No title

MATEMATIKA Vyu it invariant a poloinvariant v gradovanch etzcch loh RADEK HORENSK Gymn zium, ternberk

Tento lnek voln navazuje na pspvek 2], v nm se na i teni mohli seznmit s tematikou invariant a poloinvariant. V vodu pipomeme denice obou tchto pojm.

De nice 1

Invariantem rozumme vlastnost nebo mitelnou veli inu, kter se pi jist transformaci, resp. pi opakovn ur itho postupu, nem n.

De nice 2

Poloinvariantem rozumme mitelnou veli inu, kter se pi jist transformaci, resp. pi opakovn ur itho postupu, nezv tuje, resp. nezmenuje.

Uveme nov pojem gradovanho etzce matematickch loh, kter byl zaveden v prci 6].

De nice 3

Nech n je pirozen slo (n > 1). Gradovanm et zcem matematickch loh rozumme uspodanou n-tici (P1 , P2 , : : : , Pn ) loh, kde Pj (j 2) tematicky navazuje na v echny lohy Pi pro 1 i < j , a pitom e en lohy Pj vy aduje objeven a zvldnut novch poznatk (nepou itch v Pi ). Pirozen slo n nazvme stupn m gradovanho etzce matematickch

loh. Matematika - fyzika - informatika 18 2008/2009

577

Pro ilustraci uveme nejprve nkolik pklad invariant a poloinvariant. Pitme-li k dan mu lich mu slu sud sla, dostaneme vdy vsledn souet, kter je lich slo. Parita vsledku zstv v dy stejn, tato vlastnost je tedy invariantem.] M nme-li n kolik bankovek ni hodnoty za odpovdajc bankovky s hodnotou vy, piem vsledn stka z stv stejn, je k tomuto vyjden poteba stle menho potu bankovek. Po et bankovek je tedy poloinvariantem. Navc je tento po et vyjden pirozenm slem, je tedy logick, e po ur itm po tu transakc musme dojt do situace, kdy nelze ve vymovn pokra ovat, a to bez ohledu na to, jak bankovky jsme na po tku mli.] Zv tme-li o stejn kladn slo jmenovatel i itatel dan ho zlomku v tho ne 1, dostaneme op t zlomek, jeho hodnota je v t ne 1. Tato vlastnost (bt vt ne 1) je tedy invariantem. (Pochopiteln je invariantem tak rozdl itatele a jmenovatele danho zlomku.) Pi opakovn dan operace dostaneme zlomky, jejich hodnota se postupn zmen uje. Hodnota zlomku je v tomto ohledu proto poloinvariantem. Dsledkem zmnnho invariantu a poloinvariatu je samozejm fakt, e dan posloupnost zlomk m limitu (posloupnost je klesajc a zdola omezen).] Nyn uk eme, jakm zpsobem lze vyu t invariant a poloinvariant pi e en nkterch nro nj ch loh kolsk matematiky. V prvn sti bude prezentovn gradovan etzec t autorovch loh, z nich posledn dv lohy byly vyu ity v kategorii A 58. ro nku matematick olympidy.

Pklad 1

V ka dm vrcholu pravidelnho dvancti helnku le jedna mince. Vybereme dv mince a pemstme ka dou z nich do sousednho vrcholu tak, e jedna se posune ve smru a druh proti smru chodu hodinovch ru iek. Rozhodnte, zda je mo no tmto zpsobem v echny mince postupn pesunout do jedinho vrcholu dvancti helnku. een. Ozna me vrcholy danho dvancti helnku po ad sly 1 a 12. Pemstme-li dv mince na sousedn pole, potom se sou et sel pod

578

Matematika - fyzika - informatika 18 2008/2009

obma mincemi nezmn (nenastane-li pesun jedn mince mezi vrcholy s sly 1 a 12) nebo se dan sou et zvt i zmen prv o 12. Pokud by bylo mo no pemstit v echny mince na jedinou hromdku, byl by celkov sou et sel pod v emi mincemi nsobkem dvancti. Jejich sou et 1 + 2 + 3 + : : : + 12 = 78 v ak nsobkem dvancti nen, pi dlen dvancti dv zbytek 6. Zbytek pi dlen 12 je tedy invariantem. Dan mince nelze proto pemstit do jedinho vrcholu.

