Elektronický výstup z projektu Perspektiva 2010 reg. č. CZ.1.07/1.3.05/11.0019
Vydalo s podporou Evropského sociálního fondu a státního rozpočtu České republiky Krajské zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků a informační centrum, Nový Jičín, příspěvková organizace, Štefánikova 7/826, 741 11 Nový Jičín. Autor na originále závěrečné práce stvrdil svým podpisem prohlášení, že tento materiál vypracoval samostatně a to včetně grafických a zvukových příloh, a dílo splňuje podmínky uvedené v § 31 zákona č. 121/2000 Sb., autorského zákona. Uveďte autora-Neužívejte dílo komerčně-Nezasahujte do díla 3.0 Česko (CC BY-NC-ND 3.0)
ÚVODNÍ SLOVO Mgr. Blanka Kozáková Projekt Perspektiva 2010 reg. č. CZ.1.07/1.3.05/11.0019, financovaný z operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost, probíhal v období let 2009 – 2011. Tento projekt byl vyústěním dlouhodobé a systematické metodické podpory pedagogickým pracovníkům, kteří se zaměřují na rozvoj ICT ve školách Moravskoslezského kraje, poskytované Krajským zařízením pro další vzdělávání pedagogických pracovníků a informačním centrem, Nový Jičín, příspěvkovou organizací. Významnou vzdělávací aktivitu projektu tvořilo dlouhodobé vzdělávání ICT lídrů. Jedním z výstupů procesu zvyšování jejich digitální gramotnosti byla závěrečná práce, která postihovala oblast, které se v ICT detailněji věnovali. Její úvodní část vždy popsala teoretická východiska a v další části se pak autoři zaměřili na praktické aspekty problému ve školské praxi. Protože se jednalo o práce rozsáhlejšího charakteru, které měly vazbu na současný stav využívání ICT ve školách Moravskoslezského kraje, shrnuli jsme tyto výstupy do motivačního sborníku zajímavých řešení, návodů, postupů a dáváme je tímto k dispozici
pedagogickým
pracovníkům
základních
a
středních
škol
Moravskoslezského kraje. Vlastní příprava závěrečných prací byla řízena v Learning Management System Moodle. Díky tomuto nástroji jsme mohli sledovat postup při zpracování, a to jak u autora práce, tak i u jeho vedoucího. Pro tento účel měli oba v prostředí LMS připraveny komunikační nástroje (fórum, chat) a termínované odevzdávání jednotlivých verzí závěrečné práce. V konečné fázi zpracování dostal do prostředí LMS přístup také oponent práce pro zpracování a vložení svého posudku. Všichni zúčastnění tak měli přehled o aktuálním stavu komunikace a zpracovaného materiálu a mohli neprodleně reagovat, pokud si to situace vyžádala. Děkujeme touto cestou všem pedagogickým pracovníkům, kteří se nechají uváděnými příklady inspirovat ke své další pedagogické práci podpořené využitím ICT ve své škole. Poděkování za vedení přípravy závěrečných prací patří celému realizačnímu týmu projektu Perspektiva 2010.
Praktická cvičebnice matematiky
Hana Mocňáková
Obsah Úvod ........................................................................................................................................... 3 1
Krátký pohled do historie ................................................................................................... 4
2
Současný stav matematiky ................................................................................................. 6
3
Matematická gramotnost v mezinárodním šetření PISA.................................................... 7
4
Matematická gramotnost v RVP ........................................................................................ 8
5
Výsledky matematické gramotnosti v mezinárodním šetření PISA................................. 11
6
Úlohy uzavřené a otevřené ............................................................................................... 12
7
Vzdělávací oblasti podle RVP.......................................................................................... 13 7.1
Číslo a proměnná ...................................................................................................... 13
7.1.1
Desetinná čísla.................................................................................................. 13
7.1.2
Celá čísla .......................................................................................................... 16
7.1.3
Racionální čísla ................................................................................................ 17
7.1.4
Poměr ............................................................................................................... 18
7.1.5
Úměra, trojčlenka ............................................................................................. 20
7.1.6
Procenta ............................................................................................................ 21
7.2
Závislosti, vztahy a práce s grafy, tabulkou ............................................................. 22
7.3
Geometrie v rovině a prostoru .................................................................................. 26
7.3.1
Rovinné útvary ................................................................................................. 26
7.3.2
Prostorové útvary ............................................................................................. 28
8
Závěr................................................................................................................................. 31
9
Resumé závěrečné práce .................................................................................................. 31
10
Literatura ...................................................................................................................... 32
11
Obrázky ........................................................................................................................ 32
12
Výsledky....................................................................................................................... 33
2
Úvod Většina ţáků naší školy pochází ze sociálně znevýhodněného a kulturně odlišného prostředí. Ve škole tak vzniklo multikulturní prostředí, coţ ovlivňuje práci s těmito ţáky. Rovněţ jsou zde vzdělávání ţáci se zdravotním postiţením (s lehkou mentální retardací). Výuka matematiky je více směřována na její praktické vyuţití v ţivotě. Tato praktická cvičebnice je určena ţákům šestého a sedmého ročníku základní školy, kteří zde naleznou příklady nejen k procvičení učiva, ale hlavně úlohy ze ţivota. Úlohy by měly být motivační pro práci ţáků mimo výuku. Kaţdý se ve svém ţivotě dostane do situace, kdy máme volit pro sebe optimální řešení (např. z finančního hlediska). Vţdyť motto těchto dětí zní: „Hlupák hromadí peníze, moudrý člověk ţije“. Matematika pronikla do všech oblastí lidského ţivota. Její postupy se aplikují i v jiných předmětech, např. fyzika, chemie, zeměpis, přírodopis. Matematické znalosti se vyvíjely po celá staletí, jejich počátky sahají od prvobytně pospolné společnosti aţ do dnešní doby. Uţ v první kapitole se seznámí ţáci s krátkým přehledem historie vzniku matematiky od pravěku, přes Egypt k antice, aţ po arabskou matematiku. Znalosti matematiků z daného období tvoří její základ. V kapitolách jsem částečně rozebrala současný stav matematiky, vymezila pojem matematická gramotnost ve výzkumu PISA a v RVP. Věnuji se rovněţ třem aspektům matematické gramotnosti podle šetření PISA a tj. kompetence, obsah, situace a kontexty v matematice. Z teorie jsem vypsala základní pojmy současné reformy vzdělávání České republiky v RVP. Základ tvoří klíčové kompetence, které jsou odlišné od kompetencí výzkumu PISA. V této praktické cvičebnici jsou zpracovány tři oblasti předmětu matematika a její aplikace. V následující kapitole jsou porovnány výsledky výzkumu PISA z roku 2009. Zúčastnili se ho patnáctiletí ţáci ze členských a partnerských zemí OECD. Výzkum je zaměřen na čtenářskou, matematickou a přírodovědnou gramotnost. Upozorňuji zde na zhoršení výsledků ČR vzhledem k ostatním zemím. Matematické úlohy v této cvičebnici jsou otevřené a uzavřené. Můţete se seznámit s jejich dalším dělení, s klady a zápory těchto úloh. Dvě třetiny cvičebnice tvoři příklady k procvičení oblasti číslo a proměnná, závislosti, vztahy a práce s daty, geometrie v rovině a prostoru. Příklady jsou sestaveny pro jejich vyuţití v ţivotě. Některé zadání vyţaduje práci s počítačem.
