No title

MATEMATIKA O jednom d kazu Hamiltonovy vty JAROSLAV VREK P rodovdeck fakulta UP, Olomouc

V p spvku 2], kter je zam en na vyuit vektor p i e en geometrickch loh, jsou uvedeny mj. tak dva odli n d kazy tzv. Hamiltonovy vty a nkter jej vyuit. Pomoc n bylo mono e it nap . tak jednu z planimetrickch loh zadanch soutcm na 49. MMO v Madridu (v roce 2008), viz 3]. Obsahem tohoto lnku je prezentace jinho (autorova) d kazu v e zmnn vty. Nejprve v ak dokeme nsledujc tvrzen:

V ta 1

Nech O je st ed krunice opsan troj helnku ABC a V jeho ortocentrum (pr sek v ek). Pak plat

;! ;! ;!

;!

VA+VB +VC = 2VO: D kaz. Ozname C1 st ed strany AB uvaovanho troj helnku ABC a D vrchol rovnobnku ADBV , viz obr. 1. hlop ky tohoto rovnobnku se p itom protnaj v bod C1 1 . Ozname dle T ti t troj helnku ABC . 1 V p pad, e ABC je pravohl trojhelnk s pravm hlem p i vrcholu A, resp. B, je rovnobnk ADBV degenerovan (p echz v se ku AB). V echny nsledujc

vahy v ak z stvaj v platnosti.

Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011

193

; Obr. 1

;;! ;! ;! ;!

Protoe 2 V C1 = V D = V A + V B , plat podle obr. 1

;! ;;! ;;! 1 ;! ;! V O + OC1 = V C1 = 2 (V A + V B ) : Vzhledem k tomu, e stejnolehlost se st edem v bod T a koecientem ; 12 p evd troj helnk ABC na p kov troj helnk A1 B1 C1 (A1 , B1 a C1 jsou po ad st edy stran BC , CA a AB ) a souasn jeho ortocentrum V na st ed krunice opsan O troj helnku ABC (ortocentrum p kovho ;;! ;! troj helnku A1 B1 C1 ), plat dle OC1 = ; 12 V C . Odtud

;! 1 ;! 1 ;! ;! V O ; 2 V C = 2 (V A + V B ) :

(1)

Uitm principu cyklick zmny dostaneme dal dva vztahy

;! 1 ;! 1 ;! ;! V O ; 2 V A = 2 (V B + V C ) :

;! 1 ;! 1 ;! ;! V O ; 2 V B = 2 (V C + V A) :

194

(2) (3)


Soutem rovnost (1){(3) obdrme po snadn prav

;! ;! ;!

;!

VA+VB +VC = 2VO: Tm je d kaz uzav en.

V ta 2 (Hamiltonova2)

Nech O zna st ed krunice opsan troj helnku ABC a V jeho ortocentrum. Pak plat ;! ;! ;! ;! OA + OB + OC = OV : D kaz.

; Obr. 2

Z obr. 2 je patrn, e plat

;! ;! ;! OA = OV + V A

a analogicky

;! ;! ;! OB = OV + V B ;! ;! ;! OC = OV + V C :

Jejich soutem a vyuitm vty 1 dostaneme

;! ;! ;!

;!

;! ;! ;!

;!

;! ;!

OA + OB + OC = 3 OV + (V A + V B + V C ) = 3 OV ; 2 OV = OV co jsme chtli dokzat. 2

W. R. Hamilton (1805{1865), irsk matematik


195

Poznmka. Z uvedenho postupu vyplv, e Hamiltonova vta je d sledkem vty 1. Lze v ak naopak tak ukzat, e z Hamiltonovy vty plyne tvrzen vty 1. O d kaz obrcen vty se pokuste samostatn. (Ob rovnosti uveden ve vtch 1 a 2 jsou tud ekvivalentn.)

K samostatnmu procvien uveden problematiky uvdme pro zjemce nsledujc dva p klady.

Pklad 1

Nech T zna ti t troj helnku ABC . Dokate, e plat

;! ;! ;! ;!

TA + TB + TC = 0

;!

kde 0 zna nulov vektor.

Pklad 2

Nech M1 M2 : : : M6 jsou po ad st edy stran A1 A2 A2 A3 : : : A6 A1 konvexnho esti helnku A1 A2 A3 A4 A5 A6 . Dokate, e existuje troj henk, jeho strany jsou shodn s sekami M1 M2 , M3 M4 , M5M6 . K dal mu prohlouben znalost lze ten m doporuit nap . publikaci 1], v n je vektor m vnovna cel kapitola. Literatura 1] Prasolov, V. V.: Zada i po planimetrii, as I (rusky). Nauka, Moskva 1986. 2] vrek, J.: Uit vektor p i e en geometrickch loh. In Sbornk MAKOS 2010, JMF, Praha (v tisku). 3] Hork, K. a kol.: 57. ro nk MO na st ednch kolch, JMF, Praha 2010.

196


Znalost problematiky hypotench vr { nezbytn soust nann gramotnosti VLADIMRA PETR KOV Jiho esk univerzita v . Budjovicch, Pedagogick fakulta

vod

V poslednch t ech letech je vnovna zv en pozornost nannmu vzdlvn. Byly vydny nkter dokumenty (nap . 3], 4]), kter se touto otzkou zabvaj. V nvaznosti na tyto dokumenty probhla v letech 2008 a 2009 implementace tzv. standard nann gramotnosti (dle FG) do rmcovch vzdlvacch program (dle RVP), resp. kolnch vzdlvacch program (dle "VP). Zaveden tchto standard do RVP, pop . "VP by mlo p ispt ke zv en nann gramotnosti jak k Z", tak student S". Poznamenejme, e standardy FG pro studenty S" odpovdaj standard m FG dosplho lovka. Obsahov pokrvaj tato tmata: penze, hospoda en domcnost, nann produkty a prva spot ebitele. V lnku 2] jsou uvedeny p klady tkajc se spot ebitelskch vr a spltkovho prodeje (ve standardech FG oblast nannch produkt ), kter by mohly bt e eny v hodinch matematiky na S". #ten zde byl seznmen i s nktermi detaily, kter je t eba p i jejich vyuvn brt v vahu, protoe zdaleka nejsou zanedbateln. V tomto lnku se zamme na dal nann produkt, a to na hypoten vry. Opt upozornme na nkter aspekty, kter je nutno p i vbru produkt zohlednit. Klasick p klady na vpoet v e spltky, doby splatnosti, rokov sazby apod. ponechme stranou, nebo jsou ji p ehledn a npadit zpracovny v 1]. P i e en ne uvedench problm budeme p edpokldat, e ten m zkladn znalosti z oblasti hypotench vr . Pokud tyto znalosti postrd, m e si je doplnit nap . v 5].

