2

k u a d ra tk a n :

P (3 k a li k a n

x

, 5) , r = 6 -2

2

+ y

2

-2

- 6 x - 10 y - 2 = 0


8

8. PREDIKSI UAN/SPMB Pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran : x2 +y2 -10x +6y -15 = 0 adalah…. A. (5 ,3) dan 5 B. (5 ,-3) dan 5 C. (5 ,3) dan 7 D. (5 ,-3) dan 7 E. (-5 ,3) dan 6

@ x2 +y2 -10x +6y -15 = 0 Pusat Rumus :

@ Lingkaran dengan

1 ö æ 1 1 ö æ 1 ç - A,- B ÷ = ç - .(-10),- .6 ÷ 2 ø è 2 2 ø è 2 = (5,-3)

P(p ,q) maka : r=

p2 + q2 - C

Jari-jari Rumus : @ 1 2 1 r = = = =

A + B2 - C 4 4 1 1 .( - 10 ) 2 + . 6 2 + 15 4 4 1 1 . 100 + . 36 + 15 4 4 25 + 9 + 15 = 47 = 7

x2 + y2 -10x +6y -15= 0 dibagi : -2

P(5 , -3)

JAWABAN : D

-2

r = 52 + (-3)2 - (-15)

r =

49 = 7


9

9. EBTANAS ‘94/A1/No.21 Salah satu persamaan garis singgung lingkaran : x2 +y2 = 25 yang di tarik dari titik (0 ,10) adalah… A. x/3 +y = 10 B. x/3 +y = 50 C. x/3 +y = 25 D. -x/3 –y = 10 E. -x/3 –y = 50

@ Titik (0 ,10) di substitusikankan ke pilihan (option) : Ganti x= 0 harus di dapat y = 10 Option B : x = 0 à 3/x +y = 50 3/0 + y = 50 di dapat y = 50 (tidak cocok) Option A : x = 0 à 3/x +y = 10 3/0 + y = 10 di dapat y = 10 ( cocok) Berarti pilihan benar : A

@



10

10. EBTANAS ‘95/A2/No.20 Persamaan garis singgung melalui titik (9 ,0) pada lingkaran x2 +y2 = 36 adalah…. A. 2x +y/5 = 18 dan 2x -y/5 = 18 B. 2x +y/5 = 18 dan -2x +y/5 = 18 C. 2x +y/5 = -18 dan -2x -y/5 = -18 D. x/5 +2y = -18 dan x/5 -2y = 18 E. x/5 +2y = -18 dan x/5 -2y = -18

@ Persamaan garis polar melalui Titik (x1 ,y1) pada lingkaran x2 +y2 = r2 adalah : xx1 +yy1 = r2 @ Persamaan garis polar melalui Titik (9 ,0) pada lingkaran x2 +y2 = 36 adalah : 9x +0.y = 36 9x = 36 ,x = 4 Untuk x = 4 maka 42+y2=36 Þ y2 = 36 -16 y = ± √20 @ Persamaan Garis melalui (4, ±√ 20) adalah : xx1 +yy1 = r2 4x ±√ 20y = 36 4x ±2√5y = 36 2x ±y√5 =18 JAWABAN : A

@ Titik (9 ,0) di substitusikan

kan ke pilihan (options) Ganti y = 0 harus di dapat x = 9

Options : A. ì2x + 0 5 = 18Þ x = 9 (Cocok) y = 0í î2x - 0 5 = 18Þ x = 9 (Cocok)

Berarti Jawaban benar : A

@



11

11. EBTANAS ‘98 Diketahui lingkaran x2 +y2 –4x +2y + C = 0 melalui titik A(5 ,-1). Jari-jari lingkaran tersebut sama dengan…. A. Ö7 B. 3 C. 4 D. 2Ö6 E. 9

@ A(5 ,-1) susupkan keepers.lingkaran 52 +(-1)2 –4.5 +2(-1) +C = 0 25 +1 –20 –2 +C = 0 C = -4

@ x2 +y2 –4x +2y + C = 0 C = -4 . Persamaannya menjadi : x2 +y2 –4x +2y -4 = 0

x

2

+ y

2

d ib a g i :

JAWABAN : B

- 4x + 2y - 4 = 0 -2

P (2 , -1 )

-2

r =

2 2 + ( - 1) 2 - ( - 4 )

r =

9 = 3


12

12. EBTANAS 2002/P-1/No.26 Titik (a ,b) adalah pusat lingkaran : x2+y2 -2x +4y +1=0. Jadi 2a +b =… A. 0 B. 2 C. 3 D. –1 E. –2

O

Pusat (a ,b) x2+y2 -2x +4y +1=0 @ Rumus Pusat : 1 ö æ 1 1 ö æ 1 ç - A,- B ÷ = ç - .(-2),- .4÷ 2 ø è 2 2 ø è 2 = (1,-2)

@ Berarti a = 1 dan b = -2 Maka 2a +b = 2.1+(-2) = 0

JAWABAN : D

x2 + y 2 - 2x + 4 y + 1 = 0 dibagi : -2

-2

P(1 , -2)

a=1 b = -2

2a +b = 2 -2 = 0


13

13. EBTANAS 2001/P-1/No.25 Salah satu persamaan garis singgung dari titik (0,0) pada lingkaran (x –3)2 +(y –4)2 = 5 adalah.. A. x – y = 0 B. 11x +y = 0 C. 2x +11y = 0 D. 11x –y = 0 E. 11x –2y = 0

1 Persamaan garis melalui

(0 ,0) adalah y = mx …( i ) Substitusi kepersamaan lingkaran, didapat : (x -3)2 +(mx -4)2 = 5 x2 -6x +9 +m2x2-8mx +16 = 5 (1 +m2)x2 –(6 +8m)x +20 = 0 D = 0 Þ b2 -4ac = 0 (6 +8m)2 -4(1 +m2).20 = 0 36 +96m +64m2-80-80m2 = 0 -16m2 +96m -44 = 0 : (-4) 4m2 -24m +11 =0 (2m -1)(2m -11) = 0 1 11 atau m = 2 2 11 Untuk m = substitisi ke (i) 2 11 didapat y = x atau 2

m=

11x – 2y = 0

INFO :

@ Jarak titik (a ,b) ke garis AX +BY +C = 0 adalah : d=

aA + bB + C A2 + B 2

@ (x –3)2 +(y –4)2 = 5 , berarti P(3 ,4) dan r = Ö5. Cari jarak (3 ,4) ke garis pada Option yang bernilai Ö5.

@ Option E : d = =

3 . 11 + 4 ( - 2 ) + 0 12 2 + ( - 2 ) 2 25 5

5

=

5

@ Berarti jawaban benar : E


14

14. Persamaan garis singgung pada lingkaran : x 2 + y 2 = 5 di titik (1 ,2) adalah… A. x +2y = 5 B. x –2y = 5 C. 2x +y = 5 D. 2x –y = 5 E. 2x +2y = 5

@ x 2 + y 2 = 5 Þ (1,2) @ Persamaan Garis

@ Persamaman Garis singgung pada lingkaran x 2 + y 2 = r 2 di titik (x1 ,y1) adalah : x1 x + y1 y = r 2

Singgungnya adalah : 1.x +2y = 5 x +2y = 5

JAWABAN : A

@



15

15. Persamaan garis singgung pada lingkaran : x 2 + y 2 - 3 x - 2 y - 1 = 0 dititik (2 ,3) adalah.. A. x –4y –14 = 0 B. x +4y –14 = 0 C. x +4y +14 = 0 D. 4x +y –14 = 0 E. 4x –y +14 = 0

@ Ingat ! Cek dulu titiknya : ( 2 ,3) Substitusikan ke persamaan lingkaran x 2 + y 2 - 3x - 2 y - 1 = 0 22 +32 –3.2 –2.3–1 = 0 ternyata (2,3) berada pada lingkaran.

