y.a c.i d BAB 5
ANALISIS STRUKTUR PORTAL BIDANG
5.1. Kekakuan Portal Bidang (Plane Frame)
un
Struktur plane frame merupakan suatu sistem struktur yang
merupakan gabungan dari sejumlah elemen (batang) di mana pada setiap titik simpulnya dianggap berperilaku sebagai jepit dan setiap elemennya
do do @
hanya dapat menerima gaya berupa gaya aksial, gaya geser dan momen lentur.
sw i
Y
a
X
Gambar 5.1. Struktur Plane Frame
Sumbu X-Y adalah sistem koordinat global struktur, yang nantinya
ail :
diacu semua elemen. Sedangkan sumbu Z tegak lurus terhadap bidang gambar (mengarah pembaca) mengikuti kaidah tangan kanan, sehingga terbentuk sistem koordinat yang mengikuti right-handed rule. Sumbu x-y
em
merupakan sistem koordinat lokal elemen, yang hanya berlaku untuk satu
elemen tertentu saja, yang orientasinya disesuaikan dengan arah elemen yang bersangkutan.
50
y.a c.i d
Setiap elemen plane frame selalu memiliki dua nodal (titik simpul)
ujung. Ujung awal elemen diberi notasi nodal i sedangkan ujung lainnya diberi notasi j. Pusat sumbu lokal elemen adalah nodal i , dan arah sumbu x lokal positif selalu dibuat dari nodal i ke nodal j dari elemen tersebut.
Sumbu y lokal dibuat tegak lurus sumbu x, sedangkan sumbu lokal arah z dibuat searah dengan sumbu Z global dan tegak lurus terhadap bidang
un
struktur (bidang X-Y).
Orientasi elemen secara global dapat dikenali berdasarkan sudut α, yang dibuat oleh sumbu x lokal dari elemen yang ditinjau dengan sumbu
do do @
X global dari struktur. Sudut α diberi tanda positif berdasarkan kaidah tangan kanan (right-handed rule), yaitu diukur dari sumbu X global berputar menuju sumbu x lokal dengan poros sumbu Z positif, sehingga pada gambar 5.1 sudut α akan bernilai positif jika perputaran berlawanan dengan arah putaran jarum jam.
Hubungan antara aksi dan deformasi pada elemen plane frame secara umum dapat diformulasikan dengan orientasi sumbu lokalnya
sw i
sebagai berikut :
Konvensi Arah Tanda Positif
ail :
vi, gi
ui, fi
vj, gj uj, fj
θi, mi
θj, mj
em
Translasi Arah Aksial (satu satuan) fi = − f j =
AE L
fi = − f j = −
AE L
51
mi = m j =
y.a c.i d
Transalasi Melintang (satu satuan)
6 EI
12 EI L3
un
gi = − g j =
L2
do do @
mi = m j = −
6 EI L2
gi = − g j = −
12 EI L3
Rotasi Akibat Lentur (satu satuan)
mi =
2 EI ; L
mi =
4 EI ; L
gi = − g j =
4 EI L
6 EI L2
mj =
2 EI L
6 EI L2
ail :
sw i
gi = − g j =
mj =
Gambar 5.2. Hubungan Aksi-Deformasi pada Elemen Plane Frame
Persamaan hubungan antara aksi dan deformasi elemen portal bidang
em
dalam sistem koordinat lokal yang diperoleh berdasarkan prinsip superposisi dapat diuraikan sebagai berikut : AE AE fi = .u1 + 0.vi + 0.θ i + − .u j + 0.v j + 0.θ j L L
52
y.a c.i d
12 EI 6 EI 12 EI 6 EI gi = 0.u1 + .v + .θ + 0.u j + − .v + .θ 3 i 2 i 3 j 2 j L L L L 6 EI 6 EI 4 EI 2 EI mi = 0.u1 + .v + .θ i + 0.u j + − 2 .v j + .θ j 2 i L L L L AE AE f j = − .u1 + 0.vi + 0.θ i + .u j + 0.v j + 0.θ j L L
un
12 EI 6 EI 12 EI 6 EI g j = 0.u1 + − .v + − .θ + 0.u j + .v + − .θ j 3 i 2 i 3 j L L L L2 6 EI 6 EI 4 EI 2 EI m j = 0.u1 + .vi + .θ i + 0.u j + − .v j + .θ j L L L2 L2
do do @
di mana :
(5.1)
x
: sumbu batang
x, y
: sistem koordinat lokal (elemen)
ui
