,
Feladatok:
KOD:
A382CI29
i.
Számítsa ki a € és n valószínűségi változók korrelációs együtthatój át, ha a (€,q) valószínűségi vá|tozőtő| tudjuk, hogy P (1:28, n :31 .): O.22, P (€: 28,r1:35; : 0.2s és Y (|:'ó4','11:3l) : 6.''. Ismert, hogy € csak a 28 és 44, míg n csak a 31 és 35 értékeket veheti fel. 2.Eey dobozban 11 alkatrész van, amelyek közül 7 selejtes. 4 elemű mintát veszünk visszatevéssel. Mi avalősziníisége, hogy a mintában 2 selejtes alkatrész van? 3 Az A esemény bekövetkezésének a valőszinúsége 0'14. Mennyi a valőszinűsége' hogy legfeljebb kétszer következik be tíz kísérletből? 4.Eey henger milliméterben mért átmérője a I valószinűségi változő, hossza milliméterben mérvt vatosiintiseg i váItoző" A (€, n) kétdimenziós valószínűségi változó sűnÍségftiggvényef (x,y) : *r;KI, a0<x< 1' 0
o.s,n >t.71). 5. Az A, B és C fiiggetlen esemónyek, amelyre P(A) : 0.360' P(B) : 0.105 és P(C) = O.220. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy pontosan kettő következik be k<jzülük! 6: Egy csomagológép 1 kilogrammos zacskókat tölt" A zacskóba töltott cukor mennyisége normális eloszlású valószínűségiváltoző l kg várható értékkelés 0.033 kg szórással. A zacskó súlyrJnézrre első osztályú, ha a súlya 0.95 kg és l.05 kg közé esik. Mi a valószínűsége, hogy két véletlenül kiválasztott zacskó krjzül legfeljebb az egylk elso osztályú? 7 .Egy csiga életénekhossza exponenciális eloszlású valószínűségi változ ő 1.g2 év várható értékkel. Mi a valószínűsége, hogy kedvenc csigrínk életénekharmadik évéberrpusztulel? 8. Egy szelet kalácsban a mazsolák száma Poisson-eloszlást kóvet, és egy szeletben átlag 9 szem mazsola van. Mi avalőszinúsége, hogy egy szeletben legalább 7, de legfeljeuu to szemmazsoú van? 9. A és B ftiggetlen események, P(A) :0.55, és P(B):0.81 .Határozzámóg P(A| A + B) értékét! 10. Egy fogadásra egymástól ftiggetlenül 6 angol, 3 francia és 5 olaiz diplomata érkezik. Mi a valószínűsége, hogy az első három vendég érkezésisorrendje angol-francia-olasz? 11. Két utvezet az A városból a B városba és szintén két út B-ből C városba. (Az Avárosból a C városba csak a B városon át lehet eljutni.) Mind a négy út egymástól fiiggetlentil' 0.86 valószínűséggel járhatat|an a hó miatt. Feltéve, hogy A-ból C-be nincs végiglárható útvóial, mi a. valószínűsége, hogy A-ból B-be van járható út? 12.Hanyféleképpen rakhatunk be 7levelet 14 rekeszbe, ha a levelek között nem teszünk különbséget és egy rekeszbe maximum egy levelet teszünk? 13. Egy ( valószínűségi változó sűrűségftiggvénye
ha0<x4B'
Í(x)=Í:''"'' L0, eglébként.
Határozzameg a P(€ > E({)) valószínűséget! 14. Azigazak városában a lakosok 64oÁ-aigazatmond, ahazugakvárosában a lakosok Mi nem tudjuk, hogy melyik városban vagyunk, egyforma eséllyel lehetünk7l%-ahazudik. mindkettőben. Megkérdezünk egy embeft és az azt mondja' hogy ez a hazúgok városa. NÍi a valószínűsége, hogy ez az ember hazudik?
19tl
15. Legyen ({,
(x " J G,il=1
r| sűniségfiiggvény
lA('6.5 _:+y), ha0<x<6.5,0<"y<1,
l.0'
eg,'ébként"
Llatározza meg E({) értékét! 18. Legalább hányszor kell egy szabályos pénzérmétfeldobni, hogy a fejek relatív gyakorisága legalább 0.70 valószínűséggel 0.44 és 0.56 közé essen? 1'7 " 35 doboz mindegyikében 59 golyó van, amelyek közül rendre 25, 20, 27, ' .. ' 59 fehér. Találomra választunk egy doboá, majd abból véletlenül kihúzunk egy golyót. Mi a valószínűsége, hogy fehér golyót húzunk? l8. Egy TV élettartama|exponenciális eloszlású valószínűségiváltozó 8 év átlagos élettartammal. Adja meg azt a legnagyobb K számot, amelyre még igaz, hogy egy adott TV legalríbb 0.84 valószínűséggél rnűködőképes lesz K évig. l9. Egy lezser hallgató maximum négyszer jöhet el vizsgáuni, és minden vizsgán 0.42 valőszínűséggel megy át, Hányszor vizsgázik átlagban egy lezser hallgató? 20. Egy munkadarab hossza közelítőleg normális eloszlású valószínűsé gi változő, melynek várható értéke20 és szőrása l.2. Mennyi a valÓszínűsége, hogy a munkadarab hossza kisebb' mina1t .qgz 21. Legyen { olyan nulla várható értékűnormális eloszlású valószínűségi változő, amelyik 0.25 valószínűséggel veszi fel értékéta f-2.9,2.9] intervallumon. Számítsa, ki ; P(g.l s 1.9q + < 2.0) valószínűséget!
