Deel27 - No. 6 - t962
297
Toepassbg van diversity in detçctiesystemen
Foco, /A ro1/
door T. Reith *)
Summary The article contains a critical examination of diversity reception in detection systems disturbed by fading and noise. It is shown that diversity reception inproves the dctection quality only for mcss"ges with a high signat to noise ratio.
I
Inleiding
Omstreeks l92Z verscheen een publikatie van A. de Haasr) over de verbeúering van door fading gestoorde kortegolfontvangsÉ door toepassing van diversity. 'Sindsdien hebben vele publikaties over diÉ onderwerp het lichÉ gezien. Een opsomming van deze liÉeraúuur is te vínden in een artikel van D. G, Brennan'), It deze literatuur ging het voornamelijk sing van diversity-ontvangsú in door fading gestoorde detectiesysÉemen winst in detectiekwaliteit geeft
2. Het algemene detect¡esysteem In Êg,1 is
een schets getekçnd van heÉ algemene detectiesy2IEIIDZ'JOE ONTVANGZ'JÍIÊ
Fis. l.
flet ')
Physisch Laboratorium
algemene detectiesysteem.
R.V.O.
-
T.N.O.
T.
298
Reith
Itþem. Aan dc zendzqðe kunnen twee Éoestanden bestaan.
a)
er wordÉ geen boodschap uitgezonden, b) S, : er wordú een aan de ontvangzijde volledig boodschap s gedurende Z sec. uitgezonden. So:
bekeode
Aan de ontvangzíjde wordt een signaal r ontvangen, dat samengesteld kan ziin uiú een door fading gestoorãle boodschap
s7 en additieve ruis of uit ruis alleen. Op grond van het sigr^rì r ¡noet de detector uitmaken in rvelke zendtoestand de zendiide zich bevindt. Omdat de ruis een sÉatistisch karakter beziÉ geeft het signaal .r geen volledige zekerheid omtrenú de ¡cndtoestand. Met het signaal r wordt het gehele signaal.'bedocld dat gedurende een observatietijd van T sec wordt onÉvangen. Aangenomen rvordt dat gedurende deze observaúiefijd de ¡endtoestand níet verandert. Het besÉe rvat de detector kan doen is, na ontvangst van een bepaald signaal z, uitrelccnen hoe groot de kans is dat dit signaal inderdaad de boodschap s (zendtoesÉand S,) bevaf. Indien deze a-posÉeriori-kans boven een van te voren ingestelde drempel ligt besluit-de detector tof zendtoesfand S, (ontvangtoestand f,) en indien deze kans beneden de drempel ligÉ besluit de detecÉor tot zendtoestand so (ontvangtoestand f"). Mcn kan aantonen (theorema van Bayes) dat deze a-posteriorikans een monotoon stiigende fu'rc(ie M, is van de kansverhouding (likelihood ratio) van t.
(À =pkJt') (l) f @ls") (2) / (S,lz\ : tut,{t¡r¡) Hierin is: ¡ (S,/z) = de kans dat de zendÉoestand S, is als een signaal z wordÉ onÉvangen. t
? @lS,\ = de kans op ontvangsf van een signaal
r
in
zendtoesÉand S,.
| @lS"): dc kans op ontvangst van
een signaal z in
zendtoestand 5.;
I (")
: de likelihood rafio van
.r.
p (rlS") kunnen worden berekend omdat de statistische eigenschappen van de ruis en de fading bekend z$n. De optimale detector bevat dus een rekenmachine ðie I(x)
De kansen 2 @lS,)
eg
Toepassing van diversity in
detectiesystemen
299
uitrekent en een drempel waarmede /(r) vergeleken wordf. Een uitvoeriger beschouwing over de constructie van de optimale detector verscheen in d:É tijdschrift van de hand van C. van SchoonevelC¡i.
3.
Fading.