: displacement aksial pada titik nodal i
vi
: displacement arah tegak lurus sumbu batang pada nodal i
θi
: rotasi pada titik nodal i
fi
: gaya aksial pada titik nodal i yang sesuai dengan ui
gi
: gaya tegak lurus sumbu batang pada titik nodal i yang
mi
sw i
sesuai dengan vi
: momen lentur pada titik nodal i yang selaras dengan θi
Persamaan hubungan aksi-deformasi yang ditunjukkan Persamaan (5.1)
em
ail :
dapat dinyatakan dalam bentuk matrix :
53
0
12 EI
6 EI
L3 6 EI L2
L2 4 EI L
0
0
−
12 EI L 6 EI
0
−
0
−
12 EI L3 6 EI L2 0
12 EI
0
2
L 2 EI L
L2
0
AE L
6 EI
−
3
AE L
−
0
−
L3 6 EI
y.a c.i d
0
6 EI ui L2 2 EI vi L θ i u 0 j v j 6 EI − θ j L2 4 EI L 0
(5.2)
un
AE L fi 0 g i mi 0 f = AE j − g j L m j 0 0
L2
0
0
12 EI
6 EI
3
L 6 EI L2
12 EI 3
L 6 EI L2
0
12 EI
0
−
L 4 EI L
0
−
0
AE L
2
0
−
AE L
−
−
6 EI 2
L 2 EI L
0
0
L3 6 EI L2
0
12 EI
−
L3 6 EI L2
6 EI L2 2 EI L 0 6 EI − L2 4 EI L 0
(5.3)
sw i
AE L 0 0 [ki ] = AE − L 0 0
do do @
sehingga diperoleh matrix kekakuan elemen lokal sebagai berikut :
5.2. Transformasi Sumbu
Dalam analisis struktur yang dilakukan pada kebanyakan kasus,
ail :
perlu dilakukan penyesuaian antara matrix kekakuan elemen struktur lokal (yang mengacu sumbu lokal secara individual) ke dalam matrix kekakuan elemen struktur global (mengacu pada sistem struktur global
em
yang dianut semua elemen struktur. Penyesuaian tersebut dapat dilakukan dengan memandang titik
nodal awal i dan nodal akhir j dalam bidang X-Y (global) dari elemen
mengalami perpindahan ke nodal i’ dan j’ dalam bidang x-y (lokal),
sebagaimana diilustrasikan pada Gambar 5.3.
54
x
y
y
x
Y
a
y.a c.i d
Y
X
X
un
O
do do @
Gambar 5.3. Transformasi Sumbu Kartesian
Berdasarkan Gambar 5.3 ditunjukkan perputaran sumbu Kartesian dari sumbu global X-Y menuju sumbu lokal x-y dengan kemiringan sudut α, sehingga dapat diperoleh Persamaan Transformasi Sumbu yang
menunjukkan perubahan posisi suatu titik nodal dalam bentuk berikut : x = X. cos α + Y .sin α
(5.4.a.) (5.4.b.)
θ z =θZ
(5.4.c.)
sw i
y = − X . sin α + Y . cosα
Persamaan di atas jika diubah dalam bentuk matrix, dapat dinyatakan sebagai berikut : sin α cosα 0
0 X 0 Y 1 θ Z
(5.5)
ail :
x cos α y = − sin α θ 0 z
Analog dengan cara di atas, transformasi koordinat untuk suatu
elemen struktur yang dibatasi oleh dua buah titk nodal (i dan j) dapat
em
ditunjukkan dengan persamaan berikut : xi = X i .Cosα + Yi .Sinα yi = − X i .Sinα + Yi .Cosα
θ zi = θ Zi
55
y j = − X j .Sinα + Y j .Cosα
y.a c.i d
xj = X j .Cosα + Y j .Sinα
(5.6.)
θ zj = θ Zj
Atau dalam bentuk matrix dapat ditulis sebagai berikut : 0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
0 cosα
0 sin α
0 0
0 − sin α 0 0
cosα 0
0 X i 0 Yi 0 θ Zi 0 X j 0 Y j 1 θ Zj
un
sin α cos α
do do @
xi cosα y i − sin α θ zi 0 x = j 0 yj 0 θ Zj 0
(5.7)
sehingga diperoleh Matrix Transformasi [Ti], untuk elemen portal adalah : cos α − sin α 0 [Ti ] = 0 0 0
sin α
0
0
0
cos α 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 cosα 0 − sin α
0
0
sin α cosα
0
0
0 0 0 0 0 1
(5.8)
sw i
selanjutnya Matrix Kekakuan Elemen Global dapat disusun dengan persamaan berikut :
[Ki ]
= [Ti ]T [ki ][Ti ]
em
ail :
di mana;
[Ki ]
(5.9)
: matrix kekakuan elemen dalam sistem koordinat global.
