No title

SZEGEDI TUDOMÁNYEGYETEM Természettudományi és Informatikai Kar

Képfeldolgozás és Számítógépes Graka Tanszék Informatika Doktori Iskola

Topológia-meg®rz® vékonyító algoritmusok tervezése és vázközelítések kvantitatív összehasonlítása doktori értekezés

Németh Gábor Témavezet®:

Dr. Palágyi Kálmán

Szeged, 2012.

Tartalomjegyzék Bevezetés

1

1. Digitális topológia

3

1.1.

Digitális/bináris kép

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.

Topológia-meg®rz® reduk iók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2. A váz és a vázkijelölés módszerei

11

2.1.

A váz és vázszer¶ jellemz®k

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2.

A vázkijelölés módszerei

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.3.

A vékonyítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.3.1.

A párhuzamos vékonyítás módszerei . . . . . . . . . . . .

17

2.3.2.

Geometriai kényszerfeltételek

22

. . . . . . . . . . . . . . .

3. Topológia-meg®rz® reduk iók

27

3.1.

Elegend® feltételek 2D topológia-meg®rz® reduk iókra . . . . . .

27

3.2.

Elegend® feltételek 3D topológia-meg®rz® reduk iókra . . . . . .

35

3.3.

Végpont-meg®rz® reduk iók

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

3.4.

Összefoglalás és távlati élok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

4. A topológia-meg®rzés elegend® feltételein alapuló párhuzamos vékonyító algoritmusok 55 4.1.

Új algoritmus- saládok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

4.1.1.

Teljesen párhuzamos vékonyító algoritmusok . . . . . . .

57

4.1.2.

Irány-alapú vékonyító algoritmusok . . . . . . . . . . . .

58

4.1.3.

Almez®-alapú vékonyító algoritmusok . . . . . . . . . . .

60

4.2.

Példák az új algoritmusokkal kapott vázszer¶ jellemz®kre . . . .

63

4.3.

Vékonyító algoritmusok hatékony implementá iója . . . . . . . .

64

4.4.


71

5. Vázközelítések kvantitatív kiértékelése 5.1.

5.2.

75

A kép-adatbázis el®állítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

5.1.1.

Az alapképek kiválasztása

76

5.1.2.

A referen ia-vázak el®állítása

. . . . . . . . . . . . . . .

76

5.1.3.

A referen ia-képek el®állítása

. . . . . . . . . . . . . . .

76

Mér®számok vázközelítésekre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

iii

. . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

TARTALOMJEGYZÉK

5.3.

5.2.1.

Normalizált távolságtérképek

5.2.2.

Mér®számok normalizált távolságtérképeken

. . . . . . . . . . . . . . .

79

. . . . . . .

81

Elfogadható mér®számok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81 82

5.3.1.

Szomszédsági szekven iák

5.3.2.

Szomszédsági szekven iákkal adott diszkrét diszkek

. . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.3.

A morfológiai váz általánosítása szomszédsági szekven-

. . .

82

iákkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

A javasolt mér®számok kiértékelése

. . . . . . . . . . . .

86

5.4.

Vázkijelöl® eljárások kiértékelése . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

5.5.


87

5.3.4.

6. 2D vékonyító algoritmusok összehasonlítása

89

Összegzés

91

Summary

95

Köszönetnyilvánítás

99

A szerz® közleményei

101

Mellékletek

105

A. A javasolt mér®számok validá iója szekven ia-vázakkal

107

B. 2D vékonyító algoritmusok kiértékelése

113

Irodalomjegyzék

122

Bevezetés A váz (skeleton) a bináris objektumok általános alakját leíró jellemz® fontos szerepet játszik a képfeldolgozás és az alakfelismerés számos alkalmazásában [27, 36, 89, 102, 105, 108℄, így egyre növekszik az igény a vázszer¶ jellemz®k hatékony meghatározására. Vázszer¶ jellemz®k 2-dimenzióban (2D-ben) a középvonal és a topológiai mag, míg a 3-dimenziós (3D) objektumok leírásakor a középvonal és a topológiai mag mellett a középfelszín is szerepet kap. A váz fogalmát Blum egy szemléletes hasonlattal, a prérit¶z-terjedéssel világította meg [14℄: ha egy objektum határán valamennyi pontot egyidej¶leg meggyújtjuk és feltételezzük, hogy a t¶zfrontok minden irányban egyenletes sebességgel terjednek, úgy a vázat azon pontok alkotják, amelyeknél az egymással verseng® t¶zfrontok találkoznak és kioltják egymást. A vékonyítás [45, 104℄ mint a vázkijelölés (vagyis a vázszer¶ jellemz®k meghatározása diszkrét objektumokra) egyik módszere a t¶zfront-terjedést modellezi: egy iterá iós lépésben eltávolítjuk a törölhet®nek min®sített pontokat az objektum határáról és az iteratív eljárást addig folytatjuk, amíg törölhet® pontot találunk.

Mivel a t¶zfrontok terjedése természeténél fogva párhuza-

mos jelenség, így a javasolt vékonyító algoritmusok többsége is párhuzamos (azaz az iteratív objektum reduk ió minden egyes fázisának a törölhet® pontjait egyidej¶leg távolítják el) [34℄. Megjegyzend®, hogy a vékonyítás nem az egyetlen vázkijelöl® te hnika [102℄, viszont a leggyorsabb és képes topológiailag korrekt, számos gyakorlati alkalmazás igényeit kielégít® vázszer¶ jellemz®ket meghatározni [36, 89℄. A vázkijelöl® eljárásokkal szemben támasztott legfontosabb elvárás az, hogy az eredményül kapott vázak (valamennyi bináris képre) legyenek topológiailag ekvivalensek [44℄ a kiindulási objektumokkal.

A 2D és a 3D párhuza-

mos vékonyító algoritmusok topológiai korrektségének bizonyítása lehetséges a topológia-meg®rz® reduk iókra adott elegend® feltételek [43, 58, 86, 97℄ segítségével. Ha a javasolt vékonyító párhuzamos algoritmus valamennyi fázisának törlési szabályai teljesítik a fenti feltételeket, akkor az eljárás topológiai korrektsége bizonyított. Sajnálatos módon, számos létez® algoritmust leíró publiká ió nem tartalmazza a topológia-meg®rzés bizonyítását és hibás bizonyítások is el®fordultak. Mivel a topológia-meg®rzésre vonatkozó korábbi eredmények a törölhet® pontok kongurá ióira fogalmaztak meg elegend® feltételeket, így azok sak megtervezett törlési feltételek ellen®rzésére használhatók, nem alkalmasak párhuzamos vékonyító algoritmusok tervezésére, generálására. A dolgo1

2

Bevezetés

zatban olyan új elegend® feltételeket ismertetek 2D és 3D reduk iók topológiameg®rzésére, amelyek már egy pont törlésére vonatkoznak, így azok kombinálása párhuzamos vékonyító te hnikákkal és geometriai kényszerfeltételekkel olyan vékonyító algoritmusokat eredményeznek, amelyekre a topológiailag korrektség (a topológia-meg®rzés teljesülése bizonyítások nélkül is) garantált. A különböz® vázkijelöl® eljárások eltér® vázszer¶ jellemz®ket eredményezhetnek ugyanarra az objektumra. A különböz® vázak (és vázkijelöl® módszerek) összehasonlítására korábban javasolt te hnikák [46,47,91℄ két f® hiányossága az, hogy egyrészt a vázakat közönséges ponthalmazoknak tekintik (jóllehet azok spe iális struktúrák), másrészt pedig gyelmen kívül hagyják a kiindulási objektumokat. Az értekezésben bemutatok egy új megközelítést vázak kvantitatív kiértékelésére és összehasonlítására. A módszer két kul skomponense a referen ia vázakat és a bel®lük konstruált referen ia objektumokat tartalmazó képi adatbázis létrehozása és egy új hasonlósági mérték. A módszer validá ióját olyan általánosított morfológiai vázakkal [67℄ végeztük el, amelyeknél a szerkeszt®elemeket szomszédsági szekven iákból [22℄ származtattuk. A dolgozat felépítése a következ®: Az 1. fejezetben ismertetem a digitális topológia alapfogalmait és a topológia-meg®rz® reduk iókra korábban közölt feltételeket. A 2. fejezetben bemutatom a vázkijelölés és a vékonyítás legfontosabb módszereit.

Ezt követ®en az egyes fejezetek egy-egy tézis soportnak

felelnek meg, amelyekben a saját eredményeket mutatom be. A 3. fejezetben ismertetett els® tézis soport a reduk iós képm¶veletek topológia-meg®rzésére adott új elegend® feltételeket ismerteti. A 4. fejezet mely a 2. tézis soport eredményeit fedi le bemutatja azokat a 2D és 3D vékonyító algoritmusokat, amelyek a topológia-meg®rzés új feltételei, a párhuzamos vékonyító te hnikák és bizonyos geometriai kényszerfeltételek kombiná iójával születtek. Az 5. és a 6. fejezetben tárgyalom a 3. tézispontot, vagyis a 2D vázközelítések kvantitatív kiértékelésére javasolt módszert. A téziseket ismertet® fejezeteket követi az eredmények összegzése (magyarul és angol nyelven). Értekezésemet a közleményeim és a felhasznált források jegyzéke zárja.

1. fejezet A digitális topológia alapfogalmak és eredmények Ebben a fejezetben ismertetem a digitális topológia alapfogalmait és a reduk iós képm¶veletek topológia-meg®rzésére korábban javasolt elegend® feltételeket. A fentiek bemutatásakor a terület két elismert kutatója, Kong és Rosenfeld jelölésrendszerét és tárgyalásmódját követem [43, 44℄.

1.1. Digitális/bináris kép A digitális képek uniform mintavételezésére számos rá sot (és azokkal duális mozaikot) javasoltak [44, 68℄.

Dolgozatom a 2D és a 3D mer®leges rá sok Z2 és a Z3 halmaz elemei (amelyek

vizsgálatára szorítkozik, ahol a képpontok a

a 2D és a 3D euklideszi terek egész koordinátájú rá spontjai). Megjegyzem, 2 hogy a 2D eset ábráin a Z rá s helyett a vele duális mozaik egységnégyzetei reprezentálják a kép pontjait, elemeit. n Az n-dimenziós Z rá son a leggyakrabban a következ®

n-féle szomszédsági p = (p1 , . . . , pn ) és q = (q1 , . . . , qn ) Zn -beli pontok m-szomszédosak (m = 1, . . . , n), ha teljesülnek az alábbi feltételek:

relá iót veszik gyelembe. A

1. 2.

|pi − qi | ≤ 1 (i = 1, . . . , n), Pn i=1 |pi − qi | ≤ m.

Könnyen belátható, hogy a fenti relá iók mindegyike reexív és szimmetp ∈ Zn ponttal m-szomszédos pontok halmazát Nm (p) jelöli, míg a p ∗ pont valódi m-szomszédainak halmaza Nm (p) = Nm (p) \ {p}. 2 Z rá son az 1- és a 2-szomszédsági relá iókat rendre 4- és 8-szomszédságokrikus. A

nak is nevezik (mely elnevezések az eltér® koordináták legnagyobb megengedett száma helyett a valódi szomszédok számára utalnak). Hasonlóképpen, a 3D mer®leges rá son az 1-, a 2- és a 3-szomszédságok szokásos alternatív elnevezése rendre a 6-, a 18- és a 26-szomszédság [44℄. A gyelembe vett szomszédsági relá iókat az 1.1. ábra szemlélteti. 3

4

1. FEJEZET. DIGITÁLIS TOPOLÓGIA

♣

♣ ♦

p

♦

♦

⋆

♦

⋆

♣

♣

♣

p

⋆

(a)

⋆

⋆ ♣

♣

⋆ ♣

♣

♣

♣ ♣

(b)

1.1. ábra. A gyelembe vett szomszédsági relá iók 2D-ben (a) és 3D-ben (b). ∗ A p pont valódi 4-szomszédait (vagyis N4 (p) elemeit) jelöli. A p-vel 8szomszédos pontok N8 (p) halmaza N4 (p) elemeit és a ♦ szimbólummal jelölt ∗ pontokat tartalmazza. A p pont valódi 6-szomszédait (vagyis N6 (p) elemeit) ∗ ⋆ jelöli, a valódi 18-szomszédok (vagyis N18 (p)) halmazát a 6-szomszédok és

♣ szimbólummal jelölt pontok alkotják, míg a valódi 26-szomszédok (vagyis ∗ N26 (p)) halmaza a 18-szomszédokon kívül a szimbólummal jelölt pontokat

a

is tartalmazza.

Zn halmazon a lexikograkus rendezési relá ió p = (p1 , . . . , pn ), q = (q1 , . . . , qn ) ∈ Zn pontokra p ≺ q (p A

a

a

következ®:

megel®zi

q -t),

ha

∃i(1 ≤ i ≤ n) pi < qi

és

∀j(1 ≤ j ≤ i − 1) pj = qj .

p ∈ S pont a legkisebb eleme, ha a p ≺ q q ∈ S , q 6= p pontra. 2, 3) egy tetsz®leges ponthalmaz. A hp0 , . . . , pt i pontsorozat egy p0 -ból pt -be vezet® (t-hosszú) m-út (m = 1, . . . , n) S -ben, ha pi ∈ S (i = 0, ..., t) és pj ∈ Nm (pj−1) (j = 1, ..., t). Az S ponthalmaz p és q pontjai m-összefügg®ek, ha létezik köztük m-út S -ben. Könnyen belátható, hogy az m-összefügg®ségi relá ió reexív (mivel a hpi sorozat dení ió szerint egy 0 hosszúságú m-út), szimmetrikus (mivel az m-szomszédsági relá ió szimmetrikus, tehát valamennyi m-út megfordítása is egy m-út) és tranzitív (mivel két m-út összef¶zésével is egy m-utat kapunk). Az m-összefügg®ség tehát ekvivalen ia-relá ió, vagyis létrehoz az S ponthalmazon egy osztályozást, ahol az ekvivalen ia-osztályokat az S halmaz m-komponenseinek nevezzük [44℄. Az

S ⊂ Zn

véges halmaznak a

relá ió teljesül valamennyi n Legyen S ⊂ Z (n =

Bináris képek esetén a képpontok mindössze kétféle értéket, 0-t és 1-et vehetnek fel. Kong és Rosenfeld a

digitális bináris képeket

a

P = (V, k, k, B)

rendezett négyessel adja meg [44℄, ahol

• V

a képpontok halmaza,

• B ⊆ V pedig a

fekete pontok halmaza, fehér pontok halmaza, a

• k -összefügg®séget

melynek komplementere

tételezünk fel a fekete komponensekre, és

B = V \B

1.2. TOPOLÓGIA-MEGRZ REDUKCIÓK

(a) üreg

(b) üreg

5

( ) lyuk

1.2. ábra. Példák üregre és lyukra. Az (a) ábrán két véges fehér 4-komponens, vagyis üreg található, míg a (b) ábrán a két fehér pont egy fehér 6-komponenst, vagyis egy üreget alkot. A ( ) ábrán látható objektum lyukas.

• k -összefügg®séget A

(V, k, k, B)

veszünk gyelembe a fehér komponensekre.

képeket röviden

(k, k)

képeknek nevezzük.

Megjegyezzük, hogy a digitális topológia konven iója szerint a fekete pontok értéke 1, a fehéreké pedig 0. (Ez ellentétes azzal, hogy a nagyobb érték tartozzon a világosabb intenzitáshoz.) A

P

digitális kép véges, ha

B

véges.

Digitális bináris képeken a fekete

k -komponenseket objektumoknak nevezzük. Véges képeken egyetlen végtelen k -komponens, a háttér található, a véges fehér k -komponensek pedig a kép üregei. Ha egy fekete pont egymaga alkot komponenst, akkor ®t izolált pontnak nevezzük. Megjegyezem, hogy a dolgozatban sak a (Z2 , 8, 4, B) és a (Z3 , 26, 6, B) képekkel, vagyis a (8, 4) és a (26, 6) képekkel foglalkozom. A 3D képeknél meg kell említeni a lyuk (vagy más néven alagút) fogalmát fehér

is, amelynek nin s megfelel®je 2D-ben [44℄.

Lyukat tartalmazó objektumra

klasszikus példa a tórusz.

határpont a (V, k, k, B) képen, ha p k -szomszédos legalább ∗ egy fehér ponttal (vagyis N (p) ∩ B 6= ∅). Ha a p ∈ B pont nem határpont, k akkor ®t bels® pontnak nevezzük. A

p∈B

pont

1.2. Topológia-meg®rz® reduk iók A jelen alfejezetben ismertetjük a reduk iós képm¶veleteket, a topológia-meg®rz® reduk iókkal szemben támasztott elvárásokat, valamint az azokra korábban adott elegend® feltételeket.

V képpont-halmazon a T képm¶velet egy T : P (V ) → P (V ) leképezés, ahol P (V ) a V halmaz hatványhalmazát jelöli. A T képm¶velet a (V, k, k, B) képb®l a (V, k, k, T (B)) képet eredményezi. A T képm¶velet reduk ió, ha T (B) ⊆ B valamennyi B ⊆ V halmazra teljesül. A D = B \ T (B) halA

mazt a törölt pontok halmazának nevezzük. A reduk iók tehát bizonyos fekete pontokat fehérre változtatnak, amit

törlésnek

nevezünk.

Egy reduk ió legfontosabb tulajdonsága az, hogy meg®rzi-e a topológiát.

6


1.2.1. kritérium.

[43℄ Egy reduk ió topológia-meg®rz®, ha valamennyi képre

teljesíti az alábbi feltételeket: 1. nem szakít szét (kett® vagy több darabra) objektumot. 2. nem töröl teljesen objektumot. 3. nem olvaszt össze üreget sem másik üreggel, sem pedig a háttérrel. 4. nem hoz létre új üreget. 5. nem olvaszt össze kett® vagy több lyukat (3D reduk ió esetén). 6. nem szüntet meg lyukat (3D reduk ió esetén). 7. nem hoz létre lyukat (3D reduk ió esetén).

T reduk ió objektuma T (B)-nek

Az 1.2.1. kritérium els® két feltétele szerint a topológia-meg®rz® tetsz®leges

(V, k, k, B)

képre a

B

halmaz valamennyi

pontosan egy objektumát tartalmazza. hogy

V \ T (B)

valamennyi fehér

k -komponensét

A 3. és a 4. feltétel azt mondja ki,

k -komponense

a

V \B

halmaz pontosan egy

tartalmazza. Az utolsó három feltételt sak a 3D reduk iókra

kell gyelembe venni, mivel azok a lyukak meg®rzésére vonatkoznak. A digitális topológiában kul sfontosságú az egyszer¶ pont fogalma. A n pont egyszer¶ a (Z , k, k, B) képen, ha törlése egy topológia-meg®rz® re-

p∈B

duk ió [44℄. Az egyszer¶ pontok jellemzésére számos eredmény ismert [5, 8, 13, 20,44℄, melyek közül egyet-egyet mutatok be a

(8, 4) és a (26, 6) képekre [13,44℄.

1.2.1. tétel.

(Z2 , 8, 4, B)

[44℄ A

p∈B

pont

egyszer¶

a

képen, ha az alábbi

két feltétel teljesül: 1. A

p

2. Az

pont határpont.

N8∗ (p) ∩ B

halmaz pontosan egy 8-komponenst tartalmaz.

Az 1.2.1. tétel szerint egy pont egyszer¶sége a a kérdéses pont

3 × 3as

(8, 4)

képeken eldönthet®

lokális környezetének vizsgálatával.

Az 1.3. ábra

egyszer¶ és nem egyszer¶ pontokra mutat példát.

1.2.2. tétel.

[13℄ A

p∈B

pont akkor és sak akkor

egyszer¶

a

(Z3 , 26, 6, B)

képen, ha az alábbi három feltétel teljesül: 1. A

p

pont határpont (vagyis

N6∗ (p) ∩ B 6= ∅). ∗ N26 (p) ∩ B

halmazban.

pont bármely két fehér 6-szomszédja 6-összefügg® az

∗ N18 (p) ∩ B

2. Pontosan egy fekete 26-komponens található az 3. A

p

halmazban.


7

p

p

p

p

(a) egyszer¶

(b) nem egyszer¶

( ) nem egyszer¶

(d) nem egyszer¶

(8, 4)

képeken. Az (a) ∗ ábrán p egyszer¶ pont. A (b) esetben p nem egyszer¶, mivel N8 (p) két fekete komponenst tartalmaz, így p törlése szétszakíthat egy objektumot vagy

1.3. ábra. Példák egyszer¶ és nem egyszer¶ pontokra

összeolvaszthat két fehér 4-komponenst.

A ( ) ábrán

p

nem egyszer¶ pont,

mivel nin s fehér 4-szomszédja, ennélfogva p törlése egy üreget hoz létre. A ∗ (d) ábrán sem egyszer¶ p, mivel N8 (p)-ben nin s fekete 8-komponens, vagyis p törlése teljesen töröl egy objektumot.

Az egyszer¶ség lokális tulajdonság a (26,6) képeken is, mivel eldönthet® a kérdéses pont

3 × 3 × 3as

környezetének vizsgálatával (lásd 1.4. ábra).

Egy egyszer¶ pont törlése dení ió szerint topológia-meg®rz® reduk ió, viszont általános esetben egy reduk ió, nem egyetlen pontot, hanem egy ponthalmazt töröl. Egyszer¶ pontokból álló halmazok törlése viszont nem lesz minden esetben topológia-meg®rz® reduk ió. Például a (8,4) képeken egy

2×2

es négyzet alakú objektum valamennyi pontja egyszer¶, de törlésükkel elt¶nik egy objektum (ami nem teljesíti az 1.2.1. kritérium 2. feltételét). A reduk iók topológia-meg®rzésére többen javasoltak elegend® (de nem szükséges) feltételeket [7, 43, 58, 86, 97℄, melyek ismeretéhez szükségünk van az egyszer¶ halmaz, az egység-rá snégyzet és az egység-rá sko ka fogalmára. A

D⊂B

egyszer¶ halmaz a P = (V, k, k, B) képen, ha létezik olyan hp1 , p2 , . . . , pt i sorozata, hogy p1 egyszer¶ a P képen, (V, m, n, B \ {p1 , . . . , pi−1 }) képen (i = 2, . . . , t). Az üres

ponthalmaz

D

elemeinek egy

és

pi

egyszer¶ a

ponthalmaz dení ió szerint egyszer¶. [58℄. Tekintsük az 1.5. ábrát! Az 1.5(a) ábrán a r¶, mivel pl. az

hp, q, r, si

{p, q, r, s}

ponthalmaz egysze-

sorozatra teljesül az egyszer¶ halmaz dení iójában

szerepl® feltétel, vagyis mindegyik pont egyszer¶ marad a sorban ®t megel®z® pontok törlése után.

Az 1.5(b) ábrán viszont a

{p, q, r, s}

ponthalmaz nem

egyszer¶, mert bár önmagában minden eleme egyszer¶ pont, még sin s olyan sorozatuk, amelyben minden aktuálisan sorra következ® pont egyszer¶ lenne az ®t megel®z®k törlését követ®en.

egység-rá snégyzet négy egymással köl sönösen 8-szomszédos pontból áll, míg a (26, 6) képeken négy egymással köl sönesen 18szomszédos pont alkot egység-rá snégyzetet. A (26, 6) képeken egy egységrá sko kát egy nyol , egymással köl sönösen 26-szomszédos pontból álló hal(8, 4)

képeken egy

maz alkot. Az alábbi tétel

(8, 4)

képek topológia-meg®rz® reduk ióira ad elegend® fel-

tételeket.

1.2.3. tétel.

[43℄ A

T

reduk ió topológia-meg®rz®, ha valamennyi

teljesülnek az alábbi feltételek.

(8, 4) képre

8


p

p

p

(a) egyszer¶

(b) nem egyszer¶

( ) nem egyszer¶

p

p

(d) nem egyszer¶

(e) nem egyszer¶

1.4. ábra. Példák egyszer¶ és nem egyszer¶ pontokra (26,6) képeken. Az (a) ∗ ábrán a p pont egyszer¶. A (b) ábrán a p pont nem egyszer¶, mivel N26 (p) két fekete komponenst tartalmaz. Ekkor p törlése szétszakíthat egy objektumot.

p pont nem egyszer¶ , mivel a két fehér 6-szomszédja között nem ∗ létezik fehér 6-út N18 (p) ∩ B -ben. Ez esetben p törlése egy lyukat hozna létre, vagy összeolvaszthat két üreget. A (d) ábrán a p pont nem egyszer¶, mert nin s fehér 6-szomszédja, így p törlése egy üreget hozna létre. Az (e) ábrán a ∗ p pont nem egyszer¶ pont, mert N26 (p) nem tartalmaz fekete komponenst, p A ( ) ábrán a

törlése megszüntetne egy objektumot.

1. Valamennyi

T

2. Valamennyi

T

által törölt pont egyszer¶. által törölt, egymással 4-szomszédos pontpár egyszer¶ hal-

mazt alkot. 3.

T

nem töröl teljesen egyetlen egység-rá snégyzetbe foglalható objektu-

mot sem.

A következ® két tétel a

1.2.4. tétel.

[58℄ A

T

(26, 6)

képek reduk ióira ad elegend® feltételeket.

topológia-meg®rz® ha tetsz®leges

(26, 6) képre

teljesül-

nek az alábbi feltételek. 1. Valamennyi

T

által törölt egység-rá snégyzetbe foglalható ponthalmaz

egyszer¶. 2.

T

nem töröl teljesen egyetlen egység-rá sko kába foglalható objektumot

sem.


9

p q r s

p q r s

(a)

(b)

1.5. ábra. Példa egyszer¶ és nem egyszer¶ halmazra. Az (a) ábrán a

{p, q, r, s}

ponthalmaz egyszer¶, míg (b) ábrán nem az.

1.2.5. tétel. 6, B)

[86℄ A

T

reduk ió topológia-meg®rz®, ha tetsz®leges

P = (Z3 , 26,

képre az alábbi két feltétel mindegyike teljesül:

1. Legyen

p ∈ B

egy tetsz®leges olyan pont, amelyet töröl a

Legyen továbbá álló halmaz a Ekkor a 2. A

T

p

P

Q⊆B

egy tetsz®leges olyan, a

T

T

reduk ió.

által törölt pontokból

p ∈ Q és Q része egy egység-rá snégyzetnek. (Z3 , 26, 6, B \ (Q \ {p})) képen.

képen, hogy

pont egyszer¶ a

reduk ió nem törli teljesen

B egyetlen egység-rá sko kába foglalható

objektumát sem.

A 1.2.3., az 1.2.4. és az 1.2.5. tételek supán elegend® (de nem szükséges) feltételeket fogalmaznak meg, amelyek a törölt pontok bizonyos kongurá ióira vonatkoznak. Az említett tételek ezért supán a topológia-meg®rzés validálására alkalmazhatók.

2. fejezet A váz és a vázkijelölés módszerei A jelen fejezetben bemutatom a vázat és a vázszer¶ jellemz®k meghatározására javasolt legfontosabb módszereket.

2.1. A váz és vázszer¶ jellemz®k A váz egy régió-alapú jellemz®, amely reprezentálja az objektum általános alakját és topológiai szerkezetét. A vázat, mint alakleíró jellemz®t és a középtengely transzformá ió eredményét Blum vezette be az 1960-as években [14℄. A (Medial

Axis Transform, MAT)

középtengely transzformá ió

az objektum minden egyes pontjához megke-

resi a hozzá legközelebb es® határponto(ka)t [14, 102℄. Ha az eljárás valamely bels® pontra egynél több legközelebbi határpontot talál, akkor azt vázpontnak min®síti. A váz szemléletes megadására ugyan sak Blumtól származik a prérit¶z hasonlat: ha az objektum határát minden pontban egyid®ben meggyújtjuk, akkor az egymással verseng® és minden irányba egyenletes sebességgel terjed® t¶zfrontok az objektum vázpontjaiban találkoznak és oltják ki egymást [14℄. A vázra Calabi adott formális dení iót [17℄: egy

nD

objektum váza azok-

ból a pontokból áll, melyek középpontjai az objektumba írható maximális nyílt hipergömböknek (2D-ben körlapoknak, 3D-ben gömböknek). Egy hipergömb nyílt, ha nem tartalmazza a határát, beírható az objektumba, ha részhalmaza az objektumnak és maximális beírható, ha nem foglalható egyetlen más beírható hipergömbbe sem. A fenti három meghatározás egyenérték¶ségét a 2.1. ábra szemlélteti. A váz egy vékony és összefügg® struktúra, amely az objektum közepén helyezkedik el, továbbá reprezentálja az objektum alakját és topológiáját.

A

folytonos 2D objektumok váza 1-pont vékony görbe-szegmensekb®l áll, amelyet

középvonalnak hívunk.

A 3D objektumok váza 2D felszín-szegmenseket is

tartalmazhat, amelyek az objektum

középfelszínét

alkotják.

A váz invariáns

mindazon geometriai transzformá iókra, amelyek egy hipergömböt hipergömbbe visznek át (ilyen pl. az eltolás, a forgatás, a tükrözés és az uniform skálázás). 11

12

2. FEJEZET. A VÁZ ÉS A VÁZKIJELÖLÉS MÓDSZEREI

A B

C

2.1. ábra. Egy téglalap és váza. A középtengely transzformá ió a pirossal jelölt vázat adja, mivel azoknak az objektumpontoknak van egynél több legközelebbi határpontjuk. Két vázpontra, az A és a B esetében berajzoltam azokat a beírható maximális körlapokat is, amelyeknek a középpontjai A és a B. A körlapok és a határ zöld érintési pontjai alapján megállapíthatjuk, hogy a maximális körlapok legalább két pontban érintik a határt, egyrészt pontosan a vázpontok legközelebbi határpontjaiban, másfel®l azokban a pontokban, amelyekb®l induló t¶zfrontok az adott vázpontban találkoznak.

A C pont

nem tartozik a vázhoz, mivel egyrészt egyetlen legközelebbi határpontja van, másrészt a köré írt körlap nem maximális (mivel pl. a B középpontú körlap tartalmazza ®t), harmadrészt pedig az egyetlen legközelebbi határpontjából induló t¶zfront átlép rajta (nem találkozik C-ben más t¶zfronttal).

Az invarian ia azt jelenti, hogy a váz meghatározása és a geometriai transzformá ió végrehajtásának sorrendjét®l függetlenül ugyanazt az eredményt kapjuk. Diszkrét bináris képeken a folytonos vázat supán közelíteni tudjuk. Összefoglaló néven

vázkijelölésnek nevezzük

azokat a módszereket, amelyek diszkrét

tereken vázszer¶ jellemz®ket határoznak meg.

A középvonal és 3D objektu-

mok esetében a középfelszín, mint vázszer¶ jellemz®k mellett digitális bináris objektumok topológiai jellemzését a

topológiai mag

szolgál. A topológiai mag

topológia-meg®rz® reduk ióval áll el® a kiindulási objektumból és nem tartalmaz egyszer¶ pontot. Egy üreget (és 3D-ben lyukat) nem tartalmazó objektum topológiai magja egyetlen izolált pont, egyetlen üreget tartalmazó 2D objektumé egy zárt görbe, egyetlen üreget, de lyukat nem tartalmazó 3D objektum topológiai magja pedig egy 1-pont falvastagságú buborék, egy lyukat (de üreget nem) tartalmazó 3D objektumra (pl. a tóruszra) a topológiai mag egy zárt görbe. A vázszer¶ jellemz®ket a 2.2. ábra mutatja be.

2.1.1. kritérium.

Egy vázkijelöl® módszer eredménye teljesítse az az alábbi

topológiai és geometriai követelményeket: 1. Legyen topológiailag ekvivalens a kiindulási objektummal (vagyis a vázkijelölés legyen egy topológia-meg®rz® reduk ió). 2. Legyen vékony (vagyis a vázszer¶ jellemz®k 1 pont vastag diszkrét vonalvagy felszínszegmensekb®l álljanak).

2.2. A VÁZKIJELÖLÉS MÓDSZEREI

topológiai mag

13

középvonal

egy tömör téglatest és középfelszíne 2.2. ábra. Példák vázszer¶ alakjellemz®kre.

3. Az objektum közepén helyezkedjen el.

k ·90◦ (k = ±1, ±2 . . . ) (gyengített izotrópia kritérium) [4℄.

4. Legyen invariáns az eltolásra, a tükrözésekre, és a fokkal történ® elforgatásra

2.2. A vázkijelölés módszerei A vázkijelölésre (vagyis vázszer¶ jellemz®k meghatározására digitális bináris képeken) számos megközelítést javasoltak [102℄, melyek közül ebben az alfejezetben sak a három általános te hnikát (a távolság-informá iót használó, a Voronoi-diagramokon alapulót és a vékonyítást) mutatom be. A távolság-alapú vázkijelölés a

formation )

távolságtranszformá ión (distan e trans-

alapul, melynek bemenete egy bináris kép (ahol a jellemz® pon-

tok értéke 1), a kimenete pedig a (nem-bináris)

map).

távolságtérkép (distan e

A távolságtérkép az input kép adott pontjához legközelebb es® jel-

lemz® pont távolságát tartalmazza (az euklideszi- vagy valamely diszkrét távolság szerint).

Ha a távolság-transzformá ió jellemz® pontjai a háttérpon-

tok, akkor a vázpontoknak a távolságtérkép lokális maximumhelyei felelnek meg. Távolság-informá ión alapuló vázkijelöl® algoritmust számosan javasoltak [15, 21, 95, 96, 102℄. A lokális maximumhelyeket detektáló eljárások általában nem garantálnak topológiailag korrekt vázat, viszont hibamentes euklideszi távolságtérkép mellett geometriailag korrekt vázközelítést eredményeznek.

14


Topológiailag és geometriailag egyaránt korrekt a

Voronoidiagram on

[3,

92, 107℄ alapuló módszer. A Voronoi-diagram oly módon parti ionálja a (tetsz®leges dimenziójú) teret a bemen® diszkrét ponthalmaz, vagyis a generáló pontok alapján, hogy valamennyi Voronoi ella pontosan egy generáló pontot,

referen ia pontot

tartalmaz, továbbá tartalmazza a tér mindazon pontját,

amelyek az adott generáló ponthoz közelebb vannak, mint bármely más generáló ponthoz. A 2D Voronoi ellákat határoló Voronoi élek és a 3D Voronoi

ellákat határoló Voronoi lapok pontosan két generálóponttól esnek egyforma és minimális távolságra. A Voronoi-diagram és a váz kap solatát a következ® tétel fogalmazza meg [16℄:

Ha a generáló pontokat egyenletes, minden ha-

táron túl nomodó mintavételezéssel az objektum határán vesszük fel, akkor 2D Voronoi-diagramnak az objektumba es® élei, 3D-ben pedig az objektumba es® lapjai a vázhoz konvergálnak. Diszkrét objektumok esetén is a folytonos elemekb®l (élek, lapok) kell kiválasztani a vázhoz tartozókat, így a Voronoidiagramon alapuló vázkijelölés

félig folytonos (semi ontinuous) megközelítés.

A Voronoi-vázra teljesülnek a 2.1.1. kritérium feltételei, viszont a folytonos modell el®állítása és feldolgozása számos lebeg®pontos m¶veletet igényel. A harmadik általános vázkijelöl® te hnika a front-terjedést modellez® iteratív eljárás, a

vékonyítás (thinning).

A t¶zfrontok terjedése diszkrét tereken

diszkrét folyamat: egységnyi id® (iterá iós lépés) alatt az aktuális objektum határpontjai közül azokat törli, amelyek nem min®sülnek találkozó helynek. Az eljárás akkor ér véget, ha már nin s további törölhet® pont az objektumokon. A vékonyítás gyors és valamennyi vázszer¶ jellemz® meghatározására alkalmas módszer. A digitális topológia eredményei segítségével biztosítható a vékonyító algoritmusok topológiai korrektsége (vagyis az, hogy a vékonyítás valamennyi fázisa egy-egy topológia-meg®rz® reduk ió legyen). Mivel a vékonyító algoritmusok törlési szabályai lokálisak ( sak a vizsgált pont egy lokális környezetét®l függenek), így nem biztosítható az, hogy a vázkijelölés fel serélhet® legyen egy tetsz®leges szög¶ elforgatással.

2.3. A vékonyítás A vékonyítás mint iteratív objektum-reduk ió során minden egyes fázisában töröljük az adott algoritmus törlési feltételeinek eleget tev® határpontokat. Az eljárás terminál, ha nem talál több törölhet® pontot. Az eredményül kapott kép a kiindulási kép objektumainak vázszer¶ jellemz®it tartalmazza (lásd 2.3. ábra).