Pklad 2 (58. ro nk MO, A-I-6)

V ka dm vrcholu pravidelnho 2 008- helnku le jedna mince. Vybereme dv mince a pemstme ka dou z nich do sousednho vrcholu tak, e jedna se posune ve smru a druh proti smru chodu hodinovch ru iek. Rozhodnte, zda je mo no tmto zpsobem v echny mince postupn pesunout: a) na 8 hromdek po 251 minci, b) na 251 hromdek po 8 mincch. een. O slujme vrcholy danho mnoho helnku po ad sly 1, 2, : : : , 2 008. Piame ka d minci slo vrcholu, v nm se (aktuln) nachz. V imnme si, jak se zmn sou et S v ech 2 008 sel piazench jednotlivm mincm, kdy povolenm zpsobem pesuneme libovolnou dvojici minc. Nenastane-li pesun mince mezi vrcholy s sly 1 a 2 008, hodnota sou tu S se zejm nezmn, nebo jedn z pesouvanch minc se piazen slo o 1 zvt , druh pesouvan minci se piazen slo o 1 zmen ( sla piazen ostatnm mincm, je zstaly na mst, se nezmn). Pokud v ak pesun mezi vrcholy s sly 1 a 2 008 nastane (a nejde-li pitom o pouhou vmnu dvou minc mezi vrcholy 1 a 2 008), sou et S se zmn na hodnotu S 2 008, nebo sla piazen pesouvanm mincm se bu ob zvt , nebo ob zmen , a to v obou ppadech o hodnoty 1 a 2 007. Po libovolnm po tu pesun dvojic minc se hodnota S z po te n hodnoty S0 = 1 + 2 + ::: + 2 008 zmn na hodnotu S = S0 + 2 008k, kde k je vhodn cel slo. Snadno ur me hodnotu S0 = 1 004 2 009. a) Mme-li zskat 8 hromdek po 251 minci, mus bt vsledn sou et S nsobkem 251. To je v ak splnno v dy, nebo S = 251(8k +4 2 009). Sta proto nalzt aspo 1 postup, jak mince dle danch podmnek pemstit. Matematika - fyzika - informatika 18 2008/2009

579

Budeme-li mince z dvojic vrchol 1 a 2 008, 2 a 2 007, atd. pesouvat v dy v opa nm smru, snadno vytvome 8 hromdek o 251 minci nap. ve vrcholech 1 001, 1 002, 1 003, : : : , 1 008. b) Uk eme, e zskat 251 hromdek po 8 mincch nelze. Kdybychom pipustili, e po ur itm po tu pesun dvojic minc vznikne 251 hromdek po 8 mincch, musel by sou et S bt nsobkem 8. %slo 2 008k nsobkem osmi je, slo 1 004 2 009 nikoliv. Tm je tvrzen o neexistenci peskupen danho po tu minc dokzno.

Pklad 3 (58. ro nk MO, A-III-5)

V ka dm z vrchol pravidelnho n- helnku A1 A2 : : : An le ur it poet minc: ve vrcholu Ak je to prv k minc, 1 k n. Vybereme dv mince a pemstme ka dou z nich do sousednho vrcholu tak, e jedna se posune ve smru a druh proti smru chodu hodinovch ru i ek. Rozhodnte, pro kter n lze po kone nm po tu takovch pemstn doclit toho, e pro libovoln k, 1 k n, bude ve vrcholu Ak le et n + 1 ; k minc. een. Uk eme, e to lze provst pro n = 6k + 1 nebo pro n = 6k ; 1. Uva ujme sou in aktulnho po tu minc ve vrcholu a indexu danho vrcholu. Ozna me S sou et v ech tchto sou in. Na za tku je to n + 1) S = 1 1 + 2 2 + : : : + n n = n(n + 1)(2 6 na konci n + 2) : S = 1 n + 2(n ; 1) + : : : + n 1 = n(n + 1)( 6 Nenastane-li pesun mince mezi vrcholy s sly 1 a n, hodnota sou tu S se nezmn, nebo jedna z pesouvanch minc hodnotu S o 1 zv , druh z minc hodnotu S o 1 sn . Pokud v ak pesun mezi vrcholy s sly 1 a n nastane (a nejde-li pitom o pouhou vmnu dvou minc mezi vrcholy 1 a n), sou et S se zmn na hodnotu S n, nebo ob pesouvan mince hodnotu S bu zvt , nebo zmen , a to v obou ppadech o hodnoty 1 a n ; 1. Rozdl kone nho a po te nho stavu S ; S tedy mus bt nsobkem n. Tento rozdl S ; S = (n ; 1)n6 (n + 1) je nsobkem n pouze tehdy, je-li n ; 1 nebo n + 1 nsobkem 6. 0

0

0

580


Sou asn je v ak teba ukzat, e v takovm ppad toto peskupen lze provst. Jednou z mo nost je nap. nsledujc postup. Pesuneme n ; 1 minc z vrcholu n na vrchol 1 (o 1 pole, pes rozhran), n ; 3 minc z vrcholu n ; 1 na vrchol 2 (o 3 pole, pes rozhran) atd. Celkem provedeme (n ; 1) 1 + (n ; 3) 3 + : : : + 2 (n ; 2) =

= n 1 + 3 + : : : + (n ; 2) ; 12 + 32 + : : : + (n ; 2)2 =

n ; 2) = n (n ; 1)(5n ; 4) = n (n ; 1)2 ; n(n ; 1)( 6 6 tah. V obou ppadech, tj. pro n = 6k + 1 i pro n = 6k ; 1 nabv zlomek 16 (n ; 1)(5n ; 4) celo selnch hodnot, celkov po et tah je tedy nsobkem n. V echny tyto tahy v ak lze kompenzovat pohybem libovoln mince v opa nm smru o pslu n po et celch kol.