j
hányszor kell feldobni két szabályos dobókoekát ahhoz, hogy legfeljebb 0.18 valószínriséggel egyszer se kapjunk dupla 23" A CHIPCAD rnicrochip gyártó cég teljes termelése két gépsorról származik. AzI. gépsor adjaa termelés 6l %-át 0.040 % selejttel, míga II. gépsor adjaatermélés39 %-át0.029 x seteJttet. Ha. egy véletlenül kiválasztott chip selejtes, akkor mi a valószínűsége, hogy azta II. gépsor gyártotia? 24. Hányféleképpen oszthatő szét 8 ezer forint jutalom 3 dolgozó'között, r'iminaegyik dolgozó ezenel osztható összegű jutalmat kaphat, de a 0 Ft jutalom is megengédett. 25 . Harry 12 jegyti szám készíthető 2 darab egyes' 2 darab kettes és 8 darab hármas szrímj egyből ? 26. Egy dobozban 1l alkatrész van' amelyek közül 7 selejtes. 4 elemű mintát veszünk visszatevés nélkül. Mi a valószínűsége, hogy a mintában 2 selejtes alkatrész van? 27. Egy törzs minden tagja az év egy adott, napján leopárdvad ászatra megy. A vadászaton egy vadászt 0.19 valószínűséggel támad meg egy leopárd és ekkor 0.39 valószínűsóggJcili meg a leopard á vadászt. Egyéb veszélyek miatt 0.08 valószínűséggel halhat meg a. vadász a vadiszaton. Ha egy vadászmeghalt vadászaton, akkor mi a valószínűsége, hogy egy leopárd ölte meg? 28. A { exponenciális eloszlású valószínűségi váltolzó várható értéke7'00. Számítsa ki azt amértéket, amelytől jobbra és balra megegyezik az n:Ez valószínrisé gi változő sűníségfiiggvénye alatti terület! 29' Ketten megbeszélik, hogy délutan 5 őra és délután 5 &a s+ perc-kolBtt tulálkornak. Mekkora valószínűséggel találkoznak, ha egymástól fiiggetlenül érkeznek és mindketten l5 perc varakozás után elmennek, ha a másik addig nem érkezett meg? 30. Egy valószíntisé gi változő exponenciális eloszlású 0.60 szórással. Határozza meg E(8(2 - lgE + 7) értékét!
22. Legalább
hatost?
t9t2
9 J
15. Legyen ({,
(x " J G,il=1
r| sűniségfiiggvény
lA('6.5 _:+y), ha0<x<6.5,0<"y<1,
l.0'
eg,'ébként"
Llatározza meg E({) értékét! 18. Legalább hányszor kell egy szabályos pénzérmétfeldobni, hogy a fejek relatív gyakorisága legalább 0.70 valószínűséggel 0.44 és 0.56 közé essen? 1'7 " 35 doboz mindegyikében 59 golyó van, amelyek közül rendre 25, 20, 27, ' .. ' 59 fehér. Találomra választunk egy doboá, majd abból véletlenül kihúzunk egy golyót. Mi a valószínűsége, hogy fehér golyót húzunk? l8. Egy TV élettartama|exponenciális eloszlású valószínűségiváltozó 8 év átlagos élettartammal. Adja meg azt a legnagyobb K számot, amelyre még igaz, hogy egy adott TV legalríbb 0.84 valószínűséggél rnűködőképes lesz K évig. l9. Egy lezser hallgató maximum négyszer jöhet el vizsgáuni, és minden vizsgán 0.42 valőszínűséggel megy át, Hányszor vizsgázik átlagban egy lezser hallgató? 20. Egy munkadarab hossza közelítőleg normális eloszlású valószínűsé gi változő, melynek várható értéke20 és szőrása l.2. Mennyi a valÓszínűsége, hogy a munkadarab hossza kisebb' mina1t .qgz 21. Legyen { olyan nulla várható értékűnormális eloszlású valószínűségi változő, amelyik 0.25 valószínűséggel veszi fel értékéta f-2.9,2.9] intervallumon. Számítsa, ki ; P(g.l s 1.9q + < 2.0) valószínűséget!
j
hányszor kell feldobni két szabályos dobókoekát ahhoz, hogy legfeljebb 0.18 valószínriséggel egyszer se kapjunk dupla 23" A CHIPCAD rnicrochip gyártó cég teljes termelése két gépsorról származik. AzI. gépsor adjaa termelés 6l %-át 0.040 % selejttel, míga II. gépsor adjaatermélés39 %-át0.029 x seteJttet. Ha. egy véletlenül kiválasztott chip selejtes, akkor mi a valószínűsége, hogy azta II. gépsor gyártotia? 24. Hányféleképpen oszthatő szét 8 ezer forint jutalom 3 dolgozó'között, r'iminaegyik dolgozó ezenel osztható összegű jutalmat kaphat, de a 0 Ft jutalom is megengédett. 25 . Harry 12 jegyti szám készíthető 2 darab egyes' 2 darab kettes és 8 darab hármas szrímj egyből ? 26. Egy dobozban 1l alkatrész van' amelyek közül 7 selejtes. 4 elemű mintát veszünk visszatevés nélkül. Mi a valószínűsége, hogy a mintában 2 selejtes alkatrész van? 27. Egy törzs minden tagja az év egy adott, napján leopárdvad ászatra megy. A vadászaton egy vadászt 0.19 valószínűséggel támad meg egy leopárd és ekkor 0.39 valószínűsóggJcili meg a leopard á vadászt. Egyéb veszélyek miatt 0.08 valószínűséggel halhat meg a. vadász a vadiszaton. Ha egy vadászmeghalt vadászaton, akkor mi a valószínűsége, hogy egy leopárd ölte meg? 28. A { exponenciális eloszlású valószínűségi váltolzó várható értéke7'00. Számítsa ki azt amértéket, amelytől jobbra és balra megegyezik az n:Ez valószínrisé gi változő sűníségfiiggvénye alatti terület! 29' Ketten megbeszélik, hogy délutan 5 őra és délután 5 &a s+ perc-kolBtt tulálkornak. Mekkora valószínűséggel találkoznak, ha egymástól fiiggetlenül érkeznek és mindketten l5 perc varakozás után elmennek, ha a másik addig nem érkezett meg? 30. Egy valószíntisé gi változő exponenciális eloszlású 0.60 szórással. Határozza meg E(8(2 - lgE + 7) értékét!
22. Legalább
hatost?
t9t2
9 J
Megoldások:
1. feladat P(€ =28,ry _3l)=g.22
F(€ =28,q
= 35) = 6.25
P(€=44,q=3l)=6.25
A felhasznált képlet:
R(€;ry)=ffif#
€ =28;44 4 =31;35
cor((;r)
=
_ E(€)
E(€;rD
E(ri
P(€)
=
,r€')
_
E(rl')
35 11peremeloszlás 0.25 0.47
31
28 0.22 44 0.25
t peremeloszlás
.
0.28 0.s3 0.53
0.47
E(€)=28.0,47 +44.0,53 = 36,48 E(ri=3I.0,47 +35.0,53 =33,12 .0,47 E(€)'=282 +442'O,53=1394,56 E(r)' =3l2 .0,47 +352.0,53 =ll00,92 D' (€) =1394,56_(36,48)2 = 63,7696 D(€) =7,9856
o'(ril =r10a,92-(33,12)'z n*E P(E)
35.28
31.28 = 868 0,22
3,gg56
=
=
980
D(r) =l,9964 35.44
31.41 =1364 0,25
0,25
= 1540
0,29
;r)
. = 868 0,22 + 980 . 0,25 + 13 64 . 0,25 + I 5 40 . 0,28 = 1208,16 cor ({ ;r7) = 1208,1 6 - (36,48. 33,12) = -0,057 6
E (€
R(€;ril
A(
=
r#k)
=
-0,0036 l2gg5^, -0,0036
és 11 valószínűségi változók korrelációs együtthatója
_0,0036'
2. feladat Visszatevéses mintavétel
N=11
s = 7;
;
l
n = 4; k = 2: P (k) = ri>
. rr.r . (|
(#l'
ff,
=
0'3213
l'
_ .