A vékonyító algoritmusokat két soportba soroljuk, szekven iáli-

sokba és párhuzamosokba, attól függ®en, hogy egyszerre sak egyetlen pontot távolíthatnak-e el, vagy pedig törölhetnek-e többelem¶ ponthalmazt is. A szekven iális vékonyítás általános sémáját a 2.1. algoritmus, a párhuzamosét pedig a 2.2. algoritmus írja le [34, 104℄. A szekven iális vékonyítás iterá iós lépései két fázisból állnak (lásd 2.1. algoritmus). Az els®ben megjelölik az egyszer¶ (határ)pontokat, majd a második fázisban a megjelölt pontokat egyenként meglátogatják és törlik az adott pon-

2.3. A VÉKONYÍTÁS

15

eredeti kép

4. iterá ió

12. iterá ió

17. iterá ió

26. iterá ió

az objektum középvonala

2.3. ábra. Példa vékonyításra.

2.1. algoritmus. 1: Input: a

A szekven iális vékonyítás sémája.

(V, k, k, X) kép (V, k, k, Y ) kép

2: Output: a 3:

Y =X

4:

repeat

5:

//

6:

//

7:

deleted =

8:

S = { p | p ∈ Y egyszer¶ pont } // második fázis: reduk ió for all p ∈ S do if p az Y halmaz törölhet® pontja then Y = Y \ {p}

9: 10: 11: 12: 13: 14:

egy iterá iós lépés els® fázis: kontúr-követés

false

true until deleted = false deleted =

16


tot, ha az törölhet®nek min®sül az aktuális képen. A hagyományos szekven iális vékonyító algoritmusok a kontúrkövetés fázisát követ®en, a megjelölt pontok különböz® bejárási sorrendjei esetén nem képesek ugyanazt az eredményt szolgáltatni. A bejárásfüggetlen szekven iális algoritmusokkal viszont tetsz®leges bejárás mellett ugyanazt a vázszer¶ jellemz®t kapjuk [37, 39, 40, 41, 93℄.

2.2. algoritmus. 1: Input: a 2: Output: 3: 4: 5: 6: 7: 8:

A (teljesen) párhuzamos vékonyítás sémája.

(V, k, k, X) kép a (V, k, k, Y ) kép

Y =X

repeat

egy iterá iós lépés D = { p | p az Y halmaz Y =Y \D until D = ∅ //

törölhet® pontja

}

A vékonyító algoritmusok a pontok törölhet®ségét azok egy lokális környezete alapján döntik el, amit

vizsgált környezetnek (support) nevezünk. Mivel a p objektum-

szekven iális vékonyító algoritmusok a törlés fázisukban a vizsgált

pontot sak akkor törölhetik, ha az egyszer¶ pont (ugyanis ellenkez® esetben nem ®riznék meg a topológiát), így a 2D algoritmusok esetében a vizsgált ∗ ∗ környezet nem lehet sz¶kebb az N8 (p) halmaznál, 3D-ben pedig N26 (p)-nél (lásd az 1.2.1. és az 1.2.2. tételeket). A párhuzamos algoritmusok által vizsgált környezetekre kés®bb térek ki.

A topológiai mag vékonyítással történ®

meghatározásakor supán a topológia-meg®rzését kell garantálni. A topológiai mag kinyerésére alkalmas vékonyítást reduk iós zsugorításnak is nevezik [34℄. Mivel vékonyítással nem sak a topológiai mag, hanem középvonal és (3D képek esetén) a középfelszín is meghatározható, ha a törlési feltételek geometriai kényszerfeltételeket is tartalmaznak. A hagyományos kényszerfeltétel a

végpon-

tok meg®rzését jelenti egy alkalmasan megválasztott végpont-kritérium szerint.

A középvonal meghatározására kidolgozott algoritmusokhoz vonal-végpont feltételeket határoztak meg, míg a középfelszín kinyerésére alkalmas módszerek bizonyos típusú felszín-végpontokat ®riznek meg. Ha egy objektumpont a vékonyítás valamely fázisában végponttá válik, akkor a védettsége folytán eleme lesz a vázszer¶ jellemz®nek, egy vázág végpontjaként vagy egy felszín-szegmens szegélypontjaként. Ha a végpont-kritérium túlzottan sok egyszer¶ pontra teljesül, akkor az adott algoritmus számos fölösleges vázelemmel (hamis ággal vagy felszín-darabkával) terhelt vázszer¶ jellemz®ket eredményez. Ha a vizsgált környezet túl kevés kongurá iója végpont, akkor az eljárás a másik végletbe esik, vagyis túlzsugorít. Bertrand és Couprie [12℄ más megközelítést javasolt. metriai kényszerfeltételt

sz¶kületi pontoknak (isthmus)

Az alternatív geo-

nevezték el. Míg vala-

mennyi javasolt végpont-feltételnél a végpontok egyszer¶ pontok, úgy a sz¶kületi pontok bizonyos nem egyszer¶ határpontok. A vékonyítás adott fázisában


17

a sz¶kületi pontnak min®sített pontok egy, a meg®rzend® pontok halmazába kerülnek és azok törölhet®ségét a kés®bbiekben sem vizsgálják. Így valamennyi sz¶kületi pont eleme lesz az eredményül kapott vázszer¶ jellemz®nek. Mivel a dolgozatomban szerepl® valamennyi új vékonyító algoritmus párhuzamos, így a sz¶kületi pontokat alkalmazó vékonyító sémák közül sak a párhuzamosat mutatom be a 2.3. algoritmussal. A sz¶kületi pontok

I

halmazának kezd®ér-

téke a 2.3. algoritmusban az üres halmaz, de lehetne a vékonyítást megel®z®en kijelölt jellemz®-pontok egy alkalmasan megválasztott halmaza is. A végpontok és a sz¶kületi pontok típusait a következ®, a 2.3.2. pontban tárgyalom.

2.3. algoritmus.

A sz¶kületi pontokat gy¶jt® (teljesen) párhuzamos vékonyí-

tás sémája 1: Input: a

(V, k, k, X) kép (V, k, k, Y ) kép

2: Output: a 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10:

Y =X I=∅

repeat

egy iterá iós lépés I = I ∪ { p | p ∈ Y \ I és p sz¶kületi pont } D = { p | p ∈ Y \ I és p az Y \ I törölhet® Y =Y \D until D = ∅ //

pontja

}

Rosenfeld bebizonyította, hogy nem konstruálható olyan párhuzamos zsugorító vagy vékonyító algoritmus, amely iterá iónként sak egyetlen olyan pár-

3 × 3as körkonstruálható 3 × 3 × 3

huzamos reduk iót alkalmaz, amelyik supán a képpontok lokális nyezetét vizsgálja [98℄. Hasonlóképpen, 3D-ben sem

as környezetet vizsgáló, egyetlen reduk ióval operáló párhuzamos vékonyító algoritmus.

Ezen korlátok feloldására a párhuzamos vékonyításra három f®

te hnikát, a

teljesen párhuzamosat,

az

irány-

A teljesen párhuzamos 2D algoritmusok reduk iói 3D-ben javasoltak pedig a

almez®-alapút javasolták. a 3 × 3as környezetnél, a

és az

3 × 3 × 3asnál b®vebb környezetet vizsgálnak, a 3×3as vagy 3×3×3as környezettel

további két te hnika pedig többféle (akár dolgozó) reduk iót ismétel iklikusan.

Megjegyezem, hogy léteznek olyan vastag objektumok, amelyek nem vékonyíthatók [104℄ (lásd 2.4. ábra).

2.3.1. A párhuzamos vékonyítás módszerei A következ®kben a párhuzamos vékonyítás három módszerét mutatom be.

18


2.4. ábra. Példa nem vékonyítható objektumra. Hasonló (egyszer¶ pontot nem tartalmazó), tetsz®leges méret¶ objektumokat akár 3D-ben is konstruálhatunk.

Teljesen párhuzamos vékonyító algoritmusok A

teljesen párhuzamos (fully parallel) vékonyító algoritmusok minden vékonyító

fázisban (iterá iós lépésben) ugyanazt a reduk iót hajtják végre [34℄. Az eljárás akkor ér véget, ha az adott iterá iós lépésben már nem tudtunk újabb pontot törölni a képr®l (lásd 2.2. algoritmus).

A teljesen párhuzamos algoritmusok

m¶ködését a 2.5. ábra szemlélteti.

kiindulási objektum

1. iterá ió

2. iterá ió

2.5. ábra. A teljesen párhuzamos vékonyító stratégia szemléltetése.

A 2D teljesen párhuzamos vékonyító algoritmusok törlési feltételeinek vizsgált környezete nagyobb a

3 × 3asnál,

de nem b®vebb az

5 × 5ös

környezet-

nél [31, 65, 66, 100, 110℄. Hasonlóképpen, a 3D teljesen párhuzamos vékonyító algoritmusok törlési feltételeinek vizsgált környezete b®vebb a és nem b®vebb az

5 × 5 × 5ösnél

3 × 3 × 3asnál

[55, 59, 61, 81, 109℄.

A párhuzamos vékonyító algoritmusok hatékonyságának jellemzésére Hall bevezette a

párhuzamos sebesség

mér®számot [35℄, ami az adott eljárásnak

az adott tesztkép vékonyításakor végrehajtott reduk iók számával egyenl®. A párhuzamos sebesség a teljesen párhuzamos algoritmusok esetén megegyezik az iterá iók számával.

Irány-alapú vékonyító algoritmusok Az

irány-alapú (dire tional)

algoritmusok egy iterá iós lépése

követ® reduk ióból, alitárá ióból áll [34℄.

l ≥2

egymást

A reduk iók sorrendjét az algorit-

musra jellemz® l-elem¶ törlési irány-sorozat határozza meg. Az adott irányhoz tartozó aliterá ió során sak adott irányú határpontok törölhet®k.


19

N határpont egy (8, 4) képen, ha az n szomszédja fehér S -, a W - és az E -határpontok is hasonlóan deniálhatók. Továbbá a p fekete pont NE -határpont, ha az n vagy az e szomszédja fehér (lásd 2.6. ábra). Az NW -, az SE - és az SW -határpontok is hasonlóképpen deniálhatók. A határpontok típusai a (26, 6) képeken is hasonlóan Egy

p

fekete pont

(lásd 2.6(a) ábra). Az

deniálhatók.

nw

n

ne

w

p

e

sw

s

se

unw un une uw u ue usw us use nw n ne p w e sw s se dnw dn dne dw d de dsw ds dse

(a)

2.6. ábra. Az

N8∗ (p)

(b)

∗ N26 (p)

(a) és az

(b) halmazokba es® pontok jelölése.

Az irány-alapú párhuzamos vékonyító algoritmusok általános sémáját a 2.4. algoritmus mutatja be.

2.4. algoritmus. 1: Input: a 2: Output: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12:

Az irány-alapú algoritmusok általános sémája.

(V, k, k, X) kép és a (V, k, k, Y ) kép

a törlési irányok egy

hd1 , . . . , dl i

sorozata

Y =X

repeat

egy iterá ió D=∅ for i = 1 to l do // egy aliterá ió Di = {p | p di -határpont Y = Y \ Di D = D ∪ Di until D = ∅ //

és az

Y

halmaz törölhet® pontja

}

A 2D algoritmusok esetében egy iterá ió 2-, 4- vagy 8-aliterá ióból áll. A

hNE, SW i valamint az hNW, SEi [18, 30, 57, 111℄, 4-aliterá ió esetében az hN, E, S, W i [1, 23, 65, 66, 98, 103℄, valamint 8aliterá iós algoritmusoknál az hN, NE, E, SE, S, SW, W, NW i [65, 66℄ a 2-aliterá iós algoritmusoknál az

törlési irányok leggyakrabban alkalmazott sorrendje. A 3D irány-alapú algoritmusoknál 3-, 6-, 8- és 12-aliterá iós változatokat

hUD, NS, EW i [79, 80, 83℄, a 6-aliterá iós változatoknál az hU, D, N, E, S, W i [6, 28, 48, 52, 54, 69, 84, 106℄, a 8 fázisból álló algoritmusokban az hUSW, DNE, USE, DNW, UNE, DSW,

javasoltak. 3-aliterá iós algoritmusok esetén az

20


UNW, DSEi [85℄, míg a 12 irányból törl® algoritmusoknál az hUS, NE, W D, ES, UW, ND, SW, UN, ED, NW, UE, SDi [51, 53, 86℄ a törlési irányok javasolt sorrendje. Az irány-alapú algoritmusokra a topológia-meg®rzés tulajdonságának ellen®rzése könnyebb, mint a teljesen párhuzamos algoritmusok esetében. vizsgált környezet 2D-ben általában a

3 × 3as,

3D-ben pedig a

A

3 × 3 × 3as.

A párhuzamos sebesség az irány-alapú eljárásoknál megegyezik az iterá iószám és az aliterá iók számának szorzatával. Az irány-alapú vékonyítás folyamatát a 2.7. ábra mutatja be.

kiindulási objektum 1. iterá ió

törlés

N

irányból

törlés

E

irányból

törlés

S

irányból

törlés

W

irányból

irányból

törlés

E

irányból

törlés

S

irányból

törlés

W

irányból

2. iterá ió

törlés

N

2.7. ábra. Az irány-alapú vékonyító stratégia szemléltetése a törlési irányok

hN, E, S, W i

sorozatára.

Almez®-alapú vékonyító algoritmusok Az

almez®-alapú (subeld-based)

algoritmusokhoz a képpontok

egy parti ionálása tartozik, vagyis bontjuk. Ha az almez®k száma

s,

V -t

V

halmazának

diszjunkt részhalmazokra, almez®kre

akkor egy iterá iós lépés

s

aliterá ióból áll,

ahol az almez®k felváltva aktiválódnak, és az egyes aliterá iókban sak az aktív almez®be es® pontok közül kerülnek ki a törölhet®k [34℄. 2 A képpontok Z halmazának kett® [26, 30℄ és négy [38, 70℄ almez®re történ® 3 felbontását a 2.8. ábra mutatja be. A Z halmaz parti ionálására kett® [62, 63℄,


21

négy [64℄ és nyol [10℄ almez®t javasoltak (lásd 2.9. ábra). 0 1 0 1

1 0 1 0

0 1 0 1

1 0 1 0

0 2 0 2

(a)

2.8. ábra. pontok az

1

0

1

0

1

1

0

0 0

0 1

2 0

(a)

1 3

0

Az

3

5 7

(b)

7

1 3

5 7

( )

Z3 felosztása kett® (a), négy (b) és nyol ( ) almez®re. 3 az Ss (i) halmazba esnek (s = 2, 4, 8; i = 0, . . . , s − 1).

2.9. ábra. pontok

6

7

2

4

2

0

6

0

6

3

7 2

4

1

0

5

3 6

3

2

1

1

0

7

1

7 1

jelölt

3

5

0 2

3

7

2

3 1

1

0

1

0 0

0

3

2

1 1

1

0

0

0 0

1

1 3 1 3

(b)

1

1

0

0 2 0 2

Z2 parti ionálása kett® (a) és négy (b) almez®re. Az i-vel Ss2 (i) almez®be tartoznak (s = 2, 4; i = 0, . . . , s − 1).

0 1

1 3 1 3

Az i-vel jelölt

SFs2 (i) (s = 2, 4; i = 0, . . . , s − 1) és SFs3 (i) (s = 2, 4, 8; i = 0, . . . , s − 1)

halmazokat az alábbi formulák írják le:

SF22 (i) = { (x, y) | (x + y) mod 2 = i } SF42 (i) = { (x, y) | 2(y mod 2) + x mod 2 = i } SF23 (i) = { (x, y, z) | (x + y + z) mod 2 = i} SF43 (i) = { (x, y, z) | 2((z + y) mod 2) + (y + x) mod 2 = i } SF83 (i) = { (x, y, z) | 4(z mod 2) + 2(y mod 2) + x mod 2 = i } Az almez®-alapú algoritmusok általános sémáját a 2.5. algoritmus mutatja be. A létez® 2D almez®-alapú algoritmusok vizsgált környezete általában as, a 3D eljárásoké pedig

3×3

3 × 3 × 3as.

Mivel az aktív almez®be es® objektumpontoknak a többi almez®be es® objektumpont szomszédai nem törölhet®k az adott fázisban, így a topológiameg®rzés könnyebben biztosítható. Az almez®-alapú algoritmusok esetében a párhuzamos sebesség az almez®k számának és az iterá iók számának szorzatával egyezik meg.

22


2.5. algoritmus. 1: Input: a

Az almez®-alapú algoritmusok sémája

s

almez®re.

n

(Z , k, k, X) kép (Zn , k, k, Y ) kép

2: Output: a 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12:

Y =X

repeat

egy iterá ió D=∅ for i = 0 to s − 1 do // egy aliterá ió Di = {p | p az SFsn (i) ∩ Y Y = Y \ Di D = D ∪ Di until D = ∅ //

halmaz törölhet® pontja

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

}

kiindulási objektum 1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1. iterá iós lépés

SF22 (0)


SF22 (1)

aktív


SF22 (0)

aktív


SF22 (1)

aktív

aktív

2.10. ábra. Almez®-alapú 2D vékonyítás 2 almez®vel.

2.3.2. Geometriai kényszerfeltételek A vékonyító algoritmusok reduk iói nem törölnek olyan pontokat, amelyek lényegesek az adott vázszer¶ jellemz®kben. A javasolt védett pontok két soportba sorolhatók: a

végpontok (endpoints)

és a

sz¶kületi pontok (isthmuses).

A vékonyító algoritmusokban leggyakrabban az alábbi végpont-feltételek valamelyike biztosítja az alakmeg®rzést.

(Megjegyzend®, hogy léteznek más

végpont-feltételek is, azonban a 4. fejezetben bemutatott algoritmusainkban

sak ezen végpont-feltételek valamelyikét vesszük gyelembe).

A topológiai

magok meghatározására javasolt zsugorító algoritmusainkat olyan spe iális vékonyító algoritmusoknak tekintjük, amelyek a

T K végpont

feltételeket veszik

gyelembe.

2.3.1. dení ió. képeken, amely

Nem létezik olyan

T K végpont

lenne.

p

fekete határpont a

(A

T K végpont

(8, 4)

és a

(26, 6)

feltételnek eleget tev®


23

fekete pontok halmaza üres.) Nézzük el®ször a 2D vékonyító algoritmusokban alkalmazott végpont-feltételeket.

2.3.2. dení ió.

[34℄ A

2.3.3. dení ió.

[34℄ A

2.3.4. dení ió.

[34℄ A

p ∈ B egyszer¶ pont C12 végpont a (Z2 , 8, 4, B) képen, ∗ ha N8 (p)∩B = {q} (vagyis p-nek pontosan egy fekete valódi 8-szomszédja van). p ∈ B egyszer¶ pont C22 végpont a (Z2 , 8, 4, B) képen, ∗ ha legfeljebb kett®, egymással 4-szomszédos pont található N8 (p)-ben (vagyis N8∗ (p) ∩ B = {q} vagy N8∗ (p) ∩ B = {q, r} és r ∈ N4∗ (q)). p ∈ B egyszer¶ pont C32 végpont a (Z2 , 8, 4, B) képen, ∗ ha legfeljebb kett®, egymással 8-szomszédos pont található N8 (p)-ben (vagyis N8∗ (p) ∩ B = {q} vagy N8∗ (p) ∩ B = {q, r} és r ∈ N8∗ (q)).

2.3.5. dení ió. képen, ha

N8∗ (p)

[9, 65℄ A

p ∈ B

egyszer¶ pont

C42 végpont

a

(Z2 , 8, 4, B)

C52 végpont

a

(Z2 , 8, 4, B)

nem tartalmaz bels® pontot.

2.3.6. dení ió.

[9, 65℄ A p ∈ B egyszer¶ pont ∗ képen, ha N4 (p) nem tartalmaz bels® pontot.

A 2.11. ábrán néhány példa látható a (8, 4) képekre javasolt ötféle vég2 2 pontra. Jelölje Ci azon pontok halmazát, amelyek kielégítik a Ci végpontok feltételeit (i = 1, . . . , 5). A végpontok halmazaira fennáll az alábbi tartalmazási relá ió:

C12 ⊂ C22 ⊂ C32 ⊂ C42 ⊂ C52 .

5 b b 5 4 b i i b 4 5 b b

1 b 3 b 3 2

2.11. ábra. Példák végpontokra a végpont

(8, 4)

(j = 1, . . . , 5; i = j, . . . , 5).

képeken.

A

j -vel

jelölt végpont

Ci2

Az i-vel jelölt pontok bels® pontok, míg

b jelöli azokat a határpontokat, amelyek nem végpontok egyetlen

j -re

sem.

A 3D vékonyító algoritmusokhoz az alábbi végpont-feltételeket javasolták.

2.3.7. dení ió. ha

p ∈ B pont C13 vonal-végpont a (Z3 , 26, 6, B) képen, ∗ ∗ ∗ N26 (p) ∩ B = {q}, továbbá N26 (q) ∩ B = {p} vagy N26 (q) ∩ B = {p, r}.

2.3.8. dení ió.

[63℄ A

A

p ∈ B

egyszer¶ pont

C23 vonal-végpont

a

képen, ha pontosan egy fekete valódi 26-szomszédja van, vagyis

{q}.

(Z3 , 26, 6, B) ∗ N26 (p) ∩ B =

24


2.3.9. dení ió. B)

3 egyszer¶ pont S1 felszín-végpont a ∗ képen, ha nin s bels® pont a N6 (p) ∩ B halmazban. [65℄ A

2.3.10. dení ió. B)

3 egyszer¶ pont S2 felszín-végpont a ∗ képen, ha nin s bels® pont a N18 (p) ∩ B halmazban.

p∈B

[65℄ A

2.3.11. dení ió. B)

p∈B

3 egyszer¶ pont S3 felszín-végpont a ∗ képen, ha nin s bels® pont a N26 (p) ∩ B halmazban.

2.3.12. dení ió.

p∈B

[65℄ A

p ∈ B egyszer¶ pont S43 felszín-végpont ∗ q, r ∈ N6∗ (p) ∩ B , hogy q ∈ / N18 (r).

A

képen, ha van olyan

a

(Z3 , 26, 6, (Z3 , 26, 6, (Z3 , 26, 6,

(Z3 , 26, 6, B)

2.3.13. dení ió.

3 [28℄ Tekintsünk a p ∈ B egyszer¶ pontot a (Z , 26, 6, B) ∗ ∗ képen. Legyen t a N26 (p) ∩ B halmaz elemszáma, ti pedig azon N6 (p) ∩ B beli pontok száma, amelyek a p-t tartalmazó i-edik egység-rá sko kába esnek. (Megjegyezzük, hogy az van, amely tartalmazza

N26 (p) környezeten belül nyol olyan egység-rá sko ka p-t, így i = 1, . . . , 8.) A p pont S53 felszín-végpont, ha

t ≥ 8 ∨ (4 ≤ t ≤ 7 ∧ (∃i ∈ {1, . . . , 8}

Jelölje

Ci3

tok halmazát

melyre

ti = 3)).

Ci3 vonal-végpontok halmazát és Sj3 pedig az Sj3 felszín-végpon(i = 1, 2; j = 1, 2, 3). Könnyen belátható, hogy a 3D végpontok

a

halmazaira az alábbiak teljesülnek:

C13 ⊂ C23 ⊂ S33 ⊂ S23 ⊂ S13 . A 2.12. ábra néhány példát ad az egyes 3D végpont-típusokra.

a

h b g c

e f

d 2.12. ábra. Példák 3D végpontokra. A jelölt pontok a következ® végpont3 3 3 3 3 3 3 3 halmazokba tartoznak: a ∈ {C2 , S3 , S4 }, b ∈ {S4 , S5 }, c ∈ {S1 }, d ∈ {S2 , S4 }, e ∈ {S43 , S53 }, f ∈ {S43 }, g ∈ {S43 , S53 }, h ∈ {C13 , C23 , S33 , S43 }. (Megjegyezzük, hogy a jelöletlen fekete pontok nem egyszer¶ek.) Vékonyító algoritmusokra az alakmeg®rzés nem supán a végpontok törlésének tilalmával biztosítható, hanem a sz¶kületi pontokat meg®rz® vékonyító sémával is (lásd 2.3. algoritmus). Sz¶kületi pontokra az alábbi meghatározásokat javasolták.


2.3.14. dení ió.

[76℄A

25

p∈B

IC2 sz¶kületi pont a (Z2 , 8, 4, B) képen, ∗ található N8 (p)-ben. (Más szavakkal: p

pont

ha legalább két fekete 8-komponens

nem izolált határpont, és nem egyszer¶ pont.)

2.3.15. dení ió.

ha legalább két fekete mazva:

p

IC3 sz¶kületi pont a (Z3 , 26, 6, B) képen, ∗ 26-komponens található N26 (p)-ben. (Másképpen fogal-

[10℄ A

p∈B

pont

nem izolált pont határpont és nem teljesül rá az egyszer¶ pontokra

adott 1.2.2. tétel 2. feltétele.)

2.3.16. dení ió.

[78℄A

p∈B

pont

IS3 sz¶kületi pont

a

(Z3 , 26, 6, B)

képen, 3 ha IC sz¶kületi pont vagy nem teljesül rá az 1.2.2. tétel 3. feltétele (vagyis p nem egyszer¶ határpont). Megjegyezzük, hogy Bertrand és Aktouf [10℄ a középfelszínek meghatározá-

sára javasolt sz¶kületi pontjai sak az 1.2.2. tétel 3. feltételének tesznek eleget. 3 Az általunk javasolt IS sz¶kületi pontok alkalmazása biztosítja azt, hogy s®szer¶ szegmensekre 1-pont vékony görbéket kapjunk. A sz¶kületi pontokra a 2.13. ábra mutat példákat.

I I I

a

c

b

I

(a)

(b)

2 2.13. ábra. Példák sz¶kületi pontokra. Az I-vel jelölt pontok IC sz¶kületi 3 3 pontok (a). Az a és c IC típusú sz¶kületi pont, míg a b pont kielégíti az IC és 3 az IS sz¶kületi pontok feltételeit is (b).

3. fejezet Topológia-meg®rz® reduk iók Az 1.2. alfejezetben ismertetett, a

(8, 4)

és a

(26, 6)

képek topológia-meg®rz®

reduk ióira javasolt elegend® feltételek pont-kongurá iók törölhet®ségét vizsgálják, így azok sak egy adott reduk ió topológiai korrektségének ellen®rzésére alkalmazhatók. A jelen fejezetben olyan elegend® feltételeket mutatok be, amelyek egyedi pontok törölhet®ségére vonatkoznak, így azok segítségével új topológia-meg®rz® reduk iókat, topológiailag korrekt új párhuzamos vékonyító algoritmus- saládokat származtathatunk.

3.1. Elegend® feltételek 2D topológia-meg®rz® reduk iókra A jelen alfejezetben az általunk javasolt elegend® feltételeket mutatom be

(8, 4)

képek topológia-meg®rz® reduk ióira. A feltételek két soportba oszthatók, az els®ket (a 3.1.1.3.1.5. tételekben megfogalmazottakat) szimmetrikusnak neveztem el, (mivel azok nem függnek a pont-koordináták lexikograkus rendezését®l), míg a második soport (lásd 3.1.6.3.1.9. tételek) feltételei az aszimmetrikus jelz®t kapták. Az els® tétel a 2D teljesen párhuzamos vékonyító algoritmusokra alkalmazható.

3.1.1. tétel. 4, B)

[75, 77℄ A

T


képre és annak bármely

T

által törölt

p∈B

(Z2 , 8,

pontjára teljesül az alábbi

három feltétel: 1. A

p

egyszer¶ pont a

(Z2 , 8, 4, B)

képen.

q ∈ N4∗ (p)∩B egyszer¶ pontra p egyszer¶ a (Z2 , 8, 4, B \{q}) 2 vagy q egyszer¶ a (Z , 8, 4, B \ {p}) képen.

2. Valamennyi képen, 3. A

p

pont nem eleme a 3.1(d)-(j) ábrán látható egyik objektumnak sem.

27

28

3. FEJEZET. TOPOLÓGIA-MEGRZ REDUKCIÓK

Bizonyítás.

Megmutatjuk, hogy a fenti feltételeknek eleget tev®

T

reduk ió

teljesíti az 1.2.3. tétel valamennyi feltételét. 1. Mivel a

p

pontra teljesül a jelen tétel 1. feltétele, így az 1.2.3. tétel els®

feltétele (vagyis, hogy valamennyi

T

által törölt pont egyszer¶) is teljesül.

2. A jelen tétel 2. feltétele szerint bármely annak bármely (függetlenül

q

4-szomszédos,

q

T

által törölhet®

p

pont és

fekete egyszer¶ 4-szomszédja egyszer¶ halmazt alkot

törölhet®ségét®l). Ennélfogva, bármely kett®, egymással

T

által törölhet® pontból álló halmaz egyszer¶, vagyis tel-

jesül az 1.2.3. tétel 2. feltétele. 3. A 3.1. ábra bemutatja az egység-rá snégyzetbe foglalható összes (mind a tízféle) objektumot. A 3.1. ábra (a) objektuma egy izolált (nem egyszer¶) pont, mely nem törölhet®

T

által az 1. feltétel szerint. A következ® két

egymással 4-szomszédos pontpárok alkotta objektum (3.1(b) és ( ) ábra) egyik pontja sem törölhet®

T

által, hiszen egyik pontjukra nem teljesül

a jelen tétel 2. feltétele. A fennmaradó hét objektum (3.1(d)-(j) ábra) egyik pontja sem törölhet® a tétel 3. feltétele szerint. Következésképpen, a

T

reduk ió nem törölhet teljesen egyetlen egység-rá snézetbe foglalható

objektumot sem, így teljesül az 1.2.3. tétel 3. feltétele is.

⋆ (a)

⋆ (f)

⋆

⋆

⋆

⋆

(b)

( )

(d)

(e)

⋆

⋆

⋆

⋆

(g)

(h)

(i)

(j)

3.1. ábra. A tíz lehetséges egység-rá snégyzetbe befoglalható objektum. A

⋆

szimbólummal jelölt fekete pontok az objektumok legkisebb elemei. A fenti két tétel feltételeivel teljesen párhuzamos vékonyító algoritmusokhoz juthatunk. A következ® két tétellel az irány-alapú párhuzamos vékonyító algoritmusoknál alkalmazható elegend® feltételeket fogalmazok meg. A tételek bizonyí∗ tásaiban a kérdéses p pontra az N4 (p) halmaz elemeit a 2.6(a) ábra szerint jelöljük.

3.1.2. tétel.

T , i-határpontokat (i ∈ {N, E, S, W }) törl® reduk ió 2 topológia-meg®rz®, ha tetsz®leges (Z , 8, 4, B) képre és annak bármely T által törölt p ∈ B pontjára teljesül az alábbi három feltétel: [77℄ A

3.1. 2D TOPOLÓGIA-MEGRZ REDUKCIÓK

1. A

p

2.

• i ∈ {N, S}:

pont egyszer¶

i-határpont

a

(Z2 , 8, 4, B)

29

képen.

2 egyszer¶ és i-határpont a (Z , 8, 4, B) képen, akkor p 2 2 egyszer¶ a (Z , 8, 4, B \ {w}) képen vagy w egyszer¶ a (Z , 8, 4,

Ha

w

B \ {p}) képen. Ha e egyszer¶ és i-határpont a (Z2 , 8, 4, B) képen, akkor p egy2 2 szer¶ a (Z , 8, 4, B \ {e}) képen vagy e egyszer¶ a (Z , 8, 4, B \ {p}) képen. • i ∈ {E, W }:

n egyszer¶ és i-határpont a (Z2 , 8, 4, B) képen, akkor p egy2 2 szer¶ a (Z , 8, 4, B \ {n}) képen vagy n egyszer¶ a (Z , 8, 4, B \ {p}) képen. Ha s egyszer¶ és i-határpont a (Z2 , 8, 4, B) képen, akkor p egy2 2 szer¶ a (Z , 8, 4, B \ {s}) képen vagy s egyszer¶ a (Z , 8, 4, B \ {p}) képen.

3. A

p

Ha

pont nem eleme a 3.1(d) és az (e) ábrán látható objektumok egyiké-

nek sem.

Bizonyítás.


T

reduk ió

teljesíti az 3.1.1. tétel valamennyi feltételét. 1. A jelen tétel 1. feltétele szerint a

T

által törölt

p

pont egyszer¶, így

teljesül a 3.1.1. tétel 1. feltétele.

i ∈ {N, S}, akkor a 3.1.1. tétel 2. feltételéb®l kizárható azon {p, q} halmazok vizsgálata, ahol q = n és q = s, mivel ezekben az esetekben p és q közül valamelyik szükségképpen nem lesz i-határpont, így nem törölhet® T által. Az i ∈ {E, W } esetekben pedig a q = e és q = w szomszédokkal képzett {p, q} halmazok

2. A 2.6(a) ábra jelöléseinek megfelel®en, ha

zárhatók ki a vizsgálatból. A fennmaradó, a jelen tétel 2. feltételében leírt esetekre pedig teljesül a 3.1.1. tétel 2. feltétele. 3. A 3.1.1. tétel 3. feltételében szerepl® hét egység-rá snézetbe foglalható objektum közül az utolsó öt (a 3.1(f )-(j) ábrán látható) objektumok mindegyike tartalmaz

T

által nem törölhet® nem

i-határpontot.

Kö-

vetkezésképpen a jelen tétel 3. feltételében szerepl® fennmaradó kett®, a 3.1(d) és az (e) ábrák objektumainak meg®rzésével teljesül a 3.1.1. tétel 3. feltétele is.

3.1.3. tétel.

T , i-határpontokat (i ∈ {NE, SE, SW, NW }) törl® re2 duk ió topológia-meg®rz®, ha tetsz®leges (Z , 8, 4, B) képre és annak bármely T által törölt p ∈ B pontjára teljesül az alábbi három feltétel: [77℄ A

30


1. A

p

i-határpont

pont egyszer¶

a

(Z2 , 8, 4, B)

képen.

q ∈ N4∗ (p) ∩ B egyszer¶ és i-határpontra p egyszer¶ a (Z , 8, 4, B \ {q}) képen, vagy q egyszer¶ a (Z2 , 8, 4, B \ {p}) képen.

2. Valamennyi 2

3. Az egység-rá sko kába foglalható objektumokra az alábbi feltételeknek kell teljesülni:

• i ∈ {NE}: A p pont nem

eleme a 3.1(d),(e),(f ),(h),(i) ábrán látható objektu-

mok egyikének sem.

• i ∈ {SE}: A p pont nem

eleme a 3.1(d),(e),(f ),(g),(h) ábrán látható objektu-

mok egyikének sem.

• i ∈ {SW }: A p pont nem

eleme a 3.1(d),(e),(f ),(g),(i) ábrán látható objektu-

mok egyikének sem.

• i ∈ {NW }: A p pont nem

eleme a 3.1(d),(e),(g),(h),(i) ábrán látható objektu-

mok egyikének sem.

Bizonyítás.

Bizonyítandó, hogy a fentieknek eleget tev®

T

reduk ió teljesíti

a 3.1.1. tétel valamennyi feltételét. 1. A jelen tétel 1. feltétele szerint a

T

által törölt

p


teljesül a 3.1.1. tétel 1. feltétele. 2. A 2. feltétel annyiban tér el a 3.1.1. tétel 2. feltételét®l, hogy a kikötöttük még azt is, hogy azok sak

i-határpontok

q pontokra

lehetnek. A szigo-

rúbb feltétel kielégítése maga után vonja az enyhébb feltétel teljesülését. 3. A 3.1.1. tétel 3. feltételében szerepl® hét egység-rá snézetbe foglalható objektum közül valamennyi i-re az utolsó (a 3.1(j) ábrán látható) és még egy objektum tartalmaz olyan pontot, ami

i-határpont.

T


Következésképpen a jelen tétel 3. feltételében szerepl® ötféle

( sak i-határpontokból álló) objektumok meg®rzése teljesíti a 3.1.1. tétel 3. feltételét.

A következ® két tétel a 2D almez®-alapú párhuzamos vékonyító algoritmusoknál alkalmazható.

3.1.4. tétel.

