0
CSAK ISKOLAI HASZNÁLATRA /
MECHANIKA / STATIKA ÉS SZILÁRDSÁGTAN /
ÖSSZEÁLLÍTOTTA SZEKERES GYÖRGY
1
MECHANIKA I. ALAPFOGALMAK A fizika tudományának körébe tartozó „ Mechanika „mozgásokkal és erıkkel foglalkozik és a következı fejezetekre osztják: Kinematika: mely a mozgásokat tárgyalja, a nélkül azonban, hogy a mozgások elıidézı okait is kutatná. Dinamika: mely a testeket, szerkezeteket terhelı erık hatását, törvényszerőségeit vizsgálja s két nagy fejezete van: Kinetika: a mozgásokat elıidézı erık és mozgások törvényeinek összefüggését tartalmazza Statika: azzal a különleges esettel foglalkozik, mikor a testek (szerkezetek) a terhelı erık ellenére nyugalomban maradnak (a nyugalom a mozgás határhelyzetének is tekinthetı). A mechanikai vizsgálatokat ún. idealizált modellen végeszük. Ez azt jelenti, hogy a vizsgált szerkezeteket egyszerősítjük, a vizsgálat szempontjából lényegtelen részeket vagy tulajdonságaikat elhagyjuk. A megállapított törvényszerőségek tehát szigorúan véve csak a modellre árvényesek és olyan mértékben vehetık számításba a gyakorlatban, amennyiben a modell a testnek (szerkezetnek) a vizsgálat szempontjából fontos tulajdonságait tartalmazza. A statikának nevezett anyagrész tulajdonképpen az ideális értelemben merevnek tekinthetı, testek statikája. Ha pedig a merevség (idealizált) feltételétıl eltekintünk, és számításba vesszük a szilárd testek alakváltozásának lehetıségeit is, a szilárd testek statikájához az az a „Szilárdságtan” -hoz jutunk. Jegyzetünk a (teljesség igénye nélkül) a „Mechanika” tantárgy két fı fejezetével a „Statikával” és a „ Szilárdságtannal” foglalkozik, melyek a gépészeti méretezés alapjait képezik. Gyakran találkozunk benne olyan anyagrészekkel, melyeket tanulmányaink folyamán már valahol érintettünk.
A gyakorlatban az egyes témakörök nem válnak el élesen egymástól. A legtöbb szilárdságtani feladatot csak statikai ismeretekre támaszkodva tudjuk megoldani, vagy pl. kinetikai problémáknak is vannak szilárdsági vonatkozásai stb. Feladataink megoldásához a következı módszerek használatosak: 1. A számító eljárás: amelynek nagy elınye a tetszıleges pontosság. Hátránya viszont, hogy nem szemléletes (emiatt az esetleg elkövetett hibát „menet közben" nehezen vesszük észre) és viszonylag sok idıt vesz igénybe. 2. A szerkesztı eljárás: a rajzeszközök fogyatékosságai miatt nem egészen ad pontos eredményt, de egyszerő és jól áttekinthetı. A teljes pontosság sok esetben (pl, a statikai, szilárdságtani feladatoknál) nem is szükséges, elég a közelítı pontosság. Ilyenkor a (közelítıleg egyenlı) jelet használjuk. 3. A számító-szerkesztı eljárás:. némely esetben elınyösen alkalmazhatjuk az ún. grafoanalitikus módszert, lényege, hogy számított értékek alapján szerkesztünk, vagy pedig egyes tényezıket a szerkesztett ábra felhasználásával számítunk ki. STATIKA A statika keretében tartós nyugalomban - egyensúlyban - levı merev testekre vonatkozó problémákat vizsgálunk, vagyis az erı hatására bekövetkezı (mozgásállapot, méret, alak) változások nem lépnek fel (a mozgásállapot megváltozásával a kinetika, a méret- és alakváltozással pedig a szilárdságtan foglalkozik). Az erı egyik testrıl a másikra kétféle módon adódhat át: a, Egymással érintkezı testeknél egyetlen (idealizált) pontban, vonal (él) mentén vagy felületen.
2
b, A testek érintkezése nélkül (pl. vonzás-taszítás által) létrejövı erıhatásokat tömegerıknek nevezzük. A Földnek a testekre kifejtett tömegereje a súlyerı. Az erı jellemzıi: nagyság; irány= értelem + hatásvonal, támadáspont (vonal, felület). A nagyság, az erıvel arányos hosszúságú felvett szakasz.(vektor) Az irányt (vízszintes, függıleges, ferde) valamilyen alap egyenessel bezárt hajlásszöggel adjuk meg. Az értelem: egy függıleges erı fel vagy lefelé is irányulhat (+, - )így meg kell adni az erı értelmét is melyet nyíl jelöl a vektoron. A támadáspont az erı és a test érintkezésének helye.(pont, vonal, felület) A koncentrált erıket nagybetővel ( F-fel) jelöljük és newtonban (jele: N) mérjük, a vonal mentén, ill. felületen megoszló erıket kisbetővel jelöljük, mértékegységük (k- N/m,) ill.(p- N/m2) 1. ERİRENDSZEREK, EREDİ A FORGATÓNYOMATÉK Több, valamilyen szempontból összetartozó erıkbıl álló csoportot erırendszernek nevezünk. Azokat az erıket foglaljuk közös rendszerbe, amelyek ugyanarra a testre (szerkezetre) hatnak. Általános esetben az erık a térben szétszórtan helyezkednek el, speciális esetben pedig közös síkban fekszenek: mi csak az ilyen, ún. síkbeli erırendszerekkel foglalkozunk. Ha egy merev testre több erırendszer minden tekintetben ugyanazt a hatást fejti ki, az erırendszerek egyenértékőek. Az adott erırendszert helyettesítı, legegyszerőbb egyenértékő erı: az erırendszer eredıje( ez legtöbbször egyetlen erı.) Azokat az erırendszereket, amelyek hatására a test (szerkezet) nyugalomban van, egyensúlyi erırendszereknek nevezzük.Az erınek forgatóhatása is van, amit forgatónyomatéknak nevezünk és M-mel jelölünk. Ezt bármely vonatkoztatási pontra számíthatjuk, az erınek és a vonatkoztatási ponttól mért (merıleges) távolságának (az erı karjának ) a szorzataként kapjuk, így mértékegysége: Nm. Ezen ábrán pl. az F erı nyomatéka az A pontra: MA = Fa, a B pontra pedig: MB = Fb. Az erı hatásvonalán levı pontokra (pl. C-re) a nyomaték értéke nulla. Az A pontra számított nyomaték értelme az óramutató járásával ellentétes: ezt - megállapodás alapján – pozitívnak (+ ) tekintjük. MB-é pedig negatív( - ). A nyomaték értelmét (az ábrán is látható) körív végén levı nyíllal is szoktuk jelölni. Ezen ábrán pedig merev rudat látunk, amelyik a jelzett nyomatékok hatására – saját síkjában az O pont körül elforoghat, emiatt az O-t forgáspontnak nevezzük. Több nyomaték együttes hatását az eredınyomaték fejezi ki, amely az összetevı nyomatékok algebrai összege: Meredı = M1+ M2-M3 -M4… /.Az algebrai összeg azt jelenti, hogy a nyomték értelmét (elıjelét) is figyelembe kell venni (esetünkben pl. M1 és M2 pozitív, M3 és M4 pedig negatív) Egy erırendszer eredıjének nyomatéka - tetszıleges forgáspontra - ugyanakkora, mint az erık ugyanazon pontra számított nyomatékának algebrai összege. Ez a nyomatéki tétel, amely a statikának egyik legfontosabb törvénye. Egy test egyensúlyának a feltétele az, hogy ne mozduljon és ne forduljon el. Kimondhatjuk, hogy akkor nem fordul el a test, ha az erırendszer eredınyomatéka bármely pontra nulla. Két azonos nagyságú, ellentétes értelmő, párhuzamos erıbıl álló erırendszert erıpárnak nevezünk, ahol az F erı az alap, k pedig az erıpár karja. Az erıpár nyomatéka a tetszılegesen felvett A pontra:
M A = F ⋅ x − F ⋅ (x + k ) = − F ⋅ k
vagyis az alap és a kar szorzata (esetünkben negatív értelmő, tehát az óramutatóval azonos értelemben forgat). Az elızıkbıl következik, hogy az erıpár saját síkjában bárhova eltolható és elforgatható, ill. vele egyenértékő erıpárrá alakítható.
3
2. STATIKAI ALAPTÉTELEK Matematikai (geometriai) tanulmányaink folyamán már találkoztunk olyan alapigazságokkal (axiómákkal), amelyek a tudomány tételes törvényei alapján rendszerint nem bizonyíthatók, de érvényességük vitán felüli (ilyen axióma, pl.: két pont közötti legrövidebb távolság a pontokat összekötı egyenes szakasz). A statikában szintén vannak ilyen alapigazságok, amelyeket alaptételeknek nevezünk. I. Alaptétel: Merev testet támadó erırendszer hatását nem befolyásolja, ha egy másik, önmagában egyensúlyban levı erırendszert adunk hozzá (esetleg negatív értelemben). Ezzel magyarázható, pl. a fizikából ismert tétel: merev testet támadó erı hatásvonalán bárhova eltolható. Az „a” ábrán vázolt merev testet A pontjában F erı támadja. Vegyünk fel az erı hatásvonalán bárhol egy B pontot és adjunk az eredetihez + F és - F erıbıl álló és a „b” ábrán látható, önmagában egyensúlyban levı erırendszert, amely - az I. alaptétel szerint az eredeti hatását semmiben sem befolyásolja. De ugyanez érvényes, ha a „c” ábrán látható eredeti F és a - F erıt eltávolítjuk. Az eredmény tehát: az erı hatásvonalán tetszıleges helyen felvett B pontban támadó F erı.