Klasick hypoten v r Pklad 1

Mlad manelsk pr s dostaujcmi p jmy se rozhodl postavit si men


197

rodinn domek. Podle p edbn kalkulace bude pot ebovat 3 170 000 K. Vzhledem k tomu, e jako svatebn dar od rodi obdrel hotovost ve v i 1 000 000 K, chyb mu k realizaci jeho pln stka 2 170 000 K. Mlad manel chtj chybjc nann prost edky zskat prost ednictvm hypotenho vru. Banka jim tento vr nabdne s ron rokovou mrou 4,9 %, dobou splatnosti 20 let a msn spltkou 14 201 K. Jak vysok budou nklady na vr? een. Manel potaj s tm, e ve spltkch zaplat celkem 20 12 14 201 K = 3 408 240 K, tzn. jsou srozumni s roky 3 408 240 ; ;2 170 000 = 1 238 240 K. Vzpt se ov em dozv, e banka si tuje za schvlen vru 0,75 % ze zap jen stky (minimln 6 000 K, maximln 25 000 K), za veden tu 150 K msn, za odhad trn budouc ceny domku 5 000 K (odhad nemovitosti je nutn pro poskytnut vru). Dle budou muset vzt v vahu kadoron vdaj 4 500 K za poji tn domku, nebo bez poji tn nemovitosti banka vr neposkytne. Nyn se podvejme, jak budou skuten nklady na vr: roky : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 238 240 K Poplatek za schvlen vru : : : : : : : : : : : : : : 2 170 000 0 007 5 = 16 275 K Poplatek za veden vrovho tu : : : : : : : 20 12 15 = 36 000 K Poji tn nemovitosti : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 20 4 500 = 90 000 K Odhad nemovitosti : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 000 K Celkem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 385 515 K Skuten nklady na vr ve v i 2 170 000 K budou init 1 385 515 K, tedy o 147 275 K (poplatky) vce ne manel p edpokldali.

Klasick hypoten v r versus doba splatnosti Pklad 2

Mladmu manelskmu pru z p kladu 1 se zd msn spltka ve v i 14 201 K p li vysok. Pod banku, zda by nemohla dobu splatnosti vru prodlouit na vce ne 20 let, protoe se tm samoz ejm sn v e msn spltky. Vzhledem k jejich vku (manel m je kolem 30 let) jim banka nabdne tyto varianty: 1. dobu splatnosti 25 let, v i msn spltky 12 560 K, 2. dobu splatnosti 30 let, v i msn spltky 11 517 K, 3. dobu splatnosti 35 let, v i msn spltky 10 814 K. 198


Manel m se samoz ejm lb varianta 3, nebo v e spltky by se snila oproti p vodn spltce 14 201 K p iblin o jednu tvrtinu (o 3 387 K). Jak vysok by byly nklady na vr, pokud by zvolili tuto variantu? Porovnejte s nklady z p kladu 1. Kolik by 'stl( vr p i dob splatnosti 25 let a 30 let? een. Varianta 3 V p pad, e manel zvol variantu 3, spltky je p ijdou na 35 12 10 814 K = 4 541 880 K, tzn. roky in 4 541 880 ; 2 170 000 = = 2 371 880 K. Nklady na vr tedy budou roky : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 371 880 K Poplatek za schvlen vru : : : : : : : : : : : : : : 2 170 000 0 007 5 = 16 275 K Poplatek za veden vrovho tu : : : : : : : 35 12 150 = 63 000 K Poji tn nemovitosti : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 35 4 500 = 157 500 K Odhad nemovitosti : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 000 K Celkem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 613 655 K: Nklady na vr ve v i 2 170 000 K in 2 613 655 K: roky 2 371 880 K a poplatky 241 775 K. Srovnme-li nklady tto varianty s nklady z p kladu 1, vidme, e se msn spltka sice snila o 3 387 K, ale roky vzrostly z 1 238 240 K na 2 371 880, tj. p iblin se zdvojnsobily, p ev ily i vyp jenou stku. Tak poplatky spojen s vrem narostly ze 147 275 K na 241 775 K (o 94 500 K). Varianta 2 V p pad varianty 2 spltky in 30 12 11 517 K = 4 146 120 K, tzn. roky 4 146 120 ; 2 170 000 = 1 976 120 K. Nklady na vr jsou roky : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 976 120 K Poplatek za schvlen vru : : : : : : : : : : : : : : 2 170 000 0 007 5 = 16 275 K Poplatek za veden vrovho tu : : : : : : : 25 12 150 = 54 000 K Poji tn nemovitosti : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 30 4 500 = 135 000 K Odhad nemovitosti : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 000 K Celkem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 186 395 K: Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011

