No title

Základy elektrotechniky

Ing. Jiøí Vlèek dále vydal: Støedoškolská fyzika

Struèná uèebnice fyziky, jednoduše vysvìtluje vše dùležité z tohoto oboru. Zamìøuje se na praktické použití získaných poznatkù. Rozsah 120 stran A5, obj. èíslo 830064, MC 129 Kè.

Moderní elektronika

Uèebnice pro vyšší roèníky SPŠE. Je rovnìž vhodná pro všechny, kterým je tento obor koníèkem. Shrnuje nejdùležitìjší poznatky z analogové i èíslicové techniky. Vychází z moderní souèástkové základny, hlavní dùraz je kladen na aplikaci integrovaných obvodù. Rozsah 240 stran A5, obj. èíslo 121155, MC 199 Kè.

Elektronické konstrukce

Velký poèet ovìøených konstrukèních návodù vhodných pro zaèáteèníky: Napájecí zdroje, mìnièe napìtí, generátory, koncové zesilovaèe, nf pøedzesilovaèe, ekvalizéry, indikátory vybuzení, mixážní pulty, kytarové efekty, blikaèe, a jiné elektronické obvody. Rozsah 224 stran A5, obj. èíslo 121179, MC 199 Kè.

Základy støedoškolské chemie

Struèná, pøehledná a srozumitelná uèebnice. Obsahuje obecnou, anorganickou i  organickou chemii. Závìr publikace se zabývá i problematikou laboratorních cvièení. Rozsah 72stran A5, obj. èíslo 820058, MC 79 Kè.

Praktické pøíklady z elektrotechniky

Tato publikace je urèena studentùm SPŠ a SOU elektrotechnických jako doplnìk uèebnic Základy elektrotechniky a Moderní elektronika. Hlavním kritériem pro zaøazení pøíkladù do této sbírky je jejich použitelnost v praxi s ohledem na požadavky kladené na absolventy støedních škol. Rozsah 32 stran A5, obj. èíslo 121217, MC 48 Kè.

Jednoduchá elektrotechnika

Tato publikace je urèená pøevážnì žákùm SOU a SOŠ, pro které slaboproudá elektronika není hlavním studijním oborem a kteøí se ji uèí pouze struènì. Zároveò tak doplòuje moji uèebnici Støedoškolská fyzika. Je vhodná i pro žáky základních škol, kteøí se s tímto oborem chtìjí alespoò struènì seznámit. Rozsah 72 stran A5, obj. èíslo 121248, MC 48 Kè.

Doporuèená cena 199 Kè Objednací èíslo 121156

Jiøí Jiøí Vlèek Vlèek

Struèná, jednoduchá a moderní uèebnice pro støední školy se zamìøením na obor elektro. Vhodná pro všechny zaèínající zájemce o tento obor. Uvádí hlavnì poznatky potøebné pro praktickou èinnost.

ZÁKLADY ELEKTROTECHNIKY

Jiøí Vlèek

ZÁKLADY ELEKTROTECHNIKY y d o bv o é s k c i mu n o tr etiz oud k le agn pr e m avý ní d la íd oud ø k t s zá or pr gie lení o n p od acita st sil nolo kres h ké p no c a e c k kè t i n u h ind a tec d tor o i d zis n tra

Jiøí Vlèek

Základy elektrotechniky

Kniha vychází z publikací schválených MŠMT ÈR pro výuku na støedních a vyšších odborných školách. Tøetí opravené a doplnìné vydání

Praha 2006

Obsah 1 2 3 4

ZÁKLADY ELEKTROTECHNIKY – úvod .................................................................. 3 Proudové pole ............................................................................................................ 3 Elektrostatické pole ................................................................................................. 19 Magnetizmus ............................................................................................................ 26 Støídavý proud ......................................................................................................... 35

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

KURZ ZÁKLADÙ ELEKTRONIKY – úvod ............................................................... 53 Základní pojmy a velièiny ....................................................................................... 53 Magnetické vlastnosti látek .................................................................................... 55 Stejnosmìrné a støídavé velièiny .......................................................................... 57 Základní vlastnosti lineárních obvodù .................................................................. 58 Zdroje napìtí ............................................................................................................ 67 Základní metody øešení lineárních obvodù .......................................................... 69 Nelineární souèástky ............................................................................................... 72 Dioda ......................................................................................................................... 75 Øešení nelineárních obvodù .................................................................................. 80 Tranzistor .................................................................................................................. 82 Obvody RCL ............................................................................................................. 92 Tyristor, triak .......................................................................................................... 107 Literatura ................................................................................................................ 108 Základy silnoproudé techniky .............................................................................. 109 Literatura ................................................................................................................ 116

5 6 7

ZÁKLADY SILNOPROUDU – úvod ....................................................................... 117 Rozdìlení a vlastnosti elektrizaèních soustav ................................................... 117 Vodièe pro rozvod elektrické energie .................................................................. 118 Elektrická zaøízení v obytných a prùmyslových objektech .............................. 123 Ochrana pøed nebezpeèným dotykovým napìtím a základní pøedpisy, které s ní souvisejí ............................................................. 139 Dimenzování vodièù a kabelù .............................................................................. 153 Elektrické parametry rozvodných soustav ......................................................... 156 Zapojení rozvodných soustav .............................................................................. 163

1 2 3 4 5 6

ELEKTROTECHNOLOGIE – úvod ........................................................................ 171 Vlastnosti elektrotechnických materiálù ............................................................ 171 Elektronické souèástky ......................................................................................... 193 Prùchod proudu plynem – vakuová technika .................................................... 202 Optoelektronika ..................................................................................................... 204 Technika velmi vysokých kmitoètù ..................................................................... 208 Elektrotechnická výroba ....................................................................................... 211

1 2

TECHNICKÉ KRESLENÍ Základy technického kreslení .............................................................................. 220 Tvorba elektrotechnické dokumentace ............................................................... 233

1 2 3 4

ZÁVÌR ..................................................................................................................... 245

2

J. Vlèek: Základy elektrotechniky

Tato publikace se skládá ze ètyø samostatných celkù, které vznikaly postupnì, mají samostatné èíslování kapitol i obrázkù a trochu odlišnou grafickou úpravu. Jejich slouèení zjednoduší distribuci a sníží cenu. Kurz základù elektroniky již døíve vyšel. Ve 3. vydání byla publikace doplnìna o kapitolu Technické kreslení.

ZÁKLADY ELEKTROTECHNIKY – úvod První kapitola seznamuje ètenáøe s definicí základních velièin, Ohmovým zákonem, sériovým a paralelním øazením rezistorù, základními metodami øešení lineárních obvodù. Další kapitoly se zabývají elektrostatickým polem (kapacita kondenzátoru), magnetismem (permanentní magnet, cívka, elektromagnetická indukce) a støídavým proudem (øešením RLC obvodù pomocí fázorù a komplexních èísel). Publikace je vhodná nejen pro 1. a 2. roèník SPŠE, ale i pro všechny technické a všeobecné støední školy a SOU, kde se elektrotechnika probírá. Celou tuto problematiku a hlavnì øešené pøíklady jsem se snažil zpracovat co možná nejstruènìji a s ohledem na praktické využití. Pøi kreslení obrázkù mám urèitá technická omezení, vìøím, že to ètenáøi pochopí.

1

Proudové pole

Velièiny proudového pole Elektrický proud je dán uspoøádaným pohybem elektrických nábojù v urèitém smìru I = Q/t [A, C : s]. Proud 1 A pøedstavuje náboj jednoho coulombu, který projde vodièem za 1 sekundu. Elektrický proud znaèíme písmenem I, jednotkou je ampér (A). Definujeme jej pomocí silových úèinkù proudového pole. Elektrický náboj znaèíme Q a udáváme jej v coulombech (C). V každém atomu existuje kladný náboj – proton a záporný náboj – elektron. Náboj nelze od èástice oddìlit. Nejmenší velikost má náboj elektronu. Oznaèujeme jej e = 1,602 . 10-19C . (1 C = 6,242 . 1018 elektronù). Hmotnost elektronu me = 9,11 . 10-28kg. Elektrický náboj se udává èasto v ampérhodinách (Ah). 1 Ah = 3 600 As = 3 600 C. Touto velièinou se udává napø. náboj (nepøesnì kapacita) baterie. Pøíèinou elektrického proudu je zdroj elektrické energie, který vytváøí elektrické napìtí. Znaèíme jej U a udáváme jej ve voltech (V). Mezi dvìma body je napìtí 1V, pokud k pøenesení náboje 1 C mezi nimi musíme vykonat práci 1 J. U = A/Q [V, J, C] Vodiè se prùchodem proudu zahøívá. Nosièe náboje – (nejèastìji volné elektrony kovù) narážejí na jádra atomù a zpùsobují jejich pohyb – teplo. Proudová hustota J = I/S, udává se v ampérech na m2 (èastìji v A/mm2). Aby se vodiè prùchodem proudu pøíliš nezahøíval, nemá být proudová hustota obvykle vyšší než 4 A/mm2 (platí pro mìï nebo hliník). J. Vlèek: Základy elektrotechniky

3

Pøíklad: Vodièem prochází proud 0,5 A. Vypoèítejte jeho minimální prùmìr, pokud nesmí být pøekroèena proudová hustota 4 A/mm2. S = I/J = 0,5/4 = 0,125 (mm2) d = √(4S/π) = 0,4 mm S = πd2/4 Výsledek zaokrouhlíme nahoru na nejbližší vyrábìnou hodnotu. Intenzita elektrického pole E udává jak se mìní napìtí v závislosti na délce vodièe l, udává spád napìtí. S elektrickým polem a jeho intenzitou setkáváme nejen ve vodièích, ale pøedevším v nevodivém prostøedí. E = U/l (V/m, V, m) Proud a napìtí jsou velièiny skalární – celkové. Používají se pro homogenní proudové pole. Proudová hustota a intenzita elektrického pole jsou velièiny vektorové – místní. Používají se v nehomogenním (nestejnorodém) elektrickém poli.

Ohmùv zákon – elektrický odpor Elektrický odpor R vyjadøuje vlastnosti prostøedí, kterým prochází elektrický proud. Každý vodiè má elektrický odpor. Souèástka, jejíž základní vlastností je odpor, se nazývá rezistor (hovorovì též odpor, není ale správné). R = U/I (Ω, V, A) Jednotkou elektrického odporu jsou ohmy (kiloohmy kΩ, megaohmy MΩ). V slaboproudé technice je výhodnìjší èasto dosazovat napìtí ve voltech, proud v miliampérech a odpor v kiloohmech. Vodiè má odpor 1 ohm, jestliže na nìm pøi proudu 1 A namìøíme úbytek napìtí 1 V. O platnosti Ohmova zákona se mùžeme pøesvìdèit jednoduchým pokusem: Pøipojíme rezistor k regulovanému zdroji napìtí, pro mìøení proudu zapojíme ampérmetr A (do série s rezistorem), pro mìøení napìtí voltmetr V (paralelnì s rezistorem). Postupnì zvyšujeme napìtí zdroje, do tabulky zapíšeme namìøené hodnoty proudu a napìtí. Namìøené hodnoty graficky znázorníme. Závislost proudu na napìtí (voltampérová – VA charakteristika) je pøímka, která prochází poèátkem souøadnic. Øíkáme, že závislost napìtí a proudu je lineární, rezistor je tedy lineární souèástka. Obvod složený pouze z lineárních souèástek se nazývá lineární obvod. Nahradíme-li pùvodní rezistor R1 jiným (v tomto pøípadì menším) rezistorem R2 získáme jiné hodnoty. Pro každý rezistor bude platit, že pomìr napìtí a proudu je vždy konstantní (VA charakteristika je pøímka). Stejných výsledkù bychom dosáhli, kdybychom místo rezistorù použili vodièe z rùzných materiálù, rùzné délky a rùzného prùøezu. Elektrický odpor je charakteristickou vlastností každého vodièe. Odpor vodièe je pøímo úmìrný jeho délce, nepøímo úmìrný jeho prùøezu. Vlastnosti materiálu popisuje velièina mìrný odpor V (rezistivita), která se èíselnì rovná odporu vodièe 1 m dlouhého o prùøezu 1 m2.