[Ti ]
: matrix transformasi elemen
[ki ]
: matrix kekakuan elemen dalam sistem koordinat lokal.
atau;
56
y.a c.i d
X
2 12 I 2 AC + 2 S L
12 I A − CS L2 12 I 2 AS 2 + C L2
6I S L 6I C L
−
4I
12 I 2 12 I 6I − AC 2 + S − A − − S CS 2 2 L L L 12 I 12 I 2 6 I − A − − AS 2 + C C CS 2 L L L2 6I 6I − C S 2I L L 12 I 2 12 I 6I AC 2 + S A − CS S L L2 L2 12 I 2 6I − C AS 2 + C 2 L L 4 I
un
L
di mana;
do do @
[Ki ] = E
(5.10)
s : sin α
c : cos α
5.3. Contoh Penerapan
Contoh 5.1 : Suatu struktur portal bidang dengan perletakan jepit pada nodal 1 dan 4 seperti ditunjukkan pada Gambar 5.4,
sw i
menerima beban horisontal positif sebesar 10.000 lb di nodal 2 dan momen positif sebesar 5000 lb.in di nodal 3. Tentukan besarnya displacement ke arah X dan Y serta besarnya gaya dalam pada masing-masing elemen, jika diketahui nilai
ail :
Elastisitas semua elemen (E) = 3x107 psi, luas penampang semua elemen (A) = 10 in2 dan inersia tampang (I) = 200 in4
em
untuk elemen 1 dan 3 serta I = 100 in4 untuk elemen 2.
57
y.a c.i d
10 ft
5000 lb-in 2
3
2
10.000 lb 1
10 ft
3
Y 1
4
un
X
Penyelesaian :
do do @
Gambar 5.4. Struktur Plane Frame
Dengan memanfaatkan Persamaan (5.10) dapat
diperoleh matrix
kekakuan elemen global sebagai berikut : Elemen 1
Elemen 1 diasumsikan mengarah dari nodal 1 ke nodal 2, dengan sudut transformasi α antara sumbu global X dan sumbu lokal x sebesar 90o sehingga :
dan
sin α = 1
sw i
cos α = 0 sedangkan : 12 I 2
L
=
12(200)
(10 x12) 2
= 0,167
ail :
6 I 6(200) = = 10,0 L (10 x12)
E 30 x106 = = 250.000 L (10 x12)
em
maka dengan menggunakan Persamaan (5.10) diperoleh :
58
y.a c.i d (5.11)
un
D1 y θ1 D2 x D2 y θ 2 D1x 0,167 0 − 10 − 0,167 0 − 10 0 10 0 0 − 10 0 [K1 ] = 250.000 − 10 0 800 10 0 400 − 0,167 0 10 0,167 0 10 − 10 0 0 10 0 0 − 10 0 400 10 0 800
Elemen 2 diasumsikan mengarah dari nodal 2 ke nodal 3, dengan sudut
sehingga : cos α = 1 sedangkan : 12 I 2
L
=
12(100) (10 x12) 2
do do @
transformasi α antara sumbu global X dan sumbu lokal x sebesar 0o
dan
sin α = 0
= 0,0835
6 I 6(100) = = 5,0 L (10 x12)
sw i
E 30 x106 = = 250.000 L (10 x12)
maka dengan menggunakan Persamaan (5.10) diperoleh :
(5.12)
em
ail :
D2 y θ 2 D3 x D3 y θ3 D2 x 10 0 0 − 10 0 0 0 0,0835 5 0 0,0835 5 [K 2 ] = 250.000 0 5 400 0 −5 200 − 10 0 0 10 0 0 0,0835 − 5 0 0,0835 − 5 0 0 5 200 0 −5 400
59
y.a c.i d
Elemen 3 diasumsikan mengarah dari nodal 3 ke nodal 4, dengan sudut
transformasi α antara sumbu global X dan sumbu lokal x sebesar 270o sehingga : cos α = 0
dan
sin α = -1
sedangkan :
12 I L2
=
12(200) (10 x12) 2
= 0,167
do do @
6 I 6(200) = = 10,0 L (10 x12)
un
sedangkan :
E 30 x106 = = 250.000 L (10 x12)
maka dengan menggunakan Persamaan (5.10) diperoleh :
(5.13)
sw i