Didaktick koment k uvedenmu et zci loh Prvn z trojice loh byla motiva n, kdy zkladem e en bylo nalezen danho invariantu. Druh loha u vy aduje (krom e en obdobnho problmu v jedn z st) tak nalezen vhodnho zpsobu pemsovn minc, a to ve druh sti. Tet, zvre n loha vy aduje od student ji abstraktn my len a logicky sprvn podlo en zdvodnn, e dan pemstn je pro zji tn hodnoty mo n.

Ve druh sti uk eme e en nkolika dal ch nro nj ch loh vyu vajcch principu invariant a poloinvariant.

Pklad 4

Na ka dm poli achovnice 8 8 je polo en ern eton, jen v prvnm dku jsou stdav (pravideln) umstny bl a ern etony. Mme mo nost zvolit si libovolnou vodorovnou, svislou nebo ikmou adu (tj. adu rovnob nou s nkterou z danch diagonl) a zmnit barvu v ech eton v dan ad na opa nou. Rozhodnte, zda m eme po kone nm po tu takovch operac doclit toho, e: a) v echna pole po obvodu achovnice budou pokryta etony stejn barvy (pole uvnit mohou bt pokryta libovoln). Matematika - fyzika - informatika 18 2008/2009

581

b) v echna bl pole achovnice budou pokryta etony bl barvy a v echna ern pole achovnice budou pokryta etony ern barvy.

;

een. Uk eme, e takov situace nastat nem e. Uva ujme v echna pole na obvodu achovnice vyjma rohovch pol. (Viz obrzek.)

A zvolme adu libovoln, v dy tato ada bude obsahovat sud po et z tchto uva ovanch pol, a to 6, 2 nebo 0. Pi ka dm takovm pebarven pol zstane zachovna parita po tu blch i ernch pol v tto oblasti. Na po tku je v ak na tchto polch umstno 21 ernch eton a 3 etony bl. V ka dm kroku tedy zstv po et eton dan barvy vyjden lichm slem. Nelze tak dostat 24 eton stejn barvy, jak by bylo zapoteb u pokryt obvodu jednotnou barvou. Nelze proto ani doclit situace, kdy by etony na achovnici pravideln mnily svou barvu, i v tomto ppad by na uva ovanch polch musel bt sud po et blch a ernch pol, co v ak nelze.

Pklad 5

Na ka dm poli tabulky 2 009 2 009 je zapsno njak cel slo, piem sou et v ech sel v tabulce je 2 009. V ka dm kroku m eme zmnit znamnka u ka dho z sel v libovoln ad i sloupci. Rozhodnte, zda m eme po kone nm po tu takovch operac zskat situaci, kdy v dnm dku ani sloupci nen zporn sou et. een. Je-li sou et v ka dm dku i sloupci nezporn, je loha vye ena. V opa nm ppad vybereme adu i sloupec, kde je sou et sel zporn. Po zmn znamnek bude tento sou et kladn a dky tomu se sou et sel

582


v cel tabulce zv . Vzhledem k tomu, e tento sou et nem e neustle narstat (je limitovn sou tem absolutnch hodnot sel z pvodn tabulky), musme proto po kone nm po tu krok zskat tabulku s nezpornmi sou ty v ka dm dku i sloupci.

Pklad 6

Ve td m ka d z k nejv e 3 neptele (vztah neptelstv je symetrick, je-li A neptelem B, je i B neptelem A). Rozhodnte, zda lze rozdlit v echny ky tto tdy do dvou skupin tak, e v ka d skupin nebude mt nikdo z nich vce ne jednoho neptele. een. Rozdlme ky libovoln na dv skupiny. Jestli e ani v jedn skupin nen nikdo spole n se dvma a vce nepteli, jsme hotovi. V opa nm ppad vybereme takovho ka, kter je ve skupin s vce ne jednm neptelem a pemstme ho do skupiny druh. Budeme-li tento postup opakovat, doclme po kone nm krok rozdlen, kter ji odpovd danm podmnkm. Stanovme nejprve po et neptelskch dvojic v jednotlivch skupinch. Pemstme-li ka z prvn skupiny do druh, poklesne po et neptelskch dvojic v tto skupin minimln o 2. Naopak ve druh skupin vznikne maximln jedna neptelsk dvojice navc. Celkov se proto po et neptelskch dvojic zmen . Vzhledem k tomu, e tento po et nem e klesat do nekone na, musme po kone nm po tu krok doclit uspodn, kdy v dn skupin nen k s vce ne jednm neptelem. Poznmka 1. Rozdlen k do dvou skupin nen samozejm jednozna n, takovch rozdlen m e bt vce. Ve v ech ppadech jsou ale podmnky zadn v dy splnny. Poznmka 2. Danou lohu je mo no vye it i logickou vahou o pidlovn k do dvou skupin. Libovoln vybereme po jednom ku do ka d skupiny. Ka dho dal ho ka piadme v dy do t skupiny, kde nejsou dva jeho neptel (takov skupina v dy existuje, proto e po et neptel je nejv e ti). Opakovnm tohoto postupu dostaneme rozdlen, kter odpovd podmnkm ze zadn. Matematika - fyzika - informatika 18 2008/2009