II. Alaptétel: a, Ha két erı hatásvonala közös pontban metszıdik, az eredı hatásvonala szintén a metszésponton megy át, és az erık síkjában fekszik „a” ábra. b, Az eredı nagysága az erık vektori összegével egyenlı „b” ábra. / Ha az erıket hatásvonalaik metszéspontjába toljuk el, úgy ahogy a „c” ábrán látható a jól ismert paralelogrammatételhez jutunk: az eredı az erıkbıl alkotott paralelogramma metszéspontjából kiinduló átlója. /
III. alaptétel: Két erı által támadott merev test csakis akkor van egyensúlyban, ha az erık hatásvonala (így támadáspontja is) közös, nagyságuk egyenlı, értelmük pedig ellentétes. IV. alaptétel: Ha egy test erıhatást fejt ki egy másik testre, a másik test is ugyanolyan nagyságú és irányú, de ellentétes értelmő erıt fejt ki az elsıre (akció-reakció elve). /A tételbıl következik: ha valahol erıhatás érvényesül, annak következtében ellenerı, más néven reakcióerı is kialakul. / . V. alaptétel: A deformált állapotban, egyensúlyban levı szilárd testeket (alkatrészeket) merevnek tekinthetjük./ más szóval: a merev testekre érvényes tételek rájuk is vonatkoznak./
4
3. AZ ERİÖSSZETEVİK Elıfordul, hogy egy ismert erınek két meghatározott irányba felbontott összetevıinek ismeretére van szükségünk. A feladatot szerkesztıeljárással a vektorháromszög, vektorparalelogramma ismert módszerével oldhatjuk meg. Az ábrán fogaskerékpár kapcsolódó fogai között ébredı F erı az „a” kapcsolóvonal irányába mutat. A tengelyméretezés és a csapágyak terhelésének meghatározásához szükségünk van az „r” és „k” irányba mutató „Fr” és „Fk” összetevı erık ismeretére. A vektorparalelogramma segítségével az összetevık könnyen meghatározhatók Számítással a derékszögő háromszögben felírható szögfüggvények segítségével fejezhetjük ki az „Fr” és”Fk” értékét:
Fr = F ⋅ sin α
Fk = F ⋅ cos α Az ábrán a laposreszelıvel végzett munka egy mozzanatának, statikailag rögzített modelljét ábrázoltuk, és az erıket „x” mozgásirányba és a munkadarabra merıleges „y” irányba esı összetevıkre bontottuk. Az összetevık számítással is meghatározhatók:
Fxj = Fj ⋅ cos α, Fxb = Fb ⋅ cos β Fyj = Fj ⋅ sin α, Fyb = Fb ⋅ sin β Erıtani és mozgástani feltétel, hogy „Fxj = Fxb” minden helyzetben fennálljon. A pillanatnyi helyzet „x” értékének meghatározásához a rendszer nyomatékegyensúlyából indulhatunk ki: M E = Fyj ⋅ x − Fyb ⋅ (l − x ) = 0 és innen az „x”
x=
Fyb ⋅l Fyj + Fyb
=
Fb ⋅l⋅sin β Fj ⋅sin α + Fb ⋅sin β
4 .KÉNYSZEREK A „kényszerek” olyan mozgást gátló szerkezeti elemek, amelyekben a hatóerıvel szemben ébredı reakció erı mindig olyan nagyságú, irányú és értelmő, ami miatt az egyensúlyi állapot létrejön. Mindent, ami a test szabad mozgását korlátozza, kényszernek nevezzük. A kényszer mechanikai szempontból erıt jelent és a kényszert mechanikai szempontból helyettesítı erıt reakcióerınek nevezzük. A mőszaki életben többfajtáját ismerjük: a, Támasz: Támasztás esetében a támasztott test felületének meghatározott pontja állandóan egy másik, helytálló szilárd test felszínével érintkezik. Mivel a támasztás célja az egyensúly megteremtése, azonban általános esetben ehhez több támaszra is szükség lehet. Egyetlen támasz esetében csak különleges adottságok mellet marad a test nyugalomba ill. egyensúlyban. Két fajtáját ismerjük: - Sík támasz: ° 90
FAN
A
K F
µ=0
µ=0
Az abszolút sima, súrlódásmentes, támasztófelületeken csak a felületre merıleges reakcióerık ébrednek. A támasztó testet statikai szempontból helyettesítı reakcióerıknek át kell menni az érintkezési pontokon és a támasztott test felé kell mutatniuk..
B
FA FA N
90 °
Támaszok
FAS
A
FB
K
N
F
- Érdes felülető támasz: esetén, a támasz síkjával párhuzamos reakcióerı is ébred. Ez az erı a súrlódási erı:
Fs = µ ⋅ FN
µ> 0
FBS
B Támasz felületek
Csuklós támasz
FB FB
N
5
Görbefelülető támasz
µ
µ µ
A súrlódásmentes csukló csak a csukló körüli elmozdulást teszi lehetıvé, a radiális irányút pedig gátolja. Adott erıhatások esetén a csap és furat palástjának érintkezési pontjai határozza meg a felfekvést. A csukló iránya tetszıleges, de hatásvonala mindig átmegy a csukló középpontján.
c, Görgıs támasz: Alapvetı jellemzıje, hogy a görgı az alátámasztási síkon, szabadon elmozdulhat. Bármilyen a hosszirányú elmozdulás, a támasztóerı minden esetben merıleges a támasztás síkjára
d, Rúd és kötél támasz: Az ábrán látható szerkezetben az 1 rúd mindkét végén csuklóval kapcsolódik a szerkezet elemeihez, ezért csak a „B” és „C” csuklókon ébred erıhatás. A csuklónál említett törvényszerőség következménye, hogy az ilyen jellegő kényszerben, az ún. statikai rúdban csak rúdirányú húzó- vagy nyomóerı ébredhet. ( a reakcióerı hatásvonala a csuklók középpontjait összekötı egyenes).A kötélre˙(2 ) jellemzı, hogy a kötélben kizárólag csak húzóerı ébredhet, nyomóerı nem. A rúd mint kényszer, rúdirányú reakcióerıt jelent e, Befogás: Ha a szerkezet elemeit úgy kapcsoljuk össze, hogy a mozgásgátlást merev kényszer Valósítja meg, akkor befogásról beszélünk. A befogás reakcióerın kívül, reakciónyomaték felvételére is alkalmas Mi (egyenlıre) teljesen sima támasztófelületekkel foglalkozunk, ahol kizárólag csak a felszínre merıleges irányú reakció erık ébrednek. Így a teljesen sima alátámasztás esetén a reakció erık ismertek, vagy könnyen meghatározhatók. II. SÍKBELI ERİRENDSZEREK A gyakorlatban olyan feladatokkal találkozunk, amelyeknél az erık hatásvonalai közös síkban fekszenek (sok esetben térbeli erırendszer hatását is visszavezethetjük síkbelire). A hatásvonalak helyzete szempontjából az alábbi eseteket különböztetjük meg: 1, valamennyi erı hatásvonala közös, 2, valamennyi erı hatásvonala párhuzamos 3, a hatásvonalak szétszórtak és egy közös pontban metszıdnek ( általános helyzetőek) Minden esetben az erırendszer eredıjét, vagy az általa terhelt test egyensúlyát biztosító reakcióerıket(nyomatékokat) kell meghatároznunk. 1. KÖZÖS HATÁSVONALÚ ERİK EREDİJE Ha az erık közös hatásvonalon helyezkednek el úgy valamennyi erı eltolható a hatásvonal tetszıleges pontjába. Ez esetben az eredı is közös hatásvonalon lesz, és nagysága az erık algebrai összege. Az eredményt szerkesztéssel is megkaphatjuk: erılépték felvétele után (Pld. 10mm=1000N) az erıket közös hatásvonalukra nagyság és értelem szerint tetszıleges sorrendben felmérjük. Az elsı erı kezdıpontját az utolsó végpontjával összekötve megkapjuk az eredı erıt „FR”
FR = F1 + F3 + F4 − F2 − F5
FR = 1000 + 1400 + 2000 − 2100 − 1200 = 1100 N
6
2. PÁRHUZAMOS HATÁSVONALÚ ERİK EREDİJE A párhuzamos hatásvonalú erık eredıjét vektor- és kötélsokszög-szerkesztéssel valamint számítással a következı lépésekkel határozzuk meg: 1, Felvesszük az erı és hosszléptékeket: /célszerően/ Erılépték: 10 mm = 200 N Hosszlépték: 10 mm = 0,1 m 2. Az erıket egymáshoz képest hosszléptékkel kell felrajzolnunk. Így a helyzetüket egyértelmően megadtuk. 3. Erılépték segítségével megszerkesztjük a vektorsokszöget. Balról jobbra haladva folyamatos erıértelemmel, nyílfolyammal felmérjük az erıket az erıkkel párhuzamos hatásvonalra. Ezután erıléptékkel felvett„C=600” pólustávolságot jelölünk ki (ez lehet tetszıleges, de jó, ha megszokjuk a kerek értékő felvételt!) és azon felvesszük a „0”.pólust. A felvételnek célszerőnek kell lennie a pontos vektor és kötélsokszög megszerkesztése érdekében. A felmért erık léptékmértékő távolságának közelítıleg a közepére, a „C” pólustávolságú párhuzamos egyenesen célszerő kijelölni a „0”. pontot. A „0”pontot az erık kezdı és végpontjaival összekötjük; az elsı erı kezdıpontjához tartozó 1 a végpontjához 2 pólussugár (vektoroldal) tartozik, majd a balról jobb felé haladó erık sorrendben 3, 4, ... stb. Az elsı erı kezdıpontja és az utolsó végpontja között van az eredı nagysága, amelyet az erıléptékkel szorozva, az „FR = 1300 N” tényleges értékét kapjuk. 4. A vektor és kötélsokszög közötti geometriai kapcsolat alapján folytatjuk a szerkesztést. Az 1 pólussugárral párhuzamos 1 kötéloldalt az elsı erı hatásvonalával hozzuk metszésbe, majd a metszéspontból indítjuk a 2 pólussugárral párhuzamos 2 kötéloldalt (a vektorsokszög egy-egy zárt háromszöge a kötélsokszög egy-egy pontjának felel meg!), majd balról jobbra haladva a számsornak megfelelıen szerkesztünk tovább. 5. Az eredı hatásvonala az elsı és utolsó kötéloldal „M” metszéspontján megy keresztül. / z ≈ 0,4 m / 6. A vektorsokszög az eredı nagyságát, értelmét adja meg. Geometriai helyének kijelölését a hosszléptékő kötélsokszöggel határozzuk meg. 7. Számítással történı megoldás: / a lefelé mutató értelem legyen pozitív „+”. Eredı erı: FR = F1 + F2 + F3 = 300 + 400 + 600 = 1300 N Nyomaték az „A” pontra:
M A = 0,36 ⋅ F2 + (0,36 + 0,22 ) ⋅ F3 = 0,36 ⋅ 400 + 0,58 ⋅ 600 = 492 Nm
A „z” távolság:
M A = z ⋅ FR → z =
MA FR
492 = 0,378 ≈ 0,4 m = 1300
Látható hogy a szerkesztéssel elérhetı pontosság is megfelelı. Hosszlépték:
10 mm = 0,1 m , Erılépték: 10 mm = 100 N
Az ábrán látható erırendszernél már nem minden erı azonos értelmő. A vektor és kötélsokszög-szerkesztés ekkor is alkalmazható, de fokozott gondosságot igényel. Látható, hogy a vektorsokszög szerkesztésekor az ellentétes értelmő erık zavaró hatását a pólussugár folyamatos megrajzolásával és jelölésével megszüntethetjük. Ennek az a jelentısége, hogy balról jobb felé haladva az erık kezdı- és végpontját a tévedések elkerülése végett azonnal számozzuk, mivel a vektorsokszög pólussugarain a számozás a szerkesztés logikáját követi. A kötélsokszög oldalai mindig az egymás utáni természetes számok sorát követik, így a kötélábra megszerkesztése nem okoz nehézséget. A vektorsokszögben az eredı az elsı erı kezdıpontja és az utolsó erı végpontja között helyezkedik el, értelme az utolsó pólussugár felé mutat. Eredı erı: FR = F1 + F2 − F3 + F4 = 200 + 400 − 700 + 600 = 500 N Nyomaték a „B” pontra: A „z” távolság:
z=
MB FR
M B = 0,3 ⋅ 400 − (0,3 + 0,15) ⋅ 700 + (0,3 + 0,15 + 0,25) ⋅ 600 = 225 Nm =
225 500
= 0,45 m
7
3. KÖZÖS PONTBAN METSZİDİ ERİK EREDİJE ÉS EGYENSÚLYA Erılépték: 10mm=120 N
a, Erık elrendezése
b, Eredı szerkesztése
Az erıket nagyságukkal és hajlásszögükkel adjuk meg. Hajlásszögüket elvileg bármely egyeneshez viszonyítva megadhatjuk, a gyakorlatban azonban derékszögő koordináta rendszert veszünk fel úgy, hogy annak „0” ordinátájú és „0” abszcisszájú pontja egybeessék az erık közös metszéspontjával, ilyenkor az erıknek a tengellyel bezárt szögét adjuk meg. 1, A feladatot közös hatásvonalú erıkké alakítjuk át, és az eredıt így számoljuk ki. A különbözı irányú erıket felbontjuk „x” és „ y” irányú összetevıikre, s egyszerő algebrai összegzéssel megkapjuk az „ x” és „y” hatásvonalú erık eredıjét. „Fx” és „Fy”. egymásra merılegesek és felfoghatók egy derékszögő háromszög két befogójaként, az átfogót, vagyis az egész erırendszer eredıjét a Pythagoras-tétellel számítjuk ki. 2, Az eredı szerkesztését a paralelogramma-szabály alkalmazásával végezzük. Több, közös pontban metszıdı erı esetén a paralelogramma-szabály ismételt használata eredményes, vagy ennek egyszerőbb módja, amikor az erıket tetszıleges sorrendben felmérjük irány, nagyság és értelem szerint úgy, hogy az egyes erık kezdıpontját az elızı erı végpontjába toljuk el. Az eredı nagyságát megkapjuk, ha az elsı erı kezdıpontját összekötjük az utolsó erı végpontjával; értelme (iránya) az elsı erı kezdıpontjától az utolsó erı végpontja felé mutat (az eredı nyila ütközik az összetevı erık nyílfolyamával). Erımérték felvétele természetesen itt is szükséges. Az erık egyensúlyt tartanak (nyugalomban marad a test ), ha az elsı erı kezdıpontja és az utolsó erı végpontja egybeesik s a nyílfolyam folytonos, ez az egyensúlyi helyzet általános feltétele.. Három erı egyensúlyának feltétele: Szerkesztı eljárás esetén három erı akkor van egyensúlyban, ha: a, mindhárom erı hatásvonalának közös pontban kell metszıdni b, a három erı vektorháromszögének záródni kell c, a zárt vektorháromszögben a nyílfolyam folytonos Számító eljárás esetén három erı akkor van egyensúlyban, ha: a, az erık nyomatékának algebrai összege bármely pontra nulla. b, az erık vízszintes összetevıinek algebrai összege nulla. c, a függıleges összetevık algebrai összege szintén nulla. A fenti szabályok tetszıleges számú, közös pontban metszıdı erı esetére is alkalmazhatók, amennyiben az erık számát – részeredıkkel –mindig háromra csökkentjük. Minta feladat: Szerkesztés - számítás: Az egyensúly feltételei a külsı erırendszerre Vízszintes erık algebrai összege zérus:
FB − FAx = 0 Függıleges erık algebrai összege zérus:
F − FAy = 0 Nyomatéki egyenlet az „A” pontra:
M A = FB ⋅ 2 − F ⋅ 5 = 0 FB =
FB = FAx = 1250 N
F⋅5 2
F = FAy = 500 N
FA = FAx 2 + FAy 2 = 1250 2 + 500 2 = 1379,31 N
=
500⋅5 2
= 1250 N
8
4. A kötél és vektorsokszög szerkesztésének sajátos esetei: Az eredı nemcsak egyetlen erı, hanem erıpár is lehet: α, eset: Vizsgáljuk meg a vektor- és kötélábra alakját ebben az esetben is. Kiegészítettük az ábra erırendszerét egy, az „R” eredıvel azonos nagyságú és ellentétes értelmő „F” erıvel A vektor- és kötélábrát megszerkesztve láthatjuk, hogy a vektorháromszög „zárt", a kötélábra viszont „nyitott" ugyan, de az elsı (1) és utolsó (5) kötéloldal párhuzamos. Kötélábra Vektorábra
β, eset: Ha pedig az eredıvel azonos nagyságú és ellentétes értelmő „F” erıt az eredı helyén vesszük fel, az erırendszer egyensúlyi. Ez esetben nemcsak a vektor, hanem a kötélsokszög is „zárt", vagyis az elsı(1) és utolsó (5) kötéloldal közös egyenesbe esik (ezt záróoldalnak nevezzük és „z”-vel jelöljük). Vektorábra. Nyomatékszerkesztés
Kötélábra
Lépték: 10mm=1m 10mm=100 N A szerkesztés menete: /az „F” erı nyomatékát az „A” pontra vesszük / 1, Kijelöljük az „A” pontot az „F” erı hatásvonalától tetszıleges „k” távolságra. 2, Meghúzzuk az „F” erıhatásvonalával párhuzamos és az „ A” ponton átmenı „f” egyenest 3, Megszerkesztjük az „ F” erı vektorábráját a léptékarányos, /F,1,2, /oldalú „OGE” háromszöget, ahol a pólus „O” távolsága tetszıleges, de ugyancsak léptékarányos 4, Kijelölünk az „ F” erı hatásvonalán egy tetszıleges „N” pontot melyet párhuzamos eltolással metszünk a vektorháromszög „1”oldalával, amely egyúttal kimetszi az „f” egyenesen a „H” pontot. 5, A vektorháromszög „2” oldalát párhuzamosan eltolva metsszük a már meglévı „N” pontot. Az eltolt egyenes az „f” egyenesen kijelöli az „M” pontot. Az „f” egyenesen a „H” és ”M” pontok közötti távolság „y”. A kapott „OGE” és „NMH” háromszögek hasonlóak. A háromszögek hasonlósága miatt fennáll: F : C = y : k → F ⋅ k = M A = C ⋅ y Lemérve és léptékarányos adatokkal elvégezve a szorzást, megkapjuk az „A” pontra vett nyomaték nagyságát. Az „y” kötélsokszög metszéke, a nyomatéki metszék. Mintafeladat az erırendszer nyomatékának meghatározására, szerkesztéssel: Lépték: 10mm = 1m
10 mm = 10 kNm
Határozzuk meg szerkesztéssel az ábrán látható erırendszer nyomatékát az„A” pontra! Elıször az erırendszer vektorsokszögét szerkesztjük meg. Mivel a „C” pólustávolsággal szorozni kell a nyomatéki metszéket. (legyen C = 25 kN). A vektorsokszög alapján megszerkesztjük a kötélsokszöget, majd az „A” ponton át párhuzamost húzunk a függıleges irányú eredıvel. Így kimetszıdik az „yA” - az „A” ponthoz tartozó nyomatéki metszék, melynek értéke a felvett hosszlépték szerint „5 m”. Ezzel az erırendszer nyomatéka az „A” pontra: M A = y A ⋅ C = 5 ⋅ 25 = 125 kNm Megállapíthatjuk tehát, hogy a kötélsokszög erı, eredı és nyomaték meghatározására egyaránt alkalmas
9
III. STABILITÁS TÉRBELI TESTEK, GÉPSZERKEZETEK STABILITÁSA. Stabilitás: A stabilitás alatt a testek állásszilárdságának biztonságát értjük. Egy tárgy akkor áll legbiztonságosabban, amikor azt az elfoglalt helyzetébıl a legnehezebb kimozdítani. mindadig, míg a testek stabilizáló nyomatékainak algebrai eredıje nagyobb, mint a billentı nyomatékoké, a test megmarad nyugalmi /eredeti / helyzetében, ellenkezı esetben felbillen. Határhelyzetben, amikor a stabilizáló nyomatékok eredıje megegyezik a billentı nyomatékok eredıjével, azaz algebrai összegük nulla, a test egyensúlyban van. Biztonsági okokból a stabilizáló nyomaték mindig nagyobb kell legyen mint a billentı nyomaték.