199

vr ve v i 2 170 000 K s dobou splatnosti 30 let bude 'stt( 2 186 395 K: roky 1 976 120 K a poplatky 210 275 K. Varianta 1 Pokud by manel zvolili variantu 1, zaplat ve spltkch 25 12 12 560 K = 3 768 000 K, tzn. za roky 3 768 000 ; 2 170 000 = = 1 598 000 K: Nklady budou roky : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 598 000 K Poplatek za schvlen vru : : : : : : : : : : : : : : 2 170 000 0 007 5 = 16 275 K Poplatek za veden vrovho tu : : : : : : : 25 12 150 = 45 000 K Poji tn nemovitosti : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 25 4 500 = 112 500 K Odhad nemovitosti : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 000 K Celkem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 776 775 K: vr ve v i 2 170 000 K s dobou splatnosti 25 let bude 'stt( 1 776 775 K: roky 1 598 000 K a poplatky 178 775 K. Z v e uvedenho je z ejm, e m je del doba splatnosti, tm je vr dra . Nar staj jednak roky, jednak poplatky s vrem spojen. Sice se p i prodluovn doby splatnosti sniuje v e msn spltky (14 201 K, 12 560 K, 11 517 K, 10 814 K), ale toto snen nen p mo mrn zv en rok a poplatk ( roky: 1 238 240 K, 1 598 000 K, 1 976 120 K, 2 371 880 K) poplatky: 147 275 K, 178 775 K, 210 275 K, 241 775 K). V tabulce 1 je uvedena st umo ovacho plnu ) hypotenho vru s dobou splatnost 35 let a v tabulce 2 st umo ovacho plnu hypotenho vru s dobou splatnost 20 let (ron rokov sazba je v obou p padech 4,9 %). Po nahldnut do tchto tabulek m eme odhalit p inu markantnho nr stu rok p i prodlouen tto doby, a to je pomalej umo ovn dluhu. V p pad doby splatnosti 35 let v prvnm roce splcen jde p iblin 80 % spltky na roky a p iblin 20 % na umo en vru. Teprve v 251. spltce (asi po 21 letech) je mor vt ne rok. P i dvacetiletm splcen je v prvnm roce rozloen moru a roku p znivj , pomr rok a mor je p iblin 60 % k 40 %. Ji v 70. msci (asi po 6 letech) se rozloen spltky zmn ve prospch moru. ) Umo ovac pln slou k tomu, aby klient ml p ehled o tom, jak st spltky (anuity) jde na rok a jak na mor, a jak je z statek dluhu.

200


Tab. 1: Umo ovac pln hypotnho vru s dobou splatnosti 35 let a ron rokovou mrou 4,9 % obdob 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

:::

251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262

:::

anuita

rok

mor

10814 10814 10814 10814 10814 10814 10814 10814 10814 10814 10814 10814

8860,833 8852,858 8844,85 8836,809 8828,736 8820,629 8812,49 8804,317 8796,111 8787,871 8779,597 8771,29

1953,167 1961,142 1969,15 1977,191 1985,264 1993,371 2001,51 2009,683 2017,889 2026,129 2034,403 2042,71

2170000 2168047 2166086 2164117 2162139 2160154 2158161 2156159 2154150 2152132 2150106 2148071 2146028

10814 10814 10814 10814 10814 10814 10814 10814 10814 10814 10814 10814

5404,229 5382,139 5359,959 5337,688 5315,327 5292,874 5270,329 5247,692 5224,963 5202,142 5179,226 5156,218

5409,771 5431,861 5454,041 5476,312 5498,673 5521,126 5543,671 5566,308 5589,037 5611,858 5634,774 5657,782

1318075 1312643 1307189 1301713 1296214 1290693 1285149 1279583 1273994 1268382 1262747 1257089


zstatek

201

Tab. 2: Umo ovac pln hypotnho vru s dobou splatnosti 35 let a ron rokovou mrou 4,9 % obdob 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

::: 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

:::

202

anuita

rok

mor

zstatek

14201 14201 14201 14201 14201 14201 14201 14201 14201 14201 14201 14201

8860,833 8839,028 8817,133 8795,149 8773,075 8750,911 8728,656 8706,311 8683,874 8661,346 8638,726 8616,013

5340,167 5361,972 5383,867 5405,851 5427,925 5450,089 5472,344 5494,689 5517,126 5539,654 5562,274 5584,987

2170000 2164660 2159298 2153914 2148508 2143080 2137630 2132158 2126663 2121146 2115606 2110044 2104459

14201 14201 14201 14201 14201 14201 14201 14201 14201 14201 14201

7126,95 7098,064 7069,06 7039,938 7010,697 6981,337 6951,857 6922,256 6892,534 6862,692 6832,727

7074,05 7102,936 7131,94 7161,062 7190,303 7219,663 7249,143 7278,744 7308,466 7338,308 7368,273

1738301 1731198 1724067 1716905 1709715 1702496 1695246 1687968 1680659 1673321 1665953


Klasick hypoten v r versus americk hypot ka Pklad 3

Mlad manele chtj rekonstruovat byt. P edbn odhad na rekonstrukci je 1 000 000 K. Manel maj uspo eno 300 000 K. Zbvajc stku, tj. 700 000 K, si mus vyp jit. Rozhoduj se mezi hypotenm vrem a americkou hypotkou. Hypoten vr m ron rokovou sazbu 4,95 %, doba splatnosti je stanovena na 20 let s msn spltkou 4 600 K, poplatek za schvlen vru je 0,75 % z vyp jen stky (minimln 6 000 K, maximln 25 000 K), poplatek za veden tu 150 K/msc. Americk hypotka m ron rokovou sazbu 7 %, doba splatnosti je 15 let s msn spltkou 6 292 K, poplatek za schvlen vru je 0,8 % z vyp jen stky (minimln 9 000 K, maximln 30 000 K), poplatek za veden tu 97 K/msc. V obou p padech mus manel zaplatit stku 2 000 K za odhad trn ceny bytu a kadoron 2 200 K za poji tn bytu. Jak produkt je pro n vhodnj ? Poznmka: Americk hypot ka je ne elov vr (penze lze pout na cokoliv), kter je zaji tn nemovitost. rokov sazba bv o nco vy

ne u hypotenho vru, ale zrove+ ni ne u spot ebitelskho vru. een. Klasick hypoten v r V p pad klasickho hypotenho vru spltky in 20 12 4 600 K = = 1 104 000 K, tzn. roky 1 104 000 ; 700 000 = 404 000 K. Nklady na vr jsou roky : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 404 000 K Poplatek za schvlen vru : : : : : : : : : : : : : : 6 000 K (0 007 5 700 000 = = 5 250 K ale minimln sazba je 6 000 K) Poplatek za veden vrovho tu : : : : : : : 20 12 150 = 36 000 K Poji tn nemovitosti : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 20 2 200 = 44 000 K Odhad nemovitosti : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 000 K Celkem ............... 492 000 K. Nklady na hypoten vr ve v i 700 000 K jsou 492 000 K: roky 404 000 K a poplatky 88 000 K. Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011