3
1 Krátký pohled do historie Matematika je věda o kvantitativních a prostorových vztazích. B. S. W. Russel povaţoval matematiku za konstrukci vytvářenou čistým rozumem, jiní autoři pokládají matematiku především za filozofii nebo také za druh umění, v němţ klíčovou roli hrají estetická kritéria. Patří k nejstarším vědním oborům a její rozvíjení souviselo s praktickou činností lidí. Základní elementární poznatky z aritmetiky a geometrie se objevily na samém počátku kulturního vývoje, jako například různé obchodní úlohy, vyměřování a dělení pozemků, ve stavebnictví a měření času. Historie matematiky sahá aţ do pravěku, kdy vznikl první abstraktní pojem – přirozená čísla. Počítání předmětů se omezovalo na mnoţství dvou aţ tří, později čtyř aţ pěti kusů. Další číslovky znamenající nejdřív neurčitě mnoho, vznikaly pomalu. Při počítání se vyuţívalo vzájemně jednoznačného přiřazování dvou mnoţství. První směnný obchod probíhal výměnou ekvivalentů vzájemně jednoznačným přiřazením (např. jeden kmen nabídl ke směně tři kůţe za dva kusy pazourku). Dokladem z této doby je vrubovka, která patří k početním instrumentům lidí dané doby. Věstonická vrubovka je 18 cm dlouhá vřetenní kost mladého vlka s 55 vrytými zářezy. obr. 1 Věstonická vrubovka
Mnoho poznatků tohoto druhu bylo známo ve starověkém Egyptě a v Mezopotámii. Matematika starověkého Egypta se rozvíjela společně s rozvojem egyptské civilizace od 4. tisíciletí př. n. l. První číselná symbolika se objevuje asi 3000 let př. n. l.. Slouţila pouze k praktickým účelům, jako abstraktní věda nebyla ještě vyvinuta. Vědou se zpočátku zabývali kněţí, kteří četli a psali, později písaři. Vzdělání v té době bylo dostupné jen dětem muţe s dostatečně vysokým stavem, bohatstvím nebo kastě. Tak vznikal základ materiálního původu matematiky. Egypťané dokázali sčítat, odčítat, násobit, dělit, počítat se zlomky i řešit některé sloţitější aritmetické a geometrické problémy. Objevují se úvahy o výpočtech obsahu rovinných obrazců (obdélníku, trojúhelníku a kruhu). Jasným důkazem matematických znalostí jsou egyptské pyramidy, vybírání daní, sčítání lidu, tvorba kalendáře. Egypťané pouţívali desítkovou číselnou soustavu, kde existovaly znaky pro mocniny desíti od 100 do 106. Z Mezopotámie pocházejí první písemné památky v dějinách lidstva a z období 2 200 aţ 1 800 př. n. l. se dochovalo velké mnoţství matematických tabulek, které ukazují pokročilý stupeň rozvoje mezopotamské algebry i geometrie a také to, ţe matematika má opravdu dlouhou historii. V té době byly objeveny důleţité algoritmy pro řešení rozmanitých úloh.
4
K násobení pouţívali důmyslné komplety tabulek, k dělení převáděli na násobení převrácenou hodnotou. Při řešení úloh pracovali s přirozenými čísly a s kladnými šedesátinnými zlomky. Samostatnou kapitolou jsou astronomické tabulky chaldejských počtářů, které svědčí o jejich nevšedních početních znalostech a dovednostech. Světu do dneška zanechali šedesátkovou soustavu (čas, úhly), rozdělení kruhu na 360 0 , dne na 24 hodin, hodiny na 60 minut a minuty na 60 sekund. Indická matematika byla ve své době obdivuhodně rozvinutá. Způsobila velký zlom ve vývoji matematiky. Světu přinesla především poziční systém. Existovaly symboly pro prvních devět číslic. Byly vytvořeny podmínky pro vytvoření soustavy se základem 10. Obrovským objevem indických matematiků se stala v 9. stol. př. n. l. nula. Kromě toho skvěle ovládli počítání se zlomky. Umocňovali dvěma a třemi, znali a pouţívali trojčlenku. Velký rozvoj matematika prodělala v antickém Řecku, kde výrazných úspěchů dosáhla zejména geometrie. V nových společenských podmínkách řecké otrokářské demokracie se začalo rozvíjet logické uvaţování, coţ umoţnilo vznik axiomaticko-deduktivní výstavby matematických teorii s logickým způsobem dokazování platnosti jednotlivých vět. Vůdčí osobností mezi ranými řeckými matematiky je Pythagoras, zakladatel matematické vědy, který vyslovil nejslavnější rovnici v klasické matematice známou jako Pythagorova věta. Jeho škola se zabývala studiem tzv. pythagorejských trojúhelníků. Pythagorejci zkoumali vztahy mezi čísly a vnesli do matematiky systematičnost. Zájem řeckých matematiků o geometrii vrcholí v práci Eukleida. Nejproslulejší knihou se staly jeho Základy, v originále Stoichea ze 3. století př. n. l. Vzniká matematický důkaz, v Řecku v souvislosti s geometrií. Ty další dva tisíce
let
určovaly
evropské
geometrické
myšlení. Dalším významným učencem antiky byl Archimédes, který objevil mnoho zákonů matematiky a fyziky. Věnoval se metodám výpočtu ploch a objemů těles. Obr.2 Fragment textu Eukleidových Základů
Do 14. století byla Čína v oblasti matematiky nejrozvinutější zemí světa. V 1. století byl v čínské matematické knize objasněn pojem o záporném čísle a principy přičítání, odčítání. Arabská matematika byla nejvíce ovlivněna matematikou mezopotámskou, řeckou a indickou. Z egyptského světa převzala tradici numericky náročných výpočtů a především důraz na uţití matematiky v praktickém ţivotě. Arabská matematika pouţívala desítkový 5
poziční systém. Z indického systému převzali číslice. Protoţe do Evropy se dostaly prostřednictvím Arabů, jsou dnes známé jako arabské číslice. Arabská, čínská a indická matematika během středověku evropskou co do šíře znalostí značně předstihla. V Evropě nastal rozvoj matematiky v renesanci.
2 Současný stav matematiky Současná výuka matematiky má vést ţáky k uţití matematických znalostí v praktickém ţivotě. Avšak zájem o tuto vědu neustále klesá, ozývají se i hlasy pro omezení rozsahu učiva matematiky na základní škole. Přesto však tato věda můţe napomáhat řešit problémy společenské a osobní. Vznikl nový pojem matematická gramotnost. Podle RVP pro základní vzdělávání se uvádí v charakteristice vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace: „Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace v základním vzdělávání je založena především na aktivních činnostech, které jsou typické pro práci s matematickými objekty a pro užití matematiky v reálných situacích. Poskytuje vědomosti a dovednosti potřebné v praktickém životě a umožňuje tak získat matematickou gramotnost. Pro svoji nezastupitelnou roli prolíná celým základním vzděláváním od 1. až po 9. ročník a vytváří předpoklady pro další úspěšné studium.“[Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání, Praha: VÚP, 2005]. S pojmem matematická gramotnost se teď často setkáváme ve sdělovacích prostředcích, které zajímají důvody špatných výsledků našich ţáků v mezinárodním výzkumu matematické gramotnosti PISA. Výzkum PISA nevychází z učebních osnov zúčastněných zemí, ale z rámcových koncepcí hodnocených oblastí. Rámcové koncepce kladou důraz především na ty aspekty školního učiva, které budou dnešní patnáctiletí ţáci potřebovat pro své budoucí uplatnění v osobním, profesním i občanském ţivotě. Vyzdvihují funkční uţívání znalostí a velkou pozornost věnují rozpracování klíčových dovedností. Hlavním záměrem tohoto výzkumu je zjišťování matematické gramotnosti patnáctiletých ţáků, klade důraz na její aplikaci a na dovednosti s tím spojené. Matematická gramotnost je schopnost jedince poznat a pochopit roli, kterou hraje matematika ve světě, dělat podloţené úsudky a proniknout do matematiky tak, aby pomáhala naplňovat jeho ţivotní potřeby jako tvořivého, zainteresovaného a přemýšlivého občana. Je chápaná jako soubor vědomostí a dovedností nezbytných pro ţivot. V širším smyslu je „Matematická gramotnost definována jako způsobilost aplikovat matematické vědomosti, dovednosti a porozumění v autentických situacích. Autentickou
6
situací se rozumí situace, která je založena na opravdové zkušenosti účastníků v dané realitě světa. Důležitou součástí definice matematické gramotnosti je aplikace matematiky v nejrůznějších situacích. Takové situace vznikají v osobním životě, ve škole, při práci a ve sportu (ve volném čase obecně), v obci a ve společnosti v rámci každodenního života nebo při řešení vědeckých problémů“ [http://daidalos.ff.cuni.cz].
3 Matematická gramotnost v mezinárodním šetření PISA Matematická gramotnost podle PISA je vymezena jednotným způsobem pomocí tří aspektů: 1. Postupy, které jsou aplikovány při řešení nějakého úkolu (kompetence) 2. Obsah (konkrétní vědomosti), na kterém jsou dané postupy aplikovány 3. Typ situace, při níţ jsou vědomosti a dovednosti aplikovány (situace a kontexty) ad 1) Vymezení matematických kompetencí
Matematické uvaţování - schopnost přemýšlet a odůvodňovat: ţák má umět si poloţit otázku, která ho navede k řešení příkladu.
Matematická argumentace - ţák pouţívá matematické důkazy vhodné k řešení příkladu.
Matematická komunikace - při řešení daného problému se vyjadřuje jednoznačně a srozumitelně, ústně i písemně.
Modelování: ţák je schopen strukturovat řadu situací do modelů, pouţívat, vytvářet a kriticky hodnotit.
Vymezování problémů a jejich řešení: ţák rozpozná a formuluje problém, řeší různými metodami.
Uţívání matematického jazyka - pouţívat symboly, formální a technický jazyk a matematické operace, ţák chápe vztah mezi formálním jazykem a běţnou řečí.
Uţívání pomůcek a nástrojů - ţák pouţívá k výpočtu informační technologie a nástroje, které mu umoţní dojít k výsledku.