Ms > Mb Egy test stabilitásának mértékét azzal a számmal adjuk meg, amely megmutatja, hogy a stabilizáló nyomaték eredıje hányszorosa a billentı nyomaték eredıjének. Stabilitás:
s=
Ms / nevezetlen arányszám / Mb
[
Stabilizáló nyomaték: M s Nm
[
Billentı nyomaték: M b Nm
]
]
A stabilitás vizsgálatának nagy szerepe van a különféle magasépítéső emelıszerkezetek /daruk / esetében, ahol nagy a feldılés veszélye. A téglatest stabilitása:
a = 1,5 m b = 3,5 m c=5m F = FN = m ⋅ g[N ]
a,
M As = FN ⋅ b2 = F ⋅ b2 M Ab = F ⋅ a
s=
F⋅b 2⋅F⋅a
=
b 2⋅a
=
3,5 3
= 1,16
b,
M As = FN ⋅ a2 = F ⋅ a2 M Ab = F ⋅ b
s=
F⋅a 2⋅F⋅b
=
a 2⋅b
= 17,5 = 0,21
10
c,
M As = FN ⋅ a2 = F ⋅ a2 M Ab = F ⋅ c
s=
F⋅a 2⋅F⋅c
=
a 2⋅c
= 110,5 = 0,15
d,
M As = FN ⋅ 2c = F ⋅ 2c M ab = F ⋅ a
s=
F⋅c 2⋅F⋅a
=
c 2⋅a
=
5 3
= 1,666
e,
M As = FN ⋅ 2c = F ⋅ 2c M Ab = F ⋅ b
s=
F⋅c 2⋅F⋅b
=
c 2⋅b
=
5 7
= 0,714
f,
M As = FN ⋅ b2 = F ⋅ b2 M Ab = F ⋅ c
s=
F⋅b 2⋅F⋅c
=
b 2⋅c
=
3,5 10
= 0,35
11
IV.A SÚLYPONT A környezetünkben lévı testekre a Föld vonzóereje megoszló erırendszerként hat, és a Föld közép-pontjának óriási távolsága miatt a test tömegelemein támadó erırendszer párhuzamosnak (függıleges irányúnak) vehetı. A test súlya nem más, mint a tömegelemeken támadó párhuzamos erırendszer eredıje. A párhuzamos erırendszer eredıjének támadáspontja - vagy másképpen - a súlyerık eredıjének támadáspontja a test súlypontja. Minden sík vagy térbeli alakzat súlypontját meghatározhatjuk egy célszerően megválasztott „x és y” koordináta tengely segítségével, melyekre vonatkoztatva meghatározzuk az alakzat statikai nyomatékait. SÍKIDOMOK STATIKAI NYOMATÉKA ÉS SÚLYPONTJA. Valamely síkidomnak egy tengelyre számított statikai nyomatékán a síkidom területének és a súlypont tengelyrıl mért távolságának szorzatát értjük. A statikai nyomatékot „Ms”- el jelöljük és feltüntetjük a tengelyt is, amire a nyomatékot számoljuk. Az „y” tengelyre M sy = y1 ⋅ A1 + y 2 ⋅ A 2 + y 3 ⋅ A 3 + ... + y n ⋅ A n
ys =
y1⋅A1 + y 2 ⋅A 2 + y3 ⋅A3 +...y n ⋅A n A
M sy = y s ⋅ A Az „x” tengelyre:
M sx = x 1 ⋅ A1 + x 2 ⋅ A 2 + x 3 ⋅ A 3 + ... + x n ⋅ A n
xs =
x1⋅A1 + x 2 ⋅A 2 + x 3 ⋅A 3 +...x n ⋅A n A
,
M sx = x s ⋅ A
Egy síkidom tetszıleges tengelyre vett statikai nyomatékát meghatározhatjuk, ha a síkidomot részekre bontjuk, majd a részeknek, az adott tengelyre vett nyomatékát algebrailag összegezzük. Az egyszerő részekbıl összetett síkidom súlypontjának helyét úgy kapjuk meg hogy: 1, Az összetett síkidomot egy tetszılegesen felvett koordinátarendszerbe helyezzük 2, Felbontjuk az összetett síkidomot egyszerő és szabályos síkidomokra. 3, Felírjuk az „y és y” tengelyekre a statikai nyomatékokat, majd algebrailag összegezzük ıket. 4, A statikai nyomatékok összegét elosztjuk a síkidom felületével, s így megkapjuk a súlypont koordinátáit. 5, A síkidom súlypontját az ”x „ és „y” tengelyre merıleges erık eredıjének közös metszéspontja határozza meg. TÉRBELI TESTEK STATIKAI NYOMATÉKA ÉS SÚLYPONTJA A homogén /egynemő /, adott sőrőségő és térbeli kiterjedéső testek súlypontjának meghatározása ugyancsak lehetséges egyszerő, szabályos részidomokra való bontással, melyek tömegerıinek súlypontja ismert. Mivel az alakzat vastagsága minden határon túl kicsiny is lehet így a súlyvonalra vonatkozó nyomatéki tétel ugyanúgy alkalmazható mint a síkidomok esetében.
A = Σ An n
A ⋅ ς ⋅ h ⋅ x s = A1 ⋅ ς ⋅ h ⋅ x 1 + A 2 ⋅ ς ⋅ h ⋅ x 2 + ... + A n ⋅ ς ⋅ h ⋅ x n
xs =
x1⋅A1 + x 2 ⋅A 2 +.. A
=
Σx n ⋅A n ΣA n
ys =
y1⋅A1 + y 2 ⋅A 2 +.. A
=
Σy n ⋅A n ΣA n
12
Néhány egyszerő geometriai alakzat súlypontja:
Az egyenes vonalszakasz súlypontja a szakasz felezıpontjában van.
xs = ys =
x s ⋅L L ys ⋅L L
A törtvonal súlypontját az egyenes vonalszakaszok felezıpontjai határozzák meg.
xs =
x1⋅L1 + x 2 ⋅L 2 + x 3 ⋅L3 L1 + L 2 + L3
ys =
y1⋅L1 + y 2 ⋅L 2 + y3 ⋅L3 L1 + L2 + L3
A háromszögek súlypontja az oldalak felezıpontjait a szemben fekvı csúccsal összekötı egyenesen fekszik, melyek egymást a csúcs felıl 2/3, az oldal felıl 1/3 arányban metszik. Ennek megfelelıen ez a metszési arány a magasságvonalakra is érvényes:
xs =
m 3
Az egyszerőbb szabályos négyszögek / négyzet, téglalap, rombusz, romboid /valamint a kör területének súlypontja átlóik felezı ill. metszési pontjában van. A mőszaki gyakorlatban használatos összetettebb idomok / keresztmetszetek / gyakran felbonthatók az ismert egyszerőbb részalakzatokra, melyeknek ismerjük a súlypontját. A súlypont helyének meghatározása lehetséges számítással és szerkesztéssel is.
13
Összetett síkbeli alakzatok súlypontjának meghatározása területfelbontással. A súlypont a súlyerık támadópontja. Tetszıleges idom esetén az egyes részek súlyerıinek eredıje adja a teljes idom súlyerejét. Így a súlypont meghatározása az erık eredıjének meghatározása. Összetett síkidomok súlypontjának helyét úgy határozhatjuk meg, hogy felbontjuk olyan egyszerőbb síkidomokra melyek súlypontjának helyét ismerjük, vagy a legegyszerőbben meghatározhatjuk. A súlyerejük helyett a területüket koncentráljuk a súlypontokban, mert anyaguk azonos és homogén eloszlású, vastagságuk pedig végtelenül kicsi. Így a területnagyságukat erıként kezeljük. Súlypont szerkesztéses meghatározásánál a helyesen megválasztott hossz és erı ill. területlépték megválasztása igen fontos. A súlypont, számítással való meghatározásához viszont egy ugyancsak célszerően felvett „x és y” koordinátarendszer szükséges.
Az ábrázolt alakzat felületét két részre osztjuk „A1 és A2” felületre. Határozzuk meg súlypontjának „x és y „ távolságát valamint a nyomatékát az „O” pontra. A területegységek:
A1 = 30 ⋅ 60 = 1800 mm 2 A 2 = 20 ⋅ 90 = 1800 mm 2 ΣA = 3600 mm 2 Nyomatékok az „O” pontra:
M Ox = x s1 ⋅ A1 + x s 2 ⋅ A 2 = 15 ⋅ 1800 + 75 ⋅ 1800 = 162000 mm 3 M Oy = y s1 ⋅ A1 + y s 2 ⋅ A 2 = 30 ⋅ 1800 + 10 ⋅ 1800 = 72000 mm 3 A súlypont távolsága a vonatkozási tengelyektıl:
xs =
ys =
M Ox ΣA M Oy ΣA
= 162000 = 45 mm 3600
=
72000 3600
= 20 mm
V. TARTÓK A terhek hordására szolgáló szerkezeteket, jellemzıen tartóknak nevezzük. A tartók terhelésüket közvetlenül vagy közvetetten mindig a teherbíró talajnak adják át.A tartók lehetnek, vagy megtámasztottak /alátámasztottak/, vagy megfogottak /befogottak /, tömörek vagy rácsosak. A tömör és rácsos tartókat egyaránt merevnek tekintjük s ábrázolásuk egy vagy két vonallal történik s röviden csak rúdnak nevezzük. A befogott rúd:
A súlyerıkkel terhelt vízszintes rúd ill. kéttámaszú tartók. A kéttámaszú rúd lehet: Végein támasztott:
Egyik végén belül támasztott /konzolos/: Mindkét végén belül támasztott /konzolos/:
14
A terhelésük szerint megkülönböztetünk: a, koncentrált erıkkel terhelt tartót b, megoszló erıkkel terhelt tartót c, vegyes terheléső tartók Mi, a leggyakoribb, azaz a párhuzamos erıkkel terhelt tartókkal foglalkozunk. A párhuzamos hatásvonalú, koncentrált erıkkel terhelt kéttámaszú és befogott tartó: A kéttámaszú tartó: A kéttámaszú tartó esetén általában a terhelı erı merıleges és tengelyirányú komponensei az ismertek. /A továbbiakban a lentrıl felfelé ható erık értelmét pozitívnak/+/ vesszük., a fentrıl lefelé ható erıket pedig negatív értelmőnek /- /. Ismeretlenek ill. keressük viszont a támaszoknál megjelenı reakció erıket. A számításhoz így, egy vagy, kettı komponensegyenletre és egy nyomatéki egyenletre van szükség. /Rúdra merıleges, párhuzamos erık esetén csak a merıleges komponens egyenletre van szükség. A nyomatéki egyenlet vonatkoztatási pontjául valamelyik támasztási pontot választhatjuk. Szerkesztésesetén az egyensúlyi kötélsokszöges megoldással dolgozunk. Párhuzamos erıkkel terhelt tartók esetén az elsı kötéloldalt nem szükséges a támasztási /csukló /ponton keresztül rajzolni, mert ilyenkor mindkét reakcióerı hatásvonala ismert. A tartó mentén egyenletesen megoszló terhelést, a súlypontján átmenı koncentrált erıvel helyettesíthetjük.
Eredıerı: − FR = ( − F1 ) + ( −F2 ) Nyomaték az „A” pontra:
M A = − (L1 ⋅ F1 ) − (L1 + l 2 ) ⋅ F2 + (L1 + L 2 + L 3 ) ⋅ FB = 0
Reakció erı a „B” pontnál:
FB =
−( L1⋅F1 )−(L1 + L 2 )⋅F2 −( L1 + L 2 + L3 )
Reakció erı az „A” pontra: FA = − FR − FB A maximális hajlítónyomaték helye mindég a legnagyobb erı hatásvonalában található. Számítása a tıle balra található erı /k/ és annak karjának szorzata adja. A maximális hajlítónyomaték: /az ábra szerint / M max = l1 ⋅ FA A tartók megfogásának módozatai:
15
A kéttámaszú tartó igénybevételei: A tartók bármely helyére vonatkoztatott igénybevétel pontos ismerete teszi lehetıvé, hogy olyan tartót tudjunk tervezni, kialakítani, készíteni, amely biztonságosan megfelel a vele szemben támasztott mőszaki követelményeknek, illetve nem megy tönkre. Valamely keresztmetszet igénybevételén a keresztmetszet egyik oldalán lévı erıknek /erırendszernek / a keresztmetszetre gyakorolt hatását értjük. A tartó keresztmetszeteinek igénybevételét statikai módszerek segítségével határozzuk meg. A tartók fı igénybevétele a hajlítás, mely mellett – ha kis mértékben is –megjelenik a nyírás, melynek hatása méretezéskor elhanyagolható. A tartó hajlítását a hajlító nyomaték idézi elı, melynek maximális nagyságának meghatározása az egyik legfontosabb statikai feladat. A maximális hajlító nyomaték ismeretében rá tudunk mutatni a tartó veszélyes, más néven mértékadó keresztmetszetének helyére, s szilárdságtani adatok birtokában a keresztmetszet méreteit is meghatározhatjuk. A kéttámaszú tartó terhelésének értelmezı ábrája: Jelöljük ki a tartó tetszıleges „K” keresztmetszetének helyét, melynek síkja a rudat s ezzel a terhelı erıket jobb és bal oldali részre osztja. 2. Helyettesítsük a bal oldali erıket /F1, F2, A / az eredıjükkel. /R / 3. A „K” keresztmetszet hatását erıáthelyezéssel állapítjuk meg. Ennek alapján a keresztmetszet terhelése balról, egy erıpár nyomatéka: M=R×r egy, a tartó tengelyére merıleges erı: R A tartó egyensúlyából következik, hogy valamennyi keresztmetszete, külön – külön is egyensúlyban van, ezért a „K” keresztmetszetet jobb oldalról terhelı nyomaték és erı azonos nagyságú de ellentétes értelmő, mint a bal oldali: A „K” keresztmetszetet terhelı erı „nyíró” hatású, ezért nyíróerınek nevezzük. A keresztmetszetet terhelı nyíróerı a keresztmetszet egyik /egyezményesen BAL / oldalára esı, és a rúdra merıleges irányú erık algebrai összege. /R / Megállapítás: a „K” keresztmetszetet /mindkét oldalról M = R × r / hajlító nyomaték, továbbá /alulról és felülrıl/ „R” nyíróerı terheli.
