http://www.jgypk.hu/mentorhalo/tananyag/Matematika_tantrgypedaggia/
Matematika tantárgy-pedagógia Írta: Dr. Pintér Klára főiskolai docens „Mentor(h)áló 2.0 Program” TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0008 projekt
Bevezetés A tananyag a tanító alapképzés törzsanyagába tartozik. Heti 2 órás előadás a 2. félévben Jelen előadás célja, hogy bemutassa az 1-4. osztályos tananyag felépítésének matematikai és módszertani alapjait (néhol kitekintve az 5-6. osztályos tananyagra), kapcsolatot építve az elméleti matematika és a tanítás között, megismertessen a tanítás lehetőségeivel, módszereivel, eszközeivel, buktatóival. Az előadás terjedelme miatt szükségszerűen nem terjedhet ki minden részletre, igyekeztünk a leglényegesebb momentumokat megragadni. Az előadás a matematika tanításába való bevezetés első lépése, az alsó tagozatos matematika módszertan elméleti összefoglalása, ezért sok ismeret szerepel benne. A tananyag tanulásának legnagyobb nehézsége a hallgatók számára, hogy tartalmazza az általában egyszerűnek gondolt alsó tagozatos matematikának a bevezetési módjait, magyarázatait, ami viszont már nem olyan egyszerű, viszont elengedhetetlen a gyerekek gondolkodásának fejlesztése szempontjából. Az előadás akkor éri el valódi célját, ha az elhangzottakat a gyakorlatba is sikerül átültetni, ennek kipróbálására a későbbi tantárgy-pedagógia gyakorlatokon, és a további tanítási gyakorlatokon lesz lehetőség. Itt lesz módja a hallgatóknak szóban, osztálytermi körülmények között kipróbálni a tananyag megtervezését, bevezetését, magyarázatát. A tanítási lehetőségeket több helyen interaktív tananyagokon mutatjuk be, melyek nagy része a www.tananyag.geomatech.hu oldalon található, ahonnan további hasznos gyakorló tananyagokat lehet letölteni. A hallgatók tanítási képességeinek fejlesztése érdekében hasznos a módszertani elvek, magyarázatok összevetése az 1-4. osztályos matematika tananyaggal, ennek érdekében érdemes végig kitölteni egy tankönyvsorozatot. Rengeteg hasznos módszertani fogás tanulható a http://www.sulinet.hu/tanar/kompetenciateruletek/2_matematika/index.html oldalról, ahol kidolgozott kompetencia alapú óratervek találhatók sok játékkal, kooperatív tevékenységgel megvalósítva.
1. A matematika tanításáról A matematikatanítás célja, feladata. Magyar matematikatanítási reformok. A komplex matematikatanítás módszertani alapelvei. Matematikai kompetenciák. A hallgató ismerje meg a matematika tanítás alapvető kérdéseit, a matematikatanítás történetének a fejlődés irányába mutató fő lépéseit, reformtörekvéseit, jelenlegi irányát. Legyen elkötelezett a felfedeztető tanítás, a tanulók gondolkodásának fejlesztése irányába. Legyen célja a tanulók kompetenciáinak széleskörű fejlesztése kooperatív munkaformák alkalmazásával.
1.1. Bevezetés A matematikatanítás fő kérdései a „Mit tanítsunk?”, „Mikor milyen szinten tanítsuk?” „Hogyan tanítsuk?”. A „Mit tanítsunk?” kérdésre választ ad a Nemzeti Alaptanterv, bár a követelmények kétévenkénti bontásával nem könnyíti meg a pedagógusok dolgát, így inkább a hagyományokat és az aktuális tankönyveket követve határozzák meg a tananyagot. Az anyagrészek sorrendjében már több eltérés lehet, és az ismeretek, képességek egymásra épülését nem sértve magunk választhatjuk meg például, hogy a számtant milyen sűrűn szakítjuk meg geometriai anyagrésszel, a kombinatív, valószínűségi gondolkodást hogyan építjük be a többi témába. A „Mikor, milyen szinten tanítsuk?” kérdésre a választ részben a NAT és a Kerettanterv, részben a tanítványaink pszichikai, értelmi fejlettsége határozza meg. Fontos, hogy a tanulók életkori sajátosságainak megfelelő mélységben, absztrakciós szinten tanítsunk. Nem segíti a tanulók gondolkodásának fejlődését, ha túl korán alkalmazunk formális módszereket. Például egyenletmegoldást, mérlegelvet ne tanítsunk alsó tagozatban, helyette tanítsuk meg a szöveges feladatok következtetéses, képi ábrázoláson alapuló megoldását. Ennek megfelelően a matematika tananyag felépítése spirális, az egyes anyagrészek egymásra épülve több éven keresztül előkerülnek, a fogalmak, összefüggések a tanulók fejlődésének megfelelően alakulnak, fejlődnek. Példaként gondoljuk át, hogy az osztó, többszörös fogalma hogyan fejlődik 2. osztálytól, a szorzás tanulásától. Később több szám többszörösét ábrázolják halmazábrán, majd az oszthatóság pontos meghatározása következik 6. osztályban. Alkalmazzák a hatvány alakot 7. osztálytól, általánosan, algebrai kifejezésekkel leírják a többszörösöket, végül a felsőoktatásban a maradékosztályok jelentik a maradékokkal valós számolás elméleti alapját. A sikeres matematikatanulás feltétele a folyamatos ismétlés, ez biztosítja például a számolási képesség készség szintre emelését, automatizálódását, ami lehetővé teszi az új helyzetekben való alkalmazást. Az „abbahagyás stratégiája” káros a számolás mellett az írás, olvasás automatizálódására nézve is (Nagy, 2007, p.13.). Úgy kell felépíteni a tananyagot, az órákat, hogy tudatosan, folyamatosan, egyre magasabb szinten fejlesszük az alapképességeket. A tanulók közötti nagy különbségek csupán órai differenciálással sokszor nehezen kezelhetőek. Már iskolába lépéskor akár másfél-két évnyi különbség is lehet a tanulók kompetenciáinak szintje között, amely a nehézségekkel küzdőknek behozhatatlan lemaradást jelent, ugyanis kutatások igazolják, hogy az iskolakezdéskori fejlettség magas korrelációt mutat a 8. osztály végi fejlettséggel (Nagy, 2007 p. 18). Ennek megoldására javasolták az iskola előtti prevenciós év bevezetését, ami a középiskolában az Arany János Program, valamint a kéttannyelvű gimnáziumok 0. évfolyamán sikerrel megvalósul. A helyzeten javíthat a kötelező óvodáztatás, bár az Óvodai Alapprogram két szempontból is aggodalomra ad okot. Egyrészt az óvodában nem kötelezőek a foglalkozások, az óvodapedagógus kezdeményez, és a gyermekek tetszésük szerint vehetnek rész a tevékenységekben. Így előfordulhat, hogy a gyermekek épp abban a fejlesztésben nem vesznek részt, amire leginkább szükségük lenne, mert az okoz számukra nehézséget, ezért kevésbé szívesen végzik. A másik probléma, hogy nincsenek külön meghatározva a matematikai fejlesztési feladatok, ezeket csak a „környezetünk megismerése” témakör keretében lehet végezni. Ez a két probléma nagy, nehéz és felelősségteljes feladatot ró az óvodapedagógusra, aki különösen nagy létszámú csoportokban nehezen tud megfelelni ennek. Tovább súlyosbítja a problémát az iskolakezdés korhatárának leszállítása. Jelenleg azoknak a gyermekeknek kell megkezdeni általános iskolai tanulmányaikat szeptember 1-én, akik augusztus 31-ig betöltik 6. életévüket, amitől csak szakértői vélemény alapján lehet eltérni. Korábban ez a határ május 31. volt, és a szülőknek is több lehetőségük volt gyermekeik igényei szerinti módosításra. A tanulók közti jelentős különbségek a tanítás közben is problémákat okozhatnak, hiszen sok olyan gyermek, akinek a matematika gondot okoz, lassúbb haladással, több tevékenységgel, szemléltetéssel esetleg sikeresebb lehetne. A matematika tantárgy természeténél fogva egymásra épülő részekből áll, így a lemaradás későbbi pótlása szinte lehetetlen. A „Hogyan?” tanítsunk kérdésre adott választ tudja leginkább befolyásolni a pedagógus. Az alsó tagozatos matematikatanításban a „Hogyan?” kérdésre csak az induktív úton lehet a válasz, amikor a konkrét példákból
indulva általánosítunk, így a tanulók maguk fedezhetik fel az új ismereteket. (a deduktív úton a definíciók, tételek kimondása, igazolása után következik az ismeretek gyakorlása). A különféle mérések azt mutatják, hogy a tanulók a tanult ismeretek reprodukálásában megfelelő szinten vannak (TIMSS: 2011-ben 4. oszt. 20., 8. oszt. 10. hely), azok új helyzetekben való alkalmazása azonban gondot okoz (PISA: 2009-ben 34. hely). Ezért az ismeretek átadása mellett nagyobb hangsúlyt kell fektetni a kompetenciák fejlesztésére, amelyet csak úgy lehet elérni, ha növeljük a tanulói aktivitást, a tanulók tevékenyen részt vesznek a tanulási folyamatban. A konstruktív tanulás során a tevékenységek, játékok, a gondolkodás hatékonyabb fejlesztése mellett a közös tevékenység által a tanulók szociális képességeit is fejlesztik. Ezért lényeges, hogy a frontális munkaformát igyekezzünk minél többször kooperatív munkaformára váltani. A tevékenységek, a folyamatos ismétlés azonban időigényes, és ugyanúgy napi edzést igényelne, mint a testnevelés. Sajnos a korábbi mindennapos matematikaóra helyett csak heti 4 matematikaóra áll rendelkezésre ugyanarra, sőt némileg bővebb tananyagra. Gondoljuk meg, hogy ez az alsó tagozat 4 éve alatt már egy teljes évnek felel meg, ami hiányzik a matematika tanításából!
1.2. A matematikatanítás célja, feladatai A matematikatanítás célja a Nemzeti Alaptanterv szerint a matematika tudásrendszerének bemutatása, az önálló rendszerezett gondolkodás fejlesztése, és alkalmazásra képes tudás létrehozása. A feladata annak bemutatása, hogy a matematika kulturális örökség és önálló tudomány, ugyanakkor más tudományok segítője. A mindennapi élet része, gyakorlatban alkalmazható. A tanulók ismerjék meg a matematikai gondolkodásmódot, tapasztalják meg a gondolkodás, az alkotó tevékenység, a mintákban és struktúrákban tapasztalható rend és esztétikum örömét (NAT 2012).
1.3. Magyar matematikatanítási reformok Az iskolai matematikatanítás megújítása a 19. század vége óta foglalkoztatja a tanárokat, a matematikusokat. 1890ben nemzetközi mozgalom indult, a magyarországi reformbizottság vezetője Beke Manó professzor, a szervezet pedig a Mathematikai és Fizikai Társulat, a mai Bolyai János Matematikai Társulat elődje. Céljuk egyrészt a tananyag korszerűsítése volt, valamint az új matematikai eredmények beépítése a matematika tananyagba. Másrészt a tanítási módszerek megújítása, a „munkáltató tanítás”, a mérések, közvetlen tapasztalatszerzés megjelenése a tanítási órákon a valóság mind jobb megértése, a világos fogalomalkotás érdekében. Beke Manó kollégáival, Rados Gusztáv műegyetemi professzorral, Mikola Sándorral és Rátz Lászlóval a fasori Evangélikus Gimnázium tanáraival tankönyveket írt a népiskolai matematikatanítás számára, amelyhez a tanítóknak úgynevezett „vezérkönyvekben” adott hasznos tanítási útmutatót. Az új módszereket a szerzők sikerrel alkalmazták a saját iskolájukban, azonban az elterjesztésük kevésbé volt eredményes. A következő lépést az 1950-es években Péter Rózsa és Gallai Tibor középiskola I. osztályának szóló tankönyve jelentette, amely gyakorlati alkalmazásokra építve szemléletesen magyarázott matematikailag korrekt fogalmakat, összefüggéseket. A további kötetek taníthatóságát javította Hódi Endre és Tolnai Jenő, akik a felépítés rendszerét jobban közelítették a matematikához. Az 1960-as évek elején az úgynevezett „Szputnyik sokk” hatására újra nemzetközi figyelem fordult az oktatás megújítása felé. 1962-ben Budapesten rendeztek UNESCO konferenciát, amelyen a matematikatanítás korszerű kérdéseiről tanácskoztak. Innen indult a Varga Tamás, Dienes Zoltán nevével fémjelzett komplex matematikatanítási kísérlet. A tananyag komplex voltát mutatja, hogy a matematika egységes egészként szerepel benne a korábbi számtan-mértan tanítás helyett. Megjelennek a halmazok, számrendszerek, kombinatorika, valószínűség. Sajnos bizonyos anyagrészek esetenként túl korai formalizmusra adtak lehetőséget, nem mindenkinek sikerül elkerülni például az egyenletek, nyitott mondatok tanítását akkor, amikor a gyermekek még nem érettek erre a szimbolizmusra. A tantervi anyag változtatását módszertani megújítás is kísérte a tanulók
életkori sajátosságainak figyelembe vételével, az aktuális matematikai didaktikai, pszichológiai, pedagógiai kutatások eredményeinek felhasználásával. A kísérlet hosszú ideig zajlott, folyamatos kapcsolatot jelentett a tantervek kidolgozói és az iskolákban tanító pedagógusok között, amit a Művelődésügyi Minisztérium által létrehozott Korszerűsítési Bizottság irányított Szendrei János professzor vezetésével, aki a Juhász Gyula Tanárképző Főiskola főiskolai tanára (az intézmény főigazgatója, a Matematika Tanszék vezetője) volt. A mai napig megtalálhatók az intézetben a kísérleti tankönyvek, a taneszközök, színes rudak, lyukas táblák, stb., amelyeket azóta is használnak a pedagógusképzésben. Az így kialakult új tantervet 1978-ban vezették be, majd 1986-ban korrigálták. Ekkor a felső tagozatos kísérletek még nem fejeződtek be, ezzel magyarázható, hogy az újítások bevezetése az alsó tagozaton sikeresebb volt, mint a felsőbb évfolyamokon. A legfontosabb cél a felfedeztető tanítási stílus megteremtése, melynek során a tanulók eszközök, tárgyi tevékenységek, szemléltetések segítségével saját maguk fedezik fel a matematikai összefüggéseket, találják meg az új fogalmak legfontosabb jellemzőit. Ezzel szakítani kell a korábbi közlés-gyakoroltatás-számonkérés rendszerű tanítással. A saját felfedezésen alapuló, problémaközpontú tanítás lehetővé teszi a matematikai gondolkodás fejlődését, a tananyag jobb megértését, a tanulók motivációjának erősítését. A tananyag spirális felépítése biztosítja, hogy a tanulók saját tempójukban, induktív úton jutnak az életkori sajátosságaiknak megfelelő általánosításhoz, absztraháláshoz, a tények, fogalmak, összefüggések, fogalmi rendszerek megismeréséhez. Ugyanakkor a pedagógust nagyobb kihívás elé állítja, hiszen olyan környezetet, eszközöket, feladatokat, ellenőrzési módokat kell a tanulóknak biztosítania, ami a pedagógus segítő támogatásával lehetővé teszi az önálló tevékenységet. Ez a tanítási stílus feltételezi a differenciálást a különböző sebességgel haladó tanulók között, ezáltal is nagyobb terhet róva a tanárokra. Ezért különösen fontos a pedagógusok felkészítése a komplex matematika tanítására folyamatos továbbképzések szervezésével. A kezdetben jól működő továbbképzések száma csökkent, így a reform elterjedése megtorpant. Az új módszerek meghonosodását gátolja, hogy ez a tanítási stílus időigényesebb, mint a közlő módszer, és a matematika óraszám folyamatos csökkenésével, sokszor épp a tevékenységekre, célzott fejlesztő játékokra szánt idő vész el. A későbbi korszerűsítések, a képességfejlesztés, majd a kompetencia alapú tanítás mind ugyanezt a célt szolgálták, a felfedeztető matematikatanítás elterjesztését, a matematikai képességek, a matematikai gondolkodás fejlesztését, a tanulók attitűdjének javítását. A matematikatanítás megreformálására matematikatanárok, tanítók egy csoportja Pálfalvi Józsefné vezetésével 2006-tól Európai Uniós támogatással kompetenciaalapú matematika tananyagokat dolgozott ki. Fontos szempont volt az úgynevezett realisztikus matematika alkalmazása, a tananyag mind erősebb kötődése a mindennapi életben hasznosítható ismeretekhez. Ezek a tananyagok azonban nem nyerték el azt a formátumot, amely alkalmassá tette volna őket a tanulói alkalmazásra, valamint a megvalósíthatóságra vonatkozó kísérletek is abbamaradtak. Mivel rendkívül sok hasznos módszert, tevékenységet gyűjtöttek össze, ez az anyag a mai napig kincsesbánya a korszerű módszereket alkalmazni kívánó pedagógusok számára.
1.4. A komplex matematikatanítás módszertani alapelvei Az előzőekben már bemutattuk a komplex matematikatanítási módszer lényegét, célját, a következőkben összefoglaljuk a legfontosabb alapelveket, amelyek a mai matematikatanításnak is alapját képezik. 1. Valóságon alapuló, cselekvő tapasztalatszerzésből kiinduló tanulás. 2. Eszközök használata (állandó eszközök például a színes rudak, a logikai készlet, alkalmi eszközök lehetnek gyümölcsök, kupakok, stb.) 3. Egységes és széles alapozás (matematikai fogalmak korai alapozása, pl. valószínűség). 4. Életkori, és egyéni sajátosságok figyelembe vétele (spiralitás, differenciálás). 5. Az absztrakció megtervezése (induktív tanulás) 6. Tévedés szabadsága, érvelés, vita. 7. Örömteli tanulás, belső motiváció.
A tanulási nehézségek egyik fő oka, ha az absztrakciós folyamat valahol megszakad, vagy hiányzik a továbblépés tapasztalati alapozása.
1.5. Matematikai kompetencia Általában a kompetencia olyan felkészültség, amely alkalmassá tesz arra, hogy különböző helyzetekben hatékonyan cselekedjünk (Perrenoud, 1997). A matematikai kompetencia három összetevője: 1. Matematikai tantárgyi ismeretek. 2. Matematika-specifikus készségek, képességek. 3. Motívumok, attitűdök. A következőkben a matematikai kompetencia legfontosabb képesség,- és készség komponenseit foglaljuk össze(Fábián és mtsai 2004):
Készségek
Gondolkodási képességek
• számlálás
• rendszerezés
• számolás
• kombinativitás
• mennyiségi következtetés
• deduktív következtetés
• becslés
• induktív következtetés
• mérés
• valószínűségi • mértékegységváltás következtetés • szöveges feladat megoldás
Kommunikációs képességek
Tudásszerző képességek
Tanulási képességek
• reláció szókincs
• problémaérzékenység • figyelem (kérdések) • szövegértés • rész-egész • probléma észlelés • szövegértelmezés reprezentáció • emlékezet • eredetiség, kreativitás • térlátás, térbeli • feladattartás viszonyok • probléma-megoldás • ábrázolás • feladatmegoldási • metakogníció sebesség • prezentáció
• érvelés • bizonyítás
A tanítási órák tervezése során a komplex matematikatanítási elvek mentén határozzuk meg az óra egyes részeinek célját tekintetbe véve a kompetenciafejlesztési feladatokat. A megfelelő tevékenységeknél célszerű alkalmazni a kooperatív munkaformát.
1.6. Kooperatív tanulás
A kooperatív tanulás során a gyerekek csoportokban, együtt dolgoznak. A párhuzamos interakciók kapcsán a tanulóknak sokkal több alkalmuk van a kommunikációra, mint a frontális tanítás során. A tanulók egymást „tanítják”, ami hasznos a jobb képességűeknek, hiszen a magyarázás során bennük is jobban tudatosul a tananyag, és hasznos a gyengébbeknek, mert bátrabban kérdeznek, és a társaiktól gyereknyelven hallott magyarázat érthetőbb lehet számukra (Kagan, 2001). A tanulók szociális képességei fejlődnek, alakul együttműködésük, egymásra utaltságuk, egyéni felelősségük. Szervezhetünk homogén és heterogén csoportokat a tevékenység céljától függően. Új ismeretek felfedezésekor, játékok alkalmával hasznos, ha vegyes csoportokat alkotunk, a jobb képességű tanulók irányíthatják, ellenőrizhetik a munkát. Gyakorláskor a differenciálás sokszor egyszerűbb, ha homogén csoportokat alkalmazunk. A négy fős csoportok előnye, hogy könnyen válthatunk páros munkára. A kooperatív tanulásszervezés legfontosabb feladata, hogy biztosítsuk, hogy mindenki egyformán részt vegyen a munkában. Ennek érdekében mindenki kap szerepet. Hasznos szerepek a szószóló, az írnok, az eszközfelelős, az edző (aki a lemaradókra figyel), stb. Azonban a matematika feladatmegoldás általában nem bontható olyan részfeladatokra, amelyeket érdemes lenne szétosztani. Ilyenkor mindenki a saját feladatán dolgozik, és a megoldás után beszélhetik meg egymással az eredményeket. Néhány kooperatív feladattípus kifejezetten illik a matematika órára. Ilyen a feladatküldés, amelyet szervezhetünk például úgy, hogy megadott műveltsorhoz vagy szakaszos modellhez kell szöveget írni. A szöveges feladatot a másik csoport megoldja, visszaküldi, és a küldők ellenőrzik. Hiba esetén a szöveget írók és a megoldók is hibázhattak, ezt meg kell vitatni. A kerekasztalnál tulajdonságokat, példákat kell gyűjteni, a csoport minden tagja sorban hozzátesz egy-egy újabb elemet a gyűjteményhez. A füllentős feladatban a csoportnak két igaz és egy hamis állítást kell mondani, a többi csoportnak meg kell találni, hogy melyik állítás volt hamis. A diákkvartettben a tanulók együtt dolgoznak, ha valaki nem tudja a megoldást, a többiek elmagyarázzák neki, mert a tanár bármelyiküktől kérdezheti a választ. Nem szabad félni a tanteremben levő nagyobb alapzajtól, a tanulók hamar megtanulják a csendjelet, amellyel a tanár újra magára vonhatja a figyelmet, és végül kevesebb időt kell tölteni fegyelmezéssel, és a tanulók sokkal többet beszélnek a tárgyról, aktívabban tevékenykednek, együttműködnek.
1.7. Feladatok 1.7.1. Feladat Melyek a Varga Tamás-féle komplex matematikatanítási program célkitűzései és módszertani alapelvei?
1.7.2. Feladat Melyek a matematikai kompetencia készség- és képesség komponensei?
1.7.3. Feladat Tekintsük a következő problémát: „András 5 palacsintát evett, 2-vel többet, mint Réka. Hány palacsintát ettek ketten együtt?” Tervezzük meg a megoldás lépéseit frontális munkaformában (tanári kérdés – tanulói válasz), és kooperatív munkaformában (korongokkal végzett tevékenységgel, a csoport egyik tagja András, másik Réka szerepét játssza, a harmadik a játékmester, aki irányítja, összefogja a tevékenységet, a negyedik a jegyző, aki lejegyzi a lépéseket). Minden lépés mellé írjuk oda a kompetenciafejlesztési feladatot!
1.7.4. Feladat Válasszunk egy matematikai fogalmat, és mutassuk meg annak spirális fejlődését 1-12. osztályig!
1.7.5. Feladat Tervezzünk kooperatív tevékenységet hosszúságok összehasonlítására színes rudak segítségével!
2. A matematika tanításának pedagógiai-pszichológiai alapjai Az értelmi fejlődés Piaget-féle fejlődési szakaszainak a matematikatanítási vonatkozásai, mennyiségek állandósulásának sorrendje, ideje. A reprezentáció szintjei. A fogalmak bevezetésének módjai. Az ismeretszerzés lépései. A hallgató ismerje az 1-4. osztályos tanulók életkori sajátosságait a matematika tanítás vonatkozásában. Legyen képes bemutatni néhány problémát különböző reprezentációkban, különböző szinteken. Tudja, hogy a fogalomalkotás hosszú folyamat, és ismerje annak lépéseit. Legyen elkötelezett a fogalmak tevékenységgel történő bevezetése, és a közlő tanítási módszer elkerülése iránt az 1-6. osztályos gyerekek számára.
2.1. Az értelmi fejlődés Piaget-féle szakaszainak matematikatanítási vonatkozásai, a mennyiségek állandósulásának sorrendje, ideje Piaget az 1950-es években kísérleti módszerekkel vizsgálta a gyermekek értelmi fejlődését. Munkája nagy hatással volt a komplex matematikatanítási programra, ugyanis ez segítette a tananyag kiválasztását, és az egyes tartalmak tanítási szintjének meghatározását. Természetesen az életkori határok között nagy egyéni különbségek lehetnek, és sok esetben a vizsgált tartalom is befolyásolja, hogy annak alapján melyik szakaszba soroljuk a gyermeket. A Piaget által meghatározott szakaszok jellemzői: -sorrendjük állandó -egymásra épülnek (integratívak) -a határaik nem élesek (minden szakasznak van előkészületi szintje, majd az egyensúly létrejöttével befejezett szintje). A fejlődési szakaszok áttekintése során azokra koncentrálunk, amelyeknek az alsó tagozatos tanításban szerepe van (Piaget, Inhelder, 2004):
I. Érzékszervi, mozgásos (0-2 év) Reflexek gyakorlása, szokások kialakulása, mozgásos cselekvési sémák használata jellemzi. Tárgyak állandósulása. II. Műveletek előtti szakasz (2-7 év): 1. Manipulálható tárgyakon végzett műveletek jellemzik. Az előfogalmi gondolkodás (konkrét kísérletezés) fokozatosan szemléletes gondolkodássá változik (képzetek kialakulása, ismert konkrét cselekvés múltbeli eredményének elmesélése, jövőbeli eredményének előrejelzése). 2. Cenralizáció: egyszerre egy tulajdonságot tud megfigyelni, aszerint tud válogatni. 3. Irreverzibilitás: a cselekvéssort nem képes fordított irányba elvégezni. 4. Állandósul az „ugyanannyi”, az intuitív mennyiségi képzet. Az iskolában 1. osztályban nagyon hamar szükség van azokra a képességekre, amelyek a műveletek előtti szakasz befejezett szintjét jelentik, például a szemléletes gondolkodás szükséges ahhoz, hogy a gyerekek észrevegyék, hogy a 3 autó, 3 ház, stb. képeken ugyanannyi dolog van, közös tulajdonsága a darabszám, így a 3 darab fogalma kialakuljon. Az „ugyanannyi” állandósulása hosszú folyamat, a különbségek nem rendezhetők az 1. osztály elején erre rendelkezésre álló néhány hét alatt, így elengedhetetlen, hogy erre az óvodában különös figyelmet fordítsanak. Ellenőrizhető az „ugyanannyi” állandósulása azzal az egyszerű kísérlettel, hogy kirakunk a gyermek elé két sorba ugyanannyi piros és kék korongot úgy, hogy a piros-kék párok egymás mellett legyenek. Megbeszéljük, hogy ekkor ugyanannyi piros korong van, mint kék. Ezután a gyermek szeme láttára a kék korongok sorát széthúzzuk, így a darabszám nem, csak a sor hossza változik. 4-5 éves gyermekek ekkor a darabszámról a hopsszúságra váltanak, és azt mondják, hogy több kék korong van, mint piros. Ahhoz, hogy lássák azt, hogy a két darabszám ugyanannyi, szükséges, hogy a darabszám függetlenedjen a megvalósulási formától, más mennyiségektől. Több szempont egyidejű figyelembe vételére szükség van már az első összehasonlításoknál, az első szöveges feladatoknál. A cselekvéssor megfordítása pedig a visszafelé számlálásban, az összeadás, kivonás kapcsolatának felismerésében elengedhetetlen. Ez utóbbi képességek fejlettsége a 6. és 7. életév között nagymértékben fejlődik, így erre fokozottan oda kellene figyelni az iskolaérettség megállapításakor. III. Konkrét műveletek szakasza (7-11 év) 1. A konkretizmus belsővé vált konkrétsággá fejlődik, a gyermek képekkel, gondolatban elképzelt dolgokkal, tevékenységekkel is képes foglalkozni. Ez teszi lehetővé számára a számokkal végzett műveleteket a tárgyakkal való manipulálás helyett. 2. Decentralizáció: több szempontra is képes egyidejűleg figyelni, ezáltal összefüggéseket felismerni. 3. Reverzibilitás: képes cselekvéseket fordított irányban elvégezni, a tárgyakat átrendezni. 4. Állandósul: szám, mennyiségek (hosszúság, tömeg, terület, idő) Az iskolai kudarcok egyik oka lehet, hogy az ebben a szakaszban kialakuló képességek nagy részét befejezett szinten várjuk el már az 1. osztályos tanulóktól. A tanulók nagy része megfelelő szinten birtokában van ezeknek a képességeknek, viszont azok a tanulók, akik pedig nem rendelkeznek ezekkel a képességekkel, sokszor csak hosszú évek alatt tudnának erre a szintre fejlődni, akkorra viszont az iskolában menthetetlenül lemaradnak. Ez is mutatja az óvodai matematikai fejlesztés óriási felelősségét.
IV. Formális műveletek szakasza (11 évtől) 1. 2. 3. 4.
Műveletek szimbólumokkal, érvelés, állításokkal, hipotézisekkel kapcsolatos okfejtés képessége. Többféle szempont szerinti osztályozás egyidejűleg, rendszerezés, nézőpontváltás. Visszafelé következtetés. Állandósul a térfogat, a mennyiségek aránya.
A legkésőbb állandósuló mennyiség a térfogat. Jellemző a kisebb gyermekekre a következő kísérlet eredménye: két egyforma edényben ugyanannyi víz van, erről öntögetéssel meggyőződünk. Ezután az egyik edényben levő vizet átöntjük egy magsabb edénybe a gyermek szeme láttára. Azok, akikben a térfogat még nem állandósult, a magasabb edényben levő víz mennyiségét gondolják többnek, ugyanis az alakzatot nézi, nem pedig az átalakítás folyamatát. Rendkívül fontos, hogy bár a szimbolikus gondolkodás előkészítésével foglalkozunk az alsó tagozatban, nem szabad elvárni például szöveges feladatok szimbolikus, nyitott modellel való modelljének felállítását. A túl korai absztrakció megfelelő tapasztalati alapozás nélkül olyan szakadást idéz elő az absztrakciós folyamatban, amely mindvégig rányomja bályegét a tanulók matematikai teljesítményére, és matematikához való hozzáállására.
2.2. A reprezentáció szintjei A Piaget-féle fejlődési szakaszok életkorhoz kötöttsége megkérdőjelezhető, hiszen függ az egyén fejlettségétől, a vizsgált tartalomtól. Ezt a problémát küszöböli ki a Bruner által leírt reprezentációs elmélet, amely szerint az ismeretszerzés három síkon, három reprezentációban megy végbe, amelyek egymásra épülnek. Ezek a síkok a következők: 1. Materiális sík (enaktív sík) Az ismeretszerzés konkrét tárgyi tevékenységeken megy végbe (eszközök használata). 2. Képi sík (ikonikus sík) Az ismeretszerzés szemléletes képek, elképzelt szituációk segítségével történik (Venn-diagram, szöveges feladatok szakaszos ábrázolása, ágrajzok, stb.). 3. Szimbolikus sík Ismereszerzés matematikai szimbólumok, és a nyelv segítségével. A szimbólumok elszakadnak a konkrét tárgyi megvalósulásuktól, saját jelentésük van. A matematika tanításában rendkívül fontos, hogy sokféle, változatos tárgyi tevékenységgel alapozzuk meg a képi ábrázolás tanítását, és csak ezek után, ezekre építve kezdhetjük a szimbolikus reprezentációk alkalmazását. A megfelelő előkészítés hiányában a szimbolikus módszerek üres formulákat jelentenek csupán, amelyeket a tanulók képtelenek lesznek új helyzetekben alkalmazni. A következő példa azt szemlélteti, hogy ugyanazon probléma hogyan jelenhet meg a három reprezentációban, ezáltal egymásra épülve különböző életkorokban a megfelelő szinten megoldható. Példa:
Egy udvarban tyúkokat és nyulakat láttam. Megszámoltam, hogy hány fejük és hány lábuk van, 5 fejet és 14 lábat számoltam össze. Hány tyúkot és hány nyulat láttam az udvarban? Materiális sík Vegyünk 5 korongot, ezek lesznek a fejek.
Képi sík Rajzoljunk 5 kört, ezek lesznek a fejek:
Vegyünk 14 pálcikát, ezek lesznek a lábak.
Szimbolikus sík Jelöljük a tyúkok számát xszel, a nyulak számát y-nal. A fejek száma: x+y=5 A lábak száma: 2x + 4y = 14 Az egyenletrendszert az egyenlő együtthatók módszerével oldjuk meg:
Rakjunk minden fejhez kétkét lábat, mert minden állatnak van legalább két lába.
Szorozzuk meg az első egyenlet mindkét oldalát 2vel: Rajzoljunk minden fejhez két2x + 2y = 10 két lábat, mert minden álaltnak van legalább két lába. A másik egyenlet: Ezzel 2∙5=10 lábat rajzoltunk le.
A megmaradt lábakat rakjuk ki kettesével, mert a nyulaknak kettővel több lába van, mint a tyúkoknak. Így láthatjuk, hogy még 2 fejnek jutott plusz két láb, 3 fejnek nem jutott. Tehát 2 nyulat és 3 tyúkot láttam az udvarban.
2x + 4y = 14
Maradt még 14 – 10 = 4 láb. Ezeket kettesével kiosztva
Vonjuk ki a második egyenletből az elsőt:
4 : 2 = 2 állatnak jut még két láb. Marad 3 kétlábú állat.
2y = 4 Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát 2-vel:
Tehát 2 nyulat és 3 tyúkot láttam az udvarban.
y=2 x=5–2=3 Tehát 2 nyulat és 3 tyúkot láttam az udvarban.
Érdemes megfigyelni, hogy mindhárom síkon ugyanazokat a lépéseket végeztük el! A materiális síkon a kezünkben levő tárgyak miatt szükségtelen volt a számolás, amire a képi síkon a megmaradt lábak számának meghatározásához szükségünk volt, ugyanezeket a műveleteket a szimbolikus síkon az egyenletrendszer megoldási lépései indokolják. Mennyivel hasznosabb a bennük rejlő valóságos tartalom megismerése a formális, később gyorsabb, és nagyobb számoknál szükséges módszernél! Sok helyen a hasonló feladatokat próbálgatással oldják meg a gyerekek, aminek sokkal kisebb a gondolkodásfejlesztő hatása, hiszen nem mutatja a későbbi, általánosabb módszer lépéseit.