[77℄ A

T

reduk ió, mely sak az

SF22 (i) (i = 0, 1)

almez®be es® 2

pontokat törli (lásd 2.8(a) ábra), topológia-meg®rz®, ha tetsz®leges képre és annak bármely feltétel:

T

által törölt

p ∈B

(Z , 8, 4, B)

pontjára teljesül az alábbi két


(Z2 , 8, 4, B)

31

1. A

p

pont egyszer¶ a

2. A

p

pont nem eleme a 3.1(d) és az (e) ábrán látható objektumok egyiké-

képen.

nek sem.

Bizonyítás.


T

reduk ió

teljesíti az 3.1.1. tétel feltételeit.

T

1. A jelen tétel 1. feltétele szerint a

által törölt

p


teljesül a 3.1.1. tétel 1. feltétele. 2. Mivel

N4∗ (p)

elemei nem elemei az

nem törölheti

T.

SF22 (i)

almez®nek, így azon pontokat

Következésképpen, a 3.1.1. tétel 2. feltétele nem szól

T -r®l. 3. A 3.1.1. tétel 3. feltételében szerepl® hét egység-rá snézetbe foglalható objektum közül az utolsó öt (a 3.1(f )-(j) ábrán látható) objektum tar2 talmaz olyan pont(oka)t is, amelyek nem elemei az SF2 (i) almez®nek (vagyis nem törölhet®k T által), így a fennmaradó kett®, a 3.1(d) és az (d) ábrák objektumainak meg®rzésével teljesül a 3.1.1. tétel 3. feltétele.

3.1.5. tétel.

A

T


SF42 (i) (i = 0, 1, 2, 3)

almez®be es® 2 pontokat törli (lásd 2.8(b) ábra), topológia-meg®rz®, ha tetsz®leges (Z , 8, 4, B) képre és annak bármely

Bizonyítás.

T

által törölt

p∈B

pontja egyszer¶.

Bizonyítandó hogy a fenti feltételeknek eleget tev®

T

reduk ió

teljesíti az 3.1.1. tétel feltételeit. 1. A jelen tétel 1. feltétele szerint a

T

által törölt

p



N4∗ (p)


kat nem törölheti vonatkozik

T.

SF42 (i)

almez®nek, így azon ponto-

Következésképpen, a 3.1.1. tétel 2. feltétele nem

T -re.

3. Mivel egy egység-rá snégyzetben pontosan egy pont esik az

SF42 (i)

al-

mez®be, így a 3.1.1. tétel 3. feltételében szerepl® hét egység-rá snézetbe foglalható többelem¶ objektum mindegyike tartalmaz olyan pontot, ami 2 nem elemei SF4 (i) almez®nek. Azok a pontokat nem törölheti T , így teljesül a 3.1.1. tétel 3. feltétele.

32


p

p • •

(a)

(b)

3.2. ábra. A 3.1.1. tétel feltételeit kielégít® reduk iók vizsgált környezete (a) és a vizsgált környezet a 3.1.6. tétel feltételeit kielégít® reduk iókra (b). A ∗ szimbólum azokat a q ∈ N4 (p) pontokat jelöli, amelyekre p ≺ q .

Mivel a

(8, 4)

p

képeken egy

pont egyszer¶sége eldönthet®

N8∗ (p)

•

ismereté-

ben és az egység-rá snégyzetekbe es® objektumok detektálhatók egy

4 × 4es

képrészlet ismeretében, így könnyen belátható, hogy a 3.1.1. tételnek eleget tev® reduk iók vizsgált környezete a 3.2(a) ábrán látható 25-elem¶ ponthalmaz. A szimmetrikus eredmény után következzenek az aszimmetrikus feltételek, melyek közül az els® a 2D teljesen párhuzamos vékonyító algoritmusoknál alkalmazható.

3.1.6. tétel. B)

[73, 76℄ A

T



T

által törölt

p ∈ B

(Z2 , 8, 4,

pontjára teljesül az alábbi

három feltétel: 1. A

p

pont egyszer¶ a

(Z2 , 8, 4, B)

q ∈ N4∗ (p) ∩ B , p ≺ q B \ {q}) képen, vagy q egyszer¶

2. Bármely

3. A

p

pont nem a legkisebb (a

képen.

2 egyszer¶ pontra p egyszer¶ a (Z , 8, 4, 2 a (Z , 8, 4, B \ {p}) képen, vagy q ≺ p.

⋆ szimbólummal jelölt) eleme a 3.1. ábrán

látható (d)-(j) objektumok egyikének sem.

Bizonyítás.

Bizonyítandó, hogy a fenti feltételeknek eleget tev®

T

reduk ió

teljesíti az 1.2.3. tétel valamennyi feltételét. 1. Mivel a

p

pontra teljesül a jelen tétel 1. feltétele, így az 1.2.3. tétel els®

feltétele (valamennyi

T

által törölt pont egyszer¶) is teljesül.

{p, q} halmazokat, amelyekben a q ∈ N4∗ (p) ∩ B pont egyszer¶. Ha p ≺ q , akkor a jelen tétel 2. feltétele szerint a {p, q} halmaz egyszer¶, vagyis teljesül az 1.2.3. tétel 2. feltétele. Ha q ≺ p és {p, q} nem egyszer¶, akkor a jelen tétel 2. feltétele szerint a q pont nem törölhet® T által, vagyis a {p, q} halmazra nem vonatkozik az 1.2.3. tétel 2. feltétele.

2. Tekintsük azokat a

3. A 3.1. ábrán látható az egység-rá snégyzetbe foglalható valamennyi objektum.

A 3.1(a) objektuma egyetlen nem egyszer¶ pontból áll, mely

nem törölhet®

T

által a 1. feltétel szerint.

A következ® két objektum

(3.1(b) és ( ) ábra) sem törölhet® teljesen, mivel azok kett®, egymással


4-szomszédos pontból állnak és a törölheti

T

33

⋆ szimbólummal jelölt pontjukat nem

a jelen tétel 2. feltétele miatt. A fennmaradó hét objektumon

⋆

(a 3.1. ábra (d)-(j) objektumain) a

szimbólummal jelölt (legkisebb)

pont nem törölhet® a tétel 3. feltétele szerint.

A következ® két tétellel az irány-alapú párhuzamos vékonyító algoritmusokban alkalmazható elegend® feltételeket fogalmazok meg.

A kitüntetett

p

pont szomszédait a 2.6(a) ábra szerint jelöljük.

3.1.7. tétel.

A

T , i-határpontokat (i ∈ {N, E, S, W }) törl® reduk ió topoló(Z2 , 8, 4, B) képre és annak bármely T által törölt

gia-meg®rz®, ha tetsz®leges

p∈B

pontjára teljesül az alábbi három feltétel:

p

2.

• i ∈ {N, S}: 2 Ha e egyszer¶ és i-határpont a (Z , 8, 4, B) képen, akkor p egyszer¶ 2 2 a (Z , 8, 4, B \{e}) képen vagy e egyszer¶ a (Z , 8, 4, B \{p}) képen. • i ∈ {E, W }: 2 Ha s egyszer¶ és i-határpont a (Z , 8, 4, B) képen, akkor p egyszer¶ 2 2 a (Z , 8, 4, B \ {s}) képen vagy s egyszer¶ a (Z , 8, 4, B \ {p}) képen.

3. A

pont egyszer¶

p

i-határpont

(Z2 , 8, 4, B)

1. A

a

képen.

pont nem a legkisebb a 3.1(d) és az (e) ábrán látható objektumok

egyikének sem.

Bizonyítás.


T

reduk ió

teljesíti az 3.1.6. tétel valamennyi feltételét. 1. A jelen tétel 1. feltétele szerint a

T

által törölt

p


teljesül a 3.1.6. tétel 1. feltétele. 2. Ha

i ∈ {N, S},

akkor a 3.1.1. tétel 2. feltételéb®l kizárhatók azon

halmazok vizsgálata, ahol

p

és

q

q =n

és

q = s,

mivel ezekben az esetekben

közül valamelyik szükségképpen nem lesz

i-határpont,

így nem

{p, w} halmaz egyszer¶ségét pedig azért nem kell w ≺ p (vagyis p nem a legkisebb eleme a halmaznak). A fennmaradó i ∈ {E, W } esetekben pedig a q = e és q = w szomszédokkal képzett {p, q} halmazok zárhatók ki a vizsgálatból. A törölhet®

T

{p, q}

által. A

gyelembe venni, mivel

fennmaradó, a jelen tétel 2.

feltételében leírt esetekre pedig teljesül a

3.1.6. tétel 2. feltétele. 3. A 3.1.6. tétel 3. feltételében szerepl® hét egység-rá snézetbe foglalható objektum közül az utolsó öt (a 3.1(f )-(j) ábrán látható) objektumok mindegyike tartalmaz

T


i-határpontot.

Kö-

vetkezésképpen a jelen tétel 3. feltételében szerepl® fennmaradó kett®, a 3.1(d) és az (e) ábrák objektumainak meg®rzésével teljesül a 3.1.6. tétel 3. feltétele is.

34


3.1.8. tétel.

T , i-határpontokat (i ∈ {NE, SE, SW, NW }) törl® reduk ió 2 topológia-meg®rz®, ha tetsz®leges (Z , 8, 4, B) képre és annak bármely T által törölt p ∈ B pontjára teljesül az alábbi három feltétel: 1. A

p

A

pont egyszer¶

i-határpont

q ∈ N4∗ (p) B \ {q}) képen, vagy q

2. Valamennyi

3.

a

(Z2 , 8, 4, B)

képen.

i-határpontra p egyszer¶ a (Z2 , 8, 4, (Z2 , 8, 4, B \ {p}) képen, vagy q ≺ p.

egyszer¶ és egyszer¶ a

• i ∈ {NE}: A p pont nem a legkisebb eleme a 3.1(d),(e),(f ),(h),(i) ábrán látható objektumok egyikének sem.

• i ∈ {SE}: A p pont nem a legkisebb eleme a 3.1(d),(e),(f ),(g),(h) ábrán látható objektumok egyikének sem.

• i ∈ {SW }: A p pont nem a legkisebb eleme a 3.1(d),(e),(f ),(g),(i) ábrán látható objektumok egyikének sem.

• i ∈ {NW }: A p pont nem a legkisebb eleme a 3.1(d),(e),(g),(h),(i) ábrán látható objektumok egyikének sem.

Bizonyítás.

Bizonyítandó, hogy a fentieknek eleget tev®

T

reduk ió teljesíti az

p


3.1.6. tétel valamennyi feltételét. 1. A jelen tétel 1. feltétele szerint a

T

által törölt

teljesül a 3.1.6. tétel 1. feltétele. 2. A 2. feltétel annyiban tér el a 3.1.6. tétel 2. feltételét®l, hogy a kikötöttük még azt is, hogy azok sak

i-határpontok

q pontokra

lehetnek. A szigo-

rúbb feltétel kielégítése maga után vonja az enyhébb feltétel teljesülését. 3. A 3.1.6. tétel 3. feltételében szerepl® hét egység-rá snézetbe foglalható objektum közül valamennyi

i-re

az utolsó (a (j) ábrán látható) és még

egy objektum tartalmaz olyan pontot, ami

T


i-határpont. Következésképpen a jelen tétel 3. feltételében szerepl® ötféle ( sak i-határpontokból álló) objektumok legkisebb pontjának meg®rzése teljesíti a 3.1.6. tétel 3. feltételét.

A következ® tétel a 2D almez®-alapú párhuzamos vékonyító algoritmusokban alkalmazható aszimmetrikus elegend® feltételeket ad meg.


3.1.9. tétel.

A

T


35

SF22 (i) (i = 0, 1)

almez®be es® 2

pontokat törli (lásd 2.8(a) ábra), topológia-meg®rz®, ha tetsz®leges képre és annak bármely

T

által törölt

p∈B

(Z , 8, 4, B)

pontjára teljesül az alábbi két

feltétel:

(Z2 , 8, 4, B)

1. A

p

pont egyszer¶ a

2. A

p

pont nem a legkisebb eleme a 3.1(d) és az (e) ábrán látható objek-

képen.

tumoknak egyikének sem.

Bizonyítás.


T

reduk ió

teljesíti az 3.1.6. tétel feltételeit. 1. A jelen tétel 1. feltétele szerint a

T

által törölt

p



N4∗ (p)


nem törölheti

T.

SF22 (i)

almez®nek, így azon pontokat

Következésképpen, a 3.1.6. tétel 2. feltételének teljesü-

lését nem kell vizsgálnunk. 3. A 3.1.6. tétel 3. feltételében szerepl® hét egység-rá snézetbe foglalható objektum közül az utolsó öt (a 3.1(f )-(j) ábrán látható) objektum tartal2 maz olyan pont(oka)t(oka)t is, amelyek nem elemei az SF2 (i) almez®nek, így a fennmaradó kett®, a 3.1(d) és az (e) ábrák objektumain a legkisebb pontok meg®rzésével teljesül a 3.1.6. tétel 3. feltétele.

Mivel a

(8, 4) képeken

a pontok egyszer¶sége eldönthet® azok

3 × 3as

nyezetének ismeretében, továbbá a 3.1. ábra (d)-(j) objektumain a lummal jelölt (legkisebb) pontok detektálhatók egy legfeljebb

kör-

⋆ szimbó-

4 × 4es képrész-

let alapján, így könnyen belátható, hogy a 3.1.6. tételnek eleget tev® reduk iós operátorok vizsgált környezete a 3.2(b) ábrán látható 19-elem¶ ponthalmaz. Nyilvánvaló, hogy a 3.1.1. tétel feltételeit kielégít® reduk iókra teljesülnek a 3.1.6. tétel feltételei is, vagyis a szimmetrikus feltételeknél eleget tev® reduk ió salád nem lehet sz¶kebb, mint a 3.1.6. tételnek eleget tev® reduk iók. A 3.3. ábrán látható példával megmutatjuk, hogy van olyan reduk ió, amire teljesülnek az aszimmetrikus feltételek, de nem jut át a szimmetrikus feltételek sz¶r®jén.

3.2. Elegend® feltételek 3D topológia-meg®rz® reduk iókra A jelen alfejezetben a

(26, 6)

képek topológia-meg®rz® reduk ióira adott ele-

gend® feltételeinket mutatom be. Hasonlóan az el®z® alfejezetben ismertetett

36


q p

q p

(a)

(b)

3.3. ábra. Példa a topológia-meg®rzés szimmetrikus és az aszimmetrikus elegend® feltételeinek összehasonlítására. A vizsgált reduk ió az (a) ábrán látható képb®l a (b) képet eredményezi, vagyis mindössze a

p

pontot törli. A reduk ió

teljesíti a 3.1.6. tétel feltételeit, de nem tesz eleget a 3.1.1. tétel feltételeinek, mivel a

{p, q}

halmaz nem egyszer¶.

2D-s eredményekhez, ezúttal is szimmetrikus és aszimmetrikus soportokba sorolom a feltételeket. A korábbi 3D-s elegend® feltételekben (lásd az 1.2.4. és az 1.2.5. tételeket) az egység-rá sko kába foglalható objektumok teljes tilalma szerepel. elegend® feltételekben bevezetjük a

kiterjedt kis objektum fogalmát:

Az új

egy (26,6)

kép valamely objektuma kiterjedt kis objektum, ha befoglalható egy egységrá sko kába, de nem foglalható be egy egység-rá snégyzetbe. Az új elegend® feltétek ismertetése el®tt nézzük a következ® két lemmát.

3.2.1. lemma.

Egy ((8, 4) vagy

(26, 6))

kép egyetlen objektuma sem alkot

egyszer¶ halmazt.

Bizonyítás.

Egy objektum pontjaiból képzett valamennyi sorozat utolsó pontja

izolált az ®t megel®z®k törlése után. Mivel az izolált pont nem egyszer¶, így egyetlen objektumnak sem létezhet egyszer¶ sorozata. Következésképpen az objektumok pontjaiból álló halmazok nem egyszer¶ek.

3.2.2. lemma.

Egy reduk ió nem törölheti teljesen a

(26, 6)

képek egység-

rá sko káiba foglalható objektumait, ha nem törli teljesen az egység-rá snégyzetbe foglalhatókat és a kiterjedt kis objektumokat.

Bizonyítás.

Mivel az egység-rá snégyzetbe foglalható és a kiterjedt kis objek-

tumok halmazának egyesítése az egység-rá sko kába foglalható objektumok halmazát adja, így az egység-rá snégyzetekbe foglalható és a kiterjedt kis objektumok teljes törlésének tilalma esetén az egység-rá sko kába foglalható objektumok sem törölhet®k teljesen. Tekintsük át el®ször a szimmetrikus feltételeket.

3.2.1. tétel.

[71℄ A

T


6, B) képre és annak bármely T

által törölt

P = (Z3 , 26,

p ∈ B pontjára teljesülnek az alábbi

feltételek:

Q ⊆ B halmazra, mely taregy egység-rá snégyzetnek, Q egyszer¶ halmaz a P

1. Valamennyi olyan egyszer¶ pontokból álló talmazza képen.

p-t és

része


2. A

p

37

pont nem eleme egyetlen kiterjedt kis objektumnak sem.

Bizonyítás.

T


reduk ió

teljesíti az 1.2.4. tétel valamennyi feltételét. 1. A jelen tétel 1. feltétele szerint bármely

T

által törölt

p

és a vele egy

Q részhalmaza egyszer¶ (még abban az esetben is, ha T nem törli a Q\{p} halmaz egység-rá snégyzetbe foglalható egyszer¶ pontok tetsz®leges

valamennyi elemét), így teljesül az 1.2.4. tétel els® feltétele. 2. A jelen tétel 1. feltétele és a 3.2.1. tétel kizárja az egység-rá snégyzetbe foglalható objektumok teljes törlését.

A jelen tétel 2. feltétele szerint

nem törölhet®k teljesen a kiterjedt kis objektumok sem. A 3.2.2. lemma alapján tehát teljesül az 1.2.4. tétel 2. feltétele is.

A következ® tételünk bizonyításához szükségünk van az alábbi lemmára.

3.2.3. lemma.

P = (Z3 , 26, 6, B) képre és annak bármely Q 6= ∅, Q ⊆ B halmazára és valamely p ∈ Q pontjára a Q \ {p} halmaz egy3 szer¶ és p egyszer¶ a (Z , 26, 6, B \ (Q \ {p})) képen, akkor Q halmaz egyszer¶.

Bizonyítás.

Ha tetsz®leges

Mivel

Q \ {p}

egyszer¶ halmaz, így az elemeinek létezik legalább

egy egyszer¶ sorozata. Ha annak a sorozat végére f¶zzük sorozatot kapunk. Ennélfogva a

3.2.2. tétel.

[87℄

P = (Z3 , 26, 6, B)

A

T

(Q \ {p}) ∪ {p} = Q

reduk ió

p-t,

halmaz egyszer¶.

topológia-meg®rz®,


T

akkor egyszer¶

által törölt

ha

tetsz®leges

p ∈ B

pontjára

teljesülnek az alábbi feltételek:

Q ⊆ B halmazra, mely tartal3 egység-rá snégyzetnek, p egyszer¶ pont a (Z , 26,

1. Valamennyi olyan egyszer¶ pontokból álló

p-t és része egy 6, (B \ Q) ∪ {p}) képen.

mazza

2. A

p

pont nem eleme egyetlen kiterjedt kis objektumnak sem.

Bizonyítás.


T

reduk ió

teljesíti az 1.2.4. tétel valamennyi feltételét. 1. Az 1.2.4. tétel 1. feltételének teljesülését a induk ióval bizonyítjuk.

Q

halmaz elemszáma szerinti

(Megjegyezzük, hogy az egység-rá snégyzetbe

foglalható halmazok legfeljebb 4 elemb®l állhatnak.) i) Legyen képen,

Q = {p}. A jelen tétel 1. vagyis Q egyszer¶ halmaz.

feltétele szerint

p

egyszer¶ a

P

38


ii) Tegyük fel, hogy valamennyi feltételét kielégít® tal.

Q

k -elem¶ (k = 2, 3, 4),

Ha ez nem teljesül, akkor a

tétel 1. feltétele, így

a jelen tétel 1.

halmaznak valamennyi eleme törölhet®

Q-ra

Q

T

ál-

halmazról nem szól az 1.2.4.

nin s mit bizonyítanunk. Tegyük fel to-

vábbá (induk iós hipotézisként), hogy a vizsgált Q halmazunknak a Q′ = Q \ {p} (k − 1)-elem¶ részhalmaza egyszer¶ (vagyis Q′ -re tel′ jesül az 1.2.4. tétel 1. feltétele). Mivel p egyszer¶ Q törlése után, így a 3.2.3. lemma szerint

Q

egyszer¶ halmaz.

Beláttuk tehát, hogy tetsz®leges elemszámú, a jelen tétel 1. feltételének eleget tev®

Q

halmaz egyszer¶, vagyis kielégíti 1.2.4. tétel 1. feltételét.

2. Az els® pontban bizonyítottak és a 3.2.1. lemma miatt az egység-rá snégyzetbe foglalható objektumok nem törölhet®k teljesen

T

által. Mivel

a jelen tétel 2. feltétele szerint a kiterjedt kis objektumok változatlanok

T

maradnak a

reduk ió végrehajtásával, így a 3.2.2. lemma szerint tel-

jesül az 1.2.4. tétel 2. feltétele (miszerint nem törölhet® teljesen egyetlen egység-rá sko kába foglalható objektum sem).

A fenti két szimmetrikus tétel után jöjjön két aszimmetrikus eredmény.

3.2.3. tétel. 6, B)

A

T



T

által törölt

p ∈ B

P = (Z3 , 26,

pontjára teljesülnek az

alábbi feltételek: 1. Valamennyi olyan egyszer¶ pontokból álló

Q⊆B

halmazra, melynek

a legkisebb eleme és része egy egység-rá snégyzetnek,

P

a 2. A

p

Q egyszer¶ halmaz

képen.

p pont nem a legkisebb eleme egyetlen kiterjedt kis objektumnak

Bizonyítás.


T

sem.

reduk ió

teljesíti az 1.2.4. tétel valamennyi feltételét. 1. Tegyük fel, hogy a vizsgált, a jelen tétel 1. feltételét kielégít® valamennyi eleme törölhet®

T

által.

Q

halmaz

Ha ez nem teljesülne, akkor a

Q

halmazra nem vonatkozik 1.2.4. tétel 1. feltétele, így az ilyen halmazokra nin s mit bizonyítanunk. i) Ha

Q = {p},

Q-nak

akkor (a jelen tétel 1. feltételének teljesülése miatt)

egyszer¶ halmaznak kell lennie, mivel

p

a halmaz legkisebb

eleme. ii) Legyen

Q

egy

T

által törölhet® 2-, 3- vagy 4-elem¶ halmaz, melyre

teljesül a jelen tétel 1. feltétele. Ha a

Q halmaz nem egyszer¶, akkor Q legkisebb eleme a

(a jelen tétel 1. feltételéb®l következik), hogy

q 6= p pont.

Ekkor viszont a

q (T

által törölhet®) pontra nem teljesül

a jelen tétel 1. feltétele, így ellentmondásra jutottunk.


Beláttuk tehát, hogy a feltételének eleget tev®)

39

T által törölhet® pontokból álló (a jelen tétel 1. Q halmazok kielégítik az 1.2.4. tétel 1. feltételét.

2. Mivel egyetlen objektum sem lehet egyszer¶ halmaz (a 3.2.1. lemma miatt), így a jelen tétel 1. feltételének teljesülése miatt az egység-rá snégyzetbe foglalható objektumoknak nem törölhet® a legkisebb elemük. jelen tétel 2. feltételének teljesülése miatt a

T

által törölt

p

A

pont nem

a legkisebb eleme egy kiterjedt kis objektumnak. Következésképpen, az egység-rá snégyzetbe foglalható objektumok legkisebb elemét nem törölheti

T,

vagyis teljesül az 1.2.4. tétel 2. feltétele is.

3.2.4. tétel. 3

[88℄

P = (Z , 26, 6, B)

A

T

reduk ió

topológia-meg®rz®,


T

által törölt

ha

tetsz®leges

p ∈ B

pontjára

teljesülnek az alábbi feltételek: 1. Valamennyi olyan egyszer¶ pontokból álló

Q⊆B

halmazra, melynek

a legkisebb eleme és része egy egység-rá snégyzetnek, (Z3 , 26, 6, (B \ Q) ∪ {p}) képen. 2. A

p

p pont nem a legkisebb eleme egyetlen kiterjedt kis objektumnak

Bizonyítás.

p

egyszer¶ pont a


T

sem.

reduk ió

teljesíti 1.2.4. tétel valamennyi feltételét.

Q halmaz akkor a Q

1. Tegyük fel, hogy a vizsgált (a jelen tétel 1. feltételét kielégít®) valamennyi eleme törölhet®

T

által.

Ha ez nem így lenne,

halmazra nem vonatkozik 1.2.4. tétel 1. feltétele, így nin s mit belátnunk. Az 1.2.4. tétel 1. feltételének teljesülését a

Q

halmaz elemszáma szerinti

induk ióval bizonyítjuk.

Q = {p}, akkor (a jelen tétel 1. feltételének teljesülése miatt) p-nek egyszer¶ kell lennie, mivel p a halmaz legkisebb eleme Q-nak. Ekkor a Q = {p} egyelem¶ halmaz is egyszer¶.

i) Ha

ii) Tegyük fel továbbá (induk iós hipotézisként), hogy a vizsgált Q hal′ maznak a Q = Q \ {p} (k − 1)-elem¶ részhalmaza egyszer¶ (vagyis Q′ -re teljesül az 1.2.4. tétel 1. feltétele). Ha p egyszer¶ Q′ törlése ′ után, így a 3.2.3. lemma szerint Q = Q ∪ {p} halmaz is egyszer¶. Amennyiben

p

nem lenne egyszer¶

Q′

törlése után, úgy (mivel tel-

p nem a legkisebb eleme Q-nak. Vizsq 6= p legkisebb elemét. Ekkor (mivel q törölhet® T által és teljesül rá a jelen tétel 1. feltétele) a q pont ′′ egyszer¶ a Q = Q \ {q} halmaz törlése után. Mivel az induk iós ′′ hipotézisünk szerint a Q (k −1)-elem¶ halmaz egyszer¶, így a 3.2.3. ′′ lemma miatt a Q = Q ∪ {q} halmaz is egyszer¶.

jesül a jelen tétel 1. feltétele) gáljuk ekkor a

Q

halmaz

40


Beláttuk tehát, hogy tetsz®leges elemszámú, a jelen tétel 1. feltételének eleget tev®

Q

halmaz egyszer¶, vagyis teljesül az 1.2.4. tétel 1. feltétele.

2. Mivel a 3.2.1. lemma és a jelen tétel 1. feltételének teljesülése miatt az egység-rá snégyzetbe foglalható objektumoknak nem törölhet® a legkisebb elemük és a jelen tétel 2. feltételének teljesülése miatt a törölt

p

T

által

pont nem a legkisebb eleme egy kiterjedt kis objektumnak, így

a 3.2.2. lemma és az egység-rá snégyzetbe foglalható objektumok legkisebb elemét nem törölheti

T.

Következésképpen teljesül az 1.2.4. tétel

2. feltétele is.

A 3.2.1.3.2.4. tételek 1. feltételei a hogy a

T

Q = {p}

esetben azt mondják ki,

által törölhet® pontoknak egyszer¶eknek kell lenniük. Ennélfogva a

javasolt elegend® feltételeinknek eleget tev® reduk iók sak egyszer¶ pontokat törölhetnek. Könnyen belátható, hogy a 3.2.3. és a 3.2.4. tételeknek eleget tev® aszimmetrikus reduk iók rendre teljesítik a 3.2.1. és a 3.2.2. tételek szimmetrikus feltételeit is. A 3.4. ábra példáival viszont megmutatjuk, hogy léteznek olyan, az asszimmetrikus feltételeket kielégít® reduk iók, melyek nem teljesítik a szimmetrikus elegend® feltételeket. Vizsgáljuk meg a topológia-meg®rz® reduk iókra adott 3.2.1.3.2.4. tételek 1. feltételeiben szerepl®

Q

halmazok számát!

3.2.1. észrevétel. feltételeiben a

Q

p∈

Könnyen ellen®rizhet®, hogy a 3.2.1. és a 3.2.2. tételek 1. Z 3 pont az alábbi 67-féle (egység-rá snégyzetbe foglalható)

halmazban szerepelhet.

A

Q

halmazokat a 2.6(b). ábra jelöléseivel adjuk

meg:

{p}, {p, u}, {p, d}, {p, n}, {p, s}, {p, e}, {p, w}, {p, ue}, {p, u, ue}, {p, e, ue}, {p, u, e}, {p, u, ue, e}, {p, uw}, {p, u, uw}, {p, w, uw}, {p, u, w}, {p, u, uw, w}, {p, un}, {p, u, un}, {p, e, un}, {p, u, n}, {p, u, un, n}, {p, us}, {p, u, us}, {p, s, us}, {p, u, s}, {p, u, us, s}, {p, de}, {p, d, de}, {p, e, de}, {p, d, e}, {p, d, de, e}, {p, dw}, {p, d, dw}, {p, w, dw}, {p, d, w}, {p, d, dw, w}, {p, dn}, {p, d, dn}, {p, e, dn}, {p, d, n}, {p, d, dn, n}, {p, ds}, {p, d, ds}, {p, s, ds}, {p, d, s}, {p, d, ds, s}, {p, ne}, {p, n, ne}, {p, e, ne}, {p, n, e}, {p, n, ne, e}, {p, nw}, {p, n, nw}, {p, w, nw}, {p, n, w}, {p, n, nw, w}, {p, se}, {p, s, se}, {p, e, se}, {p, s, e}, {p, s, se, e}, {p, sw}, {p, s, sw}, {p, w, sw}, {p, s, w}, {p, s, sw, w}

3.2.2. észrevétel.

A 3.2.1. és a 3.2.2. tételeket kielégít® reduk iók sak egy-

szer¶ pontokat törölhetnek és az egyszer¶ pontok (az 1.2.2. tétel 1. feltétele


41

p ∈ Z3 pontnak van fehér 6-szomszédja). észrevételben felsorolt 67 lehetséges Q halmaz kö-

szerint) határpontok (vagyis a vizsgált Következésképpen, a 3.2.1.

zött legalább szerepel legalább 14, a vizsgálatból kizárható, fehér pontot is tartalmazó halmaz. Például, ha a vizsgált pont az alábbi 53-féle

Q

U -határpont,

akkor legfeljebb

halmaz szorulhat vizsgálatra:

{p}, {p, d}, {p, n}, {p, s}, {p, e}, {p, ue}, {p, e, ue}, {p, uw}, {p, w, uw}, {p, un}, {p, e, un}, {p, us}, {p, s, us}, {p, de}, {p, d, de}, {p, e, de}, {p, d, e}, {p, d, de, e}, {p, dw}, {p, d, dw}, {p, w, dw}, {p, d, w}, {p, d, dw, w}, {p, dn}, {p, d, dn}, {p, e, dn}, {p, d, n}, {p, d, dn, n}, {p, ds}, {p, d, ds}, {p, s, ds}, {p, d, s}, {p, d, ds, s}, {p, ne}, {p, n, ne}, {p, e, ne}, {p, n, e}, {p, n, ne, e}, {p, nw}, {p, n, nw}, {p, w, nw}, {p, n, w}, {p, n, nw, w}, {p, se}, {p, s, se}, {p, e, se}, {p, s, e}, {p, s, se, e}, {p, sw}, {p, s, sw}, {p, w, sw}, {p, s, w}, {p, s, sw, w}

3.2.3. észrevétel. A 3.2.3. és a 3.2.4. tételek 1. feltételeiben sak olyan (egységrá snégyzetbe foglalható)

Z3

Q

halmazok szerepelnek, melyekben a vizsgált

pont a legkisebb elem. Könnyen ellen®rizhet®, hogy 24 ilyen

Q

p∈

halmaz lé-

tezik. Az aszimmetrikus elegend® feltételeket megfogalmazó tételekben tehát

Q halmazok szerepelnek: {p}, {p, d}, {p, e}, {p, s}, {p, sw}, {p, dn}, {p, d, dn}, {p, d, dw}, {p, ds}, {p, s, e}, {p, s, se}, {p, e, se}, {p, s, e, se}, {p, s, d}, {p, s, ds}, {p, e, d, de}, {p, d, ds}, {p, d, s, ds}, {p, de}, {p, d, de}, {p, e, de}, {p, e, d}, {p, s, sw}

az alábbi

∗ N26 (p) ismeretében és az egység-rá sko kákba es® objektumok detektálhatók egy 4×4×4es Mivel a

(26, 6)

képeken egy

p

pont egyszer¶sége eldönthet®

képrészlet ismeretében, így könnyen belátható, hogy a szimmetrikus (a 3.2.1. és a 3.2.2.) tételeknek eleget tev®

T

reduk iós operátorok vizsgált környezete a

3.5(a) ábrán látható 125-elem¶ ponthalmaz, míg az aszimmetrikusak (a 3.2.3. és a 3.2.4. tételek feltételeit kielégít® reduk iók) vizsgált környezete a 3.5(b) ábrán látható 78-elem¶ halmaz. A fenti négy alaptétel (3.2.1.3.2.4. tétel) feltételeib®l származtatjuk a 4. fejezet teljesen párhuzamos vékonyító algoritmusait. A következ® eredmények az irány-alapú párhuzamos vékonyító algoritmusokban alkalmazhatók.

Mi-

vel a 4. fejezetben ismertetett 3D irány-alapú algoritmusok mindegyike 6aliterá iós, így sak a 6-szomszédok szerinti határpontokat törl® reduk iók topológia-meg®rzésére fogalmazok meg elegend® feltételeket.

(A 3-, a 8- és

a 12-aliterá iós algoritmusok reduk ióira is hasonlóképpen enyhíthetünk az alaptételek feltételein.) A következ® négy tétel az

U -határpontokat

törl® re-

duk iókkal foglalkozik, melyekb®l a fennmaradó öt törlési irány változatai is könnyen származtathatók (pl. a permutá iójával).

3 × 3 × 3as

környezet pontjainak megfelel®

42


q

p

r

(a)

(b)

3.4. ábra. Példák az aszimmetrikus feltételeket kielégít®, de a szimmetrikusokat nem teljesít® topológia-meg®rz® reduk iókra. Az a reduk ió, ami az (a) képr®l

sak a

p pontot törli nem teljesíti a 3.2.1. tétel 1. feltételét, mivel a {p, q} (egy-

szer¶ pontokból álló) halmaz nem egyszer¶. A reduk ió a 3.2.2. tétel sz¶r®jén sem megy át, mivel

p nem marad egyszer¶ q

törlése után. A két aszimmetrikus

tétel (a 3.2.3. és a 3.2.4. tétel) szerint viszont

p

törölhet®, mivel

a reduk ió, ami a (b) kép 2-elem¶ objektumáról törli az

r

q ≺ p.

Az

fekete pontot, nem

teljesíti a szimmetrikus tételek 2. feltételeit (azok ugyanis nem engedik, hogy beletöröljünk az egység-rá sko kába foglalható objektumokba). Az aszimmetrikus tételek feltételeinek viszont eleget tesz, mivel

r

nem a legkisebb eleme az

objektumnak.

3.2.5. tétel. ha tetsz®leges

T , U -határpontokat törl® reduk ió topológia-meg®rz®, P = (Z , 26, 6, B) képre és annak bármely T által törölt p ∈ B [74℄ A

3

pontjára teljesülnek az alábbi feltételek: 1. Tekintsük

N18 (p) hatványhalmazának a következ® 33 elemb®l álló Q rész-

halmazát (a 2.6(b) ábra jelöléseit követve):

{p}, {p, un}, {p, ue}, {p, us}, {p, uw}, {p, nw}, {p, n}, {p, ne}, {p, w}, {p, e}, {p, sw}, {p, s}, {p, se}, {p, dn}, {p, de}, {p, ds}, {p, dw}, {p, nw, n}, {p, nw, w}, {p, ne, n}, {p, n, w}, {p, ne, e}, {p, n, e}, {p, sw, s}, {p, sw, w}, {p, s, w}, {p, se, s}, {p, se, e}, {p, s, e}, {p, nw, n, w}, {p, ne, n, e}, {p, sw, s, w}, {p, se, s, e} Ha bármely

Q ∈ Q P

egyszer¶ halmaz a 2. A

p

halmaz egyszer¶ (fekete) pontokból áll, akkor

Q

képen.

pont nem eleme az alábbi 42 objektumnak (lásd 3.6. ábra):

{a, h}, {a, h, b}, {a, h, b, c}, {a, h, b, g}, {a, h, c}, {a, h, c, f }, {a, h, f }, {a, h, f, g}, {a, h, g}, {b, g}, {b, g, a}, {b, g, a, d}, {b, g, d}, {b, g, d, e},


43

z x y

p

(a) z x y

• • • • • • • • •

p • • • • (b)

3.5. ábra. A szimmetrikus (a) és az aszimmetrikus (b) elegend® feltételeket ∗ kielégít® reduk iók vizsgált környezetei. A • szimbólum azokat a q ∈ N26 (p) pontokat jelöli, amelyekre p ≺ q .

