No title

Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího (aby ètenáø vidìl, jakým zpùsobem je titul zpracován a mohl se také podle tohoto, jako jednoho z parametrù, rozhodnout, zda titul koupí èi ne). Z toho vyplývá, že není dovoleno tuto ukázku jakýmkoliv zpùsobem dále šíøit, veøejnì èi neveøejnì napø. umisováním na datová média, na jiné internetové stránky (ani prostøednictvím odkazù) apod. redakce nakladatelství BEN – technická literatura

[email protected]

Napìtí naprázdno 8 S = ,  5 =

8    5 =   =  9 5 + 5 + 5 

Proud nakrátko

,N =

8   = =  P$ 5 + 5  

Výpoèet RT podle vztahu uvedeného na obr. 5.1.3:

(5 + 5 )  5

57 =

5 + 5 + 5

=

   =  W 

Výpoèet RT ze vztahu (5.1.1): 8S

57 =

,N

=

 =  W    - 

V zapojení podle Thévenina bude UT = 12 V, RT = 100 W. V zapojení podle Nortona bude IN = 120 mA, GN = 1/RT = 10 mS.

5.2

ANALÝZA OBVODÙ METODOU KIRCHHOFFOVÝCH ROVNIC

Kirchhoffovy zákony vycházejí z principu zachování energie a zachování náboje aplikovaného na elektrické obvody. 1) Zákon zachování náboje – I. Kirchhoffùv zákon (I. KZ) Algebraický souèet všech proudù Ik tekoucích do jednoho bodu (uzlu) je roven nule. Q

Ç,

P

=

P =

(5.2.1)

2) Zákon zachování energie – II. Kirchhoffùv zákon (II. KZ) Algebraický souèet napìtí v uzavøené smyèce je roven nule. Q

Ç8 N =

N

=

(5.2.2)

Gustav Robert Kirchhoff (¬1824 †1887)

126

J. DOLEÈEK: ZÁKLADY ELEKTRONIKY – 1. DÍL

A

Jestliže chceme sestavit soustavu lineárnì nezávislých rovnic na základì Kirchhoffových zákonù, staèí, aby: n každá z nich obsahovala jeden proud, který není obsažen v žádné jiné rovnici; n žádná z lineárnì nezávislých rovnic neobsahovala napìtí, které je obsaženo v jiné rovnici. Urèení nezávislých rovnic provedeme na základì topologického schématu zapojení. Pøi sestavování rovnic vycházíme ze schématu zapojení.

5.2.1

Použité názvosloví

Topologické schéma Pøi vytváøení topologického schématu vycházíme ze schématu zapojení analyzovaného obvodu (pøíklad schématu zapojení je na obr. 5.2.1). Pøi sestavování topologického schématu používáme tyto názvy: n Uzel je bod, ve kterém jsou spojeny dva nebo více obvodových prvkù, na obr. 5.2.1 jsou uzly oznaèeny èíslicemi. n Vìtev je èást obvodu mezi dvìma uzly, do které jsou zapojeny obvodové prvky. n Smyèka je posloupnost koneèného poètu vìtví, které na sebe v uzlech navazují a vytváøejí uzavøenou dráhu. V každém uzlu, který leží ve smyèce se smìjí stýkat pouze dvì vìtve, které jsou souèástí smyèky. Pøípadné další vìtve vycházející z uzlu již musí být souèástí jiných smyèek. n Vztažný (referenèní uzel) je jeden z uzlù, který jsme zvolili a se kterým každý další uzel tvoøí uzlovou dvojici. Ke vztažnému uzlu vztahujeme napø. napìtí z ostatních uzlù. Zvolíme-li na obr. 5.2.1 jako vztažný uzel 4, potom k nìmu vztahujeme napìtí z uzlu 1, z uzlu 2 atd. Vztažnému uzlu èasto øíkáme referenèní uzel. n Úplný strom obsahuje vìtve, které spojují všechny uzly, ale nevytváøejí pøitom ani jednu smyèku. Sestrojení stromu je zpravidla jednoduché. Pøíklad je uveden na obr. 5.2.3. Úplný strom vytváøí spojnice mezi uzly 1 a 2, 2 a 3, 2 a 4, 1 a 5. 5  , 