2.3. A fogalmak bevezetésének módjai 1. Induktív: konkrét példákból a közös tulajdonságok felismerésével általánosítunk, absztrahálunk. A tapasztalatok bővülésével ez az absztrakt fogalom konkrétummá válhat, és további absztrakció alapját képezheti. Például a falevél a fű, az éretlen gyümölcs, stb. (konkrétumok) közös tulajdonsága, hogy zöld (általános fogalom). A zöld, a kék, a piros, a sárga, a narancssárga (konkrétumok) közös tulajdonsága, hogy színek (általános fogalom). Így jutunk többszörös absztrakcióval a színek fogalmához. Hasonlóan a 3 autó, 3 ház, 3 fa (konkrétumok) absztrakciója a 3-as szám. A 3, 4, 5, (konkrét számok) absztrakciója a változó (általános fogalom). Ez is mutatja, hogy a változók, nyitott mondatok megjelenését meg kell előzze a számokkal kapcsolatos sok-sok tapasztalat, ami eljuttatja a tanulókat arra a szintre, amelyen a számok már konkrétumoknak számítanak. Az induktív út önálló tanulói tevékenységet feltételez, amelynek során fejlődik a tanulók nyelvi, logikai képessége, és a definíció előtt helyes képzet alakul ki a fogalomról. Ennek megfelelően időigényes, sok példát, ellenpéldát kell felsorakoztatni, és tudatosan megtervezett tanítói munkát igényel. 2. Deduktív: az általános fogalomból meghatározó tulajdonságok segítségével alkotunk speciális fogalmat. Például a logaritmus általános definícióját így vezetjük be középiskolában. Alsó tagozatban ez a mód nem alkalmazható. 3. Konstruktív: egy eljárás többszöri konkrét elvégzésével az eljárás általánosítása alapozza meg a definíciót. Ilyen például a tengelyes tükrözés meghatározása.
2.4. Az ismeretszerzés lépései Vit Hejni és Milan Hejni munkája nyomán Szendrei Julianna az ismeretszerzés, fogalomalkotás induktív folyamatának hatlépéses modelljét írta le (C. Neményi E., R. Szendrei J. 2001). A lépések egymásra épülnek, és bármelyiknek a kihagyása megakasztja az absztrakciós folyamatot, és sérül a fogalom, az ismeret. 1. Ráhangolódás A tanulók érdeklődésének felkeltése a téma szépségének, érdekességének bemutatásával, játékkal, bűvészkedéssel. A ráhangolódást kiválthatja a tudásvágy, olyan ismeret megszerzésének igénye, amely élményt nyújt, emeli az egyén kompetenciáját, vagy segíti az életben való eligazodást. Az érzelmek tudatos stimulálása segít az ismeretek felkutatásában, átélésében, rögzítésében. 2. Konkrét tapasztalatok A megismerés folyamatában változatos konkrét formában mutatjuk be az új ismereteket, így a sokféle reprezentációban bemutatott egyedi modelleken szerzett tapasztalatok biztosítják a közös tartalom felfedezését. 3. Univerzális modellek
A konkrét modelleken szerzett tapasztalatok számának növelésével kialakul a modellek lényeges tulajdonságait egyesítő, a fogalom, ismeret működését legjobban jellemző modell, vagy modellek, ezek az univerzális modellek. Fontos, hogy az univerzális modellek hosszú ideig működjenek a konkrét tapasztalatokba ágyazottan, így érhető el a biztos tudás. 4. A felfedezés pillanata, „AHA élmény”: az ismeret, a fogalom kialakul. Absztrakciós ugrás következik be, a kiemelt tulajdonságok új minőséggé állnak össze. 5. Kikristályosodás: az új ismeret beépül a meglévő ismeretek rendszerébe. Asszimilációról beszélünk, ha az új ismeret a korábbi rendszer struktúrájának megváltoztatása nélkül be tud épülni. Akkomodációról beszélünk, ha az új ismerethez a régi rendszert át kell értékelni, a régi rendszernek alkalmazkodni kell (Skemp, 1975, p 56). A tanításban nagyon fontos megkülönböztetni azokat a megállapításokat, amelyek bizonyos későbbi ismeretek birtokában megváltoznak, és azokat, amelyek nem. Például a természetes számok körében csak akkor tudjuk elvégezni a kivonást, ha a kivonandó nem nagyobb a kisebbítendőnél. Ezt a feltételt azonban nem sulykolhatjuk örökérvényű szabályként, hiszen a negatív számok bevezetésével már ez a művelet is elvégezhető. Ellenben a 0-val osztás semelyik számkörben sem végezhető el. 6. Automatizálódás: pszichikus energia szabadul fel más tevékenységek számára. Az egyes szakaszok nem elkülönülve egymás után következnek, az ismeretek fejlődése a szintek közötti oda-vissza lépkedéssel valósul meg. Kövessük végig a szinteket a természetes szám fogalmának alakulásában: 1. Ráhangolódás: mennyiségi társasjátékozás közben.
összehasonlítások,
több-kevesebb
összehasonlítás
például
osztozkodás,
2. Egyedi modellek: 3 csokoládé, 3 autó, 3 alma, stb. 3. Univerzális modellek: ujjak, korongok, pálcikák, számegyenes, pénzérmék, amelyekkel az egyedi modellek bármelyike modellezhető. 4. A felfedezés pillanata: a 3, mint szám megjelenése. 5. Kikristályosodás: a számokkal konkretizálás nélkül is tud műveletet végezni, megismeri a tulajdonságait. 6. Automatizálódás: műveletek, tevékenységek számokkal, szöveges feladatok, egyenletmegoldás. A fogalomalkotás hosszú folyamat, nem szabad az egyes lépéseket siettetni, és figyelni kell arra, hogy a tanulók nem egyforma tempóban jutnak el az egyes szintekre.
2.5. Feladatok 2.5.1. Feladat
Tervezzünk a mennyiségek állandósulásának vizsgálatára kísérletet, és végezzük el 4-5 éves, és 6-7 éves gyermekekkel. Írjuk le a tapasztalatokat!
2.5.2. Feladat Válasszunk ki egy konkrét matematikai ismeretet, és mutassuk be materiális, képi és szimbolikus síkon!
2.5.3. Feladat Mutassuk be az autóvezetés tanulásán az ismeretszerzés lépéseit!
3. A természetes szám fogalmának kezdeti alakulása A darabszámon és a mennyiségen alapuló számfogalom alakulásának kezdeti lépései, az összehasonlítások fokozatai, az „ugyanannyi” fogalma. A halmazos és számlálásos számfogalom jellemzői, kapcsolatuk fejlesztése. Sorszám. Egységgel mérés. A számok sokféle neve. Játékok a bontás gyakorlására. A hallgató ismerje a természetes szám fogalom alakításának lépéseit, tartalmait. Legyen képes felismerni és alkalmazni a párhuzamot a darabszámmal és a mennyiségekkel való fogalomépítés között. Lássa, hogy a számlálás nem azonos a számfogalommal, és ismerjen játékokat a számérzék fejlesztésére.
3.1. A természetes szám fogalom alakulásának kezdeti lépései A természetes szám fogalma nem alakult ki azzal, hogy a gyermek tudja sorban a számneveket, esetleg meg is tud számlálni dolgokat. Az alkalmazható számfogalomhoz sokrétűbb tapasztalatokra van szükség. Ha az iskolába lépés előtt nem gyűjtött kellő tapasztalatot a gyermek, akkor azt külön odafigyeléssel gazdag tárgyi környezettel kell pótolni tudatosítva az élményeket. A természetes szám fogalma alapvetően kétféle tartalommal alakul: darabszámként (tőszám) és mennyiségként (mérőszám). A későbbiekben látni fogjuk a különbséget, ezért fontos, hogy ne használjuk a darabszám és mennyiség szavakat szinonimaként, a kérdésekben a „hány” és „mennyi” kérdőszavakkal is próbáljuk elkülöníteni őket. Ezeket a tartalmakat egészíti ki a természetes szám, mint sorszám. A következőkben ha csak számot mondunk, akkor mindig természetes számra gondolunk.
1. Érzékszervi összehasonlítás nagy különbség esetén Darabszám Két halmaz elemszámának összehasonlítása: melyikben van több, melyikben van
Mennyiség A különböző mennyiségek esetén a gyerekeknek ismerniük kell a reláció
kevesebb elem.
szókincset konkrét tárgyi tapasztalatokhoz kötődve.
Kirakunk egy tálra 2 almát, egy másikra 5 körtét. Melyikből van több?
Hosszúság:
Több körte van, mint alma.
Magasabb-alacsonyabb
Kevesebb alma van, mint körte.
Hosszabb-rövidebb
Fontos mindkét irány, a több és a kevesebb viszony megnevezése is.
Szélesebb-keskenyebb Vastagabb-vékonyabb
Változtassuk a méreteket! Távolabb-közelebb Egy tálon van 2 alma, a másikon 5 dió. Hiába tűnik az alma mennyisége többnek, dióból van több darab. Ilyen tapasztalatokkal segítjük azt a folyamatot, amelynek során a darabszám függetlenedik a konkrét tárgyaktól. Változtassuk az érzékszerveket! A látás mellett hallás, és tapintás útján is döntsünk! Kopogásból (2) volt több vagy tapsból (5)? Két zsákban diók vannak egyikben kettő, a másikban öt. Tapintás útján döntsük el, melyikben van kevesebb dió! Fontos, hogy a gyermeknek érdeke fűződjön a kérdéshez.
Kicsiknél az összehasonlítás a mozgásokból indul, és a magasságnál a legegyszerűbb: óriások vagyunk, ha felnyújtjuk a karunkat, hogy elérjünk valamit, lekuporodunk, ha be akarunk bújni valahová. Kössük be valakinek a szemét, és vezessük végig két úton, az egyik legyen rövidebb, a másik hosszabb, döntse el, melyik volt a rövidebb! Csukott szemmel tapintás útján döntsük el két spárgadarabról, hogy melyik a hosszabb, melyik a vastagabb! Tömeg: Nehezebb-könnyebb Két egyforma dobozba rakjunk különböző tárgyakat, döntsük el, melyik doboz nehezebb. A tömeg legyen független a látványtól, tapasztaljuk meg, hogy egy kisebb vasgolyó lehet, hogy nehezebb, mint egy nagyobb, papírból gyúrt golyó.
Óvodás gyermekektől kérdezték meg, hogy melyik tálban van több drazsé, és általában ötletszerűen válaszoltak. Viszont amikor egy tálból almát kellett osztani mindenkinek, de kevesebb alma volt, mint gyerek, akkor voltak gyerekek, akiknek nem jutott alma, így látták, hogy kevesebb alma volt, mint gyerek. Terület:
Nagyobb-kisebb területet fed le. Például két levelet hasonlítsunk össze, melyik fed le nagyobb területet. Térfogat: Több-kevesebb víz fér bele.
Idő: Több-kevesebb ideig tart. 2. Objektív összehasonlítás közvetlen összeméréssel kis különbség, egyenlőség esetén Darabszám
Mennyiség
Két halmaz darabszámának közvetlen összemérése azt jelenti, hogy párba állítjuk az egyik halmaz elemeit a másik halmaz elemeivel (kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesítünk a két halmaz elemei között). Ha a párba állítás során egyik halmazból sem maradt ki elem, akkor a két halmazban ugyanannyi elem van, (a két halmaz ekvivalens).
A közvetlen összeméréssel megállapíthatóvá válik a több-kevesebb mellett az „ugyanakkora”: ugyanolyan hosszú, ugyanolyan nehéz, ugyanakkora területet fed le, ugyanannyi víz fér bele, ugyanannyi ideig tart.
Például körberakunk kevesebb széket, mint ahány gyerek van, szól a zene, és amikor elhallgat, mindenkinek le kell ülni egy székre, akinek nem jut hely, kiesik. A székek és a gyerekek halmazának elemeit a leüléssel állítjuk párba. Mivel van olyan gyerek, akinek nem jut szék, több gyerek van, mint szék.
Két gyerek magasságát össze tudjuk hasonlítani, ha háttal egymás mellé állnak.
Sokféle tárgyi tapasztalattal érhető el, hogy az „ugyanannyi” fogalma állandósuljon, leváljon a tárgyi megvalósulásról. Ehhez szükséges, hogy különféle színű, formájú, méretű, tömegű tárgyakkal kísérletezzünk, ahol a két halmaz közös tulajdonsága az elemszáma. Az „ugyanannyi” érzékeltetésére végezzünk összetartozó tárgyakkal kísérleteket, ahol a párba állítás a dolgok természetéből fakad, ilyen például a terítés: ugyanannyi tányér, kanál, pohár, szalvéta, stb. kerül az asztalra. A mesékben is találunk példákat: ugyanannyi ágy, tányér, lámpás, csákány van a törpék házában, ahány törpe. Különösen lényeges a tárgyak elrendezésének variálása. (lásd Piaget klasszikus kísérlete a korongokkal). Mutassunk egy kezünkön többféleképpen 3 ujjat! Gyakoroljuk az „ugyanannyit” hangokkal, mozgással! Például „olvassuk le” a következő sort úgy, hogy minden fehér korong egy
Két ceruza hosszát összemérhetjük, ha egymás mellé tesszük őket.
Különböző tárgyak tömegét kétkarú mérleggel hasonlíthatjuk össze. Kétkarú mérleget készíthetünk úgy, hogy vállfa két oldalára papírtányérokat akasztunk. Levelek területét összemérhetjük úgy, hogy egymásra rakjuk őket, ha az alakjuk eltérő, akkor az egyiket darabolhatjuk, és a darabokkal fedjük le a másikat. Ezzel a terület fogalma is kezd fejlődni, hiszen a gyerekek tapasztalatot szereznek arról, hogy a terület a lefedéshez kötődik. Poharak térfogatát összemérhetjük úgy, hogy az egyiket teletöltjük vízzel, és beleöntjük a másikba. Időtartamokat összemérhetünk például versenyek alkalmával, ki futotta le a távot rövidebb idő alatt.
tapsot, egy sötét korong egy kopogást jelentsen! A fehér korong kutyaugatás, a sötét macskanyávogás, stb.
Tranzitivitás (közvetítődés): Ha kevesebb alma van, mint körte, és kevesebb körte van, mint szilva, akkor kevesebb alma van, mint szilva. Ugyanez az „ugyanannyi” kapcsolatra is érvényes. Minden tányéron van egy alma. Letakarjuk őket egy-egy szalvétával, és megszámoljuk, hogy 5 tányér van, ezután megkérdezzük, hogy hány alma van a tányérokon. Amíg a gyermek nem tudja, hogy 5 alma van, addig nem állandósult számára az „ugyanannyi” fogalma. Végezzünk tevékenységeket a tranzitivitás bemutatására különböző mennyiségekkel! Egyenlővé tevés: Például vegyünk egy almát, egy körtét és egy őszibarackot! Rakjunk közéjük nyilakat úgy, Ha több alma van, mint körte, akkor tegyük hogy a nyíl a könnyebbtől a nehezebb felé egyenlővé az almák számát a körték mutasson! Kétkarú mérleggel, hasonlítsuk számával! össze először az almát és a körtét, majd a körtét és az őszibarackot! Ha az alma Megtehetjük úgy, hogy elveszünk az nehezebb a körténél és a körte az almákból, vagy úgy, hogy hozzáteszünk a körtékhez. Ezek a tárgyi tapasztalatok alapját őszibaracknál, akkor ebből tudjuk, hogy az képezik később a megfelelő műveletsor, majd alma nehezebb az őszibaracknál, elég volt két mérés. Viszont ha a körte a könnyebb, akkor az egyenlet felírásának is. a körte lett a legkönnyebb, így kell még egy mérés, hogy megállapítsuk, hogy az alma vagy az őszibarack a nehezebb.
Vágjunk ki két papírcsíkot, hasonlítsuk össze a hosszúságukat, szélességüket, és tegyük egyenlővé vágással! 3. Objektív összehasonlítás közvetítővel Darabszám A több, a kevesebb és az ugyanannyi kapcsolatok tranzitivitása teszi lehetővé a közvetítők alkalmazását akkor, amikor a
Mennyiség Választunk egy közvetítő mennyiséget, és ezzel végezzük az összemérést. Hosszúságok összemérésénél lehet közvetítő
a spárga, a tömegnél például építőkockák, területnél papírdarab, térfogatnál egy Közvetítő lehet bármi, de célszerű univerzális harmadik edény, időnél a homokóra. modelleket, kavicsokat, korongokat, pálcikákat, ujjakat választani, amelyek bármilyen konkrét tárgynak megfelelhetnek, ezzel is segítve az absztrakció alakulását. közvetlen összemérés nem lehetséges.
Például rakjunk ki annyi korongot, ahány ablak van a termen, és annyi pálcikát, ahány ajtó. Ezután a korongokat és a pálcikákat párba állítva meg tudjuk állapítani, hogy ablak vagy ajtó van több a termen. Közvetítő lehet egy mondóka is, ha minden darabra egy szótagot mondunk. Például hasonlítsuk össze, melyik kupacban van több gomb úgy, hogy megfigyeljük, melyiknél jutunk tovább, ha az „Ecc, pecc kimehetsz …” kiszámolót mondjuk. 4. a. A szám megjelenése darabszámnál halmazos számfogalom esetén Kis számokat: 1, 2, 3, 4, 5 ránézésre, összkép alapján meg tud állapítani, ez a számérzék. Olyan elrendezés szükséges, amely egy pillantással átfogható. A halmazos számfogalom alapja az ekvivalens véges halmazok közös tulajdonsága, az elemeik száma. A darabszámokat először rendezett formában, sokszor a dominóképnek vagy dobókocka képnek megfelelő statikus számkép alakjában ismerik fel a gyerekek, később fokozatosan, dinamikusan változtathatjuk az elrendezést.
A nagyobb számoknál szükségszerű a tagolás. Nem mondhatjuk, hogy kialakult számfogalma van a gyerekeknek addig, amíg nem alakult ki a számérzékük, nem tudják a darabszámot kis számok esetén ránézésre számlálás nélkül megállapítani. A darabszámok ránézéses felismerését gyakorolhatják gyorsolvasási gyakorlatokkal: a kártyákon kis elemszámokat ábrázolunk különböző formában, versenyezhetnek, ki tudja gyorsabban leolvasni az összes kártyát. A gyorsaság igénye biztosítja azt, hogy ne tudják megszámlálni az elemeket. Ugyanez hallás útján nem fejleszthető, hiszen a hangok nem foghatók át egyszerre egy hallással. 4. b. A szám megjelenése darabszámnál számlálással Számlálásra van szükség, ha a darabszám nem fogható át egy pillantásra.
A számlálás tanulásának lépései: 1. A számnevek ismerete. Kezdetben még mondókaként jelennek meg a gyermekek számára a számnevek, például, ahogy a lépcsőfokokat számlálják, ahogy mennek fel az emeletre. 2. A számnevek sorrendjének ismerete. Vannak gyerekek, akik kezdetben kihagynak, felcserélnek számneveket. 3. Egy dologra egy számnevet mondjunk. 3-4 évesek még tipikusan elkövetik azt a hibát, hogy nem ugyanabban a ritmusban mondják a számneveket, amelyben mutatják a megszámlált dolgokat. 4. Minden dologra mondjunk egy számnevet. Könnyebb a rendezett alakban levő dolgokat megszámlálni, mert jobban tudjuk követni, melyeket számláltuk már meg, így jobban látjuk, hogy mikor vagyunk készen. 5. Az utolsónak kimondott számnév a darabszám.
A számlálás továbbfejlődése: 6. Visszafelé számlálás. (6-7 éves kor között ugrásszerűen fejlődik, lényeges eleme a számfogalomnak, feltétele a műveletvégzésnek. Gyakorolhatjuk játék közben: rakétakilövés, futóverseny indításakor.) 7. Továbbszámlálás. (Két dobókockával dobunk, 5-öt és 2-t. Hiába tudja az 5 éves, hogy az egyik kockán 5 pötty van, a további 2 hozzá vételéhez nem 5-től számlál 2-t, hanem újrakezdi a számlálást 1-től. A 7 éves már továbbszámlál.) 8. Számnevek képzésének rendszere. (Az analógiák felismerése a tízesek után az egyesek sorában.) 9. Számlálás kettesével, ötösével, stb. (Segíthetjük a kettesével, ötösével számlálást, ha színes golyókat fűzünk kötélre megfelelő csoportosításban, és versenyt rendezünk, ki tud gyorsabban adott számú golyót lehúzni.
Figyeljünk a szóhasználatra! Számlálás a számnevek felsorolása. Itt is jó gyakorlat, ha adott számtól kell folytatni a gyermeknek a számlálást növekvő, csökkenő sorrendben, kettesével, ötösével, stb. Megszámlálás: adott dolgok darabszámának meghatározása. Leszámlálás: adott darabszámú halmaz előállítása. Számolás: műveletvégzés számokkal Kiszámítás: műveletsor eredményének meghatározása. A számlálás matematikai alapját a természetes számok Peano axiómái jelentik, amely szerint minden természetes számnak van követője, amely a számlálás során a következő természetes szám. Figyeljünk egyénileg a gyermekekre, ugyanis vannak, akiknek számlálásos, és vannak, akik halmazos számfogalma erősebb. Tudatosan építsük a kapcsolatot a halmazos és a számlálásos számfogalom épülés között, mindenkinél azt erősítve, ahol támogatásra szorul. Jól segítik a kapcsolatok épülését például a társasjátékok, ahol a dobókockával dobott számot kell lelépni a játéktáblán. A gyorsasági játékok motiválják a gyerekeket a darabszám ránézéses felismerésére. Figyeljünk arra, hogy bár a számlálás is egyfajta közvetítő mondókaként alkalmas a több-kevesebb reláció eldöntésére, hiszen amelyik halmaz esetén tovább jutunk a számlálásban, annak az elemszáma nagyobb, mégis igyekezzünk a darabszámok összehasonlítását ránézésre, párba állítással végezni a halmazos szemlélet erősítésére. A több-kevesebb kapcsolat gyors felismerésére hasznos társasjáték a Gloobz, amelyben kártyákon szörnyek vannak, amelyek lehetnek pirosak, kékek és sárgák, kúp, gömb vagy henger alakúak. Középre ki van rakva a színeknek megfelelő három festékes vödör, és a formáknak megfelelő három fehér szörny. Minden lap felfordítása előtt a soron következő játékos kimondja, hogy több, vagy kevesebb. Ennek megfelelően kell azokat a színeket és formákat a lehető leggyorsabban elkapni középről, amelyekből a legtöbb vagy legkevesebb van a kártyán. Ha két színből ugyanannyi van, akkor mindkettőt el lehet kapni. A legkevesebbnél a kisebbeknek nehézséget jelent a 0, hiszen előfordulhat, hogy azt a színt kell elkapni, amiből egyet sem látnak a kártyán. A játék a több-kevesebb gyors eldöntése mellett fejleszti a kétféle szempont egyidejű figyelését, a formaállandóságot, gyorsaságot.
4. c. A sorszám. A természetes szám fogalma alakul sorszámként is. A futóverseny végén az első, második és harmadik helyezett áll a dobogóra, sorakozáskor van első, második, harmadik, stb. pár, megbeszélhetjük, hogy a lépcsőfokokra helyezett tárgyak közül melyik van az első, második, harmadik fokon, elmesélhetjük, hogy mi történt a nyaralás első, második, harmadik, stb. napján. A következő példák a sorszámnak a darabszámtól eltérő tartalmára mutatnak rá. Példa: Egy utcában hat fa áll sorban, a szomszédos fák távolsága egyenlő. Az első és a hatodik fa távolsága 30 m, akkor hány méter az első és a második fa távolsága?
Megoldás: A rajz segít, hogy ne essünk abba a hibába, hogy automatikusan a feladatban szereplő számokkal végzünk valamiféle műveletet:
Látható, hogy a 6 fa 5 szakaszt határoz meg, így a szomszédos fák közötti távolság a 30 méter ötöde, azaz 6 méter. Példa: A 11 kocsiból álló vonatnak hátulról hányadik kocsijába szálljunk, ha elölről az 5. kocsiba szól a jegyünk? Megoldás: Megint a lejátszás, a rajz segít elkerülni a 11 – 5 = 6 téves választ.
Megszámolhatjuk, hogy az elölről 5. kocsi hátulról a 7. Gondolkodhatunk úgy is, hogy az 5. kocsi után 11 – 5 = 6 kocsi van, hátulról ezek után következik az 5. kocsi, így ez a 7. lesz. Nézhetjük azt is, hogy az 5. kocsi előtt 4 kocsi van, így az 5. kocsi hátulról a 11 – 4 = 7.
4. d. A szám megjelenése mérőszámként A mennyiségek összehasonlítását végezhetjük úgy, hogy választunk egy egységet, és mérés során megnézzük, hogy hány egységgel tudjuk kirakni a mennyiséget. Ez a szám a mérőszám, ami megmutatja, hogy a mennyiség hányszorosa a mértékegységnek. Fontos tapasztalatok a következők: -Nagyobb mennyiséget több egységgel tudunk kirakni. -Kétszer akkora mennyiséget kétszer annyi egységgel tudunk kirakni. -Ha nagyobb egységet választunk, akkor kevesebb egységgel tudjuk kirakni ugyanazt a mennyiséget. Ha kisebb egységet választunk, akkor több egységgel tudjuk kirakni ugyanazt a mennyiséget. -Ha kétszer akkora egységet választunk, akkor feleannyi egységgel tudjuk kirakni ugyanazt a mennyiséget. Ha feleakkora egységet választunk, akkor kétszer annyi egységgel tudjuk kirakni ugyanazt a mennyiséget.
Ezek alapján a gyermekek tapasztalatot szerezhetek a mérőszám és a mértékegység között fennálló fordított arányosságról, ami a mértékegységváltás egyik fő nehézsége. Célszerű minél több ilyen konkrét tapasztalatot szerezni még a standard egységekkel mérés, a konkrét mennyiségek megjelenése nélküli mértékváltások előtt. Az egységgel mérés fő lépései a következők: 1. Tapasztalati egységekkel mérés Tapasztalati egységek a lépés, tyúklépés, amelyekkel játékhoz mérhetünk távolságot, az arasz például az asztal hosszának lemérésére. Tömeget, térfogatot mérnek a mesékben vékával, a receptekben bögrével, kanállal. Területet mérhetünk tenyérrel. A mérés ekkor nem egységes, hiszen az egységek esetenként eltérhetnek, azonban a fenti tapasztalatszerzésekre kiválóan alkalmasak. 2. Objektív egységekkel mérés Objektív egységek lehetnek például a színes rudak, amelyekkel hosszúságot, térfogatot is mérhetünk, építőkockák. Területet mérhetünk különböző mozaik lapokkal, háromszögekkel, rombuszokkal, hatszögekkel, stb. Fontos, hogy különböző dolgokat válasszunk egységnek ugyanannál az eszköznél is, ahhoz, hogy a mérőszám és mértékegység között kapcsolat konkrét tapasztalatokon épüljön. 3. Standard egységekkel mérés A tanulók fokozatosan megtanulják a különböző mennyiségek általánosan használt egységeit és ezek váltásait. Megkönnyíti a váltásokat, ha mindegyik egységhez jól megjegyezhető tárgyi tartalom kapcsolódik. Gondoljuk el, hogy tudjuk-e például, hogy a konyhai szemetesbe hány literes zsákot kell vásárolni? Például a hosszúság egységek szemléltethetők a kezünkön, egy közepes tábla csokoládé 10 dkg, egy bögrébe 2-3 dl kakaó fér. Az egységek kirakását el lehet kerülni, ha skálázott mérőeszközöket használunk, amelyeken be vannak jelölve az egység többszörösei. Ezután a mennyiséget már az egység többszöröseihez hasonlítjuk. Ilyen skálázott mérőeszköz például az óra számlapja, ami az ötösével számlálást sugallja. Készíthetünk papírcsíkból mérőszalagot úgy, hogy az egység a rózsaszín rúd, befőttes üvegből mérőhengert, úgy, hogy az egység egy pohár, és méréseket végezhetünk a saját magunk által készített mérőeszközökkel. Láthatjuk, hogy annál pontosabban tudunk mérni, minél kisebb egységeket választunk. A számláláshoz hasonlóan lényeges a szóhasználat: Megmérni egy mennyiséget, azt jelenti, hogy adott egységhez megadjuk a mérőszámot. Kimérni egy mennyiséget, azt jelenti, hogy adott egységhez és mérőszámhoz megadjuk a mennyiséget.
Megfigyelhettük, hogy a számfogalom tapasztalati alapozása mennyivel gazdagabb a puszta számlálásnál. Különösen fontos a mennyiségek, darabszámok sokféle konkrét megtapasztalása, összehasonlítása számlálás nélkül azoknál a gyermekeknél, akik számolási nehézségekkel küzdenek, diszkalkulia gyanúsak.
3.2. Számok bontása A számok bontásának, azaz tagolásának változatosságát külön is tanítjuk a gyerekeknek. Fel kell ismerniük a különböző formákban levő azonos tartalmat. Játékok a bontások bevezetésére: Két játékos egyszerre felfordít egy-egy dominót. Amelyikük hamarabb észreveszi, hogy a két dominón ugyanannyi pötty van, az rácsap a középen levő csengőre, és nyer egy korongot. Hasonló játékot játszhatunk direkt erre a célra készített kártyacsomaggal, amelyen a tárgyak különböző tagolásban vannak lerajzolva, több kártyán szerepel ugyanannyi tárgy, így több esély van, hogy a két játékos ugyanannyit fordítson, mint a dominónál. Ugyancsak játszhatjuk a játékot úgy, hogy a két játékos egyszerre dob két-két dobókockával. A számok bontását gyakorolhatjuk úgy is, hogy a játékot úgy játsszuk, hogy akkor kell csapni a csengőre, ha a feldobott két kártyán együtt például 6 tárgy van, vagy a két dobókockán együtt 7 pötty van. Kisebb vagy nagyobb számok bontásához változtathatjuk a dobókockára rajzolt pöttyök számát. A játékok lényeges eleme a gyorsaság, a gyerekeknek nincs idejük megszámlálni a dolgokat, ránézésre kell felismerniük a darabszámot, ha nyerni akarnak.
A bontásokat kirakhatjuk színes rudakkal is, ezt szőnyegezésnek mondjuk:
A bontások készség szintű ismerete a számfogalom mélyítésén kívül a szóbeli összeadás, kivonás elvégzéséhez is elengedhetetlen.
3.3. Feladatok 3.3.1. Feladat
Kövessük végig a számfogalom alakulásának lépéseit az 1. osztályos tankönyvben! Keressük meg a könyvben megjelenő, és esetleg hiányzó feladattípusokat!
3.3.2. Feladat Válasszunk egy leckét a számfogalom bevezetéséből a tankönyvből, és tervezzünk tárgyi tevékenységeket, játékokat az ott szereplő papír-ceruza feladatok alapozására!
3.3.4. Feladat Készítsünk gyorsolvasásra kártyakészletet! Variáljuk az elrendezéseket!
3.3.5. Feladat Tervezzünk feladatlapot egy szabályos háromszögekből kirakható alakzat mérésére, ha az egység a szabályos háromszög, két szabályos háromszögből álló rombusz, hat szabályos háromszögből álló hatszög!
3.3.6. Feladat Rajzoljunk egy szakaszt, amiről azt gondoljuk, hogy 10 cm! Méréssel ellenőrizzük, mennyivel tértünk el a tényleges hosszúságtól!
4. A természetes szám fogalmának mélyítése, bővítése A számok nagysága, sorrendje. A számegyenes. Számszomszédok. Kerekítés. A tízes csoportosítás, a helyi érték bevezetése. Számrendszerek. Csoportosítás, beváltás, leltározás szemléltetése interaktív táblán. A hallgató legyen képes a nagyságrendi viszonyok különböző nyelvi formáinak használatára, a számok számegyenesen való ábrázolására. Rendelkezzen a becslés képességével. Ismerje a helyi értékes írásmód bevezetésének lépéseit, nehézségeit. Legyen képes különböző számrendszerekben felírni számokat, és vegye észre az analógiákat.
4.1. A számok nagysága, sorrendje A számok nagyságának összehasonlítását végezhetjük tárgyi reprezentációban, képi síkon, majd szimbolikusan a számjegyekkel való ábrázolásban. 1. Két szám összehasonlításának különböző nyelvi formái tárgyi reprezentációból indulva.
A természetes szám fogalmának alakulása kapcsán már foglalkoztunk a darabszámok, mennyiségek összehasonlításával. Most ennek továbbfejlesztéseként az összehasonlítás különböző nyelvi formáit mutatjuk be, amellyel a gyerekek szövegértési képességeit fejlesztjük. Példa: Mennyiségek összehasonlítását végezzük kétkarú mérleg segítségével. Tegyünk egy kétkarú mérleg egyik serpenyőjébe egy almát, másik serpenyőjébe egy szilvát! Mit tapasztalunk? Az alma nehezebb, mint a szilva. Tegyünk a szilva mellé annyi gesztenyét, hogy egyensúly legyen! Például legyen egy alma tömege ugyanannyi, mint 4 gesztenye és egy szilva tömege. Ekkor a következőket mondhatjuk: Egy szilvához 4 gesztenye kell, hogy ugyanakkora legyen a tömegük, mint egy almának. Egy alma 4 gesztenyével nehezebb, mint egy szilva. Egy szilva 4 gesztenyével könnyebb, mint egy alma. Példa: Hasonlítsuk össze a 2-t és a 8-at darabszám tartalommal: rakjuk ki korongokkal!
Melyik szám a nagyobb, a 2 vagy a 8? Párba állítással látható, hogy minden szürke korongnak jutott fehér pár, de 6 fehér korongnak nem jutott szürke pár. Fogalmazzunk meg a két szám különbségére vonatkozó kérdéseket! Mennyivel nagyobb (több) a 8 a 2-nél? A 8 hattal több, mint a 2. Mennyivel kisebb (kevesebb) a 2 a 8-nál? A 2 hattal kevesebb, mint a 8. Mennyi a 8 és a 2 különbsége? Mennyit kell hozzáadni a 2-höz, hogy 8-at kapjunk? Mennyit kell elvenni a 8-ból, hogy 2-t kapjunk? Az eddigi kérdések az összeadásra, kivonásra utaltak, amit a „mennyivel nagyobb” kérdéssel fejezünk ki. Vizsgálhatjuk a számok nagyságának viszonyát a következő kérdésekkel is az alábbi ábra alapján:
Hányszorosa a 8 a 2-nek? A 8 négyszerese a 2-nek. Hányszor van meg a 8-ban a 2? A 8-ban a 2 megvan 4-szer. Mennyivel kell megszorozni a 2-t, hogy 8-at kapjunk? A 2-t néggyel kell megszorozni, hogy 8-at kapjunk. Hányadrésze a 2 a 8-nak? A 2 negyedrésze a 8-nak. Mennyivel kell elosztani a 8-at, hogy 2-t kapjunk? A 8-at 4-gyel kell elosztani, hogy 2-t kapjunk. Mennyi a 8 és a 2 hányadosa? A 8 és a 2 hányadosa 4. Ezek a kérdések a szorzásra, osztásra utalnak. Láthatjuk, hogy a ragok és a szórend is döntő fontosságú a mondatok értelmezésében. Ennek megfelelően sajnálatos a nagyon elterjedt hibás kifejezés: „A 8 négyszer több, mint a 2”. Vegyük észre, hogy ez a fenti kétféle megfogalmazás keverése, szerepel benne összeadásra (több) és szorzásra (-szer) utaló jel is, ami félreértést okozhat. További probléma, hogy a negatív számok körében a szám 4-szerese nem lesz nagyobb a számnál. A mondat helyesen így hangzik: „A 8 négyszerese a 2-nek.” vagy „A 8 a 2 háromszorosával nagyobb a 2-nél.”