{b, g, e}, {b, g, e, h}, {b, g, h}, {c, f }, {c, f, a}, {c, f, a, d}, {c, f, d}, {c, f, d, e}, {c, f, e}, {c, f, e, h}, {c, f, h}, {d, e}, {d, e, b}, {d, e, c}, {d, e, f }, {d, e, g}, {d, e, f, g}, {d, e, b, c}, {b, c, h}, {d, g, f }, {a, d, f }, {b, e, h}, {b, c, e}, {a, f, g}, {a, d, g}, {c, e, h}, {b, e, c, h}, {a, d, f, g}.

c g

a d e

b f

h

3.6. ábra. Egy egység-rá sko ka pontjainak jelölése.

Bizonyítás.


T

reduk ió

teljesíti a 3.2.1. tétel valamennyi feltételét. 1. Könnyen belátható, hogy a jelen tétel 1. feltételében megadott

Q

hal-

maz tartalmazza valamennyi, a 3.2.1. tétel 1. feltételében szerepl® olyan

Q

halmazt, melynek elemei

U -határpontok

lehetnek (kizártuk azokat a

részhalmazokat, amelyek biztosan tartalmaznak olyan pontot, ami nem

U -határpont).

Mivel a jelen tétel 1. feltétele szerint azok a

egyszer¶ek, így a

T

Q

halmazok

reduk ióra teljesül a 3.2.1. tétel 1. feltétele.

2. Könnyen ellen®rizhet®, hogy a jelen tétel 2. feltételében felsorolt objektumok

U -határpontokból

álló kiterjedt kis objektumok.

tétel 2. feltétele értelmében

T

Mivel a jelen

nem töröl bele azokba az objektumokba,

így teljesül a 3.2.1. tétel 2. feltétele is.

44


3.2.6. tétel.

T , U -határpontokat törl® reduk ió topológia-meg®rz®, P = (Z , 26, 6, B) képre és annak bármely T által törölt p ∈ B [74℄ A

3

ha tetsz®leges




{p}, {p, un}, {p, ue}, {p, us}, {p, uw}, {p, nw}, {p, n}, {p, ne}, {p, w}, {p, e}, {p, sw}, {p, s}, {p, se}, {p, dn}, {p, de}, {p, ds}, {p, dw}, {p, nw, n}, {p, nw, w}, {p, ne, n}, {p, n, w}, {p, ne, e}, {p, n, e}, {p, sw, s}, {p, sw, w}, {p, s, w}, {p, se, s}, {p, se, e}, {p, s, e}, {p, nw, n, w}, {p, ne, n, e}, {p, sw, s, w}, {p, se, s, e} Q ∈ Q halmaz egyszer¶ (fekete) pontokból 3 pont a (Z , 26, 6, (B \ Q) ∪ {p}) képen.

Ha bármely egyszer¶ 2. A

p

áll, akkor

p

pont nem eleme az alábbi 42 objektumnak (lásd 3.6. ábra):

{a, h}, {a, h, b}, {a, h, b, c}, {a, h, b, g}, {a, h, c}, {a, h, c, f }, {a, h, f }, {a, h, f, g}, {a, h, g}, {b, g}, {b, g, a}, {b, g, a, d}, {b, g, d}, {b, g, d, e}, {b, g, e}, {b, g, e, h}, {b, g, h}, {c, f }, {c, f, a}, {c, f, a, d}, {c, f, d}, {c, f, d, e}, {c, f, e}, {c, f, e, h}, {c, f, h}, {d, e}, {d, e, b}, {d, e, g}, {d, e, f }, {d, e, f, g}, {d, e, b, c}, {b, c, h}, {d, g, f }, {a, d, f }, {d, e, c}, {b, e, h}, {b, c, e}, {a, f, g}, {a, d, g}, {c, e, h}, {b, e, c, h}, {a, d, f, g}.

Bizonyítás.


T

reduk ió

teljesíti a 3.2.2. tétel valamennyi feltételét. 1. Könnyen ellen®rizhet®, hogy a jelen tétel 1. feltételében megadott

Q hal-


Q

halmazt, melynek elemei poten iális U-határpontok (kizártuk azokat

az egység-rá snégyzetbe foglalhatókat, amelyek biztosan tartalmaznak olyan pontot, ami nem rint valamennyi

T

Q∈Q

U -határpont). Mivel a jelen tétel 1. feltétele szehalmazra p egyszer¶ Q \ {p} törlése után, így a


2. Könnyen ellen®rizhet®, hogy a jelen tétel 2. feltételében felsorolt objektumok

U -határpontokból

álló kiterjedt kis objektumok.

tétel 2. feltétele értelmében

T

Mivel a jelen

nem töröl bele azokba az objektumokba,


3.2.7. tétel. sz®leges

T , U -határpontokat törl® reduk ió topológia-meg®rz®, ha tetP = (Z , 26, 6, B) képre és annak bármely T által törölt p ∈ B pontA

3

jára teljesülnek az alábbi feltételek:


1. Tekintsük

45



{p}, {p, e}, {p, s}, {p, se}, {p, sw}, {p, dn}, {p, de}, {p, ds}, {p, dw}, {p, e, s}, {p, e, se}, {p, s, se}, {p, s, sw}, {p, e, s, se} Q ∈ Q halmaz a P

Ha bármely

halmaz egyszer¶ (fekete) pontokból áll, akkor

egyszer¶

képen.

2. A

p

Q

pont nem a legkisebb eleme az alábbi 42 objektumnak (lásd 3.6.

ábra):

{a, h}, {a, h, b}, {a, h, b, c}, {a, h, b, g}, {a, h, c}, {a, h, c, f }, {a, h, f }, {a, h, f, g}, {a, h, g}, {b, g}, {b, g, a}, {b, g, a, d}, {b, g, d}, {b, g, d, e}, {b, g, e}, {b, g, e, h}, {b, g, h}, {c, f }, {c, f, a}, {c, f, a, d}, {c, f, d}, {c, f, d, e}, {c, f, e}, {c, f, e, h}, {c, f, h}, {d, e}, {d, e, b}, {d, e, b, c}, {d, e, c}, {d, e, f }, {d, e, f, g}, {d, e, g}, {b, c, h}, {d, g, f }, {a, d, f }, {b, e, h}, {b, c, e}, {a, f, g}, {a, d, g}, {c, e, h}, {b, e, c, h}, {a, d, f, g}.

Bizonyítás.

T

reduk ió

1. Könnyen belátható, hogy a jelen tétel 1. feltételében megadott

Q halmaz Q


teljesíti az 3.2.3. tétel valamennyi feltételét.

tartalmazza valamennyi, a 3.2.3. tétel 1. feltételében szerepl® olyan

U -határpontok lehetnek és p a legkisebb elemük. feltétele szerint azok a Q halmazok egyszer¶ek, így

halmazt, melynek elemei Mivel a jelen tétel 1. a

T


2. Könnyen ellen®rizhet®, hogy a jelen tétel 2. feltételében felsorolt objektumok befoglalhatók egy egység-rá sko kába és valamennyi elemük határpont.

Mivel a jelen tétel 2. feltétele értelmében

T

U-

nem törölheti

azok legkisebb elemét, így teljesül a 3.2.3. tétel 2. feltétele is.

3.2.8. tétel. ha tetsz®leges

[88℄ A T , U -határpontokat törl® reduk ió topológia-meg®rz®, P = (Z3 , 26, 6, B) képre és annak bármely T által törölt p ∈ B




{p}, {p, e}, {p, s}, {p, se}, {p, sw}, {p, dn}, {p, de}, {p, ds}, {p, dw}, {p, e, s}, {p, e, se}, {p, s, se}, {p, s, sw}, {p, e, s, se} Q ∈ Q halmaz egyszer¶ (fekete) pontokból 3 pont a (Z , 26, 6, (B \ Q) ∪ {p}) képen.

Ha bármely egyszer¶

áll, akkor

p

46


2. A

p

pont nem a legkisebb eleme az alábbi 42 objektumnak (lásd 3.6.

ábra):

{a, h}, {a, h, b}, {a, h, b, c}, {a, h, b, g}, {a, h, c}, {a, h, c, f }, {a, h, f }, {a, h, f, g}, {a, h, g}, {b, g}, {b, g, a}, {b, g, a, d}, {b, g, d}, {b, g, d, e}, {b, g, e}, {b, g, e, h}, {b, g, h}, {c, f }, {c, f, a}, {c, f, a, d}, {c, f, d}, {c, f, d, e}, {c, f, e}, {c, f, e, h}, {c, f, h}, {d, e}, {d, e, b}, {d, e, b, c}, {d, e, c}, {d, e, f }, {d, e, f, g}, {d, e, g}, {b, c, h}, {d, g, f }, {a, d, f }, {b, e, h}, {b, c, e}, {a, f, g}, {a, d, g}, {c, e, h}, {b, e, c, h}, {a, d, f, g}.

Bizonyítás.


T

reduk ió

teljesíti az 3.2.4. tétel valamennyi feltételét. 1. Könnyen belátható, hogy a jelen tétel 1. feltételében megadott

Q

hal-


Q halmazt, melynek elemei U -határpontok lehetnek és p a Q halmaz legkisebb eleme. Mivel a jelen tétel 1. feltétele szerint valamennyi Q ∈ Q halmazra p egyszer¶ Q \ {p} törlése után, így a T reduk ióra teljesül a 3.2.4. tétel 1. feltétele. 2. Könnyen ellen®rizhet®, hogy a jelen tétel 2. feltételében felsorolt objektumok befoglalhatók egy egység-rá sko kába és valamennyi elemük határpont.

Mivel a jelen tétel 2. feltétele értelmében

T

U-

nem törölheti

azok legkisebb elemét, így teljesül a 3.2.4. tétel 2. feltétele is.

Az irány-alapú párhuzamos vékonyító algoritmusokban alkalmazható elegend® feltételek után nézzük az almez®-alapúak reduk ióit 2, 4 és 8 almez® esetén. Az almez®-alapú reduk iókra vonatkozó tételek kimondása és bizonyítása Z3 halmaz almez®inek fontos tulajdonságait (amelyek könnyen

el®tt nézzük a

beláthatók a 2.9 ábra segítségével):

3.2.1. tulajdonság. mei közül sak az

p ∈ SF23 (i) (i = 0, 1), N18 (p) \ N6 (p) halmazba es® Ha

akkor az

∗ N26 (p)

halmaz ele3 pontok tartoznak az SF2 (i)

almez®be.

3.2.2. tulajdonság.

p ∈ SF43 (i) (i = 0, 1, 2, 3), akkor az N26 (p) halmaz 3 elemei közül sak az N26 (p) \ N18 (p) halmazba es® pontok tartoznak az SF4 (i) Ha

almez®be.

3.2.3. tulajdonság.

Ha

elemei közül egyetlen egy

p ∈ SF83 (i) (i = 0, . . . , 7), akkor 3 sem esik az SF8 (i) almez®be.

az

∗ N26 (p)

halmaz

Nézzük el®ször a 2-almez®s reduk iókra vonatkozó négy tételt (melyek közül az els® kett® szimmetrikus, az utolsó kett® pedig aszimmetrikus):


3.2.9. tétel.

[71℄ A

T,

az

reduk ió topológia-meg®rz®, bármely

T

által törölt

1. Valamennyi

P

halmaz a 2. A

p

p∈B

47

SF23 (i) (i = 0, 1) halmazba es® pontokat törl® 3 ha tetsz®leges P = (Z , 26, 6, B) képre és annak pontjára teljesülnek az alábbi feltételek:

q ∈ (N18 (p) \ N6 (p)) ∩ B

egyszer¶ pontra

{p, q}

egyszer¶

képen.

pont nem eleme a 3.7. ábrán látható tíz objektum egyikének sem.

Bizonyítás.


T

reduk ió

teljesíti a 3.2.1. tétel valamennyi feltételét.

p-vel egy egység-rá snézetbe foglalható pontok közül sak egyetlen q ∈ (N18 (p) \ N6 (p)) ∩ B pont lehet törölhet® T által. Mivel a jelen tétel 1. feltétele szerint a {p, q} halmaz egyszer¶, így

1. A 3.2.1. tulajdonság miatt a

teljesül a 3.2.1. tétel 1. feltétele. 2. A 3.2.1. tulajdonság alapján könnyen belátható, hogy az ugyanazon almez®be es® pontokból álló objektumok legfeljebb négy elemet tartalmazhatnak. Az 1- és a 2-elem¶ek nem törölhet®k teljesen a jelen tétel 1. feltételének teljesülése miatt. Könnyen ellen®rizhet®, hogy sak a 3.7. ábrán látható tízféle 3- és 4-elem¶ objektum olyan, hogy valamennyi ele3 mük az SF2 (i) almez®be eshet. A jelen tétel 2. feltétele szerint a kritikus tíz objektum egyetlen eleme sem törölhet® T által, így teljesül a 3.2.1. tétel 2. feltétele is.

⋆

⋆

⋆

⋆

⋆

⋆

⋆

⋆ ⋆

⋆

3.7. ábra. A 2-almez®s reduk iók (egység-rá snégyzetbe foglalható) kritikus objektumai. A

⋆-gal jelölt

pontok a 3- és 4-elem¶ objektumok legkisebb (az

aszimmetrikus feltételekkel védett) elemei.

3.2.10. tétel.

T , az SF23 (i) (i = 0, 1) halmazba es® pontokat törl® reduk ió 3 topológia-meg®rz®, ha tetsz®leges P = (Z , 26, 6, B) képre és annak bármely T által törölt p ∈ B pontjára teljesülnek az alábbi feltételek: A

48

3. FEJEZET. TOPOLÓGIA-MEGRZ REDUKCIÓK 1. Valamennyi q ∈ (N18 (p) \ N6 (p)) ∩ B egyszer¶ pontra, a 3 a (Z , 26, 6, (B \ Q) ∪ {p}) képen. 2. A

p

p

pont egyszer¶

pont nem eleme a 3.7. ábrán látható tíz objektum egyikének sem.

Bizonyítás.


T

reduk ió


p-vel egy egység-rá snézetbe foglalható pontok közül sak egyetlen q ∈ (N18 (p) \ N6 (p)) ∩ B pont lehet törölhet® T által. Mivel a jelen tétel 1. feltétele szerint p egyszer¶ q törlése után, így


teljesül a 3.2.2. tétel 1. feltétele. 2. A 3.2.1. tulajdonság alapján könnyen ellen®rizhet®, hogy az ugyanazon almez®be es® pontokból álló objektumok legfeljebb négy elemet tartalmazhatnak. Az 1- és a 2-elem¶ek nem törölhet®k teljesen a jelen tétel 1. feltételének teljesülése miatt. Könnyen ellen®rizhet®, hogy sak a 3.7. ábrán látható tízféle 3- és 4-elem¶ objektum olyan, hogy valamennyi ele3 mük az SF2 (i) almez®be eshet. A jelen tétel 2. feltétele szerint a kritikus tíz objektum elemei nem törölhet®k T által, így teljesül a 3.2.2. tétel 2. feltétele is.

3.2.11. tétel.

T , az SF23 (i) (i = 0, 1) halmazba es® pontokat törl® reduk ió 3 topológia-meg®rz®, ha tetsz®leges P = (Z , 26, 6, B) képre és annak bármely T által törölt p ∈ B pontjára teljesülnek az alábbi feltételek: A

q ∈ (N18 (p)\N6 (p))∩B egyszer¶ pontra, melyre p ≺ q , egyszer¶ a P képen.

1. Valamennyi olyan a 2. A

{p, q} p

halmaz



látható tíz objektum egyikének sem.

Bizonyítás.


T

reduk ió


p-vel egy egység-rá snézetbe foglalható ponq ∈ (N18 (p) \ N6 (p)) ∩ B pont lehet törölhet® T Mivel a jelen tétel 1. feltétele szerint p ≺ q esetben a {p, q} halmaz

1. A 3.2.1. tulajdonság miatt a tok közül sak egyetlen által.

egyszer¶, így teljesül a 3.2.3 tétel 1. feltétele. 2. A 3.2.1. tulajdonság alapján könnyen ellen®rizhet®, hogy az ugyanazon almez®be es® pontokból álló objektumok legfeljebb négy elemet tartalmazhatnak. Az 1- és a 2-elem¶ek nem törölhet®k teljesen a jelen tétel 1. feltételének teljesülése miatt. Könnyen ellen®rizhet®, hogy sak a 3.7. ábrán látható tízféle 3- és 4-elem¶ kiterjedt kis objektum olyan, hogy 3 valamennyi elemük az SF2 (i) almez®be eshet. A jelen tétel 2. feltétele szerint a kritikus tíz objektum legkisebb eleme nem törölhet® T által, így teljesül a 3.2.3. tétel 2. feltétele is.


3.2.12. tétel.

[88℄ A

T,

T

által törölt

SF23 (i) (i = 0, 1) halmazba es® pontokat törl® 3 ha tetsz®leges P = (Z , 26, 6, B) képre és annak

az

reduk ió topológia-meg®rz®, bármely

p∈B

pontjára teljesülnek az alábbi feltételek:

q ∈ (N18 (p) \ N6 (p)) ∩ B egyszer¶ pontra, 3 egyszer¶ a (Z , 26, 6, (B \ Q) ∪ {p}) képen.

1. Valamennyi pont 2. A

p

49


melyre

p ≺ q,

a

p


látható tíz objektum egyikének sem.

Bizonyítás.


T

reduk ió


p-vel egy egység-rá snézetbe foglalható ponq ∈ (N18 (p) \ N6 (p)) ∩ B pont lehet törölhet® T tétel 1. feltétele szerint p ≺ q esetben a p pont

1. A 3.2.1. tulajdonság miatt a tok közül sak egyetlen által.

Mivel a jelen

egyszer¶

q

törlését követ®en, így teljesül a 3.2.4. tétel 1. feltétele.

2. A 3.2.1. tulajdonság alapján könnyen ellen®rizhet®, hogy az ugyanazon almez®be es® pontokból álló objektumok legfeljebb négy elemet tartalmazhatnak. Az 1- és a 2-elem¶ek nem törölhet®k teljesen a jelen tétel 1. feltételének teljesülése miatt. Könnyen ellen®rizhet®, hogy sak a 3.7. ábrán látható tízféle 3- és 4-elem¶ objektum olyan, hogy valamennyi 3 elemük az SF2 (i) almez®be eshet. A jelen tétel 2. feltétele szerint a kritikus tíz kiterjedt kis objektum legkisebb eleme nem törölhet®

T

által,


A 2-almez®s reduk iókra vonatkozó eredmények után következzenek a 4almez®sök topológia-meg®rzésére adott elegend® feltételek. A négy almez®re bontás tulajdonsága miatt a négy alaptételb®l supán egy szimmetrikus és egy aszimmetrikus változatot származtathatunk.

3.2.13. tétel.

T , az SF43 (i) (i = 0, 1, 2, 3) halmazba es® pontokat törl® 3 reduk ió topológia-meg®rz®, ha tetsz®leges P = (Z , 26, 6, B) képre és annak bármely T által törölt p ∈ B pontjára teljesülnek az alábbi feltételek: [72℄ A

P

1. A

p

pont egyszer¶ a

2. A

p

pont nem eleme a 3.8. ábrán látható négy objektum egyikének sem.

Bizonyítás.

képen.



T

reduk ió

50


p-vel egy egység-rá snézetbe foglalható ponQ = {p} Mivel a jelen tétel 1. feltétele szerint p egyszer¶

1. A 3.2.2. tulajdonság miatt a tok egyike sem eshet a

p-t

halmazt kell vizsgálnunk. (a

Q = {p}

tartalmazó almez®be, így supán a

halmaz egyszer¶), így teljesül a 3.2.1. tétel 1. feltétele.

2. A 3.2.2. tulajdonság alapján könnyen belátható, hogy az ugyanazon almez®be es® pontokból álló objektum sak 1- vagy 2-elem¶ lehet.

Az

1-elem¶ek (egyetlen izolált, nem-egyszer¶ pontból állók) nem törölhet®k a jelen tétel 1. feltétele miatt, míg 2-elem¶b®l mindössze a 3.8. ábrán látható négyféle objektum létezik. A jelen tétel 2. feltétele miatt a kritikus objektumok egyetlen eleme sem törölhet®

T

által, így teljesül a 3.2.1.

tétel 2. feltétele is.

3.2.14. tétel.

T , az SF43 (i) (i = 0, 1, 2, 3) halmazba es® pontokat törl® 3 reduk ió topológia-meg®rz®, ha tetsz®leges P = (Z , 26, 6, B) képre és annak bármely T által törölt p ∈ B pontjára teljesülnek az alábbi feltételek: [88℄ A

P

1. A

p

pont egyszer¶ a

2. A

p


képen.


látható négy objektum egyikének sem.

Bizonyítás.


T

reduk ió


p-vel egy egység-rá snézetbe foglalható pontok egyike sem eshet a p-t tartalmazó almez®be, így supán a Q = {p} halmazt kell vizsgálnunk. Mivel a jelen tétel 1. feltétele szerint p egysze-


r¶, így teljesül a 3.2.3. tétel 1. feltétele. 2. A 3.2.2. tulajdonság alapján könnyen belátható, hogy az ugyanazon almez®be es® pontokból álló objektum sak 1- vagy 2-elem¶ lehet.

Az

1-elem¶ek (egyetlen izolált, nem-egyszer¶ pontból állók) nem törölhet®k a jelen tétel 1. feltétele miatt, míg 2-elem¶b®l mindössze a 3.8. ábrán látható négyféle objektum létezik. A jelen tétel 2. feltétele miatt a kritikus kiterjedt kis objektumok legkisebb elemei nem törölhet®k

T

által,


A 8-almez®re bontás sajátossága (lásd 3.2.3. tulajdonság) miatt az alaptételek a következ® egyetlen tétellé állnak össze:

3.2.15. tétel.

T , az SF83 (i) (i = 0, 1, . . . , 7) halmazba es® pontokat 3 törl® reduk ió topológia-meg®rz®, ha tetsz®leges P = (Z , 26, 6, B) képre és annak bármely T által törölt p ∈ B pontja egyszer¶ a P képen. [72, 88℄ A

3.3. VÉGPONT-MEGRZ REDUKCIÓK

⋆

⋆

51

⋆

⋆

3.8. ábra. A 4-almez®s reduk iók (egység-rá snégyzetbe foglalható) kritikus objektumai. A

⋆-gal jelölt pontok a 2-elem¶ objektumok legkisebb (az aszim-

metrikus feltételekkel védett) elemei.

Bizonyítás.

Megmutatjuk, hogy a fenti feltételek eleget tev®

T

reduk ió telje-

síti a 3.2.1. tétel valamennyi feltételét.

p-vel egy egység-rá snézetbe foglalható pontok egyike sem eshet a p-t tartalmazó almez®be, így supán a Q = {p} halmazt kell vizsgálnunk. Mivel a jelen tétel szerint p egyszer¶, így tel-


jesül a 3.2.1. tétel 1. feltétele. 2. A 3.2.3. tulajdonság alapján könnyen belátható, hogy az ugyanazon almez®be es® pontokból álló objektum sak 1-elem¶ (egyetlen izolált pontból álló) lehet. Mivel a jelen tételt kielégít®

T

reduk ió sak egyszer¶

pontokat törölhet, így a kritikus, nem-egyszer¶ pont alkotta objektum nem törölhet®. Ennélfogva teljesül a 3.2.1. tétel 2. feltétele is.

3.3. Végpont-meg®rz® reduk iók Ez az alfejezet néhány olyan kiegészítést tartalmaz, amelyek a topológia-meg®rzésre adott elegend® feltételeink egyszer¶sítését teszik lehet®vé abban az esetben, ha az adott reduk ió meg®riz bizonyos végpontokat. Az alábbi észrevételekben sak a 2.4. alfejezetben ismertetett végpont-típusokra szorítkozom.

3.3.1. észrevétel.

Könnyen belátható, hogy

ε ∈ {C12 , C22 , C32 }

végpont-felté-

telek esetén a 3.1.1.3.1.9. tételek utolsó (egység-rá snégyzetbe befoglalható objektumokra vonatkozó) feltételei egyszer¶síthet®k:

•

Az

ε = C12

végpont meg®rzésekor a 3.1. ábra (d) és (e) objektumait

nem kell gyelembe venni, hiszen ezen objektumok valamennyi pontja

•

C12

végpont.

Az

ε ∈ {C22 , C32 }

végpontra supán a 3.1(j) objektumra kell tekintettel

lenni, a többi ugyanis tartalmaz végpontot.

•

ε ∈ {C42 ,C52 } végpont esetén minden egység-rá snégyzetbe befoglalha2 2 tó objektum valamennyi pontja C4 és C5 végpont. Ezekre a végpontokra

Az

tehát elhagyható a 3.1.1.3.1.9. tételek utolsó feltétele.

52


3.3.2. észrevétel. A 3D végpont-feltételek esetében a 3.2.1.3.2.14. tételekben a kiterjedt kis objektumok vizsgálatára vonatkozó feltételek egyszer¶síthet®k:

•

Az

ε ∈ {C13 , C23 }

végpontra nem kell gyelembe venni azokat a kiterjedt

kis objektumokat, amelyek két pontból állnak, hiszen ilyen objektumok mindkét pontja

•

Az

ε

végpont.

ε ∈ {S13 , S23 , S33 }

végpont esetén bármely kiterjedt kis objektum min-

den pontja végpont. Ekkor a 3.2.1.3.2.14. tételek utolsó feltétele elhagyható.

•

Az

ε = S43

végpontra a kiterjedt kis objektumok közül sak a

2 × 2 × 2

es ko kát kell vizsgálni, a többi esetben ugyanis van legalább egy olyan 3 pont, amely S4 végpont.

•

Az

ε = S53

végpont esetén sak azokat az eseteket kell gyelembe venni,

ahol a kiterjedt kis objektumok 2, 3, 4, 5 vagy 6 pontból épülnek fel ∗ és nem tartalmaznak olyan p pontot, ahol az N6 (p) halmazban három fekete pont van.

3.4. Összefoglalás és távlati élok Ebben a fejezetben az els® tézisponthoz tartozó eredményeket ismertettem. Az 1.2. alfejezetben a topológia-meg®rz® 2D és 3D reduk iókra korábban adott elegend® feltételek nem egyedi pontok törlésére vonatkoznak, hanem a törölt pontok bizonyos kongurá ióit vizsgálják, így azok az eredmények supán a reduk iók topológiai korrektségének bizonyítására alkalmazhatók, de nem származtathatók bel®lük topológiailag korrekt reduk iók törlési szabályai. A fejezetben olyan új elegend® feltételeket ismertettem

(8, 4)

és

(26, 6)

képek

topológia-meg®rz® reduk ióira, amelyek egyedi pontok törlését vizsgálják. Az új feltételekb®l közvetlenül származtathatók topológiailag korrekt vékonyító algoritmusok. Annak érdekében, hogy bizonyos nem egyszer¶ ponthalmazok egyes elemei is törölhet®k legyenek, aszimmetrikus feltételeket is megfogalmaztunk.

Az

aszimmetrikus feltételek az alábbiak miatt létjogosultak, jelent®s eredmények:

•

Az aszimmetrikus feltételeket több reduk ió elégíti ki, mint a szimmetrikusakat (lásd 3.3. ábra).

•

Az aszimmetrikus feltételek teljesüléséhez kevesebb esetet kell megvizsgálni, mint a szimmetrikusaknál (lásd a 3.2.1.3.2.3. észrevételeket).

•

Az aszimmetrikus feltételek vizsgált környezete kevesebb pontot tartalmaz, így a bel®lük származtatott algoritmusok könnyebben implementálhatók (lásd 4. fejezet).

3.4. ÖSSZEFOGLALÁS ÉS TÁVLATI CÉLOK

•

53

Az aszimmetrikus elegend® feltételekb®l származtatott teljesen párhuzamos algoritmusok is alkalmasak topológiai magok meghatározására (lásd 4. fejezet).

A 2D eredményeket két folyóirat ikkben közöltük [73, 77℄, a 3D feltételek pedig egy könyvfejezetben [88℄ valamint négy nemzetközi konferen ia kiadványában [71, 72, 74, 87℄ találhatók. Az aszimmetrikus tételek 1. feltételeinél a kérdéses

p

pont több kritikus

kongurá ióban is szerepelhet és nem lesz törölhet®, ha valamelyikben

p

a

legkisebb elem. Távlati élunk a feltételek nomítása oly módon, hogy törölni lehessen bizonyos olyan pontokat is, amelyek több kritikus kongurá ióban is szerepelnek, köztük olyan(ok)ban is, amely(ek)ben a kérdéses pont a legkisebb elem.

4. fejezet A topológia-meg®rzés elegend® feltételein alapuló párhuzamos vékonyító algoritmusok A reduk iók topológia-meg®rzésére 2D-ben Ronse közölt 1988-ban elegend® feltételeket [97℄, 3D-ben pedig el®ször Ma 1994-ben [58℄. A korai, vagyis Ronse és Ma eredményeinek megszületése el®tt publikált párhuzamos vékonyító algoritmusok topológia-meg®rzését a szerz®ik nem tudták megnyugtatóan bizonyítani.

Így például Tsao és Fu algoritmusa [106℄ sem bizonyult korrekt-

nek (mivel eltüntet bizonyos ferde felszínszegmenseket). A korábban javasolt elegend® feltételekkel (lásd 1.2.3.1.2.5. tételek) a topológiai korrektség ellen®rzése lehet®vé vált a 4.1(a) ábra sémája szerint.

Ekkor a párhuzamos vé-

konyító algoritmusok tervezése a törlési szabályok megalkotásával indul. Ezt követi a törölhet®nek min®sített pontok bizonyos (az adott elegend® feltételekben szerepl®) kongurá ióinak ellen®rzése a (hagyományos) elegend® feltételek alapján. Ha valamennyi megvizsgálandó pont-kongurá ióra teljesülnek a feltételek, akkor a kérdéses reduk ió topológia-meg®rzése bizonyított tény.

Ha

nem, akkor (mivel a feltételek nem szükségesek, hanem supán elegend®k) a topológiai korrektség kérdéses.

A megnyugtató válaszhoz módosítani kell a

törlési szabályokat és a módosítottakat újra kell ellen®rizni. A 3D vékonyító algoritmusoknak a 4.1(a) ábra sémája szerinti validá iója bonyolult és hosszadalmas bizonyításokhoz vezetett [58, 59, 60, 61, 79, 86, 109℄. A terjedelmes bizonyítások ellenére, két algoritmusról is kiderült (10-15 évvel a közlésük után) az, hogy a bizonyításokban elkövetett hibák miatt mégsem ®rzik meg a topológiát [59, 61℄. Számos olyan m¶ született, ami rámutat a hibákra és/vagy javaslatot tesz az algoritmusok korrek iójára [49, 50, 55, 56, 82, 109℄. A hagyományos (a 4.1(a) ábrát követ®) séma ko kázatos volta miatt mi a 3. fejezetben bemutatott új elegend® feltételeken alapuló módszert javasoljuk (lásd 4.1(b) ábra). Ekkor a párhuzamos vékonyító stratégiákkal kombinált elegend® feltételeket egyszer¶síthetjük az alkalmazott geometriai kényszerfeltételekkel (például végpont-kritériumokkal) és máris olyan párhuzamos vékonyító 55

56

4. FEJEZET. VÉKONYÍTÓ ALGORITMUSOK

algoritmusokhoz jutunk, amelyekre garantált a geometriai korrektség. Az új séma kul sa az, hogy az új (a 3. fejezetben bemutatott kilen 2D és tizenöt 3D) feltételek nem bizonyos pont-kongurá iók ellen®rzését kívánják meg, hanem egyedi pontok törölhet®ségére vonatkoznak. A 4.1. alfejezetben ismertetjük a topológia-meg®rzés elegend® feltételein alapuló párhuzamos vékonyító algoritmus- saládokat.

A javasolt algoritmu-

sokkal kapott vázszer¶ jellemz®kre a 4.2. alfejezetben mutatok példákat, míg a 4.3. alfejezetben az új algoritmusok tulajdonságait vizsgáljuk. A 4.4. alfejezetben ismertetek egy általános és hatékony implementá iós te hnikát. Végül, a 4.5. alfejezetben összefoglalom a fejezet eredményeit, a nyitott kérdéseket és a távlati éljainkat.

Teljesülnek-e a

törlési

IGEN

topológia-meg®rzés

szabályok

(hagyományos) elegend®

tervezése

a reduk ió topológiailag korrekt

feltételei?

NEM

(a) új elegend® feltételek a topológia meg®rzésére a feltételek

topológiailag korrekt

egyszer¶sítése

reduk ió

geometriai kényszerfeltételek

(b)

4.1. ábra. Párhuzamos vékonyító algoritmusok tervezési stratégiái.

4.1. Új algoritmus- saládok A jelen alfejezetben a 3. fejezet új elegend® feltételein alapuló párhuzamos vékonyító algoritmusokat mutatom be, vagyis olyan eljárásokat ismertetek, amelyek tervezése a 4.1(b) ábra szerinti sémát követi.

(k, k) képeken (k, k) = (26, 6).

Algoritmusaink 3D esetben pedig

dolgoznak, ahol 2D-re

(k, k) = (8, 4),

a

Az új párhuzamos algoritmusok geomet-

riai kényszerfeltételként végpont-meg®rzést és sz¶kületi pontokat kigy¶jt® és

4.1. ÚJ ALGORITMUS-CSALÁDOK

57

védetté tev® megközelítést egyaránt alkalmaznak. A 2D-s végpont-alapú al2 2 2 2 2 goritmusok az ε ∈ {C1 , C2 , C3 , C4 , C5 }, a 3D-s algoritmusok pedig az ε ∈ {C13 , C23 , S13 , S23 , S33 , S43 , S53 } végpontokat ®rzik meg, a sz¶kületi pontok típusa 2 3 3 2D-ben IC , 3D-ben pedig IC vagy IS (lásd 2.4. alfejezet). Az egyes algoritmusok elnevezése három, köt®jellel összef¶zött elemb®l áll:

•

A kezd®tag a párhuzamos vékonyító stratégiára utal, melyek kitev®je a dimenzió (n

= 2, 3).

A stratégia azonosítója:

a teljesen párhuzamos algoritmusokra az irány-alapúak esetén

hd1 , . . . , dl i (l ≥ 2)

•

F P n (fully parallel),

n SIhd (subiteration-based), 1 ,...,dl i

ahol

a törlési irányok sorozatát adja meg,

n az almez®-alapú SFs (subeld-based), ahol s az almez®k száma. Az n SFs _IL tag arra utal, hogy iterá ió-szint¶ a geometriai kényszerfeltételek (vagy a határpontok) ellen®rzése.

A középs® tag

n=2

esetén SYM vagy ASYM aszerint, hogy szimmetri-

kus vagy aszimmetrikus elegend® feltételekb®l származik-e az algoritmus;

n = 3 esetén

a SYM és az ASYM tagok az 1 vagy 2 alsó indexszel b®vül-

nek. Ha az elegend® feltételek a kérdéses

p

pontot tartalmazó

egyszer¶ségét írják el®, akkor az index 1, ha pedig a

p pontnak

Q

halmaz

a

Q \ {p}

törlése után kell egyszer¶nek lenni, akkor pedig 2 lesz az index.

•

Az utolsó elem a geometriai kényszerfeltételt azonosítja, mely a végpontfeltételt vagy a sz¶kületi pontok egy típusát adja meg.

4.1.1. Teljesen párhuzamos vékonyító algoritmusok A teljesen párhuzamos algoritmusok minden iterá iós lépése egyetlen reduk ióból áll (lásd 2.3.1. pont).

A végpontokat detektáló teljesen párhuzamos

vékonyító algoritmusok sémáját a 4.1. algoritmus, a sz¶kületi pontokat meg®rz®két pedig a 4.2. algoritmus mutaja be.