(1
p1a-t,
-
Afelhasználtképlet:P=a P(k)=ri>.rr>r.(l_P)(^Í)
: r),
l;tzr
.
=6
\r_Í. .
(1
_
1;
tl_z,
=
r),
.
*t'.
(l -
l;tz l =
0,4049 58677 . 0,132231 405 = o,32t2gssz9 x 0,3213
a valószínűsége hogy a mintában 2 selejtes alkatrész van.
19/3
Megoldások:
1. feladat P(€ =28,ry _3l)=g.22
F(€ =28,q
= 35) = 6.25
P(€=44,q=3l)=6.25
A felhasznált képlet:
R(€;ry)=ffif#
€ =28;44 4 =31;35
cor((;r)
=
_ E(€)
E(€;rD
E(ri
P(€)
=
,r€')
_
E(rl')
35 11peremeloszlás 0.25 0.47
31
28 0.22 44 0.25
t peremeloszlás
.
0.28 0.s3 0.53
0.47
E(€)=28.0,47 +44.0,53 = 36,48 E(ri=3I.0,47 +35.0,53 =33,12 .0,47 E(€)'=282 +442'O,53=1394,56 E(r)' =3l2 .0,47 +352.0,53 =ll00,92 D' (€) =1394,56_(36,48)2 = 63,7696 D(€) =7,9856
o'(ril =r10a,92-(33,12)'z n*E P(E)
35.28
31.28 = 868 0,22
3,gg56
=
=
980
D(r) =l,9964 35.44
31.41 =1364 0,25
0,25
= 1540
0,29
;r)
. = 868 0,22 + 980 . 0,25 + 13 64 . 0,25 + I 5 40 . 0,28 = 1208,16 cor ({ ;r7) = 1208,1 6 - (36,48. 33,12) = -0,057 6
E (€
R(€;ril
A(
=
r#k)
=
-0,0036 l2gg5^, -0,0036
és 11 valószínűségi változók korrelációs együtthatója
_0,0036'
2. feladat Visszatevéses mintavétel
N=11
s = 7;
;
l
n = 4; k = 2: P (k) = ri>
. rr.r . (|
(#l'
ff,
=
0'3213
l'
_ .
(1
p1a-t,
-
Afelhasználtképlet:P=a P(k)=ri>.rr>r.(l_P)(^Í)
: r),
l;tzr
.
=6
\r_Í. .
(1
_
1;
tl_z,
=
r),
.
*t'.
(l -
l;tz l =
0,4049 58677 . 0,132231 405 = o,32t2gssz9 x 0,3213
a valószínűsége hogy a mintában 2 selejtes alkatrész van.
19/3
3. feladat P(A) = 9.14 P1Vy=t- p(A) { = (0,1,2) P(0 s € s2)
=
P(0 < € < 2)=
= 0.86
P(€
= 0) +
('J). 0.l40
.
.
=
*#,
'0,140 '0,8610
=
1'l'0.8610
+
Tehát
0.8455
P(€ =l) 0.86|0
10.0.14.0.g6e
+
P(€
= 2)
-['i).
0.l4| . 0.869
,n,*t'0,14r +
a valószínűsége,
.0,86e
.
-('j)
.
O.l42. 0.868
=
.0,t42.0,86s
,.u#,
=
'
45. 0.142 .0.g6s = 0.g45470172 x0,g455
hogy 10-ből legfeljebb 2-szerbekövetkez
ikaz
Aesemény.
4. feladat 0<x<1
A felhasznált
0
f (x,y) P(€
>
= x2 +
0,5;q
"A"meghat,
?.* P(€;ril
I
{
Ayz
I l'90
_I
n= r +
!1x2
+Ayz)dydx=
!,e
=
"J.,r=J,,
-1,71x2
Ayr,ha 0<x<1 O
=
r'!frr!*r+1,
=
d*=
{r,9xz r'l
+n*r*=tL9* *,e{rl
*'I,,,,dx
n *=
='l{1,9*' *
ol{o,,nr,
.J€}tf
t9t4
n+)
I
0
0,16a373232
"1.90
rJ:",
.{ n-*
.,r't'no
-"
7 :(0,5;oo).(l,7l;m)
I
Av2)dvdx
t
0.366666666 + A
er = IÍf(x,y)dxdy T
1x2 +
*
''
0, egyébként
>l,7l)
t,90
'!rr,rr'
képlet: í(x,y) =
-
(1,7 tx2 *
A)dx =
e{la,
=
3. feladat P(A) = 9.14 P1Vy=t- p(A) { = (0,1,2) P(0 s € s2)
=
P(0 < € < 2)=
= 0.86
P(€
= 0) +
('J). 0.l40
.
.
=
*#,
'0,140 '0,8610
=
1'l'0.8610
+
Tehát
0.8455
P(€ =l) 0.86|0
10.0.14.0.g6e
+
P(€
= 2)
-['i).
0.l4| . 0.869
,n,*t'0,14r +
a valószínűsége,
.0,86e
.
-('j)
.
O.l42. 0.868
=
.0,t42.0,86s
,.u#,
=
'
45. 0.142 .0.g6s = 0.g45470172 x0,g455
hogy 10-ből legfeljebb 2-szerbekövetkez
ikaz
Aesemény.
4. feladat 0<x<1
A felhasznált
0
f (x,y) P(€
>
= x2 +
0,5;q
"A"meghat,
?.* P(€;ril
I
{
Ayz
I l'90
_I
n= r +
!1x2
+Ayz)dydx=
!,e
=
"J.,r=J,,
-1,71x2
Ayr,ha 0<x<1 O
=
r'!frr!*r+1,
=
d*=
{r,9xz r'l
+n*r*=tL9* *,e{rl
*'I,,,,dx
n *=
='l{1,9*' *
ol{o,,nr,
.J€}tf
t9t4
n+)
I
0
0,16a373232
"1.90
rJ:",
.{ n-*
.,r't'no
-"
7 :(0,5;oo).(l,7l;m)
I
Av2)dvdx
t
0.366666666 + A
er = IÍf(x,y)dxdy T
1x2 +
*
''
0, egyébként
>l,7l)
t,90
'!rr,rr'
képlet: í(x,y) =
-
(1,7 tx2 *
A)dx =
e{la,
=
I o,u
.t*1,93
= (0,063333333 +
0'1051
a
-r,713
n)lr,r= ( 0J9.13 *1,9' -1,71'
|
-(
0,rc
T. Vir! t)
=
0,619596333.0,160373232) -(0.007916666 +0,619596333.0,080186616) 6,1651 =
kiszámított valószínűség.