A nyomaték értelmére nézve az a megállapítás, hogy: Ha a tartót a külsı erık úgy görbítik meg, mint azt a saját önsúlya, úgy pozitív /+ /értelmő, ha ellenkezıleg, úgy negatív /- /
16
Egyikvégén befogott, koncentrált erıkkel terhelt tartók: A „kényszerek” témakörnél említettük, hogy a befogás mechanikai szempontból két reakcióerı komponenst /összetevıt/ és egy reakciónyomatékot jelent.A két reakcióerı a tartó befogott keresztmetszetének elmozdulását, a reakciónyomaték pedig a tartó elforgását akadályozza meg. E három reakció-összetevı a tartóra ható bármilyen síkbeli erırendszerrel képes egyensúlyt tartani, így a rúd bármilyen síkbeli erırend-szerrel terhelhetı. Hossz lépték: 10mm=1m Erı lépték: 10mm=1000N A befogott tartó adatai: Terhelı erı: F = 2400
N A tartó hossza: L = 4,5 m A „C” értéke: C = 3300 N Nyomatéki ábra
A nyomatéki ábra szerkesztése: 1, Léptékhelyesen megszerkesztjük a vektorsokszöget, ügyelve, hogy az „1”es záró oldal a rúd meghosszabbítása legyen, melyet a vektorsokszög „0”pontja zár le. 2, Megszerkesztjük a kötélsokszöget, ahol látható ,hogy a”3”as záró oldal egybeesik az „1”eszáróoldallal. 3, A „2’” kötéloldal és a reakcióerı hatásvonalának metszéspontja, valamint a rúd közötti léptéptékhelyes távolság az „yc” nyomatéki metszék legnagyobb értéke./ A kötélsokszög nem záródik./ 4, A reakciónyomaték meghatározása /a szerkesztésbıl/:
M max = M = M A (− ), vagy y c ⋅ C = F ⋅ L y c = 3,27 m
M max = y c ⋅ C ≈ 3,27 ⋅ 3300 ≈ 10791 Nm 5, Ellenırzés számítással:
FR = FA = F → M max = F ⋅ L = 2400 ⋅ 4,5 = 10800 Nm Megoszló erırendszerrel terhelt tartó: Az egymással érintkezı testeknél az erı átadódhat: - egyetlen idealizált pontban : Jele: F Mértékegysége: N - vonal mentén megoszló: Jele: p Mértékegysége: N/m - felületen megoszló: Jele: p Mértékegysége: N/m2 /Paskal / / A valóságban koncentrált erı nincs, mivel minden felszíni erı kisebb – nagyobb felszínen oszlik meg. / A legegyszerőbb az egyenletes megoszlás, amikor a megterhelt felszín minden egységnyi felületére /hosszára /ugyanolyan terhelés jut. Hajlított egyenes rudak esetében, az egyenletesen megoszló terhelésbıl a rúd hosszegységére jutó erı a rúd mentén állandó.
17
= megoszló terheléső tartó
= vegyes terheléső tartó
Megoszló terheléső tartó igénybevétele: A megoszló erırendszert erıtanilag a súlyvonalában ható F=p×b nagyságú koncentrált hatóerıvel terhelt kéttámaszú tartóként vizsgáljuk. Szerkesztéses megoldás: Ismert adatok: N = 1286 m Pólus táv érték: C = 3600 N a = 3,8 m b = 2,8 m c = 1,5 m
Megoszló terhelés: p
Megoldás: A reakcióerık meghatározásához, a megoszló erırendszert függıleges súlyvonalában támadó és vele egyenértékő” F = p ⋅ b ”nagyságú koncentrált erıvel terhelt tartóra vezettük vissza. A reakcióerıket a már tanult módon –vektorsokszög és kötélábra segítségével határozhatjuk meg. A megoszló erıvel nem terhelt tartórészeknél a kötélsokszög azonos a nyomatéki ábrával. Azonban ahol a tartó megoszló erıvel terhelt a nyomatéki ábra parabola alakot vesz fel. A nyíróerı ábra ,azokon a szakaszokon ahol nincs megoszló erırendszer olyan mint a koncentrált erıkkel terhelt tartók esetén. A megoszló erırendszerrel terhelt rész nyíróerı függvényképe lefelé mutató ferde egyenes.A tartó veszélyes keresztmetszete ott van, ahol a nyíróerık egyenese metszi az alapvonalat.
Az erık nagysága a megadott lépték alapján:
F = p ⋅ b = 1286 ⋅ 2,8 = 3600,8 N , FB ≈ 2312 N , FA ≈ 1289 N A nyomatéki metszék nagysága a megadott lépték alapján:
y c ≈ 1,36 m A maximális hajlító nyomaték nagysága:
M max ≈ y c ⋅ C = 1,36 ⋅ 3600,8 ≈ 4897 Nm
18
Számításos megoldás: Nyomaték az „A” pontra:
(
MA = − a + A reakcióerık:
FB =
(a + b2 )⋅p⋅b a + b +c
b 2
)⋅ p ⋅ b + (a + b + c) ⋅ FB
=
(3,8+ )⋅1286⋅2,8 = 18724,16 = 2311,62 N 2,8 2
8,1
8,1
F = p ⋅ b = 1286 ⋅ 2,8 = 3600,8 N FA = F − FB = 3600,8 − 2311,62 = 1289,18 N A baloldali nyíróerı és a nyomatéki metszék helye:
FA − x ⋅ p = 0 ⇒ x =
FA p
,18 = 1289 =1m 1286
A maximális hajlító nyomaték:
M h max = − x2 ⋅ x ⋅ p +
(b2 + a )⋅ FA = − x2 ⋅ p + (x2 + a )⋅ FA = −643 + 5543,5 = 4900,5Nm 2
Megoszló terheléső befogott tartó igénybevétele:
10 mm = 1000N Hossz lépték: 10 mm = 1 m C = 7000 N b=7m Erılépték.
p = 1000
N m
Az egyik végén befogott tartót végig egyenletesen megoszló erırendszer terheli. A maximális hajlító nyomaték, a nyíróerı, a mértékadó kereszt-metszet ugyanúgy határozható meg, mint az elızıekben. Szerkesztéssel: 1, Erı és hosszlépték alapján megszerkesztjük a vektor és kötélsokszöget, majd megrajzoljuk a parabolaívet. 2,
y max ≈ 3,5m segítségével kiszámítjuk az M max - ot. M max = − y max ⋅ C = −3,5 ⋅ 7000 = −24500 Nm
3, Az „A” reakcióerı ismeretében megrajzoljuk a nyíróerı ábrát. A veszélyes keresztmetszet az „A” reakcióerı függılegesében van. Számítással: 1, A reakcióerıt az egyensúlyi egyenlettel határozzuk meg:
p ⋅ b = A → 1000 ⋅ 7 = 7000 N
2, A befogás helyén ( a veszélyes keresztmetszetnél) ébredı maximális hajlító nyomaték: 2
2
M max = M A = − p ⋅ b ⋅ b2 = − p ⋅ b2 = − 1000 ⋅ 72 = −24500 Nm
19
SZILÁRSÁGTAN A szilárdságtan célja azoknak az összefüggéseknek a keresése, amelyeknek segítségével a külsı erıhatásokkal terhelt géprészek, szerkezetek méretei úgy állapíthatók meg, hogy az igénybe vett alkatrészek ne menjenek tönkre ,ne szenvedjenek maradó változást. Ez utóbbi feltétel azt jelenti, hogy ha az alkatrészre ható külsı erıt megszüntetjük, nyerje vissza eredeti alakját. A gyakorlatban az alkatrészek, szerkezetek egyes méreteit rendszerint szabadan választhatjuk meg, másokat viszont úgy kell meghatároznunk, hogy az elıbbi feltételek teljesüljenek. Ezért szükségünk van a szilárdságtani törvények ismeretére; magát a számítást a szilárdsági méretezésnek nevezzük. Egy szerkezet, alkatrész méretezéséhez elsınek azt kell megállapítanunk, hagy milyen az igénybevétele. Ezt rendszerint statikai ismereteink alapján döntjük el. Igénybevételnek nevezzük a külsı erıknek a testekre gyakorolt alakváltoztató hatását. Az egyszerő szilárdságtani igénybevételek a következık: a, húzás, nyomás, (és ez utóbbi különleges esete a kihajlás) b, hajlítás, c, nyírás, d, csavarás. Gyakran elıfordul, hogy egy szerkezetet egyidejőleg többféle egyszerő igénybevétel is terhel. Ilyenkor összetett igénybevételekrıl beszélünk. A statika alaptörvényeinek alapján, a külsı igénybevételekkel terhelt testek (alakváltozásuk után) egyensúlyban maradnak. Ezért az ott megismert - az egyensúlyban levı testekre vonatkozó - törvények a szilárdságtanban is érvényesek. A külsı igénybevételekkel terhelt testek egyensúlyából következik, hogy hatásukra az anyagukban reakcióerık, belsı erık ébrednek, továbbá méret- és alakváltozás jön létre. Vizsgálataink célja ezeknek a belsı erıknek és alakváltozásoknak a meghatározása, hogy a különféle igénybevételek esetén elvégezhessük a szilárdságtani méretezést, ill. ellenırzést.
Alapfogalmak: 1, Normális és csúsztatófeszültségek. A végig állandó (A) keresztmetszető rudat tengelyében két azonos nagyságú ellentétes értelmő, egymástól elmutató „F” erı terhel. Gondolatban a tengelyre merıleges, normál síkkal vágjuk ketté a rudat a vonalkázott keresztmetszetnél, és vizsgáljuk a bal oldali csonkot. A statikából tudjuk, ha egy test egyen-súlyban van, akkor minden része külön-külön is egyen-súlyban van. Ez a rúd bal oldali csonkjára is érvényes, ugyanis a külsı (azaz a test felületét támadó) erık hatására a keresztmetszet egész területén megoszló belsı erık lépnek fel.