4.1. algoritmus. F P n-α-ε 1: Input: a 2: Output: 3: 4: 5: 6: 7:

(Zn , k, k, X) kép n a (Z , k, k, X) kép

Y =X

repeat D={p|ap Y =Y \D until D = ∅

az

Y

halmaz

F P n -α-ε-törölhet®

pontja}

Tekintsük el®ször az algoritmusok törlési feltételeit

4.1.1. dení ió. képen, ha az

p

[75, 77℄ A

nem

ε

p∈B

pont

(8, 4)

képekre!

F P 2-SYM-ε-törölhet®

a

(Z2 , 8, 4, B)

végpont és teljesülnek a 3.1.1. tétel feltételei.

58


4.2. algoritmus. F P n-α-I 1: Input: a 2: Output: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9:

(Zn , k, k, X) kép n a (Z , k, k, X) kép

Y =X I=∅

repeat I = I ∪ { p | a p ∈ Y \ I pont I típusú sz¶kületi pont} D = { p | p az Y \ I halmaz F P n -α-T K -törölhet® pontja} Y =Y \D until D = ∅

4.1.2. dení ió. (Z2 , 8, 4, B)

p ∈ B pont F P 2-ASYM-ε-törölhet® tetsz®leges p nem ε végpont és teljesülnek a 3.1.6. tétel feltételei.

[73℄ A

képen, ha

Következzenek a törlési feltételek


p

nem

[71,72℄ A

ε


p

nem

ε

p∈B

(26, 6)

pont

képekre!

F P 3-SYM1 -ε-törölhet® a (Z3 , 26, 6, B)

végpont és teljesülnek a 3.2.1. tétel feltételei. [87℄ A

p∈B

pont

F P 3-SYM2 -ε-törölhet®

a

(Z3 , 26, 6, B)

végpont teljesülnek a 3.2.2. tétel feltételei.

4.1.5. dení ió. A p ∈ B pont F P 3 -ASYM1 -ε-törölhet® a (Z3 , 26, 6, B) képen, ha

p

nem

ε



p

nem

ε

[78℄ A

p∈B

pont

F P 3-ASYM2 -ε-törölhet®

a

(Z3 , 26, 6, B)


4.1.2. Irány-alapú vékonyító algoritmusok Az irány-alapú párhuzamos vékonyító algoritmusoknál egy iterá iós lépés

l≥2

aliterá ióból, reduk ióból áll, ahol sak az aktuális iránynak megfelel® típusú határpontok törölhet®k (lásd 2.3.1. pont). A továbbiakban az aktuális törlési irányt jelölje

d,

ami 2D algoritmusok

N , W , S , E , NE , NW , SE , SW irányok egyike, míg 3D-ben U , D , UN , US , UE , UW , DN , DS , DE , DW , USW , USE , UNW , UNE , DSW , DSE , DNW vagy DNE is lehet törlési irány (lásd 2.6. ábra).

esetében az

A végpontokat detektáló irány-alapú algoritmusok sémáját a 4.3. algoritmus, a sz¶kületi pontokat meg®rz® algoritmusok pszeudo-kódját pedig a 4.4. algoritmus mutatja be. El®ször a 2D algoritmusok törölhet® pontjait adjuk meg.


p

nem

•

ha

ε

A

p∈B

pont

SI 2 -d-SYM-ε-törölhet®

a

(Z2 , 8, 4, B)

végpont, és

d ∈ {N, E, S, W },

akkor teljesülnek a 3.1.2. tétel feltételei.

képen,


59

4.3. algoritmus. SIhdn 1 ,...,dl i -α-ε (Zn , k, k, X) kép n a (Z , k, k, Y ) kép

1: Input: a 2: Output: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10:

Y =X

repeat

D=∅ for i = 1 to l do Di = { p | a p az Y Y = Y \ Di D = D ∪ Di until D = ∅

halmaz

SI n -di -α-ε-törölhet®

pontja}

4.4. algoritmus. SIhdn 1 ,...,dl i -α-I (Zn , k, k, X) kép, n a (Z , k, k, X) kép

1: Input: a 2: Output: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12:

Y =X I=∅

repeat

D=∅ for i = 1 to l do I = I ∪ { p | a p ∈ Y \ I pont I típusú sz¶kületi pont} Di = { p | a p az Y \ I halmaz SI n -di -α-T K -törölhet® pontja} Y = Y \ Di D = D ∪ Di until D = ∅ •

ha

d ∈ {NE, SW, NW, SE},


ε

A

p∈B

pont

akkor teljesülnek a 3.1.3. tétel feltételei.

SI 2 -d-ASYM-ε-törölhet® a (Z2 , 8, 4, B) képen,

p

nem

•

ha

d ∈ {N, E, S, W },

•

ha

d ∈ {NE, SW, NW, SE},

végpont és akkor teljesülnek a 3.1.7. tétel feltételei. akkor teljesülnek a 3.1.8. tétel feltételei.

A 2D törlési feltételek után térjünk rá a 3D törlési feltételekre. A törlési feltételek sak

U -határpontokra

adom meg.

4.1.9. dení ió. A p ∈ B pont SI 3 -U -SYM1 -ε-törölhet® a (Z3 , 26, 6, B) képen, ha a

p

pont

U -határpont,

4.1.10. dení ió. pen, ha a feltételei.

p

pont

A

nem

p∈B

ε


pont

U -határpont,

SI 3 -U -SYM2 -ε-törölhet® a (Z3 , 26, 6, B) kénem ε végpont és teljesülnek a 3.2.6. tétel

60


A szimmetrikus feltételek után következzenek az aszimmetrikus törlési szabályok.

4.1.11. dení ió. képen, ha a

p

pont

A

p∈B

pont

U -határpont,

SI 3 -U -ASYM1 -ε-törölhet® a (Z3 , 26, 6, B) nem ε végpont és teljesülnek a 3.2.7. tétel

feltételei.

4.1.12. dení ió. 6, B)

képen ha a

p

[78℄ A pont

p ∈ B

SI 3 -U -ASYM2 -ε-törölhet® a (Z3 , 26, nem ε végpont és teljesülnek a 3.2.8.

pont

U -határpont,

tétel feltételei.

4.1.3. Almez®-alapú vékonyító algoritmusok Az almez®-alapú vékonyító algoritmusoknál a képpontok halmazát junkt részhalmazra bontjuk. A vékonyítás egy iterá iós lépése

s

s≥2

disz-

aliterá ióból,

reduk ióból áll, ahol az egyes almez®ket egymást követ®en aktiváljuk, és az adott aliterá iókban sak az aktív almez®ben lév® pontokat törölhetjük (lásd 2.3.1. pont). Ebben az alfejezetben a 2D algoritmusaink a kett® és a négy (lásd a 2.8. ábra), a 3D algoritmusaink pedig a kett®, a négy valamint a nyol (lásd a 2.9. ábra) almez®s felbontásokon alapulnak. Az általunk javasolt végpont-alapú vékonyító algoritmusok sémáját a 4.5. algoritmus, a sz¶kületi pontokat meg®rz® vékonyító algoritmusokat pedig a 4.6. algoritmus írja le.

4.5. algoritmus. SFsn-α-ε 1: Input: a 2: Output: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12:

(Zn , k, k, X) kép, n a (Z , k, k, Y ) kép

Y =X

repeat

egy iterá iós lépés D=∅ for i = 0 to s − 1 do n // egy aliterá iós lépés, az SFk (i) almez® aktív Di = { p | p az SFsn (i) ∩ Y halmaz SF n -s-i-α-ε-törölhet® D = D ∪ Di Y = Y \ Di until D = ∅ //

pontja

}

A hagyományos almez®-alapú vékonyító séma (lásd 2.5. algoritmus) egyik hátránya az, hogy felesleges, hamis végpontok keletkezhetnek, bel®lük pedig nemkívánatos vázágak fejl®dhetnek ki.

Mivel a hagyományos almez®-alapú

vékonyító algoritmusok az almez®k sorrendjében vizsgálják a határpontokat, ezért egy nagyobb index¶ almez®be tartozó pont körül a kisebb index¶ almez®kbe tartozó szomszédai hamarabb törl®dhetnek, körbeásva ezzel a nagyobb


61

4.6. algoritmus. SFsn-α-I 1: Input: a 2: Output: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12: 13: 14:

(Zn , k, k, X) kép n a (Z , k, k, Y ) kép

Y =X I=∅

repeat

egy iterá iós lépés D=∅ for i = 0 to s − 1 do n // egy aliterá iós lépés, az SFs (i) almez® aktív I = I ∪ { p | a p pont I típusú sz¶kületi pont a (SFsn (i) ∩ Y ) \ I halmazban } Di = { p | p az (SFsn (i) ∩ Y ) \ I halmaz SF n -s-i-α-T K -törölhet® pontja } D = D ∪ Di Y = Y \ Di until D = ∅ //

index¶ almez®be tartozó pontokat. Mire ezen nagyobb index¶ almez®be tartozó pontok sorra kerülnek, megfelelhetnek a gyelembe vett végpont-feltételnek. Ennek elkerülése érdekében javasoltuk az iterá ió-szint¶ határpont-ellen®rzést az almez®-alapú vékonyító algoritmusoknál [72℄, ahol kizárólag abból a ponthalmazból törölhetünk amelyek határpontok voltak és nem feleltek meg a gyelembe vett geometriai-kényszerfeltételnek az iterá iós lépés elején. Ezáltal egy iterá iós lépésben sak egyetlen réteget hámozunk le az objektumról. Az új sémának köszönhet®en (lásd a 4.7. és a 4.8. algoritmusokat) jelent®sen

sökken a felesleges vázágak száma.

4.7. algoritmus. SFsn_IL-α-ε 1: Input: a 2: Output: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12: 13: 14:

(Zn , k, k, X) kép, n a (Z , k, k, Y ) kép

Y =X E=∅

repeat

egy iterá iós lépés D=∅ E = E ∪ { p | p ∈ Y pont határpont és nem ε-végpont} for i = 0 to s − 1 do // egy aliterá iós lépés Di = { p | p az SFsn (i) ∩ E halmaz SF n -s-i-α-T K -törölhet® pontja } D = D ∪ Di Y = Y \ Di until D = ∅ //

62


4.8. algoritmus. SFsn_IL-α-I (Zn , k, k, X) kép, n a (Z , k, k, Y ) kép

1: Input: a 2: Output:

Y =X E=∅

3: 4:

repeat

5:

egy iterá iós lépés D=∅ I =∅ I = I ∪ { p | a p pont I -típusú sz¶kületi pont} E = E ∪ { p | p ∈ Y \ I pont határpont} for i = 0 to s − 1 do // egy aliterá iós lépés Di = { p | p az SFsn (i) ∩ E halmaz SF n -s-i-α-T K -törölhet® pontja } D = D ∪ Di Y = Y \ Di until D = ∅ //

6: 7: 8: 9: 10: 11: 12: 13: 14: 15: 16:

Az almez®-alapú vékonyító algoritmusaink törlési feltételeit a 4.1.13-4.1.18. dení iók adják meg.

4.1.13. dení ió. képen, ha a

p∈

2 [77℄ A p ∈ B pont SF -s-i-SYM-ε-törölhet® a 2 SFs (i), nem ε végpont és

• s=2

esetén teljesülnek a 3.1.4. tétel feltételei,

• s=4

esetén teljesül a 3.1.5. tétel feltétele (azaz

4.1.14. dení ió. 4, B)

képen, ha

[73℄ A p ∈ SFs2 (i), nem

p∈


• s=4


3

(Z , 26, 6, B)

p

p ∈ B pont SF 3 -s-i-SYM1 -ε-törölhet® p ∈ SFs3 (i), nem ε végpont és

1.

s=2


2.

s=4


3.

s=8


3

(Z , 26, 6, B)

képen,

p

a

egyszer¶ pont).

p ∈ B pont SF 3 -s-i-SYM2 -ε-törölhet® 3 ha p ∈ SFs (i), nem ε végpont és

A

(Z2 , 8,

a

egyszer¶ pont).

[71, 72℄ A

képen, ha

4.1.16. dení ió.

egyszer¶ pont).

B pont SF 2 -s-i-ASYM-ε-törölhet® ε végpont és

• s=2

4.1.15. dení ió.

p

(Z2 , 8, 4, B)

tetsz®leges

P =

4.2. PÉLDÁK A KAPOTT VÁZSZER JELLEMZKRE

• s=2


• s=4


• s=8



p

egyszer¶ pont).

p ∈ B pont SF 3 -s-i-ASYM1 -ε-törölhet® p ∈ SFs3 (i), nem ε végpont és A

• s=2


• s=4


• s=8


4.1.18. dení ió.

(Z3 , 26, 6, B)

p

63

a

(Z3 , 26, 6, B)

egyszer¶ pont).

p ∈ B pont SF 3 -s-i-ASYM2 -ε-törölhet® tetsz®leges p ∈ SFs3 (i) nem ε végpont és

[78℄ A

képen, ha

• s=2


• s=4


• s=8


p

egyszer¶ pont).

Megjegyzend®, hogy a 4- és a 8-almez®s 3D algoritmusokra a 4.1.15. és a 4.1.16. valamint a 4.1.17. és a 4.1.18. dení iók egybeesnek.

4.2. Példák az új algoritmusokkal kapott vázszer¶ jellemz®kre Terjedelmi okok miatt itt supán néhány algoritmus eredményét mutatom be a 4.2.-4.10. ábrákkal.

A 4.2.-4.6. ábrákon egy 2572 objektumpontot tartal-

mazó tesztképre vetítettem 9-féle topológiai magot és 45-féle középvonalat, vagyis 54 algoritmus eredményét. Az egyes képeken középszürkék a kiindulási kép objektumpontjai és feketék a vázszer¶ jellemz®khöz tartozók. A 4.7.-4.10. ábrák néhány 3D algoritmus eredményét illusztrálják. A zárójelben szerepl® számok rendre az objektumpontok számát és a párhuzamos sebességet (vagyis a szükséges reduk iók számát) adják meg. Az aszimmetrikus feltételeket alkalmazó 2D vékonyító algoritmusok el®nyeit a a szimmetrikushoz képest a [73℄-ben tárgyaltuk. Az új 2D algoritmusok és még számos gyakran alkalmazott eljárás eredményei az alábbi honlapon találhatók:

http://www.inf.u-szeged.hu/∼gnemeth/thinning_gallery/ skeleton_alg2d.php

64


F P 2 -ASYM-T K

F P 2 -ASYM-C12

F P 2 -ASYM-C22

(156, 73)

(337, 17)

(346, 17)

F P 2 -ASYM-C32

F P 2 -ASYM-C42

F P 2 -ASYM-C52

(352, 17)

(405, 17)

(474, 17)

4.2. ábra. Teljesen párhuzamos aszimmetrikus 2D algoritmusok eredményei.

4.3. Vékonyító algoritmusok hatékony implementá iója A jelen alfejezetben egy hatékony módszert mutatok be vékonyító algoritmusok implementálására. Az egyszer¶bb tárgyalás kedvéért a javasolt te hnikát 3 3 3 3

sak a teljesen párhuzamos 3D algoritmusokra F P -SYM1 -ε (ε ∈ {C1 , C2 , S1 , S23 , S43 , S53 }) részletezem a 4.9. algoritmussal. Fontos megjegyezni, hogy a módszer teljesen általános, nem sak valamennyi 2D és 3D párhuzamos algoritmusra alkalmazható, hanem a szekven iálisok megvalósítására is. A módszer kul selemei:

•

Mivel valamennyi vékonyító algoritmus esetén a törölhet® pontok sak az aktuális kép határpontjai közül kerülhetnek ki, így szükségtelen a vékonyítás valamennyi fázisában bejárni az aktuális képet. A költséges pásztázás helyett elegend® supán a határpontok halmazát tárolni és annak elemeit vizsgálni.

•

A párhuzamos vékonyító algoritmusoknál a határpontok törölhet®ségét azok lokális környezete határozza meg az aktuális képen, így szekven iális számítógépen nem lehet a párhuzamos algoritmusok egy vékonyító fázisát, reduk ióját supán egyetlen képtömbbel (helyben) elvégezni.

Cél-

szer¶ egy halmazba (segéd-adatszerkezetbe) összegy¶jteni azokat a határpontokat, amelyekre teljesülnek az adott algoritmus (adott fázisának) törlési feltételei.

Ily módon minden határpont törölhet®sége az adott

reduk ió bemeneti képén vizsgálható és a törölhet® pontok halmazának megalkotását követi sak a törlés. Egy pont törlésekor el kell ®t távolítani a határpontok halmazából és egyúttal a halmazt b®víteni kell a határponttá váló bels® pontokkal is. Ezáltal a határpontok halmaza minden fázisban pontosan az aktuális kép határpontjait fogja tartalmazni.

•

A törlési szabályok kiértékelését nem végezzük el újra és újra minden egyes vizsgált határpontra, hanem sak egyszer vizsgáljuk meg az összes

4.3. VÉKONYÍTÓ ALGORITMUSOK IMPLEMENTÁCIÓJA

2 SIhNE,SW -ASYM-T K i

2 2 SIhNE,SW -ASYM-C1 i


(151, 76)

(330, 26)

(351, 26)




(355, 26)

(464, 24)

(579, 26)

2 SIhNW,SEi -ASYM-T K

2 2 SIhNW,SEi -ASYM-C1


(149, 74)

(325, 26)

(351, 26)




(356, 26)

(487, 24)

(593, 26)

65

4.3. ábra. 2-aliterá iós aszimmetrikus irány-alapú 2D algoritmusokkal kapott topológiai magok és középvonalak. Vegyük észre, hogy a konven ionális iránypárokkal dolgozó algoritmusok a tengelyesen szimmetrikus heged¶re is aszimmetrikus eredményt adtak.

lehetséges lokális környezetet és az eredményt (egy pont törölhet®ség az adott kongurá ióban) algoritmus-spe ikus keres®táblákban (lookup-table, LUT) tároljuk.

A vékonyító eljárásban kiértékelés helyett a

kérdéses keres®tábla megfelel® elemének kiolvasása adja meg a választ az adott pont törölhet®ségére. A 2D algoritmusaink vizsgált környezetei a kérdéses pont lokális környezeté224 lehetséges

b®l legfeljebb 24 pontot tartalmaz (lásd 3.2. ábra), így legfeljebb

pontkongurá ióhoz kell sorszámot (indexet) rendelni és azokra a kiértékelést (el®re) elvégezni, majd végül az eredményül kapott 2 MB méret¶ keres®táblát tartalmazó állományt létrehozni. A 3D algoritmusok keres®táblái viszont kezelhetetlen méret¶ek is lehetnek, irreális pl. a 3.5. ábrán látható vizsgált 124 77 - vagy akár 2 -bites keres®táblákat konstruálni. Viszont környezetekhez 2 a

(26, 6)

képeken az egyszer¶ség eldöntése (az 1.2.2. tétel miatt) eldönthet®

a vizsgált pont

3 × 3 × 3-as

környezete alapján, ezért az összes lehetséges 26 kongurá ió kiértékelése eltárolható a LUT _simple 2 -bites, vagyis 8 MB-os

keres®táblában.

A keres®tábla létrehozásakor és a vékonyítás során a tábla

66


2 SIhN,E,S,W -ASYM-T K i

2 2 SIhN,E,S,W -ASYM-C1 i


(148, 104)

(325, 48)

(356, 48)




(365, 48)

(509, 52)

(639, 48)

2 SIhNE,SW,NW,SEi -ASYM-T K

2 2 SIhNE,SW,NW,SEi -ASYM-C1


(158, 76)

(339, 28)

(356, 28)




(360, 28)

(462, 28)

(589, 28)

4.4. ábra. 4-aliterá iós aszimmetrikus irány-alapú 2D algoritmusokkal kapott topológiai magok és középvonalak. Meggyelhet®, hogy az utolsó 6 (az általunk javasolt

2 × 2-irányt

alkalmazó) algoritmus is szimmetrikus eredményt ad a

tengelyesen szimmetrikus heged¶re.

meg ímzésekor a vizsgált

p

pont

3 × 3 × 3-as

index(p) =

25 X

környezetének sorszáma

2 i · pi ,

i=0

ahol a környezet pontjait 4.11. ábra szerint indexeltünk. A vizsgált

LUT _simple[index(p)] =

1, 0,

ha p egyszer¶ ha p nem egyszer¶

p pontra

.

Az alkalmazott végpontkritérium ellen®rzésére ugyan sak alkalmazhatunk F P 3 -SYM1 -ε (3D teljesen

keres®táblákat Nézzük a 4.9. algoritmust, amely a

párhuzamos, a 3.2.1. tétel elegend® feltételeib®l származtatott szimmetrikus, az

ε

végpontokat meg®rz®) vékonyító algoritmus megvalósítását írja le.

algoritmus bemenete az

A

Az

tömb, amely a vékonyítandó bináris képet tartal-

mazza (ahol nemnulla értékek felelnek meg az fekete pontoknak, a nullák pedig a fehéreknek), továbbá a

ε

LUT _simple

és a

LUT _ε,

az egyszer¶ pontok és az

végpontok azonosítására szolgáló keres®táblák. Az implementá iós módszer

sajátossága, hogy az output kép is az

A

tömbben áll el®.

A határpontokat


67

SF22 -ASYM-T K

SF22 -ASYM-C12

SF22 -ASYM-C22

(157, 76)

(382, 20)

(392, 20)

SF22 -ASYM-C32

SF22 -ASYM-C42

SF22 -ASYM-C52

(395, 20)

(403, 20)

(403, 20)

SF22 _IL-ASYM-T K

SF22 _IL-ASYM-C12

SF22 _IL-ASYM-C22

(157, 76)

(332, 34)

(340, 34)

SF22 _IL-ASYM-C32

SF22 _IL-ASYM-C42

SF22 _IL-ASYM-C52

(345, 34)

(384, 34)

(448, 34)

4.5. ábra. 2-almez®s aszimmetrikus 2D algoritmusokkal kapott vázszer¶ jellemz®k.

Megállapíthatjuk, hogy valamennyi vázszer¶ jellemz® letisztult és

szimmetrikus a tengelyesen szimmetrikus heged¶re.

és a törölhet® pontokat tartalmazó halmazok elemeit rendre a és a

deletable_list

border_list

lán olt listákban tároljuk. Kihasználtuk azt, hogy a bi-

náris képek pontjait a 3D képformátumok (pl. az általunk használt Analyze formátum is [2℄) legfeljebb 1 byte/voxel módon tárolja, így a vékonyító eljárás folyamán az

A

tömb elemei által felvett értékek jelentése a következ®:

•

0: fehér pont,

•

1: bels® pont,

•

2: határpont (szerepel a

•

3: törölhet® pont (tartalmazza a

border_list

listában),

deletable_list).

El®ször pásztázzuk az input képet (ez az egyetlen alkalom, amikor megláto-

A tömb valamennyi elemét) és a határpontokat beszúrjuk a kezdetben üres border_list listába, az A tömbben a határpontokat 2 érték¶re állítjuk (a

gatjuk az

bels® pontokat pedig 1-re). Ezt követ®en a vékonyítás minden fázisában sak

68


SF42 -ASYM-T K

SF42 -ASYM-C12

SF42 -ASYM-C22

(157, 148)

(635, 40)

(642, 40)

SF42 -ASYM-C32

SF42 -ASYM-C42

SF42 -ASYM-C52

(656, 40)

(690, 40)

(1118, 40)

SF42 _IL-ASYM-T K

SF42 _IL-ASYM-C12

SF42 _IL-ASYM-C22

(157, 114)

(334, 51)

(344, 51)

SF42 _IL-ASYM-C32

SF42 _IL-ASYM-C42

SF42 _IL-ASYM-C52

(347, 51)

(392, 51)

(448, 51)

4.6. ábra. 4-almez®s aszimmetrikus 2D algoritmusokkal kapott vázszer¶ jellemz®k.

A hagyományos sémát követ® almez®s-algoritmusok bizonyos végpont-

feltételek esetében számos hamis vázágat növesztettek.

Az iterá ió-szint¶

határpont-ellen®rzéssel viszont letisztult eredményeket kaptunk.

a

border_list

elemeivel dolgozunk. Megjegyezzük, hogy a vékonyítás el®re-

haladtával egyre sökken az objektumpontok és egyben a határpontok száma is, így az iterá iós lépések végrehajtása egyre rövidebb id®t igényel. A fenti ini ializálás után következhetnek az iterá iós lépések, a

repeat

iklus magja a teljesen párhuzamos algoritmus egy iterá iós lépésének felel

border_list bejárásával el®ször bekerülnek a deletable_list listába A tömbben értékük 3-ra változik. Ezt követi a deletable_list elemeinek további

meg. A

azok a határpontok, amelyekre teljesül a 3.2.1. tétel 1. feltétele és az az

sz¶rése, vagyis annak ellen®rzése, hogy teljesítik-e tétel 2. és 3. feltételét is. A további ellen®rzéseken elbukó pontokat kivesszük a

deletable_list listából és

az értékük újra 2 lesz. Az iterá iós lépés reduk iója a 3.2.1. tétel mindhárom feltételét teljesít® pontok törlésével és a

border_list

lista aktualizálásával

zárul. A javasolt módszer nagy el®nye az, hogy a végrehajtási id®t els®sorban a kiindulási képen található objektumpontok száma (valamint az objektumok kompaktsága) határozza meg a kép mérete helyett.

Módszerünkkel a vázki-

jelöl® te hnikák közül a vékonyítás számít a leggyorsabbnak, nagyméret¶ (pl.


Kiindulási objektum

F P 3 -ASYM2 -IS3

(3527432)

(55542, 49)

3 3 SIhU,D,N,S,E,W -ASYM2 -IS i

SF23 _IL-ASYM2 -IS3

(47565, 222)

(51225, 94)

SF43 _IL-ASYM2 -IS3

SF83 _IL-ASYM2 -IS3

(49906, 188)

(49423, 376)

4.7. ábra. Egy

515 × 235 × 375-ös

69

madár és annak sz¶kületi pontokat meg®rz®

3D aszimmetrikus vékonyító algoritmusokkal kapott középfelszínei.

CT-vizsgálatokból szegmentált

512 × 512 × 700as,

egymillió objektumpontot

tartalmazó) képekre a vékonyítás 1 másodper nél kevesebb id®t vesz igénybe egy átlagos PC-n. Ez az implementá iós séma alkalmazható az irány-alapú és az almez®-alapú vékonyító algoritmusok esetében is. Megjegyzend®, hogy az almez®-alapú vékonyító algoritmusoknál az ini ializáló lépésben minden képpontra kiszámolható, hogy ® melyik almez®be tartozik és a pontokat az almez®knek megfelel®

ímkékkel megjelölhetjük.

Az almez®k jelölésére nem szükséges külön töm-

böt használnunk, hiszen a legfeljebb nyol almez® kódolására 3 bit elegend® (és egy képpontot 1 bájton tárolunk).

Az almez®-alapú algoritmusok haté-

konyságát tovább növeli, ha egy határpont lista helyett, almez®nként külön határpont-listát tartunk nyilván, és az egyes aliterá iók során sak az aktív almez® határpont-listáján szerepl® pontokat vizsgáljuk végig.

70


4.9. algoritmus. F P 3-SYM1 -ε 1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12: 13: 14: 15: 16: 17: 18: 19: 20: 21: 22: 23: 24: 25: 26: 27: 28: 29: 30: 31: 32: 33: 34: 35: 36: 37: 38:

Input: az A tömb, a LUT_simple és a LUT_ε Output: az A tömb // a határpontok kigy¶jtése border_list = <> // üres lista for minden A-beli p = (x, y, z) pontra do if p határpont then border_list = border_list + A[x, y, z] = 2 // egy iterá iós lépés

keres®táblák

repeat

deleted = 0 deletable_list = <> // üres lista // az egyszer¶- és nem ε végpontok kigy¶jtése for minden border_list-beli p = (x, y, z) pontra do if LUT_simple[index(p)℄ = 1 és LUT_ε[index(p)℄ = 0 then deletable_list = deletable_list + A[x, y, z] = 3

else

A[x, y, z] = 2 // a 3.2.1. tétel 1. feltételének vizsgálata for minden deletable_list -beli p pontra do if a p pontra nem teljesül a 3.2.1. tétel 1. feltétele then deletable_list = deletable_list − // a 3.2.1. tétel 2. feltételének vizsgálata for minden deletable_list-beli p pontra do if a p pontra nem teljesül a 3.2.1. tétel 2. feltétele then deletable_list = deletable_list − // törlés for minden deletable_list-beli p = (x, y, z) pontra do A[x, y, z] = 0 border_list = border_list − deleted = deleted+1 // a border_list aktualizálása for minden q = (x′ , y ′, z ′ ) p-vel 6-szomszédos pontra do if A[x′ , y ′, z ′ ] = 1 then A[x′ , y ′, z ′ ] = 2 border_list = border_list + < q > until deleted = 0


71


3 F P 3 -ASYM1 -IC

(273743)

(1297, 33)

3 3 SIhU,D,N,S,E,W -ASYM2 -IC i

3 SF23 _IL-ASYM2 -IC

(1332, 114)

(1353, 58)

3 SF43 _IL-ASYM2 -IC

3 SF83 _IL-ASYM-IC

(1344, 108)

(1353, 216)

4.8. ábra. Egy

103 × 381 × 255-ös

helikopter és annak középvonalai.

4.4. Összefoglalás és távlati élok Ebben a fejezetben a második tézisponthoz tartozó eredményeket mutattam be. Egy olyan új sémát javasoltunk párhuzamos vékonyító algoritmusok tervezésére, ami a topológia-meg®rz® reduk iókra adott új elegend® feltételek (lásd 3. fejezet) geometriai kényszerfeltételekkel történ® egyszer¶sítésével új topológia-meg®rz® 2D (lásd 4.1. alfejezet) és 3D (lásd 4.2. alfejezet) vékonyító algoritmusokhoz vezet. Két új vékonyító stratégiát is javasoltunk: egyrészt a 2D irány-alapú algoritmusokra bevezettük az

2·2

hNE, SW, NW, SEi

törlési irány-sorozatot vizsgáló

aliterá iós megközelítést, másrészt pedig az almez®-alapú algoritmusokra

az iterá ió-szint¶ határpont-ellen®rzés módszerét. A sz¶kületi pontokat (mint geometriai kényszer-feltételeket) korábban sak egy szekven iális [12℄, egy 6-aliterá iós [94℄ és egy 8-almez®s [10℄ 3D vékonyító algoritmusnál alkalmazták, míg a fejezet új algoritmusai között megtalálhatók valamennyi új elegend® feltételnek a 2D és a 3D sz¶kületi pontokkal kombinált változatai is. A 4.3. alfejezetben bemutattam egy általános módszert a vékonyító algoritmusok (szekven iális számítógépeken történ®) hatékony implementá iójára.

72



3 3 SIhU,D,N,S,E,W -SYM1 -S1 i

3 3 SIhU,D,N,S,E,W -SYM1 -S4 i

(1173750)

(25886, 210)

(16857, 450)

4.9. ábra. Egy

104×104×152-es henger és annak kétféle (6-irányú szimmetrikus

algoritmusokkal kapott) középfelszíne.


SF83 -ASYM2 -T K

(92868)

(110, 464)

4.10. ábra. Egy

101 × 67 × 76-os

sésze és annak egy topológiai magja.

A

topológiai mag azért nem egyetlen izolált pont, mert a kiindulási objektum lyukat tartalmaz.

p0

p1

p3 p6

p8 p10

p12

p16 p18

p20

pont

p13

p15 p17

p

p11

p

p14

4.11. ábra. A

p5

p7 p9

p23

p2

p4

p19

p21 p24

p22 p25

3 × 3 × 3as

környezetének indexelése.


73

Távlati éljaink:

•

Az új tervezési sémát követve eddig 96-féle 2D és 66-féle 3D vékonyító algoritmust implementáltunk.

Célunk a hiányzó algoritmusok meg-

valósítása, vagyis az, hogy valamennyi elegend® feltételt kombináljunk valamennyi geometriai kényszerfeltétellel.

•

Mivel a végpont-meg®rz® vékonyítással kapott középvonalak és középfelszínek nemkívánatos részleteket is tartalmazhatnak, a sz¶kületi pontokon alapuló algoritmusok vázszer¶ jellemz®ir®l pedig hiányozhatnak lényegesnek számító vázelemek, így élunk a kétféle vékonyító stratégia kombinálása és új geometriai kényszerfeltételek kidolgozása.

5. fejezet Vázközelítések kvantitatív kiértékelése A vázkijelölésre (vagyis váz közelítésére digitális bináris képeken) számos eljárás ismert. A javasolt módszerek ugyanarra a képre változatos vázközelítéseket eredményezhetnek.

Az egyes vázközelítések összevetésére, jóságuk mé-

résére számos módszert javasoltak [46, 47, 91℄, amelyek egyrészt nem tekintik a vázszer¶ jellemz®ket spe iális ponthalmazoknak, másrészt pedig nem veszik gyelembe a kiindulási objektumokat sem. Az

általunk

kidolgozott

módszer

két

kul seleme

a

kép-adatbázisunk

(mely 55 tesztképet és azok ideális középvonalait tartalmazza) és egy új (vázspe ikus) mér®szám. A jelen fejezet 5.1. alfejezete ismerteti a kép-adatbázis el®állításának módszerét. Az 5.2. alfejezetben megadom az általunk javasolt mér®számokat. Az 5.3. alfejezet a mér®számok validá ióját (az általunk bevezetett szekven iavázakkal) tárgyalja. Végül az 5.4. alfejezetben a vázkijelöl® eljárások kiértékelésére javasolt módszerünket ismertetem.

5.1. A kép-adatbázis el®állítása Ebben az alfejezetben bemutatom a kép-adatbázis, vagyis a referen ia-képek és a hozzájuk tartozó referen ia-vázak el®állításának folyamatát, amely az alábbi lépésekb®l áll:

1. az alapképek kiválasztása, 2. a referen ia-vázak el®állítása az alapképekb®l, 3. a referen ia-képek származtatása a referen ia-vázakból és az alapképekb®l.

A következ®kben az egyes fázisokat részletezem. 75

76

5. FEJEZET. KVANTITATÍV KIÉRTÉKELÉS

5.1.1. Az alapképek kiválasztása Kiválasztottunk 55 olyan bináris képet, amelyek változatos 2D objektumokat (pl. leveleket, állatokat) tartalmaznak. Ügyeltünk arra, hogy az objektumok vastag részleteket is tartalmazzanak, mivel a vékony objektumokra egyetlen vázkijelöl® eljárás sem tévedhet nagyot (lásd 4.2.-4.6. ábrák tesztképén a vékony hangjegyek középvonalait). Egy kiválasztott képet a továbbiakban

alapképnek

nevezünk és

BI -vel

je-

löljük.

5.1.2. A referen ia-vázak el®állítása A referen ia-vázak megalkotásakor gyelembe vettük a 2.1.1. kritérium els® három pontját, vagyis azt, hogy a referen ia-vázak 1. legyenek topológiailag ekvivalensek a kiindulási objektummal, 2. legyenek 1-pixel vastagok és 3. az objektumok közepén helyezkedjenek el. Az els® kritérium teljesülése érdekében egy kiválasztott topológiailag korrekt algoritmussal (az AK2 algoritmussal [11℄) meghatároztuk az alapképek középvonalait. Az így kapott középvonalak még tartalmazhatnak 2-pixel vastag vonalszegmenseket és felesleges ágakat is, ezért azokat kézzel korrigáltam. Megjegyzem, hogy ez a fázis automatikusan is végrehajtható lenne (valamelyik 1-pixel vastag középvonalakat eredményez® vékonyító algoritmus egyetlen iterá iós lépésével és egy automatikus váztisztító eljárással), azonban a kézi korrek ió lehet®vé teszi a referen ia-vázak íveinek, valamint az értékes vázelemek és a letisztított ágak találkozásainak lév® elágazások kiigazítását is, amely automatikus módszerrel nehezen lenne megoldható. A kézi korrek iónál gyelembe vettem a 2.1.1. kritérium második, és a harmadik feltételeit is. (A 4. feltételt azért hagytam gyelmen kívül, mivel a referen ia-váz nem az ideális középvonala az alapképeknek.) Egy alapkép referen ia-vázát a továbbiakban

RS

jelöli.