2. Nagyobb számok összehasonlítása helyi érték alapján A nagyobb számok összehasonlítását már nem végezhetjük konkrét tárgyakkal kirakott darabszámok összehasonlításával. Az absztrakció első lépése a pénzek összehasonlítása. Itt a 10 forintos érme 10 darab 1 forintost jelent, de ezt csak a ráírt szám jelzi, nem látható a 10 darab 1 forintos. A nagyobb számok összehasonlításánál a helyi értékes írásmódot alkalmazzuk. A számok nagyságrendjét a számjegyek száma jelzi. Két szám közül az a nagyobb, amelyik több számjegyből áll (a helyiérték-táblázatból leolvasható, hogy a legkisebb háromjegyű szám nagyobb a legnagyobb kétjegyű számnál). Ha két szám ugyanannyi számjegyből áll, akkor az a nagyobb, amelyben balról jobbra haladva az első eltérő számjegy nagyobb. Példa: Melyik a legkisebb olyan szám, amelyben a számjegyek összege 30? Megoldás: Ahhoz, hogy a legkisebb számot kapjuk, a legkevesebb számjegyből kell állnia. A számjegyek összege adott, akkor lesz a legkevesebb számjegy, ha a lehető legnagyobb számjegyekből áll, azaz a legtöbb 9-est tartalmazza: 30 = 3 · 9 + 3. Így a legkisebb szám 3 darab 9-esből és 1 darab 3-asból áll. Akkor lesz a legkisebb, ha a 3-assal kezdődik, így a keresett szám a 3999.
Érdekes megjegyezni, hogy nincs olyan legnagyobb szám, amelynek számjegyeinek összege 30 lenne, hiszen akár a 3999 után tetszőleges számú 0-t írhatunk, a szám egyre nagyobb lesz, viszont a számjegyek összege nem változik. Játék: Mindenki rajzol három négyzetet egymás mellé, amelyek egy háromjegyű szám számjegyei lesznek. Dobunk a dobókockával, a dobott számot mindenki azonnal beírja valamelyik négyzetbe. Az győz, aki három dobás után a legnagyobb számot kapta.
3. Számok sorba rendezése A két szám összehasonlítása után három, majd több szám közül kell kiválasztani a legkisebbet, legnagyobbat. Ezt követi először három, majd egyre több szám sorba rendezése. Lényeges, hogy tudatosan figyeljünk arra, hogy ne csak növekvő, hanem csökkenő sorrendeket is alkossunk! A növekvő sorba rendezés hasznos stratégiája, ha először a legkisebb számot keressük meg, majd a megmaradt számok közül a legkisebbet, és így tovább. A legkisebb számot úgy kapjuk, hogy kiválasztjuk az első számot, összehasonlítjuk a másodikkal, és kicseréljük őket, ha a második kisebb az elsőnél. Ezután az első számot a harmadikkal, majd a negyedikkel, sít. hasonlítjuk össze, és végezzük el a szükséges cseréket. Ha már minden számmal összehasonlítottuk, akkor az első helyen a legkisebb szám áll. Játék: Mindenki rajzoljon 4 négyzetet egymás mellé! Húzunk sorban számokat az 1-20 számkártyákból. A kihúzott számot mindenki azonnal beírja egy négyzetbe. A cél az, hogy a négy négyzetbe írt szám csökkenő sorrendben legyen. Ha egy számot nem tud beírni, az megy a kukába. Az győz, akinek először sikerül megfelelően kitölteni a négy négyzetet.
4.2. Számegyenes A számegyenes a számok univerzális modellje, a számok geometriai szemléltetésének eszköze. Számegyenest kapunk, ha egy egyenesen kijelöljük: -a növekedés irányát, -egy viszonyítási pontot, -egy egységet. Ezután az egység többszöröseit felmérve tetszőleges természetes számot ábrázolhatunk. Így a számoknak az egyenes pontjai felelnek meg. Természetes számok esetén a számnak megfelelő pontja az egyenesnek annyi egység távolságra van a 0-nak megfelelő ponttól, amennyi a szám. A számegyenest 1. osztálytól alkalmazzuk szemléltetésre. Bevezethetjük fonalra fűzött gyöngyökkel, ping-pong labdákkal, amelyek színezésével megkönnyíthetjük a kettesével, hármasával, stb. számlálást, a páros, páratlan számok és egyéb szabályosságok felfedezését.
A számegyenesen rendszerint a 0 és az 1 számok helyének kijelölésével adjuk meg a viszonyítási pontot és az egységet, de ez nem szükségszerű. Példa: Keressük meg a 0 helyét a számegyenesen!
Megoldás: A 3 és az 5 számok helye két egység távolságra van egymástól, így az általuk meghatározott szakasz hosszának fele az egység. Ezután a 0 helye már könnyen meghatározható: 3 egységet lépünk balra a 3-as szám helyétől.
A számegyenes egységének és viszonyítási pontjának megválasztása az ábrázolandó számoktól függ. Például a 340; 341; 342 számok ábrázolásához célszerű a számegyenesnek a 328 és 345 közötti részét lerajzolni úgy, hogy egy szakasz egy egységnek felel meg. Azonban a 340; 350; 360 számok ábrázolása esetén egy szakasz 10 egységnek feleljen meg. A számegyenes segít az összeadás, kivonás szemléltetésében, amelyeket padlóra rajzolt számegyenesen való lépkedéssel is lejátszhatunk. A számegyenes megkönnyíti a negatív egész számok bevezetését, mint a hőmérő modell univerzális megfelelője. A számegyenesen a természetes számokat pontokként jelöljük. 5. osztálytól szükség van feltételeknek megfelelő számhalmazok ábrázolására, amelyeket már szakaszokkal jelölünk, és a szakaszra eső természetes számokat, a számkör bővítésével a szakaszra eső racionális számokat tekintjük megoldásnak. A szakaszok végpontjait teli karikával jelöljük, ha a végpont hozzátartozik a számhalmazhoz, és üres karikával, ha nem tartozik hozzá. Például az alábbi számegyenesen a 3-nál nagyobb, és 5-nél nem nagyobb számokat ábrázoltuk. A természetes számok körében a 4 és az 5 felel meg a feltételeknek.
4.3. Közelítő számítások A számfogalom továbbépülésével, a műveletek eredményének becslésekor szükség lehet közelítő számításokra. 1. Számszomszédok A számok egymáshoz való viszonyát jól mutatják a számszomszédok. 1. osztályban egyes (kisebb és nagyobb) számszomszédokat adunk meg, később a számok nagyságrendi becsléséhez szükség van a tízes, százas szomszédokra.
A tízes szomszédokat használjuk a tízes átlépéses összeadáskor, kivonáskor is, hiszen például az 57 + 8 számolásakor első lépésként az 57 nagyobb tízes szomszédját keressük. A kerek tízeseknek is van tízes szomszédja, például a 40-nek a 30 a kisebb tízes szomszédja, az 50 pedig a nagyobb tízes szomszédja. Ez az egyik oka annak, hogy nem mondhatjuk, hogy egy számot tízesekre a közelebbi tízes szomszédjára kerekítünk. A másik problémát az 5-re végződő számok adják, amelyek egyenlő távolságra vannak a kisebb és a nagyobb tízes szomszédjuktól.
2. Kerekítés A kerekítés a közelítő számítás egyik eszköze, amikor rendelkezésünkre áll a pontos érték, de a gyorsabb számolás érdekében eltekintünk ettől a pontosságtól. Kerekítéskor először meg kell adni, hogy melyik helyi értékre kerekítünk. Tízesekre a számhoz a számegyenesen legközelebbi kerek tízesre kerekítünk, az 5-re végződő számokat megállapodás szerint felfelé kerekítjük. Tízesekre kerekítéskor az egyes, (százasokra kerekítéskor a tízes, ezresekre kerekítéskor a százas) helyi értéken levő számjegyet nézzük. Lefelé kerekítünk, ha ez a számjegy 0; 1; 2; 3 vagy 4, és felfelé kerekítünk, ha ez a számjegy 5; 6; 7; 8 vagy 9. Tízesekre lefelé kerekítéskor a tízes helyi értéken álló számjegy nem változik, felfelé kerekítéskor 1-gyel nő, míg az egyes helyi értékre 0 kerül. Példa: Igaz-e, hogy ha egy számot először tízesekre kerekítünk, majd ezt az értéket százasokra kerekítjük, akkor ugyanazt kapjuk, mint ha a számot százasokra kerekítettük volna? Megoldás: Nem igaz. Van olyan természetes szám, például a 248, amelyet tízesekre kerekítve 250-et, majd ezt százasokra kerekítve 300-at kapunk, ugyanakkor a 248-at százasokra kerekítve 200-at kapunk. Hasonlóan az sem igaz, hogy ha egy összeg tagjait tízesekre kerekítjük, a kerekített értékek összege megegyezik az összeg tízesekre kerekített értékével.
3. Becslés Darabszámok, mennyiségek becslésére lehet szükség, ha nincs alkalmunk a pontos számlálást, mérést elvégezni. Érdemes az ilyen típusú becsléseket is gyakorolni. A darabszámok becslésére jó módszer lehet, hogy a dolgokat próbáljuk körülbelül egyenlő részekre osztani, és amikor már megszámlálható darab található egy részben, annak megszámlálásával becslést adhatunk az eredeti darabszámra. A mennyiségek becslését, nagyságuk érzékelését is fontos gyakorolni. Állítsunk elő „saccra” adott mennyiségeket, és méréssel ellenőrizzük, mekkora a hiba. Például rajzoljunk adott hosszúságú szakaszt, és mérjük meg, mekkora az eltérés a valódi hosszúságtól. Próbáljunk magunkban kimérni 1 percet! Tippeljük meg egy könyv tömegét, egy edény térfogatát! Általában a műveletek eredményének becslését a kerekített értékekkel végzett műveletek eredményeként várják el a tanulóktól. Hasznos olyan feladatokat is adni a gyerekeknek, amelyeket akkor tudnak sikeresen végrehajtani, ha becsülnek. Például felírunk 9 műveletsort, és az eredményüket egy 3x3-as táblázatba írjuk. Ha valaki elvégzett egy
műveletsort, az eredményét bekarikázhatja a táblázatban. Annak van BINGÓja, akinek a táblázatban egy sorban, egy oszlopban vagy egy átlóban 3 szám van bekarikázva. A műveleteket nem szükséges sorban végrehajtani, becsléssel megpróbálhatjuk megkeresni a sorból hiányzó harmadik eredményhez tartozó műveletet.
4.4. Számok írása 1. Számjelek írása A számok jelét 1. osztályban a számok tanulásával egy időben írják a gyerekek. A betűk írásához hasonlóan építik fel elemekből, és haladnak a nagyobb méretektől a kisebbek, a sima lapra írástól a kis négyzetbe írás felé. A számok rendezett írásának igénye nem öncélú, sokszor a feladatok helyes megoldásának feltétele. 2. A helyi értékes írásmód 2-3. osztályban a százas, ezres számkörbe lépéskor érdemes a számok nagyságát az egyesével számlálással érzékeltetni. A számlálásokat végezzük ötösével, tízesével, 20-asával, 50-esével, 100-asával, stb. a számkörnek megfelelően. Ahogyan a számnevek rendszerét felfedezik a gyerekek, ugyanúgy alkalmazhatják az analógiákat a számok tulajdonságainak felfedezésére, az összeadás, kivonás elvégzésére. Ezzel érjük el, hogy a gyerekek biztonsággal mozogjanak az új számkörben, nem érdemes ezzel egy időben új műveletet (szorzás, osztás) bevezetni. A nagy számok helyi értékes alakja a további számolások alapja, ennek készség szintű ismerete elengedhetetlen. 2. osztályban a számokat a 100-as táblába (10x10) rendezhetjük. Ha a 100-as tábla 1-gyel kezdődik, akkor az utolsó szám a 100, viszont a sorok utolsó száma a következő tízeshez tartozik. Ebből a szempontból szerencsésebb a 0-val kezdődő tábla, melynek minden sorában egy tízesben levő számok vannak. A 100-as tábla megismeréséhez lépegessünk a táblán minden irányba, és soroljuk fel a számokat, vegyünk észre közöttük szabályosságokat. Takarjunk le számokat, és mondjuk meg, melyik szám van letakarva! 2. osztályban már megjelenik a tízes csoportosítás, a számokat tízesekre és egyesekre bontjuk. A csoportosítást konkrét tapasztalatokra alapozzuk, pálcikákból kirakott darabszám esetén a pálcikákat tízesével gumizzuk össze, a babszemeket tízesével rakjuk dobozba, a lego kockákat tízesével építsük össze! 3. osztályban az 1000-ig számlálás után csoportosítsunk tízesével babszemeket, a tízes csoportokat beletesszük kinder tojásokba, azaz 10 babszemet beváltunk egy kinder tojásra (egy kinder tojás 10 babszemet ér, mert 10 babszem van benne). A kinder tojásokat is csoportosítjuk tízesével és tojástartóba rakjuk, azaz 10 kinder tojást beváltunk egy tojástartóra, így egy tojástartó 100 babszemet ér. Végül, amikor már több beváltást nem tudunk elvégezni, akkor leltározzunk, azaz írjuk táblázatba, hogy hány tojástartó, hány kinder tojás lett tele és hány babszem maradt ki. Például 253 babszem esetén 2 tojástartó lett tele, kimaradt 5 kinder tojás, és 3 babszem. 10-nél több babszem nem maradhatott ki, mert beválthattuk volna kinder tojássá, ugyanígy 10-nél több kinder tojás sem maradhatott ki, mert azt is beválthattuk volna tojástartóvá.
Tojástartó 2
Kinder tojás 5
Babszem 3
Igyekezzünk minél több hasonló tevékenységet elvégezni! Gumizzunk össze zöld színű gumival pálcikákat tízesével, majd ezeket a csoportokat tízesével piros gumival. A csoportosítások eredményét pakolhatjuk borítékokba, a borítékokat dobozokba. A csoportosítást nem csak darabszámokon, hanem mennyiségeken is végezzük el! 1 cm oldalhosszúságú négyzeteket csoportosítsunk tízesével, és ragasszuk össze őket egy csíkká, 10 ilyen csíkot egy nagyobb négyzetté. Tanulságos tevékenység 1000 darab kockacukor vagy dobókocka kirakása kocka alakban. Az alapja egy 10x10-es négyzet, amire egy rétegben 100 darab kocka kerül, 10 ilyen rétegben 1000 darab kocka van, és a kapott nagy kocka éle még nagyobb kockák esetén sem haladja meg a 20 cm-t. Végezzük a csoportosítást – beváltást - leltározást pénzekkel! A Tökéletes Pénztárgépben külön rekesz van az egyeseknek, a tízeseknek, a százasoknak és az ezreseknek. A TP nem tűri, hogy egy rekeszben 9-nél több érme legyen, ha ez előfordul, akkor azokat 10-esével csoportosítja és beváltja nagyobb címletre. A Tökéletes Pénztárgép rekeszeinek leltározása elvezet a tízes számrendszer helyiérték-táblázatához. Hibalehetőségek: - Figyeljünk arra, hogy félreértést okozhat a leltározásnál, ha a beváltás után is belelátunk a nagyobb csoport dobozába, és többször felsoroljuk a leltárban ugyanazokat a csoportokat. Például a nyitott tojástartóban levő kinder tojások számát a kinder tojások oszlopába is beírjuk, miközben a tojástartó oszlopában szerepelnek. - Fontos, hogy már a leltárba is írjuk be a 0-kat, hogy aztán a helyiérték-táblázatba, és így a számba is bekerüljenek. A számírás történetében látható, hogy a 0 a helyi értékes írásmód miatt válik fontossá.
A tízes számrendszer helyi érték táblázata: Ezres
Százas 2 3
Tízes 5 2
Egyes 3 5
A táblázatból leolvasható, hogy a 2-es számjegy a százas helyi értéken 200-at, a tízes helyi értéken 20-at ér. A 253 számban az első számjegy alaki értéke 2 a 2 számjegy helyi értéke százas a 2 számjegy valódi értéke 200. Valójában az „alaki érték” helyett a „számjegy” szót is használhatjuk. A számok helyi értékes bontását többféle alakban írhatjuk: 200 + 50 + 3
2sz + 5t + 3e 2 · 100 + 5 · 10 + 3 · 1 A gyerekeknek mindegyik alakból mindegyikbe át kell tudni írni a számot, ideértve a szám betűkkel, számjegyekkel felírt, kimondott alakját, és a helyiérték-táblázatba való beírását is. Nehezítések: -A helyi értékes bontás nem a szokásos sorrendben van felírva: 5t + 3e + 2sz = 253. -Valamelyik helyi érték nem szerepel – 0 áll a számban: 2sz + 3e = 203. -Beváltásra van szükség: 1sz + 13t + 23e = 1sz + 15t + 3e = 2sz + 5t + 3e.
A természetes számokat jellemzi a számjegyeik száma, ez alapján vannak egyjegyű, kétjegyű, háromjegyű, stb. számok. Ezeket a fogalmakat csak természetes számok esetén értelmezzük, sem negatív egészek, sem törtek esetén nem használjuk. A természetes számok tulajdonságai közé tartozik még a számjegyeik összege, stb.
A tízes csoportosítás a mértékegységek rendszerében is megjelenik, így a mennyiségekkel végzett tevékenységgel is erősíthetjük az eljárás megértését. A mértékegységeket helyiérték-táblázatba írjuk, és alkalmazzuk a mértékváltásban, a hosszúság, tömeg, űrmérték egységeknél: 1 méter 2
1 deciméter 5
1 centiméter 3
1 milliméter 0
A táblázatba írt mennyiség: 2530 mm = 253 cm = 25 dm 3 cm = 2m 5dm 3cm 3. Számrendszerek Bár a számrendszerek tanítása nem szerepel az alsó tagozatos tantervben, a csoportosítás – beváltás - leltározás könnyebben megérthető, ha nem csak tízes csoportosítás esetén végezzük el, még akkor is, ha nem nevezzük meg, hogy most más számrendszerben írtunk fel egy számot. Hivatkozhatunk a másodperc – perc – óra beváltásokra, amely a 60-as csoportosításon alapul. Példaként a 17-et írjuk fel 3-as számrendszerben! A baloldalon a tevékenység, a jobboldalon az ennek megfelelő osztásos modell követhető nyomon. A gyerekeknek természetesen csak a baloldali eljárást mutatjuk meg. Rakjunk ki 17 korongot, és csoportosítsuk hármasával!
Írjuk fel a csoportosításokat művelettel: 17 : 3 = 5 hármas csoport
Kaptunk 5 hármas csoportot és kimaradt 2
korong.
2 egyes
A hármas csoportokat is csoportosítsuk hármasával! Kapunk 1 kilences csoportot, és kimarad 2 hármas csoport. Az 1 kilences csoportot már nem tudjuk hármasával csoportosítani. Leltározzunk: Kilences 1
Hármas 2
Egyes 2 5 : 3 = 1 kilences csoport
A 1710 a hármas számrendszerben 1223 2 hármas csoport
1 : 3 = 0 huszonhetes csoport 1 kilences csoport
Az osztási maradékok visszafelé haladva megadják a hármas számrendszerbeli szám számjegyeit. A hármas számrendszer számjegyei a 0; 1 és 2. Példa: Írjuk fel sorban a számokat a hármas számrendszerben 2003-ig! Melyek a páros számok? Megoldás: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100, 101, 102, 110, 111, 112, 120, 121, 122, 200.
A páros számokat vastagon írtuk. Érdekesség, hogy nem a páros számjegyre végződő számok a párosak. Mivel a helyi értékek páratlanok a hármas számrendszerben, ezért a szám pontosan akkor lesz páros, ha számjegyeinek összege páros, ugyanis ekkor lesz páros számú csoport, amelyek mindegyike páratlan számú korongból áll.
Érdemes megfigyelni, hogy a csoportosítás felel meg a halmazos számfogalomnak, a számok felsorolása a számlálásos számfogalomnak, a gyerekeknek itt is mindkettőre szükségük van ugyanúgy, ahogy a tízes számrendszerben a számfogalom alakulásakor.
A számrendszerek bevezetéséhez készíthetünk pénzérméket a gyerekeknek kupakokból. Például a kettes számrendszer bevezetéséhez 1-es, 2-es, 4-es, 8-as, 16-os, 32-es és 64-es érméket készítünk. Ezután adott pénzösszegeket kell a lehető legkevesebb ilyen érmével kifizetni. Ez rávezeti a gyerekeket a csoportosításra és a nagyobb érmére való beváltásra amíg csak lehet. A végén táblázatban leltározzák, hogy melyik érméből hány darabot használtak. A csoportosítás – beváltás módszerét fokozatosan elhagyják, és a nagyobb számok kettes számrendszerben való felírásához megnézik, hogy melyik az a legnagyobb címletű érme, amelyre szükségük van, ezzel mennyi pénzt fizettek ki, és mennyit kell még kifizetni. Erre a maradékra folytatják az eljárást, megint megkeresik, melyik a szükséges legnagyobb címlet, sít.
A kettes számrendszer helyi értékeiről szerezhetünk tapasztalatokat az alábbi „2048” játékkal: http://www.jatekstart.com/jatekok/matek-j%C3%A1t%C3%A9k/20140402/2048
4.5. Feladatok 4.5.1. Feladat Rakjuk ki a lila rudat rózsaszín rudakkal, és fogalmazzunk meg igaz állításokat a rudak hosszának különbségére és hányadosára vonatkozóan! Írjunk két hamis állítást is!
4.5.2. Feladat Alkossunk feladatokat 100-as táblára!
4.5.3. Feladat Hány háromjegyű szám van a tízes számrendszerben?
4.5.4. Feladat Írjuk fel a tömeg és az űrmérték egységek helyiérték-táblázatát!
4.5.5. Feladat Írjuk fel a 123-at kettes és hármas számrendszerben!
4.5.6. Feladat Hány háromjegyű szám van a hármas számrendszerben?
5. Az összeadás és a kivonás, mint tevékenységek, szöveges feladatok modelljei. A szóbeli összeadás tanításának lépései Hozzátevés-elvétel, hasonlítás, egyesítés. Fordított szövegű feladatok. Összeadás tízes, húszas számkörben. Tízes átlépés tanítása. Összeadás 100-as számkörben. Analógiák. A hallgató ismerje az összeadás, kivonás sokféle nyelvi megjelenési formáját, legyen képes a szövegekből a matematikai modell felállítására. Ismerje és legyen képes elmagyarázni a szóbeli összeadás lépéseit, tudatosan alkalmazva az analógiákat a feladatok egymásra épításekor.
5.1. Összeadásra, kivonásra vezető szöveges feladatok A műveletek tanításánál nem csak a művelet elvégzésének algoritmusát kell megtanítani, hanem a művelet fogalmát, azokat a helyzeteket, szövegeket, amelyeknek a művelet a modellje. A következőkben csoportosítjuk azokat a szövegeket, amelyek összeadásra, kivonásra vezetnek annak érdekében, hogy a tanulóknak minél változatosabb szövegű feladatokat tudjunk adni, ezzel fejlesztve gondolkodásukat, mélyítve az összeadás, kivonás értelmezését (Carpenter&Moser, 1984 alapján).
Az összeadás, kivonás három alapvető típusa: a változtatás, a hasonlítás és az egyesítés
A szövegekben kiemeltük a kulcsszavakat, azonban arra is mutatunk példát, amikor a szövegeknek a matematika nyelvére való mechanikus fordítása a kulcsszavak alapján helytelen eredményre vezet. 1. Változtatás
Összeadás: Katinak volt 5 lufija, kapott még 3-at. Hány lufija lett Katinak? (5 + 3 = ) Kivonás: Katinak volt 5 lufija, kipukkadt 3. Hány lufija maradt Katinak? (5 – 3 = ) A meglevő szám növekedésére többféle szóval utalhatunk, például keresett; szerzett, talált, szedett, stb. ugyanígy a csökkenésre: elvesztett, elköltött, eladott, elhervadt, stb. Figyeljük meg, hogy egy mennyiség kezdeti állapota és a változás van megadva, és ugyanannak a mennyiségnek a végső állapotára kérdezünk rá. Ezeket a változásokat jól szemléltethetjük számegyenesen lépkedéssel:
2. Hasonlítás Összeadás: Katinak van 5 lufija, Petinek 3-mal több. Hány lufija van Petinek? (5 + 3 = ) Kivonás: Katinak van 5 lufija, Petinek 3-mal kevesebb. Hány lufija van Petinek? (5 – 3 = ) A hasonlításnál két mennyiséget hasonlítunk össze, és először mindig azt kell eldönteni, hogy melyik a nagyobb. 3. Egyesítés Összeadás: Katinak 5 lufija van, Petinek 3 lufija van. Hány lufijuk van kettőjüknek összesen? (5 + 3 = ) Kivonás: A szobában összesen 8 lufi van, abból 5 Katié, a többi Petié. Hány lufija van Petinek? (8 – 5 = vagy 5 + = 8) Az összeadásnál két közös rész nélküli (diszjunkt) halmaz egyesítésének elemszámát kérdezzük. Ebben az esetben a legnehezebb megfogalmazni a szöveg kivonás párját, ami egy halmaznak az adott alaphalmazra vonatkozó kiegészítő halmazának (komplementerének) elemszámát kérdezi.
A három alaptípus különböző variálási lehetőségei
4. Fordított, vagy indirekt szövegű feladatok A gondolkodásfejlesztés, szövegértés szempontjából döntő fontosságú feladatok, amelyekben a műveletre utaló kulcsszó fordított műveletre utal, mint amit valójában végezni kell. Így a kulcsszó fordítás módszerének formális alkalmazásával helytelen eredményre jut a tanuló. Fordított szöveg változtatással: Katinak 5 lufija lett, miután kipukkadt 3. Hány lufija volt eredetileg? (5 + 3 = vagy - 3 = 5) A történetet modellezhetjük buborékokkal, amelyekkel a különböző időpontokban levő állapotokat ábrázolhatjuk: Katinak volt valamennyi lufija, ezek száma kerül majd az első buborékba. Kipukkadt 3, ezt nyíllal jelöljük, és maradt 5, amit a második buborékba írunk.
A megoldás során visszafelé haladunk: Az a szám, amelyiknél 3-mal kisebb szám az 5, az 5-nél 3-mal nagyobb, azaz 5 + 3 = 8. Fordított szöveg hasonlítással: Katinak 5 lufija van, 3-mal több, mint Petinek. Hány lufija van Petinek? (5 – 3 = vagy + 3 = 5) Ez a feladat mutatja, mennyire fontos a gyerekekkel értelmezni a szöveget, lejátszani korongokkal, és megmutatni, hogy kinek van több lufija és mennyivel. A szövegben szereplő adatokat szakaszokkal ábrázoljuk, a darabszámoknak megfeleltetjük a szakaszok hosszát. A gyerekek megtanulják, hogy nagyobb számnak hosszabb szakaszt feleltetnek meg, jelölik a darabszámok különbségét, tudják ábrázolni az összegüket:
5. Feladatok sorszámmal, mennyiségekkel A feladatokat célszerű nemcsak darabszámokra, hanem tudatosan sorszámokra és mennyiségekre is megfogalmazni. Kati az 5. helyen végzett a versenyen, Peti 3 hellyel hátrébb. Hányadik helyen végzett Peti? Kati az 5. emeletről lement 3 emeletet a lifttel. Hányadik emeleten van Kati? Kati 5 kg almát szedett, Peti 3 kg almát szedett. Hány kilogramm almát szedtek ketten együtt? Kati 5 km-t futott, 3 km-rel többet, mint Peti. Hány kilométert futott Peti?
6. Az összeadás, kivonás tagjaira kérdezünk A feladatokat modellezhetjük nyitott mondatokkal. A gyerekeknek ezt nem szükséges felírni, különösen, ahogyan a fenti szövegeknél is megmutattuk, egy szövegnek többféle nyitott mondat is megfelelhet. Az alábbi példák azt a célt szolgálják, hogy a tanító tudatosan variálja a szövegeket a főbb típusokon belül is.
A változtatásokra mutatunk olyan feladatokat, amelyek az összeg és különbség tagjaira kérdeznek rá. Katinak van 3 lufija, hány lufit kell még kapnia, hogy 5 lufija legyen? 3 + = 5 A feladat kérdése az, hogy mennyit kell adni a 3-hoz, hogy 5 legyen. Ezt a feladattípust pótlásnak nevezzük, és külön is foglalkozunk vele 1. osztályban az összeadás tanításakor. Kati kapott 3 lufit, és így 5 lufija lett. Hány lufija volt eredetileg? + 3 = 5 (ez volt a fordított szövegű feladat) Katinak volt 5 lufija, kipukkadt valamennyi, így 3 lufija maradt. Hány lufi pukkadt ki? 5 - = 3. Katinak volt valamennyi lufija. Miután kipukkadt 3, 5 lufija maradt. Hány lufija volt eredetileg? - 3 = 5 (ez is fordított szövegű feladat). Látható, hogy a tagokra rákérdezéssel megkaptuk a fordított szövegű feladatokat is. A fordított szövegű feladatokat mégis fontosnak gondoltuk külön kiemelni, a kulcsszó fordítás okozta tévedési lehetőség miatt.
7. Szövegek egyenlővé tevéssel A szövegek átfogalmazása sokszor segíti a tanulókat a feladat megoldásában. Ahogy a két szám összehasonlításánál megmutattuk, a viszonyokat egyenlővé tevéssel is leírhatjuk. Petinek van 3 lufija, ha kap még 2 lufit, akkor ugyanannyi lufija lesz, mint Katinak. Hány lufija van Katinak. (3 + 2 = ) Katinak 5 lufija van, Petinek 3 lufija van. Hány lufit kell kapjon még Peti, hogy ugyanannyi lufija legyen, mint Katinak? (3 + = 5) Katinak van 5 lufija. Ha Peti kap még 3 lufit, akkor ugyanannyi lufija lesz, mint Katinak. Hány lufija van Petinek? (+ 3 = 5)
8. Összetett szövegek Előfordulhat, hogy többszöri változás, hasonlítás, vagy változás és hasonlítás is szerepel a feladatban. Ekkor nehézséget jelent a gyerekek számára, hogy a teljes darabszámot, mennyiséget nem ismerik. Katinak 3-mal több lufija van, mint Petinek. Petinek 5-tel több lufija van, mint Borinak. Mennyivel van több lufija Katinak, mint Borinak? (3 + 5 = , itt két hasonlítás szerepel) Kati nyert 5 lufit, így 3-mal kevesebb lufija van, mint Petinek. Mennyivel volt kevesebb lufija eredetileg Katinak, mint Petinek? (5 + 3 = , itt egy változás és egy hasonlítás szerepel) Az összeadás és a kivonás kapcsolata
A fenti szövegek alapján megfigyelhető az összeadás és a kivonás kapcsolata: a kivonás az összeadás fordított művelete.
Katinak 5 lufija volt, kapott még 3 lufit, így 5 + 3 = 8 lufija lett. Kati 8 lufijából 3 kipukkadt, így 8 – 3 = 5 lufija maradt.
Ez alapján az összeadást ellenőrizhetjük kivonással, a kivonást összeadással.
.2. Összeadás fejben (szóbeli összeadás) A műveleteket fejben, vagy írásban végezhetjük el. Az írásbeli műveleteket a helyi értékes írásmód alapján számjegyekkel végezzük. A szóbeli műveletvégzéskor is lejegyezhetjük a műveletet, de fejben végezzük el, és csak a végeredményt írjuk le. A szóbeli összeadás tanításának lépéseinek leírásával szemléltetjük a fokozatosságot, és az analógiákra épülést, ami a művelet algoritmusának tanításának struktúráját adja, és a többi művelet tanításának felépítésénél is szem előtt kell tartani.
1. osztály: 1. 10-ig végzünk összeadásokat, számok bontását, 10-re pótlását. A bontások és a 10-re pótlás készség szintű ismerete elengedhetetlen a tízes átlépés tanulásához. 2. 10-hez adunk hozzá 10-nél kisebb számokat (10 + 6 = 16). 3. 10-nél nagyobb számokhoz adunk 10-nél kisebbeket. Analógia: 6 + 2 = 8; 16 + 2 = 18. 4. Összeadás tízes átlépéssel. Először 9-hez adunk, aztán 8-hoz, és így tovább egyre kisebb számokhoz adunk hozzá, hiszen ahogy távolodunk a 10-től, úgy nehezednek a feladatok. (Kivonásnál fordítva, először 11-ből veszünk el, aztán 12-ből, és így tovább egyre nagyobb számokból veszünk el.) A 6 + 7 kiszámolásának sémája:
A 6+7 nagyobb lesz 10-nél, írjuk be a középső négyzetbe a 10-et! A 6-hoz hogy 10 legyen, kell 4, ezt írjuk az első nyílra. A 7-nek az a bontása, amelyben a 4 szerepel a 4+3, ezért még 3-at kell hozzáadni a 10-hez, ezt a 3-at a második nyílra írjuk. A 10-hez hozzáadjuk a 3-at, 13-at kapunk. 5. Az összeadás tanításának a kezdetétől a kéttagú összegek számolása után adjunk háromtagú összeget is, amelyekben először az első két tagot adjuk össze, és a kapott összeghez adjuk a harmadik tagot! 6. Konkrét tárgyakon, példákon szemléltessük az összeadás tulajdonságait azok tudatosítása nélkül. Felcserélhetőség (kommutativitás): 2+3=3+2 2 kék és 3 piros korong együtt 5 korong ugyanúgy, mint 3 piros és 2 kék korong. Társíthatóság (asszociativitás): (2 + 3) + 7 = 2 + (3 + 7) = 2 + 3 + 7 A gyerekek kezdetben nem használnak zárójeleket, meg kell mutatni, hogy hogyan számoljanak ki háromtagú összegeket. Olyan háromtagú összeget is érdemes mutatni, amelyben célszerű az első két szám összeadása helyett előbb a második és a harmadik számot összeadni.