@

Perhatikan terobosannya :

Pasang Rumus : x1x + y1 y + 12 A(x1 + x) + 12 B(y1 + y) + C = 0 2x +3y + ½ (-3)(2 +x) + ½ (-2)(3 +y) – 1 = 0 2x +3y –3 -1 ½ x –3 –y –1 = 0 ½ x +2y –7 = 0 atau x +4y –14 = 0


16

16. Persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 + y 2 = 9 yang sejajar dengan garis 2x –y +5 = 0 adalah…. A. y = 2x +2Ö5 dan y = 2x -2Ö5 B. y = 2x +3Ö5 dan y = 2x -3Ö5 C. y = 2x +4Ö5 dan y = 2x -4Ö5 D. y = 2x +5Ö5 dan y = 2x -5Ö5 E. y = 2x +6Ö5 dan y = 2x -6Ö5

O

Garis 2x –y +5 = 0 , berarti m = 2 @ Pers.garis singgung :

O

y = 2 x ± 3 1 + 22 = 2x ± 3 5

Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 +y2 = r2 dengan gradient m adalah : y = mx ± r 1 + m 2

O

Garis Ax +By + C = 0 Sejajar Þ m = -

A B

Tegak Lurus : Þm=-

@ Jawaban benar : B

@

B A



17

17. Persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 + y 2 = 25 yang Tegak lurus dengan garis x +3y -10 = 0 adalah…. A. y = 3x +5Ö10 dan y = 3x -5Ö10 B. y = 3x +6Ö5 dan y = 3x -6Ö10 C. y = 3x +7Ö5 dan y = 3x -7Ö10 D. y = 5x +5Ö5 dan y = 5x -5Ö5 E. y = 5x +6Ö5 dan y = 5x -6Ö5

O O

Garis x +3y -10 = 0 , berarti m = 3 Pers.garis singgung :

O

y = 3x ± 5 1 + 3 2 = 3 x ± 5 10

Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 +y2 = r2 dengan gradient m adalah : y = mx ± r 1 + m 2

@ Garis Ax +By + C = 0 Sejajar Þ m = -

A B

Tegak Lurus : Þm=-

@ Jawaban benar : A

@

B A



18

18. SPMB 2002/R-III/No.11 Lingkaran : L1 : x 2 + y 2 - 10 x + 2 y + 17 = 0 dan L2 : x 2 + y 2 + 8 x - 2 y - 7 = 0 A. tidak berpotongan B. bersinggungan dalam C. bersinggungan luar D. berpotongan di dua titik E. mempunyai jari-jari yang sama

@ L1 : Pusat (5 ,-1)

à r1 = 3 L2 : Pusat (-4 ,11) à r2 = 12 @ Jarak Pusat L1 dan L2 :

1

d = (5 - (-4)) 2 + (-1 - 11) 2 = 81 + 144 = 225 = 15

Jika ada dua lingkaran Jika jarak kedua pusat lingkaran dan jumlah kedua jari – jarinya sama maka kedua lingkaran tersebut Bersinggungan di luar.

@ r1 + r2 = 3 +12 = 15 Terlihat Jarak kedua pusat = jumlah kedua jari-jarinya. Berarti kedua lingkaran tersebut bersinggungan di luar

P1

r1

r2 P2

@


JAWABAN : C


19

19. SPMB 2002/R-I/No.6 Titik pusat lingkaran L berada di kuadran I dan berada disepanjang garis y = 2x. Jika L menyinggung sumbu Y di titik (0 ,6) maka persamaan L adalah….

A. B. C. D. E.

x2 +y2-3x –6y = 0 x2 +y2 +6x +12y -108 = 0 x2 +y2 +12x +6y -72 = 0 x2 +y2-12x –6y = 0 x2 +y2-6x –12y +36 = 0

1 Pada gambar terlihat : Pusat (3 ,6) dan r = 3 Rumus : (x –a)2 +(y –b)2 = r2 (x –3)2 +(y –6)2 = 32 x2 -6x +9 +y2-12y +36 = 9 x2 +y2 -6x -12y +36 = 0

Y

(0 ,6)

y = 2x r=3

P(3 ,6)

3

X

JAWABAN : E 62

P( 3 k a lik a n

-2

, 6) -2

x 2 + y 2 - 6 x - 12 y + 36 = 0


20

20. UMPTN 2001/B,C Garis g menghubungkan titik A(5 ,0) dan titik B(10 cos q, 10 sin q). Titik P terletak pada AB sehingga AP : PB = 2 : 3. Jika q berubah dari 0 sampai 2p, maka titik P bergerak menelusuri kurva yang berupa…. A. lingkaran x2 +y2 -4y = 32 B. lingkaran x2 +y2 -6x = 7 C. elips x2 +4y2 -4x = 32 D. parabol x2 -4y = 7 E. parabol x2 -4x = 32

O

AP : PB = 2 : 3 berarti :

p = 15 (3a + 2b) = 15 (15 + 20 cos q ,0 + 20 sin q ) = (3 + 4 cos q ,4 sin q ) x = 3 +4 cos q atau cos q = y = 4 sin q

O

x-3 4

x2 = 9 + 16 cos2q +24 cos q y2 = 16 sin2q +x2 +y2 = 9 +16(cos2q +sin2q) x -3 +24( ) 4 x2 +y2 = 25 +6x -18 atau x2 +y2 -6x = 7

@

Perhatik an terobosa nnya

JAWABAN : B


21

21. UMPT 2001/A Jika titik (1 ,2) merupakan titik tengah suatu tali busur lingkaran x2 +y2 -4x -2y -20 = 0 maka persamaan tali busur tersebut…. A. x +2y -5 = 0 B. x +y -3 = 0 C. x –y +1 = 0 D. 3x +y -5 = 0 E. 2x +y -4 = 0

O

O O

Lingkaran : x2 +y2 -4x -2y -20 = 0 Pusatnya : P(2 , 1) Perhatikan gambar : 1 m = tga = = 1 1

tali busur

2 1

a

(1 ,2)

P(2 ,1) 1

2

Persamaan tali busur melalui (1 ,2) dengan gradien 1 adalah : y -2 = 1.(x -1) atau x –y +1 = 0

@


JAWABAN : C


22

22. UAN 2004/P-1/No.25 Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran x2 +y2 -4x -2y -15 = 0 yang tegak lurus garis x +2y -3 = 0 adalah…. A. y = 2x -7 B. y = 2x -13 C. y = -2x +15 D. y = -2x -5 E. y = -2x +7

@ x2 +y2 -4x -2y -15 = 0 Pusat (2 , 1) r = 2 2 + 12 - (-15) = 20 @ tegak lurus x +2y -3 = 0, berararti m = 2 @ Persamaan garis singgung : y –b = m(x –a) ± r m 2 + 1 y -1 = 2(x -2) ± 20 2 2 + 1 y -1 = 2x -4 ± 100 y -1 = 2x -4 ± 10 @ Ambil ( - ) di dapat : y – 1 = 2x -4 -10 y = 2x -13

@ Pusat (2 ,1) dan r = √20 @ tegak lurus x +2y -3 = 0, berararti m = 2 Pada pilihan garis yang memiliki m = 2 hanya A dan B saja. Berarti pilihan C, D dan E jelas salah. @ Cari jarak pusat ke garis pada A atau B yang bernilai √20, yakni yang sama dengan jari-jari lingkaran. @ Pilihan A. y = 2x-7 atau 2x –y -7 = 0, dan P(2,1) d =|