7
ad 2) Obsah je definován pomocí širších matematických témat, prostřednictvím nichţ byly klasifikovány úlohy:
Kvantita – význam čísel, operace s čísly, všechny obory čísel, velikost čísel, počítání zpaměti, odhady, míra.
Prostor a tvar – orientace v prostoru, rovinné a prostorové útvary, jejich vlastnosti, konstrukce a zobrazování útvarů, geometrická zobrazení.
Změna a vztahy – závislosti, proměnná, základní typy funkcí, rovnice a nerovnice, ekvivalence, dělitelnost, inkluze, vyjádření vztahů symboly, grafy, tabulkou
Neurčitost
–
sběr
dat,
jejich
analýza,
prezentace
a
znázorňování,
pravděpodobnost a vyvozování závěrů. ad 3) Typ situace a kontextu je prezentován různými ţivotními situacemi, do nichţ jsou zasazeny problémy, které mají ţáci řešit a aplikovat tak získané vědomosti a dovednosti. Jedná se o situace:
Z osobního ţivota.
Z pracovního a sportovního prostředí.
Z širšího společenského prostředí.
Z vědeckého prostředí.
4 Matematická gramotnost v RVP Matematické vzdělání má poskytovat ţákům vědomosti a dovednosti, které jsou potřebné v praktickém ţivotě, aktivně se má vyuţívat v reálných situacích. Sloţky matematické gramotnosti se rozvíjí přes vzdělávací obory: informační a komunikační technologie, člověk a jeho svět, člověk a příroda. Matematické vzdělávání zahrnuje: - osvojování základních matematických pojmů, - vytváření zásoby matematických nástrojů, - rozvíjení zkušeností s řešením úloh a problémů, - provádění rozborů problémů, - zpřesňování vyjadřování a zdokonalování grafického projevu, - rozvíjení logického myšlení a úsudku.
8
Praktická cvičebnice je členěná na aritmetickou a geometrickou část. Zaměřuje se na vytváření vědomostí, znalostí a dovedností. Pozornost je věnována na aplikace a vyuţití matematických znalostí v řešení praktických příkladů. Při formulaci úkolů se přihlíţí k potřebám ţáků se sníţenými vlohami k matematice, náročnější úkoly rozvíjejí talent u ţáků nadaných matematikou. Vzdělání v RVP vychází z cílových klíčových kompetencí ţáků, respektive z jejich vytváření prostřednictvím konkrétně vzdělávacích obsahů. Matematické vzdělávání zahrnuje čtyři tematické okruhy: - číslo a proměnná, - závislosti, vztahy a práce s daty, - geometrie v rovině a v prostoru, - nestandardní aplikační úlohy a problémy. Pro základní vzdělání jsou dány tyto kompetence:
Kompetence k učení: - ţák si osvojí, rozvine vyuţití matematických operací v rozsahu učiva obsaţeného ve cvičebnici, - ověří si potřebnost a uţitečnost matematických znalostí pro ţivot, - vyhledává
a
třídí
informace,
na
základě
jejich
pochopení,
propojení
a systematizace je efektivně vyuţívá v procesu učení, tvůrčích činnostech a praktickém ţivotě, - propojením školních předmětů získává komplexnější pohled na matematické, přírodní, společenské a kulturní jevy, hledá mezi nimi souvislosti, - ţák se učí reálně hodnotit svůj vlastní výkon v matematice, své schopnosti.
Kompetence k řešení problémů: - ţák si osvojuje algoritmus řešení problémových úloh, učí se nacházet taktiku a pomoc pro zvládání problémových úkolů, - vyhledává informace vhodné k řešení problému, nachází jejich shodné, podobné a odlišné znaky, vyuţívá vědomosti a dovednosti k objevování různých variant řešení, - samostatně posuzuje správnost nalezeného řešení, provádí zkoušky a ověřuje, - hledá a vytváří další úlohy, které je moţné řešit nalezeným způsobem.
Kompetence komutativní - formuluje a vyjadřuje své myšlenky v logickém sledu, vyjadřuje se výstiţně, souvisle a kultivovaně v písemném a ústním projevu,
9
- naslouchat jiným při prezentaci jiných návrhů řešení, kooperovat a přiměřeně se přizpůsobit taktickým rozhodnutím pracovní skupiny, - učí se přiměřenými prostředky prosadit svůj názor a svůj návrh řešení, - zdokonaluje se v dovednosti prezentovat výsledky práce své i celé pracovní skupiny, - komunikuje při řešení úloh a problémů, formulací svých myšlenek prohlubuje porozumění pojmů, vnímá vztahy a souvislosti, - vyuţívá informační technologie a práce s PC.
Kompetence sociální a personální: - účinně spolupracuje v různorodých skupinách při řešení úloh, problémů či projektů, - mění si role při práci ve skupinách, - respektuje názory a myšlenky jiných, - podílí se na utváření příjemné atmosféry v týmu, v případě potřeby poskytne pomoc nebo o ni poţádá.
Kompetence občanské: - má pozitivní vztah a úctu ke kulturním hodnotám předchozích generací i k současnosti, k environmentálním problémům, poţadavkům na kvalitní ţivotní prostředí, - prostřednictvím spolupráce a kompetice při plnění úkolů a v průběhu výuky se ţák učí uvědomovat si své schopnosti a svou cenu, - přejímá zodpovědnost za svou práci, za práci ve skupině, - ověřují svá řešení, zodpovídají za ně.
Kompetence pracovní: - v hodinách matematiky je pracovní atmosféra, pasivita se netoleruje, - učí se trpělivosti a prohlubuje své volní vlastnosti, protoţe při řešení některých matematických úloh je nutné intenzivní pracovní nasazení, - uvědomuje si matematiku a svůj výkon v ní jako předpoklad svého budoucího profesního uplatnění, mimo jiné také prostřednictvím propojení s informatikou, s PC, - pouţívá bezpečně a účinně materiály, nástroje a vybavení.
10
5 Výsledky matematické gramotnosti v mezinárodním šetření PISA Mezinárodní šetření PISA probíhalo v letech 2003, 2006, 2009 u ţáků v posledním ročníku povinné základní docházky. V matematické gramotnosti se zkoumá soubor dovedností a vědomostí, které jsou nezbytné pro ţivot. Gramotnost se vymezuje pomocí těchto aspektů:
Postupy, které se aplikují při řešení daného úkolu.
Obsah, na kterém jsou dané postupy aplikovány.
Typ situace, při které jsou vědomosti a dovednosti aplikovány. Postupy jsou reprezentovány typem myšlenkových dovedností pouţívaných při řešení
úloh. Tyto dovednosti jsou členěny do tříd:
První třída obsahuje dovednost provádět jednoduché výpočty a aplikovat jednoduché vzorce a definice.
Pro druhou třídu je typické, ţe ţáci musí při řešení úloh propojovat a integrovat různé matematické postupy.
Třetí třída rozpoznává matematické prvky v situacích, kde nejsou na první pohled zřejmé, analýzu a interpretaci výsledků a předkládání matematických argumentů včetně důkazů a zobecnění.
V matematické části testu byl výsledek českých ţáků průměrný. Výsledky českých ţáků se však v období od roku 2003 do roku 2009 zhoršily nejvíce ze všech zemí, které se obou cyklů výzkumu zúčastnily. Více neţ pětina českých ţáků nemá osvojeny základní matematické kompetence. Chlapci se zhoršili mnohem více neţ dívky. V roce 2009 si nejlépe vedli korejští (546 bodů) a finští (541 bodů) ţáci. Velkého úspěchu dosáhli ţáci z čínských provincií Šanghaj a Hong Kong, Čína se tohoto testování zúčastnila poprvé. Čeští ţáci získali 493 bodů a umístili se pod průměrem zemí OECD (496 bodů). Pokles výsledků v České republice o 24 bodů byl největší ze všech 40 zemí. Chlapci se zhoršili od roku 2003 do roku 2009 o 29 bodů (z 524 na 495), dívky o 19 bodů (z 509 na 490). 22,3% ţáků nemá osvojeny základní matematické znalosti a dovednosti. Tyto velké změny ve výsledcích zúčastněných zemí posunuly Českou republiku na poslední místo.
11
6 Úlohy uzavřené a otevřené V této cvičebnici bude ţák pracovat s matematickou úlohou otevřenou i uzavřenou. V úlohách uzavřených je ţákovi nabízeno několik alternativ, z nichţ ţák vybírá jednu i více správných. Mezi uzavřené úlohy patří: - úlohy s dvojčlennou volbou odpovědí (dichotomické), - úlohy s výběrem odpovědí (multiple choice úlohy), - úlohy s vícenásobným přiřazením, - úlohy přiřazovací, - úlohy uspořádací. Výhody uzavřených úloh:
Vyhodnocení je objektivní, jednoznačně se určí, zda je odpověď správná, nebo nesprávná.