5

8 

5 

5 , 

5 

 5

5 

Obr. 5.2.1 Pøíklad analyzovaného obvodu

A

VP\þND





 Y WHY





X]HO

Obr. 5.2.2 Topologické schéma k obr. 5.2.1

J. DOLEÈEK: ZÁKLADY ELEKTRONIKY – 1. DÍL

127

Je možné vybrat i jiné vìtve ke konstrukci úplného stromu, napø. vìtev spojující uzly 5 a 4 místo vìtve spojující uzly 1 a 5. n Nezávislé vìtve jsou vìtve, kterými doplníme úplný strom na topologické schéma. Všechny nezávislé vìtve tvoøí doplnìk stromu. n Nezávislá smyèka je tvoøena vìtvemi stromu a nezávislou vìtví. Pojmy uzel a vìtev stromu jsou využívány, jak bude ukázáno dále, k výpoètu potøebného poètu nezávislých rovnic pro øešení obvodù metodou Kirchhoffových zákonù. Je nutné si všimnout, že pokud mezi dvìma spojovacími body není žádný obvodový prvek, jedná se o jeden uzel, nikoliv o dva uzly, napø. uzly 2 a 4 na obr. 5.2.1. n Orientaèní šipka – orientaèní šipky zakreslujeme do schématu na poèátku analýzy, kdy ještì pøesnì neznáme polarity napìtí a smìry proudù v obvodu. Zvolených orientací se musíme po celou dobu výpoètu držet, nesmíme ji mìnit. Teprve potom, když øešením rovnic dostaneme èíselné hodnoty vèetnì znamének, urèíme skuteèné smìry šipek. Kreslíme-li napìovou šipku napø. z uzlu 1 do uzlu 2, pøedpokládáme tím, že v uzlu 1 je vùèi uzlu 2 kladné napìtí U12. Jeho velikost potom urèíme jako rozdíl napìtí U1 a U2 : U12 = U1 – U2, nikoliv naopak.

5.2.2

Výpoèet metodou Kirchhoffových rovnic

Kirchhoffovy zákony jsou obsaženy ve vztazích (5.2.1) a (5.2.2). Urèení poètu Kirchhoffových rovnic Oznaème:

poèet uzlù ve schématu u; poèet vìtví v. Poèet nezávislých rovnic p pro proudy ve vìtvích urèíme pomocí vztahu:

S = X -

(I. Kirchhoffùv zákon, I. KZ)

(5.2.3)

Poèet nezávislých smyèek s bude: V =Y -S

(II. Kirchhoffùv zákon II. KZ)

(5.2.4)

,  5 

8  Obr. 5.2.3 Zapojení obvodu pro pøíklad výpoètu

128

5 , ,

, 

5 , , , 

5



5



J. DOLEÈEK: ZÁKLADY ELEKTRONIKY – 1. DÍL

A

Postup výpoètu si vysvìtlíme na pøíkladu Uvažujme zapojení obvodu podle obr. 5.2.4. Jsou známy parametry napájecích zdrojù i parametry všech dvojpólù zapojených do obvodu. Jako vztažný uzel uvažujme uzel 4. Poèet uzlù: u = 4, Poèet všech vìtví v = 6. Poèet nezávislých rovnic pro I. KZ: p = u – 1 = 4 – 1 = 3. Poèet nezávislých rovnic pro II. KZ:









Obr. 5.2.4 Topologické schéma pro pøíklad výpoètu

s = v – p = 6 – 3 = 3. V dalším textu budeme oznaèovat proudy tekoucí ven z uzlu s kladným znaménkem. Rovnice pro I. Kirchhoffùv zákon (I. KZ) podle uvedeného schématu: uzel 1:

–I6 + I1 + I5 + I02 = 0

uzel 2:

–I1 + I2 + I3 = 0

uzel 3:

–I4 – I2 + I6 = 0

Rovnice pro II. Kirchhoffùv zákon (II. KZ): smyèka {1,2,3}

–U01 + I1 . R1 + I2 . R2 = 0

smyèka {3,2,4}

–I2 . R2 + I3 . R3 + I4 . R4 = 0

smyèka {1,4,2}

I5 . R5 – I3 . R3 – I1 . R1 = 0

Tím jsme dostali soustavu 6 nezávislých rovnic s šesti neznámými velièinami I1 až I6. Jednotlivé proudy a napìtí dostaneme jejich øešením.