D3 y θ 3 D4 x D4 y θ 4 D3 x 0,167 0 10 − 0,167 0 10 0 10 0 0 − 10 0 [K3 ] = 250.000 10 0 800 − 10 0 400 − 0,167 0 − 10 0,167 0 − 10 − 10 0 0 10 0 0 10 0 400 − 10 0 800
Selanjutnya dengan melakukan superposisi Persamaan (5.11), (5.12) dan
ail :
(5.13) dan dengan menerapkan kondisi batas (boundary conditions) D1x = 0, D1y = 0, θ1 = 0, D4x = 0, D4y = 0 dan θ4 = 0 maka dapat diperoleh sistem
em
persamaan kekakuan struktur yang telah direduksi sebagai berikut :
60
y.a c.i d
0 10 0 0 D2 x − 10 10.000 10,167 0 0 10,084 5 0 0,834 5 D2 y 10 5 1200 0 200 θ 2 −5 0 = 250.000 0 0 10,167 0 10 D3 x − 10 0 0 0 0,084 − 5 0 10,084 − 5 D3 y 5000 5 200 10 1200 θ 3 −5 0
(5.14)
sehingga diperoleh :
do do @
D2 x 0,211in D 2 y 0,00148in θ 2 − 0,00153rad = D3 x 0,209in D3 y − 0,00148in θ 3 − 0,00149rad
un
Persamaan (5.14) di atas dapat diselesaikan dengan matode inversi matrix,
(5.15)
Untuk menghitung gaya dalam masing-masing elemen dapat digunakan Persamaan berikut :
atau;
sw i
{ fi } = [Ti ]{Fi } { fi } = [Ti ][K i ]{Di }
(5.16)
sehingga gaya dalam pada elemen 1 diperoleh sebesar :
{ f1} = [T1][K1 ]{D1}
1 0
em
ail :
f1x 0 f 1 y − 1 m1 0 = f2 x 0 f2 y 0 m2 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0
D1 y θ1 D2 x D2 y θ 2 D1x 0 0 0 0,167 0 − 10 − 0,167 0 − 10 0 0 0 0 0 10 0 0 − 10 0 0 0 0 0 0 800 10 0 400 250.000 − 10 0 1 0 0,211 − 0,167 0 10 0,167 0 10 0,00148 − 1 0 0 0 − 10 0 0 10 0 − 0,00153 0 0 1 − 10 0 400 10 0 800 0
(5.17)
61
y.a c.i d
sehingga diperoleh : f1x − 3700lb f 4990lb 1y m1 376.000lb − in = f 2 x 3700lb f 2 y − 4990lb m2 223.000lb − in
un
(5.18)
do do @
3770 lb
223.000 lb-in
4990 lb
2
1
y
z
sw i
4990 lb
376.000 lb-in
x
3770 lb
Analog dengan cara di atas maka dapat diperoleh :
ail :
Gaya Dalam Elemen 2 :
(5.19)
em
5010lb f2 x f − 3700lb 2y m2 − 223.000lb − in = − 5010lb f3 x f3 y 3700lb m3 − 221.000lb − in
62
y.a c.i d
Gaya Dalam Elemen 3 : f3 x 3700lb f 5010lb 3y m3 226.000lb − in = f 4 x − 3700lb f 4 y − 5010lb m4 375.000lb − in
Contoh 5.2 : Sebuah
elemen
batang
un
(5.20)
nomor
2
digunakan
untuk
memperkaku elemen balok kantilever bernomor 1 seperti pada
Gambar
5.5.
do do @
ditunjukkan
Hitung
besarnya
perpindahan nodal 1 dan gaya dalam masing-masing elemen, jika diketahui nilai Elastisitas semua elemen (E) = 210 GPa, luas penampang semua elemen 2 (A2) = 1 x 10-3 m2, luas tampang elemen balok 1 (A1) = 2 x 10-3 m2 dengan inersia tampang (I) = 5 x 10-5 m4. Sudut antara elemen 1 dan 2 sebesar 45o, dengan beban sebesar 500 kN searah gravitasi
ail :
sw i
di titik nodal 1.
em
500 kN
1
3 2 Y 45o
2
X
1
3m Gambar 5.5 Balok Kantilever dengan Pengaku
63
y.a c.i d
Penyelesaian :
Mengingat nodal nomor 2 dan 3 merupakan tumpuan jepit dan sendi,
maka hanya dibutuhkan matrix kekakuan di nodal 1 untuk dapat menghitung perpindahan yang terjadi pada sistem struktur tersebut.