Rychlé vyhodnocení odpovědí.
Úlohy jsou vhodné pro ţáky, kteří mají potíţe s formulací odpovědí.
Nevýhody uzavřených úloh:
Některé dovednosti produktivní povahy se nedají.
Znevýhodňují nepozorné, roztrţité a hloubavé ţáky, kteří nad alternativami v zadání znejistí a hledají v nich „chyták“.
Je zde pravděpodobnost uhodnutí správné odpovědi hlavně u úloh s malým počtem alternativ (2,3).
Nelze sledovat myšlenkový postup řešení.
Ţák můţe opisovat.
Ve výuce se pouţívají málo.
Otevřené úlohy vyţadují, aby ţák sám odpověď vytvořil. Odpověď můţe být slovo, číslo, výpočet, jedna věta nebo i delší text. Mezi otevřené úlohy řadíme: - úlohy se stručnou odpovědí, - úlohy se širokou odpovědi. Výhody otevřených úloh:
Některé dovednosti se dají testovat výhradně otevřenými úlohami.
Při formulaci odpovědi musí ţáci pouţívat odbornou terminologii.
12
Autor úlohy pozná z ţákovských odpovědí, nakolik ţák porozuměl zadání, zda byla úloha obsahově nebo konstrukčně chybná, či nikoli.
Nevýhody otevřených úloh:
Otevřená úloha musí být jednoznačně zadaná, aby nedošlo ke špatnému pochopení zadání úlohy.
Čím je úloha více otevřená, tím je obtíţnější její objektivní hodnocení. Vyuţívá více kritérií hodnocení, nehodnotí se pouze „správně - nesprávně“.
Komunikačně slabší ţáci neumí správně zformulovat odpověď a tím nejsou plně hodnoceni.
Náročné a pracné je sestavení podmínek hodnocení pro všechna (moţná i „nemoţná“) řešení.
Hodnocení je časově náročnější a vyţaduje od hodnotitele umění čtení ţákova rukopisu.
7 Vzdělávací oblasti podle RVP 7.1 Číslo a proměnná V daném tematickém okruhu si ţák osvojí aritmetické operace v jejich třech sloţkách: dovednost provádět operaci, algoritmické porozumění a významové porozumění. Učí se získávat číselné údaje odhadováním, výpočtem a zaokrouhlováním.
7.1.1 Desetinná čísla Výstupy: ţák: - zaokrouhluje a provádí odhady s danou přesností - počítá s desetinnými čísly - řeší jednoduché problémy a modeluje konkrétní situace pomocí desetinných čísel
13
1. Vybírejte odhadem správnou cenu: 1 m látky stojí:
a)
43 Kč, za 6,2 m zaplatíme
214,00 Kč 267,00 Kč 320,00 Kč
A B C
54 Kč, za 9,4 m zaplatíme
A B C
34 Kč, za 6,4 m zaplatíme
508,00 Kč 609,00 Kč 811,00 Kč
A B C
218,00 Kč 261,00 Kč 347,00 Kč
63 Kč, za 6,2 m zaplatíme
A B C
313,00 Kč 391,00 Kč 469,00 Kč
1 m koberce stojí:
b)
1700 Kč, za 4,3 m zaplatíme
A B C
5 848,00 Kč 7 310,00 Kč 8 772,00 Kč
1400 Kč, za 8,4 m zaplatíme
A B C
1300 Kč, za 4,3 m zaplatíme
9 408,00 Kč 11 760,00 Kč 14 112,00 Kč
A B C
4 472,00 Kč 5 590,00 Kč 6 708,00 Kč
1600 Kč, za 8,6 m zaplatíme
A B C
13 760,00 Kč 14 448,00 Kč 19 264,00 Kč
2. Určete součet desetinných čísel odhadem: a) 44,98 + 205,27
A B C
250,25 250,025 251,25
3,6 + 0,118
A B C
0,0186 + 8,303
2,748 3,718 3,812
A B C
8,321 6 8,331 7,421 6
49,046 + 150,954
A B C
200,0 199,0 199,996
b) 65,55 + 307,04
A B C
372,59 372,559 371,59
3,4 + 0,237
A B C
0,0221 + 4,804
3,534 3,637 2,647
A B C
3,726 1 4,826 1 4,816
39,186 + 60,814
A B C
100,0 99,994 99,0
3. V obchodě koupila Jana 2,6 kg pomerančů po 23 Kč, 0,65 kg vysočiny po 79 Kč, 0,25 kg sýra po 95 Kč a 3 kg brambor po 19 Kč. Kolik váţil celý nákup? Stačilo Janě na nákup 200 Kč? 4. David měl uspořeno 158 Kč. Šel si koupit kuličky za 38,50 Kč, pexeso za 27 Kč, kvarteto za 73 Kč. Odhadněte cenu nákupu, vypočítejte, kolik Kč David zaplatí a kolik Kč mu zůstane. 5. Do skladu vozí nákladními auty brambory. První den přivezli 90,2 t, druhý den o 8,4 t více neţ první den, třetí den polovinu prvního dne, čtvrtý den o 60,5 t méně neţ druhý a třetí den dohromady. Kolik tun brambor je ve skladišti čtvrtý den?
14
6. Třída o počtu 26 ţáků připravuje občerstvení na večírek. K tomuto účelu zakoupila 6 vek o hmotnosti 0,125 kg/ks, 600 g sýru eidam, 0,75 kg šunky, 1 kg vlašského salátu. a) Jakou hmotnost měl nákup? b) Zjistěte ceny jednotlivých surovin a vypočítejte, kolik zaplatili celkem? c) Kolika korunami přispěl kaţdý ţák na občerstvení? 7. Určete rozdíl desetinných čísel odhadem a) 1 – 0,412
A B C
0,412 0,688 0,588
78,77 – 30,84
A B C
402,32 – 13,6
57,93 43,62 47,93
A B C
388,72 415,92 308,82
32,2 – 26,06
A B C
6,6 6,14 5,141
b) 1 – 0,611
A B C
0,389 0,489 0,611
75,27 – 20,86
A B C
103,79 – 26,2
64,41 49,51 54,41
A B C
77,59 70,58 129,99
32,3 – 18,05
A B C
14,25 15,25 4,28
8. Určete součin a podíl odhadem a) 20,7 · 72
A B C
1 311,4 1 490,4 1 594,7
4,03 · 39
A B C
7,62 : 3,81
131,57 144,59 157,17
A B C
2 1,2 14,0
190,08 : 7,2
A B C
11,8 26,4 39,4
b) 3,06 · 4,8
A B C
14,688 16,009 17,938
2,03 · 6,2
A B C
2 30,40 : 4,80
11,206 12,586 13,844
A B C
15
43,8 9 48
1 121,8 : 79
A B C
32 69 14,2
9. Jana si potřebuje zakoupit pomůcky do vyučování. V papírnictví měla tyto moţnosti: Jana zakoupila 2 gelová péra, 3 mikrotuţky, 1 kruţítko a 1 sadu fixů a) Jakou nejmenší sumu mohla zaplatit? b) Jakou největší sumu zaplatila? c) Stačilo ji vţdy k nákupu 150 Kč? Nejmenší cena
Největší cena
Gelové péro
17 Kč
34 Kč
Mikrotuţka
7,50 Kč
11 Kč
Sada fixů
14 Kč
27 Kč
Kruţítko
17 Kč
46 Kč
10. Ţáci v hodině tělesné výchovy běţeli 200 m na čas: Petr 33,5 s
Jan 32,9 s
David 35,7 s
Igor 34,6 s
Pavel 38,0 s
Ivo 35,4 s
Ivan 34,6 s
Marek Radek 33,8 s 36,5 s
Lukáš 36,1 s
Mirek 35,0 s
a) Sestavte pořadí ţáků podle výkonu. b) Vypočítejte aritmetický průměr.