HeÉ effect van eenvoudige fading oP een boodschap met kleine bandbreedte kan worden weergegeven door een complere factor voor de bogdschap s. (3) s/(t) = c(t)erp j 7Ql.s(t)
Hierln is: c (/) : een fluctuerende grootheid, die de amplitudevariatie als functie van de tiid I beschrijft. : q (t) een fluctuerende grootheid, die de fasevariafie ' als functie van de tiid / beschriift' Onderscheid moet worclen gemaakt fussen de invloed van snelle fading (interferentie verschiinsel) en de invloed van langzame fading (veranderingen in femperatuur, vochfigheid etc.) op de boodschap. Voor een uiÉvoeriger beschouwing over fading moet verwezen worden naar de desbetreffende literatuur. De tijdsduur Z van de boodschap is zo kort gekozen dat'de fadingparameters ¿ en g gedurende de lengte I van de boodschap nieÉ veranderen tengevolge van snelle fading. De periode Z, waarvoor heÉ gedrag van de detector wordt berekend, lvordt zo kort gekozen daÉ de l¡ansverdeling PG\ van de fadingparameter r en de kansverdelin1 P@> van de fadingparameter g gedurende deze periode niet verandert tengevolge'van langzame .fading. Uiteraard zal deze periode Z, vele malen groter dan de boodschapsduur Z moeten zijn. f)e kansverdeling r' (c) blükt in veel gevallen door een Ray' leighverdeling weergegeven te kunnen worden' 2c p(c): -; erl r:C
ct
(4)
=
Hierin is c' de over de periode it, gemiddelde waarde vanc-, Als kansverdeling van g' wordt een uniforme verdeling tussen o eî 2n gebruikt.
4.
De constrr¡stie van de optimale éénkanalige detector
In
deze paragraaf
wordt de constructie van de optimale de'
T.
J00
Reith
teðtor berekend waaraÀn in zendtoestand S, via één kanaal één bekende boodschap s gest'oord door fäding en ruis wordt toegevoerd.
De energie E, van finieerd
deze boodschap
s wordÉ als volgÉ gede-
:
T
D,=lsUrsù(t)dt
(5)
De over de periode 1, gemiddelde energie D.¡ van de door fading gesúoordc boodschap y is dus:
EJ:
toE,
(6)
In $ 2 bleek daÉ de optimale detector een rekenmachine bevat die dc kansverhouding van z berekent. Voor het geval dat de storende ruis Gaussisch is en een constanfe vermogensdichtheid .À/" heeft (rvitte ruis) voor alle in de boodschap voorkomenele frequenties kan de kansverhouding /(.r) r'oor de éénkanalige dctector tamelijk eenvoudig berekend worden 1)5). t
(") : -J: c4 --!!:r+a zN"(r+a)
Q)
Hierin is ø de signaalruisverhouding (Srun¡ van de door fading gesÉoorde boodschap s7:
n: E{2No
(B)
Het bliikt dat I (r) een monotoon stijgende funcÉie is van de omhullende ø vàn de uitgang / van een aangepast (matched) 6lter dat gevoed rvordt met het signaal t.De detector kan dus volstaan met ø uiÉ te rekenen en vervolgens te vergelijken met een drem-
pel. De consÉructie van de optimale detector is in figuur
2
schetsmatig aangegeven.
Fis.2.
Dc optimale éénkanalige detector, 5.
De detectiekwaliteit van de optimale éénkanalige detector
Het blijkt nogeliik de kansverdeling van de omhullende ¿ te
Toepassing van diversity in
detectiesystemen
301
berekenen a)6)o). De kansverdeling van s blijkt' in tocstald (het signaal z bestaat alleen uit ruis):
/.(s)
= --t: r"? '
Ato
!- zNo
(Rayleigh'verdeling)
'Sì'
(9)
zendtoestand S, (het signaal bestaat uit boodschap en ruis) blijkt de kansverdeling rian ø:
In
ã '-: (Rayleigh-verdeling) tt- (z\:---- " - =, crþ - -rr' 2No(t+a) N"Ç+a)
(10)
combinaties van de toesta¡rden S en f ' zijn er twee van belang: ('\l',6,) en (S"' å')' Van deze combinaties Indien de combinatie (S,, f,) optreedt spreekt men van detectie en indien.de combinatie (.t,f,) optreeclt spreekt men van loos alarm. De kans op detecÉie p is' dus de kans dat in zendtoestand S, de omhuller¡de z boven een bepaalde tlrempel /' komt'
Er zijn 4 mogeliike
p :ip,@'¡ rtz
(ll)
T
Evenzo
blijkt voor
de loos-alarmkans: I
a --
ll"þ) I
dt
(t2)
Uitwerking van beide integralen en eliminatic van i levert op: I
B:A
-| +a']:
(1
3)
Dezelfde berekening als in $ 4 en $ 5 kan worden opgezet voor het geval dat de fadingparanteter I consfant is en de faseö)' Hetresulverschuiving g uniform verdeeld is tussen o en 2n taat .ran deze berekening is samen met formule 13 in figuur5 in beeld gebracht. '1"n"i.d1 de geringe invloed van de loos-alarmkans û op de ligging van de krommen te demonsfreren zijn t'¡'ee ver uiteþnliglende waarden van a als parameter gekozen' Uit de berekurrl.rg"r, blijkt dat alleen de signaalenergie bepalend is voor de detectiekwaliteit. De signaalvorm doet niet terzake, mits men steeds van een aangepast filter gebruik blii[t maken' Figuur 5 laaÉ zien dat het optreden van fading voor lage a een gunstige invloecl heeft op de detectiekrvalitcit' Deze figuul
302
T.
