Obsah
1
2
3
4
5
Úvod 1.1 Vymezení modelovaných soustav 1.2 Požadavky na simulační nástroj 1.3 Rozdělení procesu modelování . .
5 7 8
13
Přehled metod tvorby matematického modelu 2.1 Rozdělení metody tvorby matematického modelu 2 . 2 Obecný tvar rovnic popisujících dynamiku MBS . 2.3 Metoda uvolňování (Newton-Eulerovy rovnice) 2.4 Analytická dynamika (Lagrangeovy rovnice) 2.5 Softwarové nástroje pro tvorbu modelu . .
13 13 16 17 23
25
Numerické řešení matematického modelu 3.1 Numerické metody řešení ODE . . 3.2 Numerické metody řešení DAE . 3.3 Řešiče ODE a DAE v MATLABu
25 26 26
Příklady ruční tvorby modelu a jeho numerického řešení 4.1 Matematické kyvadlo v rovině . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Robotický manipulátor se dvěma stupni volnosti v rovině
5 Modelování MBS v SimMechanics 5.1 Stručná charakteristika programu SIMMECHANICS 5.2 Princip tvorby modelu . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Definice vazeb a jejich podoba v SIMMECHANICS . 5.4 Postup simulace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Topologie modelu a určování počtu stupňů volnosti . 5.6 Typy analýz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Poznámky k práci se SIMMECHANICS. . . . . . . 5.8 Import parametrů modelu z CAD systémů a vizualizace ve VRML 5.9 Využití linearizovaného modelu ze SIMMECHANICS k řízení MBS . .
.
29
29 32
41
41 41 42 42 43 44 45 46 47 3
OBSAH 6
Příklady modelování jednoduchých mechanismů v SimMechanics 49 6.1 Robotický manipulátor se dvěma stupni volnosti v rovině (v SIMMEOHANIOS) . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.2 Model kinematiky paralelního robotu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 .
.
.
.
7
8
.
.
Využití SimMechanics pro rychlý návrh kinematickéhó modelu čtyřno55 hého robotu 7.1 Motivace a formulace problému 55 7.2 Popis modelu 55 7.3 Výsledky 56 Příklad tvorby modelu mechatronické soustavy s prvky různé fyzikální podstaty - model čtyřnohého robotu 61 8.1 Formulace problému . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 8.2 Popis částí komplexního modelu . . . . . . . . 62 8.3 Ukázka využití KMR jako konstrukčního nástroje . 68 .
.
Seznam použitých zkratek a definice některých pojmů
81
Použitá literatura
83
4
,
1
Uvod
Tato práce se zabývá problematikou modelování mechatronických soustav, které jsou chá pány jako dynamické systémy se soustředěnými parametry. Hlavní důraz je kladen na mo delování mechanických subsystémů, jejichž dynamické chování významně ovlivňuje užitnou hodnotu technického objektu jako celku a přitom jejich adekvátní matematický popis je často velmi obtížný.
V úvodní kapitole se zaměříme na rozbor procesu modelování a definujeme požadavky, které by moderní simulační nástroj měl splňovat. V kap. 2 popíšeme základní metody syntézy matematického modelu, ze kterých vychází i všechny metody implementované v dostupných programech, které umožňují automatický návrh modelu mechanické části soustavy. V kap. 3 se stručně zmíníme o metodách numerické integrace matematického modelu a jejich implementaci v programu MATLAB-SIMULINK. Na několika příkladech pak budeme demonstrovat způsob tvorby simulačního modelu některých jednoduchých mechanických soustav . V další části práce se pak budeme zab5'vat konkrétně programem SIMMECHANICS, který je nástavbou standardního simulačního nástroje MATLAB-SIMULINK. Krátce popí šeme některé aspekty návrhu modelu a uvedeme několik jednoduchých příkladů. Na závěr popíšeme detailně návrh Komplexního modelu kráčejícího robotu jako příklad modelování mechatronické soustavy s prvky různých fyzikálních podstat. 1.1
Vymezení modelovaných soustav
Počítačové modelování je jedním ze základních aspektů mechatroniky a mechatronického pojetí technických objektů. Samotná definice pojmu mechatronika není zcela jednotná 1. Většinou se ale různí autoři shodují v tom, že klíčová je zde účelová integrace mechanického a. elektrického (elektronického) subsystému a především pak počítačového řízení . Jedním z hlavních rysů tzv. mechatmnického přístupu[25] je komplexní pojetí technic kého objetku resp. modelované soustavy. vývoj mechanické, elektronické i řídící části sou stavy probíhá současně (tzv. paralelní inženýrství) , což je možné pouze díky počítačovému modelování chování reálné technické soustavy. Simulační výpočty umožní provedení řady optimalizačních kroků a inženýrských rozhodnutí ještě před výrobou cílového technického objektu nebo fyzického prototypu, což přináší pochopitelně časové i finanční úspory. 1
"Mechatronika jako inženýrská disciplina, je synergetickou kombinací přesné mechaniky a strojního
inženýrství, elektroniky, řízení a počítačových věd jež sjednocuje výsledný užitný a efektivní design" (K. Craig, University of Rensselaer, USA). "Mechatronika může být uvažována jako komplex ideí, metod
a
prostředků pro kreativní počítačové ří
zení, programování a výrobu technických soustav, s uvažováním všech podstatných výkonových i funkčních a informačních interakcí uvnitř i vně tec4nické soustavy". (P. Paruschev, BAV, Solia).
5
KAP. 1: ÚVOD
Proces modelování lze rozdělit do dvou základních kroků: •
definice abstraktní modelované soustavy znamená myšlené zjednodušení reálného technického objektu tak, aby byl snáze popsatelný a řešitelný pomocí dostupných matematických metod. Prakticky to znamená zanedbání různých vlivů a vlastností technického objektu, které lze na dané (strojírenské, inženýrské) rozlišovací úrovni zanedbat. Zde je nezastupitelná tvůrčí práce člověka , tento krok řešení problému nelze zautomatizovat. Příkladem je tuhé těleso, zanedbání pasivních odporů, trans formace úlohy z prostorové na rovinnou apod.
•
simulační modelování soustavy sestavení matematického modelu soustavy ve formě ODE2, DAE, případně parciálních diferenciálních rovnic a jejich řešení pro daný konkrétní problém (analýza chování, syntéza řízení apod. ) . Tento krok je tradičně řešen člověkem, případně za pomoci počítačů, lze jej však plně automatizovat.
-
-
Z uvedených úvah je patrné, že pro konstrukci pokročilých mechatronických soustav po čítačově řízených a vykazujících dynamické chování je velmi důležitý proces počítačového modelování. Poznamenejme jen, že pro tvůrčí návrh a modelování je charakteristický ite rační charakter předchozího procesu. Na základě výsledků simulací, případně experimentů provedených na prototypu, můžeme upravit charakter definované abstraktní modelované soustavy a opět provést výpočty. V praxi, při řešení významné části mechatronických problémů, bývá často modelovaná soustava uvažována jako soustava se soust1�eděnými parametry. Při modelování mecha nismů se často užívá pojem soustava tuhých těles propojených vazbami (anglicky mul t i rigid body system zkratka MBS3 ) . Z matematického hlediska jde o nahrazení soustavy parciálních diferenciálních rovnic (reálná soustava s rozloženými parametry) soustavou ODE nebo DAE (soustava se soustředěnými parametry) , které jsou podstatně jednodušeji řešitelné. Tento text se zabývá právě popisem metod tvorby dynamického modelu soustavy se soustředěnými parametry. Hlavní motivací je potřeba překlenout propast mezi tradičními metodami modelování (analytický model ODE nebo DAE sestavený pomocí Newtonova nebo Lagrangova přístupu) a novými čistě numerickými metodami reprezentovanými zde programem SIMMECHANICS. Obecně může být do pojmu mechatronická soustava zahrnut i technický objekt s pod systémy hydraulickými, tepelnými, aerodynamickými apod. a přístupy dále popsané lze při jejich modelování také použít. V převážné většině problémů se ale setkáváme se soustavami čistě elektromechanickými a na jejich modelování se soustřeďuje i tato práce. V první části popíšeme tradiční metody syntézy dynamického modelu a zvláště se za měříme na jejich vlastnosti z hlediska automatizace tvorby modelu. V druhé části se pak -
2Yýznam této a dalších zkratek používaných v textu je uveden na str. 81. 3 Yzhledem k tomu, že neexistuje jednotná všeobecně známá zkratka pro označení soustav tuhých tě les propojených vazbami, budeme nadále v této práci používat zkratku MBS, která je běžná v anglické literatuře a především v dokumentaci k softwarovým nástrojům.
6
1.2: POŽADAVKY NA SIMULAČNÍ NÁSTROJ
budeme věnovat plně numerickému modelování a jeho aplikacím. Tyto metody a na nich postavené softwarové produkty představují v současné době velmi nadějnou cestu k mo delování dynamiky pokročilých mechatronických soustav obsahujících složité kinematické mechanismy jakými jsou např. mobilní čL stacionární roboty, kráčející robotické mecha nismy, složité obráběcí stroje, pohyblivé prvky automobilů a letadel nebo mechanismy přístrojů. 1.2
Požadavky na simulační nástroj
Problémy simulačního modelování moderních mechatronickSrch soustav vytváří podstatně vyšší nároky na přesnost modelů a jejich příblížení se reálným technickým objektům než tomu bylo v minulosti. V následujících několika bodech shrneme požadavky, které by měl splňovat nástroj pro simulační modelování dynamických soustav se soustředěnými parame try. Znovu připomínáme, že se zaměříme pouze na problematiku typicky mechatronických soustav, které obsahují mechanické, elektrické a řídící prvky. Z výčtu vlastností je patrné, že minimálně některé z nich je nutno řešit na počítači. 1. Různá fyzikální podstata prvků simulační nástroj musí být schopen modelovat dynamické prvky různých fyzikálních podstat (mechanické, elektrické, elektronické, hydraulické, tepelné, aerodynamické; řídící, informační, rozhodovací). -
2. Nelinearity prvky, vazby mezi nimi, vnější působení apod. je nutné obecně pova žovat za nelineární a s parametry proměnnými v čase. -
3. Automatická matematického tvorba modelu dosažení vysoké produktivity návrhu TO a potřeba modelovat velmi komplikované mechanické i jiné problémy vyžaduje automatizaci tvorby modelu MBS (formulace ODE resp. DAE) . Dále se souvisejícími problémy budeme zabývat v kap. 2 a 5. -
4. Rychlost řešení matematického modelu Vytvořený matematický model musí být dostatečně rychle řešitelný. U přímé úlohy dynamiky jde o problém integrace DAE nebo ODE. Konkrétní požadavek závisí na způsobu použití modelu. Je zřejmé, že věrohodnost a tím složitost modelu je v rozporu s rychlostí jeho řešenÍ. -
5. Skoková kvalitativní změna systému Při integraci ODE nebo DAE musí být zaru čeno korektní zachycení a ošetření událostí, které představují významnou skokovou změnu kvality simulovaného systému. Příkladem mŮŽe být jednoduchá rotorová sou stava s vůlí na pružné spojce. Situace, kdy je vazba funkční a kdy není představuje zásadní kvalitativní rozdíl. Přechod mezi těmito dvěma stavy musí být při simulaci velmi přesně zachycen4. -
4y MATLABU je tato problematika řešena vlastností events řešičů ODE a DAE. Y SIMULINKU a SIM MECHANICS pak vlastností zero crossing detection, kterou mají příslušné simulační bloky.
7
KA P.
1:
ÚVOD
6. Detekce kolizí
V případě , že objektem modelování je mechanismus s pohybujícími se částmi a hrozí jejich vzájemná kolize nebo kolize mechanismu a prvků okolního prostředí, je nutné v průběhu simulace zachytit a ošetřit výskyt těchto kolizí. Tato problematika je vysoce aktuální u všech složitějších robotických struktur, typickým příkladem může být simulace robotického pracoviště s několika kooperujícími sta cionárními průmyslovými roboty. Stejně důležitý je tento problém i u mobilních kráčejících robotů.
7. Vizualizace
-
Velice důležitou vlastností simulačního nástroje (software) je schop nost vizualizace chování modelované soustavy. Pro velkou část analýz postačí výstup ve formě časových závislostí důležitých veličin, který lze posléze zpracovat graficky. Pro studium charakteru chování je ale nezastupitelná role dynamické vizualizace. Můžeme zde zmínit technologii VRML, která je v MATLABu dostupná přes Virtual Reali ty Toolbox. Simulovaný mechanismus je zobrazován jako dynamický 3D ob jekt v prostředí běžného internetového prohlížečé. -
Zapojení člověka do simulačního schématu jako jednoho z prvků soustavy. Nejčastější motivací je snaha oveřit vlastnosti navrhované soustavy na akce provedené lidskou obsluhou bez nutnosti tyto modelovat. Jde o to, že modelování lidského chování, tzn. lidské psychiky, je záležitost velice náročná.
8. Man in the loop
-
9. Hardware in the loop
Zapojení skutečného hardware do simulačního schématu místo jeho počítačového modelu. Elektronickou část mechatronické soustavy je tak možno otestovat ještě před výrobou mechanické části, případně provést první odla dění řídících programů a zabránit tak nehodě způsobené např. pohybem mechanismu. -
10. Implementace simulačního modelu do řídícího hardware
V případě, že simulační model sestavujeme za účelem syntézy nebo analýzy řízení, měla by existovat možnost jednoduché implementace vytvořeného modelu v řídícím hardware (mikrokontroler, DSP apod.)6.
l l . Kvalita dokumentace 1.3 1.3.1
-
-
z velké části určuje kvalitu simulačního nástroje.
Rozdělení procesu modelování Obecné rozdělení metod použitých při simulačním modelování
Jakmile z technického objektu vytvoříme abstraktní modelovanou soustavu, můžeme při stoupit k vlastnímu procesu modelování její dynamiky. Připoměňme, že se zde omezujeme 5Nutno nainstalovat plug-in. 6Tento problém je řešen pomocí překladu simulačního algoritmu do přenositelného kódu (nejčastěji C). Jedná se o velice náročnou otázku, která není uspokojivě vyřešena v žádném autorovi známém komerčním nebo freeware produktu. Příčinou je i razantní rozdíl mezi výpočetním výkonem běžných pracovních stanic (PC) a hardwarem pro řízenÍ.
8
1.3: ROZDĚLENÍ PROCESU MODELOVÁNÍ
na soustavy se soustředěnými parametry, především pak elektromechanické. Při simulač ním modelování používáme metody, které 'lze rozdělit podle různých hledisek: Podle pořadí metody v procesu řešení: •
metody tvorby (sestavení) modelu
•
metody řešení modelu
Podle matematické povahy metody na: •
metody analytické
•
metody numerické
Na tomto místě je nutné uvést také základní rozdělení úloh dynamiky, a to na úlohu
přímou a nepřímou. V dynamice je řešení nepřímé úlohy snadnější než úlohy přímé, neboť matematicky vede pouze na řešení soustavy ( obecně nelineárních) algebraických rovnic, zatímco přímá úloha vždy vede na integraci ODE nebo DAE. Náš zájem se soustředí především na úlohu přímou, která je z hlediska studia chování simulovaných soustav dů ležitější. 1. 3.2
vývoj od analytického modelování k numerickému
Kombinací výše uvedených kritérií dostaneme několik přístupů:
1. Plně analytické modelování historicky nejstarší způsob modelování dynamiky. K se -
stavení modelu (ODE,DAE) použijeme Newtonova nebo Lagrangeova přístupu (po píšeme v oddíle 2 .3 a 2.4), rovnice formulujeme "ručně". Výslednou rovnici nebo soustavu rovnic integrujeme analyticky. Výsledné chování obdržíme jako analytic kou funkci času.
2. Smíšené modelování klasický, v dnešní době převážně používaný přístup k modelo -
vání dynamiky. Model soustavy sestavíme stejně jako v předchozím bodě. Naprostá většina praktických problémů vede na rovnice či soustavy rovnic , které nelze analy ticky integrovat, proto použijeme integraci numerickou. Výsledné chování obdržíme pouze pro konkrétní zadané počáteční podmínky.
moderní přístup modelování velmi složitých soustav. Na základě definované abstraktní modelované soustavy se automaticky (za použití numerických metod) vytvoří dynamický model soustavy (ve formě ODE, DAE). Následně se provede integrace metodami stejnými jako v přechozím případě. Chování soustavy obdržíme opět pouze pro počáteční podmínky.
3. Plně numerické modelování
-
Z uvedené výčtu je patrný postupný přesun z čistě analytického řešení "na papíře" k čistě numerickému řešení na počítači. V podstatě je to dáno vzrůstajícími možnostmi výpočetní techniky a s tím souvisejícími požadavky na řešení stále složitějších problémů. 9
KAP.
1:
ÚVOD
Pokud je daný problém možno vyřešit (integrovat rovnice) čistě analyticky, je to ten nejlepší možný postup. K dispozici totiž pak máme chování soustavy jako analytickou funkci času, což umožňuje provádění dalších analýz a rozborů (stabilita, optimalizace). Naneštěstí je takto řešitelná pouze omezená třída lineárních ODE (speciální pravá strana) a ještě méně nelineárních. Řešení je také často velice náročné a tudíž pro praktické in ženýrské úlohy málo použitelné. Můžeme se pak pokusit o vhodné zjednodušení modelu nebo jeho linearizaci tak, aby se stal řešitelným. To ale často není možné. jsme již uvedli, většinu praktických úlóh v současné době řešíme tak, že analytický model integrujeme numericky pro dané konkrétní počáteční podmínky. S využitím software dostupného v programových balících jako jsou Sadys, MATLAB apod. můžeme řešit i velmi složité nelineární multifyzikální dynamické soustavy, simulovat řídící struktury, HiP i MiL. "Umění modelování" pak spočívá ve správné volbě řešiče rovnic (algoritmus integrace ODE resp. DAE) , korektní implementace řídících struktur (nejsou součástí modelované soustavy, nefigurují v ODE resp. DAE rovnicích) tak, aby se minimalizovala rizika, kterými jsou např. numerická nestabilita či přesnost výpočtu. V případě, že je řešená soustava složitá, nelineární a její řešení způsobuje potíže (např. je časově příliš náročné a nevyhovuje tak pro real-time řízení), přistupujeme k podobným linearizačním a zjednodušujícím postupům jako u snahy o čistě analytické řešení - pouze se pohybujeme ve vyšší rovině náročnosti úlohy. Jak
První dva popsané přístupy mají společnou metodiku tvorby modelu. Rovnice se se stavují 'ručně. Tím je dána i jejich společná slabina. Věnujme se nyní speciálně sestavení modelu mechanické části mechatronické soustavy, te. Se stoupa jící složitostí MBS a zvláště pfi řešení úloh v prostoru dojde totiž velmi rychle k překročení hranice lidských možností při sestavování modelu . Newtonův přístup postupného uvolňování všech těles a výpočtu vazebných sil vede k velmi složitým a ne přehledným strukturám, Lagrangeovy rovnice druhého druhu zase produkují neúnosně složité výrazy při dvojnásobném derivování. I když samotné derivování lze automatizovat, výsledné soustavy rovnic jsou nepoužitelné. Proto vznikají softwarové nástroje, které umožňují plně automatické sestavení mate matického modelu (rovnic ODE resp. DAE). Takto sestavený model je numerický, což znamená, že matice popisující soustavu nemusí být vyjádřeny v uzavřeném tvaru, mohou se přepočítávat při každém kroku řešenÍ. Je zřejmé, že při plně numerickém řešení úlohy ztrácíme možnost manipulace s odvoze ným modelem, což není výhodné. Také se výrazně zvyšuje možnost numerické nestability a nepřesnosti, která se velmi těžko identifikuje. Naopak, plně numerické modelování nám umožní řešit běžným způsobem obtížně nebo vůbec neřešitelné soustavy, případně u jedno dušších soustav získáváme možnost velmi rycqlé tvorby i náročného dynamického modelu a analýzy jeho chování, což je bezesporu inženýrsky zajímavé, a teprve pak můžeme při stoupit k zdlouhavější tvorbě modelu analytického. 10
1.3: ROZDĚLENÍ PROCESU MODELOVÁNÍ 1.3.3
Klasifikace modelů podle způsobu použití
Dalším důležitým hlediskem, podle kterého lze klasifikovat proces modelování a vlastnosti výsledného modelu, je způsob jeho použití. Dvě krajní meze mohou být ilustrovány těmito příklady: •
Návrhový model sloužící k prvnímu testování základního konstrukčního uspořádání, optimalizaci prvků soustavy apod .