Pøíklad: Vypoèítejte, jak velký proud prochází v zapojení podle obr. 5.2.5 jednotlivými odpory. Urèete napìtí na rezistoru R3. 5 Hodnoty odporù a napìtí napájecích zdrojù jsou , následující: R1 = 5 W, R2 = 2 W, R3 = 4 W; U01 = 4,5 V, U02 = 2 V. Poèet uzlù: poèet vìtví: Poèet rovnic pro I. KZ: poèet rovnic pro II. KZ:

A

u = 2; v = 3. p = u – 1 = 1 s = v – p = 2.



,  5 ,

5

8 

 8 

Obr. 5.2.5 Zapojení obvodu k pøíkladu

J. DOLEÈEK: ZÁKLADY ELEKTRONIKY – 1. DÍL

129

Uzel 2 zvolme jako referenèní. Rovnice pro I. KZ v uzlu 1: –I2 + I3 + I2 = 0 Rovnice pro II. KZ horní smyèka R1 . I – U02 – R3 . I3 = 0 po dosazení: 5 . I1 – 2 – 4 . I3 = 0 dolní smyèka R2 . I2 + R3 . I3 – U01 = 0. 2 . I2 + 4 . I3 – 4,5 = 0. Postupným øešením dostaneme: D  ±,,±,  ,±,±  ,,± 

 J   H     , -  , = = ,±,±    ±,,±    -  = = $   I   K  E  ,  , ,, $ , ,±,  , -   , = =  $  ,        F   ,±,±, ±  ,±, ,±  1DS WtQDRGSRUX5EXGH   G  85 ,5  9 ,±,± Ã ,,± Ã 

Z pøíkladu je zøejmé, že výpoèet pomocí Kirchhoffových rovnic je pomìrnì složitý. Zjednodušení dosáhneme, použijeme-li zjednodušené metody øešení, mezi které patøí metoda smyèkových proudù a metoda uzlových napìtí.

5.2.3

Metoda smyèkových proudù

Metoda smyèkových proudù vychází z metody Kirchhoffových rovnic. Spoèívá v tom, že: n v obvodu zvolíme s = v – p nezávislých smyèek proudu a n poèítáme podle II. Kirchhoffova zákonu. Proto jsou pøi této metodì používány zdroje napìtí. Je-li v zapojení zdroj proudu, je vhodné jej pøepoèítat døíve uvedeným zpùsobem na ekvivalentní zdroj napìtí. Metodu si vysvìtlíme na pøíkladu Metoda spoèívá v tom, že vytvoøíme nezávislé smyèky, jejichž poèet urèíme ze vztahu (5.2.4). V nich zvolíme smyèkové proudy, které v každé smyèce oznaèíme libovolnì. Musíme sestavit tolik rovnic, kolik je smyèek. V pøíkladu na obr. 5.2.6 jsou dva uzly a tøi vìtve. Poèet nezávislých rovnic pro II. KZ bude: s = v – p = s – (u – 1) = 3 – 1 = 2.

130

J. DOLEÈEK: ZÁKLADY ELEKTRONIKY – 1. DÍL

A

5

V uvedeném obvodu mùžeme sestrojit dvì nezávislé smyèky. Zøejmì bychom mohli sestrojit ještì tøetí smyèku, ale ta by nebyla nezávislá.

,

Postup sestavení rovnic: První smyèka – napìtí ve smyèce se musejí rovnat nule. Rovnici sestavíme tak, že jdeme ve smìru šipky a sèítáme napìtí od proudù na jednotlivých rezistorech: Rovnice pro první smyèku:

5



,

8   8 

5

I1 . R1 + R3 . I1 + R3 . I2 = –U02

Obr. 5.2.6 Pøíklad obvodu se smyèkovými proudy

Po úpravì: I1 . (R1 + R3) + R3 . I2 = –U02.