5.1.3. A referen ia-képek el®állítása A referen ia-vázak (amelyeket az 5.1.2. pontban ismertetett módszerrel állítottam el®) nem tekinthet®k a hozzájuk tartozó alapképek ideális középvonalainak. Ezért a referen ia-vázak és az alapképek alapján megkonstruáltuk azokat a képeket, melyeknek az ideális középvonalai éppen a referen ia-vázak lesznek. El®ször valamennyi

BI

alapkép háttérpontjaira (mint jellemz® pontokra)

euklideszi távolságtérképeket [15℄ számítottunk. A

BI

alapkép

DMδBI

távol-

ságtérképe minden egyes objektumpontra megadja a legközelebbi háttérpont távolságát:

5.2. MÉRSZÁMOK VÁZKÖZELÍTÉSEKRE

77

DMδBI (p) = min dE (p, q),

(5.1)

q∈δBI

ahol

δBI

a

BI

alapkép háttérpontjainak halmazát,

pont euklideszi távolságát jelöli.

dE (p, q)

pedig a

p

és

q

Megjegyezzük, hogy a távolságtérképeket

valós számokból álló tömbökben tároltuk. Jelölje

∆E (p, r)

r sugarú körlapnak p ∈ Z2 pont, vagyis

annak az

amelynek középpontja a

legjobb diszkrét közelítését,

∆E (p, r) = {q | q ∈ Z2 , dE (p, q) ≤ r} A következ® lépésben az

RS

referen ia-váz és a

(5.2)

DMδBI

távolságtérkép

RI referen ia-képet, melyeknek objektumait olyan ∆E (p, r) diszkrét körlapok egyesítése alkotja, amelyeknek r sugarai megegyeznek a DMδBI (p) értékkel a referen ia-váz p pontjában. Tehát az RI referen iasegítségével el®állítjuk az

képet az alábbi képlet alapján kapjuk:

RI =

[

∆E (p, DMδBI (p)),

(5.3)

p∈RS Megjegyezzük, hogy az alapképpel. Az

RI

referen ia-kép általában nem egyezik meg az

RS referen ia-vázat viszont az RI

referen ia-kép ideális diszk-

rét vázának tekinthetjük (hiszen úgy alkottuk meg a referen ia-váz ismeretében a referen ia-képet). Megjegyzem, hogy nem garantált minden pontú

RI

∆E (p, DMδBI (p))

p ∈ RS

közép-

körlapra az, hogy maximális beírható diszk legyen az

referen ia-képben. A referen ia-képek és a hozzájuk tartozó referen ia-vázak el®állítását a 5.1.

ábra szemlélteti.

5.2. Mér®számok vázközelítésekre Két ponthalmaz távolságának, eltérésének jellemzésére számos

téket (similarity measures) javasoltak.

hasonlósági mér-

Mivel azokra a mértékekre körülményes

bizonyítani vagy áfolni, hogy metrikák, így a dolgozatban a hasonlósági mérték elnevezés helyett következetesen a

mér®szám

fogalmat használom.

Ha ismert a referen ia-váz, akkor egy tetsz®leges vékonyító algoritmussal kapott középvonal jóságának eldöntése már könny¶ feladat a két ponthalmaz távolságának meghatározásával. Tetsz®leges

P

és

Q

ponthalmazok távolságára gyakran alkalmazzák a Ha-

usdor távolságot [42℄:

H(P, Q) = max{max min dE (p, q), max min dE (p, q)}, p∈P q∈Q

q∈Q p∈P

(5.4)

= max{max DMQ (p), max DMP (q)} p∈P

q∈Q

78


(a)

(b)

( )

(d)

(e)

(f)

5.1. ábra. Példa referen ia-kép és referen ia-váz el®állítására. méret¶ alapkép (a) és annak középvonala (b);

A

612 × 467

a háttérb®l számított tá-

volságtérkép (b) (ahol a világosabb intenzitások reprezentálják a nagyobb távolság-értékeket); a középvonal kézi korrek iójával kapott referen ia-váz ( ); a referen ia-kép (e); az alapkép és a referen ia-kép különbsége (f ).

ahol

DMP

a

P

ponthalmazból számított euklideszi távolságtérképet jelöli.

Abban az esetben, ha a vizsgált vázkijelöl® eljárás (pl. kontúrzaj miatt) egy nemkívánatos vázágat növesztene, akkor a kapott eredmény és a kívánt váz Hausdor távolsága akár a hamis ág hosszával is megegyezhet. Lee, Lam és Suen [47℄ egy kinomultabb mér®számot javasolt két váz (ponthalmaz) összehasonlítására:

1 C(P, Q) = 2 ahol

#(P )

a

P

1 1 1 X 1 X + 2 #(P ) p∈P DMQ (p) + 1 #(P ) q∈Q DMP (q)2 + 1

!

,

(5.5)

halmaz elemszámát jelöli.

Hasonlóan a Hausdor távolsághoz, a

C

mér®szám sem veszi gyelembe az

eredeti kiterjedt objektumot, így ugyanazt az eltérést egy vastagabb és egy vékonyabb objektumrészleten egyformán súlyos hibának min®sít. A Lee, Lam és Suen [47℄ által javasolt másik mér®szám már számol az eredeti objektumokkal. Ezt a mér®számot

# α(S, I) = ahol

S

jelöli az

I

S

p∈S

rekonstruálhatóságnak !

∆E (p, DMδI (p))

a [0,1℄ intervallum, mivel

p∈S

,

#(I)

kép vázának egy közelítését.

S

nevezték el:

Az

∆E (p, DMδI (p) ⊆ I .

α

(5.6)

függvény értékkészlete

A mér®szám hibája az,

5.2. MÉRSZÁMOK VÁZKÖZELÍTÉSEKRE

hogy számos olyan

S⊆I

79

ponthalmaz létezik, amelyre

[

∆E (p, DMδI (p)) = I,

p∈S vagyis nem lehet megmondani, hogy az adott valódi vázat. Például

S

ponthalmaz mennyire közelíti a

α(I, I) = 1, pedig egy kiterjedt objektum nem tekinthet®

önmaga ideális vázának. A fenti mér®számok hiányosságai miatt egy korábbi munkánkban [25℄ újabbakat javasoltunk és vizsgáltunk. Mér®számainkban szerepel az térképnek az

X

Y

távolság-

halmaz pontjaiban vett összege:

D(X, Y ) =

X

Y (p).

(5.7)

p∈X Kétféle vázközelítésre, az

S1

és az

S2

halmazokra az alábbi mér®számokat

javasoltuk:

D1(S1 , S2 )

= D(S1 , DMS2 ),

D2(S1 , S2 )

= D(S2 , DMS1 ),

MAX(S1 , S2 ) = max(D1(S1 , S2 ), D2(S1, S2 )), (D1(S1, S2 ) + D2(S1 , S2 )) , 2

AV G(S1 , S2 )

=

|D1(S1, S2 )|

= 100 ·

D1(S1 , S2 ) , #(S2 )

|D2(S1, S2 )|

= 100 ·

D2(S1 , S2 ) . #(S1 )

(5.8)

A fenti hat mér®szám (hasonlóan az el®z®ekhez) nem veszi gyelembe a kiindulási objektumokat. A mér®számaink vizsgálatakor vázat,

S2 -nek

S1 -nek

egy referen ia-

pedig az 5.3. alfejezetben bemutatásra kerül®, ismert jósági

viszonyokkal rendelkez® szekven ia-vázak egyikét választottuk [25℄. A (mindössze 10 referen ia-képb®l és vázból álló) kezdeti képadatbázisunkra a mér®számaink nem igazolták vissza minden esetben az elvárásunkat (vagyis azt, hogy a jobb vázközelítésre kisebb értéket kapjunk, mint a rosszabb-ra), így tovább folytattuk a kutatást, hogy elfogadható vázspe ikus mér®számokat találjunk.

5.2.1. Normalizált távolságtérképek Megállapítottuk, hogy ugyanazon eltérés az ideális váztól nem szerepelhet ugyanakkora súllyal a mér®számban. Például egy keskeny objektum-szegmens

80


esetében néhány pixeles eltérés jóval nagyobb hibának számít, mint egy vastag szegmensnél. A kiindulási objektumokat is gyelembe vev® vázspe ikus mér®számainkhoz bevezettük a

normalizált távolságtérkép

fogalmát:

DM S,δI = DMS /(DMS + DMδI ), ahol

S

I képb®l egy + m¶veletek

az

/ és a

(5.9)

vázkijelöl® eljárással kapott vázpontok halmaza.

A

két azonos méret¶ tömbre a pontokénti osztást és

összeadást jelentik. Könnyen belátható, hogy a normalizált távolságtérképre teljesülnek az alábbi tulajdonságok:

• 0 ≤ DM S,δI (p) ≤ 1

minden

p∈I

esetén,

• DM S,δI (p) = 0

akkor és sak akkor, ha

p ∈ S,

• DM S,δI (p) = 1

akkor és sak akkor, ha

p ∈ δI .

Normalizált távolságtérképre az 5.2. ábrával mutatunk példát.

(a) referen ia-kép

(b) referen ia-váz

( ) távolságtérkép

(d) normalizált távolságtérkép

5.2. ábra. Példa normalizált távolságtérképre (d). A ( ) és (d) távolságtérképeken az objektumpontok pozí ióin a világosabb intenzitások felelnek meg a nagyobb távolságértékeknek.

5.3. ELFOGADHATÓ MÉRSZÁMOK

81

5.2.2. Mér®számok normalizált távolságtérképeken Tekintsük az alábbi két kifejezést:

Dmax (S, DM) = max DM(p), p∈S

Davg (S, DM ) =

(5.10)

1 P DM (p), #(S) p∈S

amelyek segítségével már deniálhatjuk az általunk javasolt mér®számokat:

MMI (S1 , S2 ) = max(Dmax (S1 , DM S2 ,δI ), Dmax (S2 , DM S1 ,δI )), MAI (S1 , S2 ) = max(Davg (S1 , DM S2 ,δI ), Davg (S2 , DM S1 ,δI )), AMI (S1 , S2 ) = 12 (Dmax (S1 , DM S2 ,δI ) + Dmax (S2 , DM S1 ,δI )),

(5.11)

AAI (S1 , S2 ) = 21 (Davg (S1 , DM S2 ,δI ) + Davg (S2 , DM S1 ,δI )), ahol

S1

és

S2

az

I

képb®l két különböz® eljárással kivont vázpontok halmazát

jelöli. Könnyen ellen®rizhet®, hogy valamennyi r®számra (tetsz®leges

S1 , S2

I

és

1.

0 ≤ SMI (S1 , S2 ) ≤ 1,

2.

SMI (S1 , S2 ) = SMI (S2 , S1 ),

3.

SMI (S1 , S1 ) = 0.

Tetsz®leges

S , S1

l®tlenség azt jelenti,

SM ∈ {MM, MA, AM, AA}

mé-

esetén) teljesülnek az alábbiak:

S2 halmazokra az SMI (S1 , S) < SMI (S2 , S) egyenhogy S1 jobban közelíti S2 -nél az S -t (mind a négy új

és az

mér®számra).

5.3. Elfogadható mér®számok Tekintsünk két különböz® vázkijelöl® eljárást és jelöljük ®ket Tételezzük fel, hogy mint a

T2 -vel

T1

eredményei jobban közelítik a vázszer¶ jellemz®ket,

kapottak, vagyis

T1

T2 -nél. Ismert jósági viszonyú SM mér®szám elfogadható, ha

jobb módszer

vázközelítések és a kép-adatbázis alapján az

SMRI (T1 (RI), RS) ≤ SMRI (T2 (RI), RS) valamennyi

(RI, RS)

T1 -gyel és T2 -vel.

(5.12)

képpárra.

A mér®számok validálásához találnunk kellett olyan vázkijelöl® eljárásokat, amelyekre ismert az, hogy valamelyik közülük jobb vázközelítéseket ad a többinél. Ilyen vázkijelöl® te hnikára javasoljuk a

szekven ia-váz el®állítását, ahol

az általánosított morfoglógiai vázakat kombináltuk szomszédsági szekven iákkal.

82


A Matheron és Serra által kifejlesztett matematikai morfológia [101℄ hatékony eszköztára a képfeldolgozásnak és a képanalízisnek.

A matematikai

morfológiai m¶veletek ismertetésekor Gonzales és Woods [29℄ megközelítését, jelölését követem.

5.3.1. Szomszédsági szekven iák n Az 1.1. alfejezetben ismetettem a Z rá s n-féle szomszédsági relá ióját: a p ∈ Zn pont k -szomszédos mindazon pontokkal, amelyek legfeljebb k koordin nátában térhetnek el ±1-gyel (k = 1, . . . , n). A Z rá s szomszédsági relá i-

A = hA(1), A(2), . . . i sorozatot nD -szomszédsági szekven iának nevezzük (A(i) ∈ {1, 2, . . . , n}). Amennyiben létezik olyan t ∈ N, amelyre A(i + t) = A(i) minden i-re (i = 1, 2, . . . ), akkor az A szomszédsági szekven iát periodikusnak nevezzük t periódussal. Az ilyen periodikus szekven iákat az A = hA(1), . . . , A(t)i (t-hosszú sorozattal jelöljük). Legyen A = hA(1), A(2), . . . i egy nD szomszédsági szekven ia. Az hr0 , . . . , rl i pontsorozat (rj ∈ Zn , j ∈ {0, . . . , l}) egy l hosszúságú Aút r0 ból rl be, ha rj−1 A(j)szomszédos rj -vel minden j ∈ {1, . . . , l} esetén. Jelölje dA (p, q) a p és q pont közötti Atávolságot, vagyis a legrövidebb Aút hosszát a p és q pontok között.

óiból képzett

A 2D szomszédsági szekven iákban sak két szomszédsági relá ió, az 1 és a 2 fordul el®.

A leggyakrabban vizsgált és alkalmazott diszkrét távolságok

a 4-, a 8- és az oktogonális távolságok rendre megfelelnek a

dh1,2i

dh1i , dh2i

és a

(szomszédsági szekven iákkal adott) távolságoknak [99℄. A szomszédsági

szekven iákkal kapott távolságok sak egy-egy közelítését adják az euklideszi távolságnak. Hajdu és Hajdu megmutatta [32℄, hogy az euklideszi távolságot a szomszédsági szekven iák legjobban a nem periodikus

Aopt = h2, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, . . . i szomszédsági szekven ival adott

dAo pt

(5.13)

távolság közelíti.

A1 és az A2 szomszédsági szekven iákra minden p és q pont esetén a |dA1 (p, q)−dE (p, q)| ≤ |dA2 (p, q) − dE (p, q)|, akkor A1 E A2 (azaz A1 jobb, mint A2 ). Deniáljuk a szomszédsági szekven iákra a E relá iót. Ha

Az alábbi relá iók írhatók fel az említett négy szomszédsági szekven iákra:

Aopt E h1, 2i E h1i, Aopt E h1, 2i E h2i.

(5.14)

5.3.2. Szomszédsági szekven iákkal adott diszkrét diszkek Jelölje

O = (0, 0) ∈ Z2

az origót.

A szomszédsági szekven iák segítségével diszkrét diszkeket (körlap-közelítéseket) is megadhatunk. Az

{0, 1, . . . })

és

O

A

szomszédsági szekven iával a

k

sugarú (k

középpontú diszket az alábbi formulával deniáljuk:

∈


83

∆A (k) = { p | dA (O, p) ≤ k}. Az 5.3. ábra példákat mutat be a

dh1i , dh2i

és

(5.15)

dh1,2i

periodikus diszkrét

távolságokból származtatott diszkekre.

4 4 3 4 3 2 4 3 4

4 3 2 1 0 1 2 3 4

4 3 2 1 2 3 4

4 3 2 1 2 3 4

4 4 4 4 4 4 4 4 4

4 3 4 2 3 4 3 4 4

4 3 3 3 3 3 3 3 4

4 3 2 2 2 2 2 3 4

∆h1i 5.3. ábra. A

4 3 2 1 1 1 2 3 4

4 3 2 1 0 1 2 3 4

4 3 2 1 1 1 2 3 4

4 3 2 2 2 2 2 3 4

4 3 3 3 3 3 3 3 4

4 4 4 4 4 4 4 4 4

4 4 4 4 4

4 4 3 3 3 4 4

4 4 3 2 2 2 3 4 4

∆h2i

4 3 2 2 1 2 2 3 4

4 3 2 1 0 1 2 3 4

4 3 2 2 1 2 2 3 4

4 4 3 2 2 2 3 4 4

4 4 3 3 3 4 4

4 4 4 4 4

∆h1,2i

dh1i , a dh2i és a dh1,2i távolságokból származtatott diszkek. A 0 O középpontjával esik egybe, az r ≤ k számmal jelölt pontok

elem a körlap pedig a

k -sugarú

körlapokhoz tartoznak.

Megjegyzem, hogy az

h1i és a h2i szomszédsági szekven iák rendre gyémánt

illetve álló négyzet alakú körlap-közelítéseket eredményeznek, míg a mindkett® relá iót tartalmazó szomszédsági szekven iák változatos nyol szög alakú körlap-közelítésekhez vezetnek [68℄. A szomszédsági szekven iák diszkrét körlap-közelítései iterált dilatá ióval is megadhatók. Tekintsünk az

m-szomszédsági

relá iót

Zn -ben (m ∈ {1, . . . , n}).

Az

Y (m)

szerkeszt®elemet (mint ponthalmazt) az alábbi formula adja meg:

Y (m) = { p | p ∈ Zn

és

p

pont

mszomszédos Oval}.

(5.16)

mszomszédság reexív és szimmetrikus relá ió, így az Y (m) szerO origót és szimmetrikus, vagyis ha p = (p1 , . . . , pn ) ∈ Y (m), akkor −p = (−p1 , . . . , −pn ) ∈ Y (m) (n = 1, 2, . . . ; m ∈ {1, . . . , n}). Könnyen belátható, hogy a ∆A (k) diszkrét diszk el®állítható a ( ⊕ szimMivel az

keszt®elem tartalmazza az

bólummal jelölt) dilatá ió segítségével:

∆A (k) =

{O} ∆A (k − 1) ⊕ Y (A(k))

, ha

k=0

, különben

.

(5.17)

= (. . . (O} ⊕ Y (A(1))) ⊕ . . . ) ⊕ Y (A(k)) Az euklideszi diszkek diszkrét diszkekkel történ® közelítéseire az 5.4. ábra ad példákat.

5.3.3. A morfológiai váz általánosítása szomszédsági szekven iákkal A 2D váz (mint az objektumokba írható maximális körlapok középpontjainak halmaza) a matematikai morfológia eszköztárával is megadható, ahol körlapo-

84


h1i

h2i

5.4. ábra. Euklideszi diszk közelítése az szédsági szekven iákkal.

Aopt

h1, 2i h1i,

a

h2i,

az

h1, 2i

Aopt

és az

szom-

A fekete körvonal a 96-sugarú euklideszi körlapot

határolja, míg a szürke poligonok a 96-sugarú diszkrét diszkek.

kat a gyelembe vett szerkeszt®elemb®l kapjuk iterált dilatá ióval. n Az X ⊂ Z ponthalmaz S(X, Y ) morfológiai vázát az Y szerkeszt®elemb®l el®állított

k

sugarú (k

= 0, 1, . . . ),

az objektumba maximális beírható diszkrét

diszkek középpontjai alkotják. Ekkor az Y szerkeszt®elem az 1-sugarú diszkrét k diszk és a k -sugarú Y diszket iterált dilatá ióval az alábbi formulával kapjuk:

Y

k

=

{O} Y k−1 ⊕ Y

, ha

k=0

, különben. (5.18)

= (. . . (O} ⊕Y ⊕ . . . ) ⊕ Y . {z } | k−szor

A

p∈X

pont egy

diszk középpontja, ha

k -sugarú (k = 1, 2, . . . ) maximálisan beírható diszkrét p ∈ X ⊖ Y k , de p ∈ / (X ⊖ Y k+1 ) ⊕ Y , ahol ⊖ az erózió

m¶veletét jelöli. Az

X

ponthalmaznak

Y

szerkeszt®elemmel el®állított morfológiai vázát az

alábbi formula adja meg:

MS(X, Y ) = = ahol

K

SK

k=0 MS k (X, Y

) (5.19)

k+1 )⊕Y , k=0 (X ⊖ Y ) − (X ⊖ Y

SK

k

a legnagyobb beírható diszkrét diszk sugarát jelöli, vagyis

K = max{ k | X ⊖ Y k 6= ∅ } .

(5.20)

Az 5.19. és 5.20. egyenlet szerint a morfológiai váz diszjunkt ponthalmazok egyesítéséb®l áll, ahol az

MS k (X, Y ) halmaz a k -sugarú maximálisan beírható

diszkrét diszkek középpontjait tartalmazza. A morfológiai váz fontos tulajdonsága az, hogy a kiindulási

X

ponthalmaz

rekonstruálható a vázpont-halmazok és a szerekeszt®elem ismeretében:

X=

K [

k=0

MS(X, Y ) ⊕ Y k .

(5.21)


85

A morfológia váz legf®bb hátránya az, hogy a körlap-közelítések az

Yk

halmazok. Ha a választott szerkeszt®elem Y = Y (m) (m ∈ {1, 2}) (lásd 5.16. k egyenlet), akkor Y = ∆hmi (k) (lásd 5.17. egyenlet). Az Y k = ∆h1i (k) és k Y = ∆h2i (k) diszkrét diszkek nem adnak jó közelítést az euklideszi diszkre (lásd 5.4. ábra), így a morfológiai váz sem lehet jó közelítése az ideális váznak. A hagyományos morfológiai váz korlátai miatt Maragos az általánosított morfológiai vázat javasolta, ahol az egyes iterá iós lépésben különböz® szerkeszk körlap-közelítés t®elemeket alkalmazhatnak [67℄. Megközelítése szerint az Y (lásd 5.18. egyenlet) helyettesíthet® egy

Y1 , . . . , Yk egy tetsz®legesen me (k = 0, 1, . . . ).

{O} ⊕ Y1 ⊕ · · · ⊕ Yk

halmazzal, ahol

megválasztható szerkeszt®elem sorozat els®

k

ele-

Az általánosított morfológiai váz és a szomszédsági szekven iák kombiná iójával kapjuk a

szekven ia-vázat, ahol az A = hA(1), A(2), . . . i szomszédsági hY (A(1)), Y (A(2)), . . . i szerkeszt®elem-sorozattal

szekven iából származott az

képezzük az általánosított morfológiai vázat. n Az X ⊂ Z ponthalmazra az A szomszédsági szekven iával képzett

SS

szekven ia-vázat az alábbi formula írja le:

SS(X, A) =

K [

SS k (X, A),

(5.22)

k=0 ahol

és

SS k (X, A) = (X ⊖ ∆A (k)) − (X ⊖ ∆A (k + 1)) ⊕ Y (A(k + 1)) ,

K

a legnagyobb maximálisan beírható diszk sugara, vagyis

K = max{ k | X ⊖ ∆A (k) 6= ∅ } .

(5.24)

Könnyen belátható, hogy abban a spe iális esetben, amikor (m

(5.23)

A = hmi

= 1, 2, . . . , n) SS(X, A) = MS(X, Y (m)),

(5.25)

vagyis a hagyományos morfológia-váz a szekven ia-váz egy spe iális esete. Az

SS(X, A)

szekven ia-váz rekonstruk iós formulája a 5.21. egyenlethez

hasonlóan

X=

K [

SS k (X, A) ⊕ ∆A (k) .

(5.26)

k=0 Megjegyezzük, hogy sem a morfológiai váz, sem pedig a szekven ia-váz nem ad minden összefügg® objektumra összefügg® vázközelítést. Tudjuk, hogy az

Aopt

nem-periodikus szomszédsági szekven ia (lásd 5.13.

egyenlet) adja az euklideszi távolság és az euklideszi körlapok legjobb közelítését.

Ezért feltételezzük, hogy a szekven ia-vázak között az

szekven ia-váz adja a legjobb vázközelítést tetsz®leges

X

SS(X, Aopt)

halmazra.

86


5.3.4. A javasolt mér®számok kiértékelése Az 5.2.alfejezetben bevezetett

MM , MA, AM

és

AA

mér®számok elfogad-

hatóságát a négy az 5.14. egyenlettel jellemzett szomszédsági szekven iákkal adott szekven ia-vázak segítségével vizsgáljuk az 5.1. alfejezetben leírt képadatbázison. A kiértékelés adatait az 5.1. algoritmus szolgáltatja.

5.1. algoritmus.

A kiértékelési eljárás, amely minden

(RI, RS)

képpárra a

16 mér®számot adja meg. 1: 2: 3:

for i=1 to 55 do for all SM ∈ {MM, MA, AM, AA} do for all A ∈ {h1i, h2i, h1, 2i, Aopt} do Számítsuk ki az

4:

Tudjuk,

hogy

a

Aopt E h1, 2i E h1i, h2i ható SM mér®számtól

SMRI i (SS(RIi , A), RSi) szomszédsági

(lásd az 5.14.

mér®számot!

szekven iák

között

fennál

az

egyenl®tlenségeket) ezért egy elfogad-

(lásd 5.12. egyenlet) elvárjuk, hogy teljesítse az aláb-

bi egyenl®tlenségeket valamennyi

RI

referen ia-képre és a hozzátartozó

RS

referen ia-vázra:

SMRI (SS(RI, Aopt ), RS) ≤ SMRI (SS(RI, h1, 2i), RS) , SMRI (SS(RI, h1i), RS) (5.27)

SMRI (SS(RI, Aopt ), RS) ≤ SMRI (SS(RI, h1, 2i), RS) , SMRI (SS(RI, h2i), RS) A kiértékelés során az 5.1. alfejezetben ismertetett kép-adatbázis mind az 55 elemére meghatároztam a négy gyelembe vett szomszédsági szekven iával a szekven ia-vázakat. Az

AA

mér®szám esetében minden

teljesült az 5.27. egyenl®tlenség. Az fenn a fenti egyenl®tlenség, így valamint az

MM

és az

AM

MA

MA

(RS, RI)

képpárra

mér®számra az 55 esetb®l 53-ban áll

már nem min®sül megfelel® mér®számnak

Mellékletekben szerepl® 55 · 16 adatát.

mér®számok sem azok. A

A.1. táblázat tartalmazza a kiértékelés mind az

5.4. Módszer a vázkijelöl® eljárások kiértékelésére A jelen alfejezetben egy (tetsz®leges)

T

vázkijelöl® eljárás kvantitatív kiérté-

kelésére javasolt módszerünket ismertetem. A kiértékel® módszer az 5.1. alfejezetben leírt

{(RIi , RSi )}i=1,...,55

adatbázison és az (5.2. alfejezetben bemutatott és az 5.3. alfejezetben

kép-

elfo-


gadható nak

bizonyult)

AA

87

mér®számon alapul. A módszerünk az alábbi lépé-

sekb®l áll: 1. Számítsuk ki a

(RIi , RSi )

DM RSi ,δRIi

távolságtérképeket a kép-adatbázis valamennyi

elemére!

T (RIi) vázközelítéseket RIi referen ia-képére a T algoritmussal!

2. Határozzuk meg a

a kép-adatbázis valamennyi

DM T (RIi ),δRIi távolságtérképeket RIi referen ia-képre!

3. Számítsuk ki a közelítésre és

valamennyi

T (RIi ) váz-

4. Határozzuk meg az

1 AARIi (RSi , T (RIi )) = (DM RSi ,δRIi + DM T (RIi ),δRIi ) 2 értékeket valamennyi

RSi

referen ia-vázra és

A fenti módszer tehát a vizsgált

T

T (RIi )

vázközelítésre!

vázkijelöl® eljárásra az

(AARI1 (RS1 , T (RI1 )), . . . , AARI55 (RS55 , T (RIi 55))) 55-elem¶ vektort állítja el®. Több vázkijelöl® eljárás kvantitatív összehasonlítása, közöttük a jósági rangsor felállítása az egyes eljárásokra kapott vektorokon alapulhat. A 6. fejezetben 92 különböz® vékonyító algoritmust értékeltük ki a javasolt módszerrel és három különböz® megközelítés szerint rangsoroltuk azokat.

5.5. Összefoglalás és távlati élok A dolgozat jelen fejezetében egy módszert ismertettem 2D vázkijelöl® algoritmusok kvantitatív kiértékelésére.

A módszer két kul seleme a kép-adatbázis

és a validált váz-spe ikus mér®szám. Az 5.1. alfejezetben az 55-elem¶ kép-adatbázis el®állítását mutattam be. Az adatbázis minden egyes eleme egy képpár, mely egy referen ia-képb®l és annak ideális vázát tartalmazó referen ia-vázból áll. Az 5.2. alfejezetben áttekintettem a korábban mások által és általunk javasolt mér®számokat a vázközelítések jóságának jellemzésére.

Bevezettük a

normalizált távolságtérképeket, amelyeket a kiindulási képek háttérpontjaiból és a vizsgált vázak pontjaiból (mint jellemz® pontokból) számított euklideszi távolságtérképekb®l származtattunk. A normalizált távolságtérképekkel négyféle váz-spe ikus (vagyis tetsz®leges ponthalmazok min®sítésére nem javasolt) mér®számot vezettünk be. Az általunk javasolt mér®számok validá iójához az 5.3. alfejezetben bevezettünk egy új vázat, a szekven ia-vázat az általánosított morfológiai váz és

88


a szomszédsági szekven iák kombinálásával. Ha két szomszédsági szekven ia közül az els® jobb a másodiknál, akkor az els®vel kapott szekven ia-vázakat is jobbnak tekintjük a második szomszédsági szekven ia szekven ia-vázainál. Ily módon rendelkezésünkre állnak olyan vázközelítések, amelyek között ismerjük a jósági viszonyokat. Végül, az 5.4. alfejezetben (a szekven ia-vázak segítségével) megmutattuk, hogy az általunk javasolt

AA

mér®szám teljesíti az elfogadható mér®számmal

szemben felállított kritériumunkat. A vázközelítések kiértékelése területén elért els® eredményeinket egy nemzetközi konferen ia kiadványában közöltük [25℄, míg a normalizált távolságtérképeket alapuló mér®számainkat és azok validálását egy rangos folyóirathoz nyújtjuk be a közeljöv®ben. Távlati élunk a 2D vázakra javasolt módszerünk kiterjesztése 3D vázközelítések (els® lépésben a középvonalak) kiértékelésére.

6. fejezet 2D vékonyító algoritmusok összehasonlítása A következ®kben az 5. fejezetben ismertetett kiértékel® módszer segítségével 92 darab 2D vékonyító algoritmus. A vizsgálatba bevont algoritmusok közül 80 a 4. fejezetben javasolt új algoritmusok közül került ki, a fennmaradó 12 pedig az alábbi, gyakran alkalmazott és hivatkozott eljárás: Algoritmus elnevezése

Szerz®(k) (Évszám)

Hivatkozás

AK2

Bertrand, Couprie (2006)

BM99

Bernard, Manzanera (1999)

CWSI87

Chin et al. (1987)

[19℄

EM93

E khardt, Maderle hner (1993)

[24℄

GH89a1

Guo, Hall (1989)

[30℄

GH92

Guo, Hall (1992)

[31℄

H89

Hall (1989),

[33℄

PAV81

Pavlidis (1981)

[90℄

RUT66

Rutovitz (1966)

TSIN

Hall (1996)

WT92

Wu, Tsai (1992)

ZSLW

Lü, Wang (1986)

[11℄ [4℄

[100℄ [34℄ [110℄ [57℄

Az 5. fejezetben javasolt (elfogadhatónak min®sült)

AA mér®számokat meg-

határoztam valamennyi (a vizsgálatban szerepl® 92) vékonyító algoritmussal az 55 elem¶ kép-adatbázis valamennyi elemére.

Az így kapott

92 · 55

érték

ismeretében az algoritmusok közötti rangsort az alábbi három (sportversenyek inspirálta) módszerrel állítottam fel. 1. A kép-adatbázis minden egyes elemére rangsoroljuk a 92 algoritmust: els® helyezett az lesz, amelyikre az

AA

érték a legkisebb, és utolsó az,

amelyikre a legnagyobb. Az egyes algoritmusokra összegezzük az 55 tusában elért helyezéseket: a végs® sorrendben az kerül az élre, amelyiknél 89

90

6. FEJEZET. ALGORITMUSOK ÖSSZEHASONLÍTÁSA

a helyezések összege a legkisebb, az utolsó pedig az, amelyikre a legnagyobb. 2. Összegezzük a kép-adatbázis 55 elemére kapott

AA

értékeket algoritmu-

sonként. A nyertes a legkisebb összeget elér® algoritmus, az utolsó pedig az, amelyiknél a legnagyobb az 55-tagú összeg. 3. Kövessük a körmérk®zéses bajnokságok lebonyolítását!

Az egymással

verseng® algoritmusok páronként megküzdenek egymással a kép-adatbázis minden egyes elemén. Kettejük satáját az az algoritmus nyeri (és ezáltal 1 pontot szerez), amelyik többször (legalább 23 referen ia-képre és vázra) szerzett kisebb értéket.

A végs® sorrendet a 91-fordulós baj-

nokságban elért pontok (gy®zelmek) száma határozza meg: a gy®ztes a legtöbb pontot szerz®, az utolsó pedig a legkevesebbet elér®. A

Mellékletek

B.1.B.3. táblázatai a fenti három rangsor szerinti helye-

zéseket mutatják. Megállapíthatjuk, hogy kimagaslóan jól szerepeltek a

2·2

törlési irányt követ® 4-aliterá iós (irány-alapú) algoritmusok, ®k uralják az els® hét helyet mindhárom rangsor szerint. A helyezések összegét gyelembe vev® rangsorban (lásd B.2. táblázat) supán a BM99 algoritmus fért be az els® tízbe közé. Ha a mér®számok értékeinek összegét tekintjük a kiértékelés alapjának (lásd B.3. táblázat), akkor az els® 10 pozí ión kizárólag

2·2

törlési irányt al-

kalmazó algoritmust találunk, éppen lemaradt az egyik 2-almez®s algoritmus, és a BM99 algoritmus a 12. helyre súszott vissza. A gy®zelmek száma szerinti összehasonlításban szintén a

2·2

törlési irányt alkalmazó algoritmusok

végeztek az els® tízben, a BM99 algoritmus itt is a 12. helyen áll. Az új iterá ió-szint¶ vizsgálatokat alkalmazó almez®-alapú algoritmusok is jól vizsgáztak, megel®zik a hagyományos almez®-alapú te hnikát követ®ket. Az egyik legismertebb és talán a leggyakrabban alkalmazott/hivatkozott algoritmus a GH92 mindhárom kiértékelésben a 20. hely környékén szerepel. A garantáltan topológia-meg®rz® (morfológiai vékonyításon alapuló) AK2 algoritmus a középmezönyben végzett mindhárom kiértékelési módszer szerint. Megállapíthatjuk, hogy a

2·2

törlési irányt alkalmazó algoritmusok nem

supán vizuálisan adnak szép eredményt, de a kvantitatív összehasonlításban is bizonyítottak. Továbbá az is látszik, hogy ugyanazon végpontfeltétel és vékonyító stratégia mellett az aszimmetrikus elegend® feltételekb®l származtatott algoritmusok megel®zik a szimmetrikusakat.

Összegzés Dolgozatom a vázkijelölés (vagyis a vázszer¶ alakjellemz®k meghatározása bináris digitális képeken) területén folytatott kutatómunkám eddig elért eredményeit mutatja be. A kutatási területem fontos és id®szer¶, mivel a geometriai és topológiai követelményeknek egyaránt eleget tev® 3D vázszer¶ jellemz®k meghatározása egyre növekv® jelent®séggel bír a digitális képfeldolgozás, a számítógépes látás és az alakfelismerés számos területén és alkalmazásában. A 2D képek objektumainak vázszer¶ jellemz®i a topológiai mag és a középvonal, 3Dben pedig még a középfelszín is. A vékonyítás, vagyis az objektumok iteratív reduk iója alkalmas módszer valamennyi vázszer¶ jellemz® meghatározására. Az értekezés els® két fejezetében áttekintem a digitális topológia alapfogalmait és a vázkijelölés területének el®zményeit. A következ® három fejezetben rendre a három (egymásra épül®) tézispont eredményeit ismertetem. A vázkijelöl® eljárásokkal szemben támasztott topológiai követelmény szerint a vázszer¶ jellemz®ket tartalmazó képnek topológikusan ekvivalensnek kell lenni a kiindulási képpel (tetsz®leges bemen® képre), vagyis az eredményképeket topológia-meg®rz® reduk iókkal kell el®állítani. Topológia-meg®rz® reduk iókra rendelkezésünkre álltak elegend® feltételek, amelyek segítségével ellen®rizni lehet a reduk iók topológiai korrektségét. A korábban javasolt elegend® feltételek pont-kongurá iókra vonatkoznak, így sak egy adott reduk ió ellen®rzésére használhatók (gyakorta hosszú és bonyolult bizonyításokkal, amelyekbe olykor hiba is súszott, két 3D vékonyító algoritmusról 10-15 évvel a közlésük után derült ki, hogy használhatatlanok), reduk iók törlési szabályainak megalkotására nem alkalmazhatók. A dolgozatom 3. fejezetében olyan új eredményeket ismertetek a mint a

(26, 6) képek

(8, 4) vala-

topológia-meg®rz® reduk ióira, amelyek pont-kongurá i-

ók vizsgálata helyett egyedi pontok törölhet®ségére adnak elegend® feltételeket. Az els® tézispontot tárgyaló fejezetben 9 tétel (kimondása és bizonyítása) található 2D képek topológia-meg®rz® reduk ióira, a 3D esetre pedig további 15 tétel szerepel.