•
Model pro real-time řízení implementovaný v mikrokontroleru, DSP nebo jiném hard ware.
První model běží na počítači PC, může být relativně pomalý (zajímají nás výsledky) . Očekává se od něj přesnost odpovídající rozlišovací úrovni. Slouží k získání výsledků, které se použijí jako podklad pro provedení konstrukčních, optimalizačních a jiných rozhodnutí. Druhý model mŮže být značně zjednodušený, postihující jen určitý výřez zkoumané problematiky, klíčová je u něj schopnost nasazení na méně výkonném hardware. Slouží např. k řízení soustavy.
11
KAP.
12
1:
ÚVOD
2
Přehled metod tvorby matematického
modelu
2. 1
Rozdělení metody tvorby matematického modelu
Abstraktní modelovaná soustava j e definována geometrií těles, vlastnostmi těles (hmot nosti, momenty setrvačnosti) a vazbami mezi nimi. Metoda tvorby matematického modelu z této definice vytvoří soustavu ODE nebo DAE. Pro formulaci soustavy rovnic ODE nebo DAE bylo vyvinuto mnoho metod, všechny však vychází ze dvou základních přístupů, kterými se podrobněji budeme zabývat v ná sledujícím textu. Jsou to: •
Newtonova vektorová dynamika - používá závislé souřadnice, do neznámých para metrů zahrnuje i vazbové síly a proto vede na soustavu DAE. Bývá také nazývána
metoda uvolňování. •
Lagrangeova analytická dynamika - v základní podobě metody jsou použity nezávislé souřadnice, vazbové síly jsou vyloučeny a postup vede na minimální tvar - soustavu ODE. Existuje ovšem i tvar Lagrangeových rovnic s multiplikátory, který používá závislé souřadnice a vede na DAE.
Na obr. 2.1 jsou znázorněny možnosti řešení modelu postupně od jeho tvorby přes způsob reprezentace modelu a jeho řešení až po obdržení výsledků. Z hlediska naší snahy o využití možností plně numerického modelování je důležitá možnost automatizace těchto metod na počítači. K tomuto problému lze říci jen tolik, že většina současných produktů využívá principů Newtonova přístupu.
2.2
Obecný tvar rovnic popisujících dynamiku M BS
Matematickým popisem MBS je soustava ODE nebo DAE. Nejobecnějším způsobem lze tuto soustavu zapsat taktol ;
f(y,y,t) = 0
(2.1)
l y mechanice je obvyklé vyjadřovat soustavy rovnic popisujících dynamiku tělesa ve tvaru ODE druhého řádu - např.: I{aždou soustavu
mx+b±+kx n
=
O
ODE druhého řádu lze však transformovat pomocí substituce na
řádu. Y tomto případě:
2n
ODE prvního
13
KAP . 2: P ŘEHLED METOD TVORBY MATEMATICKÉHO MODELU
Technický objekt reálná soustava
�
l
Abstraktní modelovaná soustava (MBS)
!
I
Newton
závislé souřadnice (rovnice s multiplikátory)
r,
rl
....... .
.. . . ...... .. . . . ,
.
.
.. .. .. . .. . .
.'
.
Řešení soustavy algebraických rovnic �
Síly realizujfcí požadované chování soustavy
. . .
Inverzní úloha dynamiky .
.
:
� .
. . . ....... . ..........
:
..1 I
••
• .......
.
: :
,
I"'
'
:
.... ... . .. . . . .
I
Soustava DAE
'1,
:
Lagrange
•
nezávislé souřadnice
..
Soustava ODE
redukce
......................................................
Numerická integrace DAE
: : :
rl
!
/
�
"-
�
........
.. .. .
Numerická integrace ODE
!
Časové průběhy kinematických veličin (chování soustavy)
....................... :'.�í.��.�I.�.�.�.
"""'" ./
Obr. 2.1: PŘEHLED METOD MODELOVÁNÍ DYNAMIKY SOUSTAV SE SOUSTŘEDĚNÝMI PARAMETRY Jedná se o tzv . plně implicitní tvar ODE. Řešení je poměrně obtížné, vyžaduje např. výpočet konsistentních počátečních podmínek, případně jejich ověření2 . Obecnost tohoto tvaru je problematická nejen z hlediska řešení, ale i přehlednosti, proto se soustavy rovnic zapisují v méně obecné, maticové podobě. Některé možnosti jsou uvedeny v tab. 3.1. Z mnoha dalších možných způsobů si uvedeme ještě dva. V případě ruční práce s modelem, sestavování modelu pro účely řízení, při práci s li2V 14
MATLABU implementováno v řešiči ode15i, funkce decic.
I :
:
: :
:
2.2: OBECNÝ TVAR ROVNIC POPISUJÍCÍCH DYNAMIKU MBS
neárními nebo linearizovanými soustavami se používá tento zápis ( ODE):
M(q)q + C(q, q)q:+ F(q) + G(q) = Q
(2 . 2)
kde q je vektor nezávislých zobecněných souřadnic, M matice hmotnosti, C matice coriolisových a odstředivých sil, F vektor sil viskózního tření, G vektor gravitačních sil, Q zobecněné síly vztažené k zobecněných souřadnicím. V případě návrhu numerických algoritmů pro stavbu matematických modelů a při jejich analýze se používá poněkud složitější tvar s přímo uvažovanými vazebnými podmínkami (DAE):
q M(q)'Ů g(q, t)
iIv f(t, q, v ) + iIT(q)GT(q, t)A
O
(2.3) (2.4) (2.5)
kde q je vektor obecně závislých souřadnic definující konfiguraci mechanismu v čase t, M(q) je matice hmotnosti (symetrická, pozitivně definitní), f(t, q, v) reprezentuje příspěvky odstředivých, Coriolisových a vnějších sil, g(q, t) je vektor vazbových podmínek, C(q, t) je Jakobián eg/eq, ..\ je vektor Lagrangeových multiplikátorů související s vazbovými silami. Matice H reprezentuje kinematické zobrazení mezi rychlostí v a derivací zobecněné sou řadnice q. v
=
H(q)q
(2 .6)
Často se jedná o identické zobrazení. Důvodem zavedení této (zdánlivě nadbytečné) trans formace je ošetření problémů se singularitami u prostorových mechanismů. Poloha tělesa je definována čtyřmi Eulerovými parametry (prvky jednotkového kvaternionu) a rychlost v je pak úhlová rychlost w. H pak reprezentuje zobrazení časové derivace q na rychlost w.
iI je pravá inverze matice H (typicky platí iI = HT(HHT)-l). Pokud je zobrazení H identické, lze formulaci rovnic MBS zjednodušit na tento známý
tvar:
M(q)q g(q, t)
f(t, q, q) + CT (q, t)A
O
(2 .7 ) ( 2 .8) 15
KAP. 2: PŘEHLED METOD TVORBY MATEMATICKÉHO MODELU
2.3
Metoda uvolňování ( Newton-Eulerovy rovnice )
Metoda uvolňování je základním způsobem řešení úloh ve statice i dynamice. Podstatou metody je rozklad MBS na jednotlivá tělesa a nahrazení "přerušených" vazeb ekvivalent ním silovým p ůsobením. Pak sestavíme rovnice rovnováhy pro každé těleso (statika) resp. pohybové rovnice každého tělesa (dynamika) . T var pohybových rovnic tělesa vychází z definice hybnosti tělesa a její časové derivace. Druhý Newtonův zákon určuje dynamiku translačního pohybu tělesa na základě derivace hybnosti translačního pohybu.
...
dh
d
·...
...
F= -= -mvc= mac dt dt
(2.9)
kde m je konstantní hmotnost tělesa, ve a ae je vektor rychlosti a zrychlení těžiště tělesa C vzhledem k počátku nehybného souřadného systému. Eulerova rovnice určuje dynamiku pohybu rotačního tělesa. Po provedení derivace momentu hybnosti a úpravách obdržíme pohybové rovnice tuhého tělesa ve tvaru:
LFx=mx
(2.10)
LFy=my
(2.11)
LFz=mž
(2.12)
L Mx = Ixwx + (lz - Iy)wywz
(2.13)
LMy
=
Iywy + (lx - Iz)wxwz
(2.14)
L Mz
=
Izwz + (ly - Ix)wxwy
(2.15) (2.16)
kde Ix, ly, lz jsou momenty setrvačnosti k hlavním centrálním osám , Mx, !vly, Mz jsou výsledné momenty vnějších sil vztažené k těžišti tělesa C a wx, wy, Wz jsou složky vektoru úhlové rychlosti tělesa. Někdy se tyto rovnice nazývají Eulerovy rovnice. Podrobnější popis a odvození lze najít např. v [35J a [26J. Poznamenejme ještě, že pokud má MBS nějaký nehybný bod, lze rotační pohyb (úh lovou rychlost, vnější momenty a momenty setrvačnosti) vztahovat i k němu. Při řešení problému volného tělesa postačují takto formulované rovnice, matematickým modelem je soustava šesti ODE. Praktický význam má ale problém vázaného tělesa, kde pro i vazbami odebraných stupňů volnosti dostaneme DAE skládající se z šesti obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu a i algebraických rovnic. Pro MBS sestávající z n těles propojených vazbami, pak dostáváme soustavu DAE s 6n ODE a dalšími algebraickými p odmínkami podle počtu st. volnosti odebraných vazbami. výpočtový model vyžaduje takovou formulaci matematického modelu, která je do stupným software řešitelná. Pro algebraické vazebné podmínky v soustavě DAE to často 16
2 .4: ANALYTICKÁ DYNAMIKA (LAGRANGEOVY ROVNICE)
znamená, že je musíme z obvyklého tvaru polohy převést na zrychlení. DAE s indexem 3 tak transformujeme na DAE s indexem 1. Příklad uvedeme v kap. 4. Pro sestavení matematických modelů soustav obsahujících fyzikálně jiné prvky než mechanické se použije podobných zákonů jako v mechanice, např. v elektrotechnice jsou to Kirchhofovy zákony (jsou zmíněny dále v 2.4.2). Použití metody uvolňování k sestavování matematického modelu MBS je vhodné ve dvou případech: pro případ ID nebo 2D jednoduchých problémů, kde je formulace pomocí Lagrangeových rovnic zbytečně náročná; a dále v případě automatizované tvorby modelu počítačem. P ro střední obtížnost úloh je vhodný přístup analytické dynamiky, kterému se budeme detailně věnovat v následující kapitole. Jako důkaz tohoto tvrzení poslouží i příklady uvedené v kapitole 4.
2.4 2.4.1
Analytická dynamika ( Lagrangeovy rovnice ) Zobecněné souřadnice, rychlost, síla a hybnost
Pojem zobecněná souřadnice je jedním ze základů analytické dynamiky. Jsou to libovolné nezávislé absolutní souřadnice, jejichž počet je roven počtu stupňů volnosti3 n, dále je budeme označovat �i, i = 1,2 . . . n. Zo becněná rychlost je definována jako časová derivace zobecněné souřadnice, označu
. jeme �.
Každé zobecněné souřadnici odpovídá zobecněná síla fi, kterou určíme práce tzv. pracovních sil na virtuálních posuvech4.
z
elementární
(2.17) Síly tak rozdělíme na vazbové (nepracovní, působí ve směru tečny k zobecněné souřadnici) a pracovní (akční síly, složky třecích sil ve- směru zobecněné souřadnice) . Fyzikální rozměr zobecněných veličin nemusí odpovídat jejich názvu, např. zobecněná souřadnice může být v mechanice vzdálenost nebo úhel, v elektrotechnice náboj nebo mag netický tok. Důležité je pouze splnění podmínky, která říká, že součin zobecněné souřadnice
a síly musí mít vždy rozměr práce. Popis pomocí zobecněných souřadnic nám umoži1uje zřetelněji vidět analogie mezi sys témy různých fyzikálních podstat, typický je příklad harmonického oscilátoru v mechanice reprezentovaný závažím na pružině, v elektrotechnice LC obvodem. 3Pojem
počet stupňů volnosti
chápat tak, že soustavu s
n
je dostatečně znám z kinematiky a vektorové dynamiky. Můžeme ho
stupni volnosti modelujeme
n
diferenciálními rovnicemi druhého řádu (nebo
2n rovnicemi prvního řádu. Někdy se v literatuře můžeme setkat s jiným významem, kdy počet stupňů
volnosti roven počtu rovnic prvního řádu. 4
Virtuální posuvy c5{i nazýváme
variacemi souřadnice
{i
a uvažujeme je jako myšlené posuvy, které
se však v přírodě nutně nemusí realizovat. Oproti tomu diferenciál souřadnice dei považujeme za skuteč nou infinitezimální změnu souřadnice v
{i.
Mezi oběma druhy těchto veličin existuje značná analogie, např.
mnohém se variace řídí pravidly diferenciálního p očtu
[26J.
17
KAP . 2: PŘEHLED METOD TVORBY MATEMATICKÉHO MODELU
V tabulce 2.1 jsou uvedeny fyzikální interpretace zobecněných souřadnic užívané V elek tromechanice. 2.4.2
Obvodový a uzlový přístup
Definice zobecněných souřadnic v mechanice je jednoduchá a intuitivní. Používají se různě orientované kartézské, polární a sférické systémy, důležité je, že téměř vždy má zobecněná souřadnice přirozený geometrický význam (vzdálenost, úhel) . Oproti tomu v elektrotechnice se používají dva základní Kirchhofovy zákony, a z nich vyplývající dvě metody:
Metoda uzlových napětí - je odvozena z prvního Kirchhofova zákona: Součet všech proudů tekoucích do uzlu je roven nule nule. Jako zobecněná souřadnice je volen magnetický tok 1/J. Metoda smyčkových proudů - vychází z druhého Kirchhofova zákona: Součet všech napětí v uzavřené smyčce je nulový. Zobecněnou souřadnicí je pak náboj q. V tabulce 2 . 1 jsou uvedeny zobecněné veličiny použité u obou přístupů. Je vidět, že metoda smyčkových proudů odpovídá klasické volbě souřadnic v mechanice. Nabízí se tedy otázka, zda je možné použít v mechanice i analogii metody uzlových napětí. Z hlediska fyzikálních principů to samozřejmě možné je. V posledním sloupci tabulky 2.1 jsou uvedeny zobecněné veličiny pro translační pohyb určené pomocí uzlového přístupu. Ze srovnání smyčkového a uzlového přístupu v elektrotechnice a mechanice plyne jasná analogie obou systémů, v mechanice se ale tento druhý přístup nepoužívá, především z důvodů zažité konvence a horší možnosti představit si konkrétní fyzikální význam (představa hybnosti jako zobecněné souřadnice není příliš intuitivní) . 2.4.3
Hamiltonův princip
Základem analytické dynamiky jsou tzv. principy mechaniky, jejichž cílem je logicky popsat a sjednotit základní poučky, mají ale i heuristický účel, jejich prostřednictvím máme dojít k novým dosud neznámým vědomostem. Dělí se na diferenciální a integrální, přičemž nejdůležitější z nich je Hamiltonův princip [26J. Hamiltonův princip patří mezi integrální principy. Jeho výhodou je nezávislost na volbě souřadného systému, což umožňuje zahrnout do matematického modelu prvky různých fy zikálních podstat. Sestavení pohybových rovnic je založeno na minimalizaci funkcionálu J.
L
J
t
=
JL(6,6,... , en,ěl>ě2, ... , € o
kde je tzv. Lagrangeův kinetický potenciál5, něné rychlosti. 5Někdy se také nazývá Lagrangeova funkce.
18
n , tl ) d tl
ei jsou zobecněné souřadnice a €i
(2.18) zobec
2 . 4 : ANALYTICKÁ DYNAMIKA (LAGRANGEOVY ROVNICE)
Tab. 2.1: FYZIKÁLNÍ VÝZNAM ZOBECNĚNÝCH SOUŘADNIC 0::1 "d ::I o
>t3
,..,
,.t:l
E::l O"d 0.] .....
'
I=l
o �
>u
'
cO .-
Zobecněná souřadnice Zobecněná rychlost Zobecněná síla li Zobecněná hybnost 2.4.4
I=l
§ -O �.m x
ei
ei
E� o
o.>a3 ....,
I=l o >u � cO '
''''
....,
� -§
....,
cp
v
w
F
M b
P
Pi
"d
,.t:l
''''
o. 15
'� o
§< I=l
15
�� .g
--g,� Ě.9 o
� ....,
,.., ....,
S'
,>, U) ...:.:: cO .u '" "d o
....,
il S .-
lil
I
q i =q u
1jJ
�
,>,: cO ::I ...:.: u"d .'" o ....,
il S .-
lil
I
1jJ
,.t:l o.
E::l o ....,
� ,� >� o. >5 ,>, cO .....
,
�
]ro
�
.�
::l I
P
u
F
i q
x
v
Lagrangeův kinetický potenciál pro konzervativní soustavy
Konzervativní systémy jsou nejjednodušším modelem reálných fyzikálních soustav. Neu važujeme třecí a odporové síly, platí zde zákon zachování energié. Lagrangeova funkce má tvar L
=
T'(e , �, t)
-
U(e,�,t)
(2.19)
kde T' je celková koenergie soustavy (kinetická koenergie) a U je celková energie soustavy (potenciální energie).
Koenergie soustavy
Pojem koenergie7poprvé použili Heaviside a Lorentz [34]. Vysvětlení tohoto pojmu prove deme na příkladu energie a koenergie induktoru (ideální cívky). Na obr. 2.2 je znázorněna nelineární charakteristika induktoru. Energie soustavy je dána velikostí plochy mezi křiv kou a osou 1jJ, tedy vztahem
Wm
=
1/1
J q(1jJ')d'ljJ'
(2.20)
o
6Zde máme na mysli zachování potenciální, kinetické (makroskopicky) a elektromagnetické energie. Nedochází k disipaci energie.
