een loh 1. kola 41. ronku fyzik ln olympi dy. Kategorie B Autoi loh: M. Randa (1, 3), I. Volf (2), K. Rauner (6), R. Ban k (4), V. V cha (5) a P. ediv (7) 1. a)
Ozname u rychlost me po odrazu od kvdru. Ze zkona zachovn hybnosti a zkona zachovn energie plyne pro souadnice rychlost u0 u a v1 : 1 2 1 2 1 2 mu0 = mu + m1 v1 2 mu0 = 2 mu + 2 m1 v1 :
eenm tto soustavy rovnic dostaneme: v1 = u0 m 2+mm1 = 20 m s 1 : 1 bod b) Po odrazu me se v dsledku pohybu kvdru zane pruina nejprve stlaovat a bude psobit na vozk a kvdr silami prunosti Fp a Fp (obr. R1). Sla Fp udl vozku vzhledem k zemi zrychlen a . Vztan soustava spojen s vozkem nen inerciln. Chceme-li popsat pohyb zva vzhledem k tto soustav, musme potat se setrvanou silou Fs = m1 a (obr. R2). Je-li okamit vchylka kvdru z pvodn rovnovn polohy vzhledem k vozku x, plat Fp = kx a= m m2 2 a na kvdr psob ve vztan soustav spojen s vozkem vsledn sla m1 F = Fp + Fs = Fp m1 a = Fp 1 + m 2 0
0
0
0
;
;
;
;
;
;
;
1 x = k x: o souadnici F = k 1+ m m2 Odvozen vztahy plat i po nvratu kvdru do rovnovn polohy a jeho vychlen na opanou stranu, kdy se pruina nathne a sla Fp vozk brzd. 2 body x
Obr. R1
;
0
;
;
x
Fp
Fp
a
w
Fs
Obr. R2
Fp
;
Kvdr se vzhledem k vozku rozkmit s hlovou frekvenc ! a periodou T :
!=
r
k m1 = 0
r
k(m1 + m2 ) =: 102 s 1 m1 m2 ;
1
r
T = 2 k(mm1+m2m ) = 0613 s : 1 2
2 body
Na potku se kvdr nachz v rovnovn poloze a velikost v1 jeho poten rychlosti vzhledem k vozku je tedy amplitudou rychlosti. Amplituda vchylky je xm = v!1 =: 0195 m : 1 bod c) Tit soustavy kvdr{vozk se pohybuje rovnomrn rychlost vT , kterou urme pomoc zkona zachovn hybnosti: (m1 + m2 )vT = m1 v1 vT = v1 m m+1m =: 057 m s 1 : 1 2 Za jednu periodu kmit uraz vozk stejnou drhu jako tit soustavy: s = vT T =: 035 m : 1 bod d) Okamit rychlost vv kvdru vzhledem k vozku je vv = v1 cos !t. Okamit rychlosti v w kvdru a vozku vzhledem k zemi mus podle zkona zachovn hybnosti spl ovat vztahy: m1 v1 = m1 v + m2 w = m1 (w + v1 cos !t)+ m2w w = m m+1m v1 (1 cos !t) 1 2 ;
;
v = v1 m m+1m + m m+2m cos !t : 1 2 1 2 Aby se kvdr pohyboval stle stejnm smrem, muselo by platit m2 < m1 . v Obr. R3 ms 1 20 ;
15 10 05
v
w
vT
01
03
05
05
;
T
0 7
08
t s
3 body
2
2. a)
Podle 3. Keplerova zkona
rM rZ
3
= TTM Z
2
2
3 rM = rZ TTM = 2279 106 km : Z vM = 2TrM = 241 km s 1 : M ;
b) Z obr. R4 odvodme:
a = rZ +2 rM = 1888 106 km :
2a = rZ + rM
c) Dobu letu po Hohmannov trajektorii urme z 3. Keplerova zkona jako polovinu periody pohybu po cel elipse:
3
2 T 2= a 3 t = T = TZ ra =: 259 d : TZ rZ 2 2 Z d) Na obr. R4 jsou trajektorie Zem, Marsu a kosmick lodi zobrazeny ve vyznaenm mtku. Bhem letu kosmick lodi se prvodie Zem a Marsu oto o hlov drhy 'Z = Tt 360 = 255 'M = Tt 360 = 136 : Z M Sestrojenm tchto hl nalezneme hledan polohy Z2 a M1 .