Rovnici pro druhou smyèku napíšeme pøímo v koneèné podobì: I1 . R3 + I2 (R2 + R3) = –U01. Uvedené rovnice mùžeme velmi snadno zapsat v maticovém tvaru:





8 ±8

 









55 5 5 55







, ,

Použití výpoèetní techniky umožòuje efektivní øešení úloh pomocí maticového poètu. Sestavení odporové matice pro metodu smyèkových proudù (viz matici nad tímto øádkem) I. Odporová matice a) Nakreslíme matici, která má tolik sloupcù i øádkù, kolik je nezávislých smyèek; 









Q



5 5 5



5 5 5 

5 5 5 



  

5Q 5Q 5Q 

Q

5Q

5Q

5Q



5QQ

 



b) 1. smyèka, vyplòujeme buòky v prvním øádku matice n

n

A

prvek matice R11: prvek, který zapisujeme do 1. sloupce 1. øádku, zapíšeme jako souèet všech odporù ve smyèce 1; prvek matice R12: zjistíme odpory spoleèné pro smyèky 1 a 2, v závislosti na tom, zda šipky proudù I1 a I2 jsou souhlasné èi nikoliv, zapíšeme rezistory spoleèné obìma smyèkám se znaménkem + nebo – do buòky 1. øádku a 2. sloupce. J. DOLEÈEK: ZÁKLADY ELEKTRONIKY – 1. DÍL

131

n

n

prvek matice R13: zjistíme odpory spoleèné pro smyèky 1 a 3, v závislosti na tom, zda šipky proudù I1 a I3 jsou souhlasné èi nikoliv, zapíšeme rezistory spoleèné obìma smyèkám se znaménkem + nebo – do buòky 1. øádku a 3. sloupce. prvek matice R1n: zjistíme odpory spoleèné pro smyèky 1 a n, v závislosti na tom, zda šipky proudù I1 a In jsou souhlasné èi nikoliv, zapíšeme rezistory spoleèné obìma smyèkám se znaménkem + nebo – do buòky 1. øádku a n. sloupce.

c) 2. smyèka, vyplòujeme buòky ve druhém øádku matice: n

n

n

n

d) n

n

n

n

n

132

prvek matice R22: prvek, který zapisujeme do 2. øádku 2. sloupce, zapíšeme souèet všech odporù ve smyèce 2; prvek matice R21: zjistíme odpory spoleèné pro smyèky 1 a 2, v závislosti na tom, zda šipky proudù I1 a I2 jsou souhlasné èi nikoliv, zapíšeme rezistory spoleèné obìma smyèkám se znaménkem + nebo – do buòky 2. øádku a 1. sloupce. prvek matice R23: zjistíme odpory spoleèné pro smyèky 2 a 3, v závislosti na tom, zda šipky proudù I2 a I3 jsou souhlasné èi nikoliv, zapíšeme rezistory spoleèné obìma smyèkám se znaménkem + nebo – do buòky 2. øádku a 1. sloupce. prvek matice R2n: zjistíme odpory spoleèné pro smyèky 2 a n, v závislosti na tom, zda šipky proudù I2 a In jsou souhlasné èi nikoliv, zapíšeme rezistory spoleèné obìma smyèkám se znaménkem + nebo – do buòky 2. øádku a n. sloupce. n-tá smyèka, vyplòujeme buòky v n-tém øádku matice: prvek matice Rnn: prvek, který zapisujeme do n-tého øádku n-tého sloupce, zapíšeme souèet všech odporù ve smyèce n; prvek matice Rn1: zjistíme odpory spoleèné pro smyèky 1 a n, v závislosti na tom, zda šipky proudù I1 a In jsou souhlasné èi nikoliv, zapíšeme rezistory spoleèné obìma smyèkám se znaménkem + nebo – do buòky n. øádku a 1. sloupce. prvek matice Rn2: zjistíme odpory spoleèné pro smyèky n a 2, v závislosti na tom, zda šipky proudù In a I2 jsou souhlasné èi nikoliv, zapíšeme rezistory spoleèné obìma smyèkám se znaménkem + nebo – do buòky n. øádku a n sloupce. prvek matice Rnm: zjistíme odpory spoleèné pro smyèky n a m, v závislosti na tom, zda šipky proudù In a Im jsou souhlasné èi nikoliv, zapíšeme rezistory spoleèné obìma smyèkám se znaménkem + nebo – do buòky n øádku a m-tého sloupce. prvek matice Rn;n–1: zjistíme odpory spoleèné pro smyèky n a n-1, v závislosti na tom, zda šipky proudù In a In–1 jsou souhlasné èi nikoliv, zapíšeme rezistory spoleèné obìma smyèkám se znaménkem + nebo – do buòky n øádku a (n-1) sloupce. J. DOLEÈEK: ZÁKLADY ELEKTRONIKY – 1. DÍL

A

II. Sloupcová matice zdrojù napìtí Sloupcová matice má stejný poèet øádkù jako odporová matice. Poèet øádkù odpovídá poètu nezávislých smyèek proudù. Do jednotlivých políèek sloupcové matice zapíšeme všechna napìtí zdrojù U0x pùsobících v odpovídající smyèce. Jestliže má napìová šipka smìr opaèný než šipka proudová, bude pøíslušné napìtí se znaménkem +, v opaèném pøípadu bude mít znaménko –. III. Sloupcová matice proudù Sloupcová matice má takový poèet øádkù, kolik je nezávislých smyèek proudù. Do jednotlivých políèek zapisujeme oznaèení proudù I1 až In, kde n je poèet nezávislých smyèek.