7V
následujícím textu budeme veličiny označující koenergii psát vždy s čárkou, např.
w�,
E� apod.
19
KAP. 2: PŘEHLED METOD TVORBY MATEMATICKÉHO MODELU
�------�--. q" q Obr. 2.2: CHARAKTERISTIKA NELINEÁRNÍHO INDUKTORU
Koenergii soustavy vypočteme jako velikost plochy mezi křivkou a osou q, tedy vztahem
lV�
=
q
J 'Ij;(q')dq'
(2.21)
o
Z obrázku i definic je zřejmé, že musí zcela obecně platit tato r ov nice :
(2.22) V případě lineární závislosti obou veličin jsou obě veličiny, energie i koenergie, totožné a jsou rovny
(2.23) To je také důvodem, proč se pojem koenergie téměř nepoužívá, v drtivé většině praktických i školních problémů se totiž uvažují lineární charakteristiky prvků. Celková energie a koenergie konzervativní soustavy
Celková koenergie elektromechanické soustavy je dána součtem koenergie mechanické a elektrické části. V oddílu 2.4.2 je popsán rozdíl mezi uzlovým a obvodovým přístupem k sestavování rovnic v elektrotechnice, který se projeví i zde. V případě , že použijeme obvodový přístup, platí následující vztahy:
T' (x, x, q, t) U(x, q, t ) 20
Ek (X, x , t ) + W� (q, x) Ep(x, t) + We(q, x )
(2.24) (2.25)
2.4: ANALYTICKÁ DYNAMIKA (LAGRANGEOVY ROVNICE )
Pro uzlový přístup pak platí vztahy:
EÍc (x, x , t) + W� ( u , x) Ep(x, t) + Wm ( 'I/J, x )
T'(x, X, u, t)
U(X, 'I/J, t) 2.4.5
(2.26) (2.27)
Lag rangeův kinetický potenciál pro soustavy s vnějšími silami
Pokud působí na vyšetřovanou soustavu vnější síly, zahrneme je do Lagrangeova kinetic kého potenciálu takto8 : .
L* (� , �, t)
=
m
t
J
T'(�,�, t) - U(e,�, t) - L wk (t')�(t' ) dt' k=1 0
(2.28)
kde W k (t) je vnější zobecněná síla působící na k-té zobecněné souřadnici (síla, moment, napětí, . . . ) . 2.4.6
Lagrangeův kinetický potenciál pro nekonzervativní soustavy
V nekonzervativních soustavách dochází k disipaci (rozptylu) energie9 . Typické disipativní prvky v mechanice jsou tlumiče, v elektrotechnice elektrické odpory. Energii, která se ztrácí na disipativním prvku označujeme Rayleighova disipativní energie R Opět je nutné rozlišit uzlový a obvodový přístup v elektrické části soustavy. Pro obvodový přístup platí následující vztahy:
(2.29) Pro uzlový přístup platí: ( 2 .3 0) kde F:n je mechanická Rayleighova disipativní energie a Fe , F� jsou elektrická Rayleighova disipativní energie a koenergie. Jejich význam vysvětlíme opět nejlépe na příkladu. Na obr. 2 . 3 je znázorněna charakteristika nelineárního rezistoru. Rayleighova disipativní energie je pak definována vztahem:
Fe (q )
=
ti
J u(q')dq' o
8
( 2 .31 )
Takto modifikovaný Lagrangeův kinetický p otenciál označíme L' na rozdíl od L definovaného v 2 . 19 ,
který pracuje pouze s konzervativní soustavou. 9 Každá reálná fy zikální soustava je disipativní. Pojem disipace energie je fyzikálním pojmem a vyja dřuje změnu makroskopické kinetické energie (rychlost, proud) na teplo, tedy zvýšení rychlosti pohybu jednotlivých částic (mikroskopická kinetická energie) .
21
KAP. 2 : PŘEHLED METOD TVORBY MATEMATICKÉHO MODELU
li
q
q Li
R
U'
U
Obr. 2.3: NELINEÁRNÍ REZISTOR Rayleighova disipativní koenergie pak vztahem: 'lL
F� ( u)
=
J q(u')du'
(2.32)
o
Zcela analogicky se sestavují výrazy pro mechanické Rayleighovy disipativní energie. Celková Rayleighova disipativní energie elektromechanické soustavy je pak vyjádřena pro obvodový přístup v elektrické části takto:
(2.33) Pro uzlový přístup pak:
(2.34) Nyní můžeme modifikovat vztah 2.28 a definovat tak Lagrangeův kinetický potenciál pro nejobecnější případ , pro nekonzervativní soustavu s vnějšími silami : t
m
L*(�,�, t) T'(�,�, t) - U(�,�, t) - k=1L J0 ( )� t') t ?R(�) =
2.4.7
wk
d '+
t' (
(2.35)
Euler- lag rangeovy pohybové rovnice
Hamiltonův integrální princip dynamiky pracuje s minimalizací funkcionálu I uvedeného v rovnici 2 . 18. A právě touto cestou lze odvodit Euler-Lagrangeovy rovnice10 . Uvedeme je ve dvou základních tvarech, s obecným Lagrangeovým kinetickým potenciálem Oba dva tvary a s Lagrangeovým kinetickým potenciálem pro konzervativní soustavy jsou pochopitelně rovnocenné.
L.
t) , �, t)] _ [OL*(� oL*(e,�, . dt O�k �k � [ aL(�� �,t)] _ oL(e ) �,t) a?R (.e ) oek O�k �
dt
O
o
+
aÚ .
=
Wk
lO Často bývají zkráceně nazývány Lagrangeovými rovnicemi. 22
pro pro
k
=
k
1, 2, . . . ) m
=
1 , 2, . . . , m
L*
(2.36) (2.37)
2 . 5 : SOFTWAROVÉ NÁSTROJE PRO TVORBU MODELU
Poznamenejme ještě, že pro čistě mechanické systémy je obvyklý zápis Euler-Lagrangeových rovnic tento: (2 .38) kde Ek kinetická energie (mechanické) soustavy, Ep je potenciální energie, qi je i-tá zo becněná souřadnice a Qi j e příslušná zobecněná síla. Tento zápis uvádíme jen z důvodu větší jednoduchosti a názornosti, má však stejný význam jako rovnice 2.36 a 2.37. Dodejme j eště, že kinetická energie čistě mechanické soustavy se obvykle vyjadřuje takto: Ek
", = 21 L _.(miviT Vi + WiT l iWi)
(2.39)
kde Vi je vektor rychlosti těžiště i-tého tělesa a Wi je vektor úhlové rychlosti tělesa okolo těžiště. 2.5
Softwarové nástroje pro tvorbu modelu
2. 5 . 1
Popis přístupu k modelování
Jak již bylo řečeno, požadavky na modelování stále složitějších mechanických soustav vedou k tvorbě programů, které automatizují návrh matematického modelu. Uživatel pak zadává pouze geometrii MBS, vazby mezi tělesy, síly působící ve vazbách a na tělesa, počáteční podmínky a software provede tvorbu modelu (soustava ODE, DAE) . Právě podle způsobu definice vlastností MBS a dalších a samozřejmě také podle vý robce lze software členit. V této práci se budeme zabývat konkrétně produktem SIM MECHANICS, který je rozšířením známého a dnes již standardního simulačního nástroje MATLAB-SIMULINK. Další detaily ohledně modelování v SIMMECHANICS jsou uvedeny v kap. 5. 2. 5 . 2
Vybrané produkty
Následuj ící přehled dostupných softwarových nástrojů pro tvorbu a řešení dynamických modelů bude orientován na modelování MBS. Některé produkty umožňují snadnou inte graci s prvky a submodely j iných fyzikálních podstat, jiné jsou úzce zaměřené. Mezi známé komerční produkty patří: •
ProjEngineer Mechanism Dynamics - (dříve ProjMechanica Motion) jeden ze zá stupců široké skupiny nástrojů ProjEngineer. CADovsky zaměřený produkt, ome zení na modelování MBS. Modelování systémů různých fyzikálních podstat je otáz kou, výrobce sice uvádí mnoho různých nástaveb a verzí programu, převládá ale orientace na pevnostní případně teplotní analýzy a výrobu. Více na www . ptc . com. 23
KAP. 2: PŘEHLED METOD TVORBY MATEMATICKÉHO MODELU •
•
MSC.Adams - opět výrazně komerčně orientovaný produkt patřící do skupiny MSC. Podobné vlastnosti jako výše uvedený. Více na www . mscsoftware . com.
SIMMECHANICS - nástroj , který má svými vlastnostmi blíže k vědeckému pojetí než k inženýrskému. Není CADovsky orientovaný a z mnoha různých důvodů se tato práce zabývá právě j ím. Bližší podrobnosti v kap. 5 a 8 a na www . mathworks . com.
Mezi zajímavé volně dostupné produkty patří: •
24
Robotic Toolbox for MATLAB [6] - knihovna funkcí pro MATLAB, částečně také v C, umožňující řešení řady problémů kinematiky a dynamiky robotických mecha nismů s otevřenou topologií. Důležitá skupina funkcí se týká generování trajektorie. Dostupná dokumentace je na střední úrovni, je uvedeno několik příkladů řešení pro blémů reálných robotů ( Puma 560). Toolbox také obsahuje několik funkcí pro práci s orientací tělesa v prostoru. Více informací lze nalézt na http : //www . cat . cs iro . au/cmst/st af f /pi c/robot/.
•
ODE - Open Dynamics Engine - knihovna C++ funkcí pro simulaci MBS. Je od začátku zaměřena na řešení kolizí, vzájemného kontaktu a tření těles. V současné době není vhodná pro kvalitativní inženýrské analýzy, počáteční motivací byla tvorba věrohodně se chovajícího prostředí v počítačových hrách. Více na http : II ode . org/ .
•
Modelica - speciální j azyk pro vytváření modelů, patří mezi multi-domain systémy. Více na http : / /www . mode l i c a . org/ .
3
Numerické řešení matematického
modelu '
Matematické metody používané při řešení matematického modelu lze rozdělit podle cha rakteru soustavy rovnic na: •
metody řešení ODE
•
metody řešení DAE.
Věnujme se nejprve stručně metodám pro řešení ODE. 3.1
Numerické metody řešení O D E
Pro případ explicitního vyjádření ODE, což představuje z hlediska řešení tu nejpříznivější situaci, je problém je definován takto 1 : jr
= J(t, y) ,
y(t o )
=
Yo
(3. 1 )
Numerické řešení metodou Runge-Kutta, která j e základem řešiče2 ode45 v M ATLABU, vypadá takto: (3.2) kde
kl k2 k3 k4
J(tn , Yn) h h = J(tn + 2' Yn + 2 kl ) h h J(tn + 2 ' Yn + 2 k2) J (tn + h, Yn + hk3 )
(3.3) (3.4) (3.5) (3.6)
h je velikost integračního kroku. Metoda patří mezi tzv. "jednokrokové řešiče" , pro výpočet hodnoty Yn+1 potřebuje pouze hodnotu v předchozím kroku, tedy Yn ' Metoda Runge Kutta je vylepšením Eulerovy metody, která má tvar pouze lineární aproximace: Yn+l
=
Yn + hk1
l Tzv. " Cauchyova úloha" , angl. initial value problem
2V MATLABU je pro "řešič" (angl. sol ver) .
(3.7)
(IVP ) .
funkce implementuj ící metody integrace soustavy ODE resp . DAE používán termín
25
KAP. 3 : NUMERICKÉ ŘEŠENÍ MATEMATICKÉHO MODELU
Pokud je soustava ODE formulována v lineárně implicitním tvaru, problém je definován takto: My
=
f(t, y) , y( to)
=
Yo
(3.8)
Yo
( 3.9)
Řešení je shodné s předchozím případem, pouze j e nutno vypočítat inverZÍ matice M 3 . V případě, že inverzi matice nelze provést, matice je singulá.rní a jedná se o soustavu DAE (viz sekce 3.2). Nejobtížnější je řešení soustavy ODE formulované plně implicitně.
f (t , y , y)
=
O,
y(to)
=
Nejprve se musí určit konsistentní počáteční podmínky Yo tak, aby splňovaly podmínku4: (3.10) Řešení se provádí metodou BDF 5 známou též jako Gearova metoda. Řešení praktických problémů vedlo k formulaci dalších metod integrace. Cílem je vyšší numerická stabilita a přesnost. Mohou to být modifikované jednokrokové řešiče nebo ví cekrokové řešiče. Pro j ejich praktické použití nelze formulovat něj aké doporučení, záleží spíše na zkušenosti a konkrétních parametrech soustavy. V sekci 3.3 jsou uvedeny tvary soustavy ODE a použitelné řešiče. 3 .2
Numerické metody řešení DAE
Řešení soustav DAE je náročnější než ODE. Problémem j e zejména proces, kdy nejprve dvakrát derivujeme vazbové podmínky abychom dostali DAE indexu 1 a pak numericky integrujeme. Teoreticky (analyticky) bychom měli obdržet stejný výsledek, při numerické integraci ale dochází ke kumulaci chyby. Problematika řešení soustav DAE se stále inten zívně rozvíjí, podrobnosti přesahují rámec této práce a lze j e nalézt např. v [33J . 3.3
Ř ešiče O D E a DAE v M atl a b u
Pro řešení v MATLABu musíme n ODE druhého řádu transformovat n a 2 n ODE prvního řádu. Přehled tvarů ODE a DAE řešitelných v MATLABU6 je uveden v tab. 3 . 1 .
3 S peciální nastavení zajišťuj í v MATLABu v lastnosti Mas s
a
Jacobian.
4y MATLABU lze použít funkci decic. Jako parametry vstupují do funkce počáteční odhady hodnoty
derivace funkce. 5 Angl.
backward dif f erentiation f ormula.
6 �tav v r. 2004, verze R14
26
3 . 3 : ŘEŠIČE
Tab Typ soustavy rovnic Explicitní ODE
3 1 ' MOŽNOSTI ŘEŠENÍ ODE
zápis rovnice
yl
=
f(y, t)
implicit. Lin. ODE (konst. M)
My'
Lineárně implicit ní ODE
M(y, t)yl
=
f(y, t)
M (y, t)yl
=
f(y, t)
DAE (singulární matice M) Plně implicitní ODE
=
f(y, t)
f(y, y , t)
=
O
v
řešiče
ODE
A
DAE
V MATLABU
MATLABU
pozn.
ode45 ode23 ode23s ode l 13 . ode45 ode23 ode23s ode 1 1 3 ode45 ode23 ode 1 13 ode 1 5 s ode23t
M je konst. matice
M(y, t) je matice M (y, t) je singulární matice
ode 1 5 i
27
KAP. 3 : NUMERICKÉ ŘEŠENí MATEMATICKÉHO MODELU
28
4
Příklady ruční tvorby modelu a jeho
numerického řešení
V následujícím textu ukážeme na příkladu dvou j ednoduchých MBS s j edním a dvěma stupni volnosti postup ručního sestavování matematického modelu. Použij eme Newtonův i Lagrangeův přístup . 4.1
Matematické kyvadlo v rovině
U matematického kyvadla je veškerá hmotnost soustředěna do bodu, nejedná se o MBS (ne jedná se o těleso), ale o vázaný pohyb hmotného bodu. Při sestavování modelu zanedbáme pasivní odpory a budeme uvažovat obecně proměnný zatěžující moment Mz a tíhovou sílu. Schématicky je abstraktní modelová soustava znázorněna na obr. 4.1. Řešení pomocí Newtonova přístupu lze najít také v [35] .
mg
Obr. 4.1: MATEMATICKÉ KYVADLO V ROVINĚ A UVOLNĚNÉ TĚLESO
4. 1 . 1
Newtonův přístup
V rovině má těleso tři stupně volnosti, zvolíme tedy popis třemi souřadnicemi [x, y, cp] ,
těleso uvolníme (odstraníme vazby a nahradíme je ekvivalentním silovým působením) .
V našem případě rotační vazbu nahradíme dvojicí sil. 29
KAP. 4 : PŘÍKLADY RUČNÍ TVORBY MODELU A JEHO NUMERICKÉHO ŘEŠENÍ
Pohyb volného tělesa v rovině je určen třemi podmínkami: Fx Fy - mg Mz - Fx l cos cp
mx
-
( 4.1) (4.2) (4.3)
Fyl sin cp
V rovnicích se vyskytují neznámé [x, y , cp, Fx , Fy], k řešení potřebujeme tedy ještě dvě vazebné podmínky. Jsou to tyto: x
y
(4.4) (4.5)
l sin cp -.l cos cp
Nyní tyto rovnice přepíšeme do podoby 2.3 - 2.5. Vektor zobecněných souřadnic má tvar:
(4.6) Vazebné podmínky podle rovnice 2.8 mají tvar:
(4.7) Matice H bude v našem případě reprezentovat identické zobrazení, použijeme proto rovnou zjednodušený zápis 2.7. Jakobián G:
Vektor vazbových sil
1 [ 01
!!..9. .l oy � oy
G=
O
1
-l cos
1
(4.8)
A: (4.9)
Vektor externích sil f :
(4. 10) Pak při vyjádření celé rovnice dostaneme:
[m ] [ x ] [ ] [ O
30
O
O
m
O
O
O
ly
jj
O
-mg Mz
+
1
O
O
1
-l cos cp -l sin cp
][
Fx Fy
1
(4. 11)
4 . 1 : MATEMATICKÉ KYVADLO V ROVINĚ
Vazbové podmínky 4.7 jsou formulovány pro polohy, jedná se o soustavu algebro-diferenciálních rovnic (DAE) s indexem 3. Většina numerických nástrojů 1 požaduje DAE s indexem l . Provedeme tedy dvakrát derivaci vazbových podmínek podle času. 9 = 9 9
dg 8g . 8g . 8g = q Gq + 8t dt 8q + 8t = x O -/ cos ", � 1 - l sm
[1 1
[�
82 9 Gq. + Gq" = + 8t 2
[
�
(4.12)
[
x - /0 cos ", y - l
1
y + iJcp + ({; Y - x cp - X({; x
1 [
+ y� - x
1
(4. 13)
(4 . 1 4)
Nyní můžeme přistoupit k numerickému řešení soustavy. Podrobnosti o řešení ODE a DAE jsou uvedeny v kap. 3. Stavový vektor y bude obsahovat neznámé polohy q a neznámé multiplikátory A. Vzhledem k tomu, že MATLAB vyžaduje ODE prvního řádu, musí vektor obsahovat také rychlosti q. Do soustavy rovnic musíme zahrnout také vazbové podmínky ve tvaru 4.14, proto se ve stavovém vektoru objeví také zrychlení q. Provedeme substituci w=q
( 4.15)
a vyjádříme rovnice podle tab. 3 . 1 v lineárně implicitním tvaru (podle tab. 3 . 1 ) : x
y=
y r.p x y cp x
y
r.p
�[ j
(4. 1 6)
Fx Fy
M(y, t)y' = f(y, t)
j � j [ � j �[ [1 O E O O
O O
O
O
Mw
-
GTA
( 4.17) (4.18)
l Yčetně MATLAB-SIMULINK-S IMMECHANICS, který plně využívá řešiče S UvlULINKu.