Reith
doet daarom vermoeden dat voor lage zr fadingbesúrijding ongunstig is. I)iÉ resul-
taat is enigszins
be-
griipeliik als men bedenkt dat een dichÉ bii r liggende deÉecÉiekans door ecn verhoging van de bood-
schapenergie bijna
nieú groter
wordÉ
maar door een verlagingvande boodschap-
energie ç'el achteruit gaat. Het omgekeerde
ccldt voor kleine
de-
tcctiekansen
6. Het meerkanalige detectiesysteem
*SllR Fig.
3.
De detectiekans ¡ls functie van dc
ã in dB
SNR. vangst maakt men ge-
./l\-t'--i--l \7
;tl
I
ll
Pi
I
j
Bii de toepassing van dir ersiÉ.1'-ont-
5t
bruik van
heÉ
feit dat
na de
ru tonen dat dit bijvoorbeeld geldt voor boodschappen die met verschillende draaggolffreq uenties
worden ontvangen (hequentic-diversity) of voor een boodschap die door
op enige afstand van clkaar geplaatste antennes wofdt ontvangen (ruimte-diversiþ). De kwaiiÉeiÉsverbeteri ng
Fis.4,
Het algcrnene N-kanalige
detectiesysteem.
door diversiúy-ontvan gst
Toepassing van diversity
in detectiesystemen
303
is gelegen in het feit dat het zeer onwaarschiinlijk is
daÉ alle energie geringe een tegeliikerÉiid boodschappen ontvangen aldus hebben.
HeÉ algemene 2ly''kanalige detectiesysteçm is een uitwerking van het elgemene detectiesystêem van figuur l' HeÉ systeem is geschetst in.Êguur 4.
boodschap energie zonder meer reeds verbetering van de detectiekrùaliÉeit g""it. Elk" boodschap wordÉ door fading en addi-
tieve ruis gestoord. De volgende onderstellingen worden omtrent het detecÉiesysÉeem gemaakt. &. De ruis is Gaqssisch en wit met vermogensdichtheid À/" bii alle in de boodschap voorkomende frequenties en- de ruis is in ieder kanaal onafhankeliik van de ruis in de andere ka nalen.
b. De fading in ieder kanaal is onafhankeliik van de fading in de andere kanalen. c. De fadingparamgÉer ¿ heefÉ in het 7' kanaal een Rayleigh' verdeling: 2
2ci
!!-
tG¡)==erlcj
(11)
2
c¡
De fase verschuiving 9¡ heeft een uniforme verdeling tussen o eî 2n. d. Ieder kanaat krijgt een geliike boodschapenergie' De bood' schapenergie E,¡
in het 7' kanaal
",,
--î"s¡ (t') iQ,
is:
(15)
ù -Pfi
De over de periode 1, gemiddelde energie van de door fading gestoorde boodschapscomponent s, is: E,¡
:7î
",,:
,î*
(16)
De gemiddelde S/ì/R in het 7' kanaal is nu
-EntE¡a
-'
d'---
2No N zN"
(
N
l7)
301
T.