JAWABAN : B

2 .2 - 1 .1 - 7

2 2 + ( - 1) 2 -4 4 =| |= 5 5 5

|

Tidak sama dengan √20 Berarti pilihan benar : B


23

22. Agar garis y = ax –3 tidak memotong parabola y 2 = 4 x . Harga a adalah…. A. a > - 13 B. a > - 14 C. a < - 12 D. a < 13 E. a < - 13

@ y = ax –3 y 2 = 4 x berarti : (ax -3)2 = 4x a2x2 -6ax +9 = 4x a2x2 –(6a +4)x +9 = 0 Tidak berpotongan : D < 0 (6a +4)2 -4.a2.9 < 0 36a2+48a +16 -36a2 < 0 48a +16 > 0 atau 48a < -16

O

Agar garis y = mx + n TIDAK memotong parabol y

2

= 4 px

L m dan n sama tanda , maka :

p >n m

L m dan n beda tanda , maka :

1 Berarti a < 3

p
JAWABAN : E

beda tanda

y = 4. 1 x 1 a < -3

y = a x -3 a < -1 3


24

23. Persamaan parabol yang berkoordinat focus (4,-1) dan persamaan direktriksnya y = -5 adalah… A. x2 -8x -8y +8 = 0 B. x2 -8x -8y -8 = 0 C. x2 -4x -4y +8 = 0 D. x2 -4x -4y -8 = 0 E. x2 +4x +4y -8 = 0

@ Fokus (4, -1) , direktriks y = -5, berarti parabol tersebut vertical @ Rumus focus F(a, b +p) a = 4 dan b +p = -1 @ Rumus direktriks y = b –p Berarti b –p = -5 dari : b +p = -1 b –p = -5 2p = 4 Þ p = 2 b = -3 @ Rumus Parabol vertical : (x –a)2 = 4p(y –b) (x -4)2 = 4.2(y +3) x2 -8x +16 = 8y +24 x2 -8x -8y -8 = 0

tetap

F( 4 , -1) P(4,

y = -5 -1 - 5 ) = (4,-3) 2 p = -1 -(-3) = 2

O

( x - a ) 2 = 4 p ( y - b) ( x - 4) 2 = 4.2( y + 3) x 2 - 8x - 8 y - 8 = 0

@


JAWABAN : B


25

24. Persamaan parabola yang berpuncak (2 ,3) dan (4 ,3) adalah…. A. (y -3)2 = 8(x -2) B. (y +3)2 = 8(x +2) C. (y -2)2 = -8(x -2) D. (x +2)2 = 8(y -3) E. (x +2)2 = -8(y -3)

@ Puncak P(2 ,3) , F(4, 3) Perhatikan ordinat sama, berarti parabol tersebut horizontal (y-nya kuadrat) @ P(2 ,3) berarti a = 2 dan b=3 F(4 ,3) bandingkan : F(a +p,b) berarti : a +p = 4 Þ 2 +p = 4 p=2 @ Persamaan Parabol (y –b)2 = 4p(x –a) (y -3)2 = 4.2(x -2) (y -3)2 = 8(x -2)

berfokus

sama, Y-nya kuadrat

P( 2 , 3)

tetapan

F( 4 , 3)

p = 4 -2 = 2

( y - 3) 2 = 4 . 2 ( x - 2 )

( y - 3) 2 = 8( x - 2)

@


JAWABAN : A


26

25. Persamaan parabol yang berpuncak (5 ,6) dan (8 ,6) adalah… A. (y -6)2 = 12(x -5) B. (y +6)2 = 12(x +5) C. (y -6)2 = -12(x -5) D. (x -5)2 = 8(y -6) E. (x +5)2 = -8(y -6)

@ Puncak P(5 ,6) , F(8, 6) Perhatikan ordinat sama, berarti parabol tersebut horizontal (y-nya kuadrat) @ P(5 ,6) berarti a = 5 dan b=6 F(8 ,6) bandingkan : F(a +p,b) berarti : a +p = 8 Þ 5 +p = 8 p=3 @ Persamaan Parabol (y –b)2 = 4p(x –a) (y -6)2 = 4.3(x -5) (y -6)2 = 12(x -5)

O

@

berfokus

Pers.Parabol yang berpusat (puncak) di P(a ,b) dan berfokus di F(n ,b) adalah : ( y - b) 2 = 4(n - a)(x - a)


( y - b)2 = 4(n - a)(x - a) ( y - 6) 2 = 4(8 - 5)(x - 5) JAWABAN : A

( y - 6) 2 = 12( x - 5)


27

26. Persamaan parabola yang berpuncak (-5 ,6) dan (-5 ,13) adalah…. A. (y -6)2 =28(x -5) B. (y +6)2 = 28(x +5) C. (y -6)2 = -28(x -5) D. (x +5)2 = 28(y -6) E. (x +5)2 = -28(y -6)

@ Puncak P(-5 ,6) , F(-5, 13) Perhatikan Absis sama, berarti parabol tersebut vertikal (x-nya kuadrat) @ P(-5 ,6) berarti a = -5 dan b=6 F(-5 ,13) bandingkan : F(a ,b +p) berarti : b +p = 13 Þ 6 +p = 13 p=7 @ Persamaan Parabol (x –a)2 = 4p(y –b) (x +5)2 = 4.7(y -6) (x +5)2 = 28(y -6)

berfokus

sama, x-nya kuadrat

P(-5 , 6)

tetapan

F( -5 ,13)

p = 13 -6 = 7

( x + 5) 2 = 4 . 7 ( y - 6 )

( x + 5) 2 = 28( y - 6) @


JAWABAN : D


28

27. Persamaan parabola yang berpuncak (8 ,1) dan berfokus (8 ,7) adalah…. A. (y -1)2 = 12(x -5) B. (y +1)2 = 12(x +5) C. (y -1)2 = -12(x -5) D. (x -8)2 = 24(y -1) E. (x -8)2 = -24(y -1)

@ Puncak P(8 ,1) , F(8, 7) Perhatikan Absis sama, berarti parabol tersebut vertikal (x-nya kuadrat) @ P(8 ,1) berarti a = 8 dan b=1 F(8 ,7) bandingkan : F(a ,b +p) berarti : b +p = 8 Þ 1 +p = 7 p=6 @ Persamaan Parabol (x –a)2 = 4p(y –b) (x -8)2 = 4.6(y -1) (x -8)2 = 24(y -1)

O

@

Pers.Parabol yang berpusat (puncak) di P(a ,b) dan berfokus di F(a ,n) adalah : (x - a) 2 = 4(n - b)( y - b)


(x - a)2 = 4(n - b)(y - b) (x -8)2 = 4(7 -1)(y -1) ( x - 6) 2 = 4(6)( y - 1)

JAWABAN : D

( x - 6) 2 = 24( y - 1)


29

28. Himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik (3 ,4) dan garis x = -1 adalah…. A. y2 +8y -8x +8 = 0 B. y2 -8y -8x +24 = 0 C. y2 +8y -4x -8 = 0 D. y2 -8y -4x +24 = 0 E. y2 -8y +4x +16 = 0

@ Berjarak sama terhadap direktriks x = -1, berarti focus F(3, 4) Direktriknya x, berarti parabol horizontal, @ F(3 ,4) Þ F(a +p, b) a +p = 3 dan b = 4 direktriks : x = a –p berarti a –p = -1 @ Dari a +p = 3 a –p = -1 (–) 2p = 4 , p = 2 a=1

O

( y - b ) 2 = 4. p ( x - a )

tetap

F( 3 , 4 )