583

Pklad 7

V rovin je dno celkem 2 008 bod. Doka te, e existuje 1 004 disjunktnch se ek, kter maj krajn body v tchto danch bodech. een. Spojme-li libovolnm zpsobem dan body do dvojic, lze vypotat dan sou et velikost takovch se ek. Jestli e spolu se ky nemaj dn spole n bod, jsme hotovi. V opa nm ppad vyberme takov dv

se ky, kter maj spole n prse k. Nech jsou to se ky KL a MN . Nahrame tuto dvojici se ek jinou dvojic, a to KM a LN . Proto e dan body jsou vrcholy konvexnho ty helnku KMLN , bude dle troj helnkov nerovnosti sou et dlek se ek KM a LN men ne sou et dlek

se ek KL a MN . Sou et dlek v ech 1 004 se ek se tedy zmen . Proto e existuje jen kone n po et mo nost, jak body na po tku pospojovat, existuje tak jen kone n po et mo nost pro dan sou et dlek v ech tchto 1 004 se ek. V ur it fzi proto musme po kone nm po tu krok dojt k situaci, kdy jsou v echny se ky disjunktn.

Pklad 8

Ve td, kde jsou jen studentky s blond nebo s ernmi vlasy, m ka d dvka lich po et kamardek. Prvn den se rozhodne prvn dvka, e pizpsob barvu svch vlas vt in svch kamardek, tj. maj-li pevahu ernovlas kamardky, rozhodne se pro ernou barvu barvu vlas, v opa nm ppad zvol blond vlasy. Druh den se ke stejnmu kroku rozhodne druh dvka, atd. (Pot, co danou volbu provede i posledn dvka, pokra uje opt dvka prvn.) Doka te, e po jist dob si u dn z dvek nebude sv vlasy pebarvovat na opa nou barvu. een. Uva ujme v echny dvojice kamardek, kter maj opa nou barvu vlas. Po et takovch dvojic ozna me S . Pokud se rozhodne dvka pro zmnu barvy svch vlas, znamen to, e mla pvodn vce kamardek s jinou barvou vlas ne kamardek se stejnou barvou vlas. Po obarven se tedy po et S dvojic kamardek s rznou barvou vlas mus nutn sn it. Vzhledem k tomu, e je tento po et vyjden nezpornm celm slem, nem e se zmen ovat do nekone na. Proto po ur it dob mus doshnout sv minimln hodnoty a dn z dvek si u nebude pebarvovat sv vlasy.

Pklad 9

Jsou dny seln posloupnosti (an ) a (bn ), kter vyhovuj nsledujcm pedpism: 584


an+1 = an +2 bn

bn+1 = a2a+n bbn n

n

pro v echna pirozen n, kde a1 = 2 009 a b1 = 1. Doka te, e ob posloupnosti maj tut limitu, a ur ete ji. een. K vye en lohy nm poslou nalezen vhodnho invariantu a poloinvariantu. Snadno se vid, e sou in odpovdajcch len obou posloupnost zstv konstantn, plat tedy

an+1 bn+1 = an bn = : : : = a1 b1 = 2 009: Ze zadn je patrn, e v echny leny obou posloupnost jsou kladn reln sla. Zkoumme-li rozdl odpovdajcch len tchto posloupnost, dostaneme po pravch 2 (an ; bn )2 : an+1 ; bn+1 = an +2 bn ; a2a+n bbn = (an +2(ban )+;b 4)anbn = 2( a +b )

n

n

n

n

n

n

Tento rozdl je tedy stle nezporn, tj. pro v echna pirozen n plat nerovnost an bn . (Dan vztah vyjaduje nerovnost mezi aritmetickm a harmonickm prmrem pro dvojici kladnch relnch sel an a bn .) Pro v echna pirozen sla n tak plat

an+1 = an +2 bn an +2 an = an bn+1 = a2a+n bbn =

2 2 1 + 1 = bn : 1 + bn an bn bn Posloupnost (an ) je tedy nerostouc a sou asn zdola omezen (ka dou z hodnot bi , nap. b1 ) a posloupnost (bn ) je neklesajc a sou asn shora omezen (ka dou z hodnot ai , nap. a1 ). Ob posloupnosti proto maj vlastn (kone n) limity a a b. Pro v echna kladn reln sla an a bn plat (an ; bn) < 1 (an + bn) n

n

1


585

tud tj.