5. feladat P(A):0.360 A,B,C Íi'iggetlen események P(B):0.105 P(pontosan kettő következik be )=r
a;
Hogy pontosan kettő következzenbe, azt úgy kapjuk meg hogy
b;
A. B .e ,ragt
A.B .C,vagl
c,A.B.C pu. B.e)
pulB. q. pra.c)
pulB.ey. r6le). p(a)
=,Y;r*, P(B.C)
p1c; = "!!r:. P(C) Pu.B{)=P(A).P(B).P(Ó=mivelfi;ggetlenesemények+P(A.n.el=0,36.0,105.(1_0,220)= =
=
=0,029484 x 0,0295
PG.E
.
C)
P (Á. B
.
C) = P (Á) . P (B) . P (C)= (l _
=
p
(A). p (b . pG)= 0,360 . (l -
0,1
05) . 0,220= 0,0708g4 o 0,07 09
0,3 60) . 0,1 05
.
0,220 = 0,0l 47 84ry 0'0 l 48
P(pontosan 2 következik be):
Pu. B.e) + P(A.E.
c> +
P(Á. B' C)
= 0,0295+
0,0709+ 0,0l48 = 0,1 l52
Tehát annak a valószínűsége, hogy a 3 fiiggetlen esemény közül pontosan kettő következik be:
P(pontosan kettő következik be ):0,1152.
19ls
I o,u
.t*1,93
= (0,063333333 +
0'1051
a
-r,713
n)lr,r= ( 0J9.13 *1,9' -1,71'
|
-(
0,rc
T. Vir! t)
=
0,619596333.0,160373232) -(0.007916666 +0,619596333.0,080186616) 6,1651 =
kiszámított valószínűség.
5. feladat P(A):0.360 A,B,C Íi'iggetlen események P(B):0.105 P(pontosan kettő következik be )=r
a;
Hogy pontosan kettő következzenbe, azt úgy kapjuk meg hogy
b;
A. B .e ,ragt
A.B .C,vagl
c,A.B.C pu. B.e)
pulB. q. pra.c)
pulB.ey. r6le). p(a)
=,Y;r*, P(B.C)
p1c; = "!!r:. P(C) Pu.B{)=P(A).P(B).P(Ó=mivelfi;ggetlenesemények+P(A.n.el=0,36.0,105.(1_0,220)= =
=
=0,029484 x 0,0295
PG.E
.
C)
P (Á. B
.
C) = P (Á) . P (B) . P (C)= (l _
=
p
(A). p (b . pG)= 0,360 . (l -
0,1
05) . 0,220= 0,0708g4 o 0,07 09
0,3 60) . 0,1 05
.
0,220 = 0,0l 47 84ry 0'0 l 48
P(pontosan 2 következik be):
Pu. B.e) + P(A.E.
c> +
P(Á. B' C)
= 0,0295+
0,0709+ 0,0l48 = 0,1 l52
Tehát annak a valószínűsége, hogy a 3 fiiggetlen esemény közül pontosan kettő következik be:
P(pontosan kettő következik be ):0,1152.
19ls
6. feladat E({):tr:m D({):0,033:o
{: a zacskó súlya,
normális eloszlású
95<E<1,05)
Annak a valószínűsége, hogy egy tetszőleges zacskó első osztályú:
/(ff#)
p(o,es
-
/(#
1
=
QQ,5l s l s l
s ts) - l/*r,sls
l s l s 1s) =
=00'515151515) _U_úG,5l5l51515)] =2.l(l,51515l5l5) _1=(2.0,9357)_l=0,8714
p(k
0,2407
a valószínűsége,
osztályu.
),
=0,24066204x0,2407
hogy a két véletlenül kiválasztott zacskó közül legfeljebb az egyik első
7. feladat
F(x)={,-".1;,
P(2
<
hax<0,
€ <3) = F€(3)
0.1433
E(€) =1,92
hax>0
_
FtQ) = 1t _ g_ű) -(l -
=
L
;6
=
r-# _ r-#
=
a,t43254694 x O,l433
a valószíntisége, hogy kedvenc csigánk életénekharmadik évébenpuszful el.
8. feladat )" =9 P(7 <í < l0)
Poisson-eloszlás
L=9
P(7 <á
< 10) =
P(€ =7)
8!
9!
+
P(€
= s) +
9' -s 98 -q ge -o 9'o -o = 1.e-" + ?.e-' +:_ .e-' 11- . e-'
7l
Tehát van.
0.4992
l0!
P((
= 9) +
P(€ =l0)
=
= e-e .(4045,120112) = O.4g9z}74g
x 0,4992
a valószínűsége annak, hogy egy szeletben legalább 7 de legfeljebb 10 szem mazsola
6. feladat E({):tr:m D({):0,033:o
{: a zacskó súlya,
normális eloszlású
95<E<1,05)
Annak a valószínűsége, hogy egy tetszőleges zacskó első osztályú:
/(ff#)
p(o,es
-
/(#
1
=
QQ,5l s l s l
s ts) - l/*r,sls
l s l s 1s) =
=00'515151515) _U_úG,5l5l51515)] =2.l(l,51515l5l5) _1=(2.0,9357)_l=0,8714
p(k
0,2407
a valószínűsége,
osztályu.
),
=0,24066204x0,2407
hogy a két véletlenül kiválasztott zacskó közül legfeljebb az egyik első
7. feladat
F(x)={,-".1;,
P(2
<
hax<0,
€ <3) = F€(3)
0.1433
E(€) =1,92
hax>0
_
FtQ) = 1t _ g_ű) -(l -
=
L
;6
=
r-# _ r-#
=
a,t43254694 x O,l433
a valószíntisége, hogy kedvenc csigánk életénekharmadik évébenpuszful el.
8. feladat )" =9 P(7 <í < l0)
Poisson-eloszlás
L=9
P(7 <á
< 10) =
P(€ =7)
8!
9!
+
P(€
= s) +
9' -s 98 -q ge -o 9'o -o = 1.e-" + ?.e-' +:_ .e-' 11- . e-'
7l
Tehát van.
0.4992
l0!
P((
= 9) +
P(€ =l0)
=
= e-e .(4045,120112) = O.4g9z}74g
x 0,4992
a valószínűsége annak, hogy egy szeletben legalább 7 de legfeljebb 10 szem mazsola
9.feladat P(A) =9,55 P(B) = 9,31
Határozza meg: P(A|B
+
A)értékét!