P(

x = -1 -1+ 3 , 4 ) = (1, 4 ) 2

p=3-1=2

O

( y - b ) 2 = 4. p ( x - a ) ( y - 4) 2 = 4.2( x - 1) y 2 - 8 y - 8 x + 24 = 0

@


( y - 4) = 4.2( x - 1) 2

y 2 - 8 y - 8 x + 24 = 0

JAWABAN : B


30

29. Parabol dengan persamaan y2 = 8x mempunyai titik focus dan persamaan garis direktiks berturut-turut adalah… A. (2 ,0) dan x = -2 B. (2 ,0) dan x = 2 C. (-2 ,0) dan x = -2 D. (-2 ,0) dan x = 2 E. (0 ,2) dan y = -2

O

y2 = 8x 8 p= =2 4 Fokus : (2 ,0) Direktriks : x = -2

O

Parabol y2 = 4px mempunyai : L Fokus : (p ,0) L Direktriks : x = -p

@


JAWABAN : A


31

30. Parabol dengan persamaan y2 = -6x mempunyai titik focus dan persamaan garis direktiks berturut-turut adalah… A. (- 23 ,0) dan x = 23 B. (- 32 ,0) dan x = 32 C. (3 ,0) dan x = -3 D. (0 ,3) dan x = 3 E. (0 ,3) dan y = -3

O

y2 = 8x …… -6 3 p= =4 2 3 Fokus : (- 2 ,0)

O

Parabol y2 = 4px mempunyai : L Fokus : (p ,0) Direktriks : x = -p

@


Direktriks : x = 32

JAWABAN : B


32

31. Parabol dengan persamaan x2 = 12y mempunyai titik focus dan persamaan garis direktiks berturut-turut adalah… A. (3,0) dan x = -3 B. (3,0) dan x = 3 C. (0 ,2) dan y = 2 D. (0 ,3) dan y = 3 E. (0 ,3) dan y = -3

O

x2 = 12y 12 p= =3 4 Fokus : (0 ,3) Direktriks : y = -3

O

Parabol x2 = 4py mempunyai : L Fokus : (0 ,p) L Direktriks : y = -p

@


JAWABAN : E


33

32. Parabol (y -4)2 = 8(x -5) mempunyai koordinat focus…. A. (8 ,4) B. (7 ,4) C. (6 ,4) D. (4 ,6) E. (5 ,6)

O

(y -4)2 = 8(x -5) p = ¼ .8 = 2

O

Parabol (y -b)2= 4p(x –a) mempunyai : L Puncak : P(a ,b) L Fokus : F(a +p,b)

@


LFokus : (a +p,b) = (5 +2,4) = (7 ,4)

JAWABAN :


34

33. Parabol y2 +6y +8x -7 = 0 mempunyai focus dan persamaan direktriks berturut –turut adalah….. A. (2 ,9) dan y = -2 B. (3 ,0) dan y = -3 C. (0 ,-2) dan x = 2 D. (0 ,-3) dan x = 4 E. (0 ,-4) dan x = 4

O

y2 +6y +8x -7 = 0 y2 +6y +( ½ .6)2 = -8x +7+( ½ .6)2 (y +3)2 = -8x +7 +9 (y +3)2 = -8(x -2) , p = ¼ .(-8) = -2

O

Fokus : (2 -2, -3) = (0 ,-3) Direktriks : x = 2 +2 = 4

O

@

Parabol : (y –b)2 = 4p(x –a) LFokus : (a +p,b) LDirektriks : x = a -p


JAWABAN : D


35

34. Salah satu persamaan garis singgung pada parabol y2 = 8x di titik yang berabsis 2 adalah…. A. x –y +2 = 0 B. x +y -2 = 0 C. x +y -6 = 0 D. x –y -3 = 0 E. x +2y = 0

O

O

y2 = 8x …absis 2 (x = 2) p = ¼ .8 = 2 x = 2 à y2 = 8.2 = 16 , berarti : y = ± 4 titiknya (2 ,4) dan (2 ,-4)

O

Pers.Garis singgung parabol y2 = 4px di titik (x1,y1) adalah : y1y = 2p(x1 +x)

Ambil titik (2,4),misalnya. Pers.Garis : y1y = 2p(x1 +x) 4y = 2.2(2 +x) y = 2 +x atau x – y +2 = 0

@


JAWABAN : A


36

35. Persamaan garis singgung pada parabola y2 = 8x dengan gradien 4 adalah…. A. 4x +2y +1 = 0 B. 4x -2y +1 = 0 C. 8x +2y +1 = 0 D. 8x -2y +1 = 0 E. 8x -2y -1 = 0

O

y2 = 8x = 2.4x, berarti p = 2 Persamaan Umum Garis p singgung : y = mx + m 2 Jadi PGS : y = 4x + 4 4y = 16x +2 2y = 8x +1 8x -2y +1 = 0

@ Persamaan Umum Garis singgung pada parabol y2 = 4px dengan gradient m p adalah: y = mx + m

@


JAWABAN : D


37

36. Persamaan garis singgung pada parabola (y -8)2 = 4(x -6) di titik (10 ,12) adalah…. A. 2x -y +14 = 0 B. 2x +yy -14 = 0 C. x +2y -14 = 0 D. x +2y +14 = 0 E. x -2y +14 = 0

O

(y -8)2 = 4(x -6) di titik (10 ,12) x + 10 (12 -8)(y -8) = 4( - 6) 2 x + 10 - 12 4(y -8) = 4( )à 2 2(y -8) = x -2 2y -16 = x -2 x -2y +14 = 0

JAWABAN : E

@ Pers.Garis singgung pada parabol : (y –b)2 = 4p(x –a) di titik (x1,y1) adalah : (y1-b)(y-b) = p(

@

x + x1 -a) 2



38

37. UAN 2004/P-1/No.36 Persamaan grafik parabola pada gambar adalah…. A. y2 -4y +x +5 = 0 B. y2 -4y +x +3 = 0 (-1, 2) C. x2 +2x +y +1 = 0 (0, 1) D. x2 +2x –y +1 = 0 2 E. x +2x +y -1 = 0

@ Dari gambar , parabol tersebut vertical, dengan puncak (-1 ,2) (x –a)2 = 4p(y –b) (x +1)2 = 4p(y -2) @ Melalui titik (0, 1) (0 +1)2 = -4p(1 -2)2 1 = -4p.1 p=-

1 4

@ Persamaannya menjadi (x +1)2 = -4.

1 (y -2) 4

x2 +2x+1 = -y +2 x2 +2x +y -1 = 0

JAWABAN : E

@ Dari gambar , parabol tersebut vertical, berarti pilihan A dan B jelas SALAH. @ Grafik membuka ke bawah, berarti a < 0, berarti pilihan D Salah @ Pilihan C : Di tulis y = -x2 -2x -1 Melalui (0, 1), maka 1 = -02-2.0 -1 1 = -1 (pernyataan yang salah) Jadi pilihan C ,SALAH. @ Berarti Jawaban yang benar adalah E


39

39. Prediksi UAN Koordinat titik puncak parabola y2 -2y -2x +5 = 0 adalah,… A. (2, 1) B. (2, -1) C. (1 ,2) D. (1, -2) E. (-1, -2)

@ Persamaan parabola : y2 -2y -2x +5 = 0 y2 -2y = 2x -5 y2 -2y +(-1)2 = 2x -5 +(-1)2 (y -1)2 = 2x -4 (y -1)2 = 2(x -2) @ Terlihat puncaknya (2, 1)

JAWABAN : A

y2 -2y -2x +5 = 0 Karena y-nya kuadrat, maka Turunkan bagian yang mengandung y. didapat : 2y -2 = 0 y=1 1 y = 1 substitusikan kepersamaan awal : 12 -2.1 -2x +5 = 0 2x = 4 x=2 1 Jadi Puncak (2, 1) 1