Elemen 2 merupakan batang pengaku, sehingga hanya dapat menerima gaya aksial sebagaimana perilaku elemen plane truss, sehingga matrix
)(210 x106 ) 0,5 0,5 0,5 0,5 o cos 45
atau;
do do @
−3
[K 2 ] = (1x103
un
kekakuan elemen global dapat dihitung menurut Persamaan (3.16), maka ;
D1 y D1x [K 2 ] = 70 x10 0,354 0,354 0,354 0,354 3
(5.21)
sedangkan matrix kekakuan elemen global untuk balok (dengan memperhitungkan pengaruh aksial) digunakan Persamaan (5.10) sehingga
sw i
diperoleh :
D1 y
θ1
0 0 0,067 0,10 0,10 0,20
(5.22)
ail :
D1x 2 [K1 ] = 70 x103 0 0
di mana (E/L) x 10-3 merupakan skalar pada Persamaan (5.22) Selanjutnya dapat dibentuk matrix kekakuan struktur global yang telah
em
direduksi :
0 2,354 0,354 [K s ] = 70 x10 0,354 0,421 0,10 0 0,10 0,20 3
(5.23)
64
y.a c.i d
sehingga dapat dibentuk sistem persamaan kekakuan struktur tereduksi sebagai berikut : 0 D1x 0 2,354 0,354 3 − 500 = 70 x10 0,354 0,421 0,10 D1 y 0 0 0,10 0,20 θ1
(5.24)
un
Penyelesaian Persamaan (5.24) menghasilkan : D1x 0,00338m D1 y = − 0,0225m θ 0,0113rad 1
(5.25)
do do @
Persamaan umum yang dapat digunakan untuk menghitung gaya dalam setiap elemen adalah fi = ki.di. Untuk elemen batang (truss) gaya dalam elemen dapat dihitung dengan :
f1x AE 1 − 1 C = L − 1 1 0 f3 x
S 0 0 C
D1x 0 D1 y S D3 x D3 y
(5.26)
Triple product ketiga matrix di atas menghasilkan : AE Cosα .D1x + Sinα .D1 y L
(
)
sw i
f1x =
(5.27)
untuk kasus ini; f1x =
(1x10 −3 m 2 )(210 x106 kN / m 2 ) 2 2 (0,00338) + (−0,0225) 2 4,24m 2
ail :
maka diperoleh : f1x = −670 kN
em
di mana tanda negatif menunjukkan arah yang berlawanan dengan
sumbu x.
Analog dengan cara di atas maka dapat diperoleh : f 3 x = 670 kN
65
y.a c.i d
Mengingat sumbu lokal dan global pada elemen balok memiliki arah yang sama (α = 0), maka pada elemen balok akan diperoleh f = F dan d = D, maka : 0
12 EI
6 EI
AE L
0 12 EI
0
−
L2
L 4 EI L
0
−
0
0
AE L
3
2
L 6 EI
−
−
12 EI 3
L 6 EI L2
−
6 EI 2
L 2 EI L
0
L3 6 EI L2 0
12 EI L3 6 EI
6 EI D1x L2 2 EI D1 y L θ1 0 D2 x D 6 EI 2 y − θ 2 L2 4 EI L 0
un
0
do do @
AE L f1x 0 f 1y 0 m1 = AE f 2 x − f2 y L m2 0 0
0
−
L2
(5.28)
sehingga untuk nodal 1 :
atau;
0 12 EI L3 6 EI L2
0 D1x 6 EI D 2 1y L 4 EI θ1 L
(5.29)
sw i
AE f1x L f1 y = 0 m 1 0
0 0 0,00338 f1x 2 3 f1 y = 70 x10 0 0,067 0,10 − 0,0225 m 0 0,10 0,20 0,0113 1
ail :
f1x 473kN f1 y = − 26,5kN m 0,0kN .m 1
(5.30)
em
Analog cara di atas untuk nodal 2 : 0 0 0,00338 f2 x − 2 3 f 2 y = 70 x10 0 − 0,067 − 0,10 − 0,0225 m 0 0,10 0,10 0,0113 2
66
y.a c.i d
f1x − 473kN f1 y = 25,5kN m − 78,3kN .m 1
(5.31)
3
un
670 kN
do do @
1 670 kN
26,5 kN
1 473 kN
78,3 kN.m
y
473 kN z x
26,5 kN
em
ail :
sw i
0,0 kN.m
2
67