(an ; bn)2 = (an ; bn) (an ; bn ) < (an ; bn ) an+1 ; bn+1 = 2( a + b ) (a + b ) 2 2 n

n

n

n

an+1 ; bn+1 < (a1 2;n b1 ) = 2 2008 n :

Vraz na prav stran poslednho vztahu se s rostoucm n bl k nule, proto se tak rozdl an+1 ; bn+1 bl k nule, tj. pro limity a, b obou posloupnost plat a = b. Tuto (spole nou) limitu snadno ur me ze vztahu ab = a1 b1 = 2 009 tj. p a = b = 2 009: K procvi en uveden problematiky uvdme na zvr dva pklady, kter jsou ur eny tenm. Pklad 10 (O nevrnm nmonkovi) Nmonk Max m v ka dm pstavu 1 enu. Pot, co u byl dlouho na jednom mst, opustil Marii a jedno pondl se vydal na sv brce do pstavu, kter byl od vchozho pstavu nejvce vzdlen. Po estidenn plavb zakotvil v clovm pstavu a celou nedli pak strvil u jin eny. V pondl rno opt vyplul na moe a zamil znovu do aktuln nejvzdlenj ho pstavu. Na moi strvil opt est dn a celou nedli strvil s dal enou, atd. Marie se trp samotou. Porate Marii, jak dlouho m na Maxe ekat. Poznmka: &dn dva pstavy nejsou od sebe stejn vzdlen (v dy existuje jen jedin pstav, kter je nejvzdlenj ). Uka te, e posloupnost vzdlenost je neklesajc, pesnji rostouc a od jistho lenu konstantn. Max se bu navrt za dva tdny, nebo se nikdy nevrt.] Pklad 11 (Pro policejn akademii) Zlodjka Mna ka dho dne ve er, tsn ped zavrac dobou, pepadne ve mst po tu a v noci se pesune do nejbli ho sousednho msta, v nm se nachz po ta. Nsledujc den (opt ped zavrac dobou) svj in zopakuje v danm mst a opt se pesouv do aktuln nejbli ho msta, atd. 586


V pondl 15. ervna 2 009 byla ji podruh za posledn dobu vyloupena po ta ve mst M. V obou ppadech byla identikovna jako pachatelka pepaden Mna. Policie dle hesla tikrt a dost se proto rozhodla danou po tu ve mst M hldat. Kdy byla Mna zat ena? Poznmka: &dn dv msta nejsou od sebe stejn vzdlen (v dy existuje jen jedin msto, kter je nejbli ). Uka te, e posloupnost vzdlenost je nerostouc, pesnji klesajc a od jistho lenu konstantn. Mna se ve mst M objevila u podruh, posledn dv vzdlenosti jsou tedy stejn a Mna bude v mst M opt za dva dny.] Literatura

1] Engel, A.: Problem-Solving Strategies. Springer-Verlag, New York, Inc. 1998. 2] Horensk, R.: Invarianty a poloinvarianty ve kolsk matematice. MFI, ro. 17, 2007/08, . 2, str. 73-80, Olomouc. 3] Kanel-Belov, A. J. { Kovaldi, A. K.: Kak re ajut nestandartnyje zadai (rusky). MCMNO, Moskva 1997. 4] Kurliandik, L. D. { Fomin, D. V.: Etjudy o poluinvariante (rusky). KVANT, 1989, . 7, str. 63-68, Moskva. 5] Makrides, G. a kol.: Objevov n, motivace a podpora matematickch talent na evropskch kol ch. MATH.EU Projekt, 2006. 6] vrek, J.: Tvorba a vyuit gradovanch etzc matematickch loh. Vydavatelstv UP, Olomouc 2008.

59. ro nk Matematick olympi dy

lohy I. kola KATEGORIE Z9

Z{9{1

Dostal jsem zadna dv pirozen sla. Pot jsem je ob zaokrouhlil na destky. Kter sla jsem ml zadna, pokud vte, e: podl zaokrouhlench sel je stejn jako podl sel pvodnch, sou in zaokrouhlench sel je o 295 vt ne sou in pvodnch sel, sou et zaokrouhlench sel je o 6 vt ne sou et pvodnch sel. L. im nek Matematika - fyzika - informatika 18 2008/2009

587

Z{9{2

Pat a Mat byli na vlet. Vy li rno po osm hodin, kdy velk a mal ru i ka na Patovch hodinkch le ely v opa nch polopmkch. V opa nch polopmkch byly ru i ky Patovch hodinek, i kdy se oba ptel ped polednem vrtili. Mat dobu vletu mil na stopkch. Ur ete i vy s pesnost na sekundy, jak dlouho trvala cesta. Pedpokldejte, e Patovy hodinky a Matovy stopky ly pesn. M. Volfov

Z{9{3

Na obrzku je krychle o hran 2 cm tvoen osmi krychli kami s hranou 1 cm. Osm stn krychli ek je obarveno ern, ostatn jsou bl. Pitom z nich lze slo it krychli, jej povrch je bl. Kolika zpsoby mohou bt krychli ky obarveny? Pedpokldejte, e stejn obarven krychli ky nedok eme odli it, mohou se tedy zamnit. K. Pazourek