@



40

37. Diketahui Ellips dengan persamaan : 25x2 +16y2 +100x - 96y -156 = 0

Koordinat pusat elips tersebut adalah…. A. (-3 ,3) B. (-2 ,3) C. (-1 ,3) D. (3 ,2) E. (3 ,5)

@ 25x22+16y2+100x-96y –156 = 0 2

25x +100x +16y –96y = 156 25(x2 +4x) +16(y2 –4y) = 156 25(x2 +4x +4) +16(y2 –6y +9) = 156 +100 +144 25(x +2)2 +16(y –3)2 = 400 ( x + 2) 2 ( y - 3) 2 + =1 16 25 p = -2 dan q = 3

@ 25x2+16y2+100x-96y –156 = 0 Turunan, bagian x 50x +100 = 0 x = -2 Turunan, bagian y 32y -96 = 0 y=3 1 Jadi Pusat (-2, 3)

1 Pusat : P(p ,q) = (-2 ,3)

@


JAWABAN : B


41

38. Diketahui Ellips dengan persamaan : 9x2 +25y2 +18x -100y -166 = 0 Koordinat pusat elips tersebut adalah…. A. (-3 ,3) B. (-2 ,3) C. (-1 ,2) D. (3 ,2) E. (3 ,5)

@ 9x22+25y2+18x-100y –116 = 0 2 9x +18x +25y –100y = 116 9(x2 +2x) +25(y2 –4y) = 116 9(x2 +2x +1) +25(y2 –4y +4) = 116 +9 +100 9(x +1)2 +25(y –2)2 = 225 ( x + 1) 2 ( y - 2) 2 + =1 25 9 p = -1 dan q = 2 1 Pusat : P(p ,q) = (-1 ,2)

@ INFO : Ellips Ax2 +By2 +Cx +Dy +E =

0 , maka

D ö æ C , ÷ è - 2 A - 2B ø

Pusat : ç

@2 Ellips : 2

9x +25y +18x-100y –116 = 0

Pusat : æ 18 - 100 ö , ç ÷ = (-1,2) è - 18 - 50 ø

@


JAWABAN : C


42

x2 y2 + =1 16 49 Koordinat titik fokus elips tersebut adalah…. A. (0 ,-Ö33) dan (0,Ö33) B. (0,-Ö23) dan (0,Ö23) C. (-Ö33,0) dan (Ö33,0) D. (-Ö23,0) dan (Ö23,0) E. (-4,0) dan (4 ,0)

39. Diketahui Ellips

@

x2 y2 + = 1, 16 49

a2 = 49 dan b2 = 16 maka : c = a 2 - b 2 = 49 - 16 = 33

@ Fokus : (0 ,c) dan (0 ,-c) = (0,Ö33) dan (0,-Ö33)

x2 y2 + =1 16 49 @ Perhatikan 16 < 49, di bawah x2 bilangannya lebih kecil. Berarti elips tersebut Vertikal.Jadi Fokus terletak di Y.

@ Ellips

JAWABAN : A

Bil.dibawah x2 KECIL, berarti Elips vertikal

x 2 16

+

y 2 49

= 1

(-)

c = 49 - 16 = 33 F ( 0,±c ) = (0, ± 33 )


43

(x + 2)2 y2 + =1 100 64 Koordinat titik fokus elips tersebut adalah…. A. (0 ,8) dan (0,-4) B. (0,-8) dan (0,4) C. (-8,-1) dan (4,-1) D. (-8,0) dan (4,0) E. (-8,1) dan (4 ,1)


(x + 2) 2 ( y - 0) 2 @ + = 1, berarti 100 64 p = -2 dan q = 0 a2 = 100 dan b2 = 64 a2 = b2 +c2 …berarti

@ Bilangan dibawah x2 BESAR, berarti Elips Horizontal

c = a2 -b2 = 100-64= 36= 6 @ Fokus : (p +c,q) dan (p –c,q) (-2 +6,0) dan (-2 –6,0) atau (4 ,0) dan (-8 ,0) p = -2

q = 0

( x + 2)2 ( y - 0)2 + =1 100 64 (-)

c =

100 - 64 =

36 = 6

F ( p ± c , q ) = ( - 2 ± 6 ,0 ) = ( 4 , 0 ) dan ( - 8 , 0 )


44


x2 y2 + =1 25 9

Koordinat titik fokus elips tersebut adalah…. A. (0,±1) B. (0,±2) C. (0,±4) D. (±4,0) E. (±2,0)

@

x2 y2 + =1, 25 9

Perhatikan 25 > 9, di bawah x2 bilangannya lebih besar. Berarti elips tersebut Horizontal. Jadi Fokus terletak di X. @ a2 = 25 dan b2 = 9 maka :

@ Bil.dibawah x2 BESAR, berarti Elips vertikal

c = a 2 - b 2 = 25 - 9 = 16 = 4

@ Fokus : (±c,0) = (±4,0) JAWABAN : D

x2 y2 + = 1 25 9 selalu besar-kecil (-)

c = 25 - 9 = 16 = 4 F ( ± c ,0 ) = ( ± 4 ,0 )


45

45.Diketahui Ellips

(x-4)2 (y-3)2 + =1 25 16

Panjang sumbu mayor dan sumbu minor adalah…. A. 6 dan 4 B. 7 dan 5 C. 8 dan 6 D. 9 dan 7 E. 10 dan 8

@

(x - 4)2 ( y - 3)2 + = 1, 25 16

berarti a2 = 25 dan b2 = 16 a2 = 25 maka a = 5 b2 = 16 maka b = 4 @ Panjang sumbu mayor = 2a = 2.5 = 10 Panjang sumbu minor = 2b = 2.4 = 8 Jadi 10 dan 8 Pokokny a yang besar a

dan yang kecil b.

JAWABAN : E

( x - 4) 2 ( y - 3) 2 + =1 25 16

@ @

b = 16 = 4 a = 25 = 5 Panjang sumbu mayor = 2.5 = 10 Panjang sumbu minor = 2.4 = 8


46

47. Diketahui Ellips dengan persamaan : 9x2 + 25y2 - 72x + 200y + 319 = 0

Koordinat fokus elips tersebut adalah…. A. (0,-4) dan (8,-4) B. (0,-5) dan (9,-3) C. (0,-6) dan (9,-2) D. (2,-3) dan (3,0) E. (2,-5) dan (5,0)

@ 9x22+25y2-72x+200y +319 = 0 2 9x -72x +25y +200y = -319 9(x2 -8x) +25(y2 +8y) = -319 9(x2 -8x +16) +25(y2 +8y +16) = -319 +144+400 9(x -4)2 +25(y +4)2 = 225 ( x - 4) 2 ( y + 4) 2 + =1 25 9 p = 4 dan q = -4

JAWABAN : A

c = a 2 - b 2 = 25 - 9 = 16 = 4 Fokus : F(p±c ,q) = (4±4 ,-4)

atau (0,-4) dan (8,-4) c =

25 - 9 = 4

9 x + 25 y 2 - 72x + 200y + 319 = 0 -18 -50 : 4 -4 -2 p q 2

Fokus : (4±4,-4) = (0,-4) dan (8,-4)


47

49. Diketahui Ellips dengan persamaan : 25x2 +16y2 +100x - 96y -156 = 0

Sumbu mayor dan sumbu minor elips adalah…. A. 8 dan 14 B. 9 dan 12 C. 10 dan 8 D. 12 dan 6 E. 14 dan 4

@ 25x22+16y2+100x-96y –156 = 0 2 25x +100x +16y –96y = 156 25(x2 +4x) +16(y2 –4y) = 156 25(x2 +4x +4) +16(y2 –6y +9) = 156 +100 +144 25(x +2)2 +16(y –3)2 = 400 ( x + 2) 2 ( y - 3) 2 + =1 16 25 a2 = 25 berarti a = 5 b2 = 16 berarti b = 4

@ Panjang sumbu mayor = 2a = 2.5 = 10

@ Panjang sumbu minor = 2b = 2.4 = 8

25x 2 + 16y 2 + 100x - 96y - 156 = 0 a= 25=5 b = 16= 4

@ Sumbu mayor = 2.5 = 10 @ Sumbu minor = 2.4 = 8


48

51. Diketahui koordinat focus elips (-3,0) dan (3,0), dan sumbu mayor 10, maka persamaan elips tersebut adalah… x2 y2 + =1 36 9 x2 y2 B. + =1 36 25 x2 y2 C. + =1 25 36

A.

x2 + 25 x2 E. + 25

D.