31
KAP. 4 : PŘÍKLADY RUČNÍ TVORBY MODELU A JEHO NUMERICKÉHO ŘEŠENÍ
(E je jednotková matice rozměru 3x3, O je nulová matice rozměru 3x3 nebo 2x2) Matice soustavy M je singulární. Jedná se tedy o DAE, použijeme řešiče ode 15s nebo ode23t. Matice je diagonální, jedná se tedy o semi-explicitní DAE. Matice je také kon stantní, což je výhodné při výpočtu Jakobiánu2 . 4.1.2
Lagrangeův přístup
Použijeme Lagrangeový rovnice druhého druhu v základní podobě, tzn. s nezávislými souřadnicemi. Matematické kyvadlo je soustavou s jedním stupněm volnosti a proto bude definováno jednou zobecněnou nezávislou souřadnicí. Odvozený matematický model bude tvořen jednou pohybovou rovnicí (ODE druhého řádu) . Jako zobecněnou souřadnici zvolíme úhel !po Podle postupu uvedeném v oddíle 2.4 sestavíme rovnici kinetické a potenciální energie a podle Euler-Lagrangeovy rovnice 2 . 38 obdržíme pohybovou rovnici: Ek
m Z 2 (j; + m gZ sin cp
=
=
Ep Mz
1 1 _ml 2 cp2 mv 2 2 2 mgy = -mgl cos cp -
=
(4.19) (4.20) (4.2 1 )
Pro potřeby výpočtu v MATLABu definujeme stavový vektor , jednu ODE druhého řádu y transformujeme na dvě ODE prvního řádu a převedeme do explicitního tvaru (podle tab. 3 . 1 ) . y
=
[:1
( 4.22) ( 4.23)
Jedná se tedy o ODE, dynamika MBS je vyjádřena v minimální formě. Řešení j e pod statně jednodušší než v případě odvození vedoucí na DAE (4. 1 . 1 ) . Je to dáno jednoduchostí vyšetřované soustavy, v praktických složitějších případech, zvláště při sestavování modelu mechanismů v prostoru, je situace jiná. 4.2
Robotický manipulátor se dvěma stupni volnosti v rovině
Na obr. 4.2 je znázorněn robotický mechanismus - otevřený kinematický řetězec - s jed nou rotační a jednou posuvnou vazbou. Obě tělesa 2 a 3 jsou uvažována jako tuhá, ve vazbách neuvažujeme pasivní odpory. Ve vazbě A působí pohon na těleso 3 momentem 2 0dpovídající
MSt ateDependence
32
vlastnosti řešičů v I weak I strong ' ) ,
( ' none
MATLABU:
Mass
( ' Const ant matrix I
MassSingular ( ' ye 6
I
no
I
maybe ' )
function ' ) ,
4 . 2 : ROBOTIcKÝ MANIPULÁTOR SE DVĚMA STUPNI VOLNOSTI V ROVINĚ
M----- --.-------.-- .--..---.-.---....
Obr. 4.2:
ROBOTICKÝ MANIPULÁTOR SE DVĚMA STUPNI VOLNOSTI V ROVINĚ
M3 , V posuvné vazbě působí lineární pohon silou F2 . Na koncový efektor manipulátoru působí technologická síla FM . Pokud zavedeme do bodu B působící sílu F2, musíme specifikovat, zda se jedná o sku tečnou vnější sílu, nebo sílu v pohonu. Síla v pohonu j e vztažena k tělesu 3 a musí proto v důsledku zákona akce a reakce působit v opačném směru i na těleso 3 ! Tímto způsobem je provedeno i uvolnění na obr. 4.3. Oproti tomu vnější síla je vztažena k rámu soustavy a reakční síla se tedy neobjeví 3 . Pokud bychom provedli tuto část uvolnění chybně, v našem případě to nebude mít na dynamické chování soustavy vliv, změní se pouze průběh velikostí vazebných sil v bodě A. Opět provedeme sestavení rovnic pomocí metody uvolňování a pomocí Lagrangeových rovnic druhého druhu, navíc provedeme srovnání výsledků simulací odvozených analytic kých modelů a modelu vytvořeného v S IMMECHANICS. 4.2 . 1
Newtonův přístup
Polohu obou těles 2 a 3 budeme definovat pomocí absolutních souřadnic X 2 , Y2 , 'P2 , X3 , Y3 , 'P3 · Budeme uvažovat obecný pohyb obou těles a podle Newtonových rovnic 2 . 10-2 . 1 5 sestavíme pohybové rovnice. Již při jejich zápisu budeme brát v úvahu zřejmou (vazbovou) podmínku 'P2 = 'P3 = 'P. Rotační pohyb a výpočty momentů setrvačnosti jsou vztaženy vždy k těžišti. 3V SllvrMECHANICS se síla v Actuator.
pohonu
definuje blokem
J oint Actuator, zatímco vnější
síla
blokem Body
33
KAP. 4 : PŘÍKLADY RUČNÍ TVORBY MODELU A JEHO NUMERICKÉHO ŘEŠENÍ
Na obr. 4.2 je znázorněn způsob uvolnění obou těles . Vazba rotační v bodě A se nahradí silou v ose x a y, vazba oboustranná posuvná v bodě B se nahradí silou a momentem. Směry působících vazebných sil v bodě B jsou na obou tělesech opačně (zákon akce a reakce) . Těžiště těles j sou vyznačeny zkratkou eG (centre of gravity) .
c
Y2.3
<jl
<jl
\
\
\ _-�
1
X2.3
X2•3
Obr. 4.3: ROBOTICKÝ MANIPULÁTOR - UVOLNĚNÍ TĚLES A NAHRAZENÍ VAZEB EKVIVALENTNÍM SILOVÝM PŮSOBENÍM Pohybové rovnice obou uvolněných těles mají pak tvar: F2 cos(cp ) - FBsin(cp) + FMx = m2X2 F2 sin ( cp) + FBCOS ( cp) + FMy m2ih FBC + FMy cos(cp)e - FMx sin(cp)e 12 'P FAx + FB sin (cp) - F2 cos (cp) m3x3 FAy FBCOS (cp) - F2 sin(cp) = m3 ih a) + FAxa sin(cp) - FAya cos (cp) = hTrp =
MB
-
=
=
M3
-
l'\!fB
-
-
FB (r
-
( 4.24) (4.25) (4.26) ( 4.27) ( 4.28) ( 4.29) (4.30)
Uvedených šest ODE s deseti neznámými parametry
nyní doplníme vazbovými podmínkami: X2 34
=
(r + c) cos(cp)
(4.31)
4 . 2 : ROBOTICKÝ MANIPULÁTOR SE DVĚMA STUPNI VOLNOSTI V ROVINĚ
Y2
(r + c) sin(
(4.32 )
X3 Y3
a cos(
(4.33)
a sin(
( 4.34)
=
Po dvojnásobném derivování těchto podmínek a obdržíme tak
X2
r cos(
r sin (
( r + c) cos (
Y2
X2
ř sin e
h i X3 Y3 X3
DAE indexu 1.
+ 2ř cos(
- a sin e
a cos(
=
ih
-a(cos(
Pro zápis v MATLABU transformujeme bude mít tvar:
( 4.35) ( 4.36) (4.37) (4. 38) (4.39) ( 4.40) (4.41 ) (4.42)
ODE na rovnice prvního řádu. Vektor proměnných
Rovnice upravíme tak, že na levé straně necháme členy s druhou derivací, dále změníme pořadí rovnic tak, aby nenulové prvky byly co nejblíže diagonály matice.
X2
1
=
=
]1
3T
X2
=
( 4.44) ( 4.45)
Y2
( 4.46)
i = - (F2 sin(
( 4.47)
ih
cp
=
__ ( F2 cos(
1
cp =
X2
=
�
m3
Y2
( 4.48) ( 4.49) ( 4.50)
(FAY - FB COS(
(4.51)
cp = cp
( 4.52)
� (MB - FBC + FMy cos(
( 4.53)
(M3 - MB - FB (r - a) + FAxa sin(
(4. 54)
T = T
(4.55) 35
KAP. 4 : PŘíKLADY RUČNí TVORBY MODELU A JEHO NUMERICKÉHO ŘEŠENí
X2 ih
+ ( r + c) sin( cp) cp = - 2i sin(cp) rp - ( r + c) cos(cp) rp 2 - ř sin( cp) - (r + c) cos( cp) cp +2i cos( cp) rp - ( r + c) sin( cp) rp2 ' X3 + a sin( cp)cp = a cos( cp) rp2 ih - a cos( cp)CP) = -a sin( cp ) rp 2
- ř COS ( cp)
(4.56) ( 4.57 ) ( 4 .58)
=
-
(4.59)
Upravené rovnice můžeme zapsat do maticového tvaru v podobě lineárně implicitní DAE (tab. 3 . 1 ) . Matice soustavy M bude mít velikost 16x16; vektor pravé strany f pak
16xl .
M=
1 O O O O O O O O O O O O O O O
O O 1 O O 1 O O O O O O O O O O O O O O O O O O 1 O O O O O O O
O O O O O O O O O O O O 1 O O O O 1 O O O O 1 O O O O 1 O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O 1 O O O O O 1 O O O O O
O O O O O O O 1
O O O O O O O 1
O O O O O O O O 1 O O O O O O O
O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O 1 O 1 O O 1 O (r + ) sin(cp) O - cos(cp) O ( + c) cos(cp) O - sin( cp) O a sin( cp) O O O O O O -a cos (cp) c
-
r
X2
O O O O O O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O (4.60) O O O O O O O
�2 (F2 cos (cp) - FE sin(cp) + FMx) Y2
�2 (F2 sin(cp) + FE cos (cp) + FMy ) X3
�3 (FAx + FE sin(cp) - F2 cos(cp») Y3
f=
I;T
�3 (FAy - FB cos (cp) - F2 sin(cp))
dphi (MB - FB C + FMy cos(cp) e - FMx sin(cp) e) (M3 - MB - FB ( r - a) + FAxa sin(cp) FAya cos(cp»
L
-
i
-2 sin( cp) rpT - ( r + ) cos( cp) rp2 2 cos( cp) rpi (r + c) sin( cp) rp2 c
-
-a cos( cp )<jJ2 -a sin( cp) rp2
36
(4.61)
4 . 2 : ROBOTICKÝ MANIPULÁTOR SE DVĚMA STUPNI VOLNOSTI V ROVINĚ
V této podobě lze problém numericky řešit. Vzhledem k tomu, že vektor počátečních podmínek j e obs ahuj e vzájemně závislé proměnné, je nutné před spuštěním integračního algoritmu určit konsistentní počáteční podmínky nebo alespoň jejich dobrý odhad. 4. 2 . 2
Lagrangeův přístup
Nyní provedeme opět řešení pomocí Lagrangeových rovnic druhého druhu. Soustava má dva stupně volnosti, pro popis zvolíme zobecněné nezávislé souřadnice
Ek
d (BEk)
dt
orj;
1 . = "2 ( hA
OEk
i dt
( 4. 62) ( 4.63 )
(4.64)
=
( 4.65)
=
( OEk) oi'
=
( 4.66)
m2 r
(4.67)
Po dosazení tak obdržíme dvě pohybové rovnice soustavy: (
( 4 .68) (4.69)
Rovnice transformujeme na ODE první ho řádu a zapíšeme v explicitním tvaru (tab. 3 . 1 ) :
-FMx �n(",)+FMY cos(",))(r+c+e))
(M3-m2 2 rp(r+ �)r+( (hA+m2 (r+c)2+h) i'
F2+FMx coS��+ FMY sin(",) + rj;2 (r +
c
)
I
(4.70)
Tímto způsobem jsme sestavili matematický model v minimální formě, popsaný ODE nezávislými souřadnicemi. Jeho numerické řešení je podstatně jednodušší než řešení soustavy DAE. Situace se tedy opět jeví příznivější pro Lagrangeův přístup, než pro New tonovu metodu uvolňování. Je tomu tak u jednodušších soustav a při ručním řešenÍ. Při algoritmizovaném (počítačovém) řešení složitějších soustav se častěji uplatňují metody postavené na Newtonově přístupu. a
37
KAP, 4 : P ŘÍKLADY RUČNÍ TVORBY MODELU A JEHO NUMERICKÉHO ŘEŠENÍ 4.2.3
Porovnání výsledků simulace modelů sestavených N ewtonovým, lagran geovým přístupem a v SimMechanics
Jako třetí variantu modelování dynamiky ramene robotu jsme sestavili model v programu SIMMECHANICS. Bližší detaily a simulační schéma jsou uvedeny V 6 . l . Cílem bylo sledovat shodu chování všech tří modelů ( Newton, Lagrange, SIMMECHA NICS - N-, L- a S-model) a vyhodnotit případné odchylky. Tvorba N- a L-modelu probíhala současně, velká většina času byla spotřebována na hledání chyb ve formulovaných rovni cích. Ačkoli byl použit nástroj pro automatickou derivaci4 , určité ruční úpravy rovnic byly nutné. Nakonec se ale povedlo všechny tři modely "sladit" a pro různé zkušebně zadané počáteční podmínky a parametry se chovají stejně. Je zřejmé, že jsme takto nepostihly celou oblast proměnných, taková analýza by ale nutně musela být aplikačně orientovaná a je mimo rámec této práce. Na obr. 4.4 je ukázka časového průběhu dvou sledovaných veličin pro dané parametry a počáteční podmínky. Na obr. 4.5 je pak odchylka sledovaných veličin L- a N- modelu
Obr. 4.4: ČASOVÝ PRŮBĚH VZDÁLENOSTI r A ÚHLOVÉ RYCHLOSTI w PRO TYTO PARAMETRY SOUSTAVY A POČÁTEČNÍ PODMÍNKY:M3 = l lNm, F2 := 30N, m2 = 12kg, m3 5kg, a = O.5m, c = O.3m, e = O.2m, 12 = O.25kgm2 , hT 0 .42kgm2 , FMx -80N, FM y = 50N. POČÁTEČNí POD MÍNKY: 1'0 O . 5m, ro Oms - 1 , CP o = Orad, cpo = _ 2 - 1 =
=
=
=
=
vzhledem k referenčnímu S-modelu. Sestavení matematického modelu velmi jednod\1ché soustavy, j akou naše rameno robotu beze sporu je, se jeví jako poměrně snadné při aplikaci Lagrangeových rovnic druhého druhu (model B), velmi jednoduché při využití SIMMECHANICS (model C ) , ale poměrně náročné při použití Newtonových - EulerovÝ,ch rovnic (metoda uvolňování) (model A) . Na závěr jsme provedli verifikaci modelů srovnáním jejich chování pro různé parametry, 4MATLAB Symbolic Math Toolbox 3 . 1
38
4 . 2 : ROBOTICKÝ MANIPULÁTOR SE DVĚMA STUPNI VOLNOSTI V ROVINĚ
.... o e ....
" , .: .: " � :,
Q)
-2
-4
-6
:. "
. . . . . Error of ODE (Lagrange)
--- Error of DAE (Newton) L-
O
� �
__ __ __ __ � � � __ __ __ __
0.2
0.4
t rs]
0.6
0.8
__
1
Obr. 4.5: ODCHYLKA VÝPOČTU PROMĚNNÉ 'í POMOCÍ MODELU ODE ( ODVOZENÝ LAGRANGEO VÝMI ROVNICElvlI ) A DAE ( NEWTONŮV PŘÍSTUP ) RELATIVNĚ K VÝSLEDKŮM ZE SIMMECHANICS počáteční podmínky a zatěžující síly F2 a M3 '
39
KAP. 4 : P ŘÍKLADY RUČNÍ TVORBY MODELU A JEHO NUMERICKÉHO ŘEŠENÍ
40
5
M odelová n í M B S v S im Mechan ics
5.1
Stručná charakteristika programu SimMechanics
SIMMECHANICS patří mezi tzv. "multi-domain" modelovací nástroje, někdy se používá termín "fyzikální modelování" . Je založen na rozšířeném nástroji pro simulace dynamic kých systémů MATLAB-SIMULlNK. Abstraktní signálové toky Simulinku j sou nahrazeny toky konkrétních fyzikálních veličin, j akými jsou síly, momenty, polohy, rychlosti a zrych lení. Možnqsti S nvIULINKu jsou tak rozšířeny o přímou simulaci mechanických systémů. SIMMECHANICS obsahuje knihovny SIMuLlNKovských bloků jako jsou tělesa, vazby, sen zory, aktuátory a pod. Pomocí aktuátorů a senzorů je zajištěno propojení s bloky čistého SIMULINKU. Můžeme tak velmi jednoduše kombinovat modely mechanické, elektrické, te pelné a jiné, stejně tak j ako využívat dostupné toolboxy MATLABU nebo vlastní zdrojové kódy [23, 22] . SIMMECHANICS lze srovnávat s takovými produkty jako ProjEngineer Mechanism Dy namics (dříve ProjMechanica Motion) nebo MSC.Adams, které jsou více inženýrsky (CA Dovsky) orientované. Výhodou je u nich j ednodušší práce s tvorbou geometrie modelu, není nutno ručně počítat nebo z j iného software konvertovat momenty setrvačnosti. Na proti tomu, SIMMECHANICS nabízí právě díky přímé integraci do Simulinku jednodušší propojení se subsystémy j iných fyzikálních podstat, např. s modely řízení. 5.2
Princip tvorby modelu
Postup ruční tvorby modelu pomocí Lagrange-Eulerových rovnic nebo Newtova přístupu je tvořen dvěma základními kroky: •
definice geometrie a parametrů jednotlivých těles, volba souřadných systémů
a
•
aplikace matematické metody s cílem odvodit model MBS (soustavu ODE resp. DAE) .
SIMMECHANICS umožňuje automatizace druhého kroku postupu. První krok je tedy shodný, pouze musí být proveden v souladu s požadavky SIMMECHANICS a s použitím jeho " jazyka" - simulačních bloků. Definice úlohy dynamiky MBS (první krok) zahrnuje: •
definice vlastností j ednotlivých těles - geometrie - poloha těžiště (eG) , polohy vazeb s ostatními tělesy a rámem - jeho dynamické vlastnosti - hmotnost , momenty setrvačnosti 41
KAP. 5 : MODELOVÁNÍ MBS V S IMMECHANICS •
kinematiku každé vazby mezi tělesy (počet stupňů volnosti, translace/rotace, orientace)
•
silové nebo kinematické buzení ve vazbě
•
silové působení na tělesa (zatížení)
•
definice počátečních podmínek
•
definice prostředí (směr a velikost vektoru tíhového zrychlení)
.