4

J. Vlèek: Základy elektrotechniky

Obr. 1.1 Ovìøení Ohmova zákona (V = voltmetr, A = ampérmetr) Odpor vodièe R = V . 1/S (Ω, Ω . m, m, m2) V praxi se udává mìrný odpor jako odpor vodièe dlouhého 1 m o prùøezu 1 mm2 (Ω . mm2 m-1) Pøevrácenou hodnotou elektrického odporu je vodivost. Znaèí se G, jednotka siemens (S). Vodiè má vodivost 1 siemens, má-li odpor 1 Ω. Obdobnì definujeme mìrnou vodivost G = 1/R = I/U (S, A, V) = gS/l, kde g = 1/V je mìrná vodivost.

Teplotní závislost odporu Mìrný odpor se udává pøi teplotì 20 °C. S rostoucí teplotou jeho hodnota u kovù roste (tepelný pohyb atomù pøekáží pohybu volných elektronù). U nevodièù a polovodièù se naopak s rostoucí teplotou zvyšuje pravdìpodobnost roztržení vazby mezi ionty nebo uvolnìní elektronù. Tím se odpor snižuje. Teplotní závislost mìrného odporu na teplotì udává koeficient a – teplotní souèinitel odporu (K-1). Èíselnì vyjadøuje pomìr zmìny odporu pøi ohøátí o 1 K k jeho pùvodní velikosti. Velikost odporu v závislosti na oteplení bude R = R20 [1 + α (t – 20 °C)], kde R20 je velikost odporu pøi teplotì 20 °C. Nejlepšími vodièi jsou støíbro, mìï a hliník. Nejpoužívanìjší je mìï. Støíbro je pøíliš drahé. Hliník je sice levnìjší než mìï, snadno se ale láme, vlivem tlaku se deformuje (uvolnìní kontaktù na svorkovnicích a velmi tìžko se pájí). Tab. è. 1

.RY VW tEUR P  KOLQtN ]ODWR åHOH]R NRQVWDQWDQ

0 UQêRGSRU:PPP       

J. Vlèek: Základy elektrotechniky

D.       

5

Zlato se používá k povrchové úpravì kvalitních konektorù Existují speciální slitiny (konstantan, manganin) a s minimálním teplotním souèinitelem odporu. Z výše uvedených vztahù I = J . S, U = E . l, R = V . l/S po dosažení do Ohmova zákona U = R . I získáme vztah mezi proudovou hustotou a intenzitou elektrického pole. (Ohmùv zákon v diferenciálním tvaru). E = VJ, J = gE Tyto vztahy platí v každém místì vodièe. Jejich sumarizaci v homogenním prostøedí vznikne integrální tvar Ohmova zákona U = R . I Pøíklad: Jak velký odpor má mìdìný vodiè délky 15 m o prùmìru 0,1 mm? Jaký úbytek napìtí na nìm vznikne, protéká-li jím proud 0,1 A? S = pd2/4 = 3,14 . 0,12/4 = 0,00785 mm2 R = V . l/S = 0,0178 . 15/0,00785 = 34 Ω U = R . I = 34 . 0,1 = 3,4 V Vidíme, že pøíliš malý prùmìr vodièe ve srovnání s protékajícím proudem není vhodný (ve výše uvedeném pøípadì 12,73 A/mm2). Vzniká na nìm velký úbytek napìtí, vodiè se zahøívá a mùže se pøepálit (viz dále). Pro srovnání vypoèítáme stejný pøíklad pro d = 0,4 mm. S = 0,125 mm2, R = 2,1 Ω. Zvìtšením prùmìru 4krát se odpor vodièe zmenšil 16krát. Pøíklad: Jaký musí být prùmìr mìdìného vodièe, který je dlouhý 2 m, aby na nìm pøi proudu 4 A byl úbytek napìtí 0,5 V? R = U/I = 0,5/4 = 0,125 W S = Vl/R = 0,0178 . 2/0,125 = 0,285 mm2 d = √(4S/π) = √0,3628 = 0,6 mm Pøíklad: O kolik procent vzroste odpor mìdìného vinutí transformátoru pøi zvìtšení teploty z 20 °C na 60 °C? R = R20(1 + α(t2 – 20)) = R20(1 + 0.0042 . (60 – 20)) = R20(1 + 0,168) Odpor vzroste o 16,8 %. Pøíklad: Jak dlouhý musí být mìdìný vodiè, aby mìl pøi teplotì 100 °C odpor 0,8 Ω pøi prùmìru 1,5 mm2? R100 = R20(1 + 0,0042 . 80) = 1,336 . R20 (Ω) R20 = R100 /1,384 = 0,8/1,384 = 0,599 W = 0,6 Ω odpor pøi teplotì 20 °C S = πd2/4 = 3,14 . 1,52/4 = 1,766 mm2 l = R20 . S/V = 0,6 . 1,766/0,0178 = 59,53 m

6

J. Vlèek: Základy elektrotechniky

Práce, výkon a tepelné úèinky elektrického proudu Z definice napìtí (práce potøebná k pøenesení náboje) mùžeme snadno odvodit vztah mezi výkonem, proudem a napìtím (Joule-Lencùv zákon) A=Q.U=I.t.U

P.t=I.t.U

P = I . U (W, A, V)

Tímto vzorcem je možné také definovat napìtí: 1 volt je napìtí, pøi nìmž se na vodièi proudem 1 A vyvine výkon 1 W. Elektrická práce, kterou vykoná stejnosmìrný proud mezi dvìma místy v proudovém obvodu za urèitou dobu je dána napìtím U mezi tìmito místy, proudem I a dobou t, po kterou tento proud obvodem prochází. Elektrický proud, který obvodem prochází je vlastnì pohybem elektrických nábojù, který koná práci. Práce se mìní v teplo. Ztrátový výkon na vodièi nebo na rezistoru mùžeme po dosazení do Ohmova zákona vypoèítat ze vztahù: P = U . I = U2/R = R . I2 Pøi výpoètu používáme kterýkoliv z tìchto vzorcù. U výše uvedených pøíkladù vypoèítejte ztrátový výkon na vodièi všemi zpùsoby, ovìøte shodnost výsledkù. Pøi daném odporu vodièe jsou tepelné ztráty na vodièi úmìrné druhé mocninì procházejícího proudu. Pøi pøenosu elektrické energie na velkou vzdálenost používáme vysokých napìtí a tím i malých proudù, abychom tyto ztráty snížili na minimum. Elektrickou práci udáváme buï v joulech (wattsekunda) nebo v kilowatthodinách 1 kWh = 3,6 . 106 J V elektrických zaøízeních (motor, transformátor) dochází k pøemìnì energie z jedné formy na druhou. Využití energie není nikdy stoprocentní, èást energie se ztrácí ve formì tepla. Definujeme pøíkon P1, výkon P2 a úèinnost h h = 100 % . P2/P1 (%, W, W) Pøíklad: Topnou spirálou vaøièe prochází pøi napìtí 220 V proud 2,5 A. Jakou práci vykoná elektrický proud za 40 minut? Jaký je pøíkon vaøièe? P = U . I = 220 . 2,5 = 550 W – pøíkon vaøièe A = P . t = 550 . 40 . 60 = 1 320 000 J = 0,367 kWh Pøíklad: Motor odebírá pøi napìtí 230 V proud 1,2 A. Jaký je jeho výkon, pokud úèinnost je 90 %. P1 (pøíkon) = U . I = 230 . 1,2 = 276 W P2 (výkon) = P1 . η = 276 . 0,9 = 248,4 W Pøíklad: Na rezistoru 100 Ω jsme namìøili úbytek napìtí 5 V. Jak velký proud jím teèe a jak velký je ztrátový výkon? J. Vlèek: Základy elektrotechniky

7

R = U/I = 5/100 = 0,05 A = 50 mA P = U2/R = 52/100 = 0,25 W nebo P = U . I = 5 . 0,05 = 0,025 W Pøíklad: Rezistor má hodnotu 4,7 Ω a maximální dovolené výkonové zatížení 0,2 W. Jak velký proud jím mùže protékat a jak velké napìtí na nìm mùže trvale být? U = √(PR) = √(0,2 . 4,7) = √0,94 = 0,97 V I = √(P/R) = √(0,2/4,7) = √0,04255 = 0,206 A

Zdroje napìtí a proudu Zdroje dodávají do elektrického obvodu napìtí a proud a tím i výkon. Zdrojem stejnosmìrného napìtí je nejèastìji baterie (akumulátor), kde vzniká napìtí a proud díky chemickým reakcím. Zdrojem støídavého napìtí jsou nejèastìji generátory v elektrárnách. Ze støídavého napìtí mùžeme vyrobit stejnosmìrné v pøístroji, který se nazývá laboratorní zdroj. Vývody stejnosmìrného zdroje oznaèujeme + a – . Technický smìr proudu byl døíve zaveden od + k –. K pozdìji se zjistilo, že smìr pohybu elektronù, které jsou nositeli proudu je opaèný. Pøi øešení obvodù používáme ideální zdroje. Ideální zdroj napìtí dává konstantní napìtí bez ohledu na velikost odebíraného proudu. U skuteèného zdroje dochází vždy pøi odbìru proudu k poklesu svorkového napìtí. Napìtí zdroje naprázdno nazýváme vnitøní napìtí zdroje Ui. V sérii s tímto zdrojem je vnitøní odpor zdroje Ri. Závislost svorkového napìtí na odebíraném proudu vyjadøuje zatìžovací charakteristika. Ve vìtšinì pøípadù (lineární zdroje) se jedná o pøímku, která spojuje 2 body Ui a Ik, kde Ik je zkratový proud zdroje Ik = Ui/Ri . U vìtšiny zdrojù musíme zajistit, aby nepracovaly do zkratu, jinak hrozí jejich znièení akumulátory (napø. autobaterie) mají velmi malý vnitøní odpor (øádovì 0,1 Ω), jejich zkratový proud je 100–200 A. Tepelné úèinky tohoto proudu mohou být nebezpeèné. Bìžné tužkové monoèlánky mají vnitøní odpor øádovì 1 Ω, pøi zkratu se silnì zahøejí a brzy se znièí.