7.1.2 Celá čísla Výstupy: ţák: - ţák rozlišuje kladné a záporné hodnoty čísel, čísla opačná - rozumí pojmu absolutní hodnota a umí ji určit - řeší jednoduché problémy a modeluje konkrétní situace pomocí celých čísel 1. Říkejte výsledky: - 17 + 8 =
- 20 + (- 18) =
15 – 17 =
- 1 – 5 + (- 8) =
8 – 17 =
- 3 + 11 =
- 8 – 12 =
9 – 6 – 12 =
- 14 – 15 =
17 – (- 5) =
7 – 51 =
- 6 – 4 – (- 5) =
9 – 12 =
- 17 + (- 20) =
- 18 – 17 =
13 + (- 9) – 20 =
16
-3·7=
6 · (- 4) =
- 63 : 9 =
- 2 · 6 · (- 5) =
8 · (- 9) =
- 7 · (- 11) =
110 : (- 10) =
18 : (- 2) · 3 =
25 · (- 3) =
- 5 · (- 6) =
- 26 : (- 2) =
- 99 : 3 · (- 2) =
- 54 · (- 4) =
48 : (- 8) =
155 : (- 5) =
- 9 · (- 6) – (- 61) =
3 7
6 ·8
6 8 3 11
3 2
17 3 : 7
56 48
3 8 10
9 11 15
2. Soukromý podnikatel má na účtu 68 000 Kč, zaplatí fakturu 46 000 Kč, nájem svého pracoviště 10 500 Kč a mzdu pracovnice 12 000 Kč. Jaký je stav jeho konta? 3. Nejvyšší hora ČR Sněţka měří 1 602 m n. m. a nejniţší místo má 115 m n. m.. Na naší planetě je nejvyšší místo Mount Everest s 8 850 m n. m. a nejniţší se nachází v Mariánském příkopu 10 924 m p. m.. Vypočítej výškový rozdíl: a) Vypište všechny moţnosti porovnání výškových rozdílů. b) Vypočítejte jejich vzájemný výškový rozdíl. 4. Čtyřčlenná rodina (rodiče + 2 děti) má na běţném účtu naspořeno 29 000 Kč. Kaţdý měsíc ušetří 1 500 Kč. Za rok si chtějí dle svých moţností koupit dovolenou v Řecku nebo v Bulharsku. Pobyt v Řecku na 1 dospělou osobu stojí 14 000, dítě 8 000 Kč, v Bulharsku poukaz pro dospělou osobu stojí 11 500 Kč, dítě 7 500 Kč. Kromě zaplacení dovolené v cizině, potřebují kapesné v cizí měně v hodnotě 7 000 Kč. Vypočítejte, kterou dovolenou si zakoupí a jejich rozhodnutí zdůvodněte.
7.1.3 Racionální čísla Výstupy: ţák: - rozumí pojmu racionální číslo - uţívá různé způsoby kvantitativního vyjádření vztahu celek – část 1. Láďa dojíţdí denně do školy autobusem. Jízdné ho stojí tam a zpět celkem 12 Kč. Ţákovská měsíční jízdenka:
a) 30denní 84 Kč. b) 90denní 228 Kč. c) 5měsíční 345 Kč.
Která moţnost je pro Láďu výhodnější? Kolik Kč můţe ušetřit za měsíc (20 školních dní měsíčně)?
17
2. Lepící hmota na dlaţbu se prodává v balení po 20 kg. Kolik pytlů můţete najednou odvést přívěsným vozíkem, který má nosnost 490 kg? 3. Vypočítejte zpaměti: 98 + 102 =
54 – 39 =
39 · 6 =
65 : 6 =
1 587 + 400 =
617 – 15 =
45 · 0 =
92 : 4 =
2800 + 3 500 =
7 954 – 540 =
230 · 5 =
245 : 5 =
29 + 54 + 11 =
752 – 638 =
254 · 40 =
3 600 : 30 =
4. Doplňte znaky =, > nebo < tak, aby zápis byl pravdivý: a) 623 + 58
624 + 59
b) 36 : 12
63 – 48
c) 6 · 32
48 : 3
d) 29 + 245
254 + 29
e) 34 · 20
700 – 54
f) 12 · 25
20 · 3
g) 5 · 136
1360 : 2
h) 35 · 3
20 : 3
i) 6 · 6 + 4
6·7
5. Vypočítejte: a) Jedna třetina celku je 8 m, jak velký je celek?
g) Kolik je dvanáct sedmin z 252?
b) Sedm desetin z celku je 5,6 t, jak velký je celek?
h) Kolik je šest čtvrtin z 2,4 m?
c) Dvanáct osmin z celku je 288 m, jak velký je celek?
i) Kolik je osm devítin z 621?
d) Devět setin z celku je 144, jak velký je celek?
j) Kolik je sedm osmin z 1 128?
e) Tři čtvrtiny z celku je 624, jak velký je celek?
k) Kolik je pět čtvrtin z 248:
f) Dvě třetiny z celku je 423, jak velký je celek?
l) Kolik jsou tři pětiny z 650?
7.1.4 Poměr Výstupy: ţák: - rozumí dělení celku na části v určitém poměru, chápe poměr, měřítko zmenšení/zvětšení - zapíše a upraví daný poměr - změní/rozdělí základ v daném poměru 1. Vyjádřete poměr v základním tvaru: a) 18 : 24
16 : 80
120 : 720
315 : 400
b) 117 : 63
125 : 50
0,3 : 0,8
0,5 : 0,10
c) 1,8 : 5,4
6 : 3,6
1 : 0,05
7 : 2,1
d) 0,25 : 5
3 4 : 5 5
3,6 : 6
1 1 : 6 3
18
e)
4 1 : 8 4
1 2 2 :4 5 5
90 : 8,1
1 890 : 2 520
2. Vypočítejte: a) Zvětši číslo 7 v poměru 4 : 1.
Zvětší číslo 455 v poměru 10 : 7.
b) Zvětši číslo 14 v poměru 5 : 2.
Zmenši číslo 20 v poměru 1 : 2.
c) Zmenši číslo 56 v poměru 7 : 8.
Změň číslo 200 v poměru 3 : 4.
d) Změň číslo 565 v poměru 3 : 2.
Zvětši číslo 180 v poměru 4 : 3.
e) Změň číslo 2 430 v poměru 7 : 9.
Změň číslo 37 v poměru 99 : 100.
f) Změň číslo 1000 v poměru 1 : 0,8.
Změň číslo 66 v poměru 10 : 60.
3. Rozdělte zpaměti dané číslo v daném poměru: a) 27 v poměru 1 : 2
54 v poměru 5 : 4
b) 150 v poměru 7 : 8
104 v poměru 3 : 1
c) 250 v poměru 4 : 6
600 v poměru 7 : 8
d) 396 v poměru 1 : 3 : 8
48 v poměru 3 : 2 : 4
e) 160 v poměru 5 : 6 : 2 : 7
2 700 v poměru 1 : 2 : 6.
4. Mosaz je slitina mědi a zinku v poměru 3 : 2. kolik gramů mědi a kolik gramů zinku obsahuje odlitek o hmotnosti 3,5 kg? 5. Tři pracovníci obdrţeli odměnu v celkové sumě 18 000 Kč. Podle vykonané práci jsi ji rozdělili v poměru 4 : 5 : 6. Kolik Kč obdrţel kaţdý? 6. Primalex na malování se ředí vodou v poměru 2 : 3 (barva : voda). Doplň tabulku: Primalex
1l
5,6 l
7,5 l
15 l
40 l
Voda 7. Strany obdélníkové zahrady jsou v poměru 4 : 5, její obvod je 288 m. Mohou být rozměry zahrady: a) 64 m a 80 m
ANO – NE
c) 80 m a 64 m
ANO - NE
b) 160 m a 64 m
ANO – NE
d) 128 m a 160 m
ANO – NE
8. Úspory tří sourozenců Jany, Denise a Petra jsou v postupném poměru 2 : 13 : 11. Jana měla uspořeno 2 364 Kč. Kolik měli sourozenci naspořeno celkem? 9. Čtyři čísla jsou v postupném poměru 3 : 5 : 8 : 9 . Nejmenší z nich je 294. Urči zbývající čísla.
19
10. Obdélníkový sad je 150 m dlouhý a 80 m široký. V jakém poměru se změní délka celého oplocení tohoto sadu, kdyţ se jeho šířka zvětší v poměru 5 : 4 a délka zmenšila v poměru 9 : 10?
7.1.5 Úměra, trojčlenka Výstupy: ţák: - chápe úměru jako rovnost dvou poměrů, vypočítá neznámý člen úměry - chápe trojčlenku a vyuţívá ji k řešení úloh z praxe - prakticky pouţívá pravoúhlou soustavu rovnic 1. Zjistěte, zda se jedná o úměru: a) 8 : 12 = 6 : 9
ANO – NE,
4 : 5 = 10 . 14
ANO – NE
b) 4,5 : 6 = 4 : 8
ANO – NE,
40 : 30 = 20 : 15
ANO – NE
c) 3,6 : 2,4 = 1,2 : 0,8
ANO – NE,
1,6 : 2,4 = 2 : 3
ANO – NE
2. Vypočítejte neznámý člen úměry x: a)
x : 300 = 7 : 60
b) 5 : 9 = 3 : x
c)
x : 21 = 15 : 35
d) x : 8 = 10 : 4
d) 1,6 : 10 = x : 8
e)
36 : x = 9 : 8
f) 2 : x = 5 : 16
g)
h) x : 4 = 2,5 : 8
3 : 4 = 4,5 : x
3. Rozhodněte, zda se jedná o úměru, pokud ano, tak o kterou: a) Délka hrany krychle a její povrch.
ANO NE PÚ NÚ
b) Výška člověka a jeho stáří.