2. osztály 1. Kerek tízesek összeadása: 6 + 2 = 8 analógiára 60 + 20 = 80. 2. Összeadás tízes átlépés nélkül: 16 + 2 = 18; 26 + 2 = 28; 36 + 2 = 38; 46 + 2 = 48; … 3. Az összeg kerek tízes lesz: 7 + 3 = 10; 17 + 3 = 20; 27 + 3 = 30; 37 + 3 = 40; …
4. Egyjegyű szám hozzáadása tízes átlépéssel: 36 + 7
A 36 + 7 nagyobb lesz a 36 nagyobb tízes szomszédjánál, a 40-nél. 36-hoz 4 kell, hogy 40 legyen. 7 = 4 + 3, ezért még 3-at kell hozzáadni a 40-hez, így 43-at kapunk. 5. Kerek tízesek hozzáadása: 36 + 40 = 76; 36 + 50 = 86; … 6. Kétjegyű szám hozzáadása tízes átlépés nélkül: 36 + 42 = 36 + 40 + 2 = 76 + 2 = 78. 7. Kétjegyű szám hozzáadása tízes átlépéssel: 36 + 47 = (36 + 40) + 7 = 76 + 7 = 83. Figyeljük meg, hogy minden lépésben az előzőekben megismert lépéseket alkalmazzuk. A kétjegyű szám hozzáadását végezhetnénk úgy is, hogy először a tízeseket, utána az egyeseket adjuk össze: 36 + 47 = (30 + 40) + (6 + 7). Azonban ez a második módszer hamis analógiával rossz eredményre vezet, ha a szorzásnál alkalmazzák a tanulók. 36 · 47 = 36 · 40 + 36 · 7, de 36 · 47 ≠ 30 · 40 + 6 · 7. 8. Zárójelek használata: 47 – (16 + 7) A műveletek tulajdonságainak tanítása mindig tevékenységből, szövegből induljon, ne csak a számpéldákon alapuljon! Például a fenti különbséget kapjuk, ha a következő szöveges feladatot oldjuk meg: Egy tálban 47 szem cseresznye volt, Kati megevett 16 szemet, Peti 7 szemet. Hány szem cseresznye maradt a tálban?
5.3. Bűvészmutatvány az összeadás gyakorlására Válassz a táblázatból öt számot úgy, hogy minden sorból és minden oszlopból egy-egy számot választasz. Add össze a számokat! Felírok egy cédulára egy számot, és csodák, csodája, mindenki ugyanezt a számot kapta összegként, ha jól számolt!
Figyeljük meg, a sorok elé és az oszlopok fölé írt számokat! A táblázat minden száma a sor elé és az oszlop fölé írt szám összege. Így amikor minden sorból és minden oszlopból pontosan egy számot választunk, a számok összege a sorok elé és az oszlopok fölé írt számok összege lesz, azaz 84, függetlenül attól, hogy éppen mely számokat választottuk.
Ennek mintájára tetszés szerint gyárthatunk hasonló kisebb (3x3-as, 4x4-es) táblázatokat is.
5.4. Játék az összeadás gyakorlására A dominókészletből sorban fordíthatsz fel dominókat. A fordítás után eldöntheted, hogy a dominó két oldalán levő pöttyök alapján melyik kétjegyű számot választod, egy és két pötty esetén választhatod a 12-t vagy a 21-et, nulla és három esetén a 3-at vagy a 30-at. Minden fordítás után a választott számot hozzáadod az előző fordítások során kapott számok összegéhez. Bármelyik fordítás előtt megállhatsz. Ha túllépted a 100-at, akkor kiestél. Az győz, aki legjobban megközelíti a 100-at.
Természetes számok összeadását lehet gyakorolni az alábbi játékkal: http://www.umapalata.com/design_en/games/AZartDIN.asp?file=AZartDIN.swf
5.5. Feladatok 5.5.1. Feladat Írjunk összeadásra, kivonásra vezető szöveges feladatokat változtatásra, hasonlításra, egyesítésre!
5.5.2. Feladat Fogalmazzunk meg feladatokat hasonlítással, amelyek az összeg, különbség tagjaira kérdeznek rá!
5.5.3. Feladat Fogalmazzunk meg feladatokat hasonlítással, amelyekben egyenlővé tevés szerepel!
5.5.4.Feladat Fogalmazzunk meg feladatokat változással, egyenlővé tevéssel különbségre!
5.5.5. Feladat Írjuk fel a kivonás tanításának lépéseit 1-2. osztályban!
5.5.6. Feladat Hogyan épül tovább az ezres számkörben a szóbeli összeadás?
6. A szorzás, osztás tanítása Szorzás értelmezése, szorzó-szorzandó vagy szorzandó-szorzó sorrend előnyei, hátrányai. A szorzás művelet tulajdonságai. Bennfoglalás, részekre osztás. Maradékos osztás és ellenőrzése. 0-val végezhető műveletek. A hallgató ismerje a szorzás és az osztás különböző szövegekben való megjelenési formáit, és legyen képes ezekből matematikai modell felállítására. Fejlődjön kritikai gondolkodása az egyes tanítási lehetőségek előnyeinek, hátrányainak megismerésével. Lássa a műveletek tulajdonságait, a köztük levő összefüggéseket, és tudja elmagyarázni azokat.
6.1. A szorzás értelmezése A szorzást egyenlő számok összeadásként értelmezzük. Kétféle szemlélet található meg a tankönyvekben. Az egyik szerint a szorzás bevezetésekor a tényezők közül az első a szorzó, a második a szorzandó, a másik szerint fordítva. Mindkét szemléletnek vannak előnyei és hátrányai. A későbbi alkalmazások során mindkét sorrend előfordul, így miután a tanulókban kialakult a szorzás tényezőinek felcserélhetősége, nem érdemes mereven ragaszkodni egyik sorrendhez sem. 1. Szorzó · szorzandó sorrend 3 + 3 = 2 · 3 , kimondva: kétszer három. Az emberek többsége így használja a szorzást, nem mellékesen a gyógyszerekre írt 3x1 (háromszor egy) is azt jelenti, hogy 3 alkalommal kell 1-1 szemet bevenni. A változók bevezetésekor az x + x = 2x formulával könnyebb számolni, mint az x · 2-vel. A továbbiakban ezt a sorrendet fogjuk követni. 2. Szorzandó · szorzó sorrend 3 + 3 = 3 · 2, kimondva: három szorozva kettővel. Előnye az, hogy előbb látjuk a szorzandót, a 3-at, utána számoljuk meg, hogy hányszor szerepel összeadandóként, ami a szorzó. Szorzandó, szorzó sorrend szerepel az írásbeli szorzásnál is.
6.2. Szorzandó és szorzó szöveges feladatokban Példa: Mikulás csomagokba szaloncukrokat csomagolnak, mindegyikbe ugyanannyit. Kati eddig két csomagba, Peti négy csomagba pakolta be a szaloncukrokat, ketten együtt összesen 30 szaloncukrot raktak a csomagokba. Hány szaloncukrot raktak egy csomagba? Megoldás: Ketten együtt 2 + 4 = 6 csomagba raktak összesen 30 szaloncukrot, így egy csomagba 30 : 6 = 5 szaloncukrot raktak. A megoldásban a szorzás disztributivitását használtuk az összeadásra nézve: 2x + 4x = (2 + 4) · x., a megoldás könnyen szemléltethető a zacskók számának összeadásával. Példa: Peti gombokat gyűjt a gombfocicsapatához. Ugyanannyi kétlyukú gombja van, mint négylyukú. Összesen 30 lyuk van a gombjain. Hány kétlyukú, és hány négylyukú gombot gyűjtött Peti? Megoldás:
Állítsuk párba a kétlyukú és a négylyukú gombokat! Ugyanannyi van mindkét fajta gombból, ezért minden kétlyukú gombnak van négylyukú párja és fordítva, minden négylyukúnak van kétlyukú párja. Egy párban levő gomboknak összesen 6 lyuka van, így 30 : 6 = 5 pár van, ami azt jelenti, hogy 5 kétlyukú és 5 négylyukú gomb van. Itt is a szorzás disztributivitását használtuk az összeadásra nézve, csak más sorrendben: x · 2 + x · 4 = x · (2 + 4). Az első példában a szorzandó volt az ismeretlen, a szorzókat könnyen össze tudtuk adni. A második példában a szorzó volt az ismeretlen, a szorzandók összegének párba állításos szemléltetése nem könnyű gondolat a gyerekek számára.
6.3. Nulla és 1 a szorzatban, a szorzás tulajdonságai. Ha a szorzó 1-nél nagyobb természetes szám, akkor ismételt összeadással megkapjuk a szorzatot, akkor is, ha a szorzandó 0 vagy 1. Az előző értelmezés nem vonatkozik arra az esetre, amikor a szorzó 0 vagy 1, mert az összeadás kétváltozós művelet. Megállapodunk abban, hogy minden szám 1-szerese önmaga, 0-szorosa pedig 0. Fontos, hogy a műveletek tulajdonságaira ne néhány számpéldából következtessünk, hanem dolgok kétféleképpen való összeszámlálásával, ahogyan az alábbi példában is látható. A szorzásban a tényezők felcserélhetőségét egy emeletes ház ablakainak összeszámlálásával mutatjuk meg.
A ház ablakait összeszámolhatjuk emeletenként: 2 + 2 + 2 = 3 · 2. Összeszámolhatjuk lépcsőházanként: 3 + 3 = 2 · 3. A kétféle számolási mód ugyanazt az eredményt adja, tehát 3 · 2 = 2 · 3. A szorzás asszociativitását téglatestet alkotó kiskockák számának összeszámlálásával mutatjuk meg. A téglatest egy csúcsban összefutó élei 2, 3 és 4 egység hosszúak. A 3x4-es lapjára állítva az alsó rétegben 3 · 4 kiskocka van, 2 ilyen réteg van, ezért a kiskockák száma: 2 · (3 · 4). Ha a téglatestet 1x1x4-es rudakra vágva képzeljük el, akkor a 2x3-as lap minden kis négyzetéből indul egy ilyen rúd, így 2 · 3 rúd van, amiből azt kapjuk, hogy a kiskockák száma (2 · 3) · 4.
A kétféle számolási mód ugyanazt az eredményt adja, tehát 2 · (3 · 4) = (2 · 3) · 4. Az asszociativitás praktikus számolásra ad alkalmat, például: 2 · (5 · 7) = (2 · 5) · 7 = 10 · 7 A szorzás disztributívitását az összeadásra nézve egy téglalapot alkotó négyzetek összeszámlálásával mutatjuk meg.
A téglalap (2 + 3) · 4 négyzetből áll. Ha külön számoljuk a felső és az alsó téglalapban szereplő négyzeteket, akkor 2 · 4 + 3 · 4-et kapunk. A kétféle számolási mód ugyanazt az eredményt adja, tehát (2 + 3) · 4 = 2 · 4 + 3 · 4. A disztributivitás miatt szorozhatunk kétjegyű számokat fejben a következőképpen: 3 · 27 = 3 · (20 + 7) = 3 · 20 + 3·7 Műveleti sorrend A kéttagú műveletek tagjait mindig zárójelbe kellene tenni. Ahhoz, hogy ne kelljen olyan sok zárójelet írni, megállapodás szerint a szorzás és osztás műveletek tagjait nem feltétlenül kell zárójelbe tenni. A műveleteket balról jobbra haladva végezzük el, először a zárójelben levő műveleteket, majd a szorzásokat, osztásokat balról jobbra, végül az összeadásokat, kivonásokat balról jobbra haladva. (5 – 3) · 4 – 3 · 2 = 2 · 4 – 6 = 8 – 6 = 2.
6.4. A szóbeli szorzás - szorzótáblák A szorzótáblák (a kisegyszeregy) azokat a szorzatokat tartalmazzák, amelyekben a tényezők 0-nál nagyobb, de 10nél nem nagyobb természetes számok. Egy szorzótáblában a szorzandó rögzített, a szorzó pedig 1-től 10-ig változik. A szorzótáblák tanítását azonos szorzandókkal végzett ismételt összeadásokra vonatkozó tevékenységekkel, kettesével, hármasával, négyesével, stb. számlálással vezetjük be. A szorzótáblákat taníthatjuk a szorzandó szerint növekvő sorrendben, vagy a szorzótáblák közötti összefüggések alapján. A szorzandók növekvő sorrendjét választva is érdemes az 1-es szorzótáblát a végére tenni, és utána kitérni a 0-val való szorzásra. A szorzótáblák közötti összefüggéseket ebben az esetben is meg kell tapasztalniuk a tanulóknak. A szorzótáblák közötti összefüggésekre építve is többféle út kínálkozik. Legegyszerűbb a 2-es szorzótáblával kezdeni, a duplázást sokféleképpen szemléltetve. Alkalmazzunk geometriai szemléltetést is, például tükrözést!
Ezt követi az 5-ös és 10-es szorzótábla megmutatva, hogy valamennyinek a 10-szerese kétszer annyi, mint az ötszöröse, valamennyinek az ötszöröse fele a 10-szeresének. Ezt lejátszhatjuk 5 és 10 forintosokkal: egy adott pénzösszeg kifizetéséhez kétszer annyi ötforintos szükséges, mint 10 forintos. A szorzótábla tanulása közben tapasztaljuk meg, hogy az 5-nek a négyszerese 5-tel több a háromszorosánál, az 5nek a négyszerese kétszer 5-tel több a kétszeresénél, stb. Ezután következik a 4-es és a 8-as szorzótábla megmutatva a 2-es szorzótáblával való kapcsolatukat. Ezt a 3-as, 6-os, 9-es szorzótábla követi. Ezután a 7-es szorzótábla következik. Az 1-es szorzótáblát itt is hagyhatjuk a végére. A diszlexia, diszkalkulia gyanús gyerekeknél a hasonló dolgok tanítását célszerű elválasztani egymástól, ezért ha nem fordítunk kellő figyelmet az összefüggő szorzótáblák nagyságrendi megkülönböztetésére, akkor könnyen összekeverhetik a számokat. A szorzótáblákat gyakran párhuzamosan tanítják a bennfoglaló táblákkal, ami jó alkalom a szorzás és osztás kapcsolatának elmélyítésére. A bennfoglaló táblákban az osztó rögzített, a hányados pedig 1-től 10-ig változik.
A szorzótáblák kapcsolatát mutatják a színes rudak színcsaládjai. Piros család: 2 – rózsaszín, 4 – piros, 8 – bordó, 16 – barna. Kék család: 3 – világoskék, 6 – lila, 9 – sötétkék. Sárga család: 5 – citromsárga, 10 – narancssárga. 7 – fekete 12 – zöld A színes rudakat jól használhatjuk a szorzást, osztást bevezető tevékenységekre.
6.5. Az osztás bevezetése: bennfoglalással és részekre osztással Az osztás bevezetésének két fő típusa a bennfoglalás és a részekre osztás. A tankönyvek rövidebb-hosszabb ideig eltérően jelölik a bennfoglalást és a részekre osztást. Fontos tudatosítani a gyerekekben, hogy mindkét típusú szöveg osztásra vezet, ezért nem szerencsés, ha megtartjuk a kétféle jelölést, és a gyerekeknek a kétféle típus megkülönböztetését adjuk feladatul. Bár a részekre osztás, mint egyenlő részekre osztás jól készíti elő a törtrész fogalmát, a törtvonal és a per jel hasonlósága nem segíti a fogalom bevezetését.
A következő példákban ugyanazt az osztást megmutatjuk mindkét fajta szöveggel darabszám és mennyiség tartalommal.
Bennfoglalás
Részekre osztás
12 ceruzát 4-esével rakjunk dobozokba! Hány 12 ceruzát 4 gyerek között osszunk el doboz lesz tele? egyenlően! Hány ceruza jut egy gyereknek? Sorban kiosztjuk a ceruzákat egyesével, minden gyerek kap egyet-egyet, aztán újra egyet-egyet. Sorban megtöltjük a dobozokat 4-4 ceruzával.
12 / 4 = 3 12 : 4 = 3
Ellenőrzése szorzással: 3 · 4 = 12 Ellenőrzése osztással: 12 /3 = 4
4 · 3 = 12 12 : 3 = 4 Egy 12 cm-es szalagot 4 egyenlő hosszúságú darabra vágunk. Hány centiméteres egy darab?
Egy 12 cm-es szalagot 4 cm-es darabokra vágunk, hány darabot kapunk? Mennyiség / darabszám = mennyiség
Mennyiség : mennyiség = darabszám
Az osztás szorzással ellenőrzése azon alapul, hogy az osztás a szorzás fordított művelete.
A maradékos osztást is szemléltethetjük bennfoglalással és részekre osztással:
Bennfoglalás
Részekre osztás
14 ceruzát 4-esével rakjunk dobozokba! Hány 14 ceruzát 4 gyerek között osszunk el doboz lesz tele? egyenlően! Hány ceruza jut egy gyereknek?
Nem tudjuk az összes ceruzát dobozba rakni, 3 doboz lesz tele, és kimarad 2 ceruza.
14 : 4 = 3 2 A maradék kisebb az osztónál.
Nem tudjuk az összes ceruzát egyenlően elosztani, mindenki kap 3 ceruzát, és kimarad 2 ceruza. A maradékos osztást nem szoktuk / jellel jelölni. 4 · 3 + 2 = 12 (14 – 2) : 3 = 4
Ellenőrzése szorzással: 3 · 4 + 2 = 12 Ellenőrzése osztással: (14 – 2) /3 = 4
A 0-val való osztást nem értelmezzük. Ha például a 2-t el lehetne osztani 0-val, akkor a hányados 0-szorosa 2 kellene legyen, ami nem lehetséges. Ha 0-t osztunk 0-tól különböző számmal, akkor 0-t kapunk.
6.6. Játékok a szóbeli műveletek gyakorlására A fejben számolás csak akkor fejlődik készség szintre, ha folyamatosan ismételjük, gyakoroljuk. Gyors óra eleji játékok a következők: Számkirály: A tanulók párban versenyeznek, aki hamarabb megmondja egy művelet eredményét, az jut tovább, a másik kiesik. Az utolsó győztes a számkirály. Láncszámolás: Kiindulunk egy számból, elvégzünk egy műveletet, a soron következő tanuló mindig az előző művelet eredményével végzi el a következő műveletet. Ketten háttal: A tanulók párban versenyeznek, egymásnak háttal állnak. Mindkettő felmutat egy általa választott számkártyát, vagy felír a táblára egy számot úgy, hogy a párja ne lássa. A többiek közül kijelölt játékvezető megmondja a két szám szorzatát (vagy összegét, attól függ, mit gyakorolunk), és az a játékos nyer, aki előbb megmondja a társa számát. A játék a műveletek megfordításának gyakorlására is nagyon hasznos, sok nehézséget szokott okozni az olyan típusú kérdés, hogy melyik az a szám, amit ha 6-tal megszorzunk, akkor 42-t kapunk.
Az alapműveletek fejben való gyors elvégzését lehet gyakorolni az alábbi játékkal: http://www.umapalata.com/design_en/games/AZartLupoELepre.asp?file=AZartLupoELepre.swf A műveletek alkotása egy célszám megközelítésére gyakorolható az alábbi oldalon: http://tananyag.geomatech.hu/b/601627#material/628707
6.7. Feladatok 6.7.1. Feladat Írjunk 5 összefüggést a 2-es, 4-es és 8-as szorzótábla között!
6.7.2. Feladat Írjunk példákat a szóbeli szorzás tanításának lépéseire az analógiák alapján! Figyeljük meg, mely műveleti tulajdonságokat alkalmazzuk! (3. oszt: kerek tízesek, százasok szorzása egyjegyűvel; kétjegyű, háromjegyű számok szorzása egyjegyűvel; 4. oszt: szorzás 10-zel, 100-zal, majd kerek tízesekkel, százasokkal)
6.7.3. Feladat Írjuk a szorzótáblákat egy közös 10x10-es táblázatba! Milyen számok vannak a négyzet átlójában? Figyeljünk meg szabályosságokat a sorok között!
6.7.4. Feladat Mennyi az osztó, ha az osztandó 15, a hányados 3, és a maradék is 3?
7. Írásbeli műveletek Az írásbeli összeadás elvégzéséhez szükséges műveleti tulajdonságok. Írásbeli kivonás. Írásbeli szorzás kétjegyű szorzóval. Írásbeli osztás. Játékok a műveletek gyakorlására. A hallgató ismerje az írásbeli műveletek algoritmusát, annak magyarázatát, hogy az írásbeli műveletek miért végezhetők helyi értékenként a számjegyekkel, és legyen képes ezeket az algoritmusokat elmagyarázni gyerekeknek.
Az írásbeli műveletek elvégzésekor a számok helyi értékes bontását alkalmazzuk, és számjegyenként végezzük a műveleteket. A helyi értékes bontást szemléltethetjük pénzekkel, amikkel elvégezhetjük a műveleteket. Figyeljünk arra, hogy a könnyebb feladatok elvégzésekor a gyerekek hajlamosak szóbeli műveleteket végezni, így nem igazán tanulják meg például az írásbeli osztást, ami aztán a nehezebb feladatoknál hiányozni fog. A következőkben nem fogunk minden műveletet részletesen végignézni, csak néhány lényeges momentumot bemutatni.
7.1. Az írásbeli összeadás Figyeljük meg, hogy mely műveleti tulajdonságok biztosítják azt, hogy az összeadást helyi értékenként végezhetjük: A helyi értékes bontások felírása. 432 + 125 = (4·100 + 3·10 + 2) + (1·100 + 2·10 + 5) = Az asszociativitás alapján a tagok csoportosítását megváltoztatjuk, majd a kommutativitás alapján cserélünk. Ennek a két lépésnek többszöri alkalmazásával a százasokat egymás mellé visszük, ugyanígy a tízeseket és az egyeseket. = (4·100 + 1·100) + (3·10 + 2·10) + (2 + 5) = A szorzás disztributív az összeadásra nézve, ezért lehet a megfelelő helyi értéken levő számjegyekkel végezni a műveletet. = (4 + 1) · 100 + (3 + 2) · 10 + (2 + 5) Az írásbeli összeadás bevezetéséhez használjuk a Tökéletes Pénztárgépet! Rakjuk ki a pénzösszegeket a helyi értékes bontásban, és végezzük el a beváltásokat! Ezzel a számjegyenkénti műveletvégzés és a tízes átlépés is jól tudatosítható.
A 12 tízesből 10 tízest beváltunk 1 százasra, azaz leírjuk a 2 tízest, és 1 százast továbbviszünk a százas helyi értékre.A Tökéletes Pénztárgépbe 15 egyes került, amiből 10 egyest beváltunk 1 tízesre, és leírjuk az 5 egyest. Az 1 tízest továbbvisszük a tízes helyi értékre. Több tag írásbeli összeadásakor előfordulhat, hogy a következő helyi értékre 1-nél nagyobb, sőt olyan is, hogy 10nél nagyobb számot kell továbbvinni.
7.2. Az írásbeli kivonás
Az írásbeli kivonást az összeadáshoz hasonlóan pénzekkel szemléltetjük. Ehhez célszerű szöveges feladatot alkotni: Katinak 387 Ft-ja volt, amiből vásárolt egy 154 Ft-os csokoládét. Mennyi pénze maradt? A kisebbítendőt kirakjuk pénzekkel, majd a kivonandónak megfelelő összeget áthúzzuk. Ezt könnyedén megtehetjük, ha a kisebbítendőben minden helyi értéken nagyobb számjegy áll, mint a kivonandó megfelelő helyi értékén.
7 egyesből elveszünk 4 egyest, marad 3 egyes. 8 tízesből elveszünk 5 tízest, marad 3 tízes. 3 százasból elveszünk 1 százast, marad 2 százas.
A következő tananyag a különbség változásai (ezzel itt nem foglalkozunk részletesen), azért lényeges, mert a tízes átlépéses kivonásnál alkalmaznunk kell.
Ezután következik a tízes átlépéses kivonás. A tízes átlépés először az egyes helyi értéken, azután a csak a tízes helyi értéken fordul elő, végül mindkét helyi értéken is előfordulhat. A műveletet célszerű szöveges feladattal bevezetni. Figyeljük meg, hogy míg az előző esetben a szöveg elvételre utalt, most a feladat szövege pótlásra utal, ezért van értelme a kisebbítendőnek és a kivonandónak megfelelő pénzösszegeket is kirakni.
Kati és Peti 834 Ft-ért vettek egy csokor virágot anyák napjára. Mennyit fizetett Peti, ha Kati 586 Ft-ot fizetett?
6 egyest nem tudunk 4 egyesre pótolni. A kisebbítendőben növeljük az egyesek számát 10-zel (ezzel a különbség 10 egyessel nőtt)!
6 egyeshez, hogy 14 egyes legyen, kell 8 egyes. Ahhoz, hogy a különbség ne változzon, a kivonandót is növelni kell 10e = 1 tízessel.
8+1=9 tízest nem tudunk 3 tízesre pótolni. A kisebbítendőben növeljük a tízesek számát 10-zel (ezzel a különbség 10 tízessel nőtt)! Ahhoz, hogy a különbség ne változzon, a kivonandót is növelni kell 10t = 1 százassal. 9 tízeshez, hogy 13 tízes legyen, kell 4 tízes. 5+1=6 százashoz, hogy 8 százas legyen, kell 2 százas.
Az írásbeli kivonást elmondhatjuk elvétellel (kivonással) vagy pótlással. Sok gyereknek a pótlásos szöveg könnyebben érthető.
Elméletileg a kivonást végezhetnénk úgy is, hogy a kisebbítendőben hiányzó tízest egy, a kisebbítendőben levő tízes felváltásával nyerjük. Ekkor a kisebbítendőben csökken 1-gyel a tízesek száma. Ennek a módszernek az a hátránya, hogy ha a kisebbítendőben 0 van, akkor több felbontásra lenne szükség egymás után, amit nehéz követni például a 2003 – 17 különbség írásbeli számolásakor. A kétféle módszer egyidejű tanítása pedig megzavarhatja a gyerekeket, végül egyik sem automatizálódik.
7.3. Írásbeli szorzás Az egyjegyűvel való szorzást pénzekkel kirakva szemléltetjük, a beváltásokat az összeadáshoz hasonlóan végezzük. A kétjegyűvel való szorzás alapja a szorzás disztributivitása az összeadásra nézve: A 42 · 37 szorzatot a következő azonosságok alapján számoljuk: 42 · 37 = 42 · (30 + 7) =
a szorzás disztributív az összeadásra nézve
= 42 · 30 + 42 · 7 = 42 · (3 · 10) + 42 · 7 =
a szorzás asszociatív
= (42 · 3) · 10 + 42 · 7 Az így kapott összeg tagjai lesznek a részletszorzatok.
Az első részletszorzatot úgy kapjuk, hogy a 42-t megszorozzuk 3-mal. Mivel 3 tízessel szoroztunk, ezért ezt még meg kell szorozni 10-zel. A szorzat végére írunk egy 0-t, ezt pirossal jelöltük (a gyerekeknek az eljárás megértése, és kellő gyakorlása után már nem kell kiírni). Ez indokolja azt, hogy a részletszorzat jobbról első számjegye a szorzat tízes helyi értékére kerül, azaz a következő részletszorzat „jobbra tolódik”. A második részletszorzatot úgy kapjuk, hogy a 42-t szorozzuk 7 egyessel. Ennek jobbról első számjegye a szorzat egyes helyi értékére kerül. Végül a két részletszorzatot írásbeli összeadással összeadjuk. Kezdhetjük a szorzást a szorzó egyes helyi értéken álló számjegyével is, ekkor az előbbi okok miatt a második részletszorzat „balra tolódik”. A helyi érték alapján való léptetés könnyebb lenne, ha a részletszorzatok jobbról nézve első számjegyét mindig a szorzó megfelelő számjegye alá írnánk:
7.4. Írásbeli osztás Az egyjegyű osztóval való írásbeli osztást példával vezetjük be, és pénzek részekre osztásával szemléltetjük. Négyen együtt lottóztak, és 6732 Ft-ot nyertek, amin igazságosan osztoznak. Hány forintot kap egy ember? Rakjuk ki a nyereményt pénzekkel!
6 ezrest osztunk szét 4 egyenlő részre, minden részbe jut 1 ezres, így egy 1-es kerül hányadosban az ezres helyi értékre. Ezzel kiosztottunk 4 · 1 = 4 ezrest. Marad 6 – 4 = 2 ezres, amelyeket nem tudtunk kiosztani egyenlően, fel kell váltani százasokra. A 20 százashoz hozzávesszük a kiosztandó 7 százast, így 27 százast osztunk szét egyenlően. Minden részbe jut 6 százas, a 6 a hányadosnak a százas helyi értéken álló számjegye. Ezzel kiosztottunk 4 · 6 = 24 százast. Marad 27 – 24 = 3 százas, amelyeket nem tudtunk kiosztani egyenlően, fel kell váltani tízesekre. A 30 tízeshez hozzávesszük a kiosztandó 3 tízest, így 33 tízest osztunk szét egyenlően. Minden részbe jut 8 tízes, a 8 a hányadosnak a tízes helyi értéken álló számjegye. Ezzel kiosztottunk 4 · 8 = 32 tízest. Marad 33 – 32 = 1 tízes, amelyet nem tudtunk kiosztani egyenlően, fel kell váltani egyesekre. A 10 egyeshez hozzávesszük a kiosztandó 2 egyest, így 12 egyest osztunk szét egyenlően. Minden részbe jut 3 egyes, a 3 a hányadosnak az egyes helyi értéken álló számjegye. Ezzel kiosztottunk 4 · 3 = 12 egyest. Marad 12 – 12 = 0 egyes.
Az osztást rövidebben is le lehet jegyezni, ha visszaszorzást és a kivonást egy lépésben végezzük el. Ennek a rövid alaknak a készség szintű elsajátítására általában nincs idő, szerencsésebb, ha a visszaszorzással a tanulók megértik az írásbeli osztás algoritmusát. A tanulók az egyjegyűvel való osztásnál gyakran visszaszorzás nélkül fejben számolják a maradékot, így viszont nem tudatosul bennük az algoritmus, és a kétjegyűvel osztásnál nehézségeik támadnak.
Az írásbeli osztásban hibalehetőség, ha a hányadosba 0 kerül, például a 2436 : 4 = 609 osztásnál a gyerekek hajlamosak elfeledkezni a 0 kiírásáról. Ezt úgy tudjuk elkerülni, ha tudatosítjuk a hányados számjegyeinek helyi értékét.
7.5. Játékok a műveletek gyakorlására Írásbeli összeadás, kivonás
Dobunk a dobókockával, és a dobott számot azonnal be kell írni valamelyik téglalapba úgy, hogy az összeg a lehető legnagyobb legyen. Az győz, aki a legnagyobb összeget kapta. Játsszuk a játékot legkisebb összegre, és kivonásra is! A játék az alábbi oldalon játszható: http://tananyag.geomatech.hu/b/508663#material/1022759
A 6174 titka Válassz egy különböző számjegyekből álló négyjegyű számot! Írd a számjegyeit csökkenő sorrendbe, majd növekvőbe, és vond ki egymásból a kapott két négyjegyű számot! A különbséggel tedd ugyanezt! Például, ha az 5198-ból indulunk, a 9851 – 1589 = 8262 különbséget kapjuk, majd ezzel folytatva a 8622 – 2268 = 6354-et, sít. Ha valamikor háromjegyű számot kapnál, akkor az ezres helyi értékre írjál 0-t. Mit tapasztalsz? Az érdekesség az, hogy legfeljebb 8 lépéssel a 6174-hez jutunk, aminek az a sajátossága, hogy rá végrehajtva ezt az eljárást újra 6174-et kapunk: 7641 – 1467 = 6741. Gondolatolvasás Gondolj egy háromjegyű számra! Szorozd meg 7-tel! A kapott számot szorozd meg 11-gyel! A szorzatot szorozd meg 13-mal! Mondd meg a szorzat második, harmadik és negyedik számjegyét, és megmondom, melyik számra gondoltál. 7 · 11 · 13 = 1001. Ha egy háromjegyű számot 1001-gyel szorzunk, akkor azt a hatjegyű számot kapjuk, amelynek első három számjegye és utolsó három számjegye is a gondolt háromjegyű szám. Így a hatjegyű szám második számjegye a gondolt szám második, a harmadik számjegye a gondolt szám harmadik, és a negyedik számjegye a gondolt szám első számjegye.
7.6. Feladatok 7.6.1. Feladat Készíts BINGO játékot mind a négy írásbeli műveletre! Sorolj fel 9 műveletet, és az eredményeket összekeverve írd egy 3x3-as táblázatba! A tanulók tetszőleges sorrendben számítják ki a műveletek eredményét, és a kapott eredményeket bekarikázzák a táblázatban. Akinek három bekarikázott száma van egy sorban, oszlopban vagy átlóban, annak BINGO-ja van. A művelteket tetszés szerinti sorrendben lehet végezni. (Hamarabb lesz BINGO-ja annak, aki becsléssel találja ki, hogy melyik műveletet végzi el.)
8. A természetes számok tulajdonságai, oszthatóság
A természetes számok tulajdonságai. Páros, páratlan számok. Oszthatóság fogalma és tulajdonságai. Oszthatósági szabályok. Maradékokkal számolás. Prímszámok, prímtényezőkre bontás. Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. A hallgató ismerje a számelmélet alapfogalmait, és azok alsó tagozatos megjelenési formáit, bevezetési lehetőségeit. Legyen képes szemléltetni a különböző számtulajdonságokat, maradékkal számolást, legyen képes feladatokban alkalmazni a legnagyobb közös osztót, legkisebb közös többszöröst.
8.1. A természetes számok tulajdonságai A természetes számokat jellemző tulajdonságokat fedezhetünk fel, ha megpróbáljuk korongokkal kirakni a darabszámokat. Bizonyos számokat kirakhatunk négyzet alakban, ezek lesznek a négyzetszámok, bizonyosakat háromszög alakban, ezek a háromszögszámok, vannak téglalap és vonalszámok.
A számok oszthatósági tulajdonságainak vizsgálatakor figyeljük a korongokkal való kirakás lehetőségét is.
8.2. Páros, páratlan számok Már 1. osztályban a számok megismerésekor foglalkozunk azzal, hogy melyek a páros és melyek a páratlan számok. Háromféleképpen mutatjuk meg: - A dolgokat (halmaz elemeit) kettesével csoportosítjuk, ha minden dolognak van párja, akkor a darabszámuk páros, ha van, amelyiknek nem jut pár, akkor a darabszám páratlan. - A dolgokat két egyenlő darabszámú részre osztjuk. Ha ez lehetséges, akkor a darabszám páros, ha nem lehetséges, akkor páratlan. - A számegyenesen a számszomszédok alapján: a 0 páros, az 1 páratlan, utána a páratlan számok számszomszédjai párosak, a párosaké páratlanok.