Obr. 1.2 a) Schematická znaèka a zatìžovací charakteristika ideálního zdroje napìtí (èárkovanì pùsobení proudové pojistky) b) Schematická znaèka a zatìžovací charakteristika ideálního zdroje proudu c) Náhradní schéma a zatìžovací charakteristika skuteèného lineárního zdroje

8

J. Vlèek: Základy elektrotechniky

Laboratorní (stabilizovaný) zdroj se chová jako ideální zdroj napìtí. Pøi pøekroèení pøednastaveného proudového odbìru (jednotky miliampér až jednotky ampér) dojde k prudkému poklesu napìtí, aby se zdroj neznièil nebo se nepoškodily obvody k nìmu pøipojené. Odpor sítì (400/230 V) je rovnìž velmi malý. Proti zkratu je rozvod napìtí chránìn jistièi. Zkratový proud by jinak poškodil vedení a mohl zpùsobil požár. Ideální zdroj proudu má nekoneènì velký vnitøní odpor. Dodává do zátìže stále stejný proud nezávisle na velikosti pøipojené zátìže. Zdroje napìtí mùžeme bez problémù zapojovat do série za úèelem zvýšení napìtí. Pøi paralelním zapojení na úèelem zvýšení odbìru proudu je nutná velká opatrnost. Zdroje musí mít stejné s vnitøní napìtí i vnitøní odpor, jinak hrozí jejich znièení vyrovnávacími proudy. 1. KIRCHHOFFÙV ZÁKON – algebraický souèet proudù do uzlu vstupujících se rovná souètu proudù z uzlu vystupujících. Uzel je místo, kde se stýkají 2 nebo více vodièù. Tento zákon je v podstatì zákonem zachování elektrického náboje. Znaménkem, které proudùm pøiøadíme, rozlišujeme proudy do uzlu vstupující (napø. +) a proudy z uzlu vystupující (napø. –). Jako pøíklad si odvodíme vzorec pro PARALELNÍ ØAZENÍ REZISTORÙ. Pro uzel A platí: I = I1 + I2 do tohoto vztahu dosadíme: I2 = U/R2 R = U/I na všech rezistorech je stejné napìtí I1 = U/R1 vydìlíme U U/R = U/R1 + U/R2 èastìji uvádíme ve tvaru R = (R1R2)/(R1+R2) 1/R = 1/R1 + 1/R2 2. KIFHOFFÙV ZÁKON – algebraický souèet svorkových napìtí zdrojù a všech úbytkù napìtí na spotøebièích v uzavøené smyèce se rovná 0 nule. Smyèka je uzavøená dráha v èásti obvodu. Tento zákon je zákonem zachování energie. Pøi prùchodu náboje elektrickým polem vzniká práce. Napìtí na každém spotøebièi je dáno prací potøebnou k pøemístìní náboje. Projde-li náboj po uzavøené dráze musí být tato nulová, náboj se vrátí do místa stejného potenciálu (potenciál = napìtí vùèi referenènímu uzlu – zemi). Jako pøíklad použití si odvodíme vzorec pro SÉRIOVÉ ØAZENÍ REZISTORÙ.

Obr. 1.3 Odvození vzorce pro a) paralelní (dìliè proudu), b) sériové (dìliè napìtí) øazení rezistorù J. Vlèek: Základy elektrotechniky

9

R 1I + R 2I – U o = 0 (R1 + R2) I = Uo R = Uo/I

R = R1 + R2 všemi rezistory teèe stejný proud

V obvodu vyznaèíme šipkou smysly proudù v jednotlivých smyèkách. Smìr proudu si mùžeme zvolit libovolnì. Pokud proud vyjde záporný, znamená to, že jeho smìr je opaèný. Vyjdeme od zvoleného uzlu a postupujeme smyèkou stále stejným smìrem. Souèiny R . I zapisujeme jako kladné, pokud je-li smìr proudu totožný se smìrem našeho postupu ve smyèce. Viz metoda smyèkových proudù popsaná v [3].

Dìliè napìtí Z výše uvedeného obrázku b sériového zapojení rezistorù si odvodíme dùležitý vztah pro dìliè napìtí U2 = R2 I U = (R1 + R2) . I U1 = R1I U1/U = R1I/(R1 + R2)I = R1/(R1 + R2) Pøíklad: Jaký je výsledný odpor paralelního spojení dvou rezistorù o hodnotách l kΩ? R = R1R2/(R1 + R2) = 0,5 (kΩ) Zapamatujte si, že odpor paralelního spojení dvou stejných rezistorù se rovná polovinì hodnoty tohoto rezistoru. Pøidáme-li k rezistoru paralelnì jiný, jeho odpor se vždy zmenší. Pøíklad: O kolik procent se sníží odpor, pøidáme-li k rezistoru 4,7 kΩ rezistor 47 kΩ? R = 4,7 . 47/(4,7 + 47) = 4,273 kΩ = 90,9 % pùvodní hodnoty. Pro pøibližný odhad (abyste pøi experimentování nemuseli poøád brát do ruky kalkulaèku) doporuèuji pøedpokládat, že pøidání paralelního rezistoru 10× (100×) vìtšího sníží odpor daného rezistoru o 10 (1) %. Pøíklad: Odhadnìte odpor paralelního spojení dvou rezistorù 10 kΩ a 15 kΩ. Odhad: Výsledný odpor je podobný jako odpor paralelního spojení dvou rezistorù 12,5 kΩ (aritmetický prùmìr obou hodnot to je 6,25 kΩ). Výpoèet: 10 . 15/(10+15) = 6 kΩ

se pøíliš neliší od odhadu

Pøíklad: Navrhnìte dìliè napìtí z 12 V na 5 V. U1 = U . R1/(R1 + R2) 5/12 = R1/(R1 + R2)

5 = 12 . R1/(R1+ R2) 5/7 = R1/R2

Úloha má nekoneènì mnoho øešení, po která platí, že R1 : R2 = 5 : 7. Vidíme, že napìtí na rezistorech se v sériovém zapojení dìlí v pomìru jejich velikostí. Pøíklad: Navrhnìte dìliè napìtí z 10 V na 4 V tak, aby jím tekl proud maximálnì 5 mA. Pro hodnoty R1 a R2 v mezním pøípadì platí R1 + R2 = U/I = 10/5 = 2 kΩ (dosazujeme V, mA, kΩ, je to pohodlnìjší) R1/R2 = 4/6 – R1 = 2R2/3

10

J. Vlèek: Základy elektrotechniky

Máme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, kterou dále upravíme: 2R2/3 + R2 = 2

5R2/3 = 2

R2 = 6/5 = 1,2 kΩ

R1 = 0,8 kΩ

Pøíklad: Jak se zmìní napìtí z pøedchozího pøíkladu, když k dìlièi (paralelnì k rezistoru R1, jak je naznaèeno na obr. 1.3b) pøipojíme paralelnì rezistor 500 Ω. Jaký bude potom proud dìlièem? R1´ = 0,8 . 0,5/(0,5 + 0,8) = 0,4/1,3 = 0,31 kΩ (nové hodnoty oznaèíme èárkou) I´ = U/(R1´+ R2) = 6,62 mA U1´ = 10 . 0,31/(0,31 + 1,2) = 2,05 V Vidíme, že zatížením dìlièe rezistorem podobné nebo menší hodnoty, jako jsou rezistory v dìlièi, se napìtí podstatnì sníží, odbìr proudu se zvýší. Pøíklad: K dìlièi napìtí složeném ze dvou rezistorù o hodnotách 1 kΩ pøipojíme paralelnì k rezistoru R1 rezistor 10 kΩ. Jak se zmìní výstupní napìtí U1? Pùvodní napìtí: U1 = Uo/2 = 0,5 Uo Nová hodnota rezistoru: R1´ = 1 . 10/(1 + 10) = 0,909 kΩ Nové napìtí: U1 = Uo . R1/(R1 + R2) = Uo . 0,909/1,909 = 0,476 Uo Napìtí na dìlièi kleslo pøibližnì o 5%. Èím vìtší rezistor k dìlièi paralelnì zapojíme, tím menší bude zmìna výstupního napìtí. Pøíklad: Navrhli jsme dìliè napìtí Uo = 12 V, R1 = 1 kΩ, R2 = 3 kΩ. Napájecí (vstupní) napìtí Uo se ale zmìnilo z 12 V na Uo´ = 10 V. Jak musíme upravit R2, aby výstupní napìtí dìlièe zùstalo zachováno? U1 = 12 . 1/(3 + 1) = 3 V U1 = 10 . 1/(3 + 1) = 2,5 V U1 = Uo´ . R1/(R1 + R2´) 3 = 10 . 1/(1 + R2´) R2´= 7/3 = 2,33 kΩ

pùvodní napìtí na dìlièi nové napìtí na dìlièi napìtí na dìlièi po zmìnì obvodu R2 musíme zmìnit na 2,33 kΩ

Druhý zpùsob: Proud dìlièem musí zùstat stejný. I = Uo/(R1+R2) = 3 mA nebo I = U0´/(R1+R2´) = 3 mA na R2´ bude úbytek napìtí 10 – 3 = 7 V R2´ = 7/3 = 2,33 kΩ K pùvodnímu rezistoru R2 musíme pøidat rezistor Rp (pokud R2 nechceme vyletovat z desky) tak, aby platilo R2´ = R2 . Rp /R2 + Rp. 2,33 = 3Rp/(3 + Rp)

7 + 2,33 Rp = 3Rp

7 = 0,66Rp

10,60 kΩ = Rp

Pøíklad: Ke zdroji napìtí U = 30 V jsou zapojeny v sérii 3 rezistory R1 = 5 kΩ, R2 = 3 kΩ, R3 = 7 kΩ. Jaké napìtí na nich bude? J. Vlèek: Základy elektrotechniky

11

Platí:

U1 + U2 + U3 = U = 30 V U1 = 10 V, U2 = 6 V, U3 = 14 V

U1 : U2 : U3 = R1 : R2 : R3 = 5 : 3 : 7

Druhý zpùsob: Vypoèítáme proud tekoucí obvodem a z Ohmova zákona vypoèítáme napìtí na rezistorech. I = U/(R1 + R2 + R3) = 30/(5 + 3 + 7) = 2 mA U2´= 2R2 = 6 V U3 = 2R3 = 14 V U1 = 2R1 = 10 V Nakonec zkontrolujeme, zda platí 2. Kirchhoffùv zákon (kdyby náhodou neplatil, byla by ve výsledku chyba) U = U1 + U2 + U3. Pøíklad: Ke zdroji napìtí 12 V jsou paralelnì pøipojeny rezistory R1 = 1 kΩ, R2 = 4 kΩ a R3 = 2 kΩ. Vypoèítejte proud tekoucí tímto obvodem a výsledný odpor této kombinace rezistorù. Výsledný proud bude souètem proudù jednotlivými rezistory. I1 = U/R1 = 12/1 = 12 mA I3 = U/R3 = 12/2 = 6 mA R = U/I = 12/21 = 0,571 kΩ

I2 = U/R2 = 12/4 = 3 mA I = I1 + I2 + I3 = 12 + 3 + 6 = 21 mA

Druhý zpùsob: Vypoèítat výsledný odpor a z nìj pak proud. 1/R = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 = 1/(1 + 0,25 + 0,5) = 1/1,75

R = 0,571 kΩ

Vidíme, že øešit elektronické obvody mùžeme rùznými zpùsoby, všechny musí vést ke stejným výsledkùm.

Obr. 1.4 a) paralelní, b) sériové øazení více rezistorù

Sérioparalelní øazení rezistorù Pøi øešení složitìjších obvodù provádíme jeho zjednodušení podle pravidel o sériovém a paralelním øazení rezistorù. Tento postup si ukážeme na následujících dvou pøíkladech.

12

J. Vlèek: Základy elektrotechniky

Pøíklad: Vyøešte následující obvod (obr. 1.5). Vypoèítáme výsledný odpor, celkový proud obvodem a pøípadnì další velièiny. R = R1 + ((R2 par. R3) par. R4) Celkový proud obvodem Úbytek napìtí na R1 bude Úbytek napìtí na R2 R3, R4

R = 20 + 2,72 = 22,72 Ω I1 = U/R = 20/22,72 = 0,88 A. UR1 = R1 . I1 = 20 . 0,88 = 17,60 V. UR2,3,4 = U- UR1= 20 – 17,6 = 2,4 V.

Nakonec vypoèítáme proudy: I2 = UR2,3,4/R2 = 2,4/5 = 0,48 A I4 = UR2,3,4/R4 = 2,4/10 = 0,24 A

I3 = UR2,3,4/R3 = 2,4/15 = 0,16 A

Všimnìte si, že platí 1. Kirchhoffùv zákon I1 = I2 + I3 + I4 (kdyby náhodou pøestal platit, poèítejte znovu a pozornìji). Tento obvod bychom mohli rovnìž øešit metodou uzlových napìtí. V obvodu je jeden nezávislý uzel, pro který sestavíme rovnici I1 = I2 + I3 + I4, do které dosadíme: (U – UR2,3,4)/R1 = UR2,3,4/R2 + UR2,3,4/R3 + UR2,3,4/R3 a kterou vyøešíme. Pøíklad: Vypoèítejte napìtí mezi body A a B v obvodu b). Obvod nejprve zjednodušíme. Slouèíme rezistory R1, R2 a R5, R6.