203

Americk hypot ka Pokud by se manel rozhodli pro americkou hypotku, ve spltkch zaplat 15 12 6 292 K = 1 132 560 K, tzn. roky 1 132 560 ; 700 000 = = 432 560 K. Nklady na americkou hypotku jsou roky : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 432 560 K Poplatek za schvlen vru : : : : : : : : : : : : : : 9 000 K (0 008 700 000 = = 5 600 K ale minimln sazba je 9 000 K) Poplatek za veden vrovho tu : : : : : : : 15 12 97 = 17 460 K Poji tn nemovitosti : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 15 2 200 = 33 000 K Odhad nemovitosti : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 000 K Celkem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 494 020 K: Nklady na americkou hypotku ve v i 700 000 K jsou 494 020 K: roky 432 560 K a poplatky 61 460 K.

Rekonstrukce bytu manele p ijde v obou p padech p iblin stejn, rozdl je pouhch 2 020 K. P i rozhodovn pro ten i onen produkt by je mohly ovlivnit tyto skutenosti: P i volb hypotenho vru manel zaplat o 2 020 K mn, ale podstatnj je skutenost, e v e msn spltky je o 1 692 K men ne u americk hypotky. Ni msn spltka m e hrt p i rozhodovn d leitou roli, nebo nezat tolik rodinn rozpoet. Volba americk hypotky m e bt pro manele lkav z d vodu, e vyp jen prost edky nemus bt vyuity pouze na rekonstrukci bytu. V p pad, e se manel m poda p i rekonstrukci u et it, nap . p i r znch slevovch akcch, mohou zbvajc prost edky pout na cokoliv (nkup spot ebnho zbo, po zen ojetho automobilu, nancovn dovolen : : : ). V e zmnn produkty i sluby lze zskat i prost ednictvm spot ebitelskho vru, pop . leasingu, ale rokov sazby jsou podstatn vy

ne u americk hypotky (rozdl v rokovch sazbch m e init a 12 %).

Pe nancov n hypot ky Pklad 4

P iblin p ed 5 lety si pan Novk vzal hypoten vr u banky AB

204


ve v i 1 800 000 K s ron rokovou sazbou 5,2 %, dobou splatnosti 20 let a msn spltkou 12 079 K. Tato rokov sazba byla xovan na 5 let, nyn se bl konec doby xace a pan Novk m monost zskat u banky XY hypoten vr s ni rokovou sazbou. Banka XY nabz ron rokovou sazbu 4,75 %, msn spltku 11 726 K p i zbytkov dob splatnosti 15 let. Poplatky jsou u obou bank stejn. P i zmn banky se zaplat pouze navc za nov odhad nemovitosti, co v p pad pana Novka je 2 500 K. Kolik K pan Novk vydl p i p enancovn hypotky? een. Vzhledem k tomu, e poplatky spojen s vrem jsou u banky AB i banky XY stejn, nemusme je p i e en zohled+ovat. Pouze vezmeme v vahu cenu odhadu nemovitosti 2 500 K, kterou by pan Novk zaplatil bance XY v p pad, e by k n p evedl vr. Vliv na jeho rozhodnut tedy bude mt hlavn zaplacen v e rok . Zaplacen roky u banky AB Pokud by pan Novk hypoten vr nep evdl, banka AB by od nj ve spltkch zskala stku 20 12 12 709 K = 2 898 960 K, tzn. roky 2 898 960 ; 1 800 000 = 1 098 960 K. Zaplacen roky v ppad peveden hypot ky z banky AB do banky XY P i p evdn hypotenho vru z jedn banky do druh se mus mezi sebou banky vyrovnat. To znamen, e banka XY po 5 letech doplat za pana Novka u banky AB hypoten vr. Banka AB na zklad umo ovacho plnu stanovila z statek dluhu ve v i 1 507 512 K. Tento dluh byl bankou XY zaplacen. Pan Novk m nyn u tto banky dluh 1 507 512 K, kter bude splcet 15 let msnmi spltkami 11 726 K. Pan Novk ve spltkch zaplat Spltky u banky AB za 5 let : : : : : : : : : : : : : 5 12 12 709 = 724 740 K Spltky u banky XY za 15 let : : : : : : : : : : : : 15 12 11 726 = 2 110 680 K

Celkem : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 835 420 K: Ve spltkch je zaplaceno 2 835 420 K, tzn. roky 2 835 420 ; 1 800 000 = = 1 035 420 K. Dal nklad, kter musme brt na z etel, je poplatek 2 500 K za nov odhad nemovitosti. Pan Novk p enancovnm hypotenho vru vydl 1 098 960 ; ;1 035 420 ; 2 500 = 61 040 K: Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011

205

Z v r

#lnek ten e seznmil s nktermi skalmi spojenmi s hypotenm vrem. Mnoho z ns e ilo nebo v budoucnu bude e it otzku bydlen, proto je nezbytn se v tto problematice orientovat. To je tak jednm z d vod za azen nannch produkt , do nich hypoten vry spadaj, do standard FG. Literatura 1] Odvrko, O.: lohy z nan n matematiky pro st edn koly. Prometheus, Praha 2005. 2] Petr kov, V.: Pstovn nan n gramotnosti ve vzdlvn st edo kolk . Matematika, fyzika a informatika, ro nk 19, Prom!theus, Praha 2009, s. 129{141. 3] MF R. Strategie nan nho vzdlvn online]. Praha: Ministerstvo nanc R, c2007 cit. 2010{03{12]. Dostupn! z URL http://www.mfcr.cz. 4] MF R. Syst!m budovn nan n gramotnosti na zkladnch a st ednch kolch online]. Praha: Ministerstvo nanc R, c2007 cit. 2010{03{12]. Dostupn! z URL http://www.mfcr.cz. 5] Petr kov, V. { Ha ek, R.: vod do nanc online]. c2009, posledn revize cit. 2010{03{12].