ANO NE PÚ NÚ
c) Délka strany rovnostranného trojúhelníku a jeho obvod. ANO NE PÚ NÚ d) Hmotnost zboţí a jeho cena.
ANO NE PÚ NÚ
e) Ujetá vzdálenost a spotřebovaný benzín v litrech.
ANO NE PÚ NÚ
f) Počet zedníků a počet dní k postavení stavby.
ANO NE PÚ NÚ
g) Doba jízdy ve vlaku a ujetá vzdálenost.
ANO NE PÚ NÚ
4. Majitel firmy vozí nákladním autem materiál na stavbu. Kdyby jel třikrát, navozil by ho za 8 dní. Kolikrát denně by musel jet, aby byl s dováţením materiálu hotov o dva dny dříve? 5. Natěrači natřeli za tři hodiny 720 m2 plochy. Sestavte tabulku pro 1 aţ 8 hodin. Sestrojte graf této funkce.
20
6. Hospodář odhadl, ţe mu fůra sena vystačí pro 15 králíků na 100 dní. Vypočítejte, na kolik dnů vystačí seno pro: a) 10 králíků,
b) 20 králíků
c) 25 králíků
7. Čerpadlo přečerpá za minutu 5 litrů vody. Kolik hektolitrů vody přečerpá čerpadlo za 1,5 hodiny? 8. Dvanácti turistům vystačí jídlo na horské chatě na 2 dny. Na kolik dnů by vystačilo jídlo osmi turistům? 9. Čtyři muţi vykopou za 5 hodin příkop dlouhý 10 m. Jak dlouhý příkop vykope 5 muţů za 1, 2, 3, 4, 5, 6 hodin, jestliţe mají stejnou výkonnost? Sestavte tabulku a sestrojte graf. 10. Patnáct nákladních aut nasypalo za dva dny hráz vysokou 6 metrů. Jak vysokou hráz by nasypalo 20 aut za 1 den?
7.1.6 Procenta Výstupy: ţák: - chápe vyjadřování části celku různými způsoby - vypočítá procentovou část, počet procent a základ - řeší aplikační úlohy na procenta 1. Vypočítejte 1% z těchto základů: Základ
36
0,6
11,4
3658
28,7
2,089
0,023
2
134
1% 2. Vyjádřete jako zlomek v základním tvaru: 25%, 140%, 45%, 260%, 0,1%, 2,4%, 36%, 80%, 14%, 50%, 75%, 125%, 150%, 120% 3. Vyjádřete jako desetinné číslo: 25%, 140%, 45%, 260%, 0,1%, 2,4%, 36%, 80%, 14%, 50%, 75%, 125%, 150%, 120% 4. Vypočítejte procentovou část zpaměti: 10% z 68 20% z 350 50% z 3120 25% z 60 75% z 400 40% z 800 5. Vypočítejte zpaměti počet %: 500 t z 2000 t 250 Kč z 12 500 Kč 20 ha z 200 ha 50 kg z 5 000 kg 6. Vypočítejte zpaměti základ: 8% je 64 kg 25% je 12 hl 35 % je 31,5 t 50% je 1236 m
5% z 86 30% z 120
200 Kč z 1000 Kč 2 500 ha z 10 000 ha 15% je 105 cm 24% je 120 Kč 21
12 l z 1 200 l 8 t ze 40 t 62% je 496 m 45 % je 270 Kč
7. Pan Novák půjčil sestře 57 000 Kč, coţ bylo 60% z částky, kterou potřebovala. Kolik sestra potřebovala korun celkem? 8. Rodina utratí měsíčně za potraviny 9 720 Kč, coţ je 45% z jejich měsíčního příjmu. Kolik korun zůstane na ostatní výdaje? 9. První televizor stojí 12 000 Kč, druhý 15 000 Kč. a) O kolik % je druhý televizor draţší neţ první? b) O kolik % je první levnější neţ druhý? 10. V těle člověka váţícího 70 kg, je přibliţně 42 kg vody. Kolik % vody přibliţně lidské tělo obsahuje? 11. Šaty byly zlevněny o 117 Kč, coţ bylo 9% původní ceny. Kolik stojí šaty po zlevnění? 12. Lesní dělníci vysázeli 18 ha nového lesa, coţ je 24% plánované rozlohy. Kolik ha nového lesa má být vysázeno? 13. Novákovi utratí měsíčně 5580 Kč za nájemné a další sluţby spojené s bydlením. Je to 24% jejich měsíčního příjmu. Kolik korun jim zbude na ostatní výdaje? 14. Pan Novák uţ splatil 26 125 Kč, coţ je 55% celého jeho dluhu. Jaký dluh měl pan Novák?
7.2 Závislosti, vztahy a práce s grafy, tabulkou V tomto tematickém okruhu ţáci rozpoznávají určité typy změn a závislosti, které jsou projevem běţných jevů reálného světa. Uvědomují si jejich změny a závislosti, které analyzují z tabulek, diagramů a grafů. Jejich zkoumání vede k pochopení pojmu funkce. Výstupy: ţák: - vyhledává, vyhodnocuje a zpracovává data - porovnává soubory dat - vyjádří funkční vztah grafem 1. Výsečový graf udává procentuální sloţení tříd základní školy. V šesté třídě je 30 ţáků. Kolik je ve škole dívek, jestliţe jich je z celkového počtu ţáků 65 %? a) 125 b) 150 9% 11% c) 130 I. tř. d) 140 10% II. tř. 18% 9%
III. tř. IV. tř. V. tř. VI. tř.
9%
15% 7% 12%
22
VII. tř. VIII. tř. IX. tř.
2. Maruška měří 156 cm, Jirka 160 cm, Honza 166 cm, Jarek 158 cm a Pavla 155 cm. a)
Vypočítejte průměrnou výšku dětí.
b)
Seřaďte děti podle velikosti od nejmenšího po největší.
c)
Doplňte do tabulky odchylku od průměru.
Výška v cm
156
odchylka
160
166
158
155
0
3. Podle grafu doplňte tabulku teplot: Teplota za dne 7. 2. 2011 : Ostrava 5.8 ˚C
hod
2h
4h
10 h
13 h
14 h
15 h
18 h
20 h
21 h
°C
Doplňte tabulku dle grafu. Vyhledejte:
a) maximum: b) minimum: c) vypočítejte průměrnou teplotu: d) vypočítejte odchylku teploty v Ostravě:
Na internetu vyhledejte graf teplot včerejšího dne, maximum a minimum teplot, vypočítejte průměrnou teplotu.
23
4. 27. června vystupuje v Ostravě švédské duo Roxette. Jejich koncert je vyprodán. Cena vstupenky
990 Kč
890 Kč
790 Kč
690 Kč
Počet vstupenek
444
1000
4685
4167
Zisk a) Kolik vstupenek se prodávalo. b) Jaký byl zisk. c) Tabulku zpracujte v MS Excel a vytvořte sloupcový graf. 5. Novákovi si zapůjčili 200 000 Kč k nákupu nábytku do nového bytu. Doplňte tabulku: Měsíční splátka
Počet splátek 5 let
4 845 Kč
6 let
4 286 Kč
7 let
3 737 Kč
Splaceno za 1 rok
Celkem zaplaceno
Kolik Kč přeplatí
6. Ţáci v hodině matematiky, v rámci výuky statistiky, počítali všechny jízdní prostředky, které projely kolem nich během 30 minut v průběhu tří měsíců.
160
35 134
140
26
120
25
100 80
duben 75
31
30
124
24 duben
20
květen červen
60
květen 15
červen
10
40
5
20 0
0 nákladní auta
os.auta
Jaký je průměrný počet: a) Osobních aut, která projela daným místem v určitou dobu za tři měsíce? b) Nákladních aut, která projela daným místem v určitou dobu za tři měsíce? c) Všech automobilových prostředků?
24
7. Teplota vzduchu na stanici Lysá hora (1322 m n. m.) a Mošnov (250 m n. m.) v lednu 2011. hod
2h
4h
8h
10 h
14 h
16 h
18 h
20 h
22 h
°C b)
Vypočítejte výškový rozdíl.
c)
Změřte vzdálenost na mapě České republiky.
d)
Vypočítejte skutečnou vzdálenost v km.
e)
Najděte nejkratší vzdálenost na PC.
f)
Doplňte tabulku dle grafu:
Lysá hora:
Mošnov: 0
C
0
den
Maximální teplota
Maximální teplota
Minimální teplota
Minimální teplota
f) Najděte nejmenší a největší rozdíl mezi teplotami v daných místech: den Minimální rozdíl Maximální rozdíl
25
0
C
C
den
7.3 Geometrie v rovině a prostoru Ţáci určují a znázorňují útvary a geometricky modeluji reálné situace, hledají podobnosti a odlišností útvarů kolem nás, uvědomují si vzájemné polohy objektů v rovině nebo v prostoru. Zkoumání tvaru a prostoru vede ţáky k řešení polohových a metrických úloh a problémů, které vycházejí z běţných ţivotních situací.