Obr. 1.5 Sérioparalelní øazení rezistorù

R1 par. R2 = R1,2 = 0,5 kΩ R5 + R6 = R5,6 = 3 kΩ UA = UoR3/(R3 + R1,2) = 10 . 3/(0,3 + 0,5) = 3/0,8 = 3,75 V UB = UoR5,6/(R4 + R5,6) = 10 . 3/6 = 5 V UB – UA = 1,25 V

J. Vlèek: Základy elektrotechniky

13

Pøi øešení (analýze) obvodù bychom si mìli uvìdomit, že na rozdíl od matematiky nikdy nezískáme pøesné (exaktní) øešení. Skuteèné rezistory mají výrobní tolerance (v souèasnosti typicky 1 %, døíve 5, 10 nebo 20 %). Jak poznáme pozdìji, v mnoha pøípadech není absolutní pøesnost pøíliš dùležitá. Pøesné øešení složitých obvodù je navíc pomìrnì složité, nìkdy vyžaduje i výpoèetní techniku. Pokud je to možné, snažíme se proto obvod zjednodušit. Na následujícím pøíkladu si ukážeme nìkterá pravidla pro zjednodušování.

Obr. 1.6 Zjednodušování složitých obvodù Hodnota rezistoru R1 je zanedbatelnì malá oproti ostatním rezistorùm. Proto jej nahradíme zkratem. Rezistor R2 je paralelnì pøipojen ke zdroji napìtí, mùžeme jej vynechat. (Na samotném dìlièi R1, R2 je témìø plnì napájecí napìtí.) Hodnota rezistoru R5 je o 2 øády vyšší než hodnoty R3, R4, R6, R7, R8. Vynecháním tohoto rezistoru mùže vzniknout chyba øádovì 1 %. Hodnoty R10 a R9 jsou mnohem vìtší než hodnoty R7 a R8. Podle pravidla o rozdìlení proudù paralelnì zapojených rezistorech (proudy tekoucí jednotlivými rezistory jsou v pøevráceném pomìru jejich hodnot) mùžeme pøedpokládat, že proud tekoucí pøed R9 a R10 bude zanedbatelný oproti proudu tekoucímu pøes R8 a rezistory R9 a R10 neovlivní podstatným zpùsobem napìtí na R8. Po zkratování R1, vynechání R2 a R5 a zanedbání R9 a R10 vypoèítáme napìtí na rezistoru R8. UR8 = Uo . R8/(R8 + R7 + R6) = 5 . 2/(2 + 5 + 1) = 1,25 V Ux = UR8 . R9/(R9 + R10) = 1,25 . 1 . 106/(1,1 . 106) =1,136 V Tento pøíklad bychom mohli pøesnì vyøešit s použitím Theveninovy vìty, pøípadnì transfigurace trojúhelník – hvìzda (viz dále). Nastavit dìlièem pøesnou hodnotu napìtí je èasto obtížné, protože rezistory se vyrábìjí v urèitých hodnotách – øada E12, E24. Je rovnìž tøeba si uvìdomit, že návrh (syntéza) elektrických obvodù nedává jedno možné øešení. Optimální oblast øešení tvoøí vždy urèitý interval hodnot. Napøíklad pøi návrhu dìlièe napìtí musíme dodržet vzájemný pomìr hodnot rezistorù – dìlicí pomìr. Jejich velikost nemá být pøíliš malá, aby dìliè neodebíral zbyteènì velký

14

J. Vlèek: Základy elektrotechniky

proud, ani pøíliš velká, aby pøi zatížení dìlièe dalšími obvody se pøíliš nezmìnila hodnota jeho výstupního napìtí. Dìlièem by mìl téct naprázdno proud alespoò 10× vìtší než proud tekoucí do pøipojeného obvodu. Pøíklad: Navrhnìte dìliè napìtí z 15 V na 5 V tak, abychom mohli výstupní napìtí nastavit v rozsahu 4,5 až 5,4 V. Pøedpokládám odbìr proudu z dìlièe menší než 10 mikroampér (viz obr. 1.7). Zvolíme proud dìlièem naprázdno pøibližnì 100 mikroampér a dìlící pomìr 2/1. To znamená R1 + R2 = 150 kΩ, R1 = 47 kΩ, R2 = 100 kΩ a P1 = 10 kΩ (bìžnì vyrábìné hodnoty). Ovìøíme, zda výsledek odpovídá zadání, pøípadnì upravíme hodnoty souèástek. U1min = UoR1/(R1 + R2 + P1) = 15 . 47/(47 + 10 + 100) = 4,49 V (jezdec P1 vytoèen smìrem dolù) U1max = Uo(R1 + P1)/(R1 + P1 + R2) = 15(47 + 10)/(47 + 10 + 100) = 5,44 V (jezdec P1 vytoèen smìrem nahoru) Pøi návrhu podobných obvodù èasto dìláme tzv. toleranèní analýzu. To znamená, že zjišujeme vliv zmìn jednotlivých velièin (napìtí 15 V) a toleranci souèástek (R1, R2). Pøíklad: Jak se mùže klesnout hodnota Uo z pøedcházejícího pøíkladu, aby U1 bylo možné nastavit maximálnì na 5 V, jsou-li tolerance R1 a R2 5 %? Dosadíme nejnepøíznivìjší pøípad, tzv. R1n= 0,95 . 47 = 44,65 kΩ, R2n = 1,05 . 100 = 105 kΩ, P1 vytoèíme na maximální napìtí U1 = 15 . (44,65 + 10)/(105 + 44,65 + 10) = 5,13 V Dìlící pomìr (U1/Uo) je 0,342. Pro minimální napìtí 5 V musí být Uo = 5/0,342 = 14,61 V. Pøi návrhu elektronických obvodù nás v urèitých pøípadech musí kromì hodnoty rezistorù zajímat i jejich maximální výkonové zatížení, které nesmíme pøekroèit. Pøíklad: Jaké nejmenší hodnoty rezistorù bude mít odporový dìliè z 30 V na 10 V, pokud chceme použít rezistory s maximálním ztrátovým výkonem 0,6 W? Na více zatíženém rezistoru R2 (pøi stejném proudu je na nìm vìtší napìtí než na R1) bude úbytek napìtí 20 V. Pro výkonové zatížení 0,6 W vypoèítáme maximální proud, který mùže téci dìlièem Imax = P/U = 0,6/20 = 0,03 A = 30 mA. Z této hodnoty vypoèítáme souèet odporù dìlièe R1 + R2 = U/Imax = 30/30 = 1 kΩ. Navrhneme jednotlivé odpory tak, aby byl pøibližnì dodržen požadovaný dìlící pomìr. Používáme bìžnì vyrábìné hodnoty (øada E12, E24, viz [3]). Vypoètené hodnoty zaokrouhlíme (u R2 nahoru, aby se maximální výkon nepøekroèil) na nejbližší vyrábìné hodnoty a pro kontrolu vypoèítáme s tìmito hodnotami napìtí na výstupu dìlièe. Pokud toto napìtí potøebujeme pøesnì nastavit (jednorázovì), pøidáváme k rezistorùm R1 a R2 paralelnì další rezistory nebo použijeme odporový trimr. R2 = 680 Ω

R1 = 330 Ω

U1 = 30 . 330/(330 + 680) = 9,8 V

J. Vlèek: Základy elektrotechniky

15

Obr. 1.7 a) Dìliè napìtí s odporovým trimrem b) Obvod s více zdroji napìtí

Princip superpozice Pokud v lineárním obvodu pùsobí nìkolik zdrojù souèasnì, urèíme napìtí nebo proud na libovolném prvku jako souèet pøíslušných napìtí nebo proudù vyvolaných jednotlivými zdroji samostatnì. Napìtí nebo proud vyvolaný jednotlivými zdroji samostatnì vypoèítáme tak, že ostatní zdroje napìtí nahradíme zkratem (pøípadnì zdroje proudu vyøadíme) a obvod vyøešíme stejnì jako u pøedcházejících pøípadù. (Superpozice platí pouze pro napìtí a proud, pro výkon nikoliv – kvadratická závislost na U a I). Pøíklad: Vypoèítejte napìtí Ux. Pøíspìvek od U1: Ux1 = U1(R3 par R2)/(R1+ (R3 par R2)U2 Ux1 = 10 . 4,29/(4,29 + 20) = 1,76 V Ux2 = U2(R3 par. R1)/((R3 par. R2) + R2) Pøíspìvek od U2: Ux2 = 5 . 4/(4 + 30) = 0,59 V

zkratováno U1 zkratováno

Ux = Ux1 + Ux2 = 1,76 + 0,59 = 2,35 V Pro kontrolu mùžeme obvod zkusit vyøešit metodou uzlových napìtí, v obvodu je 1 nezávislý uzel, pro který sestavíme rovnici. (U1 – Ux)/R1 + (U2 – Ux)/R2 = Ux/R3 (10 – Ux)/20 + (5 – Ux)/30 = Ux/5 /. 60 30 – 3Ux + 10 – 2Ux = 12Ux 40 = 17Ux 2,35 = Ux TRANSFIGURACE TROJÚHELNÍK – HVÌZDA (a hvìzda – trojúhelník) se používá pøi zjednodušování zapojení, které není ani paralelní, ani sériové. R10 = RaRc/(Ra + Rb + Rc) R30 = RbRc/(Ra+ Rb + Rc) Ra = R10 + R20 + R10R20/R30 Rc = R10 + R30 + R10R30/R20

16

R20 = RaRb/(Ra + Rb + Rc) Rb = R20 + R30 + R20R30/R10 J. Vlèek: Základy elektrotechniky

Obr. 1.8 Transfigurace trojúhelník hvìzda

Theveninova vìta Libovolnì složitý lineární obvod lze k jeho libovolným dvìma svorkám nahradit obvodem ideálního zdroje napìtí Un v sérii s rezistorem Rn. Napìtí Un bude napìtí na tìchto svorkách naprázdno. Vnitøní odpor tohoto zdroje vypoèítáme jako odpor mezi výstupními svorkami, pokud je zátìž odpojena, zdroje napìtí zkratovány a zdroje proudu odpojeny. Odvození provedeme pro její nejjednodušší a taky nejèastìjší aplikaci – dìliè napìtí. Pro uzel A platí 1. Kirchhoffùv zákon I1 – I2 – Iz = 0 Iz = proud do zátìže (U0 – Uz)/R1 – Uz/R2 – Iz = 0 vynásobíme R1R2 (U0 – Uz) R2 – UzR1 – IzR1R2 = 0 (U0R2 – Uz(R1 + R2) – IzR1R2 = 0 Napìtí na zátìži Uz = U0R2/(R1 + R2) – IzR1R2/(R1 + R2). Mùžeme jej rovnìž vyjádøit ve tvaru Uz = Un – RnIz. Un = UR2(R1+ R2) Rn = R1R2/(R1+ R2)

napìtí naprázdno na dìlièi paralelní spojení R1 a R2

Obr. 1.9 Odvození Theveninovy vìty J. Vlèek: Základy elektrotechniky

17

Nortonova vìta Libovolný obvod složený z lineárních prvkù lze nahradit vzhledem k libovolným dvìma svorkám obvodem obsahující ideální zdroj proudu I0, ke kterému paralelnì pøipojíme rezistor Ri. I0 je proud, který by procházel zkratovanými výstupními svorkami. Odpor Ri vypoèítáme jako odpor mezi výstupními svorkami, pokud je zátìž odpojena, zdroje napìtí zkratovány a zdroje proudu odpojeny.

Obr. 1.10 a) Grafické øešení nelineárních obvodù b) Obvod zjednodušený podle Nortonovy vìty c) Obecný obvod zjednodušený podle Theveninovy vìty (Rn = R4 par. R3) Pøíklady na Theveninovu vìtu a øešení nelineárních obvodù najde ètenáø v [3].