A 0-nál nagyobb páros számok téglalapszámok:
Fontos megjegyezni, azt a többször előforduló TÉVEDÉST, miszerint a 0 se nem páros, se nem páratlan. A tévedésnek több kiváltó oka lehet. Az egyik, hogy a 0 valóban se nem pozitív, se nem negatív. A másik, hogy
amikor csoportosítással mutatják meg a páros számokat, azt gondolják, hogy az üres halmaz elemeit nem lehet kettesével csoportosítani. A 0 PÁROS SZÁM. - 0 darab kettes csoportba osztható 0 darab elem, tehát kettesével csoportosítható. - Két egyenlő darabszámú részre osztható: 0+0. - Az 1 páratlan szám szomszédja.
8.3. Oszthatóság fogalma és tulajdonságai Az a természetes szám osztója a b természetes számnak, ha létezik olyan c természetes szám, amelyre a · c = b. Jele: a | b. Ekkor: b osztható a-val b többszöröse a-nak. Az „osztható” fogalom a szorzáson alapul, a gyerekekben is a számok szorzat alakját kell erősíteni, az fogja segíteni őket az oszthatósággal kapcsolatos összefüggések felfedezésében. A számok szorzat alakjának felfedezésében segítségükre lehet a téglalap alakban való kirakás. Az „oszthatóság” két szám közötti kapcsolatra jellemző tulajdonság, az osztás során pedig két számhoz rendelünk hozzá egy harmadik számot. Figyeljük meg a 0 és az 1 szerepét: 0-nak minden természetes szám osztója. (a · 0 = 0). Ez egyben azt is jelenti, hogy a 0 osztható 0-val, viszont a 0-t nem lehet elosztani 0-val! A 0 minden természetes számnak többszöröse. Az 1 minden természetes számnak osztója. (1 · b = b). Minden szám osztója önmagának. Tetszőleges a természetes szám nem valódi osztói 1 és a, a többi osztóját valódi osztónak nevezzük. A természetes számok osztóit osztópáronként sorolhatjuk fel. Példa: Soroljuk fel a 36 osztóit!
Láthatjuk, hogy a 6 osztópárja önmaga, vagyis a 36-nak páratlan számú osztója van. A 36 négyzetszám. Az osztópárok alapján látható, hogy ha egy természetes szám négyzetszám, akkor páratlan számú osztója van, és ha egy természetes szám nem négyzetszám, akkor páros számú osztója van. A 36 osztóiról szerezhetünk tapasztalatot, ha megpróbálunk többféleképpen téglalap alakba kirakni 36 korongot. Az egyik ilyen téglalap négyzet, ezért a 36 négyzetszám.
A számok többszöröseiről szerezhetünk tapasztalatot az alábbi játékban, ahol a sebesség is fontos (a szorzótáblák gyakorlásakor is játszható). http://www.umapalata.com/design_en/games/AZartPIAN.asp?file=AZartPIAN.swf
Az oszthatóság reláció tulajdonságai: tetszőleges a, b, c természetes számokra: - reflexív: a | a, - antiszimmetrikus: ha a | b és b | a, akkor a = b, - tranzitív: ha a | b és b | c, akkor a | c . Összeg oszthatósága: tetszőleges a, b, c természetes számokra - ha a | b és a | c, akkor a | b + c - ha a | b és a nem osztója c-nek, akkor a nem osztója b + c -nek Szorzat oszthatósága: tetszőleges a, b, c természetes számokra ha a | b, akkor a | b · c
Összetett oszthatósági szabály tetszőleges a, b, c természetes számokra ha a | c és b | c, és (a;b) = 1, akkor a · b | c
Példa: Igaz-e, hogy ha egy természetes szám osztható 4-gyel és 6-tal, akkor osztható a szorzatukkal, azaz 24-gyel. Megoldás: Nem igaz, például a 12 osztható 4-gyel is és 6-tal is, de nem osztható 24-gyel.
8.4. Maradékokkal számolás A gyerekek a számok többszörösei mellett tapasztalatot szereznek azokról a számokról is, amelyek adott számmal osztva ugyanazt a maradékot adják. Ezek a tapasztalatok a maradékos osztás megértése szempontjából is hasznosak. Tekerjünk fel egy mérőszalagot egy színes rúdra, amelynek négy oldallapja van! Figyeljük meg, hogy a rúdnak egy élére mely számok kerültek!
Látható, hogy az egyik élen a 4-gyel osztható számok vannak, egy másikon a 4-gyel osztva 1 maradékot adó számok, a harmadikon a 4-gyel osztva 2 maradékot adó számok, a negyediken pedig a 4-gyel osztva 3 maradékot adó számok. A felcsavart számegyenes látható az alábbi oldalon: http://tananyag.geomatech.hu/b/508689#material/763837
Óra matematika Példa: Most déli 12 óra van. Süthet-e a nap 134 óra múlva?
Megoldás: 24 óra múlva újra dél lesz, 24 többszöröse óra múlva is újra dél lesz, így 5·24 óra múlva is dél lesz. 134 = 5 · 24 + 14. Dél után 14 óra múlva hajnali 2 óra lesz, tehát nem süthet a nap.
Hasonló feladatokat alkothatunk a hét napjaira, a hónapokra, évszakokra vonatkozóan. Az óra matematika játszható az alábbi oldalon: http://tananyag.geomatech.hu/b/508731#material/953389
Példa: Katinak ötféle színű tányérja van, sárga, piros, kék, zöld és lila. Egyik nap sárga tányérból eszik, következő nap pirosból, aztán kékből, majd zöldből, és az ötödik napon lilából. Ma sárga tányérból eszik. Milyen színű tányérból eszik 17, 72, 154, 878 nap múlva? Megoldás: Ha ma sárga tányérból eszik, akkor 1 nap múlva piros, 2 nap múlva kék, 3 nap múlva zöld, 4 nap múlva lila, és 5 nap múlva újra sárga tányérból eszik. Vagyis ha az eltelt napok száma 5-nek többszöröse, akkor sárga tányérból eszik. Ez alapján: 17 = 3 · 5 + 2 nap múlva kék tányérból eszik, 72 = 12 · 5 + 2 nap múlva szintén kék tányérból eszik, 154 = 30 · 5 + 4 nap múlva lila tányérból eszik, 878 = 177 · 5 + 3 nap múlva zöld tányérból eszik. Az eltelt napok számának 5-ös osztási maradékát kell vizsgálni. Ezt is ábrázolhatjuk óraként, és körbejárhatunk az órán, minden nap egyet lépve tovább.
A maradékokkal számolással az oszthatóság tulajdonságait, az összeg oszthatóságát is felfedezhetik a gyerekek.
8.5. Oszthatósági szabályok a tízes számrendszerben
I. Az oszthatósági szabályok számok utolsó számjegyei alapján 1. Az utolsó számjegy alapján a) 10-zel való oszthatóság A helyi érték táblázat alapján, ha egy szám osztható 10-zel, akkor a 10-nek többszöröse, ezért 0-ra végződik. Ha egy szám 0-ra végződik, akkor egész számú tízesből áll, tehát osztható 10-zel. Figyeljük meg az állítások szerkezetét: Az állítás: Ha egy természetes szám osztható 10-zel, akkor 0-ra végződik. Az állítás megfordítása: Ha egy természetes szám 0-ra végződik, akkor osztható 10-zel. Az állítás és a megfordítása egyben: Egy természetes szám pontosan akkor osztható 10-zel, ha 0-ra végződik. Az eredeti állítás ekvivalens a következővel: Ha egy természetes szám nem 0-ra végződik, akkor nem osztható 10-zel. Az állítást általában ez utóbbi formában használjuk. (Formálisan az állítás:
, a megfordítása pedig
.)
b) 2-vel való oszthatóság A természetes számot felbontjuk tízesekre és egyesekre: 456 = 450 + 6 A tízesek 10 többszörösei, ezért oszthatók 10-zel, a 10 osztható 2-vel, így a tranzitivitás miatt a tízesek oszthatók 2-vel. Az összeg első tagja osztható 2-vel, ekkor az összeg pontosan akkor osztható 2-vel, ha a második tagja, azaz az egyesek helyén álló számjegy osztható 2-vel. Egy természetes szám pontosan akkor osztható 2-vel, ha a végződése 0; 2; 4, 6 vagy 8. A 2-vel osztható számokat nevezzük páros számoknak. A gyerek azt tapasztalják, hogy a szám páros, ha páros számjegyre végződik. c) 5-tel való oszthatóság Egy természetes szám pontosan akkor osztható 5-tel, ha 0-ra vagy 5-re végződik. Ezt a 2-vel való oszthatósághoz hasonlóan mutathatjuk meg. Az utolsó számjegy alapján a 10 osztóival való oszthatóságot lehet eldönteni. 2. Az utolsó két számjegy alapján
a) 100-zal való oszthatóság A 10-zel való oszthatósághoz hasonlóan mutatható meg a helyi érték táblázat alapján. Egy természetes szám pontosan akkor osztható 100-zal, ha két 0-ra végződik. b) 4-gyel való oszthatóság Bontsuk fel a számot százasokra, és az utolsó két számjegyből álló számra: 3428 = 3400 + 28. A százasok oszthatók 100-zal, és így a 100 osztójával, azaz 4-gyel is. Az összeg első tagja osztható 4-gyel, ekkor az összeg pontosan akkor osztható 4-gyel, ha az összeg második tagja osztható 4-gyek, azaz ha az utolsó két számjegyből álló szám osztható 4-gyel. Egy természetes szám pontosan akkor osztható 4-gyel, ha az utolsó két számjegyből alkotott szám osztható 4-gyel. Az utolsó két számjegy alapján a 100 osztóival való oszthatóságot lehet eldönteni. 3. Az utolsó három számjegy alapján az 1000-rel, és az 1000 osztóival, például a 8-cal való oszthatóságot lehet eldönteni. II. Az oszthatósági szabályok számjegyek összege alapján 9-cel való oszthatóság Írjuk a számot helyi értékes bontásban: 3728 = 3 · 1000 + 7 · 100 + 2 · 2 + 8 = 3 · (999 + 1) + 7 · (99 + 1) + 2 · (9 + 1) + 8 = = (3 · 999 + 7 · 99 + 2 · 9) + (3 + 7 + 2 + 8) Az összeg első tagja 9 többszöröse, a második tagja pedig a számjegyek összege, így az összeg pontosan akkor osztható 9-cel, ha a számjegyek összege osztható 9-cel. Egy természetes szám pontosan akkor osztható 9-cel, ha a számjegyeinek összege osztható 9-cel. A 9-cel való oszthatóságon alapul az alábbi bűvész trükk: www.mathematika.hu/viewpage.php?page_id=100&c_start=10 Hasonló a 3-mal oszthatóság szabálya, hiszen a 3 osztója a 9-nek. Eldobós játék az oszthatósági szabályok felfedezésére: Sorban mondunk számokat, az kap egy pontot, aki leghamarabb kimondja a mondott szám 4-es osztási maradékát. A számok: 29; 49; 78; 103; 113; 323, … Figyeljük meg, hogy úgy érdemes játszani, hogy a 4 többszöröseit leválasztjuk a számról:
29 = 28 + 1; 49 = 40 + 8 + 1; 78 = 40 + 36 + 2; 103 = 80 + 20 + 3; 113 = 100 + 12 + 1; 323 = 300 + 20 + 3, … Hasonló játékkal felfedeztethető a 9-cel oszthatóság szabálya is.
III. Összetett oszthatósági szabályok Írjuk be a halmazábrába a természetes számokat 0-től 30-ig, ha az egyik halmaz a 2-vel, a másik a 3-mal osztható számok halmaza.
A halmazábra alapján felfedezhető a 6-tal való oszthatóság szabálya: Egy természetes szám pontosan akkor osztható 6-tal, ha osztható 2-vel és 3-mal. Példa: Hogyan dönthető el egy természetes számról, hogy osztható-e 24-gyel? Megoldás: Egy természetes szám pontosan akkor osztható 24-gyel, ha osztható 3-mal és 8-cal, mert a 3 és a 8 relatív prímek.
8.6. Prímszámok, prímtényezőkre bontás Prímszámnak (vagy törzsszámnak) nevezzük azt a természetes számot, amelynek pontosan két osztója van. Összetett számnak nevezzük azokat a 0-tól és 1-től különböző természetes számokat, amelyek nem prímszámok. Egy prímszámnak megfelelő korongokat csak egy vonalba tudunk rendezni, ezek a vonalszámok, míg az összetett számnak megfelelő korongokat téglalap alakban rendezhetjük, ezek a téglalapszámok.
Minden összetett szám a tényezők sorrendjétől eltekintve egyértelműen írható fel prímszámok szorzataként.
Példa: Bontsuk fel a 48-at prímtényezők szorzatára!
48 = 2 · 3 · 2 · 2 · 2
8.7. Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös Példa: 24 marcipános és 36 zselés szaloncukrot rakunk csomagokba úgy, hogy mindegyik csomagba ugyanannyi legyen mindkét fajta szaloncukorból. Legtöbb hány csomagot készíthetünk? Megoldás: 24 szaloncukrot egyformán szétosztani annyi csomagban lehet, ami osztója a 24-nek. Ugyanez igaz a 36-ra. Mindkét fajtát egyformán annyi csomagban oszthatunk el, ami mindkét számnak osztója, ezek a közös osztók. A legnagyobb ezek közül a 12, tehát legtöbb 12 csomagba oszthatjuk szét egyformán mindkét fajta szaloncukrot. Halmazábrán ábrázolva a 24 és a 36 osztóit leolvasható a legnagyobb közös osztó.
Két természetes szám legnagyobb közös osztóján a közös osztók közül a legnagyobbat értjük. (A 0-nak a 0-val vett legnagyobb közös osztóját nem értelmezzük.)
Példa: A 4-es busz 4 percenként jár, a 6-os busz 6 percenként. Reggel 5 órakor mindkét busz egyszerre ért a megállóba. Hány perc múlva érnek legközelebb egyszerre a megállóba? A 4 többszörösei adják azokat a perceket, amikor a 4-es busz érkezik a megállóba, a 6 többszörösei pedig azokat, amikor a 6-os busz. Mindkét busz abban a percben érkezik, amelyik mindkettőnek többszöröse. Először pedig abban a percben, amelyik a legkisebb közös többszörös, azaz 12 perc múlva. Ábrázoljuk halmazábrán a 4 és a 6 40-nél kisebb többszöröseit:
Két természetes szám legkisebb közös többszörösén a legkisebb pozitív közös többszöröst értjük. (A pozitív kikötésre azért van szükség, mert különben a 0 lenne bármely két szám legkisebb közös többszöröse.) Két szám legkisebb közös többszöröse kereshető, szemléltethető az alábbi oldalon: http://tananyag.geomatech.hu/b/145580#material/144980
8.8. Feladatok 8.8.1. Feladat Írjunk számjegyeket a jelek helyére úgy, hogy a szám osztható legyen 15-tel! 24∆2
8.8.2. Feladat Keressünk további példákat az óra matematika alkalmazására!
9. Számkörbővítés: törtek, negatív egész számok Törtrészek, törtszámok, a tört, mint osztás. Ekvivalens törtek szemléltetése interaktív táblán (pizzarendelés) Negatív számok modelljei. Gazdálkodj okosan! Játék interaktív táblán. A hallgató ismerje a számkör bővítésének lépéseit, legyen képes a fokozatosság, és a változatos szemléltetés jegyében feladatokat tervezni. Tudja, hogy a törtfogalom bevezetése hosszú folyamat, és rengeteg változatos tevékenységet, szemléltetést igényel.
9.1. Számkörbővítés A számkörbővítés az alsó tagozatban egyrészt a megismert természetes számok halmazának bővítését jelenti, másrészt új típusú számok, a pozitív törtek és a negatív egész számok fogalmának alapozását. Sok évvel ezelőtt negatív számokkal, törtekkel még 5. osztályban sem találkoztak a gyerekek, manapság azonban 5. osztályban már bevezetik mind a pozitív törteket, mind a negatív egész számokat. Alsó tagozatban ennek a bevezetésnek a konkrét tárgyi alapozása, a szemlélet alakítása folyik. Mivel a pozitív törtek és a negatív egész számok tanítása nem épül egymásra, tanításuk sorrendje tetszőleges lehet. A matematika történetében sokkal hamarabb használtak törteket, mint negatív számokat. Az egyiptomiak különböző táblázatok segítségével kiválóan számoltak törtekkel. Bár már korábban is tapasztalták a negatív számok hiányát bizonyos másodfokú egyenletek megoldásaként, a negatív számokat csak az 1500-as években kezdte használni Michael Stiefel német matematikus, aki abszurd számoknak nevezte a negatív számokat, és különbségként: (0 – 3) jelölte. Jellemző, hogy a hétköznapi életben előforduló helyzeteket nyelvileg a negatív szám fogalma nélkül is meg tudjuk oldani, például 1000 Ft adósság, 10 m mélység, 20% árengedmény. A negatív számokra a matematikai műveletek elvégzéséhez, az egyenletek megoldásához van szükség. Ugyanakkor a törtek a mindennapi életben is kikerülhetetlenek, nem csak a matematikában. Ez indokolja, hogy most a törtek előkészítésével kezdünk.
9.2. A törtfogalom előkészítése A szemléleti alapozás időszakában konkrét dolgok törtrészeivel foglalkozunk. Ezen a tapasztalatok alapján 5-6. osztályban alakul absztrakció útján a törtszám fogalma.
2. osztályban a részekre osztás tanításakor konkrét tárgyi tevékenységgel előkerül a felezés, negyedelés, hajtogatással, alma szétosztásával megmutatjuk a nyolcad részt is. Példa: A zöld (12) rudat rakjuk ki csupa piros és csupa rózsaszín rúddal! Megoldás: A pirosból 3 rúd teszi ki a zöldet, ezért a piros a zöld harmada. Rózsaszín rúdból 6 teszi ki a zöldet, ezért a rózsaszín a zöld hatoda. A kirakásból megtapasztalhatják a gyerekek, hogy a zöld hatoda fele a harmadának. Itt természetesen a színes rudak hosszáról van szó, ami akkor is érthető a gyerekeknek, ha kicsit pontatlanul nem mondjuk hozzá. Az osztás és a szorzás kapcsolatát is megfogalmazzuk a fele, stb. kifejezésekkel: A világoskék rúd fele a lilának, a lila rúd kétszerese a világoskéknek. Figyeljünk a szóhasználatra, a fél alma mennyiséget jelent, az alma fele pedig az almadarabnak az egészhez való viszonyát. A mértékegységváltáskor a tízszerezésről és a tizedelésről szerezhetnek tapasztalatot a gyerekek a liter – deciliter, méter – deciméter kapcsolatoknál. 3. osztályban az egységtörtekkel, azaz az 1 számlálójú törtekkel foglalkozunk. - Törtrészek konstruálása tevékenységgel: Először a megfelelő törtrészeket hozzuk létre tevékenységgel. - Törtrészek jelölése: Az 1 egésznek a fele 1 ketted rész, a harmada 1 harmad rész, stb. - Törtrészek felismerése: Különböző dolgokat, rajzokat választunk 1 egésznek, ezeken ismerjük fel a különböző törtrészeket, először a feleket, majd a harmadokat, stb., - Törtrészek alkotása: a gyerekek maguk is alkotnak megadott törtrészeket változatos formában. A sok vizuális tapasztalat segíti a tanulókat abban, hogy ránézésre is felismerjék a törtrészeket, ez itt ugyanolyan fontos, mint a darabszámok felismerésénél! Az alábbi oldalon gyakorolható a törtrészek felismerése és ábrázolása: http://tananyag.geomatech.hu/b/508649#material/704419 Az 1 negyed többféle ábrázolása:
Figyeljünk arra, hogy vannak olyan elrendezések, amelyeknél a törtrészek megállapítása már inkább csak számolással lehetséges, ránézésre nem.
Vizuálisan az első két ábrán könnyen látható, hogy a téglalap területének 1 negyede van beszínezve. A harmadik ábra a második soronkénti elcsúsztatásával adódik. A negyedik pedig a harmadik ábra soraiban levő piros téglalapok szétcsúsztatásával keletkezik. Ezt azonban nem könnyű észrevenni, ezért számolással is meghatározható, hogy a téglalap 32 mezője közül 8 piros, a 8 a 32-nek a negyede, ezért az ábra negyede van beszínezve.
- A törtrészek közötti nagyságrendi kapcsolatok felismerése: Ha több egyenlő részre vágjuk az egy egészet, akkor egy rész kisebb lesz: 1 egész > 1 ketted > 1 harmad > 1 negyed > 1 ötöd.
- A törtrészekre vonatkozó szöveges feladatok is segítik a fogalom előkészítését. Adott mennyiség törtrészét kell kiszámolni egységtörtek esetén. Példa: Peti 12 palacsintát evett. A palacsinták fele kakaós, harmada diós, a maradék túrós volt. Hány palacsintát evett Peti az egyes fajtákból? Megoldás: A kakaós palacsinták száma: 12 : 2 = 6. A diós palacsinták száma: 12 : 3 = 4. Maradt 12 – 6 – 4 = 2 túrós palacsinta. 4. osztályban már az egységtörtek többszöröseit is bevezetjük, a felépítés a 3. osztályhoz hasonló. - Tevékenységgel előállítjuk az egységtörtek többszöröseit. - Jelölések: 1 egész = 2 ketted = 3 harmad = 4 negyed … Először 3 negyed alakban ismerkednek a gyerekek azzal a nehézséggel, hogy tudniuk kell, hogy a negyed azt jelenti, hogy az 1 egészet 4 egyenlő részre osztjuk, a 3 pedig megmutatja, hogy az egyenlő részek közül hányat
veszünk. Ez az írásmód megkönnyíti a gyerekek számára a tört számlálójának és nevezőjének elkülönítését az alapozás időszakában, ezért nem érdemes siettetni a törtvonalas írásmód: bevezetését. Az már akkor fontos, amikor a gyerekek számára a tört szám lesz, ami inkább 5. osztályban következik be.
- Hogyan kérdezzünk? Hányszorosa a 6 a 2-nek? A 2-nek a 3-szorosa a 6. A 2-t 3-mal kell megszorozni, hogy 6 legyen. Hányadrésze a 2 a 6-nak? A 6-nak a 3-adrésze (kimondva: harmadrésze) a 2. A 2-t 3-mal kell megszorozni, hogy 6 legyen., vagy másképp a 6-ot 3-mal kell osztani, hogy 2 legyen. Ugyanez törtekkel kifejezve problémát jelent:
Hányadrésze a 4 a 6-nak? Az előzőeknek megfelelő nyelvtanilag következetes válasz az lenne, hogy a 4 a edrésze (kimondva: hatnegyededrésze)a 6-nak.
Ugyanis a 4-et
-
-del kell megszorozni, hogy 6 legyen.)
Amikor a törtrészeket törtekkel fejezzük ki, eltérünk a nyelvtani következetességtől:
A4a része a 6-nak, ami azt jelenti, hogy a 4-et -dal osztani kell, hogy 6 legyen, vagy másképp a 6-ot -dal kell szorozni, hogy 4 legyen. (A kérdésre adott válasz egy szám, ami eddig az osztót jelentő szám volt, de most a tört nevezőjébe került, így ezzel a törtszámmal való szorzást kell végezni az osztás helyett.)
rész = -edrész
A törtrészek tanításakor lényeges lesz, hogy a gyerekek lássák, hogy egy mennyiség
része a
-szorosa.
A gyerekek számára a probléma sokszor úgy jelenik meg, hogy a „hányszorosa” kérdőszó szorzásra utal,”hányadrésze” kérdőszó osztásra utal, az egységtörtek többszöröseinél azonban szorzás és osztás is szerepel, és ez megzavarhatja a tanulókat. Megfelelne a „Hány hányadrésze” kezdetű kérdés, de nem szokás ezt alkalmazni. A fenti probléma elkerülése végett szokás a következőképpen kérdezni: Mekkora része a 4 a 6-nak? A 4 4 hatodrésze a 6-nak.
- Törtrészek felismerése, majd alkotása változatos formában. Igyekezzünk sokféle mennyiség törtrészeivel kapcsolatos tevékenységeket tervezni. A ránézéses, számolás nélküli látása az egységtörtek többszöröseinek a legfontosabb készség, amit a gyerekekben ebben a témában ki kell alakítanunk. A törtrészek rajzának felismerése gyakorolható az alábbi játékkal: http://www.umapalata.com/design_en/games/AZartTOPO.asp?file=AZartTOPO.swf
-
Az
ábrázolás
segítségével
összehasonlítunk
azonos
nevezőjű
és
azonos
. - Az adott törtrészeket 1 egészre kiegészítő törtrészek alkotása. Gyakorolható például az alábbi játékkal: http://www.umapalata.com/design_en/games/AZartALL.asp?file=AZartALL.swf
- Szemléltetjük egyszerű törtek bővítését azzal, hogy az egy egészet több részre vágjuk.
- Mutatunk 1-nél nagyobb törteket is: - Szöveges feladatok: Törtrészek kiszámítása egységtörtek többszörösei esetén:
Példa: Kati a 240 Ft-jának
részén csokoládét vásárolt. Mennyit fizetett a csokoládéért?
Megoldás: Ábrázoljuk egy szakasszal Kati pénzét, és jelöljük a
részét!
Egy szakasz a pénzének negyedének felel meg: 240 : 4 = 60 Ft-nak.
számlálójú
törteket:
Kati pénzének a
részének 3 szakasz felel meg, ez: 3 · 60 = 180 Ft-ot ér.
Egészrész kiszámítása:
Peti elköltötte a pénzének az
részét, így 300 Ft-ja maradt. Mennyi pénze volt eredetileg?
Megoldás: Ábrázoljuk egy szakasszal Peti pénzét, és jelöljük az elköltött
Az ábráról leolvashatjuk, hogy a megmaradt 300 Ft Peti pénzének a
Így a pénz
részt:
része, 2 szakasznak felel meg.
része egy szakasz: 300 : 2 = 150 Ft.
Az egész pénz 3 szakasz: 3 · 150 = 450 Ft.
Tipikus hiba a fenti feladat megoldásában, hogy a gyerekek a megmaradt 300 Ft-ot szorozzák 3-mal az egy egész meghatározásához. Ez a harmad kulcsszóval jelzett művelet formális megfordítása lenne, itt azonban a maradék adott, ezért nem helyes.
A törtrészekkel kapcsolatos szöveges feladatokban a törtrészeket szakaszokkal ábrázoljuk, majd a szakaszokról leolvasott összefüggések alapján következtetünk.
5. osztályban a törtek kétféle értelmezése közül az első még az alsó tagozatos törtrész értelmezésnek felel meg, de már nagyobb számokkal a szemlélettől elszakadva is használjuk. 1. értelmezés: A tört nevezője megnevezi, hogy az 1 egészet hány egyenlő részre osztjuk. A tört számlálója megmutatja, hogy az egyenlő részek közül hányat veszünk.
2. értelmezés: A
tört a 2 egésznek a harmada:
A második értelmezés közelebb visz ahhoz, hogy a törtrészből törtszám legyen:
= 2 : 3.
Ezzel a pozitív racionális számokat vezetjük be két pozitív egész szám hányadosaként, amelyeknek előbbi, törtvonallal felírt alakját közönséges tört alaknak mondjuk, a helyiérték-táblázat alapján tizedes vesszővel írt alakját tizedes tört alaknak (a tizedes törtek alsó tagozatban nem fordulnak elő, ezért ezekkel nem foglalkozunk). 5. osztályban már az időhiány miatt jóval kevesebb manipulatív és képi tapasztalatot szereznek a gyerekek a törtekkel kapcsolatos ismeretek absztrakciójához, ezért elengedhetetlen az alsó tagozatos sok szemléltetés.
Például a < 1 relációt még könnyen el tudják képzelni, de a < 1 reláció felismerése már absztrakciót igényel, ami nem lehetséges megfelelő mennyiségű konkrét tapasztalat nélkül. Sok gyereknek azért van problémája a törtekkel, mert nem elégséges alapozás után kényszerült absztrakcióra.
9.3. A negatív egész számok előkészítése A negatív számok bevezetéséhez a konkrét modellt a hőmérő adja. Ennek segítségével tapasztalhatják meg a gyerekek a fagypont alatti hőmérsékleteket, ezért célszerű akkor tanítani, amikor télen hideg van. Figyeljünk rá, hogy a hőmérséklet mértékegységében ne hagyjuk el a Celsius-t, hiszen a fok a szög mértékegysége. A 0ºC-nál alacsonyabb hőmérséklet előjele mínusz, a 0ºC-nál magasabb hőmérséklet előjele plusz. A hőmérőn lejátszva hasonlítsunk össze különböző hőmérsékleteket! A nehézség, hogy a negatív számok összehasonlítására nem használható az analógia a pozitív számok összehasonlításával. 3 ºC<5 ºC, de - 3 ºC > - 5 ºC. Mutassuk meg a hőmérséklet emelkedését, csökkenését, tervezzünk időjárás jelentést grafikon alapján.
A hőmérő modellből absztrakció útján kapjuk a számegyenest, mint univerzális modellt. A számegyenesen ábrázoljuk a 0-nál kisebb számokat, amelyeket negatív számoknak nevezünk, és a 0-nál nagyobb számokat, amelyeket pozitív számoknak nevezünk. A 0 se nem negatív, se nem pozitív. Az egész számokat modellezhetjük pénzekkel. 1 Ft készpénzt egy piros koronggal jelölünk. 1 Ft adósságot egy kék négyzettel jelölünk. A készpénzünk és az adósságunk határozza meg a vagyonunkat. A vagyon kifejezés helyett van, ahol az anyagi helyzet kifejezést használják, hogy ne zavarjon a nem pénz formájában előforduló vagyon. A vagyon szó egyszerűbb, és az anyagi helyzetbe ugyanúgy beleérthetők a tulajdonos ingatlanjai, mi ezt fogjuk használni. Használhatnánk még a bankszámlákon megjelenő egyenleg kifejezést is. Az 1 Ft adósság −1 Ft vagyont jelent. Ha van 3 Ft készpénzünk, és 1 Ft adósságunk, akkor a vagyonunk 2 Ft. Azaz, ha több a készpénzünk, mint az adósságunk, akkor a vagyonunk pozitív, a készpénz és adósság cédulák számának különbsége. Ha ugyanannyi készpénzünk van, mint adósságunk, akkor a vagyonunk 0. Ha van 3 Ft készpénzünk, és 5 Ft adósságunk, akkor a vagyonunk – 2 Ft. Ugyanennyi a vagyonunk, ha 7 Ft készpénzünk és 9 Ft adósságunk van, stb. Azaz, ha több az adósságunk, mint a készpénzünk, akkor a vagyonunk negatív, annyi adósságunk van, amennyi az adósság és készpénz cédulák számának különbsége. Lényeges kérdés, hogy hogyan keletkezik az adósság. Ha kölcsön kérünk 3 Ft-ot, akkor kapunk 3 Ft készpénzt, és 3 Ft adósságot. Ezzel még a vagyonunk nem változott. A vagyonunk akkor csökken, ha a kölcsönbe kapott készpénzt elköltjük. A vagyoni helyzet változását, néhány egyszerű művelet végrehajtását mélyíthetjük szöveges feladatokkal. Az így modellezett egész számokat feleltessük meg a számegyenesen ábrázolt egész számoknak! Az egész számok számegyenesen való ábrázolása a természetes számok számlálásos bevezetéséhez, a pénzes modell a halmazos bevezetéshez kapcsolódik, ezért célszerű megmutatni a köztük levő kapcsolatot.
Egyes helyeken az előjelet a szám bal felső sarkához írják, hogy megkülönböztessék a műveleti jeltől. Vigyázzunk azonban, hogy ami a pedagógusnak a fogalmak pontosításához tartozik, az a gyerekeknek feleslegesen okozhat plusz nehézséget.
9.4. Feladatok
9.4.1. Feladat Mutassuk be az egységtörtek többszöröseivel kapcsolatos ismereteket, alkalmazásokat színes rudakkal végzendő tevékenységekkel!
9.4.2. Feladat Indokoljuk a kétféle értelmezéssel kapott törtrészek egyenlőségét!
9.4.3. Feladat Szerkesszünk Gazdálkodj okosan társasjátékot, amelyben a költségek olyan magasak, hogy a játékosok vagyona könnyen negatív lehet. Készítsünk szerencsekártyákat, melyek például azt adják, hogy a bank eltörli 5 Ft adósságunkat. Írjuk le a játék lépéseit műveletekkel!
10. Szöveges feladatok A problémamegoldás folyamata. Szöveges feladatok osztályozása különböző szempontok alapján. Szöveges feladatok megoldási módjai következtetéssel: visszafele következtetés, szakaszos ábrázolás. Szöveges feladatok megoldása manipulatív, képi és szimbolikus síkon. A hallgató ismerje a problémamegoldás modelljeit, legyen képes a problémamegoldás lépéseit szöveges feladatok megoldása során alkalmazni. Legyen képes következtetéssel megoldani szöveges feladatokat, és azokat alsó tagozatos szinten, tárgyi és képi síkon ábrázolni, szemléltetni, elmagyarázni. Legyen elkötelezett az absztrakció lépéseinek betartása iránt, hogy alsó tagozaton ne várjon szimbolikus megoldást, és legyen képes a szimbolikus gondolkodás előkészítésére tárgyi és képi modellezéssel.
10.1. A problémamegoldás és modelljei Lénárd szerint probléma minden olyan helyzet, amelyben egy bizonyos cél elérésének útjában akadály van. (Lénárd, 1984). Megfelel ennek Pólya meghatározása, miszerint a probléma megoldása útkeresést jelent. A probléma ennek megfelelően függ a megoldó kompetenciájától.
A problémák osztályozása oktatási szempontból (Pólya, 1977) - kézenfekvő szabály: az épp tanult eljárás alkalmazása. - alkalmazás választással: több tanult eljárás közül kell egyet kiválasztani.
- kombinálás: több tanult eljárás közül több együttes alkalmazása. - módosítás: tanult eljárás vagy eljárások módosított változatának alkalmazása. - felfedezés: új eljárás alkotása a megoldás érdekében
A problémamegoldás folyamatának modelljei Wallas (1926) modellje négy lépésből áll, és érdekessége, hogy az ötlet megszületését próbálja megragadni. A lépések: 1 Előkészítés: a problémához kapcsolódó információk gyűjtése. 2. Lappangás: tudatos erőfeszítés nélküli tevékenység. 3. Megvilágosodás: hirtelen „belátás”, „AHA” élmény. 4. Igazolás, ellenőrzés.