Všechny tyto vlastnosti definujeme pomocí bloků v SIMMECHANICS, pochopitelně, že vstupní hodnoty (vektory a skaláry) můžeme připravit v SIMULINKU či MATLABU, např. jako výstupy jiných výpočtů (jiných modelů) . 5.3
Definice vazeb a jejich podoba v S i m M echanics
Vazby mezi dvěma body B a F dvou těles lze rozdělit na: •
sklerorwmní vazba nezávislá na čase. V S IMMECHANICS jsou reprezentovány si mulačním blokem Constraint .
•
rheonomní vazba závislá na čase. V SrMMECHANICS jsou reprezentovány simulač ním blokem Actuated Dri ver block.
-
-
Další způsob dělení vazeb je na: •
holonomní
-
vazba je definována pouze polohou, nikoli rychlostí:
f( XB , XF , t) •
neholonomní
-
=
O
vazby, kdy vztah
f(XB , XF , XB , XF , t)
=
O
nelze integrovat do podoby vztahu pro holonomní vazbu. 5 .4
Postup simulace
Simulace definovaného modelu MBS se provádí v SIMMECHANICS v následujících krocích:
1 . Validace modelu rola vazeb 1 .
-
kontrola topologie modelu, kontrola správnosti geometrie, kont
l Nejčastěj ší zdroj problémů při praktickém modelování. Souvisí zejména s topologickou stránkou mo delování a výpočtem stupňů volnosti soustavy.
42
5 . 5 : TOPOLOGIE MODELU A URČOVÁNÍ POČTU STUPŇŮ VOLNOSTI
2. Inicializace modelu v tomto kroku se provede přerušení vazeb v uzavřených ki nematických smyčkách. Přerušené vazby jsou nahrazeny interní reprezentací typu Constraint . Nastaví se počáteční poloha a rychlost soustavy, které jsou definované bloky Joint lni t i al Condi t ion Actuator. Provede se kontrola redundantních va zeb typu Constraint a to v počáteční poloze soustavy a jeho malém okolí. Určí se počáteční nastavení režimu Stiction ( locked, waiting, nebo unlocked) . -
3 . Silová analýza a integrační krok V režimu Forward Dynamics nebo Trimming analysi s mode (viz ) se nyní provede integrace (více o řešičích v kap. 3) a zís káme pohyb soustavy. Během každého integračního kroku se kontrolují tolerance ' vazeb, tolerance řešiče ODE resp. DAE, existence kinematických singularit atd. V režimu Inverse Dynamics a Kinemat i c s modes se podle definovaných vazeb ( Joints , Constraint s , Drivers) hledají příslušné síly a momenty. Kontroluje se také existence kinematických singularit a tolerance řešiče vazeb . -
4. Iterace bloků Stict ion pokud simulační schéma obsahuje nějaké bloky Stict ion, v tomto kroku se provede jejich ošetření. Bližší podrobnosti přesahují rámec této práce a lze je nalézt v nápovědě k programu. -
5.5
Top ologie modelu a u rčování počtu stupňů volnosti
MBS může být reprezentován pomocí grafu) kdy jednotlivá tělesa představují uzly (nodes) grafu a vazby představují hrany grafu (edge s ) . Pak lze hovořit o topologii modelu MBS a provést rozdělení na: •
acyklické grafy system)
•
cyklické grafy system)
-
-
otevřená topologie grafu, nevyskytuj e se smyčka (angl. open loop
graf tvoří alespoň jednu smyčku - uzavřená topologie (close loop
Z hlediska simulace MBS je toto rozdělení velice důležité. Metoda použitá v S IMME CHANICS totiž umí pracovat pouze s otevřeným kinematickým řetězcem. Pokud se v mo delu MBS vyskytne uzavřená smyčka) algoritmus buď sám nebo podle preferencí uživatele vybere vazbu) kterou přeruší a vytvoří tak otevřenou kin. strukturu. V přerušené vazbě pak zavede geometrickou podmínku shodnou s charakterem vazby (viz cutt ing close loops) . Velmi důležitý je charakter topologie i z hlediska volby typu analýzy) j ak ukážeme v 5.8. Nejobtížnější částí tvorby modelu j e správná definice vazeb a případného kinematického buzení v nich. Souvisí pochopitelně s problémem určení počtu stupňů volnosti celého MBS. Problematika výpočtu stupňů volnosti2 je teoreticky velmi jednoduchá a je v literatuře dobře popsána pro rovinné mechanismy. " Patologické" případy mechanismů s redundat2angl. DoF
-
degree of freedom 43
KAP. 5 : MODELOVÁNí MBS V SIMMECHANICS
ními kinematickými členy jsou uvedeny pouze j ako vyjímečné a je nutno je odhalit inženýr ským citem. Bohužel, v případě praktického řešení složitějších prostoroVÝ'ch mechanismů se takovéto problematické situace objevují významně často. Počet nezávislých stupňů volnosti MBS i DoF lze určit takto [28] : iDoF
=
BD oF + PDoF - Mrestr BDoF
=
(5. 1) (5.2)
6(nrB - nr J )
kde nrB je počet těles ( Body ) , nrJ je počet vazeb ( Joint přesněji řečeno je to počet bodů s vazbami, počet bloků Joint ve schématu) , PD oF je počet primitiv3 v schématu, za každou vazbu připočteme číslo: -
• • •
1: P (pri smat i c , prizmatická vazba) , R ( revolut e , rotační vazba)
3: S ( spherical, sférická vazba)
O:
W ( weld, vazba odebírající všech šest st. volnosti)
Hodnota Mrestr udává počet omezení pohybu (mot ion restriction) , platí následující hodnoty (uvedeme anglické názvy bloků tak, jak se vyskytují v SIMMECHANICS4 ) : •
l : constrain block Gear ; driver block Angle , Distance , Linear , Velocity
•
2: constrain block Parallel , Point-Curve
Pro výpoč et iDo F platí také několik následujících pravidel: •
•
•
5 .6
pokud je model sestaven tak, že pohyb bude pouze v rovině ( 2D ) , pak použijeme ve vztahu 5 . 1 místo 6 číslo 3. Pokud je pohyb pouze v ID, pak použijeme hodnotu 1 do součtu PDoF nezapočítáváme primitiva, ve kterých je pomocí aktuátoru přede psána poloha (mot ion-actuated by Joint Actuator ) nezapočítáváme redundantní omezení pohybu, kinematicky redundantní členy
Typy analýz
V dynamice rozeznávnáváme dvě základní úlohy: dopředná a inverzní. Dopředná úloha matematicky představuje problém integrace ODE nebo DAE, inverzní úloha pak řešení soustavy algebraických rovnic. Obě tyto úlohy je možno v SIMMECHANICS řešit, vždy j e ale nutno brát v úvahu topologii modelu. Z pochopitelných důvodů je řešení inverzní úlohy dynamiky výpočetně rychlejší. Nyní stručně popíšeme analýzy dostupně v S IMMECHANICS a j ej ich použití: 3y 4y
SIMMECHANICS SIMMECHANICS
nomní(je funkcí času)
44
může obsahovat jeden Joint několik primitiv. se pojmem Constraint označuje skleronomní vazba, pojmem Dri ver vazba rheo
5 . 7 : P O ZN ÁMKY K PRÁCI SE SIMMECHANICS •
Forward dynamics mode - úloha dopředné dynamiky. Základní úloha dynamiky. Zadány jsou počáteční polohy a rychlosti těles, silové působení a kinematické buzení ve vazbách. V každém kroku řešení se vypočte poloha a rychlost všech těles. Tento typ analýzy je nej obecnější ze všech a pomocí vhodné volby aktuátorů a sensorů je v něm možno ve speciálních případech realizovat i další jmenované typy analýz.
•
Inverse dynamics mode - inverzní úloha dynamiky. Je nutno zadat časovou závislost polohy a rychlosti ve všech nezávislých vazbách, výsledkem jsou vypočtené síly ve vazbách, které realizují předepsaný pohyb. Použití pro MBS s otevřenou kinematic kou topologií - open loop system.
•
Kinemaiics mode - inverzní úloha dynamiky pro MBS s uzavřenou kinematickou topologií - close loop system. Na základě zadaných poloh a rychlostí ve vazbách počítá příslušné síly.
•
Trímming mode - nalezení rovnovážného stavu MBS . Použití např. při linearizaci. Jde o variantu Forward dynamícs mode.
5.7
Poznámky k práci s e S i m M echanics
V kap. 1 . 2 jsme si definovali několik základních požadavků, které lze v současné době klást na simulační nástroj v oblasti mechatroniky. Stručně se teď zmíníme o j ejich naplnění v případě produktu MATLAB-SIMULINK- S IMMECHANICS.
1 . Různá fyzikální podstata prvků - díky přímé integraci SIMM ECHANICS s klasickým SIMULINKem je implementace různých fyzikálních modelů snadná. Modely elektrické, tepelné apod. se sestaví metodou běžnou v daném oboru (vycházející z podobných základů j ako metoda uvolňování resp. metoda analytické dynamiky v případě me chanických soustav) nebo se použije j iž hotových simulačních bloků, do kterých se zadají příslušné parametry. 2. Nelinearity - splněno, matematický model mechatronické soustavy se integruje nu mericky metodami, které samozřejmě umožňují řešení nelineárních rovnic. 3. Automatická matematického tvorba modelu - model mechanické části je tvořen au tomaticky, ostatní prvky se tvoří jiným způsobem (viz. bod 1 . ) . 4. Rychlost řešení matematického modelu - významně závisí na mohutnosti modelu
a na požadované rychlosti řešení. Obecně lze říci, že MATLAB-SIMM ECHANICS je vhodný pro návrhové výpočty a méně pak pro přímé úlohy řízení.
5. Skoková kvalitativní změna systému - Stejně j ako v S IMULINKU je i v SIMMECHANICS tento problém řešen vlastností bloků zero crossing detection. 45
KAP . 5 : MODELOVÁNÍ MBS V SIMMECHANICS
6. Detekce kolizí V SIMMEOHANIOS není přímo obsažena. Lze realizovat dodatečným připojeným modelem, detaily jednoho příkladu řešení jsme publikovali v [24J . -
7. Vizualizace V SnvIMEoHANIOS j e řešena vizualizace vycházející ze způsobu definice těles pro úlohy dynamiky a kinematiky. Jak jsme se zmínili v 5.2, těleso je defino váno polohou přípojných bodů a těžiště a velikostí matice setrvačnosti. Tato definice umožňuje zobrazení tzv. konvexní skořepiny (Convex Hulls) nebo ekvivalentních elipsoidů, které dobře dávají představu o rozložení hmoty na tělese. Tyto způsoby zobrazení jsou velmi dobré pro fázi ladění a experimentování s modelem a dostačuj í pro provádění inženýrských analýz. Příklad takové vizualizace je n a obr. 6 . 3 . -
Pokud požadujeme vyšší kvalitu vizualizace, kdy je třeba zobrazení skutečné podoby těles, lze využít VRML reprezentaci objektů. Více se tomuto problému věnujeme v 5.8. 8. Man in the loop souvisí s nástroj i klasického SIMULINKu. Nejjednodušším interak tivním nástrojem je Slider Gain, který pro některé typy simulací dostačuje, dále je možné použít sofistikovanější prvky a nebo externí ovladače, např. joysticky, při pojené k Simulinku. -
9. Hardware in the loop podobná situace jako v předchozím bodě, obecně možné, nutné speciální softwarové a hardwarové vybavení. -
10.
Implementace simulačního modelu do řídícího hardware problematické. Překlad do kódu C je sice možný, ale v dokumentaci j e uvedeno doporučené použití pouze pro testování, nikoli pro řízení úloh. Možností je využití linearizovaného modelu, detaily zmíníme v 5.9. -
l l . Kvalita dokumentace na velmi dobré úrovni. Detailní popis chování a použité metody jsou z pochopitelných důvodů uživateli skryty. -
5.8 5.8.1
Import parametrů modelu z CAD systémů a vizualizace ve VRM L I mport vlastností těles
z
3D C A D programů
V kap. 5.2 jsme zmínili způsob definice vlastností každého tělesa. Geometrie je dána polo hou přípojných bodů a těžiště, dynamické vlastnosti maticí setrvačnosti. Pro jednoduchá tělesa vystačíme se známými vztahy pro elementární tělesa (tenký válec, válec, kužel, elis poid, atd.), u složitějších reálných strojních součástí je určení těžiště a výpočet momentů setrvačnosti náročnější. Můžeme použít některé analytické vztahy a ručně nebo numericky tyto hodnoty vypočítat. Pokud ale zároveň pracujeme na návrhu TO v prostředí některého 3D CAD modeláře, můžeme velmi jednoduše exportovat vlastnosti těles z něj . 46
5 . 9 : VYUŽITÍ LINEARIZOVANÉHO MODELU ZE SIMMECHANICS K ŘÍZENÍ M B S
3D CAD model
Export vlastností
navrhované soustavy
těles
Export 3D modelu do
Manuální úprava
formátu VRM L
modelu VRML
Simulace modelu soustavy v Sim Mechan ics
Vizualizace chování simulované soustavy v html prohlížeči
Obr. 5 . 1 : S CHÉMA SIMULACE S VYUŽITíM MODELU V 3D CADu A VIZUALIZACÍ VE VRML 5.8.2
Vizualizace chování M BS v prostředí virtuální reality
Vizualizace v SIMMECHANICS je postačující pro základní orientaci a sledování chování simulované soustavy během numerických experimentů a analýz. V případě potřeby kva litnější vizualizace MBS se nabízí MATLAB Virtual Reality Toolbox, který je přímo pod porován ze strany SIMMECHANICS. Tato integrace umožní: •
napojení modelu v SIMMECHANICS nebo libovolného modelu v SIMULINKU na VRML svět vytvořený mimo MATLAB-SIMULINK. Na základě změn proměnných V Simulinku (např. poloha tělesa) se mění vlastnosti virtuálního světa.
•
uložení 3D video sekvence ve formátu VRML, což umožňuje např. pozdější prezentaci chování soustavy mimo prostředí MATLAB-SIMMECHANICS.
•
interaktivní chování. Akce provedená uživatelem ve virtuálním světě se projeví j ako vstup do modelu v S IMULINKU. Zpětně tento model reaguje změnou virtuálního světa atd.
Celý postup přípravy vizualizačního VRML modelu je znázorněn na obr. 5 . 1 . Pozna menejme jen, že formátu VRML se také nevyhnul všeobecně známý a rozšířený problém různých verzí, tvarů a chápání grafických formátů a proto lze od různých CAD programů očekávat různé výsledky. V každém případě je nutné provést ruční úpravu modelu VRML do použitelného tvaru. 5.9
Využití linearizovaného modelu ze SimMechanics k řízen í M BS
Jak jsme již poznamenali, SIMMECHANICS není příliš vhodilý na tvorbu modelu za účelem řízení TO. Klasická teorie řízení ale stej ně vyžaduje lineární model (LTI linear time -
47
KAP. 5 : MODELOVÁNÍ M E S V SIMMECHANICS invar iant ) .
Klasický SIMULINK umožňuje pomocí příkazu Unmod linearizaci obecně nelineárního modelu. K dispozici jsou dvě základní metody linearizace, jejich podrobný popis j de mimo rámec této práce a lze jej nalézt v dokumentaci. V SrMMEcHANICS je třeba při návrhu modelu určeného k řízení (linearizaci) počítat s jistými omezeními, např. není možno do modelu zahrnout simulační blok St iction.
48
6
P ří k l a d y m o de l ová ní j ed n o d uchých
mech a n ism ů v S i m M echa n i cs
6.1
Robotický manipulátor se dvěma stupni volnosti v rovině (v SimMechanics)
stupně volnosti a otevřenou kinematickou t op ologii . Geo je zadána obecně, před začátkem simulace je parametry nutno nadefinovat spuštěním skriptu MATLABU. Model je vytvořen v poloze 'Po O, ro = O a konkrétní po čáteční stav je zadán bloky Joint lni t i al Condi t ion. P o mo c í bloků Jo int Actuat or je zadáno silové p ůsobení ve vazb ách , blok Body Actuator d efi nu j e působení externí (tech nologickou) silou FM na těleso 2 v bodě C. Sl edované veličiny j ako výstupy ze simulace se exportují do prostředí Matlabu pomocí bloku To Workspace . Následně je možno j e zpracovat, např . gr aficky . Tento model byl navržen j ako referenční model pro testování analytického modelu sestaveného ručně pomocí metody uvolňování a vedoucí na soustavu DAE (viz. 4.2) . Doba simulace bez vizualizace s počátečními p o dm í nkami a parametry soustavy p o dle obr. 4.4 v kap . 4.2.3 j e př'ibližně 0,5 s ( t span= [O 1J ) . Jedná se o model velice j ednoduché MBS, proto lze vnitřním algoritmem S nvI M E CHANICS transformovat na soustav u ODE a řešit s využitím všech standardních ř'ešičů SIM ULINKU. Při testování se neprojevily výr az n ější rozdíly při použití referenčního ode45 Modelovaná soustava má dva metrie· těles
=
a
jiných řešičů.
6 .2
Na
Model kinemati�y paralelního robotu
následuj ícím příkladu ukážeme možnost
využití
S I MM E CHANICS k návrhu inverzního
6.2 je možné sestavit analytický IKM, obecně to může být p oměrně obtížné, dále pak existují mechanismu , pro které anal yt i ck5r IKM sestavit nelze1 . V takovém případě použijeme num er i ck ý model, který např. vychází z pří m é h o ki nematického modelu a využívá iterační metodu. D alší možností j e aplikace aproxi m ačních metod, např. umělých neuronových sítí nebo lokálních aproximátorů. Robot na obr. 6.2 má 3 s t up n ě volnosti . Uvažujme, že v rotačních vazbách A, F a I j sou um ís t ě ny pohony. Máme dánu p ožadovanou trajektorii p lat form y robotu a hledáme o d p oví d ají c í natočení pohonů. IKM pro po l o hy lze pak definovat j ako transformaci: kinematického modelu (IKM) rovinného paralelního robotu . Ačkoli som;tava n a obr.
patří d o tř'ídy mechanismů, pro které
" l Z mateIIlatického h lediska jde o problém řešení tzv. transcendentních rovnic.