Øešení nelineárních obvodù Obvod obsahující alespoò jeden nelineární prvek je nelineární. Nejznámìjší nelineární prvky jsou žárovka (prùchodem elektrického proudu se její vlákno rozžhaví a zvìtší svùj odpor), termistor (vyroben z materiálu o vysokém – záporném teplotním souèiniteli vodivosti, s rostoucí teplotou klesá jeho odpor, pozistor (s rostoucí teplotou roste odpor), varistor (s rostoucím napìtím a intenzitou elektrického pole uvnitø jeho struktury se „otvírá“, jeho odpor se zmenšuje, slouží jako pøepìová ochrana). Mezi nelineární souèástky patøí všechny polovodièe – diody, tranzistory, integrované obvody. Matematické øešení takových obvodù, napø. metodou smyèkových proudù nebo uzlových napìtí by bylo velmi obtížné. Pøedevším bychom k nìmu museli znát matematickou rovnici VA (voltampérové) charakteristiky tohoto nelineárního prvku I = f(U), kterou nemáme vždy k dispozici. VA charakteristiky nelineárních prvkù, pokud ji u daného prvku nenajdeme v katalogu výrobce, získáváme nejèastìji mìøením (použijeme laboratorní zdroj, voltmetr, ampérme-

18

J. Vlèek: Základy elektrotechniky

tr, schéma mìøícího obvodu viz kapitola Ohmùv zákon). Obvykle na osu x vynášíme napìtí, na osu y proud. Máme-li nelineární prvek pøipojen do obvodu s lineárními souèástkami (zdroje napìtí, zdroje proudu, rezistory), snažíme se celé zapojení zjednodušit pomocí Theveninovy vìty tak, aby zapojení obsahovalo ideální zdroj napìtí v sérii s rezistorem (reálný zdroj), ke kterému je pøipojen nelineární prvek. Hledáme pracovní bod P nelineárního prvku, to znamená bod na jeho VA charakteristice urèující napìtí na tomto prvku a proud jím protékající. Ten leží na prùseèíku zatìžovací pøímky zdroje a VA charakteristiky nelineárního prvku. Zatìžovací pøímka zdroje je urèena napìtím naprázdno Uo a proudem nakrátko Ik, kde Ik = Uo/Ri (viz obr. 1.10). Spojíme-li dva prvky, z nichž alespoò jeden je nelineární, do série, získáme jejich výslednou VA charakteristiku nejlépe jejich grafickým seètením. Proud, který jimi protéká, je stejný. Graficky seèteme napìtí na jednotlivých prvcích v co nejvìtším poètu bodù, ze kterých vytvoøíme výslednou charakteristiku. Pøi paralelním zapojení postupujeme obdobnì. Napìtí na obou prvcích je stejné, sèítáme proudy tekoucí pøes jednotlivé prvky.

Obr. 1.11 Sériové a paralelní zapojení s nelineárními souèástkami

2

Elektrostatické pole

Elektrické náboje, které jsou v klidu, se projevují silovými úèinky a vytváøejí elektrické pole. Elektrické náboje jsou kladné (nedostatek elektronù) a záporné (pøebytek elektronù). Souhlasné náboje se odpuzují, nesouhlasnì pøitahují. Coulombùv zákon øíká, že síla, kterou náboje na sebe pùsobí, je pøímo úmìrná souèinu jejich velikosti a nepøímo úmìrná druhé mocninì jejich vzdálenosti F = k Q1Q2/r2 (A, N . m2 . C-2, C, C, m) k = 1/(4πεo), kde eo je permitivita vakua (viz dále) eo = 8,854 . 10-12 F/m Intenzita elektrického pole E je síla pùsobící na jednotkový kladný náboj E = F/Q (N . C-1, N, C). Je to vektorová velièina, která má v každém bodì elektrostatického pole o velikost a orientaci totožnou se smyslem síly, která na kladný jednotkový náboj pùsobí. J. Vlèek: Základy elektrotechniky

19

Jednotkou intenzity elektrického pole je N/C (newton/coulomb), v praxi se používá V/m [F] = J/m = V . A . s/m [Q] = C = A . s [E] = V/m Intenzita elektrického pole se v každém místì rovná spádu napìtí. Každému bodu elektrostatického pole mùžeme pøiøadit urèitý potenciál (napìtí vùèi jedné referenèní elektrodì). Místa, která mají vzhledem k nìkteré elektrodì stejné napìtí, se nazývají ekvipotenciální hladiny. Vektor intenzity elektrického pole je vždy kolmý k ekvipotenciálním hladinám. Ve vodièích je témìø nulová hodnota E, viz vztah J = γE. Kdyby tomu tak nebylo, blížila by se hodnota J nekoneènu. Pøiblížíme-li sobì dvì vodivá tìlesa, jedno nabité napø. záporným náboje (A), druhé bez náboje (B), nastane v nenabitém tìlese posun elektrických nábojù. Poruší se jeho elektrická rovnováha. Volné elektrony jsou odpuzovány do vzdálenìjší èásti tìlesa, do bližší èásti k tìlesu a jsou pøitahovány kladné náboje. Náboje ve vodièi B oznaèujeme jako indukované a celý jev nazýváme elektrostatickou indukcí.

Obr. 2.1 Elektrostatické pole a) síla pùsobící mezi 2 nabitými tìlesy b) elektrická indukce c) homogenní elektrické pole d) nehomogenní elektrické pole

Elektrická indukce Velièinu elektrostatická indukce oznaèujeme D(C/m2). Jedná se o podíl náboje Q indukovaného na ploše S. D = Q/S Jedná se o vektorovou velièinu, její smìr je kolmý k ploše v takové poloze, kdy indukovaný náboj je nejvìtší. Pøíèinou elektrické indukce je elektrický náboj (který je z tìlesa A). Øíkáme, že z tìlesa A vychází indukèní tok Ψ, který se èíselnì rovná tomuto náboji. Y=Q=D.S Gausova vìta: Indukèní tok vycházející z libovolné uzavøené plochy se èíselnì rovná algebraickému souètu nábojù, které se nacházejí v prostoru omezeném touto plochou.

20

J. Vlèek: Základy elektrotechniky

Pøíklad: Elektrostatické pole má konstantní intenzitu elektrického pole 15 kV/m. Jaké je napìtí mezi 2 vodièi, které jsou od sebe vzdáleny 5 cm? U = El = 15 . 0,05 = 0,75 kV = 750 V Pøíklad: V prostoru mezi deskami je elektrická indukce 0,1 C/m2. Plocha desek je 30 cm2. Vypoèítejte náboj na deskách Q = D . S = 0,1 . 30 . 10-4 = 3 . 10-4C Elektrostatické pole zobrazujeme pomocí elektrických siloèar. Jsou to myšlené èáry, které sledují smìr silového pùsobení tìles. Zaèínají a konèí vždy na povrchu vodivých tìles. Jejich smysl je shodný se smìrem pohybu kladného náboje vloženého do pole. V elektrostatickém poli neexistují uzavøené siloèáry. Siloèáry se nikdy neprotínají. Na siloèáry jsou kolmé tzn. ekvipotenciály – køivky spojující místa se stejným elektrickým potenciálem. V homogenním elektrostatickém poli jsou siloèáry rovnobìžné. Intenzita elektrického pole je zde konstantní. Pøíkladem je pole mezi 2 rovnobìžnými deskami kondenzátoru. V nehomogenním elektrickém poli není hustota indukèních èar stejná, intenzita není konstantní. Pøíkladem je elektrostatické pole mezi 2 opaènì nabitými koulemi, mezi 2 vodièi, mezi dvìma soustøednými válci (koaxiání vodiè).

Homogenní a nehomogenní pole Mezi intenzitou elektrického pole a elektrickou indukcí platí vztah D = eE, e se nazývá permitivita dielektrika. D = eoerE, kde eo je permitivita vakua 8, 854 . 10-12F/m a er je relativní permitivita (bezrozmìrná). Permitivita je charakteristickou vlastností izolantù (jako u vodièù vodivost). V izolantech jsou elektrické náboje (elektrony) vázány na pevné místo. V izolantech mùže existovat elektrické pole které je polarizuje. Uvnitø atomù nebo molekul dochází k posunu nábojù, vznikají dipóly. Relativní permitivita popisuje schopnost dielektrika se polarizovat pùsobením elektrostatického pole. Relativní permitivita vyjadøuje, kolikrát je intenzita elektrického pole v dielektriku menší než ve vakuu. Vztah mezi D a E je u vìtšiny materiálù lineární. Pøi pøekroèení elektrické pevnosti se u dielektrika roztrhnou vazby mezi náboji, nastává prùraz, dielektrikum se zaène chovat jako vodiè. Elektrická pevnost je dùležitou vlastností izolantù, závisí na teplotì, vlhkosti, apod. Typické hodnoty jsou pro vzduch 2 až 3 kV/mm, olej 20 – 30 kV/mm, polystyrén, sklo, slída 20 – 80 kV/mm. Pokud potøebujeme odstranit elektrostatické pole z urèitého prostoru, obklopíme jej vodivým krytem – stínící kryt. Elektrostatické pole nemùže existoval uvnitø vodivého prostoru, elektrické siloèáry vždy konèí na povrchu vodièe. Kapacita je schopnost vodièe vázat urèitou velikost náboje pøi jednotkovém napìtí. Souèástky, jejichž základní vlastnost je kapacita, se nazývají kondenzátory. Jednotkou kapacity je farad F. Kondenzátor má kapacitu 1 F, jestliže pøi napìtí 1 V udrží náboj 1 C . C = Q/U. J. Vlèek: Základy elektrotechniky

21

Obr. 2.2 Polarizace a) atom nepolarizovaného dielektrika b) polarizovaného dielektrika c) princip stínìní V základní podobì tvoøí kondenzátor 2 vodivé, rovnobìžné desky. Prostor mezi nimi je vyplnìn dielektrikem. Odvodíme vztah pro výpoèet kapacity z rozmìrù kondenzátoru. S = plocha desek, d = vzdálenost mezi nimi. Q = D . S = εoεr E . S = εo εr S . U/d C = Q/U = eoer . S/d Jako dielektrikum se používá kondenzátorový papír, slída, keramika, plastové folie. U elektrolytických kondenzátorù tvoøí dielektrikum tenká vrstva vrstva kyslièníku na povrchu hliníkové nebo tantalové elektrody. Ta se vytváøí a udržuje pùsobením elektrického proudu, je-li elektroda ponoøena ve vhodném elektrolytu. Vývody tìchto kondenzátorù jsou oznaèeny + a –. Pøípadná jejich zámìna (pøivedení napìtí opaèné polarity) by zpùsobila depolarizaci této vrstvy a tím znièení kondenzátoru. Protože základní jednotka kapacity je pøíliš velká pro bìžné použití, používají se menší jednotky: mikrofarad µF (10-6 F), nanofarad nF (10-9 F) a pikofarad pF (10-12 F). Za základní jednotku se èasto považuje v praxi pikofarad. Je-li napø. ve schématu u kondenzátoru napsáno 100, znamená to 100 pF, 22 n znamená 22 nF, M1 = 0,1 mikrofaradu = 100 nF, 10 M (10 u) = 10 mikrofaradù, 2m2 = 2,2 milifarady = 2 200 mikrofaradù. Èasto se znaèí hodnota kondenzátorù èíselným kódem. Napø. 332 znamená 33 . 102 (pikofaradù) = 3,3 nF. 104 = 10 . 104 pF = 100 nF, apod. Ze vzorce pro výpoèet kapacity kondenzátoru vyplývá, že kapacita je pøímo úmìrná ploše elektrod a nepøímo úmìrná jejich vzdálenosti. Dielektrikum svojí polarizací zvìtšuje kapacitu – schopnost vázat elektrický náboj. Plochu elektrod zvìtšujeme svitkovým uspoøádáním. Pøíklad: Stanovte kapacitu rovinného kondenzátoru S = 103 cm2 , d = 0,2 mm, εr = 5 C = εoεr S/d = 5 . 8,854 . 10-12. 10-1/(0,2 . 10-3) = 22,13 . 10-9 F = 22,13 nF

22

J. Vlèek: Základy elektrotechniky

Pøíklad: Plocha elektrod kondenzátoru je 6 . 104 cm2, vzdálenost mezi nimi 0,5 mm. Jaká musí být minimální permitivita dielektrika, aby kapacita kondenzátoru nebyla menší než 470 nF? C = 6 . 8,854 . 10-12/0,5 . 10-3 = 106,25 nF kapacita vzduchového kondenzátoru stejných rozmìrù εr = Cs diel./Cbez dielektrika = 470/106,25 = 4,42 Jaké bude prùrazné napìtí tohoto kondenzátoru, je-li prùrazné napìtí dielektrika 40 kV/mm? Uprùrazné = Ep . d = 40 . 0,5 = 20 kV Maximální povolené napìtí na kondenzátoru musí být pochopitelnì výraznì menší než takto vypoètená hodnota. Je tøeba brát v úvahu výrobní tolerance, vliv neèistot, vlhkosti, teploty apod. S rostoucí tlouškou dielektrika vzrùstá prùrazné napìtí kondenzátoru, vzrùstá ale i jeho velikost.