Pouitie substitci pri rie en goniometrick ch rovnc VLADIMR STREKO Pre ovsk univerzita v Pre ove, SLOVENSKO

Slovo substit cia je latinskho p,vodu. Nahliadnuc do slovnka cudzch slov zistme, e m sedem vznamov v zvislosti od toho, v ktorom odvetv l'udskej innosti sa aplikuje. V matematike substit cia znamen zavedenie inch premennch do matematickch vzahov. Chceme zd,razni, e pouitie substit cie m vies k zjednodu eniu vpotov. Prv pouitie tohto nstroja, resp. pravidla logickej dedukcie patr mezopotmskej matema206


tike, ktor sa venovala rie eniu linernych, kvadratickch a pecilnych kubickch rovnc a ich systmov. Deninm oborom tchto rovnc bol obor prirodzench sel. Jedn sa o obdobie 2. tiscroia pred n. l. a po 6. storoie pred n. l. Vpoty boli realizovan opisne bez matematickej symboliky, no aplikovan boli niektor vzorce a met.dy pouit ako pravidl (napr. met.da doplnenia vrazu na pln tvorec). Prv pouitie vzorcov patr egyptskej matematike (objem zrezanej pyramdy, obsah kruhu, potov vkony so zlomkami) 4]. Na strednch kolch sa iaci stretvaj na hodinch matematiky s mnostvom goniometrickch vzorcov a vzahov medzi goniometrickmi funkciami. Tieto vyuvaj ako s as matematickho apartu na zjednodu ovanie zloitej ch goniometrickch vrazov alebo na rie enie goniometrickch rovnc, i nerovnc 2]. Prezentovan s najm/ rovnice ved ce po adekvtnej substit cii k rie eniu algebraickej rovnice uritho stup+a. vodom chceme akcentova vel'k vznam substit ci v matematickej innosti iakov, priom prvkrt sa s nimi stretvaj u na Z", ke0 v 9. ronku rie ia systmy dvoch rovnc s dvoma neznmymi. Na S" u iaci maj monos uvidie obrovsk monosti zjednodu enia vpotov v matematike prve pouitm vhodnch substit ci. Na V" sa tudenti matematiky alebo frekventanti kurzov matematiky najm/ na V"T oboznamuj s r,znymi substit ciami (napr. v diferencilnom a integrlnom pote). Vy stenie tematickho celku Goniometria na S" vidme v umen rie i goniometrick rovnice resp. nerovnice. V s vislosti so spomenutmi skutonosami m,eme vo v eobecnosti kon tatova, e pri rie en goniometrickch rovnc v/ inou sa nejedn o univerzlnu substit ciu, i nejak rutinn potanie. 1iaci musia asto objavi, ak substit ciu maj poui. V tomto lnku ilustrujeme rie enie siedmich prkladov goniometrickch rovnc. Pri ich vbere sme mali na zreteli ich didaktick aspekt a s asne sme sa snaili pokry irok spektrum uiva matematiky na zvolen tmu. Ciel'om prspevku je ukza na konkrtnych prkladoch monosti pouitia substit cie pri rie en goniometrickch rovnc. Substit cie sa u goniometrickch rovnc objavuj v dvoch formch. T jednoduch ia je substit cia v argumente.

Prklad 1

V obore v etkch relnych sel rie te rovnicu p 2 sin 3x 4+ 2 = 3:


207

Rieenie. Pri rie en tejto rovnice je potrebn najprv zisti argument a potom hodnoty premennej, resp. neznmej x. Pre iakov je vhodn rozdeli 3x+2 si rie enie rovnice na dve etapy. Zavedieme teda substit ciu p p 4 = t. Tm dostaneme zkladn goniometrick rovnicu 2 sin t = 3, t.j. sin t = 23 . Tto rovnica m dve rie enia t1 = 3 + 2k , t2 = 23 + 2k , k 2 Z, priom Z znamen mnoinu v etkch celch sel. A teraz sta rie i dve linerne rovnice s neznmou x, 3x4+2 = 3 + 2k , 3x4+2 = 23 + 2k , k 2 Z a dostvame x1 = 29 (2 ; 3) + 8k3 , x2 = 92 (4 ; 3) + 8k3 , k 2 Z. Substit cia v argumente sa asto pouva aj pri rie en goniometrickch rovnc po aplikcii goniometrickch vzorcov.

Prklad 2

V obore v etkch relnych sel rie te rovnicu p sin 2x ; 3 cos 2x = 2:

Rieenie. Rovnicu upravme predelenm dvoma, m dostvame 12 sin p3 p 2x ; ; 2 cos 2x = 1. Uvaujeme uhol tak, e cos = 21 , sin = 23 , t.j. = 3 . Na u rovnicu je mon vyjadri v tvare sin(2x ; 3 ) = 1. V tomto prklade ide o aplikciu s tovho vzorca sin(;). 2alej postupujeme ako v prklade 1. Zavedieme substit ciu 2x ; 3 = t, m dostaneme zkladn goniometrick rovnicu sin t = 1, ktor m jedin rie enie t = 2 + 2k , k 2 Z. Vrtime sa k neznmej x a dostaneme rie enie danej rovnice x = 512 + k , k 2 Z. Druhm a zaujmavej m prpadom rie enia goniometrickej rovnice je substit cia funkciou. Je to asto inn met.da rie enia niektorch goniometrickch rovnc. Na tomto mieste pripomname, e pri rie en rovnc, ktor nie s 'pripraven vopred(, aby 'dobre vy li( m,eme sa l'ahko zamota do problmov rie enia algebraickch rovnc vy

ieho stup+a.