A felületegységre jutó belsı erıt feszültségnek nevezzük. Az „A” _nagyságú keresztmetszeten (az ún. normálmetszetben) ébredı feszültségek eredıje tehát „ A ⋅ σ ” nagyságú erı, ezért (a bal oldali csonk egyensúlya alapján):
F − A⋅σ = 0 → σ =
F A
Szavakban: a „σ” feszültséget a terhelıerı és a keresztmetszet hányadosaként kapjuk. Mértékegysége: N2 , neve m
pascal (paszkál), jele „Pa” Megjegyezzük, hogy ez nagyon kis értékő, ezért a gyakorlatban rendszerint a milliószorosát, a MPa-t (megapaszkál) használjuk.
1 MPa = 1
N mm 2
Az elıbbiek természetesen a rúd jobb oldali csonkjára is érvényesek, de ugyanez a helyzet, ha a két külsı erı értelme egymás felé mutat.
20
Látható, hogy a feszültség a terhelı erı és a felület hányadosa. Tudjuk viszont, hogy a feszültség vektormenyiség s így felbontható két merıleges összetevıre. Az ábra alapján az „ A” keresztmetszető rudat „ϕ” szöggel elforgatott síkkal elmetszve „A’” felületet kapunk. Az „A’” felületet osszuk fel 1mm×1mm – es felületelemekre s végezzünk vektorális felbontást:
Látható, hogy két feszültségkomponenst kapunk: a, A felületre merıleges „σ” /szigma / vagy „normális „ feszültséget, b, A keresztmetszet síkjába esı „τ” / tau / vagy csúsztató feszültséget /ez a σ feszültségre mindig merıleges. A két összetevı nagysága az ábra alapján számítható:
F − ς ⋅ A′ = 0 → ς =
σ = ς ⋅ cos ϕ
F A′
τ = ς ⋅ sin ϕ
A feszültségek elıjele az alábbi ábrákon értelmezhetık:
Az anyagra nem hat erı, kristályrácsa nem torzult:
Az anyagra húzóerı hat, kristályrácsa megnyúlt, a feszültség + /pozitív elıjelő /:
Az anyagra nyomóerı hat, kristályrácsa nyomott, a feszültség - /negatív elıjelő /:
A „τ” csúsztatófeszültség értelmét megállapodás szerint akkor tekintjük + /pozitívnak/, ha az anyagoldalon levı tetszıleges pont körül az óramutató járásával ellentétesen forgat. A „τ”feszültség forgató hatása miatt a testen belüli egyensúlynak feltételei vannak:
a,
b,
c,
1, Ha egy „S” síkban „τ” feszültség ébred, akkor a feszültségvektor irányára merıleges síkokban szintén ugyanekkora „τ’”feszültség ébred./ a, b, c ábrák./ 2, Az egymásra merıleges síkokban ébredı feszültségek értelme vagy a két sík metszésvonala felé, vagy attól elfelé mutat. 2, Azokban a síkokban amelyek a fellépı „τ”feszültségek vektoraival párhuzamosak nem ébred „τ” feszültség /a, b, c ábra / A fenti feltételek képezik a „τ”feszültségek dualitásának törvényét.
21
2. Alakváltozás. Hooke-törvény.
Amennyiben adott keresztmetszető /átmérıjő/ fémrúdra külsı húzó /nyomó / erı hat, alakja megváltozik, megnyúlik ill.összenyomódik. A rúd eredeti/terhelés elıtti /hossza „l0”, amely terheléskor „l1” – re változik. Az eredeti „d0”átmérı pedig „d1”- re csökken. A terhelés növelésével a rúd kis szakaszán a keresztmetszet a – többihez képest- jobban csökken. Ún. helyi kontrakció lép fel, itta rúd hamarosan elszakad.
Az alakváltozás jellemzıi: a, Megnyúlás: az eredeti „l0” szakasz hosszváltozása.
∆l = l1 − l 0 /deta/
b, Kontrakció: az eredeti „d0” átmérı méretváltozása.
κ = d1 − d 0 /kappa/
c, Fajlagos nyúlás: az egységnyihosszra vonatkoztatott megnyúlás.
ε=
d, Fajlagos kontrakció: a keresztirányú méretváltozás fajlagos értéke.
∆l l0
=
εκ =
l1 −l0 /epszilon/ l0
κ d0
=
d1 −d 0 d0
Az alakváltozást ill. megnyúlást a húzóerı függvényében diagramban lehet szemléletesen ábrázolni. Azonban a megnyúlás helyett a fajlagos megnyúlást, az erı helyett pedig a feszültséget mérjük fel a koordináta tengelyeire. A lágy acélokra jellemzı diagram kezdeti egyenes szakaszán egy bizonyos feszültségértékig az erı arányos a nyúlással ill. a feszültség a fajlagos nyúlással. Az arányosság a diagram O-P szakaszára érvényes. Így a diagram P pontját és a hozzá tartozó
σp feszültséget arányossági határnak nevezzük. Ez a fizikából ismert Hooke törvény: E
=
σ ε
MPa
A diagramon megjelenı és a képletben szereplı „E” az ún. rugalmassági tényezı, amely anyag jellemzı. Eddig a határpontig az anyagok rugalmasan viselkednek. Az „E –F” pont között az anyag az erı növelése nélkül jelentıs alakváltozást szenved ,szinte megfolyik. Az „F” pontot és a hozzá tartozó „σF” feszültséget folyáshatárnak nevezzük. A „B” pontot és a hozzá tartozó „σB” feszültséget az illetı anyagra jellemzı szakító szilárdságnak nevezzük. A tapasztalatok alapján kimondható hogy a legtöbb anyagra érvényes a Hooke törvény, melynek segítségével számíthatók a külsı erıvel terhelt, adott hosszúságú és keresztmetszető rúd megnyúlása ill. megrövidülése.
σ = ε ⋅ E, σ =
F A0
, ε=
σ E
=
F , A 0 ⋅E
Az „O-P” egyenes „ε” tengellyel bezárt szöge „α”:
ε=
∆l , l0
tg α =
σ ε
∆l =
F⋅l0 A 0 ⋅E
=E
A csúsztató feszültség is a Hooke törvény alapján értelmezhetı. A „τ”feszültség hatására a kristályrács lapszöge „γ” értéket vesz fel. A csúsztató feszültség és a szögváltozás hányadosa a csúsztató rugalmassági tényezı. Jele: G
=
τ γ
,
N mm 2
, MPa
A két anyagjellemzı közelítı aránya:
G ≈ 0,4 ⋅ E
22
3. Gépészeti méretezés jellemzıi. Az egyes fématomokat összetartó erık eredményezik a fémes anyagoknak külsı erıkkel szembeni ellenállását., mely a gépészetben alkalmazott fémek egyik fı jellemzıje s szilárdságnak nevezzük.. A szilárdság: Jele: R; Mértékegysége: MPa A szilárdsági értékek megegyeznek a már megismert feszültségek határértékével, azaz σ hat = R , τ hat
=R
A szilárdsági méretezéshez ismerni kell a szerkezei anyagban a megengedett feszültségértékeket / σ meg , τ meg ,/amely a gépszerkezetben a legcsekélyebb károsodást okozhatja. A biztonsági méretezést az un. biztonsági tényezı beiktatásával végezzük, jele: n A biztonsági tényezı az / R /szilárság ill. határfeszültség /σhat / és az alkatrészben ébredı tényleges feszültség hányadosa /σ,τ /:
n=
R σ
, n=
R τ
, n=
σ hat σ
, n=
τhat τ
A megengedett feszültég az anyag szilárdságának /R/ ill. határfeszültségének /σhat /valamint egy biztonsági tényezınek /n /a hányadosa:
σ meg =
R n
, σ meg =
σhat n
ill. τ meg =
R n
τ meg =
τhat n
A méretezés fajtái: - méretezés teherbírásra: hózás, nyomás ,nyírás - méretezés alakváltozásra: elmozdulás, lehajlás, szögelfordulás, lehajlás - méretezés alakváltozási munkára: alakváltozási munka A géprészek igénybevétel fajtái: - húzás - nyomás - kihajlás - felületi nyomás - hajlítás - nyírás - csavarás A géprészek terhelési módjai: I. Nyugvó vagy statikus terhelés/pld. tartó oszlopok / n=2,3-3,8 II. Lüktetı vagy változó terhelés. /pld. felvonó kötél / n=3,4-4,9 III. Lengı vagy változó terhelés /pld. motor fıtengely / n=5,2-7,6 A három terhelési módot Wıhler – féle terhelési esetnek nevezzük. Méretezési eljárások: A mőszaki gyakorlatban négy módszer alapján végezzük el a méretezést: a, Ha ismertek a szerkezet geometriai jellemzıi és a szerkezeti anyagra megengedett feszültség, akkor a megfelelı igénybevétel összefüggésébıl a terhelhetıség meghatározható. b, Ha ismert a szerkezet igénybevétele és a szerkezeti anyag megengedett feszültsége, akkor a geometriai jellemzık határozhatók meg. Ez az eljárás a méretezı összefüggések és az összetett keresztmetszetek geometriájának bonyolultsága miatt nem mindig járható út. c, Az ismert igénybevételő és keresztmetszető elemekben ébredı feszültséget határozzuk meg, és hasonlítjuk össze a szerkezeti anyag megengedett feszültségértékével. d, Ismétlıdı igénybevétel esetén az ismert geometriájú és, terheléső elemet a biztonsági tényezıre kifejezett összefüggések segítségével lehet méretezni, majd azt összehasonlítani az elıírt biztonsági tényezıvel. Az igénybevételek okozta feszültségek egyszerőbb összefüggésekkel számíthatók, mint az alakváltozásoké, ezért általában a feszültséget meghatározó összefüggéseket használjuk a méretezés folyamán. A szerkezetek többségében az arányossági határnál kisebb feszültséget engedünk meg. Végeredményben elfogadható az eljárásunk, mivel a Hooke-törvény a feszültségek, és az alakváltozások egyszerő kapcsolatát teremti meg.
23
Méretezés egyszerő igénybevételek alapján: Igénybevételnek nevezzük a külsı erıknek a testekre gyakorolt alakváltoztató hatását. 1. Húzás és nyomás: Az erı koncentráltan hat! Az ábra egy állandó keresztmetszető rudat ábrázol, melyet a tengelyvonalában, egymással ellentétes értelmő húzó, majd nyomóerı terhel. Méretezésnél a húzás ill. nyomás alapegyenletébıl indulunk ki. A csak elıjelében eltérı húzás ill. nyomás alapegyenlete azonos felépítéső. -Ha az „F és A” ismert úgy az ébredı feszültséget számítjuk:
σ=
[
F N A m2
= Pa
][
N mm 2
= MPa
]
-Ha az „F és σmeg” ismert, úgy a keresztmetszetet számítjuk:
A=
F σmeg
[m ][mm ] 2
2
-Ha az „A és σmeg” ismert úgy a külsı erı nagyságát számítjuk:
F = σ meg ⋅ A [N ]
Az erı hatására létrejött hossz változás számítása: A rúd nyúlása ill. rövidülése: ∆l = l1 − l 0 Fajlagos nyúlás ill. rövidülés:
ε=
∆l így l0
∆l = l 0 ⋅ ε
σ és mivel σ E F⋅l Az alak ill. hosszváltozás egyenlete: ∆l = A⋅E0 m
Hooke törvény alkalmazásával:
ε=
=
F úgy A
[ ][mm]
ε=
F A⋅E
Az erı vonal mentén hat: Az erı vonal menti hatása leggyakrabban létrejöhet: - sík és él, henger és sík, henger és henger érintkezése esetén. Ilyenkor a koncentrál erı az érintkezési vonal mentén megoszlik, s vonal mentén megoszló terhelésrıl beszélünk.