Az új elegend® feltételekben közös és a korábbiakhoz

képest jelent®s el®relépés az, hogy segítségükkel jóval egyszer¶bben és megbízhatóbban bizonyítható egy adott reduk ió topológiai korrektsége, mint a korábbi (pont-kongurá iókra vonatkozó) elegend® feltételekkel.

Az egyedi

pontok törölhet®ségét vizsgáló új feltételeket mindhárom párhuzamos vékonyító stratégiára (a teljesen párhuzamosra, az irány- és az almez®-alapúra is) kidolgoztuk. Eredményeinknek köszönhet®en olyan új vékonyító algoritmusok 91

92

Összegzés

konstruálhatók, amelyekre a topológia-meg®rzés garantált, nem igényel bizonyítást. Jelent®s eredmény az, hogy olyan elegend® feltételeket is javasoltam, amelyek a pont-koordináták lexikograkus rendezése alapján bizonyos kritikus kongurá iókban szerepl® pontokat is törölhet®nek min®sítenek. A pontok rendezettségét kihasználó új elegend® feltételek (és a bel®lük származtatott reduk iók) az aszimmetrikusnak jelz®t kapták, tehát szimmetrikus és aszimmetrikus reduk ió- és vékonyító algoritmus- saládokhoz is juthatunk. Az aszimmetrikus elegend® feltételekb®l származtatott reduk iók törlési szabályai egyszer¶bbek a szimmetrikusoknál, ráadásul kevesebb ponttól is függnek (kisebb elemszámú vizsgált környezetet igényelnek). Ennélfogva az aszimmetrikus vékonyító algoritmusok könnyebben implementálhatók és gyorsabbak is lesznek a szimmetrikusoknál. A dolgozat 4. fejezete, ami 2. tézispontom eredményeit mutatja be, egy új tervezési sémát vezet be topológiailag korrekt párhuzamos vékonyító algoritmusokra. Az új séma a 3. fejezet elegend® feltételeit kombinálja és egyszer¶síti geometriai kényszerfeltételekkel (pl. az alak-meg®rzésben jelent®s szereppel bíró végpont-feltételekkel). A javasolt tervezési sémát követve számos új 2D és 3D vékonyító algoritmust mutat be a dolgozat. A 2D irány-alapú vékonyításra ráadásul (a hagyományos 2, 4 és 8 törlési irány mellé) bevezetésre kerültek a musok is, amelyek a törlési irányok

2 · 2-irányú algorit-

hNE, SW, NW, SEi sorozatát alkalmazzák.

Az almez®-alapú párhuzamos vékonyításra pedig egy új megközelítést, az iterá iónkénti határpont-ellen®rzést javasolja a szerz®. Mindkét új megközelítés jelent®s el®relépésnek számít, mivel egyrészt a

2·2-irányú algoritmusok bizonyul-

tak a legjobbaknak a 6. fejezetben kiértékelt és rangsorolt 92-féle 2D vékonyító algoritmus közül, másrészt pedig az iterá ió-szint¶ határpont-ellen®rzéssel az almez®-alapú párhuzamos algoritmusok kevesebb nemkívánatos vázelemet állítanak el®, mint a hagyományos almez®s eljárások. A 4. fejezet algoritmusai a sz¶kületi (mint a vékonyítás folyamán biztosan a vázszer¶ jellemz®höz tartozó) pontokat összegy¶jt® megközelítéssel is élnek. Ráadásul a 3D középfelszínt eredményez® algoritmusok olyan sz¶kületi pontokat vesznek gyelembe, amelyek a s®szer¶ objektumrészletekre vonalszegmenseket eredményeznek. A második tézispont utolsó eleme egy hatékony és általános módszer vékonyító algoritmusok implementálására. A dolgozat 5. és 6. fejezete mutatja be a harmadik tézispontot, melynek eredménye egy új módszer a 2D vázkijelöl® algoritmusok kvantitatív kiértékelésére, összehasonlítására, valamint rangsorolására. A kiértékel® módszer két kul seleme a kép-adatbázis és a validált vázspe ikus mér®szám. A létrehozott kép-adatbázis 55 elemb®l áll, ahol minden egyes elem egy képpár, melyet egy referen ia-kép és annak ideális vázát tartalmazó referen ia-váz alkot. Bevezettük a normalizált távolságtérképeket, amelyeket a kiindulási képek háttérpontjaiból és a vizsgált vázak pontjaiból (mint jellemz® pontokból) számított euklideszi távolságtérképekb®l származnak. A normalizált távolságtérképekkel négy új vázspe ikus (vagyis tetsz®leges pont-

Összegzés

93

halmazok min®sítésére nem javasolt) mér®számot javasoltunk. Az új mér®számok validá iójához az bevezettünk egy új vázat, a szekven ia-vázat az általánosított morfológiai váz és a szomszédsági szekven iák kombinálásával. Ha két szomszédsági szekven ia közül az els® jobb a másodiknál, akkor az els®vel kapott szekven ia-vázakat is jobbnak tekintjük a második szomszédsági szekven ia szekven ia-vázainál. Ily módon rendelkezésünkre állnak olyan vázközelítések, amelyek között ismerjük a jósági viszonyokat. szekven ia-vázak segítségével megmutattuk, hogy az általunk javasolt

A

AA mé-

r®szám teljesíti az elfogadható mér®számmal szemben felállított kritériumunkat. Végül a dolgozat 6. fejezetében a szerz® háromféle te hnikával rangsorolt 92 darab 2D vékonyító algoritmust a létrehozott adatbázison az

AA

mér®-

szám alkalmazásával. Az összehasonlítás eredményeként megállapítható, hogy a dolgozat 4. fejezetében ismertetett (topológia-meg®rz® reduk iók új elegend® feltételeib®l származtatott) vékonyító algoritmusok közül az új

2 · 2-irányúak

mindhárom rangsor szerint megel®zik az összehasonlításba bevont 12 gyakran hivatkozott és alkalmazott vékonyító algoritmust.

Summary This dissertation summarizes my results in the eld of skeletonization (i.e., the extra tion of skeleton-like shape features in digital binary pi tures). The dis ussed resear h topi is relevant, sin e the extra tion of 3D skeleton-like shape features fullling some geometri and topologi al requirements play an important role in image pro essing, omputer vision, and pattern re ognition. The topologi al kernels and the enterlines an be extra ted from 2D obje ts, furthermore 3D obje ts an be represented by their medial surfa es as well. The rst two hapters review the basi denitions and results of the digital topology, and the skeletonization. In the next three se tion, the three thesis points are presented. A requirement on the skeletonization method to be omplied with is that the resulted skeleton must be topologi ally equivalent to the original obje ts, whi h on ludes they are produ ed by topology-preserving redu tions. There exists some su ient onditions for topology preservation whi h help to verify the topologi al orre tness of redu tion operations.

The existing onditions

onsider point- ongurations, hen e they are only apable of verifying topology preservation of redu tion operations. They may need long and omplex proofs, whi h may fail in some ases.

By this way, they are not able to onstru t

deletion onditions of redu tion operations. Chapter 3 gives some new results of topology-preserving redu tion operations in

(8, 4)

and

(26, 6)

pi tures, where individual points are onsidered

(instead of point- ongurations). In the rst thesis point, nine theorems with their proofs are presented for redu tion operations in 2D pi tures and further fteen theorems are given for 3D ases.

The ommon advantages of the novel su ient onditions are

that they yield an easier and a more reliable way to proof the topologi al

orre tness of redu tion operations. We gave some onditions for all the three parallel thinning strategies (i.e., the fully parallel, the dire tional, and the subeld-based ones). Thank to our results, various new thinning algorithms

an be onstru ted, whose topology preservation is guaranteed (i.e., does not need a omplex proof ). Some of the proposed redu tion operations take the lexi ographi order of the point- oordinates into onsideration, thus they an delete some elements of riti al ongurations. Using the lexi ographi al order in the su ient onditions, we an distinguish the asymmetri onditions from the symmetri ones. Consequently, we 95

96

Summary

an onstru t symmetri and asymmetri families of thinning algorithms. The asymmetri ondtions are simpler than the symmetri ones, and their supports

ontain fewer points to be taken into a

ount. By this way, the asymmetri thinning algorithms an be more easily implemented than the symmetri ones, furthermore they are faster as well. Chapter 4 presents the se ond thesis point. Here a new designing s heme is introdu ed for topologi ally orre t parallel thinning algorithms. The new designing s heme ombines the su ient onditions des ribed ins Chapter 3 with some geometri onditions (e.g., endpoints and isthmuses). Following the new designing s heme, a ouple of 2D and 3D thinning algorithms are presented in the dissertation. We introdu ed the

2 · 2-dire tional

thinning algorithms as well, whi h apply the sequen e of deletion dire tions

hNE, SW, NW, SEi.

Furthermore, we proposed a new approa h for subeld-

based thinning: the iteration-level border he king, where only those points may be deleted that are border points at the beginning of the iteration step, and they are not fulll the geometri restri tion taken into onsideration. Both of the results are relevant, sin e

2 · 2-dire tional thinning algorithms rea h

the

best pla es in the three kinds of ranking methods of the ninety-two algorithms des ribed in Chapter 6, and the subeld-based thinning using iteration-level border he king produ es less unwanted side bran hes than the onventional alternatives. Some algorithms in Chapter 4 apply isthmuses as geometri onstraints. Moreover, the 3D surfa e-thinning algorithms onsider su h isthmuses

an produ e urve segments for tubular parts. The last element of the se ond thesis point is a general and e ient method to implement topology-preserving thinning algorithms. Chapter 5 and 6 present the third thesis point of my dissertation, where a novel method is proposed for quantitative evaluation and omparison of 2D skeletonization algorithms. The evaluation method has two key omponents, namely the image database and a validated skeleton-spe i similarity measure. The reated database

ontains 55 elements, where ea h element is formed by a referen e image and its referen e skeleton. We introdu ed the normalized distan e maps that are

ombined of two Eu lidean distan e maps: one is omputed from the ba kground of the referen e image, and the other one is omputed from the enterline taken into onsideration. With the help of the normalized distan e maps, we proposed four skeleton-spe i similarity measures. In order to validate the new similarity measures, we introdu ed the sequen eskeletons that are omposed of the generalized morphologi al skeletons and some neighbourhood sequen es. If two neighborhood sequen es are ompared, and the rst one is better than the other one, then the sequen e-skeleton using the rst neighbourhood sequen e estimates the ideal skeletons of the shapes better than the other one. By this way, we have some skeleton approximations, whi h for their qualities are known. With the help of the sequen e-skeletons we presented that the similarity measure

AA

is reliable.

Summary

97

Finally, in Chapter 6 we ranked the ninty-two 2D thinning algorithms based on the similarity measure

AA and three types

of ranking methods. As a result

of the quantitative omparison we have stated the new

2·2-dire tional thinning

algorithms rea h the best pla es and they are better than the twelve lassi and frequently referred thinning algorithms taken into a

ount.

Köszönetnyilvánítás Mindenek el®tt szeretnék köszönetet mondani egész saládomnak (beleértve Mar sit is), hogy mindig mindenben támogatnak és bármikor bármiben számíthatok rájuk. Továbbá szeretnék köszönetet mondani témavezet®mnek, Dr. Palágyi Kálmánnak, hogy a kutatói pályám küszöbén rengeteg segítséget nyújtott. Kreativitása rám is ösztönz®leg hatott. Hálás vagyok azért is, hogy nem f®nökként, hanem kollégaként terelgetett az újabb eredmények felé.

Köszö-

net illeti türelmükért és segítségükért egykori tanáraimat is, akik közül sokat most kollégaként tisztelhetek. Köszönettel tartozom Kardos Péternek is, akire nem sak kollégaként, hanem barátként is számíthattam az elmúlt években. Köszönetetet szeretnék mondani Dr. Fazekas Attilának, a Debre eni Egyetem do ensének és Ková s Györgynek, a Debre eni Egyetem tanársegédjének (akit barátomnak is tekintek) az eredményes közös munkáért bízva abban, hogy együttm¶ködésünk hasonlóképpen folytatódik tovább. Prof. Dr. Eri h Sorantinnak hálás vagyok, amiért két hónapot Grazban tölthettem és részt vehettem a Képfeldolgozás és Számítógépes Graka Tanszékkel folytatott közös kutatómunkában. Barátaim közül szeretném szeretnék köszönetet mondani Horváth Robinnak, Forgó Ildinek, Antal Elvirának, Molnár Csabának, Varga La inak, Tasi Tamásnak, Mészáros Áginak, Grie his h Erikának, Hantos Norbinak, Gara Misinek, Németh Józsinak, Németh Tamásnak, Iván Szilárdnak, hogy bármikor bizalommal fordulhattam és fordulhatok hozzájuk.

Bóta Andrisnak és

Dobján Tibinek köszönöm, hogy egy közösséggé formálták a tanszék soportnál dolgozó doktoranduszokat. Örülök, hogy nem supán Magyarországon, de külföldön is vannak barátaim és büszke vagyok, hogy közöttük tudhatom Natalia Chikaleva-t, Argjend Imeri-t is. Nem szeretnék megfeledkezni az egyetemi éveim alatt megismert barátaimról sem, Csepregi Petir®l és Anikóról, Ková s Imrér®l és feleségér®l Katiról, Tóth Pistir®l és Leiláról, Mi hnay Balázsról és Melir®l, Dezs® Editr®l, Megyeri Gabiról, Bara Norbiról, Nótári Zsoltról és Vi áról, Kothen z Daniról, Papp La iról és Szimjanovszky Emilr®l, és még szeren sére nagyon-nagyon hosszú a lista. (Csak remélni tudom, hogy ®k nem sért®dnek meg azért, mert nem soroltam fel ®ket név szerint.) Köszönetet szeretnék mondani azoknak az egykori hallgatóimnak is, akik elviselték és elnézték nekem eddigi oktatói pályafutásom során az apróbb setléseket és botlásokat valamint az évek során barátaim lettek ( sak néhány nevet említenék a sokból): Kiss Edina, Lakatos-Tóth Pali, Sztupovszky Bálint, Ka99

100

Köszönetnyilvánítás

lin sák Évi, ... Elnézést kérek azoktól, akiket itt nem soroltam fel név szerint. Szeren sésnek mondhatom magam, hogy itt is hosszú a lista.

A szerz® közleményei Az Informatikai Doktori Iskola által elfogadott közelmények A dolgozatban felhasznált és a Doktori Iskola által elfogadott publiká iók összpontszáma

6,48 pont, a szerz® publiká ióinak összpontszáma 8,98.

Az alábbi felsorolásban vastag bet¶kkel vannak kiszedve azok a publiká iók, amelyek a dolgozat eredményeinek alapjául szolgálnak.

Könyvfejezet: 1.

K. Palágyi, G. Németh, and P. Kardos: Topology Preserving Parallel 3D Thinning Algorithms. In R. Barneva and V. Brinkov, editors, Digital Geometry Algorithms. Theoreti al Foundations and Appli ations to Computational Imaging, Springer, pp. 165188, 2012.

Folyóirat ikkek: 1.

G. Németh, P. Kardos, and K. Palágyi: 2D Parallel Thinning and Shrinking Based on Su ient Conditions for Topology Preservation. A ta Cyberneti a 20(1):125144, 2011.

2. G. Németh, P. Kardos, and K. Palágyi: Thinning ombined with iterationby-iteration smoothing for 3D binary images.

Graphi al Models1

73:335

345, 2011. 3.

G. Németh and K. Palágyi: Topology Preserving Parallel Thinning Algorithms, International Journal of Imaging Systems and Te hnology2, 21:3744, 2011.

4. Kardos P., Németh G. és Palágyi K.: Bejárásfüggetlen szekven iális vékonyítás. Alkalmazott Matematikai Lapok 27:1740, 2010. 1 Impa t fa tor: 0.793 (2010) 2 Impa t fa tor: 0.684 (2010) 101

102

Publiká iók

5. T. Heimann, B. van Ginneken, M. Styner, Y. Arzhaeva, V. Auri h, C. Bauer, A. Be k, C. Be ker, R. Bei hel, G. Bekes, F. Bello and G. Binnig, H. Bis hof, A. Bornik, P.M.M. Cashman, Y. Chi, A. Cordova, B.M. Dawant, M. Fidri h, J. Furst, D. Furukawa, L. Grena her, J. Hornegger, D. Kainmueller, R.I. Kitney, H. Kobatake, H. Lame ker, Th. Lange, J. Lee, B. Lennon, R. Li, S. Li, H.-P. Meinzer, G. Nemeth, D.S. Rai u, A.-M. Rau, E.M. van Rikxoort, M. Rousson, L. Rusko, K.A. Saddi, G. S hmidt, D. Seghers, A. Shimizu, P. Slagmolen, E. Sorantin, G. Soza, R. Susomboon, J.M. Waite, A. Wimmer, and I. Wolf: Comparison and Evaluation of Methods for Liver Segmentation from CT datasets,

Transa tions on Medi al Imaging

3

IEEE

28(8):12511265, IEEE, 2009.

Konferen ia kiadványokban megjelent közlemények: 1.

G. Németh and K. Palágyi: 3D Parallel Thinning Algorithms Based on Isthmuses. In Pro eedings of International Confe-

ren e on Advan ed Con epts for Intelligent Vision Systems (ACIVS 2012), Le ture Notes in Computer S ien e, Springer,

2012, to appear. 2.

3.

4.

G. Németh and K. Palágyi: 2D parallel thinning algorithms based on isthmus-preservation. Image and Signal Pro essing and Analysis (ISPA 2011), pp. 585590, IEEE, 2011. G. Németh, P. Kardos, and K. Palágyi: A Family of TopologyPreserving 3D Parallel 6Subiteration Thinning Algorithms. In Pro eedings of the International Workshop on Combinatorial Image Analysis (IWCIA 2011), Le ture Notes in Computer S ien e 6636, pp. 1730, Springer, 2011. G. Németh, P. Kardos, and K. Palágyi: Topology Preserving 3D Thinning Algorithms Using Four and Eight Subelds. In Pro eedings of International Conferen e on Image Analysis and Re ognition (ICIAR 2010), Le ture Notes in Computer S ien e

6111, part 1, pp. 316325, Springer, 2010.

5. G. Németh, P. Kardos, and K. Palágyi: Topology Preserving Parallel

Pro eedings of the International Conferen e on Computational Modeling of Obje ts Presented in Images: Fundamentals, Methods and Appli ations (CompIMAGE 2010), Le ture Smoothing for 3D Binary Images.

In

Notes in Computer S ien e 6026, pp. 287298, Springer, 2010. 6.

G. Németh, P. Kardos, and K. Palágyi: Topology Preserving 2-Subeld 3D Thinning Algorithms. In Pro eedings of the IAS-

3 Impa t fa tor: 3.540

Publiká iók

103

TED Conferen e on Signal Pro essing, Pattern Re ognition and Appli ation (SPPRA 2010), pp. 310316, IASTED, 2010. 7. P. Kardos, G. Németh, and K. Palágyi: An Order-Independent Sequen-

Pro eedings of the International Workshop on Combinatorial Image Analysis (IWCIA 2009), Le ture Notes in Comtial Thinning Algorithm. In

puter S ien e 5852, pp. 162175, Springer, 2009. 8.

9.

K. Palágyi and G. Németh: Fully Parallel 3D Thinning Algorithms Based on Su ient Conditions for Topology Preservation. In Pro eedings of IAPR International Conferen e on Dis rete Geometry for Computer Imagery (DGCI 2009), Le ture Notes in Computer S ien e 5810, pp. 481492, Springer, 2009. A. Fazekas, K. Palágyi, Gy. Ková s, and G. Németh: Skeletonization Based on Metri al Neighborhood Sequen es, In Pro eedings of the International Conferen e on Computer Vision Systems (ICVS 2008), Le ture Notes in Computer S ien e 5008,

pp. 333342, Springer, 2008.

Egyéb közlemények

Könyvfejezet: 1. G. Németh and K. Palágyi: Parallel Thinning Algorithms Based on Ronse's Su ient Conditions for Topology Preservation. In P. Wiederhold, R.P. Barneva, editors:

Progress in Combinatorial Image Analysis, pages

181-192, Resear h Publishing Servi es, 2009.

Konferen ia kiadványokban megjelent közlemények: 1. Németh G., Kardos P., Palágyi K.: A topológia-meg®rzés elegend® feltételein alapuló 3D párhuzamos vékonyító algoritmusok. Képfeldolgozók és Alakfelismer®k Társaságának 8. konferen iájának elektronikus kiadványa, 2011. http://www.inf.u-szeged.hu/kepaf2011/pdfs/S05_02.pdf 2. Kardos P., Németh G., Palágyi K.: Iterá iónkénti simítással kombinált

Képfeldolgozók és Alakfelismer®k Társaságának 8. konferen iájának elektronikus kiadványa, 2011. http://www.inf.u-szeged.hu/kepaf2011/pdfs/S05_01.pdf

vékonyítás 3D bináris képeken.

3. Németh G., Ková s Gy., Palágyi K. és Fazekas A.: A morfológiai váz

Képfeldolgozók és Alakfelismer®k Társaságának (KÉPAF) 7. Konferen iájának elektornikus kiad-

általánosítása szomszédsági szekven iákkal.

104

Publiká iók

ványa, 2009. http://vision.sztaki.hu/~kepaf/kepaf2009_CD/files/ 113-6-NemethKova sPalagyiFazekas_final.pdf 4. Kardos P., Németh G. és Palágyi K.: Kritikus párokat vizsgáló bejárás-

Képfeldolgozók és Alakfelismer®k Társaságának (KÉPAF) 7. Konferen iája elektronikus kiadványában, 2009. http://vision.sztaki.hu/~kepaf/kepaf2009_CD/files/ 119-5-KardosNemethPalagyi_bejarasfuggetlenvekonyitas.pdf

független szekven iális vékonyító algoritmus.

5. L. Ruskó, Gy. Bekes, G. Németh, and M. Fidri h: Fully automati liver segmentation for ontrast-enhan ed CT images. In

The Clini : A Grand Challenge 150, 2007.

3D Segmentation in

(MICCAI 2007 Workshop), pages 143

Mellékletek

105

A. melléklet A javasolt mér®számok validá iója szekven ia-vázakkal A.1. táblázat. az

MM ,

az

Szekven ia-vázak kvantitatív összehasonlítása

MA,

az

AM

és az

AA

mér®számokkal.

A vas-

tag bet¶vel jelölt számok az adott képhez és mér®számokhoz tartozó legkisebb értéket jelöli a négy szekven ia-vázra kapott értékek közül. Referen ia kép

A Ah1i Ah2i Ah1,2i Aopt Ah1i Ah2i Ah1,2i Aopt Ah1i Ah2i Ah1,2i Aopt Ah1i Ah2i Ah1,2i Aopt Ah1i Ah2i Ah1,2i Aopt

MM

MA

0.9535

0.0318

0.7830

0.0268

0.9569

0.0844

0.9459

0.0672

0.0245

0.0201

0.8652

0.9070 0.9524

0.1254

0.9215

0.1669

0.8837

0.8810

0.0796

AM

AA

0.0229

0.8630

0.0185

0.9192

0.1037

0.8946

0.1451

0.8470

0.0750

0.9048

0.0723

0.9416 0.8920 0.8833

0.0528

0.6916

0.0392

0.9625

0.0497

0.8908

0.0459

0.8560 0.9046 0.9257

0.8570

0.0642

0.1200

0.7306

0.0840

0.1270

0.8732

0.1041

0.0575

0.0704

0.8602

0.0389

0.8882

0.9257

0.0327

0.9347 0.9722 0.8649

0.8613

107

0.7280

0.0455

0.0675 0.0359

0.8758

0.0297

0.1673

0.9198

0.1294

0.1889

0.9219

0.1383

0.8473

0.0733

0.1109

0.1036

0.8448

0.0780

108

A. MELLÉKLET. VALIDÁCIÓ SZEKVENCIA-VÁZAKKAL A.1. táblázat (folytatás) Referen ia kép

A Ah1i Ah2i Ah1,2i Aopt Ah1i Ah2i Ah1,2i Aopt Ah1i Ah2i Ah1,2i Aopt Ah1i Ah2i Ah1,2i Aopt Ah1i Ah2i Ah1,2i Aopt Ah1i Ah2i Ah1,2i Aopt Ah1i Ah2i Ah1,2i Aopt Ah1i Ah2i Ah1,2i Aopt Ah1i Ah2i Ah1,2i Aopt Ah1i Ah2i Ah1,2i Aopt

MM

MA

0.9767

0.0780

0.7057

0.0624

0.9706

0.1453

0.9594

0.1204

0.0496

0.8429

0.0481

0.9357 0.9541

0.0467

0.9604

0.0581

0.9747

0.1087

0.8996

0.0436

0.9148

0.0344

0.9416 0.8957 0.7722

AM

AA

0.8104

0.0416

0.8240

0.0488

0.9575

0.0917

0.7498

0.0404

0.7503

0.0309

0.1330

0.9128

0.1030

0.1517

0.8909

0.1183

0.0790

0.7316

0.0628

0.7491

0.0733

0.7256

0.0558

0.3319

0.0449

0.1659

0.0225

0.9960

0.2834

0.5003

0.1417

0.5000 0.5000

0.0058

0.2500 0.2500

0.0029

0.3126

0.0403

0.1587

0.0202

0.9953

0.2132

0.5021

0.1066

0.5000 0.5000 0.9740

0.0075

0.0038

0.0058

0.2533 0.2530

0.0030

0.0882

0.5071

0.0444

0.9355

0.0911

0.6334

0.0899

0.9481

0.0588

0.4773

0.0297

0.9478

0.0715

0.4770

0.0358

0.9207

0.1511

0.6164

0.1118

0.9286

0.8522

0.0074

0.0700

0.0630

0.8957

0.0499

0.9169 0.9472 0.7556

0.0610

0.9610

0.0812

0.9741

0.1426

0.7362

0.9343

0.4675

0.4305

0.0355

0.0321

0.4522

0.0253

0.0962

0.8831

0.0829

0.1677

0.9072

0.1310

0.6635

0.0507

0.9483

0.0619

0.9292

0.1181

0.0696

0.0609

0.6181

0.9184

0.9339

0.0503

0.8906

0.0632

0.6964

0.8685

0.0917

0.8576

0.0508

0.0465

0.7306

0.7833

0.7429

0.0039

0.9279

0.7372

0.0581

0.0537

0.0425 0.0577 0.0903 0.0457

0.0404

109 A.1. táblázat (folytatás) Referen ia kép


MM

MA

AM

AA

0.9152

0.1000

0.8702

0.0710

0.9605

0.1436

0.9231

0.1169

0.0806

0.8597

0.0624

0.9152 0.9152

0.0718

0.8210

0.0527

0.9767

0.0419

0.6575

0.0366

0.9405

0.0738

0.6047

0.0675

0.9381

0.0376

0.9535

0.0276

0.9343

0.8135 0.8248

0.5967

0.0323

0.6045

0.0233

0.0613

0.8421

0.0583

0.0781

0.7145

0.0773

0.0392

0.6624

0.0365

0.8686

0.0348

0.6010

0.0321

0.9495

0.0858

0.7182

0.0733

0.7826 0.8744

0.0869

0.5364

0.0521

0.6039

0.0864 0.0482

0.8994

0.0468

0.9200

0.0968

0.7529

0.9131

0.1035

0.9011

0.1023

0.0574

0.0528

0.8400

0.0467

0.8024

0.9172

0.1080

0.7559

0.9657

0.1249

0.8862

0.0620

0.0576

0.8090

0.8683 0.8745

0.8048

0.8180

0.6164

0.7999

0.0423 0.0774

0.0416 0.0839 0.1046 0.0538

0.8140

0.0484

0.0647

0.6603

0.0624

0.9035

0.1054

0.6189

0.0959

0.8074

0.0557

0.5704

0.0512

0.7580

0.0438

0.5456

0.0403

0.9286

0.089533

0.8912

0.0698

0.130027

0.8509

0.1098

0.8009

0.0524

0.6753

0.0612

0.7016

0.0961

0.8655 0.8740

0.077227

0.8782

0.067861

0.9284

0.070487

0.9092

0.098530

0.8396

0.056374

0.8844

0.044713

0.9137 0.8540 0.8129

0.051487

0.7792

0.7874

0.5208

0.0633

0.0471

0.5267

0.0351

0.102542

0.6995

0.0794

0.122605

0.8539

0.1053

0.6922

0.0458

0.062007

0.6396

0.0559

110



MM

MA

AM

AA

0.8457

0.0581

0.7979

0.0494

0.8824

0.0887

0.8458

0.0865

0.8703

0.0482

0.8175

0.0457

0.8434

0.0408

0.7703

0.0366

0.8957

0.1212

0.8836

0.0727

0.1749

0.9494

0.1254

0.7456

0.0521

0.9539 0.8912

0.8410 0.9884

0.9411 0.9704

0.0639 0.0680

0.6705

0.0476

0.0594

0.7582

0.0551

0.0927

0.7350

0.0875

0.0451

0.7115

0.0450

0.9750

0.0387

0.7199

0.0375

0.9693

0.0768

0.7210

0.0689

0.0987

0.7522

0.0855

0.6750

0.0465

0.9153 0.9187

0.0503

0.6603

0.0494

0.9354

0.0479

0.8003

0.0490

0.6274

0.0463

0.8551

0.0803

0.6715

0.0788

0.7101

0.0410

0.6190

0.0381

0.6226

0.0310

0.5752

0.0295

0.8387

0.0702

0.7876

0.0639

0.8636

0.0950

0.8233

0.0900

0.6883

0.0421

0.7273

0.0506

0.6653

0.0496

0.6936

0.0432

0.9343

0.0459

0.6994

0.0452

0.8966

0.0792

0.8514

0.0751

0.0394

0.7096

0.0389

0.8692 0.8692

0.0323

0.6668

0.0319

0.8520

0.1148

0.6766

0.0915

0.9078

0.1467

0.8612

0.1061

0.7583

0.0612

0.6111

0.0495

0.7935

0.1022

0.6489

0.0812

0.8370

0.1154

0.6302

0.1069

0.6757

0.0619

0.5421

0.0561

0.6644

0.0635

0.5595

0.0510

0.5613

0.0534

0.4848

0.0464

0.9341

0.0677

0.8064

0.0676

0.8777

0.0858

0.7318

0.0792

0.8641

0.0422

0.7220

0.0411

0.8422

0.0463

0.7111

0.0454

111 A.1. táblázat (folytatás) Referen ia kép


MM

MA

AM

AA

0.9668

0.0760

0.7349

0.0615

0.0847

0.6724

0.0756

0.0425

0.6839

0.0388

0.8714 0.9337 0.9337

0.0387

0.6671

0.0336

0.9021

0.0897

0.7783

0.0699

0.9749

0.1155

0.9308

0.0971

0.0487

0.7480

0.0406

0.7778 0.7902

0.0434

0.7144

0.0346

0.9590

0.2027

0.7318

0.1490

0.2016

0.7903

0.1442

0.1088

0.6640

0.0833

0.9014 0.9182 0.9182

0.1023

0.6392

0.0819

0.9141

0.0988

0.8912

0.0852

0.8891

0.1177

0.8588

0.1073

0.7113

0.0557

0.8384

0.1040

0.7802

0.1202

0.7878

0.0672

0.8295

0.0639

0.9131

0.1256

0.7884

0.1403

0.7706

0.6833

0.0870

0.8275

0.0852

0.6082

0.9097

0.1223

0.7025

0.9058

0.1582

0.8921

0.0813

0.0727

0.7240

0.8109 0.9550

0.7570 0.8482 0.9111

0.6475

0.0601

0.0747

0.0709 0.1060 0.1341 0.0683

0.7050

0.0621

0.1096

0.8391

0.0897

0.1041

0.8172

0.0940

0.0580

0.7199

0.0541

0.9111

0.0526

0.6537

0.0487

0.9445

0.1288

0.8783

0.0958

0.9419

0.1288

0.8746

0.1010

0.8582

0.0582

0.6503

0.8799

0.0600

0.6708

0.0426

0.9442

0.1509

0.8793

0.1169

0.8872

0.1989

0.8421

0.1728

0.8576

0.0885

0.8914

0.0780

0.9493

0.8418 0.8750 0.8995

0.6440

0.0433

0.0787

0.6467

0.0695

0.0819

0.8033

0.0819

0.1006

0.8319

0.0947

0.0435

0.0359

0.7465

0.7266

0.0428

0.0340

112



MM

MA

0.9535

0.0275

0.7267

0.0270

0.9547

0.0705

0.9140

0.0572

0.0248

0.8169

0.0226

0.8837 0.9070

0.0167

0.9343

0.0976

0.8367 0.8422

0.0831 0.0443

0.8665

0.0394

0.9291 0.8140

0.8112

AM

AA

0.8285

0.0164

0.8642

0.0793

0.7639

0.0826

0.6180

0.0431

0.6759

0.0371

0.0727

0.7570

0.0682

0.0782

0.6141

0.0763

0.0463

0.5816

0.0451

0.8583

0.0433

0.5806

0.0416

0.9518

0.0704

0.8453

0.0535

0.8839

0.0781

0.7991

0.0681

0.8976

0.0372

0.8060

0.0327

0.9483

0.0789

0.9397

0.0749

0.9156

0.0894

0.8705 0.9260 0.9311

0.0418

0.0984 0.0537

0.8046

0.8941

0.0370

0.0472

0.9311

0.0450

0.9112

0.0405

0.9634

0.0994

0.8628

0.0915

0.9091

0.1017

0.7322

0.0960

0.9209

0.0550

0.7309

0.0509

0.8273

0.1502

0.7805

0.1061

0.9385

0.1714

0.8857

0.1303

0.7241

0.0887

0.6121

0.0688

0.9067

0.0581

0.6662

0.0534

0.6436

0.0808

0.5718

0.0606

0.9662

0.0619

0.6721

0.0558

0.9091

0.0772

0.8602

0.0770

0.9286

0.0412

0.6087

0.0348

0.8206

0.0991

0.7768

0.0647

0.9220

0.0868

0.9101

0.0726

0.7963

0.0362

0.7430

0.0324

0.9090

0.0447

0.5989

0.0395

0.7130

0.0288

0.6628

0.0251

0.8929

0.0781

0.7124

0.0691

0.8956

0.0817

0.8361

0.0772

0.7926

0.0429

0.7296

0.0385

0.7912

0.0458

0.7019

0.0421

B. melléklet 2D vékonyító algoritmusok kiértékelése B.1. táblázat. A vizsgált 92 algoritmus rangsora az egyes tesztképeken elért helyezések összege szerint. Rangsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

Algoritmus

Helyezések összege

2 2 SIhN E,SW,N W,SEi-ASYM-C5 2 2 SIhN E,SW,N W,SEi-SYM-C5 2 2 SIhN E,SW,N W,SEi-ASYM-C3 2 2 SIhN E,SW,N W,SEi-ASYM-C2 2 2 SIhN E,SW,N W,SEi-SYM-C3 2 2 SIhN E,SW,N W,SEi-SYM-C2 2 2 SIhN E,SW,N W,SEi-ASYM-C4

353

BM99 2 2 SIhN E,SW,N W,SEi-SYM-C4 SF22 _IL-SYM-C52 F P 2-ASYM-C52 F P 2-SYM-C52 SF22 _IL-ASYM-C52 SF42 _IL-ASYM-C52

916

402 535 547 622 629 758

928 1077 1094 1141 1158 1184 1235

19.

H89 2 2 SIhN E,SW,N W,SEi-ASYM-C1 F P 2-SYM-C32 F P 2-SYM-C22 2 2 SIhN E,SW,N W,SEi-SYM-C1

20.

GH92

1344

21.

WT92 SF22 _IL-ASYM-C32 SF22 _IL-SYM-C32

1461

16. 17. 18.

22.