Sériové a paralelní spojení kondenzátorù

Obr. 2.3 Zapojení kondenzátorù a) paralelní b) sériové Pøi paralelním spojení je na všech kondenzátorech stejné napìtí, náboj se rozdìlí v pomìru kapacit Q1 = C1 . U

Q2 = C2 . U

Q = (C1+C2) . U

C = C1+C2

Pøi paralelním spojení kondenzátorù je výsledná kapacita souètem jednotlivých kapacit. Pøi sériovém zapojení kapacit náboj pøivedený na první kondenzátor váže stejný náboj na druhém kondenzátoru. V dielektrikách bude stejný indukèní tok, na všech kondenzátorech bude stejný náboj. Toto spojení mùžeme nahradit jedním kondenzátorem o kapacitì C na kterém bude napìtí U = U 1 + U2 1/C = 1/C1 + 1/C2

Q/C = Q/C1 + Q/C2 C = C1C2/(C1+C2)

J. Vlèek: Základy elektrotechniky

23

Pøi sériovém spojení kondenzátorù se podobnì jako u paralelního zapojení rezistorù sèítají jejich pøevrácené hodnoty. U složitìjších zapojení provádíme zjednodušování podobným zpùsobem jako u rezistorù.

Obr. 2.4 Øešení obvodù s kondenzátory

Pøíklad: Vypoèítejte výslednou kapacitu obvodu z obr. 2.4a. C2,3 = C2 + C3 = 47 + 22 = 69 nF C = C2,3 . C1/(C2,3 + C1) = 40,8 nF Pøíklad: Vypoèítejte výslednou kapacitu obvodu z obr. 2.4b. Tolerance vyrábìných kapacit bývá typicky ±20 %. Pøi zjednodušování obvodù nemá smysl poèítat s pøíliš velkou pøesností. Zapojení z obr. 2.4b mùžeme zjednodušit vynecháním C4 a C5 (jejich sériové spojení má kapacitu mnohem menší, než je kapacita C2) a zkratováním C1 (jeho kapacita je mnohem vìtší než ostatní kapacity), mùžeme je tedy zanedbat. Výsledná kapacita bude pøibližnì C = C2C3/(C2 + C3) = 10 . 2,2/(10 + 2,2) = 1,8 nF. Pøíklad: Ke kondenzátoru 100 mikrofaradù, který byl nabit na 40 V byl paralelnì pøipojen kondenzátor 220 mikrofaradù, který byl nabit na napìtí 10 V. Jaké bude výsledné napìtí na spojených kondenzátorech? Platí zákon zachování elektrického náboje Q = Q1 + Q2 = C1 . U1 + C2 . U2 = = 0,1 . 10-3 . 40 + 0,22 . 10-3 . 10 = (4 + 2,2) . 10-3 = 6,2 . 10-3 C. Z náboje a výsledné kapacity, která je souètem obou kapacit, potom vypoèítáme hledané napìtí: U = Q/(C1 + C2) = 6,2 . 10-3/(0,1 + 0,22) . 10-3 = 6,2/0,33 = 18,79 V.

Složená dielektrika Jsou-li 2 desky oddìleny z dielektriky vedle sebe s relativními permitivitami εr1 a εr2, chová se zapojení jako dva paralelnì zapojené kondenzátory. Elektrickou pevnost urèuje dielektrikum s menší elektrickou pevností. U kondenzátoru s vrstveným dieleketrikem (2 dielektrika za sebou), bude v obou dielektrikách stejná indukce D (D = Q/S). Intenzita elektrického pole v obou dielektrikách vypoèítáme ze vztahu E = D/ε0εr. V dielektriku s menší permitivitou je vìtší intenzita elektrického pole a naopak. Tato izolace se chová jako dva kondenzátory zapojené do série.

24

J. Vlèek: Základy elektrotechniky

ENERGII ELEKTROSTATICKÉHO POLE vypoèítáme ze vztahu We = CU2/2. Dodaná energie se spotøebuje na polarizaci dielektrika. Jedná se o práci potøebnou k pøenesení náboje na kondenzátor. Úpravou tohoto vztahu získáme vztah pro objemovou energii We = QU/2 dosadíme Q = ε . E . S a U = E . l We = ε . E2S . l V – objem kondenzátoru = S . l We/V = DE/2 objemová energie kondenzátoru. Pøíklad: Deskový kondenzátor, jehož desky byly od sebe vzdáleny 1 mm se nabil na Uo = 10 V. Jaké bude jeho napìtí po oddálení desek na 2 cm? Platí zákon zachování elektrického náboje Qo = Q1. Kapacita kondenzátoru se zmenšila 20×. C1 = 0,05 Co

C oU o = C 1U 1

U1 = 20 Uo = 200 V

Z tohoto pøíkladu vidíme, že statické napìtí o vysoké hodnotì mùže vzniknout prakticky „z nièeho“. Elektrické náboje vznikají mechanickým tøením nestejnorodých látek (pohyb dopravních pásù, pohyb sypkých materiálù, v tiskárnách, v letadlech, v automobilech). Mezi elektrostatické jevy patøí i blesky. Problémy pøináší elektrostatický náboj pøi práci s tìkavými hoølavými látkami a pøi práci s nìkterými typy polovodièù (technologie MOS). Pøed škodlivými úèinky tìchto nábojù se chráníme tìmito zpùsoby: vodivým pospojováním a uzemnìním kovových èástí pøístrojù, použitím vhodných (polovodivých) podlahových krytin (antistatické linoleum), vhodnou podložkou na pracovním stole, vhodná obuv a obleèení (bavlna, nikoliv umìlá vlákna), zvýšením vodivosti vzduchu – zvlhèení, ultrafialové záøení. Pøíklad: Vybitý kondenzátor o kapacitì 5 mF se nabíjí proudem 1 mA po dobu 3 s. Na jaké napìtí se nabije? náboj, na který se kondenzátor nabije Q = I . t = 3 . 10-3 C U = Q/C = 3 . 10-3/(5 . 10-3) = 0,6 V Pøíklad: Kondenzátor o kapacitì 10 mF je nabit na 5 V. Jak dlouho mùže dávat do zátìže proud 40 µA, než jeho napìtí poklesne na 3 V? (Pøedpokládáme, že vybíjecí proud je konstantní a nezávislý na napájecím napìtí.) Pøi poklesu napìtí o 2 V klesne náboj kondenzátoru o ∇Q = C . ∇U = 10-2 . 2 = 20 mC. t = Q/I = 20 . 10-3/(40 . 10-6) = 0,5 . 103 = 500 s Z tohoto pøíkladu vidíme, že kondenzátor o velké kapacitì mùže pro urèitou dobu (napø. pøi výpadku síového napìtí) fungovat u zaøízení s nízkou spotøebou (napø. obvod mìøení èasu, pamì nastavených hodnot) jako záložní zdroj energie (místo baterie). V této kapitole jsme pracovali s tzn. ideálním kondenzátorem, který je bezedrátový. Ve skuteèném kondenzátoru existuje urèitý svodový odpor mezi elektrodami (dielektrikum má urèitou vodivost). Ten zpùsobí, že se nabitý kondenzátor po urèité dobì sám vybije (náhradní schéma kondenzátoru viz dále paralelní obvod RC, na vyšších kmitoètech se uplatní i indukènost). J. Vlèek: Základy elektrotechniky

25

3

Magnetizmus

Magnetické pole je silové pole, které vzniká následkem pohybu elektrických nábojù. Vytváøí jej buï permanentní magnet nebo elektromagnet. Magnet pøitahuje kovové pøedmìty. Jeho silové úèinky jsou zdánlivì soustøedìny v místech, které nazýváme póly. Rozeznáváme severní S (N – nord) a jižní J (S – south) magnetický pól. Stejnì jako v prostoru kolem elektrického náboje vzniká elektrostatické pole, vzniká v blízkosti elektrického proudu magnetické pole. U permanentních magnetù si magnetické pole vysvìtlujeme pohybem elektronù. Ty kromì pohybu okolo jádra atomù rotují i okolo své osy. Tomuto pohybu, který je pøíèinou magnetického pole, øíkáme spin elektronu. V látce vznikají elementární magnety vytvoøené dvìma opaènými spiny elektronù. V magnetické látce jsou oblasti o rozmìrech øádovì jednotek mikrometrù, ve kterých jsou spiny orientovány. Øíkáme jim domény. Každá doména je elementárním magnetem, jednotlivé domény nejsou uspoøádané, jsou orientovány v rùzných smìrech. Pùsobením vnìjšího magnetického pole se domény uspoøádají a látka se zmagnetuje.

Obr. 3.1 a) elementární magnet – dvojice elektronù s opaèným spinem b) neuspoøádané domény c) uspoøádané domény Magnetické pole zobrazujeme pomocí magnetických indukèních èar. Jsou to uzavøené køivky, které nikde nezaèínají a nekonèí. Zobrazují silové úèinky magnetického pole.

Obr. 3.2 a) magnetické pole tyèového magnetu b) magnetické pole mezi nesouhlasnými póly c) magnetické pole mezi souhlasnými póly

26

J. Vlèek: Základy elektrotechniky

Magnetické indukèní èáry probíhají vnì magnetu od severního pólu k jižnímu, uvnitø opaènì. Kladný smysl je stanoven dohodou. Je dán smìrem do nìhož se v magnetickém poli natoèí severní pól magnetky (na níže uvedených obrázcích smìrem šipky). Nesouhlasné póly magnetu se pøitahují, souhlasné se odpuzují (viz obrázek). Rozdìlením tyèového magnetu vzniká vìtší poèet samostatných magnetù, každý z nich má svùj severní a jižní pól. Severní a jižní pól nemohou existovat samostatnì. Nejvìtším magnetem je zemìkoule. Toho využíváme pøi orientaci pomocí kompasu který má v sobì permanentní magnet ukazující stále k  severnímu magnetickému pólu. Mezi elektrickým a magnetickým polem je urèitá podobnost. Elektrické napìtí je pøíèinou elektrického proudu. Pøíèinou magnetického pole je elektrický proud, tzn. elektromotorické napìtí Fm = I. Pøi vybuzení magnetického pole nìkolika proudy je magnetomotorické napìtí dáno algebraickým souètem proudù, které indukèní èára obepíná. Fm = I1 – I2 + I3 (viz obr. 3.3c) U cívky je magnetomotorické napìtí vynásobeno poètem jejích závitù. Fm = N . I Mezi každými dvìma body indukèní èáry lze definovat magnetické napìtí Um.

