KOD: ts377137
1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9.
Egy csomagológép l kilogrammos zacskókat tölt. A zacskóba tö|tött cukor mennyisége normális eloszlású vaiószínriségi változó l kg várható értékkelés 0.038 kg szórással. A zacskó súlyra nézve első osáályú. ha a súlya 0.95 kg és 1.05 kg közé esik. Mi a valószínűsége, hogy két vé|etlenül kiválasaoft zacskó közül legalább az egyik első osáályú? Egy dobozban 12 alkatrész yan, amelyek közül 9 selejtes. 7 elemű mintát veszÍink visszatevésse|. Mi a valószínűsége, hogy a mintában legfeljebb 4 selejtes alkatrész van? Hány l0jegyű szám készíthető 3 darab egyes,4 darab kettes és 3 darab hármas számjegyből? Legyen E (€) = 2.4, D (|) : 0.47' Adjon alsó becslést a P (0.66 1 < E. 4.l 39) valószínűségre. Egy munkadarab hossza közelítőleg normális eloszlású valószínűségi változó, melynek várható értéke7l és szórása l.l. Mennyi a valószínűsége, hogy a munkadarab hossza kisebb, mint 72.l? Hányféleképpen rakhatunk be 8 levelet |5 rekeszbe' ha a levelek között nem teszünk kulönbséget és egy rekeszbe maximum egy levelet teszünk? 4l doboz mindegyikében 55 golyó van, amelyek közül rendre l5, ló, l1, ...,55 fehér. Találomra választunk egy doboa' majd abból véletlenü| kihúzunk egy golyót. Mi a valószínűsége, hogy fehér golyót húzunk? Annak valószíntisége, hogy egy benzinkútnál 6 percnél többet kell várakozni atapasztalatok szerint O.2l. A várakozási időt exponenciális eloszlásúnak feltételezve, mi annak a valószínűsége' hogy 6 percnél kevesebbet ke|l várakozni? Egy rejtvénypályázaton három díjat sorsolnak ki a helyes megfejtést bekü|dők közott (egy megfejtő legfeljebb egy díjat kaphat). 74 jó megfejtés érkezett be összesen, ezek közül 22 Miskolcról. Mi a valószínűsége, hogy lesz
miskolci nyertes?
:
(6' q) valószínűségi változoról tudjuk' hogy P(6 l9, n : 44) : 0.23, P(E,: 19, n:75):0.17 és P((:30, n = 0.l2. Ismert, hogy d csak a l9 és 30 míg 11 csak a 44 és 75 értékeket veheti fe|. Számítsa ki az E(n ( | ' 30) feltételes várható értéket! Egy hallgató ennek a feladatnak a megoldásával átlagosan 9 perc alatt végez. A feladatra fordított idó
l0. A
:
44) =
ll.
exponenciális eloszlású valószínűségi változó.
Mi
ha|lgató 8 percen belü| oldja meg a feladatot? 12" A és B fuggetlen események, P(A) : 0.87, és P(B)
annak a valószínűsége, hogy egy véletlenül kiválasztott
: 0.6l.
Határozza meg P(A I A+B) értékétl 13. Legalább hány elemű mintát kell vennünk, ha visszatevéses mintavételnél a selejtarányt 0.l3 pontossággal
(|egfeljebb ennyi eltéréssel) és 0.92 megbízhatósággal akarjuk becsülni? Egy céllövő találati pontossága 2.0 cm várható értékűexponenciális eloszlású valószínűségi változó. Legfeljebb hányszor lőhet, ha azt akarjuk, hogy még legalább 79%o-os biztonsággal minden talá1ata á 8.3 .''.' sugartr t-orbe essen? 15. A (6' r) valószínűségivá|tozóróltudjuk, hogy P((:26,r1:37):0.l3, P({ =26,|- 54):0.23 és P(E:35. n: 37): 0.20. Ismert. hogy € csak a 26 és 35 , míg rl csak a 37 és 54 értékeket veheti fel. Számítsa ki áz D({+r1)
l4.
érféket!
: 7 .4 és D(o = 6.0. Mi a valószínűsége' hogy 2 egymástól fiiggetlenül megismételt kísér|etmindegyikéb en |3.2 es 6.9 kozötti értéketvesz fel?
16. Egy ( egyenletes eloszlású valószínűségi változóról tudjuk, hogy E({)
l7. Egy csiga
életénekhossza exponenciális eloszlású valószínűségi változő 2.16
valószínűsége, hogy kedvenc csigánk életénekharmadik évébenpusául el?