Z{9{4

;

Adam a Eva dostali ko k, ve kterm bylo 31 jablek. Prvn den sndla Eva ti tvrtiny toho, co sndl Adam. Druh den sndla Eva dv tetiny toho, co sndl t den Adam. Druhho dne ve er byl ko k przdn. Kolik jablek sndla z ko ku Eva? (Adam i Eva jablka jed cel a nedl se o n.) L. Hozov

Z{9{5

(idi pev mlko v cistern tvaru vlce. Prmr podstavy je 180 cm, dlka cisterny je 4 m. Kolik hl mlka je v cistern, jestli e je naplnna do t tvrtin prmru? M. Krejov 588


Z{9{6

; ;

V lichob nku ABCD se zkladnami AB a CD dlky 7 cm a 4 cm jsou body S a T stedy stran AD a BC , viz obrzek. Bod X je prse k se ek AC a ST , bod Y je prse k se ky AB a pmky DX . Obsah ty helnku AY CD je 12 cm2 . Vypo tte obsah lichob nku ABCD. M. Dillingerov

KATEGORIE Z8

Z{8{1

Napi te slo 75 jako sou et nkolika po sob bezprostedn jdoucch pirozench sel. Najdte aspo tyi e en. M. Volfov

Z{8{2

Ti kamardky se se ly na chalup a vyrazily na houby. Na ly celkem 55 hib. Po nvratu si udlaly sma enici, rozdlily ji na tyi stejn porce a pozvaly na ni kamarda Pepu. Lba dala na sma enici est ze svch hib, Maru ka osm a )rka pt. Ka d pak zbyl stejn po et hib. Pepa jim daroval bonboniru, kde bylo 38 bonb*n, a ekl, e se maj spravedliv rozdlit podle toho, jak pisply na jeho jdlo. 1. Kolik hib na la ka d? 2. Jak se mly podle Pepy podlit? M. Volfov Matematika - fyzika - informatika 18 2008/2009

589

Z{8{3

Sedadla v divadelnm slu jsou rozdlena do t kategori podle jejich vzdlenosti od jevi t. I. msta jsou nejbl e jevi ti, tvo dv ptiny kapacity slu a prodvaj se za 220 K . II. msta tvo dal dv ptiny slu a prodvaj se za 200 K . Zbvajc III. msta se prodvaj za 180 K . Ped zahjenm pedprodeje na slavnostn premiru bylo rozdno 150 vstupenek zdarma zvanm hostm. Vstupenky byly rozdvny postupn od pednch mst slu dozadu. V echny ostatn vstupenky pak byly prodny. Kdyby se v ak voln vstupenky rozdvaly postupn od zadnch mst dopedu, byla by tr ba o 4320 K vt . Kolik mst bylo v slu? L. im nek

Z{8{4

Dostali jsme krychli, kter mla dlku hrany vyjdenou v centimetrech celm slem. V echny jej stny jsme obarvili na erveno a pot jsme ji rozezali beze zbytku na krychli ky o hran 1 cm. Luk tvrd, e krychli ek se dvma obarvenmi stnami je desetkrt vce ne tch se temi obarvenmi stnami. Martina k, e krychli ek se dvma obarvenmi stnami je patnctkrt vce ne tch se temi obarvenmi stnami. Pravdu m v ak pouze jeden | kdo? A kolik mila hrana pvodn krychle? L. im nek

Z{8{5

Ze tverce o stran 6 cm odzneme od ka dho vrcholu shodn rovnoramenn pravo hl troj helnky tak, aby se obsah tverce zmen il o 32 %. Jakou velikost maj odvsny? M. Krejov

Z{8{6

Ve dvou mstnostech vzdlvacho centra se konaly pedn ky. Prmrn vk osmi lid ptomnch v prvn mstnosti byl 20 let, prmrn vk dvancti lid ve druh mstnosti byl 45 let. V prbhu pedn ky ode el jeden astnk a tm se prmrn vk v ech osob v obou mstnostech zv il o jeden rok. Kolik let bylo astnkovi, kter ode el? L. Hozov 590


KATEGORIE Z7

Z{7{1

Do prodejny vna se v noci vloupal kocour. Vysko il na polici, na n byly v dlouh ad vyrovnny lahve s vnem | prvn tetina lahv zkraje stla po 160 K , nsledujc tetina lahv stla po 130 K a posledn tetina po 100 K . Nejprve kocour shodil na zem lahev za 160 K , kter stla

pln na za tku ady, a pak postupoval dle a shazoval bez vynechn jednu lahev za druhou. Ne ho to pestalo bavit, srazil 25 lahv a ty se v echny rozbily. Rno majitel zalitoval, e kocour neza al se svm dnm na druhm okraji police. I kdyby toti rozbil stejn po et lahv, byla by

koda o 660 K men . Kolik lahv bylo pvodn na polici? L. im nek

Z{7{2

Na tabuli jsou napsan ti pirozen sla a, b, c, pro kter plat: nejvt spole n dlitel sel a, b je 15, nejvt spole n dlitel sel b, c je 6, sou in sel b, c je 1800, nejmen spole n nsobek sel a, b je 3150. Kter to jsou sla? L. im nek

Z{7{3

;

Ve ty helnku KLMN znme vyzna en hly a vme, e plat jKN j = = jLM j. Jak je velikost hlu KNM ?