M1
4 1011 m
Z1
3
'M
S
'Z
2
Z2
1 0
M2
Obr. R4
3
3.
Odpor vtve AB je R = % Sa kde a je dlka strany tverce, S prez vodie a % mrn elektrick odpor materilu, ze kterho je drt vyroben. Stejn odpor maj tak vtve BC CD a AD. Odpor vtve AE (rovn BE CE DE ) je a 2 R = % S2 = R 22 : p
p
0
a) RAC : V bodech B D a E je stejn potencil. Lze proto vtve BE DE nahradit zkratem (obr. R5a) nebo vypustit (obr. R5b). V obou ppadech dojdeme ke stejnmu odporu RAC : ; : 1 1 1 RAC = 2 2R + 2 R 2 RAC = R 2 2 = 0586 R : 2 p
p
;
3 body
R
R
R
R
R
C
R R
0
A
Obr. R5a
R
0
A
R
R
0
0
R
D R=2 G R=2 C
C
R R
R R
A
0 0
E
R R
R=2 F R=2
Obr. R5b
0 0
R
B
Obr. R6
b) RAB (= RAD ): Sted F vtve AB a sted G vtve CD maj stejn potencil jako bod E . Z nhradnho schmatu na obr. R6 plyne: = = R 9 74 2 =: 0478 R : RAB = 2 1 2 1 R + R + R+ 1 2 1 R+R 3 body p
;
0
0
4
c) RAE : Pro pehlednost pekreslme schma podle obr. R7a. V bodech B a D je stejn potencil. Z nhradnho schmatu na obr. R7b plyne: 1 RAE = 1 = 1 +R 1 R 2+ 2 + 1 R R +R 2 0
0
C
A
B
p
;
0
R
E
D
= R 4 7 2 =: 0369 R :
3 body
B D
R
Obr. R7a
R
C
R
R
A
R
R
0
R
0
0
E
0
Obr. R7b
Odpory jsou v pomru RAC : RAB : RAE = 0586 : 0478 : 0369 : Nejvt odpor zmme mezi uzly A a C , nejmen mezi uzly A a E .
1 bod
* 2H+ + SO24 . Kationty V roztoku kyseliny srov dochz k disociaci H2 SO4 ) + + H vytvej s molekulami vody oxoniov ionty H3 O a putuj k zporn katod, kde probh redukn reakce, pi kter vznik vodk: 2 H3 O+ + 2e H2 + 2H2 O (Volmerova reakce) Anionty SO24 putuj ke kladn anod, kde odevzdvaj elektrony a reaguj s vodou za vzniku kyslku: 2 SO24 + 2 H2 O 2e + 2 H2 SO4 + O2 2 body b) Pi vzniku molekuly kyslku O2 se na anod uvoln 4 elektrony. Stejn velk nboj sta na katod ke vzniku dvou molekul vodku H2 . Proto objem plynu v trubici
4. a)
;
;
!
;
;
!