7.3.1 Rovinné útvary Výstupy: ţák: - načrtne rovinné útvary - ovládá základní převody jednotek - určuje obvody a obsahy základních rovinných útvarů - analyzuje a řeší aplikační geometrické úlohy - uţívá logickou úvahu a kombinační úsudek při řešení úloh a problémů, nalézá různá řešení předpokládaných a zkoumaných situacích. 1. Vypočítejte obsah obrazců:
2. Převody jednotek obsahu – vyberte správný výsledek: a) 5,2 m2
A B C
5 200 dm 520 dm2 52 dm2
874 mm2 2
A B C
76 dm2 2
8,74 cm 87,4 cm2 0,874 cm2
A B C
0,68 ha 2
7,6 m 0,076 m2 0,76 m2
A B C
6 800 m2 680 m2 68 000 m2
b) 15 cm2
A B C
150 mm2 1,5 mm2 1500 mm2
22 dm2
A B C
442 cm2
0,22 m2 2,2 m2 0,022 m2
A B C
26
4,2 dm2 0,442 dm2 4,42 dm2
0,8 m2
A B C
80 cm2 8000 cm2 800 cm2
3. Kuchyňská podlaha má rozměry 4 m a 3,6 m. Kolik obdélníkových dlaţdic o straně 40 cm a 30 cm je potřeba na její vydláţdění? 4. Chodník od branky k domu je dlouhý 16 m a široký 200 cm. Kolik potřebuje majitel dlaţebních kostek k jeho celému pokrytí? Kostka má rozměry 20 cm x 20 cm. Kolik m2 tvoří nová dlaţba? 5. Chatař chce oplotit pozemek tvaru obdélníku kolem chaty. Délka plotu je 48 m, jeho šířka 27 m . a) Vypočítejte délku celého plotu. b) Kolik zaplatí chatař za:
Sloupky, které stojí ve vzdálenosti 1,5 m. Cena jednoho sloupku výšky 2000 mm je 148 Kč.
Za pletivo výšky 1500 mm se zapleteným napínacím drátem, jestliţe 1 m stojí 62 Kč.
Celková cena oplocení?
6. Čtvercový pozemek kolem svého rodinného domu chce majitel oplotit dřevěným plotem. Strana pozemku je délky 60 m. Vypočítejte, kolik potřebujete k jeho stavbě:
plotových sloupků délky 180 cm, vzdálenost sloupků je 200 cm,
plotovek délky 140 cm, průměr 8 cm, jestliţe vzdálenost mezi plotovkami je 5 cm,
vodorovných latí délky 2 m,
Vypočítejte, kolik bude stát materiál na jeho výstavbu, jestliţe:
impregnovaný sloupek stojí 90 Kč,
impregnovaná plotovka stojí 40 Kč,
impregnovaná vodorovná lať, šířky 10 cm, stojí 86 Kč
7. Chodbu o rozměrech 6 m a 4,5 m chceme pokrýt pruhy linolea šířky 1,5 m, kolem stěny je nalepena lemovka. a) Kolik metrů linolea a lemovky kolem stěny musíme koupit? Proveďte náčrt. b) 1 m linolea stojí 380 Kč. 1 balení lemovky (10 m) stojí 350 Kč. Kolik Kč zaplatíte celkem? Bude stačit osm tisíc korun? 8. Obdélníkový pozemek má rozměry 32 m x 26m. Majitel chce vysadit ţivý plot z ptačího zobu nebo z tújí. Kolik sazenic musí zakoupit a za kolik peněz, jestliţe: a) jedna sazenice ptačího zobu stojí 25 Kč a vysazují se 3 – 4 ks na 1 m, b) jedna sazenice túje stojí 39 Kč a vysazuje se co 40 cm.
27
9. V dětském pokoji pokládali koberec o rozměrech 3 x 3 m. Vypočítej, který koberec je levnější a) Běţná délka šířky 3 m stojí 460 Kč/1 m. b) Plošná velikost 120 Kč/m2 . 10. Kolik kachliček se musí zakoupit na obklad stěn v koupelně o rozměrech 3 x 3 x 2,5 m, která má pouze jeden vchod (180 x 90 cm). a) Kolik m2 budeme kachličkami obkládat? b) Zároveň, kolik stojí jednotlivé moţnosti:
Při pouţití těchto rozměrů kachličky 10 x 20 cm, kolik kusů zakoupíme a kolik zaplatíme, kdyţ cena 1 m2 = 318 Kč?
Při jiných rozměrech kachliček 20 x 20 cm, kolik zakoupíme kusů, kolik zaplatíme, kdyţ cena 1 m2 = 260 Kč?
11. Kilogramová plechovka barvy vystačí na natření 8 m2 plochy. Kolik potřebujeme plechovek barvy, kdyţ natíráme dřevěný plot o délce 48 m a výšce 160 cm? Kolik korun zaplatíme za materiál k nátěru, kdyţ 1 kg barvy stojí 136 Kč, plochý štětec 45 Kč a ředidlo 29 Kč?
7.3.2 Prostorové útvary Výstupy: ţák: - načrtne prostorové útvary a jejich sítě, analyzuje jejich vlastnosti - ovládá základní převody jednotek - odhaduje a vypočítává objem a povrch těles - analyzuje a řeší aplikační geometrické úlohy - řeší úlohy na prostorovou představivost, aplikuje a kombinuje poznatky a dovednosti z různých tematických a vzdělávacích oblastí - nové učivo na teoretické úrovni zapojí do svého osobního systému znalostí a ověří si jeho praktický smysl pro ţivot.
28
1. Převody jednotek objemu – vyberte správný výsledek a) 576 cm3
3,2 m3
A B C
3
3 200 dm 320 dm3 32 000 dm3
A B C
47 dm3 3
0,576 dm 0,058 dm3 5,76 dm3
A B C
0,66 l 3
4,7 m 0,47 m3 0,047 m3
A B C
0,066 dm3 0,66 dm3 6,6 dm3
b) 886 cm
A B C
3
3,2 m
0,0886 dm3 0,886 dm3 8,86 dm3
A B C
3
76 dm
0,23 l
3 200 dm3 32 000 dm3 320 dm3
A B C
0,023 dm3 2,3 dm3 0,23 dm3
A B C
3
4,6 m3 0,046 m3 0,46 m3
2. Objem krychle – odhadněte správný výsledek a) a = 42 cm
A B C
a = 5,8 m 3
103 723 cm 74 088 cm3 1 764 cm3
A B C
a = 7,2 dm 3
195,112 m 117,067 m3 3,364 m3
A B C
a = 0,8 m 3
223,949 dm 373,248 dm3 5,184 dm3
A B C
0,064 m3 0,307 m3 0,512 m3
b) a = 21 cm
A B C
a = 6,9 dm 3
9 261 cm 12 965 cm3 441 cm3
A B C
a = 0,4 m 3
328,509 dm 197,105 dm3 4,761 dm3
A B C
a = 2,9 m 3
0,038 m 0,016 m3 0,064 m3
A B C
0,841 m3 14,633 m3 24,389 m3
3. Vypočtěte objemu V hranolu (S – obsah podstavy, v – výška hranolu) S = 1 dm2, v = 11 m
A B C
V = 110 dm3 V = 11 dm3 V = 110 dm3
S = 5 cm2, v = 0,05 dm
A B C
V = 2,5 dm3 V= 0,25 cm3 V = 2,5 cm3
S = 0,4 m2, v = 0,3 m
A B C
V = 0,12 dm3 V = 12 m3 V = 0,12 m3
S = 26 dm2, v = 1 dm
A B C
V = 26 dm3 V = 26 cm3 V = 260 cm3
4. Vypočtěte výšky, objemu a obsahu podstavy ze vzorce V = S.v S = 3 cm2, V = 60 cm3
S=7 cm2, V= 0,35 dm3
v = 2cm, V = 40 cm3
A B C
A B C
A B C
v = 200 cm v = 20 cm v = 2000 cm
v = 0,05 dm v = 0,5 dm v = 5 dm
29
S= 2000 cm2 S = 12 cm2 S = 20 cm2
S = 26 dm2, v = 1 dm
A B C
V = 26 cm3 V = 26 dm3 V = 260 cm3
5. Kolik m2 budete malovat v pokoji, který má délku 5,6 m, šířku 4,2 m a výšku 2,5 m? K malování zakoupíme primalex, kde je vydatnost 12,5 – 16 m2/ kg v jedné vrstvě. Které balení zakoupíme, jestliţe musíme malovat dvě vrstvy: 5,5 kg, 7 kg, 15 kg, 40 kg? 6. Bazén tvaru kvádru o rozměrech dna 25 m a 12,5 m, hloubce 2,2 m: a) Stačí k vydláţdění dna 300 m2 dlaţdiček? b) Vypočítej, kolik stojí dlaţdičky na dno bazénu, jestliţe 1 m2 je za 329 Kč? c) Kolik hl vody je potřeba k naplnění bazénu 30 cm pod okraj? 7. Změřte ve třídě okenní tabule a vypočítejte: a) Kolik je to m2 skla? b) Při tloušťce skla 0,4 cm určete jeho objem. c) Kolik váţí všechny okenní tabule ve třídě ( 2400
kg m3
)
8. Ke stavbě altánu zakoupili 8 kusů dřevěných hranolů délky 2 m a čtvercového průřezu 12 x 12 cm. Jaká je hmotnost všech trámů, jestliţe jsou z: a) bukového dřeva, 0,69
g cm 3
b) smrkového dřeva, 0,47
g cm 3
c) borovicového dřeva, 0,52
g cm 3
9. Zedník má omítnout strop a stěny garáţe. Podlaha je obdélník o délce 5 m a šířce 4 m, výška stěn je 260 cm. Vrata jsou široká 300 cm a vysoká 200 cm. Jak velkou plochu má zedník omítat? 10. Brigádníci kopou výkop tvaru kvádru o rozměrech: délka 26 m, šířka 0,9 m, hloubce 120 cm. Kolik m3 zeminy vykopou?