A,B fiiggetlenek + P(AB):P(A)P(B) P(AIA+B)= P(A. B)
?
pAlD=zu:2 , P(B)
= 0,55 .0,81 =
0,4455
P(A+ B)= P(A)+ P(B)* P(A.B)
=
0.55+0.g1 -0,4455 =0,9145
pUlA+ B) = P(4'G+-B)) P(A+ A'B) P(A)+ P(B)- P(A. A.B) _ P(A)+ P(B)- p(A.B) _ p(A+ B) - p(A+ B) p(A+ B) P(A+ B)
P(A) _ =P(A+ B)
0,55
0,9145=o'601421541
x0'6014
0.6014 a P@IA+ B) értéke.
l0.feladat
Osszes
eset:
Kedvező
Pruo'''t =
eset:
Pr'r'''o
Kedvező eset .^= _Öu;uut =
r*"
= 168168
==+ 5!.2!.4! 6930
l68l68
=
= 6930
0.04120879l o 0,0412
Tehát 0'04l'2 valószínűséggel lesz az első három vendég érkezési sorrendje Angol-Francia-olasz.
9.feladat P(A) =9,55 P(B) = 9,31
Határozza meg: P(A|B
+
A)értékét!
A,B fiiggetlenek + P(AB):P(A)P(B) P(AIA+B)= P(A. B)
?
pAlD=zu:2 , P(B)
= 0,55 .0,81 =
0,4455
P(A+ B)= P(A)+ P(B)* P(A.B)
=
0.55+0.g1 -0,4455 =0,9145
pUlA+ B) = P(4'G+-B)) P(A+ A'B) P(A)+ P(B)- P(A. A.B) _ P(A)+ P(B)- p(A.B) _ p(A+ B) - p(A+ B) p(A+ B) P(A+ B)
P(A) _ =P(A+ B)
0,55
0,9145=o'601421541
x0'6014
0.6014 a P@IA+ B) értéke.
l0.feladat
Osszes
eset:
Kedvező
Pruo'''t =
eset:
Pr'r'''o
Kedvező eset .^= _Öu;uut =
r*"
= 168168
==+ 5!.2!.4! 6930
l68l68
=
= 6930
0.04120879l o 0,0412
Tehát 0'04l'2 valószínűséggel lesz az első három vendég érkezési sorrendje Angol-Francia-olasz.
11. feladat P(irárható)=O.l4
AeBeC
.86
A:" A és B kaz0tt nincs jórható út" B:" B és C k0zott nincs járható út" C
:"
A és C kr)zött nincs végig járható út"
A,B,C
nem alkotnak teljes eseményrendszert
P(A) =P(B)
= 9.362
C=A+B
P(vlq=t- P(Alc)
P(A) P(A) 0.8ó2 = = p(B)p(An P(c) P(Aw B) P(A)+ B) 2.0.962
p(Alc) - P(Aa B) '
'
P(A I C)= I 0.2066
-0.g64
---j2- 0.86, 1
^ =
0.206601079
a valószínűsége, hogy
l 2-0.962
=-
- 0,2066
A-ból B-be van járható út.
12. feladat
A
lehetséges esetek szélmáttizennégy elem hetedosztályú ismétléseskombináció adják.
(;)=(';)=
,#n=#=3432
3432 feleképpen rakhatunk a 7 levelet
teszünk.
14 rekeszbe úgy, hogy egy rekeszbe
13. feladat
r(x)={t't;,'
ha0<x(B,
P(€
egyébként.
t9t8
>
E(rD) =?
maximum egy levelet
11. feladat P(irárható)=O.l4
AeBeC
.86
A:" A és B kaz0tt nincs jórható út" B:" B és C k0zott nincs járható út" C
:"
A és C kr)zött nincs végig járható út"
A,B,C
nem alkotnak teljes eseményrendszert
P(A) =P(B)
= 9.362
C=A+B
P(vlq=t- P(Alc)
P(A) P(A) 0.8ó2 = = p(B)p(An P(c) P(Aw B) P(A)+ B) 2.0.962
p(Alc) - P(Aa B) '
'
P(A I C)= I 0.2066
-0.g64
---j2- 0.86, 1
^ =
0.206601079
a valószínűsége, hogy
l 2-0.962
=-
- 0,2066
A-ból B-be van járható út.
12. feladat
A
lehetséges esetek szélmáttizennégy elem hetedosztályú ismétléseskombináció adják.
(;)=(';)=
,#n=#=3432
3432 feleképpen rakhatunk a 7 levelet
teszünk.
14 rekeszbe úgy, hogy egy rekeszbe
13. feladat
r(x)={t't;,'
ha0<x(B,
P(€
egyébként.
t9t8
>
E(rD) =?
maximum egy levelet
, =uyr,rr,*=
E(€)
=
[r,, tl,',,
,,ru1ru*= 3,5. 0
!(q, E@)=r,, 0.5904
=
I
,,u,!i'*=
r,r =
.
+
+ B =iffi
= 1,033e46308
o,rr', t57046
[r,r*lo*
=,
-0.40s6= 0,5e04
a keresett valószínriség.
t9l9
, =uyr,rr,*=
E(€)
=
[r,, tl,',,
,,ru1ru*= 3,5. 0
!(q, E@)=r,, 0.5904
=
I
,,u,!i'*=
r,r =
.
+
+ B =iffi
= 1,033e46308
o,rr', t57046
[r,r*lo*
=,
-0.40s6= 0,5e04
a keresett valószínriség.
t9l9
14. feladat
IGAZAT MOND
IGAZAK VAROSA
HAZUGOK VAROSA
64%
29%
36a/o
7t%
FIAZUDXK P(az ember hazudik):! 0,36. 0,5 + 0,29. 0,5 = 0,18
+ 0,145 =
A Bayes_tételt alkalmazva:
0,325
hazudik):**#o,n
P(az ember
=
UH
=
0,553846153
r
0,553e
Tehát annak avalőszínúsége,hogy a megkérdezett ember hazudik: P(az ember hazudik):fu!531!.
15. feladat
í(x, y) ={^(*Mivel
[o,
')'
x < 6'5;0
"y
<
E(€) =? 1
I
ezért:
*,)0,*=,
l*+
I A= =
<
eg,'ébként.
^t!,1*'. +li, ^
O<
a sűrűség ftiggvény alatti térfogat
jj'(*
=
ha
Ai[t*'.;)
dx
=
=
^ l(#* i
"].,
u,,)
["'.+)b
1*.
i')]
=
='
^
i!,1*.if*
(T .T)=
A 6,5=, +
=6,153846153r0,1539
Vrárható értékkiszámítása:
E(€)
=tI'
f@,y)dxdy=
:i(*.
=
^
(+.+l
^ (3 E (€)
=
: .Y = ^l*.