18. 9 golyót osztunk
' l9.
ki
értékkel' Mi a
egyenként 8 dobozba úgy, hogy bármelyik doboa egyenlő valószínűséggel vá|asájuk
minden golyó elhelyezésekor' Mennyi a valószínűsége, hogy a harmadik doboáa 3 golyó kerül?
Legyen a ({.
il
vektorváltozó síirűségftiggvénye
J$,D=1
20.
év várható
I
Ae
t-ur)
[0
, hax>0,y>0 ,egyébként
Milyen valószínűséggel esik 11 a ( 0.25' l.00) intervallumba, ha|:20.8? Egy ügyfélszolgálaton az ügyintézés47 percet vesz igénybe. Az egyik nap két ismerős megy be az iigyfélszolgálatra egyntástól fiiggetlenül 8 és l2 óra között véletlenül válasitva a' idopontot" M a valósiinűsege,
hogy lesz o|yan idopont. amikor egyszeÍTe vannak bent? 21" Az A esomény bekövetkezésének a valószínűsé ge 0.26. Mennyi a valószínűsége' hogy tíz kísérletből legalább háromszor bekövetkezik?
87
KOD:8377137 22" Tudjuk'hogyP(A) =0.34,P(AIB) =0.42ésP(B Il)=0.94.Mennyiavalószínűsége,hogyazAésBlegalább egyike bekövetkezik?
23. A CHIPCAD microchip gyártó cég teljes termelése két gépsorról származik' Az
I. gépsor adja a termelés 73 %oát 0.030 % selejttel, míg a II. gépsor adja a termelés 27 o/o-át 0.024 % selejttel. Ha egy véletlenül kiválasztott chip selejtes, akkor mi a valószínűsége, hogy azt a II. gépsor gyártotta?
24. Egy
d valószínriségi változó súníségfiiggvénye
Ítx)={''']''
L0
trao.1
1
<
s
,egyébként
Határozza meg a P(( > E(6)) valószíniiséget! és C ffiggetlen események, amelyre P(A) = 0.320' P(B):0.360 és P(C) = 0.540. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy pontosan kettő következik be közülük! 2ó. Legyen a ( valószínűségi változó egyenletes eloszlású a[-6'60,6.60] intervallumon.
25. Az A, B
Számítsa ki a P(2 {+l < 0.60) valószínűséget|
27. Egy dobozban 13 alkatrész van, amelyek közül 9 selejtes' 7 elemri mintát veszünk visszatevéssel. Mi a valószínűsége, hogy a mintában legfeljebb
28. Az
A
l
selejtes alkatrész van?
és B játékos felváltva dob kosána (A kezd). Az A játékos 0.77, míg B 0.58 valószíniiséggel talrál a
kosárba. A játékot addig folytatják, amíg valamelyik játékos beletalál a kosárba. Miannak a valószíntisége, hogy pont az ötödik dobás után ér véget ajáték? 29. AE exponenciális eloszlású valószínűségiváltozó várható értéke2.l0. Számítsa ki azta m értéket, amelytől jobbra és balra megegyezik az\= 1valószínűségi változó siiriiségfiiggvénye alatti terület! 30. Egy kisegér 3 folyosó bármelyikén eljuthat egy sajtdarabhoz. Akármelyik folyosón 3 ajtón kell áthaladni. Mi a valószínűsége, hogy a kisegér el tud jutni a sajthoz, ha az ajtók egymástól fiiggetlenül 0.47 valószínűséggel nyílnak ki, és kinyitásuk után nyitva is maradnak (ha van nyitott folyosó, akkor a kisegér megtalálja a sajtot)?
88
l. feladat E(€) =1 á = 0.038
A felhasznált képlet: F(k)
=
*r+',
m=1 _ t) _
*[o'qs *(' =.í'11^']0-038 oJ38
P(0.95 <€
-
= 2
P(A,
I=
P(A,)
2. 0.9066-
I=
.]-
0.8132
P(Ar) * P(A,. Ar)
./-
2P - Pz P(l. osztályu) = 2.0.8132 _0.8B22 = 0.965l Tehát 0Jó51a valószínűsége annak, hogy két véletlenül kiválasztott zacskó közül legalább az egyik első osztályú. +
Ar)
=
+
=
2. feladat
N: 12 alkatrész s:9 n:
7 elemű minta (visszatevéssel)
k:4
selejtes
:
P (legfeljebb 4 selejtes)
('^) t,
P
(z
=:-!- n7
Tehát
0Jl30
A felhasznált képlet:
"
=
[Í) '-''_''--
?