Prklad 3

V obore v etkch relnych sel rie te rovnicu 1 = 4(cos x + tg x): cos x Rieenie. V prvom rade urme podmienku rie enia rovnice, ie x 6= 2 + k , k 2 Z. Vznikol problm aplikcie vhodnej substit cie. Ten odhalme a po vhodnch pravch na ej rovnice. T to prevedieme na tvar,

208


kde s obsiahnut funkcie snus a kosnus, teda 1 = 4 cos2 x + 4 sin x. A teraz by mohli iaci dosta npad pouitia vzorca sin2 x +cos2 x = 1. Vzorec je zaujmav tm, e druh mocniny snusu a kosnusu je mon vzjomne vyjadrova. Pretoe je v rovnici jedine sin x v 1. mocnine, vyjadrme cos2 x pomocou sin2 x, t.j. 1 = 4(1 ; sin2 x) + 4 sin x, 4 sin2 x ; 4 sin x ; 3 = 0. Po substit cii sin x = z mme kvadratick rovnicu 4z 2 ; 4z ; 3 = 0, ktorej kore+mi s z1 = 32 , z2 = ; 21 . Teraz sa vrtime k p,vodnej premennej (neznmej) x a dostvame dve zkladn goniometrick rovnice sin x = 32 , sin x = ; 21 , z ktorch prv nem rie enie a druh m rie enia x1 = 76 + 2k , x2 = 116 + 2k , k 2 Z. Obidve rie enia s z deninho oboru danej rovnice.

Prklad 4

V obore v etkch relnych sel rie te rovnicu 3 sin2 x + (1 + cos x) cos x ; 2 = 0

Rieenie. Upravme 3 sin2 x +cos x +cos2 x ; 2 = 0. Op/ vyuijeme vlastnos s tu druhch mocnn funkci snus a kosnus, priom teraz vyjadrme sin2 x = 1 ; cos2 x, m dostaneme 2 cos2 x ; cos x ; 1 = 0. Po substit cii cos x = z mme rovnicu z 2 ; z ; 1 = 0 s kore+mi z1 = 1, z2 = ; 12 . Ostva rie i rovnice cos x = 1 a cos x = ; 21 . Dostaneme denitvne rie enie rovnice x1 = 2k , x2 = 23 + 2k , x3 = 34 + 2k , k 2 Z.

Prklad 5

V obore v etkch relnych sel rie te rovnicu sin 2x + tg x = 2:

Rieenie. Podmienka rie enia danej rovnice je x 6= 2 + k , k 2 Z. pravou sin x = 2. Z predostaneme v rovnici snusy a kosnusy, ie 2 sin x cos x + cos x do lch dvoch prkladov vyplva, e substit cie sin x = z , cos x = z nie s vhodn. Sk sime poui substit ciu tg x = z . V na ej rovnici dostaneme sin x cos2 x + tg x = 2, ie 2z cos2 x + z = 2. Vznikol problm nahra2 cos x di cos2 x vyuitm funkcie tangens. V s vislosti s tm sta uvi, e tg2 x + 1 = cos12 x . Z tohto vzahu vyplva cos2 x = 1+tg1 2 x alebo inak cos2 x = 1+1z2 . Tm je problm vyrie en, ie 2z 1+1z2 + z = 2. Po prave Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011

209

tejto rovnice dostaneme kubick rovnicu z 3 ; 2z 2 + 3z ; 2 = 0. Kore+ rovnice njdeme skusmo. Podl'a Vi3etovej vety, ak m tto rovnica racionlny kore+, potom tento kore+ je delitel'om absol tneho lena rovnice. M,eme teda vysk a sla 1, 2. L'ahko zistme, e slo 1 je kore+om rovnice. Rozkladom na s in kore+ovch initel'ov mme (z ; 1)(z 2 ; z + 2) = 0, ie z = 1, z 2 ; z + 2 = 0, priom kvadratick rovnica nem v R rie enie. Vrtime sa k neznmej x, m mme tg x = 1. Rie enm na ej rovnice je x = 4 + k , k 2 Z. Uveden substit cia je efektvna aj pri nerovnici.] Poznmka. Franc zsky matematik Francois Viete (1540{1603) vyrie il slvny problm casus irreducibilis kubickej rovnice, pri ktorom ostal bezradn taliansky matematik Girolamo Cardano (1501{1576). Vi3ete pouil na vyrie enie problmu prve goniometrick substit cie.

loha 1

V obore v etkch relnych sel rie te rovnicu cos x sin 2x = 3 cos3 x ; sin3 x: Nvod: Rovnicu del'te cos3 x a upravte pouij c substit ciu tg x = z , t.j. 2z = 3 ; z 3 , z 3 + 2z ; = 0, z = 1, z 2 + z + 3 = 0.]

loha 2

V obore v etkch relnych sel rie te rovnicu (sin3 x ; cos3 x) cos x = 1 ; 2 cos2 x Oborom pravdivosti je P = fk 4 + k k 2 Zg] Zverom sa zmienime o 'univerzlnej( substit cii tg x2 = z: Tto asto vedie k zloitm algebraickm rovniciam. Nie je to uivo matematiky S". "tudenti sa s nm stretvaj na V" pri tme Integrovanie goniometrickch funkci.

Prklad 6

V obore v etkch relnych sel rie te rovnicu 2 sin x = 5 ; 3 sin x ; 5 cos x : 2 ; cos x 1 + sin x + cos x

Rieenie. Pretoe menovatel' mus by r,zny od 0, plat 1 + sin x + cos x = 6 6= 0, odkial' x 6= (2k + 1) , x 6= 32 + 2k , k 2 Z. T to rovnicu (a mnoho

210


jej podobnch) je efektvne rie i pomocou substit cie tg x2 = z . Z nej je potrebn vyjadri sin x a cos x. To vykonme jednoducho pomocou polovinch argumentov takto: sin x =