(6.1 ) 49
KAP . 6 : PŘÍKLADY MODELOVÁNÍ JEDNODUCI-IÝCH MECI-IANISMŮ V SIMMECHANICS
kde XT a YT je pozice těžiště T trojúhelníkové platformy v kartézských souřadnicích, B je úhel natočení okolo bodu T a !Pi jsou úh ly natočení j ednotlivých pohonů. Na obr . 6.4 je řešení tohoto problému v SIMMECHANICS a na obr. 6.3 vizualizace příslušného modelu ( Convex Hul l s ) . Tělo robotu je volně přes rotační vazby ( Revolut e - označené písmeny podle obr. 6.2) a ramena ( B ody - tělesa ozn . opět písmeny) spoj ena s pevným základem ( Ground) . K platformě je dále připojen Cus t om J o i nt který umožňuj e volný pohyb tělesa v rovině (tři stupně volnosti) . Tyto tři stupně volnosti j sou definovány pomocí J o i nt A ctuat or - Mot i on . Pokud vyžaduj eme pouze IKM pro polohy, stačí zadat na vstup modelu [xy, O, O] , [YT , O , O] a [B, O, O] a spustit simulaci v čase t span = [O O ] . Pro výpočet definovaného po hybu platformy je nutné zadat p olohy, rychlosti i zrychlení ve tvaru [XT, XT , XT ] , [YT, YT, fiT] a [B, B, ě] a spustit model v požadovaném čase t span [O t] . Na výstupu z modelu pak odečítáme p olohy, rychlosti a zrychlení jednotlivých pohonů =
[!Pi , CPi,
Vzhledem k tornu, že se j edná o problém inverzní kinematiky soustavy s uzavřenou topologií je možno vedle analýzy Forward dyn9Jll i c s mode použít i Kinemat i c s Mode . Pro náš daný problém, požadovaný pohyb definovaný harmonickou funkcí a dobu simulace t s p an = [O 10J se čas simulace sníží asi 0 40% (0.368 resp. 0 . 2 1 8) .
50
6 . 2 : MODEL KINEMATIKY PARALELNÍHO ROBOTU
ú
8�
F
CS 1
Revolute
CS2
Body 3
Mechanical .1.i·�·":·'�.'IIIB ranching Bar - Revolute
Prismatic
Body 2
Mechanical III Branching I . : ii; Bar - Prismatic
1••
Joint Sensor - Revolute
Torque M3
simout
Joint Actuator _ Revolute
To Workspace
§f----'----.,.-.,..---,-
Joint Initial Condition - Prismatic F2
�--�----�--���-
Farce F2
[FMx FMy
O]
Farce F:...M
Joinl Actualor - Prismatic
..
I1--------------,---.,..------------".,--------,--+1
Obr. 6 . 1 :
Body Actuator
MODEL RAMENA ROBOTU
V
PROSTŘEDÍ SrMMECHANICS 51
KAP . 6 :
P ŘÍK L A DY M O DELOVÁNÍ JEDNODUCHÝCH MECHANIS MŮ V SIMMECHANICS
H
B
A
E
F
Obr. 6 . 2 : GEOMETRIE PARALELNÍHO ROBOTU
Q.3
I
Obr. 6 . 3 : VIZUALIZACE MODELU ROVINNÉHO PARALELNÍHO ROBOTU V NICS 52
PROSTŘEDÍ
SIMMECHA
6.2:
MODEL KINEMATIKY PARALELNÍHO ROBOTU
Obr . 6.4: SIMULAČNÍ SCHÉMA PARALELNÍHO ROBOTU
53
KAP.
54
6:
P ŘÍKLADY M O DELOVÁNÍ JEDNODUCHÝCH MECHANISMŮ V SIMMECHANICS
7
Vyu žití S i m M ec h a n i cs pro rych l ý návrh
k i n e m a t i c ké h o m o d e l u čtyřn o h é h o rob ot u
Následuj ící kapitola se bude zabývat problematikou spojenou se stavbou Malého exp eri mentálTdho čtyřnohého robotu. Některé další informace lze najít v [7, 3 , 37, 24] a také na http : //www . umt . fme . vutbr . cz/-rgrepl/ .
7.1
Motivace a formulace problému
V průběhu řešení projektu Malého experimentálního čty'řnohého ro b otu se objevila po Ueba testovat navxžené konstrukční řešení. Prvních experimenty byly provedeny s j ednou nohou robotu a jej ich základě jsme přistoupili k několika drobným konstrukčním úpra vám. Následně bylo možno přistoupit ke stavbě celého robotu. U celého robotu bylo opět nutno vyzkoušet základní mechanické vlastnosti, testovat do jaké míry se předpokládané (vypočítané) výkonové parametry shodují s realitou a především bylo nutné odladit ří dící jednotku s mikrokontrolerem ATMega 128. Ideální by j istě byla realizece simulačního schématu s implementací HiL prvku, z technických i časových důvodů to však nebylo vý hodné. V našem př·ípadě se nej ednalo o nějak významně nákladný technický objekt a také možnost zničení části fyzického modelu vlivem chyby řízení byla omezená. Na základě této specifikace byly formulovány následující požadavky na testovací model: •
malá časová náročnost tvorby testovacího řídícího modelu
•
implementace invezního kinematického modelu celého robotu
•
implementace bloků pro komunikaci s robotem po sériové lince
•
simulační model musí pracovat v reálném čase na dostupném počítači P C
7.2
Popis modelu
Testovaný robot má čtyři nohy, každá tři stupně volnosti a otevřenou kinematickou topo logii. Geometrie robotu je na obr. 7.l. Jádrem testovacího modelu j e inverzní kinematický model (IKM ) celého robotu. Tento model na základě zadané polohy těla vypočte potřebná natočení jednotlivých pohonů robotu. Simulační schéma modelu je na obr. 7.2. Tělo robotu F je přes nohy E (viz obr . 7.3 ) a přes vazbu 6 DOF spojeno se zemí. Rotační vazby Revolut e na nohách umožňují volný pohyb. Vazba 6 DOF má zamezenou možnost rotace kromě rotace kolem osy z, redukuje 55
KAP.
7 : VYUŽITÍ SIMMECHANXCS PRO RYCHLÝ NÁVRH KINEMATICKÉHO MODELU ČTYŘNOHÉHO
RO B O TU
noha D (4)
noha A ( 1 )
Obr. 7 . 1 :
GEO METRIE ROB OTU
se
tedy na 4 stupně volnosti. Uživatel nastavuje požadovanou polohu robotu (translace rotace kolem z) pomocí bloků standardního S UVIULINKU Slider Gain. Poloha je realizována pomocí PD regulátorů A,B. Na vazby v bloku 6 DOF tedy působíme zo b ecněnou silou ( J o int A ctuat or - General i z e d F o r c e s ) . Pomocí bloků J o int S en s o r v modelu nohy snímáme hodnoty natočení pohonů odpovídající dané poloze těla. Tyto hodnoty jsou transformovány a vysílány přímo do řídící jednotky robotu blokem C. Pro komunikaci SIMULINK - RS232 - ATMega 128 byla použita volně dostupná množina bloků x, y a z a
RS232 Blockset1
Poznamenejme ještě, že vazby mezi koncem nohy robotu P a terénem jsou sférické, tedy možnost prokluzu nohy ani vliv tuhosti konce nohy a terénu.
neuvažuj eme
7.3
Výsledky
Popsaný model umožnil ve velice krátké době provedení testování prototypu čtyřnohého robotu a doladění programového kódu řídícího mikrokontroleru. Jako příklady provedených exp erimentl\. lze uvést testová.ní nosnosti robotu, stability v různých konfiguracích, reálné nepř"esnosti pohonů při různé velikosti zatížení apod. l Vytvoř"il j i Leonardo Daga a lze j i najít na adrese: http : / /digilander . l ibero . it/LeoDaga/Simulink/RS232Bl ockset . htm.
56
7.3:
....
.. D x
PO
.,.....
ulator translace
,#
.. A
PO
Conn1
ln
alpha.beta.gamma in DEOConn1
E
lator rotace
pozadov. p hi
Mechanical Branching Bar
phi (rot Z)
, B
, , , , ,
y z
VÝSLEDKY
moment
phi. dphi
6d
r-+-..... Conrál pha.beta.gamma in DEG
Noha C
Noha O robotu - - -
- - - - - - - - - - - - - � -
.....
alpha. beta.gamma in DEOCo n n 1
_
F
Conn1alpha. beta.gamma in DEG
Manual Switch
- - - - - - - -_ .
On
c
Vysilani RS232
Obr.
7.2:
TEST O VACÍ MODEL V SIMMECHANI C S .
57
KAP.
7:
VYUŽITÍ SIMMECHANICS P RO RYCHLÝ NÁVRH KINEMATICKÉHO MODELU ČTYŘNOHFm.O
ROBOTU
F CI) �
()
S
f
B
CS2
f
Joint $ensor J
Spherical
LL
�)"
point Py.
CS2
SI
CS1
�/;>I
F
f
B
O_A
OJ_A
J_A
KP_A
@'
.1
F
CS 1
J K_A
K_A
N CI) ()
OJ
S
B
Joint Sensor O
<:@/"
Joint Sensor K
�
alpha.beta,gamma in DEG
Obl' . 7.3: MODEL JEDNÉ NOHY ROBOTU .... SUBMODEL E MODELU NA OBR. 7 . 2
Obr.
58
7 . 4 : TESTOVÁNÍ VLASTNOSTÍ ROBOTU
7.3:
VÝSLEPKY
Následně bylo provedeno vylepšení modelu o submodel zajišťující stabilitu robotu. Jednalo se o dynamický model opět vytvořený v SiMechanics a modelující kontakt nohy robotu s terénem j ako pružnou vazbu (lineární pružina a tlumič) . Tímt o způsobem je možno v simulačním výpočtu zj istit velikost kontaktní síly v došlapu a určit tak stabilitu konkrétního postoj e robotu.
59
KAP. 7 : VYUŽITÍ SIMMECHANICS PRO RYCHLÝ NÁVRH KINEMATICKÉHO MODELU ČTYŘNOHÉHO ROBOTU --------�--�--�
60
8
P ří k l a d tvorby m o d e l u mechatro n i c ké
soustavy s prvky různé fyzi ká l ní p o d staty m o d e l čtyřno h é h o rob otu
V následuj ícím textu s e budeme �abývat tvorbou modelu čtyřnohého kráčej ícího robotu,
který je dobrým příkladem mechatronické soustavy s prvky různých fyzikálních p o dstat.
Vytvořený model bude sloužit jako návrhQvý a lze na základě výsledků jeho simulace pfijmout řadu klíčových inženýrských rozhodnutí t:)'kajících se dimenzování pohonů, př'e
vodových mechanismů, nesených zdrojů energie a p o d . Další p odrobnosti lze nalézt také v práci
[9] .
8.1
Formulace problému
N ávrh mobilních robotů patří mezi aktuální vědecké problémy.
V
p osledních letech jsou
středem p ozornosti především kráčej ící roboty, u kterých se předpokládá, že by v budoucnu rnohli v určitých specifických úlohách nahradit člověka (pohyb v nebezpečných oblastech, servisní činnost v jaderných a chemických zařízeních, pyrotechnické zásahy, záchranář'ské práce, kosmonautika, vojenství) .
V
neposlední řadě jsou pak výsledky výzkumu mobilní
robotiky aplikovatelné na průmyslovou oblas t .
Ph návrhu kráčej ícího robotu j e nutno řešit některé závažné problémy, které se u kolo
vých nebo pásových p odvozků nevyskytuj í nebo jsou méně významné. Jedná se o otázky konstrukce p ohonových soustav a samotných noh robotu, kinematiky j ej ich
pohybu, syn
chronizace ří�ení p o honů , vlivu dynamiky p o hybu na stabilitu, otázky účinnosti a optima li�ace chůze a další . Mobilní kráčej ící robot j e velmi dobrým příklad mechatronické soustavy, která obsa huje množství navzáj em provázaných prvků různých fyzikálních p o dstat .
Přitom
ale není
možno soustavu rozdělit na dílčí submodely a tyto řešit samostatně. Nepodařilo by se nám tak postihnout některé důležité interakce, které vznikaj í zejména v plánovacích, řídících a regulačních strukturách a přenáší se i na elektrickou a mechanickou část soustavy. Na začátku modelování byly dány tyto parametry: •
zvolena z ákladní struktura robotu:
4
nohy, každá noha
3
st . volnosti, pantografický
tvar nohy, dány rozměry nohy •
pro pohonové soustavy j ednotlivých stupňů volnosti nohy zvoleny stejnosměrné mo
tory M ax ou
RE36
se inkrementálními snímači polohy a planetová převodovka
GP32
(mimo pohon otáčení nohy kolem svislé osy) •
soustava je dostatečně tuhá a lze ji tedy modelovat jako MBS 61
KAP.
8 : P ŘÍKLAD TVORBY MODELU MECHATRONICKÉ SOUSTAVY S P RVKY RŮZ N É FYZIKÁLNÍ
PODSTATY •
-
MODEL ČTYŘNOHÉHO ROBOTU
�adána přibližná hmotnost těla robotu vč. nesených �drojů energie
Schéma geometrie robotu je na obr. 8 . 1 . noha O
n o ha
A noha B
Obr. 8 . l :
S CHÉMA G EO METRIE ČTYŘNOHÉHO ROBOTU
Cílem modelování bylo vytvořit komplexní výpočtový model celého robotu (KMR) obsahuj ící: •
mechanickou část - konstrukce robotu
•
elektrickou část - stejnosměrné motory použité pro pohon všech pohybových os ro botu
•
dynamický model tepelného chování pohonových jednotek řídícího algoritmu pro krátkodobé přetěžováním motorů
•
modely polohových regulátorů j ednotlivých stej nosměrných motorů
S
cílem po�dější realizace
Tvorba m.odelu byla motivována potřebou ověř"it zvolené parametry pohonových sou tltav a �jistit některé v}'konové parametry robotu. Jednalo se o problémy, které je obtížné pi'esně analyzovat S použitím �jednodušených parciálních modelů. 8.2
Popis částí komplexního modelu
Při popisu tvorby komplexního modelu robotu (KMR) zmíníme nejprve jeho celkovou strukturu, která je �názorněna na obr. 8 . 2 . 62
8.2:
POPIS ČÁSTÍ KOMPLEXNÍHO MODELU
Jádro modelu tvoř'í mechanická část, která se skládá z těla robotu a čtyř noh. Tyto části jsou mezi sebou propojeny vazbami SIMMECHANICS, ve kterých se přenáší fyzikální mechanické veličiny (zobecněné kinematické veličiny a zobecněné síly). Hranici mezi mechanickým modelem v SIMMECHANICS a zbytkem KMR v SnvIULINKU t voH bloky "Pohonová osa J" , . . . a "Koncový efektor P " . V simulačním schématu jsou tvo řeny bloky Joint Actuator a Joint Sensor, případně Body Actuator a Body Sensor. V standardním SIMULINKU jsou pak realizovány rnodely převodového ústrojí, motorů, regulátorů a model interakce konce nohy s terénem. Zvláštním modelem, který je KMR využíván je blok inverzní kinematiky (IKM) . Požadovaný pohyb těla a noh robotu byl v našich testovacích úlohách zadán, může však vycházet z vyšší úrovně plánování chování robotu. Tok informací mezi modely v Sirnulinku je z obr. 8.2 dobře patrný. 8.2.1
Model mechan i s m u
Na obr. 8.3 je znázorněna geometrie a simulační schéma jedné nohy robotu. Jednotlivá tělesa jsou propojena vazbami ( Joint ) . Mechanické vlastnosti těles (hmotnost, momenty setrvačnosti) byly zjištěny z 3D CAD modelu. Celý subsystém je realizován v SIMMECHA N I C S , jako vstupně·-výstupní brány jsou vyvedeny Sensor/Actuator porty bloků Joint . Pozice tohoto subsystému v kontextu celého simulačním modelu je dobře patrná na obr. 8 .4, kde je také vidět napojení jednotlivých noh robotu na tělo a propojení celého schématu s bloky Ground. V zobrazeném modelu je konec nohy spojen se zemí sférickou vazbou, nemůžeme tedy modelovat vzájemný relativní pohyb konce nohy a terénu, např. pohyb s prokluzem. Naopak noha D nem á jak je vidět žádné propojení se zemí. Tato omezení jsou dána účelovostí návrhu modelu, kdy nás zajímalo chování robotu v té části pohybu, kdy jsou tři nohy ve stálém kontaktu s térénem bez uvažování prokluzu a č t vr t á noha se přesouvá, přičemž pohyb těla je libovolně definovatelný. Model interakce konce nohy s terénem byl v dalších variantách př'idán do KMR na místo sférické vazby. Popíšeme ho v kap . 8.2.5. 8.2.2
M o d e l elektromotoru
Předtím, než se budeme věnovat tvorbě modelu stejnosměrného motoru, zmíníme se krátce o celkové konstrukci modelované pohonové soustavy. Na obr. 8.5 je uvedeno její schéma. K modelování jednotlivých motorů v rámci komplexního modelu robotu použijeme všeobecně známý lineární model stejnosměrného motoru s konstantním buzením (perma nentními magnety). Čast:5r způsob zápisu je rovnicemi u
ccjJi
di . = Rm2 + Lm dt + c<jJw dw Jm di + mz
(8.1) (8 . 2)
kde u je napájecí napětí vinutí, Rm elektrický odpor rotoru, i proud ve vinutí, Lm in dukčnost vinutí rotoru, ccjJ konstanta (závislá na konstrukci stroje), w mechanická úhlová 63
KAP. 8 : P ŘÍKLAD TVORBY M ODELU MECHATRONICKÉ SOUSTAVY
S
P RVKY RŮZNÉ FYZIKÁLNÍ
PODSTATY - M ODEL ČTYŘNOHÉHO ROBOTU
rychlost rotoru, Jm moment setrvačnosti rotoru a úpravě v hodné pro simulační software obdržíme
di dt dw dt
mz
1
mechanický zatěžovací moment. Po
- ( u - Rmi - ccjJw) Lm
1 . - (ccjJ� Jm
- mz )
(8.3) (8 . 4)
phčernž hodnota konstanty ccjJ se dá vyjádřit pomocí mechanické časové konstanty motoru Tm takto:
(8 .5) Hodnotu napájecího napětí ( v ustáleném stavu) pro požadovanou úhlovou rychlost motoru určíme :6 předpokladu konstantního proudu a úhlové rychlosti :6 rovnice 8 . 1 . Po úpravě dostaneme:
w*
Uust
D
= � Lm
Mz
--;;: C,+,
+
ccjJw
*
(8 .6)
Parametry potř'ebné pro simulaci dynamického modelu stejnosměrného motoru j sou uve deny v tabulce 8 .4. Simulační schéma modelu celého pohonu včetně regulátoru a převodového mechanismu je uvedeno na obr. 8 .6. Umístění modelu pohonu v kontextu celého KMR je vidět na obr . 8 .4. 8.2 . 3
Model převodového mechanismu
Každá noha robotu j e osazena třemi p ohonovými soustavami. Schéma pohonové soustavy pro pohybové osy K a J je uvedeno na obr . 8.5. Výkon se přenáší z motoru př'es planetovou převodovku, soukolí s čelním o:6ubenírn a šroubový převod Ha nohu robotu. Model pře vodového ústroj í zahrnuje všechny tyto tři stupně a byl vytvořen v prostředí SIMULINKU. Pře vodovka je realizována v simulačním výpočtu pOU:6e kinematicky, dynamické vlast nosti zahrnuty redukcí celkového momentu setrvačnosti na hřídel motoru. Zanedbáváme nepřesnosti a vůle v ozubení a šroubu, uvažujeme pouze převod
(8.7) Z hlediska výkonového je nejvýznamnější vliv tření ve šroubu, kde se ztrácí př'ibližnč polovina výkonu. Na planetové převodovce pak čtvrtina. rJc
= rJ12 rJ23rJ34 [- ]
VýkOll na výstupu (síla a rychlost posuvu bodu K a v př·evodu. 64
(8 .8)
J) j e pak tedy snížen o celkové ztráty
8 . 2 : P OPIS ČÁSTÍ KOMPLEXNÍHO MODELU V prúběhu ladících simulačních výpočtů jsme experimentovali i s modelem př'evodu ,-;ahrnujícím řešení Uecího momentu na šroubu podle klasických rovnic
(8.9) (8.10)
kde rovnice 8 . 9 platí pro utahování a rovnice 8 . 1 0 pro povolování. Ukázalo se však, že takovéto modelování šroubu nemá na celkové výsledky podstatný vliv a představuje díky silné nelinearitě komplikaci pro numerické ř"ešení. Podobně bychom mohli v odůvodněném případě vytvořit podstatně složitější modely planetové př"evodovky a čelního ozubení a modelovat např. vliv nepřesnosti chodu převodů na chování soustavy. V našem případě by to ale byl krok daleko za hranici úrovňové vyváženosti. 8.2.4
Model regulátoru
N a obr. 8.7 je schéma regulovaného pohonu. Inkrementálním sensorem je snímáno natočení rotoru, motor je řízen napětím pomocí měniče (pulzně šířková modulace) . Při simulacích jsme testovali dva typy regulátorů . •
polohový PD regulátor
snahou byla co nejjednodušší implementace do prostředí S IMULINKU. Regulační veličina - napájecí napětí u ·· se vypočte: -
kde x * je požadovaná poloha posuvné vazby (pro rotaci je vztah analogický) . vý hodou je užití derivační složky, která je přímo snímána v simulačním modelu. Tím odpadá nutnost další integrace veličiny x, což je z hlediska rychlosti výpočtu vý hodné. Simulační model j e na obr. 8 . 8 . •
diskrétní p olohový P I regulátor vytvořený podle fyzické realizace řídícího hard ware (mikrokontroler ADUC814) . Model regulátoru byl navržen za účelem urychlení nastavení a ověření vlastností regulátoru na fYzikálním modelu. Bližší informace lze najít v [2] .