-s)'-o =
0.1730
a valószíntisége annak, hogy a mintában legfeljebb 4 selejtes alkatrész van.
3. feladat 3 db egyes 4 db kettes 3 db hármas
Hany db
10
jegyti szám készíthető?
Ismétléses permutáció' n
Tehát
ruo'db
10
=J!L = 4200 3!.4!.3!
jegyű számkészithető.
4. feladat E(€) =2.4 D(€) =0.47 P(0.661<{ <4.1391=7
P(0.66I<€ <4.139): P(0.661 _2.4 <€ <4'139-2.4) = Pű€ _2.4l.I.:ng)=,_ r(r _2.4l>I.:ng) az alsóbecsléshez felírom a Csebisev_egyenlőtlenséget:
-89-
=
P(-l
.739 <€
Pűt_n
^)=# P\; -2.+l>r.tzo)s#
-
:::
rIE - 2.41> r.tzs)>, -,o 1.739' P(0.66l < € < 4.139) > 0.9270 Tehát az alsóbecslés valószínűsége: ,
'
9-27!
5. feladat á=1.1 m =71
E(€) =7l P(€) =1'a P(€ <72.5t) =? P(€ <72.5l)'(ő/\. = *(lzst__ Tehát
O9lilannak
*\=
*(lz's-t l.l)t
lt)
=
.(' .tlzl\= 0.gl47
a valószínűsége, hogy a munkadarab hossza kisebb, mint 72.51.
6. feladat A rekeszek 15 elemet jelentenek, ezekből kell
8_at úgy kiválasztani,hogy
mindegyik rekeszt csak egyszer választjuk ki. Tehát az összes lehetséges 15 elem 8-ad osaályú kombinációinak száma. n
ít s\
=l(.8
l= 6435
/ Tehát 6fi5féle képpen rakhatjuk
a 8 levelet a 15 rekeszbe.
7. feladat Az összes golyó szána: 4l.55 :2255 A fehér golyók száma: (15+16+17+...+55) = 1435 P(fehér) =
#
= O.6364 (= 0. 6 3)
Tehát 9ó364annak a valószínűsége, hogy fehér golyót húzunk.
-90-
8. feladat
P(egy benzinkútnál 6 percnél többet kell vrírakozni): 0.2l
A felhasznált képlet: F(x)=
P(€
> 6) = ?
(exponenciális eloszlás)
{'-'-";x>o
I
o;x
|_P(€36)=g.21 P(€ s6)=0.79 F(6) =9.79
l-e-61 =0.79 2 = 0.2601
0.21= e-61
--+ = l - e-6'0'260l
P(€ <6) Tehát a.2299annak
vrírakozni.
a
=l - 0.77 IO = O.229O valószínűsége, hogy egy benzinkútnál 6 percnél kevesebbet kell
9. feladat összesen 3 díj
jó megfejtés 22 miskolci P(lesz miskolci nyertes)
:
P(lesz miskolci nyertes)
: l-
74
összes eset:
kedvező
(ru\
l
?
P(nem lesz miskolci nyertes)
l=64824
[3]
(04-22)) =22I0O "r"t ( 3 )-
í'')
P(lesz miskolci nyertes):
Tehát
0J409 annak
I
-#
= 0.3409
[,J
a valószíntisége, hogy lesz
10. feladat P(€ =l9,rl _ 44) =g.23 P(€ =|9,r7 =75) =g.17
miskolci nyertes.
A felhasznált összefiiggés P(AB) P(AlB\''' P(B)
P(€ =30,17 = 44) =g.12 € =t9;30 4 = 44:75
r@l€=30)=? P(€
= 30,17 =
7
5) = (0.23 + 0.t7 + 0.
l2)
= 0.48
-91-
:
14. feladat { a céllövő találati pontossága
EG):2
kör
79Yo--+ 8.3_as
n=? E(€)
ll
12
=
-->/L--
P(€ <8.3)
=
F(8.3) =|_e
_8.3 2
_8.3
t-e
2 >0.79
nlg(l-s-
n3
8.3
2
)>1g0.79
1g0.79
=948.3987
8.3
nlg(I- s-T
1
Tehát legfeljebb 948-szor lőhet a céllövő.
15. feladat P(€ =26,q = 37) = g.13 P(€ =26,q = 54) =g.23 P(€ =35,17 =37) =g.2g € =26;35 rl =37;54
D(ő
+ ??)=?