A gyakorlatban legtöbbször Pólya György modelljét, annak kiegészített változatait használják. Pólya-féle modell: 1. lépés: A probléma megértése, a cél meghatározása - Olvassuk el a problémát, ha segít, akkor hangosan, értelmezzük, a helyzetet, esetleg játsszuk el. - Jegyezzük le az adatokat és a feltételeket, vezessünk be jelöléseket, ha szükséges. - Tisztázzuk, mit kell meghatározni. - Rajzoljunk ábrát, diagramot, hogy szemléltessük, rendszerezzük az adatokat. - Ha lehetséges, fogalmazzuk át a problémát, hogy világosabb legyen. 2. lépés: Tervezzük meg a probléma megoldási stratégiát. - Keressünk hasonló, rokon problémát. - Próbálkozzunk egyszerűbb feladattal (számok csökkentése, feltételek változtatása) - A megoldás folyamatának ábrázolása. - A megoldáshoz szükséges eszközök meghatározása (módszerek, esetleg számítógépes segítség). 3. lépés: Hajtsuk végre a stratégiát, ellenőrizzük és módosítsuk, ha szükséges.
- Írjuk le a megoldás lépéseit. - Ellenőrizzünk lépésenként, hogy az esetleges hiba ne a végén derüljön ki. 4. lépés: Ellenőrizzük és járjuk körbe a megoldást. - Bizonyosodjunk meg arról, hogy a megoldás elfogadható, ésszerű. - Keressünk a megoldástól független módot az ellenőrzésre. - Ellenőrizzük a következtetések helyességét. - Írjuk le világosan a megoldást. - Keressünk másik megoldási módszert. - Keressünk következményeket, általánosítást. - Tegyünk fel további kérdéseket, alkossunk új problémát az adatok, a feltételek változtatásával.
A Pólya-féle modellt dinamikusabbá teszi, ha beépítjük a vezérlést, ami biztosítja a kapcsolatot a négy fő lépés között. A gyerekek számára sokszor riasztó, ha tervkészítést várunk tőlük, amikor még nem látják, hogyan tudják befejezni a megoldást. Ezért figyeljünk arra, hogy a tervkészítés és a terv végrehajtása párhuzamosan zajlik a vezérlés által irányítottan. Ez valójában az útkeresés, kitalálunk egy elindulást, kipróbáljuk, ha sikerül a megoldás, akkor készen vagyunk, ha nem, akkor új utakat keresünk. Lényeges szerepe van a vezérlésnek abban, hogy folyamatos belső kérdésekkel irányítsa a probléma megoldását. Mit szeretnék elérni? Milyen lépések segíthetnek? Megfelelő-e ez a megoldási irány? Ez abban is segít, hogy ne töltsünk túl sok időt egy reménytelen elindulással, próbálkozzunk másik ötlettel. A problémák megoldása utáni kérdésfeltevések az új problémák alkotását segítik, a gyerekek problémaérzékenységét fejlesztik. Schoenfeld kutatásai azt bizonyítják, hogy a problémamegoldó hozzáállása, kitartása, sikerorientáltsága befolyásolja a megoldást.
A problémamegoldó gondolkodás, a kritikai gondolkodás és a kreatív gondolkodás kölcsönhatásban vannak, mind a kritikai, mind a kreatív gondolkodás feltétele a sikeres problémamegoldásnak. A kritikai és a kreatív gondolkodás jellemzői (Wachsmuth, 1981): Kritikai gondolkodás
Kreatív gondolkodás
Koncentrálás a részletekre
A részletek egyben látása
Szisztematikus gondolkodás
Asszociációk (részben szabad)
Oksági gondolkodás (időben lineáris)
Térbeli gondolkodás (időben független)
Megértés, következtetés szavakkal, szimbólumokkal
Kibontakozás ötletekkel, szemléléssel
Szeriális információ-feldolgozás
Párhuzamos információ-feldolgozás
Konvergens gondolkodás (teljesen tudatos)
Divergens gondolkodás (részben tudatos)
Oktatási szempontból fontos a különböző gondolkodási típusok ösztönzése, fejlesztése, kapcsolatuk építése. Ebből a szempontból lényeges a kérdésfeltevések, az ötletek ösztönzése, a hibákkal szemben való konstruktív hozzáállás. A problémamegoldó képességet fejlesztik például az alábbi játékok: http://www.umapalata.com/design_en/games/UP_Pereliv.asp?file=UP_Pereliv.swf http://www.umapalata.com/design_en/games/AZartORTOM.asp?file=AZartORTOM.swf
10.2. Szöveges feladatok A szöveges feladatok általában olyan problémák, amelyek valamilyen szituációt írnak le. A szöveges feladatok szerepe a tanításban: - műveletek értelmezése, elmélyítése - szövegértési képesség fejlesztése - problémamegoldó gondolkodás fejlesztése A szöveges feladatok megoldásának lépései megfelelnek a problémamegoldás lépéseinek: - A szöveg elolvasása (hangosan is), esetleg eljátszása. - Mi a kérdés? - Keressük meg a kérdés megválaszolásához szükséges adatokat! - Keressünk összefüggéseket, rajzoljunk ábrát, írjunk fel műveleteket, azaz keressük meg a szöveg matematikai modelljét. - Végezzük el a műveleteket! - Ellenőrzés. A matematikai eredményt visszafordítjuk az eredeti szituációra. - Válasz a kérdés újra olvasása után. Írjunk minél többet! A szöveges feladatok megoldásának a szövegértés az egyik legfontosabb eleme. Ezt segíthetjük azzal, ha a feladat szövegét fokozatosan egyre vázlatosabban írjuk le, így az összefüggések is világosabbak lesznek a gyerekek számára. A megoldások során is érdemes a gondolatokat írásban lejegyezni, ez tudatosítja a megoldási módot, világosabbá teszi a lépéseket, így más hasonló feladatok megoldásánál is alkalmazható tudást hoz létre. A szöveges feladatok csoportosítása - A kérdés helye lehet
- a feladat elején – egységessé tesz feladatsort, ha lehetőség szerint kérdőszóval kezdődnek a feladatok - a feladat közepén – a legnehezebben érzékelhető a gyerekek számára. - a feladat végén – az olvasás utolsó eleme, jó kiindulás a megoldáshoz. - Az adatok száma szerint - hiányos feladat – meg kell szereznünk a hiányzó adatot - pontosan annyi adat van, amennyi szükséges - felesleges adatok vannak – ki kell választani a szükségeseket - A feladat szövegezése - egyenes - fordított – ilyen feladatokkal találkoztunk az összeadásra vezető szöveges feladatoknál. - A feladat bonyolultsága - egylépéses – egy művelettel megoldható - kétlépéses – két lépésben megoldható, nehézséget jelent a gyerekeknek a részfeladatok meghatározása - többlépéses – több lépés megtervezése szükséges. - A megoldási módok - próbálgatás – csak akkor számít teljes megoldásnak, ha az összes esetet végignéztük. A próbálgatás segít megismerni a problémát, megtalálni a szabályosságokat, amelyeket aztán igazolni kell. Semmiképp se alkalmazzuk folytonosan változó mennyiségeknél, például eltelt időre vonatkozó feladatokat nem lehet percenkénti próbálgatással megoldani. - visszafelé következtetés (rákmódszer, buborék módszer) Példa: Julcsi kiszínezte a lapon levő virágok felét, Kati a maradék harmadát, 9 virágot. Hány virág volt a lapon? Megoldás: A kérdezett szám kerül az első buborékba, a fele a következőbe, még ezt sem tudjuk egyelőre. Ennek a harmada az utolsóba, ez pedig a 9. Az a szám, amelyiknek a harmada 9, a 9-nek a háromszorosa, azaz 27. Az a szám, amelyiknek a fele 27, a 27-nek a kétszerese, azaz 54. Tehát 54 virág volt a lapon. A műveleteket a buborékok közötti nyilakkal jelöljük:
- összefüggések ábrázolása szakaszokkal – erre már a törtrészeknél, a sorszámoknál láttunk példát, és a képi síkon is szakaszokkal fogjuk megoldani a feladatot. - A megoldások száma - egy megoldás - több megoldás – az összes megoldást meg kell adni - nincs megoldás – a feladat megoldása az, hogy nincs megoldás. Példa: Keressük meg az összes olyan páratlan, öttel osztható háromjegyű számot, amelyben a számjegyek összege 4! Megoldás: Az öttel osztható számok 0-ra vagy 5-re végződnek. Mivel a szám páratlan, ezért 5-re végződik, így számjegyeinek összege legalább 5, ami nagyobb a 4-nél, tehát nincsen a feladat feltételeinek megfelelő szám.
10.3. Szöveges feladat megoldása materiális, képi és szimbolikus síkon Példa: Katinak 4 forinttal több pénze van, mint Petinek. Kettőjüknek összesen 14 Ft-ja van. Mennyi pénzük van külön-külön? Materiális sík Rakjuk ki a 14 Ft-ot 14 koronggal!
Képi sík Ábrázoljuk szakaszokkal Peti és Kati pénzét!
Szimbolikus sík Jelöljük x-szel Peti pénzét! Peti: x
Adjuk oda Katinak az a 4 forintot, amennyivel több pénze van, mint Petinek, ezután a többi pénzt már egyenlően kell elosztaniuk.
Kati: x + 4 Ketten együtt: x + ( x + 4) Ketten együtt: 14 Ft x + ( x + 4) = 14 2x + 4 = 14 Petinek 5 Ft-ja, Katinak 9 Ft-
2x = 10
/ - 14
Katinak 9 Ft-ja, Petinek 5 Ftja van. Ellenőrzés:
ja van.
x=5
Ellenőrzés és válasz ugyanaz, Petinek 5 Ft-ja, Katinak 9 Ftmint a materiális síkon. ja van.
Kati pénze, 9 Ft 4 Ft-tal több, mint Peti pénze, ami 5 Ft: 9 – 4 = 5. Kettőjüknek 9 + 5 = 14 Ft-ja van.
Vegyük észre, hogy ugyanazokat a lépéseket hajtottuk végre, mint a materiális és a képi síkon.
Válasz: Katinak 9 Ft-ja, Petinek 5 Ft-ja van.
A korongokkal való osztozkodást sok gyerek úgy kezdi, hogy szétosztja egyformán a korongokat a két gyerek között, majd Peti átad valamennyit Katinak, hogy Katinak 4-gyel több legyen. Tipikus hiba, ha ilyenkor Peti 4 korongot ad át Katinak. A gyerekek maguk vegyék észre a hibát, hogy ekkor Katinak 8 Ft-tal lesz több pénze, mert az övé nőtt, Petié pedig csökkent 4 Ft-tal. Ahhoz, hogy a különbség 4 legyen, a különbség felét, 2 Ft-ot kell átadni. Kooperatív tevékenység szöveges feladatok megoldására, alkotására - feladatküldés Osszunk ki minden csoportnak egy-egy szakaszokkal ábrázolt modellt! Minden csoport írjon szöveges feladatot, amely megfelel a kapott modellnek, és adja tovább egy másik csoportnak a feladatot. Minden csoport oldja meg a kapott feladatot, és adja vissza a küldőknek, akik leellenőrzik azt. Ha eltérés mutatkozik, annak oka egyaránt lehet a hibás megoldás, vagy a hibás szövegalkotás, ezt a két csoportnak meg kell vitatni. Figyeljünk arra, hogy a csoportokban a szövegírást, a megoldást és az ellenőrzést más-más gyerek végezze! A visszafelé gondolkodás jelenik meg az alábbi játék stratégiájában: http://tananyag.geomatech.hu/b/586679#material/525275
10.4. Feladatok 10.4.1. Feladat Oldjuk meg a 10.3. feladatot úgy, hogy Kati pénzét jelenti egy szakasz, és Peti pénze ennél 4 Ft-tal kevesebb.
10.4.2. Feladat
Írjunk három különböző szöveget a 10.3.-ban bemutatott feladat modelljére!
10.4.3. Feladat Írjunk többlépéses és felesleges adatokat tartalmazó szöveges feladatot!
11. Nyitott mondatok Nyitott mondat fogalma, megoldása. Szabályjátékok. Egyenletmegoldás lebontogatással, mérleg-elvvel. Alaphalmaz. Ekvivalens átalakítások. Behelyettesítés szemléltetése interaktív táblán. A hallgató ismerje a nyitott mondatok fogalmát, és alkalmazási területeit az alsó tagozaton. Legyen kitekintése az egyenlet megoldási módszerekre. Legyen képes ezen módszerek előkészítésére, de tudja, hogy ezek olyan szimbolikus gondolkodást igényelnek, amely nem várható el egy alsó tagozatos gyerektől.
11.1. A nyitott mondat Nyitott mondatnak nevezzük azt a hozzárendelést, amely az adott alaphalmaz minden eleméhez hozzárendeli vagy az „igaz” vagy a „hamis” logikai értéket. (A matematikában az ilyen függvényt logikai függvénynek nevezzük) A nyitott mondat megoldáshalmazát vagy igazsághalmazát az alaphalmaz azon elemei alkotják, amelyekhez az „igaz” logikai érték tartozik. Példa: Négy barát közül Peti, Bence és Tomi 10 éves, Balázs 11 éves. Kik alkotják a
nyitott mondat igazsághalmazát? Megoldás: A nyitott mondat alaphalmazát Peti, Bence, Tomi és Balázs alkotják. Peti, Bence vagy Tomi nevét írva a téglalapba, igaz állításokat kapunk: Peti 10 éves. Bence 10 éves. Tomi 10 éves. Ha Balázs nevét írjuk be, akkor hamis állítást kapunk: Balázs 10 éves. Tehát a nyitott mondat igazsághalmazát Peti, Bence és Tomi alkotják.
11.2. Szabályjátékok, sorozatok
A függvény fogalom előkészítésére szolgálnak alsó tagozatban a szabályjátékok, sorozatok. A szabályjátékot általában olyan géppel szemléltetjük, amelyikbe bedobunk egy (vagy több) dolgot, amiből a gép a szabálya alapján gyárt egy kijövő dolgot. A bemenő dolgok alkotják gép által reprezentált függvény értelmezési tartományát, a kimenő dolgok az értékkészletét, és a függvény hozzárendelési szabályát gyakran nyitott mondattal írhatjuk le, amelyben a jelek változókat jelentenek. Sorozatok olyan gépek, amelyekbe a pozitív egész számokat „dobjuk be”, és a sorozat megfelelő sorszámú eleme jön ki a gépből. Kezdetben hétköznapi dolgokhoz kapcsolódjanak a példák, például a hét napjainak sorozata: 1.nap: hétfő, 2. nap: kedd, 3.nap: szerda, … Ezt követik a tárgyi tevékenységgel lejátszott példák. Például a gép a bedobott teli logikai lapokat kilyukasztja, a lyukasakat telivé teszi. A kapcsolatok megértése után adhatunk számokkal kapcsolatos sorozatokat, szabályjátékokat a gyerekeknek. Például amikor hármasával számolunk, számsorozatot adunk meg. Az összetartozó számokat táblázatba írhatjuk, és az összefüggéseket nyitott mondattal modellezhetjük. A szabályokkal kapcsolatos feladattípusok: - Adott szabály követése. - Szabály felismerése, folytatása.
Példa: Mi lehet a szabály? Folytasd a táblázat kitöltését!
∆
8
5
2
6
3
0
10
17
9 7
2
20 5
1
15
Megoldás: Észrevehetjük, hogy a szabály szerint a 2-vel kevesebb a ∆-nél. Ha a gépbe bedobjuk a ∆-nek megfelelő számot, akkor a gép elvesz belőle 2-t, és a különbséget dobja ki. (A gyerekek ne azt lássák, hogy a gép a ∆-ből -ot csinált, annak nincs értelme!) Nyitott mondattal a szabály: = ∆ - 2 vagy ∆ = + 2. Fontos, hogy a ∆-ből is meg tudjuk határozni a -ot, és a ból is meg tudjuk határozni ∆-et. A nyitott mondatba a ∆ és a helyére természetes számokat helyettesítünk be. A nyitott mondat alaphalmazát számpárok alkotják, a számpár első tagja a ∆ , második tagja a helyére írt szám. Azokat a számpárokat keressük, amelyekre a nyitott mondat igaz.
A fenti példában szereplő gép működését leírhatjuk nyilakkal is: 8 → 6; 5 → 3; sít. ∆ → , ami a hozzárendelés jelölésével készíti elő a függvény fogalmát.
A gépekkel előkészíthetjük az inverz függvény fogalmát, azzal, hogy fordítva kapcsoljuk be a gépet, az összetett függvény fogalmát, azzal, hogy több gépet kapcsolunk össze.
A feladatok egy részében a sorozatok szabályát az első néhány tagból kell kitalálni. Minden sorozat többféleképpen folytatható! Példa: Keressünk több lehetőséget a 2; 4; 8; … sorozat folytatására! Megoldás: A sorozat tagjait 2-től kezdve úgy kapjuk, hogy az előző tagot szorozzuk 2-vel (2 hatványait kapjuk). A sorozat lehet a 2 hatványainak utolsó számjegye: 2; 4; 8; 6; 2; 4; 8; 6; … Az első két tag különbsége 2, a következő két tag különbsége 4, legyen a következő két tag különbsége 6, azaz mindig 2-vel több, mint az előző két tag különbsége: 2; 4; 8; 14; 22; … Az is lehet a sorozat folytatása, hogy ez a három tag ismétlődik: 2; 4; 8; 2; 4; 8; …
Ha egy sorozatnak többféle folytatását találják a gyerekek, minden indokolt folytatást el kell fogadni, és ösztönözni kell a kreatív ötleteket.
11.3. Egyenletek Ha a nyitott mondatban egyenlőségjel szerepel, akkor a nyitott mondat tekinthető egyenletnek. A nyitott mondat igazsághalmazának keresése az egyenlet megoldása.
Egyenlet megoldása lebontogatással: A módszer alapja a visszafelé következtetés. Gondoltam egy számra, megszoroztam 2-vel, és a szorzathoz hozzáadtam 3-at, így 15-öt kaptam. Melyik számra gondoltam? A megoldást visszafelé gondolkodással a buborékos ábra szemlélteti:
Felírhatunk egyenletet: 2x + 3 = 15. A visszafelé gondolkodást követve a megoldás: Először a 2x-et keressük, ezt jelölhetjük is az egyenleten: 2x + 3 = 15 Melyik az a szám, amelynél 3-mal nagyobb szám a 15? Ez a 15 – 3 = 12. Vagy: ha a 2x-hez nem adtam volna 3-at, akkor 3-mal kevesebb, vagyis 12 lenne. Így a 2x = 12 egyenlethez jutunk. x-et keressük: Melyik az a szám, amelynek 2-szerese 12? Ez a 12 : 2 = 6. Ha az x-et nem szoroztam volna meg 2-vel, akkor 6 lenne. Tehát x = 6.
A lebontogatás módszerét csak akkor alkalmazhatjuk, ha az egyenletben egy helyen szerepel az ismeretlen. Mivel a műveletek megfordítására épül, ezért már 5-6. osztályban is tanítják, azonban a mérlegelv megismerése után okafogyottá válik.
Alsó tagozatos példa a mérlegelv előkészítésére A piacon két görögdinnyéért és egy sárgadinnyéért adnak 3 cukkinit és egy főzőtököt. Egy főzőtökért egy sárgadinnyét és egy cukkínit adnak. Hány cikkínit adnak egy görögdinnyéért, ha az egyes zöldségek mindig ugyanannyit érnek? Rajzoljuk le a zöldségeket mérlegeken!
A felső mérlegen levő főzőtök helyére tegyünk egy cukkínit és egy sárgadinnyét!
Ha a mérleg mindkét serpenyőjéből elveszünk egy sárgadinnyét, akkor az egyensúly megmarad.
A jobboldalon a cukkíniket két egyenlő részre osztva látható, hogy egy görögdinnye két cukkínit ér.
A gyerekek konkrét tárgyi tapasztalatokat szerezhetnek a kétkarú mérleggel való méregetésről, az összefüggések megtalálásáról, ha például színes rudakat méregetünk. Ezután a fentihez hasonló példákat oldhatunk meg rajzok segítségével.
A mérleggel megoldott feladatokkal a következő tapasztalatokat szerezhetjük meg: A mérleg két serpenyőjének egyensúlya megmarad, ha - a mérleg mindkét serpenyőjéből ugyanakkora tömeget elveszünk; - a mérleg mindkét serpenyőjéhez ugyanakkora tömeget hozzáteszünk; - a mérleg mindkét serpenyőjében levő tömeget megszorozzuk ugyanazzal a 0-tól különböző számmal; - a mérleg mindkét serpenyőjében levő tömeget elosztjuk ugyanazzal a 0-tól különböző számmal. Ezek az átalakítások lesznek az egyenletek megoldásánál az ekvivalens átalakítások.
A fenti példában megjelent a behelyettesítés is, ami később az egyenletrendszer megoldásában lesz hasznos.
Egyenlet megoldása mérlegelvvel A mérlegelvet konkrét és lerajzolt mérlegeken szerzett tapasztalatokra építjük. Példa: A mérleg egyik serpenyőjében két zacskó gumicukor és egy 3 dkg-os tömeg van, a másik serpenyőjében pedig öt 3 dkg-os tömeg, és így a mérleg egyensúlyban van. Hány dekagramm egy zacskó gumicukor? Játsszuk el kétkarú mérleggel, tapasztaljuk meg, milyen változtatásokat végezhetünk úgy, hogy az egyensúly fennmaradjon. Később elegendő rajzzal is szemléltetni: Az ismeretlen tömegű zacskót körnek rajzoljuk
Vegyünk le a mérleg mindkét serpenyőjéből egy-egy 3 dkg-os tömeget!
A baloldalon két egyenlő tömegű zacskó van, ezért a jobboldalon levő tömegeket is osszuk két egyenlő részre! Ebből látható, hogy egy zacskó tömege két 3 dkg-os tömeggel tart egyensúlyt.
Tehát egy zacskó gumicukor tömege 6 dkg. Ugyanezek a lépések formálisan: Egy zacskó gumicukor tömege: x. Két zacskó tömege: 2x A baloldali serpenyőben levő tömeg 2x + 3, a jobboldaliban 15, ezek egyenlők: 2x + 3 = 15 Az x-et keressük, először a 3-at szeretnénk eltüntetni. Vonjunk ki az egyenlet mindkét oldalából 3-at, ekkor az egyenlőség megmarad. 2x + 3 = 15 / −3 2x + 3 – 3 = 15 – 3 2x = 12 / : 2
Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát 2-vel!
2x : 2 = 12 : 2 x=6
Látható a különbség a lebontogatás és a mérlegelv között. Itt nem a műveletek megfordítására hivatkozunk, a 2x : 2 = x lépés nem olyan egyszerű a gyerekeknek, ha nem formálisan akarjuk tanítani. A mérlegelv lehetőséget ad arra is, hogy az egyenlet mindkét oldalából az ismeretlent vagy annak többszörösét vonjuk ki, így az egyenlet egyik oldalára rendezhetők az ismeretlenek. Az ismeretlenekkel végzett műveletek túl absztraktak a 6. osztályosok többsége számára, nem felel meg az életkori sajátosságaiknak. Ezt az is igazolja, hogy az algebrai kifejezések, azaz a betűkkel számolás 7. osztályos tananyag, így enélkül mérlegelvvel egyenletmegoldást tanítani 6. osztályban sérti a tananyagok egymásra épülésének logikáját. Ne tanítsunk 7. osztály előtt egyenletmegoldást mérlegelvvel!
A szöveges feladatok megoldási tervének felírását gyakran nyitott mondattal várják el a gyerekektől. Sok gyerek ezt a feladat megoldása után írja oda a megfelelő helyre. Ez teljesen természetes ebben a fejlődési szakaszban,
hiszen hiába írja fel a helyes nyitott mondatot, rendszerint úgysem fogja tudni megoldani azt. A próbálgatás ritkán jelent teljes megoldást, az egyenletmegoldás többi módszere pedig nem felel meg a gyerekek életkori sajátosságainak, ezért nem alkalmazható. Ezért a szöveges feladatoknál a nyitott mondatok felírása rendszerint felesleges. A matematikai modell ekkor a szakaszos ábrázolás, a buborékos modell, és a megfelelő műveletek felírása, amelyeket szöveggel lehet indokolni. A szöveges feladat megoldási terveként felírt nyitott mondat gyakran a következő alakú: ∆ = (32 – 8 ) : 2. Ennek megoldásához valóban nem kell egyenletmegoldás, csupán számítások elvégzése. Fontos azonban, hogy a ∆ jel alkalmazása ne fedje el azt, hogy a szövegben mit jelöl a ∆. Gyakori hiba, hogy egy számítás végén a gyerekek elfelejtik, hogy mit számítottak ki, ebben pedig a ∆ jel alkalmazása nem segíti őket. Hasznosabb, ha szöveggel kiírjuk a műveletsor elé, hogy azzal mit fogunk kiszámítani.
11.4. Egyenlőtlenségek A számok nagyságának tanításakor a kisebb, nagyobb viszonyokat gyakran egyenlőtlenségekkel, nyitott mondatokkal reprezentáljuk. Példa: Add meg azokat a természetes számokat, amelyek a nyitott mondat igazsághalmazát alkotják! 12< ∆ < 16 Megoldás: ∆ = 13; 14; 15
Figyeljünk arra, hogy amíg a gyerekek a számfogalom korai absztrakciós szakaszában vannak, addig ne adjunk nyitott mondatokkal kapcsolatos feladatokat!
11.5. Feladatok 11.5.1. Feladat Keressünk az alsó tagozatos tankönyvekben nyitott mondatokat! Döntsük el, hogy megfelelnek-e a tanulók életkori sajátosságainak!
11.5.2. Feladat Alkossunk sorozatokat, amelyek a szorzás, oszthatóság, maradékokkal való számolás tanítását segítik!
12. A geometria tanítása A geometriai gondolkodás szintjei. Geometriai tevékenységek: konstruálás, mérés, tájékozódás, transzformálás. Geometriai játékok.
12.1. A geometriai gondolkodás szintjei van Hiele szerint 1. Kiindulási szint: az alakzatokat mint egészet látják, felismerik, de nem veszik észre a tulajdonságokat és azok összefüggéseit. 2. Elemző szint: megkezdődik az alakzatok tulajdonságainak vizsgálata, de a köztük levő kapcsolatokat még nem ismeri fel. Az alakzatokat ezért még nem definiálják. 3. Rendezési szint: megkezdődik az alakzatok logikai rendszerezése tulajdonságaik alapján, a tulajdonságok összefüggéseinek felfedezése, a bizonyítások kezdetei. 4. Lokális dedukció szintje: az egyes részek deduktív felépítése, alapfogalmak, axiómák, definíciók, tételek, bizonyítások. 5. Axiomatikus felépítése. Az alsó tagozatban a gyerekekre az első két szint a jellemző, a 3. szint a felső tagozatban, a középiskolában, a további szintek részben a középiskolai oktatásban, de inkább a felsőoktatásban fordulnak elő. Ennek megfelelően a gyerekeknek az alsó tagozaton nem szükséges pontos definíciókat, összefüggéseket tanítani, az viszont fontos, hogy a pedagógus pontosan használja a fogalmakat. A gyerekek geometriai tapasztalatai mindig konkrét tárgyakhoz, képekhez kötődjenek.
12.2. Konstruálás A konstruálás során a gyerekek alakzatokat hoznak létre, mintázatokat, sorokat alkotnak, és megfigyelik az alakzatok tulajdonságait.
1. Alkotás síkban, térben Az alkotások szintjei: a) Építés szabadon, ismerkedés az eszközzel. b) Másolás változtatás nélkül: alak és méretazonosság – az egybevágóság előkészítése, formaállandóság alakítása A minta megegyezik az építendő alakzattal. Síkban: például mozaik lapokat adott mintára kell kirakni
Térben: adott test kirakása legoból, építőkockákból, színes rudakból, stb. c) Másolás változtatással: szín,-méretbeli eltérés, torzítás. Síkban: kicsinyített minta vagy árnykép alapján épít, pl. Tangram játék. Négyzetrácsra, torzított rácsra másol. Térben: nézetek, hálók, kódolt alaprajzok alapján épít.
Az alábbi címen Tangram játékot lehet játszani: http://www.umapalata.com/design_en/games/AZartSM.asp?file=AZartSM.swf
d) Építés feltételek alapján: - egy alkotás egy feltételnek megfelelően; - több alkotás egy feltételnek megfelelően; - kettő, majd több feltételnek megfelelő alkotások; - feltételeknek megfelelő összes alkotás létrehozása; - a feltételrendszer átalakítása, hogy csak egy alkotás feleljen meg minden feltételnek. A szinteknek megfelelő fokozatosságot be kell tartani. A különböző eszközökkel újra és újra végig kell járni a fokozatokat a geometriai gondolkodás fejlesztése érdekében.
Az alábbi címen gyufaszálakból kell alakzatokat építeni a feltételeknek megfelelően: http://www.umapalata.com/design_en/games/UP_Spicki.asp?file=UP_Spicki.swf
A síkbeli és térbeli alakzatok alkotása mellett a geometriai konstruálás lehet -
Sorminták alkotása;
-
Síkminták alkotása.
A szabályosságok, szimmetriák felismerése mellett a gyerekek kreativitását, szépérzékét is fejlesztik az ilyen típusú alkotások. Escher több alkotásában alkalmazta a sík kitöltésének geometriai szabályosságait.
https://www.google.hu/search?q=escher&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ei=UPSGVfqLGYGqUYTJhcAM&ved =0CAcQ_AUoAQ&biw=1366&bih=635#tbm=isch&q=escher+pattern
Az alkotások eszközei: A geometriai alkotások az alsó tagozatban nagyrészt tárgyi tevékenységek legyenek. Ezzel nem csak a geometriai gondolkodás, de a gyerekek taktilis érzékelése, finommotorikája is fejlődik. - A kisgyerekek saját teste az egyik első eszköz a geometriai alkotásban, például, amikor egymás mozdulatait, grimaszait utánozzák. - Gyurma, agyag. Bizonyos gyerekek számára természetesebb ábrázolási eszköz a rajzolásnál. - Építőkockák, lego, színes rudak, gyufásdoboz, kockacukor – tömör testekből építéshez. - Babylon, szívószál, hurkapálca, Geomag élvázak építéséhez. - Polydron készlet, amellyel lapokból lehet testet építeni. - Papírból hajtogatás, nyírás, darabolás, hálók alapján testek építése. - Rajzolás, festés, rajzeszközök használata, körző, vonalzó. - Mozaik lapok. - Szöges tábla. - Pontrácsok.
Például adott az alábbi kódolt alaprajz, építsük meg egységkockákból! Az alaprajz minden négyzetén annyi egységkocka álljon, amelyik szám az adott négyzetben áll. Adott rajzokról döntsük el, hogy melyik sarokból nézve készült a rajz! A kapott testet rajzoljuk le szabályos háromszög pontrácsra a négy sarokból nézve! Rajzoljuk le a testnek a téglalap négy oldala felőli nézeteit!
A gyerekeknek nehézséget jelent a testek síkbeli reprezentációinak megtalálása, és a síkbeli ábrázolások alapján a test reprodukálása, ezért kell sok tárgyi tapasztalat a síkbeli és térbeli reprezentációk közötti utaknak a bejárására, amivel a térszemlélet kiválóan fejleszthető. Az alábbi oldalakon testek kódolt alaprajzát kell elkészíteni, és a kódolt alaprajzból testet építeni: http://tananyag.geomatech.hu/b/509217#material/704859 http://tananyag.geomatech.hu/b/509215#
Kooperatív játék testek építésére: Egy asztalra építsünk egy testet színes rudakból. Négy gyerek négy oldalról nézi, és mindenki információt ad a többieknek ahhoz, hogy mindenki meg tudja építeni ugyanazt a testet.
A fentiek alapján látható, hogy bár a matematika órákon méltatlanul kevés lehetőség van geometriai tevékenységekre, a hiányzó idő némileg pótolható, ha tudatosan használjuk a vizuális nevelés, a technika, környezetismeret, sőt akár még a testnevelés órán adódó lehetőségeket.
2. Alakzatok tulajdonságai A tulajdonságok felfedezésének lépései: - szétválogatások tulajdonságok alapján, például görbe, egyenes, lapok alakja, csúcsok száma, stb. - megnevezése a tulajdonságoknak, ami még nem definíció, nem is feltétlenül szakszó, de a gyerekek számára egyértelmű.
Az alakzatok azonosításának ebben a szakaszában célszerű az általánosabb fogalomtól haladni a speciális felé. Például a téglatestek halmazában keressük meg a kockákat, hasábokat, így a gyerekek számára természetes lesz, hogy a kocka is téglatest.
Párkérő játék: Különböző tárgyakat szétosztunk egyformán a játékosok között. Mindenki csak a saját tárgyait látja. Amikor egy játékos sorra kerül, akkor kér valakitől egy adott tulajdonságnak megfelelő tárgyat, például görbe, csúcsa van, stb. Akitől kérték, köteles odaadni a kért tulajdonságú tárgyat (ha van neki), ami a kérő saját, megfelelő tulajdonságú tárgyával egy párt alkot. Az alakzatok felismerését lehet gyakorolni az alábbi címen levő játékkal:
http://www.okosdoboz.hu/gyakorlo-feladat/2650
Kockákból álló térbeli alakzatot alkotó kockák számát kell meghatározni az alábbi játékban: http://www.jatekstart.com/jatekok/matek-j%C3%A1t%C3%A9k/20141112/i-brain-box
12.3. Tájékozódás A tájékozódás fejlődési szintjei: 1. Cselekvéssor alapján: végig tud járni ismert útvonalat sötétben is. 2. Vizuális támpontok megfigyelése élmények alapján 3. Egységes, tagolatlan képek, irányok alakulása (memória játékban globális képet jegyez meg a gyerek) 4. Szomszédosság, sorrend (6 éves kortól) A „Mi változott?” Játékban a tárgyak sorrendjének változását kell felismerni. Ha egy tárgyat elforgatunk, attól a szomszédjai még nem változnak! Gyakoroljuk a sorrend megfordítását! 5. Irányok A gyerekek az iskolába lépéskor többé-kevésbé tisztában vannak a téri viszonyokkal: Előtte-mögötte, alatta-fölötte, kint-bent, jobbra-balra, stb. Fontos, hogy végezzünk tevékenységeket a viszonyítási pont változására: - A gyerek saját teste a viszonyítási pont: színezd a képen a balra haladó autókat kékre, a jobbra haladókat pirosra! - Külső személyhez viszonyítás: a gyerekek elé kiállított tanuló baloldalára rakjuk a labdát, jobboldalára a karikát! - Külső tárgyhoz viszonyítás: rakd a labdát a szék alá, fölé, stb. Itt meg kell mondani, hogy „Merre néz a szék?” ha a szék baloldalára vagy a jobboldalára szeretnénk rakni a labdát, melyik a szék eleje, melyik a hátulja, ha elé, mögé szeretnénk állni. - Mozgó viszonyítási pont: térkép alapján történő tájékozódás, labirintusból kijutás. Ilyenkor mindig a haladás irányához képest értjük a „Kanyarodj jobbra!”, stb. utasításokat. Játszhatnak a gyerekek GPS-t: adott úton utasításokkal vezessék el társukat az adott célhoz! 6. Koordináták alapján történő tájékozódás, helymeghatározás:
- egyenesen egy adat szükséges: például az utcában a házak számozása. - síkon két adat szükséges: például torpedó játék, sakktábla mezőinek azonosítása, moziban a sorok és a székek sorszáma, stb.