4)
A.
j,i"
=
^
(** r)or*=,
*1i,,-,='
[[#
j,i( *- r)**
.#)
t*.
*)]
A.(14,08333333 +t0,5625) = A.24,64583333 x24,6458
24,6458 =
*
24,6458 =
Tehát avárbató érték:3,7917.
3,7 9
I 666666 x
3,7 9 17
=
=
=
14. feladat
IGAZAT MOND
IGAZAK VAROSA
HAZUGOK VAROSA
64%
29%
36a/o
7t%
FIAZUDXK P(az ember hazudik):! 0,36. 0,5 + 0,29. 0,5 = 0,18
+ 0,145 =
A Bayes_tételt alkalmazva:
0,325
hazudik):**#o,n
P(az ember
=
UH
=
0,553846153
r
0,553e
Tehát annak avalőszínúsége,hogy a megkérdezett ember hazudik: P(az ember hazudik):fu!531!.
15. feladat
í(x, y) ={^(*Mivel
[o,
')'
x < 6'5;0
"y
<
E(€) =? 1
I
ezért:
*,)0,*=,
l*+
I A= =
<
eg,'ébként.
^t!,1*'. +li, ^
O<
a sűrűség ftiggvény alatti térfogat
jj'(*
=
ha
Ai[t*'.;)
dx
=
=
^ l(#* i
"].,
u,,)
["'.+)b
1*.
i')]
=
='
^
i!,1*.if*
(T .T)=
A 6,5=, +
=6,153846153r0,1539
Vrárható értékkiszámítása:
E(€)
=tI'
f@,y)dxdy=
:i(*.
=
^
(+.+l
^ (3 E (€)
=
: .Y = ^l*.
4)
A.
j,i"
=
^
(** r)or*=,
*1i,,-,='
[[#
j,i( *- r)**
.#)
t*.
*)]
A.(14,08333333 +t0,5625) = A.24,64583333 x24,6458
24,6458 =
*
24,6458 =
Tehát avárbató érték:3,7917.
3,7 9
I 666666 x
3,7 9 17
=
=
=
16. feladat
P(íej)=P(írós)=0,5 |
n-szerfeldobvaF:
€=afejekszáma € rl
=
E(€)
\rirk relatív gtakorisága = n.
p
E(€)=L.n. P
í n
P
=
D'(€)
P
= n.
P(|- P)
D,(€)=i.n.
P(l-P)=
!!"
Eé)=+ p,(í)_iu_i' = : =+ 2'rl'2nn4n -r"felírva a Csebisev egyenlőséget:
.F
p'(í)
r
P(E(r))-e <{ <E(L)+s)) r------u-
nn€'
P(0,5-0,06 <€
rlr
r_t_ffi
í < 0,56) > l__-_] 4.n.0,06'
^
megköveteljük:
I F;-+-:;>0,70 +l-0,70> ,-+-===+ 0,30=.-l --,- +4.n.0.062= ' - - 4.n.0,062 - 4.n 0,062 4.n.0,06' - - 'L w'wv 30 = I
fl=----------'----
=
0,30.4.0,06,
na.legalább
ilr#"
=231,481481s =232
ennyiszer kell feldobni az érmét.
t9n1
16. feladat
P(íej)=P(írós)=0,5 |
n-szerfeldobvaF:
€=afejekszáma € rl
=
E(€)
\rirk relatív gtakorisága = n.
p
E(€)=L.n. P
í n
P
=
D'(€)
P
= n.
P(|- P)
D,(€)=i.n.
P(l-P)=
!!"
Eé)=+ p,(í)_iu_i' = : =+ 2'rl'2nn4n -r"felírva a Csebisev egyenlőséget:
.F
p'(í)
r
P(E(r))-e <{ <E(L)+s)) r------u-
nn€'
P(0,5-0,06 <€
rlr
r_t_ffi
í < 0,56) > l__-_] 4.n.0,06'
^
megköveteljük:
I F;-+-:;>0,70 +l-0,70> ,-+-===+ 0,30=.-l --,- +4.n.0.062= ' - - 4.n.0,062 - 4.n 0,062 4.n.0,06' - - 'L w'wv 30 = I
fl=----------'----
=
0,30.4.0,06,
na.legalább
ilr#"
=231,481481s =232
ennyiszer kell feldobni az érmét.
t9n1
t7. feladat 35 doboz mindegyikében 59 golyó van
l.doboz 59db
25 fehér
r(feher)=S
2.doboz 59db
26 fehér
P(fehér):?9 l.dobozban
3.doboz 59db
27 fehér
P(fehér):Z l.dobozban
l.dobozban
59
59
35.59 =2065 P(fehér):P(A)=?
B;: a golyó az i-edik dobozból
p(A)=r
van
P(A) =,p11|a1.1131 P(Bi)=
minden Bi -re.
(#.#.....3) =* ($.n.e) =* (#.#)=3=
=0,711864406 x 0,7119
0,7tt9
!
a valószínűsége, hogy fehér golyót huzunk
ki.
t9lt2
t7. feladat 35 doboz mindegyikében 59 golyó van
l.doboz 59db
25 fehér
r(feher)=S
2.doboz 59db
26 fehér
P(fehér):?9 l.dobozban
3.doboz 59db
27 fehér
P(fehér):Z l.dobozban
l.dobozban
59
59
35.59 =2065 P(fehér):P(A)=?
B;: a golyó az i-edik dobozból
p(A)=r
van
P(A) =,p11|a1.1131 P(Bi)=
minden Bi -re.
(#.#.....3) =* ($.n.e) =* (#.#)=3=
=0,711864406 x 0,7119
0,7tt9
!
a valószínűsége, hogy fehér golyót huzunk
ki.
t9lt2
18. feladat
*l=! {-exp(x) E(€)=8=+ )"8 P(€ >&)
|- P({ 0'16 >
>
0.84
< É)>
0.84
F(É)
0,16>l-e
-L8
k
e-í > 0.84
-kI =lno.84 s -8 .ln 0.84 =t.394927097 x 1,3949 Tehát a legnagyobb K szrím azl.3948 amire mégigaz,hogy a gép legalább 0.84 valószínűséggel mtiködőképe' l.s" K évig. &
19. feladat €(l,2,3,4)
P =0,42 Pl= P
P2=(1_ P).P
P3=(l_P)r.P P4=(t_ P)t .P E(€)
4
=Zt. p
=
P
+
2. (I _ P). P+
3 . (1 _
P), . P
t=l
=0,42+2.(I-0,42).0,42+3.(l-0,42)2
!-szer
+ 4.
(l
-
P13 .
P
=
.0,42+4.(l_0,42)3 .0,42= 1,65gg52 t6"-2
vizsgrázik egy lezser hallgató átlagban.