P(€ =35,17 =54)
=
1
-
(0.13 + 0.23+ 0.20) = 0.44
g+ql
P
3s10.20 10.44 D'(€ +ri= E(€ +rD' - E'(€ +rt) E(€ +?)2
E'
=
(€ + rD =
0.l3
'632 +O.20'722 +0.23'802 + 0.44'892 =
0.l3.
63 + 0.20 .72
+0.23.80+0.44.89
D(€+r71=@=9.2729
=
80.l5
16. feladat E(€) =7 '+ = 6.0
P: ?+
két ftiggetlen kísérletmindegyikében3.2 <E< 6.9
-93-
I o.rr I o.zo I o.zs
65l0.0l
Tehát a várható érték9.2729.
D(€)
o: I zz I so I I
sq o.++
E(€) =',.o D(€)
=
= 6.0 =
+ +
-+ a + b
-+ b _ a =
-+ a =7.4
- J1 .6
-+ b
+
=t.q
Jj
Í(x) =t#;
o;
L
3.2 < € < 6.9
P = .,3'7'
IrzJll
zJ1
.
6.0
.6 ha x e (a' b)
egyébként
="!-r;7
,^ =
=2. 7.4
=
#[o.q
-
3.27=
#
0.0317
Tehát a keresett valószínűsée 9'BL7.
17. feladat M (€) = 2.16 =
u(€=3)=? Í(x) =
}
-
)' = 0.462962963
l'o
:hax
|t- r-"
;ha x > 0
P(€ =3) = F(3) -I_e-0!6z9'3 = 0.7506 Tehát 0J50ó annak a valószínűsége, hogy pusául el.
a kedvenc csigank életénekharmadik évében
18. feladat 9 golyó 8 doboz P (3 golyó a 3. dobozba): ? [3)
-+ ennyi féle képpen keriilhet a 3 golyó egy dobozba
rl]' \.8/
ennyi féle képpen kerülhet a 1 golyó a
t8l -
ennyi féle képpen nem kerülhet 3. dobozba egy golyó
r1)'
r=[:) (*)' [*)'=84
0
r25'
3.
dobozba
0 87su =0.0736
Tehát a'ujúannak a valószínűsóge, hogy 3. dobozba hrírom golyó kerül.
-94-
19. feladat ha x > o, Y > o
f( x\ ={lt*-ott J. L 0;egyébként ;
P(0.25
vonatkozó feltételes sűniségÍiiggvény:
_ í y) ; g (x) a ( peremsűrűségfüggvénye ÍOli ' g(x) (*'
-!
g(x) = Í{*, ilal,
t
=*1
ÍQlr) _:Ar ^,
tru-x-ost
or-'u " o, =nu'
s
t
d!
)!:_'
=o-|#]=,
=
fiG
25
=
-
_
r')=
!í;
= 0.5e-0'5'
- 0.5
tl
= líay = to.se''sld!= 0.25
P(O.25
0.25
|r''"}
e'o125
_e-'' =0.2760
Tehát a keresett valószínűsée 827@..
20. feladat
azugyintézés47 perc 8 és 12 óra között két ismerős P(találkoznak): ?
perc;
l2_8: 4 ora:240
(geometriai valószínűség)
T: a hatszög területe; t: anégyzet területe
T :2402-1932
t :2402
P (találkoznak1
=T
t
0J533 annak
=
y=
57600
0'3533
hogy lesz olyan időpont, amikor a két ismerős találkozik. Tehát
a valószínűsége,
21. feladat
P(A):0.26
P(10-ből legalább 3-szor bekövetkezik): ? P(1O-ből legalább 3-szor bekövetkezik): 1- P(legfeljebb2-szer bekövetkezik): =, -
ír'
o]
.
0.260
[(0,,
.
O.7
4|o*
í'
o)
(r/
.
0.26| . O.7 49*
í'
o)
.
\2)
0.262. 0.74' ]
)
= 0'5042
Tehát 9'5942 a valőszínűsége, hogy lO-ből legalább 3-szor bekövetkezik az A esemény.
-95-
22. feladat P(A) = 9.34
Felhasznált összeftiggések:
P(Alil=ffitr@lA)=X#
P(AIB) =0.42
P(BI{=0.e4 P(A+ B) =? P(AB) = p@l$.P(Á) P(A,B)
P(B\=
-
P(AIB)
= 0.94
o'3196 0.42
.0.34 = 0.3196
=0.76095281
P(A)+ P(B)- P(AB) = 0.7814 Tehát 9J3uavalőszinusége, hogy az A és B esemény legalább egyike bekövetkezik. P(A+ B)
=
23. feladat At az I. gépsor gyártotta
A felhasznált összefiiggés: P(AB) ot ,llpl| _ r\A|D = P(B)
Az a II. gépsor gyártotta B a termék selejtes P(A,) =0.73
P(Ar)
=
P(BIA)
-
0.27 =
0.00030
P(B!A)= 0.00024 P(.e,la1=7
P(B)
= 0.73 ' 0.00030 + 0.27
P(A,!B)
=
.