2 sin x2 cos x2 cos2 x2 + sin2 x2

cos x =

cos2 x2 ; sin2 x2 cos2 x2 + sin2 x2

V obidvoch vzorcoch vydelme itatel' aj menovatel' na pravej strane rovnosti vrazom cos2 x2 , x 6= (2k + 1) , k 2 Z, m dostvame sin x = 1+2zz2 , 2 cos x = 11+;zz2 . Odvoden vzahy dosadme do na ej rovnice a po prave dostaneme rovnos vrazov 5 + 5z 2 ; 6z ; 5 + 5z 2 : = 2 + 2z 2 ; 1 + z 2 1 + z 2 + 2z + 1 ; z 2 4z

Po vykonan ekvivalentnch prav dostaneme 8z (z + 1) = 2z (5z ; 3)(3z 2 + 1) z oho mme hne0 jedno rie enie z = 0. Po roznsoben v etkch vrazov a anulovanm dostvame kubick rovnicu 15z 3 ; 9z 3 + z ; 7 = 0:

()

Skusmo zistme jej rie enie z = 1. Po vydelen polyn.mu na l'avej strane rovnice () polyn.mom (z ; 1) dostaneme rovnicu 15z 2 +6z +7 = 0, ktor nem 0al ie relne korene. Nvratom k substit cii tak dostaneme tg x2 = 0 alebotg x2 = 1. Oborom pravdivosti na ej rovnice je 2k 2 + 2k k 2 Z Prezentovan substit ciu je vhodn poui pri goniometrickch rovniciach typu a cos x + b sin x = c (a, b, c s dan relne sla). Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011

211

loha 3

V obore v etkch relnych sel rie te rovnicu 1 + sin x ; 3 cos x 5 ; 4 sin x + 3 cos x = 2: Obor pravdivosti P = f 2 + 2k (2k + 1) k 2 Zg ].

loha 4

V obore v etkch relnych sel rie te rovnicu 2 ; cos x = 1: 1 + sin x Obor pravdivosti P = f2k 2 + 2k k 2 Zg]. Poznmka. Napriek univerzlnemu pouitiu uvedenej substit cie tieto dve lohy mono rie i po prave aj 1. pouitm s tovch vzorcov, 2. pouitm vzorcov pre s et hodn,t goniometrickch funkci, 3. umocnenm druhou mocninou, 4. vyuitm 0al ch goniometrickch vzorcov, 5. aplikciou polovinch argumentov pre funkcie sin x a cos x.

Pre zaujmavos uve0me e te jeden druh substit cie.

Prklad 7

V obore v etkch relnych sel rie te rovnicu sin x + cos x = 1 + sin 2x:

Rieenie. Polome sin x + cos x = z . Potom uvedomiac si, e 1 + sin 2x = = sin2 x + cos2 x + 2 sin x cos x, 1 + sin 2x = (sin x + cos x)2 , dostaneme z = z 2, t.j. z 2 ; z = 0, z (z ; 1) = 0, z1 = 0, z2 = 1. Rie enie na ej rovnice dostaneme ako rie enie rovnc sin x + cos x = 0, sin x + cos x = 1, teda x1 = 4 + k , x2 = 2k , x3 = 2 + 2k , k 2 Z.

Prezentovan prklady m,u zauja itatel'ov svojm kreatvnym a invennm nbojom. Ide o snahu formova uvedomel prstup iakov S" k rie eniu matematickch loh. Tm sa redukuje formalizmus v matematickch vedomostiach iakov S". Snaili sme sa ukza nesporn vznam substit cie v matematickch vpotoch. Zakonme cel lnok op/ 212


pohl'adom do hist.rie cituj c vznamnho franc zskeho matematika P. S. Laplacea (1749-1827): '#tajte Eulerove diela. Euler je uitel'om ns v etkch(. Leonard Euler (1707{1783) je naozaj hviezdou matematickho neba. Goniometriu ostrho uhla poznali star Grci, indick, arabsk a nska matematika. No a Euler sa 'vymanil( zo zajatia pravouhlho trojuholnka a dal goniometrii podobu ak poznme dnes. Slvna Eulerova rovnos ukazuje vzah medzi goniometrickmi funkciami a komplexnmi slami. Literat ra 1] Odvrko, O. a kol.: Zbierka loh z matematiky pre 2. ro nk gymnzia. SPN, Bratislava 1985. 2] Polk, J.: P ehled st edo kolsk! matematiky. SPN, Praha 1972. 3] Vy n, J. a kol.: lohy z matematiky pre 4. ro nk gymnzia. SPN, Bratislava 1976. 4] Znm, . a kol.: Pohl'ad do dejn matematiky. Alfa, Bratislava, SNTL, Praha 1986.

Zajmav matematick lohy Uvdme e en loh 169 a 170, jejich zadn byla zve ejnna v devtm sle lo+skho (19.) ronku na eho asopisu.

loha 169

Najdte v echna cel sla n, pro kter je hodnota vrazu 2n ; 91 t et mocninou nkterho celho sla. Pavel Calbek een: Ozname x cel slo, pro kter je 2n ; 91 jeho t et mocninou. Plat tedy x3 = 2n ; 91: (1) Nutnou podmnkou existence x je, aby slo n bylo cel nezporn, to p edpokldme ve zbytku e en. Prvoseln rozklad sla 91 je 91 = 7 13. Nejprve vy et me zbytky p i dlen slem 7 obou stran rovnice (1). Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011

213

Pro libovoln cel slo x plat (x +7)3 ; x3 = 7(3x2 +21x +49). Odtud vidme, e zbytky t etch mocnin celch sel p i dlen sedmi se opakuj s periodou sedm. T et mocniny celch sel p i dlen 7 maj zbytky 0 (pro sla x dliteln 7), 1 (pro sla x se zbytky 1, 2 a 4 p i dlen 7) a 6 (pro sla x se zbytky 3, 5 a 6 p i dlen sedmi). Dle plat 23 = 8 1 (mod 7), proto se zbytky sel tvaru 2n p i dlen 7 opakuj s periodou 3. Cel nezporn mocniny sla 2 maj p i dlen 7 zbytky 1 (kdy n je dliteln t emi), 2 (pro n se zbytkem 1 p i dlen 3) a 4 (pro n se zbytkem 2 p i dlen t emi). Tyto zbytky tak maj i sla 2n ; 91. Vidt to m eme ostatn i z nsledujc tabulky:

x : : : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 : : : x mod 7 : : : 0 1 1 6 1 6 6 0 1 1 6 1 : : : n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 : : : (2n ; 91) mod 7 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 ::: 3