18. feladat
*l=! {-exp(x) E(€)=8=+ )"8 P(€ >&)
|- P({ 0'16 >
>
0.84
< É)>
0.84
F(É)
0,16>l-e
-L8
k
e-í > 0.84
-kI =lno.84 s -8 .ln 0.84 =t.394927097 x 1,3949 Tehát a legnagyobb K szrím azl.3948 amire mégigaz,hogy a gép legalább 0.84 valószínűséggel mtiködőképe' l.s" K évig. &
19. feladat €(l,2,3,4)
P =0,42 Pl= P
P2=(1_ P).P
P3=(l_P)r.P P4=(t_ P)t .P E(€)
4
=Zt. p
=
P
+
2. (I _ P). P+
3 . (1 _
P), . P
t=l
=0,42+2.(I-0,42).0,42+3.(l-0,42)2
!-szer
+ 4.
(l
-
P13 .
P
=
.0,42+4.(l_0,42)3 .0,42= 1,65gg52 t6"-2
vizsgrázik egy lezser hallgató átlagban.
20. feladat
P(€ <21,49)
=
P(2l,49)
=
o
(ae:')=
o
(zw_z)= o
L242666667 o Q.l,2417
g.q?07 a valószíntisége, hogy a munkadarab hossza kisebb, mint27,49. (táblazatból) 21, feladat m=E(():0, o szórású, normális eloszlású valószínűsé giváltoző. P(_2,9<€ <2,9)_0'25 P(0,1<1,9.{+l<2,A)=? P(_2'9s€ <2,9)= P(€ <2,9)_P(€ <_2,9)= F(€ <2.g)_F(€ s_2,9)= =
o
(a:*)-,
(-?)=, (?)-,.,(3)
=
20
(?)-,
, , (?)-r=0,25 +2.a (?)=r,25=, (:)=0,62s+ a(n=0,625+ x o=
2'9 0,32
=9.a625
P(0,1<1,9.(+l<2,0)= P(-0'9
F(0,5263) - F(-0,4737)
=
0,5199-1+ 0,5199
0.0398
=0,32
=
=
='
< 0,5263) =
P(€
< 0,5263) _
(ffi), (;#l
=
P(€
< _04737) =
r.,0,0, 8t)+ Q. (0,0s23)
0,0398
a valószínűsége, hogy
az I,9|+1 a(0,l;2,0) intervallumba esik.
t9n4
=
20. feladat
P(€ <21,49)
=
P(2l,49)
=
o
(ae:')=
o
(zw_z)= o
L242666667 o Q.l,2417
g.q?07 a valószíntisége, hogy a munkadarab hossza kisebb, mint27,49. (táblazatból) 21, feladat m=E(():0, o szórású, normális eloszlású valószínűsé giváltoző. P(_2,9<€ <2,9)_0'25 P(0,1<1,9.{+l<2,A)=? P(_2'9s€ <2,9)= P(€ <2,9)_P(€ <_2,9)= F(€ <2.g)_F(€ s_2,9)= =
o
(a:*)-,
(-?)=, (?)-,.,(3)
=
20
(?)-,
, , (?)-r=0,25 +2.a (?)=r,25=, (:)=0,62s+ a(n=0,625+ x o=
2'9 0,32
=9.a625
P(0,1<1,9.(+l<2,0)= P(-0'9
F(0,5263) - F(-0,4737)
=
0,5199-1+ 0,5199
0.0398
=0,32
=
=
='
< 0,5263) =
P(€
< 0,5263) _
(ffi), (;#l
=
P(€
< _04737) =
r.,0,0, 8t)+ Q. (0,0s23)
0,0398
a valószínűsége, hogy
az I,9|+1 a(0,l;2,0) intervallumba esik.
t9n4
=
22. feladat
Kidob ható szám parok:
Á
tr1
Á
Á
Á
Á
,ó
,rí ,'{
/{
,'{
,'{
,í
,á
t2
22
,'{
l3
23
JJ
I4
24
34
44
l5
25
35
45
55
l6
26
36
46
56
,'{ 66
2lelemi esemény, amelyekből 20 nem dupla hatos.
P(A\=T P'
?
36
<
0,lg
íil)" < 0.18 (36l rní!L)" < h0.18 (36i
n.tnii
ln0,l8
= 60,8713 1856 ^' 60,8713
-35 ln-
=
61
36
Legalább 61-szer kell feldobni 2 db dobókockát.
23. feladat
Al:
a terméket az I. gépsor gyártotta
A2: a terméket az II. gépsor gyártotta B: a termék selejtes
P(AI)
= 0,61
P(42)
= 0,39
P(BlAl)
=
0,00040
P@IAD
=
0,00029
P@2lq =7 P(B)
= 0,61
P!2lil= Tehát
'0,00040 + 0.39.0,00029 = 0,0003571
, (!?;,u) _
P(B)
0.3167
p (A2)_. p
GlA2)
P(B)
=
g,ggg
I
1
I I = 0,3 I 67 I 8006
0,0003571
^,
0,3 t 67
a valószínűsége, hogy a selejtes chipet a II. gépsor gyártotta.
t9lts
22. feladat
Kidob ható szám parok:
Á
tr1
Á
Á
Á
Á
,ó
,rí ,'{
/{
,'{
,'{
,í
,á
t2
22
,'{
l3
23
JJ
I4
24
34
44
l5
25
35
45
55
l6
26
36
46
56
,'{ 66
2lelemi esemény, amelyekből 20 nem dupla hatos.
P(A\=T P'
?
36
<
0,lg
íil)" < 0.18 (36l rní!L)" < h0.18 (36i
n.tnii
ln0,l8
= 60,8713 1856 ^' 60,8713
-35 ln-
=
61
36
Legalább 61-szer kell feldobni 2 db dobókockát.
23. feladat
Al:
a terméket az I. gépsor gyártotta
A2: a terméket az II. gépsor gyártotta B: a termék selejtes
P(AI)
= 0,61
P(42)
= 0,39
P(BlAl)
=
0,00040
P@IAD
=
0,00029
P@2lq =7 P(B)
= 0,61
P!2lil= Tehát
'0,00040 + 0.39.0,00029 = 0,0003571
, (!?;,u) _
P(B)
0.3167
p (A2)_. p
GlA2)
P(B)
=
g,ggg
I
1
I I = 0,3 I 67 I 8006
0,0003571
^,
0,3 t 67
a valószínűsége, hogy a selejtes chipet a II. gépsor gyártotta.
t9lts
24" feladat n:3 dolgozó 8000Ft=k:8
Ismétléses kombináció
(t+t_l)_íto)-
(n+k_l\
Io.,l=l.
l0!