A vonal menti nyomás: p
= Fl ,
[mN ][mmN ]
Az erı felületen hat: Ha az erı sík ill. ferdesík felületen oszlik meg s nem koncentráltan, úgy felületi nyomásról beszélünk.
Fn =
F cos α
Ferde sík felületi nyomás:
p=
F b⋅l⋅cos α
[MPa ]
Sík felületi nyomás:
p=
F, A
[MPa ]
24
Az erı görbe felületen hat: Ha a nyomóerı nem sík, hanem görbe felületen oszlik meg, palástnyomásról beszélünk. A palástnyomás a terhelı erınek és a hengerpalást ill. gömb, erıre merıleges síkvetületének hányadosa.
Palástnyomás hengerfelületen: p
=
F , d⋅l
[Pa ][MPa ]
Palástnyomás gömbfelületen:
p=
F A vet
=
4⋅F , D 2 ⋅π
[Pa ][MPa ]
A palást nyomás segítségével a túlnyomásra alkalmazott csövek falvastagságát tudjuk meghatározni.
A falvastagság meghatározásra alkalmazott képlet az ún. kazán formula:
s=
D⋅p 2⋅σ meg
, [mm]
Saját tömeggel rendelkezı, valamint külsı, húzó ill. nyomó erıvel terhelt ún. egyenszilárdságú tartó méretezése: Ha a rúd keresztmetszete végig állandó, akkor a feszültség a hossz mentén változik.
[ ]
A rúd tömegereje: G = A ⋅ y ⋅ ς ⋅ g, N Az „y” távolságban lévı keresztmetszetben megjelenı feszültség:
σy =
F+ G A
=
F A
+ y ⋅ ς ⋅ g, [MPa ]
Ha az acél, hogy a rúdban végig azonos feszültség ébredjen, úgy a rudat vagy lépcsısen vagy ívelt kúpossággal készítjük: Az „n” a résztestek /lépcsık /száma. Az „i” az ellenırizendı tag száma. Az „i” – dik résztest keresztmetszete:
Ai =
F
σ meg
n⋅σ ⋅ n⋅σ meg meg −l1⋅ς⋅g
n −i +1
[
][ ]
, mm 2 m 2
Ha, az egyébként egyensúlyban lévı, de hajlításra igénybevett rúdból egy kis részt – elméletben – kivágunk, úgy a kivágott elem is egyensúlyban van. Ez azt jelenti, hogy a külsı „Mh” hajlító nyomatékot ellensúlyozza egy ugyanolyan nagyságú, de ellentétes értelmő „Mb” belsı nyomaték. Tehát egyensúly esetén:
Mh − Mb = 0 Az elemi felületrészekre ható belsı erık:
F1 = A1 ⋅ σ1 , F2 = A 2 ⋅ σ 2 , stb. A belsı erık nyomatéka az x –x tengelyre:
M b = A1 ⋅ σ1 ⋅ y1 + A 2 ⋅ σ 2 ⋅ y 2 + A 3 ⋅ σ 3 ⋅ y 3 + ....stb.
25
A feszültségek helyére behelyettesítve a belsı erık nyomatéka: / σ1 y 21
M b = A1 ⋅ σ ⋅ A „ σ ” hányadost kiemelve: M e
+ A2 ⋅ σ ⋅
e
=
σ e
(
2
y 2 e
= σ⋅
y1 , e
+ ...stb.
σ2 = σ ⋅
y2 e
,....stb. /
)
⋅ A1 ⋅ y 21 + A 2 ⋅ y 2 2 + ...
A zárójelben lévı tagok szorzat összegét az adott tengelyre számított „másodrendő nyomatékának” ill. „inercia-nyomatékának” nevezzük. Jele: Ix, Iy, Iz,. Mértékegysége: m4, mm4 Mivel Mh = Mb , a képletet célszerően átrendezve a hajlítás egyensúlyi egyenlete: / az x tengelyre/
Mh =
Ix e
⋅ σ [Nm]
A szélsı szálban ébredı feszültség:
σ=
Mh Ix
⋅ e [MPa ] ez az ún. Navier – ısszefüggés.
[ ][mm ]
I
A képletben szereplı „ ex ” hányadost keresztmetszeti tényezınek nevezzük s jele: K m A hajlított rúd maximális hajlítófeszültsége így /x tengelyre /:
σ max = Általánosan:
σ max =
M h max K
Mh Kx
3
3
[MPa ] ez a hajlítás alapegyenlete.
[MPa ]
Másodrendő nyomatékok és keresztmetszeti tényezık:
Ha a rúd csavaró igénybevételnek van kitéve, úgy szükség van az ún. poláris másodrendő nyomatékra ill poláris keresztmetszeti tényezıre: A poláris inercianyomatékot a felületelemek és a pólustól mért távolságuk négyzetének szorzatával határozzuk meg:
I p = A1 ⋅ r 21 + A 2 ⋅ r 2 2 + A 3 ⋅ r 2 3 + ....stb. A Pithagoras tétel alapján: / r
(
)
2
= x 2 + y2 /
(
)
I p = A1 ⋅ x 21 + y 21 + A 2 ⋅ x 2 2 + y 2 2 + ...stb. Mivel:
Σi Ai ⋅ x 2i = I y
és Σ i A i ⋅ y 2 i = I x
Így a poláris másodrendő nyomaték::
Ip = Ix + Iy Két, egymásra merıleges tengelyre vett másodrendő nyomaték összege egyenlı a tengelyek metszéspontjára számított (poláris) másodrendő nyomatékkal. A poláris keresztmetszeti tényezı a poláris inercianyomaték és a ponttól mért legszélsı távolság hányadosa:
Kp =
Ip ep
26
Összetett felülető síkidomok másodrendő nyomatéka és keresztmetszeti tényezıinek meghatározása: Ilyen esetben a részidomok saját súlyponti tengelyére /s/ számított inercianyomatékát kell az összetett keresztmetszet közös súlypontján átmenı hajlítás tengelyére /x /vonatkoztatni. Erre a célra az ún. Steiner ill. a párhuzamos tengelyek tételét alkalmazzuk. Másodrendő nyomaték meghatározása az x-x tengelyre. Inercianyomaték egy felületelemre:
(
)
I x1 = A1 ⋅ (y + t )2 = A1 ⋅ y 2 + 2 ⋅ y ⋅ t + t 2 = = A 1 ⋅ y 2 + A1 ⋅ 2 ⋅ y + t 2
- Az „ A1 ⋅ y ”a felületelem másodrendő nyomatéka a súlyponti /s-s /tengelyre számítva. 2
- Az „ A1 ⋅ 2 ⋅ y ⋅ t ” összefüggésbıl az „ A1 ⋅ y ”a felületrész statikai nyomatéka az „ s − s ”súlyponti tengelyre. Inercia nyomaték az egész keresztmetszetre:
I x = ΣA i ⋅ y 2 + ΣA i ⋅ t 2 ebbıl ΣA i y 2 = I s
így
I x = Is + A ⋅ t 2
A részidomok ugyanarra a tengelyre számított inercianyomatékait elıjelesen összegezve kapjuk az egész keresztmetszet eredı inercianyomatékát: I x = I x1 + I x 2 + ...I xi / „i” a részidomok összessége / Megállapítás: Egy síkidomnak /A/ tetszıleges egyenesre / x – x / vett másodrendő nyomatékát / Ix / megkapjuk, ha a súlyponton / S / átmenı és tetszıleges egyenessel párhuzamos tengelyre vett másodrendő nyomatékához / Is / hozzáadjuk a síkidom területének /A / a tengelytávolság négyzetével / t2 / való szorzatát.
Az összetett keresztmetszet keresztmetszeti tényezıje: /x tengelyre /
Kx =
Ix e
- Az „e” a vonatkozási pont ill. tengelytıl mért legnagyobb távolság. - A K x ≠ K x1 + K x 2 + ...K xi Egy összetett síkidom: I- szelvény. 3.Nyírás: Nyírással a mindennapi életben gyakran találkozunk. Jellegzetes példája az olló mőködése. Rúd vagy lemez valamelyik keresztmetszetét akkor terheljük nyíró igénybevétellel, ha a két részre vágott anyag részeit egyenként tekintve, a részekre ható külsı erık eredıje beleesik a keresztmetszet síkjába. Nyíró erık hatására az elıbbiek értelmében a test két szomszédos keresztmetszete egymáson elcsúszni igyekszik. Amíg a nyíró ollók egy bizonyos mértékig be nem hatoltak a testbe, tiszta nyírásról beszélünk A behatolás után - igen kis mélység esetén is - a nyíró erık erıpárt alkotnak. Az erıpár forgató nyomatéka hajlító igénybevételt is okoz, ezért az elnyírásra kerülı testet
meg kell támasztani. Megállapítható, hogy tiszta nyírást csak közös síkban mozgó vágó élekkel és olyan szerszámmal valósít-hatnánk meg, amelynek vastagsága nincs. Ez a feltétel a gyakorlatban nem valósítható meg. Ha a nyírás mellett fellépı hajlító nyomaték kis értékő, figyelmen kívül szokás hagyni; és a rudat úgy méretezzük, mintha csak nyíró erık lépnének fel.