113

1268 1270 1285 1321

1575 1575

114

B. MELLÉKLET. KIÉRTÉKELÉSI TÁBLÁZATOK B.1. táblázat (folytatás) Rangsor 24. 26. 28. 29. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 41. 43. 44. 47. 48. 48. 50. 51. 52. 54. 55. 57. 58. 59. 60.

Algoritmus 2 SF2 _IL-ASYM-C22 SF22_IL-SYM-C22 SF42_IL-ASYM-C32 SF42_IL-SYM-C32


GH89a1 SF42_IL-ASYM-C22 SF42_IL-SYM-C22 F P 2-ASYM-C32 F P 2-ASYM-C22 F P 2-SYM-C42 F P 2-ASYM-C42 SF22_IL-SYM-C42 SF22-ASYM-C42 SF22-ASYM-C52 PAV81 SF22-SYM-C42 SF22-SYM-C52 SF22-ASYM-C12 SF22-SYM-C12 SF22-ASYM-C22 SF22-SYM-C22 SF22-ASYM-C32 SF22-SYM-C32

1656

EM93 SF22_IL-ASYM-C42 SF42_IL-ASYM-C42 F P 2-ASYM-C12

1965

AK2 SF22_IL-ASYM-C12 SF22_IL-SYM-C12 F P 2-SYM-C12 SF42_IL-ASYM-C12 SF42_IL-SYM-C12 2 2 SIhN,E,S,W i-ASYM-C5 2 2 SIhN,E,S,W i-ASYM-C4 2 2 SIhN,E,S,W i-SYM-C5 2 2 SIhN,E,S,W i-SYM-C4

2131

1588 1588 1644 1644 1660 1660 1685 1701 1787 1809 1826 1848 1858 1862 1867 1876 1944 1944 1953 1953 1953 1953 1969 1969 2071 2261 2261 2298 2347 2347 2715 2746 2754 2802

115 B.1. táblázat (folytatás) Rangsor

Algoritmus 2 SIhN,E,S,W i-ASYM-C22 2 2 SIhN,E,S,W i-SYM-C2 2 SIhN,E,S,W i-ASYM-C32 2 2 SIhN,E,S,W i-SYM-C3


3146

83.

ZSLW 2 2 SIhN,E,S,W i-ASYM-C1 2 2 SIhN,E,S,W i-SYM-C1 2 2 SIhN W,SEi -ASYM-C5 2 2 SIhN E,SW i -ASYM-C5 2 2 SIhN W,SEi -SYM-C5 2 2 SIhN E,SW i -SYM-C5 2 2 SIhN W,SEi -ASYM-C4 2 2 SIhN W,SEi -SYM-C4 2 2 SIhN E,SW i -ASYM-C4 2 2 SIhN W,SEi -SYM-C3 2 2 SIhN W,SEi -SYM-C2 2 2 SIhN E,SW i -SYM-C4 2 2 SIhN E,SW i -SYM-C3 2 2 SIhN E,SW i -SYM-C2 2 2 SIhN W,SEi -ASYM-C3 2 2 SIhN W,SEi -ASYM-C2 2 2 SIhN E,SW i -ASYM-C3 2 2 SIhN E,SW i -ASYM-C2

84.

TSIN

4256

85.

RUT66 2 2 SIhN W,SEi -SYM-C1 2 2 SIhN E,SW i -SYM-C1 2 2 SIhN W,SEi -ASYM-C1 2 2 SIhN E,SW i -ASYM-C1

4267

CWSI87 SF42 _IL-SYM-C42 SF42 _IL-SYM-C52

4759

61.

65. 66. 68. 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. 81. 82.

86. 87. 88. 89. 90. 91.

2965 2965 2965 2965

3570 3570 3686 3699 3729 3745 3910 3919 3981 4018 4022 4025 4084 4090 4141 4165 4189 4195

4387 4439 4456 4468

4874 4874

116

B. MELLÉKLET. KIÉRTÉKELÉSI TÁBLÁZATOK B.2. táblázat. A vizsgált 92 algoritmus rangsora a páros küzdelmekben aratott gy®zelmek száma szerint. Rangsor

Algoritmus

Gy®zelmek száma 91

10.

2 2 SIhN E,SW,N W,SEi-ASYM-C5 2 2 SIhN E,SW,N W,SEi-SYM-C5 2 2 SIhN E,SW,N W,SEi-ASYM-C3 2 2 SIhN E,SW,N W,SEi-ASYM-C2 2 2 SIhN E,SW,N W,SEi-ASYM-C4 2 2 SIhN E,SW,N W,SEi-SYM-C3 2 2 SIhN E,SW,N W,SEi-SYM-C2 2 2 SIhN E,SW,N W,SEi-SYM-C4 2 2 SIhN E,SW,N W,SEi-ASYM-C1 2 2 SIhN E,SW,N W,SEi-SYM-C1

11.

WT92

81

12.

BM99

80

13.

H89 2

78

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

14. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 25. 27.

29. 32. 33. 34. 35. 36. 38.

90 89 88 87 86 85 84 83 82

F P -SYM-C52 F P 2 -ASYM-C52 SF22 _IL-SYM-C52 F P 2 -SYM-C32 F P 2 -SYM-C22 SF22 _IL-ASYM-C52 SF42 _IL-ASYM-C52 GH92

77

GH89a1 SF22 _IL-ASYM-C32 SF22 _IL-SYM-C32 SF22 _IL-SYM-C22 SF22 _IL-ASYM-C22 SF42 _IL-SYM-C32 SF42 _IL-ASYM-C32 SF42 _IL-ASYM-C22 F P 2 -ASYM-C32 SF42 _IL-SYM-C22 F P 2 -ASYM-C22 F P 2 -SYM-C42 F P 2 -ASYM-C42 F P 2 -ASYM-C12 PAV81 SF22 _IL-SYM-C42 EM93

70

77 77 75 74 73 72 71 68 68 66 66 63 63 61 61 61 60 59 58 57 55 55 54

117 B.2. táblázat (folytatás) Rangsor 39. 41. 42.

44. 47. 48. 49. 50.

53.

57. 58. 59. 60.

61.

65. 66. 68. 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77.

Algoritmus 2 SF4 _IL-ASYM-C42 SF22_IL-ASYM-C42 F P 2-SYM-C12 SF22_IL-ASYM-C12 SF22_IL-SYM-C12 SF22-ASYM-C42 SF42_IL-SYM-C12 SF42_IL-ASYM-C12 SF22-ASYM-C52 SF22-SYM-C42 SF22-SYM-C52 AK2 SF22-SYM-C12 SF22-ASYM-C12 SF22-ASYM-C22 SF22-SYM-C32 SF22-ASYM-C32 SF22-SYM-C22 2 2 SIhN,E,S,W i-ASYM-C5 2 2 SIhN,E,S,W i-SYM-C5 2 2 SIhN,E,S,W i-ASYM-C4 2 2 SIhN,E,S,W i-SYM-C4 2 2 SIhN,E,S,W i-ASYM-C3 2 2 SIhN,E,S,W i-SYM-C2 2 SIhN,E,S,W i-ASYM-C22 2 2 SIhN,E,S,W i-SYM-C3

Gy®zelmek száma

ZSLW 2 2 SIhN,E,S,W i-ASYM-C1 2 2 SIhN,E,S,W i-SYM-C1 2 2 SIhN W,SEi -ASYM-C5 2 2 SIhN W,SEi -SYM-C5 2 2 SIhN E,SW i -ASYM-C5 2 2 SIhN E,SW i -SYM-C5 2 2 SIhN W,SEi -ASYM-C4 2 2 SIhN W,SEi -SYM-C4 2 2 SIhN E,SW i -ASYM-C4 2 2 SIhN W,SEi -SYM-C3 2 2 SIhN W,SEi -SYM-C2 2 2 SIhN E,SW i -SYM-C4

27

52 52 50 48 48 46 46 46 45 44 43 41 41 41 37 37 37 37 35 34 33 32 28 28 28 28

25 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15

118

B. MELLÉKLET. KIÉRTÉKELÉSI TÁBLÁZATOK B.2. táblázat (folytatás) Rangsor 78. 79. 80. 81. 82. 83. 84. 85. 86. 87. 88. 90. 91.

Algoritmus 2 SIhN W,SEi -ASYM-C32 2 2 SIhN W,SEi -ASYM-C2 2 2 SIhN E,SW i -SYM-C3 2 2 SIhN E,SW i -SYM-C2 2 2 SIhN E,SW i -ASYM-C3 2 2 SIhN E,SW i -ASYM-C2

Gy®zelmek száma 14 13 12 11 10 9

TSIN 2 2 SIhN W,SEi -SYM-C1

8

RUT66 2 2 SIhN E,SW i -ASYM-C1 2 2 SIhN W,SEi -ASYM-C1 2 2 SIhN E,SW i -SYM-C1

6


2

6

5 4 4

0 0

119 B.3. táblázat. A vizsgált 92 algoritmus rangsora a mér®számok összege szerint. Rangsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.

Algoritmus

Értékek összege

2 2 SIhN E,SW,N W,SEi-ASYM-C4 2 2 SIhN E,SW,N W,SEi-ASYM-C5 2 2 SIhN E,SW,N W,SEi-SYM-C5 2 2 SIhN E,SW,N W,SEi-SYM-C4 2 2 SIhN E,SW,N W,SEi-ASYM-C3 2 2 SIhN E,SW,N W,SEi-ASYM-C2 2 2 SIhN E,SW,N W,SEi-SYM-C3 2 2 SIhN E,SW,N W,SEi-SYM-C2 2 2 SIhN E,SW,N W,SEi-ASYM-C1 2 2 SIhN E,SW,N W,SEi-SYM-C1 SF22 _IL-SYM-C52

3.0737

BM99 F P 2 -ASYM-C52 SF22 _IL-ASYM-C52 F P 2 -SYM-C52 SF42 _IL-ASYM-C52 F P 2 -SYM-C42

3.8911

H89 2

4.0083

FP

2 -ASYM-C4

3.1464 3.1731 3.1941 3.3108 3.3122 3.3360 3.3369 3.7920 3.8190 3.8911 3.8934 3.9005 3.9039 3.9069 3.9973 4.0171

20.

PAV81

4.0200

21.

GH92

4.0210

22.

WT92 SF22 _IL-SYM-C42 SF22 _IL-ASYM-C32 SF22 _IL-SYM-C32 SF22 _IL-SYM-C22 SF22 _IL-ASYM-C22 SF42 _IL-ASYM-C32 SF42 _IL-SYM-C32 SF42 _IL-SYM-C22 SF42 _IL-ASYM-C22 F P 2 -ASYM-C32 F P 2 -ASYM-C22 EM93 SF22 _IL-ASYM-C42 SF42 _IL-ASYM-C42 SF22 -ASYM-C42 SF22 -ASYM-C52

4.0317

23. 24. 25. 26. 28. 30. 32. 33. 34. 35. 37. 38.

4.0319 4.0467 4.0467 4.0473 4.0473 4.0523 4.0523 4.0531 4.0531 4.0587 4.0602 4.0604 4.0762 4.0762 4.0773 4.0778

120

B. MELLÉKLET. KIÉRTÉKELÉSI TÁBLÁZATOK B.3. táblázat (folytatás) Rangsor 40.

Algoritmus 2 SF2 -SYM-C42 SF22 -SYM-C52

41.

AK2

4.1016

42.

GH89a1 SF22 -SYM-C12 SF22 -ASYM-C12 SF22 -ASYM-C22 SF22 -SYM-C32 SF22 -ASYM-C32 SF22 -SYM-C22 F P 2-ASYM-C12 F P 2-SYM-C32 F P 2-SYM-C22 SF22 _IL-ASYM-C12 SF22 _IL-SYM-C12 SF42 _IL-ASYM-C12 SF42 _IL-SYM-C12 F P 2-SYM-C12 2 2 SIhN,E,S,W i-ASYM-C5 2 2 SIhN,E,S,W i-SYM-C5 2 2 SIhN,E,S,W i-ASYM-C4 2 2 SIhN,E,S,W i-SYM-C4 2 2 SIhN,E,S,W i-ASYM-C3 2 2 SIhN,E,S,W i-SYM-C2 2 2 SIhN,E,S,W i-ASYM-C2 2 2 SIhN,E,S,W i-SYM-C3

4.1181

ZSLW 2 2 SIhN,E,S,W i-ASYM-C1 2 2 SIhN,E,S,W i-SYM-C1 2 2 SIhN W,SEi -ASYM-C5 2 2 SIhN W,SEi -SYM-C5 2 2 SIhN E,SW i -ASYM-C5 2 2 SIhN E,SW i -SYM-C5 2 2 SIhN W,SEi -ASYM-C4 2 2 SIhN W,SEi -SYM-C4 2 2 SIhN E,SW i -ASYM-C4 2 2 SIhN E,SW i -SYM-C4 2 2 SIhN W,SEi -SYM-C3 2 2 SIhN W,SEi -SYM-C2

5.3166

39.

43.

45.

49. 50. 51. 52. 54. 56. 57. 58. 59. 60.

61.

65. 66. 68. 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77.

Értékek összege 4.0783 4.0787

4.1461 4.1461 4.1463 4.1463 4.1463 4.1463 4.1665 4.1980 4.1992 4.2997 4.2997 4.3679 4.3679 4.5352 4.8657 4.8804 4.9020 4.9187 5.1786 5.1786 5.1786 5.1786

5.7857 5.7857 6.0954 6.1248 6.1948 6.2212 6.2676 6.2766 6.4139 6.4392 6.4639 6.4643

121 B.3. táblázat (folytatás) Rangsor 78. 79. 80. 81. 82. 83. 84. 85. 86. 87. 88. 89. 90. 91.

Algoritmus 2 SIhN W,SEi-ASYM-C32 2 2 SIhN W,SEi -ASYM-C2 2 2 SIhN E,SW i -SYM-C3 2 2 SIhN E,SW i -SYM-C2 2 2 SIhN E,SW i -ASYM-C3 2 2 SIhN E,SW i -ASYM-C2

Értékek összege

TSIN 2 2 SIhN W,SEi -SYM-C1 2 2 SIhN W,SEi -ASYM-C1 2 2 SIhN E,SW i -SYM-C1

6.8210

RUT66 2 2 SIhN E,SW i -ASYM-C1

6.9958


9.0067

6.5294 6.5323 6.6164 6.6170 6.6774 6.6780

6.9317 6.9772 6.9953

7.0199

12.1166 12.1166

Irodalomjegyzék [1℄ C. Ar elli, G. Sanniti di Baja, and P. C. K. Kwok.

ompression by o tagonal propagation.

Re ognition and Arti ial Intelligen e,

Parallel pattern

International Journal of Pattern 7:10771102, 1993.

[2℄ Biomedi al Imaging Resour e at Mayo Clini .

mat.

ANALYZETM 7.5 File For-

[3℄ F. Aurenhammer. Voronoi diagrams a survey of a fundamental geometri data stru ture.

ACM Computing Surveys,

23:345405, 1991.

[4℄ T. M. Bernard and A. Manzanera. Improved low omplexity fully parallel

Pro eedings of the International Conferen e on Image Analysis and Pro essing (ICIAP 1999), pages 215220, IEEE,

thinning algorithm. In 1999.

[5℄ G. Bertrand. Simple points, topologi al numbers and geodesi neighborhoods in ubi grids.

Pattern Re ognition Letters,

15:10031011, 1994.

[6℄ G. Bertrand. A parallel thinning algorithm for medial surfa es.

Re ognition Letters,

Pattern

16:979986, 1995.

[7℄ G. Bertrand. Su ient onditions for 3D parallel thinning algorithms. In

Pro eedings of the SPIE Conferen e on Vision Geometry IV,

pages

5260, SPIE, 1995. [8℄ G. Bertrand. points.

A Boolean hara terization of three-dimensional simple


[9℄ G. Bertrand.

On riti al kernels.

S ien es, Série Math.,

metry III,

Comptes Rendus de l'A adémie des

I(345):363367, 2007.

[10℄ G. Bertrand and Z. Aktouf. using subelds. In

17:115124, 1996.

A three-dimensional thinning algorithm

Pro eedings of the SPIE Conferen e on Vision Geo-

pages 113124, SPIE, 1994.

[11℄ G. Bertrand and M. Couprie. New 2D parallel thinning algorithms ba-

Pro eedings of the International Workshop on Combinatorial Image Analysis (IWCIA 2006), Le ture Notes in Compused on riti al kernels. In

ter S ien e, volume 4040, pages 4559, Springer, 2006. 123

124

IRODALOMJEGYZÉK

[12℄ G. Bertrand and M. Couprie. Transformations topologiques dis rétes. In D. Coeurjolly, A. Montanvert, and J.-M. Chassery, editors,

dis rète et images numériques,

pages 187209, Hermés, 2007.

[13℄ G. Bertrand and G. Malandain. dimensional simple points.

Géométrie

A new hara terization of three-


15:169175,

1994. [14℄ H. Blum. A transformation for extra ting new des riptors of shape. In W. Wathen-Dunn, editor,

Form,

Models for the Per eption of Spee h and Visual

pages 362380, MIT Press, 1967.

[15℄ G. Borgefors, I. Ragnemalm, and G. Sanniti di Baja. distan e transform:

The Eu lidean

nding the lo al maxima and re onstru ting the

Pro eedings of the S andinavian Conferen e on Image Analysis (SCIA 1991), pages 974981, shape.

In P. Johansen and S. Olsen, editors,

1991. [16℄ J. W. Brandt and V. R. Algazi.

Continuous skeleton omputation by

Computer Vision, Graphi s, and Image Pro essing: Image Understanding, 55:329338, 1991. Voronoi diagram.

[17℄ L. Calabi. A study of the skeleton of plane gures.

Te hni al report,

Parke Mathemati al Laboratories, 1965. [18℄ Y.-S. Chen and W.-H. Hsu. Systemati approa h for designing 2-sub y le and pseudo 1-sub y le parallel thinning algorithms.

Pattern Re ognition,

22(3):267282, 1989. [19℄ R. T. Chin, H.-K. Wan, D. L. Strover, and R. D. Iverson. A one-pass thinning algoruthm and its parallel implementation.

Graphi s, and Image Pro essing,

Computer Vision,

40:3040, 1987.

[20℄ M. Couprie and G. Bertrand. New hara terizations of simple points in 2D, 3D, and 4D dis rete spa es.

Ma hin e Intelligen e,

IEEE Transa tion on Pattern Analysis

31:637648, 2009.

[21℄ P.-E. Danielsson. Eu lidean distan e mapping.

Image Pro essing,

Computer Graphi s and

14:227248, 1980.

[22℄ P.P. Das, P.P. Chakrabarti, and B.N. Chatterji. Distan e fun tions in digital geometry.

Information S ien e,

42:113136, 1987.

[23℄ E.R. Davies and A.P.N. Plummer. Thinning algorithms: A ritique and a new methodology.


14(1-6):5363, 1981.

International Journal of Pattern Re ognition and Arti ial Intelligen e, 7(5):1115

[24℄ U. E khardt and G. Maderle hner. 1144, 1993.

Invariant thinning.

IRODALOMJEGYZÉK

125

[25℄ A. Fazekas, K. Palágyi, Gy. Ková s, and G. Németh.

Skeletonization

Pro eedings of the International Conferen e on Computer Vision Systems (ICVS 2008), Le ture based on metri al neighborhood sequen es. In

Notes in Computer S ien e, volume 5008, pages 333342, Springer, 2008. [26℄ M. Gökmen and R.W. Hall. subelds approa hes.

Parallel shrinking algorithms using 2-

Computer Vision, Graphi s, and Image Pro essing,

52(2):191209, 1990. [27℄ B.R. Gomberg, P.K. Saha, H.K. Song, S.N. Hwang, and F.W. Wehrli. Topologi al analysis of trabe ular bone MR images.

on Medi al Imaging,

IEEE Transa tions

19(3):166174, 2000.

[28℄ W. Gong and G. Bertrand. A simple parallel 3D thinning algorithm.

eedings of the International Conferen e on Pattern Re ognition,

Pro-

pages

188190, 1990. [29℄ R.C. Gonzalez and R.E. Woods.

Digital Image Pro essing (3rd Edition).

Prenti e-Hall, 2006. [30℄ Z. Guo and R.W. Hall. rithms.

Parallel thinning with two-subiteration algo-

Communi ations of the ACM,

32:359373, 1989.

Computer Vision, Graphi s, and Image Pro essing: Image Understanding, 55:317

[31℄ Z. Guo and R.W. Hall. Fast fully parallel thinning algorithms. 328, 1992.

[32℄ A. Hajdu and Hajdu L. Approximating the Eu lidean distan e by digital metri s.

Dis rete Mathemati s,

283:101111, 2004.

[33℄ R.W. Hall. Fast parallel thinning algorithms: parallel speed and onne tivity preservation.


32:124131, 1989.

[34℄ R.W. Hall. Parallel onne tivity-preserving thinning algorithms. In T.Y. Kong and A. Rosenfeld, editors,

Pro essing,

Topologi al Algorithms for Digital Image

pages 145179, Elsevier, 1996.

[35℄ R.W. Hall, T.Y. Kong, and A. Rosenfeld. Shrinking binary images. In T.Y. Kong and A. Rosenfeld, editors,

Image Pro essing,

Topologi al Algorithms for Digital

pages 3198, Elsevier, 1996.

[36℄ T. Itoh, Y. Yamagu hi, and K. Koyamada. Fast isosurfa e generation using the volume thinning algorithm.

tion and Computer Graphi s,

IEEE Transa tions on Visualiza-

7(1):3246, 2001.

[37℄ M. Iwanowski and P. Soille. Fast algorithm for order independent binary

Pro eedings of the International Conferen e on Adaptive and Natural Computing Algorithms (ICANNGA 2007), Part homotopi thinning. In

126

IRODALOMJEGYZÉK

II,

Le ture Notes in Computer S ien e, volume 4432, pages 606615,

Springer, 2007. [38℄ Jr. K. Preston and M. J.B. Du.

appli ations,

Modern ellular automata: Theory and

Advan ed appli ations in pattern re ognition.

Advan ed

appli ations in pattern re ognition. Plenum Press, 1984. [39℄ P. Kardos. thinning.

Su ient onditions for order-independen y in sequential

A ta Cyberneti a,

20(1):87100, 2011.

[40℄ P. Kardos, G. Németh, and K. Palágyi. An order-independent sequenti-

Pro eedings of the International Workshop on Combinatorial Image Analysis (IWCIA 2009), Le ture Notes in Compual thinning algorithm. In

ter S ien e, volume 5852, pages 162175, Springer, 2009. [41℄ P. Kardos and K. Palágyi.

Order-independent sequential thinning in

arbitrary dimensions. In Pro eedings of the IASTED International Conferen e Signal and Image Pro essing and Appli ations, pages 129134, IASTED, 2011. [42℄ R. Klette and A. Rosenfeld.

digital pi ture analysis.

Digital geometry geometri methods for

Morgan Kaufmann, 2004.

International Journal of Pattern Re ognition and Arti ial Intelligen e,

[43℄ T.Y. Kong.

On topology preservation in 2-D and 3-D thinning.

9(5):813844, 1995. [44℄ T.Y. Kong and A. Rosenfeld. Digital topology: Introdu tion and survey.

Computer Vision, Graphi s, and Image Pro essing,

48:357393, 1989.

[45℄ L. Lam, S.-W. Lee, and C.Y. Suen. Thinning methodologies A omprehensive survey.

Intelligen e,

IEEE Transa tion on Pattern Analysis and Ma hine

14:869885, 1992.

[46℄ L. Lam and C.Y. Suen. mat hing methods.

Automati omparison of skeletons by shape

International Journal of Pattern Re ognition and

Arti ial Intelligen e,

7(5):12711286, 1993.

[47℄ S.-W. Lee, L. Lam, and C.Y. Suen. A systemati evaluation of skeletonization algorithms.

Arti ial Intelligen e,

International Journal of Pattern Re ognition and 7(5):12031225, 1993.

[48℄ T.-C. Lee, R.L. Kashyap, and C.-N. Chu. Building skeleton models via 3-

Computer Vision, Graphi s, and Image Pro essing: Graphi al Models Image Pro essing, 56:462478,

D medial surfa e/axis thinning algorithms. 1994.

IRODALOMJEGYZÉK

127

[49℄ C. Lohou. Dete tion of the non-topology preservation of Ma's 3D surfa ethinning algorithm, by the use of P-simple points.

Letters,

Pattern Re ognition

29:822827, 2008.

[50℄ C. Lohou. Dete tion of the non-topology preservation of Ma and Sonka's algorithm, by the use of P-simple points.

Understanding,

Computer Vision and Image

114:384399, 2010.

[51℄ C. Lohou and G. Bertrand. A new 3D 12-subiteration thinning algorithm

Ele troni Notes in Theoreti al Computer

based on P-simple points.

S ien e,

46:3352, 2001.

[52℄ C. Lohou and G. Bertrand. A new 3D 6-subiteration thinning algorithm

Pro eedings of the International Conferen e on Dis rete Geometry for Computer Imagery (DGCI 2002), Le ture based on P-simple points. In

Notes in Computer S ien e, volume 2301, pages 102113, Springer, 2002. [53℄ C. Lohou and G. Bertrand.

A 3D 12-subiteration thinning algorithm

Dis rete Applied Mathemati s,


139:171195,

2004. [54℄ C. Lohou and G. Bertrand. A 3D 6-subiteration urve thinning algorithm

Dis rete Applied Mathemati s,


151:198228,

2005. [55℄ C. Lohou and J. Dehos. Automati orre tion of Ma and Sonka's thinning algorithm using P-simple points.

and Ma hine Intelligen e,

IEEE Transa tions on Pattern Analysis

32:11481152, 2010.

[56℄ C. Lohou and J. Dehos. An automati orre tion of Ma's thinning algorithm based on P-simple points.

Vision,

Journal of Mathemati al Imaging and

36:5462, 2010.

[57℄ H.E. Lü and P.S.P. Wang. A omment on a fast parallel algorithm for thinning digital patterns.


29:239242,

1986.

Computer Vision, Graphi s, and Image Pro essing: Image Understanding, 59(3):328339,

[58℄ C.-M. Ma. On topology preservation in 3d thinning. 1994.

[59℄ C.-M. Ma. A 3D fully parallel thinning algorithm for generating medial fa es.


16:8387, 1995.

[60℄ C.-M. Ma. Important properties of 3D simpli ity. 2573(1):3544, 1995.

Vision Geometry IV,

128

IRODALOMJEGYZÉK

[61℄ C.-M. Ma and M. Sonka. A fully parallel 3D thinning algorithm and its appli ations.

Computer Vision and Image Understanding,

64:420433,

1996. [62℄ C.-M. Ma and S.-Y. Wan. A medial-surfa e oriented 3-D two-subeld thinning algorithm.

Pattern Re ognition Letters, 22(13):14391446, 2001.

[63℄ C.-M. Ma, S.-Y. Wan, and H.-K. Chang. Extra ting medial urves on 3D images.


23(8):895904, 2002.

[64℄ C.-M. Ma, S.-Y. Wan, and J.-D. Lee. Three-dimensional topology preserving redu tion on the 4-subelds.

sis Ma hine Intelligen e,

IEEE Transa tions on Pattern Analy-

24(12):15941605, 2002.

[65℄ A. Manzanera and T.M. Bernard.

MB: a oherent olle tion of 2D

parallel thinning algorithms. Te hni al Report LEI/AVA-02-002, ENSTA/LEI, 2002. [66℄ A. Manzanera and T.M. Bernard.

Metri al properties of a olle tion

Pro eedings of the International Workshop on Combinatorial Image Analysis (IWCIA 2003), Ele troni of 2D parallel thinning algorithms. In

Notes on Dis rete Mathemati s, volume 12, pages 255266, Elsevier, 2003.

A unied theory of translation-invariant systems with appli ations to morphologi al analysis and oding of images. Georgia

[67℄ P.A. Maragos.

Institute of Te hnology, 1985. [68℄ S. Mar hand-Maillet and Y.M. Sharaiha.

a dis rete approa h.

Binary digital image pro essing

A ademi Press, 2000.

[69℄ J. Mukherjee, P.P. Das, and B.N. Chatterji. On onne tivity issues of ESPTA.


11:643648, 1990.

[70℄ C. Neusius, J. Olszewski, and D. S heerer. An e ient distributed thinning algorithm.

Parallel Computing,

18(1):4755, 1992.

[71℄ G. Németh, P. Kardos, and K. Palágyi. Topology preserving 2-subeld 3D thinning algorithms. In Pro eedings of the IASTED International Conferen e on Signal Pro essing, Pattern Re ognition and Appli ations (SPPRA 2010), pages 310316, IASTED, 2010. [72℄ G. Németh, P. Kardos, and K. Palágyi. Topology preserving 3D thinning

Pro eedings of International Conferen e on Image Analysis and Re ognition (ICIAR 2010), Le ture

algorithms using four and eight subelds. In

Notes in Computer S ien e, volume 6111, pages 316325, Springer, 2010.

IRODALOMJEGYZÉK

129

[73℄ G. Németh, P. Kardos, and K. Palágyi. 2D parallel thinning and shrinking based on su ient onditions for topology preservation.

neti a,

A ta Cyber-

20(1):125144, 2011.

[74℄ G. Németh, P. Kardos, and K. Palágyi. A family of topology-preserving 3d parallel 6-subiteration thinning algorithms. In Pro eedings of the International Workshop on Combinatorial Image Analysis (IWCIA 2011), Le ture Notes in Computer S ien e, volume 6636, pages 1730, Springer, 2011. [75℄ G. Németh and K. Palágyi. Parallel thinning algorithms based on Ronse's su ient onditions for topology preservation. In R. Barneva and P. Wiederhold, editors,

Progress in Combinatorial Image Analysis, pages

183194, Resear h Publishing Servi es, 2009. [76℄ G. Németh and K. Palágyi. isthmus-preservation. In

PA 2011),

2d parallel thinning algorithms based on

Image and Signal Pro essing and Analysis (IS-

pages 585590, 2011.

[77℄ G Németh and K. Palágyi.

Topology preserving parallel thinning al-

International Journal of Imaging Systems and Te hnology,

gorithms.

21:3744, 2011. [78℄ G. Németh and K. Palágyi. 3D parallel thinning algorithms based on

Pro eedings of the Advan ed Con epts for Intelligent Vision Systems (ACIVS 2012), to appear. isthmuses. In

[79℄ K. Palágyi. A 3D 3-subiteration thinning algorithm for medial surfa es.

Pro eedings of the International Conferen e on Dis rete Geometry for Computer Imagery (DGCI 2000), Le ture Notes in Computer S ien e,

In

volume 1953, pages 406417, Springer, 2000.

Pro eedings of the International Conferen e on Computer Analysis of Images and Patterns (CAIP 2007), Le ture Notes in Computer S ien e, volume 4673,

[80℄ K. Palágyi. A 3-subiteration surfa e-thinning algorithm. In

pages 628635, Springer, 2007. [81℄ K. Palágyi. A 3D fully parallel surfa e-thinning algorithm.

Computer S ien e, [82℄ K. Palágyi.

Theoreti al

406:119135, 2008.

Vékonyító algoritmusok 3D képekre. Doktori értekezés.

Sze-

gedi Tudományegyetem, 2000. [83℄ K. Palágyi. A 3-subiteration 3D thinning algorithm for extra ting medial surfa es.


[84℄ K. Palágyi and A. Kuba. extra ting medial lines.

23:663675, 2002.

A 3D 6-subiteration thinning algorithm for


19:613627, 1998.

130

IRODALOMJEGYZÉK

[85℄ K. Palágyi and A. Kuba. Dire tional 3D thinning using 8 subiterations.

Pro eedings of the International Conferen e on Dis rete Geometry for Computer Imagery (DGCI 1999), Le ture Notes in Computer S ien e,

In

volume 1568, pages 325336, Springer, 1999. [86℄ K. Palágyi and A. Kuba. A parallel 3D 12-subiteration thinning algorithm.

Graphi al Models and Image Pro essing,

61:199221, 1999.

[87℄ K. Palágyi and G. Németh. Fully parallel 3D thinning algorithms based

Pro eedings of the International Conferen e on Dis rete Geometry for Computer Imagery (DGCI 2009), Le ture Notes in Computer S ien e, volume 5810, pages

on su ient onditions for topology preservation. In

481492, Springer, 2009. [88℄ K. Palágyi, G. Németh, and P. Kardos.

Topology preserving parallel

3D thinning algorithms. In R. Barneva and V. Brinkov, editors, Digital Geometry Algorithms. Theoreti al Foundations and Appli ations to Computational Imaging, pages 165188, Springer, 2012. [89℄ K. Palágyi, J. Ts hirren, E.A. Homan, and M. Sonka. analysis of pulmonary airway tree stru tures.

Medi ine,

Quantitative

Computers in Biology and

36(9):974996, 2006.

Pro eedings of IEEE Computing So iety International Conferen e on Pattern Re ognition and Image Pro essing (PRIP 1981), pages 162167, IEEE, 1981.

[90℄ T. Pavlidis. A exible parallel thinning algorithm. In

[91℄ R. Plamondon, Y.S. Ching, M. Bourdeau, and C. Barrière. Methodo-

International Journal of Pattern Re ognition and Arti ial Intelligen e, logies for evaluating thinning algorithms for hara ter re ognition.

7:12471270, 1993. [92℄ F.P. Preparata and M.I. Shamos.

tion.

Computational geometry: an introdu -

Springer, 1985.

[93℄ V. Ranwez and P. Soille.

Order independent homotopi thinning for

binary and grey tone an hored skeletons.


23:687702, 2002. [94℄ B. Raynal and M. Couprie. Isthmus-based 6-dire tional parallel thinning

Pro eedings of the International Conferen e on Dis rete Geometry for Computer Imagery (DGCI 2011), pages 175186, 2011.

algorithms. In

[95℄ E. Remy and E. Thiel. Medial axis for hamfer distan es: omputing look-up tables and neighbourhoods in 2D or 3D.

Letters,

23:649661, 2002.

Pattern Re ognition

IRODALOMJEGYZÉK

131

[96℄ E. Remy and E. Thiel. Exa t medial axis with Eu lidean distan e.

Vision Computing,

Image

23:167175, 2005.

[97℄ C. Ronse. Minimal test patterns for onne tivity preservation in parallel thinning algorithms for binary digital images.

mati s,

Dis rete Applied Mathe-

21(1):6779, 1988.

[98℄ A. Rosenfeld. A hara terization of parallel thinning algorithms.

mation and Control,

29(3):286291, 1975.

[99℄ A. Rosenfeld and J.L. Pfaltz.


Infor-

Distan e fun tions on digital pi tures.

1(1):3361, 1968.

[100℄ D. Rutovitz. Pattern re ognition.

Journal of the Royal Statisti al So iety,

129:504530, 1966. [101℄ J. Serra.

Image Analysis and Mathemati al Morphology. A ademi Press,

1983. [102℄ K. Siddiqi and S. Pizer.

rithms and Appli ations.

Medial Representations: Mathemati s, AlgoSpringer, 2008.

[103℄ R. Stefanelli and A. Rosenfeld. digital pi tures.

Journal of the ACM,

[104℄ C.Y. Suen and P.S.P. Wang.

nition.

Some parallel thinning algorithms for 18:255264, 1971.

Thinning Methodologies for Pattern Re og-

World S ienti Publishing, 1994.

[105℄ H. Sundar, D. Silver, N. Gagvani, and S. Di kinson. Skeleton based shape mat hing and retrieval. In

(SMI 2003),

Pro eedings of Shape Modeling International

pages 130139, IEEE, 2003.

[106℄ Y.F. Tsao and K.S. Fu. A parallel thinning algorithm for 3-D pi tures.

Computer Graphi s and Image Pro essing, [107℄ K. Voss.

17:315331, 1980.

Dis rete images, obje ts, and fun tions in Zn ,

Algorithms and

ombinatori s. Algorithms and ombinatori s. Springer, 1993. [108℄ M. Wan, Z. Liang, Q. Ke, L. Hong, I. Bitter, and A. Kaufman. Automati enterline extra tion for virtual olonos opy.

on Medi al Imaging,

IEEE Transa tions

21:14501460, 2002.

[109℄ T. Wang and A. Basu. A note on 'A fully parallel 3D thinning algorithm and its appli ations'.


28:501506, 2007.

[110℄ R.Y. Wu and W.-H. Tsai. A new one-pass parallel thinning algorithm for binary images.


13:715723, 1992.

[111℄ T.Y. Zhang and C.Y. Suen. A fast parallel algorithm for thinning digital patterns.


27:236239, 1984.

No title

Recommend Documents