@ Fokus : (-3,0) dan (3,0)

y2 =1 16 y2 =1 9

@ Sudah jelas pusat elips di (0,0), dan perhatikan yang terisi bukan 0 di x, berarti Elips horizontal. Jadi bilangan yang di bawah x2 “Besar”

Sumbu mayor = 2a Berarti 2a = 10 Jadi a = 5 c = 3 dan b2 = a2 –c2 b2 = 25 – 9 = 16 @ Elips umumnya : x2 y2 + =1 a2 b2 x2 y2 + = 1 Jawab : D 25 16

@



49

52. Ebtanas 2002/P-1/No.27 (-3,0) dan (3,0), dan sumbu mayor 10, maka persamaan elips tersebut adalah… A. 4x2 +9y2 –24x –36y –72 = 0 B. 4x2 +9y2 –24x –36y –36 = 0 C. 3x2 +4y2 +18x –16y –5 = 0 D. 3x2 +4y2 –18x –16y +5 = 0 E. 3x2 +4y2 –18x –16y –5 = 0

@ Fokus : (p ± c,q) Padahal Fokus : (1,2) dan (5,2) 1+ 5 Berarti : p = =3 2 dan c = 5 – 3 = 2, sedang q = 2 Sumbu mayor : 2a = 8. Jadi a = 4 b2 = a2 –c2 = 16 – 4 = 12

@ Bagian

tetapnya berada di y,berarti elips tersebut horizontal. Jadi bilangan besarnya berada di bawah (x-p)2

@ Umumnya elips berbentuk : ( x - p) 2 a2

+

( y - q) 2 b2

=1à

( x - 3) 2 ( y - 2) 2 + =1 16 12 12(x-3)2 +16(y-2)2 = 192 2

@


2

12(x -6x+9) +16(y -4y+4) = 192 12x2-72x+108+16y2-64y+64 = 192 12x2 +16y2-72x-64y –20 = 0__ : 4

3x2 +4y2 –18x –16y –5 = 0


50

53. Ebtanas 1988 Diketahui elips 4x2+y2+8x–2y+1= 0 Salah satu Koordinat titik potong garis y = x dengan elips tersebut adalah… A. (-1,-1) B. (2,2) C. (1,1) D. (-5,-5) E. ( ½ , ½ )

@ y =2 x substitusi ke elips: 2

4x +x +8x –2x +1 = 0 5x2 +6x +1 = 0 (5x +1)(x +1) = 0 x = -1/5 diperoleh y = -1/5 titiknya (-1/5,-1/5) x = -1 diperoleh y = -1 titiknya (-1,-1)

berarti jawabnya : ( A )

@ Masukan

titik-titik pada pilihan ke persamaan elips di atas, yang mana yang menghasilkan nilai nol (0)

x y (-1 , -1) Option A :

4x 2 + y 2 + 8x - 2y + 1 = 0 4

1

-8

2

1

4+1-8+2+1=0

Berarti pilihan A jawaban yang benar.


51

55. Ebtanas 1994 Persamaan garis singgung elips

x2 y2 + = 1 di titik (3,-3) 36 12

adalah…. A. x +3y +12 = 0 B. x +3y –12 = 0 C. x –3y –12 = 0 D. 3x +y +12 = 0 E. 2x –y –12 = 0

@ Titik singgung (3,-3) berada pada elips, maka : x1 x y1 y + =1 36 12 3x - 3 y + =1 36 12 x - 3y + = 1 à x –3y = 12 12 12

@ Persamaan garis singgung di titik (x1 ,y1) pada elips x2

JAWABAN : C

y2

= 1 adalah : a2 b2 x1 x y1 y + 2 =1 a2 b

atau x –3y –12 = 0

@

+



52

56. Ebtanas 1990 Persamaan garis singgung elips : x2 +4y2 = 4 yang sejajar dengan garis y = x +3 adalah…. A. y = x ± 52 B. C. D. E.

y=x± 5 y = x ±1 y= x±5 y=x±

1 5

10

@ y = 1.x +3

berarti m = 1 1.x +4y = 4 terihat a2 = 4 dan b2 = 1 @ Pendamping x2 < y2, berarti elips tersebut horizontal Rumus Pers.Garis singgung 2

2

@ Persamaan garis singgung pada elips : x2 a2

y2 b2

= 1 atau

b2x2 +a2y2 = a2b2 dengan gradient m adalah :

y = mx ± a 2 m 2 + b 2 y = 1 . x ± 4 .1 2 + 1 2

y = mx ± a 2 m 2 + b 2

y=x± 5

JAWABAN : B

+

@



53

57. Ebtanas 1989 Persamaan yang sesuai untuk elips Di bawah ini adalah… A. 16x2+25y2 = 400 B. 25x29y2 = 225 (-5,0) C. 3x2+4y2 = 12 F(-3,0) D. 9x2+25y2 = 225 E. 25x2+16y2 = 400

@

Y

(5,0) O

F(3,0)

X

Perhatikan terobosannya Y

(-5,0)

(5,0) F(-3,0)

O

F(3,0)

X

@ Persamaan umum elips horizontal dengan pusat (0, 0) adalah :

a

x2 y2 + =1 a2 b2

c

@ b2 = a2 – c2 = 25 – 9 = 16 Pers.Elips Horizontal : x2 y2 x2 y2 + = 1 à + =1 25 16 a2 b2

16x2 +25y2 = 400

@


JAWABAN : A


54

58. Diketahui Ellips dengan persamaan : 9x2 + 25y2 +18x -100y -116 = 0

Koordinat pusat elips tersebut adalah…. A. (-1 ,-2) B. (1 ,-2) C. (-1 ,2) D. (1 ,2) E. (2 ,-1)

@ 9x22+25y2+18x-100y –116 = 0 2 9x +18x +25y –100y = 116 9(x2 +2x) +25(y2 –4y) = 116 9(x2 +2x +1) +25(y2 –4y +4) = 116 +9 +100 9(x +1)2 +25(y –2)2 = 225 ( x + 1) 2 ( y - 2) 2 + =1 25 9 p = -1 dan q = 2 Pusat : P(p ,q) = (-1 ,2)

@ INFO : Ellips

:

Ax2 +By2 +Cx +Dy +E = 0 ,

D ö æ C , ÷ è - 2 A - 2B ø

maka Pusat : ç

@ Ellips : 9x2+25y2+18x-100y –116 = 0

Pusat : æ 18 - 100 ö , ç ÷ = (-1,2) è - 18 - 50 ø

@


JAWABAN : C


55

60. UAN 2003/P-2/No.27 Persamaan elips dengan pusat yang sama tetapi panjang sumbunya dua kali elips : ( x - 2) 2 ( y - 1) 2 + = 1 adalah…. 3 2 A. 2x2 +3y2 -8x -6y -1 = 0 B. 4x2 +9y2 -16x -18y -11 = 0 C. 3x2 +2y2 -6x -8y -1 = 0 D. 2x2 +3y2 -8x -6y -13 = 0 E. 12x2 +9y2 -32x -52 = 0