*J=[T.,l=r**u=4s
Tehát 45 fele képpen osztható
ki a 8000FT.
25. feladat 2 db egyes 2 db kettes 8 db hármas
1)l
2t2t8l Tehát 2970 db t2jegyű szám készíthető.
26. feladat
N: l l a|katrész s:7 :
4 elemű minta (visszatevésnélkül) k:2 selejtes n
ftt-t'l 7! P(k) =YXU W ft)
=
(;I;r) t;)
4!
=#=
=
(.o.J
A felhasznált képlet: P(k)
0,381 I l 8 r 8r = 0,381 8
4rur-4x
Tehát 0.3818 a valószínűsége annak, hogy a mintában legfeljebb 2 selejtes alkatrész van.
27. feladat P(támad egy leopárdra):O,
l
9
P(leoprárd megöli a vadasa\ támad):0,39
P(vadrísz egyéb okból meghal):0,O8 P(leopárd megtámad és megöl): 0,1 9 . 0,39 = 0,07
P(leopórd ölte meg|meghalt) =
4l
P(meghalt és leopórd Ólte meg)
P(meghalt)
_ 0,074I
_
0,0741+ 0,08
= 0,480856586 o 0,4809
Tehát 0.4809a valószínűsége annak, hogy a vadászatonavadászt egy leopárd ölte meg.
t9/16
24" feladat n:3 dolgozó 8000Ft=k:8
Ismétléses kombináció
(t+t_l)_íto)-
(n+k_l\
Io.,l=l.
l0!
*J=[T.,l=r**u=4s
Tehát 45 fele képpen osztható
ki a 8000FT.
25. feladat 2 db egyes 2 db kettes 8 db hármas
1)l
2t2t8l Tehát 2970 db t2jegyű szám készíthető.
26. feladat
N: l l a|katrész s:7 :
4 elemű minta (visszatevésnélkül) k:2 selejtes n
ftt-t'l 7! P(k) =YXU W ft)
=
(;I;r) t;)
4!
=#=
=
(.o.J
A felhasznált képlet: P(k)
0,381 I l 8 r 8r = 0,381 8
4rur-4x
Tehát 0.3818 a valószínűsége annak, hogy a mintában legfeljebb 2 selejtes alkatrész van.
27. feladat P(támad egy leopárdra):O,
l
9
P(leoprárd megöli a vadasa\ támad):0,39
P(vadrísz egyéb okból meghal):0,O8 P(leopárd megtámad és megöl): 0,1 9 . 0,39 = 0,07
P(leopórd ölte meg|meghalt) =
4l
P(meghalt és leopórd Ólte meg)
P(meghalt)
_ 0,074I
_
0,0741+ 0,08
= 0,480856586 o 0,4809
Tehát 0.4809a valószínűsége annak, hogy a vadászatonavadászt egy leopárd ölte meg.
t9/16
28. feladat
E(€)=7,00+
),=
1
-ly7
Frx=l-e
7,00
-)
4=e-
r- i" 1_
rr,0)
=
P(€'
3 y) =
P(€
<
Ji)
=I _
r -Ln -!,r; 1 -i=, ' =0,5
F(m)=l-s
- !1; lnr- i""' = 1n0,5
=
Jm =-7.1n0,5
)
tr!
-
23,542t9768 *23,5422
Tehát 23.s422 a keresett m érték.
29. feladat x: ferfi y: nő 5óra és 5:54 között
|x-y|
<
ts =)
találkoznak :0
<
x; y <54 .Mindketten 15 percet vámak egymásra:
sikeresen találkoznak.
{54:54)
ha
x-y>0; x>0
x- y 315 x-15 < y
ha
x-y<0
y-x<15 y <15+ x y=x-15
P(sikeres ata|álkozás1:!Es"'__542--.?92 '-'
Tnégszag 542
_29l9:l:2l =y=0,47839506ley 29rc 29rc
Tehát a valószínűsége-annak, hogy sikerül atalálkozás
19I17
0.4784.
0,4784
-_
30. feladat
I
D(€)=0,60=_ E(€'
_)
)=
fr
= 0,7
I ) )"= i E(€ ) =7=0,6( = 0,60
=r.666666667
19999999 = 0.72
_l9€ +7)=8.E(€' )*l9. E(€)+7 =8.0'72_l9.0,60+ Tehát (8.€'z _I9€ +7)értéke1.36 a feladat adatai alapján. E(8.€'
ó. feladat E(O=l=m D({):0,033:o
7 =I,36
\: azacskó súlya, normális eloszlású
<1,05
Annak a valószínűsége, hogy egy tetszőleges zacskó első osztályú:
P(0,95
orffi
l
_
/,'ó'f#
)=
/(l,5
1
5
1
5
1
5
l 5)
_ l2eL5151 5 1 5 1 5) =
=0(I,5l5l5l5l5)-[1 -1Q,515151515)] =2.0(1,515151515) -l=(2.0,9357)-l =0,8714
p(k
0,2407
a valószínűsége, hogy a két véletlenül
kiválasztott zacskó közül legfeljebb az egyik első
osztályu.
19. feladat €(I,2,3,4)
P =0,42 Pl= P
P P3=(l_P)r.P P4=(t- P)t .P P2
=
(t_ P).
19118
E(€)
=Zt. p
=
P +2.(|_ P). P+3.(1 _ P), . P +4.11_P;' .P
=
,=l
=0,42+2.(r-0,42).0,42+3.(1- 0,42)2 .0,42+4.(r-0,42)3 .0,42:1,65995216x2
!
_szet vizsgánik egy lezser hallgató átlagban.
26. feladat N = l1 alkatrész
s:7
n = 4 elemti minta (visszatevésnélkül) k = 2 selejtes
r (r\(,'-') 7t p(k) =UXA ítt) W =
tl
[4/
Tehát
A felhasznált képlet:
",*,=rt,[.í/,
4t 4!
_330 =#=
ll!
0,38181818r
^v
0,381 8
4!(ll-4)!
0.3818 ava|ósziniisége annak, hogy
a mintában legfeljebb 2 selejtes alkatrész van.
27. feladat P(ámad egy leopárdra):O, l 9 P(leoprírd megöli a vadásá\ támad):0,39 P(vadász egyéb okból meghal):0,O8 P(leoprírd megtámad és megöl)= 0,1 9. 0,39
= 0,07
4l
P(meghalt és leopárd Ölte me?) P(leopdrd ölte meg|meghatt) _
P(meghalt)
= 0,480856586
0,074l =0,0741+ 0,08
0,4809 ^v
Tehát 0.4809a valószínűsége annak, hogy a vadászaton avadászt egy leopárd ölte meg.
t9/19