;
5
u katody roste rychleji ne v trubici u anody. Poet N molekul plynu ve zcela zaplnn trubici urme pomoc stavov rovnice: L N LS pa + 2 %g A pV = NRm N = NA pV = : T NA Rm T Rm T Po dosazen: N = 1096 1023 : (T = 29315 K p = 1109 105 Pa V = 40 10 3 m3 :) K vylouen takovho potu molekul vodku potebujeme nboj Q1 = 2Ne = I 1 : Z toho: 1 = QI1 = 2Ne I : ;
Po dosazen: Q1 = 351 104 C 1 = 702 104 s = 195 h: K vylouen stejnho potu molekul kyslku potebujeme dvojnsobn nboj. Proto 2 = 2 1 = 702 104 s = 39 h: Toto je tak doba, za kterou budou zaplnny plynem ob trubice. 5 bod c) Abychom zskali N molekul kyslku, musme spotebovat 2N molekul vody o relativn molekulov hmotnosti Mr = 18016. Celkov hmotnost spotebovan vody je m = 2NMr mu = 655 10 3 kg : 3 body ;
5. a)
Vztlakov sla mus mt alespo takovou velikost, jako je tha obalu a vzduchu uvnit balonu: 4 r3 % = 4r2 + 4 r3 % V %1 g = mg + V %2 g 1 2 3 3 %1 : : : hustota okolnho vzduchu, %2 : : : hustota vzduchu uvnit balonu, m : : : hmotnost obalu. Hustotu vzduchu urme ze stavov rovnice: pMm r = 3 T1 T2 Rm : %= R pa Mm (T2 T1 ) mT Pro dan hodnoty: r = 26 m : 3 body b) Hmotnost balonu se zt je (k + 1)-krt vt ne hmotnost obalu: V %1 g = (k + 1)mg + V %2 g + 1) T1 T2 Rm : r = 3(pkM a m (T2 T1 ) Pro dan hodnoty: r = 104 m : 2 body c) Z podmnky rovnovhy pro balon se zt m0 V %1 g = (m0 + m)g + V %2 g dojdeme k rovnici ;
;
6
4paMm 1 1 r3 4r2 m0 = 0 : 2 body 3Rm T1 T2 Je to rovnice tetho stupn s neznmou r, kterou vyeme numericky. Po dosazen dostvme rovnici s neznmou x = r (seln hodnota polomru): f (x) = 0726 x3 188 x2 100 = 0 : Z grafu funkce y = f (x) na obr. R8 odhadneme r =: 62 m. Pesnj vpoet vede k hodnot r = 619 m. 3 body y 100 Obr. R8 ;
;
;
f g
;
;
50
0 50
1
2
3
4
5
x
7
;
100
;
7. a)
Kdyby neexistoval odpor vzduchu, doltl by m za dobu 2 T = 2v0 gsin = 3604 s do vzdlenosti L = vg0 sin 2 = 6371 m : 2 body Modelovn pohybu me s odporem vzduchu i bez nj meme provst napklad nsledujcm programem v systmu FAMULUS. Pro modelovn pohybu bez odporu vzduchu v loze b) sta zmnit hodnotu promnn ro (hustota vzduchu) na ro=0" V loze c) volme hodnoty promnn vv (rychlost vtru) postupn 0, 5 a 5. b) Numerick model pohybu bez odporu vzduchu vede k hodnotm T = 3605 s L = 6373 m kter jsou prakticky stejn jako vsledky vpotu v a). 3 body c) Model pohybu s odporem vzduchu za bezvt dv hodnoty T = 2854 s L = 3032 m : Pi vkopu proti vtru (viz obr. R9) dostvme hodnoty T = 2769 s L = 2173 m a pi vkopu po vtru hodnoty T = 2940 s L = 3861 m : 5 bod ;
7
Kopac m - - - - - - - - promnn, konstanty, procedury a funkce - - - dt=0.001 ! asov krok g=9.81 ! thov zrychlen m=0.40 r=0.105 C=0.48 ! parametry me ro=1.25 ! hustota vzduchu K=0.5*C*pi*ro*r^2/m ! pomocn konstanta vv=-5 ! rychlost vtru - - - - - - - - - - - - - poten hodnoty - - - - - - - - t=0 x=0 y=0 ! poten poloha v=25 alfa=45*pi/180 ! poten rychlost vx=v*cos(alfa) vy=v*sin(alfa) DISP - - - - - - - - - - - - - - - - model - - - - - - - - - - - x=x+vx*dt y=y+vy*dt vxr=vx-vv vr=sqrt(vxr^2+vy^2) ! relativn rychlost vzhledem ke ax=-K*vr*vxr ay=-g-K*vr*vy vx=vx+ax*dt vy=vy+ay*dt t=t+dt IF y<0 THEN t=t-y/vy x=x-y/vy*vx ! linern interpolace SetWritePos(1,5,11) WRITE Graph, 'T = ',t:5:3,'s L = ',x:5:2,'m' STOP END
- - - -
- - - -
- - - vzduchu
;
Obr.R9
8