Vrame se k rovnici (1). #slo 2n ; 91 m e mt p i dlen sedmi jeden ze zbytk 1, 2, 4, a slo x3 m e mt p i dlen sedmi jeden ze zbytk 0, 1, 6. Jedin mon spolen zbytek je proto 1. Odtud ji plyne, e slo n mus bt dliteln 3 a x m p i dlen sedmi jeden ze zbytk 1, 2 a 4. Je tedy n = 3m pro vhodn cel nezporn slo m. Rovnici (1) upravme do tvaru (2m ; x)(22m + 2m x + x2 ) = 91: (2) Vzhledem k tomu, e slo m je cel nezporn a slo x cel, jsou oba initel lev strany vrazu (2) cel sla. Navc 22m + 2mx + x2 = = (2m + 12 x)2 + 34 x2 0, proto jsou oba initel sla kladn. Pro pln e en lohy rozebereme v echny monosti rozkladu sla 91 na souin dvou kladnch celch sel, tyto monosti jsou dan nsledujc tabulkou:

A = 2m ; x 1 7 13 91 B = 22m + 2m x + x2 91 13 7 1 Z rovnosti A = 2m ; x plyne 2m = A + x, proto B = 22m + 2mx + x2 = (A + x)2 + (A + x)x + x2 = 3x2 + 3Ax + A2 214


neboli

0 = 3x2 + 3Ax + A2 ; B: Tuto rovnici budeme e it jako kvadratickou rovnici vzhledem k neznm x pro ty i dan dvojice sel A a B . Pro (A B ) = (1 91) je x 2 f;6 5g, pro (A B ) = (7 13) je x 2 f;3 ;2g, pro (A B ) = (13 7) a (A B ) = (91 1) tato rovnice nem reln ko eny. #slo A + x (= 2m ) je ov em mocninou sla 2 pouze pro A = 7 a x = ;3. Proto m = 2, tedy n = 6. Zv r. Hodnota vrazu 2n ; 91 je t et mocninou celho sla pouze pro n = 6 a plat 26 ; 91 = (;3)3 . Sprvn e en zaslali Karol Gajdo z Trnavy, Anton Hnth z Moravan, Ondej Barto z G v 10ru n. S., Neumannova, Michael Bl z GJV v Klatovech, Nr. muednk , Ji Biolek z GPB ve Frdku-Mstku, Ondej Bouchala z G v Hav ov, Komenskho, Martin Buchek z G v Plzni, Opavsk, Eva Gocnkov z GJ" v P erov, Komenskho, Alena Harlenderov z SGO v Olomouci, t . Ji ho z Podbrad, Josef Hazi z G v Chebu, Nerudova, Filip Hlsek z G v Plzni, Mikul sk nm., Anna Chejnovsk z GChD v Praze 5, Zborovsk, Miroslav Koblek z G v 1amberku, Ndran, Barbora Mlov a Jakub Solovsk , oba z GMK v Blovci, Pavel eveek z G v Brn, t . Kpt. Jaro e t pn imsa z GJJ v Litom icch, Svojskova, Martin Tpfer z G v Praze 7, Nad "tolou a Luk Zavel z G v Praze 9, Chodovick, Ne pln e en zaslali Frantiek Jchim z Volyn, Vladimr Pavel z Blovic, Ji Steckbauer z Kvtn, Hynek Jemelk, z G v Brn, t . Kpt. Jaro e a Tom Kubelka z G v 1amberku, Ndran.

loha 170

Na krunici k jsou dny dva r zn body X a Y tak, e p mka XY neprochz st edem krunice k. seka XY je pr mrem krunice l. Na vt m oblouku XY krunice k le bod P a na krunici l bod Q tak, e ty helnk PXQY je konvexn a p itom PX k QY . Dokate, e velikost hlu PY Q nezvis na poloze bodu P (za podmnky existence bodu Q). Robert Geretschlger (Graz) een: P mky PX a QY jsou rovnobn, hly XPY a PY Q jsou p ilehl, tedy plat j <) XPY j + j <) PY Qj = 180. Podle vty o obvodovm hlu Matematika - fyzika - informatika 20 2010/2011

215

velikost hlu XPY nezvis na poloze bodu P na del m oblouku XY krunice k. Proto velikost hlu PY Q nezvis na poloze bodu P (za podmnky existence bodu Q).

; Obr. 1

Sprvn e en zaslali Karol Gajdo z Trnavy, Anton Hnth z Moravan, Frantiek Jchim z Volyn, Vladimr Pavel z Blovic, Ji Steckbauer z Kvtn, Ondej Barto z G v 10ru n. S., Neumannova, Michael Bl

z GJV v Klatovech, Nr. muednk , Ji Biolek z GPB ve Frdku-Mstku, Ondej Bouchala z G v Hav ov, Komenskho, Martin Buchek z G v Plzni, Opavsk, Eva Gocnkov z GJ" v P erov, Komenskho, Alena Harlenderov z SGO v Olomouci, t . Ji ho z Podbrad, Josef Hazi z G v Chebu, Nerudova, Filip Hlsek z G v Plzni, Mikul sk nm., Anna Chejnovsk z GChD v Praze 5, Zborovsk, Hynek Jemelk a Pavel eveek, oba z G v Brn, t . Kpt. Jaro e Miroslav Koblek a Tom Kubelka, oba z G v 1amberku, Ndran, Kateina Medkov z BGBB v Hradci Krlov, Orl. nb ., Barbora Mlov a Jakub Solovsk , oba z GMK v Blovci, t pn imsa z GJJ v Litom icch, Svojskova, Martin Tpfer z G v Praze 7, Nad "tolou a Luk Zavel z G v Praze 9, Chodovick. Pavel Calbek

216


No title

Recommend Documents