Pøíklad na sestavení matice metodou smyèkových proudù Výchozí obvod, který máme øešit, obsahuje zdroj proudu (obr. 5.2.7). Pøed zahájením výpoètu je výhodné tento zdroj proudu nahradit zdrojem napìtí, jak je to znázornìno na obr. 5.2.8. Schéma obsahuje 4 uzly. , 

8   5,  

5 

5

5



5

5

8 





5

8

8 

5 8 

5



5

,

5

5

,

,

8 

 5 8





Obr. 5.2.7 Pøíklad k metodì smyèkových proudù

Obr. 5.2.8 Upravený obvod podle obr. 5.2.7

Poèet nezávislých smyèek: s = v – p = v – (n – 1) = 6 – 4 + 1 = 3, kde v je poèet všech vìtví – 6; n je poèet uzlù ve schématu. Pøi výpoètu použijeme smyèky podle obr. 5.2.8. Sestavení rovnic pro 3 smyèky: Smyèka 1:

R5 . (I1 – I3) + R3 . (I1 – I2) + R2 . I1 – U03 – U02 = 0

Smyèka 2:

R6 . (I2 – I3) + R4 . I2 + R3 . (I2 – I1) + U03 + U04 = 0

Smyèka 3:

R1 . I3 + R6 . (I3 – I2) + R5 . (I3 – I1) + U01 = 0.

Upravíme-li rovnice podle indexù proudù, dostaneme: Smyèka 1:

(R5 + R3 + R2) . I1 – R3 . I2 – R5 . I3 = U02 + U03

Smyèka 2:

–R3 . I1 + (R6 + R4 + R3) . I2 – R6 . I3 = –U03 – U04

Smyèka 3:

–R5 . I1 – R6 . I2 + (R1 + R6 + R5) . I3 = –U01

A

J. DOLEÈEK: ZÁKLADY ELEKTRONIKY – 1. DÍL

133

Tyto rovnice mùžeme pøepsat do maticového tvaru: 



88 ±8±8 ±82



 



 



555 ±5 ±5 555 ±5 ±5



±5 ±5 555







, , ,

Matici jsme mohli vyplnit také podle výše uvedeného popisu: do buòky 11 do buòky 12

jsme zapsali souèet všech odporù ve smyèce 1; jsme zapsali odpor spoleèný pro smyèky 1 a 2, proudy mají opaèný smìr, proto se záporným znaménkem; jsme zapsali odpor spoleèný pro smyèky 1 a 3, proudy mají opaèný smìr, proto se záporným znaménkem; jsme zapsali souèet všech odporù ve smyèce 2; jsme zapsali odpor spoleèný pro smyèky 2 a 1, proudy mají opaèný smìr, proto se záporným znaménkem;

do buòky 13 do buòky 22 do buòky 21 atd. 5.2.3.1

Výpoèet smyèkových proudù pomocí odporových matic

Èasto používanou metodou pro øešení systému rovnic je tzv. Cramerovo pravidlo. Zùstaneme-li u pøíkladu k obr. 5.2.8, vypoèítáme: n smyèkový proud I1 pomocí vztahu

, =

D ; D

(5.2.5a)

n smyèkový proud I2 pomocí vztahu , =

D ; D

(5.2.5b)

n smyèkový proud I3 pomocí vztahu

, =

D  D

(5.2.5c)

Pro obvod o n smyèkách vypoèítáme smyèkový proud Ik (k = 1, 2, 3, … ):

,N =

DN  D

(5.2.5)

kde D je determinant odporové matice; Dk je determinant matice, která vznikne z odporové matice zámìnou k-tého sloupce matice sloupcovou maticí zdrojù napìtí.

134

J. DOLEÈEK: ZÁKLADY ELEKTRONIKY – 1. DÍL

A