První regulátor j e pochopitelně dále od reality, nicméně lze jej považovat za dobrou aproximaci. Podstatnou výhodou je mnohonásobně vyšší rychlost výpočtu. Jako náhradu PI regulátoru lze použít v př'ípadě, že předmětem analýzy není přímo problematika regu lacc. 8.2.5
Model interakce konce nohy s terénem
V
dalších variantách KMR jsem se zabývali také modelováním interakce koncového efek toru nohy. Ideální varianta tohoto modelu by zahrnovala možnost relativního tečného 65
KAP. 8 : P ŘÍ KLAD TVORBY MODELU MEOHATRONICKÉ SOUSTAVY S PRVKY RŮZNÉ FYZIKÁLNÍ PODSTATY - MODEL ČTYŘNOHÉHO ROBOT{( pohybu nohy vzhledem k rovině terénu s uvažováním smykového t ř·ení. Problematika smy kového tř'ení je ale z hlediska simulačního poměrně náročná, obj evuj e se otázka stability numerického řešení diferenciálních rovnic. V programu S IMMECHANICS je tento problém velmi dobře vyřešen blokem
St ict ion,
který definuje několik možných stavů vazby a pře
chody mezi stavy realizuje iteračním procesem. Nestabilita je tak vyřešena, ovšem za cenu zpomalení simulace.
Pro případ pouhé analýzy velikostí stykových sil, např'. před návrhem výše p opsa
ného modelu s bloky na obr .
8.9.
St i c t i on
lze použít model, j ehož simulační schéma j e znázorněno
Konec nohy robotu je v každém volném translačním stupni připojen na te
rén pružinou s tlumičem. V simulačním schématu je toto p ůsobení realizováno vazbou
Six
D e g r e e of Fre edom. Při vhodném nastavení parametrů tuhosti a tlumení dojde po
spuštění simulace a odeznění přechodového děje rychle k ustálení a h:e odečíst velikosti stykov}'ch sil. Typický časový průběh sil je na obr.
8.2.6
8 . 10 .
Tepelný model
Stručná chara kteristika modelování tepelnéh o chová ni
Problematika tepelných výpočtů elektrických strojů nabývá stále více na významu, často totiž př'edstavuje j edinou oblast , ve které je možno pracovat na zlepšení parametrů stroj e
i celé mechatronické soustavy.
Při modelování oteplení elektrického stroj e j so u možné dva základní přístupy : •
modelování
•
modelování pomocí náhradní tepelné sítě
metodou konečných prvků (FEM)
FEM tepelný model umožňuj e podstatně detailnější a přesnější pohled na rozložení teploty v analyzovaném systému, p o chopitelně je za to tř'eba zaplatit náročněj ší tvorbou modelu a p odstatně větší výpočetní náročností (podstata FEM je dostatečně známá a j ej í popis
pfesahuje r á mec a cíle této práce) .
Metoda náhradní tepelné sítě pracuje s podstatně j ednodušší strukturou , počet prvků
je řádově j ednotky až desítky, elektrický stroj je nahrazen soustavou těles odpovídajících j ednotlivým částem stroj e , které j sou mezi sebou propoj eny místy, ve kterých dochází
k př:enos u
tepla. Tepelný model se pak sestavuj e na základě analogie s elektrickými obvody.
Poznamenej me j eště, že v praxi se p oužívají dva základní (i když neostře ohraničené)
typy náhradních tepelných sítí, sítě s velmi malým počtem uzlů (za uzel je p ovažována větší část
stroj e,
např. stator, rotor, plášť . . . ) a sítě s velkým počtem prvků, který j e však
stále p odstatně menší než u FEM [4 0 ] .
Ph návrhu tepelného modelu j sme vycházeli především z prací R. Vlacha
cialm
66
[42, 43] .
[40]
a J . Wier
8 . 2. : P OPIS ÓÁSTÍ KOMPLEXNÍHO MODELU M otivace pro návrh tepelného modelu
Návrh tepelného modelu stejnosměrného motoru a j eho začlenění do KMR j sou motivovány snahou o ří�ené přetěžování motoru nad jeho nominálními parametry. Motor krátkodobé proudové přetížení vydrží a je tak schopen poskytnout větší kroutící moment. Nadřazená říJící CL plánovací struktura (není součástí současného KMR) pak musí pouze monitorovat a predikovat teplotu vinutí motoru a podle toho vhodně plánovat jeho zatížení tak , aby teplota vinutí nepřesáhla přípustnou hodnotu. Postu p návrhu tepel ného modelu
Motor Maxon použitý v pohonových soustavách robotu má tzv. inverzní uspoř·ádání. Ne" pohybuj ící se stator s permanentními magnety je uvnitř samonosného rotoru ( "bezželezný" rotor) . Díky tomuto uspořádání se motor vyznačuje velmi malým momentem setrvačnosti a př·íznivějšími tepelnými parametry (menší tepelné odpory) . Schématický průřez motorem je na obr. 8. 1 1 . Na základě studia literatury a analýzy výsledkú několika numerických experimentů jsme zvolili nejjednodušší možnou strukturu tepelné sítě se dvěma uzly (rotor, stator) . Schématu takovéto sítě uvedenému na obr. 8 . 1 2 odpovídá následující dynamický model. d{Jr 1 Gr dt + Rr ( {Jr - {Js ) s d{J s 1 1 Gs dt + R, ,, ({Js - {Jr) + R ({Js - '!?a) = "a
(8 . 1 1 ) O
( 8 . 1 2)
Rw I2
R�( 1 + acu ('l9r - 25) ) 1
ksS (-t9s - 'l9a) 4
( 8 . 1 3) ( 8 . 1 4) (8 . 1 5)
kde
acu
je koeficient tepelného odporu mědi (= 0,00392 1/K) R:: je elektrický odpor vinutí při teplotě 25 DC R,·s je tepelný odpor me�i rotorem a statorem Rsa je tepeln5r odpor mezi statorem a okolím -je závislý na součinu ks (součinitel tvaru) a 8 (plocha statoru) I je elektrický proud přiváděný do vinutí '!?·r ) '!? s a 'l9a jsou teploty rotoru, statoru a okolí Cr CL Gs jsou tepelné kapacity rotoru a statoru Tepelný odpor Rrs vyjadí-uje převážně přenos tepla vedením z rotoru přes vzduchovou mezeru na plášť a pak přes plášť až na jeho povrch. Je možné ho považovat za konstantní. Oproti tomu odpor Rsa charakterizuje přenos tepla radiací a přirozenou konvekcí a proto je nutno uvažovat j eho �ávislost podle Stefan-:-Boltzmannova zákona. Neznámé tepelné parametry systému jsme určili na základě experimentu (identifikační úloha) . Další detailní popis procesu identifikace parametrů dynamického modelu přesahuje 67
KAP. 8 : P ŘÍKLAD TVORBY MODELU MECHATRONICKÉ SOUSTAVY PODSTATY - MODEL ČTYŘNOUÉHO ROBOTU
S
PRVKY RŮZNÉ FYZIKÁLNÍ
rámec
tohoto textu, lze j ej nalézt V [9] . Výsledné simulační schéma tepelného modelu j e na obr. 8 . 1 3 .
8.3 8.3 . 1
U kázka využití K M R jako konstrukčního nástroje Defin ice para metrů systém u
Cílem této práce není detailní popis práce s KMR, který lze najít v [9] . Hmotnosti a mo menty setrvačnosti těles byly úskány z 3D CAD modelu robotu, základní rozměry nohy robotu jsou v tabulce 8 . 1 . Tab. 8. l : GEOMETRICKÉ PARAMETRY NOHY ROBOTU Ll 400mm L2 500mm L '3 250mm L 4 270mm Parametry stejnosměrného motoru Maxon jsou uvedeny v tab. 8.2, parametry převo dového mechanismu v tabulce 8.4. Tab. 8 . 2 : PARAMETRY MOTORU MAXON RE 36 parametr RE 36 jednotka jmenovitý výkon 70 W 24 I jmenovité napětí V otáčky bez zátěže 6210 I min-l Nmm 783 záběrov)' moment mA 105 proud bez zátěže 2 1 ,5 mA záběrový proud 1,11 odpor vinutí rl min-1 8200 maximální dovolená rychlost 2,44 A maximální trvalý proud Nmm 88,8 rnaximálni trvalý moment 125 W max. výst. výkon při nomin. napěti 85 % maximální účinnost gcm2 67,7 moment setrvačnosti rotoru mH 0,20 indukčnost vinutí KW- I tepelný odpor plášť - okolí 6,4 KW 1 tepelný odpor rotor - plášť 3 ,4 43 s tepelná časová konstanta vinutí 125 maximální dovolená teplota rotoru 350 hmotnost motoru
I
I
I
-
68
��
8 . 3 : U KÁZKA VYUŽITÍ KMR JAKO KONSTRUKČNÍHO N ÁSTROJE
Tab. 8. 3 : PARAMETRY PŘEVODOVÝCH MECHANISMÚ Parametry planet ové převodovky 1-2 Maxon GP 32 C typ př'evodovky 676/49�1 3 , 8 převodový poměr i1 2 75% max. účinnost 7]12 O, 162kg hmotnost 0, 8 . 1O - 7 kgm 2 moment setrvačnosti J12 Parametry ozubeného převodu s čelním soukolím 2-3 2, 23 převodový poměr i 23 90 - 98% odhad účinnosti 7]2 3
I
Parametry šroubového převodu 3-4 hodnota veliČina parametr 0 , 11 souč. tření ve šroubu (K a J) [- ] mlot stoupání šroubu 0,003 In průměr šroubu 0,010 převodový poměr Í34 m- 1 2094 odhad účinnosti 7]34 46 %
8.3.2
zdroj lit. [27] konstr. par. 1 konstr. par. vypočteno
Defi n ice požadova ného pohybu těla a voln é nohy robotu
Připomeňme znovu, že popisovan)' model umožňuje simulaci takového chování , kdy robot stojí na třech nohách a čtvrtou volně pohybuje. Nejprve definujeme polohu jednotlivých noh. Poloha je pro Dri v e r s v S I M MECHANICS definována relativně vůči počáteční pozici v modelu. Hodnoty posunutí jsou uvedeny v t ab . 8.4. Tab. V m)
8 . 4 : DEFINICE POZICE KONCOVÝCH EFEKTORŮ JEDNOTLIVÝCH N O H ROBOTU
Noha A (stabilní ) Noha B (stabilní) Noha C (stabilní) Noha D (začátek pohybu) Noha D (konec pohybu)
[-0, 1 [O [O [O [0, 05
O O O O 0, 00
+
O] O] O]
( ROZMĚRY
0, 05]
0 , 2]
Následně definujeme pohyb těla. Uzlové body trajektorie mají souřadnice (opět rela tivně vůči počátečnímu nastavení modelu) uvedené v tab. 8 . 5 . Trajektorie pohybu těla i nohy D je vypočtena pomocí funkce j traj (obsažena v Ro botic Toolbox [6] ) . Grafické znázornění pohybu je na ob r . 8. 14. Tímto jsou definovány hodnoty dostačující pro spušt ěn í IKM. 69
KAP . 8 : P ŘÍKLAD TVORBY M O DELU MECHATRONICKÉ SOUSTAVY S P RVKY RŮZNÉ FYZIKÁLNÍ PODSTATY - MODEL ČTYŘNOHÉI-IO ROBOTU
Tab. 8 . 5 : UZLOVÉ B O DY TRAJEKTORIE POHYBU TĚLA ROBOTU Čas simulace Rel.poloha Uzlový bod O O O] [O 1 2 - 0, 05 0, 05J [-0, 1 1,5 3 [O - O, 02J 2,9 - 0, 05 4,1 4 O OJ [O IKIvI
provede v:)'počet trajektorie každého z pohonů robotu. Následně spustíme KMR a po zpracování výsledků, kterým se zde nebudeme podrobně zabývat (bloky Po stproc e s s i v schématu na obr. 8 . 4) , obdržíme výsledné chování robot.u. Celkový čas simulace byl 4 s , př'esull těla v horizontálním směru přibližně 0, 3 m , noha zvednuta o 0, 2 m . Hodnoty některých veličin v průběhu simulace jsou na obr. 8 . 1 5 . 8.3.3
S h rnutí výsledků
Vytvoř-ený KMR urnožřmje analyzovat chování robotu při statické chůzi, kdy jsou v do tyku s terénem tři nohy, tělo robotu a čtvrtá noha se pohybuje, resp . když jsou všechny čt.yh nohy v kontaktu s terénem. Z modelu lze získat informace o velikosti sil v koncových bodech došlapu, momentovém zatížení motorů, proudu a napětí na nich. Dále lze zjis tit silové zatížení kloubových spojení mechanismu, což může být užitečné při dimenzování konstr:ukce. Velmi jednoduše lze testovat kvalitu a vlastnosti regulačních algoritmů j ednot liv:)'ch pohonů. Díky znalosti chování každého z motorů je možné určit okamžitý odebíraný výkoll ze zdroje i celkově spotřebovanou energii při definovaném pohybu. Všechny části komplexního modelu jsou vytvořeny parametricky, čímž je umožněna velmi j ednoduchá změna kon.strukčních parametrů bez zásahu do vlastního modelu. Praktická využitelnost dynamického modelu vytvořeného v SlivrMECHANICS byla pro kázána pE návrhu ř-ízení fyzikálního modelu nohy robotu. V SIMULlNKu byly ke komplex nímu modelu jedné nohy přidány bloky regulace a opakovaným provedením simulačních výpočtů se určily konstanty regulátorů. Následně se provedlo naprogramování mikwkon twlerů a prototyp fungovaL Detailně je postup popsán v [2J .
70
8.3: /
UKÁZKA VYUŽITÍ K M R JAKO KONSTRUKČNÍHO NÁSTROJE
� - - - - - - - - - - - - � � - - -r - - -�� - - - - - - - - - - - - ' , --..
I I I I
,.
model v SimMechan ics
\ I I I
Noha C
� :\ : \
A
I
Noha D
.....
I I I
I II
'--____..J
I
'------'
I I I I I I \
Noha A
"
/
/
'"
' ,..
:::,
I 'I I I
....J
Noha B
Tělo robotu
I
\
'\
I I I
\ \: 1
Koncový efektor P
:::..
•
I
,
I I I ,
[x,y,z]
I
I n terakce nohy
, I I I I
robotu s terénem
,
I I I I I
Regu látor
I
l
I I
\:'
I
O
u.··ďl.H (.1�
' � )'
.
\
"
'- ....
����t
T
I
IKM
l
I I
model v S i mu linku
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Obr. 8 . 2 : SIMULAČNÍ MODEL DYNAMIKY ROBOTU
: '
Požadovaný POhYb těla a noh robotu
l
�
... /
/
I I
V INTERAKCI S TE RÉNE M
71
KAP. 8 : PŘÍKLAD TVORBY MODELU MECHATRONICKÉ SOUSTAVY S PRVKY RŮZNÉ FYZIKÁLNÍ PODSTATY - M ODEL ČTYŘNOHÉHO ROBOTU
EE
Obr. 8 . 3 :
72
SIMULAČNÍ M ODEL JEDNÉ Nor-lY ROBOTU
8 . 3 : U KÁZKA VYUŽITÍ
KMR
JAKO KONSTRUKČNÍHO NÁSTROJE
I I I I I /
f---
I I I I I I I I Pohon I I I I I ,
I I' L
Model pohonu Cel kový model nohy robotu
Pocatecni
robotul I I I I I I I I I I
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Obr.
8.4:
S IMULAČNÍ MODEL MECHANICKÉ ČÁSTI ROBOTU
73
KAP. 8 : P ŘíKLAD TVORBY MODELU MECHATRONICKÉ SOUSTAVY S PRVKY RŮZNÉ FYZIKÁLNÍ PODSTATY - M ODEL ČTYŘNOHÉHO ROBOTU
planetová převodovka
21 C021 M 2 ��1l!lI!!1!���BII čelní ozubené soukolí
Obr. 8 . 5 :
74
i23
!
šroubový převod i 3,
X4• V4• F4
S CHÉMA POHONOVÉ SOUSTAVY
8 . 3 : UKÁZKA VYUŽITÍ K M R JAKO K O NSTRUKČNÍHO NÁSTROJE
r-----------------�-------------------------
zadana poloha [mj
Mz1
I' •
I ,I I, 'I I' I' I� ; ; ' I. . . ; " II " , sUa F - - - �- - - - - - - - - - �- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - � - - Prevod
M1 => Fx
6
I I I I I I I I I I I
_ _ _ _ _ _ _ _ _
pel;
na
D
i--'
;
••
�� - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - , ' �";." I Rmol'; I
.
'
ml
u : II II : II �-
I' _ �_ _ _ _ _ _ _ _ _M_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
Obr.
8.6:
� ,
�
I
SIMULAČNí MODEL POHONU JEDNÉ POHYBOVÉ OSY NOHY ROBOTU
75
KAP. 8 : P ŘÍKLAD TVORBY MODELU MECHATRONICKÉ SOUSTAVY S P RVKY RŮ ZNÉ FYZIKÁLNÍ
PODSTATY - MODEL ČTYŘNOHÉHO ROBOTU
:.