Reith
Ilierin is ¿ de gcmiddelde SÀ? van de gehele boodschap .r. e. De tijdsduur van de boodschapcomponenten is zo klein dat
f.
de fadingparameters cj en pj niet veranderen gedurende de boodschapduu..r. De periode Z, waarvoor het geclrag van het detectiesysÉeem moet worden berckend is zo kort dat de lcansverdelingen p (c¡) et p (g) gedurende deze periode niet veranderen, De boodschapcomponenÉen komen gelijktiidig dc deÉector binnen.
7. De .construcfie van de optimale diversity-detector De optimale detector rekent de kansverhotrding van het samengestelde signaal Íi, Ío,...,.r¡, uit. FIet is gemaltkelijk uit de veronderstellingen a tlm.f uit $6 af te leiden dat de volgende relatie juist moet zijn.
r(t)=49!-:)l þ
:'ir2:2é) : ùtç,¡ (rif S")
(.rlS")
i=, lt
(r8)
1__t
s o M M
A T
o R
l''i!.1,.
f)e optimalc diversity-deteclor.
Hierirr is: r¡ : het signaal in heÉ j' hanaal. I (r¡l : de kansverhouding vã.rL ic¡ in het 7'kanaal. Uit formule 7 bliikt dan (indien ¿ door af N, z door .r¡ en z door z, wordt vervangen).
. t(,):lr+ñl'* l;J.L.* L)\' "il
(re)
Toepassing van diversity
in detectiesystemen
305
Hierin is a¡ de omhullende van de output van een aangepast Êlter daÉ met het signaal z¡ gevoed wordt, Uit deze relatie blijkt dat I (fl een monotoon stijgende functie is van de som van de gekrvadrateerde omhullenden z¡. De detectorconstructie is nu bepaald. Deze is in 6guur 5 geschetst. De combiiratie van de kanalen vindt dus na gelijkrichting plaats. HeÉ is zonder meer in. te zien dat dif noodzakelijk is omdat de faseverschuivingen van de boodschapcomponenten J,, J,, . . , J,1, onbekend zijn,
8. De detecÉiekwaliteit van de optimale diversity.detector MLn kan uit de kansverdelingen p,(ø) en y',(ø) (formule 9 en 10) de kansverdelingen /,(¿¡) en f"(r¡) vinden indien..n ã door ãf N. en z door E¡ veÊvangt Het bliiven Rayleighverdelingen. De kansverdeling van de som van À/ onafhankelijke gekwadraÉeerde Rayleighvariabelen met variantie r is een chi-square verdeling met z.lì/ vrijheidsgraden en gemiddelde N7).
Na invoering va.î ?.u = ¿ 4 volgt dan:
/,
(ur)
: 2
N"(r + alN) f W) etp
Lz
¡/. (r + alN)
- z N"(r + alN)
f" (zal *{ _ l-Y=l'' = 2N"f(N)l.zN"l
(20)
erþ
u - zNo
(21)
Hieruit volgen de detectiekans p en dé loosalarmkans a, NùI
þ
j_
:
I t,(u.,)du, '' = J/ rw) {-'erp (- t, dt J' I' t,
(22>
r+dlN
qñ o
:
'-"
l' p" þa) tlzt
.t I',
=[ rw) zav-' J ='*
c.r¡)
(-
zo) d w
I'
Hierin is: æ
l-
(/Ð
: I tN-' exp (- t, dt
(gamma functie)
r : inÉegratie variabele
()sl
306
T.
Reith
De uiÉdrukkingen van n en p bevatten incomplefc gamma-
l9(:9r
rit
funcúies die getabelleerd zijns).
I
iit
De formules 22 en '23 zi)n ia
I
beeld gebracht in figuur 6 voor
r.l-
,V: r, 2, 4, t6 en r28 en : Io-8. De hoge waarden
I
7ci-
o
5cl-
van
"I
À7
zijn alleen bere.kend om
aan fe tonen dat het steeds maar toevoegen van nieuwe
I
icri
kanalen leidt tot achteruitgang van de deÉecfiekwalifeit..
rL I
LL,
r0
I
r-
20. Fis.
30
t0
6.
De detectiekans als functie *an SNR voor a: lo-8.