O

Elips baru pusat sama , tetapi panjang sumbunya dua kali elips

( x - 2) 2 ( y - 1) 2 + = 1 adalah 3 2 ( x - 2) 2 ( y - 1) 2 + =1 (2 3 ) 2 (2 2 ) 2 ( x - 2) 2 ( y - 1) 2 + =1 12 8 8(x -2)2 +12(y -1)2 = 8.12 : 4

@


2(x2 -4x +4) +3(y2 -2y +1) = 24 2x2 +3y2 -8x -6y +8 +3 -24 = 0

2x2 +3y2 -8x -6y -13 = 0 JAWABAN : D


56

55. UAN 2004/P-1/No.27 Persamaan elips yang mempunyai focus (-1, 0) dan (7, 0) serta melalui titik (0,

12 ) adalah…. 5

( x + 3) 2 y 2 + =1 25 9 ( x + 3) 2 y 2 B. + =1 9 25 ( x + 3) 2 y 2 C. + =1 9 16

A.

( x - 3) 2 y 2 + =1 25 9 ( x - 3) 2 y 2 E. + =1 9 25

D.

@ Persamaan elips : (x - p) 2 a

2

( x - 3)

2

b 2 + 16

@

+ +

( y - q)2 b2 ( y - 0) b2

2

=1 =1

b2(x -3)2+(b2+16)(y)=b2(b2+16) 12 Melalui titik (0, ) di dapat : 5 225b2+144(b2+16)=25b2(b2+16) 25b4 +31b2 -2304 =0 b2 = 9 atau b2 = -10,24 berarti b2 = 9 a2 = b2 +16 = 9 + 16 = 25 Persamaan elips yang ditanyakan

( x - 3) 2 y 2 + = 1 ………. D 25 9

@ F(-1,0) dan F(7 ,0) bagian absis (x) berbeda, berarti elips tersebut horizontal. @ Rumus Fokusnya : F(p ± c, q) p +c = -1 p –c = 7 + 2p = 6,maka p = 3 c=4 @ Pusat : (3 ,0) a 2 = b2 + c 2 a2 = b2 + 16

@



57

55. UAN 2004/P-1/No.27 Persamaan elips yang mempunyai focus (-1, 0) dan (7, 0) serta melalui titik (0,

12 ) adalah…. 5

( x + 3) 2 y 2 + =1 25 9 ( x + 3) 2 y 2 B. + =1 9 25 ( x + 3) 2 y 2 C. + =1 9 16

A.

( x - 3) 2 y 2 + =1 25 9 ( x - 3) 2 y 2 E. + =1 9 25

D.

@ Perhatikan terobosannya

F(7 , 0)

F(-1 , 0)

@ F(-1,0) dan F(7 ,0) bagian absis (x) berbeda, berarti elips tersebut horizontal.

horizontal

Pusat : (

-1+ 7 2

,0) = (3,0)

@ Dilihat dari pusatnya, hanya pilihan D dan E saja yang sesuai, maka A,B dan C jelas SALAH. @ Karena elipsnya horizontal, maka hanya pilihan D yang sesuai (lihat di bawah x2 nya besar) JAWABAN : D

@



58

61. Diketahui focus- focus suatu hiperbol (-2,0) dan (2,0) dan puncaknya ( 32 ,0) .Persamaan hiperbol tersebut adalah… 3x 2 3 y 2 =1 9 7 4x 2 4 y 2 B. =1 9 7 5x 2 5 y 2 C. =1 9 7

A.

3x 2 3 y 2 =1 7 9 4x 2 4 y 2 E. =1 7 9

D.

@ Fokus : (-2,0) dan (2,0), berarti c=2 Puncak : ( 32 ,0) berarti a = a2 =

9 4 2

b2 = c –a2 = 4 -

9 4

=

3 2

7 4

@ Persamaan Hiperbol Horizontal : x2 y2 x2 y2 = 1 à - 7 =1 9 a2 b2 4 4

atau :

4x 2 4 y 2 =1 9 7

@ Perhatikan bagian yg tidak nol, terletak di Xnya, berarti hiperbol tersebut Horizontal @ Persamaan umum hiperbol horizontal yang berpusat di (0, 0) adalah x2 y2 =1 a2 b2

@


JAWABAN : B


59

62. Dari suatu hiperbol diketahui pusat nya (3,2),fokusnya (8,2) dan puncaknya (7,2).Persamaan hiperbol tersebut adalah… ( x + 3)2 ( y - 2)2 =1 9 16 ( x - 3)2 ( y - 2)2 B. =1 16 9 ( x + 2)2 ( y -1)2 C. =1 9 16

A.

(x +1)2 ( y - 2)2 =1 16 9 (x - 2)2 ( y +1)2 E. =1 16 9

D.

@ Pusat : (3,2) Fokus : (8,2)

@ Perhatikan bagian yg berubah, terletak di Xnya, berarti hiperbol tersebut Horizontal,jadi yang berada di bawah (x-p)2nya “Besar”

c=8–3=5 Pusat : (3,2) .Puncak : (7 ,2) a=7–3=4 b2 = c2 –a2 = 25 – 16 = 9

@

( x - p)2 ( y - q)2 =1 a2 b2 ( x - 3)2 ( y - 2)2 =1 16 9

@


JAWABAN : B


60

63. Persamaan hiperbol yang mempunyai focus (0,±3) dan sumbu transfer 5, adalah…. A. 100x2 –44y2 = 275 B. 44x2 –100y2 = 275 C. 100y2 –44x2 = 275 D. 44y2 –100x2 = 275 E. 44x2 –100y2 = 275

@ Fokus : (0,±3) , berarti c = 3 Sb.Transfer = 5 berarti : a = 52 b2 = c2 –a2 = 9 –

@

25 4

=

11 4

y2 x2 y2 x2 à = 1 - 11 = 1 25 a2 b2 4 4 2

@ Perhatikan bagian yg

@

tidak nol terletak di Ynya, berarti hiperbol tersebut Vertikal. Jadi yang berada di bawah y2nya “Besar” Persamaan Umumnya :

y2 x2 - =1 a2 b2

2

4 y 4x =1 25 11 44y2-100x2 = 275

@


JAWABAN : D


61

64. EBTANAS 1994 Persamaan asymtot hiperbol dengan persamaan 16y2-9x2 –36 = 0, adalah…. A. 9x +16y = 0 dan 9x –16y = 0 B. 3x +2y = 0 dan 3x –2y = 0 C. 2x +3y = 0 dan 2x –3y = 0 D. 4x +3y = 0 dan 4x –3y = 0 E. 3x +4y = 0 dan 3x –4y = 0

@ 16y2-9x2 –36 = 0 (horizontal) Terlihat : b2 = b= 2

36 16

=

9 4

berarti

3 2

a =

36 9

@ Hiperbol dengan pusat (0,0) mempunyai asimtot : a) Hiperbol horizontal b y=± x a b) Hiperbol vertical a y=± x b

= 4 berarti a = 2

@ Pers.Asymtot hiperbol horizontal pusat O(0,0) : 3 b y=± x à y=± 2 x a 2 4y = ± 3x atau 3x +4y = 0 dan 3x –4y = 0

JAWABAN : E

@



62

65. EBTANAS 1996 Hiperbol yang berfokus di titik (5,0) berpusat di titik (0,0) dan panjang sumbu mayor = 8. Persamaannya adalah…. x2 y2 =1 64 36 x2 y2 B. =1 25 16 x2 y2 C. =1 16 9

A.

y2 x2 =1 25 9 y2 x2 E. =1 16 9

D.