12.4. Transzformálás A transzformálás tágabb értelemben változtatást jelent, ahogy például a logikai készlet lapjainál a lyukasakat telire, a teliket lyukasra változtatjuk. Geometriai transzformációnak nevezzük a tér (a sík) önmagára való kölcsönösen egyértelmű leképezését. Egybevágósági transzformációnak nevezzük a tér (a sík) önmagára való kölcsönösen egyértelmű távolságtartó leképezését. Két alakzatot egybevágónak nevezünk, ha egybevágósági transzformációval egymásba átvihetők. A gyerekek számára ez azt jelenti, hogy egybevágó testek (síkidomok) alakja és mérete is megegyezik. Hasonlósági transzformációnak nevezzük a tér (a sík) önmagára való kölcsönösen egyértelmű távolság-arány tartó leképezését. Két alakzatot hasonlónak nevezünk, ha hasonlósági transzformációval egymásba átvihetők. A gyerekek számára ez azt jelenti, hogy a hasonló testek alakja ugyanolyan.
Figyeltessük meg a gyerekekkel, hogy a testek mely tulajdonságai változnak, melyek változatlanok (például a szín változása nem befolyásolja a geometriai tulajdonságait). Ugyanezt érhetjük el olyan típusú feladatokkal, amelyek testek különböző tulajdonságok szerinti csoportosítását jelentik.
1. Egybevágósági transzformációk Térben: síkra való tükrözés, síkban: tengelyes tükrözés: A gyerekek szerezzenek tapasztalatokat a tükrözésről tükör használatával! Rakjanak ki utcát építőkockákból úgy, hogy a szemközti házak egymás tükörképei legyenek! Rajzoljanak másolópapírra, és a papír megfordítása utáni képet hasonlítsák össze az eredetivel! Félbehajtott papírból vágjanak ki alakzatokat, és figyeljék meg a szétnyitás után a tulajdonságait! Játék: Egy négyzetrácsos (később sima) lapon az egyik játékos kijelöl tollal pontokat. Összehajtja a lapot, a hajtásvonal lesz a tükörtengely. A másik játékosnak becsléssel be kell rajzolnia a pontoknak a hajtásvonalra vonatkozó tükörképét grafit ceruzával. Ezután összehajtják a lapot, és a grafit pöttyök hátulját golyóstollal átrajzolják, így a grafit a szemközti lapon nyomot hagy, ami a grafit pötty tengelyes tükörképe lesz. Ezzel ellenőrizhető, hogy a grafit pötty nyoma eltér-e az eredeti, tollal rajzolt pöttytől.
Figyeljük meg, hogy - Az alakzat és a tükörképe ugyanakkora és ugyanolyan alakú. - Az alakzat és a képe ellentétes körüljárású, a „bal és jobb felcserélődik”. - Az alakzatból mozgatással nem tudjuk előállítani a tükörképét. - A pont és a képe ugyanakkora távolságra van a tükörtengelytől. - Négyzetrácsos lapon a pontot és a képét összekötő szakasz merőleges a tükörtengelyre. Az alábbi oldalon alakzat tükörképét kell megrajzolni pontrácson: http://tananyag.geomatech.hu/b/508685#material/795365 Az eltolás és a síkban pont körüli (térben egyenes körüli) elforgatással különböző sormintákat, síkmintákat kapunk. Fedezzük fel a mintákban az eltolást, a forgatást! Az alábbi címen kaleidoszkópot lehet készíteni, amelyen jól megfigyelhető a forgásszimmetria: http://www.umapalata.com/design_en/games/AZartCALED.asp?file=AZartCALED.swf
2. Hasonlósági transzformációk Nagyítás, (kicsinyítés) megtapasztalását segítő tevékenységek: - Építsd meg nagy kockákból, amit kis kockákból építettem! (például lego – duplo) - Rajzold le nagy négyzetrácsra, amit a kis négyzetrácsra rajzoltam! - Rajzolj ugyanarra a négyzetrácsra kétszer akkorát! (Itt a nehézség az, hogy az alakzatot minden irányban duplázni kell.) Tapasztalják meg a gyerekek, hogy a testek alakja megváltozik, ha például egy kódolt alaprajzzal adott építményt a színes rúdkészlet fehér kockái helyett álló rózsaszín rudakból építünk meg! Ugyancsak megváltozik a négyzetrácsra rajzolt síkidomok alakja, ha torzított rombuszrácsra másoljuk át.
12.5. Mérés A méréssel, és annak hatásaival a mennyiségfogalomra a természetes szám fogalmának alakításánál már foglalkoztunk. A helyiérték-táblázat megfelel a mértékegységek rendszerének, ezáltal jól segíti a mértékegység váltást. A hosszúság mennyiség méréséhez kapcsolódik a sokszögek kerületének mérése 3-4. osztályban.
Fontos, hogy a gyerekek a kerület kapcsán a körbekerítéssel, körbeméréssel találkozzanak, és semmiképpen se képletek alapján számolják a téglalap kerületét. A terület mérése ne kötődjön csak az egységnégyzettel méréshez, más alakzatok is legyenek egységek! Sok konkrét tapasztalatot szerezzenek a gyerekek arról, hogy ezen a szinten a területet lefedéssel mérhetik meg. A gyerekek találkoznak a szög mérésével, derékszöget hajtogatnak, és ahhoz viszonyítják a mérendő szöget.
12.6. Feladatok 12.6.1. Feladat Keressük meg a kocka hálóit! Figyeljük meg a kockahálók rendszerezését! http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/cube_patrons.htm
12.6.2. Feladat Készítsük el egy tanterem térképét, rejtsünk el egy kincset, és vezessük el a társunkat utasításokkal a kincshez!
12.6.3. Feladat Tervezzünk 5 tevékenységet a szimmetria felfedezéséhez!
12.6. Feladatok 12.6.1. Feladat Keressük meg a kocka hálóit! Figyeljük meg a kockahálók rendszerezését! http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/cube_patrons.htm
12.6.2. Feladat Készítsük el egy tanterem térképét, rejtsünk el egy kincset, és vezessük el a társunkat utasításokkal a kincshez!
12.6.3. Feladat Tervezzünk 5 tevékenységet a szimmetria felfedezéséhez!
13.1. A logikai készlet A halmazelmélet és a logika elemeinek megjelenése az alsó tagozaton a Komplex matematikatanítási program eredménye. Konkrét tárgyi tevékenységekkel az életkori sajátosságoknak megfelelően foglalkozunk halmazokkal, igaz-hamis állításokkal. Ennek hasznos eszköze a Dienes Zoltán által kifejlesztett logikai készlet. A Magyarországon használatos logikai készlet 48 elemű, az elemeknek négy tulajdonsága változik: Méret szerint lehet kicsi vagy nagy. Szín szerint lehet sárga, piros, kék vagy zöld. Lyukasság szerint lehet lyukas vagy teli(nem lyukas). Forma szerint lehet kör, háromszög vagy négyzet.
Ábra: A teljes készlet
A gyermekek számára segíti a tulajdonságok felfedezését, ha azt kérjük tőlük, hogy osszák két csapatra az elemeket valamilyen tulajdonság szerint. Meg kell állapodnunk az elemek tulajdonságainak elnevezésében! A nem lyukasra telit mondunk. Nagyon fontos, hogy a „négyzet”-et soha ne mondjuk kockának! Az elemek megnevezésekor négy tulajdonságot kell felsorolni, amit megkönnyít, ha kezdetben mindig ugyanabban a sorrendben mondjuk a tulajdonságokat. Mivel a formát jelző szó főnév, célszerű ezt mondani utolsónak: pl. kicsi, piros, lyukas kör. Ha ez már jól megy a gyermekeknek, a későbbiek során tudatosan változtassuk a sorrendet, pl. lyukas, piros, kicsi kör. A tulajdonságok közül mindegyik mindegyikkel előfordul, így az elemek száma 2 · 2 · 3 · 4 = 48. Az elemek rendszerezését segíti a dobozba pakolás is. Ez a rendszer megkönnyíti a részkészletek alkotását, amikor kevesebb elemből álló készletet választunk ki a tulajdonságok, azon belül a lehetőségek számának csökkentésével megtartva azt, hogy minden tulajdonság mindegyikkel előforduljon. Így tudjuk differenciálni a feladatokat a gyerekek képességeinek megfelelően. Például 12 elemű részkészletet választhatunk úgy, hogy két tulajdonság változik, a szín és a forma, hiszen . Ekkor minden elem kicsi és lyukas (persze ugyanígy lehet mind nagy lyukas vagy nagy teli vagy kicsi teli).
Ábra: 12 elemű részkészlet – 2 tulajdonság változik
Soralkotások logikai készlettel A logikai készlet elemeinek különböző szabályok szerinti sorba rakása fejleszti a szabálykövetést, a szabályok felismerését, szabályok alkotását. Egykülönbség játék: Kirakunk egy kezdőelemet, és a gyerekeknek folytatniuk kell a sorozatot úgy, hogy az új elem pontosan egy tulajdonságban térjen le az őt megelőző elemtől. Variálhatjuk a játékot úgy, hogy a játékosoknak nem csak balról jobbra lehet folytatni a sort, hanem balra is, és felfele és lefele is. Csupán az a kikötés, hogy minden irányban teljesülnie kell az egy különbségnek, azaz, ha egy új elemnek van baloldali és fölötte levő szomszédja is, akkor mindkettőtől pontosan egy tulajdonságban kell eltérjen. Például, ha a nagy kék lyukas négyzet mellett a nagy kék lyukas háromszög van, alatta pedig a nagy sárga lyukas négyzet, akkor a nagy kék lyukas háromszög alá csak a nagy sárga lyukas háromszög rakható.
Ábra: Soralkotás egy különbséggel két sorban
Hasonló játékokat játszhatunk azzal a módosítással, hogy az egymás utáni elemek nem egy, hanem két tulajdonságban térjenek el egymástól, ez a kétkülönbség játék.
Ábra: Soralkotás két különbséggel
Háromkülönbség játék A soralkotás szabálya abban különbözik az előzőtől, hogy most pontosan három tulajdonságban kell eltérjen az első elem után minden elem az őt megelőzőtől. Az alábbi oldalon egy-két-és három különbség játékot lehet játszani a logikai készlet elemeivel: http://tananyag.geomatech.hu/b/509239#material/730059 Quarto játék Kétszemélyes játék, melynek eszköze egy 4x4-es tábla, melynek mezőire ráférnek a logikai készlet elemei. A logikai készletből válasszunk ki 16 elemet úgy, hogy 4 tulajdonság szerint 2-2 lehetőség legyen. Például az elemek legyenek kicsik vagy nagyok, lyukasak vagy nem lyukasak, kékek vagy sárgák, körök vagy négyzetek. A játékosok felváltva kerülnek sorra. Először egy játékos ad egy elemet a másiknak, aki lerakja azt egy általa választott helyre. Majd ő választ egy elemet, amit átad a másiknak, hogy lerakja. Az a játékos nyer, aki a lerakott eleme után talál 4 elemet egy sorban, vagy egy oszlopban vagy egy átlóban, amelyeknek van közös tulajdonsága. A Quarto játék készletével játszhatók az alábbi játékok a számítógépen: http://tananyag.geomatech.hu/b/193001#material/139613 http://tananyag.geomatech.hu/b/509225#material/705141
13.2. Halmazok A halmazokkal kapcsolatos tevékenységeket egy, majd több szempont szerinti válogatásokkal kezdjük. Adott egy alaphalmaz, ennek elemeiből válogatjuk ki az elemeket egy halmazba. A halmaz elemeit megadhatjuk valamilyen tulajdonsággal, vagy az elemek felsorolásával. Az alaphalmaz azon elemei, amelyek nem tartoznak a halmazba a halmaz komplementer, vagy kiegészítő halmazát alkotják.
Válogatás két szempont alapján az alaphalmaz elemeiből. A feladatok nehézségi sorrendje a következő: - Először olyan halmazokat adjunk meg, amelyeknek nincs közös eleme, azaz diszjunktak.
Például a logikai készlet elemei közül az egyik halmazba a kicsi, a másikba a nagy elemek kerülnek. - A két adott halmaz közül az egyik részhalmaza a másiknak, azaz az egyik halmaz minden eleme a másik halmaznak is eleme. Ezzel nagyon fontos kapcsolatot gyakorolhatnak a gyerekek, a tartalmazás relációt, ami a fogalmak hierarchiáját, az általános, és speciális fogalmak kapcsolatát segít megérteni.
Például a négyzetek halmaza részhalmaza a téglalapok halmazának. - A két halmaz. Nevezzük meg az egyes halmazrészekbe tartozó elemek tulajdonságait. Például, tartozzanak az halmazba a kék, a halmazba a kör alakú elemek! Két halmaz közös része, vagy metszete az a halmaz, melynek pontosan azok az elemei, amelyek mindkét halmaznak elemei A baloldali halmazrész az
. A példában ezek azok az elemek, amelyek kékek és körök. és a
halmazok különbsége, az a halmaz, amelynek pontosan azok az elemei,
amelyek az A halmazban benne vannak, a B halmazban nincsenek benne . A példában ezek azok az elemek, amelyek kékek, de nem körök, vagyis a kék négyzetek és a kék háromszögek (lehetnek kicsik vagy nagyok, lyukasak vagy nem lyukasak). A jobboldali halmazrész a
és az
halmazok különbsége, az a halmaz, amelynek pontosan azok az elemei,
amelyek a halmazban benne vannak, az A halmazban nincsenek benne . A példában ezek azok az elemek, amelyek körök, de nem kékek, vagyis a piros, sárga vagy zöld körök (lehetnek kicsik vagy nagyok, lyukasak vagy nem lyukasak). A két halmaz egyesítése vagy uniója az a halmaz, melynek pontosan azok az elemei, amelyek legalább az egyik halmaznak elemei
. A példában ezek azok az elemek, amelyek kékek vagy körök.
A két halmazon kívüli elemek sem az , sem a elemek, amelyek se nem körök, se nem kékek.
halmazban nincsenek benne
A halmazok és a logika itt együtt fordul elő: A két halmaz metszetében levő elemekre igaz az állítás, hogy kékek és körök. A két halmaz egyesítésében levő elemekre igaz az állítás, hogy kékek vagy körök. Az elemek két halmazba rendezése gyakorolható az alábbi oldalon: http://tananyag.geomatech.hu/b/508027#material/703889 Válogatás három szempont alapján
. A példában ezek azok az
4. osztályban már három szempont alapján is csoportosíthatjuk az alaphalmaz elemeit. Itt is hasonló a nehézségi sorrend a két szempont szerinti halmazba rendezéshez, előbb diszjunkt (közös elem nélküli) halmazokba soroljuk az elemeket, majd a halmazok tartalmazzák egymást, végül általánosan bármely két halmaznak van közös része, és a három halmaznak is.
Logikai szita Számoljuk meg a halmazok, és az egyes halmazrészek elemszámát! Példa: A kezemben van 7 elem a logikai készletből, 5 kicsi és 4 kör. Hogy lehet ez? A kérdés hamar megoldódik, ugyanis annak ellenére, hogy 5 + 4 > 7, mégis lehetséges az elemek kiválasztása, hiszen a kicsi körök a kicsik és a körök halmazába is beleszámítanak. Így több lehetséges megoldás adódik, például van 2 kicsi kör, 2 kicsi háromszög, 1 kicsi négyzet, 2 nagy kör, és nincs olyan elem, amelyik se nem kicsi, se nem kör.
A logikai szita azt jelenti, hogy két halmaz egyesítésének elemszámát úgy kapjuk, hogy a két halmaz elemszámának összegéből kivonjuk a metszetük elemszámát. Ugyanis a metszetbe tartozó elemeket mindkét halmaz elemszámánál figyelembe vettük.
A logikai szita formula három halmazra a következő:
Ha három halmaz egyesítésének elemszámát számoljuk, először összeadjuk a három halmaz elemszámát. Ekkor azokat az elemeket, amelyek két halmazban is benne vannak, duplán számoltuk, ezért ezeket le kell vonni, azaz kivonjuk az összes lehetséges halmaz elemszámát, amely halmazok két halmaz metszeteként állnak elő. Ekkor a három halmaz metszetében levő elemeket háromszor hozzáadtuk, de háromszor le is vontuk, ezért egyszer hozzá kell adni.
13.3. Logika A gyermekek már 5-6 éves korban tudnak igaz és hamis állításokat (kijelentéseket) mondani, valamint állításokról eldönteni azok igazságértékét. Például Jancsi bohóc nagyon csalfa, hol igaz, hol hamis állításokat mond. Ha igazat mond, utána örül, ha hazudik, utána elbújik szégyenében. Mikor mond igazat, és mikor hazudik, ha a következőket mondja: - A nyulaknak hosszú fülük van. - A kutyának van szárnya. - A kakas szőrös állat. - A medvének patája van. - A kígyónak nincsen lába. Fontos, hogy az ilyen típusú állításokat jól elkülönítsük attól, amit a gyermekeknek tanítunk, nehogy hamis állításokat gondoljanak igaznak, ezért hasznos Jancsi bohóc figurája, aki szokott furcsaságokat beszélni, és nem mindent hiszünk el, amit mond.
Az igaz-hamis állításokat mindenféle témakörben alkalmazhatjuk: Például sorszámoknál: „Guszti első lett a versenyen.” kijelentés tagadása: „Guszti nem lett első a versenyen.” Mennyiségek összehasonlításánál: „A sárga torony magasabb a piros toronynál.” kijelentés tagadása: „A sárga torony nem magasabb a piros toronynál.”, azaz vagy egyforma magasak, vagy a piros a magasabb. Darabszámok összehasonlításánál: „Villő több gesztenyét gyűjtött, mint Zorka.” Kijelentés tagadása: „Villő nem gyűjtött több gesztenyét, mint Zorka.”, azaz vagy ugyanannyit gyűjtöttek, vagy Zorka gyűjtött többet.
Egy kijelentés tagadásának nevezzük azt a kijelentést, amely igaz, ha az eredeti kijelentés hamis, és hamis, ha az eredeti kijelentés igaz. (nem
)
Fontos, hogy lássuk, hogy a tagadás nem ugyanaz, mint valaminek az ellentéte. Például az „Ez a labda világos.” kijelentés tagadása: „Ez a labda nem világos.”, ellentéte pedig: „Ez a labda fekete.” Ismerjük meg a „minden” és a „van olyan” szavak jelentését! Például: Minden kacsának van csőre. Van olyan medve, amelyik fehér. Ezeket a kijelentéseket a logikai készlet elemeivel is gyakorolhatjuk. Például, kirakunk néhány elemet, és mondunk állításokat róluk: Igaz állítások: Minden elem lyukas. Van olyan elem, amelyik nagy. Mind piros. Van négyzet. Hamis állítások: Van olyan elem, amelyik teli. Minden elem kicsi. Van nem piros elem. Minden elem kör vagy háromszög. Ezek hamis állítások a fenti igaz állítások tagadásai, hiszen ha igaz, hogy „Minden elem lyukas.” , akkor nincsen teli elem, azaz nem igaz, hogy „Van olyan elem, amelyik teli.” Ha igaz, hogy „Van olyan elem, amelyik nagy.”, akkor nem igaz, hogy „Minden elem kicsi.”. Figyeljük meg, hogy a „minden” tagadása a „van olyan”, és fordítva, a „van olyan” tagadása a „minden”.
Rontó játék Kirakunk néhány elemet a logikai készletből, és mondunk róluk egy igaz állítást. Ezután a következő játékosnak hozzá kell tennie egy elemet a halmazhoz úgy, hogy a korábbi igaz állítást elrontsa, azaz hamis legyen az állítás, és mondania kell egy új igaz állítást. Lehetőleg olyat, hogy valamely elem hozzátevésével el lehessen rontani, vagyis nem mondhatjuk azt, hogy „van kék elem” (kisebb gyermekeknél jó, ha van egy játékvezető felnőtt, aki ellenőrzi az állításokat, és szól, ha szabálytalan állítást mondanak, vagy helytelen elemet raknak. Példa: Kirakott elemek
Igaz állítások
1.
Nagy kék lyukas négyzet.
Minden elem kék.
2.
Nagy sárga lyukas négyzet.
Minden elem nagy.
3.
Kicsi sárga lyukas négyzet.
Minden elem lyukas és négyzet.
4.
Kicsi kék teli négyzet.
Nincs kör.
5.
Nagy kék teli kör.
Minden elem kék vagy lyukas.
6.
Nagy piros teli háromszög.
Minden háromszög nagy.
7.
Kis piros teli háromszög.
Ha háromszög, akkor teli.
8.
Kis piros lyukas háromszög.
A játékban egyre összetettebb állításokra van szükség, amit a logikai műveletek alkalmazásával érhetünk el. Vizsgáljunk néhány példát: „Minden elem lyukas és négyzet.” Kijelentés akkor igaz, ha minden elemre teljesül, hogy lyukas is és négyzet is. Ha már az egyik tulajdonság nem teljesül valamelyik elemre, akkor az állítás hamis lesz. Ezért lehetett elrontani egy teli négyzettel. Konjunkció: Két kijelentés konjunkciója pontosan akkor igaz, ha mindkét kijelentés igaz.
.
Figyeljük meg a különbséget a logikai értelemben használt „és” valamint a köznyelvben használt „és” között. Az utóbbi általában felsorolást jelent: pl. „háromszög és négyzet” logikai értelemben egyetlen elemre sem lehet igaz, hiszen egyik sem lehet egyszerre háromszög is és négyzet is. Viszont köznyelvi értelemben jelentheti azt, hogy háromszög is és négyzet is látható az asztalon. Rendszerint a szövegösszefüggés segít eldönteni, hogy melyik értelemben használjuk az „és” szót, ha nem, akkor pontosítani kell.
„Minden elem kék vagy lyukas.” kijelentés akkor igaz, ha legalább az egyik tulajdonság teljesül minden elemre. Az elemek háromfélék lehetnek, kékek és telik, kékek és lyukasak valamint nem kékek és lyukasak. Az állítást egy piros teli elemmel lehetett elrontani, amelyikre egyik tulajdonság sem teljesült a kék és a lyukas közül. Diszjunkció: Két kijelentés diszjunkciója pontosan akkor hamis, ha mindkét kijelentés hamis. . A „vagy” szó a logikában megengedő vagy, azaz a „kék vagy lyukas” kijelentés akkor is igaz, ha mindkét tulajdonság teljesül. A kizáró vagy: „vagy kék vagy lyukas” nem igaz a kék és lyukas elemre. A köznyelvben általában kizáró vagy-ként használják a „vagy” szót, így jelentése eltér a logikai alkalmazástól.
„Ha háromszög, akkor teli.” kijelentés igaz, mert minden háromszög teli. Azoknak az elemeknek, amelyek nem háromszögek, nem kell telinek lenni ahhoz, hogy a kijelentés igaz legyen minden elemre. Az állítást egy lyukas háromszöggel lehetett elrontani, vagyis egy olyan háromszöggel, amelyik nem teli. Implikáció: A p implikálja q-t kijelentés pontosan akkor hamis, ha p igaz és q hamis. A köznyelv hajlamos a „ha p, akkor q” kijelentést ugyanannak tekinteni, mint a „ha q, akkor p” kijelentést. A példában láthattuk, hogy a „Ha háromszög, akkor teli.” kijelentés igaz volt, de a megfordítása, a „Ha teli, akkor háromszög.” kijelentés nem volt igaz.
Barkochbák Az igaz-hamis állításokat gyakorolhatjuk a barkochbázással. Nagyon egyszerű, eszköz nélkül is bárhol játszható játék, amelyben a gondolt dolgot kell olyan kérdések segítségével kitalálni, amelyekre csak igennel vagy nemmel
lehet felelni. A barkochbázás jól segíti a fogalomalkotást. Az egyes tárgyak, személyek, fogalmak kitalálásakor azok jellemző tulajdonságaira kérdezünk rá, és a válaszok alapján azonosítjuk a kitalálandó dolgot. Ez segíti a fogalmak rendszerezését is, például élőlény – állat – szőrös állat – háziállat – ugat – kutya. A gyermekeknek tanulniuk kell ezeket, a besorolást segítő általánosabb fogalmakat a sikeres barkochbázáshoz. A logikai készlet (esetleg kezdetben megfelelő elemszámú részkészlet) segítségével megkönnyíthetjük a barkochbázást, ha a kitaláló a maga elé rakott készletből félre rakja azokat az elemeket, amelyek már nem jöhetek szóba. A későbbiek során az elemek konkrét tárgyi kirakását fokozatosan elhagyhatjuk. A barkochbákat a hagyományoson kívül több változatban is játszhatjuk: Hazudós barkochba Egy elemet kell kitalálni olyan kérdések segítségével, amelyekre igennel vagy nemmel lehet felelni. Most a válaszoló minden kérdésre hamis választ ad. A kérdező számára az a nehézség, hogy a válasz tagadását kell figyelembe venni, az „igen” helyett „nem”-et, a „nem” helyett „igen”-t. Két vagy több lapot kell kitalálni egyszerre Két vagy több elemet kell kitalálni olyan kérdések segítségével, amelyekre igennel vagy nemmel lehet felelni. Ekkor a kérdezőnek lehetősége van a két vagy több lap egymáshoz való viszonyára kérdezni. Most a válaszok igazak, de nehezítésként természetesen lehet a hazudós változatot is játszani. Például egy játék lehet a következő: két elemre gondolunk:
Kérdés Egyforma alakúak? Kör vagy négyzet?
Válasz Igen. Nem.
Van köztük sárga vagy piros? Van köztük kék? Mindkettő kék?
Nem. Igen. Nem.
A kék nagy?
Nem.
Mindkettő kicsi? Van köztük teli?
Nem. Nem.
Megjegyzés Nem igaz, hogy kör vagy négyzet = Nem kör és nem négyzet. Tehát háromszög mindkettő. Minden elem kék vagy zöld. Nem igaz, hogy mindkettő kék=Van olyan, amelyik nem kék. Azaz egy kék és egy zöld háromszög. Ha kék, akkor nagy? Formában is fogalmazható a kérdés. A kék háromszög kicsi. Tehát a zöld háromszög nagy. Nem igaz, hogy van teli=Mindkettő nem teli. Tehát mindkettő lyukas. A két elem: a kicsi kék lyukas háromszög és a nagy zöld lyukas háromszög.
Életkortól függően lehet elemezni a kérdéseket és válaszokat, tapasztalatot szerezhetnek a játékosok a „minden”, „van olyan”, „és”, „vagy” kifejezéseket tartalmazó állítások tagadásáról, vagyis a De Morgan azonosságokról, ahogy a fenti kiemelésekből látszik. A De Morgan azonosságok:
.
Fordított barkochba Az eddigiek során a gondolt elem tulajdonságait határoztuk meg a kérdésekre kapott válaszok alapján. Ennél a barkohbánál ezt megfordítjuk, egy tulajdonságra kell gondolni, és egy elem felmutatásával kell kérdezni, amire a válasz megmondja, hogy a felmutatott elemnek megvan-e a gondolt tulajdonsága. Ezek alapján határozzuk meg a gondolt tulajdonságot. A váltás, a játék megfordítása fejleszti a reverzibilitás képességét. Hány közös tulajdonság van? Az egyik játékos a logikai készlet egy lapjára gondol, a másik játékos egy lap felmutatásával kérdez, a válasz pedig az, hogy a felmutatott lapnak hány közös tulajdonsága van a gondolt lappal. A felmutatott lapokat érdemes táblázatban gyűjteni a közös tulajdonságok száma szerinti oszlopokban. 4
3
2
1
0
A gyerekek logikai képességeit fejleszti a sudoku játék: http://www.jatekstart.com/jatekok/logikai-j%C3%A1t%C3%A9k/20121127/sudoku
Ennek érdekesebb változata különböző feltételekkel, melyek a térszemléletet is fejlesztik az alábbi játék, amelyben alakzatokat kell elhelyezni minden sorba és oszlopba egyet-egyet a feltételeknek megfelelően: http://www.puzzles.com/projects/gridworksprevious.htm
13.4. A halmazok alkalmazási lehetőségei az alsó tagozatos tananyagban - Számhalmazok ábrázolása különböző tulajdonságok alapján: paritás, nagyságrendi viszonyok (kerekített értékek, számjegyek száma), adott helyi értéken álló számjegyek, stb. - Többszörösök, osztók ábrázolása halmazokban (lásd oszthatóság). - Geometriai alakzatok halmazokba sorolása tulajdonságok alapján. - Szöveges feladatok több szempont szerinti osztályozásra, elemek számának meghatározására.
13.5. Feladatok
13.5.1. Feladat Rajzoljuk fel a logikai készlet gráfját!
13.5.2. Feladat Alkossunk 12 elemű részkészletet úgy, hogy három tulajdonság változzon!
13.5.3. Feladat Körbe lehet-e rakni a logikai készlet összes elemét egykülönbséggel?
13.5.4. Feladat Tervezzünk igaz-hamis állításokat Jancsi bohóc számára különböző témákban!
13.5.5. Feladat Játsszunk rontó játékot logikai készlettel és más tárgyakkal is! Értékeljük a tapasztalatokat! Milyen logikai műveleteket alkalmaztunk?
13.5.6. Feladat Keressünk halmazokkal kapcsolatos feladatokat az alsó tagozatos tankönyvekben!
14. Kombinatorika Kombinatorika feladatok szintjei. Sorba rendezések. Szorzási szabály, összeadási szabály. Kiválasztások sorrend figyelembe vétele nélkül. A hallgató legyen tisztában azzal, hogy a kombinatív képességek fejlesztése alapvető fontosságú. Ismerje ennek alsó tagozatos lehetőségeit, a rendszerezés eszközeit. Legyen képes alkalmazni, és elmagyarázni a módszereket feladatok megoldásában. Tudjon önállóan rendszert felállítani. Fejlődjön szövegértési képessége, és törekedjen a pontos matematikai megfogalmazásokra.
14.1. A kombinatív képességek, a fő kérdések, a problémák szintjei A gondolkodási kulcskompetencia működése során meglevő tudásból módosult új tudás keletkezik. Megjelenési formái: Konvertáló képesség: a meglevő tudás formai átalakítása kódolással, azaz más jelrendszerbe való váltás, például lerajzolás. Rendszerező képesség: a dolgok közti viszonyok felismerése, és ez alapján a dolgok rendezése. Kombináló képesség: feltételeknek megfelelő lehetőségek létrehozása, számbavétele. Prediktív képesség: valószínűségi következtetés, becslés, magyarázat, indoklás. (Nagy, 2007, p. 39) Az elemi kombinatív képességet szenzomotoros szinten 4-8 éves gyermekek körében vizsgálták, és megállapították, hogy már az óvodás korban érdemes elkezdeni a gyermekek ilyen irányú fejlesztését, hiszen a gyerekek között nagy különbségeket találtak, amelyek oka valószínűsíthetően az óvodai fejlesztés. (Hajduné, 2007) A rendszerező képességgel korábban a halmazképzésnél már foglalkoztunk, amikor a dolgokat egy vagy több tulajdonságuk alapján csoportosítottuk. A következőkben a kombinálás eszközeként alkalmazzuk. A kombinálás során feltételeknek megfelelő elemekből álló véges halmaz elemeit, elemszámát kell meghatározni. A közhiedelemmel ellentétben nem az a kérdés, hogy permutációról, kombinációról vagy variációról van szó. A halmaz elemeinek számbevételekor a két fontos kérdés az, hogy - különböző elemeket vettünk-e számba; - minden elemet számba vettünk-e. A kombinatorikai problémák szintjei: 1. Egy vagy több feltételnek megfelelő elemek megadása (4-5 évtől). Előbb egy elem alkotása a feladat, majd fokozatosan ki kell alakítani az igényt arra, hogy ha a feltételeknek több elem is megfelel, akkor keressünk több elemet. Itt lényeges a feltételeknek megfelelő elemek megkülönböztetése. Ehhez a gyerekeknek gyakorolniuk kell a különbségek, azonosságok felismerését. A kombinatorika feladatok megfogalmazásának nagy problémája annak leírása, hogy mikor tekintünk két esetet azonosnak, és mikor különbözőnek. Sokszor előfordul, hogy ennek megértése a legnehezebb, ezért feltétlenül szükséges a példa, a szóbeli magyarázat még az iskolai feladatok esetén is. A gyerekeknek kezdetben egy feltételnek megfelelő alkotásokat kell létrehozni, majd két, három feltételt is megadhatunk egyszerre. A feltételek számának növelése nagyban nehezíti a probléma megoldását. Figyelni kell az életkori sajátosságokra, mikortól képesek a gyerekek több szempont egyidejű figyelembe vételére, ami egyébként függ a tartalomtól és annak reprezentációjától is. Például a gyerekekhez közel álló, ismerős tartalom megkönnyíti a több feltételnek megfelelő alkotást, ahogy az is, ha ezek az alkotások manuálisan kirakható konkrét tárgyak. Fontos, hogy csak olyan eszközt alkalmazzunk, amellyel az összes elem egyidejűleg kirakható. 2. A feltételeknek megfelelő minél több elem megkeresése (6-7 évtől).