9. Conclusies Pas voor hoge ã bliikt foe_ de passing van diversity-ont*ru.rrgst winsÉ
lieeiÉ
in detectiekwa-
te geven. In de litera-
tuur is deze conclusie niet expliciet te vinden. DiÉ vloeit voort daÉ in de daar beschourvde svsÉemen de boodschapenergie per kanaal constanú wordt gehouden, terwijl in de voor_ afgaande beschouwing de boodschapenergie van alle kanalen samen constant wordt gehouden. Indien nl. de boodschapcnergie per kanaal constant wordÉ gehouden zal toevoeging van een erÉra kanaal altijd winst in de detectiekwariteit moeten brengen. Dit blikt uiÉ gguur 6 indien de kromme n ro log À/ naar links rvorden geschoven. In dit geyal stelt ã de gemiddelde S'À? per
uit het feit
kanaal voor. : 'd
FÈ oã -E
I I /
I I
+SNR
vande boo-'sclup S1
Fis.7.
Het optimaal aantal kanalen als functie 'an de SNR.
Het is eenvoudig in te zien daÉ toevoeging van steeds meer kanaten bij constante a (gemiddelde Szl/.R van de gehele boodschap Ð op den duur tot achteruiÉgang van de detectiekwaliteiÉ moet leiden. Immers zal bij toenemend aantal kanalen de boodschap s steeds meer verbrokkeld wo.rden en gaan lijkcn op een ruis-achtig signaal. Toenemende onzekerheid omtrenf de boodschap heefÉ een afnemende detectiekwaliúeit Éot gevolg. f)e vraag met hoeveel lranalen hef
in
1-ocpassing van dir crsit¡'
307
detccticsystenren
rl,'tcctics.'r'stccrn rnoct rvorclen tritqcrust is pas tc beant.r c¡c,rdcn als ,¿ Lrclicnd is. Iìet o¡rtirniral aantal k¿rnalen j\ot,, is niet analltisch als functie v¿rn rr en ¿¿ te bcrekcncn. Als vo,rrtrccld is ,\ ,,¡, als functie van z¿ v()or (l - lo -i grafisch bepar,lrl. I Iet re sultaat is sclrcts¡n¿rtig in figuur Z rveergegcven voor' .\' .- r tot e tr met -\' - lJ. In hef" ¡rllc¡nectr zal de toep:rssing van tliversif-r in de{cctieslstcrrren t] ie nret een hogc ¿¡ rverkcn zirrvol zijn' In vccl gevallcn zal d.'zc ,, zo hoog zij n d:rt o\rcr\\'egirlgcn van economie (ìoen besluitcn tot ccn qcrinler aantal ltarrale¡r dan het optimale aantal'
Literatuur À
ct
1927
D (ì r
c l-l a a s. ltortcl¡olf tn fcbrLrar-i l92E fJ r c n ir ;r
<>ntvantlst zonder
fading
Radic¡-Nieuç'-s. deccrnber
n, Lir-.c¡r d!\ crs¡tv cornbining t(chtrl(lucs Proe I R Fì., juni
95S
Statistischc dett'ctic. Ii¡dschrrfr van hct Nederì¿rrd: Iì¿rdio.ìcnootscltzrp Í),'cl 26. 1961, blz I P i\l \\¡ u 0 cì rr-¡ r:i. Prrilrabilìtv ìud inlol.nr¿rtro¡r rlleorv rvith application-s
C. r¿,n Schooncvclcl.
J
to r.ìilar I),'1,¡itru,:xt Prcss, lc)60. C \\/ tì e ls t r t¡ rn, statislieal thcory of signal cìctectio,': I
6
P.'t'g;tnrcttr Press.
C6ù.
Stuclics of targ¡ct dctcction by pulsed orlr¿ttion thcory. Àpril 1960 [:ìcrncnts .rI protoabilit)' the()r] atrd sorne of its applications,
J l. If a¡e urn en P. Sscrlin<¡,
radar I [ì lrI
I
C r a nl i'
Wilcv and
Trans¿rr:l'i)r]s
r
on
irtf
S,rrs
E S Pt'ars,rn en II O [Jarrlcy, Vol ì. Canrbridgc Llniver sitl' Prcss
Biornetrika bables for statisticians,