@ Fokus : (5,0) berarti c = 5 Sumbu Mayor : 2a = 8 berarti a=4 b2 = c2 –a2 = 25 –16 = 9

@ Hiperbol dengan focus F(c ,0), adalah horizontal

@ Persamaan Umumnya : x2 y2 = 1 dengan a2 b2 panjang sumbu mayor adalah 2a, dan sumbu minor 2b

@ Pers.Hiperbol Horizontal (lihat bukan 0 di x) x2 y2 x2 y2 = 1 à =1 16 9 a2 b2

@


JAWABAN : C


63

66. EBTANAS 1997 Salah satu persamaan asimtot dari hiperbol : 9x2 –16y2 –54x +64y –127 = 0 adalah…. A. 4x –3y –18 = 0 B. 4x –3y –6 = 0 C. 4y –3x –1 = 0 D. 3x –4y –17 = 0 E. 3x –4y –1 = 0

@ 9x2 –16y2 –54x +64y –127 =0 9x2 –54x –16y2 +64y –127 =0 9(x2 –6x) –16(y2 –4y) =127 9(x2 –6x +9) –16(y2 –4y +4) = 127 +81-64 9(x –3)2 –16(y –2)2 = 144

( x - 3) 2 ( y - 2) 2 =1, 16 9 berarti p = 3 dan q = 2 a = 4 dan b = 3

@ Asimtot : b ( x - p) a 3 y - 2 = ± ( x - 3) 4 y-q=±

Ambil Å à 4y –8 = 3x –9 atau 3x –4y –1 = 0

@


-2

3 2 : : -18 32 9x 2 - 16y 2 - 54x + 64y - 127 = 0 akarnya

y-2=±

3 ( x - 3) 4

akarnya

@ Ambil Å : 4y –8 = 3x –9 atau 3x –4y –1 = 0

Selalu pendamping x2 sebagai pembilang

JAWABAN : E


64

68. UAN 2003/P-1/No.27 Koordinat pusat hiperbola 3x2 -4y2 +12x +32y +10 = 0 adalah….. A. (-2 ,4) B. (-2 ,-4) C. (2 ,4) D. (2 ,-4) E. (4 ,2)

@ Gunakan konsep melengkapkan kuadrat :

O

3x2 -4y2 +12x +32y +10 = 0 3x2 +12x -4y2 +32y = -10 3(x2 +4x +4) -4(y2 -8y +16) = 10 +3.4 -4.16 3(x +2)2 -4(y -4)2 = -10 +12 -64

O

1

Hiperbol :

Ax2 +By2 +Cx +Dy +E = 0

Pusatnya : (

O2

C D , ) - 2 A - 2B

Hiperbol :

3x -4y2 +12x +32y +10 = 0

Pusatnya : 12 32 ( , ) = (-2,4) - 2.3 - 2.(-4)

Sudah terlihat pusatnya :

P(-2 ,4) JAWABAN : A

6x +12 = 0

x = -2

turunkan

3x2 - 4 y 2 + 12x + 32 y + 10 = 0 turunkan

y=4 -8y +32 = 0 Jadi Pusatnya : (x ,y) = (-2, 4)


65

70. PREDIKSI UAN Persamaan garis singgung hiperbola : ( y - 5) 2 ( x + 4) 2 = 1 yang sejajar garis 4x +3y = -15 25 9 adalah…. A. 3y = -4x +8 B. 3y = -4x -8 C. 3y = 6x +8 D. 3y = 6x -8 E. 2x -3y +8 = 0

O

Garis 4x +3y = -15 Þ m = - 43 a2 = 25 dan b2 = 9

O

Pers.Garis Singgung : y - q = m(x - p) ± a 2 - b 2 m2 y - 5 = - 43 ( x + 4) ± 25 - 9. 16 9 y - 5 = - 43 ( x + 4) ± 3 3 y = -4x - 16 + 15 ± 9 3 y = -4x - 1 ± 9

O

Jadi 3y = -4x +8 atau 3y = -4x -10

JAWABAN : A

1

Garis : Ax +By +C = 0 a) Sejajar , maka : A m=B b) Tegak lurus maka B m= A 1 Persamaan garis singgung pada Hiperbol vertikal (dibawah y2nya besar) pusat (p, q) dengan gradient m adalah :

y -q = m(x - p) ± a2 -b2m2


66

71. PREDIKSI UAN x2 y2 Persamaan garis singgung hiperbola : = 1 yang 36 4 tegak lurus garis 2x -y +8 = 0 adalah…. A. y = ½ x ! Ö3 B. y = -½ x ! Ö3 C. y = ½ x ! Ö5 D. y = -½ x ! Ö5 E. y = ¼ x ! Ö5

O

O

Garis 2x –y +8 = 0 tegak lurus, berarti m = BA = -21 a2 = 36 dan b2 = 4 PGS umum : y = mx ± a 2 m 2 - b 2 y = - 12 x ± 36. 14 - 4 y = - 12 x ± 9 - 4 y = - 12 x ± 5

JAWABAN : D

1

Garis : Ax +By +C = 0 c) Sejajar , maka : A m=B d) Tegak lurus maka B m= A 1 Persamaan garis singgung pada Hiperbol horizontal pusat (0, 0) dengan gradient m adalah :

y = mx ± a 2 m 2 - b 2


67

72. PREDIKSI UAN Persamaan garis singgung hiperbola : ( y + 3) 2 ( x - 1) 2 = 1 di titik (1 ,-6) adalah… 9 4 A. 2x -3y -4 = 0 B. 2x -4y -4 = 0 C. x = 8 D. y = -6 E. y = 2x -6

O

Titik (1 ,-6) terletak pada hiperbol (silahkan cek) PGS : umumnya :

( y1 - q)(y - q) (x1 - p)(x - p) =1 a2 b2 (-6 + 3)( y + 3) (1 - 1)( x - 1) =1 9 4 -3(y +3) = 1.9 -3y -9 = 9 à -3y = 18 y = -6

JAWAB : D

1 Persamaan Garis singgung di titik (x1,y1) pada hiperbola

( y - q) 2 a2

-

(x - p) 2 b2

=1

Adalah :

(y1 -q)(y -q) (x1 - p)(x - p) =1 a2 b2

@



68

68. UAN 2004/P-1/No.28 Koordinat titik potong salah satu asimtot hiperbola : 16x2 -9y2 +64x -54y -161 = 0 dengan sumbu Y adalah… 1 3 1 B. (0, - ) 4 1 C. (0, 3

A. (0, - ) 1 ) 4 3 E. (0, ) 4

D. (0,

@ 16x2 -9y2 +64x -54y -161 = 0 Bagian x : 16x2+64x = 0 Turunkan : 32x +64= 0 x = -2 Bagian y : -9y2 -54y =0 Turunkan : -18y -54 = 0 y = -3 Berarti p = -2 dan q = -3 a2 = 16 di dapat : a = 4 b2 = 9 di dapat : b = 3

@ Koordinat titik potong asimtot dengan sumbu Y adalah : 4.(-2) ap -3 ) (0, ± + q ) = (0, ± b 3 -8 = (0, ± - 3) 3 1 Ambil (-) di dapat : (0, - ) 3

@ Perhatikan : 16x2 -9y2 +64x -54y -161 = 0 Pendamping x2 > y2 ( 16 > 9) berarti hiperbola tersebut horizontal.

@ Rumus umum asimtotnya : y-q=±

a ( x - p) b

@ Memotong sumbu Y,maka x = 0 di dapat : y= ±

ap +q b

Titik potongnya dengan sumbu Y adalah : (0, ±

ap +q) b JAWAB : A


69

No title

Recommend Documents