�- ' . ':.. .
DC motor Maxon RE36
:·
u
+ * 111 .· .
O br.
8 . 7:
S CHÉMA REGULAČNÍ SMYČKY POHONU
�
x dx ddx
x
i"t�?'}-----_--.J
POZAD
Obr.
76
Gain4
8.8:
S IMULAČNÍ SCHÉMA JEDNODUCHÉHO PD REGULÁTORU
8 . 3 : U K Á ZI<'A VYUŽITÍ KMR J AKO KONSTRUKČNÍHO N. ÁBTROJE
- - - - - -- -------�-- - - -
Sel. rychl.
Obr. 8.9: SIMULAČNÍ
Tlumeni
SCHÉMA M ODELU INTERAI
1 500 1 000
I
\
500
\
...... .
, 0
,
•
• • . . . • • • • • • • • • _ · · • • • 0 ' 0 • • • • • .
- ' 0
- - - - - - - - - - - - - - -
-500 - 1 000 '--_�_�_��_..... _-.....L...-----' 0.005 0.01 0 . 0 1 5 0.02 0.025 0.03 O
t [s]
Obr. 8 . 10:
P RŮ B ĚH SIL V KONTAKTU P ŘI SIMULACI
77
KAP. 8 : P ŘÍKLAD TVORBY MODELU MECHATRONICKÉ SOUSTAVY S P RVKY RŮZNÉ FYZIKÁLNÍ PODSTATY - MODEL ČTYŘNOHÉHO ROBOTU
A
c
B
Obr. 8 . 1 1 :
Obr. 8.12:
SCHÉMATICKÝ PRŮŘEZ MOTOREM
S CHÉMA TEPELNÉ SÍTĚ SE DVĚMA UZLY
T ambient1
Obr . 8 . 1 3 : 78
SIMULAČNÍ DYNAMICKÝ TEPELNÝ M ODEL MOTORU
8.3:
UKÁZKA VYUŽITÍ KMR JAKO KONSTRUKČNÍHO NÁSTROJE
0.2
.<
t.
06
06
0.2
•
<� •
c;
Obr. 8. 14:
ZNÁZORNĚNÍ P O ZICE ROBOTU V UZLOVÝCH B ODECH TRAJEKTORIE
V SIMMECHANICS )
( VIZUALIZACE
79
KAP. 8 : P ŘÍKLAD TVORBY MODELU MECH ATRONICKÉ SOUSTAVY S P RVKY RŮZNÉ FYZIKÁLNÍ PODSTATY - MODEL ČTYŘNOHÉHO ROBOTU 4000
"
f
·
:,;:.::·� :::
� _ . .. ____ . .
o
-1
�.
1
· · , · · · , ................ ·'
\
I.
[·
\
1
\
o
1
....,. � .<
..... �....
...
.. . . _
.
. ...
. . __. __ .
..::..'!.:. . .. ... . .
.
. .
2
.
..
O
i
... . ...1
�
15 f � 5�
20
.
.
..
,.
.. .
. .
..
,
.
;
.
. . ..
,
\
20
u
o
1O
..
«
�
4
200
4
...
. .
15
.
o r. . ..
.
.. . . .
...
..
. ·
.
.
.,
.. . .
. ...
Obr. 8 . 15: 80
2
t rs)
.
·.
.
'
.
\ \
.
lji
...
.
.
.
3 4
V ÝSLEDKY SIMULACE PRO POHON K
.
. .
. . . .. . . . .
t [s]
..
. .,
..........�::::.:':.:..::..::::.. :.:.::.�'
2 3 4
t rs]
. .. ·· . ··, . . · · .. ,· .... · . . . . ,· . . . . ,
:
/;.:.
:
"
10 �
[
:
i
: :
I I
"
i
1
· :;''"·;: ·;: ·"-· '''· '''·
I
r
:
,.. -- ' - ' - - - - 1
m "J 2 3 4
;'
:Oi
t [s] .
_ . _ . -
- - - - - - - -
O
.
........
leg A leg
00
., . . .
,
�
LL
-
· . . . . . ., .
.,
;/ \,
_
o
z
..
\'" / \.,. /
'
. . . ..
3 4 . . . . . . . . . . ,. . . ..
. ..
-1 o o[ >-:� . 2 . : :. . . . 3. .,. . . . . . . 4. � 24.1 5 ; . . . . . . . . . 24. 1 f
2
t [s] . ..,:.;\........ " . . . . .
. . . . . ;��� . . . ·"l
':,:·:;.-·,·; �;:: .
i,
-20
t rs]
1
. . · ....
1 0 �,
1
1
.. . .. . . . 3 . .. 4 1
[ .. . . .
o..
i:::<
1-"-
-2
[
·············
....-./
-2000 -4000
::�·
\....
o:
2000
8
f" "
..
... . . . . ... . . . . .. . .. . .
( VODOROVNÁ
B
leg C
leg
O
POHYBOVÁ OSA )
Seznam p o u žitých z krate k a defi n i ce ně kte rých p oj m ů abstraktní modelovaná soustava
popsatelný.
DAE
-
--
differential-algebraic equation - s�>ustava algebraicko-diferenciálních rovnic.
index DAE
-
minimální počet derivací nutných k redukci DAE na explicitní ODE
- Digi t al Signal Pro c e s sor --
D SP
model TO tak aby byl j ednodušeji matematicky
speciální mikroprocesory používané při řízení ná
ročněj ších úloh řízení v reálném čase. Jsou navrhovány pro práci reálnými signály, které HiL
z
analogové podoby převádí na číslicovou.
- hardware in the loop "-
takové propojení počítače na kterém běž í simulace s re
álných světem, kde je reálný hardware
části jsou pouze virtuální ( simulované) .
je
začleněn do simulace chování T O . Další
integrace reálného hardware simulovaného TO do simulační smyčky. Cílem je odladit hardware
s
p oužitím virtuální (simulované) mechanické a příp. j iné části T O .
I K M - inverzní kinematický model Kl\1R
-
komplexní model robotu , příklad modelování mechatronické soustavy s prvky
různých fyzikálních p odstat , p oužíváno v kap . matematický model
--
8
popis soustavy se soustředěnými parametry pomocí ODE nebo
DAE. rúrmulace matematického modelu j eště nezaručuje j eho řešitelnost . MATLAB a SIIvlULINK např. umí řešit ODE tvarů definovaných v kap .
Matlab
-
3
a DAE indexu
1.
j e int egrov ané prostředí pro vědeckotechnické výpočty, modelování , návrhy
algoritmů , simulace, analýzu a prezentaci dat , měření a zpracování signálů, návrhy
řídicích a komunikačních systémů MBS
- ( mu l t i r igid body system) --
[22] .
soustava t uhých těles propoj ených vazbami. Spe
ciální případ soustavy se soustředěnými parametry, jejíž prvky j sou pouze mecha nické.
81
KAP. 8 : P ŘÍKLAD TVORBY MODELU MECHATRON ICKÉ. SOUSTAVY S PRVKY RŮZNÉ FYZIKÁLNí PODSTATY - MODEL ČTYŘNOHÉHO ROBOTU man
podobné j ako BiL. Do simulační smyčky je :.c.ahrnut zásah operátora - člověka. Používá se v případě, kdy j e vliv lidského zásahu do systému podstatný. Ve většině pI-ípadů j e jednodušší začlenit do simulace MiL prvky, než se snažit chování člověka modelovat.
MiL
."
ODE
-
in the loop
-
ordinary differential equation - soustava obyčejných diferenciálních rovnic.
je další z řady tzv . " rnulti-dornain" modelovacích nástrojů, které rozši řují simulační schopnosti SIMULINKu z obecné roviny abstraktních signálových toků do oblasti reálných fyzikálních veličin j ako j sou síly, momenty a pohyby. Nový pro dukt dovoluj e modelovat složité mechanické soustavy, které jsou součástí většiny reálných zař'ízení j ako jsou výrobní a stavební stroje, automobily, letadla, lékařské přístroje a podobně [22] .
S imMechanics --
S imulink
je program pro simulaci a modelování dynamických systémů, který využívá algoritmy MATLABU pro numerické řešení nelineárních diferenciálních rovnic. Po skytuje uživateli možnost rychle a snadno vytvářet modely dynamických soustav ve formě blokových schémat a rovnic [22] . -
výpočtový model doplněný o ří dící struktury, které nejsou obsažené v matematickém modelu, dále o prvky BiL a MiL. Simulační model umožňuje opakované provádění počítačového experimentu s různými počátečními podmínkami a působením dalších vlivů, např. zásah obsluhy (MiL) .
simulační model, simulační modelová soustastava
soustava se soustředěnými parametry
TO
popsat ODE nebo DAE.
..
-
- abstraktní modelová soustava, kterou be -
technický objekt - reálná mechatronická soustava (robot, obráběcí stroj , . . . )
VRML
-
Virtual Reality Markup Language ·- j azyka, používaného ke tvorbě trojroz
měrných světů virtuální reality na Internetu. Prohlížení a interakce s těmito světy je možná v běžném internetovém prohlížečí (s nainstalovaným plug-inem) . matematický model počáteční podmínky.
výp o čtový model
82
-
+
software umožňující řešení tohoto modelu
+
L iterat u ra [1] M S C [2]
SOFTWARE : A DA MS - Full símulatíon p ackage,
http : //www . adams . com.
2003
BEZDÍČE K , M . , SAJFRT, L . , GREPL, R . : Návrh řízenI, ser·vopohonů pantogmfické nohy v SIMMECHANICS, výpočtová mechanika 2003 , Nečtiny, Česká republika, 2003
[3l B EZDíČEK , M . , GREPL ,
R. ,
ŠVEHLÁK, M . , CHMELÍČEK ,
J . : A rtificial
Neuml
Ne
twork Appl'ication To Walk Oj A Fo'ur Legged Ro b ot, Inženýrská mechanika 2004, SVl·atka, Česká republika, 2004
[4] B ONTEMPI G . , BlRATTARI M . , B ERSINI H . :
Lazy learning jor modeling and c ontrol
design, International Journal of Control, 72 (7/8) , pp. 643-658 , 1 9 99
[5]
CHEE-MuN O N G : Dynamic Simulation oj Electric Machinery Using MATLA B SIMU
LINK ,
Prentice Hall, 1 9 9 8
[6] CORKE, P .l . :
A Ro b o tics To olbox jor
MATLAB, IEEE
Robotics and Automation
Ma
gazine, pp. 24-32 , 1 996 [7]
G REPL , R. , VĚCHET, S . , B EZDÍČEK, M . , ŠVEHLÁK , M . , CHMELÍČEK , J . : GontTol Oj Experimental Walhng Ro b o t Using Sirrmlat'i ng Model, Inženýrská mechanika 2004, Svratka, Česká republika, 2 0 04
[8]
GREPL, R . : Dynamic model JO T stability c ontrol oj walk'lng ro b ot, Colloquium Dyna
mics oE Machines 2004, Praha, 1 0 . - 1 1 , 2 . , 2004 [9]
GREPL, R :
Využití komplex;ních dynamických modelů p'ři návrhu a ř[zení kTáčejí
dho ro b o tu, Ústav mechaniky těles, mechatroniky a biomechaniky,
disertační práce,
[ 1 0] GREP L , R ,
ISBN 80- 2 1 4- 2666-7,
ISSN
FSI VUT
v
Brně,
1 2 1 3- 4 1 9 8 , 2004
K REJSA, J . , V Ě C H ET , S . : NávTh glob áln'Ích a lokálních aproxúnátoTů pro
model stability kráčejídho ro b o tu, Colloquium Dynamics
of
Machines 2 004, Praha,
1 0 .- 1 1 . 2 . , 2 0 04 [ l l]
G REPL, R. , WIERCIAK, J . , V L AC H , R : Gomputaiional Modell'ing oj Ther-rnal Beha
ViOT
of D C Motor, EPVE
2003,
ÚVEE
BUT, Brno, Czech Republic, 2003
83
LITERATURA [ 1 2] G REPL, R. , VLACH, R. , K RATO C HVÍL , C . : Návrlt tepelného ' modelu stejnosměr ného motoTU pro řlzené momentové přetěžování, výpočtová mechanika 2003, Nečtiny, Česká republika, 2003
[13]
G H.EPL , R . : Kinematic and Dynamic Modelling uf Q'uadT'uped Walking Robot, Mecha tronika 2003 , 6th International Symposium On Mechatronics, 1 8 .-20. června, Trenči anské Teplice, Slovensko, 2003
[14] G REPL, R. , O ND RŮŠEK , Č . : Inverzní k,t nematické modelován-f v SIMMECHANICS a jeho aplikace na robotické mechanismy, Inženýrská mechanika 2003 , 1 2.- 15. května, Svratka, Česká republika, 2003
[ 1 5]
G REPL, R. ,KRATOCHVÍL , C . : Robot'lc Leg Inverse Dynamic Modelling and Des'lgn Optim'lzat'l on in SIMMECHANICS, Mechatronics, Robotics and Biomechanics 2003,
mezinárodní konference, Hrotovice, Česká republika, 2003
[16]
G REPL, R . , VLACH , R. , O ND RŮŠEK , Č . : Návrh tepelného modelu krokového motoT'U , EPVE 2002, Brno, Česká republika, 2002
[17] G REPL, R. , K RATOCHVÍL, C . : Inverzní kinemat'l cký model robotické nohy metodo'u Lazy Lear-'1úny, výpočtová mechanika 2002, 29.-3 1 . říj na, Nečtiny, Česká republika, 2002
[ 18]
G REPL, R. , ONDRŮŠEK , Č . : Návrh pohonu s krokovými motory s ohledem na dyna nL'lcké vlastnosti mechanické s'u bsoustavy s využitím MATLAB -S IMMECHANICS, vý
počtová mechanika 2002, 29.-31. říj na, Nečtiny, Česká republika, 2002 [19] HAK, J.
,
O ŠLEJŠEK , O . : Výpočet chlazen-f elektr-ických StTOj'Ů, VUES Brno, 1973
[20] HAK, J . , LIBORA, K . , LIST, V. toč,tvých, S NTL Praha, 1 969
[ 21 ]
,
O ŠLEJŠEK , O . : Termik a elektrických strojů
H ORACEK, P . : Systémy a modely, Vydavatelství ČVUT, ISBN 80-01--01923-3 , 1 999
[22] HUMUSOFT: SIMMECHANICS - mechanika pro zpráva.http : //www . humusoft . cz/pub. 2 1 . 2 . 2002 [23] HUMUSOFT : SIMMECHANICS
-
MA TLA B
a S IMULINK, tisková
popis pToduktu, http : //www . humusoft . cz/pub . 2004
r241 CHMELÍČEK , J . , GREPL, R . , B EZDíČEK , M . , ŠVEHLÁK: Collision States Detection l . PUl' QuadTUped Robot Motion, Inženýrská mechanika 2004, Svratka, Česká republika, 2004
[25] 84
J ANÍČEK , P . , ONDRÁČEK , E . : Řešeni problém'ů modeluváním - Témě'ř nic o téměř'
všem, skriptum VUT v B rně, PC-DIR Real, 1998
LITERATURA [26] KRATOCHVÍL , C . , SLAVÍK, J . : Brno, 1997 [27]
LEINVEBER, J . , ŘASA, J . , VÁVRA, P . : pedagogické nakladatelství, Praha, 1 999
INC . ; [28] MATHWORKS www . mathworks . com. 2002 [29] MATHWORKS INC . : 2003
[30]
Mechan'ika těles- dynam'ika,
Manuál
k
Strojn'i cké tabulky,
programu
La TeX p'f'O začátečníky,
r.
o. ,
www . mathworks . c om.
MAXON MOTOR: Key infoT'mation, Standard specification, Technology, informační materiály, http : //www . maxonmot or . com. 2002
[32] RYBIČKA , J . :
[34]
Scientia, spol. s
MATLAB -SIMMECHANICS,
Manuál k The Neuml Network Toolbox,
[3 1] PARAMETRIC TECHNOLOGY CORPORATION: lease 17.0, 2003
[33]
P C-DIR, skriptum VUT
RE36,
firemní
ProMechanica - Model Reference,
Re
Konvoj , 2. vydání, 1999
SHAMPINE, L . F. : So lving O F(t; y (t); yO(t)) nal of Numerical Mathematics, 10, 291-3 10, http : //faculty . smu . edu/lshampin/c ic . pdf , 2002 SZK LARSKI, L . , KAZIMIERZ , J . , HORQDECKI, Selected Problems, PWN Warszawa, 1990
MATLAB, Jour at vel'. preprint
'l n
A . : Elect'ric Drive Sys tems Dynamics
[35] STEJ SKAL , V. A KOL . : : Mechan'ics Using MATLAB, Leonardo Pilot project No. CZ/98/1/82500 /PI/I . l . l .b /FPI, http: //fsinet.fsid.cvut .cz/ en/U2052/leo.html, 2001 [36] Š OLC, F. :
Robot'i cké systémy,
skriptum VUT
v
Brně, 1990
[37] ŠVEHLÁK , M . , GREPL, R . , VĚCHET, S . , B EZDÍČEK, M . , CHMELÍČEK, J. : D es'ign Of Small Laboratory Quadruped Robot, Inženýrská mechanika 2004, Svratka, Česká republika, 2004
[38]
TALÁCKO, J . , MATIČKA, R . : tum ČVUT v Praze, 1995
[39] VALÁŠEK M . A KOL . :
Konstrukce průmyslových 'f'Ob o tů a manipulátoru,
MechatTOnika:
Vydavatelství ČVUT Praha, 1 995
[40] VLACH, R . : Řízení ventilace elektTického s troje s využdím metod disertační práce, Ústav mechaniky těles, FSI, VUT v Brně, 2002
[4 1 ] VLACH,
R. ,
GREPL, R. , CHALUPA,
skrip.
umělé 'inteligence,
ONDRŮŠEK , C . : výpočtové modelování dy výpočtová mechanika 2003 , Nečtiny, Česká
M.,
nam'ických vlastností pásovéh o vozidla,
republika, 2003 85
LITERATURA [42]
WIERCIAK, J . : Meas'uring systems Jor investigation into thermal phenomena appea '{"ing in drive systems with electric micmmotors,
Journal of Theoretical and Applied
Mechanics, No.3, Vo1.38, pp.669-69 1 , 2000 [43]
\iVIERCIAI< , J . : Modelling oj thermal phenomena 'in electric micTOmotors Jar drive system 's designing purposes,
national conference,
[44] [45]
86
Mechatronics, Robotics and Biomechanics 2003, inter Hrotovice , Czech Republic, 2003
WOOD , G . D . : Sim'uZat'ing mechanicaZ systems in S IMULINK with S IMMECHAN I Q S , The Math\iVorks Inc . • www . mathworks
ZALZALA ,
A.M.S.,
Horwood, 1 996
. com. 2002
MORRIS, A . S . : NeuraZ NetwoTks JOl' Robotic Control,
Ellis