Az iskola alsóbb osztályaiban egyszerű problémák esetén már felmerül az igénye annak, hogy a feltételeknek megfelelő összes elemet megtaláljuk előbb kirakással, később ábrázolással. Az elemek ötletszerű felsorolása után fokozatosan jutunk a rendszerezéshez. A gyerekek előbb részrendszereket alkotnak, például egy tulajdonságot rögzítenek az egyik szempont szerint, és csak a másik szempont szerint változtatják a tulajdonságokat, de ezt a stratégiát még nem tudják végigvinni az egész probléma megoldásán. Az összes lehetőség felsorolását játszhatjuk úgy, hogy a játékosok körben haladva egy-egy új lehetőséget raknak ki a feltételeknek megfelelően. Akinek ez sikerül, kap egy zsetont, aki olyat rak, ami már szerepelt, az visszaad egy zsetont, aki nem tud rakni, passzol, nem nyer, és nem veszít zsetont. A játék vége felé annak megállapítása, hogy már nincs több lehetőség igényli a rendszerezést, amit a játékosok közösen végezhetnek el. 3. Rendszerezés az összes elem megtalálásához (9-10 évtől). A feltételeknek megfelelő elemek felsorolása már rendszerben történik, de még minden elemet felsorolunk. A rendszerezésnek különböző stratégiái lehetnek. Előfordul a szisztematikus cserélgetés, de általában hatékonyabb az a stratégia, amikor az egyik feltételnek megfelelően egy tulajdonságot rögzítünk, és a többi feltételnek megfelelő tulajdonságokat változtatjuk. Fontos, hogy ezt a stratégiát következetesen végig tudják vinni a gyerekek, egy tulajdonság rögzítése után ugyanannak a feltételnek megfelelő másik tulajdonságot rögzítsenek, ne térjenek át a másik feltétel szerinti tulajdonság rögzítésére. A rendszerezés eszközei a táblázatba rendezés valamint az ágrajz. 4. Szimbolikus módszerek az összes elem számának meghatározására (12-13 év). Ezen a szinten már nem fontos az összes elem felsorolása. Általában egy felismert rendszer egy részének megadása segít abban, hogy a gyerekek a szabályosság alapján a további elemek számát már felsorolás nélkül is ki tudják számolni műveletsorral. Gyakori hiba, hogy a túl korai alkalmazása a szorzásoknak, összeadásoknak odavezet, hogy a gyerekek hamis szabályosságot feltételezve számolnak. A tipikus módszerek: - szorzási szabály, - összeadási szabály, (ezek a műveletek fogalmát is segítenek elmélyíteni). - a probléma átfogalmazása, konvertálása más reprezentációba (doboz módszer, +/- módszer), amely már ismert probléma megoldását jelenti. - komplementerre áttérés: jó elemek száma = összes elem száma – rossz elemek száma. (Több feltétel esetén hasznos stratégia lehet, ha kezdetben az egy feltételnek megfelelő összes elemet keressük meg, és a többi feltételnek is megfelelő jó elemeket végül az összes és a többi feltételnek nem megfelelő, rossz elemek számának különbségeként kapjuk.) 5. Modellek alkalmazása, alkotása (16 évtől). A leggyakoribb modellek a permutáció, variáció és kombináció ismétlés nélkül és ismétléssel. Az iskolai kombinatorika tanítás legfőbb problémája, hogy gyakran előkészítés nélkül és túl korán erre a szintre ugranak, ezzel megfosztva a tanulókat az absztrakció folyamatának végigjárásától, amikor a konkrét tárgyi, majd képi tapasztalatok alapján fokozatosan maguk alkothatják meg ezeket a modelleket. Így a modell nem csupán üres képlet lesz számukra, felismerik a modelleket a különböző kontextusokban is, valamint tudnak alkalmazkodni az alapmodell változtatásaihoz.
A kombinatorika feladatok nehézségét nagyban befolyásolja, egyrészt a feltételeknek megfelelő elemek száma, másrészt a feltételek száma. Gyakran ugyanaz a feladat kirakással óvodásoknak is megfelelő probléma, kis elemszámmal 8 évesek már megtalálják az összes esetet, majd az elemszám növelésével a feladat már nem lesz kirakható, így szimbolikus módszert vagy modellt igényel, csak magasabb osztályokban alkalmazható.
14.2. Példa a szintekre, eszközökre: zászló alkotás. Készítsünk három sávos zászlókat kell piros, fehér és zöld sávokkal! A feladatot kitűzhetjük úgy, hogy papírcsíkokat kell ragasztani a zászlóra, valamint az adott csíkokat kell színezni. Figyeljünk arra, hogy a zászló rúdjának helyét is rögzítsük, hiszen ennek hiányában a zászlót megfordíthatjuk, így a felső csík alulra kerül, ezt a zászlót azonban az eredetitől különbözőnek tekintjük. Az ilyen papír-ceruza feladatokhoz előre megrajzolt zászlókat adjunk a gyerekeknek, így csak színezniük kell a csíkokat. Vigyázzunk arra, hogy lehetőleg több rajz legyen, mint lehetőség. Érdemes megfigyelni a gyerekek stratégiáit a feladat végrehajtása közben. Akik papírcsíkokat ragasztanak, azok tipikusan befejeznek egy zászlót, utána próbálnak más változatot megalkotni. Akik színeznek, azok közül többen, ha kezükbe fognak egy színes ceruzát, például a pirosat, akkor ezzel kiszínezik egy zászló felső csíkját, egy másik zászló középső csíkját és egy harmadik zászló alsó csíkját. Így ezek a zászlók biztosan különbözők lesznek. Ezután megfogják a zöld színest, és még egy csíkot zöldre színeznek minden zászlón lehetőleg úgy, hogy a zöldek is mind különböző helyre kerüljenek:
Ezután a gyerekeket ösztönözni kell arra, hogy találják meg az eddig megrajzolt zászlók párját. Hiszen a piros csík kiszínezése után mindegyik zászlónál kétféleképpen választhatjuk ki, hogy melyik csíkot színezzük zöldre:
A harmadik csík már csak fehér lehet, így készen van a zászló, és az összes lehetőséget megkaptuk.
A fenti ábra már egy táblázatos rendszert is mutat, hiszen az első oszlopban vannak azok a zászlók, amelyeknek a felső csíkja piros, a másodikban azok, amelyeknek a középső csíkja piros, és a harmadik oszlopban azok, amelyeknek a alsó csíkja piros.
A fenti rendszert ábrázolhatjuk (már alsó tagozaton) ágrajz segítségével:
A kombinatorika feladatok lehetőséget adnak a gyerekeknek arra, hogy saját szempontjaik szerint végezzék a rendszerezést, több módszer is eredményre vezet. Például a zászlók rendszerezését végezhetjük úgy is, hogy az egyes csíkok színét rögzítjük:
Az ágrajz lehetőséget ad a 4. szintnek megfelelő szorzási módszer alkalmazására. Ugyanis a piros szín lehet 3 helyen, és akárhova is tesszük, a zöld szín számára 2 hely marad, így ezt a két színt 3 · 2 = 6-féleképpen helyezhetjük el. A fehér szín számára egy hely maradt, így a lehetőségek száma: 3 · 2 · 1 = 6. Hasonlóan gondolkodhatunk a második stratégia esetén is: Felülre 3-féle szín kerülhet, ezután középre már csak 2. Akármelyik színnel is színeztük a felső csíkot, 2-félével színezhetjük a középsőt, így ezt a két csíkot 3 · 2 = 6féleképpen színezhetjük. Ezután az alsó csík színe már csak egyféle lehet, az összes lehetőség száma: 3 · 2 · 1 = 6.
A zászlók az 5. szinten megfelelnek az ismétlés nélküli permutáció modelljének, ugyanis három különböző színt kell sorba rendezni, a permutációk száma 3 · 2 · 1 = 3!
14.3. Sorba rendezések ismétlődéssel A zászló csíkjainak sorba rendezése a legegyszerűbb sorba rendezési feladat. A csíkok sorba rendezéséhez hasonló stratégiával megkapjuk, hogy 4 különböző színű gyöngyöt 4 · 3 · 2 · 1 = 24-féleképpen fűzhetünk fel egy pálcára. Példa: Fűzzünk a pálcára háromféle színű gyöngyöt, egy pirosat, egy kéket és két sárgát. Keressük meg az összes lehetőséget (a pálca elejét és végét megkülönböztetjük). A kezdő színt rögzítve kirakjuk a lehetőségeket, csak most vigyázni kell, mert nem azonos a lehetőségek száma minden szín esetén. Ezt ábrázoljuk nyíldiagrammal:
Az ábráról leolvasható, hogy a lehetőségek száma 12.
Tipikus hiba: a gyerekek a többször előforduló színt a nyíldiagramon is többször ábrázolják egy szinten. A nyíldiagramon azonos színt nem szabad többször feltüntetni egy szinten! Képzeljük el, hogy a 4 különböző szín sorrendjeit kiraktuk pálcákon. Ekkor a példában a lehetőségeket összeszámolhatjuk úgy, hogy ha az előző kirakásban szereplő négy különböző színű gyöngyből álló 24 pálcát párba állítjuk úgy, hogy egy párba tartozzanak azok a pálcák, amelyekben a zöld és a sárga gyöngy ugyanazon a két helyen van, csak más sorrendben. Így mindegyik pálcának pontosan egy párja lesz, ezért a lehetőségek száma a 24-nek a fele, azaz 12.
Példa: Fűzzünk a pálcikára kétféle színű gyöngyöt, két kéket és két sárgát. Keressük meg az összes lehetőséget (a pálca elejét és végét megkülönböztetjük). Ábrázoljuk nyíldiagramon a lehetőségeket!
Az ábráról leolvasható, hogy a lehetőségek száma 6. A lehetőségeket összeszámolhatjuk úgy, hogy ha az előző feladatban szereplő három különböző színű gyöngyből álló 12 pálcát párba állítjuk úgy, hogy egy párba tartozzanak azok a pálcák, amelyekben a piros és a kék gyöngy ugyanazon a két helyen van, csak más sorrendben. Így mindegyik pálcának pontosan egy párja lesz, ezért a lehetőségek száma a 12-nek a fele, azaz 6.
Példa: Fűzzünk a pálcikára kétféle színű gyöngyöt, két kéket és három sárgát. Keressük meg az összes lehetőséget (a pálca elejét és végét megkülönböztetjük). Ábrázoljuk nyíldiagramon a lehetőségeket!
Látható, hogy a lehetőségek száma 10. A lehetőségek számát megkaphatjuk úgy is, hogy gondolatban öt különböző szín, piros, sárga, kék, zöld, lila összes sorrendjét kirakjuk, ez 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 lehetőség. Ezután párba állítjuk azokat a pálcákat, amelyeknél a kék és a lila ugyanazon a két helyen van, csak más sorrendben. Ezeket az eseteket egynek kell venni, ha két kék van, így 120 : 2 = 60 eset marad. Majd rakjuk egy csoportba azokat a pálcákat, amelyeknél a sárga, a piros és a zöld ugyanazon a helyen van, csak más sorrendben. Mivel három különböző gyöngynek 6-féle sorrendje lehet, ezért egy csoportba 6 különböző pálca kerül. Így a különböző sorrendek száma két kék és három sárga gyöngy esetén 60 : 6 = 10.
14.4. Sorba rendezés körben Példa: Fűzzünk fel drótra egy piros, egy kék és egy zöld színű gyöngyöt, és tekerjük össze a drót két végét! Hány lehetőség van, ha a végek összetekerésének helyét nem vesszük figyelembe, azaz a gyűrűn a színeket körbefogatva ugyanaz marad? A lehetőségek kirakásánál a legnagyobb probléma, hogy hogyan tudjuk eldönteni, mikor azonos két gyűrű. A következő két gyűrű azonos, a pirosat Északra forgatva látható, hogy egyformák:
Könnyebben el tudjuk dönteni két gyűrűről, hogy azonosak-e, ha egy színt rögzített helyre forgatunk. Az azonos eseteknél mindegyik gyöngyre igaz, hogy ugyanazok a bal- és a jobbszomszédjai a két esetben. Például a fenti ábrán a pirosnak bal szomszédja a zöld, jobb szomszédja a kék, a kéknek bal szomszédja a piros, és jobbszomszédja zöld, a zöldnek balszomszédja a kék és jobbszomszédja a piros. Tehát a különböző gyűrűk:
Két lehetőség van, hiszen a pirosnak a balszomszédja kék vagy zöld lehet, mindkét esetben a harmadik gyöngy helye egyértelmű. Nézzük meg ugyanezt a feladatot négy gyöngy esetére! Most is forgassuk a piros gyöngyöt Északra!
A lehetőségek száma 6, hiszen a piros gyöngy rögzítése után a másik hármat 6-féleképpen lehet sorba rakni (lásd zászlók).
14.5. Szorzási szabály Példa: Rajzoljunk különböző fejeket, amelyek lehetnek mosolygósak vagy szomorúak, a szemük lehet két nyitott szem, egy nyitott, egy csukott szem, amelyik lehet a bal vagy a jobb, és a hajuk lehet rövid vagy hosszú.
A fejek rendszerezéséhez rajzolhatunk ágrajzot:
Az ágrajz alapján láthatjuk, hogy mindkét hajhoz lehet háromféle szem, ez alapján 6-féle fej lehet. Mind a 6-féle fej lehet rövid vagy hosszú hajú, így összesen 2 · 3 · 2 = 12 lehetőséget kapunk. A megoldásban alkalmazott módszert szorzási szabálynak nevezzük.
14.6. Összeadási szabály 1. Útvonalak Példa: Micimackó otthonából indulva a legrövidebb úton akar eljutni Róbert Gidához úgy, hogy közben három barátját meglátogatja. Játsszuk le az összes lehetséges útvonalat, és rajzoljuk be egy-egy ábrába!
A példában megfigyelhető az összeadási módszer: Róbert Gidához csak Fülestől vagy Malackától juthat Micimackó. Mivel Micimackó Füleshez és Malackához is 3-féle útvonalon mehet, így Róbert Gidához összesen 3+3=6-féleképpen juthat a lakásától.
Példa:
Hányféleképpen lehet kiolvasni a neveket az alábbi betűtáblákból?
Z S U
S U Z
U Z S
Z S Ó F I
Z S I
S Ó F I
Ó F I
F I
I
Írjuk a betűk jobb alsó sarkába azokat a számokat, amik a kezdőpontból a betűbe jutás lehetőségeinek számát mutatják. A ZSUZSI kiolvasásakor a Z-ből a jobbra levő S betűbe 1-féleképpen juthatunk, a lefele levő S betűbe szintén, így 1-et írunk mindkét S betűhöz. A második sorban levő U betűhöz mindkét S-ből juthatunk, így Z-ből Uba 1+1=2-féleképpen juthatunk, az U-hoz a 2-t írjuk. Így tovább haladva végül az I betűhöz írt számot úgy kapjuk, hogy először megnézzük, hogy honnan juthatunk az I-be: a felső és a balra levő S betűkből. Az I-be juthatunk 4féleképpen a felső S betűn keresztül, és 6-féleképpen a balra levő S betűből, összesen 4+6=10-féleképpen, azaz a két S betűhöz írt számot összeadjuk.
Z1 S1 U1
S1 U2 Z3
U1 Z3 S6
Z1 S4 I10
Z1 S1 Ó1 F1 I1
S1 Ó2 F3 I4
Ó1 F3 I6
F1 I4
I1
Tehát ZSUZSI-t 10-féleképpen lehet kiolvasni, ZSÓFI-t pedig 1+4+6+4+1=16-féleképpen.
Példa: Hányféleképpen lehet eljutni A-ból B-be, ha csak a nyilak mentén haladhatunk?
Írjuk a körökbe azokat a számokat, az előbbi módon, ahányféleképpen A-ból abba a pontba el lehet jutni. Most vannak pontok, ahová három körből is juthatunk, így az azokba írt három számot kell összeadni.
Tehát 13-féleképpen juthatunk A-ból B-be. 2. Esetek szétválasztása Példa: Hányféle két vagy háromgombócos fagyit vehetünk, ha a csokoládé, vanília, eper, citrom ízek közül választhatunk, nem veszünk két egyforma ízű gombócot, és a tölcsérben a gombócok sorrendje nem számít? Két esetet különböztetünk meg: két- vagy háromgombócos fagyit veszünk. 1. eset: kétgombócos fagyit veszünk. A négy íz közül választunk kettőt: A csokihoz választunk háromfélét: csoki-vanília, csoki-eper, csoki-citrom. Csokit többször nem választunk. A vaníliához már csak kétfélét választhatunk: vanília-eper, vanília-citrom. Marad az eper-citrom utoljára. Összesen 3 + 2 + 1 = 6 lehetőség van. 2. eset: háromgombócos fagyit veszünk. Mivel minden gombóc különböző, négyféle gombóc van, egyet nem választunk közülük. Ezt 4-féleképpen választhatjuk ki. Tehát a két esetben összesen: 6+4=10 lehetőség van.
A fenti példában összeadtuk a két esetben előforduló lehetőségek számát, ez az összeadási szabály.
14.7. Kiválasztás sorrend figyelembe vétele nélkül Példa: Öt fős csapatból hányféleképpen választhatunk két főt, akik képviselik a csapatot? Megoldás:
Mivel a kiválasztás sorrendje nem számít, az ágrajz nem segíti a megoldást. A csapat tagokat jelöljük nevük kezdőbetűjével! Két tag kiválasztását táblázatba írhatjuk:
A táblázatban az X azt jelenti, hogy a sorának és az oszlopának megfelelő két csapat tagot választottuk. Mivel a sorrend nem számít, A és B csak egyszer lehet párban. A lehetőségeket összeszámolva: 4 + 3 + 2 + 1 = 10-et kapunk.
Hogyan változik a lehetőségek száma, ha három főt kell választani? Három fő választása esetén nem alkalmas a táblázat a lehetőségek jelölésére. A nevek alá írjunk +-t ha kiválasztjuk, és − -t, ha nem választjuk.
Láthatjuk, hogy most is 10 lehetőséget kaptunk. Nem véletlen, hogy ugyanannyiféleképpen lehet 5 gyerek közül 2-t kiválasztani küldöttnek, mint 3-at, hiszen kettőt kiválaszthatunk úgy is, hogy azt a hármat választjuk ki, akik nem lesznek küldöttek. Ezt a táblázatból úgy látszik, hogy felcseréljük a + és a − jelentését.
A választási lehetőségek száma ugyanannyi, ahányféleképpen a 3 + jelet és a 2 − jelet sorba rendezhetjük. Ezzel a feladatnak egy más reprezentációját fogalmaztuk meg a + és a − jelekkel, ez a + / − módszer. Példa Ötféle fagylalt közül választunk három gombócot úgy, hogy ugyanabból a fajtából több gombócot is választhatunk. Hányféle választási lehetőség van? A fagylaltokat jelöljük A, B, C, D, E betűkkel, és a táblázatba írjunk 3 + jelet azokhoz a fagylaltokhoz, amelyekből választunk. Egy fajta fagylalthoz több + jel is kerülhet. A B C D E + ++ ABB +++ AAA + ++ ADD + ++ CEE + + + BCD
+|++||| +++|||| +|||+| ||+||++ |+|+|+|
Egy fagylaltrendelést le lehet írni egy olyan jelsorozattal, amelyben 3 + jel és 4 | jel van, ahol a | jel a fagylalt fajták közti elválasztó jel. Ugyanannyi fagylaltrendelés lehet, ahányféleképpen a 3 + jelet és 4 | jelet sorba lehet rendezni. Ez pedig: Látható, hogy mennyivel több lehetőség van, ha lehet ismétlődés, mint ha nem. A módszer tanulságos, a rendelés kódolása gyerekeknek is tanítható.
14.8. Feladatok 14.8.1. Feladat Hányféleképpen választhatunk ki sorban három golyót 2 piros, 3 kék és 3 sárga golyó közül?
14.8.2. Feladat Egy sárga és egy kék szabályos dobókockával dobunk, és felírjuk a dobott számok szorzatát. Hányféleképpen dobhatunk páros szorzatot?
14.8.3. Feladat
Keressünk az alsó tagozatos tananyagban lehetőségeket a kombinatív képességek fejlesztésére!
15. Statisztika, valószínűség Statisztikai adatgyűjtés, az adatok ábrázolása. Átlag. A valószínűség fogalmának alapozása. Biztos, lehetetlen, lehetséges, de nem biztos események. A hallgató ismerje a valószínűségi gondolkodás bevezetésének lépéseit, legyen képes valószínűségi kísérleteket tervezni, lejegyezni, elemezni. Ismerje ezek olyan formáit, amelyek a gyerekek számára is hasznos tapasztalatot jelentenek. Ismerjen játékokat az esélylatolgatás gyakorlására.
15.1. Statisztikai adatgyűjtés, az adatok ábrázolása A statisztikai adatok gyűjtése kapcsolatot jelent a matematika és a mindennapi élet között. Adatokat készen kaphatunk, vagy gyűjthetünk. Adatgyűjtést végezhetünk méréssel, megfigyeléssel vagy valószínűségi kísérletek során. Az adatokat táblázatba rendezhetjük vagy diagramon ábrázolhatjuk. Az adatokkal kapcsolatos tevékenységek: - Adatok leolvasása (táblázatról, diagramról) - Adatok rendszerezése. - Adatok között összefüggések keresése Keressünk a gyerekeket érdeklő témákat, és azokhoz kapcsolódó táblázatokból olvassunk le adatokat! Például kirándulás előtt keressük ki a menetrendből a vonat indulását, a vonatjegy árát, stb. Példa: A gyerekek írják fel egy-egy korongra a házi állataik nevét (a halakat akváriumonként számoljuk)! Gyűjtsük össze, milyen állatok fordulnak elő, és mindenki rakja a korongját a megfelelő állathoz! A korongok egymás fölött legyenek, így oszlopokat kapunk. A legmagasabb oszlop a leggyakoribb állatnak megfelelő oszlop (ez az adatok módusza). Elemezhetjük a kapott diagramot, mennyivel több kutya van, mint tengeri malac, stb. Folytathatjuk tevékenységet azzal, hogy egy kalapba rakjuk a kedvencek nevét, és húzunk közülük. Húzás előtt a gyerekek tippelnek arra, hogy milyen állatot húzunk. Olyan állatot húzunk legnagyobb eséllyel, amelyikből a legtöbb van a kalapban.
Átlag Az adatok jellemzője a számtani közepük, általában ezt nevezzük az adatok átlagának (más módon is meg lehet határozni átlagot). 4. osztályban két-három adat átlagát számolják a gyerekek.
Az adatok összegét osztják az adatok számával, figyelnünk kell arra, hogy az osztó egyjegyű legyen, és ne legyen maradék. Az átlagot szemléltethetjük színes rudakkal. Példa: Három torony magassága 2, 4 és 6 szint. Mennyi az átlagos magasságuk? Rakjuk ki a tornyokat színes rudakkal! A tornyok átlagmagassága az a magasság, amely akkor lenne, ha a mind egyforma magas lenne, és együtt ugyanennyi szintjük lenne. Így addig pakoljuk a magasabb tornyokról a szinteket az alacsonyabbakra, amíg egyforma magasak lesznek. Most a 6-os toronyról 2 szintet a 2-es torony tetejére rakunk, akkor a magasságuk egyforma lesz. Tehát a három torony magasságának átlaga 4 szint.
15.2. A valószínűség fogalmának alapozása A valószínűségi becslések befolyásolják mindennapi döntéseinket. A kockázatok felmérése, majd ennek tudatában a kockázat vállalása, vagy elutasítása nagyobb biztonságot jelent a hétköznapokban. A valószínűségi modellek alapján megjósolható a várható időjárás, a járványok terjedése, a gazdasági folyamatok. Különböző játékokban már a gyermekek is találkoznak esélylatolgatással, és azt követő döntésekkel. Az iskolai tananyagban a valószínűség alapozása a statisztikán, a kísérletezésen, az adatgyűjtésen alapul. A valószínűség pontos matematikai meghatározása az egyetemi matematika tananyag része. A valószínűség fogalom alakulásának szintjei: 1. Tapasztalatok, játékok a valószínűséggel kapcsolatos fogalmakkal: véletlen, esély, biztos, lehetséges, de nem biztos, lehetetlen, szerencse, balszerencse, stb. 2. Szubjektív esélylatolgatás során érzésből döntünk, ha a döntésünk nem bizonyult helyesnek, akkor próbáljuk levonni a tanulságot. Általában akkor tudunk jól dönteni két esemény esélyeinek összehasonlításában, ha nagy a különbség a valószínűségeik között. 3. Biztos, lehetséges, de nem biztos, lehetetlen események felismerése. Vigyázni kell, hogy az esemény szó helyett ne használjuk az állítást, ugyanis az állítás csak igaz vagy hamis lehet, míg az esemény lehet biztos, lehetséges, de nem biztos vagy lehetetlen. Tehát nincs olyan, hogy „lehet, hogy igaz”. 4. A kísérletezés már tudatos, objektív tevékenység az események valószínűségének összehasonlítására. Általában annak az eseménynek nagyobb a gyakorisága, azaz a bekövetkezéseinek száma, amelyik valószínűbb, azonban előfordul, hogy a kevésbé valószínű esemény következik be gyakrabban. Az események bekövetkezésének esélyét jellemzi a relatív gyakoriság, ami a gyakoriság és a kísérletek számának hányadosa. Minél több kísérletet végzünk, a relatív gyakoriság annál nagyobb eséllyel közelíti meg jól az esemény valószínűségét. Például néhányszor feldobva egy szabályos dobókockát nem fog ugyanannyiszor esni mindegyik lapjára. Azonban több ezer dobás esetén a dobások száma közötti különbség az összes dobás számához képest már elenyésző. http://academic.evergreen.edu/curricular/doingscience/flash/dice.html
5. Elméleti valószínűség. A valószínűséghez 1-nél nem nagyobb nem negatív számot rendelünk bizonyos feltételekkel. Egy esemény valószínűségét abban az esetben tudjuk könnyen meghatározni, ha - a kísérletnek véges sok kimenetele lehet; - a kísérlet minden kimenetele egyformán valószínű. Ebben az esetben klasszikus valószínűségi modellről beszélünk, és a valószínűséget a kedvező lehetőségek számának és az összes lehetőség számának hányadosaként számolhatjuk ki.
Játékok a valószínűség szubjektív becslésére A fejben számolásnál dominóval, az írásbeli összeadásnál dobókockával már láttunk olyan játékokat, amelyekben a valószínűség szubjektív becslésére, esélylatolgatásra volt szükség. Perudo Játékosonként 5 db dobókocka és egy pohár szükséges a játékhoz. A játékosok a kockáikat a poharukba helyezik, összekeverik, majd mindannyian egyszerre dobnak úgy, hogy a poharakat fejjel lefelé az asztalra fordítják. Mindenki megnézi a saját kockáit, de úgy, hogy a többiek elől a poharak segítségével eltakarják. A kezdő játékos mondja be az első licitet. A bemondás egy kétjegyű szám, amelynek első számjegye darabszámot, a második pedig a dobott számot jelenti. Például a 45 azt jelenti, hogy a körben 4 db 5-öst dobtak a játékosok. Az 1-es joker, mindig azt a számot jelenti, amit bemondtak, tehát a 4 db 5-ös úgy is teljesülhet, hogy 3 db 5-ös és 2 db 1-es van. A következő játékos licitjének az előzőnél nagyobb kétjegyű számnak kell lenni. Ha a soron következő játékos kételkedik az előző licitjében, bemondja, hogy „perudo” (=kételkedem), és mindenki felfedi a kockáit. Ha a licitnek megfelelőnél nagyobb, vagy egyenlő a licitben szereplő számok száma, akkor a kételkedő elveszíti egy kockáját, különben a licitáló veszíti el egy kockáját. Az elveszített kockákat egy zsákba teszik, hiszen a játékban még bent levő kockák száma befolyásolja a licitet, azt fejben kell tartani. Akinek elfogynak a kockái, kiesik a játékból. Az győz, aki utoljára marad játékban.
5.3. Biztos, lehetetlen, lehetséges, de nem biztos események. Skatulya-elv. A következő tevékenység arra mutat példát, hogyan lehet a gyerekekkel felfedeztetni a biztos, lehetséges, de nem biztos, lehetetlen eseményeket. Egy zsákban színes gyöngyök vannak: 5 piros, 2 kék. Ebből húzunk véletlenszerűen 3 gyöngyöt. Kiosztjuk a kihúzott gyöngyökre vonatkozó alábbi eseménykártyákat:
Húzzunk 10-szer úgy, hogy minden húzás után visszatesszük a kihúzott gyöngyöket. Minden húzásnál rakjunk egy korongot ahhoz, az eseménykártyához, amelyik esemény bekövetkezett. Figyeljük meg, mit tapasztalunk? Van olyan kártya, amelyen levő esemény sohasem következik be. Ez a „Nincs piros.” kártya, ugyanis csak 2 kék gyöngy van, ha hármat húzunk, kell legyen piros a kihúzottak között. A „Nincs piros.” esemény lehetetlen esemény. Van olyan kártya, amelyen levő esemény mindig bekövetkezik. Ez a „Van két azonos színű gyöngy.” kártya. Ugyanis ha kétféle színből húzunk hármat, akkor van olyan szín, amelyikből legalább kettőt húztunk. Ha mindkettőből legfeljebb egyet húztunk volna, akkor összesen legfeljebb két gyöngyöt húzhattunk volna, viszont hármat húztunk, ezért ez nem lehet. A „Van két azonos színű gyöngy.” biztos esemény. A fenti meggondolás a skatulya-elv: két skatulyánk van, a piros és kék szín, és három gyöngyünk. Ezeket a gyöngyöket kell a színeket jelentő skatulyákba tenni. Mivel kevesebb skatulya van, mint gyöngy, ezért kell legyen olyan skatulya, amelyikbe legalább két gyöngy jut. A „Csak pirosat húztunk.” esemény lehetséges, de nem biztos. Ugyanis ha három pirosat húzunk, akkor bekövetkezik, ha egy pirosat és két kéket, akkor nem. Ha a „Csak pirosat húztunk.” esemény nem következett be, akkor a „Mindkét színű gyöngyöt húztunk.” esemény bekövetkezett, az előző esemény komplementere, így ez is lehetséges, de nem biztos esemény. A „Több pirosat húztunk, mint kéket.” esemény bekövetkezik, ha két vagy három pirosat húzunk, és nem következik be, ha csak egyet, tehát ez is lehetséges, de nem biztos esemény.
Az alábbi címen gyakorolni lehet annak eldöntését, hogy egy adott esemény biztos, lehetséges, de nem biztos vagy lehetetlen.
http://www.okosdoboz.hu/gyakorlo-feladat/2670
15.4. Hány van a helyén? A következőben egy valószínűségi kísérletet mutatunk be, amelyben szerepel a valószínűség szubjektív és objektív becslése, az elméleti számítás, valamint ezek kapcsolata. Rakjunk ki sorban egy pálcára három különböző színű gyöngyöt! Ezután rakjunk három ugyanilyen színű gyöngyöt a varázszsákba! Ebből húzzuk ki egymás után sorban a három gyöngyöt. Figyeljük meg, hogy hány gyöngy szerepel a húzás során ugyanannyiadik helyen, mint a pálcán! Ezek a gyöngyök vannak a „helyükön”. Minden alkalommal számoljuk meg, hogy hány gyöngy van a helyén. A kísérletet végezzük el 10-szer egymás után, és az eredményeket strigulázzuk egy táblázatban! A kísérlet elvégzése előtt tippeljük meg, hogy az egyes események hányszor fognak bekövetkezni a 10 kísérlet során! Egy lehetséges kísérletsorozatot mutat a táblázat: Esemény
Tipp
Strigulák
Gyakoriság
Egy sincs a helyén
3
|||||
5
Pontosan egy van a helyén
4
||||
4
Pontosan kettő van a helyén
0
Pontosan három van a helyén
2
0 |
Relatív gyakoriság
Elméleti valószínűség
0
0
1
Az elméleti valószínűséget kombinatorikus úton kiszámíthatjuk, mert véges sok sorrend lehetséges, és mindegyik sorrend húzásának ugyanakkora az esélye. Először határozzuk meg az összes lehetőség számát! A három gyöngyöt 6-féle sorrendbe írhatjuk, az összes eset száma 6. Ha a pálcán a piros-kék-zöld sorrendben vannak a gyöngyök, akkor azok a sorrendek, amelyekben egy gyöngy sincs a helyén a következők: K Z P és Z P K, azaz 2 a kedvező esetek száma. 3-féleképpen választhatjuk ki, hogy melyik gyöngy van a helyén, utána a másik kettőt fel kell cserélni, hogy csak egy legyen a helyén, így 3 esetben lesz pontosan egy gyöngy a helyén. Fontos tapasztalatokat szűrhetünk le a kísérletből: - Három gyöngy közül pontosan kettő nem lehet a helyén, ez lehetetlen esemény, mert ha kettő a helyén van, akkor már a harmadik is a helyén kell legyen. A lehetetlen esemény valószínűsége 0.
- A relatív gyakoriság és az elméleti valószínűség nem egyezik meg, sőt még nagyságrendi viszonyokban is mutatkozhat eltérés. Ezért kísérletezéssel csupán a gyakoriságokat nézve nem állapítható meg, mely eseményeknek egyezik meg a valószínűsége (statisztikai próbákkal felsőbb matematikai eszközökkel van erre mód bizonyos valószínűséggel). - Ha két esemény valószínűsége között nagy az eltérés, akkor nagyobb eséllyel többször következik be az az esemény, amelyiknek nagyobb a valószínűsége.
15.5. Két kockával dobás Több olyan társasjáték van, amelyben két szabályos dobókockával dobott számok összegének van szerepe (például Catan). Vizsgáljuk a két szabályos dobókockával dobásnál a dobott számok összegét! Gyakoriságok vizsgálata: Álljon sorba egymás mellé 13 gyerek, mindegyiknek a kezében egy szám 1-től 13-ig. Dobunk két szabályos dobókockával, és az a gyerek lép előre egyet, akinek az a szám van a kezében, ami a két kockával dobott számok összege. Figyeljük meg, hogy ki éri el először a célt, és hol állnak ekkor a többiek! Gyakoriság becslése: Írjuk fel sorban a számokat 1-től 13-ig. Minden játékosnak van 6 korongja, amelyeket tetszőlegesen letesz a számok alá, egy szám alá többet is tehet. A játékvezető dob két szabályos dobókockával, és bemondja a dobott számok összegét. Akinek ennél a számnál van korongja, az levehet ezekből a korongokból egyet. Az a játékos győz, akinek először elfogynak a korongjai. Elméleti valószínűség: Rajzoljunk egy 6x6-os négyzetet, a sorok az egyik, az oszlopok a másik dobókockával dobott számokat jelentik. A négyzet mezőibe a dobott számok összegét írjuk:
A táblázatból leolvasható, hogy az összes eset száma 36, és az egyes összegek dobásának valószínűségét is megadhatjuk, hiszen a kedvező esetek számát minden összegre könnyen láthatjuk. Például a legvalószínűbb összeg a 7, ennek valószínűsége
, ami nem meglepő, hiszen a 7 az egyetlen olyan összeg, amelyet dobhatunk
úgy, hogy akármit dobunk az egyik kockával, tudunk olyan számot dobni a másik kockával (mégpedig eséllyel), hogy a dobott számok összege 7 legyen. A két kockával kapcsolatos bármilyen kérdés megválaszolásához hasznos segítséget nyújt a fenti táblázat.
15.6. Feladatok 15.6.1. Feladat Keress adatokat a Környezetismeret tananyagban, ábrázold táblázatban, diagramon!
15.6.2. Feladat 6-ost szeretnél dobni, mit érdemes választani, egy kockával dobást, vagy két kockával a dobott számok összegét?
15.6.3. Feladat Két szabályos dobókockával játszotok. Az nyer, aki nagyobb számot dob a saját kockájával. Ha egyformát dobnak, döntetlen. Mekkora a valószínűsége, hogy te nyersz?