Nyírás
Tiszta nyírás
Hajlítással párosult nyírás
27
Tiszta nyírás esetén a nyírt felületen a feszültségeloszlás egyenletes. A nyírófeszültség egyenlı a Fny A
τ=
nyíróerı és a nyírt keresztmetszet hányadosával:
≤ τ meg
Hajlítással párosult nyírás esetén a hányadost szorozni kell az ún. „c” alaktényezıvel, mely táblázati érték s a keresztmetszet alakjától függı tényezı:
τ = c⋅
Fny A
≤ τ meg
A „c” alaktényezı értékei: Derékszögő négyszögkeresztmetszet: ha a / b < 0,5 úgy c
b a
ha a / b > 0,5 úgy
=
→ / τ max = 32 ⋅
3 2
τ max = β ⋅ 32 ⋅
Fny A
Fny A
/
,
a/b
0,5
1,0
2,0
4,0
β
1,033
1,126
1,396
1,988
Kör keresztmetszet:
c=
Körgyőrő keresztmetszet:
4 3
→ / τ = 43 ⋅
Fny A
/
c = 2 → /τ = 2⋅
Fny A
/
A hajlító feszültség és nyírófeszültség /a gyakorlatban használatos /aránya:
τ meg ≈ σ meg ⋅ (0,65...0,85)
4. Csavarás: Ha az egyenes tengelyő kör keresztmetszető rudat egyik végén rögzítjük, a másik végén olyan „M” nyomatékú erıpárt mőködtetünk, amelynek síkja a rúd tengelyére merıleges, akkor az igénybevétel neve csavarás. A csavaró igénybevételt létrehozó nyomatékot csavaró nyomatéknak nevezzük. Jele : M Nm Csavaró nyomaték hatására a rúd keresztmetszetei egymáshoz képest a rúd hossztengelye körül elfordulnak. Megrajzolva két egymás melletti keresztmetszetnek a csavaró igénybevétel hatása alatti helyzetét a következıket tételezzük fel: A rúdnak a tengelyre merıleges, eredetileg sík keresztmetszetei az alakváltozás után is síkok és a tengelyre merılegesek maradnak. Ha a rúdon egymástól egyenlı távolságokban keresztmetszeteket jelölünk, megállapítható, hogy azok egymáshoz viszonyítva egyenlı nagyságú szöggel fordulnak el Ezért a befogási helyhez viszonyított .elmozdulás annál nagyobb, minél távolabb van tıle a keresztmetszet. A terheletlen rúd egyenes alkotója csavarvonal alakot vesz fel. A keresztmetszetek egymáshoz képest elfordulnak. Elcsúszáskor csúsztató. azaz „τ” feszültségek lépnek fel. A csavaró igénybevétel tehát nyíró (csúsztató) feszültségek létrejöttét okozza. A keletkezett nyírófeszültségek nem azonosak a keresztmetszet minden rétegében. Az egyenes sugarak az alakváltozás után is egyenesek maradnak, ezért az egyes pontok elmozdulása érintıleges irányú és a forgástengelytıl mért távolsággal egyenesen arányos. A keletkezett feszültségek is ugyanezt a törvényszerőséget követik.
[
]
28
Ha ,az egyébként egyensúlyban lévı, de csavarásra igénybevett rúdból egy kis részt kivágunk, láthatjuk hogy a vizsgált elem is egyensúlyban van. Ez azt jelenti, hogy a külsı csavaró nyomatékot „Mcsk” ellensúlyozza egy ugyanolyan nagyságú, de ellentétes értelmő belsı nyomaték „Mcsb”. Tehát egyensúly esetén: M csk − M csb = 0 Az „A” al jelölt felületelemekben ébredı „τ”feszültségek egyenesen arányosak a tengelytıl mért távolságukkal „ζ”. A háromszögek hasonlósága alapján felírhatjuk: Kifejezve a részfeszültségeket: τ1
= τ⋅
ς1 r
τ1 τ
, τ2 =
Az elemi felületrészekre ható belsı erık: F1 Belsı erık nyomatéka a tengelyre: M csb
ς1 τ ς , τ2 = r2 r ς τ ⋅ r2 ,...stb.
=
...stb
= A1 ⋅ τ1 , F2 = A 2 ⋅ τ 2 , ....stb. = A1 ⋅ τ1 ⋅ ς1 + A 2 ⋅ τ 2 ⋅ ς 2 + ... + stb.
A részfeszültségek helyére elvégezve a behelyettesítést:
M csb = A1 ⋅ τ ⋅
ς1 r
⋅ ς1 + A 2 ⋅ τ ⋅
ς2 r
⋅ ς 2 + .... + stb
A „ τr ” hányadost kiemelve a csavaró feszültség:
(
M csk = M csb = τr ⋅ A1 ⋅ ς 21 + A 2 ⋅ ς 2 2 + .... + stb
)
A zárójelben lévı tagok szorzatösszegét a a keresztmetszet pontra vonatkoztatott poláris másodrendő nyomatékának nevezzük. Jele: Ip, Mértékegysége: m4, mm4. A csavarás egyensúlyi egyenlete:
M cs = τ max ⋅ A poláris keresztmetszeti tényezı:
Kp =
Ip r
Ip r
[Nm]
[m ][, mm ] 3
3
A csavarásnál létrejött alakváltozásra jellemzı a „ϕ” szögelfordulás: / egy méterre vonatkoztatott /
) ϕ= Kör keresztmetszetre: I p 5. Kihajlás:
=
M cs ⋅l I p ⋅G
d 4 ⋅π 32
[rad ]
/G=80000 MPa/
[mm ][m ], 4
4
Kp =
d 3 ⋅π 16
[mm ][m ] 3
3
A nyomó igénybevétel törvényszerőségei csak zömök (a keresztmetszetükhöz képest nem túlságosan hosszú) rudakra érvényesek. A karcsú (a keresztmetszetükhöz képest hosszú) rudak nyomóerı hatására különlegesen viselkednek. A kihajlás állapota gyakorlatilag azt jelenti, hogy az adott karcsú rúd egy bizonyos nyomóerı (nyomófeszültség) hatására az ábrákon látható alakot veszi fel, azaz kihajlik.
„1” a tényleges hossz „ l0 „a kihajlási hossz 1. Mindkét végén axiálisan befogott 2. Egyik végén befogott, másik vége szabadon elmozdulhat 3. Egyik vége mereven, másik vége csuklósan befogott 4. Mindkét végen mereven befogott, de az egyik befogás az erı irányába elmozdulhat
29
A vékony vonallal rajzolt eredeti állapothoz - a mérhetı (tényleges) hosszértékhez - képest meghatározhatjuk az „l0” kihajtóhosszúság értékét, amely a rúd megfogásától függ. A megfogás (befogás) fajtája jelentısen befolyásolja a kihajlást. Igazolt, hogy a kihajlás - és az ezt követı törés - még az anyagra jellemzı rugalmassági határ elérése elıtt bekövetkezhet. Más esetben viszont a kihajlás csak akkor következik be, ha a feszültség már túllépte a rugalmassági határt. Az elıbbit rugalmas (elasztikus), az utóbbit képlékeny (plasztikus) kihajlásnak nevezzük. A karcsúsági tényezı:
λ=
l0 /i = minimális inercia sugár –alakjellemzı, / i min min
A karcsúsági tényezı Euler kihajlá esetén:
λ2 =
l2 0
I min A
=
A⋅l20 I min
I
min Inercia sugár: i min = /I min = rúd legkisebb másodrendő nyomatéka / A Igazolt, hogy a rúd kihajlása mindig a keresztmetszet azon tengelyére merılegesen következik be, amelyre a másodrendő nyomaték értéke a legkisebb. A rugalmas kihajlást Euler, a plasztikust Tetmajer vizsgálta és állapított meg összefüggéseket az ún. „σt” törıfeszültségre:
[
]
π2 ⋅E MPa λ2 2 I ⋅E A törıerı: Ft = σ t ⋅ A = π ⋅ min2 l0 F A megengedett erıhatár: Fmeg = t N / a „b” biztonsági tényezı/ b
σt =
[ ]
Acélra: b=1,7…3,5 Öntöttvas: b=6 Egyéb gépszerkezetre: b=6…10 Törıfeszültség képletei:
6. Összetett igénybevételek. A mőszaki gyakorlatban találkozunk olyan szerkezetekkel és elemekkel, amelyeket egyidejőleg több, egyszerő igénybevétel terhel. / Ilyen a kéttámaszú tartó, a szegecs stb. / Ezeknél eltekinthetünk az összetett igénybevétel szerinti méretezéstıl, mivel a meghatározó fı igénybevétel mellett elhanyagolható volt a járulékos hatásuk. Azonban gyakran elıfordul, hogy nem hanyagolható el az egyidejőleg két {vagy több) egyszerő igénybevétel összetett hatása.. Két összetett igénybevételi esetet különböztetünk meg: a. Egyirányú összetett igénybevétel: esetén vagy csak „τ” vagy csak „σ”jellegő feszültségek ébrednek a vizsgált keresztmetszetben. b. Többirányú az összetett igénybevétel: ha a terhelésbıl egyidejőleg „σ”és”τ” feszültség ébred.
30
a, Egyirányú összetett igénybevétel. Mivel a különbözı, egyidejőleg ható terhelésekbıl származó feszültségek egyirányúak, vagy a keresztmetszetre merılegesek, vagy a keresztmetszet síkjában ébrednek, így az eredı feszültséget algebrai összegezéssel kapjuk:
σ1 + σ 2 + .... = σ er ≤ σ meg
/ σ er = σ red /
τ1 + τ 2 + ... = τ er ≤ τ meg
/ τ er = τ red /
Pld. Az ábra alapján: / forgó szíjtárcsa / Fhú = σ1 = húzófeszültség A Fc = σ c = σ 2 =centrifugális erıbıl származó feszültség ς⋅v 2 Mh K
= σ 3 = hajlításból származó feszültség
Az eredı v. redukált feszültség: σ er Így:
σ er = σ red =
= σ red = σ1 + σ 2 + σ 3 ≤ σ meg
Fhú A
+
Fc ς⋅v 2
+
M ha K
[MPa ]
b, Többirányú összetett igénybevétel. Ha a vizsgált keresztmetszetben „σ” és „τ” feszültségek ébrednek, akkor az eredı feszültség „σ” jellegő, és a nagysága akkora, hogy a szerkezeti anyagban károsodást okozó hatása azonos a valóságos terhelésével. Az ábra szerint a keresztmetszetben ébredı „σ”és „τ”feszültség vektorális összegzése adja az eredı feszültséget:
σ red = σ 2 + τ 2 [MPa ] Ez a módszer azonban nem veszi figyelembe a „σ” és „τ” feszültségeknek anyagszerkezeti károsodást okozó hatásait Ezért „τ”csúsztatófeszültségeknek ezt a károsító hatását „c” nagyságú vektorral vesszük figyelembe. Így a vektorösszegzés után a redukált feszültség nagysága:
σ red = σ 2 + (c ⋅ τ )2 ≤ σ meg [MPa ] A „c” értékére két elmélet javaslatát fogadjuk el: a, Mohr-elmélet, mely c = 2 -vel számol így:
σ red = σ 2 + 4 ⋅ τ 2 ≤ σ meg [MPa ]
b, Munkaelmélet, mely
c = 3 -vel számol így:
σ red = σ 2 + 3 ⋅ τ 2 ≤ σ meg [MPa ] Az egyik leggyakoribb, az egyidejő hajlító + csavaró hatású összetett igénybevétel esetén a Mohr féle eredı feszültség meghatározásának jelentıs számítási elınyei vannak. Pld.: A kör keresztmetszető géptengelyek esetén a számítás: Ismert: K p = 2 ⋅ K Mh K M Csavaró feszültség: τ cs = cs Kp
Hajlító feszültség:
σh =
Így a redukált feszültség a Mohr elmélet alapján:
σ red = σ h 2 + 4 ⋅ τ cs 2 =
=
M 2 h + M 2cs K
=
M red K
≤ σ meg
( )
Mh 2 K
+ 4⋅
( )
M cs 2 2⋅K
=