L. Hozov

591

Z{7{4

; ;

Krychle byla slo ena z 64 krychli ek o hran 2 cm. Pak bylo nkolik krychli ek z viditeln strany odebrno, viz obrzek.

1. Jak je objem a jak povrch zskanho tlesa? 2. Tleso bylo po celm povrchu nateno erven, pak rozebrno na pvodn krychli ky. Kolik z nich mlo 6, kolik 5, 4, 3, 2, 1 i dnou stnu ervenou? M. Volfov

Z{7{5

Na seln ose jsou znzornna sla 12x a ;4x. Znzorni na tto ose nulu a slo x. M. Petrov

Z{7{6

Doplte msto hvzdi ek slice tak, aby sou et vsledk nsledujcch dvou pklad byl 5842: 29 27 ;254 34 40 5 -loha m vce e en, ur ete alespo dv. M. Dillingerov 592


Zajmav matematick lohy Uvdme e en loh 155 a 156, jejich zadn byla zveejnna v ptm sle tohoto (18.) ro nku na eho asopisu.

loha 155

Maenka se podvala na Pepovy znmky z matematiky. Zjistila, e kdyby se mu nezapo taly dv nejlep znmky, zhor il by se jeho prmr znmek o 0,5. Aby se mu prmr naopak zlep il o 0,5, nesmla by mu zapo tat osm nejhor ch znmek. Jak by ml Pepa prmr znmek, kdyby mu nezapo tala jednu nejlep a ti nejhor znmky? Radek Horensk een: Ozna me n (n > 8) po et v ech Pepovch znmek z matematiky, s jejich sou et, p sou et dvou nejlep ch Pepovch znmek a q sou et osmi jeho nejhor ch znmek. Jeliko se jedn o znmky kvalika n stupnice, jsou v echna tato sla pirozen a plat 2 p 10, 8 q 40, n s 5n. Skute nost, e pi nezapo tn dvou nejlep ch znmek se prmr Pepovch znmek zhor o 0,5, lze zapsat s + 1 = s;p: n 2 n;2 Tuto rovnici upravme na tvar n(n ; 2) = 4(s ; p) ; 2p(n ; 2): (1) Odtud vidme, e n je sud slo (tedy n 10). Jeliko s a p jsou sou ty nkolika znmek, plat s ; p (n ; 2)5. Odhadneme shora levou stranu ve vztahu (1) a dostaneme n(n ; 2) 20(n ; 2) ; 4(n ; 2). Odtud ji plyne, e n 16, tedy n 2 f10 12 14 16g. Ozna me navc u sou et znmek, kter Pepovi zstanou, pokud nebudeme uva ovat jeho dv nejlep a osm nejhor ch znmek. Proto e n 10 a uva ujeme znmky, plat 0 (n ; 10) u 5(n ; 10). Dle mme s = p + u + q a vztah (1) pep eme do tvaru n(n ; 2) = 4(q + u) ; 2p(n ; 2): (2) Matematika - fyzika - informatika 18 2008/2009

593

Skute nost, e pi nezapo tn osmi nejhor ch znmek se Pepv prmr zlep o 0,5, zap eme p + u + q ; 1 = p + u: n 2 n;8 Tuto rovnici upravme na tvar

n(n ; 8) = 2q(n ; 8) ; 16(p + u): (3) Pokud n = 10, potom u = 0, rovnice (2) a (3) pep eme do tvaru 80 = 4q ; 16p a 20 = 4q ; 16p. Vidme, e soustava tchto rovnic nem e en. Tedy n 2 f12 14 16g. Nyn pro tyto hodnoty n vye me soustavu rovnic (2) a (3) vzhledem k neznmm p a q. Vsledky zap eme do ta-

bulky.