Obr. 3.3 a) Oznaèení smìru proudu b) Magnetické pole pøímého vodièe c) Magnetické pole nìkolika vodièù d) Magnetické napìtí Intenzita magnetického pole H je dána magnetickým napìtím pøipadajícím na jednotku délky indukèní èáry, neboli spádem magnetického napìtí. Jednotkou je A/m. Jedná se o vektorovou velièinu. V okolí pøímého vodièe, kterým prochází elektrický proud I tvoøí indukèní èáry soustøedné kružnice. Ve vzdálenosti r od osy vodièe je intenzita magnetického pole stejná po celé délce indukèní èáry H = Um/l = I/2pr (Am-1, A, m). Smìr magnetického pole urèíme Ampérovým pravidlem pravé ruky (pøípadnì si jej zapamatujeme podle výše uvedeného obrázku). Uchopíme-li pravou rukou vodiè tak, že palec ukazuje smìr proudu, prsty ukazují smìr intenzity magnetického pole. J. Vlèek: Základy elektrotechniky

27

Pøíklad: Vypoèítejte intenzitu magnetického pole ve vzdálenosti 0,2 m od osy vodièe, kterým teèe proud 10 A. H = 10/(2 . 3,14 . 0,2) = 10/1,256 = 7,96 A/m Poèítáme-li magnetické pole cívky, vynásobíme její proud poètem závitù. Poèet indukèních èar v magnetickém poli udává magnetický tok φ, jednotka Wb (weber = V . s). Je to skalární velièina definovaná napìtím vzniklým (indukovaným) pøi zmìnì toku. u = ∇φ/∇t. Magnetický tok, který se rovnomìrnì zmenšuje tak, že zanikne za 1 s, indukuje v závitu, který ho obepíná, napìtí 1 V.

Obr. 3.4 a) Magnetické pole kruhového závitu b)Magnetické pole solenoidu Z tvaru magnetického pole pøímého vodièe mùžeme odvodit tvar magnetického pole kruhového závitu a solenoidu. Uvnitø solenoidu je magnetické pole homogenní. Smìr pùsobìní magnetického pole solenoidu urèíme podle pravidla pravé ruky: Uchopíme-li válcovou cívku do pravé ruky, aby prsty ukazovaly smìr proudu, vychýlený palec ukazuje k severnímu pólu. Vidíme, že cívka se chová podobnì jako permanentní magnet – má severní a jižní pól, pøitahuje kovové pøedmìty, dochází k vzájemnému pùsobení cívky a permanentního magnetu. Cívka, kterou prochází proud a která vybudí dostateènì silné magnetické pole (musí mít velký poèet závitù), se používá jako elektromagnet. Magnetická indukce je dána poètem magnetických indukèních èar (tokem φ) na jednotku plochy S. B = f/S, jednotkou je tesla (T). Magnetická indukce vyjadøuje silové úèinky magnetického pole. Magnetické pole má indukci 1 T, pùsobí-li na vodiè, kterým teèe proud 1 A, silou 1 N na každý metr jeho délky. Magnetickou indukci zobrazujeme pomocí magnetických siloèar. Magnetické pole lze vybudit v každém prostøedí (vzduch, izolanty, kovy). Intenzita magnetického pole H je na prostøedí nezávislá. Závisí pouze na velikosti budícího proudu (poètu závitù) a na vzdálenosti od vodièe. Je dána velikostí budícího proudu, vzdáleností od nìj, pøípadnì poètem závitù budící cívky.

28

J. Vlèek: Základy elektrotechniky

Obr. 3.5 a) Magnetické stínìní b) Vzájemné pùsobení dvou magnetù c) Podkovovitý magnet Magnetická indukce B je vektor se stejným smyslem jako H. Jeho velikost závisí na prostøedí. Mezi intenzitou magnetického pole H a magnetickou indukcí B platí vztah: B = m0 mr H kde µo je permeabilita vakua = 4π . 10-7 [H/m] a µr relativní permeabilita [1], která popisuje magnetické vlastnosti látek. U vìtšiny materiálù je µr pøibližnì rovné 1 (látky diamagnetické µr < 1 a paramagnetické µr > 1), existují ale materiály (železo, kobalt, nikl) jejichž µr je mnohonásobnì vìtší (až 103 – 105). Pøíèinou jejich zmagnetování je jejich schopnost uspoøádat pùsobením vnìjšího magnetického pole spin svých elektronù. Tyto látky se nazývají feromagnetické a dìlají se z nich jádra cívek. Mají schopnost výraznì zesilovat magnetické úèinky proudu. Malým budícím proudem tak vytvoøíme silné magnetické pole s velkými silovými úèinky.

Obr. 3.6 a) Závislost B na H b) Závislost m na H c) Hysterezní smyèka (ve skuteènosti je zaoblená) J. Vlèek: Základy elektrotechniky

29

Závislost B na H není vždy lineární. Relativní permitivita se mìní v závislosti na intenzitì magnetického pole. S rostoucí H roste B zpoèátku lineárnì (pøibližnì). Pøi vìtších intenzitách magnetického pole dojde k pøesycení materiálu, domény jsou již uspoøádány magnetická indukce se již nemùže dále zvyšovat. Materiál, který byl jednou zmagnetován elektrickým proudem, si své magnetické úèinky zachovává i po zániku elektrického proudu. Vznikne tak permanentní magnet, který jistì každý dobøe zná. Magnetickou indukci permanentního magnetu popisuje tzn. remanentní indukce Br. Z výše uvedeného obrázku je vidìt, že k odmagnetování permanentního magnetu je zapotøebí magnetické pole opaèné polarity (koercitivita HC) a tedy proud opaèné polarity než jaký byl použit pro zmagnetování. Magnetické materiály s širokou hysterezní køivkou nazýváme materiály magneticky tvrdé (napø. permanentní magnet reproduktoru), materiály s úzkou hysterezní køivkou jsou magneticky mìkké a používají se v obvodech støídavého proudu transformátor, motor), aby pøi pøemagnetovávání nedocházelo k velkým ztrátám energie. Ztráty jsou úmìrné ploše hysterezní smyèky (k pøemagnetování potøebujeme energii, která se mìní v teplo).

Obr 3.7 a) Hysterezní køivka materiálu magneticky tvrdého b) Hysterezní køivka materiálu magneticky mìkkého Dojde-li k uspoøádání magnetických domén v látce, nemùže se už magnetická indukce tak rychle zvyšovat. Dochází k magnetickému nasycení látky. Pøestane-li budící proud pùsobit, materiál si své magnetické vlastnosti zachovává. Stává se z nìj permanentní magnet. Jeho magnetická indukce má hodmotu remanentní indukce Br. Hystereze je závislost stavu feromagnetického materiálu na pøedchozích stavech zmagnetování. Obdobnì jako v proudovém magnetickém poli jsou dùležité velièiny odpor a vodivost, v magnetickém poli urèujeme magnetický odpor Rm [H-1] a jeho pøevrácenou hodnotu magnetickou vodivost Gm [H – henry] = 1/Rm. Odvození: φ = B . S = µ . H . S H = Um/l f = Um . m . S/l = Um/Rm, kde Rm = l/(m . S) Hopkirsonùv zákon je analogií Ohmova zákona. Permeabilita v magnetických obvodech má podobný význam jako vodivost v elektrických obvodech. V materiálech s vysokou

30

J. Vlèek: Základy elektrotechniky

permeabilitou je velká intenzita magnetického pole (v materiálech s vysokou vodivostí teèe pùsobením intenzity elektrického pole velký proud), f » I, Um » U, m » g. Proto magnetický tok prochází jádrem cívky (transformátoru) a jeho rozptylový magnetický tok do okolí je minimální. Permitivita vzduchu je mnohonásobnì menší oproti permitivitì feromagnetických materiálù. Následující obrázek ukazuje magnetické pole, které se vybudí v cívce s jádrem a které se plnì pøizpùsobuje tvaru tohoto jádra. Chceme-li zmenšit magnetickou indukci B aby nedošlo k pøesycení (obvod je potom nelineární) vložíme magnetickému toku do cesty vzduchovou mezeru. Podobnì jako do elektrického obvodu nìkdy vkládáme odpor, aby se omezil proud. Magnetická indukce bude u obrázku b mnohem menší než u obrázku a. Hodnoty magnetické indukce B a tím i pracovní oblast feromagnetického materiálu u jádra se vzduchovou mezerou bude pohybovat v lineární oblasti hysterezní smyèky.

Obr. 3.8 a) Cívka s EI plechy bez vzduchové mezery b) Cívka s EI plechy se vzduchovou mezerou Vložíme-li nìjaký obvod, který je v magnetickém poli, do krytu ze železného plechu, poteèe tímto krytem veškerý magnetický tok. Uvnitø stínìného prostoru magnetické pole nebude (viz obr. 3.5).

Elektromagnetická indukce Zmìnou magnetického pole (∇φ/∇t) se ve vodièi indukuje elektrické pole, uvedou se do pohybu volné elektrony vodièe. Magnetické pole mùže být pøíèinou elektrického napìtí. Smysl indukovaného napìtí je takový, aby svými úèinky pùsobilo proti zmìnì, která jej vyvolala (Lencùv zákon). Tvoøí-li vodiè uzavøenou smyèku, teèe v ní indukovaný proud. Tvoøí-li smyèka 1 závit, pak platí, že indukované napìtí u = Ñf/Ñt. Pro cívku s N závity (pokud všemi závity prochází stejný magnetický tok) u = NÑf/Ñt. Napìtí se indukuje vždy s èasovou zmìnou magnetického toku. V uzavøeném obvodu vznikne indukovaný proud. u = ∇φ/∇t, f = Gm . N . I, kde Gm je magnetická vodivost u = N2Gm Ñi/Ñt = L . Ñi/Ñt. L je vlastní indukènost cívky [H] (henry – Vs/A). Cívka má indukènost 1 H , jestliže pøi zmìnì proudu 1A/s se v ní indukuje napìtí 1 V. J. Vlèek: Základy elektrotechniky

31

Vlastní indukènost je základní parametr cívek. Udává, jak silné magnetické pole vybudí cívka pùsobením proudu, jak moc se „brání“ zmìnám proudu, který jí protéká. Indukované napìtí pùsobí proti zmìnì budícího proudu. L = N2Gm = N2m0mr/l –tento vzorec platí pro ideální pøípad. Pro skuteèné výpoèty v praxi se používají èastìji empirické vzorce. Relativní permeabilita mr je funkcí intenzity magnetického pole H (viz výše). Závisí tedy na budícím proudu. Z toho vyplývá, že i indukènost závisí na proudu. Cívka s feromagnetickým jádrem je proto souèástka s nelineární VA charakteristikou. Dá se linearizovat vzduchovou mezerou. Pøíklad: Stanovte vlastní indukènost vzduchové jednovrstvé cívky se 30 závity, prùmìr vodièe je 0,8 mm. Jádro cívky má prùmìr 1,2 cm2. Nejprve vypoèítáme délku cívky: l = d . N = 0,8 . 30 = 24 mm = 24 . 10-3 m L = N2µ0S/l = 302 . 4 . π .10-7 . 1,2 .10-4/(24 . 10-3) = 5,65 . 10-6H = 5,65 µH Všimnìte si, že indukènost je tím vìtší, èím kratší je cívka. Znamená to vinout závity tìsnì vedle sebe. Co se týká prùmìru vodièe, musíme jej vypoèítat tak, abychom nemìli pøíliš velkou proudovou hustotu a odpor vinutí (viz kapitola proudové pole). Praktický postup pøi návrhu cívky je následující: Nejprve zvolíme vhodné jádro, výše uvedeným zpùsobem vypoèítáme poèet závitù. Poté cívku navineme a zmìøíme její indukènost . Na základì pøedpokladu, že indukènost cívky je pøímo úmìrná druhé mocninì poètu závitù (L = k . N2 – platí pokud se rozmìry cívky pøíliš nezmìní) upravíme poèet závitù (viz následující pøíklad). Pøíklad: Cívka s N1 = 60 závity má indukènost L1 = 20 µH. Jak musíme zmìnit poèet závitù, aby indukènost klesla na 15 µH? N1/N2 = √(L1/L2) = √(15/20) = 0,866