30
8 Závěr Tématem práce bylo sestavit praktickou cvičebnici matematiky, tj. sbírku matematických příkladů, kterou vyuţijí ţáci ve svém ţivotě. Vzhledem k zadání úkolu, jsem připomněla prvotní počátky vzniku této vědy v dějinách lidstva, kdy byly poloţeny její základy. V dnešní době vznikl nový pojem matematická gramotnost, jenţ se stává důleţitým pro další rozvoj vzdělávání dětí. Matematická gramotnost je základem výzkumu PISA a vzdělávání podle RVP v oblasti matematika a její aplikace. V tomto výzkumu se pouţívají otevřené i uzavřené matematické úlohy. V praktické cvičebnici jsem se snaţila sestavit příklady z oblasti číslo a proměnná, závislosti, vztahy a práce s daty, geometrie v rovině a prostoru. Příklady jsem propočítala se svými ţáky během vyučování. Zaujalo je jejich vyuţití v kaţdodenním ţivotě a hlavně v domácnosti své rodiny. Byli schopni vymýšlet další alternativy zadání, rozšiřovat obsah daného úkolu. Rádi vyhledávali informace k daným příkladům nejen v obchodní síti, ale hlavně na internetu. Příklady je více motivovaly k práci ve vyučování.
9 Resumé závěrečné práce Přehled historie matematiky z hlediska praktického vyuţití v ţivotě lidí od pravěku do 9. století, vyvození pojmu matematická gramotnost v RVP, matematická gramotnost ve výzkumu PISA, jejich kompetence, obsah, situace a kontexty jejich šetření. Matematická gramotnost v RVP, jeho kompetence. Alarmující výsledky výzkumu PISA v roce 2009, částečné srovnání se světem. Rozdělení matematických úloh na otevřené a uzavřené. Soubor příkladů vzdělávacích oblastí: číslo a proměnná, závislosti, vztahy a práce s grafy, tabulkou, geometrie v rovině a prostoru.
31
10 Literatura 1. ODVÁRKO Oldřich, KADLEČEK Jiří. Kníţka pro učitele ke školním vzdělávacím programům na druhém stupni ZŠ (Matematika a její aplikace). 1. vyd. Praha: Prométheus, spol. s. r. o., 2006. ISBN 80-7196-333-X. 2. FUCHS Eduard, HOŠPESOVÁ Alena, LIŠKOVÁ Hana. Postavení matematiky ve školním vzdělávacím programu (Základní vzdělávání). 1. vyd. Praha: Prométheus, spol. s. r. o., 2006. ISBN 80-7196-326-7. 3. HEJNÝ Milan, KUŘINA František., Dítě, škola a matematika. 2. vyd. Praha: Portál, s. r. o., 2009. ISBN 978-80-7367-397-0 4. SCHINDLER Radek a kol. Rukověť autora testových úloh. 1. vyd. Praha: Cermat. 2006. ISBN 80-239-7111-5 5. MARTINEC Lubomír a kol. Motivace, aspirace, učení II. 1. vyd. Praha: Ústav pro informace ve vzdělávání. 2007. ISBN 978-80-211-0543-0 6. MARTINEC Lubomír, HONSOVÁ Šárka, HUČÍN Jan a kol. Co umí čeští ţáci (Výzkum PISA). 1. vyd. Praha: TAURIS. 2008. ISBN 978-80-211-0555-3 7. BASL Josef, KRAMPLOVÁ Iveta, PALEČKOVÁ Jana a kol. Hlavní zjištění výzkumu PISA 2009. Umíme ještě číst? 1. vyd. Praha: Ústav pro informace ve vzdělávání. 2010. 8. ISBN 978-80-211-0608-6 9. KUČÍNOVÁ Eva. MAŤAŠELE Helena. MAZUROVÁ Veronika. SKYBOVÁ Iva. Sbírka úloh z matematiky se zaměřením na dovednosti pro 8. ročník základních škol. 1. vyd. Ostrava: Ostravská univerzita v Ostravě. 2007. ISBN 978-80-7368-417-4 10. Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání, Praha: VÚP, 2005
11 Obrázky Obr. 1,
http://cs.wikipedia.org/wiki/Soubor:Oxyrhynchus_papyrus_with_Euclid%27s_Elements.jpg Obr. 2,
http://cs.wikipedia.org/wiki/Soubor:Oxyrhynchus_papyrus_with_Euclid%27s_Elements.jpg
http://digifree.craftcrave.com/ http://office.microsoft.com/cs-cz/images/??Origin=EC790014051029&CTT=6
32
12 Výsledky Číslo a proměnná Desetinná čísla:
1. a) B, A, A, B, b) B, B, B, A; 2. a) A, B, A, A, b) A, B, B, A; 3. 6,5 kg, ano; 4. 140 Kč, 138,50 = 139 Kč, 19 Kč; 5. 317,1 t; 7. a) C, C, A, B, b)A, C, A, A; 8. a) B, C, A, B, b) A, B, C, C; 9. a) 87,50 = 88 Kč, b) 174 Kč; 10. b) 35,1 s;
Celá čísla:
2. – 500 Kč; 4. Bulharsko;
Racionální čísla:
1. c), 194 Kč; 2. 24;
Poměr:
4. 2,1 kg Cu, 1,4 kg Zn; 5. 4 800 Kč, 6 000 Kč, 7 200 Kč; 8. 30 732 Kč; 9. 490, 784, 882; 10. 46 : 47;
Úměra, trojčlenka:
4. 4x; 6. a) 150 dní, b) 75 dní, c) 60 dní; 7. 4,5 hl; 8. 3 dny; 10. 4 m;
Procenta:
7. 95 000 Kč; 8. 11 880 Kč; 9. a) 25%, b) 20%; 10. 60%; 11. 1 183 Kč; 12. 75 ha; 13. 17 670 Kč; 14. 47 500 Kč;
Závislosti, vztahy a práce s grafy, tabulkou: 1. c); 2. a) 159 cm; 4. a) 10 296, b) 7 905 940 Kč; Geometrie v rovině a prostoru Rovinné útvary:
3. 120 dlaţdic; 4. 800 kostek, 32 m2; 5. a) 150 m, b) 14 800 Kč, 9 300 Kč, 24 100 Kč; 6. 120 ks sloupků, 1 800 plotovek, 360 ks vodorovných latí, 113 760 Kč; 7. a) 18 m linolea, 21 m lemovky, b) 7 575 Kč, ano; 8. a) 348 – 464 ks, 8 700 Kč – 11 600 Kč, b) 290 ks, 11 310 Kč; 9. a) 1 380 Kč, b) levnější, 1 080 Kč; 10. a) 20,88 m2, b) 1 044 ks za 6 640 Kč, 522 ks za 5 429 Kč; 11. 9,6 kg barvy = 10 plechovek, 1 434 Kč;
Prostorové útvary:
2. a) B, A, B, C, b) A, A, C, C; 3. A, C, C, A; 4. B, C, C, B; 5. 15 kg; 6. a) ne, b) 102 812, Kč = 102 813 Kč, c) 5 937,5 hl; 8. a) 158,976 kg, b) 108,288 kg, c) 119,808 kg; 9. 60,8 m2; 10. 28,08 m3;
33