n p

12

u;8

q 4u ; 10

14 u ; 15 2 2u ; 3

16 u ; 24 3 4u 3

Pokud n = 12, je 2 u 10. Vzhledem k tomu, e p 2 plat nutn u = 10, p = 2, q = 30. Ale u je sou et dvou znmek, z nich ka d nen hor ne ka d z 8 Pepovch nejhor ch znmek, proto 4u q, co

nenastane. Nalezen e en tedy nevyhovuje podmnkm zadn. Pokud

n = 14, potom 4 u 20. Vzhledem k tomu, e p 2 plat nutn u = 19, p = 2, q = 35. Ale u je sou et ty znmek, z nich ka d nen hor ne ka d z 8 Pepovch nejhor ch znmek, proto 2u q, co nenastane. Tedy

i v tomto ppad nalezen e en nevyhovuje podmnkm zadn. Pokud n = 16, potom 6 u 30. Vzhledem k tomu, e p 2 plat nutn u = 30, p = 2, q = 40. Ale u je sou et esti znmek, proto ka d z tchto znmek je 5, q je sou et osmi nejhor ch Pepovch znmek, proto ka d z nich je 5 a p je sou et dvou nejlep ch Pepovch znmek, ka d z nich je 1. Pepa tedy dostal z matematiky dv jedni ky a trnct ptek. Zv r: Kdy Maenka nezapo t Pepovi jednu nejlep a ti nejhor 14 znmky, bude prmr zbvajcch zmek roven 56 12 = 3 .

Sprvn e en zaslal Anton Hnth z Moravan a Vladimr Pavel z Blovic. 594


loha 156

Do transportnho kontejneru, jeho dno m rozmry 99 a kter m v ku 8 (v echny daje jsou v dm), je teba naskldat kazety nkolika typ: A { dno 23, v ka 1, cena 700 K /ks, B { dno 24, v ka 1, cena 1000 K /ks, C { dno 33, v ka 1, cena 1100 K /ks, S { dno 11, v ka 2, cena 200 K /ks. Przdn prostor lze vyplnit reklamnmi kazetami, kostkami R o rozmrech 111, cena 50 K /ks. Z kazet A, B , C (po jedn od ka dho z tchto t druh) lze navc po doru en kontejneru do prodejny sestavit drkov komplet K v cen 2990 K . Kazety maj bt v bedn ulo eny tak, aby: { od ka dho z druh A, B , C , S , R byl posln alespo jeden kus, { v echny kazety byly do kontejneru ulo eny dnem dol, { pi prodeji obsahu kontejneru se doshlo co nejvt tr by. Nakreslete pln ulo en kazet do jednotlivch vrstev, uvete vslednou tr bu a doka te, e je nejvy

mo n. Stanislav Trvnek een: Nejprve najdeme pro jednotliv kazety tr bu za 1 dm3 a zap eme je do tabulky. Kazeta A B C S R K Trba za 1 dm3 116 32 K 125 K 122 29 K 100 K 50 K 130 K

Z tohoto pehledu plyne, e nejvt tr bu pinese komplet K , proto je teba volit takov ulo en kazet, abychom dostali co nejvce trojic ABC . Objem pepravnho kontejneru je 648 dm3 , objem kazet kompletu K je 23 dm3 . Do kontejneru tedy vejde nejv e 28 trojic kazet ABC a zbydou je t nevyplnn 4 dm3 . Podle podmnek do nich musme ulo it je t alespo jednu kazetu S o objemu 2 dm3 a jednu kazetu R o objemu 1 dm3 . Zbvajc objem 1 dm3 zaplnme jednou kazetou R. Je vidt, e pi ka dm jinm rozmstn kazet bychom museli rozebrat alespo jeden komplet K , m bychom utrpli vt ztrtu ne je mo n zisk z nahrazen kazety R jinmi kazetami. Pokud se nm tedy poda ulo it do kontejner 28 trojic ABC , jedna kazeta S a dv kazety R, bude tr n cena takovho kontejneru nejvy

mo n. Na nsledujcch obrzcch je pklad takovho ulo en kazet do jednotlivch vrstev. Matematika - fyzika - informatika 18 2008/2009

595

;

Pitom kazeta S le v obou hornch vrstvch kontejneru. Abychom z pepravnho kontejneru zskali co nejvt tr bu, ulo me do nj kazety 2 (2A +3B +5C )+4 (5A +3B +3C )+2 (2A +5B +3C + R + 12 S ) = = 28A + 28B + 28C + 2R + S: Celkem za n utr me 28 2 990 + 2 50 + 200 = 84 020 K : Sprvn e en zaslal Anton Hnth z Moravan. Ne pln e en zaslali Frantiek Jchim z Volyn a Vladimr Pavel z Blovic. Pavel Calbek Upozorujeme tene na tradi n ro enku matematickch sout

56. ronk matematick olympidy na stednch kolch.

Publikace m 186 stran a obsahuje e en v ech loh matematick olympidy v kategorich A, B, C a P z 56. ro nku sout e, zadn v ech

loh pou itch v kategorich Z9-Z5, dle podrobn informace o v ech navazujcch mezinrodnch sout (48. IMO, 1. Stedoevropskou MO, 19. IOI a 14. Stedoevropskou olympidu v informatice). Cena ro enky je 85,- K v etn DPH a je mo no zakoupit, pop. objednat si ji na dobrku na adrese: Prodejna u ebnic a skript Univerzity Palackho, Biskupsk nm. 1, 771 11 Olomouc. V t e prodejn lze zakoupit tak vtisky star ch ro nk MO (42. ro nk MO a dle tak 49. { 55. ro nk MO). 596


No title

Recommend Documents