N2 = 60 . 0,866 = 52 závitù

Pøíklad: Vypoètìte vlastní indukènost cívky navinuté na toroidnín kroužku. Cívka má 800 závitù, délka støedové indukèní èáry je 15 cm. Jádro má prùøez 4 cm2 a je z materiálu o relativní permeabilitì µr = 500. L = N2 . µ0 . µr . S/l = 8002 . 4 . π . 10-7 . 500 . 4 . 10-4/(15 . 10-2) = 1,071 H Máme-li na spoleèném jádru dvì vinutí, vzniká mezi nimi vzájemná indukènost, kterou definujeme podobnì jako vlastní indukènost. Do jednoho vinutí – primárního – pøivádíme elektrický proud. Na druhém vinutí – sekundárním – mìøíme napìtí. Vzájemnou indukènost M definujeme podobnì jako vlastní indukènost pomocí napìtí, které se indukuje v sekundární cívce pøi zmìnì proudu v primární cívce. u2 = NÑf1,2/Ñt = MÑi1/Ñt

M = u2Ñt/Ñi1

Jednotkou vzájemné indukènosti je H (henry). Vzájemná indukènost není prvkem elektronického obvodu, vyjadøuje pouze vzájemnou vazbu mezi dvìma vlastními indukènostmi. Máme-li dvì cívky na spoleèném feromagnetickém jádru, mùžeme pøedpokládat, že se celkový magnetický tok φ nerozptyluje, protože relativní permeabilita feromagnetického

32

J. Vlèek: Základy elektrotechniky

Obr. 3.9 a) Toroidní jádro s jedním vinutím, uzavøené b) Toroidní jádro s jedním vinutím a se vzduchovou mezerou c) Cívky na spoleèném jádøe, mezi kterými je vzájemná indukènost materiálu je mnohem vìtší než 1. To znamená, že magnetický odpor vzduchu je mnohem vìtší než magnetický odpor jádra. M = N1 N2 Gm rovnici umocníme M2 =N12N22 Gm = N1Gm . N2Gm = L1 L2 M = Ö(L1L2) Ve skuteènosti existuje urèitý rozptyl a M < Ö(L1L2), M = k . Ö(L1L2), kde k < 1 a nazývá se èinitel vazby. Vodièe, které jsou blízko sebe a kterými prochází èasovì promìnný proud, se chovají jako cívky se vzájemnou indukèností. Pùsobením proudu se v okolí jednoho vodièe vytvoøí magnetické pole. To indukuje v druhém vodièi napìtí. Tak vzniká rušení.

Vznik indukovaného napìtí pohybem vodièe v magnetickém poli

Obr. 3.10 Pohyb vodièe v magnetickém poli Po dvou rovnobìžných na jednom konci vodivì spojených vodièích se pohybuje vodiè délky l naznaèeným smìrem. Vodièe kolmé na vodiè l uzavírají smyèku. Kolmo k rovinì této smyèky je stálé magnetické pole s magnetickou indukcí B (indukèní èáry jsou orientovány zepøedu dozadu, viz obr. 3.3). Jsou-li B, l a v na sebe navzájem kolmé, platí u = B . l . v. Smìr indukovaného proudu stanovíme pomocí pravidla pravé ruky: Pravou ruku vložíme do magnetického pole tak, aby indukèní èáry vstupovaly do dlanì, palec ukazoval smìr pohybu, pak natažené prsty ukazují smìr indukovaného proudu a napìtí. J. Vlèek: Základy elektrotechniky

33

Využití magnetické indukce: – pøi výrobì elektrické energie (viz kapitola Støídavý proud) – vodiè se pohybuje v magnetickém poli a indukuje se v nìm napìtí, – v motorech – reciproèní jev, støídavý proud v magnetickém poli vytváøí sílu a zpùsobuje pohyb, – v transformátorech – primární proud vytvoøí magnetické pole, které v sekundární cívce indukuje napìtí, – v elektromagnetech – stejnosmìrný proud vytvoøí magnetické pole, které pùsobí silovými úèinky na kovové pøedmìty, – v relé – stejnosmìrný proud vytvoøí magnetické pole, které svými silovými úèinky sepne spínací kontakty, – v reproduktorech – støídavý proud vytváøí v pohyblivé cívce magnetické pole, na které pùsobí magnetické pole trvalého magnetu. Vzájemným pùsobením dvou magnetických polí vzniká síla, pohyb membrány, zvuk.

Energie magnetického pole Pro vytvoøení magnetického toku f musí proud I vykonat práci A. Tato energie je potøebná k vytvoøení magnetického pole. Udržování magnetického pole nevyžaduje žádnou energii (nepoèítáme ztráty výkonu na vodièi). Wm = f . Um/2 Vypoèítáme objemovou energii magnetického pole (množství energie nahromadìné v jednotce objemu V = S . l) Wm = Wm/V = φ . Um/(2 . V) = φ . Um/(2 . S . l) = B . H/2 Wm = (1/2)Gm . N . I . N . I = (1/2)GmN2 . I2 = L . I2/2 Ztráty ve feromagnetických materiálech jsou dvojího druhu: Hysterezní ztráty jsou úmìrné kmitoètu a ploše hysterezní smyèky – energie se spotøebovává k pøemagnetování materiálu. Ztráty víøivými proudy – je-li feromagnetický materiál vodivý, indukují se v nìm pùsobením magnetického pole proudy. Ty pùsobí proti pøíèinì, která je vyvolala. Zeslabují magnetické pole, jejich pùsobením vznikají tepelné ztráty. Proto používáme materiály s velkým mìrným odporem – ferity, trafoplechy z oceli s pøímìsí køemíku a dìlené jádro složené ze vzájemnì izolovaných plechù. Obdobnì jako rezistory a kondenzátory mùžeme cívky spojovat paralelnì nebo sériovì. Sériové spojení dvou cívek bez vzájemné indukènosti L = L1 + L 2. Sériové spojení dvou cívek se vzájemnou indukèností L = L1 + L2 ± 2M. Magnetická pole se buï sèítají nebo odèítají (viz kapitola støídavý proud). Paralelní spojení dvou cívek bez vzájemné indukènosti L = L1 . L2/(L1 + L2).

34

J. Vlèek: Základy elektrotechniky

Silové úèinky magnetického pole Magnetické pole pùsobí silou na pohybující se elektrony. Tato síla se pøenáší na materiál vodièe. Na vodiè délky l, kterým protéká proud I a který je umístìn v magnetickém poli B pùsobí síla F. Její smìr urèíme podle pravidla levé ruky: Levou ruku vložíme do magnetického pole tak, aby indukèní èáry vstupovaly do dlanì a prsty ukazovaly smìr proudu. Potom palec ukazuje smìr síly. F=B.l.I Odvození: Výkon síly F Využití – mìøící pøístroje.

P = Fs/t = Fv se rovná elektrickému výkonu UI = BlvI.

Silové úèinky mezi dvìma vodièi Dva vodièe vedle sebe vytváøejí magnetická pole, která na sebe vzájemnì pùsobí. Proto na sebe pùsobí tyto vodièe silou. Tuto sílu používáme k definici ampéru, který je základní jednotkou podle soustavy SI. 1 A je proud, který pøi prùchodu dvìma rovnobìžnými nekoneènì dlouhými a nekoneènì tenkými vodièi vzdálenými od sebe 1 m vyvolá mezi nimi sílu 2 . 10-7 N na každý metr jejich délky. Vidíme, že pro bìžné velikosti proudù (jednotky ampérù) jsou tyto síly malé. Musíme je brát v úvahu pouze pøi velmi velkých proudech, aby se nepoškodila izolace vodièù.

4

Støídavý proud

Pod tímto pojmem rozumíme elektrický proud, jehož velikost i smìr se s èasem mìní. Pokud má tato zmìna periodický charakter, oznaèujeme tento prùbìh periodický, periodu znaèíme T. Dále urèujeme frekvenci, která udává poèet kmitù za jednu sekundu. Jednotkou frekvence je herz (Hz = s-1). Platí vztah f = 1/T. Pøíklad: Kmitoèet sítì má frekvenci 50 Hz. Urèete jeho periodu T = 1/50 s = 20 ms. Periodické prùbìhy graficky znázorníme tak, že na osu nanášíme èas t a na osu y okamžité hodnoty proudu nebo napìtí. Pøíkladem periodického prùbìhu je prùbìh obdélníkový, pilovitý, trojúhelníkovitý, apod. Nejdùležitìjší ze všech je prùbìh sinusový, kterým se budeme v této publikaci dále zabývat. Vzniká napø. v generátorech v elektrárnách. Pøíèinou jeho vzniku je otáèivý pohyb vodièe v magnetickém poli (viz elektromagnetická indukce). Kapitoly o magnetismu najde ètenáø v [3]. Platí pravidlo, že každý periodický prùbìh (napø. obdélníkový) vzniká superpozicí (souètem) nìkolika prùbìhù sinusových. J. Vlèek: Základy elektrotechniky

35

Funkci y = sin a nebo také i = Imax sin a nebo u = Umax sin a vytvoøíme èasovým rozvojem kruhového pohybu. Pøedstavte si bod, který obíhá po kružnici. Sinusový prùbìh získáme, znázorníme-li graficky hodnotu jeho ypsilonové souøadnice v závislosti na èase. Tato y souøadnice je okamžitá hodnota napìtí (proudu), kterou znaèíme u (i). Polomìr kružnice neboli maximální hodnota napìtí (proudu) – amplituda se znaèí Umax, Imax (nebo také Um, Im). Argument funkce sinus, úhel a se mìní v závislosti na èase. Doba jednoho obìhu perioda T odpovídá úhlu 2π rad. Zavedeme pojem úhlová frekvence w, jejichž jednotkou je radián. Radián je úhel, jehož ramena vytínají na jednotkové kružnici opsané z vrcholu úhlu oblouk délky rovnající se jedné. Úhel 360° = 2p (rad), 180° = π (rad), 90° = π/2 rad, 1 rad = 360/2π = 57°. Platí w = 2p/T úhel α odpovídá ωt.

Obr. 4.1 Vznik sinusového prùbìhu (w = ω) Pùvodní rovnici i = I maxsin a upravíme na tvar i = Imaxwt (u = Umaxωt), kde wt je úhel v radiánech. V pøípadì, že je poèátek sinusového kmitu posunut o úhel ϕ pøed èasovým poèátkem, bude mít výše uvedená rovnice tvar i (u) = Imax(Umax) . sin(wt + j), kde ϕ je fázový posuv. Pøíklad: Urèete okamžitou hodnotu napìtí v èase t = 0,02 ms, je-li Umax = 5 V a f = 8,33 kHz. T = 0,12 ms α(t) = 2πf (t) = 6,28 . 8,33 . 103 . 0,02 . 10-3 = 1,04 (rad) = 60° (Všimnìte si, že za jednu šestinu periody se zmìnil úhel α o 1/6 z 360°.) u = 5 . sin 60° = 5 . (√3)/2 = 4,33 (V) Kdy dosáhne okamžitá hodnota napìtí svého maxima? Pro úhel α = 90° = π/2 bude u = Umax . sin 90° = Umax sin 90° = 2πft 90° = (2π/T)t π/2 = (2π/T)t t = T/4 T = 1/f = 0,12 ms t = 0,03 ms (v jedné ètvrtinì periody) Okamžitá hodnota støídavého proudu nebo napìtí není pøíliš dùležitý údaj. Nejvíce nás zajímají celkové úèinky støídavého proudu a napìtí v porovnání se stejnosmìrným proudem a napìtím.

36

J. Vlèek: Základy elektrotechniky