0.00024 = 0.000283 8
Y*#e W =
=
0.2283
Tehát 9.2283 a valőszínűsége, hogy ezt aII. gépsor gyártotta.
24. feladat
?. \ [l.s*';hao<x(B, Í(x|=
L
0 ;egyébként P(€, EG)=? ,='p.r*'*=[t r+]. E(€) =u1r.r.r*'*= r 0
p(€'EG))=
B
=3.5.
'.+
p.sr'ar=
-.8'
J!'-5
f
+-
B=Es=r.033e
=0.827157046 d1B
l.'I l =|-0.4096= 0.5904 L 4 -1,,4 l
5
Tehát a keresett valószínriség
Ql904.
-96-
feladat P(A): 4320 P6; = 0.360 25"
P(C):0.540
be):
P(pontosan kettő következik
?
P(AB7 +,qBC +Áac1-+ mivelfiiggetlen események,ezéttössze
P@Be
+
.qBC
= 0.32. 0.36. (l
+'qBq - 0.54)
= +
P(A). P(B). P(C)
0.32.
(1
- 0.36)
.
P(b. PG) + r1Á).
P(B). P(C) + (1 - 0.32) . 0.36. 0.54 : 0.29s8
+
0.54
lehet őket szorczni
P(A).
=
Tehát 02958 a valószínűsége, hogy pontosan kettő következik be.
26. feladat Egenletes eo. [-6.60, 6.60] a= 4.6
b:6.6
P(2( +l P(2{ +l
< 0.6) =
?
< 0.6) =
P(€
<
_0.2)
l .ha-6.6<x<ó.6 r_r-= Jlx)=1b-, 6.6-(-6.6)' o o
I I
,hax<-6.6 -x+6'6 .ha-6.6<x <6.6
)'-o lb-o I I
F(x)=
P(2{ +l
,egyébként
< 0.6) =
13"2
,hax>6.6
F(-0.2)
= 0.4848(= 0.48)
Tehát a keresett valószínűség Ol&E.
27. feladat
N: s:
13
9
alkatrész
n = 7 elemű minta (visszatevéssel) I selejtes
k:
r
A felhasznált képlet: r
-\
L'
=v
1..-
(lr - r)'-o
*
P (legfeljebb I selejtes): ?
?\
n' o'
p=(l/ Tehát
-7'9'-46 =o.oo4l
13'
o004r
13'
a
valószínűsége annak, hogy a mintában legfeljebb
28. feladat P(A) = 0.77 -+ P(21= 9.23 P(B) =0.58 -+ P(87
= 9"42
-97-
l
selejtes alkatrész van.
P(5.dobás utiín vége) = ?
, =(r/)y (rr;lf .pU)
=0.232 .0.422 .0.77 =0.0072 Tehát 0-a972 a valószínűsége annak,hogy az ötödik dobás után ér véget a játék.
29. feladat
1=*
E(€)=2.10-+
rl=€' Fr(x)
=l-s
F€,(y) =
F(m)
lne
P(€' 3 y)
=
P(€
<
Ji) =t_r-*ű
lr. __im
l-
__Jm | =l-e 2t - !- 1s 2t
lr --J n
J,
I
z't
2t
= ln 0.5
= 0.5
)
tn :2.1 I88 =-2.1.1n0.5 Tehát a keresett m értéke:2.1 l88.
30. feladat
p
P(egy folyosón mindhiírom ajtó nyitva) : 0.473 : P(az első folyosón mindhrírom ajtó nyiwa) + P(A) = P(a második folyosón mindhrírom ajtó nyiwa) P(B): P P(a harmadik folyosón mindhárom ajtó nyitva) -+ P(C): p P(legalább egy folyosó szabad) = r legalább egy folyosó szabad : Av B v C
-
P(Av Bv C)
-3p'
=
P(A)+ P(B)
+
Felhasznált elmélet: Poincaré_tétel
p
P(C) - P(AB) - P(AC) - p(BC)
+
p(ABC)
p3 =3.0.473 -3.0.476 +0.47e = 0.2803 Tehát 02803 a valószínűsége annak, hogy a kisegér eljut a sajthoz.
=3p
+
-98-
=
